Grupo de Estudio de Sistemas de Control

Universidad Tecnológica Nacional

Facultad Regional San Nicolás

Software de identificación de sistemas y

ajuste óptimo de controladores PID

Matías L. Silvestrini

Mayo del 2004

Grupo de Estudio de Sistemas de Control

Universidad Tecnológica Nacional

Facultad Regional San Nicolás

Titulo del documento

Software de identificación de sistemas y ajuste óptimo de controladores PID

Autores

Matías L. Silvestrini

Resumen

Se describe la realización de una herramienta de software para resolver las tareas de identificar

sistemas lineales invariantes en el tiempo (LTI) de una entrada y una salida (SISO) a partir de

registros de entradas y salidas de los mismos y de diseñar controladores PID mediante la

optimización criterios que involucran integrales de funciones del error.

Fecha de publicación

Mayo del 2004

1 Introducción La identificación de sistemas se presenta como una herramienta útil a la hora de tratar con sistemas

cuya dinámica es difícil de modelar a partir de leyes físicas o cuando se pretende trabajar con

métodos de control basados en modelo matemático (MPC, LQG, Control Robusto, etc).Sus

aplicaciones abarcan áreas tan diversas como: Sistemas de Control , Biología y Biotecnología,

Ciencias del Medio Ambiente, Economía, etc.

El control automático de sistemas requiere del adecuado ajuste del controlador que ejecuta esta

tarea. El diseño de controladores abarca este problema que puede resolverse empíricamente,

mediante tablas, etc. Este procedimiento puede a veces ser tedioso y difícil de realizar,

encontrándose soluciones que no son las mejores. Aquí se propone ajustar los parámetros del

controlador para optimizar un criterio que defina su bondad buscando automatizar y simplificar esta

tarea.

El trabajo consta de las siguiente etapas:

Identificación de sistemas

Criterios de diseño de controladores

Resultados

Conclusiones

Futuros trabajos

2 Identificación Identificar un sistema consiste en obtener un modelo a partir de registros de entrada y salida del

mismo. La identificación de un sistema se compone de las siguientes etapas(1):

• Registro de datos

• Selección de la estructura del modelo

• Estimación de los parámetros

• Validación

Se formularon dos enfoques de identificación, el primero mediante un algoritmo de búsqueda

directa empleando un modelo de tiempo continuo y el segundo mediante un algoritmo de mínimos

cuadrados utilizando modelos expresados

en tiempo discreto.

2.1 Identificación de sistemas mediante algoritmos de optimización de búsqueda directa

Como se vio en el punto anterior para la identificación es necesario seleccionar una estructura para

el modelo del sistema. Las estructuras propuestas fueron las siguientes

Primer

Orden 1s . B

e .A s -td.

Primer

Orden +

Integrador ) 1s . B ( . s

eA s -td.

Segundo

Orden 1s . Cs . B

e .A 2

s . -td

Segundo

Orden + Cero 1s . Ds . C

e . B)(A.S2

s . -td

Con ellas se pretende disponer de las estructuras más comunes para la representación de procesos

reales utilizados en control.

Siguiendo los pasos del proceso de identificación se planteo un criterio a fin de realizar la posterior

estimación de los parámetros. El criterio elegido fue el error medio cuadrático definido como (1)

N

i

iN

EMC1

2

)(.1

donde N es él numero de muestras disponibles en los registros y el error e es expresado como

)()(^

iyiy

siendo

modelo del salida:)(

sistema del salida :)(

^

iy

iy

Habiendo definido el criterio se selecciono un método que halle los valores de los parámetros que lo

minimizan, este proceso es conocido como optimización.

2.1.1 Algoritmo de optimización La optimización se empleara como forma de resolver la estimación de los parámetros para la

identificación de sistemas y más adelante como herramienta en el diseño de controladores.

Cualquier problema de optimización bien formulado consta de las siguientes tres

características(2)

:

Una función de criterio J() que expresa el objetivo

Los parámetros que optimizan el criterio J()

La restricción del espacio de los parámetros h() que confinan los valores de la

solución a una región permitida

Un esquema de este procedimiento aplicado a la identificación es el de la figura 2:

Figura 1

Existen varios métodos no lineales de optimización como ser: métodos de búsqueda directa,

métodos de gradiente, métodos de gradiente-conjugado.

Los métodos de búsqueda directa incluyen

Búsqueda perpendicular

método de Powell

método Simplex (Nelder y Mead)

Matlab implementa en la función fminsearch el método de búsqueda directa de Nelder y Mead

como un método de optimización sin restricciones. El método es especialmente apto para funciones

de criterio que no son suaves con pocos parámetros (n<10). Si más parámetros deben ser

optimizados los métodos de Powell y del gradiente dan un mejor resultado(2)

. Empleando la

mencionada función de Matlab se implemento la optimización del EMC como medio de hallar los

parámetros.

)1z(

)1z(.

T

2S

2.2 Identificación de sistemas mediante mínimos cuadrados

Los sistemas en la práctica son de naturaleza continua, sin embargo, los datos de los que

disponemos al realizar los registros de sus respuestas mediante los sistemas de adquisición son de

naturaleza discreta. Así, una señal continua en el tiempo se reemplaza por una secuencia de valores

discretos separados entre sí por un intervalo igual al periodo de muestreo.

Si bien el sistema real es continuo enfocar el problema de esta manera simplifica en gran

medida el trabajo para el análisis por medio de computadores.

Los modelos de sistemas que se emplearon en el software son los presentados en la tabla 1.

Estos son sistemas de tiempo continuo expresados mediante la transformada de Laplace y sus

correspondientes en tiempo discreto mediante transformada Z.

Para obtener la función de transferencia en tiempo discreto a partir de las de tiempo continuo se

empleo la aproximación de Tustin o Bilineal ya que posee la ventaja de que un sistema continuo

estable seguirá siendo estable luego de la transformación si se aplica la aproximación de Tustin

mientras que puede aproximarse por un sistema discreto inestable si se aplica el método de Euler(1)

Esta aproximación consiste en realizar la siguiente substitución:

Desarrollando los sistemas seleccionados se obtuvieron las equivalencias de la tabla 2 donde AD,

BD, CD, DD Y ED son funciones de A, B, C, D y E

Continuo Discreto

1s . B

A

D

DD

BZ

A Z. A

ss . B

A

2

DD

2

DD

2

D

C Z.BZ

A.Z2A Z. A

1s . Cs . B

A

2

DD

2

DD

2

D

C Z. BZ

A.Z.2 Z. A

A

1s . Ds . C

BA.S

2

DD

2

DD

2

D

E Z. DZ

C.ZB Z. A

Tabla 1

Estas estructuras son las que se emplearon en el proceso de identificación, es interesante notar que

la discretización de los sistemas de primer orden con integrador y de segundo orden tienen la misma

estructura diferenciándose en las expresiones de los coeficientes de los polinomios.

Como se mencionó la identificación ajusta la función de transferencia de tiempo discreto del

sistema, esa estructura es convertida luego en tiempo continuo, que es como se presenta en pantalla.

Para esto se emplearon las expresiones halladas durante el proceso de discretización

Por ejemplo, para un sistema de segundo orden

)1()..2..2().4.4(.0)T 2.C.TB . (4

)T 2.C.TB . (4

..2...2).8.4(.0)T 2.C.TB . (4

8.B2.T

....2..4.)T 2.C.TB . (4

A.T

C Z. BZ

A.Z.2 Z. A)(

)T 2.C.TB . (4

)T 2.C.TB . (4.Z

)T 2.C.TB . (4

8.B2.T Z

)T 2.C.TB . (4

A.T Z.

)T 2.C.TB . (4

2.A.T.Z

)T 2.C.TB . (4

A.T

H(z)

2

2

2

2

2

2

22

2

2

DD

2

DD

2

D

2

2

2

22

2

2

2

22

2

2

DDDD

DDDD

DDDD

CTCTCTBCAC

BTTCBTBBAB

ATCATBAATA

AzH

Queda determinado un sistema de 3 ecuaciones con tres incógnitas que puede ser resuelto por

cualquier método. De forma similar se desarrollo para el resto de los modelos

2.2.1 Mínimos cuadrados(2)

El método de identificación propuesto en este punto fue el método de mínimos cuadrados.

Dadas los registros de {u(k),y(k)} de longitud N y la estructura de un modelo con parámetros

desconocidos, este método busca minimizar la suma del error al cuadrado entre los datos de salida

del sistema registrados y los obtenidos del modelo ante la entrada registrada.

N

k

kk yyN

J1

2

)θ|(

^

)()( ]¨[1

donde

parametros deVector

modelo del Salida .θ y (k)T

θ)|(k

^

Se puede observar que este criterio es el mismo que el empleado en la identificación en tiempo

continuo (EMC).

El vector de parámetros estimados se encuentra para

)(

^

minarg JMD

donde DM es el dominio de valores posibles o validos de los parámetros

para la solución óptima el gradiente de J() respecto de es cero:

0)(

^

J

en álgebra lineal esto es expresado como

].Φ.[y2.Φ

].Φ].[y.[Φθ

2.].θΦ[yθ

(k)T

(k)(k)

(k)T

(k)(k)T2

(k)T

(k)

entonces

N

1k

(k)T

(k)(k))(

0].Φ.[y2.Φ1

^ N

J

la solución óptima se obtiene resolviendo el set de ecuaciones llamado Ecuaciones Normales que se

obtienen al plantear la expresión anterior. Podemos expresar el sistema definiendo la matriz de

entrada y el vector Y de salidas

(N)

(2)

(1)

)()(

)2()2(

)1()1(

y

...

y

y

Y ...

NNT

T

T

u

u

u

con lo cual la función criterio se vuelve

euclideana norma la es donde2

2

2)( YJ

las ecuaciones normales quedan entonces

YTT ^

de donde la solución se obtiene como

YTT 1^

Aplicando la expresión anterior a los sistemas de la tabla 2 se obtienen los parámetros AD BD ED DD

Por ejemplo para el sistema de primer orden

2

1

2

)(

))1(.)1(.)(.)((.1

))()((.1

)1(.)1(.)(.)(

)(

)(

kyBkuAkuAkyN

kykyN

J

kyBkuAkuAky

zU

zYH

DDD

N

k

DDD

z

D

DD

BZ

AZ . A

Las incógnitas son los parámetros AD y BD.

Planteando 01))1).).y(k.y(kB1).u(kA.u(k)A

01))-u(k(k)1).(-1).(u.y(kB1).u(kA.u(k)A

DDD

DDD

)((.1

2

)((.1

2

1

1

kyN

JB

kyN

JA

N

kD

N

kD

llamando u1 a (u(k)+u(k-1)) el sistema de ecuaciones quedo de la siguiente forma

1

1

1

.

.

N

1k

2N

1k

N

1k

N

k01

2

N

1k

N

D

D

N

1k

N

D

D

N

1k

2N

1k

N

1k

N

k01

2

1)y(k.1).u1y(k

1).u1y(ku1

1)y(k).(y(k

y(k).u1

B

A

1)y(k).(y(k

y(k).u1

B

A

1)y(k.1).u1y(k

1).u1y(ku1

k

k

2.3 Experiencias de Identificación

2.3.1 Simulaciones Los registros empleados en este punto fueron generados mediante simulación. La pantalla de

presentada al usuario se muestra en la figura 3, en ella se puede seleccionar el algoritmo a emplear y

el modelo a ajustar, los resultados son presentados en la misma pantalla.

Figura 3

Sistema

Sin ruidos

Mínimos Cuadrados Búsqueda directa

2.015

------------ tiempo de muestreo 10 mseg

3.04 s + 0.5

Con ruidos

Mínimos Cuadrados Búsqueda directa

Sistema

Sin Ruidos

Mínimos Cuadrados Búsqueda Directa

Con ruidos

Mínimos Cuadrados Búsqueda directa

Se vio como en presencia de ruido, el algoritmo de mínimos cuadrados no se desempeña

adecuadamente, esto es debido a la correlación entre el ruido C*(z1).e(k) y los datos del registro de

entrada y salida.(1)

. Esto ocurre cuando el sistema a identificar responde a la ecuación en diferencias

)().()().()().( kezCkuzBkyzA

siendo n el orden de A, se lograra la identificación si C(z=z, mientras que si C(zz las estimaciones

de los parámetros no serán buenas.

5

----------- ---- 1.2 s2 + 0.4 s + 1

Tiempo de muestreo 10 mseg

2.3.2 Experiencias con sistemas reales

Esta parte del trabajo se completo realizando la identificación de un sistema real representado por

un filtro activo de segundo orden.

Para los registros se empleo una placa de adquisición de datos Advantech PCI 1711

Se realizaron registros de la salida del sistema ante un escalón de entrada y estos registros se

emplearon para la identificación.

Modelo Modelo de primer orden

Mínimos Cuadrados Búsqueda Directa

Modelo de Segundo Orden

Mínimos Cuadrados Búsqueda Directa

Estos resultados comprobaron que los algoritmos desarrollados son eficaces en casos reales.

3. Criterios de diseño de controladores

Disponiendo de la función de transferencia del sistema o proceso se planteó el control del mismo

mediante un controlador PID que responda al algoritmo

).1.()( STdS

KiKpsGc

Surge la necesidad de seleccionar los valores de Kp, Ki y Td para lograr un buen desempeño del

sistema a lazo cerrado, este procedimiento se conoce como “sintonización” o “ajuste” del

controlador. Diversos métodos son propuestos en la bibliografía(3)

entre los que podemos

mencionar: Ziegler-Nichols y Cohen-Coon.

En este trabajo a partir de la función transferencia del sistema los parámetros del controlador PID se

optimizaron mediante la minimización de los siguientes criterios integrales:

Integral del error al cuadrado (ISE)

0

)(2

t

t dtISE

Integral del valor absoluto del error

(IAE)

0

)(

t

t dtIAE

Integral del valor absoluto del error

ponderado por el tiempo (ITAE)

0

)(.t

t dttITAE

Donde (t) = ysp(t) – y(t) es la desviación de la salida del sistema del set point deseado.

En la figura 4 se aprecia el esquema del procedimiento descrito.

Figura 4

Cual de los tres criterios integrales emplear dependerá de las características del sistema a

controlar y de los requerimientos adicionales que se le impongan. Debe tenerse en cuenta que

diferentes criterios llevan a diferentes controladores y para el mismo criterio integral, diferentes

cambios en la entrada llevan a diferentes diseños.

Se empleo el algoritmo de optimización presentado en el apartado 2.1.1 para la minimización de los

criterios integrales. La figura 4 muestra la pantalla de selección de criterios y tipo de controlador.

3.1Experiencias Empleando el modelo de segundo orden obtenido en el punto anterior, se propuso el diseño del

controlador para el mismo.

El controlador empleado para el filtro fue un controlador PID digital desarrollado por el GESIC,

este controlador implementa el algoritmo incremental:

2n1nn1nn1nnn ee2e

Tm

TdeeKi

2

TmeeKpΔm

El controlador cuenta con funciones como Antireset WindUp y la opción de calcular la parte

derivada sobre la variable del proceso o sobre la señal de error. El tiempo de muestro de este

controlador es de 100 mseg.

El controlador diseñado fue un PI, se obtuvieron los parámetros teniendo en cuenta el tiempo antes

mencionado simulando durante un lapso de 15 segundos de modo que el sistema alcanzara su

estado de reposo. Se corrieron los algoritmos de optimización de los tres criterios empleando un

límite de 20. La pantalla de diseño en la cual el usuario selecciona las opciones y las graficas de

diseño para un escalón unitario son las siguientes

Figura 4

Los parámetros obtenidos del diseño se cargaron en:

Una simulación de Simulink del sistema identificado con un controlador ideal

El controlador digital desarrollado por el GESIC empleado para controlar el filtro activo

identificado

Los resultados de ambas experiencias se presentan en conjunto en la siguiente serie de graficas

-6

-1

4

9

14

1

19 37 55 73 91

109

127

145

163

181

199

217

235

253

271

289

307

325

343

361

379

397

415

433

451

469

487

505

523

-1.5

-0.5

0.5

1.5

2.5

3.5

4.5

5.5

6.5

7.5

8.5

1

22

43

64

85

10

6

12

7

14

8

16

9

19

0

21

1

23

2

25

3

27

4

29

5

31

6

33

7

35

8

37

9

40

0

42

1

44

2

46

3

48

4

50

5

Muestras

[V]

ISE

IAE

ITAE

Se nota que no hay una correspondencia entre la simulación y la realidad, el análisis de esto hecho

trajo a tener en cuenta el hecho de que en un controlador real la salida del mismo esta limitada, al

saturarse la salida del controlador en cinco o cero volts la integración se detiene, mientras que

durante el proceso de diseño y la simulación esto no es tenido en cuenta. Para notar este hecho

solo debemos ver las salidas del controlador en la simulación y en la realidad. En un controlador

ideal la salida varia de 15 a –6 volts mientras que en el real lo hace de 5 a 0 volts y hay que tener

en cuenta que también esta presente el efecto de wind-up.

Se encontró entonces una limitación práctica en el diseño de los parámetros, como solución para

tratar con este hecho se recurrió a agregar una opción en el diseño del controlador para obtener

los mejores parámetros que minimicen el criterio deseado y que no produzcan la saturación de la

salida del controlador ideal. Con esta consideración se obtienen los siguiente resultados.

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

1

33 65 97

129

161

193

225

257

289

321

353

385

417

449

481

513

545

577

609

641

673

705

737

769

801

833

865

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2

2.4

1

22

43

64

85

10

6

12

7

14

8

16

9

19

0

21

1

23

2

25

3

27

4

29

5

31

6

33

7

35

8

37

9

40

0

42

1

44

2

46

3

48

4

50

5

Muestras

[V]

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2

2.4

1

36

71

10

6

14

1

17

6

21

1

24

6

28

1

31

6

35

1

38

6

42

1

45

6

49

1

52

6

56

1

59

6

63

1

66

6

70

1

73

6

77

1

80

6

84

1

87

6

1.00E+00

1.20E+00

1.40E+00

1.60E+00

1.80E+00

2.00E+00

2.20E+00

2.40E+00

2.60E+00

2.80E+00

3.00E+00

1

21 41 61 81

101

121

141

161

181

201

221

241

261

281

301

321

341

361

381

401

421

441

461

481

501

521

541

Registros

ISE

En este caso se observa que si bien la salida del controlador en simulación no satura, si lo hace en

la realidad al llegar a 0 volts, las razones de esto se pueden atribuir a:

El filtro empleado como sistema a controlar presenta componentes no ideales que contiene

offset y alinealidades

El controlador digital emplea aproximaciones en la implementación de su algoritmo lo que

produce que no sea idéntico al empleado en el proceso de diseño.

El controlador digital realiza operaciones de división que llevan a truncamientos de los

resultados.

A pesar de esto se evidencio una notable mejoría entre los resultados respecto de las experiencias

sin la restricción del diseño.

IAE

En este caso las salidas de simulación y del sistema presentaron una muy buena coincidencia, y

las salidas del controlador en simulación y el real mostraron que ninguna satura y se aproximaron

bastante.

ITAE

Para el criterio ITAE se obtuvieron los mismos resultados anteriores ya que estos no producían la

saturación del controlador.

-1

0

1

2

3

4

5

6

1

20

39

58

77

96

115

134

153

172

191

210

229

248

267

286

305

324

343

362

381

400

419

438

457

476

495

514

533

552

571

590

609

628

647

-1

0

1

2

3

4

5

6

1

20

39

58

77

96

11

5

13

4

15

3

17

2

19

1

21

0

22

9

24

8

26

7

28

6

30

5

32

4

34

3

36

2

38

1

40

0

41

9

43

8

45

7

47

6

49

5

51

4

53

3

55

2

Simulación Salida

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

1

31

61

91

12

1

15

1

18

1

21

1

24

1

27

1

30

1

33

1

36

1

39

1

42

1

45

1

48

1

51

1

54

1

57

1

60

1

63

1

66

1

69

1

72

1

75

1

78

1

81

1

84

1

87

1

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2

2.4

1

32

63

94

12

5

15

6

18

7

21

8

24

9

28

0

31

1

34

2

37

3

40

4

43

5

46

6

49

7

52

8

55

9

59

0

62

1

65

2

68

3

71

4

74

5

77

6

80

7

83

8

86

9

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2

2.4

1

20

39

58

77

96

11

5

13

4

15

3

17

2

19

1

21

0

22

9

24

8

26

7

28

6

30

5

32

4

34

3

36

2

38

1

40

0

41

9

43

8

45

7

47

6

49

5

51

4

53

3

55

2

Simulación Salida

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

1

23 45 67 89

111

133

155

177

199

221

243

265

287

309

331

353

375

397

419

441

463

485

507

529

551

573

595

617

639

4. Conclusiones Se logro un software para realizar la identificación paramétrica de sistemas mediante dos métodos

Un método de identificación empleando mínimos cuadrados

Un método de identificación empleando un algoritmo de optimización de búsqueda

directa.

El método de mínimos cuadrados resultó ser más rápido y simple pero menos preciso y robusto que

el de búsqueda directa.

Se logro un software para diseñar un controlador PID de acuerdo a tres posibles criterios integrales

ISE

IAE

ITAE

Obteniéndose buenos resultados en la practica al implementar los controladores diseñados sobre

un sistema real.

5. Futuros trabajos

Queda planteada la posibilidad de emplear un criterio de optimización que incluya la

restricción de la salida del controlador para evitar su saturación.

Dado que no todos los controladores comerciales emplean el mismo algoritmo que el

controlador empleado para el diseño de los parámetros, se podría agregar la opción de

seleccionar el algoritmo del controlador a diseñar.

Es posible implementar otros algoritmos para la identificación de los sistemas así como

para la optimización de los criterios de diseño de controladores, de forma tal que donde

falle un método (ya sea por ruido excesivo, persistencia de excitación insuficiente, etc.)

pueda aplicarse otro que otorgue un mejor desempeño para el caso particular.

6. Bibliografía

(1)Sistemas Controlados por Computador – Karl Astrom – Paraninfo

(2)Modeling, Identification and Simulation of Dynamical Systems – P.P.J. van der Bosch –

CRC Press

(3)Chemical Process Control – George Stephanopoulos – Prentice Hall

Análisis Numérico y Visualización Grafica con MatLab – Shoichiro Nakamura – Prentice

Hall