Robust Control Toolbox (Control Robusto), Model Predictive Control Toolbox (Control Predictivo

Profesor Sebastián Marcos LópezDepartamento de Informática y Automática / Universidad de Salamanca

PRACTICAS

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REGULACION AUTOMATICA

1.1. MATLAB. Software básico y Toolboxes

1.2. El entorno de trabajo de MATLAB

1.3. Operaciones con números

1.4. Variables, funciones y expresiones numéricas1.5. Operaciones con polinomios1.6. Operaciones con vectores y matrices1.7. Representación gráfica de funciones en 2D y 3D

PRACTICA NPRACTICA Nºº 1:1:

INTRODUCCION A MATLABINTRODUCCION A MATLAB


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MATLAB es el nombre abreviado de MATrix LABoratory. Descripción de MATLAB:

1.1. MATLAB. SOFTWARE BASICO Y TOOLBOXES1.1. MATLAB. SOFTWARE BASICO Y TOOLBOXESCARACTERISTICASCARACTERISTICAS

Es un entorno integrado de trabajo para cálculo técnico y científico comercializado por Math Works Inc. (www.mathworks.com)

-20

24

68

-6-4

-20

24

6-6

-4

-2

0

2

4

6

Avión

Tiene implementadas más de 1000 funciones matemáticas, estadísticas y técnicas de cálculo numérico y simbólico

Muy potente para realizar cálculo numérico con matricesPermite la visualización de una amplia variedad de

gráficos en 2 y 3 dimensionesPermite desarrollar algoritmos mediante un lenguaje

propio de programación de alto nivel de sintaxis similar al lenguaje C, pero con menor esfuerzo

Es abierto y extensible. Permite la integración con C y Excel y los programas diseñados se pueden reutilizar en otras aplicaciones.

Características principales de MATLAB:


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REGULACION AUTOMATICA Además del software básico, MATLAB dispone numerosos

toolboxes añadidos, que son librerías de ampliación especializadas en muy diversos campos de la ciencia y la técnica

Toolboxes:

1.1. MATLAB. SOFTWARE BASICO Y TOOLBOXES1.1. MATLAB. SOFTWARE BASICO Y TOOLBOXESTOOLBOXESTOOLBOXES

De matemática general: Symbolic Math, Statistics Toolbox, Optimization Toolbox …

De adquisición de datos: Data Acquisition Toolbox, Instrument Control Toolbox …

De procesado de señales: Signal Processing Toobox, ImageProcessing Toolbox …

De sistemas de control: SIMULINK (Simulación de sistemas dinámicos), Control System Toolbox (Análisis y diseño de sistemas de control), Fuzzy Logic Toolbox (Lógica borrosa), Neural Network Toolbox (Redes Neuronales), Robust Control Toolbox (Control Robusto), Model PredictiveControl Toolbox (Control Predictivo) …

Ejemplos de Toolboxes:


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Electrónica eInformática

ProtokolleComunicaciones Industria

BiotecnológicaFarmacéuticaQuímica

Automoción

anzahl ()float zaebeginif wert > 0

begomzae = zae + 1

endend

Aeroespacial

Ventil geschlossenKlappe zu

Motor ein

Automatización industrial

Economía yfinanzas

ProtokolleIndustriaEnergética

1.1. MATLAB. SOFTWARE BASICO Y TOOLBOXES1.1. MATLAB. SOFTWARE BASICO Y TOOLBOXESSECTORES DE APLICACIONSECTORES DE APLICACION


PRACTICAS

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1.2. EL ENTORNO DE TRABAJO DE MATLAB1.2. EL ENTORNO DE TRABAJO DE MATLABVENTANASVENTANAS

La pantalla de entrada de MATLAB constituye el marco de trabajo general del programa. Esta es la vista que aparece por defecto. Puede cambiarse con la opción de menú View/Desktop Layout. Los elementos principales de esta pantalla son:

Pantalla de Inicio en MATLAB 7 :

Ventana de comandos: Ejecuta las instrucciones y los programas MATLAB a continuación del prompt >>

Ventana del historial de comandos: Presenta los últimos comandos introducidos en la Ventana de Comandos y permite recuperarlos y ejecutarlos

Ventana de directorio actual: Muestra los ficheros del directorio o carpeta actual. Este directorio se puede cambiar desde la propia ventanaVentana de espacio de trabajo:

Permite ver las variables almacenadas en memoria mostrando su tipo, tamaño y clase

Ventana de comandos

Ventana del historialde comandos

Ventana de directorio actual


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Ayuda en MATLAB (I) :

1.2. EL ENTORNO DE TRABAJO DE MATLAB1.2. EL ENTORNO DE TRABAJO DE MATLABAYUDA EN MATLABAYUDA EN MATLAB

MATLAB dispone de un eficiente sistema de ayuda en línea. La herramienta principal es el Navegador de la Ayuda, al que se accede haciendo click en el icono o bien mediante la ruta Help/MATLAB Help. En el panel de la izquierda del navegador de la ayuda se selecciona el tema, y en el panel de la derecha se presenta la ayuda relativa al tema seleccionado, siendo posible el uso de hipervínculos para navegar por su contenido.


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Ayuda en MATLAB (II) :

1.2. EL ENTORNO DE TRABAJO DE MATLAB1.2. EL ENTORNO DE TRABAJO DE MATLABAYUDA EN MATLABAYUDA EN MATLAB

En el panel izquierdo del Navegador de la Ayuda existen distintas pestañas con las principales opciones Contents (Ayuda por contenido, por defecto), Index (Ayuda por índice alfabético), Search (Ayuda por tema)

Otra vía importante para obtener ayuda de MATLAB es utilizar sus funciones de ayuda, ejecutables desde la ventana de comandos. Las más utilizadas son:

lookfor texto: Muestra todas las funciones que contienen el texto especificadohelp función: Muestra la descripción y sintaxis de la función especificadadoc función: Muestra la descripción y sintaxis de la función especificada en el Navegador


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Constantes :

1.3. OPERACIONES CON NUMEROS1.3. OPERACIONES CON NUMEROSCONSTANTES NUMCONSTANTES NUMÉÉRICASRICAS

Los elementos básicos de MATLAB son: constantes, variables, operaciones, funciones y expresiones numéricas.

Una constante numérica es cualquier número que se utiliza en un cálculo sin que varíe durante una sesión de trabajo. Pueden ser números enteros, racionales, reales y complejos.

MATLAB permite las operaciones habituales de suma, resta, producto, división, potencia, con la jerarquía habitual entre ellas.

Números enteros: -2 , 14 , 980 Números reales: Se pueden escribir de 2 maneras

- Con un máximo de 16 cifras significativas y el punto decimal en cualquierposición. Ej: 14.7958- Utilizando la notación exponencial. Permite simplificar la escritura de constantes reales muy grandes o muy pequeñas. Ej: 0.34e7(equivale a 0.34 ×107)

Números complejos: 3+4i , 3+4*j . En Matlab, las variables i, j están predefinidas como 1−== ji

Operaciones aritméticas : + Suma

- Resta

* Producto

/ División

^ Potencia

+ PRIORIDAD


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Ejemplo 1.1: Calcular las siguientes expresiones aritméticas

410) +a

1.3. OPERACIONES CON NUMEROS1.3. OPERACIONES CON NUMEROSEJEMPLOSEJEMPLOS

7)25()b)24()21()

3

×+c 4)21() id +


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1.3. OPERACIONES CON NUMEROS1.3. OPERACIONES CON NUMEROSFORMATOSFORMATOS

Una primera aplicación de MATLAB es su uso como una calculadora científica, con la ventaja de poseer una gran precisión de cálculo. El usuario puede especificar el grado de precisión que desea. A continuación, se citan los comandos más usuales que permiten determinar el formato de los resultados:

format short Ofrece los resultados con 4 cifras decimales. Es el formato por defecto de MATLAB

format short e Ofrece los resultados con 4 cifras decimales más la potencia de 10 necesaria

format long Ofrece los resultados con 16 cifras significativas

format long e Ofrece los resultados con 16 cifras significativas más la potencia de 10 necesaria

format bank Ofrece los resultados con 2 decimales

format rat Permite operar con números racionales y presentar los resultados en forma racional

También es posible modificar el formato numérico mediante la opción de menúFile/Preferences… /Numeric format


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Ejemplo 1.2: Obtener una aproximación numérica de con distintos formatos

1.3. OPERACIONES CON NUMEROS1.3. OPERACIONES CON NUMEROSEJEMPLOSEJEMPLOS

14167


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1.4. VARIABLES, FUNCIONES Y EXPRESIONES NUMERICAS1.4. VARIABLES, FUNCIONES Y EXPRESIONES NUMERICASVARIABLESVARIABLES

Variables :Una variable es una etiqueta que identifica una porción de memoria; en ella se pueden guardar datos de tipo numérico o alfanumérico (caracteres) y se pueden modificar durante la vida de la variable en la sesión de trabajo.MATLAB no requiere ningún tipo de comando para declarar variables. Simplemente, se crea la variable mediante la asignación directa de su valor.

Los nombres de las variables pueden tener hasta 31 caracteres, letras y números. Sólo se requiere que el primer carácter sea una letra. Para nombrar variables no pueden utilizarse caracteres especiales como + , - , * , / , ^ , < , > , …


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1.4. VARIABLES, FUNCIONES Y EXPRESIONES NUMERICAS1.4. VARIABLES, FUNCIONES Y EXPRESIONES NUMERICASVARIABLESVARIABLES

Observaciones sobre Variables en MATLAB :

MATLAB distingue entre letras mayúsculas y minúsculas. Por tanto, una variable con mayúsculas es distinta de una variable con minúsculas.

Para conocer las variables definidas en cualquier momento de la sesión podemos utilizar el comando whos o bien observar la ventana del espacio de trabajo (Workspace)

Para eliminar una variable, se utiliza el comando clear variable . Si se desean eliminar todas las variables, se utiliza el comando clear . Se borrará todo el espacio de trabajo

Existen variables predefinidas en MATLAB, algunas de las cuales se muestran en la Tabla anexa:

ans Variable utilizada por defecto para almacenar el resultado de la última operación

pi π

Inf h (Por ejemplo 1/0)

NaN Indeterminación (Por ejemplo 0/0)

eps Número más pequeño que sumado a otro crea un nuevo número en coma flotante. Aproximadamente es 2.2e-16

realmin / realmax Menor / mayor número positivo utilizable


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FUNCION SIGNIFICADO abs(x) Valor absoluto acos(x) Arcocoseno acosh(x) Arcocoseno hiperbólico asin(x) Arcoseno asinh(x) Arcoseno hiperbólico atan(x) Arcotangente atanh(x) Arcotangente hiperbólica ceil(x) Redondeo hacia el entero superior a xconj(x) Complejo conjugado cos(x) Coseno cosh(x) Coseno hiperbólico exp(x) Exponencial e =2.7183

FUNCION SIGNIFICADO abs(x) Valor absoluto acos(x) Arcocoseno acosh(x) Arcocoseno hiperbólico asin(x) Arcoseno asinh(x) Arcoseno hiperbólico atan(x) Arcotangente atanh(x) Arcotangente hiperbólica ceil(x) Redondeo hacia el entero superior a xconj(x) Complejo conjugado cos(x) Coseno cosh(x) Coseno hiperbólico exp(x) Exponencial e =2.7183

FUNCION SIGNIFICADO fix(x) Elimina la parte decimal de x floor(x) Redondeo hacia el entero inferior a x imag(x) Parte imaginaria compleja log10(x) Logaritmo común log (x) Logaritmo neperiano rats(x) Aproxima x por una fracción rem(x,y) Resto de la división (resto al dividir x/ y)round(x) Redondeo al entero más cercano sin(x) Seno sinh(x) Seno hiperbólico sqrt(x) Raiz cuadrada tan(x) Tangente tanh(x) Tangente hiperbólica

FUNCION SIGNIFICADO fix(x) Elimina la parte decimal de x floor(x) Redondeo hacia el entero inferior a x imag(x) Parte imaginaria compleja log10(x) Logaritmo común log (x) Logaritmo neperiano rats(x) Aproxima x por una fracción rem(x,y) Resto de la división (resto al dividir x/ y)round(x) Redondeo al entero más cercano sin(x) Seno sinh(x) Seno hiperbólico sqrt(x) Raiz cuadrada tan(x) Tangente tanh(x) Tangente hiperbólica

1.4. VARIABLES, FUNCIONES Y EXPRESIONES NUMERICAS1.4. VARIABLES, FUNCIONES Y EXPRESIONES NUMERICASFUNCIONES MATEMATICASFUNCIONES MATEMATICAS

Matlab dispone de numerosas funciones predefinidas, lo que proporciona una gran potencia a este paquete. En este apartado, veremos las funciones reales de argumento real.Matlab ofrece un conjunto completo de funciones trigonométricas, hiperbólicas, exponenciales, logarítmicas y otras funciones específicas de variable numérica:

Una función tiene la forma: nombre nombre (argumento)(argumento)donde nombrenombre identifica la función a utilizar y argumentoargumento el valor donde queremos evaluarla.

Funciones :


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1.4. VARIABLES, FUNCIONES Y EXPRESIONES NUMERICAS1.4. VARIABLES, FUNCIONES Y EXPRESIONES NUMERICASEXPRESIONES NUMEXPRESIONES NUMÉÉRICASRICAS

Una expresión numérica es un conjunto de números, variables y funciones previamente definidas, relacionados todos ellos por operadores aritméticos.Se permite el uso de espacios en blanco para separar las unidades básicas de la expresión, mejorando su presentación y lectura posterior.

Expresiones numéricas :

Si una expresión es demasiado larga puede seguirse escribiendo en la línea siguiente. Se indica por “ … “ seguido por “Enter”Ejemplo 1.3: Un termistor NTC tiene una característica resistencia-temperatura representada por siendo Ro=10000 Ω y T la temperatura en grados Celsius. Obtener el valor de la resistencia (en ohmios) para una temperatura T=20 ºC

TOeRR 1.0−=


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1.4. VARIABLES, FUNCIONES Y EXPRESIONES NUMERICAS1.4. VARIABLES, FUNCIONES Y EXPRESIONES NUMERICASEJEMPLOSEJEMPLOS

Ejemplo 1.4: Resolver numéricamente la ecuación de segundo gradoAplicar la conocida fórmula

01342 =++ xx

aacbbx

242

2,1−±−

=


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1.5. OPERACIONES CON POLINOMIOS1.5. OPERACIONES CON POLINOMIOSDEFINICIONDEFINICION

Un polinomio en MATLAB se representa como un vector fila con los coeficientes del polinomio ordenados en orden decreciente de la potencia de la variable entre corchetes.Todos los coeficientes que sean nulos deben incluirse.

Definición de Polinomios :

172)( 2 ++= xxxpEjemplo 1.5: Introducir en MATLAB los polinomios y xxxq 3)( 3 +=


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1.5. OPERACIONES CON POLINOMIOS1.5. OPERACIONES CON POLINOMIOSCALCULO DEL VALORCALCULO DEL VALOR

Cálculo del valor de un polinomio en un punto :

Para evaluar el valor de un polinomio p en un punto x se utiliza la instrucción polyval(p,x)

185)( 23 +++= xxxxpEjemplo 1.6: Calcular el valor del polinomio en el punto x = 2


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1.5. OPERACIONES CON POLINOMIOS1.5. OPERACIONES CON POLINOMIOSRAICESRAICES

Para calcular las raíces de un polinomio p se utiliza la instrucción roots(p)Raices de un polinomio :

1393)( 23 ++−= xxxxpEjemplo 1.7: Calcular las raíces del polinomio

Para reconstruir un polinomio a partir de sus raíces se utiliza la instrucción polyEjemplo 1.8: Reconstruir el polinomio cuyas raíces son -1, 2 + 3i


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Ejemplo 1.9: Sumar y restar los polinomios y

1.5. OPERACIONES CON POLINOMIOS1.5. OPERACIONES CON POLINOMIOSOPERACIONESOPERACIONES

Los polinomios admiten las operaciones de suma, resta, multiplicación y divisiónOperaciones con polinomios :

432)(1 2 ++= xxxp

Suma y resta: Para sumar o restar polinomios deben tener el mismo grado o bien debe completarse el polinomio de menor grado con los ceros necesarios a la izquierda para que tengan el mismo número de coeficientes

169)(2 += xxp


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Ejemplo 1.10: Multiplicar y dividir los polinomios y

1.5. OPERACIONES CON POLINOMIOS1.5. OPERACIONES CON POLINOMIOSOPERACIONESOPERACIONES

Operaciones con polinomios :

12)(1 2 +−= xxxp

Multiplicación y división: Para multiplicar los polinomios p1 y p2 se utiliza el comando conv(p1,p2)Para dividir los polinomios p1 y p2 se utiliza el comando deconv(p1,p2). Si la división no es exacta, podemos obtener el cociente y el resto mediante [coc, res]=deconv(p1,p2)

1)(2 += xxp


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1.6. OPERACIONES CON VECTORES Y MATRICES1.6. OPERACIONES CON VECTORES Y MATRICESVECTORESVECTORES

Las matrices m×n son el tipo de dato fundamental en MATLAB, de ahí su nombre de MATrix LABoratory.Los vectores son tratados como un caso particular de matriz de una fila 1×n (vector fila) o de una columna m×1 (vector columna) .Los números o variables escalares son tratados como una matriz 1×1 .

Tipos de datos :

Definición de vectores :Un vector fila se define escribiendo entre corchetes sus componentes separados por blancos o comas :

>> vector_fila= [v1 v2 v3 …vn]Un vector columna se define escribiendo sus componentes separados por intro o “; “

>> vector_columna= [v1; v2; v3; … ;vn] o bien:>> vector_columna= [v1

v2 …vn]


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1.6. OPERACIONES CON VECTORES Y MATRICES1.6. OPERACIONES CON VECTORES Y MATRICESEJEMPLOSEJEMPLOS

Ejemplo 1.11: Introducir en MATLAB los vectores y)432(=v

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

9864

w


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1.6. OPERACIONES CON VECTORES Y MATRICES1.6. OPERACIONES CON VECTORES Y MATRICESGENERACION DE VECTORESGENERACION DE VECTORES

Existen varias formas de definir una variable vectorial sin tener que teclear por pantalla todos sus elementos. Se presentan en la siguiente tabla:

Generación de vectores :

variable=[a:b] Define un vector fila cuyo primer elemento es a y el último es b, estando los intermedios separados de uno en uno

variable=[a: p :b] Define un vector fila cuyo primer elemento es a y el último es b, estando los intermedios separados por el incremento p

variable=linspace(a,b,n) Define un vector fila cuyo primer elemento es a y el último es b, que tiene un total de n elementos uniformemente espaciados entre sí

variable=logspace(a,b,n) Define un vector fila de n elementos logarítmicamente espaciados entre 10a y 10b

La notación “ : ” es muy utilizada en todas las aplicaciones de MATLAB

La dimensión de un vector v puede obtenerse con el comando length(v)


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Ejemplo 1.12: Se quiere observar la velocidad de un motor entre 0 y 4 segundos, con un intervalo de medio segundo. Generar el vector tiempo de análisis

Ejemplo 1.13: Se quiere observar la respuesta de un amplificador de audio en la banda de los graves. Generar un vector de 10 frecuencias entre 100Hz y 1000Hz uniformemente espaciadas en escala logarítmica


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1.6. OPERACIONES CON VECTORES Y MATRICES1.6. OPERACIONES CON VECTORES Y MATRICESSELECCISELECCIÓÓN DE ELEMENTOS DE VECTORESN DE ELEMENTOS DE VECTORES

Podemos seleccionar un elemento de un vector o un subconjunto de elementos del mismo. Las reglas se presentan en la siguiente tabla:

Selección de componentes de vectores :

x(n) Devuelve el n-ésimo elemento del vector x

x(i:j) Devuelve los elementos del vector x situados entre el i-ésimo y el j-ésimo, ambos inclusive

x(i: p :j) Devuelve los elementos del vector x situados entre el i-ésimo y el j-ésimo, separados de p en p unidades

Ejemplo 1.14: Dado un vector con los números naturales de 1 a 10, a) seleccionar los elementos situados entre el segundo y el octavo, b) de éstos, seleccionar sólo los pares


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1.6. OPERACIONES CON VECTORES Y MATRICES1.6. OPERACIONES CON VECTORES Y MATRICESOPERACIONES CON VECTORESOPERACIONES CON VECTORES

Operaciones con vectores :

v + k Suma k a cada componente de vv – k Resta k a cada componente de v v * k ó k * v Multiplica por k cada componente de vv/k Divide por k cada componente de vv. ^ k Genera un nuevo vector donde cada componente se obtiene de elevar a k la

correspondiente componente de v

Operaciones con escalares: suma, resta, multiplicación, división y exponenciación.Dado un vector v y un número real k :

Operaciones entre vectores: Cuando 2 vectores v1 y v2 sean de la misma dimensión se puede realizar la suma, resta, multiplicación, división y exponenciación, entendiendo que se hace componente a componente.

v1 + v2 Suma dos vectores componente a componentev1 - v2 Resta dos vectores componente a componentev1 .* v2 Multiplica dos vectores componente a componentev1 ./ v2 Divide dos vectores componente a componentev1 .^ v2 Genera un nuevo vector cuya componente i-ésima se obtiene de elevar la

componente i-ésima de v1 a la componente i-ésima de v2


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Ejemplo 1.15: Sea el escalar k=10 y los vectores v1=[1 2 3] y v2=[4 5 6] . Realizar las siguientes operaciones observando los resultados: a) k*v1 ; b) v1+v2 ; c) v1.*v2 ; d) v1.^v2


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1.6. OPERACIONES CON VECTORES Y MATRICES1.6. OPERACIONES CON VECTORES Y MATRICESFUNCIONES DE ARGUMENTO VECTORIALFUNCIONES DE ARGUMENTO VECTORIAL

Funciones de argumento vectorial:Todas las funciones matemáticas definidas para escalares admiten como argumento un

vector, dando como resultado la aplicación de la función sobre cada elemento del vectorExisten también funciones específicas de MATLAB definidas sobre vectores.

Algunas de ellas se muestran en la siguiente tabla:sum(v) Suma de los componentes de un vectorprod(v) Producto de los componentes de un vector

´ Transposición de un vector. Cambia un vector fila en un vector columna y viceversa

dot(v1,v2) Producto escalar de dos vectores v1 y v2cross(v1,v2) Producto vectorial de dos vectores v1 y v2

min(v) Valor mínimo de los componentes de v

max(v) Valor máximo de los componentes de v

mean(v) Valor medio de los componentes de v

sort(v) Ordena de manera ascendente los componentes de v


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Ejemplo 1.16: a) Efectuar la operación raíz cuadrada sobre el vector x=[1 4 9 16] b) Calcular el seno del vector de ángulos theta=[0 pi/4 pi/2 pi]

Ejemplo 1.17: Dados los vectores v1=[1 2 3] y v2=[4 5 6], realizar las siguientes operaciones:a) Suma de los componentes de v1, b) Producto escalar de v1 y v2


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1.6. OPERACIONES CON VECTORES Y MATRICES1.6. OPERACIONES CON VECTORES Y MATRICESDEFINICIDEFINICIÓÓN DE MATRICES. SUBMATRICESN DE MATRICES. SUBMATRICES

Definición de matrices:Las matrices se definen en MATLAB introduciendo sus vectores filas separados por

punto y coma. Por ejemplo, una matriz 3 × 3A= [a11 a12 a13 ; a21 a22 a23; a31 a32 a33]

Los elementos de una matriz se identifican por 2 índices, el primero indica la fila y el segundo la columna. Así A(m,n) define el elemento (m,n) de la matriz A.

Submatrices:Para crear una submatriz podemos utilizar el comando A(i:j , k:l) que

extrae las filas desde la i hasta la j y las columnas desde la k a la l.

Para extraer una fila, por ejemplo la i-ésima, se utiliza el comando A(i,:)

Para extraer una columna, por ejemplo la j-ésima, se utiliza el comando A(:,j) Para extraer una serie de filas, por ejemplo la m y la n, se utiliza el comando A([m,n],:) Para extraer una serie de columnas, por ejemplo la m y la n, se utiliza el comandoA(:,[m,n])

La dimensión de una matriz A puede obtenerse con la instrucción size(A)


PRACTICAS

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Ejemplo 1.18: Dada la matriz A

a) Seleccionar la submatriz formadapor las tres primeras filas y columnasb) Seleccionar la primera y la cuartacolumna

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

16151413121110987654321

A


PRACTICAS

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1.6. OPERACIONES CON VECTORES Y MATRICES1.6. OPERACIONES CON VECTORES Y MATRICESMATRICES ESPECIALESMATRICES ESPECIALES

Generación de matrices especiales:Existen comandos MATLAB para generar matrices especiales.

zeros(m,n) Genera una matriz de orden m×n con todos sus elementos nulosones(m,n) Genera una matriz de orden m×n con todos sus elementos 1eye(m,n) Genera una matriz de orden m×n con unos sobre la diagonal principal

y ceros en el resto. eye(n) Crea la matriz identidad de orden nrand(m,n) Genera un matriz de orden m×n con coeficientes aleatorios entre 0 y 1

Ejemplo 1.19: a) Generar una matriz de unos de dimensión 2×4 ; b) Generar una matriz aleatoria de dimensión 3 ×4


PRACTICAS

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1.6. OPERACIONES CON VECTORES Y MATRICES1.6. OPERACIONES CON VECTORES Y MATRICESOPERACIONES CON MATRICESOPERACIONES CON MATRICES

Operaciones con matrices:Operaciones con escalares: Son válidas todas las operaciones explicadas para vectores

A + B Suma de matrices de la misma dimensión. La matriz suma se obtiene sumando cada elemento de A con el correspondiente elemento de B

A - B Resta de matrices de la misma dimensión. La matriz suma se obtiene restando cada elemento de A con el correspondiente elemento de B

A * B Producto de matrices en el sentido habitual. El número de filas de la primera debe coincidir con el número de columnas de la segunda

A / B División a derecha. Realiza la operación A dividida por B, entendiendo esto como AB -1. La matriz B debe ser cuadrada y su dimensión igual al número de filas de A

A ^ k Exponenciación. Calcula el producto de la matriz por sí misma tantas veces como indique el exponente k. La matriz debe ser cuadrada

A.* B , A ./ B A .^ k

Operación producto, división y exponenciación componente a componente

A \ B División a la izquierda. Realiza la operación B dividida por A, entendiendo esto como A-1 B. La matriz A debe ser cuadrada y su dimensión igual al número de columnas de B

A’ Si la matriz A es real calcula la transpuesta cambiando filas por columnas. Si la matriz es compleja calcula la transpuesta conjugada

Operaciones entre matrices: Dados k, un número natural, y 2 matrices A y B


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Ejemplo 1.20: Dadas las matrices A y B

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

987654321

Aa) Realizar la suma de las matrices A y Bb) Realizar el producto de las matrices A y Bc) Multiplicar las matrices A y B componente a componented) Elevar la matriz A al cuadradoe) Elevar cada componente de A al cuadrado

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

181716151413121110

B


PRACTICAS

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Ejemplo 1.20 (sigue) :


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1.6. OPERACIONES CON VECTORES Y MATRICES1.6. OPERACIONES CON VECTORES Y MATRICESRESOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALESRESOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Determinante. Matriz inversa. Rango:

Si la matriz A es no singular, es decir, si su determinante es no nulo, entonces se puede calcular su inversa mediante el comando inv(A)

El determinante de una matriz cuadrada A puede calcularse con la instrucción det(A)

El rango de una matriz A, es decir el orden del mayor menor de determinante no nulo, se puede calcular con la instrucción rank(A)

Ejemplo 1.21: Dada la matriz ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−=

6104427

2186C a) Calcular su determinante

b) Calcular su matriz inversa


PRACTICAS

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1.6. OPERACIONES CON VECTORES Y MATRICES1.6. OPERACIONES CON VECTORES Y MATRICESRESOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALESRESOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Resolución de sistemas de ecuaciones lineales:

La solución clásica es por el método de Cramer. MATLAB permite resolver este sistema de varias formas mucho más rápidas:

Dado un sistema de ecuaciones lineales:

11212111 ... bxaxaxa nn =+++

...{ 22222121 ... bxaxaxa nn =+++

nnnnnn bxaxaxa =+++ ...2211

Se puede poner en forma matricial comoAX=B :

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

nnnn

n

n

aaa

aaaaaa

......

...

...

21

22221

11211

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

nx

xx

...2

1

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

nb

bb

...2

1

X=A \ B Dadas las matrices A y B, mediante la división a la izquierda X=A-1 B , se resuelve el sistema AX=B

X=linsolve(A,B) Dadas las matrices A y B, resuelve el sistema AX=B[x1,x2,…,xn]= solve(‘ec1, ec2, …, ecn’ , ’x1,x2, …,xn’) Resuelve n ecuaciones simultáneas ec1,ec2, …, ecn en

las variables x1, x2, …, xn . En la instrucción se escriben las ecuaciones de manera explícita sin tenerque predefinir las matrices A y B


PRACTICAS

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Ejemplo 1.22: Resolver el sistema de ecuaciones lineales:

utilizando las posibilidades de MATLAB

36632 321 =++ xxx{ 804654 321 =++ xxx351087 321 =++ xxx


PRACTICAS

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1.7. REPRESENTACION GRAFICA DE FUNCIONES EN 2D Y 3D1.7. REPRESENTACION GRAFICA DE FUNCIONES EN 2D Y 3DGRAFICOS 2DGRAFICOS 2D

Gráficos en 2 dimensiones:

Existen 2 maneras básicas para obtener representaciones con MATLAB:-A partir de instrucciones para trazar todo tipo de gráficos introducidas en la ventana de comandos- Usando Herramientas de Dibujo para crear gráficos interactivamente

Nos centraremos en la representación de funciones de 1 variable en coordenadas cartesianas, coordenadas polares y coordenadas paramétricas.Curvas 2D en coordenadas cartesianas y=f(x) :Gráficas con el comando plot : Para representar curvas en el plano cartesiano, puede utilizarse la instrucción plot(x,y) , que reproduce la gráfica de las componentes de un vector x frente a las componentes de otro vector y.El método para graficar una función y=f(x) con el comando plot es el siguiente:1) Introducir el intervalo o dominio de representación en x2) Definir la función a dibujar, y3) Aplicar la instrucción plot(x,y). Aparece el gráfico en una ventana nueva4) Opcionalmente seleccionar los atributos de la curva: color y estilo de línea


PRACTICAS

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Las opciones de colores y estilo de línea son las siguientes:COLORES

y Amarillom Magentac Cyan

b Azul

r Rojog Verde

w Blancok Negro

ESTILOS. Puntoso Círculosx Marcas x

- Línea continua

-- Línea discontinua

+ Marcas +* Marcas *

: Línea punteada

-. Punto y raya

Los atributos de la curva se pueden añadir entre comillas simples a lainstrucción plot (x,y,’opciones’) o bien se pueden añadir en la ventana gráfica.

Para añadir una cuadrícula a modo de rejilla se utiliza la instrucción grid :Para añadir etiquetas de identificación de las variables se utiliza : xlabel(‘texto’)para el eje x , ylabel(‘texto’) para el eje y)Para añadir un título a la gráfica se utiliza la instrucción title(‘título’)Para cambiar los ejes por defecto, axis(‘[ x0 x1 y0 y1 ]’) pinta los ejes coordenados

con la abcisa en el intervalo [ x0 x1 ] y la ordenada en el intervalo [ y0 y1 ]


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REGULACION AUTOMATICA Ejemplo 1.23: Representar la senoide amortiguada exponencialmente

)5(10 tseney t−= en el intervalo de tiempo de 0 a 10 segundos

1.7. REPRESENTACION GRAFICA DE FUNCIONES EN 2D Y 3D1.7. REPRESENTACION GRAFICA DE FUNCIONES EN 2D Y 3DEJEMPLOSEJEMPLOS


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Gráficas con el comando fplot : La instrucción fplot(‘ f ’, [xmin xmax] )representa la función f en el intervalo de variación entre xmin y xmax. Tiene la ventaja de que no es necesario crear un conjunto de datos para la variable x, sino sólo hay que dar sus límites de variación.

Ejemplo 1.24: Utilizando fplot representar la senoide amortiguada exponencialmente del ej. 1.23)5(10 tseney t−= en el intervalo de tiempo de 0 a 10 segundos

La instrucción fplot admite las mismas opciones que plot añadiéndolas entre comillas simples fplot(‘f’, [xmin xmax],’opciones’)


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Representación simultánea de gráficas en una misma ventanaMATLAB permite representar varias funciones en la misma ventana de 2 maneras básicas:a) Mediante el comando hold : Cuando se activa mediante hold on permite mantener y superponer todos los gráficos que se realicen sobre los mismos ejes. Esta opción se desactiva con hold off .b) Mediante los comandos plot o fplot : Las instruccionesplot(x1,y1,’opciones1’,x2,y2,’opciones2’,…) yfplot( [f1 ,f2, …] , [xmin, xmax], ‘opciones1’ , ‘opciones2’ ,…)grafican varias funciones sobre los mismos ejes

Representación de varias gráficas en distintas subventanasLa instrucción subplot(m,n,p) divide la ventana gráfica en m×n subventanas y coloca el gráfico actual en la ventana p-ésima, empezando a contar por la subventana superior izquierda y de izquierda a derecha

subplot 221 subplot 222

subplot 223 subplot 224


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REGULACION AUTOMATICA Ejemplo 1.25: Representar en una misma gráfica las funciones )(1 tseny =

en el intervalo de [0, 4π]

)cos(2 ty =de color rojo y trazo en círculos e de color verde y trazo continuo



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REGULACION AUTOMATICA Ejemplo 1.26: Representar en distintas subventanas las 4 funciones siguientes

tey −=1

en el intervalo de [0, 10]

)cos(3 tey t−=


ttey −=2 )cos(4 tey t=


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Curvas 2D en coordenadas paramétricas :Una curva en paramétricas viene dada por las ecuaciones x=x(t) ; y=y(t) , siendo t un parámetro. Para representar curvas en coordenadas paramétricas, puede utilizarse la instrucción plot(x,y)El método para graficar una curva en paramétricas con el comando plot es el siguiente:1) Introducir el dominio de representación del parámetro t2) Definir las ecuaciones en coordenadas paramétricas, x=x(t) ; y=y(t) 3) Aplicar la instrucción plot(x,y)4) Opcionalmente seleccionar los atributos de la curva: color y estilo de línea

Curvas 2D en coordenadas polares ρ=ρ(θ) :Una curva en polares viene dada por la ecuación ρ=ρ(θ) , siendo ρ el radio y θ el ángulo. Para representar curvas en coordenadas polares, puede utilizarse la instrucción polar (θ, ρ)El método para graficar una curva en polares con el comando polar essimilar al utilizado con plot


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Ejemplo 1.27: Representar una elipse de semiejes a=2 y b=1 centrada en el origen en coordenadas paramétricas )cos( tax =


)(tsenby =


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REGULACION AUTOMATICA Ejemplo 1.28: Representar la función en coordenadas polares


)2cos()2( ttsen=ρ


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Curvas 3D en coordenadas paramétricas :

Una curva en paramétricas viene dada por las ecuaciones x=x(t) ; y=y(t); z=z(t) , siendo t un parámetro. Para representar curvas en coordenadas paramétricas, puede utilizarse la instrucción plot3(x,y)

El método para graficar una curva en paramétricas con elcomando plot3 es el siguiente:1) Introducir el dominio de representación del parámetro t2) Definir las ecuaciones en coordenadas paramétricas,

x=x(t) ; y=y(t); z=z(t)3) Aplicar la instrucción plot3(x,y,z)4) Opcionalmente seleccionar los atributos de la curva: color

y estilo de línea

MATLAB permite realizar gráficos en 3 dimensiones, tanto de curvas como de superficies.


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REGULACION AUTOMATICA Ejemplo 1.29: Representar una hélice de 5 vueltas alrededor del eje z

)cos( tx =


)(tseny =tz =


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Superficies 3D :Una función de 2 variables z=z(x,y) se representa por una superficie en el espacio. Para

representar gráficamente una superficie, MATLAB construye una malla de rectángulos sobre ella; calcula una malla rectangular de su dominio en el plano xy primero y, a continuación, las coordenadas z de los puntos correspondientes a los vértices de esta malla.El método para graficar una función de 2 variables en 3D es el siguiente:

xy

z1) Utilizando el comando meshgrid (intervalo en x, intervalo en y), definir la malla de puntos en el plano xy sobre los cuales se evalúa la función de 2 variables para su representación gráfica

2) Definir la superficie a representar z=z(x,y)3) Utilizar los comandos disponibles para representar superficies:

- mesh(z): Genera una gráfica de la superficie z=z(x,y) en forma de rejilla transparente. El color de cada rejilla es proporcional a la altura sobre el plano xy- surf(z) : Genera una gráfica de la superficie z=z(x,y) en forma de polígonos coloreados, rellenando cada placa o “faceta” de la rejilla con un color.

mesh

surf

xy

z


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REGULACION AUTOMATICA Ejemplo 1.30: Representar un paraboloide de revolución

en el intervalo de x entre [-10,10] y de y entre [-10,10] utilizando mesh


22 yxz +=


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REGULACION AUTOMATICA Ejemplo 1.31: Representar un hiperboloide de 2 hojas (silla de montar)

en el intervalo de x entre [-10,10] y de y entre [-10,10] utilizando surf


22 yxz −=


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1.7. REPRESENTACION GRAFICA DE FUNCIONES EN 2D Y 3D1.7. REPRESENTACION GRAFICA DE FUNCIONES EN 2D Y 3DHERRAMIENTAS PARA PERSONALIZACIHERRAMIENTAS PARA PERSONALIZACIÓÓN Y RETOQUE DE FIGURASN Y RETOQUE DE FIGURAS

Existen distintas barras de herramientas accesibles desde la opción de menúView de la ventana de Figura, que permiten editar la figura añadiendo flechas, texto, etc., rotar o visualizar el gráfico desde diferentes posiciones, ver el valor de un punto seleccionado mediante cursor, …

Creación de subgráficas

Variables del Workspace

Herramientas de dibujo

Propiedades de la Figura

Barras de herramientas

Robust Control Toolbox (Control Robusto), Model Predictive Control Toolbox (Control Predictivo

Documents

Transcript of Robust Control Toolbox (Control Robusto), Model Predictive Control Toolbox (Control Predictivo