SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH YÊN BÁI TRƢỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG TRẦN NHẬT DUẬT

MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP

GIẢI PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC

Họ và tên: Hồ Hải Hà

Chức vụ: Giáo viên

Tổ chuyên môn: Toán – Tin

Đơn vị: THPT Trần Nhật Duật

NĂM HỌC 2012 - 2013

MỤC LỤC

Trang

PHẦN I MỞ ĐẦU 1

1. Lý do chọn đề tài 1

2. Mục đích nghiên cứu 1

3. Đối tƣợng nghiên cứu 1

4. Giới hạn và phạm vi nghiên cứu 1

5. Nhiệm vụ nghiên cứu 2

6. Phƣơng pháp nghiên cứu 2

7. Thời gian nghiên cứu 2

PHẦN II NỘI DUNG CỦA ĐỀ TAI 3

Chƣơng 1 Cơ sở lí luận của đề tài 3

1. Cơ sơ phap ly 3

2. Cơ sơ thƣc tiên 3

Chƣơng 2 Thực trạng của đề tài 4

Chƣơng 3 Giải quyết vấn đề 5

A MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP

GIẢI PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC 6

B DẠNG BÀI TẬP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC

TRONG CÁC ĐỀ THI TUYỂN SINH CAO ĐẲNG ĐẠI HỌC 21

C BÀI TẬP TỰ LUYỆN 31

D KẾT QUẢ CỦA QUÁ TRÌNH VẬN DỤNG 32

PHẦN III KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 34

PHẦN I: MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài

Trong chƣơng trình toán THPT, lƣợng giác là một chu đê trọng tâm va đƣợc

giảng dạy trong lƣơng thơi gian tƣơng đôi lơn . Trong các kì thi tuyển sinh đại học

va cao đẳng thì đây la một chu đề luôn luôn đƣợc đề cập tới, chiếm 1 điểm trong

10 điểm của bài thi, va đây cũng la một đề tai tƣơng đối quen thuộc trong nhiều

sách tham khảo bộ môn toán bậc trung học phổ thông để ôn và luyện thi. Với

mong muốn mang kiến thức một cách có hệ thống và sâu sắc về bài toán " Giải

phương trình lượng giác" đến với học sinh va qua đó giúp các em học sinh có một

cái nhìn khái quát, đầy đủ và chắc chắn, giúp học sinh tự tin bƣớc vào các kì thi

tuyển sinh đạt thành tích cao tôi lựa chọn trình bay đề tài:

" MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC "

2. Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu một số kiến thức cơ bản liên quan đến nội dung của đề tài.

Nghiên cứu một số phƣơng trình lƣợng giác cơ bản, phƣơng trình lƣợng giác

thƣờng gặp.

Nghiên cứu một số phƣơng pháp giải phƣơng trình lƣợng giác sử dụng trong

chƣơng trình ở cấp độ cơ bản, nâng cao và ở một số kì thi tuyển sinh đại học

khối A; B; D.

Thông qua việc nghiên cứu nhằm nâng cao nghiệp vụ chuyên môn và rút

kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy, hƣớng dẫn học sinh giải quyết bài

toán này một cách rõ ràng và chắc chắn về kiến thức. Đồng thời nhằm nâng

cao chất lƣợng hiệu quả của quá trình giảng dạy và học tập của học sinh lớp

11, 12 mở rộng kiến thức cho học sinh nhằm phát huy tinh thần tự giác học

tập cũng nhƣ khả năng sáng tạo trong học tập của học sinh để các em tự tin

đạt thành tích cao trong các kì thi tuyển sinh.

3. Đối tƣợng nghiên cứu:

Bài toán Giải phƣơng trình lƣợng giác.

Học sinh khối 11, 12, học sinh ôn thi đại học.

Nội dung chƣơng trình toán THPT.

4. Giới hạn phạm vi và nội dung nghiên cứu

Các bài báo và các tài liệu liên quan đến bài toán Giải phƣơng trình lƣợng

giác. Sách giáo khoa môn Toán bậc PTTH và bậc THPT. Chƣơng 5 Đại số

và Giải tích - Lớp 10; Chƣơng 1 Giải tích lớp 11. Sách Đai sô cơ bản và

nâng cao lớp 10. Sách giải tích nâng cao va cơ bản lớp 11. Tài liệu ôn thi

ĐH, CĐ môn toán. Sách tham khảo bộ môn Toán lớp 10;11.

Nội dung nghiên cứu: Tập trung nghiên cứu cơ sở lý luận và thực tiễn, đúc

rút kinh nghiệm phƣơng pháp giảng dạy và trình bày bài toán Giải phƣơng

trình lƣợng giác. Thông qua đó giúp các em học sinh nắm vững các khái

niệm, các định lí, các phƣơng trình lƣợng giác cơ bản, các phƣơng trình

lƣợng giác thƣờng gặp từ đó biết phân tích và sử dụng chúng trong từng

trƣờng hợp cụ thể một cách linh hoạt sáng tạo. Giúp các em nâng cao nhận

thức va rèn tính độc lập sáng tạo, kiên trì trong học tập nói chung và môn

toán nói riêng cũng nhƣ các vấn đề khác trong đời sống sinh hoạt.

Áp dụng đề tài: Khối 11, học sinh ôn thi tuyển sinh cao đẳng va đại học -

Trƣờng THPT Trần Nhật Duật.

5. Nhiệm vụ nghiên cứu:

Trình bày một số phƣơng pháp giải phƣơng trình lƣợng giác.

Trình bày một số dạng toán phƣơng trình lƣợng giác có mặt trong kì thi

tuyển sinh cao đẳng , đại học khối A; B; D.

Trình bày một số kiến thức cơ ban liên quan đến nội dung của đề tai giup tra

cƣu va ôn tâp thuân lơi hơn.

6. Phƣơng pháp nghiên cứu

Phƣơng pháp nghiên cứu lý thuyết.

Phƣơng pháp phân tích, tổng hợp.

7. Thời gian nghiên cứu và kế hoạch thực hiện

Thời gian nghiên cứu đề tai: Trong quá trình đƣợc phân công giảng dạy ban

KHTN và lớp cơ bản A bậc THPT từ năm 2008 cho đến nay.

Kế hoạch thực hiện đề tài:

1) Thu thập, tích lũy, va học hỏi kinh nghiệm từ tài liệu và từ đồng nghiệp.

2) Hè 2011 va năm học 2011- 2012, trình bày lý thuyết tổng quan về bài

toán giải phƣơng trình lƣợng giác.

3) Trình bày một số bài toán giải phƣơng trình lƣợng giác vận dụng trong

chƣơng trình ở cấp độ nâng cao và ở một số kì thi tuyển sinh đại học khối A;

B; D. Phân tích va đánh giá và rút kinh nghiệm đề tài sau quá trình vận

dụng. Áp dụng trong những năm học tiếp theo.

PHẦN II: NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI

CHƢƠNG 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI

1. Cơ sở pháp lý

Định hƣớng đổi mới phƣơng pháp dạy học đã đƣợc thể chế hóa trong luật

giáo dục năm 2005, va đƣợc cụ thể hóa trong các chỉ thị của Bộ giáo dục va đao

tạo. Đất nƣớc ta đang bƣớc vao giai đoạn công nghiệp hóa hiện đại hóa với mục

tiêu đến năm 2020 Việt nam từ một đất nƣớc nông nghiệp về cơ bản trở thành một

đất nƣớc công nghiệp, hội nhập với cộng đồng quốc tế. Nhân tố quyết định thắng

lợi của công cuộc công nghiệp hóa hiện đại hóa đất nƣớc là hội nhập con ngƣời, là

nguồn lực con ngƣời đƣợc phát triển về số lƣợng và chất lƣợng toàn diện. Đáp ứng

nhu cầu ấy mỗi giáo viên phải xây dựng và hình thành một nền tảng kiến thức kĩ

năng chuẩn và trên chuẩn.

Năm học nay la năm học mà thủ tƣớng chính phủ tiếp tục phát động công

cuộc vận động " Mỗi thầy giáo, cô giáo là một tấm gƣơng đạo đức tự học và sáng

tạo", " Xây dựng trƣờng học thân thiện, học sinh tích cực", để hƣởng ứng và thực

hiện cuộc vận động đó tổ Toán-Tin trƣờng THPT Trần Nhật Duật cũng nhƣ bản

thân tôi đã cố gắng vận dụng và áp dụng công nghệ thông tin, cũng nhƣ sáng tạo

trong việc xây dựng và thực hiện kế hoạch làm dụng cụ học tập va hƣớng dẫn học

sinh cùng tham gia làm dụng cụ học tập, làm tiểu luận. Giúp học sinh gần gũi với

môn Toán, tạo sự tự tin chiếm lĩnh kiến thức bộ môn.

2. Cơ sở thực tiễn

Trong thực tế, đề thi tuyển sinh các kì thi cao đẳng va đại học luôn có bài

toán giải phƣơng trình lƣợng giác và nó chiếm 1 điểm trong 10 điểm của bài thi.

Mặc dù kiến thức để giải bai toán nay đƣợc trang bị ở chƣơng 1 của môn Đại số

và Giải tích lớp 11 rất rõ rang. Nhƣng với học sinh thì đây không phải là bài toán

dễ, va đề bài thì thƣơng không phải là những phƣơng trình cho ở dạng trực tiếp

thƣờng gặp trong sach giao khoa , ma ta cần phải sử dụng một vai bƣớc biến đổi

mơi nhân đƣơc dang toan môt cach ro rang . Do vây hoc sinh hay bo qua hoăc lơi

giải chƣa đƣơc chinh xac . Nguyên nhân có thể do các em chƣa thực sự có cái nhìn

tổng quan và bản chất của việc giải bai toán nay, hơn nữa thời gian để trình bày lý

thuyết và thời gian vận dụng giải quyết bài toán này theo phân phối chƣơng trình

không nhiều. Ma đây cũng la dạng toán điển hình va phƣơng pháp giải quyết nó

cần nhiều kĩ năng. Qua thực tế khảo sát kết quả thi, và qua quá trình dạy học tôi

thấy học sinh còn khó khăn trong việc xác định, phân loại va qui phƣơng trình đã

cho về những phƣơng trình đã có cách giải. Căn cứ vào mục tiêu và nhiệm vụ giáo

dục, nhằm nâng cao hiệu quả của việc dạy và học, rèn luyện kiến thức, kĩ năng để

học sinh đạt đƣợc kết quả cao nhất trong các kì thi nên tôi đã lựa chọn để trình bày

đề tài này.

CHƢƠNG 2: THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI

Đã có nhiều tài liệu trình bày nội dung đề tài này trong các sách tham khảo

bộ môn Toán, và tài liệu ôn luyện thi môn toán cùng với các nội dung khác. Nhƣng

đối với các em học sinh lớp 11, 12 đặc biệt học sinh không phải lớp chọn của nhà

trƣờng thì việc tìm tài liệu và xây dựng cho mình kiến thức về nội dung chuyên đề

đƣa ra la tƣơng đối khó khăn về cả thời gian cũng nhƣ các điều kiện khác. Ngay từ

những năm học trƣớc cũng nhƣ từ đầu năm của năm học nay, tôi đã thu thập và

trang bị tài liệu cho mình và một bộ phận học sinh có niềm say mê có sự đầu tƣ

cho việc học môn Toán để hƣớng dẫn các em tổng hợp và trình bày tiểu luận về

chuyên đề nay. Trên cơ sở đó, tôi khảo sát và nắm bắt những vấn đề khó khăn ma

các em gặp phải, cùng với những vấn đề mà các em học sinh vƣớng mắc khi học

để từ đó xây dựng chuyên đề này. Lúc mới đầu tôi chƣa hƣớng dẫn thì có ít em học

sinh giải quyết triệt để bài toán này, đặc biệt khi đề bai cho phƣơng trình không

đúng dạng phƣơng trình có trong chƣơng trình thì các em thƣờng có tâm lí ngại

lam va nghĩ rằng không lam đƣợc nên bỏ qua. Sau khi hƣớng dẫn thì những học

sinh có lực học bộ môn Toán từ Trung bình trở lên đã phân loại và giải quyết đƣợc

bai toán trong các đề thi một cách nhanh chóng và dễ dang hơn, va với số học sinh

còn lại thì các em cũng đã biết phân loại và có lời giải tƣơng đối tốt.

Cụ thể: Khi khảo sát chât lƣơng hoc sinh vê chu đê "giải phƣơng trình lƣợng

giác" sau khi hoc sinh hoan thanh chƣơng trinh sách giáo khoa vơi thơi lƣơng khảo

sát la 45 phút va trƣớc khi day chuyên đê nay trong các năm học 2010-2011; 2011-

2012 kết quả cụ thể nhƣ sau:

Điểm khảo sát chuyên đê giai phương trinh lương giac của học sinh

Năm hoc 2010-2011

Bảng 1

Điểm khảo sát chuyên đê giai phương trinh lương giac của học sinh

Năm hoc 2011-2012

Bảng 2

Sĩ số Giỏi Khá TB Yếu Kém TB↑

Sl Tl % Sl Tl % Sl Tl % Sl Tl % Sl Tl % Sl Tl %

217 7 3,2 15 6,9 51 23,5 95 43,8 49 22,6 73 33,6

Sĩ số Giỏi Khá TB Yếu Kém TB↑

Sl Tl % Sl Tl % Sl Tl % Sl Tl % Sl Tl % Sl Tl %

205 5 2,4 15 7,3 56 27,3 86 42,0 43 21 76 37,1

CHƢƠNG 3: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

Xuất phát từ thực tế, học sinh thƣờng quên kiến thức, lƣời suy nghĩ va hay

bỏ qua bài toán khi gặp các bài toán lạ hoăc nhƣng bai toan nhin nhin đa ngai mà

không chịu suy nghĩ để đƣa bai toán lạ thành bài toán quen thuôc đã biết cách làm.

Đặc biệt khi gặp bai toán liên quan đến lƣợng giác các em thƣờng ngại lam va luôn

nghĩ rằng đo la bai toán khó nên đã tạo cho mình sự khó khăn khi giải toán lƣợng

giác.Tôi thấy cần phải hƣớng dẫn va định hƣớng, giúp các em làm chủ kiến thức từ

đó tự tin vào khả năng học tập của mình. Từ đó các em sẽ tìm tòi trong suy nghĩ,

giải quyết các yêu cầu và hoàn thành mục tiêu học tập của bản thân.

Để thực hiện đề tai tôi đã thực hiện theo các bƣớc:

Bƣớc 1:

- Thu thập và nghiên cứu tài liệu, tham khảo ý kiến của đồng nghiệp.

- Khảo sát chất lƣợng học sinh.

- Trang bị tài liệu va hƣớng dẫn học sinh làm tiểu luận về nội dung của đề

tài.

Bƣớc 2:

- Thực hiện nội dung nghiên cứu

- Trang bị một số kiến thức chuẩn bị cho nội dung của đề tài mà học sinh đã

đƣợc học từ trƣớc đó ma có thể các em đã quên(Phụ lục 1).

- Trang bị một số phƣơng trinh lƣơng giac cơ ban , phƣơng trinh lƣơng giac

đơn gian, phƣơng trinh lƣơng giac đa biêt cac giai (Phụ lục 2).

- Trình bay một số phƣơng pháp giải phƣơng trình lƣợng giác đã đƣợc học

trong chƣơng trình môt cach co hê thông(nôi dung chinh cua chuyên đê).

- Vận dụng các phƣơng trình lƣợng giác cơ bản va các phƣơng trình lƣợng

giác thƣờng gặp trong thực hành giải toán.

Bƣớc 3:

- Khảo sát kết quả vận dụng của học sinh.

- Rút kinh nghiệm cho những năm sau.

A. MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC

Để giải một phương trình lượng giác thông thường ta làm như sau

Đặt điều kiện để phương trình xác định.

Quy phương trình đã cho về một trong các dạng phương trình lượng giác đã

có các giải, và tiến hành giải phương trình theo dạng phương trình đã biết.

So sánh các nghiệm tìm được với điều kiện xác định để loại bỏ đi các

nghiệm ngoại lai.

Cung giông như giải các phương trình khác viêc đăt điêu kiên cua phương trinh

lương giac rât quan trong.Ngoaig nhưng điêu kiên thông thương đôi vơi mâu sô va

các biểu thưc trong căn bâc chăn co mặt trong phương trình. Đôi với phương trình

lương giac chung ta cân lưu y đên cac điêu kiên sau

- Đê tan x co nghia thi điêu kiên la: ; .2

x k k

- Đê cot x co nghia thi điêu kiên la: ; .x k k

Ngoài một sô dạng phương trình lượng giác đung dang phương trinh đa co

cách giải học trong chương trình , chúng ta không co phương pháp tổng quát để

giải tất cả các dạng phương trình lượng giác vì chúng rất phong phú. Đường lôi

chung là sử dụng các phép biến đổi toan hoc để đưa việc giải phương trình đã cho

về việc giải một hay một sô phương trình lượng giác cơ bản hoặc dạng quen

thuộc.Với mỗi phương trình lượng giác cụ thể ta phải tìm và sử dụng những cách

biến đổi thích hợp. Do đo việc nhớ các công thưc lượng giác và khả năng biến đổi

thành thạo các công thưc toan hoc noi chung va lương giac noi riêng đong một

vai trò quan trọng trong khi giải phương trình lượng giác. Ngoài ra chúng ta còn

sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ, phương pháp đánh giá để giải phương trình

lượng giác. Sau đây là một sô phương pháp thường dùng để giải phương trình

lượng giác và một sô ví dụ minh họa.

1. Phƣơng pháp dùng các phép biến đổi

Trong phương phap nay chung ta sư dung các công thưc toán học để thu

gọn phương trình hay biến đổi phương trình thành tich.

Ví dụ 1. Giải phƣơng trình sau: cos3 sin2 sin4x x x (3.1)

Giải

cos3 sin2 sin4x x x cos3 sin 2 sin 4 0

cos3 2cos3 sin 0

x x x

x x x

cos3 (1 2sin ) 0x x

6 3cos3 0

6 32 ;( ).1

56sin22

5 62

6

x k

x x k

x k kx

x k

x k

Vậy phƣơng trình (3.1) có nghiệm: 6 3

x k

;5

26

x k

;k .

Trong vi du nay chung ta đa sư dung công thưc biê n đôi tông thanh tich đê

biên đôi phương trinh đa cho thanh phương trinh tich giai đươc.

Ví dụ 2. Giải phƣơng trình: sin5 cos3 sin6 cos2 0x x x x (3.2)

Giải:

Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng chúng ta có

1 1

sin5 cos3 sin6 cos2 0 (sin8 sin 2 ) (sin8 sin 4 ) 02 2

x x x x x x x x

sin 4 sin 2 0 sin 4 sin 2 ;

6 3

x k

x x x x kx k

Vậy phƣơng trình có nghiệm: ; ;

6 3x k x k k

Trong vi du nay chung ta đa sư dung công thưc biên đôi tich thanh tông đê

biên đôi phương trinh đa cho trơ thanh môt phương trinh giai đươc.

Tương tư như giải các phương trình đại sô đôi với mỗi phương trình chúng

ta co thê co nhiêu cach biên đôi đê hoan thanh muc tiêu la giai phương trinh , cách

biên đôi tuy vao cach sư dung công thưc cua môi ngươi lam toan va vơi mô i

phương trinh đươc cho. Chúng ta xem một cách biến đổi cua phương trình sau:

Ví dụ 3. Giải phƣơng trình :1 sin cos3 cos sin2 cos2x x x x x (3.3)

Giải:

Chúng ta có: 1 sin cos3 cos sin2 cos2x x x x x

1 sin cos3 cos sin2 cos2 0x x x x x

sin (1 cos2 ) (cos3 cos ) sin2 0x x x x x

2sin 2sin 2sin2 sin sin2 0x x x x x

sin (1 2sin ) 2sin2 (2sin 1) 0x x x x

sin (1 2sin )(1 2cos ) 0x x x

sin 0 26

1sin ; .7

2 26

1cos

2 23

x k

x x k

x kx k

xx k

Vậy phƣơng trình (3.3) có nghiệm:

7; 2 ; ; 2 ( )

6 6 3x k x k x k x k k

Ví dụ 4. Giải phƣơng trình sau: 2 2 2cos 2 cos cos 3 1x x x (3.4)

Giải:

Sử dụng công thức hạ bậc, phƣơng trình (3.4) tƣơng đƣơng với2cos2 cos4 2cos 3 0 2cos3 (cos cos3 ) 0

2cos 0

4cos cos2 cos3 0 cos2 0 ( ).4 2

cos3 0

6 3

x x x x x x

x k

x

x x x x x k k

x

x k

Vậy phƣơng trình (3.4) có nghiệm:

; ; ; .2 4 2 6 3

x k x k x k k

Ví dụ 5. Giải phƣơng trình sau: 3 3cos3 cos sin3 sin 0x x x x (3.5)

Giải:

Sử dụng công thức góc nhân ba chúng ta có:

3 cos3 3cos 3sin sin3cos ;sin3

4 4

x x x xx x

, do đó:

3

(3.3) cos3 (cos3 3cos ) sin3 (3sin sin3 ) 0

3(cos3 cos sin3 sin ) cos6 0

3cos2 cos6 0 4cos 2 0

cos2 0 , .2

x x x x x x

x x x x x

x x x

x x k k

Vậy phƣơng trình (3.5) có nghiệm: ,2

x k k

Ví dụ 6. Tìm tất cả các giá trị của a để phƣơng trình sau có nghiệm

6 6 4 4sin cos sin cosx x a x x (3.6)

Giải:

Sử dụng các công thức lƣợng giác chúng ta có

6 6 2 2 23sin cos 1 3sin cos 1 sin 2

4x x x x x

4 4 2 2 21sin cos 1 2sin cos 1 sin 2

4x x x x x

Do đó phƣơng trình (3.6) trở thành: 2 4( 1)sin 2

2 3

ax

a

, nên phƣơng trình có

nghiệm khi và chỉ khi: 4( 1) 1

0 1 12 3 2

aa

a

.

Qua việc giải các Ví dụ 4, Ví dụ 5, Ví dụ 6 chúng ta đã sử dụng công thưc

hạ bâc để giải phương trình lượng giác. Trong Ví dụ 4 chúng ta đã hạ bâc từng

nhân tử(môt sô sach tham khao goi cach ha bâc nay la "hạ bâc đơn"), Ví dụ 5

chúng ta đã hạ bâc biểu thưc có dạng 3 3cos3 cos sin3 sinA x x x x bằng cách

như trên hoặc hạ bâc bằng cách như sau( kiểu hạ bâc này một sô sách tham khảo

gọi là "hạ bâc đôi xưng")

3 3 2 2cos3 cos sin3 sin cos3 cos (1 sin ) sin3 sin (1 cos )A x x x x x x x x x x .

Áp dụng với các phương trình hỗn hợp chưa sin ;cosn nx x (Ví dụ 6) chúng

ta đã sử dụng kiểu hạ bâc con được môt sô tac gia gọi là "hạ bâc toàn cục".

Ví dụ 7. Với giá trị của a , phƣơng trình sau có duy nhất một nghiệm nằm trong

khoảng ;2

:

3 3(sin cos )sin2 sin cosx x x a x x (3.7)

Giải:

Sử dụng công thức lƣợng giác chúng ta có:

3 3 1sin cos (sin cos )(1 sin 2 )

2x x x x x

Phƣơng trình (3.7) tƣơng đƣơng với:

sin cos 0 (1)

(sin cos ) ( 2)sin 2 2 0( 2)sin 2 2 0 (2)

x xx x a x a

a x a

Trong khoảng ;2

phƣơng trình (1) có nghiệm duy nhất 3

4x

. Vậy

các giá trị a cần tìm là những giá trị a để phƣơng trình (2) không có nghiệm nằm

trong khoảng ;2

hoặc chỉ có nghiệm 3

4x

.

+) Với 2a phƣơng trình (2) vô nghiệm nên giá trị 2a thỏa mãn đề bài.

+) Với 2a chúng ta có 2

(2) sin 22

ax

a

. Vì ; 1 sin 2 0

2x x

Nên phƣơng trình (2) vô nghiệm khi và chỉ khi

20

22

21 3

2

aa

a

a a

a

Phƣơng trình (2) có nghiệm 3

4x

thì:

3 2sin 2.

4 2

a

a

2 21

2 3

aa

a

Va ngƣợc lại khi 2

3a phƣơng trình (2) trở thành sin2 1x và có nghiệm

3

4x

trong khoảng ;

2

. Do đó 2

3a thỏa mãn bài toán.

Vậy các giá trị cần tìm của a là 2

0;3

a

.

Ví dụ 8. Giải phƣơng trình: 4cos 2sin 3 cos2x x x (3.8)

Giải:

.8 (cos sin ) 3(cos sin ) 3 (cos sin )(cos sin )x x x x x x x x 3

Sử dụng đẳng thức: ( )( ) 0au bv ab uv u b a v , nên

(3.8) (cos sin 3)(cos sin 1) 0 cos sin 1x x x x x x

2

2 cos 1 ; .4 2

2

x k

x kx k

Vậy phƣơng trình (3.8) có nghiệm: 2 ; 2 ;2

x k x k k

.

Khi sư dung phep biên đôi đê giai phương trinh lương giac thưc chât la

chúng ta đã sử dụng các phep biến đổi đại sô kết hợp với công thưc lượng giác , vì

thê cach giai nhiêu phương trinh lương giac giông vơi cac h giai cua phương trinh

và hệ phương trình đại sô. Chúng ta xem xet Ví dụ 6 và bài toán:

Bai toán 1. Tìm tât ca cac gia tri cua a đê hê sau co nghiêm:

6 6 4 4

2 2

( )

1

x y a x y

x y

Chúng ta xem xet ki hơn điều này qua lời giải cua bài bài toán sau:

Bai toán 2. Giải phƣơng trình, hê phƣơng trinh sau

a)

3 3

2 2 1

x y x y

x y

b)

3 3sin cos sin cosx x x x (*)

Giải:

a) Chúng ta có 3 3 3 3 2 2 3 2 2

2 2 2 2 2 2

( )( ) 2 0 0

11 1 1

x y x y x y x y x y y yx xy y

xx y x y x y

Vây hê co nghiêm 1 1

;0 0

x x

y y

b) 3 3 3 3 2 2sin cos sin cos sin cos (sin cos )(sin cos )x x x x x x x x x x

3 2 2 2 22cos sin cos sin cos 0 cos (2cos sin sin cos ) 0x x x x x x x x x x

+) Vơi cos 0x thì ,2

x k k

la nghiệm của phƣơng trình

+) Vơi cos 0x , chia hai vê cua phƣơng trinh cho 3cos 0x ta thu đƣơc

2tan tan 2 0x x (phƣơng trinh nay vô nghiêm)ƣơng trinh

Vây phƣơng trinh (*) có nghiệm: ,2

x k k

Qua vi du trên chung ta thây môt sô phương trinh lương giac đươc giai

băng cac p hep biến đổi hoàn toàn đại sô . Mà các phep biến đổi đại sô đôi với

nhiêu ngươi trong chung ta thây quen thuôc va dê dang hơn. Đây cung la môt gơi y

để giúp chúng ta tư duy trong quá trình biến đổi, thu gon phương trinh lương giac.

Trong các phân sau cach biên đôi nay se con đươc minh hoa thêm qua môt sô vi

dụ nữa.

3.2 Phƣơng pháp đổi biến

Bằng cách đưa ra một ẩn ( )t f x thích hợp nào đo chúng ta co thể đưa

việc giải một phương trình lượng giác về giải một phương trình đại sô ẩn t (gọi là

phương trình trung gian): ( ) 0F t (*)

Chúng ta thường dùng các ẩn phụ như sau: sin ; cos ;t ax t ax

t anx; cot ;t t x sinx+cos ; sinx+cost x t x ;…

Chú ý rằng: khi đặt sin ; cos ;t ax t ax ta co điều kiện 1t và khi đặt

sin cost x x hay sin cost x x ta co điều kiện 2t .

Sau khi tìm được các nghiệm cua phương trình trung gian (*), việc giải

phương trình lượng giác đã cho se quy về việc giải các phương trình cơ bản hoặc

phương trình bâc nhất đôi với sinx và cosx dạng hay sin cosx x t (Xem thêm ở

mục 2.3 và 2.5 Phụ lục 2). Sau đây là môt sô ví dụ minh họa cho phương phap

này:

Ví dụ 9: Giải phƣơng trình sau: 2sin (tan 1) 3sin (cos sin ) 3x x x x x (3.9)

Giải:

Điều kiện xác định của phƣơng trình : cos 0x ,

Vơi điêu kiên trên chúng ta có:

2sin (tan 1) 3sin (cos sin ) 3x x x x x

2 2sin (tan 1) 3(sin xcos sin )x x x x

2 2tan (tan 1) 3(tan tan )x x x x 2(tan 1)(tan 3) 0x x

tan 1

tan 3

tan 3

x

x

x

4

;( ).3

3

x k

x k k

x k

( Thỏa mãn điều kiện)

Vậy phƣơng trình (3.9) có các nghiệm là :

; ; ;4 3 3

x k x k x k k

Chú ý: Trong phương trình (3.9), sau khi biến đổi thành phương trình chỉ

chưa một hàm lượng giác(hàm tan x) chúng ta có thể đặt t = tan x,để chuyển thành

phương trình f(t) = 0, chúng ta cung có thể coi đây là phương trình ẩn là tan x mà

không cần phải đặt t như đã trình bày ở trên.

Ví dụ 10: Giải phƣơng trình sau: 22cos (2 sin ) sin 0

2

xx x (3.10)

Giải:

Chúng ta có :22cos (2 sin ) sin 0

2

xx x 2 2(sin cos ) sin cos 0x x x x

Đặt sin cos , 2t x x t , phƣơng trình (3.10) trở thành

21(tmdk)

4 3 03( ktmdk)

tt t

t

Với 2

1 2 cos 1 cos4 4 2

t x x

2; .2

2

x kk

x k

Vậy phƣơng trình (3.10) có nghiệm: 2 ; 2 ;2

x k x k k

Ví dụ 11: Giải phƣơng trình sau: 3sin 2cos 1 1x x (3.11)

Giải:

+) Vơi sin 0

2cos 1

xx k

x

không thoa man phƣơng trình (3.11), nên

2x k không la nghiêm.

+) Vơi 2 cos 02

xx k đăt

2

2 2

2 1tan sin ;cos

2 1 1

x t tt x x

t t

ta co:

(3.11) trơ thanh:

22

2 2 2 2

1 36 2 2 61 1 1

1 1 1 1

tt t t

t t t t

2

2 2

2

2 2

1 3 00

6 1 3 13 13

1 3 02

6 1 3 1

tt

t t t

tt

t t t

Suy ra:

2tan 02

;3 132arctan 23 13

tan 22 2

x x k

kx kx

Vây phƣơng trinh (3.11) có nghiệm: 3 13

2 ; 2arctan 2 ;2

x k x k k

.

Ví dụ 12: Giải phƣơng trình sau: cos sin 1 cos sinx x x x (3.12)

Giải:

Điêu kiên: sin cos 0x x ma cos 1 sin cos sin 0x x x x

nên cos 0x , sin 0x . Đặt cos ; sin ( ; 0)u x v x u v ta co hê phƣơng trinh:

2 2 2 2 2 2

4 4 2 2 2 2 2 2 2 2

1 . 1 . 1 .

1 ( ) 2 1 (1 . ) 2 1

u v u v u v u v u v u v

u v u v u v u v u v

2 2 1 .

0

u v u v

uv

. Hê có nghiệm

0

1

v

u

(thoả mãn điều kiện)

Vây phƣơng trinh co nghiêm: sin 0

2 , .cos 1

xx k k

x

Lưu y: Đôi với những phương trình lượng giác chưa các cung và goc lượng

giác mang tính chất phưc tạp chúng ta có thể dùng phương pháp biến đổi để giải

phương trình lượng giác nhưng quá trình biến đổi này dễ gặp sai sot. Để tránh

những sai sot đáng tiếc chúng ta có thể sử dụng phương pháp đổi biến để biên

đôi phương trình ban đầu về phương trình chưa các cung ;2 ;3 ;...;t t t kt rồi sử dụng

công thưc goc nhân đôi; nhân ba, …. Xem xet môt sô vi dụ minh hoa sau:

Ví dụ 13: Giải phƣơng trình: 38cos cos3

3x x

(3.13)

Giải

Đặt 3 33

t x x t

, phƣơng trình (3.13) trở thành

3 3 3 38cos cos(3 ) 8cos cos3 8cos (4cos 3cos )

cos 02

(1 2cos2 )cos 0 1cos2

23

6

23 2; .

3

3 3

t t t t t t t

t t k

t tt

t k

x k

x k

x k k

x kx k

Vậy phƣơng trình (3.13) có nghiệm 2

; ; ;6 3

x k x k x k k

Ví dụ 14: Giải phƣơng trình: 632cos sin6 14

x x

(3.14)

Giải

Đặt 3

6 64 2

t x x t

, phƣơng trình (3.14) trở thành

3

6 3 1 cos232cos sin 6 1 32 cos6 1

2 2

tt t t

2 3 34(1 3cos2 3cos 2 cos 2 ) (4cos 2 3cos2 ) 0t t t t t

2

cos2 1

4cos 2 5cos2 1 0 21 1cos2 ( cos2 )

4 4

tt k

t tt

t k

4 2 4; .

4 4

x k x k

k

x k x k

( Với : 1

cos24

)

Vậy phƣơng trình (3.14) có nghiệm: ; ;4 4

x k x k k

,

Ví dụ 15: Giải phƣơng trình: 2 4cos cos

3

xx (3.15)

Giải

Chúng ta có: 2 1 1 2cos (1 cos2 ) 1 cos 3.

2 2 3

xx x

Đặt 2

3

xt , Phƣơng trình (3.15) trở thành:

3 2

3 2

1(1 cos3 ) cos2 1 4cos 3cos 2(2cos 1)

2

4cos 4cos 3cos 3 0 (cos 1)(2cos2 1) 0

2cos 1 2 32

3; .1 3

2cos22 12 4 2

3 12

t t t t t

t t t t t

xt t k x kk

kxt t k x k

k

Vậy phƣơng trình (3.15) có nghiệm: 3

3 ; ;4 2

x k x k k

.

Ví dụ 16: Giải phƣơng trình: 2 3 41 2cos 3cos

5 5

x x (3.16)

Giải

Chúng ta có : 2 3 1 6 1 2

cos 1 cos 1 cos 3.5 2 5 2 5

x x x

Đặt 2

5

xt , Phƣơng trình (3.16) trở thành

3 21 1 cos3 3cos2 2 4cos 3cos 3(2cos 1)t t t t t

2

cos 1

1 21 1 21(cos 1)(4cos 2cos 5) 0 cos ; cos

4 4

1 21cos

4

252

2 5( )5

2 2 52 2

5

t

t t t t

t

xx kk

t kk

t k x x kk

Vây phƣơng trinh (3.16) có nghiệm:

5 1 215 ; 5 ;cos ;( ).

2 4x k x k k

3.3 Phƣơng pháp đánh giá

Trong phương phap nay chu ng ta se sư dung cac bât đ ăng thưc đại sô hay

lương giac , hoăc tinh chât c ua hàm sô để so sánh , đanh gia hai vê cua phương

trình và đi đến kết luân phương trình chỉ đúng khi và chỉ khi dâu đăng thưccua các

bât đăng thưc xảy ra.

Phương pháp này được áp dụng khi giải một sô phương trình lượng giác thuộc

loại "không mẫu mực" . Chúng ta đánh giá phương trình dựa trên các dạng:

Tính chất cua các hàm sô và biểu thưc

Phương trình lượng giác dạng Pitago

Sử dụng bất đăng thưc Trung bình cộng – trung bình nhân

Sử dụng bất đăng thưc Bunhiacopski

…

Chúng ta se minh họa phương pháp này thông qua một sô ví dụ sau:

Ví dụ 17: Giải phƣơng trình: 7 4cos sin 1x x (3.17)

Giải:

Chúng ta có:

4 2

7 2

4 7 2 2

sinx 1 sin sin

cos 1 cos cos

sin cos sin cos 1

x x

x x x

x x x x

.

Nên:

7 2

7 4

4 2

4 2

cos 0cos cos

cos 1cos sin 1sin sin

sin sin

xx x

xx xx x

x x

4 2 2

4 2 2

cos 0 cos 0

sin sin sin 1, .2

cos 1 cos 12

sin sin sin 0

x x

x x x x kk

x xx k

x x x

Vậy phƣơng trình (3.17) có hai họ nghiệm là: 2 ; ; .2

x k x k k

Ví dụ 18 : Giải phƣơng trình: 20 20sin cos 1x x (3.18)

Giải:

Chúng ta có:

20 2

20 20 2 2

20 2

sin 1 sin sinsin cos sin cos 1

cos 1 cos cos

x x xx x x x

x x x

Nên:

20 2

20 20 2

20 2

20 2

sin 0sin sin

sin cos 1 sin 1cos cos

cos cos

xx x

x x xx x

x x

2

2

sin 0

cos 1; .

2sin 1

cos 0

x

xx k k

x

x

Vậy phƣơng trình (3.18) có nghiệm: ;2

x k k

.

Ví dụ 19: Giải phƣơng trình : 4 41 1sin cos

2 3x x (3.19)

Giải :

Sử dụng bất đẳng thức :

2

2 2 2 33

a b ca b c

, đẳng thức xảy ra khi và chỉ

khi a b c , chúng ta có :

2 2

24 4 2 2 2

2 2 2

1 1 1sin cos sin cos cos

2 2 2

1 1sin cos cos

12 2 33 3

x x x x x

x x x

Dấu " = " khi và chỉ khi

2

2 2cos 1 1 1 1sin sin cos2 arccos , .

2 3 3 2 3

xx x x x k k

Vậy phƣơng trình (3.19) có nghiệm: 1 1

arccos , .2 3

x k k

Ví dụ 20: Giải phƣơng trình: 2

2 2sin 3sin sin sin 3

4

xx x x (3.20)

Giải:

+) Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng-trung bình nhân chúng ta có:

2 2

2 2sin 3 sin 3sin 2 sin sin sin3 (*)

4 4

x xx x x x

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 2

2 sin 3sin

4

xx

+) Vì sin sinx x và 2sin3 sin 3x x nên (*) 2

2 2sin 3sin sin sin 3

4

xx x x

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:

2 2

2 2

2

sin 3 sin 3sin sin

4 4 sin 0

sin sin sin sin 2 ; .16sin

2sin3 sin 3 sin3 0 52

sin3 1 6

x xx kx x

x

x x x x x k kx

x x xx k

x

Vậy phƣơng trình (3.20) có nghiệm: 5

; 2 ; 2 ;6 6

x k x k x k k

.

Ví dụ 21: Giải phƣơng trình : 2 88cot 2tan 10x x (3.21)

Giải

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 10 số hạng không âm 2cot x chúng ta có: 2 8 2 2 2 8 8

16 1610

8cot 2tan cot cot ... cot tan tan

10 cot .tan 10

x x x x x x x

x x

Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi : 2 8cot tan , .

4 2x x x k k

Dó đó (3.21) ⇔ 2 8 2 88cot 2tan 10 cot tan , .4 2

x x x x x k k

Vậy phƣơng trình (3.21) có nghiệm ,4 2

x k k

.

Ví dụ 22: Giải phƣơng trình: 2 2 2 2cos 4 cos 8 sin 12 sin 16 2x x x x (3.22)

Giải

2 2 2 2

2 2 2 2

.22 1 sin 4 1 sin 8 sin 12 sin 16 2

sin 4 sin 8 sin 12 sin 16 0

sin 4 0

sin8 0sin 4 0 , .

sin12 0 4

sin16 0

x x x x

x x x x

x

x kx x k

x

x

3

Vậy phƣơng trình (3.22) có nghiệm: ,4

kx k

Ví dụ 23: Giải phƣơng trình: (sin 3cos )sin3 2x x x (3.23)

Giải

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki chúng ta có:

2

2 2 2sin 3cos sin cos 1 ( 3)x x x x

sin 3cos 2x x

Vì : sin 3cos 2

(sin 3cos )sin3 2sin3 1

x xx x x

x

Do đó phƣơng trình (3.23) tƣơng đƣơng với:

sin 1sin 3 cos 2 3

sin3 1 sin3 1

sin 3 cos 2sin 1

3sin3 1

sin3 1

xx x

x x

x xx

x

x

26

, .5 6

26

x k

x k k

x k

.

Vậy phƣơng trình (3.23) có nghiệm: ,6

x k k

.

Ví dụ 24: Giải phƣơng trình: 6 6

10 10

2

1 sin cos(sin cos )

4 sin 2 4cos2

x xx x

x x

(3.24)

Giải

Chúng ta có 6 6 2 2

3.24 2 2 2 2

22 2

2 2

sin cos 1 3sin cosVP

sin 2 4cos2 4(cos 2 sin 2 ) 3sin 2

31 sin 2

1 3sin cos 14 .4 3sin 2 4 3sin 2 4

x x x x

x x x x x

xx x

x x

Mà :

10 2

10 2

sin 1 cos cos

cos 1 sin sin

x x x

x x x

10 10 2 2

3.24

1 1 1VT (sin cos ) (sin cos )

4 4 4x x x x

Do đó phƣơng trình (3.24) tƣơng đƣơng với 10 2

10 10

10 2

sin sin1 1(sin cos ) , .

4 4 2cos cos

x x kx x x k

x x

Vậy phƣơng trình (3.24) có nghiệm: ,2

kx k

.

Ví dụ 25: Giải phƣơng trình: 2 2sin 2 sin sin 2 sin 3x x x x (3.25)

Giải:

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki chúng ta có

2

2 2 2

3.25

2 2 2 2

(VT ) 1.sin 2 sin .1 sin . 2 sin

1 (2 sin ) sin sin 1 (2 sin ) 3.3 9.

x x x x

x x x x

3.25VT 3

" 3.25 3.25VT VP " xảy ra khi và chỉ khi : sin 1 2 , .

2x x k k

Vậy phƣơng trình (3.25) có nghiệm: 2 ,2

x k k

.

Ví dụ 26: Giải phƣơng trình, hê phƣơng trinh sau

a)

5 5

2 2 1

x y y x

x y

b)

5 5cos sin sin cosx x x x (3.26)

Giải:

a)

5 5 5 5

2 2 2 2

(1)

1 1 (2)

x y y x x x y y

x y x y

+) Vơi 5 5 5 5x y x y x x y y suy ra phƣơng trình (1) vô nghiêm

+) Vơi 5 5 5 5x y x y x x y y suy ra phƣơng trinh (1) vô nghiêm

Do đo tƣ (1) suy ra x = y; vây hê co nghiêm: 2

;2

x y hoăc 2

2x y .

b)5 5 5 5cos sin sin cos cos cos sin sin (*)x x x x x x x x

5 5)cos sin cos cos sin sinx x x x x x suy ra phƣơng trinh (*) vô nghiêm

5 5)cos sin cos cos sin sinx x x x x x suy ra phƣơng trinh (*) vô nghiêm

Vây phƣơng trinh (3.26) đung khi va chi khi:

sin cos tan 1 ; .4

x x x x k k

Trên đây la 3 phương phap thương sư dung trong viêc giai phương tri nh

lương giac vơi 26 vi dụ minh hoạ cho các phương pháp này . Thông qua cac vi du

ngươi hoc va lam toan se đúc rút được các ki năng ki thuât giải phương trình

lương giac cho riêng minh. Bên canh đo tôi cung đa cô găng trình bày một sô vi dụ

để thấy được rằng phương trình lượng giác không hề tách riêng biệt mà no thông

nhât chung trong chu đê " Phương trinh, bât phương trinh", chu đề này chiếm một vị

tri cực kì quan trọng và không thể t hiêu trong cac giao trinh giang day toan hiên

nay. Phân sau thông qua viêc trinh bay môt sô dang bai tâp vê phương trinh lương

giác se giúp các em học sinh "gân gui" vơi đê thi hơn va tư tin khi giai đê thi.

B. MÔT SÔ DA NG BÀI TẬP "GIẢI PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC"

TRONG CÁC ĐỀ THI TUYỂN SINH CAO ĐẲNG ĐẠI HỌC

Bài 1.Giải phƣơng trình sau 2

sin cos 3cos 22 2

x xx

(4.1)

Giải 2

sin cos 3cos 2 1 2sin cos 3cos 22 2 2 2

1 3 1sin 3cos 1 sin cos cos cos

2 2 2 6 3

2 26 3 2

( ).

2266 3

x x x xx x

x x x x x

x k x k

k

x kx k

Vậy phƣơng trình (4.1) có nghiệm: 2 ; 2 ( ).2 6

x k x k k

Bài 2. Giải phƣơng trình sau

(1 2sin )cos3

(1 2sin )(1 sin )

x x

x x

(4.2)

Giải

Điều kiện: 1

sin2

x và sin 1x (*)

24.2 cos sin2 3(1 2sin 2sin sin )x x x x x

cos sin2 3(cos2 sin )x x x x

cos 3sin sin2 3cos2x x x x

22

cos cos 2 ( )23 6

18 3

x k

x x k

x k

Kiểm tra điều kiện (*) chúng ta có 22

x k

không thỏa mãn.

Vậy phƣơng trình có nghiệm: 2

( )18 3

x k k

.

Bài 3. Giải phƣơng trình sau 3sin cos sin2 3cos3 2(cos4 sin )x x x x x x (4.3)

Giải

2 34.3 sin 2sin cos 3cos3 2cos4 2sinx x x x x x

2 2sin 2sin (cos sin ) 3cos3 2cos4x x x x x x

sin 2sin cos2 3cos3 2cos4x x x x x

sin sin3 sin 3cos3 2cos4x x x x x

1 3

sin3 3cos3 2cos4 sin3 cos3 cos42 2

x x x x x x

2

42 7cos 3 cos4 ( ).

6

6

x k

x x k

x k

Vậy phƣơng trình (4.3) có nghiệm: 2

; ;( ).42 7 6

x k x k k

Bài 4. Giải phƣơng trình sau

3cos5 2sin3 cos2 sin 0x x x x (4.4)

Giải

4.4 3cos5 (sin5 sin ) sinx 0x x x

3 13cos5 sin5 2sin cos5 sin5 sin

2 2x x x x x x

18 3cos 5 cos ( ).

6 2

6 2

x k

x x k

x k

Vậy phƣơng trình (4.4) có nghiệm ; ;( )18 3 6 2

x k k k

Bài 5. Giải phƣơng trình sau 4 44(sin cos ) 3sin4 2x x x (4.5)

Giải

Chúng ta có 4 4 21 3 1

sin cos 1 sin 2 cos42 4 4

x x x x nên

3 1(4.5) 4 cos4 3sin 4 2

4 4x x

1 3 1 2cos4 sin 4 cos 4 cos

2 2 2 3 3x x x

4 2( ).

12 2

x k

k

x k

Vậy phƣơng trình có nghiệm: 4 2

x k

; ;( ).12 2

x k k

Bài 6. Giải phƣơng trình: 2 2(sin cos )cos 3 cos2x x x x (4.6)

Giải

2(4.6) 2 2sin cos 2 2 cos 3 cos2x x x x

2sin2 ( 2 1)cos2 3 2x x

Đây la phƣơng trình có dạng:

sin2 cos2a x b x c với 2; 2 1;a b 3 2c

Vì 2 2 25 2 2 7 6 2a b c nên phƣơng trình (4.6) vô nghiệm.

Bài 7. Giải phƣơng trình: 1 3 sin 1 3 cos 2x x (4.7)

Giải

Khi cos 02

x thì

sin 0

cos 1

x

x

nên (4.7) trở thành

3 1 2 x không là nghiệm của (4.7).

Với cos 02

x đặt tan

2

xt

thì chúng ta có:

2

2 2

2 1sin ;cos

1 1

t tx x

t t

. Do đó:

2

2 2

2 1(4.7) (1 3) (1 3) 2

1 1

t t

t t

2(3 3) 2 1 3 1 3 0t t

1( tan )

63

1 3 5( tan tan )

3 4 121 3

t

t

1* tan tan 2 , .

2 6 33

xt x k k

1 3 5 5* tan tan 2 , .

2 12 61 3

xt x k k

Vậy phƣơng trình (4.7) có nghiệm: 23

x k

; 5

2 ,6

x k k

.

Bài 8. Tìm m để phƣơng trình (4.8) có nghiệm thuộc đoạn ;2 2

.

2sin cos 1x m x m (4.8)

Giải

+) Khi cos 02

x thì

sin 0

cos 1

x

x

nên (4.8) trở thành

1 0 x không là nghiệm của (4.8).

+) Với cos 02

x đặt tan

2

xt

thì chúng ta có:

2

2 2

2 1sin ;cos

1 1

t tx x

t t

. Do đó:

2

2

2 2

2 1(4.8) 2 1 4 1 2 0 (*)

1 1

t tm m t t m

t t

Vì ;2 2

x

4 2 4

x và tan

2

xy là hàm số đồng biến trong khoảng

;2 2

nên 4 2 4

x thì 1 tan 1

2

x nghĩa la 1t .

Để (4.8) có nghiệm thuộc ;2 2

thì (*) có nghiệm t, 1t mà

2(*) 4 1 2t t m

Xét 2( ) 4 1f t t t trên 1;1 có

X - -1 1 2 +

f(t) - +

(*) có nghiệm t mà 1t khi và chỉ khi 2 2 6 1 2 3m m

Vậy 1 2 3m thì (4.8) có nghiệm thuộc ;2 2

.

Bài 9. Giải phƣơng trình sau 3 3 2 2sin 3cos sin .cos 3sin .cosx x x x x x (4.9)

Giải

+) Với ,2

x k k

thì cos 0x , phƣơng trình (4.9) trở thành:

sin 0x x (Vì 2 2sin cos 1x x )

nên ,2

x k k

không là nghiệm của (4.9)

+) Chia cả hai vế của (4.9) cho 2cos 0x chúng ta có

3 2(4.9) tan 3 tan 3 tanx x x 3 2tan 3 tan tan 3 0x x x

6 -2

-3

tan 1

tan 1

tan 3

x

x

x

4

4 2( ).

4

3

3

x k

x k

x k k

x k

x k

Vậy phƣơng trình (4.9) có các nghiệm là ; ( )4 2 3

x k x k k

.

Bài 10. Giải phƣơng trình sau: 38cos cos3 3

x x

(4.10)

Giải

Sử dụng công thức góc nhân ba , chúng ta có :

(4.10) 2 cos3 3cos cos33 3

x x x

2cos(3 ) 6cos cos33

x x x

6cos 3cos3 03

x x

3cos 3 3sin 3cos3 0x x x 34cos 4cos 3sin 0x x x (*)

+) Khi cos 0 (*) :sin 0 .x x x

+) Khi 2 2

1 1cos 0 (*) 4 4. 3 tan 0

cos cosx x

x x

2 24 4. 1 tan 3 tan 1 tan 0x x x

3 23 tan 4tan 3 tan 0x x x

tan 0

1tan ( ).

33

tan 36

x x k

x x k k

x x k

Vậy phƣơng trình (4.10) có nghiệm ; ; ( ).6 3

x k x k x k k

Bài 11. Giải phƣơng trình: 3sin cos 4sin 0x x x (4.11)

Giải

+) Khi 2

sin 0

cos 0 (4.11) :sin (1 4sin ) 0 .1sin

2

x

x x x xx

+) Khi 2

3 2

sin 1cos 0 (4.11) 4tan 0

cos cos

xx x

x x

2 2 3tan (1 tan ) (1 tan ) 4tan 0x x x x

2(tan 1)(3tan 2tan 1) 0x x x

tan 1 , .4

x x k k

Vậy phƣơng trình (4.11) có nghiệm , .4

x k k

Bài 12. Tìm m để phƣơng trình sau có nghiệm: 2 2sin (2 2)sin cos ( 1)cosx m x x m x m (4.12)

Giải

1 cos2 sin 2 1 cos2(4.12) (2 2) ( 1)

2 2 2

x x xm m m

(2 2)sin2 ( 2)cos2 3m x m x m

Do đó (4.12) có nghiệm khi và chỉ khi 2 2 2 2(2 2) ( 2) 9 4 4 8 0 2 1.m m m m m m

Vậy phƣơng trình (4.12) có nghiệm khi 2 1.m

Bài 13. Cho phƣơng trình:2cos 4sin cos 2 0m x x x m (4.13)

Tìm m để phƣơng trình có nghiệm thuộc khoảng 0;4

Giải

Chúng ta có: tany x là hàm số đồng biến trong khoảng ;2 2

nên

0; 0 tan 1 cos 0, 0;4 4

x x x x

Chia hai vế của phƣơng trình (4.13) cho 2cos 0x chúng ta có

2

sin 24 0

cos cos

x mm

x x

2( 2) tan 4tan 2 2 0m x x m

2

2

2tan 4tan 2

tan 2

x xm

x

(*)

Để phƣơng trình (4.3) có nghiệm thuộc 0;4

thì (*) có nghiệm tan (0;1)t x

Xét 2

2

2 4 2( )

2

t tf t

t

2

2 2

( 2)'( )

( 2)

t tf t

t

1'( ) 0

2

tf t

t

Bảng biến thiên:

t - -1 0 1 2 +

'( )f t - 0 + + + 0 -

f(t) - 9

2

+

(*) có nghiệm có nghiệm tan (0;1)t x khi và chỉ khi 8

13

m

Vậy 8

13

m thì phƣơng trình (4.13) có nghiệm thuộc khoảng 0;4

.

Bài 14. Giải các phƣơng trình: 2 2(1 sin )cos (1 cos )sin 1 sin2x x x x x (4.14)

Giải

(4.14) sin cos sin .cos (sin cos ) 1 2sin cosx x x x x x x x (*)

Đặt2 1

sin cos ( 2) sin cos2

tt x x t x x

, thì (*) trở thành

2 2

20( )1 1

1 2 ( 2 1) 01( )2 2

t tmt tt t t t t

t tm

+) Với 3

0 cos sin 0 2 cos 04 4

t x x x x k

; .k

+) Với

21

1 cos sin 1 cos4 22

2

x k

t x x xx k

( .k )

Vậy phƣơng trình (4.14) có nghiệm: 2x k ; 22

x k

;3

4x k

; .k

Bài 15. Giải các phƣơng trình sau: 3 3 3

1 sin cos sin 22

x x x (4.15)

Giải

3 3 3(4.15) 1 sin cos sin 2

2x x x

1 (sin cos )(1 sin cos ) 3sin cosx x x x x x (*)

Đặt2 1

sin cos ( 2) sin cos2

tt x x t x x

, thì (*) trở thành

2 2

3 21 11 (1 ) 3 3 3 5 0

2 2

t tt t t t

21( )

( 1)( 2 5) 01 6( : 2)

t tmt t t

t ktm t

0 1

8

3

+) Với

21

1 cos sin 1 cos4 22

2

x k

t x x xx k

( .k )

Vậy phƣơng trình (4.15) có nghiệm: 2x k ; 22

x k

; .k

Bài 16. Giải phƣơng trình sau: sin cos 4sin2 1x x x (4.16)

Giải

Đặt sin cos ( 2)t x x t , khi đó 21

sin cos2

tx x

, phƣơng trình (4.16) trở

thành:

2

2

2

0

2 3 0 1( )2( 1) 1

1( )0

2 3 0

t

t t t tmt t

t tmt

t t

+) Với

21

1 sin cos 1 cos4 22

2

x k

t x x xx k

+) Với

21

1 sin cos 1 cos4 22

2

x k

t x x xx k

Vậy phƣơng trình (4.16) có nghiệm: , .2

x k k

Bài 17. Tìm m để phƣơng trình sau có nghiệm: 3 3sin cosx x m (4.17)

Giải

(4.17) (sin cos )(1 sin cos )x x x x m (*)

Đặt sin cos ( 2)t x x t , khi đó 21

sin cos2

tx x

, thì (4.17) trở thành:

2

311 3 2

2

tt m t t m

(*)

Để phƣơng trình (4.17) có nghiệm thì (*) có nghiệm ; 2t t

Xét 3 2( ) 3 ; '( ) 3 3f t t t f t t

1

'( ) 01

tf t

t

Bảng biến thiên:

x - - 2 -1 1 2 +

'( )f t - - 0 + 0 - -

f(t)

+ 2

-2 +

(*) có nghiệm có nghiệm ; 2t t khi và chỉ khi 2 2 2 1 1m m

Vậy: 1 1m thì phƣơng trình (4.17) có nghiệm.

Bài 18. Tìm nghiệm thuộc khoảng (0;2 ) của phƣơng trình:

cos3 sin3

5 sinx 3 cos21 2sin 2

x xx

x

(4.18)

Giải

Điều kiện: 1

sin 22

x

(4.17)sin 2sin sin2x+cos3 sin3

5 3 cos21 2sin 2

x x x xx

x

2sin cos cos3 cos3 sin35 3 2cos 1

1 2sin 2

x x x x xx

x

2sin sin3 cos5 2 2cos

1 2sin 2

x x xx

x

2 25cos 2 2cos 2cos 5cos 2 0x x x x

cos 2

2 ,13cos coscos

32

xx

x k kxx

(thỏa mãn đk)

+)

(0;2 )

032 ,

3

x

k xx k k

+)

(0;2 )5

132 ,

3

x

k xx k k

Vậy nghiệm thuộc khoảng (0;2 ) của phƣơng trình (4.18) là : 5

;3 3

x x

Bài 19. Tìm nghiệm thuộc đoạn [0;14]của phƣơng trình

cos3 4cos2 3cos 4 0x x x (4.19)

Giải 3 2(4.19) 4cos 3cos 4(2cos 1) 3cos 4 0x x x x

2 - 2

24cos (cos 2) 0 cos 0 ,2

x x x x k k

{0;1;2;3},

2 3 5 7; ; ;

[0;14] 2 2 2 2

kx k k

xx

Vậy phƣơng trình (4.19) có nghiệm 3 5 7

; ; ;2 2 2 2

x

.

Bài 20. Cho phƣơng trình : 2 3

2

2

cos cos 1cos2 tan

cos

x xx x

x

(4.20)

Tìm tổng các nghiệm của phƣơng trình trên đoạn 1;70 .

Giải

Điều kiện cos 0x (*) 2 3

2

2 2

1 cos cos 1(4.20) 2cos 1 2cos cos 1 0

cos cos

x xx x x

x x

2cos 12

, ( )13 32cos

32

x kx

x k k tmdkx kx

+)

2 {0;1;2;3;...;31;32},

3 3 2

1;70 3 3

kx k k

x kx

+) Có 33 nghiệm có dạng 2

3 3x k

với {0;1;2;3;...;31;32}k của

phƣơng trình (4.20) trên đoạn 1;70 . Do đó tổng S của các nghiệm là tổng của 33

số hạng đầu tiên của cấp số cộng có 1 33

2; 32. ; 33

3 3 3u u n

nên

232. 33: 2 363 .

3 3 3S

C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN (MÔT SÔ BAI TOAN LƢƠNG GIAC TRONG

CÁC ĐỀ THI TUYÊN SINH VAO ĐAI HOC VA CAO ĐĂNG 2002-2012)

Bài 1[Đại học – Cao đăng khối A-2002]. Tìm nghiệm thuộc khoảng (0;2 ) của

phƣơng trình: cos3 sin3

5 sin cos2 31 2sin 2

x xx x

x

.

Bài 2[Đại học – Cao đăng khối B-2002]. Giải phƣơng trình: 2 2 2 2sin 3 cos 4 sin 5 cos 6x x x x .

Bài 3[Đại học – Cao đăng khối D-2002]. Tìm [0;14]x nghiêm đung phƣơng

trình: cos3 4cos2 3cos 4 0x x x .

Bài 4. Giải phƣơng trình:

a)[Đại học – Cao đăng khối A-2003]: 2cos2 1cot 1 sin sin 2

1 tan 2

xx x x

x

;

b)[Đại học – Cao đăng khối B-2003]: 2

cot tan 4sin 2sin 2

x x xx

;

c)[Đại học – Cao đăng khối D-2003]: 2 2 2sin tan cos 0.2 4 2

x xx

Bài 5. Giải phƣơng trình sau:

a)[Đại học – Cao đăng khối B-2004]: 25sin 2 3(1 sin ) tanx x x ;

b)[Đại học – Cao đăng khối D-2004]: (2cos 1)(2sin cos ) sin2 sinx x x x x .

Bài 6. Giải phƣơng trình sau

a)[Đại học – Cao đăng khối A-2005]: 2 2cos 3 cos2 cos 0x x x ;

b)[Đại học – Cao đăng khối B-2005]: 1 sin cos sin2 cos2 0x x x x ;

c)[Đại học – Cao đăng khối D-2005]:

4 4 3cos sin cos sin 3 0

4 4 2x x x x

.

Bai 7. Giải phƣơng trình sau:

a)[Đại học – Cao đăng khối A-2006]:6 62(cos sin ) sin cos

02 2sin

x x x x

x

;

b)[Đại học – Cao đăng khối B-2006]: cot sin 1 tan tan 42

xx x x

;

c)[Đại học – Cao đăng khối D-2006]: cos3x+cos2xcosx1=0.

Bài 8. Giải phƣơng trình:

a)[Đại học – Cao đăng khối A-2007]: 2 2(1 sin )cos (1 cos )sin 1 sin2x x x x x

b)[Đại học – Cao đăng khối B-2007]: 22sin 2 sin7 1 sinx x x ;

c)[Đại học – Cao đăng khối D-2007]:

2

sin cos 3cos 22 2

x xx

.

Bài 9. Giải phƣơng trình:

a)[Đại học – Cao đăng khối A-2008]: 1 1 7

4sin3sin 4

sin2

xx

x

b)[Đại học–Cao đăng khối B-2008]: 3 3 2 2sin 3cos sin cos 3sin cosx x x x x x

c)[Đại học – Cao đăng khối D-2008]: 2sinx(1 + cos2x) + sin2x = 1+2cosx.

Bài 10. Giải phƣơng trình:

a)[Đại học – Cao đăng khối A-2009]:

1 2sin cos3

1 2sin 1 sin

x x

x x

b)[Đại học–Cao đăng khối B-2009]:

3sin cos sin2 3cos3 2 cos4 sinx x x x x x

c)[Đại học – Cao đăng khối D-2009]: 3cos5 2sin3 cos2 sin 0x x x x

Bài 11. Giải phƣơng trình:

a)[Đại học – Cao đăng khối A-2010]:

(1 sin cos2 )sin14

cos1 tan 2

x x x

xx

b)[Đại học–Cao đăng khối B-2010]: (sin 2x + cos2x)cosx + 2cos2x - sinx = 0

c)[Đại học – Cao đăng khối D-2010]: sin 2x –cos 2x + 3sinx – cos x -1 = 0

Bài 12. Giải phƣơng trình:

a)[Đại học – Cao đăng khối A-2011]: 2

1 sin 2 cos22 sin sin 2

1 cot

x xx x

x

b)[Đại học–Cao đăng khối B-2011]: sin2 cos sin cos cos2 sin cosx x x x x x x

c)[Đại học – Cao đăng khối D-2011]: sin 2 2cos sin 1

0tan 3

x x x

x

Bài 13. Giải phƣơng trình:

a)[Đại học – Cao đăng khối A-2012]: 3sin2 cos2 2cos 1x x x

b)[Đại học–Cao đăng khối B-2012]: 2(cos 3sin )cos cos 3sin 1x x x x x

c)[Đại học – Cao đăng khối D-2012]: sin3 cos3 sin cos 2 cos2x x x x x

D. KẾT QUẢ CỦA QUÁ TRÌNH VẬN DỤNG

Thông qua việc triển khai và hƣớng dẫn học sinh khối 11 của nha trƣờng học

tập theo chuyên đề, các em học sinh đã vận dụng và phân loại đƣợc các dạng bài

toán giải phƣơng trình lƣơng giac . Các em đã hiểu bản chất của công việc từ đó

dẫn tới lời giải đúng va biết trình bày phù hợp với yêu cầu bai toán hơn so với khi

chƣa học. Sau khi áp dụng cho học sinh khối lớp 11 những năm học trƣớc đến

năm học nay tôi đã đề nghị va đƣợc tổ chuyên môn cùng các giáo viên bộ môn vận

dụng đề tài trong quá trình giảng dạy chƣơng 1, đai sô va giải tích lớp 11 va ôn tập

chuyên đê cho cac em hoc sinh luyên thi đai hoc , sau đó khảo sát kết quả học tập

và tiếp thu kiến thức, kĩ năng của học sinh thông qua bài kiểm tra 45 phút. Kết quả

nhƣ sau:

Điểm khảo sát chuyên đê giai phương trinh lương giac của học sinh

Năm hoc 2010-2011

Bảng 3

Điểm khảo sát chuyên đê giai phương trinh lương giac của học sinh

Năm hoc 2011-2012

Bảng 4

So sánh với kết quả Bảng 3; Bảng 4 vơi Bảng 1 với Bảng 2 tôi thấy học

sinh sau khi học chuyên đề kết quả học tập của chuyên đê đƣợc nâng lên rõ rệt.

Các em đã phân loại đúng dạng bài tập và trình bày tốt hơn, tuy nhiên còn nhiều

em kĩ năng còn thiếu và quá yếu cần phải luyện nhiều hơn để việc tính toán và giải

toán có hiệu quả tốt hơn.

Sĩ số Giỏi Khá TB Yếu Kém TB↑

Sl Tl % Sl Tl % Sl Tl % Sl Tl % Sl Tl % Sl Tl %

217 11 5,1 25 11,5 97 44,7 61 28,1 23 10,6 133 61,3

Sĩ số Giỏi Khá TB Yếu Kém TB↑

Sl Tl % Sl Tl % Sl Tl % Sl Tl % Sl Tl % Sl Tl %

205 15 7,3 14 6,2 87 42,3 51 24,9 38 18,5 116 56,6

PHẦN III: KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ

1. Kết luận

Chuyên đề đã hoan thanh tốt mục tiêu nghiên cứu đó la:

Nghiên cứu và trình bày có hệ thống những kiến thức cơ bản liên quan đến

nội dung của đề tài.

Nghiên cứu và trình bày có hệ thống đầy đủ kiến thức để giải quyết bài

toán giải phƣơng trình lƣợng giác qua đó có phân tích va nêu những sai lầm

hay mắc phải để học sinh khắc sâu kiến thức và phân loại tốt các dạng toán.

Nghiên cứu một số bài toán giải phƣơng trình lƣợng giác vận dụng trong

chƣơng trình ở cấp độ cao vâ dung giai toan thi tuyển sinh đại học.

Thông qua việc nghiên cứu nhằm nâng cao nghiệp vụ chuyên môn và rút

kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy, hƣớng dẫn học sinh giải quyết bài

toán này một cách rõ ràng và chắc chắn về kiến thức. Đồng thời nhằm nâng

cao chất lƣợng hiệu quả của quá trình giảng dạy và học tập của học sinh lớp

11,12 mở rộng kiến thức cho học sinh nhằm phát huy tinh thần tự giác học

tập cũng nhƣ khả năng sáng tạo trong học tập của học sinh để các em tự tin

đạt thành tích cao trong các kì thi tuyển sinh.

2. Khuyến nghị

Tổ Toán của trƣờng THPT Trần Nhật Duật đã tổ chức sinh hoạt chuyên

môn, toàn thể giáo viên trong tổ đã nghe báo cáo về chuyên đề va chuyên đề đã

đƣợc đánh giá có chất lƣợng và khả năng áp dụng cao. Nội dung chuyên đề là

thiết thực và cần thiết với chƣơng trình giảng dạy va cũng đã áp dụng trong học

kì 1 năm học 2012-2013 và nhiều năm học trƣớc thu đƣợc kết quả tốt. Vì vậy

giáo viên bộ môn toán của trƣờng giới thiệu va hƣớng dẫn học sinh khối 11và

khối 12, học sinh luyện thi đại học tham khảo trong quá trình học tập.

Sở giáo dục va đao tạo tỉnh xem xét tổ chức buổi sinh hoạt chuyên môn

thƣờng xuyên cho giáo viên để báo cáo những chuyên đề có kết quả cao thông

qua đó các đồng chí giáo viên có cơ hội trao đổi kinh nghiệm va giao lƣu học

hỏi về chuyên môn.

Chuyên đề trên là kết quả của quá trình nghiên cứu và giảng dạy của ca nhân

tôi cùng với những ý kiến đóng góp của đồng nghiệp tổ toán trƣơng THPT Trân

Nhât Duât. Rất mong sự đóng góp để chuyên đề đƣợc hoàn thiện hơn. Xin chân

thành cảm ơn.

Yên Bình, Ngày 12 tháng 12 năm 2012.

Ngƣời viết

Hồ Hải Hà

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] PGS. TS Đậu Thế Cấp, Tuyên chon 400 bài tâp toán 11,

NXB ĐHQG Thanh phô Hô Chi Minh, năm 2008.

[2] Lê Hông Đƣc, Đê hoc tôt đai sô va giai tich 11, NXB Ha Nội, năm 2007.

[3] Phan Huy Khai, Phương trinh va bât phương trinh,

NXB Giáo Dục Việt Nam, năm 2012.

[4] Nguyên Xuân Liêm, Bài tâp nâng cao và một sô chuyên đề Đại sô và giải

tich 11, NXB Giáo Dục Việt Nam , năm 2010.

[5] Trân Phƣơng, Tuyển tâp các chuyên đề luyện thi Đại học môn Toán Phương

trình lượng giác, NXB Hà Nội, năm 2008.

[6] Đoan Quynh, Tài liêu chuyên toan Đai sô va Giai tich 11,

NXB Giáo Dục Việt Nam , năm 2011.

[7] Đoan Quynh, Tài liêu chuyên toan Bai tâp Đai sô va Giai tich 11,

NXB Giáo Dục Việt Nam , năm 2011.

[8] PGS. TS Bui Quang Trƣơng, Nhưng dang toan điên hinh trong cac đê thi

tuyên sinh đai hoc va cao đăng, NXB Ha Nội, năm 2008.

[9] Bộ đề thi ĐH-CĐ từ 2002-2011, BGD&ĐT .

[10] Bui Quang Trƣờng, Bài giảng trọng tâm toán 12, NXB Hà Nội, năm 2008.

[11] Tạp chí Toán học va Tuôi tre .

[12] http://math.vn/

[13] http://www.vnmath.com/

Phụ lục 1:

CÁC CÔNG THỨC LƢỢNG GIÁC

1.1 Công thức cộng

Với hai số thực a, b sao cho cac biêu thƣc sau xac đinh thi:

cos – cos .cos sin .sina b a b a b cos cos .cos – sin .sina b a b a b

sin – sin .cos – cos .sina b a b a b sin sin .cos cos.sina b a b b

tan tantan( )

1 tan tan

a ba b

a b

tan tantan( )

1 tan tan

a ba b

a b

1.2 Công thức nhân đôi, nhân ba

1.2.1 Công thức nhân đôi

Với số thực a bất kì chúng ta có:

sin2a = 2sina.cosa

cos2a = cos2a – sin

2a = 2cos

2a – 1= 1 – 2sin

2a

2

2tantan 2

1 tan

aa

a

(

2a k

)

Hệ quả: Công thức hạ bậc

1sin cos sin 2

2a a a

2 1 cos2cos

2

aa

2 1 cos2sin

2

aa

2 1 cos2tan

1 cos2

aa

a

1.2.2. Công thức nhân ba

Với số thực x bất kì chúng ta có: 3sin3 3sin 4sinx x x

3cos3 4cos 3cosx x x

1.3 Công thức biến đổi

1.3.1 Công thức biến đổi tổng thành tích

Với hai số thực u, v bất kì chúng ta có:

cos cos 2cos .cos ;2 2

u v u vu v

sin sin  2sin .cos ;2 2

u v u vu v

cos - cos –2sin .sin ;2 2

u v u vu v

sin – sin 2cos .sin ;

2 2

u v u vu v

1.3.2 Công thức biến đổi tích thành tổng

Với hai số thực a, b bất kì chúng ta có: 1

cos .cos cos – cos ;2

a b a b a b

1

sin .sin cos – – cos2

a b a b a b

1

sin .cos sin – sin2

a b a b a b

Phụ lục 2

MỘT SỐ DẠNG PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC THƢỜNG GẶP

2.1 Phƣơng trình lƣợng giác cơ bản

2.1.1. Phƣơng trình sin x m , (m) (2.1)

Với 1m thì phƣơng trình (1) vô nghiệm.

Với 1m thì 2

1 sinx sin ;2

x k

x k

;k arcsinm

2.1.2. Phƣơng trình cos x m , ( m ) (2.2)

Với 1m thì phƣơng trình (2) vô nghiệm.

Với 1m thì 2

2 cos cos2

x kx

x k

; ;k arccosm

2.1.3. Phƣơng trình tan x m , ( m) (2.3)

Điều kiện xác định của phƣơng trình: cos 0x

Với điều kiện trên thì (3) tan tanx x k , k ; arctanm

2.1.4. Phƣơng trình cot x m , ( m) (2.4)

Điều kiện xác định của phƣơng trình: sin 0x

Với điều kiện trên thì (4) cot cotx x k , k ; arccot m

2.2 Phƣơng trình bậc nhất đối với sin x và cos x

Dạng: 2 2sin cos ( 0; , , )a x b x c a b a b c (2.5)

Điều kiện để phƣơng trình (5) có nghiệm: 2 2 2a b c

Cách giải: Phƣơng trình (2.5) có thể giải bằng một trong các cách sau

Cách 1

+) Kiểm tra điều kiện có nghiệm của phƣơng trình (2.5).

+) Chúng ta có:

2 2 2 2

2 2 2 2sin cos sin cos cos( )

a ba x b x a b x x a b x

a b a b

(Với 2 2 2 2

cos ;sin ( )b a

a b a b

).

Chia cả hai vế của phƣơng trình (2.5) cho 2 2a b nên

2 2

2 2(2.5) cos( ) cos( )

ca b x c x

a b

(Đây la phƣơng trình lƣợng giác cơ bản đã biết cách giải).

Cách 2 .

+) Với cos 0 22

xx k kiểm tra x có là nghiệm của phƣơng trình (2.5)

hay không?

+) Với cos 0 22

xx k đặt tan

2

xt thì

2

2 2

2 1sin ;cos

1 1

t tx x

t t

Do đó: 2

2 2

2 1(2.5)

1 1

t ta b c

t t

(Phƣơng trình đại số này là giải đƣợc)

+) Giải phƣơng trình theo t, trả lại cho biến x.

Cách 3

Với những yêu cầu mang tính biện luận tính chất nghiệm của phƣơng trình

trong khoảng ; , chúng ta có thể lựa chọn phƣơng pháp điều kiện cần va đủ.

Nhận xét quan trọng

Cách 1 thƣờng đƣợc sử dụng với các bài toán yêu cầu giải phƣơng trình va

tìm điều kiện của tham số để phƣơng trình có nghiệm, vô nghiệm hoặc giải

phƣơng trình và biện luận phƣơng trình theo tham số m.

Cách 2 Khi giải phƣơng trình có điều kiện phụ thì ta chọn cách 2(đặt

tan2

xt ) thƣờng tiện lợi hơn các cách đặt khác, đặc biệt với các bài toán

yêu cầu giải phƣơng trình va tìm điều kiện của tham số để phƣơng trình có

nghiệm thuộc tập D với (0;2 ]D .

Cách 3 thƣờng đƣợc sử dụng với các bài toán yêu cầu biện luận theo tham số

để phƣơng trình có nghiệm thuộc tập D với 0;2D .

Từ cách giải 1 ta có đƣợc kết quả sau: 2 2 2 2sin cosa b a x b x a b .

Kết quả này gợi ý cho bài toán về giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của hàm số dạng

sin cosy a x b x ;sin cos

sin cos

a x b xy

c x d x

va phƣơng pháp đánh giá cho một số

phƣơng trình lƣợng giác.

Dạng đặc biệt: Chúng ta có các kết quả sau

sin cos 0 ,4

x x x k k

; sin cos 0 , .4

x x x k k

2.3 Phƣơng trình chỉ chứa một ham lƣợng giác

Dạng: (sin ) 0; (cos ) 0; (tan ) 0; (cot ) 0F x F x F x F x . (2.6)

Cách giải:

+) Bằng cách đặt các ẩn phụ như sau: sin ; cos ;t x t x tan ;t x cot ;t x chúng ta có thể đưa việc giải một phương trình lượng giác về giải một phương

trình đại sô ẩn t (gọi là phương trình trung gian): ( ) 0F t .

+) Sau khi tìm được các nghiệm cua phương trình trung gian ( ) 0F t , việc

giải phương trình lượng giác đã cho se quy về việc giải các phương trình cơ

bản đã biết.

Chú ý rằng: khi đặt sin ; cos ;t x t x chúng ta co điều kiện 1t .

2.4 Phƣơng trình thuần nhất bậc hai, bậc ba đối với sin x và cos x

2.4.1 Phƣơng trình thuần nhất bậc hai đối với sin x và cos x

Dạng: 2 2 2 2 2.sin .sin .cos .cos 0( 0; , , )a x b x x c x a b c a b c (2.7)

Cách giải(Chúng ta thƣờng giải bài toán trên bằng cách)

Cách 1

+) Kiểm tra cos 0x thì x có là nghiệm của phƣơng trình hay không ?

+) Với cos 0x chia hai vế của phƣơng trình (2.7) cho 2cos 0x , khi đó:

2(2.7) .tan .tan 0a x b x c (*)

(Đây la phƣơng trình chỉ chứa một ham lƣợng giác đã biết).

+) Giải phƣơng trình (*)

Cách 2. Sử dụng công thức hạ bậc:

2 21 cos2 1 cos2 1

sin ;cos ;sin .cos sin 22 2 2

x xx x x x x

, chúng ta có

1 cos2 1 1 cos2(2.7) . . sin 2 . 0

2 2 2

x xa b x c

( )cos2 sin2 ( )c a x b x c a

(Đây la phƣơng trình bậc nhất đối với sin 2x và cos2x đã biết ).

Nhận xét quan trọng:

Cách 1 thƣờng đƣợc sử dụng để giải bài toán yêu cầu giải phƣơng trình va

tìm điều kiện của tham số để phƣơng trình có nghiệm thuộc tập D .

Cách 2 thƣờng đƣợc sử dụng với các yêu cầu giải phƣơng va tìm điều kiện

của tham số để phƣơng trình có nghiệm, vô nghiệm hoặc giải và biện luận

phƣơng trình theo tham số.

2.4.2 Phƣơng trình thuần nhất bậc ba đối với sin x và cos x

Dạng: 3 2 2 3

2 2 2

.sin .sin .cos .sin .cos cos 0

( 0; , , )

a x b x x c x x d x

a b c a b c

( 2.8)

Cách giải:

+) Kiểm tra cos 0x thì x có là nghiệm của phƣơng trình hay không?

+) Với cos 0x chia hai vế của phƣơng trình (2.8) cho 3cos 0x , khi đó:

3 2(2.8) .tan .tan .tan 0a x b x c x d

Lưu ý: Trong phương trình khi mà bâc cua các hạng tử chênh lệch nhau 2 bâc

thì chúng ta có thể biến đổi để quy về dạng phương trình thuần nhất bâc hai bâc

ba bởi việc thay sô 2 21 sin cosx x , ví dụ đôi với phương trình dạng:

2 2 2 2 2.sin .sin .cos .cos ( 0; , , , )a x b x x c x d a b c a b c d (2.9)

2 2 2 2.sin .sin .cos .cos (sin cos )a x b x x c x d x x

2 2( )sin ( )sin .cos .cos 0a d x b d x x c x

(Ta đã biến đổi nhƣ sau:2 2(sin cos )d d x x hoặc 2

21 tan

cos

dx

x ).

3 2 2 3.sin .sin .cos .sin .cos cos ( sin cos ) 0a x b x x c x x d x m x n x

2 2 2 2( 0; , , , )a b c d a b c d

Ta có thể biến đổi: 2 2sin cos sin cos (sin cos )m x n x m x n x x x

2.5 Phƣơng trình đối xứng đối với sin x và cos x Là phương trình mà khi thay thế vai trò cua sin x và cos x cho nhau thì

phương trình không thay đổi.

Cách giải: Dùng phương pháp đặt ẩn phụ.

Phương trình đôi xưng thường gặp

Dạng: 2 2(sin cos ) sin cos ( , , ; 0)a x x b x x c a b c a b (2.10)

Cách giải:

Cách 1. +) Đặt sin cos ( 2)t x x t , khi đó 2 1

sin cos2

tx x

phƣơng trình

đã cho trở thành: 2 1

2

tat b c

(*)

+) Giải phƣơng trình (*) va trả lại cho biến x

Cách 2. Đặt 4

z x

, khi đó sin cos 2 cos 2 cos4

x x x z

và

21 1 1 1 1sin cos sin 2 sin 2 sin 2 cos2z=cos

2 2 4 2 2 2 2x x x x x z

Do đó phƣơng trình (2.10) đƣợc biến đổi về phƣơng trình bậc hai đối với cos z .

Giải phƣơng trình đó va kết luận nghiệm.

Đối với phƣơng trình lƣợng giác dạng:

+) 2 2(sin cos ) sin cos ( , , ; 0)a x x b x x c a b c a b

+) Cách giải tƣơng tự nhƣ phƣơng trình trên với ẩn phụ là: sin cost x x ,

( 2)t khi đó 21

sin cos2

tx x

.

Trên đây la hê thông cac công thưc lương giac va cac phương trinh lương

giac cơ bản, đơn gian va thương găp đa co cach giai ro rang trong chương trinh

Toan học THPT.