Slowly Varying Dilaton Cosmologies and Their Field Theory Duals

30
ل ص ف ل ا ول الأ ساب ح طاء خ الأErrors : دمة ق م ن ا ل ي ل ح$ ت ل ا دي عد ل ا و ه م عل ب ير ق ت ل ا5 ث ي ح م ت ي دام ح ت س ا رق ط ة دي عد ل ح ل ل ئ سا م ل ا دة ق ع م ل ا ر ي غ و لة اب ق ل ا ل حل ل رق لط ا ب ة ي ل ي ل ح$ ت ل ا ا5 س ن ئ و ن ع دام ح ت س ا ة هد رق لط ا ة دي عد ل ا طاء خ ا ث ج ي ها ت ف ر مع د ي ع ول ص ح ل ا ى عل ي ا ة اي ج اa لك ود ى لك م حك ي ى عل ول ب ف ة هد ة اي ج الأ و ا ها. ض ف رa اك ي ه عدة واع ن ا ن م طا ح ل ا ها: م ه ا- 1 طا خ اب ي عط م ل ا( DATA ) ة ج ي ا ي ل ا ن ع ل ج ل ئ سا م ل ا ى لت ا ل ص ح ي ها لت ع ن م ارب ح$ ت ل ا ة ي ل م ع ل ا ر ي غ ة ق ت ف الد ل ك5 ش ب كاف و ا ى لت ا ها د ج ا ب ة ري مق م ت ق ل ة ي ق ت ق حa لك ود ل ي ه س لن ل ن مي د ح ت س مa لك د ب واعد قر ي دو ي ل ا لأ5 ي م- 2 طا خ ج ت ن ئ: ة ق ري لط ا ن ع ة عاض ت س الأ ن ع ة لأق ع ة ي ض ا رب دة ق ع مً لأ5 ي م ة لأق ع ي ري خ اسط ب ا ال5 ي م ها. و متa لك د دام ح ت س ا ة ق ري ط ة ي5 س رف ح ت م ل اً لأ5 ي م ى ف ساب ح مة ي ف ل م كا ت ل اود. حد م ل ا13

Transcript of Slowly Varying Dilaton Cosmologies and Their Field Theory Duals

صل ول ال�ف� الأ�طاء ح�ساب� خ�� Errors الأ�

: دمة� م�ق��ن ل ا� حلي ي0 ب� ع�لم ه�و ال�عددي ال�ت$ ق�ر ث5 ال�ت� م ح�ي ت� دام ي� ح� ة� ط�رق� اس�ت� ع�ددي�

ل ل�حل دة� ال�مسائ�� ر ال�معق� ي لة� وغ� اب�� ال�طرق� ل�لحل ال�ق� ة� ب�� لي حلي ا� ال�ت$ س5 ن� دام ع�ن� وئ� ح� ة اس�ت� ه�د�ة� ال�طرق� طاء ال�عددي� خ�� ث� ا� ج� ها ي� ت� د م�عرف�� ي ع�لى ال�حصول ع�ي� ة� ا� اي�� ج�� ل�كa ا� حكم ل�كى ود� ي��

ول ع�لى ب� ة ف�� ة� ه�د� اي�� ج�� و الأ� ها. ا� ض� رف��aاك� واع ع�دة� ه�ي� ن�0 طا� م�ن� ا� ه�مها: ال�ح� ا�

طا�1- اب� خ�� ة�(DATA) ال�معطي ج� اي�� ل ج�ل ع�ن� ال�ي� ى ال�مسائ�� حصل ال�ت� ها ي�� م�ن� ع�لت ارب� ح� ة� ال�ت$ ر ال�عملي ي ة� غ� ق� ت كل ال�دف�� و ك�اف� ب��ش5 ى ا� ه�ا ال�ت� د� ج�� ا� ة� ب�� ي�� م م�ق�ر ت ة� ل�ق� ي ق� ت ح�ق�

aل�ك ل ود� سهي ن� ل�لن� دم�ي ح� ل�كa م�ست� د� واع�د ب�� دوي� ر ق� لًأ. ال�ي� م�ي5طا�2- ج� خ�� ت� ن� : ئ� ة� ق� ي0 ة� ع�ن� ال�طر عاض� ة� ع�ن� الأس�ت� ة� ع�لأق� ي اض�� دة� رب� لًأ م�عق� ة� م�ي5 علأق� ري ي�� خ�� ا�

ب��سط ال ا� ها. وم�ي5 ل�كa م�ت� دام د� ح� ة� اس�ت� ق� ي0 ة ط�ر ي� حرف� س�5 لًأ ال�مت� ى م�ي5 مة� ح�ساب� ف� ي ف��كام�ل ال�محدود. ال�ت�

13

طا�3- ج� ال�ح� اي�� طع: وال�ي� ت� ار ع�ن� ال�مق� ي� ن� اع�ت� موع ا� ر ال�سلسلة� م�ج� ي ة� غ� هي ت� لًأ ال�من� ع�دد ه�و م�ي5�ج�دوده�ا. م�ن

طاء4- خ�� ة� ال�حاس�ث� ا� ج� اي�� : ب�� سة ال�حاس�ث� ع�ن� ال̄ألي ق� لًأ ي�� ق�رض� ف��مي5 ن� ل�ت� ا ا� ي� ي� ل�دث5 ج�اس�ث� جي ن� ي�� ة ع�دد ك�ل ا� ي وي³ ف�� جب$ مسة� ع�لى ي� ام خ�� رق�� ط ا� ف� ا ف�� ي� ي�� د وا� رب� مع ي�� خ��

�ي0 ن ن�7.1625 و9.2654 ال�عدد موع ا� وي³ وه�و16.4279 ه�و ال�مج� جب$ ع�لى ي� ة� ام س�ي� رق�� د� ا� دب�� ع ال�حاس�ث� ع�ي� طت ن� لأب� ست� ي0 ح�ر� ة ي�� ام ه�د� رق�� الي الأ� ال�ي� وم وب�� ق� دوي� ر ي� ي� ي��

ام رق�� ة� الأ� لي ال�سي� .16.428 ا�رًا ي خ� اك�a ا� طاء ه�ي� خ�� ، ا� ل م�هملة� طا� م�ي5 صى ال�ح� ح� ج� ال�ش5 اي�� ص ع�ن� ال�ي� ح� ال�ش5

ي وم ال�د� ق� ة� ي� عملي اس ي�� ي ة� ال�ق� ي�� ح�ر ة� م�ا ل�ت$ اري�� ص م�ق� ح� ر ب��ش5 وم ̄اخ�� ق� ة� ي� عملي اس ي�� ي ال�ق�اب� . ل�د� ة� ي�� ح�ر ال�ت$

�مكن ن� ي� ر ا� عي� طاء ع�ن� ي�� خ�� ة� ع�ادة� الأ� لأي�5 ي5 : ي�� ط�رق�طا�(1-1) : Absolute error ال�مطلق� ال�ح�

عرف� ة وي� ي�� ا� ارة� ب�� يÍن� ال�ق�رق� ع�ن� ع�ي� مة� ئ�� ي ة� ال�ق� ي ق� ت مة� ال�حق� ي ة� وال�ق� ي Ïن Íق�رئ� لة وي� رمر� ال�ت�كل: ال�ش5 ب��

14

ث5 مة� هى x ح�ي ي ة� ال�ق� ي ق� ت (³ و ال�حق� ة� ق� ت مة� )ال�دف�� ي ة� ال�ق� ي Ïن Íق�رئ� ة� ال�ت� و ال�مجسوي�� ا�ة� ي Ïن Íق�رئ� ، ال�ت� ة� ي Ïن Íح�رئ� طا� )سي�رمر� ال�ت$ ـ ال�مطلق� ل�لح� دلًأE ئ�� ا م�ن� ب�� د� كن� ل�م ا� اك�a ب� ه�ي�اس ي� (. ال�ن� ل�لسهولة�

طا�(1-2) ى ال�ح� ست� : Relative error ال�ن�ارة� وه�و طا� ع�ن� ع�ي� سوم�ًا ال�مطلق� ال�ح� مة� ع�لى م�ق� ي ث5 ال�ق� . ح�ي ة� ي ق� ت ن� ال�حق� طا� ا� ال�ح�

عطى ال�مطلق� كرة� لأي� ة� ق�� ي ق� ت ة� ع�ن� ح�ق� اس دق� ي لًأ ال�ق� ا : ل�و م�ي5 سي� ة� ط�ول ف�� رق� وط�ول غ��ة� لي ال�دم�ام م�ن� ال�مساق� اض� ا� طا� وك�ان� ال�رب� سة ال�مطلق� ال�ح� ق� ال ي�� ال�سو� ي ه�و ق�� ا�

�ن اس�ي ي عًا ال�ق� . ط�ت� دق� ة� ا� لي ال�دم�ام³ م�ن� ال�مساق� اض� ا� دق� ال�رب� الي ا� ال�ي� ة� وب�� ل�كa ل�معرق� د�م ال ت�� دج�� ف� ا� عري� ق� ال�ت� ي ال�سان�� ـ: لة ي� رمر� وال�د� ئ��

(1-1)طا�(1-3) : ال�ح� كب� ال�مرب��

ارة� وه�و ج�دي ع�ن� ع�ي� : ا� �ن ي مي� ي ال�ق� و(1-2)

ي ن� ا� : ا�

طا�(1-4) وي ال�ح� Percentage error ال�مب�

15

ارة� وه�و طا� ع�ن� ع�ي� ى ال�ح� ست� ا³ً ال�ن� روب�� ـ م�ض� ي 100 ئ�� . ب� ساوي . ا�طاء(1-5) خ�� ل ا� ي من5 ع ي�� ب�0 وا : ال�ب� اب� وال�علأق��

�ن طاء ا� خ�� ة� الأ� كي� ث� ال�مرب�� ل ب��سي� ي من5 ع ي�� ب�0 وا مكن� ال�ب� ده�ا ي� حدب� ة� ي�� علأق� طا� ي�� ك�ما ع�امة� خ��: لى Íب�

�كن : ل�ي (1-3)

ع ب�0 ا حولأب� ب�� لة� ل�لمت$ ق� ث5 ال�مست� جي ن� وي�� ة م�ن� ك�ل ا� ه�د�حولأب� ع ال�مت$ اض�� طا� ج�� ث� ع�لى ل�لح� ي د� الي�ري�� دب�� د . ع�ي� وج�� طا� ن� خ��

Nع ب�0 ا ث5 ل�لي� جي : ي�� �كون ب� (1-4)

�ن من� ال�طرف� ا� ي� ة م�ن� الأ� ة� ه�د� مكن� ال�علأق� رة ي� ش5 كل ع�لى ب�� لور س�لسلة� ش�5 Íب� ا ب��Taylor seriesحولأب� ل�عدة� د: م�ت$ ح� ت� ف��

16

طاء ع�ادة� خ�� حولأب� ا� ث� ال�مت$ ج� ن� ي� كون� ا� ًا ب�� ي Ïسن ، ب�� رة� ي ي ض�ع� : ا� �ن ا�الي ، ال�ي� ة وب�� ي�� ا� اه�ل ب� سمج ق�� ح� ت$ ع ي�� ت Ïðي داءاب� الي�ر وي وال�ح� ة� وال�ق� ال�عال�ي

ة� ، ل�ـ اي�� كي� ي0 ب� وب�� ق�ر ة� ي�� ي� ولي: ال�مري�� الأ�(1-5)

ا د� ا وا� حصل(5-1) م�ن�(3-1) ال̄أن� ط�رح�ن� : ع�لى ي��(1-6)

17

�ن ة� ا� ي0 ب� هى (6-1) ال�علأق� ق�ر ة� ي�� ي� ولي ال�مري�� طا� الأ� ع. ك�ما ل�ح� ب�0 ا ة ال�ي� ي�� مكن� ا� ة� ي� òم�لأخ�ظة ي�� ا ا� ي� ي� س ل�د ق� ر³ ي�� ي Ïعب ل ك�ما ال�ت� اض�� ق� ع ال�كلى ل�لت� ب�0 ا ل�كNa ل�لي� ن� . وك�د� ا� ة� ق�� طا� ع�لأق� ال�ح�

ى ست� كون� ال�ن� : ب�� رة� اش5 م�ي�(1-7)

�ن ة� ا� طا� ع�لأق� مكن� ال�ح� ن� ي� ق� ا� طب� ع ك�ل ع�لى ت�� ب�0 وا د ال�ب� ي ق� ي0 ر وي�� د ق� ت� ي ي�� راء ا� خ�� ا��مكن ن� ي� ر ا� عي� ة ي� كل ع�لى ع�ي� . ش�5 ة� ع�لأق�

ال ي�ر(1) م�ي5 عب� : : ل�ت� ة� ال�علأق�

ي0 ر د ق� طا� ل�ت� ى ال�ح� ة� ف� كب�N ال�علأق� ث� ال�مرب�� طا� ب��سي� ى خ�� حددz وy وx ف� ولًأ ي�� ا�اب� ق� ت� : ال�مس5 ة� ي ي�� ر� ال�ح�

الي ال�ي� د وب�� ح� : ي�� �ن ا�

18

دل ي� سن� ى ب�� ة ف� ة� ه�د� م ال�علأق� ت طاء ف�� خ�� اب�z , y , x الأ� ق� ت� وال�مس5ة� ي ي�� ر� در ال�ح� ق� ى ي�� ظة� ف� ف� ة� ال�ت� وي�� . ال�مرغ�

كل طاء ع�ام ب��ش5 خ�� مكن� الأ� ن� ي� كون� ا� ة� ب�� ي� و م�وح�� ة� ا� ا س�ال�ي� د� ل�م وا�حدد ارة� ي�� س�5 ن� الأ� ا� ط ال�ممكن� م�ن� ق�� ف� د� ف�� دب�� طا� ح�ساب� ع�ي� مى ال�ح� òع�ظ : N ل�ـ الأ�

�ة� ال�مهم م�ن òم�لأخ�ظ �ن ة ا� مة� هى ه�د� ي ة� ال�ق� مي òع�ظ طا� الأ� ا ل�لح� عطى وه�د� ع�لى ج�د ي� ا�طا� . an upper bound on the error ل�لح�

مرار ى ول�لأس�ي� ة� ف� ال، م�عال�ج� ق�رض� ال�مي5 : ل�ت� �ن ا�

د� دب�� طا� ع�ي� مى ال�ح� òع�ظ د الأ� ظة� ع�ي� ف� : (1 , 1 , 1) ال�ت� �كون ب�

�ن مة� ا� ي ع ف�� ب�0 ا د ال�ي� ظة� ع�ي� ف� كون�(1 , 1, 1) ال�ت� طا�N = 3: ب�� ى وال�ح� ست� ال�ن�مى òع�ظ : الأ� �كون ب�

19

�ن واء ا� ا مراي��ب� ج�دود اح�ب$ كون� ع�لي ًا ب� ط م�طلوب�� ف� ى ف�� ادرة� ج�الأب� ف� ا ، ب�� وه�كد�لًأ ى م�ي5 ال ف� ق� ال�مي5 ن�(1) ال�سان�� ا� ة� ج�د ق�� ي� ة� ال�مري�� ي ي�� ا : ال�ي5 �كون ب�

�ن اب� ا� ق� ت� ة� ال�مس5 ي ي�� ر� ة� ال�ح� د ل�مجسوي�� ظة� ع�ي� ف� ج:(1,1,1) ال�ت� صت� ت��

�ن عاب� ا� داءاب� ال�مري�� ة� وال�ح� صال�ي� طاء ال�مت� خ�� ل: م�ن� ل�لأ� ج�� ا�

ج: صت� ت��

طا� مى ال�ح� òع�ظ د الأ� ظة� ع�ي� ف� ًا(1,1,1) ال�ت� وب� ة� ج�دود ع�لى م�جب$ ي� ة� ال�مري�� ي ي�� ا : ال�ي5 �كون ب�

: ة� òم�لأخ�ظ

20

-1�ن ة� ا� لة� م�عال�ج� طا� م�سا� لة� هى ال�ح� ضر واس�عة� م�سا� ت� ق� د ولأي�� و ج�د ع�ي� ة� ا� ق� ي0 ث5 ط�ر ة ح�ي ي�� ا�ن� م�علوم ه�و ك�ما ل ا� حلي ي0 ب� ع�لم ه�و ال�عددي ال�ت$ ق�ر الي ال�ت� ال�ي� ة وب�� ي�� ا� د ق�� ي ج�ل ع�ي� ا�

لة� ق� م�سا� ل ط�رق� وق� حلي كون� ال�عددي ال�ت$ اك�a س�ي طا� ه�ي� ة خ�� ة� ل�هد� ق� ي0 عال�ج� ال�طر )س�ت د ك�ر ع�ي� ة� ك�ل د� ق� ي0 ي0 ب� ط�رق� م�ن� ط�ر ق�ر ى ال�ت� صول ف� (. ال�ف� لة� ي� ال�مق�

�لة� وم�ن م�ي5 ل�كa ع�لى الأ� طا� ح�ساب� د� ج� ال�ح� اي�� ر ع�ن� ال�ي� ش5 ي ال�سلأس�ل ب�� وال�د��مكن ي0 رة ي� د ق� ى ي�� اف� ال�ي� عد ب�� ج�د. n ي��

د ب� ل م�ن� ل�مر� اض�ي ق� مكن� ال�ت� عة� ي� ل ح�ساب� م�ق�رراب� مراح�� اض�� ق� وال�سلأس�ل. ال�ت�-2�مكن دام ي� ح� ة� اس�ت� ق� ي0 ة� ط�ر ي ي�� ا طا� ل�جساب� ب�5 كب� ال�ح� ى ال�مرب�� مة� ح�ساب� ف� ي ع ف�� ب�0 ا كل ب�� ال�ش5 ب��

: الي ال�ي�طا� كب� ال�ح� ى ال�مرب�� مة� ح�ساب� ف� ي ع: ف�� ب�0 ا ب��

�كن ع ل�ي ب�0 ا حولy = f(x) ال�ي� جسث� واج�د ل�مت$ طا� ول�ت� كب� ال�ح� ى ال�مرب�� ف�مة� ح�ساب� ي ل م�ن�y ف�� ج�� مة� ا� ي ة� ف�� ي Ïن Íق�رئ� مة� ي�� ي ة� ل�لق� ي ق� ت . x ال�حق�

�ل م�ن ج�� مة� ا� ي ة� ف�� ي Ïن Íق�رئ� حصل ي�� مة� ع�لى ي�� ي ة� ال�ق� ي Ïن Íق�رئ� م ال�ت� ق�رب� ت�5 ي��لي مة� ا� ي ل�كa ف�� د� كون� وب�� د ب�� ا ق�� ي� كن� طا� ارب�� دارة: خ�� م�ق�

د� ج�� ا� مة� ب�� ي ة� ال�ق� ن� ال�مطلق� ي لطرق�� د ل� ح� : ي�� �ن ا�21

�ن د� طا� ا� كب� ال�مطلق� ال�ح� ارة� ال�مرب�� : ع�ن� ع�ي� �ن سمي ف��ول طا� ع�ادة� وب� سمى: الأ� ال�ح� . ب�� ال�مطلق�

�ي ان� طا� وب� سمى: ال�ي5 ال�ح� . ب�� ي ال�جسان��طا� ول�جساب� ر ال�مطلق� ال�ح� ش5 ن� لور س�لسلة� ئ�� Íب� ا ع ب�� ب�0 ا ظة� ح�ولy(x) ل�لي� ف� ، ال�ت�

: ي ا�

ث5 ا ح�ي ي� ت ق� ال�حد اك�ت� ق� ال�حاوي ب�� ب� ول، ل�لمس5 د� الأ� ج�� ا� مة� ل�ي� ي ة� ال�ق� ن� ال�مطلق� ي ل�لطرق��د: ح� ت� ف��

: ث5 ح�ي

والي ال�ي� مكن� وب�� م ي� عمت ل�كa ي�� ع ع�لى د� ب�0 ا ك0ي5ر ب�� ي ر م�ن� لأ� ع� ي0 ن� م�ت� ر ي ع� د: )م�ت� ح� ت� لًأ( ف�� م�ي5

ث5 : ح�ي �ن ا�22

ال طا� : اح�سث�(2) م�ي5 كب� ال�ح� ى ال�مرب�� مة� ح�ساب� ف� ي ع: ف�� ب�0 ا ال�ي�

aل�ك ل: م�ن� ود� ج�� ا�د� ج�� ا� وب�

: ال�حلطا� مى ال�ح� òع�ظ كب� الأ� ى ال�مرب�� ه�و: ح�ساب� ف�

م : ت�5 جسث� ي��

ما ي�0 ن� و ص�x < 4> 3 ا� عوت� ت� �ي ال�حد وي�� ن0 د ةx ل�ـ الأ� ى ك�وي�� ام ف� د ال�مق� ح� ت� : ف�� �ن ا�

: الي ال�ي� وب��

ما ي�0 ن� و مة� ا� ي ع ف�� ب�0 ا ل م�ن� ال�ي� ج�� : ا� هى 23

ا ي� ي�� ا� كون� ق�� د ب�� ا ق�� ي� كن� طا� ارب�� ي خ�� دارة: ح�سان�� م�ق�طا� دارة: ك�لى وخ�� م�ق�

الي ال�ي� اب� وب�� ج� ج�دودب� اي�� : ال�ي� �كون ب��

ل ع�لى ي Ïال، س�ن درس ال�مي5 ة� ل�ي� طا� ع�لأق� ى ال�ح� ور ف� س5 لور س�لسلة� م�ن� Íب� ا لأل م�ن� ب�� ج��ة� ðي ر òط : ال�ت� ة� ال�ي ال�ي�

ة� ðي ر òط ة�(1-1) ت�� ðي ر òط لور: ت�� Íب� ا ب��ق�رض� ن� ل�ت� اب� ا� ق� ت� ودة� وال�مس5 ال ع�لى م�وح�� ] ال�مح�

a,b] .�كن ظة� ول�ي� ف� ل . م�ن� ال�ت� ج�� د ، ك�ل ا� وج�� ظة� ن� ف� ي��

�يÍن م�ع: ، ئ��(1-8)

: ث5 ح�ي

24

(1-9)

(1-10)و:

(1-11)ا ر³ ب� سمى وه�ي� ي لور ج�دود ك�ب5 Íب� ا �ي ب�� ون� ل م�ن� ال�ب� ج�� ظة� ح�ولf ا� ف� و ال�ت�

ى ال�حد ب� سمى اف� و ال�ي� ق� )ا� ( ال�مراق� طا� ة� . وال�سلسلة�³ ل�ـ ال�ح� ي ي�� ها ى ال�لأن�� ال�ت�حصل ها ي�� : م�ن� ع�لت ة� هاي� سمىال�ت� لور س�لسلة� ب�� Íب� ا . ح�ولf ل�ـ ب��

ى اضة� ال�حالة� ف� دم�ا ال�ح� ر³ ع�ي� ي لور ج�دود ك�ب5 Íب� ا ر³ ب� سمى ب�� ي "م�اك�a ج�دود ك�ب5لور "ل�وران� وس�لسلة� Íب� ا سمى ب�� ". ل�وران� " م�اك�a س�لسلة� ب��

ال : (3) م�ي5�ن ر ع�ي ي لور ج�دود ك�ب5 Íب� ا �ي ب�� ان� ال�ب5 ال�ي5 ل م�ن� وال�ي5 ج�� ح�ول ا�

ظة� ف� دم ال�ت� ح� ر³ واس�ت� ي ي0 ب� ال�حدود ك�ب5 ق�ر . ل�ت�: ال�حل

25

ما ن� ي�� د� ا� دب�� مكن� ع�ي� ق� ي� ب Ïطت ة� ت�� ðي ر òط ة� ال�ت� ق� ل م�ن� ال�ساي�� ج�� ي ا� ا�n < o :

�ل م�ن ج�� ة� ،n = 2 ا� ðي ر òط : ال�ت� عطى ي��

ث5 ح�ي د� ج�� ا� ن�x = 0.01 ب� ا� ر ق�� ي لور ج�دود ك�ب5 Íب� ا ى وال�حد ب�� اف� : ال�ي� �كون ب�

: ث5 ح�ي ط وق� )وال�ح� دل0.166 ال�عدد ق� ن� ع�لى ب� ا ا� م ه�د� كرر ال�رق�� ي� كل ي� ( ب��ش5 �ي هان� لأن��

ما ن� ي�� ا ا� ي� مكن� ي ن� ف�� دم ا� ح� ست� ي0 ب�0.99995 ب�� ق�ر cos ل�ـ ك�ت�

ة� م�ع0.01 ام س�ي� رق�� ة� ا� ðي ر ل ع�لى ع�ش5 ق�� ى الأ� ة� ف� دام ال�دق� ح� اس�ت� داول وب�� ا: ال�ح� ي� ي� ل�دcos 0.01 = 0.999950042

الي ال�ي� د وب�� وج�� ة� ن� سعة� دق� ن� ام ئ�� رق�� . ا� ة� ðي ر ع�ش5�ن ر ا� ي لور ج�دود ك�ب5 Íب� ا ال�ب5 ب�� ظة� ح�ول ال�ي5 ف� جسث� ال�ت� كل: ي� ال�ش5 ب��

26

ث5 ما ، ح�ي ن� ي�� ن� ا� ا� ر ق�� ي لور ج�دود ك�ب5 Íب� ا ب��سة ه�و ق� ى ي�� ق� ت� Íي0 ب� وي� ق�ر سة0.99995 ال�ت� ق� ة� ول�كن� ي�� جسث� ال�دق� سعة� ي�� ن� ام ئ�� رق�� : ا� ة� ðي ر ع�ش5

ة�(1-6) ع�داد: دق� الأ�د وج�� ن� ع�ادة� ن� وع�ي ع�داد م�ن� ن�� لكa ، الأ� ع�داد ب�� وط�ة� الأ� ب� مام�ًا، ال�مص� وع ي�� ر ون�� ر ̄اخ�� ي ب� س5

لي م ا� ت اب� ف�� اب� د� ة� درج�� ي� ة� م�ن� م�عت لة� ال�دق� م�ي5 لكa ع�ن� . ا� اب� ب�� ة� د� ، ال�دق� امة� ال�ي�ع�داد جة� الأ� صجت .3,2,1…, ال�

ع�داد ة� الأ� ðي ع�داد ال�كشر ي ره�ا والأ� وغ��ع�داد م�ن ة� الأ� وي�� ة ال�مكب� هد� ن� ن�� . ا� ة� ق� ي0 لكa م�ن� واج�د ه�و ال�مق�رب� ال�عدد ال�طر ى ب�� ر ال�ت� عي� ي���مة� ع�ن ي ث5 ال�ق� ة� ح�ي كون� ال�دق� ط ب�� ف� لأب� م�ن� ل�عدد ف�� ة� ال�شح� ا ال�رف��مي لًأ وه�كد� م�ي5

�كون وط�ًا ب� ب� ص� ة� م� اي�� مكن� ول�كن� ك�ي� ن� لأي� ر ا� عي� ة ي�� ة� ع�ي� دق� م ب�� ة ك�رق�� ي� ع�داد م�ن� م�ن� ، الأ� ة� ال�رف��مي ا ي� مكن� ن� ي� ة ا� ي� كن� لًأ ب�� كل م�ي5 ال�ش5 ث1.7325 ب�� كون� ح�ي ي0 ب� ب� ق�ر ل�كa ك�ت� مكن� وك�د� ة ي� ي� ي�� ا ك�ي�

كل ال�ش5 ي0 ب�1.73205 ب�� ق�ر ن� ك�ت� ل. ا� ص� ف�� ام ا� رق�� دمة� الأ� ح� ر ال�مست� ي Ïعب سمى ع�دد ع�ن� ل�لت� ب��كال ش�5 ة� ا� وي� اsignificant figures م�عب� د� ى ل�هم ك�ان� ا� ى م�عت� لًأ ال�عدد ف� . م�ي5

ع�داد ك�ل ة� الأ� ى ال�رف��مي كون�1.73205 ف� كال ب�� ش�5 ي�ما ا� Íن Ïئ� . ة� وي� ى م�عب� 0.00572 ال�عدد ف�ط ف� كال5 , 7 , 2 ف�� ش�5 ة� ا� وي� دمo . ال�ـ م�عب� ح� ظة� ل�مكان� اس�ت� ف� ا ال�ت� د� . ا� ة� ðي ر دم ال�عش5 ح� ال�ـ اس�ت�

27

o ى ة� ف� هاي� ث� ، ال�عدد ن�� ج� ة� ي� اق� ض�� ة� م�علوم�اب� ا� ي اف�� ض�� د ا� حدب� ما ل�ت$ ي ا ف�� د� لًأ ك�ان� ا� ًا. م�ي5 وب� $ م�عب�525.000�مكن ن� ي� كون� ا� ًا ب� ق� ت و دف�� وط�ًا( ا� ب� ص� مكن� )م� ن� ي� كون� ا� ر ب� ي Ïعب ( م�الي ي�� دي ق� )ي��

�رب� ق� ل�ف� لأ� ا ا� د� ة� ك�اي��ب� . ا� ، ال�دق� ة� ع�داد ك�ل م�طلوي�� كي�ث� الأ� كل ع�لى ب�� ظة� ش�5 ف� ، ي�� مة� ع�اي��ل: وم�ي5 . ا�

�ن اب� ا� ة� ال�عملي ي اض�� ود ال�رب� ق� ع�داد ي�� لي الأ� د ع�دم ا� حدب� ل�كa ي�� م�ن� ول�د�روري ف� ال�ض� ة ج�د� طع( ه�د� ع�داد )ف�� لي الأ� كل ا� ا وب� سمى ال�مراد ال�ش5 طع ه�د� و ال�ف� ا�

ف� دوي� ر ال�حد� ال�ي� . Rounding off ب��ا دوي� ر وه�د� ع ال�ي� ص� ح� واع�د ي� ة� ل�لق� ال�ي ع�داد: ع�لى ال�ي� الأ�

�كن ال�عدد: ل�ي

د� دب�� دوي� ر ع�ي� ا ل�ي� لي ال�عدد ه�د� وي ع�دد ا� وي³ م�عب� جب$ مn ع�لى ي� ف� رق�� حد� م ي�� رق��الي ي� ق� م�ن$ : م�ا وق� لى Íب�

ا1- د� ك�ان� ا�ف� حد� ادة� ي�� ب� ج: ع�لى1 ي��ر� صت� ت$ ف��

ال دور60.73721 : (4) م�ي5 لي ب� حوي ع�دد ا� ام4 ع�لى ي� رق�� ة� ا� وي� ج م�عب� صت� ت كل: ف�� ال�ش5 ب��60.74

28

ا2- د� ف� ك�ان� . ا� حد� ي ر دون� ي�� Íب ع� . ي��ال ج60.7542: م�ي5 صت� عد ت� دوي� رة ي�� عة� ب�� ري�� ام لأ� رق�� ة� ا� وي� كل م�عب� ال�ش5 .60.75: ب��

ا3- د� ر� ك�ان� ا� مي :³ ي�� �ن ي ج�ال�ي�ا – ا� د� ع ك�اي��ب� ا� مت ام خ�� رق�� ن� ع�لى الأ� مي م م�عدومة� ي� ت� ت� ة� ق�� ف� ع�ملي ادة� ال�حد� ب� 1 ي��ر�

لي ل�كa ا� ا ود� د� : ا� ��ردي ك�ان لّأ ق� ى وا� م ج�الة� )ف� ت� ت ( ق�� ى وج� ف� ر� دون� ال�حد�ي ر Íب ع� . ي��

ا – ب� د� د ا� م وج�� ن� ع�لى رق�� مي ر ي� ي م م�عدوم غ� ت� ت ف� ق�� ة� م�ع ال�حد� اق� ض�� لي1 ا� ا� .

ال دور6.33500 : ال�عددم�ي5 ة� ب� لأي�5 ام ل�ي5 رق�� . ا�6.34: ال�عدد1)

ال دور23.4500 : ال�عدد(5) م�ي5 ة� ب� لأي�5 ام ل�ي5 رق�� لي ا� ي ر( . )دون�23.4: ال�عدد ا� Íب ع� ي��طا�(1-7) ى ال�ح� ست� كب� ال�ن� ى ال�مرب�� دوي� ر ف� م�ا: ع�دد ب��

عطى : ي� �ون ان�� ال�ق� ب��(1-12)

ث5 ول ه�وa ح�ي م ا� ى رق�� سار م�ن� ال�مق�رب� ال�عدد ف� ام ع�ددn ال�ن رق�� ى الأ� ال�عدد ف� . ال�مق�رب�

29

ال ام ع�دد : م�اه�و(6) م�ي5 رق�� ى الأ� ث� ال�ت� ج� ن� ي� ه�ا ا� د� ج�� ا� د ب�� ى ح�ساب� ع�ي� ح�ت�اور� ح� ت$ طا� لأي� ى ال�ح� ست� مى ال�ن� òع�ظ دار الأ� . 0.003 ال�مق�

: ال�حلد� ج�� ا� اa ل�ي� ساوي ه�ي� ل�كa ،4 ب�� ا:³ ل�د� ي� ي� ل�د

ة ا:³ وم�ي� ي� ي� ل�د

: الي ال�ي� وب��

ال طا� ج�د ه�و : ك�م(7) م�ي5 ى ال�ح� ست� ا ال�ن� د� ا ا� ب�� د� ج�� دلًأ ا� . a = 3.14 ال�عدد م�ن� ب��: ال�حل

ى ة ف� ا ال�حالة� ه�د� ي� ي� ة: n = 3 ، a = 3 ل�د وم�ي�

ال م : ك�م(8) م�ي5 ث� رق�� ج� ة ي� د� ج�� ى ا� ى ح�ساب� ف� اور� ح�ت� ح� ت$ طا� لأي� ى ال�ح� ست� ال�ن�0.0005 .

30

: ال�حل�كن ول ال�عدد ل�ي ة: a = 4 الأ� وم�ي�

ال ن�(9) م�ي5 ع�داد : ا� ة� الأ� ال�ي ق�رب� ال�ي� لي ي�� دور( ا� مسة� )ب�� ام خ�� رق�� ة� ا� وي� : م�عب�دور31.35764 لي ب�� 31.358 ا�دور10.19313 لي ب�� 10.193 ا�دور14.32250 لي ب�� 14.322 ا�دور14.32150 لي ب�� 14.322ا�

ال كن�(10) م�ي5 ق�رض�x = 5.3251 ال�عدد : ل�ي ن� ول�ت� ة ا� مة� ه�د� ي �ري��ب� ال�ق� لي ق� ا�مة� ي ة� ال�ق� ي Ïن Íق�رئ� . ال�ت�

د� دب�� مكن� ع�ي� ار ي� ي� طا� اع�ت� : ال�ح� كب� ال�مرب��

و: ا�

31

aل�ك ا وك�د� ي� ي� طا� ل�د : ال�ح� ال�مطلق�

مكن� ك�ما ن� ي� عي�مد ا� مة� ي�� ي ع�لى ك�حد0.03 ال�ق� مة� م�ن� ا� ي رمر�E ال�ق� ـ لة وي�� : ئ�� ي ا�

عًا مكن� )ط�ت� ار ي� ي� ي اع�ت� مة� ا� ي ر ف�� ك�ي� مة� م�ن� ا� ي ة� ال�ق� ق� ل ال�ساي�� ط0.05 و0.04 م�ي5 ف� ف��ع�لى ك�حد ًا ا� ص� ت� (. E ل�ـ ا�

: اب� òم�لأخ�ط-1�: م�ن ة� ال�علأق�

ث5 ع�لى ال�حد ه�و ح�ي طا� الأ� مكن� ال�مطلق� ل�لح� : ي� ة� اي�� ك�ي�

دم�ا د� وع�ي� ج�� ا� را³ً ب�� ي ة� ض�ع� سي� ال�ن� : x ل�ـ ب�� كي�ث� ب��

الي ال�ي� ال�عودة� وب�� ال ب�� ق� ل�لمي5 مكن� ال�سان�� ن� ي� : ا� كي�ث� ب��32

-2�مكن : م�ن� ح�ساب� ي� �ون ان�� ال�ق�

ث5 ام ع�ددn ح�ي رق�� ة� الأ� ðي ر ى ال�عش5 واع�د ح�سث� ال�مدور، ال�عدد ف� دوي� ر ق� ال�ي� . ة� ق� ال�ساي��

ما3- ن� ي�� ي رx ال�عدد ا� ى م�علوم غ� ال�ب� ف� دم�ا³ ، ال�ع� عي� جسث� ف�� : م�ن� ي�� ة� ال�علأق�

ا ي� ي�� ا� دل ق�� ي� سن� ة ب�� ة� ه�د� ة� ال�علأق� ال�علأق� : ب�� ة� ال�ي ال�ي�

ث5 مة� هى ح�ي ي ة� ال�ق� ي Ïن Íق�رئ� ل�لعدد. ال�ت�ى ا وال�ت� ي� عطت ع�لى ج�دًا ي�� طا� ا� ى ل�لح� ست� ى ال�ن� رًا ك�ون� ج�ال وف� ي دًا ض�ع� ة� ج�� سي� ال�ن� ل�ـ ب��

xدل ي� سن� ة ب�� . ه�د� ة� ال�علأق�

ث5 مة� هى ح�ي ي ة� ال�ق� ي Ïن Íق�رئ� ل�لعدد. ال�ت�ا4- د� ة�x ك�اي��ب� ا� ي� Í!ي �ر د�1 ال�عدد م�ن� ق� دب�� كون� ع�ي� ا: ب� ي� ي� ل�د

33

طاء ي��راك�م(1-8) خ�� : الأ�ن� م�علوم ه�و ك�ما ا� ة ق�� طاء ه�د� خ�� ي�راك�م³ الأ� داد ي�$ ر� د وي�� راء ع�ي� خ�� اب� ا� ة� ال�عملي ي Ï0ي ال�جسا

ع�داد ع�لى ة� الأ� ي Ïن Íق�رئ� مكن� ال�ت� ان� وي� ي Ïن ل�كa ئ�� لأل م�ن� د� عص� ج�� : ي�� اب� ب� ر òط ال�ت�ة� ðي ر òط : (1) ت��طا� كب� ال�مطلق� ال�ح� موع ال�مرب�� ي�ري³ ل�مج� ع�داد م�ن� ل�عدد خ� ة� الأ� ي Ïن Íق�رئ� اور� ال�ت� ح� ت$ موع لأي� م�ج�

طاء خ�� ة� الأ� ة� ال�مطلق� كي� ة ال�مرب�� ع�داد ل�هد� . الأ� ة� ي Ïن Íق�رئ� ال�ت�ي ة، ا� ي�� ا ا� د� ك�ان� ا�nم�ق�رب� ع�دد .

ا د� طاء الي�ري��ب� ع�لى ك�ان� وا� خ�� ة� الأ� ة� ال�مطلق� كي� ال�مرب��ة ا ل�هد� د� ع�داد. وا� : ك�ان� الأ� �ن ا� ق��

(1-13)ة� ðي ر òط : (2-1) ت��

ا د� ن� ك�ان� ا� ي0 يÍن� ع�دد : وك�ان� م�ق�رئ�� �ن ا� ق��(1-14)

34

ي ن� ا� طا� ا� كب� ال�مطلق� ال�ح� ى ال�مرب�� ج� ف� اي�� ي0 ن� ط�رح ب�� يÍن� ع�دد ي Ïن Íق�رئ� اور� ي�� ح� ت$ لأي� موع هما م�ج� ن� طا� . خ�� �ن ي ال�مطلق�

ة� ðي ر òط : (3-1) ت��ا د� ن�y , x ك�ان� ا� ي0 يÍن� ع�دد : م�ق�رئ�� �ن ا� ق��

(1-15)ث5 : ال�عددان� ه�ما ح�ي �يÍن ي Ïن Íق�رئ� ال�ت��مكن م ي� عمت ة� ي�� ðي ر òط ك0ي5ر(3) ال�ت� ي0 ن� م�ن� لأ� كل: ع�دد ال�ش5 ب��

ة� ðي ر òط : (4-1) ت��aل�ك ا وك�د� ي� ي� ة� ل�د سي� ال�ن� سمة� ب�� ة� ل�لق� ðي ر òط ة� ال�ت� ال�ي : ال�ي�

(1-16)ة� ò(2) م�لأخ�ظ :

�مكن م ي� عمت ة ي�� اب� ه�د� ب� ر òط ا ال�حدود ع�لى ال�ت� طا� ال�علي ًا. ال�مطلق� ل�لح� ص� ت� ا�ال د(11) م�ي5 وج�� ع�لى ال�حد : ا� طا� الأ� كب� ل�لح� ى ال�مرب�� موع: ف� ال�مج�

ا ي� ي� ا ل�د : ح�سث� ه�ي� �ون ان�� ال�ق�35

ة� سي� ال�ن� اx ل�ـ ب�� ي� ي� ة: n = 2 ل�د وم�ي�

ة� سي� ال�ن� ل�ـ ب��ة ن� وم�ي� ا� ع�لى ال�حد ق�� طا� الأ� كب� ل�لح� ى ال�مرب�� موع ف� ه�و: ال�مج�

ال : (12) م�ي5د وج�� ع�لى ال�حد ا� طا� الأ� كب� ل�لح� ى ال�مرب�� رب� ج�اض�ل ف� : ال�ض� �ي0 ن ل�لعدد

x . y = (2.23 ) . ( 12.3 )

: جسث� ي��

ة ع�لى ال�حد وم�ي� طا� الأ� كب� ال�مطلق� ل�لح� : ال�مرب�� �كون ب� 0.005 (12.3) + 0.05 . (2.23) =

= 0.0615 + 0.1115 =

= 0.173 ال : (13) م�ي5

د وج�� ع�لى ال�حد ا� طا� الأ� كب� ال�مطلق� ل�لح� ى ال�مرب�� سمة� ج�اض�ل ف� : ف�� �ي0 ن ال�عدد36

: ال�حلا: ي� ي� ل�د

ا:³ ي� ي� ل�د

ة ع�لى ال�حد وم�ي� طا� الأ� : ال�مطلق� ل�لح� كب� ال�مرب��

ة� ðي ر òط طا�(5-1) ت�� ( : )ال�ح� ى ست� ال�ن�طا� ى ال�ح� ست� كب� ال�ن� ى ال�مرب�� مع ج�اض�ل ف� ي�ري³ ال�ج� ع�داد م�ن� ل�عدد ال�ج� ة� الأ� ي Ïن Íق�رئ� ال�ت�

ة� ي� اور� ال�موح�� ح� ت$ ر لأي� ك�ي� ع�لى ج�د ا� طاء ا� خ�� ة� ل�لأ� ي Ïسن ة� ال�ن� كي� ى ال�مرب�� ع�داد ف� ، الأ� موغة� ي ال�مج� ا ا� د� ا� : �ك�ان

: �ن ا� ق��

(1-17) ة� ðي ر òط : (6-1) ت��

37

طا� ى ال�ح� ست� كب� ال�ن� ى ال�مرب�� ي0 ن� ط�رح ج�اض�ل ف� يÍن� ع�دد ي Ïن Íق�رئ� ه�و: y , x ي��(1-18)

لأخ�طò ك�ما ة ب� ي�� ا ا� د� ة� ك�اي��ب� ا� ي� Í!ي �ر ن� م�ن� ق� ا� ة ق�� ة� ه�د� . لأ ال�علأق� ق� طب� ت��ة� ðي ر òط : (7-1) ت��

طا� ى ال�ح� ست� كب� ال�ن� ى ال�مرب�� ج� ف� اي�� سمة� ب�� ي0 ن� ف�� يÍن� ع�دد ي Ïن Íق�رئ� موع ب� ساوي ي�� م�ج��ي� ن طا� يÍن� ال�ح� ي Ïسن يÍن� ال�ن� كي� ى ال�مرب�� سوم ف� سوم ال�مق� ة وال�مق� . ع�لي

ال طا� : اح�سث�(14) م�ي5 ى ال�ح� ست� مى ال�ن� òع�ظ كب� الأ� ى ال�مرب�� ال�طرح: ج�اض�ل ف�x – y = 32.413 - 32.415

ال�حل:ا ي� ي� مى ال�حد ل�د òع�ظ طا� الأ� كب� ال�مطلق� ل�لح� ي0 ن� م�ن� ل�كل ال�مرب�� : ال�عدد ب� ساوي

ة0.0005 : وم�ي� �ن ا� ق��

ا ل�و ي� طا� ح�سن� ى ال�ح� ست� ى ال�ن� ي0 ن� م�ن� ك�ل ف� يÍن� ال�عدد ي� Íق�ري� د ال�ت� ح� ن� ي�� طا� ا� ى ال�ح� ست� ال�ن�كب� ى ال�مرب�� ة ال�مطروح ف� ه�و: م�ي�

38

م�ا طا� ا� ى ال�ح� ست� كب� ال�ن� ى ال�مرب�� هو: ال�مطروح ف� ف��

�ن د� طا� ا� كب� ال�ح� ى ال�مرب�� ك�ي�ر ال�طرح ج�اض�ل ف� ر³ ا� ي كب5 طا� م�ن� ب�� ى ال�ح� ست� ال�ن�مى òع�ظ ي0 ن� م�ن� ل�كل الأ� ًا: وب� ساوي y , x ال�عدد ي� Í!ي ق�ر ا25000ي�� . وه�د� يÍن� مرة� ي� Íة ي� ي�� ا�

�مكن ق� لأي� ب Ïطت ور ت�� ق� ال�دس�ب� دم�ا ال�سان�� كون� ع�ي� ن� ك�لأ ب� ي0 يÍن� ال�عدد ارئ�� ق� هما م�ن� م�ت� عض� ي��. عص� ال�ت�

�ن ماري� ي��ع�داد دور1- ة� الأ� ال�ي لي ال�ي� مسة� ا� ام خ�� رق�� : ا� ة� وي� م�عب�

38.46235 , 2.374250.00237135 , 0.700029

موع اح�سث�2- ع�داد م�ج� :³ الأ� ة� ال�ي ال�ي�12.3172 , 11.283 , 4.3496 , 2.4875

طا� واح�سث� ى ال�ح� ست� . ال�ن� كب� ال�مرب��در3- : ق�� ة� ال�علأق�

39

ا د� : ا� � h = 92 , g = 32.2 , ك�انx = 1250 وf = 0.025 و

دم�ا – ا� كون� ع�ي� م ب�� ت رة� ال�معطاة� ال�ق� ي� ة� م�عب� ق� ت (. دف�� وط�ة� ب� ص� )م�دم�ا – ب� كون� ع�ي� م ب�� ت . ال�معطاة� ال�ق� ة� ي Ïن Íق�رئ� ي��د4- وج�� م ا� ت : f(x) ف��

�ل: م�ن ج�� ا�

در5- مة� ق�� ي : ف�� ال�محدداب�

-6�ن ان� ال�حل ا� ب� ار ل�ح�ر ي ى ال�ن� ة�³ دارة� ف� ي ل�كي�روي�� جسث� ا� ة� ال�معادلة� م�ن� ي� لي اض�� ق� ال�ت�ة� ق� ل�ـ: ال�محق�

د وج�� مة� ا� ي ار ف�� ي دم�ا ال�ن� . t = 5 وt = 0.01 ع�ي�

40

د7- وج�� طا� ا� ى ال�ح� ست� كب� ال�ن� ى ال�مرب�� : م�ما ك�ل ف� لى Íب�a) 8.12 + 6.7b) 8.12 – 4.2 c) (8.12) (6.7)d) 8.124/3.1

ع�لى ال�حد اح�سث�8- طا� الأ� كب� ال�مطلق� ل�لح� ى ال�مرب�� دار: ح�ساب� ف� ال�مق�

د9- وج�� ر³ ا� ي لور ج�دود ك�ب5 Íب� ا ع ب�� ب�0 ع ال�را ب�0 ا ظة� ح�ولf ل�لي� ف� ث5 ال�ت� ح�ي دم ح� ر³ واس�ت� ي ا ال�حدود ك�ب5 ي0 ب� ه�د� ق�ر د ل�ت� وج�� ج�د وا�

طا� ا ال�ح� . ل�هد� ي0 ب� ق�ر ال�ت�د10- وج�� ر ا� ي لور ج�دود ك�ب5 Íب� ا ع ب�� ب�0 ع ال�را ب�0 ا ظة� ح�ولf ل�لي� ف� ث5 ال�ت� ح�ي

دم ح� ي ر واس�ت� ا ال�حدود ك�ب5 ي0 ب� ه�د� ق�ر دf(1,1) ل�ت� وج�� طا� ج�د وا� ا ال�ح� ل�هد�ي0 ب� ق�ر . ال�ت�

-11�كن د ، ل�ي وج�� ر³ ا� ي لور ج�دود ك�ب5 Íب� ا ال�ب5 ب�� ظة� ح�ولf ل�ـ ال�ي5 ف� ال�ت��رب� دام وق� ح� اس�ت� ر ب�� ي ك�ور. ال�حدود ك�ب5 ال�مد�

د12- وج�� ع�لى ال�حد ا� طا� الأ� كب� ل�لح� ى ال�مرب�� ج� ف� اي�� اب� ب�� :³ ال�عملي ة� ال�ي ال�ي�

41

طا� اح�سث� ل�لحل: مى ال�ح� òع�ظ كب� الأ� ى ال�مرب�� سط ف� ل�كa ال�ن� طا� وك�د� مى ال�ح� òع�ظ الأ�كب� ى ال�مرب�� م ف� ام. ت�5 ي را³ً اح�سث� ال�مق� خ� طا� ا� كب� ال�ح� ى ال�مرب�� ج� ف� اي�� سمة� ب�� ون� ح�سث� ال�ق� ان�� ق��

طا� ى ال�ح� . ف� سمة� ال�ق�

42