UNIVERSIDADE ANHANGUERA DE SÃO PAULO

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA

ALEXSANDRO SOARES CANDIDO

O DESENVOLVIMENTO DA COMPETÊNCIA

PROFISSIONAL DE ESTUDANTES DE PEDAGOGIA

PARA ENSINAR O RACIOCÍNIO

PROPORCIONAL

SÃO PAULO

2019

ALEXSANDRO SOARES CANDIDO

O DESENVOLVIMENTO DA COMPETÊNCIA

PROFISSIONAL DE ESTUDANTES DE PEDAGOGIA

PARA ENSINAR O RACIOCÍNIO

PROPORCIONAL

Tese apresentada como exigência parcial à Banca Examinadora da Universidade Anhanguera de São Paulo, para obtenção do título de DOUTOR em Educação Matemática, sob a orientação da Prof.ª Dr.ª Angélica Garcia da Silva Fontoura

SÃO PAULO

2019

Ficha Catalográfica elaborada por: Bibliotecária Roselaine R. de Bastos Novato CRB/8 9676

C223d

Candido, Alexsandro Soares

O desenvolvimento da competência profissional de estudantes de pedagogia para ensinar o raciocínio proporcional. / Alexsandro Soares Candido. – São Paulo, 2019.

310 f.: il.; 30 cm Tese (Programa de Pós-graduação em Educação Matemática) –

Coordenadoria de Pós-graduação - Universidade Anhanguera de São Paulo, 2019.

Orientadora: Profa. Dra. Angélica Garcia da Silva Fontoura

1. Raciocínio proporcional. 2. Formação inicial de professores. 3.

Competência profissional. 4. Conhecimentos necessários para o ensino. I. Título. II. Anhanguera Educacional

CDD 372.7

Autorizo, exclusivamente para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total ou

parcial desta Dissertação por processos de fotocopiadoras ou eletrônicos

Dedico este trabalho a meus pais queridos,

à minha filha e à minha amada esposa,

pela compreensão e pelo incentivo em

todos os momentos.

AGRADECIMENTOS

Ao senhor Jesus Cristo, pela sustentação nos momentos difíceis, por ter me dado

forças quando fraquejei, pelo direcionamento e capacitação que me fizeram chegar

até aqui.

À minha orientadora, Professora Doutora Angélica Garcia da Silva Fontoura, pelos

ensinamentos, pela amizade e, principalmente, paciência durante as orientações.

Ao Professor Doutor Ubiratan D’Ambrosio, da Universidade Anhanguera de São

Paulo, que muito nos honrou em participar da banca de defesa.

À Professora Doutora Vera Helena Giusti de Souza, pelas contribuições, sugestões

e críticas importantes na fase inicial do curso e nas orientações que me ajudaram a

iniciar a presente pesquisa.

À Professora Maria Elisabete Brisola Brito Prado, pelas contribuições durante a

concepção da pesquisa, pelo apoio e conselhos proporcionados durante o curso e por

sua participação na banca de defesa.

Ao Professor Doutor Alécio Damico, que aceitou participar da banca e pelas

contribuições fornecidas na qualificação.

À Professora Doutora Monica Karrer, por ser uma das melhores pessoas que conheci

e por ter me auxiliado a dar os primeiros passos na Educação Matemática.

À Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES), pela

bolsa de Estudos fornecida.

Ao Professor Doutor Ruy Pietropaolo, por ter me propiciado a oportunidade de

estudar num curso de excelência no País e fornecer a todos um ambiente agradável.

Aos Professores do Programa de Ensino de Pós-graduação em Educação

Matemática da Universidade Anhanguera de São Paulo, pelas contribuições no trajeto

da pesquisa.

Aos amigos que construí ao longo do curso, pelas colaborações, pelas conversas e

apoio nessa empreitada.

Às estudantes voluntárias do curso de Pedagogia da Universidade Estácio-FNC, pela

dedicação integral durante as seções e pelas ricas contribuições fornecidas.

À minha esposa Andréa, pela parceria, por seu apoio, sua paciência e seus conselhos

em tempos de angústia.

Aos meus pais, por terem me possibilitado chegar aonde jamais poderia imaginar.

À minha filha Alessandra, pela compreensão, pelo carinho e paciência com minha

ausência.

Meus sinceros agradecimentos a todos.

“Ao professor é reservada alguma coisa

mais nobre. Ao professor é reservado o

papel de dialogar, de entrar no novo junto

com os alunos, e não o de mero

transmissor do velho” (D’ AMBROSIO,

1997, p. 10).

RESUMO A presente pesquisa, de natureza qualitativa, buscou analisar os conhecimentos profissionais e a competência docente – “olhar com sentido para o raciocínio proporcional de seus alunos” – de 30 futuras professoras que cursavam Pedagogia em uma universidade particular de São Paulo, participantes de um curso de formação sobre o raciocínio proporcional e seu ensino. Esta investigação se desenvolveu em três etapas: a primeira foi destinada à revisão de literatura; a segunda foi dirigida à pesquisa de campo; e a terceira etapa voltou-se à análise dos dados. As informações coletadas durante as 10 sessões de um curso de 20 horas, fundamentaram-se nos estudos de Ball, Thames e Phelps acerca dos conhecimentos necessários para o ensino e em Llinares e Fernández e Llinares, que discutem os pressupostos para o desenvolvimento da competência profissional – olhar com sentido para o pensamento matemático dos alunos. Os resultados do questionário preliminar revelaram dificuldades de as estudantes relacionarem a temática a exemplos do cotidiano e do ensino, apontaram suas limitações ao lidar com situações de valor omisso e de comparação entre dois pares de razões e identificaram que a maioria apresentou problemas em diferenciar situações proporcionais de não proporcionais. Os resultados das atividades de resolução expuseram evoluções nas atividades relativas às ideias de dobro, triplo e redução de grandezas em situações de proporcionalidade. Nas atividades de resolução, a maioria das futuras professoras compreendeu, reconheceu e utilizou o fator de proporcionalidade corretamente. Embora algumas ainda apresentassem dificuldades ao relacionar o raciocínio proporcional às relações multiplicativas e não aditivas, elas conseguiram resolver situações envolvendo uma maior diversidade de estratégias de resolução: escalar, funcional, produto cruzado, valor unitário e up down. Nas primeiras atividades houve lacunas na aprendizagem de algumas participantes quanto ao trabalho com números racionais nas representações fracionária e decimal, as quais foram discutidas durante o processo formativo. Os resultados das atividades profissionais apontaram avanços: o grau de compreensão e a capacidade de resolução das participantes aumentaram, pois elas reconheceram resoluções de alunos fictícios; a maioria descreveu corretamente estratégias utilizadas e procedimentos de cálculo associados à regra de três, à multiplicação, à divisão, aos cálculos com frações e à proporcionalidade. Algumas participantes – mesmo aquelas que não utilizaram a linguagem matemática específica para nomear os procedimentos – até utilizaram as nomenclaturas referentes à estratégia. As vivências, as discussões e as reflexões realizadas durante o desenvolvimento do processo formativo ampliaram a base de conhecimentos das futuras professoras para o ensino e a competência docente para o ensino de situações envolvendo o raciocínio proporcional. Revelou-se também necessário um enfoque mais amplo acerca do raciocínio proporcional, complementado pela análise de atividades profissionais visando ao desenvolvimento da competência docente de olhar com sentido para o raciocínio proporcional dos seus alunos. E concluiu-se que, para ampliar o conhecimento e a competência profissional de professores sobre o ensino e a aprendizagem do raciocínio proporcional, é necessária uma constante reflexão sobre a prática, sobretudo em ambientes que propiciem um trabalho colaborativo. Palavras-chave: Raciocínio proporcional. Formação inicial de professores. Competência profissional. Conhecimentos necessários para o ensino.

ABSTRACT

This qualitative research aimed to analyze the professional expertise and the teaching competence - "look with meaning to the proportional reasoning of its students" - of 30 future teachers who studied Pedagogy in a private university of São Paulo, participants of a course training on proportional reasoning and its teaching. This research was developed in three stages: the first was aimed at the literature review; the second was directed to field research; and the third step was to analyze the data. The information collected during the 10 sessions of a 20-hour course was based on the studies of Ball, Thames and Phelps about the expertise required for teaching and on Llinares and Fernández and Llinares, who discuss the assumptions for the development of professional competence - look meaningfully at the students' mathematical thinking. The results of the preliminary questionnaire revealed difficulties for students to relate the theme to examples of everyday life and teaching, pointed out their limitations when dealing with situations of low value and comparison between two pairs of reasons and identified that the majority presented problems in differentiating proportional situations of non-proportional. The resolution activities result showed changes in activities related to ideas of double, triple and reduction of magnitudes in situations of proportionality. In resolution activities, most future teachers understood, recognized, and used the proportionality factor correctly. Although some still had difficulties in relating proportional reasoning to multiplicative and non-additive relations, they were able to solve situations involving a greater diversity of resolution strategies: apply, functional, cross product, unit value and up down. In the first activities there were gaps in the learning of some participants regarding the work with rational numbers in the fractional and decimal representations, which were discussed during the formative process. The professional activities result indicated advances: the comprehension degree and the resolution capacity of the participants increased, since they recognized resolutions of fictitious students; most correctly described strategies used and calculation procedures associated with rule three, multiplication, division, fractions, and proportionality calculations. Some participants - even those who did not use the specific mathematical language to name the procedures - even used the nomenclatures referring to the strategy. The experiences, discussions and reflections carried out during the development of the training process have broadened the knowledge base of the future teachers for teaching and teaching credentials for teaching situations involving proportional reasoning. It also revealed a need for a broader approach to proportional reasoning, complemented by the professional analysis activities aiming at developing teacher competence to look meaningfully at the proportional reasoning of its students. It was concluded that, in order to increase the expertise and professional expertise of teachers about teaching and learning of proportional reasoning, a constant reflection on practice is necessary, especially in environments conducive to collaborative work. Key-Words: Proportional reasoning. Initial teacher training. Professional expertise. Expertise required for teaching.

RESUMEN La presente investigación, de naturaleza cualitativa, buscó analizar los conocimientos profesionales y la competencia docente - "mirar con sentido para el razonamiento proporcional de sus alumnos" - de 30 futuras profesoras que cursaban Pedagogía en una universidad particular de São Paulo, participantes de un curso de formación sobre el razonamiento proporcional y su enseñanza. Esta investigación se desarrolló en tres etapas: la primera fue destinada a la revisión de literatura; la segunda fue dirigida a la investigación de campo; y la tercera etapa se volvió al análisis de los datos. La información recogida durante las 10 sesiones de un curso de 20 horas, se fundamentar en los estudios de Ball, Thames y Phelps acerca de los conocimientos necesarios para la enseñanza y en Llinares y Fernández y Llinares, que discuten los supuestos para el desarrollo de la competencia profesional - mirar con sentido hacia el pensamiento matemático de los alumnos. Los resultados del cuestionario preliminar revelaron dificultades de las estudiantes relacionar la temática a ejemplos de lo cotidiano y de la enseñanza, apuntar sus limitaciones al lidiar con situaciones de valor omiso y de comparación entre dos pares de razones e identificaron que la mayoría presentó problemas en diferenciar situaciones proporcionales de no proporcionales. Los resultados de las actividades de resolución expusieron evoluciones en las actividades relativas a las ideas de doble, triple y reducción de magnitudes en situaciones de proporcionalidad. En las actividades de resolución, la mayoría de las futuras profesoras comprendió, reconoció y utilizó el factor de proporcionalidad correctamente. Aunque algunas todavía presentaban dificultades al relacionar el razonamiento proporcional a las relaciones multiplicativas y no aditivas, ellas consiguieron resolver situaciones envolviendo una mayor diversidad de estrategias de resolución: escalar, funcional, producto cruzado, valor unitario y up down. En las primeras actividades hubo lagunas en el aprendizaje de algunas participantes en cuanto al trabajo con números racionales en las representaciones fraccionaria y decimal, las cuales fueron discutidas durante el proceso formativo. Los resultados de las actividades profesionales apuntaron avances: el grado de comprensión y la capacidad de resolución de las participantes aumentaron, pues ellas reconocieron resoluciones de alumnos ficticios; la mayoría describió correctamente estrategias utilizadas y procedimientos de cálculo asociados a la regla de tres, a la multiplicación, a la división, a los cálculos con fracciones ya la proporcionalidad. Algunos participantes - incluso aquellos que no utilizaron el lenguaje matemático específico para nombrar los procedimientos - hasta utilizaron las nomenclaturas referentes a la estrategia. Las vivencias, las discusiones y las reflexiones realizadas durante el desarrollo del proceso formativo ampliaron la base de conocimientos de las futuras profesoras para la enseñanza y la competencia docente para la enseñanza de situaciones envolviendo el razonamiento proporcional. Se reveló también necesario un enfoque más amplio acerca del raciocinio proporcional, complementado por el análisis de actividades profesionales visando al desarrollo de la competencia docente de mirar con sentido hacia el razonamiento proporcional de sus alumnos. Y se concluyó que, para ampliar el conocimiento y la competencia profesional de profesores sobre la enseñanza y el aprendizaje del raciocinio proporcional, es necesaria una constante reflexión sobre la práctica, sobre todo en ambientes que propicien un trabajo colaborativo. Palabras clave: Razonamiento proporcional. Formación inicial de profesores. Competencia profesional. Conocimientos necesarios para la enseñanza.

LISTA DE ILUSTRAÇÕES

Figura 1: Questão apresentada no Saresp – 2013 31 Figura 2: Trabalho com tabela proporcional – Lamon ..Erro! Indicador não definido. Figura 3: Esquema de proporcionalidade simples apresentado pelo autor.......... Erro! Indicador não definido. Figura 4: Exemplo 1 - Proporcionalidade simples (multiplicação) – Escalar 54 Figura 5: Exemplo 1 - Proporcionalidade simples (multiplicação) – Funcional 54 Figura 6: Proporcionalidade simples (quarta proporcional) – Escalar 54 Figura 7: Quarta proporcional – Escalar 55 Figura 8: Proporcionalidade simples (quarta proporcional) – Funcional 56 Figura 9: Problema de correspondência um para muitos 58 Figura 10: Problema proposto por Llinares 63 Figura 11: Tentativas de resolução de uma situação não proporcional 71 Figura 12: Resolução correta de uma situação não proporcional 72 Figura 13: Problema de proporcionalidade apresentado pelos autores 72 Figura 14: Resolução de dois alunos sobre o problema de proporcionalidade 73 Figura 15: Modelo apresentado por Fonte: Ball, Thames e Phelps 85 Figura 16: Modelo proposto por Llinares 90 Figura 17: Imagem da questão 3 102 Figura 18: Reprodução da imagem - atividade introdutória 104 Figura 19: Reprodução da atividade 1 105 Figura 20: Reprodução de uma tela do computador 108 Figura 21: Exemplo de barrinhas usadas na atividade – Material concreto 108 Figura 22: Resolução da atividade profissional de valor omisso 111 Figura 23: Resolução da atividade profissional de valor omisso 113 Figura 24: Resolução da atividade profissional de comparação entre dois pares de grandezas 115 Figura 25: Resolução da atividade profissional de não proporcionalidade 117 Figura 26: Resolução da questão 01 do questionário preliminar - BA Sorriso 120 Figura 27: Resolução da questão 01 do questionário preliminar - Cami 120 Figura 28: Resolução da questão 01 do questionário preliminar - Binna 121 Figura 29: Resolução da questão 01 do questionário preliminar - Duda 122 Figura 30: Resolução da questão 01 do questionário preliminar - Mandala 122 Figura 31: Resolução da questão 01 do questionário preliminar - Margarida 123 Figura 32: Resolução da questão 01 do questionário preliminar - Orquídea 123 Figura 33: Questão a respeito de comparação entre grandezas 124 Figura 34: Resolução da questão 02 do questionário preliminar - Moana 125 Figura 35: Resolução da questão 02 do questionário preliminar - Moana 125 Figura 36: Resolução da questão 02 do questionário preliminar - Babich 125 Figura 37: Resolução da questão 02 do questionário preliminar - Ana Paula 126 Figura 38: Apresentação da questão 03 do questionário 126 Figura 39: Resolução da questão 03 do questionário preliminar - Ana 127 Figura 40: Resolução da questão 03 do questionário preliminar - Carla 128 Figura 41: Resolução - Carolina 128 Figura 42: Resolução da questão 03 do questionário preliminar – Duda 129 Figura 43: Resolução da questão 03 do questionário preliminar – Cami 129 Figura 44: Primeira tentativa de resolução da questão 3 - Groove 130 Figura 45: Segunda tentativa de resolução da questão 3 - Groove 130

Figura 46: Resolução da questão 3 do questionário preliminar – Pejo 130 Figura 47: Resolução da questão 3 do questionário preliminar – Pejo 131 Figura 48: Resolução da questão 01 do questionário preliminar - Mandala 132 Figura 49: Resolução da questão 4 do questionário preliminar – Margarida 134 Figura 50: Resolução da questão 4 do questionário preliminar – Babich 134 Figura 51: Resolução da questão 4 do questionário preliminar – BA Sorriso 135 Figura 52: Resolução da questão 4 do questionário preliminar – Binna 136 Figura 53: Resolução da questão 4 do questionário preliminar – Pejo 136 Figura 54: Resolução da questão 4 do questionário preliminar – Fênix 136 Figura 55: Resolução do item “a da questão 6” – Duda 139 Figura 56: Resolução do item “a” da questão 6 – B 139 Figura 57: Resolução do item “a” da questão 6 - Regina 140 Figura 58: Resolução do item “b” da questão 6 – B 140 Figura 59: Alunas do lado direito do professor-pesquisador olhando para a imagem 141 Figura 60: Alunas do lado esquerdo do professor-pesquisador olhando para a imagem 141 Figura 61: Alunas do centro do professor-pesquisador olhando para a imagem 141 Figura 62: Foto selecionada para a realização da atividade introdutória 142 Figura 63: Alteração realizada pelo professor-pesquisador 143 Figura 64: Professor-pesquisador expandindo a foto lateralmente 143 Figura 65: Professor-pesquisador expandindo a foto lateralmente 144 Figura 66: Professor-pesquisador apresentando o exemplo uma figura retangular 145 Figura 67: Relato de Ana Paula - proporcionalidade envolvida na redução 145 Figura 68: Tulipa relatando sobre um exemplo de proporcionalidade 146 Figura 69: Reação de Duda ao fazer seu relato 147 Figura 70: Tulipa ao relatar e perceber que possuía conhecimento do tema 148 Figura 71: Resolução da questão 01 do questionário preliminar - Tulipa 149 Figura 72: Imagem da atividade 1 150 Figura 73: Produção de Margarida do primeiro item da atividade 1 151 Figura 74: Margarida mostrando ao professor formador sua produção 151 Figura 75: Jú ao explicar sua dificuldade inicial do item “a” da atividade 1 152 Figura 76: Produção do item “b” da atividade1 – Docinho 152 Figura 77: Produção do item “b” da atividade1 - Mandala 153 Figura 78: Jú, após perceber seu erro - posterior ao diálogo 154 Figura 79: Produção de Jú após perceber o erro e refazer o item “c” 155 Figura 80: Protocolo de Binna - item “c” da atividade1 155 Figura 81: Protocolo de Vitória - item “c” da atividade1 156 Figura 82: Protocolo de Moana - item “c” da atividade1 157 Figura 83: Protocolo de Sempre Viva – item “d” da atividade1 158 Figura 84: Protocolo de Duda - item “d” da atividade1 158 Figura 85: Protocolo de Tulipa - item “d” da atividade1 158 Figura 86: Protocolo de Marisa Letícia- item “d” da atividade1 158 Figura 87: Pesquisadora Angélica sistematizando os itens “a” e “b” da atividade 1 159 Figura 88: Professor-pesquisador sistematizando o item “d” 161 Figura 89: Imagem apresentada na tela do computador das participantes 163 Figura 90: Primeira imagem apresentada na tela do computador 163 Figura 91: Segunda imagem apresentada na tela do computador 164 Figura 92: Imagem de Mariza Letícia alterando a figura inicial 165 Figura 93: Imagem do rosto de João achado 165

Figura 94: Imagem do rosto de João alongado 166 Figura 95: Imagem contendo o registro da não proporcionalidade 167 Figura 96: Imagem da relação entre as dimensões dos rostos de João 168 Figura 97: Imagem do registro da semelhança entre as fotos 168 Figura 98: Imagem do registro da razão entre as fotos de João 169 Figura 99: Imagem da tela do primeiro item - atividade 2 170 Figura 100: Imagem da tela do segundo item - atividade 2 171 Figura 101: Protocolo da participante Margarida 172 Figura 102: Protocolo da participante Jú 172 Figura 103: Protocolo da participante Hortência, contendo suas dificuldades 172 Figura 104: Protocolo da participante Jú – ideias relacionadas a soma 173 Figura 105: Protocolo da participante Groove – ideias relacionadas a soma 173 Figura 106: Imagem da tela do item b - resolução Babich 176 Figura 107: Imagem da tela do item c - atividade 2 177 Figura 108: Reprodução de uma resolução do terceiro item - atividade 2 178 Figura 109: Imagem da tela do item d- atividade 2 179 Figura 110: Protocolo da participante Hortência 180 Figura 111: Protocolo da participante Tarsila – questão 3 da atividade 2 182 Figura 112: Protocolo da participante Groove – questão 3 da atividade 2 182 Figura 113: Atividade material concreto – item “a” 184 Figura 114: Produção de Girassol (ampliação duas e três vezes) – item “a” 185 Figura 115: Produção de B (ampliação duas e três vezes) – item “a 186 Figura 116: Produção de Cami (ampliação em 2,5) – item “a” 187 Figura 117: Produção de Duda (ampliação em 2,5) – item “a” 187 Figura 118: Produção de Carla (ampliação em 2,5) – item “a” 188 Figura 119: Produção de Groove (ampliação em 2,5) – item “a” 188 Figura 120: Produção de Tarsila (redução pela metade) – item “a” 189 Figura 121: Produção de Cami (redução um quarto) – item “a” 189 Figura 122: Produção de Binna (redução um quarto) – item “a” 190 Figura 123: Produção de Tulipa (redução um quarto) – item “a” 190 Figura 124: Atividade material concreto – item “b” 192 Figura 125: Produção de Mandala – item “b” 193 Figura 126: Produção de B – item “b” 193 Figura 127: Atividade material concreto – item “c” 194 Figura 128: Produção de Angel – item “c” 195 Figura 129: Produção de Cami – item “c” 195 Figura 130: Produção de Sempre Viva – item “c” 196 Figura 131: Atividade material concreto – item “d” 197 Figura 132: Produção de Girassol – item “d” 197 Figura 133: Produção de Mandala – item “d” 198 Figura 134: Produção de Pejo – item “d” 198 Figura 135: Produção de Cami – item “d” 199 Figura 136: Produção de Sempre Viva – item “d” 199 Figura 137: Resolução de Tulipa – Primeira situação da atividade 4 203 Figura 138: Resolução de Angel – Primeira situação da atividade 4 204 Figura 139: Resolução de Tulipa - Segunda situação da atividade 4 205 Figura 140: Resolução de B - Segunda situação da atividade 4 205 Figura 141: Resolução de Orquídea - atividade 5 207 Figura 142: Resolução de Margarida - atividade 5 208 Figura 143: Resolução de Carla - atividade 5 208

Figura 144: Resolução de Tulipa – atividade 5 209 Figura 145: Produção de Tulipa – segunda situação da atividade 5 209 Figura 146: Resolução de Cami – atividade 5 210 Figura 147: Resolução de Pejo – atividade 5 210 Figura 148: Resolução de Cami – atividade 6 213 Figura 149: Resolução de B – atividade 6 214 Figura 150: Resolução de Margarida – atividade 6 214 Figura 151: Resolução de Groove – atividade 6 215 Figura 152: Resolução de Girassol – atividade 6 216 Figura 153: Resolução de Angel – atividade 6 217 Figura 154: Resolução de Duda – atividade 6 217 Figura 155: Resolução de Ana – atividade 6 218 Figura 156: Resolução de Orquídea – atividade 6 218 Figura 157: Resposta de Tulipa – item “a” da atividade 7 222 Figura 158: Resposta de Mandala – item “a” da atividade 7 222 Figura 159: Resposta de Nilma – item “a” da atividade 7 222 Figura 160: Resposta de Angel – item “a” da atividade 7 223 Figura 161: Resposta de Nilma – item “b” da atividade 7 223 Figura 162: Resposta de Cami – item “b” da atividade 7 224 Figura 163: Resposta de Sempre Viva – item “b” da atividade 7 224 Figura 164: Resposta de Mandala – item “d” da atividade 7 226 Figura 165: Resposta de Cami – item “d” da atividade 7 226 Figura 166: Resposta de Carla – item “d” da atividade 7 226 Figura 167: Resposta de Tulipa – item “d” da atividade 7 227 Figura 168: Figura proposta na atividade 8 228 Figura 169: Atividade profissional de valor omisso 230 Figura 170: Discussões entre Carla e Mariza Letícia 231 Figura 171: Resposta de Mandala – item “b” da atividade 8 232 Figura 172: Resposta de Babich – item “b” da atividade 8 232 Figura 173: Resposta de Orquídea– item “b” da atividade 8 233 Figura 174: Resposta de Carla – item “c” da atividade 8 233 Figura 175: Resposta de Angel – item “c” da atividade 8 234 Figura 176: Resposta de Orquídea– item “c” da atividade 8 234 Figura 177: Resposta de Margarida – item “c” da atividade 8 234 Figura 178: Resposta de Orquídea– item “d” da atividade 8 235 Figura 179: Resposta de Groove – item “d” da atividade 8 235 Figura 180: Resposta de Margarida – item “d” da atividade 8 236 Figura 181: Atividade profissional de comparação entre dois pares de grandezas 239 Figura 182: Resposta de Tulipa – item “a” da atividade 9 240 Figura 183: Resposta de Margarida – item “b” da atividade 9 241 Figura 184: Resposta de Groove – item “c” da atividade 9 242 Figura 185: Resposta de Girassol – item “c” da atividade 9 242 Figura 186: Resposta de Orquídea – item “c” da atividade 9 243 Figura 187: Resposta de Nilma – item “d” da atividade 9 244 Figura 188: Resposta de Angel – item “d” da atividade 9 244 Figura 189: Orquídea explicando sua produção 246 Figura 190: Resposta de Nilma – item “a” da atividade 9 248 Figura 191: Resposta de Groove – item “a” da atividade 9 248 Figura 192: Resposta de Sempre Viva – item “a” da atividade 9 249 Figura 193: Atividade profissional de não proporcionalidade 250

Figura 194: Resposta de B – item “b” da atividade 10 250 Figura 195: Resposta de Tulipa – item “b” da atividade 10 251 Figura 196: Resposta de Angel – item “d” da atividade 10 252 Figura 197: Resposta de Groove – item “d” da atividade 10 252 Figura 198: Tulipa em seu relato 254

LISTA DE TABELAS

Tabela 1: Relatório do SARESP 2014 30 Tabela 2: Proporcionalidade simples 59

LISTA DE QUADROS

Quadro 1: Resultados em percentual de acerto dos alunos 59 Quadro 2: Pesquisa de perfil 96 Quadro 3: Desenho do Curso de Formação 100 Quadro 4: Relação de dependência 103 Quadro 5: Questão 5 do questionário preliminar 137 Quadro 6: Atividade 7 221

SUMÁRIO

CAPÍTULO 1 - CONFIGURAÇÃO DA PESQUISA 26 1.1 Motivações para desenvolvimento do estudo 26 1.2 Das motivações pessoais aos resultados de pesquisa: em busca de justificativas dessa escolha 28 1.3 Objetivo e questões de Pesquisa 32 1.4 Breve descrição dos procedimentos utilizados na pesquisa 33 1.5 Fundamentação teórica 34 CAPÍTULO 2 - RACIOCÍNIO PROPORCIONAL: UM OLHAR SOBRE PESQUISAS ANTERIORES E O MARCO TEÓRICO 35 2.1 Raciocínio proporcional, pensamento proporcional e proporcionalidade 35 2.2 Proporções e raciocínio proporcional: alguns pressupostos 37 2.3 Proporções e raciocínio proporcional em crianças 52 2.4 A formação de professores e o raciocínio proporcional 70 2.5 O que dizem os documentos curriculares a respeito da temática 74 2.6 O uso de diferentes tecnologias no ensino 80 2.7 Conceitos teóricos relacionados à competência e aos conhecimentos do professor 84 2.7.1 Deborah Loewenberg Ball e os conhecimentos do futuro professor 84 2.7.1.1 Conhecimento comum do conteúdo 86 2.7.1.2 Conhecimento especializado do conteúdo 86 2.7.1.3 Conhecimento horizontal do conteúdo 87 2.7.1.4 Conhecimento de conteúdo e de alunos 87 2.7.1.5 Conhecimento de conteúdo e de ensino 88 2.7.1.6 Conhecimento curricular do conteúdo 89 2.8 Salvador Llinares: a competência docente e o olhar profissional 89 CAPÍTULO 3 - A PESQUISA 94 3.1 A escolha metodológica 94 3.2 As participantes da pesquisa 95 3.3 Os procedimentos metodológicos 98 3.4 Breve descrição da formação desenvolvida para coleta de dados 99 3.4.1 A apresentação da proposta e a dinâmica de apresentação 101 3.4.2 Descrição do questionário preliminar 101 3.4.3 Descrição da atividade “Alterando o rosto do professor” 104 3.4.4 Descrição da atividade 1 104 3.4.5 Descrição da atividade2 106 3.4.6 Descrição da atividade - Material concreto 108 3.4.7 Descrição das Atividades 4 e 5 109 3.4.8 Descrição da atividade 6 109 3.4.9 Descrição da atividade 7 110 3.4.10 Descrição da atividade 8 112 3.4.11 Descrição da atividade 9 114 3.4.12 Descrição da atividade 10 116 3.4.13 Descrição do memorial reflexivo 117 CAPÍTULO 4 - ANÁLISE DO QUESTIONÁRIO PRELIMINAR 119 CAPÍTULO 5 - ANÁLISE DA FORMAÇÃO 141 5.1 Atividade introdutória (alterando a foto do professor) 142 5.2 A atividade 1 150

5.2.1 O item “a” da atividade 1 150 5.2.2 O item “b” da atividade 1 152 5.2.3 O item “c” da atividade 1 153 5.2.4 O item “d” da atividade1 157 5.2.5 Sistematização da atividade 1 159 5.3 A atividade 2 162 5.3.1 O item “a” da atividade 2 170 5.3.2 O item “b” da atividade 2 171 5.3.3 O item “c” da atividade 2 177 5.3.4 O item “d” da atividade 2 178 5.3.5 A sistematização da atividade 2 179 5.4 A atividade com material concreto 184 5.4.1 O item “a” da atividade com material concreto 184 5.4.2 O item “b” da atividade com material concreto 191 5.4.3 O item “c” da atividade com material concreto 194 5.4.4 O item “d” da atividade material concreto 196 5.4.5 A sistematização da atividade com material concreto 200 5.5 A atividade 4 203 5.5.1 A sistematização da atividade 4 206 5.6 A atividade 5 206 5.6.1 A sistematização da atividade 5 211 5.7 A atividade 6 212 5.7.1 A sistematização da atividade 6 219 5.8 A atividade 7 220 5.8.1 O item “a” da atividade 7 222 5.8.2 O item “b” da atividade 7 223 5.8.3 O item “c” da atividade 7 225 5.8.4 O item “d” da atividade 7 225 5.8.5 A sistematização da atividade 7 227 5.9 A atividade 8 228 5.9.1 O item “a” da atividade 8 229 5.9.2 O item “b” da atividade 8 232 5.9.3 O item “c” da atividade 8 233 5.9.4 O item “d” da atividade 8 234 5.9.5 A sistematização da atividade 8 236 5.10 A atividade 9 238 5.10.1 O item “a” da atividade 9 240 5.10.2 O item “b” da atividade 9 241 5.10.3 O item “c” da atividade 9 242 5.10.4 O item “d” da atividade 9 243 5.10.5 A sistematização da atividade 9 245 5.11 A atividade 10 247 5.11.1 O item “a” da atividade 10 247 5.11.2 O item “b” da atividade 10 250 5.11.3 O item “c” da atividade 10 251 5.11.4 O item “d” da atividade 10 252 5.11.5 A sistematização da atividade 10 253 5.12 O memorial reflexivo 255 CONSIDERAÇÕES FINAIS 257 REFERÊNCIAS 270

APÊNDICES 276 ANEXOS 304

APRESENTAÇÃO

Neste estudo, investigamos um processo de formação inicial realizado em uma

instituição particular com um grupo de 30 estudantes de pedagogia, as quais

cursavam semestres distintos. Esse curso1, realizado fora do período regular das

aulas, tinha como pressupostos desenvolver competências profissionais das

participantes para o ensino do raciocínio proporcional.

A formação foi organizada a partir de discussões sobre o ensino e a

aprendizagem da temática escolhida, por meio da vivência de diferentes estratégias e

recursos de ensino. Além disso, procurou promover reflexões compartilhadas acerca

de práticas docentes, dificuldades na aprendizagem de conceitos relativos ao olhar

profissional sobre seu ensino.

Nessa perspectiva, fundamentamos esta investigação em Llinares (2008, 2013,

2015a, 2015b), Fernández e Llinares (2012) e em Ball, Thames e Phelps (2008), por

meio dos quais buscamos relacionar conhecimentos do conteúdo com conhecimentos

a respeito de alunos, do ensino e do currículo e desenvolver competências relativas

ao olhar profissional do pensamento matemático das futuras professoras sobre o

raciocínio proporcional. Para realizar o processo formativo e analisar as informações

coletadas, buscamos resultados de pesquisa que discutissem eventuais lacunas na

compreensão de estudantes, o que será relatado no capítulo destinado à revisão de

literatura. Portanto, com base nessa revisão, planejamos as atividades profissionais2

e de aprendizagem3 para serem discutidas durante o processo formativo. Elas serão

aqui analisadas nos capítulos 5 e 6.

Nesta investigação, de natureza qualitativa, exercemos a função de professor-

pesquisador. Contamos com a participação de uma cinegrafista em todas as sessões

e, de forma esporádica, de outra professora-pesquisadora, Angélica4. A formação foi

1 O curso de formação inicial foi um curso de aprofundamento de estudos realizado fora do horário regular das aulas - teve a carga horária de 20 horas em atividades complementares validas para o curso de pedagogia. 2 Neste estudo chamamos de atividades profissionais os problemas profissionais que oportunizam formas efetivas de os estudantes para professores enxergarem tarefas matemáticas, visando à aprendizagem de determinado conteúdo pelos seus futuros alunos (LLINARES, 2013). 3 Diferentemente da Tarefa Profissional, denominamos Tarefas de Aprendizagem as situações por nós selecionadas para investigar os conhecimentos explicitados pelas participantes sobre o raciocínio proporcional. Tais situações também foram discutidas durante a formação, com o propósito de refletir sobre as ideias que envolvem o raciocínio proporcional. 4 A pesquisadora Angélica atuou exclusivamente nas duas primeiras sessões e também auxiliou na condução do processo de formação.

desenvolvida em dez sessões de duas horas cada uma, todas elas devidamente

filmadas para propiciar a análise em momentos posteriores. Ao final de cada sessão,

realizamos uma primeira análise do material coletado e da filmagem, com o objetivo

de refletir e planejar as atividades das sessões seguintes. Para o desenvolvimento

desse processo formativo, utilizamos recursos diversificados, como lápis e papel

(APÊNDICES - C, D, E, G, H, I, J, K, L, M, N), computador (APÊNDICE E) e atividades

com materiais concretos (APÊNDICE F)5. Empregamos o quadro como apoio para

sistematização das ideias que emergiram das situações e procuramos, ao longo dos

encontros, ouvir as estudantes em suas conjecturas e problematizá-las. As tarefas

foram propostas a elas de forma individual e também, em diferentes momentos, de

forma coletiva, como descreveremos no capítulo destinado à análise dos dados.

Em consonância com os procedimentos escolhidos para esta nossa pesquisa,

temos como objetivo: Analisar a competência docente e os conhecimentos

profissionais desenvolvidos pelas participantes de um curso de formação

docente para o ensino do raciocínio proporcional. Para atingir este objetivo,

buscamos respostas às seguintes questões de pesquisa:

a) Quais competências relativas ao olhar profissional do pensamento

matemático de alunos são evidenciadas por futuras professoras durante

sua participação em um curso de formação inicial?

b) Quais conhecimentos profissionais são revelados por um grupo de

estudantes de pedagogia a respeito de situações envolvendo raciocínio

proporcional durante a participação de um curso?

Para buscar respostas para estas questões, desenvolvemos um processo

formativo que vislumbrou oferecer espaços para as participantes aprenderem a

ensinar ideias relacionadas ao raciocínio proporcional.

Para apresentar este estudo, organizamos o texto nos capítulos descritos a

seguir:

No capítulo 1 exporemos como o estudo se configurou. Apresentamos

inicialmente a trajetória profissional, para justificar a escolha do tema: raciocínio

proporcional e formação de professores do ponto de vista pessoal, procurando

mostrar como essa preocupação foi se constituindo. Posteriormente, justificamos a

pesquisa, fundamentados em alguns estudos sobre o tema, e em seguida,

5 Essas ferramentas e suas aplicações serão descritas com maiores detalhes na seção 2.6.

apresentamos de forma sucinta os objetivos e as questões de pesquisa, os teóricos e

uma breve descrição do percurso deste estudo.

No capítulo 2, buscaremos localizar e fundamentar o estudo em questão.

Optamos por organizar em tópicos a revisão de literatura e os aportes teóricos que

nortearam a análise de dados. Quanto ao enfoque da base de conhecimentos para o

ensino, foram consideradas as categorias estabelecidas por Ball, Thames e Phelps

(2008). No que tange ao tema sobre a competência relacionada ao olhar com sentido

o pensamento matemático de alunos, apoiamo-nos nas ideias de Llinares e

Fernández e de Llinares. Para as questões didáticas ligadas ao raciocínio

proporcional, nossos aportes foram os estudos de Lesh, Post e Behr; Lamon; Post,

Behr e Lesh; Silvestre e Ponte; Spinillo; e Oliveira, em que identificamos

potencialidades para detectar e analisar lacunas no ensino de questões relacionadas

ao raciocínio proporcional.

Já no capítulo 3 descreveremos a investigação, a qual a caracterizamos como

uma pesquisa de natureza qualitativa, e descreveremos os procedimentos

metodológicos utilizados no seu desenvolvimento.

No capítulo 4, apresentaremos a análise do questionário que nos forneceu um

diagnóstico que serviu para conceber o planejamento inicial da formação.

O capítulo 5 foi destinado à apresentação dos resultados da pesquisa de

campo. Analisaremos a formação realizada, utilizando resultados de pesquisa e o

marco teórico descrito anteriormente.

Enfim, nas considerações finais, realizaremos a descrição sucinta do

percurso do trabalho, retomaremos as análises feitas e as relacionaremos com

resultados de outras pesquisas. Em seguida, finalizaremos o estudo com as

indicações das “limitações” da pesquisa e as possibilidades de realização de outros

estudos a respeito do tema.

Apontado este panorama do estudo, iniciaremos a próxima seção, em que

exporemos como a pesquisa foi configurada.

26

CAPÍTULO 1 - CONFIGURAÇÃO DA PESQUISA

Neste capítulo, apresentamos de maneira resumida as motivações e a trajetória

profissional, por acreditarmos terem elas influenciado na escolha do segmento de

ensino, da temática a ser investigada e nas opções pela linha de pesquisa.

Posteriormente apresentamos o objetivo e as questões de pesquisa, em seguida uma

breve descrição dos procedimentos utilizados na pesquisa e, por fim, quais teorias

foram utilizadas na tese.

1.1 Motivações para desenvolvimento do estudo6

Pela experiência adquirida em mais de 20 anos, atuando em diferentes níveis

e modalidades de ensino nas disciplinas Matemática, Ciências, Física e Biologia,

observei dificuldades acentuadas dos estudantes da Educação Básica para

compreender situações que envolvem o raciocínio proporcional.

Uma formação inicial sólida a respeito dessa temática poderia ter favorecido

minha atuação profissional. Entretanto, encontrei dificuldades para tratar desse e de

outros assuntos na sala de aula, pois questões específicas e didáticas ligadas ao

ensino da matemática não foram contempladas durante o meu curso de graduação.

Durante minha trajetória profissional, inquietações ligadas à minha atuação e

aos demais professores que ensinavam matemática se evidenciaram e senti

necessidade de buscar cursos que pudessem responder a meus questionamentos.

Eu e alguns colegas participamos de cursos promovidos pela Secretaria de Estado da

Educação de São Paulo – SEE – com o propósito de ampliar nossos conhecimentos

a respeito do ensino da Matemática. Alguns deles nos trouxeram mais subsídios e

outros nem tanto. Considero que o mais relevante foi o curso “Especialização em

Educação Matemática”, coordenado pela professora Tânia Campos, que me

proporcionou um novo olhar para o ensino da matemática, uma vez que tivemos

contato com diferentes resultados de pesquisa, utilizamos diferentes abordagens e

instrumentos tecnológicos. Percebi que essa experiência favoreceu mudanças na

minha prática pedagógica, e a principal delas foi a busca por resultados de pesquisa.

6 Esta subseção será escrita na primeira pessoa do singular, por relatar motivações pessoais do professor-pesquisador. As demais estão redigidas na primeira pessoa do plural.

27

Queria compreender um pouco mais sobre questões ligadas ao ensino e à

aprendizagem da matemática e à Educação Matemática, tendo em vista que já

atuava, então, como coordenador pedagógico e buscava resposta aos meus

questionamentos e aos dos professores.

Nesse contexto, ingressei no mestrado acadêmico em Educação Matemática

da Universidade Bandeirante de São Paulo – UNIBAN. O desenvolvimento do estudo

que gerou minha dissertação trouxe-me, por um lado, ricas experiências quanto ao

ensino mediado por tecnologia e, por outro lado, direcionou meu olhar para a pesquisa

acadêmica. Sob esses dois aspectos, esse curso favoreceu meu desenvolvimento

profissional.

Já como mestre, comecei a atuar como professor no curso superior de uma

Universidade particular da Grande São Paulo e, dentre outros cursos, lecionei na

Pedagogia. Em minha atuação como professor de disciplinas ligadas a cálculo,

percebi que os estudantes possuíam grandes dificuldades para lidar com números.

Muitos optaram por fazer tal curso por achar que não teriam matemática.

Percebi a necessidade de compreender um pouco mais sobre os processos de

ensino e de aprendizagem da matemática para os anos iniciais e sobre a formação

inicial do professor desse segmento. Com isso, em 2015, após quatro anos do término

do mestrado, ingressei no curso de doutorado, na Universidade Anhanguera de São

Paulo.

Assim, a partir dessas concepções e experiências de ensino, surgiu o desejo

de realizar uma investigação em um curso de formação inicial e, quem sabe, dar minha

contribuição aos estudantes para professores da instituição na qual estou inserido.

Busquei também, por meio da investigação, propor um processo formativo que os

ajudasse a compreender mais e, quem sabe, gostar um pouco mais da matemática e

seu ensino. Para isso, escolhi o tema raciocínio proporcional, por ser uma das

principais ideias da matemática e pela relevância no cotidiano da sociedade. Nesse

contexto, planejei uma formação que tivesse como pressupostos oferecer espaços

para divulgação de resultados de pesquisa durante as discussões e as reflexões sobre

os processos de ensino e de aprendizagem do raciocínio proporcional.

Pretendia, por meio deste estudo, ampliar as discussões e reflexões dos futuros

professores, por acreditar, assim como Angeloni e Fiates (2005), que as Instituições

de Ensino Superior podem ser consideradas locais privilegiados para a aquisição, a

criação, o compartilhamento e a utilização de diversos conhecimentos. Dessa forma,

28

assim como os autores, considero possível que o desenvolvimento de uma pesquisa

na própria instituição na qual as alunas estudam possa contribuir para a produção de

seus conhecimentos. Além disso, acredito que os resultados obtidos poderão fornecer

a outros estudantes de pedagogia material para estudo, análise e reflexão acerca das

situações ligadas aos processos de ensino e de aprendizagem do raciocínio

proporcional.

1.2 Das motivações pessoais aos resultados de pesquisa: em busca de

justificativas dessa escolha

Para proceder à escolha da temática raciocínio proporcional, analisamos

documentos curriculares e pesquisas que discutem o raciocínio proporcional e seu

ensino. Em documentos curriculares oficiais, como os Parâmetros Curriculares

Nacionais (BRASIL, 1997, 1998), encontramos uma discussão sobre a relevância do

tema proporcionalidade e do desenvolvimento do raciocínio proporcional. Segundo os

autores desse documento, o ensino desse conteúdo deverá perpassar toda a trajetória

escolar dos alunos e envolver não só Matemática, mas também outras disciplinas do

Ensino Fundamental e Médio.

O documento, ao apresentar a organização dos conteúdos dos diferentes

ciclos7 do Ensino Fundamental, considera a proporcionalidade como um princípio

básico do corpo de conhecimento matemático. Os autores desse documento afirmam:

[...] O fato de que vários aspectos do cotidiano funcionam de acordo com leis

de proporcionalidade evidencia que o raciocínio proporcional é útil na interpretação de fenômenos do mundo real. Ele está ligado à inferência e à predição e envolve métodos de pensamento qualitativos e quantitativos [...].

Para raciocinar com proporções é preciso abordar os problemas de vários pontos de vista e também identificar situações em que o que está em jogo é a não proporcionalidade. (BRASIL, 1997, 38, grifo nosso)

Sobre esse tema, os alunos realizam estudos a respeito da densidade

demográfica na disciplina Geografia e de equilibração de forças em Física. Ademais,

atividades diárias, como a confecção de um bolo, a compra e a venda de produtos, a

construção civil requerem conhecimentos ligados ao raciocínio proporcional.

7 Segundo esse documento o primeiro ciclo do Ensino Fundamental no Brasil é formado por crianças de 6 a 10 anos que cursam desde o 1.° ao 5.° anos; já o segundo ciclo acolhe alunos de 11 a 17 anos, do 6.° ao 9.° anos.

29

Além dos PCN, documentos oficiais recentes, os quais norteiam a Educação

brasileira, como a Base Nacional Comum Curricular – BNCC – (BRASIL, 2017) e

propostas curriculares estrangeiras, como a de Portugal (Ministério da Educação)8 e

a dos Estados Unidos (NCTM, 2000)9, orientam a exploração do raciocínio

proporcional com as crianças desde os anos iniciais.

Ademais, a temática é tão relevante que na BNCC (BRASIL, 2017, p. 264) é

uma das sete ideias fundamentais “para o desenvolvimento do pensamento

matemático dos alunos e devem se converter, na escola, em objetos de

conhecimento”.

Todavia, a aprendizagem do raciocínio proporcional não está ocorrendo a

contento nas escolas brasileiras e tampouco nas de outros países. No Brasil, por

exemplo, Oliveira (2009) aponta que, muitas vezes, problemas que envolvem

raciocínio proporcional se reduzem à aplicação de regras matemáticas.

No âmbito internacional, Lamon (2005) revela que, mesmo com indicações

curriculares ressaltando o uso de diferentes procedimentos metodológicos para o

ensino do tema, em geral, os alunos muitas vezes aplicam regras de álgebra, de

geometria ou de trigonometria sem compreensão. Para a autora, os estudantes "não

estão preparados para aplicações reais [...] onde princípios importantes e

fundamentais se apoiam na proporcionalidade"10 (LAMON, 2005, p. 3, tradução

nossa).

Segundo tais estudos, geralmente não se desenvolvem habilidades para

compreender tais conceitos. Procuramos argumentos, analisando resultados de

avaliações externas: o Sistema de Nacional de Avaliação da Educação Básica (Saeb)

e o Sistema de Avaliação Rendimento Escolar do Estado de São Paulo (Saresp).

Nessas avaliações, realizadas em redes públicas de Ensino, verificou-se que

alunos que estudam nos anos iniciais do Ensino Fundamental possuem dificuldades

em relação à proporcionalidade. Em 2014, por exemplo, os resultados mostraram, no

desempenho de crianças, limitações na compreensão de situações que envolvem a

ideia de proporções. É possível perceber na Tabela 1 que a proporcionalidade simples

foi avaliada com alunos que estudam no 5.° ano do Ensino Fundamental em uma

8 Programa de Matemática do Ensino Básico de Portugal 9 National Council of Teachers of Mathematics (NCTM) 10 “They are unprepared for real applications in statistics, biology, geography, or physics—where important, foundational principles rely on proportionality” (LAMON, 2005, p. 3).

30

situação que envolve a multiplicação. Pode também ser analisado comparativamente

o índice de acerto das crianças em 2013 e 2014.

Tabela 1: Relatório do SARESP 2014

Fonte: Adaptado do Relatório - SARESP (2014, p. 74)

Analisando o ocorrido, observamos que 55,2% das crianças acertaram o item

em 2013 e 58,9% em 2014, um índice baixo de acertos. Tal resultado é preocupante,

se considerarmos que até mesmo alunos no final da Educação Básica (17 anos)

revelam dificuldades quando resolvem problemas com esse tipo de raciocínio. Por

exemplo, no Saresp de 2013 foi apresentado aos alunos o item a seguir, que pretendia

avaliar se eles identificavam figuras semelhantes, mediante o reconhecimento de

relações de proporcionalidade.

31

Figura 1: Questão apresentada no Saresp – 2013

Fonte: Relatório Pedagógico Saresp (2013, p. 145)

Analisando o resultado, observamos que a situação foi respondida

corretamente por 33,2% dos estudantes. Esse, de nosso ponto de vista, é um índice

baixo de acerto, uma vez que os alunos que realizaram a prova eram concluintes do

Ensino Médio.

Entretanto, tais limitações podem ser ainda maiores, se levarmos em conta o

quão complexo é o raciocínio proporcional, pois, mesmo que a taxa de acertos fosse

maior, não seria possível afirmar que os alunos que acertaram esse tipo de item

desenvolveram o raciocínio proporcional. Lamon (2005) ajuda-nos a entender a

complexidade desse tipo de raciocínio, ao apontar algumas habilidades a serem

desenvolvidas: compreensão da covariação de grandezas, identificação de situações

proporcionais ou não e a percepção da sua utilidade; aquisição de argumentos para

justificar sua forma de pensar situações de proporcionalidade.

Nesse contexto se verifica a importância do raciocínio proporcional para o

ensino da Matemática. Assim, tomamos como ponto de partida a ideia de que o futuro

32

professor precisa estar preparado para explorar esse tipo de raciocínio em diferentes

situações, e isso requer dele um repertório expressivo de conhecimentos que lhe

permitam ir além de indicar procedimentos de cálculo, fazer as adequações

necessárias ao nível de compreensão dos alunos e favorecer algumas articulações

dessas noções com outros conteúdos já estudados.

Uma das motivações para a proposição deste estudo foi a percepção da

necessidade de realizar investigações que tratem dessa temática, uma vez que

leituras já realizadas sinalizam que ainda há um amplo campo de investigação para

estudar esse tipo de raciocínio em contexto de formação inicial com futuros

professores que lecionarão matemática para os primeiros anos do Ensino

Fundamental.

Com a intenção de produzir uma pesquisa acadêmica que favoreça o ensino

de ideias ligadas ao raciocínio proporcional, organizamos esta investigação e

convidamos 30 estudantes de um curso de Pedagogia de uma universidade particular

da Grande São Paulo para que participassem voluntariamente.

Tendo justificado a escolha do tema “raciocínio proporcional” e do grupo de

participantes desta pesquisa, apresentaremos a seguir o objetivo e as questões de

pesquisa que nos ajudaram a desenvolver este estudo.

1.3 Objetivo e questões de Pesquisa

A investigação em questão está pautada segundo o seguinte objetivo:

Analisar a competência docente e os conhecimentos profissionais desenvolvidos

pelas participantes de um curso de formação docente para o ensino do raciocínio

proporcional.

Para atingir esse objetivo, foi desenvolvida uma formação inicial, cujos

pressupostos foram discussões e reflexões realizadas de forma colaborativa tanto

sobre a aprendizagem do tema por parte das futuras professoras como sobre o seu

ensino.

Realizamos um estudo em que buscamos respostas às seguintes questões de

pesquisa:

a) Quais competências relativas ao olhar profissional do pensamento

33

matemático de alunos são evidenciadas por futuras professoras durante

sua participação em um curso de formação inicial?

b) Quais conhecimentos profissionais são revelados por um grupo de

estudantes de Pedagogia a respeito de situações envolvendo raciocínio

proporcional durante a participação em um curso?

1.4 Breve descrição dos procedimentos utilizados na pesquisa

A pesquisa em questão, de natureza qualitativa, solicitou avaliação ética pelo

sistema CEP/CONEP e obteve a aprovação, sob o número 1.843.270, para a sua

realização. Tal estudo levou em conta as palavras de D’Ambrosio (2004, p. 4), quando

nos diz que a pesquisa qualitativa “[...] é o caminho para escapar da mesmice”, uma

vez que, segundo o autor, ela “lida e dá atenção às pessoas e às ideias, procura fazer

sentido de discursos e narrativas que estariam silenciosas e a análise dos resultados

permitirá propor os próximos passos” (p. 21).

Dessa forma, consideramos, assim como o autor, que neste estudo procuramos

um caminho para desvelar os discursos e as narrativas por meio de um processo que

envolveu a reflexão e a análise do ocorrido em uma formação inicial. Essa formação

visou dar voz ao futuro professor, para compreender como se desenvolve sua

competência profissional no contexto analisado e na forma como estruturamos a

formação. Exporemos esta investigação na forma de dois estudos.

O primeiro, de natureza analítica descritiva, analisou as respostas das

participantes a um questionário preliminar por meio do qual buscamos traçar um perfil

profissional do grupo de pesquisa, identificar competências dessas participantes

quanto ao olhar profissional do pensamento matemático e seus conhecimentos acerca

do raciocínio proporcional no momento inicial da formação.

Já no segundo estudo, de caráter experimental e analítico, no qual

desenvolvemos e analisamos uma formação inicial com as futuras pedagogas,

procuramos discutir e refletir acerca de uma sequência de atividades elaboradas e/ou

organizadas a partir da revisão de literatura realizada previamente. Para a pesquisa e

a análise das informações coletadas, utilizamos o marco teórico apresentado a seguir.

34

1.5 Fundamentação teórica

A análise dos dados deste estudo fundamentou-se em Lesh, Post e Behr

(1988); Lamon (2005); Post, Behr e Lesh (1995); Silvestre e Ponte (2009); e Oliveira

(2009), dentre outros, no tocante às ideias ligadas ao raciocínio proporcional. Como

marco teórico nos apoiamos nas ideias de Llinares (2008, 2011, 2013, 2015a, 2015b)

e Fernández e de Llinares (2012) a respeito da competência profissional docente; e

de Ball, Thames e Phelps (2008), relativamente aos conhecimentos necessários ao

ensino.

A partir da exposição de como esta investigação se configurou,

apresentaremos no próximo capítulo a revisão de literatura, em que apontaremos

estudos pertinentes que localizam nossa pesquisa na área Educação Matemática e

procuraremos expor nosso diferencial em relação aos trabalhos já realizados.

Seguiremos para o capítulo 2.

35

CAPÍTULO 2 - RACIOCÍNIO PROPORCIONAL: UM OLHAR SOBRE

PESQUISAS ANTERIORES E O MARCO TEÓRICO

Para a realização desta investigação foram feitas leituras preliminares, a fim de

mapear os trabalhos já existentes, a partir dos seguintes subitens:

● 2.1 Raciocínio proporcional, pensamento proporcional e proporcionalidade.

● 2.2 Raciocínio proporcional: alguns pressupostos.

● 2.3 Proporções e raciocínio proporcional em crianças.

● 2.4 A formação de professores e o raciocínio proporcional.

● 2.5 O que dizem os documentos curriculares a respeito da temática.

● 2.6 O uso de diferentes tecnologias no ensino.

No primeiro subitem nos ateremos à discussão ocorrida no meio acadêmico a

respeito dos termos “raciocínio proporcional”, “pensamento proporcional” e

“proporcionalidade”. Em seguida, apresentaremos alguns pressupostos relativos às

escolhas teóricas observadas em estudos já realizados. Já no terceiro subitem,

voltaremos nossas atenções aos trabalhos com alunos menores. E, no quarto

subitem, buscaremos literaturas associadas à formação de professores e à temática

da nossa pesquisa. No quinto subitem, procuraremos compreender as orientações

oficiais contidas em documentos curriculares. E, por fim, buscaremos descrever como

utilizaremos tecnologia neste trabalho. A seguir, discorreremos sobre as leituras

realizadas sobre tais temáticas.

2.1 Raciocínio proporcional, pensamento proporcional e proporcionalidade

Ao iniciarmos a revisão de literatura, notamos tanto em pesquisas brasileiras

quanto em internacionais que não há uniformidade na utilização dos termos “raciocínio

proporcional”, “pensamento proporcional” e “proporcionalidade”. Tal fato também foi

observado por Silvestre e Ponte (2009, p. 1), que chamam a atenção, sobretudo, para

a dualidade de interpretação do termo “proporcionalidade”, ora interpretada como uma

proporcionalidade direta, ora como raciocínio proporcional:

[...] nem sempre é fácil reconhecer na literatura se o termo proporcionalidade se refere a uma definição matemática de proporcionalidade directa (como igualdade entre duas razões, a/b = c/d, ou como função linear y=mx, com m≠0) ou pelo contrário, se este termo diz respeito ao conceito psicológico,

36

isto é, aos aspectos do raciocínio que atendem ao significado matemático daquele conceito (estrutura, invariância e equivalência sob uma variedade de transformações). (SILVESTRE; PONTE, 2009, p. 1)

Segundo os autores, essa "confusão terminológica" está associada a estudos

desenvolvidos ao longo das últimas décadas, que tiveram por base diferentes

perspectivas sobre o próprio conhecimento matemático que envolve a

proporcionalidade direta, como, por exemplo, "razão, proporção, frações equivalentes,

conversão de unidades de medida (grandezas extensivas e intensivas) e escalas"

(SILVESTRE; PONTE, 2009, p. 02). No nosso estudo consideramos que a

compreensão da proporcionalidade é parte integrante do raciocínio proporcional.

Assim, de nosso ponto de vista, a definição matemática de proporcionalidade será um

fator relevante para o desenvolvimento do raciocínio proporcional.

No tocante ao uso dos termos “pensamento” e “raciocínio proporcional”,

observamos a mesma polissemia. Estudos como os de Poggio (2012), por exemplo,

distinguem os dois termos, porém Miranda (2009) os considera como sinônimos.

Poggio (2012) procura definir e delimitar o pensamento proporcional como um

tipo de pensamento que envolve um conceito maior que fornece elementos para o

sujeito na tomada de decisão, e o raciocínio proporcional "implica na avaliação que o

indivíduo aplica diante de um problema, o que chamamos de raciocínio típico de

proporcionalidade" (p. 59).

A autora considera que faz parte do pensamento proporcional o

reconhecimento através da análise de propriedades tanto da proporcionalidade direta,

proporcionalidade inversa como dos casos onde não há proporcionalidade. Já o

raciocínio proporcional, por sua vez, é mobilizado, segundo ela, quando o estudante

utiliza seus conhecimentos acerca do tipo de proporcionalidade para resolver a tarefa.

Diferentemente de Poggio (2012), estudos como os de Miranda (2009), por

exemplo, afirmam não haver distinção entre pensamento e raciocínio proporcional.

Depois de um estudo minucioso sobre os diferentes olhares para esses dois termos,

a autora, fundamentada nos estudos de Manktelow (1999), discute que, numa visão

tradicionalista, o pensamento pode ser dedutivo ou indutivo e que o indutivo pode ser

equiparado ao raciocínio; e como, segundo essa autora, “esta divisão não pode ser

considerada como rígida” (MIRANDA, 2009, p. 20), o pensamento e o raciocínio

proporcional podem ser utilizados como sinônimos.

Em nosso estudo, da mesma forma, consideramos os dois termos como

37

sinônimos, pois, a nosso ver, tanto o raciocínio quanto o pensamento elucidam a

possibilidade de análise das propriedades e tomada de decisão do estudante.

Ao revisarmos os trabalhos que discutem conceitualmente os termos

proporcionalidade, raciocínio proporcional ou pensamento proporcional, observamos

que há uma linha que separa o raciocínio do pensamento proporcional e que não será

fácil analisar tal distinção no estudo que nos propomos a desenvolver aqui. Assim,

consideramos esses termos como sinônimos. Além disso, acreditamos que a

compreensão do que vem a ser a proporcionalidade é condição necessária, mas não

suficiente, para o desenvolvimento do raciocínio/pensamento proporcional. Em

síntese, entendemos o raciocínio proporcional como um processo gradual no qual são

privilegiadas relações multiplicativas de primeira e/ou de segunda ordem em situações

diversas, incluindo a proporcionalidade e em diferentes contextos.

Ademais, em nossa visão, essa ideia está ligada ao reconhecimento dos

estudantes em situações proporcionais de qualquer natureza e na escolha da forma

de resolução para tais problemas, tendo como primícias o conhecimento de distintas

estratégias possíveis e sua melhor decisão de resolução. Neste estudo utilizaremos

quase exclusivamente o termo “raciocínio proporcional” e buscaremos uma base

teórica para defini-lo. A seguir apresentaremos os fundamentos que nos levaram aos

caminhos traçados na pesquisa.

2.2 Proporções e raciocínio proporcional: alguns pressupostos

Para desenvolver este estudo, fomos à busca de trabalhos correlatos, os quais

nos permitiram observar que, dentre as referências mais presentes estão os estudos

de Lesh, Post e Behr (1988) e Post, Behr e Lesh (1995).

Lesh, Post e Behr (1988, p. 1) definem o termo raciocínio proporcional da

seguinte forma:

o raciocínio proporcional é uma forma de raciocínio matemático que envolve o sentido de covariância e múltiplas comparações, assim como a aptidão para reunir e processar mentalmente diversos conjuntos de informações [e além disso] está relacionado com inferência e predição e envolve o pensamento qualitativo e quantitativo.

Segundo esses autores, o raciocínio proporcional pressupõe, sobretudo,

raciocinar sobre “a relação holística entre duas expressões racionais, como taxas,

38

índices, quocientes e frações” (LESH; POST; BEHR, 1988, p. 1). Isso presume a

assimilação e a síntese mental dos vários componentes dessas expressões, a aptidão

para inferir sobre sua igualdade ou desigualdade11 e a habilidade de analisar e

identificar com sucesso valores omissos12, independentemente dos aspectos

numéricos da situação. Lesh, Post e Behr (1988, p. 2) alertam que nem todas as

pessoas resolvem problemas de proporcionalidade com o uso do raciocínio

proporcional. Na sua visão, a aplicação do produto cruzado 𝐴

𝐵=

𝑥

𝐷 limita o raciocínio

proporcional dos alunos; por isso eles sugerem que seja evitado, sobretudo quando

tratam da proporcionalidade com crianças dos anos iniciais13. Além disso, os autores

afirmam que esse procedimento de cálculo não é compreendido em sua plenitude

pelos alunos.

Além dessas dificuldades apresentadas, Lesh, Post e Behr (1988, p. 16) trazem

alguns estudos como os de Karplus, Pulos e Stage (1983) e de Noelting (1980a,

1980b) no qual relatam que, para a apreensão do raciocínio proporcional, os alunos

deveriam resolver problemas diversos de valor omisso.

Nas quatro pesquisas em questão, os estudantes que tivessem condições de

resolver problemas mais complicados que apresentavam "múltiplos de números não

inteiros dentro e entre os pares da razão" (LESH; POST; BEHR, 1988, p. 2), o qual

classificaram como questões numéricas consideradas "difíceis", se apropriaram do

raciocínio proporcional. No entanto, Lesh, Post e Behr (1988, p. 2) e Post, Behr e Lesh

(1995, p. 90) contestam tal afirmação, pois para eles apenas a resolução de problemas

dessa natureza – valor omisso – não garante a apreensão do raciocínio proporcional.

Na opinião dos autores, resolver corretamente esse tipo de problema é condição

necessária, mas não suficiente para garantir a compreensão do raciocínio

proporcional. Assim afirmam: “é uma combinação de aspectos matemáticos e

cognitivos” (POST; BEHR; LESH, 1995, p. 90). Nesta investigação combinamos

aspectos matemáticos e cognitivos, ao explorar e discutir sobre características,

resoluções e situações de ensino envolvendo problemas de outras categorias, além

11 Quando os autores destacam que o raciocínio proporcional está ligado à capacidade de identificação

e reconhecimento de igualdade ou desigualdade de pares ou séries das expressões AB= CD, AB< CD ou AB> CD. 12 Lesh, Behr e Post (1988, p. 2) associam esse tipo de raciocínio aos problemas de valor desconhecido,

dos tipos: AB= xD, AB= Cx, Ax= CD e xB= AD, independente dos aspectos numéricos de um

problema. 13 Também podemos encontrar tais relatos nos estudos de Post, Behr e Lesh (1995, p. 93).

39

dos de valor omisso.

Lesh, Post e Behr (1988, p. 4-5) apresentam sete tipos de problemas diferentes

acerca de proporções que permeiam os diversos conteúdos matemáticos, são eles:

“problemas de valor omisso; de comparação entre grandezas; de transformação; de

valor médio; proporções que envolvem a conversão entre razão, taxa e frações;

proporções que envolvem unidades de medida assim como números; problemas de

conversão entre sistemas de representação”. A seguir faremos uma breve descrição

de cada um.

● Problemas de valor omisso - são considerados mais comuns em

situações de proporção em que são dados três valores e o quarto valor é solicitado.

● Problemas de comparação - contêm situações em que são

apresentadas duas razões e se solicita a comparação das duas, com a indicação

de qual é a maior, a menor ou se são iguais.

● Problemas de transformação - são estratégias pouco usuais, pois há

uma supervalorização na técnica de obtenção do valor desconhecido pelo produto

cruzado. Nesses problemas é dada a equivalência 𝑎

𝑏=

𝑐

𝑑, e devem ser alterados

um ou dois dos quatro valores (𝑎, 𝑏, 𝑐 𝑜𝑢 𝑑), e o objetivo é decidir se uma das

relações se tornará “menor que”, “maior que”, “igual a“ ou “equivalente a” outra.

Ainda, há transformações em que, para se obter uma igualdade, é dada uma

desigualdade de um valor de uma das razões e é pedido para determinar esse

valor, de modo a obter uma igualdade, como, por exemplo, 𝑎+𝑥

𝑏=

𝑐

𝑑.

● Problemas de valor médio - são apresentados dois valores, e a intenção

é encontrar um terceiro que represente a média dos outros dois. Geralmente tais

situações são encontradas em problemas de médias: geométrica e harmônica.

● Proporções que envolvem a conversão entre razão, taxa e frações - são

problemas que envolvem a equivalência entre duas ou mais unidades.

● Problemas de proporções que envolvem unidades de medida, assim

como números.

● Problemas de conversão entre sistemas de representação - tarefas que

são apresentadas em uma determinada forma, e a proposta é representá-los em

outro sistema de representação, prevalecendo a relação igual entre eles.

Lesh, Post e Behr (1988) afirmam que, dentre os problemas destacados, os

mais referenciados em programas de currículo e nos trabalhos em sala de aula são

40

os de valor omisso e de comparação entre dois pares de grandezas.

Os autores ainda referenciam os estudos de Piaget e Inhelder (1975)14 e

identificam como principal característica do raciocínio proporcional as chamadas

relações de segunda ordem, ou seja, "relações entre relações", mais que as relações

de primeira ordem, "relação entre dois objetos".

Os estudiosos de Piaget apresentam problemas conhecidos como balance-

beam15 como protótipo de atividades que incluem o raciocínio proporcional, mesmo

que o raciocínio envolvido geralmente não seja dado pela expressão 𝐴

𝐵=

𝐶

𝐷 e sim

pela expressão 𝐴 𝑥 𝐵 = 𝐶 𝑥 𝐷.

Ademais, Piaget e Inhelder (1975) asseguram ainda que as primeiras noções

que as crianças adquirem acerca do raciocínio proporcional são aditivas, do tipo 𝐴 −

𝐵 = 𝐶 − 𝐷. No entanto, Lesh, Behr e Post (1988, p. 3) discordam dessa afirmação,

pois atribuem ao raciocínio proporcional as diversas relações multiplicativas existentes

entre expressões racionais. As expressões apresentadas, na visão dos

pesquisadores, não são relações multiplicativas e nem estão na forma de expressões

racionais. Portanto, esses autores não a caracterizam no raciocínio proporcional, mas

a denominam raciocínio pré-proporcional.

Na visão dos pesquisadores, nessas relações 𝐴 𝑥 𝐵 = 𝐶 𝑥 𝐷 , " as crianças vão

além das comparações entre quantidades perceptíveis, para pensar sobre a

semelhança estrutural entre sistemas matemáticos como um todo" (LESH; POST;

BEHR, 1988, p. 13).

Para os autores, mais do que resolver problemas dessa natureza, os

estudantes devem compreender a semelhança na estrutura das duas relações. Ou

seja, nas situações de balance-beam, por exemplo, os alunos devem entender as

relações de segunda ordem, e não isoladamente as relações de primeira ordem do

tipo 𝐴 𝑥 𝐵. Eles apresentam o seguinte exemplo para ilustrar.

[...] se 𝐴 𝑥 𝐵 corresponde a uma quantidade directamente perceptível (em vez da relação entre duas grandezas), então uma tarefa que podia ter sido aliás caracterizada como 𝐴 𝑥 𝐵 = 𝐶 𝑥 𝐷, pode realmente ser reduzida (na mente da

criança) a uma tarefa caracterizada por 𝑃 = 𝐶 𝑥 𝑋, em que P é um “novo” elemento do sistema. Neste caso, não é reconhecida a semelhança estrutural e o raciocínio proporcional não é requerido. (LESH; POST; BEHR, 1988, p. 13)

14 Piaget e Inhelder (1975) consideram o raciocínio proporcional como indicador de que a criança está no estágio formal das operações, uma vez que, segundo esses autores, as crianças de até aproximadamente 12 anos não são capazes de raciocinar proporcionalmente. 15 Equilíbrio do braço da balança (tradução nossa)

41

No exemplo apresentado, os autores apontam que tarefas 𝐴 𝑥 𝐵 = 𝐶 𝑥 𝐷,

características de um raciocínio pré-proporcional, podem ser indicativos de caminhos

para obtenção do raciocínio proporcional. Os pesquisadores reafirmam a importância

dos vários aspectos das expressões multiplicativas entre expressões racionais e

propõem o uso da expressão 𝐴

𝐵=

𝐶

𝐷 em atividades com proporções.

Em nossa pesquisa, em uma formação com futuras professoras que lecionam

matemática para os anos iniciais, discutimos essa questão, ao propor situações

ligadas ao raciocínio multiplicativo, por meio de ideias vinculadas ao raciocínio

proporcional em situações-problema de resolução e atividades profissionais.

Tivemos a intenção de favorecer, por meio dessas situações, o

desenvolvimento do raciocínio proporcional para as participantes da pesquisa (futuras

professoras) e, de maneira indireta, também para as crianças (seus futuros alunos),

uma vez que foram inseridas discussões e reflexões sobre diferentes estratégias de

resolução e sua relação direta com a construção da prática pedagógica do professor.

Lesh, Post e Behr (1988, p. 15) afirmam que o raciocínio proporcional é um

componente não estático: relatam que ele se desenvolve a partir da vivência e da

resolução de diferentes classes de situações-problema envolvendo a ideia de

proporcionalidade.

Em outro estudo, Post, Behr e Lesh (1995, p. 90) relatam que o raciocínio

proporcional não se restringe à aplicação do algoritmo "produto cruzado". Ademais,

mesmo que os participantes sejam capazes de resolver problemas de proporção de

níveis mais elevados, isso não lhes garante o raciocínio proporcional. Para os

pesquisadores, é uma condição necessária; no entanto, não suficiente.

Eles apontam que o raciocínio proporcional é utilizado para resolver problemas

que utilizam igualdade de duas razões ou taxas16 (velocidade, densidade, preços,

porcentagem, escala e conversão de unidades). Esses problemas são denominados

de "problemas de comparação" e envolvem tanto o pensamento quantitativo em

tarefas em que a resposta é fornecida por meio de um resultado numérico ou um

pensamento qualitativo que não depende de valores específicos. Apresentamos, a

seguir, um exemplo acerca do pensamento qualitativo:

“Se Nicki, ao correr, desse menos voltas na pista e gastasse mais tempo do

que ontem, sua velocidade seria maior, menor, igual, ou impossível de dizer? (E

16 Nome dado pelos autores para exemplificar diferentes grandezas

42

quanto a menos volta em tempo menor?)” (POST; BEHR; LESH, 1995, p. 90).

No exemplo apresentado não há valores numéricos, porém, ao resolver a

situação, o estudante necessita refletir proporcionalmente sobre as relações entre

distância, tempo e espaço. Os autores afirmam que “esses tipos de problemas são

viáveis pela generalização da ideia de proporcionalidade” (POST; BEHR; LESH,1995,

p. 91). E apontam, como um possível caminho, inserir problemas de raciocínio

qualitativo antes dos problemas de raciocínio quantitativo. Na visão dos

pesquisadores, os alunos às vezes apresentam respostas erradas a determinada

situação, por não raciocinarem de maneira qualitativa.

Acreditamos que situações qualitativas podem ser inseridas para os anos

iniciais do Ensino Fundamental, pois os estudantes desse segmento podem

compreender as relações de proporcionalidade e o raciocínio proporcional que estão

envolvidos nesses problemas. Dessa forma, durante o processo formativo, discutimos

e refletimos sobre esse tipo de situação e seu ensino.

A afirmação a seguir justifica, a nosso ver, a necessidade de introduzir a

proporcionalidade por meio de situações qualitativas, uma vez que será preciso

distinguir entre os diferentes tipos de situação. Para Post, Behr e Lesh (1995, p. 91,

grifo no original):

Para raciocinar com proporções é preciso ter a flexibilidade mental para abordar problemas por vários ângulos, e ao mesmo tempo, ter noções suficientemente sólidas para não se deixar afetar por números grandes ou "complicados" ou pelo contexto que se insere o problema [...] a pessoa precisa ser capaz de distinguir entre situações proporcionais e não proporcionais. Isso tem implicação direta no ensino.

Os autores recomendam também que problemas envolvendo os conceitos de

razão e proporção sejam introduzidos com a utilização de conhecimentos prévios dos

alunos sobre multiplicação e divisão. Além disso, relatam que, para a obtenção do

raciocínio proporcional é necessário que o aluno tenha clara a distinção entre

situações proporcionais e não proporcionais, compreenda a ideia de covariação e

saiba realizar comparações numéricas e não numéricas. Eles realçam, ainda, que

alguns alunos podem recorrer à "taxa unitária"17 para resolver problemas de

proporcionalidade e afirmam que as crianças usam esta estratégia de maneira

intuitiva, pois, quando compram produtos, utilizam esse método para calcular o preço

17 Estratégia de resolução de problemas que consiste em encontrar o valor de uma quantidade e em seguida multiplicar pela quantidade pedida.

43

unitário. Podemos citar um exemplo: Joãozinho pagou $ 4,50 por 5 chocolates.

Quanto ele pagaria por 12? Neste caso, um dos métodos a ser usado pela criança

poderia ser o da taxa unitária. A criança dividiria 4,50 por 5 e, em seguida, multiplicar

por 12. Dessa maneira, encontraria o resultado. Em nosso estudo não descartamos

essa estratégia, até porque as crianças a utilizam com frequência, valendo-se da

intuição. Procuramos levar para a formação essas discussões, pois entendemos ser

fundamental a compreensão de como alunos menores aprendem.

Post, Behr e Lesh (1995, p. 95) apresentam mais um método de resolução de

problemas de proporcionalidade, denominado "fator de mudança"18. Segundo eles,

em "situações proporcionais, se uma variável é x vezes uma outra num dado par-taxa,

essa variável deverá ser igualmente x a outra no par-taxa equivalente". Apresentam o

seguinte exemplo: Sally pagou $ 3,60 por 4 disquetes, quanto pagaria por 12? Neste

exemplo, relatam que as crianças poderiam relacionar que 12 é o triplo de 4, e assim,

associar com o triplo de $ 3,60. E afirmam que esse tipo de resolução é frequente em

situações com valores numéricos múltiplos. Na sua visão, a estratégia "fator de

mudança" é menos funcional, principalmente quando os valores não são múltiplos,

pois os alunos podem encontrar mais dificuldades para resolver problemas dessa

natureza.

O estudo de Post, Behr e Lesh (1995) foi utilizado nesta nossa investigação

com dois propósitos: para subsidiar as análises das estratégias utilizadas pelas futuras

professoras e também como texto teórico de apoio para subsidiar as discussões e as

reflexões sobre o ensino de situações que envolvam o raciocínio proporcional.

Outra pesquisa que considera o raciocínio proporcional como uma condição

necessária para a compreensão de contextos e de aplicações relacionadas à

proporcionalidade é de Lamon (2005). A pesquisadora, assim como as duas

investigações apresentadas anteriormente, relata que o conceito de raciocínio

proporcional não pode ser restrito à mecanização de estratégias formais de resolução

de problemas. Além de as reflexões acerca do raciocínio proporcional estarem

próximas das ideias apresentadas por Post, Behr e Lesh (1995), Lamon (2005) analisa

situações resolvidas por alunos em diferentes etapas escolares, com ênfase nos anos

iniciais.

Dessa forma, utilizamos tais resultados para elaborar situações cujo propósito

18 Essa estratégia consiste em chegar a umas das duas taxas do mesmo par por meio de um fator de proporcionalidade e realizar o mesmo para o outro par, com um valor desconhecido entre eles.

44

foi promover a reflexão das futuras professoras participantes deste estudo. Para

desenvolver o que Llinares (2015a)19 chama de “competência docente”20, propusemos

atividades envolvendo "atividades profissionais". Apresentamos às futuras

professoras problemas resolvidos por estudantes com base nos resultados propostos

por Lamon (2005). Nossa intenção foi desenvolver o que Llinares (2015a) chama de

“olhar profissional” no ensino de matemática. Além disso, inserimos tarefas para que

os alunos pudessem resolvê-las e discuti-las, com a finalidade de desenvolver tal

competência. Segundo Lamon (2005, p. 100), as crianças em níveis mais elementares

utilizam ideias de metade e de dobro para resolver problemas de proporcionalidade.

E ainda, segundo a autora, usam outros passos para resolver uma tarefa, mas, com

a experiência obtida, os estudantes ampliam suas estratégias; e isso lhes permite a

resolução em menos passos.

Na pesquisa em questão, a autora identifica, em algumas atividades realizadas

por alunos, estratégias multiplicativas e/ou aditivas, com ênfase na "building up"21, na

qual os estudantes resolvem problemas e relacionam as quantidades, até obter o

resultado final. Eis um exemplo:

● Duas camisas custam R$ 12,50, quanto custarão sete camisas?

No problema apresentado, de acordo com a estratégia destacada

anteriormente, as crianças podem relacionar duas camisas 12,50, quatro camisas 25,

seis camisas 37,50. Como sabem que duas camisas custam 12,50, uma deve custar

6,25; agora elas adicionam o valor de seis camisas a uma camisa e encontram assim

a resposta.

Na atividade anterior, as crianças investigadas por Lamon (2005) utilizaram a

estratégia building up, “em que as crianças usam espontaneamente uma estratégia

intuitiva que funciona em muitas situações"22 (LAMON, 2005, p. 100, tradução nossa).

Porém, esse estudo chama a atenção para o fato de os estudantes, nesse tipo de

resolução, reconhecerem relações multiplicativas ou apenas aplicarem estratégias

aditivas para obter o resultado. Se eles não o fizerem, não relacionarem as grandezas

19 Este conceito foi discutido por Llinares (2015a) em palestra proferida na Unian no III Seminário Integrado Observatório da Educação em dezembro de 2015. Os conceitos aqui apresentados serão discutidos mais detalhadamente no próximo capítulo. 20 Segundo Llinares (2015a), competência é o “conhecimento em uso” na resolução de problemas profissionais do professor de matemática. 21 De construção. 22 “The building up strategy is one that children use spontaneously and it is an intuitive strategy that works in many situations”. (LAMON, 2005, p. 100)

45

e não perceberem a covariação, provavelmente terão dificuldades com o raciocínio

proporcional, pois não foram incentivados a explorar outras estratégias mais

eficientes.

Concordamos com a autora que se deve chamar a atenção dos futuros

professores para a relação entre as quantidades, e os estudantes devem ir além da

aplicação das multiplicações como procedimento de resolução de problemas de

proporção, pois é importante que compreendam as ideias que envolvem a

proporcionalidade.

Os alunos dos anos iniciais devem ser incentivados a enxergar a covariação

entre as grandezas e, ainda, identificar uma relação que é constante entre duas

grandezas (invariância), pois apenas a inserção do campo multiplicativo na atividade

não garante o raciocínio proporcional, uma vez que situações cujo fator de

proporcionalidade é formado por números não inteiros provavelmente gerarão

dificuldades na compreensão do conceito.

Nesse estudo, Lamon (2005, p. 100) pondera que é importante os professores

incentivarem seus alunos a esse raciocínio, o que poderá resultar em ampliação nas

formas de pensamento. Para ela, “no início, as crianças dependem de reduzir para a

metade e dobrar, e elas podem usar muitos passos para completar um problema"23

(p. 100, tradução nossa). E, com a experiência escolar, as crianças podem

desenvolver outras estratégias e diminuir o número de passos em suas soluções.

As crianças, inicialmente, podem utilizar essa estratégia de maneira intuitiva,

mas os futuros professores devem pensar na ampliação das estratégias de seus

alunos – o que a autora denomina como “diminuição de passos” – e apresentar

diferentes formas de resolução, oferecendo diferentes abordagens de ensino. Em

nossa visão, as futuras professoras precisam compreender essas noções iniciais e as

relações estabelecidas pelos estudantes, para saber como intervir.

Lamon (2005, p. 100) destaca que, ao resolverem problemas mais difíceis, os

estudantes criam estratégias, planejam com antecedência, até chegar ao resultado. A

pesquisadora indica que, à medida que as crianças têm contato com problemas com

relações envolvendo frações, suas ideias são ampliadas. E podem ter mais condições

de desenvolver raciocínios estratégicos em cada vez menos etapas de resolução, até

chegar a resolver situações-problema de proporções de nível mais elevado.

23 “At first, children rely on halving and doubling, and they may use many steps to complete a problem”.

46

Susan J. Lamon (2005, p. 100) realça a importância de variar as atividades e

os tipos de perguntas e selecionar os números, para que os alunos sejam forçados a

sair de sua zona de conforto. No trabalho docente, isso é imprescindível, e as futuras

professoras precisam sentir a necessidade de, em suas atividades profissionais,

indicar situações em que os alunos pensem, reflitam e desenvolvam suas próprias

trajetórias em busca do raciocínio proporcional.

A autora apresenta uma lista de problemas que podem auxiliar na ação docente

para a obtenção do raciocínio proporcional: problemas em que os valores diminuam

proporcionalmente nas duas grandezas; com grandezas que aumentam em ambas as

relações; que envolvam relações inversamente proporcionais; em que as frações

sejam inevitáveis, para que os estudantes não fiquem restritos às operações com

números inteiros; nos quais as soluções permitam combinações de

multiplicação/divisão e operações de adição/subtração. E, por fim, em nossa visão, é

necessário que as futuras professoras percebam a importância de apresentar aos

estudantes problemas que não possam ser resolvidos exclusivamente pela redução à

metade ou pela duplicação dos valores. Em nossa pesquisa com futuras professoras

discutimos na formação a possibilidade de inserir problemas com tais características

também nos anos iniciais do Ensino Fundamental e as estratégias a ser exploradas

com seus alunos.

Concernente à representação das situações, Lamon afirma ser o trabalho com

tabelas uma boa estratégia para apresentar as respostas para as crianças, pois, caso

as crianças não tenham convicção de determinada etapa da resolução, tal

representação lhes permite retomar o que foi feito. Para Lamon (2005) há a

possibilidade de os alunos retornarem e verificarem suas resoluções. Para

exemplificar tal representação, a autora apresenta a situação a seguir e sua

representação – Figura 2.

● "3 pizzas vão servir para cerca de 7 pessoas. Quantas pizzas são necessárias

para 350 pessoas?"24 (LAMON, 2005, p. 103, tradução nossa).

24 “[…] 3 pizzas will serve about 7 people. How much pizza is needed for 350 people?”

47

Figura 2: Trabalho com tabela proporcional – Lamon

Fonte: Lamon (2005, p. 103)

Analisando as duas tabelas, é possível observar que ambos se utilizaram da

“estratégia escalar”, e o fator 50 foi encontrado de forma diferente nos dois exemplos.

Segundo Lamon (2005, p. 104), em situações como essa, não se trata de se utilizar

da tentativa e erro, mas de uma forma de organizar as operações de multiplicação,

divisão, adição e subtração, para se encontrar o resultado. Concordamos com as

ideias propostas pela autora, pois a inserção de tabelas pode auxiliar na construção

do raciocínio dos alunos das futuras professoras e contribuir para que compreendam

e resolvam situações problema de proporcionalidade.

Outro estudo que nos chamou a atenção foi o de Silvestre e Ponte (2009), já

referenciados anteriormente, que também se pautaram nos estudos de Lesh, Post e

Behr (1988) e de Lamon (2005) para discutir as estratégias dos estudantes e sua

relação com a escolha, pelos professores, dos valores apresentados na situação.

Assim como eles, consideramos também que, quando o docente propuser atividades

para alunos, deve considerar essas possibilidades, uma vez que a estratégia a ser

utilizada pelos estudantes pode ser influenciada pela situação e pelos números

apresentados.

Com base nas informações coletadas na revisão de literatura, Silvestre e Ponte

(2009) realizaram um estudo com duas alunas (Célia e Carolina), do 6.º ano de

escolaridade do ensino português. O foco dos pesquisadores foi a análise da

resolução de problemas de valor omisso, de comparação entre dois fatores de

proporcionalidade, e das estratégias das alunas nas tarefas apresentadas. Os autores

acompanharam essas estudantes antes e durante uma experiência de ensino e

realizaram um pré-teste e um pós-teste, antes e depois da aplicação das atividades.

No pré-teste foram apresentados dois problemas numéricos de valor omisso. Na

primeira situação apresentada, ambas as alunas o resolveram de forma correta e

48

parecem ter usado a estratégia escalar para encontrar as respostas, tomando como

referência a ideia de dobro de metade, relações de somas sucessivas. Na segunda

situação, Carolina optou pela busca do valor unitário para, em seguida, encontrar a

resposta para o problema. Já Célia teve dificuldades na resolução, tentou relacionar

os valores, porém colocou um sinal de igual entre as variáveis, o que, segundo os

pesquisadores, pode ter dificultado a resolução, pois tentou encontrar uma igualdade

em termos numéricos.

Após o pré-teste, foi aplicado o teste intermediário, "durante a experiência de

ensino", composto por duas atividades. As estratégias utilizadas foram "escalares e

funcionais" e usaram relações multiplicativas. A apresentação das relações pelas

alunas indicou que os conhecimentos construídos nas primeiras aulas da experiência

de ensino proporcionaram-lhes avanços. Os pesquisadores verificaram que a escolha

dos números interfere na opção por uma estratégia, como já apontamos

anteriormente. Após o pós-teste, os autores concluíram que Carolina conseguiu

desenvolver diferentes estratégias na resolução dos problemas de valor omisso e

utilizou cálculos considerados simples.

Na visão dos pesquisadores, a experiência de ensino contribuiu para

desenvolver a capacidade das alunas para resolver problemas de proporção, em que

puderam identificar variáveis, dados numéricos e formular estratégias de resolução.

Os autores finalizam o estudo, afirmando que "as alunas revelaram alguma melhoria

na apresentação escrita das suas estratégias, mas só a Carolina foi capaz de

descrever com algum detalhe o seu raciocínio" (SILVESTRE; PONTE, 2009, p. 13).

Com base na pesquisa apresentada e em concordância com os autores,

podemos afirmar que apenas conhecer algumas atividades de valor omisso não

garante o domínio do raciocínio proporcional. É necessário ampliar a gama de

situações e, também, precisam saber aplicá-los em outros tipos de problemas, como

por exemplo, os de comparação entre grandezas. Isso nos fez refletir e, nesta

pesquisa, para fomentar as discussões e reflexões do grupo de participantes,

utilizamos atividades de valor omisso, comparação entre dois fatores de

proporcionalidade e situações não proporcionais.

Além disso, percebemos, ao realizar as leituras, que algumas pesquisas

apresentam uma lista de condições para o raciocínio ou o pensamento proporcional.

Verificamos que, tanto as pesquisas de Silvestre e Ponte (2009) como as de Silvestre

(2012) e Sousa (2010), dentre outras, apresentam a categorização proposta por

49

Cramer e Post (1993), que revelaram que o raciocínio proporcional vai além de aplicar

algoritmos e apontam que ele envolve:

− saber das características matemáticas de situações proporcionais;

− ser capaz de discernir características matemáticas de raciocínio proporcional

daquelas de contextos não proporcionais;

− conseguir exemplificar no contexto real e matemático de situações

proporcionais;

− ter a percepção de que podem ser usados vários métodos na resolução de

tarefas proporcionais e que esses métodos se relacionam entre si;

− compreender como resolver tarefas de raciocínio proporcional de natureza

quantitativa e qualitativa;

− não ser influenciado pelos números e por seu contexto, quando resolver

situações problemas.

Dentre essas características, Silvestre e Ponte (2009, p. 2) consideram

que o desenvolvimento de raciocínio proporcional envolve as seguintes condições:

[...] (i) distinções de relações de natureza proporcional de relações que não o são e utilizaram como referência para esta definição [...]; (ii) compreensão da natureza matemática das relações proporcionais [...]; (iii) capacidade de resolução vários de tipos de problemas [...].

Tais condições também serão observadas nesta investigação. Para a análise

das formas de resolução dos participantes desta investigação utilizamos como base a

classificação de Oliveira (2009) (valor unitário, fator escalar, funcional, produto

cruzado, linear e grandeza intermediária). Oliveira (2009) realizou a investigação com

33 alunos do 3.º ciclo (6.ª série) de uma escola de Montreal em Quebec, aplicando

sete problemas de situações proporcionais e situações não proporcionais que

envolveram o raciocínio proporcional, para verificar quais as estratégias mais

executadas pelos alunos e as de maior dificuldade antes do ensino formal. Como um

segundo objetivo, a autora pretendeu verificar se os resultados obtidos no Quebec se

assemelham aos detectados no Brasil na pesquisa do ano 2000.

A análise dos dados evidenciou que os estudantes utilizaram diferentes

estratégias para resolver problemas de estratégia escalar, linear, funcional, valor

unitário, grandeza intermediária... antes do ensino formal da proporcionalidade. E,

como Post, Behr e Lesh (1995); Lamon (2005); Silvestre e Ponte (2009) revelaram,

ela demonstrou que o contexto e os números escolhidos influenciam na escolha da

50

estratégia, bem como na resolução.

Oliveira (2009) alerta aos leitores que é necessário, antes de propor uma

situação de ensino, identificar os conhecimentos sobre os procedimentos já

dominados pelos estudantes, bem como suas dificuldades em tarefas de

proporcionalidade. A autora realça que isso poderia facilitar o avanço dos

conhecimentos dos alunos, o que nos auxiliou a levar em considerações esses

apontamentos na hora em que pensamos na elaboração de nosso estudo.

Em nossa pesquisa, procuramos identificar em que tipo de situações dentre as

apresentadas por Oliveira (2009) – valor omisso, de comparação entre dois fatores de

proporcionalidade e de situações não proporcionais – nossas estudantes utilizaram as

estratégias descritas anteriormente e quais precisaríamos explorar.

Na formação proposta às futuras professoras, tentamos enfatizar essas

estratégias. No entanto, procuramos chamar a atenção das participantes para que

evitassem a mera aplicação mecânica do produto cruzado. Acreditamos ser

necessário aflorar a análise da situação e o reconhecimento dessas relações serem

proporcionais ou não proporcionais, pois entendemos que identificar características

da proporcionalidade é um dos indicadores do raciocínio proporcional.

Outro estudo que trata a temática investigada é de Norton (2005), que destaca

a importância do trabalho com frações e o uso de diferentes representações

(fracionária, decimal, figural entre outras) em problemas envolvendo

proporcionalidade. O pesquisador aponta que a relação entre os conceitos de fração

(relação parte-todo) e de proporção é explorada em diversos livros de Matemática e

apresentada “na forma de representar as informações em problemas de proporção

como uma equação de frações equivalentes (igualdades entre duas frações) e, para

resolvê-los, multiplicando em cruz e depois dividindo"25. Na visão do autor, "o

problema com esta abordagem é que, no contexto das frações, o numerador

representa uma parte e o denominador o todo, enquanto que no caso da razão, tanto

o numerador como o denominador representam partes"26 (NORTON, 2005, p. 18).

O pesquisador destaca ainda que:

25 “The students are shown how to represent the information in proportion word problems as an equivalent fraction equation, and to solve it by cross multiplying and then dividing”. (NORTON, 2005, p. 18) 26 “The problem with this approach is that in the context of fractions the numerator represents a part and the denominator the whole, while in the case of ratio both the numerator and the denominator represent parts”. (NORTON, 2005, p. 18)

51

[...] o uso da notação fração ao resolver alguns problemas de proporção pode parecer expediente em que se estabelece uma multiplicação e depois algoritmo de divisão, é susceptível de confundir os estudantes, como o que é realmente a totalidade, enquanto na proporção é a soma das duas partes. Uma vez que os livros de matemática geralmente não ensinam frações e raciocínio proporcional de forma integrada.27 (NORTON, 2005, p. 18, tradução nossa)

É importante integrar esses conceitos com o de proporção, e, em nosso estudo,

procuramos relacionar as duas grandezas: distância e peso, além de procurar

minimizar a lacuna apresentada nos estudos de Norton (2005).

Acreditamos ser importante distinguir fração de razão e, ainda, compreender o

conceito de proporção. Ademais, procuramos inserir neste estudo situações

vivenciadas usualmente pelas estudantes para professora. Ao pensarmos a

elaboração das situações do nosso estudo, usamos as ideias de Lopes (2008, p. 6),

que relata que, ao ensinar o conceito de proporção, devemos tomar certos cuidados,

pois a modelagem matemática, com problemas da vida cotidiana, pode gerar certas

complicações para os alunos.

O pesquisador exemplificou que, com uma redução de receita culinária, os

estudantes de 10 e 11 anos tiveram dificuldade para saber o significado da terça parte

de uma pitada de sal. Para esse autor, é importante que os professores não apenas

contextualizem os conteúdos matemáticos a qualquer preço, pois é fundamental que

os conteúdos estejam alinhados com a realidade dos estudantes e que utilizem

atividades que explorem um contexto dos alunos.

Assim como o autor, entendemos que o raciocínio proporcional deve ser

largamente explorado em sala de aula, em todos os níveis e modalidades de ensino.

Corroborando tais afirmações, encontramos o estudo de Spinillo, segundo o qual o

ensino de proporcionalidade está frequentemente presente em níveis mais elevados

de ensino. Spinillo (1993) relata que pesquisas analisadas por ela indicaram que o

ensino de proporções pode ocorrer mais cedo:

[...] a maioria das pesquisas na área tem se concentrado na investigação do pensamento proporcional em adolescentes, e pouco se sabe acerca das noções iniciais que a criança tem sobre proporções, negligenciando-se em parte, outras possíveis manifestações do pensamento proporcional a níveis mais elementares. (SPINILLO, 1993, p. 350)

27 “Thus, while the use of fraction notation in solving some proportion problems may seem expedient in setting out a multiplication and then division algorithm, it is likely to confuse students as to what really is the whole, in fractions this is the denominator, while in ratio it is the sum of the two parts. Since the mathematics text books generally do not teach fractions and proportional reasoning in an integrated

52

Ao ler os trabalhos apontados na revisão (Lopes, 2008; Oliveira; 2009; Spinillo,

1993), percebemos ser necessário propor estudos mais voltados para os anos iniciais

no Ensino Fundamental e para quem atua nos anos iniciais. Visando preencher tal

lacuna, decidimos realizar um estudo com ideias ligadas ao raciocínio proporcional,

com foco em alunas de Pedagogia. A intenção foi refletir sobre o tema raciocínio

proporcional e seu ensino. Procuramos, por meio de análise de situações próximas

ao ensino, (re)significar os conhecimentos necessários ao ensino das participantes.

Na próxima seção, procuraremos aprofundar nossa compreensão acerca da

relação das crianças com o raciocínio proporcional.

2.3 Proporções e raciocínio proporcional em crianças

Como nosso foco foi o trabalho com futuros professores do Ensino

Fundamental I, pretendemos, nesta seção, discutir alguns estudos específicos para

este nível de escolaridade, a fim de entender algumas possibilidades para o trabalho

em sala de aula, envolvendo a temática proporção e o desenvolvimento do raciocínio

proporcional em crianças.

Nossa experiência docente indica que é cultural ao professor dos anos finais

ensinar a alunos de 12 a 14 anos o conteúdo proporcionalidade, e tal tema é proposto

para esse segmento de ensino. Nos Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL,

1998, p. 53) o conteúdo de proporcionalidade é indicado para ser desenvolvido nos

anos finais do Ensino Fundamental. Ademais, alguns documentos, como: Parâmetros

Curriculares Nacionais (BRASIL, 1997) e a Base Nacional Comum Curricular

(BRASIL, 2017) orientam o ensino de proporções e da ideia de proporcionalidade

desde os anos iniciais.

Quando tratamos de abordagens acerca de proporcionalidade e temas

similares, utilizamos um dos autores mais citados, ao discutir esse tema – Gérard

Vergnaud. Vergnaud (1983) apresenta a ideia das estruturas multiplicativas e, para

isso, se utiliza de conceitos envolvendo multiplicação e divisões. De acordo com

Vergnaud (1983, 2009), as Estruturas Multiplicativas apresentam em seu campo de

estudo situações de Isomorfismo de Medidas, Produto de Medidas, Comparação e

Proporcionalidade múltipla. No isomorfismo de medidas, a relação é quaternária, e o

produto de medidas é uma relação ternária entre três quantidades, das quais uma é o

produto das duas outras. Os problemas que envolvem relações quaternárias, segundo

53

Vergnaud (1990, 1994, 2011), são situações com quatro variáveis em que duas delas

representam certo tipo de grandeza e as duas restantes, outras. A seguir

apresentaremos as quatro situações relatadas pelo autor para problemas de

proporcionalidade simples e seus respectivos esquemas.

Figura 3: Esquema de proporcionalidade simples apresentado pelo autor

Fonte: Vergnaud (2011, p. 22)

Podemos notar, na Figura 3, que nos problemas de proporcionalidade simples

o autor apresenta quatro esquemas.

Nos três primeiros (multiplicação, partição e quota) são fornecidas três variáveis

conhecidas, em que uma delas é o número “um”, e a finalidade é descobrir o valor

desconhecido da quarta variável. Já no quarto esquema (quarta proporcional) são

apresentados quatro valores – um dentre eles será desconhecido, e o objetivo será

encontrá-lo. Para solucionar esses problemas de isomorfismo de medidas, Vergnaud

(2011, p. 23) propõe duas formas de resolução: escalar e funcional. A seguir

apresentaremos dois exemplos, visando ilustrar melhor tais propostas de resolução

expostas pelo autor.

● Exemplo 1 - "Tenho 3 pacotes de iogurte. Há 4 iogurtes em cada pacote.

Quantos iogurtes eu tenho?" (VERGNAUD, 2009, p. 239).

● Exemplo 2 - "Vou comprar 12 garrafas de vinho a R$ 19,50 por três garrafas.

Quanto vou gastar?" (VERGNAUD, 2009, p. 240).

O primeiro exemplo expõe uma situação de proporcionalidade simples

54

denominada “multiplicação”. Ela envolve relações que podem ser observadas

verticalmente e horizontalmente, conforme apontam as Figuras 4 e 5, em que

podemos perceber as possibilidades de resolução já apontadas pelo pesquisador

nesse estudo, para obter o valor em falta.

Figura 4: Exemplo 1 - Proporcionalidade simples (multiplicação) – Escalar

Fonte: Elaboração nossa

Figura 5: Exemplo 1 - Proporcionalidade simples (multiplicação) – Funcional

Fonte: Elaboração nossa--

Já no segundo exemplo, o autor expõe uma situação, a chamada “quarta

proporcional”, em que identificamos diferentes estratégias de resolução (duas

escalares e uma funcional), como visualizamos nas próximas três figuras a seguir.

Figura 6: Proporcionalidade simples (quarta proporcional) – Escalar

Fonte: Elaboração nossa

55

A primeira solução apontada na Figura 6 é a escalar, em que a relação se dá

por meio da comparação de variáveis de mesma natureza, cuja finalidade é encontrar

um valor desconhecido. Para isso, é necessário determinar o operador (constante de

proporcionalidade), ou seja, divide-se 12 por 3 e assim se obtém o número 4. Em

seguida, com o fator de proporcionalidade em mãos, no caso o 4, divide-se 19,50 por

ele e tem-se como resultado o valor desconhecido (4,875). Ainda, na resolução

escalar, outra forma de resolução possível seria descobrir o preço unitário da garrafa

de vinho, para o qual se dividem ambos os lados por 12 e, posteriormente, multiplica-

se por três para encontrar o valor de três garrafas (4,875), conforme notamos na

Figura 7.

Figura 7: Quarta proporcional – Escalar

Fonte: Elaboração própria

Além das estratégias já apresentadas, o autor propõe a estratégia funcional.

Nessa abordagem a resolução se dará por meio da comparação de variáveis de

naturezas diferentes, ou seja, divide-se 19,50 (preço) por 12 (garrafas); com isso,

acha-se o valor de uma garrafa, "fator de proporcionalidade" (1,625), e em seguida,

multiplica-se esse resultado por três, para assim chegar ao valor desconhecido, como

notamos na Figura 8.

56

Figura 8: Proporcionalidade simples (quarta proporcional) – Funcional

Fonte: Elaboração própria

Nos dois exemplos apresentados nas Figuras 7 e 8, outra possibilidade de

resolução seria a aplicação da regra de três para resolvê-los, em que se utilizam

propriedades ligadas à álgebra para obter o valor da variável desconhecida por meio

da aplicação do produto cruzado. No presente estudo, notamos distintas formas de

solução para problemas de proporcionalidade simples, o que possibilita aos alunos

distintas maneiras de compreender isomorfismo de medidas.

A partir dos estudos de Vergnaud, outros pesquisadores discutem o trabalho

com proporcionalidade e raciocínio proporcional nos anos iniciais. Um grupo de

pesquisadoras é composto por Gitirana et al. (2014), que nos oferece suporte para

compreender os esquemas de alunos dos anos iniciais quando resolvem problemas

multiplicativos e o raciocínio proporcional. As autoras apontam que a criança precisa

conhecer e dominar diversas situações de multiplicação, e o raciocínio proporcional é

indispensável elemento para tal êxito. Gitirana et al. (2014, p. 38) afirmam que apenas

a resolução de cálculos numéricos com algoritmos não garante que os alunos

entendam tais ideias. No estudo em questão, as autoras apresentaram quatro

problemas de sondagem que envolviam o cálculo 2x4 em diferentes abordagens. Aqui

transcrevemos os problemas e a posterior resolução:

Problema 1 – “A receita de brigadeiro de Dona Maria levou 1 lata de leite

condensado para 4 colheres de chocolate. Ela vai fazer brigadeiros com 2 latas de

leite condensado. Quantas colheres de chocolate ela usará para fazer a receita

corretamente?” (GITIRANA et al., 2014, p. 38). Esse problema envolve

proporcionalidade simples entre as grandezas (leite condensado e chocolate), cuja

57

resolução é realizada por meio da “multiplicação”28 entre essas relações.

Problema 2 - "Uma loja no shopping vende tudo em 2 vezes mais caro que a

lojinha da esquina. Uma sandália custa R$ 4,00 na lojinha da esquina. Quanto a

mesma sandália custa na loja do shopping?" (GITIRANA et al., 2014, p. 38). O

problema em questão trata de uma situação com uma grandeza "sandália", cuja forma

mais comum de resolução é a escalar.

Problema 3 - "Um parque de diversão cobra R$ 1,00 para cada criança brincar

em qualquer brinquedo durante 1 hora. Dona Lulu levou 2 seus filhos para brincar no

parque durante 4 horas. Quanto ela pagou?" (GITIRANA et al., 2014, p. 39). Essa

situação, na visão da autora, envolve bilinearidade: taxa por pessoa e por hora para

utilizar os brinquedos.

Problema 4 – “[...] o sorvete de uma bola pode ser servido em casquinha ou

copinho. Tem 4 sabores diferentes: menta, baunilha, chocolate, morango, Maria quer

um sorvete de uma bola, de quantas maneiras diferentes ela tem para escolher?”

(GITIRANA et al., 2014, p. 39). Esse problema, segundo Gitirana et al. (2014, p. 39)

apresenta a ideia de combinação ligada a grandezas discretas, e a autora afirma

tratar-se de um problema que contém um grau de dificuldade mais elevado para as

crianças.

Na pesquisa realizada pelos autores, foram aplicados problemas com tais

características para 504 alunos de 2.° a 9.° anos do Ensino Fundamental, e os

resultados mostraram que os índices de acertos aumentam de acordo com o passar

dos anos escolares, ou seja, nas etapas finais de ensino os resultados foram maiores

que nas etapas iniciais. Além disso, o número de acerto nos dois primeiros problemas

foi maior que nos dois últimos.

Apesar de as situações propostas envolverem a mesma operação aritmética,

conjecturamos que estão relacionadas às diferentes formas de raciocínio. Segundo a

pesquisadora, as apreensões desses conceitos passam pela escolha dos problemas.

A escolha de situações que possibilitem o progresso do aluno faz parte da

"competência profissional", e procuramos discutir com as participantes da pesquisa

tais questões, tendo em vista que o conteúdo em questão permeia todo o Ensino

Fundamental e Médio.

Outro estudo que nos ajuda a compreender como as crianças pensam é o de

28 Ver Figura 3.

58

Nunes et al. (2009), que propuseram às crianças de primeiro e segundo ano dos anos

iniciais29 a resolução situações que envolviam ideias de covariância entre as

grandezas e da invariância entre as relações por um valor fixo. Os pesquisadores

destacam como um invariante conceitual do raciocínio multiplicativo: “[...] é a

existência de uma relação fixa entre duas variáveis (ou duas grandezas ou

quantidades). Qualquer situação multiplicativa envolve duas quantidades em relação

constante entre si" (NUNES et al., 2009, p. 85). Esses pesquisadores relatam que as

crianças resolvem situações como as classificadas por Vergnaud como de

proporcionalidade simples (multiplicação, partição e quota) já nas duas primeiras

séries dos anos iniciais. Eles adaptaram para alunos brasileiros um problema de

proporcionalidade aplicado por Ekaterina Kornilaki30 na Inglaterra. Segue a imagem

do problema apresentado por Nunes et al. (2009) na Figura 9:

Figura 9: Problema de correspondência um para muitos

Fonte: Nunes et al. (2009, p. 88)

Nunes et al. verificaram que crianças de 6 e 7 anos são capazes de resolver

tais situações. A diferença nas propostas foi que Kornilaki aplicou o problema com

materiais concretos, enquanto Nunes et al. (2009) utilizaram apenas desenhos e

ilustrações orais com papel e lápis.

Os resultados apresentados pelo estudo realizado com crianças inglesas e o

29 Crianças de 6 a 7 anos no Brasil. 30 Ekaterina Kornilaki é uma pesquisadora inglesa que trabalhou conceitos de multiplicação com crianças de 5 a 7 anos de idade.

59

uso do material concreto foram melhores que os do trabalho de Nunes et al. (2009),

realizado no Brasil com utilização de papel e lápis. O primeiro estudo (KORNILAKI)

do problema de “correspondência-um-a-muitos” apresentou acerto de 100% dos

alunos, já no segundo (NUNES et al., 2009), para a mesma faixa etária, os alunos

tiveram acertos entre 60% e 90%, conforme podemos ver no quadro comparativo a

seguir.

Quadro 1: Resultados em percentual de acerto dos alunos

Ekaterina Kornilaki Nunes et al.

Fonte: Adaptado de Nunes et al. (2009, p. 87-88)

Os autores relatam ser necessário que as crianças passem por um processo

de trabalho com situações dessa natureza por meio de representações distintas. Na

visão dos pesquisadores, é fundamental que os professores considerem as ideias

sobre multiplicação já internalizadas pelos estudantes da primeira série escolar, ao se

institucionalizar o conceito de multiplicação para estudantes das demais séries, pois

muitas vezes é deixado de lado o que os alunos já sabem, quando se inicia o ensino

de relações multiplicativas.

Ademais, no estudo em questão, os pesquisadores apresentaram outro

problema mais difícil para os alunos, pois não é conhecida a relação fixa: "Márcio

convidou três amigos para uma festa de aniversário. Para cada amigo, ele quer dar 5

bolas de gude. Quantas bolas de gude precisa comprar?" (NUNES et al., 2009, p. 89).

Tabela 2: Proporcionalidade simples

Dados dos problemas de multiplicação e divisão

Número de amigo Número de bola por amigo Número de bolas

1 5 5

2 5 10

3 5 15

Fonte: Adaptado de Nunes et al. (2009, p. 90)

60

Segundo os autores, para resolver problemas dessa natureza, os alunos

podem recorrer ao uso de uma bolinha para o amigo A, uma para o amigo B e uma

para C, e repetir os procedimentos, até acabarem as bolinhas.

Esse estudo nos permitiu considerar as estratégias usadas por crianças em

processo inicial de escolarização no tratamento dessas relações multiplicativas. Tais

dados foram utilizados nas discussões com as futuras professores desta investigação,

pois pretendíamos ampliar sua compreensão a respeito do ensino desse tipo de

situação.

Outra referência utilizada neste estudo é a pesquisa de Silva (2012, p. 71), que

destaca que “a proporcionalidade é uma propriedade da multiplicação que explica o

fato de que, se um número qualquer sofrer alguma transformação, por exemplo, for

dobrado, todos os resultados da multiplicação por ele sofrem transformação na

mesma proporção”. Essa autora apresenta a ideia de covariância, ao relatar as

transformações conjuntas, e propõe como possibilidades a ideia de dobro, triplo e

quádruplo. E, assim como Lamon (2005) e Nunes et al. (2009), destaca a importância

do trabalho com tabelas. No entanto, Silva (2012, p. 72) alerta que problemas

resolvidos por meio de tal recurso podem levar as crianças a introduzir relações

aditivas, e isso poderia induzi-las ao erro em outras situações. A autora explica tal

equívoco, utilizando-se da situação a seguir: "Se uma lapiseira custa 5 reais, quanto

custarão 3 lapiseiras?”. Segundo a pesquisadora, para resolver essa situação, os

alunos podem recorrer às relações aditivas, ou seja, somar 5+5+5 e, depois disso,

começar a contar de um em um, para encontrar o resultado final.

Silva (2012, p. 72) orienta para que essa estratégia seja utilizada como as

primeiras possibilidades para cálculo, mas que o professor precisa aumentar a

dificuldade e mostrar que tal estratégia nem sempre é a mais eficiente, pois se, ao

invés de três, fossem nove, o trabalho já teria outro grau de dificuldade e, portanto, a

adição reiterada de parcelas iguais poderia se mostrar um recurso mais demorado;

daí a necessidade da multiplicação.

Esse estudo completa o anterior e nos auxiliou a refletir com as futuras

professoras acerca da relação entre os conceitos que envolvem a ideia de

multiplicação e o raciocínio proporcional. Procuramos discutir o ensino e analisar

também as possibilidades e as limitações do trabalho com adição reiterada de

parcelas iguais e o uso de tabelas.

Outra pesquisa que utilizamos como aporte bibliográfico foi a de Fernández e

61

Llinares (2012), que trabalharam com 755 estudantes, envolvendo características do

desenvolvimento do raciocínio proporcional com crianças e adolescentes. Os

pesquisadores buscaram determinar os perfis de comportamento dos alunos, ao

resolverem problemas com grandezas proporcionais e não proporcionais; e, ainda,

procuraram analisar o desenvolvimento do raciocínio proporcional ao longo Ensino

Fundamental.

Os autores detectaram nessa pesquisa que, ao resolverem problemas

proporcionais e não proporcionais, os alunos mostraram estratégias diferentes,

dependendo da faixa etária: os menores se utilizavam de estratégias aditivas,

enquanto os adolescentes analisados se apropriaram de estratégias multiplicativas.

Fernández e Llinares (2012) afirmam que os alunos, ao se depararem com

diversas situações independentes das variáveis, qualitativas ou quantitativas,

precisam compreender as relações envolvidas no problema. E devem usar o

pensamento correto para resolver problemas envolvendo relações aditivas31 e

relações multiplicativas32.

Nesse cenário é bem provável que a compreensão inicial do conceito de

proporcionalidade nos anos iniciais possa ser aprendida por meio da exploração de

problemas qualitativos. Fernández e Llinares (2012, p. 130, tradução nossa)

apresentam um exemplo no qual é possível visualizar esta falta de coordenação entre

as relações:

Marta e Sofia querem pintar seus quartos exatamente da mesma cor. Marta mistura três latas de tinta amarela e seis latas de tinta vermelha. Sofia usou sete latas de tinta amarela. Quantas latas de tinta vermelha que ela precisará, considerando que todas as latas têm o mesmo volume?33

A situação envolve um problema de "valor omisso", cuja finalidade foi

descobrir o item que falta. Neste caso, a resolução dos alunos investigados pelo autor

(12 a 16 anos) identificou resoluções aditivas entre o número de latas de tinta amarela

(três) usadas por Marta e o número de latas de tinta vermelha (seis) e calcularam: 3

+ 3 = 6. Os estudantes usaram esta relação para determinar o número de latas de

tinta vermelha que Sofia terá 7 + 3 = 10.

31 Reconhecimento de problemas aditivos - identificação de relações não proporcionais, como, por exemplo, verificar as relações aditivas no primeiro problema apresentado pelo autor. 32 Reconhecimento de problemas proporcionais - identificação de relações de proporcionalidade, que é possível notar no segundo exemplo de situação apresentada pelo autor nesse estudo. 33 “Marta y Sofía quieren pintar sus habitaciones exactamente del mismo color. Marta mezcla 3 botes de pintura amarilla y 6 botes de pintura roja. Sofía ha usado 7 botes de pintura amarilla. ¿Cuántos botes de pintura roja necesitará?”.

62

Na investigação feita pelos pesquisadores, os alunos utilizaram-se do

pensamento aditivo para resolver este problema e, dessa forma, não acertaram a

solução. Além das situações em que os estudantes associam o pensamento aditivo

de forma incorreta, os autores detectaram também que eles utilizaram estratégias

multiplicativas incorretas na resolução de problemas não proporcionais. Este é um dos

problemas propostos por Fernández e Llinares (2012): “Raquel e Juan estão

plantando flores. Plantam na mesma velocidade, porém Juan começou antes. Quando

Raquel havia plantado 4, Juan já havia plantado 12 flores. Se Raquel plantou 20,

quantas flores plantou Juan?” (FERNÁNDEZ; LLINARES, 2012, p. 131, tradução

nossa)34.

Este exemplo não é um problema de proporcionalidade; de acordo com os

autores, é um exemplo do tipo f(x) = x + b, b ≠ 0. A situação descreve uma relação

aditiva entre as quantidades. Juan plantou 8 flores mais que Raquel (12 = 4 + 8). A

diferença entre as duas situações está em considerar “3 vezes”, a partir da relação

multiplicativa entre 4 e 12 “8 flores a mais”, a partir da relação aditiva entre 4 e 12. No

entanto, alguns alunos usaram métodos multiplicativos incorretos para resolvê-lo;

notamos que eles utilizaram a relação flores de Raquel e flores de Juan, ou seja, para

obter 12, se multiplicam 4 flores de Juan por 3 (4 x 3 = 12). A partir dessa relação,

multiplica–se a razão 3 por 20 flores de Raquel para encontrar as flores de Juan.

Nesse contexto, o autor realça que o "raciocínio matemático"35 envolve não

só uma compreensão das relações multiplicativas entre as variáveis de um

determinado problema, mas também a capacidade de reconhecer situações

proporcionais e situações não proporcionais. Já o "raciocínio cognitivo" está associado

à forma como os professores aprendem o raciocínio proporcional, ao analisarem

tarefas realizadas por alunos. Dessa forma, o modo como a tarefa é desenhada pelo

professor pode interferir no raciocínio e na resolução dos estudantes e dos estudantes

para professores. Por isso, entendemos que os participantes deste estudo devem ter

bem claros os conceitos que envolvem o raciocínio proporcional, independente da

forma com que é apresentado o problema, das variáveis ou do contexto.

Fernández e Llinares (2012) propõem uma variação para o segundo problema:

34 “Raquel y Juan están plantando flores. Plantan a la misma velocidad pero Juan empezó antes. Cuando Raquel ha plantado 4 flores, Juan ha plantado 12 flores. Si Raquel ha plantado 20 flores, ¿cuántas flores ha plantado Juan?” 35 O autor aponta duas vertentes para a competência docente: olhar para o raciocínio matemático e olhar o raciocínio cognitivo dos alunos.

63

“Raquel e Juan estão plantando flores. Eles começaram ao mesmo tempo, mas Juan

é mais rápido. Quando Raquel plantou 4 flores, Juan plantou 12 flores. Se Raquel

plantou 20 flores, quantas flores foram plantadas por Juan?” (FERNÁNDEZ;

LLINARES, 2012, p. 131, tradução nossa)36.

Nesta situação, a frase "iniciaram ao mesmo tempo, mas Juan é mais rápido.

Quando Raquel plantou 4 flores, Juan plantou 12 flores" (FERNÁNDEZ; LLINARES,

2012, p. 131, tradução nossa)37 indica uma relação multiplicativa entre as variáveis.

Nessa relação proporcional, podemos notar que o número de flores plantadas

por Juan sempre será o triplo de flores plantadas por Raquel. Ou seja, Raquel plantou

4 flores, Juan plantou 12. Se mantiver o mesmo ritmo, quando Raquel plantar 20, Juan

terá plantado 60, e essa relação será mantida. Assim, deve aflorar o raciocínio

matemático implícito na tarefa.

Podemos ver aqui o problema anterior contendo a resolução de seis alunos:

Figura 10: Problema proposto por Llinares

Fonte: PPT apresentado por Llinares (2015a, p. 94) no II Seminário Integrado.

As situações que descrevem as frases: "Raquel e Juan", "plantado com a

mesma velocidade, mas Juan iniciou antes" ou "começaram ao mesmo tempo, mas

Juan é mais rápido" discriminam o tipo de pensamento requerido nas atividades.

36 “Raquel y Juan están plantando flores. Empezaron al mismo tiempo pero Juan es más rápido. Cuando Raquel ha plantado 4 flores, Juan ha plantado 12 flores. Si Raquel ha plantado 20 flores, ¿cuántas flores ha plantado Juan?”. 37 “Empezaron al mismo tiempo pero Juan es más rápido. Cuando Raquel ha plantado 4 flores, Juan ha plantado 12 flores”.

64

Fernández e Llinares, (2012) em outro estudo, propõem uma série de

problemas de raciocínio proporcional em que se manipulam as duas variáveis, do tipo

razão entre as quantidades (inteiros ou não inteiros) e do tipo natureza entre as

quantidades (discretas ou contínuas). Segundo o pesquisador, isso

justifica-se porque a pesquisa sobre raciocínio proporcional tem indicado que estas duas variáveis influenciam no desempenho dos estudantes em problemas proporcionais (Cramer, Correios e Currier, 1993; Fernández e Llinares, 2011; Fernández, Llinares, Van Dooren, De Bock e Verschaffel, 2011; Karplus, Pulos e Palco, 1983; Tourniaire e Pulos, 1985; Van Dooren, De Bock, Evers e Verschaffel, 2009). (FERNÁNDEZ; LLINARES, 2012, p. 131, tradução nossa)38

Os pesquisadores realçam que implicações no tratamento com variáveis

influenciam no ensino, na aprendizagem e no desenvolvimento do raciocínio

proporcional. Os autores complementam e sugerem que os currículos apresentem

distintas situações proporcionais e situações não proporcionais. Ademais, enfatizam

a necessidade de os alunos reconhecerem ambos os tipos de situações. Eles também

sugerem que os conceitos iniciais de razão e proporção possam ser inseridos por meio

de diferentes tipos de razões (inteiras e não inteiras). E orientam que, nessa fase

escolar, a razão não esteja somente relacionada com ideia de fração, ou de quociente,

mas com a ideia de razão em índices comparativos. Recomendam também levar em

conta os resultados de pesquisas, pois

podem ajudar aos estudantes a reconhecer as dificuldades que os estudantes têm para identificar diferentes situações na transição do pensamento aditivo para o multiplicativo e de que maneira os estudantes têm dificuldades em ampliar o significado da ideia de razão, incorporando significados que procedem da estrutura aditiva. (FERNÁNDEZ; LLINARES, 2012, p. 139, tradução nossa)39

Todos esses resultados de pesquisas são relevantes para apoiar os trabalhos

em sala de aula. São ainda necessárias pesquisas que observem como os

professores e os estudantes para professor consideram tais informações, ao pensar

no ensino das relações entre as estruturas aditivas e multiplicativas nos problemas de

38 “Viene justificado porque las investigaciones sobre el razonamiento proporcional han indicado que estas dos variables influyen en las actuaciones de los estudiantes en los problemas proporcionales (Cramer, Post y Currier, 1993; Fernández y Llinares, 2011; Fernández, Llinares, Van Dooren, De Bock y Verschaffel, 2011; Karplus, Pulos y Stage, 1983; Tourniaire y Pulos, 1985; Van Dooren, De Bock, Evers y Verschaffel, (2009)” 39 “puede ayudar a los estudiantes para profesor a reconocer las dificultades que tienen los estudiantes en identificar diferentes situaciones en la transición del pensamiento aditivo al multiplicativo y de qué manera los estudiantes tienen dificultades en ampliar el significado de la idea de razón incorporando significados que no proceden de la estructura aditiva”.

65

proporções; e outras que tragam propostas de transição do pensamento aditivo para

o pensamento multiplicativo.

O trabalho com proporções e o desenvolvimento do raciocínio proporcional

podem ser explorados por meio da resolução com o auxílio de tabelas. Fernández e

Llinares (2012, p. 139, tradução nossa) afirmam que a "utilização de ‘tabelas de

números proporcionais e não proporcionais’ em contextos reais podem ajudar os

alunos identificar relações entre os números [...]"40.

Anteriormente neste mesmo capítulo destinado aos estudos teóricos, já

havíamos identificado essas mesmas indicações no trabalho com tabelas em Lamon

(2005), que propõe seu uso como uma alternativa para a inserção do raciocínio

proporcional. Em nosso entendimento, esta pode ser uma rica estratégia na resolução

dos problemas que envolvem o raciocínio proporcional, pois, associada ao olhar

profissional, permite aos futuros professores verificar relações de proporcionalidade

ou de não proporcionalidade na construção de tabelas, ao resolverem problemas.

Nesse cenário, os pesquisadores orientam o uso de problemas para que os

estudantes para professor e seus alunos classifiquem problemas em proporcionais ou

não proporcionais em diferentes contextos, tais como problemas aritméticos e

geométricos, sem a necessidade inicialmente de resolvê-los, mas apenas de

reconhecê-los.

Primeiramente, apenas a identificação da proporcionalidade ou não

proporcionalidade pode ser uma boa estratégia para refletir sobre os conceitos iniciais

a respeito do raciocínio proporcional. A intenção, nesse tipo de situação, segundo o

autor, é de focar nas relações e não nas quantidades e, com isso, fortalecer a

compreensão e o desenvolvimento do raciocínio proporcional. Por isso, é preciso levar

em conta como importantes para o desenvolvimento da competência docente no

trabalho de fortalecimento de compreensão e desenvolvimento do raciocínio

proporcional: as características do problema; a forma com que a situação é

apresentada; o tipo de variável (qualitativa e quantitativa); e o modo como os números

são utilizados, se são múltiplos ou não.

Llinares em seus estudos afirma que o trabalho do docente é olhar de forma

profissional os perfis de estudantes e compará-los entre si, ou seja, é fundamental

40 “En este sentido, el uso desde la Educación Primaria de «tablas de números proporcionales» y no proporcionales en contextos reales puede ayudar a los estudiantes a identificar las relaciones entre los números (LAMON, 1999; SINGER; KOHN; RESNICK, 1997)”.

66

explorar o potencial, saber as limitações dos estudantes e procurar agrupá-los de

forma a favorecer o sucesso na resolução de problemas.

Complementando nossas leituras, notamos que Alina Spinillo é outra referência

muito utilizada por autores no trabalho do raciocínio proporcional. A pesquisadora

analisa e interpreta a evolução das crianças em diversas atividades de proporção.

Procurou "examinar a natureza das relações de primeira ordem em tarefas de

proporção que envolvem dimensões complementares" (SPINILLO, 1992, p. 306) e

destacou os seguintes resultados:

Esta análise revelou que as relações de primeira ordem tanto podem ser estabelecidas através de comparações parte-parte como através de comparações parte-todo, e que as crianças são capazes de resolver problemas de proporção quando as relações de primeira ordem envolvem comparações parte-parte.

Na visão da pesquisadora, as crianças desde muito cedo conseguem

estabelecer relações de comparação entre dois pares de grandezas. "Em proporção

estas relações requerem estruturar relações entre relações (relações de segunda

ordem) que envolvem comparações entre duas (ou mais) relações de primeira ordem"

(SPINILLO, 1992, p. 307). Com base nos estudos de Piaget e Inhelder (1975), ela

chama a atenção do leitor para o fato de que as relações de primeira ordem podem

ser parte-todo ou parte-parte41. E classifica essas últimas como mais fáceis para as

crianças. Acrescenta que comparações entre duas relações parte-parte podem ser de

dois tipos: iguais ou diferentes.

Para o trabalho com essas relações, a autora indica o uso do referencial

"metade", em que as crianças são capazes de fazer julgamentos em "mais que

metade", "menos que metade" e "igual à metade", ao comparar dimensões

complementares nas relações de primeira ordem. Para Spinillo (1992) a utilização

deste referencial pode ser uma boa estratégia para as crianças compreenderem

inicialmente sobre proporções e conceberem o pensamento proporcional em

atividades com dimensões complementares (parte-parte).

Ademais, “Spinillo e Bryant (1990) verificaram que crianças entre 6 e 8 anos de

idade também usam o referencial de ‘metade’ em julgamentos proporcionais acerca

41 “Relações parte-todo - consistem em comparações entre uma classe e uma de suas subclasses, como na tarefa piagetiana de inclusão de classes (rosas x flores). Em termos matemáticos referem-se a fração. Relações parte-parte envolvem comparações entre duas subclasses (rosas x margaridas) que, juntas, formam a classe das flores. Em termos matemáticos referem-se a razão” (SPINILLO, 1992, p. 307).

67

de quantidades numéricas” (SPINILLO, 1992, p. 315). Em nosso estudo utilizamos os

resultados das pesquisas de Spinillo com a finalidade de realizar discussões e

reflexões com grupo investigado acerca da maneira a serem explorado o conceito de

proporção e o desenvolvimento do raciocínio proporcional em crianças menores.

Uma convergência observada nos estudos até aqui apresentados42 foi quanto

ao uso das ideias de Piaget e Vygotsky. Ao lermos Vergnaud, percebemos que ele

relaciona seus estudos a conceitos utilizados pelos dois autores. Também Nunes et

al. e Gitirana et al. se utilizam desse referencial, por apoiarem suas investigações nos

estudos de Vergnaud.

Além desses estudos já apontados, Schliemann (1998) também apresenta tais

evidências em seu trabalho. A autora afirma que na teoria piagetiana as crianças, ao

resolverem situações-problema de matemática, mobilizam estruturas mentais já

existentes; por meio de seus esquemas mentais, chegam à resolução. À medida que

ocorrem as aprendizagens, novos esquemas são incorporados, para que as crianças

acomodem novos conceitos. Esse processo é conhecido nessa teoria como

assimilação e acomodação.

Para Schliemann (1998), o desenvolvimento na criança ocorre quando elas

são inseridas em situações de ensino de níveis mais complexos, em que elas possam

relacionar conhecimentos prévios com novos conceitos, a fim de favorecer a

construção de novos conhecimentos. A autora chama a atenção para que, ao abordar

situações problema, se considere o contexto no qual os estudantes vivem, ou seja, é

preciso ter em conta a matemática diária dos alunos para promover aprendizagens.

De acordo com relatos da pesquisadora, pessoas sem escolarização ou quase

nenhuma têm dificuldades no trabalho com situações de ensino que envolvem regras

e algoritmos matemáticos.

Ela realizou uma investigação com estudantes que tinham conceitos adquiridos

na escola e alunos que não possuíam escolarização, porém utilizavam conceitos

matemáticos diariamente. Em situações que envolviam o raciocínio proporcional,

pescadores eram capazes de relacionar o preço de várias unidades de peixes,

recorrendo à ideia do preço unitário43. Diante disso, a autora afirma que "os

pescadores conseguiram transferir procedimentos que utilizaram para cálculo de

42 Vergnaud; Gitirana et al.; Nunes et al.; Silva. 43 Estratégia conhecida neste trabalho como “taxa unitária”, em que, para encontrar o valor omisso, busca encontrar o valor da unidade e em seguida multiplicá-lo pela quantidade a ser obtida.

68

preços para problemas de proporcionalidade entre a quantidade de peixes não

processados e a quantidade de peixes processados" (SCHLIEMANN, 1998, p. 17). No

entanto, apresentaram dificuldades quando foram propostas atividades escolares.

Em outra situação a autora realizou um estudo com cozinheiras que se

inscreveram em um curso de alfabetização de adultos. Foram propostas tarefas de

proporcionalidade que envolviam dois contextos de compra e venda de produtos e

receitas de cozinha, e um terceiro contexto contendo fórmula de remédios. A primeira

situação fazia parte da vida dos alunos, mas a segunda não. A autora propôs tais

problemas em ordem diferentes e notou que, mesmo com diferentes formas de

apresentação, as alunas tiveram dificuldades na resolução de problemas com

fórmulas de remédio, pois não condiziam com o contexto delas. A pesquisadora

concluiu que:

[...] embora a experiência escolar tenha um papel importante na determinação da forma como as pessoas enfrentam problemas em contextos desconhecidos, o conhecimento matemático desenvolvido nos contextos da vida diária são flexíveis e gerais. (SCHLIEMANN, 1998, p. 18)

A autora complementa e afirma que é possível aplicar situações específicas a

situações mais genéricas, desde que as quantidades no novo contexto sejam

conhecidas dos alunos e tenham relações com o contexto conhecido por eles. Tais

resultados nos permitirão refletir com o grupo investigado neste estudo.

Schliemann (1998, p. 18) relata que, para resolverem problemas de

proporcionalidade, crianças não escolarizadas geralmente recorrem às estratégias

escalares, mesmo quando estratégias funcionais sejam mais fáceis, enquanto

crianças escolarizadas conseguem distinguir qual estratégia é mais adequada para

resolver cada problema. No entanto, estas últimas encontram dificuldades quando a

quantidade de itens de certo produto é maior que seu preço, o que se explica pelos

referenciais das duas quantidades iniciais: elas geralmente fazem confusão, se o

resultado se refere ao preço unitário ou à quantidade de itens.

Na visão da pesquisadora, a matemática da vida diária pode induzir os alunos

a limitar-se a situações específicas, com exemplos concretos, e isso pode dificultar a

generalização dos conceitos de proporcionalidade pelos estudantes.

Com base nos resultados apresentados pela pesquisadora, acreditamos que

tanto no ensino quanto no processo de aprendizagem é preciso articular aspectos da

vida diária dos estudantes a aspectos ligados ao ensino escolar de matemática. As

69

crianças, ao serem escolarizadas, podem ter contato com diferentes abordagens de

ensino, diversas representações do objeto matemático. Para tal, os professores e os

estudantes para professores devem pensar em propor situações motivadoras e que

façam sentido para os alunos, para que mobilizem seus conhecimentos e os adaptem

a novas situações.

Schliemann (1998, p. 32) defende que essas situações "[...] devem abranger

conceitos variados e permitir a descoberta de aspectos matemáticos que não são

facilmente encontrados em situações fora da escola". A autora entende que apenas

reproduzir situações do dia a dia na sala de aula não propicia aprendizagens para os

estudantes, pois constitui uma simples aplicação de atividades. O trabalho deve ir

além da simples reprodução de situações, ou seja, essas devem ser otimizadoras para

as crianças e "devem, portanto, procurar engajar o estudante em utilizar todos os seus

recursos para compreender novos sistemas e situações. E essas situações nem

sempre são aquelas que ele encontra fora da escola" (SCHLIEMANN, 1998, p. 33).

Assim como Schliemann (1998), acreditamos que as situações do cotidiano

devam ser inseridas no contexto dos estudantes. É necessário ampliar tais ideias para

que os estudantes não fiquem no senso comum, apenas em resoluções de problemas

do mundo real. É essencial que as futuras professoras explorem as mais variadas

situações de proporcionalidade e não proporcionalidade. Ademais, para que tenham

sucesso em sua atuação profissional, precisam conhecer e utilizar como apoio:

material concreto, computador, papel e lápis, entre outros.

Portanto, os estudos de Schliemann (1998) fornecem contribuições a esta

investigação, por analisar o raciocínio matemático de crianças escolarizadas e de

crianças que não possuem escolarização. Ela acredita que a criança desenvolve a

compreensão de razão e proporção fora da escola, mas o raciocínio proporcional

envolve conhecimentos que podem ser desenvolvidos no âmbito escolar.

Ademais, Schliemann (1998) indica o uso de dobro e triplo em situações

cotidianas envolvendo conceitos de razão e proporção. Além de Schliemann (1998),

os estudos de Spinillo (1992) e Fernández e Llinares (2012) indicaram orientações

semelhantes para o desenvolvimento do raciocínio proporcional de crianças, com

ideias do referencial metade e dobro.

Os estudos apresentados reforçam a necessidade de pensar e discutir, em

nossa formação, possibilidades de introdução ao raciocínio proporcional para futuras

professoras dos anos iniciais e alternativas para desenvolver esse raciocínio em

70

crianças. Dessa forma, corroboramos os estudos da autora e consideramos que o

raciocínio proporcional precisa ser explorado com crianças menores (06 a 10 anos de

idade). Entendemos ser necessário criar diferentes estratégias e abordagens para que

alunos menores compreendam as ideias acerca de proporções e desenvolvam o

pensamento proporcional. Para tal, é importante saber como as crianças pensam e

agem, para que possamos pensar em atividades profissionais. E nesta seção

apresentamos estudos que enfatizam como se dá o raciocínio proporcional nos anos

iniciais.

Portanto, em nossa pesquisa, partimos do pressuposto que a compreensão dos

estudantes para professores investigados sobre o que vem a ser raciocínio

proporcional está intrinsecamente relacionada com a competência em resolver

problemas multiplicativos e compreender como as crianças pensam.

Na próxima seção apresentaremos estudos que tratam da formação de

professores relacionados ao raciocínio proporcional.

2.4 A formação de professores e o raciocínio proporcional

Em nossas buscas, procuramos relacionar, inicialmente, a formação inicial de

professores dos anos iniciais com as ideias de proporcionalidade ou raciocínio

proporcional. Como não obtivemos sucesso, procuramos ampliar a revisão para

outros segmentos de ensino. Separamos dois estudos que entendemos serem os

mais relevantes.

O primeiro selecionado foi o de Nunes e Costa (2016), uma pesquisa qualitativa

com um grupo de (futuros) professores de Matemática, ou seja, estudantes de

licenciatura. O trabalho teve como objetivo verificar como esses (futuros) professores,

em formação inicial, desenvolviam o raciocínio proporcional por meio da resolução de

problemas, e ainda, como reconstruíram o conceito de proporcionalidade. Para tal

investigação foram propostos aos participantes dois problemas. O primeiro já havia

sido proposto por Tinoco (1996) e apresentava uma situação não proporcional:

Suely e Júlia estavam correndo na mesma velocidade ao redor de uma trilha. Suely começou primeiro. Quando Suely completou 9 voltas, Júlia completou 3 voltas. Quando Júlia completou 15 voltas, quantas voltas Suely completou? a) () 45 voltas b) () 24 voltas c) () 21 voltas d) () 6 voltas Este problema expressa uma situação de proporcionalidade? Justifique! (TINOCO, 1996 apud NUNES; COSTA, 2016)

71

Os resultados indicaram que os estudantes tiveram dificuldades no

reconhecimento da não proporcionalidade e resolveram o problema de três formas

(Figura 11).

Figura 11: Tentativas de resolução de uma situação não proporcional

Fonte: Nunes e Costa (2016, p. 55-56)

Os participantes questionaram os pesquisadores porque o resultado

apresentado não condizia com a situação. Foi solicitado que realizassem uma nova

leitura do problema e verificassem o que haviam feito. A dupla notou que os

procedimentos não correspondiam à situação proposta e perceberam, nesse

momento, que as atletas corriam a uma mesma velocidade. Assim, a partir da terceira

volta de Júlia, quando a diferença entre as corredoras era de 6 voltas, foi possível

perceber que essa diferença se manteve nas demais voltas; portanto, quando Júlia

terminou 15 voltas, Suely terminou 21 voltas. Nunes e Costa (2016, p. 56) pediram

aos alunos que registrassem suas conjecturas, o que resultou na seguinte

representação (Figura 12).

72

Figura 12: Resolução correta de uma situação não proporcional

Fonte: Nunes e Costa (2016, p. 57)

A partir das produções e dos relatos dos futuros professores, os autores

identificaram que os alunos apresentaram dificuldades para reconhecer a relação

aditiva entre as grandezas, pois o número de tentativas para se chegar ao resultado

foi grande. Detectaram também que os estudantes empregaram tanto o raciocínio

quantitativo, que envolve algoritmos numéricos, quanto o qualitativo, ao explicar as

estratégias utilizadas.

Já a segunda situação foi um problema de proporcionalidade, conforme vemos

na Figura 13:

Figura 13: Problema de proporcionalidade apresentado pelos autores

Fonte: Tinoco (1996 apud NUNES; COSTA, 2016, p. 58-59).

Os autores solicitaram que os estudantes resolvessem esse problema

individualmente. As resoluções apresentadas no protocolo indicaram que os futuros

73

professores não tiveram dúvidas, pois fizeram poucos questionamentos. A seguir, na

Figura 14, apresentamos dois protocolos com o preenchimento da tabela.

Figura 14: Resolução de dois alunos sobre o problema de proporcionalidade

Fonte: Nunes e Costa (2016, p. 59)

Segundo os pesquisadores o primeiro estudante possivelmente resolveu o

problema por meio da “estratégia escalar”, ou seja, encontrou os valores respectivos

da segunda e da terceira linha e o multiplicou por 7, para determinar o resultado. Já o

segundo estudante resolveu pela regra de três. Os autores notaram que os licenciados

não relacionaram com o que lhes foi solicitado no item (a), sugerindo que o registro

na tabela não estava acompanhado da compreensão efetiva de quais eram as

grandezas envolvidas no problema. No item (b), as respostas foram diversificadas: o

estudante da primeira tabela reconheceu, por meio da variação constante, que as

grandezas eram proporcionais; já o segundo grupo de alunos informou que as

grandezas eram proporcionais até 20 alunos. As respostas demonstraram para os

pesquisadores que ainda havia dificuldades no reconhecimento de uma proporção.

Ou seja, nem todos os futuros professores têm clara a relação diretamente

proporcional entre duas grandezas, expressa por uma função linear. Apesar disso, os

autores identificaram indícios do raciocínio proporcional nos estudantes, quando

demonstravam habilidades em reconhecer, explicar, pensar sobre, fazer gráficos e

representar proporções diretas. Além disso, as discussões e as reflexões realizadas

possibilitaram, na visão dos autores, o desenvolvimento do raciocínio proporcional.

Corroboramos o que dizem os autores:

Não basta encontrar a solução para um problema; também é importante explicar como a encontrou. Por vezes, nos preocupa a maneira como o raciocínio proporcional tem sido trabalhado nas escolas: um ensino restrito a cálculos e à manipulação de regras, propiciando um desenvolvimento frágil e pouco significativo desse raciocínio matemático. (NUNES; COSTA, 2016, p. 61)

74

A diversificação das atividades, bem como as estratégias de resolução e

compreensão das ideias ligadas ao raciocínio proporcional são essenciais para o

ensino de proporcionalidade. Nesta investigação, identificamos que nos estudos de

Nunes e Costa (2016), os alunos tiveram dificuldades do reconhecimento de situações

não proporcionais e apresentaram limitação na identificação de uma constante de

proporcionalidade.

Optamos pelo estudo em questão por ter certa relação com a presente

pesquisa, embora o número de pesquisas voltadas para a formação inicial de

professores dos anos iniciais com o tema proposto seja restrito. Há estudos com

futuros professores de matemática, mas estudantes de Pedagogia não são tão

comuns. Os resultados aferidos nesse estudo auxiliaram na elaboração e nas

discussões durante a formação proposta nesta pesquisa.

Um dos pontos destacados no presente estudo foi o conhecimento profissional

de futuras professoras que vão ensinar matemática. Para isso, elas precisam

conhecer a temática e suas abordagens, bem como estratégias e ferramentas de

ensino. Mas, além disso, devem ter o “conhecimento acerca do currículo” (BALL;

THAMES; PHELPS, 2008).

Vejamos agora o que orientam principais os documentos oficiais sobre o

raciocínio proporcional.

2.5 O que dizem os documentos curriculares a respeito da temática

Nesta pesquisa elencamos alguns dos principais documentos que norteiam a

educação básica no Brasil e escolhemos discorrer sobre os Parâmetros Curriculares

Nacionais (BRASIL, 1997, 1998) e a Base Nacional Comum Curricular (BRASIL,

2017), por se tratarem de documentos de referência em nível nacional.

Os Parâmetros Curriculares Nacionais dos anos iniciais (BRASIL, 1997) e dos

anos finais (BRASIL, 1998) do Ensino Fundamental apontam que proporcionalidade é

uma das ideias fundamentais e está presente em todos os blocos de conteúdo

(números, medidas, espaço e forma e tratamento de informação).

Ao tratar da aprendizagem matemática, os Parâmetros Curriculares Nacionais

sugerem que o ponto inicial para a atividade matemática deve ser a exploração de

problemas, e os estudantes precisam mobilizar estratégias para resolvê-los. Assim

propõem os PCN para os anos iniciais:

75

aproximações sucessivas ao conceito são construídas para resolver um certo tipo de problema; num outro momento, o aluno utiliza o que aprendeu para resolver outros, o que exige transferências, retificações, rupturas, segundo um processo análogo ao que se pode observar na história da Matemática. (BRASIL, 1997, p. 33)

As indicações ali apresentadas orientam que conteúdos servem de guia para o

desenvolvimento de ideias fundamentais (como as de proporcionalidade, equivalência

etc.) e que devem ser selecionados “levando em conta sua potencialidade quer para

instrumentação para a vida, quer para o desenvolvimento do raciocínio, nem sempre

são observadas” (BRASIL, 1997, p. 22). Corroborando essa afirmação, os Parâmetros

Curriculares Nacionais a complementam e apontam que,

ao relacionar ideias matemáticas entre si, [os alunos] podem reconhecer princípios gerais, como proporcionalidade, igualdade, composição e inclusão e perceber que processos como o estabelecimento de analogias, indução e dedução estão presentes tanto no trabalho com números e operações como em espaço, forma e medidas. (BRASIL, 1997, p. 29)

Com isso, percebemos que o estabelecimento de relações é tão importante

quanto a exploração dos conteúdos matemáticos, pois, abordados de forma isolada,

os conteúdos podem acabar representando muito pouco para a formação do aluno,

particularmente para a construção de conhecimentos, para obter uma melhor visão de

mundo e, principalmente, para a formação da cidadania. Portanto, os PCN (BRASIL,

1997, p. 33) indicam que "é necessário desenvolver habilidades que permitam pôr à

prova os resultados, testar seus efeitos, comparar diferentes caminhos, para obter a

solução".

Para completar as afirmações anteriores, os autores do PCN destacam que:

o fato de que vários aspectos do cotidiano funcionam de acordo com leis de proporcionalidade evidencia que o raciocínio proporcional é útil na interpretação de fenômenos do mundo real. Ele está ligado à inferência e à predição e envolve métodos de pensamento qualitativos e quantitativos (Essa resposta faz sentido? Ela deveria ser maior ou menor?). Para raciocinar com proporções é preciso abordar os problemas de vários pontos de vista e também identificar situações em que o que está em jogo é a não proporcionalidade. (BRASIL, 1997, p. 38)

Além disso, o documento apresenta alguns exemplos de situações do dia a dia,

tais como estudos de porcentagem, matemática financeira, análise de tabelas,

gráficos e funções, nas quais o aluno deve reconhecer princípios matemáticos

diversos, dentre eles a proporcionalidade. Nessa grande variedade de relações que

76

podem ser estabelecidas entre os diferentes blocos, segundo os autores do

documento, o professor, ao planejar suas atividades,

[...] procurará articular múltiplos aspectos dos diferentes conteúdos, visando a possibilitar a compreensão mais ampla que o aluno possa atingir a respeito dos princípios e métodos básicos do corpo de conhecimentos matemáticos (proporcionalidade, equivalência, indução, dedução etc.); além disso, buscará estabelecer ligações entre a Matemática, as situações cotidianas dos alunos e as outras áreas do conhecimento. (BRASIL, 1997, p. 40)

Para tal, salientamos que, dessa forma, conceitos relacionados às ideias

matemáticas fundamentais, como a de proporcionalidade, não devem ser ensinados

de maneira isolada ou mecânica, mas em um contexto bem escolhido, principalmente

nos anos iniciais do Ensino Fundamental, o que, acreditamos, poderá favorecer a

aprendizagem e, por consequência, o desenvolvimento do raciocínio proporcional.

Assim como nos ciclos iniciais44, também para os ciclos finais do ensino

fundamental há referências ao fato de a proporcionalidade ser uma das ideias

fundamentais. Para as séries iniciais do Ciclo II do Ensino Fundamental, cuja idade

vai dos 11 aos 12 anos, percebemos a presença da exploração de proporcionalidade

em problemas, com questões como: "O número encontrado deveria ser maior ou

menor? Quanto maior? Esta resposta faz sentido?" (BRASIL, 1998, p. 67).

O documento (BRASIL, 1998) discute que, para o professor desenvolver o

raciocínio que envolva a proporcionalidade, ele deve explorar situações “que levem o

aluno a observar a variação de grandezas, estabelecendo relações entre elas e

construir estratégias de solução para resolver situações que envolvam

proporcionalidade” (BRASIL, 1998, p. 65).

O segundo texto analisado é a Base Nacional Comum Curricular (BRASIL,

2017), documento normativo elaborado com a intenção de fornecer indicações do que

os estudantes devem ter aprendido nas diversas disciplinas ao fim de cada ano

escolar. Assim como os PCN (BRASIL, 1997, 1998), a Base Nacional Comum

Curricular considera a proporcionalidade como uma das ideias fundamentais da

matemática e ainda:

[...] leva em conta que os diferentes campos que compõem a Matemática reúnem um conjunto de ideias fundamentais que produzem articulações entre eles: equivalência, ordem, proporcionalidade, interdependência, representação, variação e aproximação. (BRASIL, 2017, p. 264, grifos do documento)

44 No Brasil compreende alunos de 06 a 09 anos de idade.

77

A BNCC (BRASIL, 2017, p. 264) ainda reforça ser essencial a

proporcionalidade no desenvolvimento do pensamento matemático e destaca sua

importância em diversas ações do cotidiano deles:

A proporcionalidade, por exemplo, deve estar presente no estudo de: operações com os números naturais; representação fracionária dos números racionais; áreas; funções; probabilidade etc. Além disso, essa noção também se evidencia em muitas ações cotidianas e de outras áreas do conhecimento, como vendas e trocas mercantis, balanços químicos, representações gráficas etc. (BRASIL, 2017, p. 264)

Esse documento, além disso, realça que os estudantes devem ser estimulados

a encontrar soluções para problemas diversos. Ele orienta quanto à utilização dos

conhecimentos produzidos pelos alunos e ao uso de diferentes recursos, com a

finalidade de oferecer aos estudantes oportunidade de resolver problemas diversos

com o apoio de desenhos, gráficos, tabelas, esquemas e materiais diversos (BRASIL,

2017, p. 263).

É certo que o professor neste contexto se torna indispensável, pois é ele que

deverá propor situações para que os alunos interpretem informações, conjecturem,

criem estratégias de solução e confrontem os resultados. Para a construção de

conhecimento por parte dos alunos, a BNCC orienta que

é imprescindível levar em conta as experiências e os conhecimentos matemáticos já vivenciados pelos alunos, criando situações nas quais possam fazer observações sistemáticas de aspectos quantitativos e qualitativos da realidade, estabelecendo inter-relações entre eles e desenvolvendo ideias mais complexas. (BRASIL, 2017, p. 294)

Fundamentados nestas indicações, nossa proposta visou apresentar uma

formação para o ensino e a aprendizagem em situações que utilizem diferentes

estratégias e estimulem a capacidade de reflexão e análise de resolução de

problemas de proporcionalidade por estudantes de pedagogia. A finalidade foi

explorar tais ideias, visando à competência profissional de futuros professores que

ensinarão matemática para os anos iniciais.

A Base Nacional Comum Curricular destaca o uso de proporcionalidade nos

mais diversos anos do Ensino Fundamental, porém, embora não tenha a indicação do

raciocínio proporcional, enxergamos possibilidades de inseri-lo nas diferentes

unidades temáticas da matemática.

Por exemplo, na unidade “Geometria” para o 5.º ano dos anos iniciais, a BNCC

propõe a noção de semelhança, por meio de atividades envolvendo ampliação e

78

redução de figuras poligonais. Nesse conteúdo os alunos devem “Reconhecer a

congruência dos ângulos e a proporcionalidade entre os lados correspondentes de

figuras poligonais em situações de ampliação e de redução em malhas quadriculadas

e usando tecnologias digitais” (BRASIL, 2017, p. 293).

Na unidade temática "Grandezas e medidas" é indicado o trabalho com o

raciocínio proporcional com estudantes, de modo que eles possam resolver situações-

problema, por exemplo, envolvendo a compra e a venda de mercadoria. Além disso,

o documento sugere que os alunos desenvolvam atitudes éticas e responsáveis em

relação ao consumo (BRASIL, 2017, p. 269).

Neste caso, pode ser indicada a ideia de levar dois, três ou mais produtos e

relacionar com o preço e, desta forma, trabalhar situações de proporcionalidade no

campo multiplicativo. Ainda, o professor pode inserir atividades que requeiram o uso

do raciocínio proporcional no aumento ou na diminuição do valor monetário de certo

produto.

Ademais, no trabalho com o raciocínio proporcional nesta unidade, há a

possibilidade de instigar os estudantes a estabelecerem relações de primeira-ordem45

em "problemas de comparação" de comprimentos e/ou outras medidas. Para isso, é

indicado o uso de materiais concretos, e a tarefa poderá ser feita sem nenhum recurso

especial, como, por exemplo, comparação de copo com certa quantidade de água

(parte com água e parte sem água) com o referencial "metade" (SPINILLO, 1993, p.

361).

Já para a unidade "Probabilidade e estatística", uma alternativa para o estudo

envolvendo o pensamento proporcional nesta etapa escolar é o trabalho com a coleta,

a organização e a análise de informações, por meio da construção de tabelas e

gráficos. Para reforçar nossas afirmações, segue um dos objetivos dessa unidade.

Ler, interpretar e comparar dados apresentados em tabelas de dupla entrada, gráficos de barras ou de colunas, envolvendo resultados de pesquisas significativas, utilizando termos como maior e menor frequência, apropriando-se desse tipo de linguagem para compreender aspectos da realidade sociocultural significativos. (BRASIL, 2017, p. 285)

Em problemas dessa natureza, é possível explorar com os estudantes

diferentes estratégias: a escalar e a funcional, para a construção de tabelas e gráficos,

e sua posterior análise.

45 As relações de primeira ordem são baseadas nos estudos de Piaget e Inhelder (1975) e Spinillo (1992, 1993) e nesta pesquisa refere-se às relações de comparação "parte-parte" ou "parte todo".

79

Na unidade "Números", a BNCC para os anos iniciais orienta que os estudantes

desenvolvam os conhecimentos sobre as frações e associem o resultado de uma

divisão à ideia de relação parte de um todo (BRASIL, 2017, p. 291) e, ainda, indica a

inserção de problemas envolvendo significados de dobro, metade, triplo e terça parte

(BRASIL, 2017, p. 278).

Nesta perspectiva, uma possível forma de explorar o raciocínio proporcional é

a construção de relações de primeira e de segunda ordem46 por meio da equivalência

de frações (comparações) e a resolução de problemas de "valor omisso".

Ainda, na mesma unidade temática, a BNCC (BRASIL, 2017, p. 287) apresenta

aos estudantes do 4.º ano situações que envolvem multiplicação (parcelas iguais ou

configuração retangular e proporcionalidade). Ademais, para os 4.° e 5.° anos, neste

documento (BRASIL, 2017, p. 290), é indicada para a unidade “Números” a inserção

de problemas envolvendo grandezas diretamente proporcionais. Nossa intenção

nessa unidade é identificar relações existentes entre os números e ampliar suas

estratégias de cálculo, visando à (re)construção do raciocínio proporcional.

Enfim, para a unidade "Álgebra”, espera-se que os estudantes desenvolvam o

pensamento algébrico – “que é essencial para utilizar modelos matemáticos na

compreensão, representação e análise de relações quantitativas de grandezas e,

também, de situações e estruturas matemáticas, fazendo uso de letras e outros

símbolos" (BRASIL, 2017, p. 266). Ademais, o documento destaca que, para

desenvolvê-lo, “é necessário que os alunos identifiquem regularidades e padrões de

sequências numéricas e não numéricas, estabeleçam leis matemáticas que

expressem a relação de interdependência entre grandezas em diferentes contextos”

(BRASIL, 2017, p. 266).

Podemos pensar na inserção do raciocínio proporcional, por exemplo, na ideia

de variação proporcional direta entre duas grandezas. Esta situação-problema consta

neste documento: “Se, com duas medidas de suco concentrado, obtenho três litros de

refresco, de quantas medidas desse suco concentrado preciso para ter nove litros de

refresco?” (BRASIL, 2017, p. 266).

Segundo esse documento, esse problema pretende explorar a noção intuitiva

de função a partir da variação proporcional. Acreditamos ser possível que os alunos

46 As relações de segunda ordem, também chamadas de relações de relações, estão centradas nas pesquisas de Piaget e Inhelder (1975) e Spinillo (2002, p. 475) e nesta pesquisa referem-se às ligações entre relações de primeira ordem.

80

avancem com o raciocínio proporcional, se lhes forem proporcionadas diferentes

situações. E o exemplo poderá contribuir para tal compreensão.

Nesta subseção expusemos os pressupostos que embasaram o currículo

brasileiro. Da mesma forma que Ball, Thames e Phelps (2008), consideramos ser

importante, para a atividade profissional do professor que ensinará matemática para

os anos iniciais, conhecer as indicações contidas nesses documentos. Por essa razão,

as indicações aqui propostas também foram foco de algumas das discussões e das

reflexões realizadas durante o processo formativo.

Na seção seguinte exporemos nossas ideias acerca do uso de diferentes

tecnologias no ensino deste nosso estudo.

2.6 O uso de diferentes tecnologias no ensino

Nessa seção, inicialmente apresentaremos como usamos a tecnologia em

nossa pesquisa.

O termo tem origem no grego, tekhno (de tékhné, "arte") e logia (de lógos, ou

"linguagem, proposição") (MORAN et al., s.d.). Nesse estudo, os autores mostram a

amplitude da utilização do termo tecnologia:

Tecnologia é um termo usado para atividades do domínio humano, embasadas no conhecimento de um processo e/ou no manuseio de ferramentas. A tecnologia tem a possibilidade de acrescentar mudanças aos meios por resultados adicionais à competência natural, proporcionando, desta forma, uma evolução na capacidade das atividades humanas, desde

os primórdios do tempo (MORAN et al., s.d.).

Pensamos em agregar diferentes tecnologias a esta investigação, por

considerá-las mais um elemento potencializador dos processos de ensino e de

aprendizagem, com a finalidade de contribuir para a construção de conhecimentos e

fortalecer, em nossa pesquisa, reflexões sobre o raciocínio proporcional e seu ensino.

Discorreremos aqui sobre estudos que envolvem tecnologia, cujo uso se torna

fundamental para o ensino e a aprendizagem de Matemática.

Ao acompanhar os resultados apresentados nas avaliações externas

(SARESP) e (SAEB), realizadas nos últimos anos, percebemos que podem contribuir

para uma reflexão mais profunda sobre os conteúdos e conceitos matemáticos e ainda

sobre a forma como são abordados.

Um caminho para a superação das várias dificuldades que essas avaliações

81

mostram é o uso de diferentes tecnologias, incluindo as digitais em sala de aula, pois

a globalização impulsionou a inserção de recursos tecnológicos digitais no dia a dia

dos indivíduos, em todos os ramos da atividade humana.

Na Educação, ainda há quem questione a utilidade e, principalmente, a

funcionalidade de qualquer tecnologia no ensino e na aprendizagem de Matemática,

mas não somos partidários dessa visão, uma vez que há estudos que indicam avanços

tanto no ensino quanto na aprendizagem, com a inserção de diferentes recursos, seja

um jogo, uma calculadora, um material manipulável ou até mesmo um recurso

computacional. É preciso ressaltar que tais recursos exercem uma importante função

no processo de ensino e aprendizagem e são indicados pelos documentos oficiais

brasileiros, como os PCN (BRASIL, 1997, p. 19) e a BNCC (BRASIL, 2017, p. 272).

As orientações dos PCN relatam que tais recursos podem levar os alunos a

desenvolverem diversas habilidades: refletir, analisar e comparar, que auxiliam na

aprendizagem matemática. Com relação, especificamente, aos recursos tecnológicos,

afirmam que "o computador pode ser usado como elemento de apoio para o ensino

(banco de dados, elementos visuais), mas também como fonte de aprendizagem e

como ferramenta para o desenvolvimento de habilidades" (BRASIL, 1997, p. 35).

Corroborando essas afirmações, a BNCC (BRASIL, 2017, p. 272) destaca que

recursos como “malhas quadriculadas, ábacos, jogos, livros, vídeos, calculadoras,

planilhas eletrônicas e softwares de geometria dinâmica têm um papel essencial para

a compreensão e utilização das noções matemáticas”. Além disso, esses documentos

propõem a utilização de situações contextualizadas e jogos e materiais concretos.

Portanto, procuramos seguir tais orientações na elaboração do processo formativo de

nossa pesquisa.

Aliamo-nos a essas indicações e concordamos plenamente com elas, visto que

a dissertação de Mestrado deste pesquisador (CANDIDO, 2010) sobre vetores propôs

o uso de um recurso computacional, o software Cabri 3D. Os resultados desse estudo

apontaram que, naquele contexto, com a abordagem proposta e a ajuda do software,

os participantes puderam compreender e melhorar seus conhecimentos em relação a

algumas propriedades dos vetores do IR³ no sistema (0, x, y, z).

Atualmente, há muitos softwares, plataformas digitais e sites da internet que

podem ser considerados de boa qualidade e favorecem a exploração de diferentes

habilidades dos usuários. No entanto, a experiência enquanto atuava como professor

de matemática do Ensino Fundamental revelou ao presente pesquisador certa

82

resistência por parte de professores de Matemática quanto ao uso dessas

ferramentas, talvez pela falta de conhecimento ou até mesmo pelo tempo necessário

para aprenderem a usar alguns dos softwares ou ainda por outras razões como a falta

de estrutura tecnológica nas escolas.

Podemos citar como exemplos de softwares educativos o Logo ou o Cabri

(CONFREY, 1992), para os quais os professores devem disponibilizar tempo para

apropriação e exploração. Além disso, Kaput (1992) destaca que as dificuldades

podem estar relacionadas com as mudanças rápidas na tecnologia, que exigem um

constante repensar pedagógico e curricular.

Constatamos que diversos autores defendem a utilização de computadores em

sala de aula, mas só isso não basta; por exemplo, Balacheff e Kaput (1996) apontam

para a necessidade de estudos que proponham mudanças curriculares e novas

abordagens em sala de aula, com a inserção de ferramentas computacionais, o que

também é sugerido por Kaput (1992). Concordamos com essa visão, pois entendemos

que o uso adequado de recursos computacionais pode favorecer a elaboração de

estratégias para a resolução de atividades pelos estudantes e ser um rico aliado na

confecção e na aplicação de atividades de uma pesquisa acadêmica.

Conforme já vimos aqui, os Parâmetros Curriculares Nacionais indicam o uso

de tecnologia e apontam o computador “como um instrumento que traz versáteis

possibilidades ao processo de ensino e aprendizagem de Matemática, seja pela sua

destacada presença na sociedade moderna, seja pelas possibilidades de sua

aplicação nesse processo” (BRASIL, 1998, p. 43). Ademais, a BNCC orienta que

alunos nos anos iniciais resolvam “problemas envolvendo dobro, metade, triplo e terça

parte, com o suporte de imagens ou material manipulável, utilizando estratégias

pessoais” (BRASIL, 2017, p. 279).

Em nossa tese, procuramos inserir tais problemas com elementos mediados

pela tecnologia que, pelos resultados apresentados em nosso estudo, contribuíra para

a produção de conhecimentos das participantes da pesquisa.

Um dos recursos utilizados foi o Objeto de Aprendizagem (OA), pois “é um

recurso que permite aos alunos pesquisar, experimentar, fazer simulações,

conjecturar ideias prévias e construir novas formas de representação mental" (REIS;

FARIAS, 2003). Para complementar tais ideias, os Objetos de Aprendizagem podem

ser compreendidos como “qualquer recurso digital que possa ser reutilizado para o

suporte ao ensino” (WILEY, 2000, p. 3). As simulações realizadas com um OA

83

permitem a criação de várias situações que visam contribuir para o processo de

aprendizagem dos alunos.

No Brasil, podemos destacar a Rede Interativa Virtual de Educação (RIVED),

desenvolvida pela Secretaria de Educação a Distância – SEED47 –, cujo objetivo foi a

produção de conteúdos pedagógicos digitais, na forma de objetos de aprendizagem.

O material é gratuito e está disponível para uso no site

http://rived.mec.gov.br/site_objeto_lis.php. (Acesso em: 14 jun. 2018).

Ali, os conteúdos produzidos são públicos e licenciados pelo Creative

Commons. Segundo Branco e Britto (2013, p. 21), "as licenças Creative Commons

funcionam como uma fonte de instrumentos jurídicos para aqueles que desejam abrir

mão de alguns de seus direitos em favor da coletividade e em prol da difusão de obras

culturais". O site permite aos usuários explorarem os conteúdos publicados e

possibilita que copiem e distribuam o material, desde que atribuam o crédito aos

autores. Além disso, os conteúdos ficam armazenados num repositório e, quando

acessados pelos estudantes, por meio de uma busca, vêm acompanhados de um guia

do professor, com sugestões de uso. Essas potencialidades proporcionam aos

professores diversas formas de trabalho em sala, ou seja, é possível usar o conteúdo

como um todo ou apenas algumas atividades ou alguns objetos de aprendizagem,

como animações e simulações.

Além de recursos computacionais, usamos como diferente ferramenta

tecnológica o material concreto, ou seja, recortamos papel cartão em forma de

barrinhas, para que as participantes comparassem quantidades. Esse material foi

utilizado no ensino e na aprendizagem do raciocínio proporcional, principalmente

atrelado à ideia de dobro, triplo e metade, conforme destacado anteriormente pela

BNCC (BRASIL, 2017, p. 279).

Em nossa visão, os materiais concretos poderiam propiciar às futuras

professoras oportunidades de refletir sobre a situação descrita no problema.

Acreditamos, assim como Pais (2006), que o uso do material concreto poderá

propiciar aulas mais dinâmicas e ampliar o pensamento abstrato por um processo de

retificações sucessivas, que possibilita a construção de diferentes níveis de

elaboração do conceito.

47 A partir de 2011, a Secretaria de Educação a Distância – SEED foi extinta do Ministério da Educação, passando a Diretoria de Regulação e Supervisão em Educação a Distância, pertencente a Secretaria de Regulação e Supervisão da Educação Superior – SERES, a assumir a regulação e supervisão das ações de educação a distância no ensino superior.

84

Ademais, corroboramos o que afirmam Miorim e Fiorentini (1990, p. 1):

O professor nem sempre tem clareza das razões fundamentais pelas quais os materiais ou jogos são importantes para o ensino-aprendizagem da matemática e, normalmente, não questiona se estes realmente são necessários, e em que momentos devem ser usados.

Por meio da experiência obtida em sala de aula ao longo do tempo e nos relatos

apresentados por professores do Ensino Fundamental, um dos argumentos usados

pelo professor para implementar esses elementos é o aspecto “motivador”, para tornar

suas aulas mais atraentes e dinâmicas, pois, com isso, acreditam que os estudantes

possam ter mais empatia com matemática. Porém, em nossa visão, apenas o aspecto

motivação não é suficiente, pois a intencionalidade pedagógica da forma de utilizá-

los, bem como o momento de usá-los são atributos fundamentais na competência

profissional. Na formação proposta, refletimos e discutimos acerca desses aspectos

com as participantes.

Na seção que segue, apresentaremos conceitos teóricos relacionados à

competência do professor e à aplicação do conhecimento em uso, dentre outros.

2.7 Conceitos teóricos relacionados à competência e aos conhecimentos do

professor

Antes de planejar as etapas de aplicação e análise, tínhamos a preocupação

de selecionar concepções teóricas que estivessem relacionadas a nossa proposta

temática e aos pressupostos que vislumbramos para o processo de formação

profissional que pretendíamos colocar em prática. Ao realizar leituras e, em contato

com os integrantes da linha de pesquisa, decidimos usar como marco teórico as ideias

de Ball, Thames e Phelps e de Llinares. A seguir, traremos as contribuições dos

estudos desses autores para esta pesquisa.

2.7.1 Deborah Loewenberg Ball e os conhecimentos do futuro professor

Nesta investigação analisamos um grupo de estudantes em atividade

matemática e, dessa forma, entendemos a importância de uma teoria que dê ênfase

ao trabalho de futuros professores – e com eles – que analisam os conhecimentos

necessários para o ensino. Além disso, procuramos algo que abarque a relação

85

educacional de professores de Matemática e as questões pedagógicas envolvidas. Ao

realizar uma pesquisa bibliográfica em algumas teorias na área de formação de

professores, optamos pelos estudos do grupo norte-americano liderado por Deborah

Loewenberg Ball.

Ball, Thames e Phelps (2008) apresentam um modelo multidimensional de

domínio do conhecimento matemático, que consideram essencial para a docência e

que pode ser observado na Figura 15.

Figura 15: Modelo apresentado por Fonte: Ball, Thames e Phelps

Fonte: Ball, Thames e Phelps, (2008, p. 403, tradução nossa)48.

Podemos ver, do lado esquerdo, o conhecimento específico do conteúdo, no

qual estão inseridos o conhecimento comum do conteúdo (CCK), o conhecimento

especializado do conteúdo (SCK) e o conhecimento horizontal do conteúdo (SCK). Do

lado direito, Ball, Thames e Phelps (2008) apresentam o conhecimento pedagógico

48

86

do conteúdo, no qual estão contidos o conhecimento do conteúdo e dos alunos, o

conhecimento do conteúdo e do ensino e o conhecimento do conteúdo e do currículo.

A seguir descreveremos cada um deles.

2.7.1.1 Conhecimento comum do conteúdo

Ball, Thames e Phelps (2008, p. 399) relatam que o conhecimento comum do

conteúdo é aquele que qualquer sujeito sabe e que utiliza matemática em suas ações,

independentemente de ser professor ou não.

Para os futuros professores, este domínio é imprescindível e, sem ele,

dificilmente será possível desenvolver os demais domínios apresentados no modelo

proposto por Ball, Thames e Phelps (2008).

No trabalho do professor, essa categoria de conhecimentos é indispensável

que ele tenha conhecimentos dos conteúdos matemáticos a serem ensinados.

Este domínio, em especial, seria a capacidade de estudantes para professor

de resolver situações-problema que envolvem o raciocínio proporcional pelo uso de

diferentes estratégias (convencionais ou não convencionais).

Um exemplo elementar de proporcionalidade presente no cotidiano: “Na

compra de 5 (cinco) pãezinhos paga-se R$2,50 se nestas condições, tivesse sido

gasto R$7,50 a quantidade de pães comprados, seria...?”. Essa situação não é

resolvida somente por professores de Matemática, todavia é importante que o

professor que irá lecionar situações que envolvam o raciocínio proporcional a resolva.

2.7.1.2 Conhecimento especializado do conteúdo

Este domínio, segundo Ball, Thames e Phelps (2008, p. 400), é destinado

exclusivamente a quem ensina matemática, ou seja, é necessário aos docentes e aos

futuros professores, em seu ofício. Segundo os pesquisadores, este conhecimento é

estritamente ligado ao conteúdo matemático, no entanto extrapola o "conhecimento

comum do conteúdo", na medida em que é exigido dos futuros professores que

saibam identificar as estratégias que possam ser usadas por todos os estudantes. É

importante que os futuros professores tenham condições de detectar a natureza dos

erros cometidos pelos alunos e, por consequência, intervir, com a finalidade de auxiliá-

los a evoluir na aprendizagem.

87

Podemos retomar o exemplo de proporcionalidade direta apresentado

anteriormente. Caso os alunos não entendam o problema ou errem o resultado, é

importante que os futuros professores possam identificar a natureza dos erros e,

ainda, que apontem possíveis caminhos que ajudem os alunos a superá-los. Nesta

dimensão de conhecimento, os estudantes provavelmente não têm elementos para

saber a causa de não terem êxito na atividade, porém aos futuros docentes é

indispensável tal habilidade.

2.7.1.3 Conhecimento horizontal do conteúdo

Aos futuros professores, conforme apontam Ball, Thames e Phelps (2008, p.

403), é imprescindível conhecer o currículo de forma holística e suas potenciais

articulações. Eles precisam ter bem claras as conexões entre os conteúdos e os

diferentes blocos da matemática, para poder explorar todas as possibilidades de inter-

relações entre os conteúdos a serem ensinados.

Ainda com relação ao pensamento proporcional, os futuros professores que

pretendem ensinar proporcionalidade nos anos iniciais devem entender que a ideia de

proporcionalidade transita entre a Aritmética, a Álgebra, a Geometria, a Trigonometria,

favorecendo a compreensão dos conceitos e procedimentos envolvidos, bem como a

articulação entre eles. Com isso, podem explorar diversos problemas em que aflore o

pensamento proporcional em seus futuros alunos.

2.7.1.4 Conhecimento de conteúdo e de alunos

Esta dimensão é proveniente das relações entre alunos, professores e o saber

matemático. Professores mais experientes tendem a levar certa vantagem no

"Conhecimento de conteúdo e de alunos", pelo fato de já terem contato com

estudantes. Em contrapartida, os futuros professores, que ainda estão em formação,

têm condições de se apropriar de tais conhecimentos sobre os saberes matemáticos

dos alunos, pois na Universidade eles têm possibilidade de aprender assuntos

relevantes a sua formação e contar com resultados de pesquisa, o que lhes fornecerá

elementos para iniciar suas atividades na docência.

Segundo Ball, Thames e Phelps (2008, p. 401), esta dimensão do

conhecimento se diferencia do conhecimento comum do conteúdo e do conhecimento

88

especializado do conteúdo, na medida em que os futuros professores, além de

resolver a atividade, devem diagnosticar os erros e avaliar sua natureza e, ainda,

prever quais deles os alunos são mais suscetíveis de apresentar.

Para exemplificar, apresentamos um problema de proporcionalidade inversa.

Os estudantes podem confundir este tipo de situação com atividades relacionadas à

proporcionalidade direta. Cabe ao futuro professor, nesta dimensão, identificar como

os alunos compreendem o problema e quais são as eventuais razões que os

conduziram ao erro. Outra circunstância muito comum de erros cometidos pelos

alunos é quando interpretam situações que envolvem proporcionalidade como

situações aditivas. Por exemplo: ao apresentar um problema em que os estudantes

devem aumentar certo ingrediente de uma receita culinária, os professores precisam

saber que um erro comum é adicionar a mesma quantidade a todos os outros

ingredientes. Neste caso, os estudantes acabam por desconsiderar o fator de

proporcionalidade e utilizam estratégias aditivas de forma incorreta, conforme relatado

nas pesquisas de Oliveira (2009).

2.7.1.5 Conhecimento de conteúdo e de ensino

De acordo com Ball, Thames e Phelps (2008, p. 401), esta dimensão do

conhecimento está intrinsecamente ligada ao trabalho do professor, porque se

relaciona ao entendimento dos conteúdos específicos de Matemática, aliados à

compreensão dos contextos pedagógicos. Tais domínios habilitam o professor a

interferir nos processos de ensino e de aprendizagem de seus estudantes. O

conhecimento do conteúdo e do ensino, segundo nossa compreensão, vai desde a

seleção de materiais e recursos pedagógicos, passa pela intervenção que o professor

realiza em aula e finaliza no feedback feito pelo futuro docente na avaliação. Portanto,

o futuro professor poderá encontrar certas dificuldades nesta dimensão, pois ele ainda

não dispõe da experiência com os alunos e com atividades relacionadas em sala de

aula.

Podemos ilustrar a dimensão apresentada com um exemplo de nosso estudo

com raciocínio proporcional: elaborar uma sequência de atividades. Em nossa

proposta, é indispensável o conhecimento acerca do conteúdo matemático a ser

explorado (proporção e/ou outros) e dos diferentes procedimentos metodológicos,

inclusive as escolhas de exemplos.

89

2.7.1.6 Conhecimento curricular do conteúdo

O futuro professor, nesta dimensão, com base nas ideias de Ball, Thames e

Phelps (2008, p. 401) deve conhecer os programas e os conteúdos que permeiam a

trajetória escolar dos estudantes. É fundamental, ainda, que o futuro docente saiba

quais materiais didáticos estão à disposição em cada etapa de ensino, de que forma,

e quando pode utilizá-los ou não. Em proporcionalidade, por exemplo, cabe ao futuro

professor saber quais as etapas de ensino, quais as possibilidades de utilização de

materiais e como é possível explorá-los de acordo com o respectivo ano escolar e

com o desenvolvimento de seu aluno.

A seguir discutiremos os estudos de Llinares, que também fundamentaram esta

investigação.

2.8 Salvador Llinares: a competência docente e o olhar profissional

Para construir nossa fundamentação, optamos pelos trabalhos de Llinares, pois

esse pesquisador volta sua atenção para a formação inicial, foco de nossa pesquisa.

Além disso, alguns de seus estudos também investigam sobre o desenvolvimento de

competências profissionais a respeito do raciocínio proporcional (LLINARES, 2008,

2011, 2013, 2015a e 2015b; LLINARES; FERNÁNDEZ, 2012). Nessa perspectiva, as

ideias de Salvador Llinares nos ajudaram tanto na preparação do processo formativo

como na análise dos dados coletados.

Já em 2011, para Llinares (2011, p. 6, tradução nossa), “a ideia de competência

docente deve ser entendida como o uso do conhecimento para resolver atividades

profissionais da prática de ensinar matemática”49. Nesse contexto, notamos que

alguns constructos teóricos utilizados pelo autor são também de nosso interesse,

como certas categorias de conhecimentos necessários ao profissional que ensinará

matemática. Llinares (2015b, p. 271), por exemplo, discute que esse tipo de

conhecimento deve estar associado a um contexto em que a prática potencialmente

ocorre e em situações nas quais se desenvolvam relações dialéticas entre o

conhecimento necessário ao ensino e às concepções dos futuros professores sobre a

49 “La idea de competencia docente entendida como el uso del conocimiento para resolver los problemas profesionales de la práctica de enseñar matemáticas”.

90

sua prática pedagógica. Para discutir os conhecimentos profissionais docentes, o

autor se fundamenta, assim como este estudo, nas propostas de Shulman (1986) e

de Ball, Thames e Phelps (2008). Llinares (2015a) preocupa-se com a prática docente

e considera ainda ser necessário que o futuro professor tenha um olhar diferenciado

para as tarefas matemáticas.

Figura 16: Modelo proposto por Llinares

Fonte: PPT apresentado por Llinares (2015a, p. 10) no II Seminário Integrado.

Llinares defende que o ensino de Matemática para os estudantes para

professor aconteça como uma prática profissional, muito próxima ao que o futuro

profissional vivenciará. Para isso, o autor propõe um sistema composto por três

atividades profissionais focadas no ensino de matemática. O autor considera que o

futuro professor precisa:

- Selecionar e projetar tarefas matemáticas apropriadas.

- Iniciar e guiar o seu discurso matemático em sala de aula.

- Interpretar e analisar o pensamento matemático de seu aluno.

Llinares (2013, p. 119, tradução nossa), apoiado nas ideias de Ball Thames e

Phelps (2008), afirma que "o significado da competência docente está associado a

tentativas de compreender a maneira pela qual o professor ‘usa o conhecimento da

matemática para o ensino’ quando realiza várias tarefas profissionais"50. Ele se

50 “El significado de esta competencia docente está vinculado a los intentos de comprender la manera

91

aproxima das ideias de Ball, na medida em que considera que o professor se

diferencia de outros profissionais porque ele precisa saber analisar, diagnosticar e

dotar de significado as produções matemáticas de seus alunos.

Além disso, Llinares (2015a, p. 7) relata que os estudantes para professor

devem “olhar profissionalmente” para o ensino e para a aprendizagem da matemática

como uma componente da prática profissional do professor de matemática. De acordo

com o autor, o olhar profissional para o ensino faz parte da competência profissional

que “[...] se caracteriza pelo fato de que o professor é capaz de reconhecer os fatos

que podem ser relevantes na sala de aula para explicar a aprendizagem da

matemática [...]"51 (LLINARES, 2015a, p. 7, grifo nosso, tradução nossa).

Esse "olhar profissional", na visão do pesquisador, permite aos estudantes para

professor enxergar situações de ensino e de aprendizagem de matemática de maneira

particular, ou seja, diferente de uma pessoa que não é um professor pedagogo.

Outro conceito destacado pelo pesquisador é o "conhecimento em uso", que

permite ao estudante para professor generalizar informações acerca de situações de

ensino, para ter elementos para tomar decisões. A utilização do conhecimento em uso

é gerada por um sistema de atividades de ensino, no qual os estudantes para

professor aplicam o ensino da matemática como uma prática. Ou seja, situações

hipotéticas de ensino criadas para possibilitar a esses futuros profissionais colocar em

prática seus conhecimentos pedagógicos.

De nosso ponto de vista, é fundamental que as estudantes para professoras,

em suas atuações profissionais futuras, tenham condições de interpretar e analisar o

pensamento matemático de seus alunos. Por isso, é importante que elas vivenciem

situações por meio das quais sejam estimuladas a conjecturar e utilizar formas de

pensar como as que seriam utilizadas por seus alunos. Tais situações podem

favorecer a reflexão sobre a prática, mesmo sem que essa se efetive. Neste estudo,

a tais situações denominaremos Atividades Profissionais.

Ademais, sabemos que faz parte das atribuições profissionais dos professores

de matemática “o acompanhamento” das resoluções encontradas por seus alunos

para as situações que lhes são propostas durante a aula. Nesse contexto, as

en la que el profesor ‘usa el conocimiento de matemáticas para la enseñanza’ cuando realiza diferentes tareas profesionales”. 51 “mirar profesionalmente’ la enseñanza se caracteriza por el hecho de que el profesor sea capaz de reconocer los hechos que pueden ser relevantes en el aula para explicar el aprendizaje de las matemáticas”.

92

Atividades Profissionais podem ajudar a desenvolver o “olhar profissional” de futuros

professores para essa atribuição. Além de buscar fundamentos nos pressupostos

sobre a formação de professores, encontramos nos estudos de Llinares algumas

investigações que nos ajudaram a selecionar alguns casos para discutir durante a

formação.

Llinares (2015a) mostra a possibilidade da criação de um questionário que

favorecesse o processo reflexivo do futuro professor. A partir de pesquisas anteriores

(FERNÁNDEZ; LLINARES, 2012), Llinares apresenta diferentes estratégias de

resolução de problemas proporcionais (do tipo f (x) = ax) e problemas não

proporcionais do tipo f (x) = x + b. Ele apontou quatro categorias:

● os alunos que raciocinam corretamente, ou seja, resolvem os quatro problemas

proporcionais proporcionalmente e os quatro problemas aditivos aditivamente;

● os alunos que raciocinam proporcionalmente, ou seja, resolvem problemas

aditivos e proporcionais, proporcionalmente;

● os estudantes que raciocinam aditivamente, ou seja, resolvem os problemas

aditivos e proporcionais, aditivamente;

● os alunos que raciocinam, dependendo do tipo de relação entre os números

(inteiros ou não), ou seja, eles resolvem problemas com proporções inteiras

proporcionalmente e problemas com razões não inteiras aditivamente.

Assim, o autor considera que tais situações possam favorecer aos estudantes

para professor o desenvolvimento de um novo olhar para as tarefas de ensino, agora

“de maneira profissional”. A partir da análise realizada (LLINARES, 2015a, p. 95), é

possível também perceber algumas atividades cognitivas, dentre elas, identificar o que

é relevante em uma situação; interpretar seus aspectos; decidir a situação e a tarefa

mais adequada para os estudantes.

Para o autor, ao analisar as atividades cognitivas produzidas pelos estudantes

para professores a partir das respostas apresentadas pelos alunos sobre um

determinado problema, Llinares (2015a, p. 95) relata que alguns deles fizeram

comentários de forma genérica, em que apenas relataram os processos de resolução

descritos pelos alunos na tarefa. Outros estudantes para professor conseguiram ir

além da resolução e identificaram comportamento dos alunos. Já certos estudantes

para professor foram capazes de separar os perfis de alunos nas produções

realizadas por eles em vários tipos de problemas.

Nessas ações, foi verificado pelo pesquisador que os estudantes para

93

professor, ao descreverem as respostas dos alunos, denotaram competência docente

para identificar e interpretar o pensamento dos alunos a fim de nortear suas decisões.

Na visão do pesquisador, é preciso entender como as relações entre o

pensamento matemático e o cognitivo se proliferam no discurso dos estudantes para

professor e, principalmente em suas decisões. Llinares (2015a, p. 102) apontou, com

base nas respostas aferidas pelos estudantes para professor, os seguintes níveis do

desenvolvimento do raciocínio proporcional:

● Nível 1 - não discriminam o problema.

● Nível 2 - discriminam o problema, porém não o justificam.

● Nível 3 - discriminam o problema e o justificam.

● Nível 4 - discriminam o problema, justificando e identificando os perfis.

Segundo o autor, há diferentes tipos de estudantes para professor. No

entanto, ele chama a atenção para a necessidade de que esses profissionais tenham

conhecimentos específicos, sejam capazes de argumentar, discriminar e analisar o

comportamento dos alunos. Além disso, para que aflore sua capacidade para olhar

com sentido os perfis dos estudantes e as respostas fornecidas por eles. De acordo

com o pesquisador, é necessário inter-relacionar os aspectos matemáticos e

cognitivos e criar um contexto de situações problemas para "olhar de forma

profissional".

Em nossa pesquisa, procuramos propiciar esse contexto, ao apresentar

atividades que potencializassem o desenvolvimento da competência docente por meio

do olhar profissional proposto por Salvador Llinares.

Investigamos, no estudo em questão, como futuras professoras analisam e

interpretam as produções de alunos, quais aspectos foram considerados por elas nas

atividades propostas e quais foram suas decisões.

No próximo capítulo, destacaremos a metodologia utilizada na pesquisa.

94

CAPÍTULO 3 - A PESQUISA

Ao realizar este estudo e ao longo dos 20 anos de atuação profissional na área

da Educação, percebemos que o conhecimento profissional docente não é algo

espontâneo, pois se trata de um processo contínuo. Para tanto, visando ampliá-lo,

acreditamos que são necessárias pesquisas que valorizem a produção de

conhecimentos acerca dos processos de ensino e procurem também compreender os

processos por meio dos quais os estudantes constroem seus saberes.

O pesquisador, no percurso de seu estudo, deve se preparar para as mais

variadas situações e os diversos fatores que podem ocorrer ao realizar uma pesquisa.

A opção metodológica pode exercer papel fundamental na pesquisa a ser

desenvolvida, pois ela poderá potencializar a coleta de informações. Tal escolha pode

favorecer o pesquisador que deseja imergir em determinado estudo intervencionista e

extrair o máximo possível de informações da situação investigada e, principalmente,

das observações realizadas das ações, reflexões e discussões dos participantes de

seu estudo.

No âmbito desta pesquisa, precisávamos escolher uma metodologia que

relacionasse a teoria à prática, a fim de contribuir para que o pesquisador

compreendesse um pouco mais sobre as relações estabelecidas em todo o processo

investigativo. As justificativas de nossas escolhas metodológicas encontram-se na

próxima seção.

3.1 A escolha metodológica

Escolhemos para a construção e a condução da pesquisa uma metodologia

que nos proporcionasse flexibilização e nos favorecesse na busca de melhores

resultados na aquisição, na estruturação e na reestruturação do pensamento de cada

participante. Pensamos numa metodologia qualitativa que nos possibilitasse fazer e

refazer conjecturas de forma constante, a fim de construir novas concepções.

Pensamos em um modelo próprio, que considerasse o progresso do aluno em uma

comunicação mais próxima à de uma sala aula.

As participantes desta pesquisa possuíam certas particularidades que estão

descritas na próxima seção, e a forma de trabalho nos auxiliou a explorar suas mais

95

diversas potencialidades. O não engessamento dos procedimentos nos auxiliou na

identificação tanto das limitações das participantes como de suas conquistas relativas

à compreensão da temática estudada. Essa escolha favoreceu a formação, pois o

pesquisador tinha liberdade de analisá-la e redesenhá-la constantemente.

Neste estudo, de caráter qualitativo, optamos por trabalhar com um grupo

pequeno (30 participantes), por entender que dessa forma conseguiríamos

acompanhá-lo mais sistematicamente. Assim, acreditamos ter fornecido uma

contribuição às futuras professoras. Apresentadas as potencialidades e as

justificativas que nos levaram a optar por uma metodologia qualitativa,

apresentaremos brevemente, na seção seguinte, as participantes da pesquisa do

curso de pedagogia.

3.2 As participantes da pesquisa

As alunas foram convidadas a participar voluntariamente de um curso de

formação de 20 horas fora do período regular do curso. Aceitaram o convite 30

estudantes, e, no contato inicial, solicitamos que escolhessem um pseudônimo,

visando garantir o anonimato e o sigilo das informações nessa investigação.

Conforme já mencionamos no capítulo de apresentação, já havíamos lecionado

para essas alunas no primeiro semestre do curso, na disciplina ”Matemática e

Ciências aplicadas a Educação” e, portanto, de certa forma, já conhecíamos o grupo,

o que nos ajudou a traçar os primeiros passos do processo formativo. Todavia, ainda

no ato da inscrição, procuramos conhecê-las melhor por meio da proposição de um

questionário destinado à descrição do perfil. Nele obtivemos as primeiras informações

das participantes e apresentamos algumas delas no Quadro 2, a seguir:

96

Quadro 2: Pesquisa de perfil

Nome Faixa etária Formação

Ano da

conclusão

Escolarização

básica em escola

Você trabalha? Em caso afirmativo, qual é sua

profissão atual?

Ana 30 a 39 anos E.M. - Regular 2000 Pública Não

Angel 18 a 29 anos E.M - EJA 2008 Pública Não

AP 30 a 39 anos E.M. - Regular 2015 Pública Sim, monitora

B 30 a 39 anos E.M. - Regular 2015 Pública Sim, técnico educacional de monitoramento

Ba sorriso 18 a 29 anos E.M. - Regular 2015 Pública Sim, auxiliar de classe

Babich 30 a 39 anos E.M. - Regular 2000 Pública Não

Binna 18 a 29 anos E.M. - Regular 2015 Pública Não

Cami 30 a 39 anos E.M. - Regular 2002 Privada Sim, auxiliar de classe

Carla 30 a 39 anos Prova - Encceja 2006 Pública Não

Docinho 40 a 49 anos E.M. - Regular 1996 Pública Não

Duda 30 a 39 anos Ensino Técnico 2010 Pública Não

Fênix 40 a 49 anos Outro 2001 Pública Sim, Escola - estagiaria

Girassol 30 a 39 anos E.M. - Regular 2008 Pública Sim. Costureira

Groove 18 a 29 anos E.M. - Regular 2015 Pública

Analista de contas medicas - faturamento hospitalar

Hortência 49 a 59 anos E.M - EJA 2001 Pública Não

Ju 18 a 29 anos E.M. - Regular 2006 Pública Não

Mandala 30 a 39 anos E.M - EJA 2008 Privada Não

Margarida 30 a 39 anos E.M. - Regular 1995 Pública Não

Mariza Leticia 18 a 29 anos E.M. - Regular 2015 Pública

Sim, Estagiária -monitoramento de alunos

Moana 30 a 39 anos E.M. - Regular 2001 Pública Não

Nádia 18 a 29 anos E.M. - Regular 2009 Pública Não

Nilma 30 a 39 anos E.M. - Regular 2018 Pública Não

Orquídea 18 a 29 anos E.M. - Regular 2006 Pública Não

Pejo 40 a 49 anos E.M. - Regular 2000 Pública Não

Pocahontas 18 a 29 anos E.M. - Regular 2015 Pública Atendente telemarketing

Regina 40 a 49 anos E.M - EJA 2000 Privada Não

Sempre Viva 40 a 49 anos E.M. - Regular 2000 Pública

Sim, auxiliar de desenvolvimento infantil

Tiana 30 a 39 anos E.M. - Regular 2015 Pública Sim, Auxiliar de sala

Tulipa 30 a 39 anos E.M. - Regular 2006 Pública Não

Vitoria 30 a 39 anos E.M. - Regular 2001 Pública Não

Fonte: Elaborado pelo pesquisador

Para complementar, solicitamos a elas outros dados: residem na região

metropolitana de São Paulo, em regiões próximas a Universidade, 5 delas possuem

casa própria e as outras moram de aluguel. Elas têm idades que variam entre 18 e 50

anos. Identificamos qual era a profissão atual das alunas para que tivéssemos

condições de ter uma ideia sobre suas experiências anteriores:23,67% dessas

97

participantes têm alguma experiência profissional na área educacional, 63,33% estão

desempregadas e as outras 10% trabalham em outras profissões, como aponta o

Quadro 2. Procuraremos levar em conta tais experiências profissionais durante

nossas discussões com o grupo de estudantes.

Por já termos sido professor dessas participantes, identificamos que a maioria

utiliza como fonte de busca de informações a internet e a televisão, talvez pelo fato de

possuir televisão e computador em casa. Quanto à leitura, costumam ler revistas e

jornais, esporadicamente e leem, geralmente, os livros e as apostilas solicitados pelos

professores em aula. A participação em um curso pode ampliar o acesso à informação

sobre a proporcionalidade e o raciocínio proporcional; todavia, cabe ressaltar que

pretendemos ir além, pois o curso foi desenvolvido com o propósito de ampliar

competências e conhecimentos profissionais das participantes, ao promover

discussões e reflexões a respeito do ensino dessa temática.

As alunas, em geral, cursaram o Ensino (Fundamental e Médio) na modalidade

regular, exceto 3 que fizeram sob a modalidade de E.J.A. (Educação de Jovens e

Adultos), e a maioria delas estudou em escolas públicas. Uma estudante cursou o

Ensino Técnico e uma outra realizou a certificação por meio da avaliação Encceja52

(Exame Nacional para Certificação de Competências de Jovens e Adultos).

Os dados coletados neste estudo são ainda numericamente superiores aos

encontrados por Gatti (2010). A autora observou que 68,4% dos estudantes de

Pedagogia e de Licenciatura cursaram todo o Ensino Médio em escolas públicas.

Analisando a situação, é possível inferir que, por um lado, possivelmente, essas

alunas mostram ter um projeto de vida e estar motivadas a buscar na profissão

professor um meio de ascender socialmente. Por outro lado, é importante lembrar que

elas são oriundas de um sistema de ensino que vem se mostrando ineficaz,

especialmente no tocante ao ensino da Matemática. Portanto, podemos dizer que,

possivelmente, muito precisa ser feito no Ensino Superior.

Segundo relatos apresentados pelas estudantes, elas têm muitas dificuldades

com relação à disciplina Matemática. Tal fato foi também identificado quando

relataram que, ao ingressarem no curso ficaram surpresas por saber que no curso

teriam que cursar disciplinas de cunho matemático53. Mas, segundo elas, foi uma rica

52 O Exame Nacional para Certificação de Competências de Jovens e Adultos – Encceja – é uma avaliação para aferir competências, habilidades e saberes de jovens e adultos que não concluíram o

Ensino Fundamental ou Ensino Médio na idade adequada. 53 Na grade curricular das participantes além da disciplina metodologia do Ensino da Matemática, havia

98

experiência, pois puderam tirar proveito da situação, conseguiram minimizar o “medo”

de matemática e avançar em suas aprendizagens. Além disso, as estudantes para

professora informaram que possuíam dificuldades quando resolviam questões que

envolvem a interpretação de problemas e o uso do raciocínio lógico, mas relataram

que estavam dispostas a aprender e, por isso, aceitaram o desafio de participar do

curso de formação.

Depois de expor o perfil das participantes deste estudo, discorreremos a seguir

sobre os procedimentos metodológicos.

3.3 Os procedimentos metodológicos

A investigação se desenvolveu em três etapas. Na primeira fase

desenvolvemos a revisão de literatura, por meio da qual procuramos apontar a

relevância do tema, buscamos localizar nossa pesquisa no meio acadêmico e

analisamos investigações que, de alguma forma, se relacionavam com a nossa. Isso

nos serviu para embasar nossas escolhas e auxiliar no caminho trilhado para

desenvolver este estudo. Apropriamo-nos também de documentos que regem a

Educação brasileira, uma vez que os professores dos anos iniciais são norteados por

tais referenciais para preparar suas aulas. Portanto, este estudo precisa levar em

conta os pressupostos desses documentos.

A revisão de literatura – primeira etapa – foi primordial para confeccionarmos o

questionário preliminar (que será descrito no item 3.4.2), no qual buscávamos

compreender quais eram os conhecimentos prévios das participantes.

Reiteramos que, para fundamentar este estudo, apoiamo-nos em Llinares.

Utilizamos as ideias desse autor para elaborar alguns casos envolvendo atividades

profissionais as quais serão analisadas no capítulo 5. Como este pesquisador já havia

trabalhado com tais situações envolvendo o tema aqui investigado, nos sentimos

fortalecidos para fazer algumas das proposições. Além disso, por intermédio das

ideias de Ball, Thames e Phelps (2008), procuramos identificar os conhecimentos dos

professores e definir quais deles seriam necessários para desenvolver a competência

profissional das participantes para ensinar situações que envolviam o raciocínio

proporcional.

outra disciplina denominada “Matemática e estatística aplicadas à Educação.

99

A segunda etapa desta investigação foi destinada à pesquisa de campo, por

meio da proposição de um processo formativo. Os dados foram coletados por meio

de registros de observação, produzidos pelas participantes durante a formação. Essa

foi desenvolvida em 10 encontros, de 02 horas cada um, num total de 20 horas. As

técnicas e os instrumentos envolveram: observação direta, observação indireta,

análise de materiais produzidos pelas futuras professoras, vídeo e audiogravações

dos encontros. A coleta de informações foi realizada pelo próprio

formador/pesquisador, com o auxílio, em algumas sessões, da orientadora. Para a

realização da filmagem foi contratada uma profissional. Ao final de cada encontro

realizamos uma pré-análise com o propósito de desenhar os próximos encontros.

Na fase 3 foi concebida a análise dos dados, e apoiamos nossa coleta nos

estudos de Bardin (1979). Realizamos uma pré-análise, em seguida, exploramos o

material e, finalmente, realizamos o tratamento dos resultados. Posteriormente, de

posse dos protocolos e das filmagens de cada encontro, ouvimos os depoimentos das

participantes e selecionamos trechos de narrativas orais e escritas que entendemos

constituir unidades de significação, com o propósito de categorizar os dados a partir

dos aspectos significativos encontrados para responder à questão da pesquisa. A

seguir faremos uma breve descrição da formação.

3.4 Breve descrição da formação desenvolvida para coleta de dados

No Quadro 3, apresentamos o desenho do processo formativo, resultado da

primeira etapa na qual desenvolvemos a pesquisa bibliográfica.

100

Quadro 3: Desenho do Curso de Formação

Fases de Formação Desenho do curso de formação

Fase Inicial: Identificação de conhecimentos prévios Duração: Primeiro encontro

- Apresentação da proposta e das participantes.

Questionário preliminar (ANEXO C) - Resolução do questionário preliminar - 06 questões; - Discussão e reflexão com o grupo sobre as respostas apresentadas no questionário preliminar; - Sistematização das principais ideias envolvidas nas 06 questões;

Segunda fase: Intervenção Duração: oito encontros

Atividade “Alterando o rosto do professor” - Apresentação da atividade "alterando o rosto do professor"54; - Discussão e reflexão das ideias que emergiram acerca do raciocínio proporcional com base na atividade anterior;

Atividade 1 (ANEXO D) - Apresentação de uma atividade envolvendo “semelhança de figuras” - Identificação das estratégias usadas pelas alunas ao resolver tal atividade; - Discussão, reflexão e sistematização das ideias envolvidas;

Atividade 2 (ANEXO E) - Vivências de uma atividade envolvendo "proporcionalidade e semelhança"; - Discussão, reflexão e sistematização das ideias envolvidas.

Material Concreto (ANEXO F) - Apresentação de uma atividade com material concreto – “Atividade material concreto”; - Exposição, discussão e reflexão sobre as ideias; - Sistematização as principais ideias envolvidas na situação.

Atividades 4 e 5 (ANEXO G e H) - Resolução de compreensão das atividades 4 e 5 - duas atividades de Receita de muffins; - Identificação das estratégias usadas pelas alunas ao resolver tais atividades; - Sistematização dos principais conceitos envolvidos.

Atividade 6 (ANEXO I) - Resolução, discussão e reflexão de uma “tarefa de resolução” – identificação de estratégias das estudantes para professora.

Atividades 7, 8, 9 e 10 (ANEXOS J, K, L e M) - Apresentação, resolução, discussão e reflexão de “atividades profissionais” – desenvolvimento da competência docente das estudantes para professora ao desenvolverem tais atividades; - Sistematização dos principais conceitos envolvidos nas atividades.

Terceira fase: Avaliação Duração: último encontro

Memorial Reflexivo (ANEXO N) - Sistematização das ideias desenvolvidas ao longo das seções; - Identificação do que foi desenvolvido ao longo dos 10 encontros; - Reflexão das participantes acerca dos conhecimentos profissionais (re) construídos durante a formação.

Fonte: Elaborado pelo pesquisador

O Quadro 3 reproduziu como planejamos o curso de formação. Descreveremos

aqui a atividade desenvolvida em cada uma das sessões.

54 A atividade envolve a variação ou não das grandezas (comprimente e largura) por meio da manipulação de uma imagem apresentada no computador. Essa imagem nos proporcionou ampliar e reduzir o seu tamanho de modo que as futuras professoras percebessem relações entre suas dimensões (comprimente e largura).

101

3.4.1 A apresentação da proposta e a dinâmica de apresentação

Na fase inicial da formação, tínhamos como finalidade apresentar a proposta e

as participantes. Na apresentação da proposta do curso, proporíamos uma dinâmica

de integração das participantes, para que todas pudessem se conhecer e conhecer

os pesquisadores, pois nem todas as futuras professoras cursavam a mesma turma

regular. Esperávamos, com isso, favorecer a participação delas e deixá-las mais

seguras e tranquilas durante a formação.

Após a apresentação dos formadores, cada participante deveria entregar um

bombom para sua colega e apresentá-la ao grupo, dizendo o nome da colega, sua

turma, o que a levou a participar do curso e o que ela gosta de fazer nas horas de

lazer – tais informações foram coletadas e registradas no (APÊNDICE B).

Após a dinâmica de apresentação, expusemos os objetivos do curso e o Termo

de Consentimento Livre e Esclarecido. Assinado o termo, entregamos o questionário

preliminar cuja descrição faremos na próxima seção.

3.4.2 Descrição do questionário preliminar

Inicialmente propusemos que respondessem a um questionário (APÊNDICE C)

composto por seis questões diagnósticas, com o objetivo de identificar conhecimentos

explicitados pelas futuras professoras a respeito do raciocínio proporcional e fornecer

subsídios para as demais fases da pesquisa.

As participantes deveriam responder aos questionamentos no próprio

instrumento. Na questão 1 foi apresentado o seguinte enunciado “O raciocínio

proporcional e a proporcionalidade estão presentes no nosso dia a dia. Você poderia

exemplificar situações da vida cotidiana em que utilizamos o raciocínio proporcional

e/ou a proporcionalidade?”. Nosso propósito era saber se elas tinham algum

conhecimento de raciocínio proporcional e se já o haviam utilizado em alguma

situação, ou seja, pensamos em fazer um prognóstico inicial.

Na questão 2, solicitamos que elas associassem o tema ao ensino por meio da

seguinte proposta: "Ao lecionar matemática você tratará da temática raciocínio

proporcional e proporcionalidade. Você lembra de conteúdo matemático em que esse

tipo de raciocínio é utilizado para resolvê-lo? Se lembrar, dê um exemplo de uma

situação".

102

Já nas questões 3 e 4, nosso objetivo foi verificar o conhecimento comum do

conteúdo (BALL; THAMES; PHELPS, 2008) e as estratégias de resolução

apresentadas pelas alunas, visando ter elementos para desenvolver propostas que

favorecessem a construção de competência profissional para o ensino do raciocínio

proporcional, como proposto por Llinares (2015a), Llinares (2015b) e por Fernández

e Llinares (2012).

Optamos por duas questões: uma de valor omisso e outra de comparação entre

dois fatores de proporcionalidade, por se tratar de situações mais usuais no ensino,

conforme relatam Lesh, Post e Behr (1988).

A questão 3 (APÊNDICE C) foi uma atividade por meio da qual procuramos

identificar como os estudantes resolveriam uma questão de valor omisso.

Apresentamos uma imagem e perguntamos: “Na figura seguinte, podemos observar

o Senhor Baixo cuja altura mede seis clipes. Se fôssemos medi-lo com fósforos,

seriam necessários quatro fósforos. Ele tem um amigo, o Senhor Alto, que mede seis

fósforos. Quantos clipes utilizaríamos para medir o Senhor Alto? Visando a uma

melhor compreensão do problema, apresentamos a Figura 17, proposta na situação.

Figura 17: Imagem da questão 3

Fonte: Adaptado de Silvestre (2012, p. 127)

Já a questão 4 envolvia uma situação de comparação entre dois pares de

grandezas por meio da qual as alunas deveriam responder à seguinte questão: “No

último sábado à tarde, a família Smith foi para o teatro Starr e todos os 6 integrantes

entraram no cinema, pagando $ 10. A família West foi ver um filme no Odyssey e todos

os 4 entraram no cinema, pagando $ 7. Que teatro tem melhores preços na matinê de

sábado?55” (LAMON, 2005, p. 101, tradução nossa)56.

55 É importante ressaltar que na aplicação do questionário a tradução desta situação não estava muito boa e o pesquisador precisou explicá-la, por isso optamos por apresentar aqui a situação traduzida corretamente. 56 “Last Saturday afternoon, the Smith family went to the Starr Theater and all 6 members went in for $ 10. The West family was a movie on the Odyssey and all 4 came in for $ 7. That theater has better prices on the matinee collapsed? ”

103

Na questão 5 apresentamos às estudantes para professora algumas perguntas,

com o objetivo de identificar se elas reconheciam uma situação que envolva o

raciocínio proporcional ou a não proporcionalidade. Para isso, elas colocariam um X

quando observassem nas questões relações de dependência, que poderiam ser

diretamente proporcionais (DP) ou não proporcionais (NP), conforme o Quadro 4

mostra:

Quadro 4: Relação de dependência

Dependência - Diretamente proporcionais (DP) ou Não Proporcional (NP) DP NP

a) A quantidade de pães comprados e o preço pago por eles.

b) A idade de uma pessoa e o número de calça que ela veste.

c) A idade de uma pessoa e seu peso.

d) A quantidade de ovos para uma receita de bolo e a quantidade de ovos para cinco receitas do mesmo bolo.

e) O salário de um trabalhador e o número de irmãos que esse trabalhador tem.

Fonte: Elaboração do pesquisador

Para finalizar o questionário, a questão 6 propunha a resolução de um problema

cuja finalidade foi reconhecer a não proporcionalidade envolvida na situação. Ao final

da seção, faríamos a sistematização das principais ideias envolvidas no questionário.

Nas questões 5 e 6, tínhamos como objetivo verificar se as alunas

diferenciariam situações proporcionais de não proporcionais, tendo em vista que

estudos como os de Fernández e Llinares (2012); Nunes e Costa (2016); Post, Behr

e Lesh (1995) apontam dificuldades de alunos em reconhecer situações não

proporcionais.

Pensamos em questões dessa natureza pelo fato de que uma das

características do raciocínio proporcional é a capacidade de distinguir entre situações

proporcionais e não proporcionais, conforme apontam Cramer e Post (1993); Post,

Behr e Lesh (1995); e Oliveira (2009). E, com base nas respostas apresentadas,

verificaríamos o que as alunas sabiam sobre o tema e as orientaríamos a respeito das

vertentes do assunto.

A seguir apresentaríamos as atividades da formação que envolviam situações

presentes na atuação das participantes. Além disso, proporíamos problemas que

apresentassem dificuldades de estudantes em pesquisas apontadas nos capítulos 2

e 3. E, por fim, indicações contidas no currículo a ser vivenciado pelas futuras

professoras em sua atuação profissional.

104

3.4.3 Descrição da atividade “Alterando o rosto do professor”

Propusemos uma atividade denominada “Alterando a foto do professor”, para

expor nossas ideias e, para isso, recorremos a uma situação do mundo físico

(tratamento de imagem) a qual, geralmente, envolve a variação de grandezas.

Nossa intenção foi apresentar uma aplicação prática da ideia de

proporcionalidade e raciocínio proporcional. Utilizaríamos como ferramenta de apoio

uma imagem do “paint”57 que nos proporcionaria ampliar e reduzir o tamanho da

figura. Ou seja, projetaríamos a imagem no datashow e alteraríamos várias vezes as

dimensões da figura, de maneira dinâmica, para que as participantes enxergassem

relações entre suas dimensões (comprimento e largura). A seguir apresentamos a

imagem escolhida para o desenvolvimento da atividade (Figura 18).

Figura 18: Reprodução da imagem - atividade introdutória

Fonte: Acervo pessoal

Após as movimentações, pretendíamos discutir com as futuras professoras e

verificar se emergiriam ideias acerca do proporcional. A seguir apresentamos a

atividade 1.

3.4.4 Descrição da atividade 1

Ao propor a atividade 1 (APÊNDICE D), tínhamos intenção de inserir uma

atividade envolvendo “semelhança de figuras” e desenvolver nas participantes as

57 O Paint é um aplicativo do Windows que permite o desenvolvimento, a edição e a impressão de imagens digitais.

105

seguintes habilidades:

● Relacionar a atividade 1 com a atividade "Alterando o rosto do

professor".

● Identificar a proporcionalidade envolvida na situação.

● Compreender a ideia que envolve a covariação das grandezas (largura

e altura).

● Reconhecer o fator de proporcionalidade e sua função.

● Resolver situações que envolvam números racionais.

Com o desenvolvimento de tais habilidades, pretendíamos ampliar a

compreensão que as participantes tinham sobre o raciocínio proporcional. Esta é a

atividade 1: “Em uma aula, a senhora Julia, professora da escola onde Maria estuda,

solicitou a seus alunos que fizessem um desenho de sua casa. Maria, antes de realizar

sua produção, fez uma malha quadriculada para ficar mais fácil o desenho e

apresentou à professora a seguinte figura”.

Figura 19: Reprodução da atividade 1

Fonte: Elaboração própria

Dona Julia, após esta etapa solicitou aos alunos que:

a) dobrassem o tamanho do desenho;

b) reduzissem pela metade o tamanho do desenho;

c) aumentassem 2,5 o tamanho da casa;

d) reduzissem 1/4 o tamanho do desenho da casa.

Reproduza as possíveis figuras que Maria fez para sua professora.

106

Propusemos esta situação, uma vez que a BNCC (BRASIL, 2017, p. 292) indica

que, dentre as aprendizagens indicadas como necessárias para a Geometria,

encontram-se a ampliação e a redução da figura poligonal.

Nesse sentido, pensamos nessa situação por ser muito referenciada nos

documentos que regem o ensino de matemática para a temática e também por

considerarmos resultados de pesquisa que indicam ser importante que os estudantes

vivenciem situações que apresentem razões distintas. Sobre essa temática,

Fernández e Llinares (2012, p. 139) sugerem que, nos conceitos iniciais de razão e

proporção, sejam inseridos diferentes tipos de razões (inteiras e não inteiras). Tais

relatos de estudos foram apresentados e discutidos com as participantes durante a

sistematização realizada ao fim da atividade. A seguir descreveremos a atividade 2.

3.4.5 Descrição da atividade2

A atividade 2 (APÊNDICE E) foi realizada no computador, com o propósito de

identificar se as estudantes para professora haviam compreendido conceitos que

envolvem o raciocínio proporcional em semelhança de figuras.

Pretendíamos explorar com elas algumas estratégias de resolução: relação

escalar e funcional das dimensões largura e altura de figuras planas (rosto de João).

Ademais, tínhamos como premissa explorar relações com o fator de proporcionalidade

(com um número natural e decimal), pois já havíamos detectado certas dificuldades

das participantes na atividade anterior e no questionário preliminar, ao se depararem

com atividades dessa natureza.

Utilizamos como recurso didático para a atividade desenvolvida no computador

um objeto de aprendizagem denominado "proporcionalidade e semelhança". As

futuras professoras inicialmente se depararam com um texto acerca da ampliação da

foto do menino João, e, com o uso da seta localizada do lado direito da tela do

computador, poderiam avançar nas telas seguintes. Na tela posterior se depararam

com a imagem de João, em que suas dimensões eram cercadas por duas retas

contendo os sinais de (+) e (–); ao clicar ali, a foto de João aumentaria para direita e

para esquerda, conforme os cliques nos sinais. Em seguida, ao avançar na seta do

lado direito, nas duas telas seguintes, poderiam notar figuras com fotos de João

achatada e alongada respectivamente. Na terceira tela, era possível visualizar

imagens da foto original de João (3 x 4), (5 x 4) e (5 x 10).

107

Após os exemplos iniciais, pedimos para avançarem para as próximas telas

contendo os itens e, ao resolverem cada item e clicarem em “ok”, seria possível

avançar nas telas seguintes.

A atividade em questão pode ampliar as possibilidades de as participantes

compreenderem melhor a temática, pois, a nosso ver, o recurso computacional pode

fornecer o resultado de imediato ao usuário, à medida que ele insere no quadradinho

o valor e clica no botão “ok”. Com isso é possível verificar se as conjecturas

formuladas estavam certas ou erradas e, ainda, possibilitar a reflexão e a

reelaboração da resposta para a atividade, pois o erro seria um ponto de partida para

um novo caminho rumo ao valor correto.

Propusemos às futuras professoras que resolvessem a atividade no

computador em duplas ou em trios. Em seguida fornecemos um protocolo (APÊNDICE

E) e pedimos que, após sua realização, as futuras professoras respondessem a três

questões:

● Questão 1 - Na atividade proporcionalidade e semelhança, quais

dificuldades você encontrou?

● Questão 2 – Quais relações você poderia identificar na atividade?

● Questão 3 – Em sua opinião, seria possível trabalhar com os alunos dos

anos iniciais? Em caso afirmativo, explique.

Depois de apresentar a atividade no datashow, iniciamos as explicações sobre

a atividade proposta, por meio da sistematização das ideias das atividades anteriores

e alterando o rosto do professor. Pedimos que as futuras professoras iniciassem as

atividades, e, com isso, obtivessem uma imagem semelhante à apresentada na Figura

20.

108

Figura 20: Reprodução de uma tela do computador

Fonte: http://rived.mec.gov.br/atividades/matematica/proporcionalidde/AtividadeMat.html

Na atividade, verificamos quais pontos comuns encontramos com os estudos

apresentados no capítulo 2 e, ao final da seção, realizamos a sistematização das

principais ideias envolvidas. A seguir descreveremos a atividade “material concreto”.

3.4.6 Descrição da atividade - Material concreto

Essa atividade (APÊNDICE F) foi proposta, visando favorecer a compreensão

das participantes sobre a temática e ampliar os conhecimentos propostos por Ball,

Thames e Phelps, 2008. Usamos barrinhas feitas de papel cartão com cores e

tamanhos variados – cada cor tinha um tamanho específico.

Figura 21: Exemplo de barrinhas usadas na atividade – Material concreto

Acervo do pesquisador

109

Optamos por esse material concreto por ser de fácil acesso às futuras

professoras, construído com papel cartão, geralmente acessível às estudantes. Essa

atividade é composta por quatro itens (a, b, c, d). Foram propostas às participantes a

ampliação e a redução com uso das barrinhas, envolvendo as ideias do raciocínio

proporcional. Fornecemos para elas um protocolo (APÊNDICE F) contendo a

atividade e algumas tirinhas com cores e tamanhos diferentes. Ao final da seção,

faríamos a sistematização das principais ideias envolvidas na situação. As atividades

4 e 5 estão aqui descritas.

3.4.7 Descrição das Atividades 4 e 5

Optamos por descrever de maneira conjunta as atividades 4 e 5 (APÊNDICES

G e H), por envolverem o mesmo cenário e as ideias de dobro e metade, como já

explicitado (BRASIL, 2017; SPINILLO, 1992).

A primeira situação apresentava o seguinte enunciado: “Uma receita de muffins

de morango para 16 pessoas é a seguinte: 8 xícaras de farinha, 2 xícaras de

morangos, 8 colheres de manteiga, 1 xícara de açúcar e ½ xícara de manteiga. Você

vai cozinhar para 32 pessoas. Quanto de cada um desses ingredientes você precisa

usar?”. Já a segunda situação trazia o seguinte enunciado: “Agora você vai cozinhar

para 8 pessoas. Quanto de cada um desses ingredientes você precisa usar?”.

Apoiados em indicações acerca da inserção das relações de dobro e metade

para os anos iniciais, contidas nos documentos oficiais, como os PCN (BRASIL, 1997)

e a BNCC (BRASIL, 2017), que regem a Educação brasileira, planejamos discutir tais

situações. Nossa intenção foi inserir discussões e reflexões sobre algumas relações

entre as ideias de metade e dobro, por meio de atividades usuais, e sobre alguns

caminhos para o ensino e a aprendizagem do raciocínio proporcional.

Aproveitamos essa proposta para discutir com o grupo sobre o fato de que tais

ideias são as primeiras do raciocínio proporcional para os anos iniciais (FERNÁNDEZ;

LLINARES, 2012; LLINARES, 2015a, 2015b). A seguir, a atividade 6 será descrita.

3.4.8 Descrição da atividade 6

A atividade 6 (APÊNDICE I) apresenta um problema de valor omisso.

Pensamos nessa situação com o objetivo de verificar se as participantes haviam

110

incorporado o conhecimento comum do conteúdo (BALL; THAMES; PHELPS, 2008).

Além disso, procuramos identificar eventuais estratégias de resolução, pois naquele

momento já teriam feito atividades do questionário preliminar e de resolução.

Escolhemos um problema de valor omisso por ser esse tipo de situação

referenciado nos programas curriculares (BRASIL, 1998, p. 110; BRASIL, 2017, p.

266), mas parece não ser frequentemente elaborado por professores que lecionam

matemática para os anos iniciais (SANTOS, 2012; SOUZA, 2015).

A situação selecionada por nós para ser resolvida e analisada fornecia três

grandezas e solicitava o valor da quarta. Optamos por um problema dessa natureza

com a finalidade de explorar relações mais complexas acerca do raciocínio

proporcional. Pretendíamos identificar quais estratégias seriam apresentadas pelas

estudantes nesta atividade e suas eventuais dificuldades.

A atividade 6 apresentava o seguinte enunciado: “Jim tem que imprimir o jornal

da escola, mas ele só pode fazê-lo no tempo do intervalo. Ele leva 15 minutos para

imprimir 12 jornais. Quantos jornais ele pode imprimir durante os 35 minutos de

intervalo?” (APÊNDICE I).

3.4.9 Descrição da atividade 7

A atividade 7 (APÊNDICE J) envolve uma situação de valor omisso, são

fornecidas três grandezas e o valor da quarta é requerido. Este problema aborda a

ideia de proporcionalidade, o que torna difícil recorrer à taxa unitária, conforme aponta

Almeida (2015). Ademais, vários estudos, como os de Lamon (2005); Oliveira (2009);

Post, Behr e Lesh (1995); Silvestre e Ponte (2009); Spinillo (1992) e Vergnaud (1983,

2009) também indicam a utilização de problema de valor omisso como fonte para a

apreensão do raciocínio proporcional.

A atividade tinha o seguinte enunciado “Em uma caixa há 5 bombons de

caramelo e 13 de chocolate. Uma outra caixa tem 100 bombons de caramelo. Quantos

bombons de chocolate devemos colocar para que se tenha a mesma proporção da

primeira?”.

111

Figura 22: Resolução da atividade profissional de valor omisso Aluna Resolução

Aline

Bianca

Cássia

Daiane

Fonte: Elaborada pelo autor

Com base na Figura 22, as participantes responderiam às seguintes questões:

a) Qual (is) resposta (s) você acredita que está (ão) correta (s)?

b) Identifique e analise as estratégias utilizadas pelas alunas.

c) Quais conhecimentos o professor precisa dominar em sala de aula para

lecionar esse tema?

d) Se tiver alguma resolução incorreta, identifique o erro e indique como você

auxiliaria seu aluno a compreender esse conteúdo matemático.

Com problemas dessa natureza, procuramos discutir e refletir sobre a

competência docente de olhar profissionalmente para as estratégias dos estudantes

(FERNÁNDEZ; LLINARES, 2012; LLINARES, 2015a; LLINARES, 2015b). Pensamos

em tais atividades para que pudéssemos verificar quais conhecimentos haviam sido

112

construídos nas ações realizadas anteriormente (BALL; THAMES; PHELPS, 2008).

Apresentamos aqui a atividade 8.

3.4.10 Descrição da atividade 8

A atividade 8 (APÊNDICE K) consistiu em um problema de valor omisso,

conforme já mencionamos também. Ela foi escolhida por ser uma situação muito

referenciada nos programas curriculares58; todavia, parece não ser frequente que tal

situação seja elaborada por professores que lecionam Matemática para os anos

iniciais, como revelam, por exemplo, investigações como as de Santos (2012) e Souza

(2015).

Essa tarefa (atividade 8)59 já havia sido apresentada na questão 3, contendo

diferentes métodos de resolução em problemas de tarefas proporcionais, conforme

relatam Cramer e Post (1993). No entanto, dessa vez a proposta foi identificar as

análises realizadas pelas futuras professoras em diferentes estratégias de resolução

e perceber as relações que elas estabelecem entre tal análise e o conhecimento

profissional docente.

Para isso, apresentamos a resolução de quatro alunas fictícias.

58 Este tipo de problema é citado nos PCN (BRASIL, 1998) como de comparação de razões. Nele se propõe que o estudante encontre a constante de proporcionalidade. Esse documento curricular afirma que neste tipo de situação é comum os estudantes desenvolverem procedimentos não convencionais de solução e resolverem o problema, mesmo antes de aprender a utilizar procedimentos convencionais, como a regra de três (BRASIL, 1998, p.110). 59 Para garantir que a leitura desta tarefa (atividade 8) não interferisse no resultado, apresentamos uma questão de cada vez, ou seja, só depois de recolher a atividade anterior a aluna receberia a próxima atividade.

113

Figura 23: Resolução da atividade profissional de valor omisso

PRISCILA

ELIOTE

ALESSANDRA

FERNANDA

Fonte: Elaborada pelo autor

114

Com base nessas produções nosso objetivo foi identificar o olhar profissional

das participantes por meio da inserção das seguintes questões:

a) Qual (is) resposta (s) você acredita que está (ão) correta (s)?

b) Descreva e analise as estratégias utilizadas pelas alunas.

c) Quais conhecimentos o professor precisa dominar em sala de aula para

lecionar esse tema?

d) Você acredita que há alguma resolução incorreta? Em caso afirmativo,

identifique o erro e como você auxiliaria seu aluno a compreender o

exercício.

Esta, a seguir, é a descrição da atividade 9:

3.4.11 Descrição da atividade 9

A atividade 9 (APÊNDICE L) foi apresentada anteriormente como tarefa de

resolução na questão 4 do questionário preliminar e propunha o seguinte problema:

“No último sábado à tarde, a família Smith foi para o teatro Starr e todos os 6

integrantes entraram no cinema, pagando $ 10. A família West foi ver um filme no

Odyssey e todos os 4 entraram no cinema, pagando $ 7. Que teatro tem melhores

preços na matinê de sábado?

Essa situação, segundo Lamon (2005, p. 101), envolve a comparação entre

quatro quantidades, formando duas razões, e a proposta é descobrir se os dois índices

são equivalentes ou não.

Assim como problemas de valor omisso, situações de comparação entre fatores

de proporcionalidade visam ao desenvolvimento do raciocínio proporcional e também

são amplamente referenciadas em programas de currículo e em sala de aula,

conforme ressaltam Lesh, Post e Behr (1988). Tal situação de comparação já havia

sido apresentada anteriormente na questão 4 do (APÊNDICE C) – questionário

preliminar –, porém nesta atividade procuramos analisar a resolução de alunos,

conforme mostra a Figura 24.

115

Figura 24: Resolução da atividade profissional de comparação entre dois pares de grandezas

Cristiane

Lizzie

Debora

Mariana

Fonte: Acervo pessoal

Visando nortear a análise e identificar conhecimentos profissionais

interiorizados pelas participantes, inserimos as seguintes perguntas:

a) qual (is) resposta (s) você acredita está (ão) correta (s)?;

b) identifique e analise as estratégias utilizadas pelas alunas;

c) quais conhecimentos o professor precisa dominar em sala de aula para

lecionar esse tema?;

116

d) se tiver alguma resolução incorreta, identifique o erro e explique como você

auxiliaria seu aluno a compreender esse conteúdo matemático.

Para elaborar esta questão, apoiamo-nos em Lamon (2005). Essa autora

afirma: “o raciocínio proporcional é um dos melhores indicadores de que um estudante

chegou à compreensão dos números racionais e dos conceitos multiplicativos

relacionados a ele”60 (p. 3, tradução nossa), Assim, procuramos aproveitar essa

questão para discutir questões referentes a dificuldades no tratamento com números

racionais na representação decimal e na relação entre as duas razões.

Eis agora a descrição da atividade 10.

3.4.12 Descrição da atividade 10

A atividade 10 (APÊNDICE M) envolveu uma situação de não

proporcionalidade (FERNÁNDEZ; LLINARES, 2012; NUNES; COSTA, 2016; POST;

BEHR; LESH, 1995).

Pelos resultados apresentados pelas participantes no questionário preliminar

(questões 5 e 6) e pelas sistematizações já realizadas durante as seções anteriores,

procuramos verificar se as futuras professoras identificavam que esse problema não

envolvia a ideia de proporcionalidade.

Pensamos em questões dessa natureza porque uma das características do

raciocínio proporcional é a capacidade de distinguir entre situações proporcionais e

não proporcionais, como sinalizam Post, Behr e Lesh (1995), Cramer e Post (1993) e

Oliveira (2009).

A atividade 10 apresentou o seguinte enunciado: “Raquel e Juan estão

plantando flores, plantam na mesma velocidade, mas Juan começou antes. Quando

Raquel havia plantado 4 flores, Juan já havia plantado 12 flores. Se Raquel plantou

20 flores, quantas plantou Juan?”.

Primeiramente as futuras professoras deveriam responder: a) O problema

descrito envolve a ideia de proporcionalidade? Justifique. Em seguida foi lhes

apresentada uma figura contendo resoluções de alunos fictícios.

60 “Proportional reasoning is one of the best indicators that a student has attained understanding of rational numbers and related multiplicative concepts”.

117

Figura 25: Resolução da atividade profissional de não proporcionalidade

João

Marcos

E, por fim, solicitamos que respondessem aos seguintes questionamentos:

a) Descreva detalhadamente as estratégicas de resolução que cada um dos

alunos utilizou.

b) Qual deles acertou a questão?

c) Se você fosse o professor desse aluno, para as duas respostas, o que você

faria e por quê?

Além de identificar a proporcionalidade na situação proposta anteriormente, as

futuras professoras deveriam verificar a resolução correta, competência que faz parte

dos conhecimentos: comum do conteúdo, do conteúdo e do estudante e conhecimento

do conteúdo e do ensino (BALL; THAMES; PHELPS, 2008), requeridos delas para os

anos iniciais.

A seguir apresentamos o memorial reflexivo.

3.4.13 Descrição do memorial reflexivo

Pensamos inicialmente em realizar uma atividade de elaboração de um

memorial no último encontro. Para tanto, elaboramos a seguinte proposta: “Agora

você fará um memorial sobre nosso curso, ou seja, relatará o que aprendeu, em que

tem dúvida, o que até o presente momento contribuiu para sua aprendizagem e o que

118

será relevante para desenvolver seu trabalho com seus alunos futuramente”

(APÊNDICE N).

Nossa intenção foi que as estudantes para professora pudessem rever suas

trajetórias, seus percursos de aprendizagem e refletissem sobre o curso. Para os

pesquisadores, esse memorial constituiu um registro de feedback acerca dos

conhecimentos dentre os destacados por Ball, Thames e Phelps (2008, p. 401), no

qual procuramos verificar quais conhecimentos foram (re) construídos durante a

formação.

Procuramos visualizar neste memorial como futuras professoras dos anos

iniciais enxergam tarefas matemáticas (LLINARES, 2015a; LLINARES, 2015b) e o

que é necessário para raciocinar proporcionalmente.

A seguir traremos a análise dos dados das atividades previstas neste capítulo

e das situações que foram elaboradas e inseridas na pesquisa.

119

CAPÍTULO 4 - ANÁLISE DO QUESTIONÁRIO PRELIMINAR

Nossa análise foi pautada em aspectos qualitativos. Procuramos apresentar os

resultados desta investigação, identificando dificuldades e/ou avanços e comparando

nossos resultados com outros resultados de pesquisas.

Inicialmente, como já descrito no capítulo anterior, realizamos uma dinâmica de

apresentação, com o objetivo de proporcionar um ambiente descontraído, no qual as

alunas ficassem à vontade, visando contribuir para o processo formativo com a

aproximação entre elas. Dessa forma, as duplas, sob a nossa orientação,

prosseguiram e desenvolveram o curso.

De posse de todo o material, protocolos, transcrição dos áudios e dos vídeos,

realizamos a análise do questionário preliminar, conforme descrito no capítulo

anterior, com o objetivo de identificar conhecimentos prévios das alunas acerca da

temática proposta e planejar a segunda fase da investigação – a pesquisa de campo.

Tínhamos como premissa algumas impressões acerca das participantes61, por já

conhecê-las, mas o diagnóstico nos auxiliaria a identificar conhecimentos prévios e

dificuldades com o raciocínio proporcional e seu ensino por elas explicitadas. Isso

também nos daria parâmetros para o desenrolar e o final da pesquisa.

O diagnóstico, já mencionamos aqui, foi composto por seis questões, e os

resultados da análise de cada uma, segundo a ótica deste pesquisador, foram

apresentados ao grupo. Procuramos verificar se as alunas identificariam algum

aspecto do raciocínio proporcional em seu dia a dia, por meio deste questionamento:

“O raciocínio proporcional e a proporcionalidade estão presentes no nosso dia a dia.

Você poderia exemplificar situações da vida cotidiana em que utilizamos o raciocínio

proporcional e/ou a proporcionalidade?”.

Nessa questão tivemos a resolução de 30 alunas, e dez delas deram algum

exemplo sobre o raciocínio proporcional ou proporcionalidade em seu cotidiano.

Destas, notamos que seis estudantes – Jú, Nilma, Docinho, BA Sorriso, Carla e

Groove – realizaram associação entre grandezas por meio de exemplos ligados à

culinária, como podemos notar na produção da aluna BA Sorriso, na Figura 26.

61 Tais impressões e interpretações ao longo da pesquisa foram realizadas com base na análise qualitativa dos dados e foram favorecidas pelo fato de o pesquisador já ter sido professor das alunas antes do curso de formação e já ter desenvolvido, de maneira informal, algumas atividades envolvendo o tema.

120

Figura 26: Resolução da questão 01 do questionário preliminar - BA Sorriso

Fonte: Acervo pessoal

Já quatro participantes, Cami, Moana, Regina e Ana, apresentaram outros

exemplos de relação entre grandezas, como a aluna Regina, que associou a

quantidade de água ao sabão a ser usado na lavagem de roupas ou Cami, que

comparou preços e quantidades de produtos em uma compra de supermercado. Eis

a produção de Cami, na Figura 27.

Figura 27: Resolução da questão 01 do questionário preliminar - Cami

Fonte: Acervo pessoal

Uma das alunas – Binna – respondeu à questão relacionando o tema à regra

de três, provavelmente por tê-la aprendido na escolarização básica. A esse respeito,

os Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL, 1998) afirmam ser comum que alunos

dos anos finais do Ensino Fundamental utilizem recursos algorítmicos pela regra de

três. A Figura 28 expõe a produção da aluna.

121

Figura 28: Resolução da questão 01 do questionário preliminar - Binna

Fonte: Acervo pessoal

Oito participantes tiveram dificuldades para identificar a presença do raciocínio

proporcional no seu cotidiano, duas por confundir conceitos e/ou temáticas

matemáticas, como Pejo e Angel: Pejo revelou: “Não tenho ideia de como iniciar um

raciocínio lógico”, e parece ter considerado raciocínio proporcional e raciocínio lógico

como sinônimos. Já Angel apresentou uma resposta genérica: “Entendemos um

assunto de forma limitada”.

Esses relatos nos fizeram conjecturar que algumas das participantes não

relacionaram a temática a situações do seu cotidiano. As seis restantes, Babich,

Mariza Letícia, Vitória, Tiana, Duda e Hortência relacionaram o raciocínio proporcional

ou a proporcionalidade a outras situações numéricas ou algébricas não proporcionais.

Por exemplo, Babich respondeu: “Pegar ônibus e verificar a numeração, placas de um

carro”, a aluna Hortência relatou que o raciocínio proporcional envolve “contas de

somar de subtrair, dividir as quais usamos no supermercado e no nosso dia a dia”. Já

a participante Duda parece ter associado a equivalência nas equações de primeiro

grau, conforme aponta a Figura 29:

Figura 29: Resolução da questão 01 do questionário preliminar - Duda

Fonte: Acervo pessoal

122

Três estudantes para professora: Pocahontas, Mandala e Sempre Viva

relataram não se lembrar da temática, provavelmente, por não associar o nome ao

conceito, como revela o protocolo da aluna Mandala na Figura 30.

Figura 30: Resolução da questão 01 do questionário preliminar - Mandala

Fonte: Acervo pessoal

Por fim, oito delas – Ana Paula, Nádia, Fênix, Tulipa, B, Margarida, Orquídea e

Girassol – responderam de maneira genérica, ou seja, não apresentaram indícios de

que tivessem conhecimento acerca do raciocínio proporcional. Portanto, não podemos

afirmar que essas alunas saibam do que trata o tema proposto. Tais indícios estão

nos protocolos de Margarida e Orquídea, nas Figuras 31 e 32, respectivamente.

Figura 31: Resolução da questão 01 do questionário preliminar - Margarida

Fonte: Acervo pessoal

123

Figura 32: Resolução da questão 01 do questionário preliminar - Orquídea

Fonte: Acervo pessoal

As estudantes pareciam explicitar de forma genérica suas respostas, o que

deixava para as atividades seguintes maiores condições de identificar a relação dos

seus conhecimentos prévios.

Escolhemos essa questão visando acompanhar a evolução das participantes e

tomamos por base pesquisadores piagetianos, como Vergnaud (1996) e Schliemann

(1998), dentre outros. Schliemann (1998, p. 13), por exemplo, afirma que os alunos

se desenvolvem em situações de ensino em que tenham a oportunidade de relacionar

conhecimentos prévios com novos conceitos, para que possam atribuir significado e

desenvolver novos patamares de aprendizagem.

Corroborando esse estudo, Oliveira (2009) afirma que, antes de apresentar

uma situação de ensino, é necessário identificar os conhecimentos já dominados

pelos estudantes. Nessa perspectiva, a pesquisadora sugere que, ao apresentar

situações problema aos alunos, seja considerada a matemática diária dos estudantes,

para favorecer a atribuição de sentido e significado para aprender.

Já a questão 2 pedia às futuras professoras a seguinte informação: “Ao lecionar

matemática, você tratará da temática raciocínio proporcional?”.

A questão 1 foi proposta com a finalidade de verificar se as alunas reconheciam

o raciocínio proporcional em uma situação do cotidiano, e a questão 2 complementaria

a primeira resposta com a informação sobre como essas participantes lidariam com o

raciocínio proporcional no ambiente intraescolar.

Pelas produções apresentadas, detectamos que cinco alunas, Pocahontas,

Hortência, Moana, Tulipa e Nilma, lembraram que em determinada aula do curso

regular62 usaram tal ideia. Essa aula consistia em relacionar a matemática com a vida

62 Conforme já mencionado no capítulo de apresentação, o professor-pesquisador foi professor desse

124

diária e foi proposta às estudantes a resolução de um problema de comparação entre

grandezas. Na situação apresentada, elas deveriam, por meio de cálculos

matemáticos, verificar qual a melhor opção, entre dois detergentes, para obter maior

economia. Após as resoluções, discutimos com as alunas formas de resolução e em

seguida apresentou a solução correta. A Figura 33 contém o problema.

Figura 33: Questão a respeito de comparação entre grandezas

Fonte: Acervo pessoal

As Figuras 34 e 35 levam a supor que Moana e Pocahontas, possivelmente,

associaram o tema ao que já haviam visto anteriormente em aula no curso de

Pedagogia:

Figura 34: Resolução da questão 02 do questionário preliminar - Moana

Fonte: Acervo pessoal

grupo de alunas na disciplina Matemática e Ciências aplicadas à Educação, do curso regular

125

Figura 35: Resolução da questão 02 do questionário preliminar - Moana

Fonte: Acervo pessoal

Já cinco futuras professoras (Cami, Nadia, Babich, Vitória e Tiana)

apresentaram exemplos que aparentemente não tinham relação com a temática

proposta. Por exemplo, a aluna Nadia relatou em seu protocolo que o conceito do

número se relaciona com os cardinais, os ordinais e o numeral. Na produção de

Babich, por exemplo, é possível observar que ela relacionou novamente a situação a

cálculos de adição e subtração, conforme verificamos na Figura 36.

Figura 36: Resolução da questão 02 do questionário preliminar - Babich

Fonte: Acervo pessoal

Outras seis futuras professoras (Fênix, Mariza Letícia, B, Binna, Ana Paula e

Jú) responderam de forma genérica, e a maioria apresentou exemplo, registrando

situações problema, como fizeram as alunas B e Fênix. Binna e Mariza Letícia

registraram razão e proporção. Já Ana Paula (Figura 37) relacionou o tema a

elementos da matemática encontrada no seu dia a dia.

Figura 37: Resolução da questão 02 do questionário preliminar - Ana Paula

Fonte: Acervo pessoal

126

As 14 participantes restantes (Margarida, Orquídea, Girassol, Regina, BA

Sorriso, Carla, Docinho, Angel, Pejo, Mandala, Ana, Groove, Duda e Sempre Viva)

relataram que não se lembraram de nada a respeito da questão.

Identificamos, pelas últimas 25 resoluções apresentadas, que as alunas não

relacionavam o raciocínio proporcional ao conteúdo que ensinariam. Acreditamos que

isso pode ter ocorrido por não relacionarem o termo “raciocínio proporcional” ao

conteúdo que poderiam ensinar, pois em seus relatos algumas delas afirmaram, como

Tulipa: “Nossa, não sabia que o nome era esse, eu faço isso e nem sabia o nome”.

Posteriormente propusemos uma situação de valor omisso e outra de comparação,

para reunir mais elementos de identificação de conhecimentos prévios acerca do tema

investigado. Pretendíamos verificar se as alunas compreendiam a ideia de covariação

e se sabiam realizar comparações numéricas (POST; BEHR; LESH, 1995, p. 91).

Passemos à questão 03.

Figura 38: Apresentação da questão 03 do questionário

Fonte: Adaptado de Silvestre (2012, p. 127)

Essa questão já havia sido proposta nos estudos de Karplus e Karplus (1972)

e Silvestre (2012). É uma situação típica de valor omisso, em que são fornecidas três

grandezas, e a quarta é solicitada. Além disso, o problema apresenta uma ilustração

que pode ser explorada tanto com adultos quanto com crianças.

Notamos, assistindo ao vídeo, que inicialmente as participantes demonstraram

dificuldades para encontrar uma estratégia de resolução. Isso foi também observado

quando estávamos acompanhando as alunas em suas produções: houve muitas

tentativas e o uso constante da borracha, por parte delas, para encontrar um caminho

para resolver a questão. A imagem seguinte, na Figura 39, registra a participante Ana

pensativa, após três tentativas de resolução.

127

Figura 39: Resolução da questão 03 do questionário preliminar - Ana

Fonte: Acervo pessoal

Ademais, ao analisar os protocolos com as resoluções, percebemos que das

30 participantes, 05 (Ana, Carla, Docinho, Duda e Pocahontas) escolheram a taxa

unitária como estratégia de resolução. Posteriormente, questionamos as cinco

participantes acerca do motivo da escolha. Nas respostas, informaram que estavam

acostumadas a usar esse método em situações usuais diárias e por isso acharam

mais fácil resolver daquela forma. Corroborando tal afirmação, Post, Behr e Lesh

(1995) e Schliemann (1998, p. 13) apontam que as crianças se identificam mais com

a estratégia "taxa unitária" por já ser familiar para elas. Na Figura 40 notamos que a

futura professora Carla identificou em seu desenho que cada fósforo equivaleria a um

clipe e meio.

Figura 40: Resolução da questão 03 do questionário preliminar - Carla

Fonte: Acervo pessoal

128

Estudos como os de Post, Behr e Lesh (1995); de Lamon (2005); e de Silvestre

e Ponte (2009) afirmam que o contexto e os números escolhidos influenciam na

escolha da estratégia, bem como na resolução. Acreditamos que, neste caso, a

escolha do problema e dos números, possivelmente, determinou a escolha da taxa

unitária. Ela foi a utilizada por uma das alunas investigadas por Silvestre (2012, p.

128), Carolina:

Figura 41: Resolução - Carolina

Fonte: Silvestre (2012, p. 128)

Nossos estudos resultaram em produções semelhantes às dos trabalhos de

Silvestre (2012). Tal fato pode ser visualizado na Figura 42. Nela a aluna Duda

calculou o resultado da divisão para a busca da taxa unitária e se apoiou na imagem

para relacionar a quantidade de clips do Senhor Baixo, e assim encontrar os clipes do

senhor alto.

Figura 42: Resolução da questão 03 do questionário preliminar – Duda

Fonte: Acervo pessoal

Além dessa estratégia, duas participantes (Cami e Groove) decidiram utilizar o

produto cruzado. Cami tem sua tarefa reproduzida na Figura 43.

129

Figura 43: Resolução da questão 03 do questionário preliminar – Cami

Fonte: Acervo pessoal

Segundo declaram as participantes em seus relatos, elas resolveram com esse

método, pois se lembraram da regra de três, aprendida na escola. Apesar de não

terem se lembrado, na questão 1, do diagnóstico de exemplos de utilização da

proporcionalidade ou do raciocínio proporcional, as alunas informaram verbalmente:

“professor eu não lembrei naquela hora, mas com um exemplo prático ficou mais fácil”.

Assim, aplicaram seu conhecimento sobre os procedimentos para o cálculo do valor

desconhecido por meio do produto cruzado. Perguntamos a elas se havia outra forma

de resolver a atividade, e Groove relatou que até havia tentado de outra forma, mas

não conseguiu e recorreu ao produto cruzado, como aponta seu protocolo nas Figuras

44 e 45.

Figura 44: Primeira tentativa de resolução da questão 3 - Groove

Fonte: Acervo pessoal

130

Figura 45: Segunda tentativa de resolução da questão 3 - Groove

Fonte: Acervo pessoal

Apenas duas participantes usaram a regra de três como procedimento de

cálculo, pois, segundo elas, “haviam lembrado”. Em análise em outras produções,

detectamos que quatro delas parecem ter dificuldades em analisar a situação e

identificar relações proporcionais entre grandezas, pois replicaram a medida da altura

do Senhor Baixo (seis clipes) para o Senhor Alto, como revela a Figura 46:

Figura 46: Resolução da questão 3 do questionário preliminar – Pejo

Fonte: Acervo pessoal

Além da resolução incorreta apontada anteriormente, 19 alunas (Ana Paula,

Angel, B, BA Sorriso, Babich, Binna, Fênix, Girassol, Jú, Mandala, Margarida, Tulipa,

Mariza Letícia, Moana, Nadia, Orquídea, Pejo, Regina e Vitória) resolveram o

problema usando a estratégia aditiva. Ao compararem as alturas do Senhor Baixo e

do Senhor Alto para descobrir o valor omisso, elas relataram que o Senhor Alto

possuía dois clipes a mais que o Senhor Baixo, ou seja, oito clipes, pois a maioria fez

mentalmente o cálculo, conforme podemos notar na resolução da aluna Pejo (Figura

47).

131

Figura 47: Resolução da questão 3 do questionário preliminar – Pejo

Fonte: Acervo pessoal

Ali percebemos o equívoco de Pejo e de outras, que optaram por resolver a

atividade dessa maneira, como podemos visualizar na imagem (Figura 48) retirada do

vídeo.

Figura 48: Resolução da questão 01 do questionário preliminar - Mandala

Fonte: Acervo pessoal

Depois da realização da questão, algumas das participantes nos apresentaram

argumentos como os de Mandala: “Eu achei que para resolver esse problema bastava

132

juntar dois clipes para chegar na altura do Senhor Alto, achei que era um problema

fácil demais” (referindo-se ao fato de ser um problema de adição). Assim como

Mandala, outras alunas declararam também acreditar que bastaria apenas adicionar

dois clipes para obter a altura do Senhor Alto. De acordo com trabalhos de Karplus,

Pulos e Stage (1983), os alunos por eles investigados – que frequentavam o

equivalente à Educação Básica de hoje – utilizaram uma generalização inadequada

da lógica das relações parte-todo: particularmente, usaram estratégias aditivas para

pensar na relação entre as duas grandezas, assim como fizeram as participantes de

nosso estudo.

Conjecturávamos desde o início que as estudantes possuíam, inicialmente

arraigado, o raciocínio aditivo e, durante o processo formativo, procuraríamos fazer

com que elas percebessem a necessidade de ampliá-lo. Esperávamos que nossas

discussões a respeito do raciocínio proporcional mostrassem que ele está

intimamente ligado às relações multiplicativas. Dessa maneira, em consonância com

as ideias de Lesh, Post e Behr (1988), concluímos que o raciocínio proporcional se

desenvolve de maneira gradativa, e ainda não estava plenamente desenvolvido pelo

grupo. Portanto, poderia ser ampliado.

A partir de tal conclusão, analisamos 80% das respostas incorretas, ou seja, 24

das 30 respostas, e 23 delas tiveram dificuldades em compreender o problema,

provavelmente, por se basear somente no raciocínio aditivo. Nesse caso, poderiam

pensar que tal fato garantiria a verificação da proporção em relação às alturas dos

Senhores Baixo e Alto. Segundo Post, Behr e Lesh (1995, p. 91), os alunos às vezes

apresentam respostas incorretas por não raciocinar de maneira qualitativa, ou seja,

por não analisar a covariação de grandezas antes de operar quantitativamente.

Acreditamos que esse pode ser o motivo pelo qual as participantes deste estudo

responderam à questão corretamente.

Procuramos então mapear o estudo com base nas ideias de Ball, Thames,

Phelps (2008) e verificamos inicialmente, no problema de valor omisso apresentado

às futuras professoras, o conhecimento das noções de proporcionalidade na

perspectiva do conhecimento comum do conteúdo. Revelaram-se ainda as eventuais

dificuldades que teriam, ao trabalhar com esse tema (conhecimento especializado do

conteúdo e conhecimento do conteúdo e estudantes).

Posteriormente, apresentamos a questão 4 do questionário preliminar: “No

último sábado à tarde, a família Smith foi para o teatro Starr e todos os 6 integrantes

133

entraram no cinema, pagando $ 10. A família West foi ver um filme no Odyssey e todos

os 4 entraram no cinema, pagando $ 7. Que teatro tem melhores preços na matinê de

sábado?”.

Essa questão, segundo Lamon (2005), é uma situação típica de comparação

envolvendo raciocínio proporcional, em que, segundo a autora, é dado um problema

com quatro quantidades, formando duas razões. A tarefa é descobrir se os dois

índices são equivalentes ou não. A questão envolve uma situação prática das

participantes, e há indicações de problemas dessa natureza nos PCN (BRASIL,1997).

Ao analisar os protocolos apresentados pelas participantes, detectamos que 17

das 30 alunas que resolveram a questão (Ana, Angel, B, BA Sorriso, Babich, Binna,

Carla, Docinho, Duda, Jú, Groove, Margarida, Moana, Nadia, Regina, Vitória e Tulipa)

optaram pela estratégia de cálculo do valor unitário. As participantes que resolveram

dessa forma associaram os valores pagos nas entradas com o número de integrantes

das respectivas famílias. Primeiro dividiram $ 10 por 6 e encontraram o valor

aproximado de $ 1,66 para a família Smith; em seguida, repetiram o procedimento

para a família West, ou seja, dividiram $ 7 por 4 e obtiveram o valor de $ 1,75, como

aponta a produção a seguir da futura professora Margarida, na Figura 49.

Figura 49: Resolução da questão 4 do questionário preliminar – Margarida

Fonte: Acervo pessoal

A participante acertou a resolução e justificou corretamente a questão, por meio

da comparação do valor unitário resultantes das divisões. Esse tipo de estratégia,

segundo Nesher e Sukenik (1991) e Pittalis, Christou e Papageorgiou (2003), é

informal, todavia deve ser associada à compreensão do raciocínio multiplicativo, pois,

segundo Pittalis, Christou e Papageorgiou (2003), apoiados em Singh (2000), a

estratégia de taxa unitária, utilizada sem tal compreensão, torna-se uma operação

quase exclusivamente mecânica.

134

Dentre elas uma participante (Babich) realizou adições sucessivas para

comparar os preços dos teatros, ou seja, a participante adicionou $1,75 para os 4

integrantes da família West e obteve o valor $ 7 pagos pela entrada no teatro Odyssey.

Em seguida realizou 6 adições de $ 1,65 para encontrar o valor pago pela família

Smith; chegou a $ 9,90, um valor aproximado, concluindo que a melhor opção seria

pelo teatro Starr, conforme aponta sua produção na Figura 50.

Figura 50: Resolução da questão 4 do questionário preliminar – Babich

Fonte: Acervo pessoal

Outra estudante, dentre essas 17 (BA Sorriso), registrou a quantidade de

integrantes da família nos numeradores das razões e os valores dos ingressos nos

denominadores; todavia, procedeu ao cálculo da divisão e chegou ao resultado – 1,67

e 1,75, como demonstra seu protocolo na Figura 51 em que a participante registrou 4

por 7 (na linguagem da aluna, seria 4 dividido por 7).

Figura 51: Resolução da questão 4 do questionário preliminar – BA Sorriso

Fonte: Acervo pessoal

Tais equívocos já eram esperados, uma vez que, como afirma Lamon (2005, p.

3), situações que se utilizam do raciocínio proporcional podem se mostrar como “[...]

um dos melhores indicadores de que um estudante chegou à compreensão dos

135

números racionais e dos conceitos multiplicativos relacionados”.

Stacey et al. (2001) relataram equívocos semelhantes acerca do conhecimento

específico e pedagógico de números racionais na representação decimal, em futuros

professores primários. Apontaram algumas categorias de erros – as mesmas

encontradas nesta investigação.

Os pesquisadores citados chamam a atenção para o fato de que 20% dos

futuros professores apresentavam limitações quando lidavam com a comparação de

números racionais na representação decimal. Para os autores, isso é preocupante,

uma vez que tais limitações poderiam ser transferidas para seus futuros alunos. Neste

estudo, tal identificação nos fez reservar espaços, na formação inicial, para refletir

sobre os números racionais nas representações fracionária e decimal, principalmente

para discutir questões relativas a sua utilização no fator de proporcionalidade.

Outras seis participantes (Ana Paula, Binna, Mariza Letícia, Orquídea e Tiana)

analisaram e compararam o total que cada família pagou, em vez de analisar a relação

entre os valores. As alunas realizaram o cálculo da multiplicação de 6 por 10 e de 4

por 7. Elas afirmaram que a melhor opção seria o teatro Odyssey, como aponta uma

das produções da futura professora Binna, na Figura 52.

Figura 52: Resolução da questão 4 do questionário preliminar – Binna

Fonte: Acervo pessoal

Para finalizarmos, sete alunas apenas registraram suas opções sem apresentar

justificativas. Dessas, quatro (Girassol, Hortência, Mandala e Pejo) optaram pelo

teatro Odyssey. Para chegar a essa conclusão as futuras professoras, provavelmente,

multiplicaram mentalmente as grandezas, assim como fizeram Ana Paula, Binna,

Mariza Letícia, Orquídea e Tiana, conforme produção de Pejo na Figura 53.

136

Figura 53: Resolução da questão 4 do questionário preliminar – Pejo

Fonte: Acervo pessoal

As três alunas restantes (Fênix, Nilma e Pocahontas), possivelmente,

realizaram mentalmente o cálculo entre as grandezas, assim como fizeram Ana,

Angel, B, BA Sorriso, Babich, Binna, Carla, Docinho, Duda, Jú, Groove, Margarida,

Moana, Nadia, Regina, Vitória e Tulipa, e optaram pelo teatro Star, como podemos

observar na Figura 54.

Figura 54: Resolução da questão 4 do questionário preliminar – Fênix

Fonte: Acervo pessoal

Detectamos, assim, como identificaram Greer e Mangan (1984), que os

números racionais na representação decimal podem ter gerado mais dificuldades do

que os números naturais. Por essa razão, acreditamos ser importante promover

discussões e reflexões que garantam que um futuro pedagogo observe a necessidade

de diversificar, além da classe de situações, o grau de complexidade do cálculo no

interior de uma mesma categoria, segundo apontam os estudos de Ball, Thames e

Phelps (2008).

Em consonância com os estudos de Post, Behr e Lesh (1995) e de Spinillo

(1992), podemos concluir também que situações de comparação cuja intenção é

identificar, entre duas razões, qual é maior ou se são iguais estão mais presentes no

cotidiano das crianças. Dessa forma, esse tipo de situação pode ser inserido nas

etapas iniciais de ensino, favorecendo maior compreensão dos conceitos de

proporção e, quem sabe até, evitando a mecanização pela aplicação do algoritmo.

137

Neste grupo investigado há preferência pela estratégia de busca da taxa

unitária, porém não podemos afirmar se as futuras professoras reconhecem outras

estratégias. Isso nos parece preocupante, uma vez que pesquisas de Nesher e

Sukenik (1991); Pittalis, Christou e Papageorgiou (2003); Post, Behr e Lesh (1995); e

Silvestre e Ponte (2009) afirmam que essa estratégia não garante o uso do raciocínio

proporcional.

Após a resolução das questões de valor omisso e comparação entre dois pares

de grandezas, decidimos verificar se as participantes reconheciam o raciocínio

proporcional em situações rotineiras. Nessas relações elas deveriam assinalar se

havia dependência e se poderiam ser diretamente proporcionais (DP) ou não

proporcionais (NP), conforme o Quadro 5, a seguir.

Quadro 5: Questão 5 do questionário preliminar

Dependência - Diretamente proporcionais (DP) ou Não Proporcional (NP) DP NP

a) A quantidade de pães comprados e o preço pago por eles.

b) A idade de uma pessoa e o número de calça que ela veste.

c) A idade de uma pessoa e seu peso.

d) A quantidade de ovos para uma receita de bolo e a quantidade de ovos para cinco receitas do mesmo bolo.

e) O salário de um trabalhador e o número de irmãos que esse trabalhador tem.

Nas respostas apresentadas, identificamos que 28 alunas responderam

corretamente, assinalando (DP) no item “a”, e apenas 02 (Mandala e Moana)

responderam (NP) para a primeira situação, pois não reconheceram a relação

proporcional entre quantidade e preço.

No item “b”, verificamos que 26 participantes assinalaram (NP), enquanto 04

delas (Binna, Carla, Hortência e Moana) assinalaram incorretamente (DP), pois para

elas havia uma relação de proporcionalidade entre idade e número de calça.

Já no item “c”, 24 futuras professoras registraram corretamente (NP) em seus

protocolos e 06 alunas (Binna, Duda, Groove, Hortência, Moana e Tiana) entendiam

que as grandezas idade e peso eram proporcionais e, assim, registraram em seus

protocolos de maneira incorreta (DP).

Vinte e três participantes apontaram como respostas corretas (DP) e sete

(Cami, Duda, Hortência, Pocahontas Mandala, Moana e Vitória) identificaram que

salário e vendas não eram proporcionais e assinaram (NP) para o item “d”.

Para o item “e”, 25 alunas assinalaram (DP) e as 05 restantes (Babich, Binna,

Fênix, Moana e Vitória) marcaram (NP) para a relação entre quantidades, ou seja, não

138

identificaram que havia uma relação de proporcionalidade envolvida.

Notamos, ao analisar as respostas das participantes nessas sete perguntas

objetivas, alto índice de acertos, ou seja, mais de 87% parecem ter identificado

problemas de proporcionalidade. No entanto, percebemos equívocos de certas alunas

e notamos, ainda, haver mais erros nas produções de Binna, Hortência e Moana, o

que nos levou a conjecturar que essas estudantes apresentaram dificuldades de

identificar o raciocínio proporcional na questão 5.

Para concluir nosso diagnóstico, precisávamos verificar se as participantes

reconheciam situações de não proporcionalidade, pois segundo o documento oficial

(BRASIL, 1997), é necessário identificar situações em que o que está em jogo é a não

proporcionalidade. O raciocínio proporcional pressupõe a distinção entre situações

proporcionais e não proporcionais (POST; BEHR; LESH, 1995, p. 91).

Portanto, apresentamos a questão 6. “Seu Manuel é vendedor de uma lojinha

de conveniência e recebe mensalmente R$ 850,00. Além de seu salário fixo, seu

Manuel recebe também 10% por cada venda feita. Responda:

a) quanto o vendedor deverá receber, se vender R$10000,00?

b) essa é uma situação de proporcionalidade, por quê?”

Ao analisar os registros das respostas, identificamos que 27 alunas

responderam corretamente o valor que o vendedor deveria ganhar (item a). E a

maioria optou por resolver a situação aritmeticamente, ou seja, calcular 10% de R$

10.000,00 e adicionar esse valor aos R$ 850,00, referentes ao valor fixo, como

apresentado no protocolo a seguir, na Figura 55.

Figura 55: Resolução do item “a da questão 6” – Duda

Fonte: Acervo pessoal

Notamos que, da mesma forma que a aluna Duda, a maioria das participantes

que respondeu corretamente parecia não ter preocupação em representar com a

mesma correção, do ponto de vista da matemática, suas resoluções. Dentre elas, é

importante destacar as alunas que tentaram utilizar-se do produto cruzado e não

conseguiram representar corretamente o esquema de resolução. B, por exemplo,

encontrou o valor correto mentalmente, mas não conseguiu encontrá-lo quando se

utilizou do esquema da quarta proporcional.

139

Figura 56: Resolução do item “a” da questão 6 – B

Fonte: Acervo pessoal

Quando questionamos a aluna sobre o esquema utilizado, ela afirmou:

Eu primeiro fiz de cabeça e sabia que 10% daria mil e o total seria mil oitocentos e cinquenta, mas precisava mostrar a conta. Tentei fazer por regra de três aqui [apontando o dedo para o esquema 1], mas me compliquei e não consegui, então escrevi a conta que fiz de cabeça [referindo-se à representação 2] e escrevi a resposta aqui [apontando para 3].

A aluna, depois de resolver aritmeticamente, tentou representar pelo esquema

do produto cruzado; todavia, parecia não compreender se tratar de duas variáveis de

naturezas diferentes, ao utilizar propriedades ligadas à álgebra, para obter o valor da

variável desconhecida por meio da aplicação do produto cruzado.

Além disso, outras duas participantes (Binna e Regina) não identificaram a não

proporcionalidade envolvida, e uma (Margarida) deixou esse item em branco. A seguir

apresentamos a resposta de Regina, expressa na Figura 57.

Figura 57: Resolução do item “a” da questão 6 - Regina

Fonte: Acervo pessoal

Para o item “b” não houve nenhum acerto, ou seja, 27 responderam ser uma

questão de proporcionalidade, como aponta a estudante B na Figura 58, a seguir.

140

Figura 58: Resolução do item “b” da questão 6 – B

Fonte: Acervo pessoal

Percebemos que a futura professora citada, bem como a maioria, sabe resolver

a questão, porém elas associaram o simples fato de aumentarem as duas grandezas

como proporcionalidade.

Os resultados do diagnóstico para esse item se assemelharam aos de Nunes

e Costa (2016). Assim como os pesquisadores, identificamos as dificuldades das

participantes deste estudo no reconhecimento de situações não proporcionais e

pareceu-nos ser limitada sua capacidade de reconhecer como não proporcional uma

relação aditiva entre as grandezas. Ao desenvolver o questionário preliminar,

detectamos dificuldades das estudantes em lidar com situações proporcionais e,

principalmente, na diferenciação entre proporcionalidade e não proporcionalidade.

Percebemos ainda que as participantes, possivelmente, teriam problemas em

sua atividade profissional ao ensinar esse assunto, se não discutíssemos e

refletíssemos acerca dessas dificuldades, relacionando-as com sua ocorrência no

ensino. Afinal, consideramos, assim como Ball, Thames e Phelps (2008), que o

conhecimento comum do conteúdo é condição necessária para o desenvolvimento

das demais categorias. Portanto, com base nos resultados obtidos, entendemos que

seria oportuno, para o desenvolvimento do raciocínio proporcional, promover novos

estudos com situações que as levassem a refletir acerca do reconhecimento de

situações proporcionais e não proporcionais.

A partir dos dados aqui apresentados, planejamos e executamos um trabalho

de formação inicial, levando em conta a necessidade de discutir e refletir de forma

colaborativa tanto sobre a aprendizagem do tema por parte das futuras professoras

como sobre o seu ensino nos anos iniciais. Buscamos alcançá-los por meio de análise

de casos de ensino e vivências de diferentes estratégias e abordagens de ensino

descritas no próximo capítulo.

141

CAPÍTULO 5 - ANÁLISE DA FORMAÇÃO

Para realizar a formação, escolhemos uma sala de aula comum com dimensões

de aproximadamente 10 metros de comprimento por 5 de largura. As salas estavam

equipadas com carteiras universitárias (em torno de 60 carteiras), 5 ventiladores, uma

lousa, um apagador e giz para nosso uso. Solicitamos às alunas que sentassem em

círculos, visando favorecer as discussões, conforme podemos observar pelas Figuras

59, 60 e 61.

Figura 59: Alunas do lado direito do professor-pesquisador olhando para a imagem

Fonte: Acervo pessoal

Figura 60: Alunas do lado esquerdo do professor-pesquisador olhando para a imagem

Fonte: Acervo pessoal

Figura 61: Alunas do centro do professor-pesquisador olhando para a imagem

Fonte: Acervo pessoal

142

Após a organização da turma e com base nas respostas apresentadas no

capítulo anterior, iniciamos a formação explicitando às alunas, brevemente, acerca do

raciocínio proporcional e sua importância no currículo de Matemática da Educação

Básica. Informamos a elas que desenvolver esse tipo de raciocínio é uma das metas

que o futuro professor precisa almejar. Ademais, que esse tipo de raciocínio é

necessário para a compreensão das relações multiplicativas, fundamental para a

resolução de muitos problemas.

Relatamos que muitas situações cotidianas requerem resolver e identificar

problemas de proporcionalidade: a interpretação da escala de um mapa ou da planta

de uma casa, a adaptação de uma receita culinária para mais pessoas ou a

comparação de preços de produto em quantidades diferentes são alguns exemplos

que ilustram o uso da noção de proporcionalidade no dia a dia e que farão parte dos

nossos estudos posteriores.

Informamos às futuras professoras que, apesar de sua larga aplicação, o

raciocínio proporcional é difícil de definir em duas ou três frases simples, pois é um

processo que envolve tanto as relações qualitativas quanto as quantitativas. E, por

meio da formação, pretendíamos explorar tais relações. Iniciamos então a atividade

introdutória.

5.1 Atividade introdutória (alterando a foto do professor)

A atividade introdutória “Alterando a foto do professor”, conforme mencionamos

no capitulo voltado para a descrição das atividades, foi a primeira atividade do curso

de formação. Apresentamos uma situação que envolvia relações entre comprimento

e largura, em que procuramos desenvolver ideias envolvendo raciocínio proporcional

por meio da exposição da imagem apresentada na Figura 62.

Figura 62: Foto selecionada para a realização da atividade introdutória

Fonte: Acervo pessoal

143

A partir da figura reproduzida no datashow, realizamos alguns questionamentos

com as alunas. Eis o diálogo:

Professor-pesquisador: Por favor, olhem a figura, vocês conhecem tal ferramenta? Participantes: Sim, professor, usamos para tratar imagens. Professor-pesquisador: Olha o que vou fazer na figura [posicionando o mouse do computador no vértice inferior do lado esquerdo e arrastando, para aumentar proporcionalmente a foto conforme figura seguinte] ampliei a figura?

Figura 63: Alteração realizada pelo professor-pesquisador

Fonte: Acervo pessoal

Professor-pesquisador: Mudou alguma coisa? Participantes: Sim. Professor-pesquisador: O que eu fiz na figura? Babich: Aumentou por completo. Professor-pesquisador: Então, para vocês, [a figura] aumentou por igual? Participantes: Sim. Ana: Você pegou a ponta da figura e arrastou na diagonal. Professor-pesquisador: Exatamente. Babich: Se você pegar do lado e arrastar vai mudar o formato. Professor-pesquisador: Vamos fazer o que disseram para ver o que acontece.

Neste momento, selecionamos a figura e realizamos com o mouse um

movimento no vértice inferior lado direito da imagem, com ênfase maior para a

horizontal da foto, como podemos notar na Figura 64.

Figura 64: Professor-pesquisador expandindo a foto lateralmente

Fonte: Acervo pessoal

144

Groove: Você engordou, seu rosto ficou enorme. Babich: Você ficou achatado (risos). Professor-pesquisador: O que ocorreu com a figura? Participantes: Mudou o foco. Professor-pesquisador: Como? Expliquem melhor! Nilma: Mexeu na proporção da figura. Ana: Mudou a estrutura da figura. Professor-pesquisador: Deixa-me mexer novamente [selecionei o vértice inferior lado esquerdo da foto e arrastei com o mouse do computador diagonalmente, porém com direção maior para baixo, deixando a foto alongada como é possível notar na figura 65], e agora?

Figura 65: Professor-pesquisador expandindo a foto lateralmente

Fonte: Acervo pessoal

Groove: Ficou alongado, bem magrinho? Participantes: Tem mais altura que largura Moana: Alterou a proporção. Professor-pesquisador: Vou colocar as duas figuras essa e a original lado a lado, o que vocês percebem? Participantes: A figura ficou esticada. Professor-pesquisador: Pelo que vocês falaram, vocês verificaram que, à medida que mexo na figura, ora ela fica achatada, ora fica esticada. Por que acontece isso? Participantes: Por que altera a proporção? Professor-pesquisador: Vocês percebem alguma relação? Participantes: Sim, de proporcionalidade. Professor-pesquisador: Vamos registrar na lousa exemplos do que estão me falando.

Apresentamos, então, na lousa uma figura retangular com seis (6u) de

comprimento por três (3u) de altura, conforme Figura 66.

145

Figura 66: Professor-pesquisador apresentando o exemplo uma figura retangular

Fonte: Acervo pessoal

Em seguida, construímos ao lado outra figura com doze (12u) de comprimento

por três (3u) de altura e perguntou: “A figura manteve a mesma estrutura, ou seja,

permaneceu na mesma proporção?”. As alunas disseram que não, pois apenas

aumentou o comprimento. E a participante Cami disse: “Dobrou o comprimento e a

altura permaneceu igual”. Perguntamos: “O que temos que fazer para a figura

permanecer com as mesmas relações entre as medidas?”. As alunas (em coro)

informaram que deveria aumentar a altura para seis (6u), ou seja, dobrar a altura.

Nesse instante, a participante Ana Paula relatou: “É mais ou menos como

quando você vai fazer a planta de uma casa e você associa um metro a um centímetro

para poder reduzir o tamanho, vai ficar com a mesma proporção, porém com o

tamanho menor”. Podemos notar o gesto feito pela aluna na Figura 67.

Figura 67: Relato de Ana Paula - proporcionalidade envolvida na redução

Fonte: Acervo pessoal

146

Após o exemplo apresentado pela aluna, informamos que em documentos

oficiais como os PCN, por exemplo, há indicações para que o professor desenvolva o

trabalho com ampliação e redução, por meio de mapas, escalas e figuras. A

pesquisadora Angélica complementou, dizendo que, na construção de uma casa, a

planta tem que ser em tamanho menor, porém deve seguir a proporção.

Posteriormente, solicitamos às alunas mais exemplos de situações que

envolvessem a ideia de proporcionalidade. Tulipa informou que “em uma malha de

papel quadriculado você faz em um tamanho menor e pode aumentar o tamanho de

um desenho, eu faço isso para bordar”, como podemos notar no gesto representado

na Figura 68.

Figura 68: Tulipa relatando sobre um exemplo de proporcionalidade

Fonte: Acervo pessoal

Em seguida, visando sistematizar as ideias, perguntamos: “Se eu tiver uma

imagem e diminuir um lado, o que terei que fazer com o outro?”. As participantes

responderam: “diminuir da mesma forma, ou seja, na mesma proporção”. Duda, em

seguida, nos questionou sobre outro exemplo: “Em uma receita culinária também faço

isso, sou boleira, faço bolo (risos). Cara, agora me passou pela cabeça que uso as

mesmas ideias nas quantidades”. Na Figura 69, percebemos a reação de Duda, ao

relatar e descobrir que se trata da mesma ideia.

147

Figura 69: Reação de Duda ao fazer seu relato

Fonte: Acervo pessoal

Dissemos que a ideia era exatamente essa e apresentamos um exemplo “Se

tenho uma receita para duas pessoas, se vocês quiserem fazer para quatro pessoas,

o que devem fazer?”. Duda disse: “dobrar todos os ingredientes”.

Babich, em seguida, apresentou outro exemplo: “Vou fazer um macarrão e na

receita diz usar 100 gramas por pessoa, se eu for fazer para quatro pessoas devo

usar 400 gramas e assim por diante”. A pesquisadora Angélica perguntou para as

alunas: “Se tiver que aumentar esta mesma receita para oito pessoas, como ficaria?

E para seis, como ficaria?”.

As alunas relataram ser mais difícil aumentar a receita para seis pessoas, pois

a partir dos ingredientes para quatro pessoas, para preparar para oito bastaria apenas

dobrar a quantidade de cada um dos ingredientes, já para seis o trabalho se tornaria

mais complicado. O grupo discutiu por alguns instantes e. ao final, Duda relatou nesse

momento: “Basta usar a metade da metade, ou seja, a metade de oito seria quatro e

a metade de quatro seria dois. Se sei para oito pessoas e para quatro pessoas,

consigo saber para duas e somar a quantidade para quatro com a quantidade para

duas”.

Percebemos nas afirmações das participantes que elas conhecem as

estratégias do tipo "up down", que, normalmente, nessa situação, são as mais

requisitadas, conforme apontam Lamon (2005) e Post, Behr e Lesh (1995).

A pesquisadora Angélica relatou que os exemplos apresentados por elas são

situações do dia a dia e, muitas vezes, não os trazemos para escola. Porém, nossa

intenção, neste trabalho, é trazer os conhecimentos da prática para a escola, para

compreender uma ideia que é fundamental na vida e a usamos para muitas coisas,

que é o raciocínio proporcional.

148

Ademais, a pesquisadora comentou que às vezes erramos por não o conhecer.

Nesse momento, Tulipa tomou a palavra e disse: “Eu não estou acreditando que

quando respondi o questionário lhe disse que não sabia o que é raciocínio

proporcional, eu tinha conhecimento do que era isso!”.

Figura 70: Tulipa ao relatar e perceber que possuía conhecimento do tema

Fonte: Acervo pessoal

Pocahontas então disse: “Então pelo que vi esse raciocínio vai nos fazer pensar

mais rápido para resolver algumas situações como nas receitas de bolo”.

Novamente a pesquisadora Angélica tomou a palavra e relatou que o raciocínio

proporcional é uma das principais ideias em matemática e que é importante que as

participantes conheçam tais conceitos. Além disso, informou às futuras professoras

que também sabiam conhecer quando não há proporcionalidade envolvida. Ela

completou, relatando que, conforme elas mesmas haviam observado na atividade

alterando a foto do professor, que não basta simplesmente aumentar

desordenadamente as grandezas.

Em seguida Babich apresentou um exemplo:

Babich: Um exemplo que eu estava pensando de [situação] proporcional é quando a pessoa toma um ônibus. Acho que o preço do ônibus e o que ela andou é proporcional. Pesquisadora Angélica: Você está se referindo a situação real ou fictícia? Babich: Real. Pesquisadora Angélica: Se é real, se pegamos o mesmo ônibus, pagamos o mesmo valor, certo? Todos: Certo. Duda: Acho que não é proporcional não, pois pagamos o mesmo valor, mas a distância não é a mesma, cada um desce em um ponto. Groove: Concordo com Duda, todo mundo paga a mesma coisa e cada um anda o que lhe interessa, ninguém paga só pelo que andou. Fora os idosos que não pagam (risos).

149

O grupo continuou discutindo a respeito de tal situação e chegou à conclusão

que essa não seria uma situação proporcional.

Tal observação nos fez perceber que a aluna Babich até aquele momento não

havia compreendido as ideias do raciocínio proporcional, mas considerávamos que

nossas discussões e reflexões ampliariam as possibilidades para tal compreensão.

Ao analisar o debate gerado a partir da vivência desta proposta relativa ao

conhecimento para o ensino do raciocínio proporcional, observamos que a maioria

das participantes nos apresentaram exemplos encontrados no cotidiano. Todavia,

nem todas as futuras professoras pareciam estar prontas para selecionar exemplos e

ilustrações que pudessem facilitar a compreensão desse conteúdo por alunos dos

anos iniciais do Ensino Fundamental. Foi possível notar que algumas delas, como

Babich, por exemplo, não identificam com clareza exemplos de relações de

proporcionalidade, e isso parecia estar ligado a limitações no domínio do conteúdo

específico da temática. A esse respeito, concordamos com Ball, Thames e Phelps

(2008), quando afirmam que tal fato pode implicar em conhecimentos que não

favoreçam seu ensino.

Identificamos, segundo a perspectiva de Ball, Thames e Phelps (2008), os

possíveis conhecimentos das participantes: algumas delas pareciam desconhecer o

que era o raciocínio proporcional. Já outras pareciam apenas não relacionar o nome

da temática ao que sabiam, como foi o caso de Tulipa, citado anteriormente, no

questionário preliminar. Pudemos identificar que, na discussão, ela percebeu do que

se tratava a temática. A Figura 71 revela o protocolo que aponta a falta de

conhecimento da estudante ao responder o questionário preliminar.

Figura 71: Resolução da questão 01 do questionário preliminar - Tulipa

Fonte: Acervo pessoal

Dessa forma, acreditamos que a discussão e a reflexão coletivas a respeito da

presença de proporcionalidade favoreceram a compreensão das participantes sobre

150

a temática. E, da mesma forma que Tulipa, outras futuras professoras também

puderam compreender melhor o assunto a partir do debate coletivo. Visando ampliar

os conhecimentos das participantes, propusemos seguir com a atividade 1.

5.2 A atividade 1

A atividade 1 apresentava a seguinte situação, revelada na Figura 72.

Figura 72: Imagem da atividade 1

Fonte: Elaboração própria

Nosso propósito era que as participantes reconhecessem a proporcionalidade

entre a medida de todos lados correspondentes da figura, ao alterá-la na malha

quadriculada (BRASIL, 2017). Essa atividade teve 4 itens e a participação de 24

alunas. A seguir apresentamos a análise detalhada do que foi desenvolvido em cada

um dos itens e as reflexões coletivas decorrentes da sua discussão.

5.2.1 O item “a” da atividade 1

Notamos que nem todas as alunas compreenderam o solicitado no primeiro

item. Binna, por exemplo, questionou: “Professor, os quadradinhos de fora devem ser

aumentados também?”. Ao notar tal dificuldade de compreensão, chamamos a

151

atenção do grupo para o fato de “que a ampliação deveria ser realizada observando

as dimensões da figura, utilizando a medida do quadradinho como referência”.

Notamos que, ao construir suas figuras, as estudantes para professora não

tiveram grandes dificuldades, ou seja, 100% delas obtiveram êxito na resolução. As

Figuras 73 e 74 apresentam a produção da futura professora Margarida.

Figura 73: Produção de Margarida do primeiro item da atividade 1

Fonte: Acervo pessoal

Figura 74: Margarida mostrando ao professor formador sua produção

Fonte: Acervo pessoal

Ao percorrermos a sala, questionamos o grupo quanto às dificuldades

encontradas por eles. Nesse momento Jú relatou que, inicialmente, teve dificuldades

com o vértice central do teto da casa:

“Eu achei que era para colocar no meio dos quadrinhos a figura, aí o teto não daria certo, cairia no meio do quadrinho, então eu percebi que não dependia de qual local eu construiria a figura, era apenas para fazê-la com o dobro da figura original [referindo-se ao fato dela ter dobrado a medida de todos os lados da figura]”.

152

A seguir apresentamos, na Figura 75, a imagem que retrata o relato da

estudante.

Figura 75: Jú ao explicar sua dificuldade inicial do item “a” da atividade 1

Fonte: Acervo pessoal

Em seguida solicitamos a elas que fizessem o item “b”.

5.2.2 O item “b” da atividade 1

Notamos que a maioria delas reduziu corretamente a metade de cada lado. A

Figura 76 mostra a estudante Docinho resolvendo esse item.

Figura 76: Produção do item “b” da atividade1 – Docinho

Fonte: Acervo pessoal

No entanto, duas participantes (Mandala e Moana) reduziram apenas a base

da “casa” e deixaram o “telhado” com as mesmas dimensões da figura inicial, como

notamos a seguir no protocolo de Mandala, na Figura 77.

153

Figura 77: Produção do item “b” da atividade1 - Mandala

Fonte: Acervo pessoal

Ao observarmos que essas participantes se equivocaram na redução da figura,

perguntamos se elas haviam reduzido corretamente, e elas relataram que sim.

Novamente chamamos a atenção das alunas para detectarem o erro: pediu que

comparassem o telhado da figura construída com o da figura original, porém, nesse

momento elas ainda não perceberam nenhuma diferença. Durante a resolução elas

pareciam ainda não terem compreendido as características de figuras proporcionais.

Mesmo observando tais equívocos, optamos por realizar a discussão somente após a

resolução de todos os outros itens, por considerarmos que seria interessante que o

grupo todo vivenciasse todas as propostas antes. A seguir apresentamos o item “c”

da atividade 1.

5.2.3 O item “c” da atividade 1

Analisando a resolução das alunas, observamos que algumas delas, como

Margarida, Ana e Groove, achavam que deveriam aumentar a figura em dois

centímetros e meio, em vez de duas vezes e meia a medida de cada lado. Depois de

esclarecer que o aumento seria de duas vezes e meia, Tulipa respondeu: “aumentar

mais que a letra a, que era duas vezes”. Perguntamos: “Então, se é um aumento de

duas vezes e meia, o que isso significa?”. A aluna disse: “Já entendi o que é para

fazer”. Novamente tomamos a palavra, para saber se não havia mais dúvidas. As

demais participantes não se pronunciaram naquele momento.

Ao analisar os protocolos e os relatos de vídeo acerca do item c da atividade,

identificamos que a maioria delas, como Jú, Cami e Orquídea, acertaram a atividade,

ou seja, apesar das dificuldades iniciais, conseguiram concluí-la com êxito.

Dentre elas, Jú chamou-nos próximo a sua mesa e perguntou: “Esse meio é

154

metade da casinha?”. Perguntamos para aluna: “Se numa dimensão tem quatro, o que

significa um aumento de duas vezes e meia essa medida?”. Jú disse: “Seria no caso

duas casas e mais metade da casa”. Questionamos: “Jú, então com quanto ficará a

base da casinha?”. Jú pensou e contou mentalmente as unidades de comprimento e,

em seguida, respondeu: “Dez”. Solicitamos que ela olhasse a sua figura e verificasse,

conforme podemos observar na imagem seguinte, na Figura 78.

Figura 78: Jú, após perceber seu erro - posterior ao diálogo

Fonte: Acervo pessoal

A futura professora realizou a contagem das unidades de comprimento,

percebeu o equívoco, pois havia triplicado a figura, e a reconstruiu corretamente.

Notamos que a participante utilizou em seu relato a estratégia do tipo "up down", que

envolve a junção de uma multiplicação com adição, ao somar a metade do

comprimento com o seu dobro. Percebemos, assim, como nos informam Lamon

(2005) e Post, Behr e Lesh (1995), que essa foi a estratégia mais requisitada por ela

e pelas demais alunas que realizaram de forma correta o item c da atividade. A Figura

79 aponta a resolução de Jú e o registro de sua contagem ao lado.

155

Figura 79: Produção de Jú após perceber o erro e refazer o item “c”

Fonte: Acervo pessoal

As outras oito estudantes para professora resolveram o terceiro item de forma

incorreta, e demonstraram dificuldades com números racionais na representação

decimal. Uma delas foi Binna, que confirmou nossas impressões: “Professor, tenho

muita dificuldade em trabalhar com números com vírgula e frações”. Estudos como os

de Norton (2005) relatam que um problema dos alunos, ao se depararem com

questões que envolvem o raciocínio proporcional, é a falta de compreensão dos

números racionais. O autor propõe o trabalho com frações e o uso de diferentes

representações (fracionária, decimal, figural entre outras) em problemas envolvendo

proporcionalidade.

Além do que foi descrito aqui, outras duas futuras professoras, B e Binna,

triplicaram a largura e a altura da casa e aumentaram corretamente o teto, a partir do

vértice, para cinco unidades de comprimento da diagonal do quadrado, conforme

produção de Binna a seguir, ilustrada na Figura 80.

Figura 80: Protocolo de Binna - item “c” da atividade1

Fonte: Acervo pessoal

156

As participantes se confundiram ao construir a base da figura e relataram

também ter dificuldades com números racionais na representação decimal e

fracionária. Ademais, detectamos que duas dessas alunas (Babich e Ana) triplicaram

a figura por completo.

Três alunas: Vitória, Mandala e Fênix construíram uma imagem três vezes e

meia maior que a figura original, conforme a Figura 81:

Figura 81: Protocolo de Vitória - item “c” da atividade1

Fonte: Acervo pessoal

A estudante parece ter usado a estratégia “up down”. Indicou corretamente que

o dobro teria 8 unidades de comprimento e que a metade seria dividida por 2. Todavia,

na última linha de seu registro a participante indicou “duas casas 8 e ½ casa 2”;

bastava apenas adicionar corretamente os valores.

Já Moana registrou corretamente dez quadrinhos nas bases da figura; no

entanto, se confundiu, ao construir o teto da casa, e não percebeu que a figura havia

se desconfigurado da figura original, como é possível notar em sua produção na Figura

82.

157

Figura 82: Protocolo de Moana - item “c” da atividade1

Fonte: Acervo pessoal

Notamos que essas alunas não relacionaram suas produções com a atividade

introdutória, na qual, quando a imagem do professor era alterada de forma

desproporcional, as dimensões ficavam desconfiguradas, ou seja, não havia relação

de proporcionalidade.

Ao analisar os protocolos das alunas que erraram o problema, percebemos que

elas não apresentaram as características necessárias para o raciocínio proporcional

(identificadas no início da atividade). Detectamos que essas futuras professoras não

relacionaram a presente atividade com a atividade "Alterando o rosto do professor” e

tiveram dificuldades para identificar a proporcionalidade. Além disso, percebemos que

elas não compreenderam a covariação entre as grandezas (largura e altura) e, por

fim, não conseguiram resolver a situação proposta com números racionais nas

representações decimal e fracionária.

A seguir expomos o item “d” da atividade 1.

5.2.4 O item “d” da atividade1

No item “d” foi solicitado que as alunas obtivessem um quarto da figura, e

notamos, inicialmente, que elas apresentaram dificuldades de compreender do que se

tratava um quarto. Nesse momento, depois do questionamento das participantes,

pedimos que o grupo exemplificasse o significado de um quarto, utilizando-se de

158

alguns exemplos da vida cotidiana.

Ao debruçar-nos sobre os protocolos, identificamos que metade das

participantes investigadas resolveram corretamente o que lhes foi solicitado, dentre

elas: Margarida, Sempre Viva, Orquídea e Groove. A seguir apresentamos na Figura

83 um dos protocolos, o da participante Sempre Viva.

Figura 83: Protocolo de Sempre Viva – item “d” da atividade1

Fonte: Acervo pessoal

Notamos que nove futuras professoras erraram o problema, três reduziram

corretamente as bases da figura, no entanto, tiveram dificuldades no teto, pois

deveriam reduzi-lo ao meio, e não a um quarto, como mostra a Figura 84.

Figura 84: Protocolo de Duda - item “d” da atividade1

Fonte: Acervo pessoal

Outras três reduziram a figura ao meio, como apresentamos no protocolo da

aluna Tulipa, na Figura 85.

Figura 85: Protocolo de Tulipa - item “d” da atividade1

Fonte: Acervo pessoal

As três restantes representaram as metades das bases e um quarto do teto,

conforme é possível verificar a seguir, na Figura 86.

Figura 86: Protocolo de Marisa Letícia- item “d” da atividade1

Fonte: Acervo pessoal

159

Entendemos que as nove participantes restantes não compreendiam ainda as

propriedades que envolvem a ampliação e a redução de figuras. Os professores-

pesquisadores realizaram, então, a sistematização da atividade 1.

5.2.5 Sistematização da atividade 1

Os professores-pesquisadores, ao sistematizarem as ideias envolvidas na

atividade 1, retomaram o conceito de ampliação e redução de figuras a partir da

experiência com a foto do professor.

Nesse momento, a pesquisadora Angélica chamou a atenção para o fato de

que as participantes poderiam começar suas produções por qualquer parte da malha

quadriculada. Em seguida, questionou as alunas sobre como deveriam construir as

figuras para responder aos itens “a” e “b” (dobro da medida e metade da medida da

figura dada).

Elas relaram que fizeram suas construções por partes, deram instruções, e a

pesquisadora, com base nos seus relatos, produziu a imagem na lousa, como mostra

a seguir a Figura 87.

Figura 87: Pesquisadora Angélica sistematizando os itens “a” e “b” da atividade 1

Fonte: Acervo pessoal

No item “c” havíamos identificado que algumas alunas apresentaram dúvidas

se era para somar dois centímetros e meio ou duplicar duas vezes e meia. As alunas

160

nos questionaram, e as orientamos a ampliar duas vezes e meia, pois não teria régua

para aumentar dois e meio [referindo-se à medida em centímetros]. Nessa hora

percebemos que algumas estudantes pretendiam utilizar o princípio aditivo, e não o

multiplicativo, o que caracteriza que o raciocínio proporcional ainda não estava claro

para elas.

Pudemos notar que as dúvidas surgidas durante a resolução da atividade eram

analisadas por algumas das integrantes do grupo. Por exemplo, observando o relato

de Jú: “inicialmente usei a figura inicial para dobrar e, depois, usei a figura com

dimensões já ampliadas para dobrar novamente e percebi que a figura era muito

grande. Agora eu vejo que aumentei quatro vezes”.

Outras estudantes, como Duda, por exemplo, declararam que, inicialmente,

usaram como referência a parte de fora da figura, ou seja, pretendiam que a figura a

ser construída tivesse o mesmo número de quadrinhos do lado de fora da figura, como

os da figura inicial. Somente após ouvirem que a ampliação era apenas da figura inicial

e que deveriam apenas considerar a parte interna da figura representada na malha,

conseguiram realizar suas produções.

E, por fim, no item “d” algumas estudantes, como Pejo, por exemplo, disseram

que no início tiveram dificuldades para compreender o que viria a ser um quarto de

uma medida. Além disso, Tulipa também relatou que inicialmente achava difícil

resolver esse último item, pois ela pensava que fosse preciso diminuir a figura em uma

parte de quatro, e ficariam três partes63. Nesse momento a pesquisadora-formadora

realizou alguns questionamentos para aluna, a fim de que ela compreendesse o que

significava 1/4 para ela; apresentou-lhe alguns exemplos, para que ela entendesse

que sua dificuldade era em decorrência de ela enxergar a relação da parte e do todo,

somente do ponto de vista procedimental. Ao final, as futuras professoras mostraram-

se mais confiantes em lidar com os números racionais (frações e decimais).

Em seguida, os formadores perceberam que grande parte das participantes

possuía tais dificuldades e explanaram conceitos de fração, apresentando algumas

situações do cotidiano. Posteriormente ressaltaram a importância de resolver

situações de proporcionalidade, apropriando-se das diferentes representações e

situações dos números racionais (frações), como destacam os estudos de Fernández

e Llinares, (2012); Lamon (2005); Lesh, Post e Behr (1988); e Norton, (2005).

63 Aqui parece que ficou evidente que a futura professora Tulipa tinha muito presente a concepção parte-todo da fração.

161

Detectamos também que algumas estudantes erraram a construção do teto da

figura, pois achavam que deveriam fazer um quarto da metade produzida no item

anterior, ou seja, a referência para elas era a figura anterior, e não a principal. Estudos

como os de Caraça (1952) alertam para a importância de olhar para a unidade de

referência e consideram fundamental, para a construção do número racional, a

escolha da unidade. Ademais, Escolano e Gairin (2005), apoiados em Caraça, quando

discutem a construção do conceito de fração, criticam a predominância de situações

parte-todo, presentes no ensino, e apontam obstáculos provocados por essa

abordagem.

Percebemos tal problema e alertamos: “Gente, a altura do teto da figura inicial

é dois comprimentos da diagonal dos quadradinhos”. Em seguida perguntamos: “O

que significava para vocês um quarto dessa figura?”. Babich respondeu: “um

quadradinho”. Questionamos novamente: “qual é a metade de dois quadrinhos?”. As

alunas responderam: “um”. Em seguida, chamamos a atenção das participantes

quanto à metade de um quadrinho”. Tulipa respondeu: “meio”. Quisemos saber delas

qual seria a conclusão. Babich disse: “a altura deve ser meio quadradinho”.

Posteriormente apresentamos a resolução na lousa, como mostra a Figura 88.

Figura 88: Professor-pesquisador sistematizando o item “d”

Fonte: Acervo pessoal

162

Corroboramos as afirmações de diversos autores, como: Fernández e Llinares

(2012); Lamon (2005); Schliemann (1998); Silvestre e Ponte (2009; e Spinillo (1992),

que sugerem que no estabelecimento entre relações apareçam as ideias de metade,

dobro, triplo e assim por diante.

Entendemos que é fundamental que as participantes de nossa pesquisa

reconheçam tal forma de resolução (comum do conteúdo), pois estudos como o de

Lamon (2005) e de Silva (2012) apontam que crianças em níveis mais elementares

usam ideias de metade e de dobro para resolver problemas de proporcionalidade.

Essas estudantes precisam conhecer as formas de resolução de problemas

pelas crianças, uma vez que no futuro provavelmente lidarão com tais procedimentos.

E, para isso, acreditamos que as futuras professoras devam ter bem definidos os

conhecimentos acerca das categorias (especializado do conteúdo e do conteúdo e

alunos) propostas por Ball, Thames e Phelps (2008), visando melhorar seus olhares

profissionais. Ao identificar tais lacunas, apresentamos atividades que pudessem

proporcionar ideias para sanar as dúvidas das participantes no tocante ao trabalho

com decimais e frações.

Assim, apresentamos a atividade 2.

5.3 A atividade 2

Como já mencionamos aqui, a atividade 2 foi proposta com o auxílio de um

recurso computacional e, em seguida, explicamos a atividade, relacionando-a com as

atividades 1 e alterando o rosto do professor.

Feito isso, entregamos um protocolo (APÊNDICE E) e pedimos que após a

realização respondessem a três questões: Questão 1 - Na atividade proporcionalidade

e semelhança quais dificuldades você encontrou?; Questão 2 – Quais relações você

poderia identificar na atividade?; Questão 3 – Em sua opinião seria possível trabalhar

com os alunos dos anos iniciais? Em caso afirmativo, explique.

Solicitamos que as participantes ligassem o monitor, pois nele já iriam se

deparar com uma imagem semelhante à apresentada na Figura 89.

163

Figura 89: Imagem apresentada na tela do computador das participantes

Fonte: http://rived.mec.gov.br/atividades/matematica/proporcionalidde/AtividadeMat.html

Pedimos que lessem a proposta em voz alta, elas leram a atividade e, em

seguida, pedimos que clicassem na seta localizada no lado direito da figura.

Perguntamos o que ocorreu com a figura, e as participantes responderam que

aumentou a foto do menino, conforme a figura seguinte (Figura 90).

Figura 90: Primeira imagem apresentada na tela do computador

Fonte: http://rived.mec.gov.br/atividades/matematica/proporcionalidde/AtividadeMat.html

164

Confirmamos no datashow acerca do que relataram e, em seguida solicitamos

a elas que clicassem novamente na seta; provavelmente verificaram uma imagem

como a da Figura 91.

Figura 91: Segunda imagem apresentada na tela do computador

Fonte: http://rived.mec.gov.br/atividades/matematica/proporcionalidde/AtividadeMat.html

Ao verificarem no computador a imagem reproduzida na figura anterior,

pedimos para as participantes mexerem nos sinais de soma e subtração livremente,

e fizemos a seguinte pergunta: “O que ocorreu com a figura, ao clicarem nos

símbolos?”. As futuras professoras responderam: “Na medida em que vamos

mexendo nas pontas a imagem do menino aumenta ou diminui para esquerda ou para

direita”. Então perguntamos se elas se lembraram de algo já visto, e Sempre Viva

respondeu: “A atividade da foto do senhor”, referindo-se à atividade introdutória,

alterando a imagem do professor. Confirmamos a relação dessa atividade com a

atividade introdutória e pedimos para clicarem novamente na seta vermelha do lado

direito. Ao verificarem a imagem reproduzida na tela do computador, perguntamos o

que haviam notado. Mariza Letícia respondeu: “Conforme clico nos símbolos a figura

fica achatada ou alongada”. Na Figura 92, seguinte, procuramos ilustrar a futura

professora Mariza Letícia, ao responder à questão solicitada por nós.

165

Figura 92: Imagem de Mariza Letícia alterando a figura inicial

Fonte: Acervo do pesquisador

Após ouvir as participantes, sistematizamos as principais ideias, de acordo com

as respostas de Mariza Letícia e Sempre Viva e, em seguida, solicitamos às futuras

professoras que avançassem, clicando novamente na seta do lado direito para mudar

de tela, observassem a imagem e clicassem novamente. Ao realizarem os cliques,

provavelmente perceberam, ao verem nas duas telas do computador, a confirmação

de suas afirmações, com duas imagens como as apresentadas nas Figuras 93 e 94 a

seguir.

Figura 93: Imagem do rosto de João achado

Fonte: http://rived.mec.gov.br/atividades/matematica/proporcionalidde/AtividadeMat.html

166

Figura 94: Imagem do rosto de João alongado

Fonte: http://rived.mec.gov.br/atividades/matematica/proporcionalidde/AtividadeMat.html

Ao se deparar com a figura 94, Jú relatou: “A figura está desproporcional,

professor, se a largura da figura inicial do rosto de João é 3 e a altura é 4, na segunda

figura ampliou apenas a altura para 6, por isso o rosto ficou alongado”. Jú continuou

seu relato: “quando comparamos a primeira figura com a terceira imagem, a largura

dobrou de tamanho para 6, já a altura também deveria dobrar para 8 e não para 10”

para que fosse proporcional.

Podemos perceber, ao ouvir o relato de Jú, que ela detectou a relação de

proporcionalidade entre as dimensões da figura, bem como o fator de

proporcionalidade. Nesse momento pedimos a palavra e perguntamos o que as

demais participantes entendiam e se concordavam com Jú. Elas, verbalmente e por

meio de sinais afirmativos com a cabeça, concordaram; então sistematizamos tais

ideias, relatando que deveria haver uma relação entre as dimensões da imagem de

João. Chamamos a atenção e ratificamos que essa atividade estava associada com a

atividade “Alterando o rosto do professor” e com a “atividade 1”, envolvendo a

ampliação e a redução de figuras.

Posteriormente solicitamos que as estudantes comparassem o rosto de João 3

x 4 com rostos 5 x 4 e 9 x 8 apresentados na tela anterior do computador e

representados pela figura 89. Babich, Moana e Duda, responderam; “as figuras

ficaram achatadas, por que não houve proporção”. Babich, prosseguiu: “se eu

167

quisesse dobrar a figura 3 x 4 teria que ser 6 x 8 e não 5 x 4”, perguntamos: “por que

os rostos 2 e 3 tomaram essa forma?”, e as participantes responderam: “no segundo

rosto aumentou apenas a largura e no terceiro rosto aumentou mais a largura que a

altura”.

Novamente procuramos verificar se as estudantes haviam realmente

compreendido a preservação da proporção nas dimensões de uma figura e o uso de

um fator de proporcionalidade com eixo central para isso e perguntou: “As figuras 2 e

3 são semelhantes à primeira figura?”. Elas acenaram com a cabeça de forma

negativa e responderam “não”. Então pedimos para clicarem novamente na seta do

lado direito; ao clicar, Pejo relatou: “Está vendo? Estamos certas, não manteve a

proporcionalidade”. A Figura 95 ilustra a tela que proporcionou o relato de Pejo.

Figura 95: Imagem contendo o registro da não proporcionalidade

Fonte: http://rived.mec.gov.br/atividades/matematica/proporcionalidde/AtividadeMat.html

Com base no relato apresentado pela participante e na visão da tela

reproduzida no computador por meio da Figura 91, notamos que as futuras

professoras, possivelmente, haviam entendido a ideia. Então, solicitamos que dessem

dois cliques na seta para direita e obtivessem uma imagem como apresentada na

Figura 96.

168

Figura 96: Imagem da relação entre as dimensões dos rostos de João

Fonte: http://rived.mec.gov.br/atividades/matematica/proporcionalidde/AtividadeMat.html

Visando sistematizar e dar prosseguimento à execução da atividade

envolvendo esse Objeto de Aprendizagem, questionamos: “O que foi feito com as

dimensões da figura, o que foi feito com o valor 3 em vermelho e com o valor 6 em

azul?”. Pejo e as demais participantes responderam: “Dobrou de tamanho”.

Novamente usamos da palavra, para relatar: “Então, conforme vocês me disseram,

há uma relação de proporcionalidade entre as figuras”. Em seguida indicamos que

clicassem novamente no botão direito da tela do computador, e provavelmente

visualizaram uma imagem no computador semelhante à da Figura 97.

Figura 97: Imagem do registro da semelhança entre as fotos

Fonte: http://rived.mec.gov.br/atividades/matematica/proporcionalidde/AtividadeMat.html

169

Relatamos a elas que a semelhança entre as figuras envolvia uma relação entre

as dimensões, conforme as participantes haviam relatado anteriormente, e essa

relação era denominada “razão”. Novamente indicamos que clicassem no botão

direito, e, com isso, obtiveram a seguinte imagem (Figura 98).

Figura 98: Imagem do registro da razão entre as fotos de João

Fonte: http://rived.mec.gov.br/atividades/matematica/proporcionalidde/AtividadeMat.html

Ao perceberem que o número 2 apresentado na tela do computador

correspondia ao dobro informado anteriormente por elas, Cami relatou: “Eu sabia o

que era isso, mas não lembrava o nome”. Informamos a elas: “Vocês já haviam

relatado isso em outras situações e vão perceber ao longo dos encontros que com

várias ideias vocês já devem ter tido contato, e isso é bom” e perguntou: “Vocês

entenderam a proposta?”.

Neste momento, com o datashow, reproduzimos a próxima ação a ser

realizada. Em seguida lemos a questão apresentada na tela do computador,

explicamos a proposta para as participantes e pedimos que, conforme fizessem as

questões, registrassem no protocolo. Ademais, informamos que, caso o número

inserido não fosse o correto, na tela do computador apareceria seguinte mensagem

em vermelho: “Preste mais atenção!!! Este valor deve corresponder à Razão de

Semelhança”.

Ao procederem dessa forma, poderiam fazer novamente a questão

apresentada no computador e, se acertassem, apareceria o resultado correspondente

e a mensagem em vermelho: “Resposta correta”. Posteriormente, orientamos que

170

prosseguissem na execução da atividade e fizessem os quatro itens. Ao final de cada

item pedimos para clicarem com o botão direito da tela do computador para

prosseguir. Estes são os itens e as respectivas análises.

5.3.1 O item “a” da atividade 2

No item “a” era solicitado o valor do fator de proporcionalidade, para que a

largura fosse ampliar de 3 cm para 6 cm e a altura, de 4 cm para 8 cm, conforme

podemos notar na tela seguinte (Figura 99).

Figura 99: Imagem da tela do primeiro item - atividade 2

Fonte: http://rived.mec.gov.br/atividades/matematica/proporcionalidde/AtividadeMat.html

Ao realizarem o primeiro item, percebemos que elas não apresentaram

dúvidas, pois conforme apresentado na figura anterior, era solicitado que dobrassem

as dimensões da figura e, para que isto ocorresse, o fator de proporcionalidade seria

o número 2.

Aparentemente as participantes haviam compreendido ideias ligadas ao

raciocínio proporcional, principalmente as que envolviam a ideia de dobrar ou triplicar

uma figura (SPINILLO, 1992). Provavelmente tal compreensão se deu pelo fato de

171

elas já terem feito a atividade 1 e terem percebido as mesmas relações entre as duas

atividades, 1 e 2. Além disso, as reflexões, as discussões e a sistematização das

ideias envolvidas na atividade 1 contribuíram nesse processo.

A seguir apresentaremos o item “b”.

5.3.2 O item “b” da atividade 2

Já o item “b” da proposta foi a inserção, na tela do computador, de um valor

correspondente à medida da altura, para que a figura fosse ampliada corretamente.

Figura 100: Imagem da tela do segundo item - atividade 2

Fonte: http://rived.mec.gov.br/atividades/matematica/proporcionalidde/AtividadeMat.html

Identificamos inicialmente dificuldades da maioria das participantes no segundo

item, ao realizarem a leitura e a interpretação dos dados, como foi possível identificar

nos relatos de Margarida e Jú, reproduzidos e registrados nas Figuras 101 e 102.

172

Figura 101: Protocolo da participante Margarida

Fonte: Acervo do pesquisador

Figura 102: Protocolo da participante Jú

Fonte: Acervo do pesquisador

Ao perceber tais dificuldades, discutimos as questões com o grupo e

analisamos coletivamente os conceitos envolvidos. Percebemos dificuldades das

participantes, ao tentarem fazer a ampliação da figura com largura de 3 cm por 4,5 cm

para a respectiva figura ampliada desconhecida, que deveria ter dimensões 4 cm de

altura e largura ainda não conhecida, que seria 6 cm. Elas registram no protocolo suas

dúvidas, como pudemos notar pelo protocolo de Hortência, na Figura 103.

Figura 103: Protocolo da participante Hortência, contendo suas dificuldades

Fonte: Acervo do pesquisador

Percebemos que as participantes, inicialmente, possuíam dificuldades no

tratamento para descobrir o aumento proporcional. Elas encontraram dificuldades em

identificar o fator de proporcionalidade funcional 1,5 cm ou escalar 1,33. Ao final das

discussões, observamos que tais dificuldades eram reconhecidas e, em alguns casos,

até consideradas como sanadas por algumas dessas professoras. Por exemplo a

173

futura professora Hortência, depois de vivenciar a atividade e participar das nossas

discussões, referindo-se a grandezas contínuas, afirmou: “Estudar as frações e

decimais aqui ajudou a gente a estabelecer relação entre as grandezas, nós não

conseguíamos fazer porque tínhamos dificuldades com esses números, discutir aqui

foi fundamental para ajudar a pensar sobre esse tipo de grandeza”.

Notamos que algumas participantes, que já haviam demonstrado possuir

arraigadas as ideias relacionadas a adição nas atividades do questionário preliminar,

ainda mantinham essa ideia. Essas futuras professoras insistiam em somar 1,5 cm

em cada dimensão, como é possível observar no protocolo de Jú, na Figura 104.

Figura 104: Protocolo da participante Jú – ideias relacionadas a soma

Fonte: Acervo do pesquisador

Notamos que a professora Jú, por exemplo, até aquele momento não havia

compreendido a covariação entre as dimensões das figuras, mas, durante a sessão

de formação, essa temática foi discutida e ela mostrou compreender seu equívoco:

“Quando eu resolvi essa questão, eu adicionei em vez de buscar a relação entre as

grandezas, eu foquei na adição e esse fator é multiplicativo, não é?” (Jú).

Ademais, detectamos que algumas participantes resolveram os itens com o

auxílio da regra de três, porém sem entender o que estavam fazendo ao certo, como

no caso de Duda e Groove, que registraram no protocolo reproduzido na Figura 105.

Figura 105: Protocolo da participante Groove – ideias relacionadas a soma

Fonte: Acervo do pesquisador

174

Já havíamos detectado, nas atividades do questionário preliminar, que essas

participantes conheciam tal estratégia e dela faziam uso para a resolução de

problemas dessa natureza. Duda e Groove, de fato, utilizaram-se desse

procedimento, sem entender o que seria a variação proporcional e quais relações

envolviam o raciocínio proporcional. Elas nos informaram: “A gente faz as contas, mas

não entendemos como era o aumento proporcional, agora eu compreendi que é uma

relação”.

Foi possível notar, por meio das discussões e das reflexões realizadas em

grupo, que algumas das participantes, ainda nessa atividade, tentaram recorrer ao

procedimento aprendido na escola e disseram que “nesse, ainda estava fazendo

mecanicamente, eu cheguei ao resultado 6, mas não fazia sentido para mim” (Ju).

Elas informaram que chegaram ao resultado, no caso o 6, mas que não fazia sentido

para elas. Nesse momento retomamos as propriedades envolvidas o produto cruzado.

Percebemos, em algumas participantes, como Groove e Duda, uma forte

convergência da aplicação do produto cruzado. Mas, assim como Lamon (2005),

Lesh, Post e Behr (1988) e Post, Behr e Lesh (1995), entendemos que a mera

aplicação da regra de três não garante o raciocínio proporcional.

A fim de que compreendessem que se tratava de covariação entre medidas e

que para isso teria um valor fixo, “o fator de proporcionalidade”, pedimos que

voltassem ao item anterior, verificassem as relações envolvidas e informassem o que

tinham feito no item anterior. As participantes descreveram seus procedimentos e

disseram que, para obter a figura de João ampliada, tiveram que dobrar as dimensões

da figura. Então perguntamos: “de que forma vocês poderiam chegar neste valor?”, e

elas disseram: “Basta, por exemplo, dividir as alturas e teríamos assim o dois, que

seria o quanto aumentou a segunda figura em relação a primeira”.

Neste momento, quisemos saber: “Então, não dá para usar essa ideia na

situação?”. As participantes clicaram em “avançar”, leram novamente o item e

disseram: “Podemos dividir as medidas 4 e 5 por 3”. Assim o fizeram e obtiveram na

calculadora o valor 1,5.

Posteriormente informaram: “Agora a gente multiplica esse valor por 4 da

altura”; realizaram o cálculo e obtiveram o número 6. Perguntamos se elas

compreenderam o que tinham feito e o que seria esse valor um e meio. As futuras

professoras informaram que a figura aumentou em uma figura e meia e por isso

multiplicariam por 4, para obter o valor solicitado, ou seja, 6 da altura ampliada. Com

175

isso, percebemos que, por meio das discussões realizadas, as participantes

entenderam a proposta. Dessa forma, pedimos para que prosseguissem nos demais

itens.

Em seguida Babich e B nos chamaram e afirmaram estar com dificuldades.

Identificamos de imediato a leitura e a interpretação incorreta do item: inicialmente

elas se confundiram e acharam que era para ampliar em 4,5 cm a largura em relação

à primeira figura. As participantes multiplicaram 4 cm da altura da primeira imagem

por 4,5 cm da altura correspondente à imagem que seria ampliada e obtiveram 18 cm.

A fim de que elas refletissem, provocamos: “Vocês têm certeza do valor? Se estão

certas, insiram o valor”. Ao digitarem o valor 18 na tela do computador e clicarem no

botão ok, perceberam que não era o valor correto. Chamamos a atenção para lerem

novamente o problema, e elas notaram que a dimensão a ser ampliada seria o 3 cm

da largura, e não o 4 cm da altura.

Dessa forma, mesmo com nosso auxílio, entenderam que era para multiplicar

por 4,5 cm. Por exemplo, Babich relatou que teria que multiplicar 3 cm por 4,5 cm.

Informamos que deveriam testar tal valor. Ao inserirem o número 13,5, perceberam

que novamente estavam equivocadas. Então explicamos que “a medida da largura

seria ampliada de 3 cm para 4,5 cm e não em 4,5 cm”. Prosseguimos: “Agora vocês

têm a altura figura inicial de João com 4 cm. Quanto será a altura da outra figura a ser

ampliada para manter a proporção?”. As futuras professoras sorriram e relataram:

“Poxa, entendemos errado o problema, na primeira foto temos 3 cm de largura e foi

ampliada para 4,5 cm, a altura então vai de 4 cm para 5,5 cm”. Inseriram o valor e

perceberam novamente que não era o correto.

Notamos que as participantes utilizaram, nesse item, processos aditivos que

ainda se encontravam arraigados nelas, como já referimos. Pensamos, assim como

Fernández e Llinares (2012), que os alunos, ao resolverem problemas, devem

compreender as relações nele envolvidas usar o pensamento correto para cada

situação apresentada.

Novamente chamamos a atenção para as discussões já realizadas envolvendo

o raciocínio proporcional. Ademais, informamos que, se elas aumentassem em 1,5

cada dimensão da figura, não iriam manter a mesma proporcionalidade e pedimos que

se lembrassem da atividade 1 (ampliação de figuras) e do questionário preliminar e

relacionassem com o que haviam feito para ampliar as figuras. Babich e B refletiram

e Babich comentou: “Peraí! Tenho que aumentar a figura uma vez e meia, se a largura

176

foi de 3 cm para 4 cm, a altura deverá ir de 4 cm para 6 cm”. Colocou o resultado na

tela do computador e clicou em ok. Com isso acertou o resultado.

Pedimos para Babich explicar seu raciocínio, e ela disse: “Professor, eu percebi

que a cada centímetro de aumento da largura em relação à altura da primeira figura

equivalia a uma vez e meia da figura ampliada, então eu coloquei 6 cm que equivale

as quatro de um e meio”. A Figura 106 apresenta a reprodução da imagem contendo

as explicações de Babich.

Figura 106: Imagem da tela do item b - resolução Babich

Fonte: Acervo do pesquisador

Após as explicações de Babich, perguntamos se B concordava com Babich, e

ela ratificou a explicação da colega. Verificamos que haviam compreendido a proposta

e solicitamos que prosseguissem na execução dos demais itens.

Em seguida, Margarida e Pejo nos chamaram, e notamos que, assim como a

dupla anterior, usaram a adição. Solicitamos a elas que se lembrassem do que haviam

feito no item c da atividade 1 e na atividade que envolvia as alturas dos senhores baixo

e alto. As participantes falaram: “Aumentamos duas vezes e meia”. Comentamos: “O

que vocês me relataram agora não condiz com o que estavam fazendo, naquela

atividade o valor de aumento era quanto?”. Pejo disse: “Era dois e meio”.

Questionamos: “E agora quanto é?”. Margarida disse: “Não sei” e sorriu. E insistimos:

“Dá para achar, não dá?”. Margarida informou que achava que dava para fazer.

Novamente as alertamos para o fato de que na atividade 1 feita anteriormente

havia um valor de aumento e agora não tinha, mas que era possível encontrar e

perguntamos: “De que forma poderíamos fazer isso?”. Margarida, então, com o auxílio

177

da calculadora do computador, dividiu 4,5 por 3 e obteve o valor 1,5 e disse que era

aquele o número de aumento. Insistimos: “E agora?”. Elas falaram: “É só multiplicar 4

cm por esse 1,5 que teremos o valor da altura”. Em seguida, fizeram o cálculo,

obtiveram o valor 6 cm, lançaram na tela do computador e clicaram em ok e com isso

acertaram o item.

Visando sistematizar as ideias desse item, relatamos o que seria o aumento

proporcional de 1,5 entre as figuras. As participantes falaram uma vez e mais meia

vez, remetendo-se à estratégia “up down” destacada por Lamon (2005). Referindo-

nos ao fator de proporcionalidade, perguntamos se haviam entendido o que significava

aquele valor, e as futuras participantes relataram que sim. Então orientamos que

continuassem a resolução dos demais itens.

A seguir apresentaremos o item “c”.

5.3.3 O item “c” da atividade 2

Neste item “c” as participantes deveriam reduzir a foto de João, e para isso, foi

apresentada imagem com 3 cm de largura por 4 cm de altura; e a figura a ser obtida

possuía apenas a largura de 1,5 cm e requeria o valor da medida da altura para reduzir

a figura, conforme apresentamos a seguir na Figura 107.

Figura 107: Imagem da tela do item c - atividade 2

Fonte: http://rived.mec.gov.br/atividades/matematica/proporcionalidde/AtividadeMat.html

178

Pelo fato de as participantes já terem realizado a atividade 1 envolvendo uma

redução ao meio e a ideia de metade, elas não tiveram dificuldades nesse item.

Entenderam que, se a largura foi reduzida pela metade, a altura também deveria ser;

e inseriram o valor, como podemos reproduzir na Figura 108.

Figura 108: Reprodução de uma resolução do terceiro item - atividade 2

Fonte: http://rived.mec.gov.br/atividades/matematica/proporcionalidde/AtividadeMat.html

As futuras professoras haviam compreendido as relações propostas nesse item

e, assim como nas pesquisas de Spinillo (1992) e nas indicações contidas na BNCC

(BRASIL, 2017), entendemos que em problemas envolvendo dobro, metade, triplo e

terça parte são relevantes as ideias envolvendo proporcionalidade, principalmente nos

anos iniciais do Ensino Fundamental no qual as participantes atuarão.

A seguir apresentamos o item “d”.

5.3.4 O item “d” da atividade 2

Enfim, no item “d” foi apresentada na tela do computador das participantes uma

imagem de João contendo a largura 3 cm e altura 4 cm e outra medida de 10 cm,

equivalente à altura da figura a ser obtida. Foi requerida a elas a inserção de um valor

desconhecido que seria correspondente à largura da figura ampliada, conforme

podemos observar pela Figura 109.

179

Figura 109: Imagem da tela do item d- atividade 2

Fonte: http://rived.mec.gov.br/atividades/matematica/proporcionalidde/AtividadeMat.html

Percebemos que as futuras professoras detectaram que este item era parecido

com o item 2, conforme relato de Tulipa: “Eu percebi que posso resolver esse item

como o que fiz de ampliar 1,5 cm, professor”. Perguntamos às demais se

concordavam com Tulipa, elas acenaram positivamente. Neste momento pedimos que

fizessem o item e posteriormente notamos que, por já terem resolvido uma situação

parecida, elas conseguiram aplicar as mesmas ideias e finalizar a atividade.

5.3.5 A sistematização da atividade 2

Após a realização da atividade 2, sistematizamos com as participantes o que

foi observado na atividade e notamos convergência entre nossos resultados e o de

pesquisas como as de Fernández e Llinares (2012); Lamon (2005); Lesh, Post e Behr

(1988); Oliveira (2009); Post, Behr e Lesh (1995), por exemplo, as quais serão

descritas ao longo da análise feita.

Nossa intenção nesse momento foi verificar quais conceitos haviam sido

compreendidos e quais ainda precisavam ser mais bem trabalhados. Ademais,

pretendíamos identificar o nível de compreensão das futuras professoras acerca das

relações matemáticas envolvidas no raciocínio proporcional.

Discutimos com as participantes como se deu a realização dos itens, e elas

relataram que suas maiores dificuldades foram em ampliar a figura uma vez e meia.

180

E, como já foi relatado, algumas participantes, como Tulipa, Sempre Viva e Pejo, se

confundiram e aumentaram a figura em 1,5 cm. Nesse momento foi possível

evidenciar o reconhecimento por parte dos participantes acerca do equívoco

cometido, uma vez que eles relataram o uso da adição da medida e não haviam

relacionado com a ampliação e, consequentemente com a multiplicação: “Como eu já

disse, eu errei porque eu aumentei 1,5cm e agora vejo que eu deveria aumentar 1,5

vezes, então, em vez de eu acrescentar 1,5cm a cada lado eu deveria aumentar uma

vez e meia, eu teria que multiplicar” (Tulipa) .

Foi possível perceber que o grupo já estava percebendo que precisava atentar

para o tipo de relação envolvida na situação, se se tratava de relações aditivas ou

multiplicativas. No decorrer da formação foi possível retomar que as dificuldades

apresentadas anteriormente e identificadas nos Protocolos de Margarida e de Jú

foram também observadas nos estudos de Fernández e Llinares (2012) e de Oliveira

(2009).

Discutimos com o grupo sobre o fato de as dificuldades das futuras professoras

residirem, sobretudo na dificuldade que elas tinham em associar o raciocínio

proporcional à covariação entre as dimensões das figuras – na invariância do fator de

proporcionalidade e nas relações de multiplicação e divisão. Pudemos identificar que

tais dificuldades foram observadas por Hortência, conforme registro a seguir, na

Figura 110.

Figura 110: Protocolo da participante Hortência

Fonte: Acervo do pesquisador

No decorrer da atividade observamos que as dificuldades encontradas por Jú,

Mandala e Hortência eram semelhantes às observadas nos estudos de Fernández e

Llinares (2012) e Oliveira (2009), sobretudo no tocante às características que

envolvem o raciocínio proporcional. Até aquela etapa da pesquisa, essas participantes

ainda não haviam tinham incorporado os “conhecimentos do conteúdo” (BALL;

THAMES; PHELPS, 2008) essenciais para desenvolver a competência docente.

181

Todavia, consideramos que elas já estavam vivenciando o “processo” de construção

dos conhecimentos do conteúdo durante nossas discussões.

Nesta etapa notamos a necessidade de retomar com as alunas os conceitos

que emergiam no raciocínio proporcional: questionamos as participantes acerca das

temáticas que havíamos discutido nas atividades anteriores. Nossa intenção era que

elas relacionassem os conceitos envolvidos no raciocínio proporcional presentes nas

atividades introdutórias, na atividade 1 e na atividade 2.

Elas informaram que em suas experiências escolares na Educação Básica não

haviam sido bem-sucedidas e não tinham aprendido formas diversificadas para

resolver um problema envolvendo proporção, por isso suas estratégias foram

limitadas.

Duas duplas: Cami e Carla e Orquídea e Margarida relataram que haviam se

lembrado de regra de três, aprendida por elas na escola. Orquídea disse: “a regra de

três! Olha, professor, usei a regra de três, foram dados dois números e estava faltando

o quarto, mas eu não sabia direito onde colocar cada número [referindo-se ao local

onde registraria cada uma das grandezas envolvidas na situação]”.

Cami completou: “Sabia apenas aplicar a regra de três e que não conhecia

outras maneiras de resolver um problema de proporcionalidade”. Outra dupla, Groove

e Duda, também recorreu à aplicação do produto cruzado.

Discutimos com elas as ideias e as propriedades matemáticas envolvidas,

quando as estudantes se utilizavam de tal procedimento, e a necessidade de

identificar as grandezas envolvidas e a relação do procedimento utilizado para a

resolução com a propriedade de igualdade de razões. Ao final, na sistematização,

destacamos que outros autores, como Lamon (2005); Lesh, Post e Behr (1988); Post,

Behr e Lesh (1995), por exemplo, já afirmavam que a mera aplicação da regra de três

não garante o raciocínio proporcional e discutiu ser fundamental analisar as grandezas

envolvidas.

Em seguida, informamos às participantes que teriam que ter bem claros os

conceitos e as aplicações do raciocínio proporcional nos currículos escolares e

conhecer possíveis limitações encontradas por estudantes quando se utilizam de

raciocínio proporcional na resolução de situações que podem ser resolvidas por meio

da utilização desse tipo de raciocínio (BALL; THAMES; PHELPS, 2008). Elas

afirmaram que já tinham percebido isso. A professora Tarsila, por exemplo, informou:

“Você me fez pensar sobre nossa formação, até então, não tínhamos tido aqui no

182

curso de pedagogia disciplinas que nos levassem a pensar sobre as dificuldades e

esquemas de resolução que possivelmente meus alunos teriam, eu até indiquei isso

no questionário”. Analisando os protocolos das respostas dadas pelas participantes

na questão 3 da atividade 2 (APÊNDICE E), notamos que elas realmente haviam

registrado tal preocupação, como comprovam as respostas de Tarsila e Groove nas

Figuras 111 e 112, respectivamente.

Figura 111: Protocolo da participante Tarsila – questão 3 da atividade 2

Fonte: Acervo do pesquisador

Figura 112: Protocolo da participante Groove – questão 3 da atividade 2

Fonte: Acervo do pesquisador

As futuras professoras investigadas, desde o momento em que resolviam a

situação, preocupavam-se com o encaminhamento pedagógico; todavia, elas

consideravam que nem sempre tinham conhecimento desenvolvido para tal. Além

disso, durante a sistematização, as participantes já conseguiam calcular o fator de

proporcionalidade, o que é evidenciado no relato de Margarida: “Peguei o quatro e

meio, dividi por três, e o resultado, que foi um e meio, multipliquei por quatro e cheguei

a seis de altura”. Percebemos que, embora elas tenham calculado e descrito seus

procedimentos com correção, elas ainda não identificavam esse tipo de pensamento.

Entretanto, houve avanços na compreensão dessa temática, uma vez que, nas

atividades anteriores, havíamos identificado que as participantes possuíam

dificuldades no reconhecimento do fator de proporcionalidade; e nesta atividade,

pudemos visualizar, pelos relatos apresentados, indícios de que já o calculavam.

Observamos o avanço da dupla e perguntamos se alguém gostaria de destacar

outra forma de resolução. Como não se manifestaram, destacamos a existência da

183

“estratégia escalar” de resolução e mostramos em que consistia. Além disso,

aproveitamos para discutir a proporcionalidade envolvida nas ampliações e nas

reduções a partir das ideias de dobro, triplo e metade; e, em seguida, associamos o

aumento de 1,5 da figura e o aumento de 2,5 da figura, que seriam, respectivamente,

um aumento de uma figura e meia e duas figuras e meia. Apresentamos no datashow

novamente o quarto item. Perguntamos às participantes sobre como fariam para obter

a figura ampliada. Elas disseram que bastaria multiplicar 3 por 2,5 e chegariam ao

valor 7,5 cm.

Em seguida informamos para as futuras professoras nossa intenção, ao

apresentar esta atividade, bem como a importância dela no Ensino Fundamental, e

propusemos às participantes que verificassem a semelhança entre as duas atividades

– 1 e 2.

Nesse momento, foi possível evidenciar que a maioria das participantes

pareciam reconhecer a semelhança entre as atividades. Tarsila, por exemplo, afirmou:

“As duas atividades envolviam bem a ideia de proporcionalidade quando se trabalha

com ampliação e redução de figuras”. As demais participantes concordaram, mas

Groove avançou a reflexão sobre o ocorrido: “É mesmo, mas no início quando

olhávamos para a fotografia do professor a gente só olhava para a ideia no geral, de

ampliar e deformar ou não”. Nesse momento Tulipa complementou: “Verdade, mas

isso ajudou a gente a pensar nas que precisavam fazer os cálculos matemáticos”.

Nesse momento Orquídea contra-argumentou: “Concordo mais ou menos com

isso, porque acho que ajudou, mas nós tivemos mais dificuldade em entender o que

seria aumentar números quebradinhos vezes [referindo-se aos números racionais na

representação fracionária]”, e Groove complementa: “Houve momentos em que

queríamos acrescentar medida [referindo-se ao fato de pensarem aditivamente para

resolver a situação] e não aumentar tantas vezes”. Ao final do encontro,

sistematizamos as principais ideias envolvidas até aquele momento e parecia

consenso entre as participantes a percepção de que a não compreensão correta do

raciocínio proporcional poderá levá-las a ter dificuldades em ensinar aos seus futuros

alunos.

A seguir apresentamos a atividade com material concreto.

184

5.4 A atividade com material concreto

Mesmo considerando que algumas participantes avançavam na reflexão sobre

a complexidade do trabalho com a temática, percebíamos que alguns conhecimentos

acerca do conteúdo ainda não eram compreendidos em sua plenitude pelas futuras

professoras, mesmo após as atividades e as sistematizações já realizadas. As

participantes identificaram a relevância do assunto e sua importância no currículo

(BALL; THAMES; PHELPS, 2008). No entanto, ainda não estava claro para algumas

das participantes o que era o raciocínio proporcional e quais conceitos e propriedades

o envolviam.

Visando ampliar as discussões sobre a temática, planejamos a vivência da

resolução de uma atividade envolvendo semelhança de figuras com o apoio de

material concreto. Essa atividade foi elaborada com a finalidade de fornecer às

participantes uma nova possibilidade no ensino e na aprendizagem das ideias

relacionadas ao raciocínio proporcional. Já havíamos realizado anteriormente um

diagnóstico (questionário preliminar), uma atividade com papel e lápis (atividade 1),

outra atividade envolvendo o computador (atividade 2). A seguir apresentaremos a

análise de cada item.

5.4.1 O item “a” da atividade com material concreto

O item “a” envolveu a ampliação e a redução de barrinhas de cores diferentes.

Nossa intenção foi consolidar as ideias das atividades anteriores, relacionando,

inicialmente, as concepções de multiplicação ao fator de proporcionalidade (dobro,

triplo, metade e um quarto). Conforme já mencionamos, tais orientações constam na

BNCC (BRASIL, 2017). Na Figura 113 apresentamos o item “a” da atividade.

185

Figura 113: Atividade material concreto – item “a”

Fonte: Acervo do pesquisador

As participantes receberam um protocolo com o item “a” e algumas barrinhas

de duas cores (amarela e vermelha), visando, nos três primeiros itens, à ampliação

em duas vezes, três vezes e duas vezes e meia, respectivamente. Já nos últimos dois

passos desse item a proposta foi a redução em meio e um quarto. A atividade requeria

delas que colassem as barrinhas no protocolo com a quantidade que elas achassem

necessária (APÊNDICE F) e que posteriormente relatassem por escrito como haviam

pensado.

Ao analisar as produções das participantes, notamos que nas duas primeiras

ampliações (duas e três vezes) todas realizaram corretamente. Acreditamos que

tiveram êxito pelo fato de já terem feito atividades envolvendo esses valores, apesar

de aproximadamente 19% das participantes utilizarem adições sucessivas para

justificar suas respostas, como no caso da futura professora Girassol, apresentado na

Figura 114.

Figura 114: Produção de Girassol (ampliação duas e três vezes) – item “a”

Para o aumento de duas vezes mais

Para o aumento de três vezes mais

Fonte: Acervo do pesquisador

186

Conforme já relatamos, as participantes aparentemente compreenderam a

ideia de ampliação envolvendo um número natural no fator de proporcionalidade.

Detectamos que a maioria das futuras professoras, ou seja, aproximadamente 81%,

utilizou o produto para justificar suas conjecturas, como o caso da participante B,

conforme podemos visualizar a seguir, na Figura 115.

Figura 115: Produção de B (ampliação duas e três vezes) – item “a

Fonte: Acervo do pesquisador

Durante o desenvolvimento da proposta, quando solicitamos a ampliação em

2,5 das barrinhas amarela e vermelha, verificamos se as participantes haviam

aplicado o fator de proporcionalidade e se era um número racional. Identificamos que

as futuras professoras já apresentaram anteriormente dificuldades de compreensão

tanto na atividade 1 quanto na atividade 2, quando a proposta envolveu esse valor.

Com as discussões e as reflexões ocorridas no grupo durante as atividades anteriores,

acreditávamos que elas compreenderiam melhor essa questão da ampliação de

figuras, utilizando como fator números racionais (decimais). Tal fato foi confirmado em

nossa análise das resoluções das participantes.

187

Todas as futuras professoras resolveram corretamente a atividade, e

percebemos que aproximadamente 19% delas recorreram à estratégia escalar

(mesma cor) para a resolução da situação. Acreditamos que essa escolha se deu pela

forma com que a atividade foi apresentada (LAMON, 2005; POST; BEHR; LESH,

1995; SILVESTRE; PONTE, 2009), como podemos ver nas produções de Cami e

Duda, respectivamente, nas Figuras 116 e 117.

Figura 116: Produção de Cami (ampliação em 2,5) – item “a”

Fonte: Acervo do pesquisador

Figura 117: Produção de Duda (ampliação em 2,5) – item “a”

Fonte: Acervo do pesquisador

Ao analisar a produção das futuras professoras que usaram esse

procedimento, notamos que elas aplicaram diretamente o produto para chegar aos

valores de 15u para a barrinha amarela e 20u para a barrinha vermelha.

Posteriormente elas realizaram o corte ao meio das barrinhas amarela e vermelha,

respectivamente, para colar as barrinhas no protocolo.

188

Já as outras participantes (81%) utilizaram a estratégia “up down”, ou seja,

pegaram duas barrinhas de cada uma das cores (amarelo e vermelho), depois

cortaram mais uma barrinha amarela e vermelha e em seguida fizeram a colagem e

reproduziram o resultado, como no caso das participantes Carla e Groove,

apresentado nas Figuras 118 e 119.

Figura 118: Produção de Carla (ampliação em 2,5) – item “a”

Fonte: Acervo do pesquisador

Figura 119: Produção de Groove (ampliação em 2,5) – item “a”

Fonte: Acervo do pesquisador

As futuras professoras que optaram por essa resolução, como Carla e Groove,

usaram conceitos multiplicativos (dobro) juntamente com os de soma (mais meia

barrinha) para fazer suas representações.

Já os dois itens seguintes envolviam a redução de figuras semelhantes, e as

participantes deveriam reduzir as figuras em meio e um quarto. Ao analisarmos suas

respostas, detectamos que a maioria resolveu corretamente o item. Diferentemente

189

do ocorrido nas sessões anteriores, quando elas efetuaram as reduções também

resolveram com correção. Tal fato pode ser observado na produção de Tarsila,

exposta na Figura 120.

Figura 120: Produção de Tarsila (redução pela metade) – item “a”

Fonte: Acervo do pesquisador

Ela optou, assim como as demais professoras, por cortar as barrinhas ao meio

para representar as reduções e registrou a divisão por dois para justificar suas

respostas.

Já no item que requeria a redução de um quarto nas barrinhas (amarela e

vermelha), a maior parte das participantes não teve dificuldades na resolução.

Detectamos que quase todas elas – 86,67% do total – acertaram o item, como foi o

caso de Cami, apresentado na Figura 121.

Figura 121: Produção de Cami (redução um quarto) – item “a”

Fonte: Acervo do pesquisador

Cami, assim como suas colegas, teve êxito na situação ao dividir as barrinhas

em quatro para representar um quarto das barrinhas. No entanto, as participantes

190

Binna e Tulipa mostraram que ainda não compreendiam a redução em um quarto da

figura, conforme apresentado nas Figuras 122 e 123.

Figura 122: Produção de Binna (redução um quarto) – item “a”

Fonte: Acervo do pesquisador

Figura 123: Produção de Tulipa (redução um quarto) – item “a”

Fonte: Acervo do pesquisador

Notamos as dificuldades apresentadas pelas participantes e procuramos

intervir, dialogando sobre o significado do conceito de fração e as ideias envolvidas

no presente item. Solicitamos, em seguida, que refletissem sobre o que havia sido

discutido anteriormente e que pegassem as barrinhas para representar um quarto.

Perguntou: “O que significa um quarto?”. Em seguida, ao notar que as participantes

ainda estavam em dúvida, sugerimos que se lembrassem do item “d” da atividade 1 –

o que haviam feito com a casinha. As futuras professoras lembraram que, nas

discussões posteriores à execução das atividades, foi apontado que se tratava de

diminuir a metade da metade.

191

Nesse momento orientamos que pegassem as barrinhas e fizessem o mesmo.

Binna pegou as barrinhas e as dividiu ao meio. Perguntamos: “O que representa o que

você fez?”. Binna e Tulipa: “Dividimos as barrinhas ao meio”. Novamente

questionamos: “E agora o que podem fazer?”. Binna respondeu: “Dividir de novo ao

meio”. E assim o fez. As participantes então perceberam os tamanhos das barrinhas

e reproduziram as respostas.

Nesse contexto, percebemos durante as seções que essas duas participantes

ainda apresentavam dificuldades. No entanto, Tulipa evoluiu na compreensão da

temática, apesar da confusão no momento inicial, quando registrava o ocorrido nas

figuras. Já Binna parecia encontrar mais dificuldades na compreensão do raciocínio

proporcional, especialmente quando envolvia números racionais nas representações

decimal e fracionária. Procuramos, dessa forma, tanto durante a proposição das

atividades como nas sistematizações, minimizar tal fato, esclarecendo as possíveis

dúvidas já identificadas anteriormente.

Avaliamos que uma possível causa poderia ser o fato de a participante ainda

ter limitações nos conhecimentos a respeito dos números racionais. Notamos que

elas, na representação de um quarto de um inteiro, usaram a referencial metade,

assim como apontado no estudo de Spinillo (1992). Em nossa pesquisa, os resultados

para esse item vão ao encontro dos resultados encontrados por essa pesquisa, pois

tais ideias contribuíram de forma eficaz para que elas pudessem compreender como

fazer um quarto da figura.

A seguir apresentamos o item “b”.

5.4.2 O item “b” da atividade com material concreto

No item “b” propusemos uma situação de valor omisso que envolvia a

ampliação de figuras semelhantes e requeríamos que as participantes apresentassem

para a barrinha desconhecida uma figura na cor preta no valor de 15u e registrassem

como haviam pensado. A seguir, na Figura 124, apresentamos o item “b” da atividade

com o uso do material concreto.

192

Figura 124: Atividade material concreto – item “b”

Fonte: Acervo do pesquisador

Ao analisarmos os protocolos das participantes, notamos que quase a maioria

delas – cerca de 92% - utilizou a “estratégia funcional”. Elas optaram por determinar

o fator de proporcionalidade por meio da divisão entre as barrinhas preta 10u e laranja

2u. Ao discutir o ocorrido, Orquídea relatou: “Tenho uma laranja que vale dois, para

chegar na preta de dez posso fazer, dois, quatro, seis oito, dez”. Ela fez com os dedos

a multiplicação, para chegar a dez. Orquídea prosseguiu e disse: “Agora faço o mesmo

com a laranja de três, três, seis, nove, doze e quinze, então ela vai valer quinze, é

isso?”. Depois da confirmação por parte do pesquisador, a participante Orquídea

juntamente com Mandala colaram suas barrinhas, conforme apresentamos na

imagem da Figura 125.

193

Figura 125: Produção de Mandala – item “b”

Fonte: Acervo do pesquisador

Além disso, identificamos, pelos relatos, que algumas alunas usaram a relação

envolvendo a ideia do dobro entre as barrinhas laranja e preta. Por exemplo, Ana

relatou: “Eu pensei assim, tenho uma laranja de dois para uma preta de dez, se for

pensar na proporção, eu teria uma laranja de quatro para uma preta de vinte”. E

prosseguiu, dizendo: “como tenho uma laranja de três que está entre dois e quatro,

terei que ter uma preta de quinze, que está entre dez e vinte”.

Percebemos pelas produções e pelos relatos que as participantes identificaram

o fator de proporcionalidade (cinco) e usaram a estratégia funcional entre barrinhas

(laranja e preta), ou seja, elas conseguiram compreender e realizar esse item da

atividade.

As outras futuras professoras optaram pela resolução com a estratégia escalar.

Elas utilizaram as relações entre barrinhas de mesma cor (laranja). A seguir, a Figura

126 traz a produção de B.

Figura 126: Produção de B – item “b”

Fonte: Acervo do pesquisador

194

Verificamos que elas dividiram 3u da barrinha maior por 2u da barrinha menor

e chegaram ao fator de proporcionalidade 1,5 e, em seguida, o multiplicaram por 10,

encontraram o valor correspondente à quarta barrinha preta no valor 15u e colaram

as barrinhas correspondentes ao valor registrado. A seguir apresentamos o item “c”

da atividade com material concreto.

5.4.3 O item “c” da atividade com material concreto

No item “c” apresentamos um problema de valor omisso que requeria das

futuras professoras a obtenção da segunda barrinha desconhecida de cor azul no

valor 12u. A seguir apresentamos o item “c”.

Figura 127: Atividade material concreto – item “c”

Fonte: Acervo do pesquisador

Verificamos que a maioria – 75% das participantes – resolveu corretamente

este item e para isso optou pela estratégia escalar: elas dividiram o valor da barrinha

azul (8u) pelo valor da outra barrinha azul (4u). Por exemplo, Angel relatou: “barrinha

azul menor é um quarto da barrinha azul maior, para saber a proporcionalidade

multiplico a barrinha verde (3u) por 4 e chego a 12”. Solicitamos à aluna colar sua

barrinha. O mesmo ocorreu com as 75% das futuras professoras que optaram por tal

estratégia. Nas Figuras 128 e 129, as produções de Angel e de Cami,

respectivamente, ilustraram tais ideias.

195

Figura 128: Produção de Angel – item “c”

Fonte: Acervo do pesquisador

Figura 129: Produção de Cami – item “c”

Fonte: Acervo do pesquisador

Tanto Cami e Angel como as demais participantes utilizaram procedimentos

parecidos para resolver este item. No entanto, pelas produções, poderíamos

conjecturar que elas se apropriaram de processos aditivos para representá-lo. Mas,

ao solicitar que relatassem como fizeram, Angel e Cami verbalmente explicaram suas

formas de resolução. Cami disse: “Nós pegamos a barrinha azul maior e dividimos

pela menor, com isso encontramos o número 4. Esse número será o aumento da

verde, então pegamos a verde de 3 e multiplicamos por 4 e assim chegamos a 12”.

Angel completou: “Eu multipliquei o valor da barra azul que vale 2 por 4 e cheguei à

barra azul maior 8, então eu fiz o mesmo com o 3, multipliquei ele por 4 e achei 12

como resposta”.

As participantes restantes fizeram confusão entre as cores e os valores das

barrinhas, elas pensaram na igualdade entre os tamanhos das barrinhas. Por

exemplo, Sempre Viva relatou que as barrinhas deveriam ter tamanhos iguais.

196

Alertamos a participante acerca do que era proporcionalidade, relacionamos com as

atividades anteriores, como a atividade introdutória, e pedimos para ela repensasse

sobre sua produção. A participante verificou que não estava conjecturando

corretamente; no entanto, ao reproduzir, apresentou a Figura 130.

Figura 130: Produção de Sempre Viva – item “c”

Fonte: Acervo do pesquisador

Percebemos que tanto Sempre Viva quanto as outras futuras professoras que

acharam que o fator de proporcionalidade fosse o número dois apenas realizaram os

cálculos de forma mecânica (OLIVEIRA, 2009) e não se ativeram ao raciocínio

proporcional para resolver a situação. As futuras professoras não identificaram a

proporção envolvida, bem como as relações entre os tamanhos das figuras e,

portanto, durante a resolução não o fizeram com correção, mesmo após a nossa

intervenção.

A seguir apresentaremos o item “d”.

5.4.4 O item “d” da atividade material concreto

E, por fim, o item, “d” também solicitava a obtenção de um valor omisso, a

terceira barrinha de cor rosa no valor de 9u, conforme apresentamos na Figura 131.

197

Figura 131: Atividade material concreto – item “d”

Fonte: Acervo do pesquisador

Esse item “d” possuía seus valores idênticos aos da questão 3 do questionário

preliminar (APÊNDICE C). Nossa intenção, ao propor esse item, foi verificar se as

participantes em outro contexto compreenderiam as relações proporcionais entre os

valores e quais estratégias apresentariam.

Ao analisar as produções das futuras professoras, pudemos identificar

evoluções, pois todas as participantes responderam corretamente a tarefa

(conhecimento comum do conteúdo).

Notamos que aproximadamente 75% das participantes optaram pela estratégia

funcional, como foram os casos de Girassol e de Mandala, apresentados nas duas

próximas imagens: as Figuras 132 e 133, respectivamente.

Figura 132: Produção de Girassol – item “d”

Fonte: Acervo do pesquisador

198

Figura 133: Produção de Mandala – item “d”

Fonte: Acervo do pesquisador

Detectamos que tanto Girassol quanto Mandala e as demais que escolheram

esse procedimento relacionaram as barrinhas (marrom 6u e rosa 4u). Elas dividiram

6u por 4u e perceberam que o fator de proporcionalidade entre esses valores era de

1,5. Com esse valor obtido, as futuras professoras o multiplicaram pelo valor da

barrinha maior de cor rosa no valor de 6u e chegaram ao valor 9u, equivalente à

barrinha desconhecida marrom.

Já as alunas dos 22,22% restantes, que também usaram essa estratégia,

obtiveram o fator de proporcionalidade 1,5 pelo método “up down”. Por exemplo: Pejo

relatou: “Eu peguei a barrinha marrom de tamanho 6u, mais meia barrinha marrom de

tamanho 3u e concluí que daria 9u, correspondente à barrinha desconhecida de cor

marrom”, como podemos visualizar na Figura 134.

Figura 134: Produção de Pejo – item “d”

Fonte: Acervo do pesquisador

199

Já 25% das participantes analisaram as relações entre barrinhas de mesma cor

(rosa 4u e rosa 6u, marrom 6u e marrom desconhecido), utilizando a estratégia

escalar, como fizeram Cami e Sempre Viva, que apresentamos, respectivamente, nas

Figuras 135 e 136.

Figura 135: Produção de Cami – item “d”

Fonte: Acervo do pesquisador

Figura 136: Produção de Sempre Viva – item “d”

Fonte: Acervo do pesquisador

Cami primeiro recorreu à ideia de dobrar o tamanho da barrinha menor de cor

rosa, para encontrar o fator de proporcionalidade. No momento em que realizou a

atividade, a participante notou que não daria certo, pois daria 8u, e não 6u, na barrinha

rosa maior. A futura professora então resolveu multiplicar 4u (barrinha rosa menor)

por 1,5 e chegou a 6u (barrinha rosa maior). Cami percebeu que havia encontrado o

fator de proporcionalidade e, em seguida, fez o mesmo com as barrinhas de cor

200

marrom, ou seja, para encontrar a barrinha desconhecida de cor marrom no valor de

9u, ela multiplicou 6u (barrinha marrom menor) pelo fator escalar 1,5. Já Sempre Viva

também aplicou a estratégia escalar e, para isso, utilizou-se de traços para fazer seu

registro, como visto na Figura 136.

Nesse item “d” Sempre Viva avançou no raciocínio proporcional, pois no item

anterior “c” ela apresentou dificuldades e, mesmo depois de discutir no grupo, ela não

havia realizado a tarefa corretamente. No entanto, nesse item ela compreendeu a

proposta e a realizou corretamente. A seguir apresentamos a sistematização realizada

com as futuras professoras ao final da seção.

5.4.5 A sistematização da atividade com material concreto

Ao discutirmos e sistematizarmos as respostas dadas e essa atividade

percebemos que a maioria das alunas aparentava uma evolução na aprendizagem da

temática, bem como em relação a sua formação como docente. Tais evidências

constatamos ao verificar suas respostas e também durante as discussões em grupo.

Ao expormos as respostas, procuramos instigá-las a reproduzir como pensaram e

solicitamos que ampliassem sua reflexão sobre o ensino da temática. Por exemplo,

Tarsila, ao realizar as ampliações, relatou que foi importante essa atividade, pois na

atividade 1 (realizada anteriormente) ela havia utilizado a ampliação de forma

incorreta. A participante relatou:

Na ampliação 2,5 eu não havia me ligado que era para usar a imagem original como referência. Eu peguei 4 quadradinhos e coloquei mais quatro e mais quatro 8 e metade de quatro da figura com quatro ampliada. Eu não levei em consideração a figura inicial. Nesse que você colocou aumentar 3 vezes é que eu me toquei.

Neste momento alertamos as participantes: “Vocês percebem que na atuação

profissional é importante detectarem quais erros são comuns de os alunos

cometerem”.

Em seguida completamos: “Isso faz parte da competência profissional que

vocês precisam adquirir para desenvolverem um bom trabalho em sala de aula. Não

só em situações de proporcionalidade, mas com as mais variadas situações que irão

deparam em aula”.

Ademais, detectamos que as futuras professoras refletiram acerca da

atividade. Outra evidência pode ser vista no relato de Ana: “Concordo com o que o

201

senhor disse, sobre resultados dessas pesquisas [referindo-se aos estudos de

Llinares e de Ball, Thames e Phelps] é importante conhecermos [...] como os alunos

resolvem os problemas de matemática”. Carla complementou, dizendo: “na aula pode

aparecer alunos que resolvam problemas de maneira diferente e, como vimos nesse

curso, devemos estar preparadas para enfrentar essas situações”.

Groove concordou e disse: “Isso mesmo, com isso teremos mais elementos

para auxiliar as crianças”. Ana novamente tomou a palavra: “Eu demorava muito mais

tempo para pensar e resolver um problema de multiplicação, pois eu tentava sempre

somar os números, agora eu entendi de fato o que é multiplicar e para que serve”.

Cami em seguida relatou: “Geralmente percebo que os alunos iniciam a aprendizagem

pelo processo aditivo, além disso, também vi nas atividades da escola do meu filho e

que ele resolve sempre por soma”. Ressaltamos que isso é um processo, e as

crianças podem apoiar-se inicialmente na adição, mas é importante que os

professores favoreçam vivências que permitam a elas experimentar outras estratégias

mais econômicas. Groove, em seguida, relatou: “No estágio notei que os alunos

resolviam problemas envolvendo proporcionalidade exclusivamente por soma, poxa

eu poderia ter visto isso antes [referindo-se ao curso de formação]”.

Ana mais uma vez tomou a palavra e disse: “Percebi que em a atividade que

envolve proporcionalidade envolve multiplicação e divisão e as dimensões aumentam

ou diminuem na mesma proporção”. Pejo completou o relato:

Eu percebi que não é a ideia de soma, eu fazia soma e não batia o resultado porque eu não compreendia que eu preciso aumentar tantas ‘vezes’ mais e não aumentar tal medida a mais. Agora entendi que posso usar as ideias de metade e dobro de forma proporcional e assim comecei a aprofundar para os demais itens.

Perguntamos qual foi o processo de construção que as participantes utilizaram,

se foi pela utilização de cores iguais ou cores diferentes. Em seguida, fizemos

referência aos termos matemáticos, chamando a atenção para a percepção das

diferentes estratégias utilizadas: escalar e funcional e/ou outras. As participantes

chegaram à conclusão de que a maioria optou pela estratégia escalar quando se

utilizaram de cores iguais; outras alunas relataram que usaram o processo mental de

cores diferentes e estabeleceram as relações proporcionais para descobrir os valores

solicitados. Ana mostra que já estava relacionando as estratégias: “Eu fiz pelo escalar,

mas agora vejo que era possível pensar de outras formas, como pela estratégia

funcional”. As participantes B, Pejo e Ana mexeram na figura e, posteriormente,

202

testaram os valores e, pensaram acerca desses valores. Hortência destacou que a

importância não estava nas cores, mas nas relações proporcionais. A participante

relatou na sistematização que as cores eram apenas de um recurso e que nas

atividades 1 e 2 não havia cores para relacionarem. Para tanto, ela percebeu que tinha

que se ater aos números e às relações sobre eles.

Ao verificarmos os relatos apresentados na sistematização, identificamos a

predominância do uso de determinadas estratégias em detrimento de outras.

Detectamos que tais escolhas se deram pela maneira pela qual decidimos apresentar

as atividades e pelos números apresentados (LAMON, 2005; POST; BEHR; LESH,

1995; SILVESTRE; PONTE, 2009).

Ademais, nas discussões percebemos evoluções apresentadas tanto no

conhecimento do conteúdo como no conteúdo dos alunos e do currículo (BALL;

THAMES; PHEPS, 2008). Uma evidência pode ser vista no relato de Carla: “Os

problemas eram diferentes e eu teria que pensar cada um de forma diferente. As

barras que eu teria que encontrar em cada problema estava em um local diferente.

Para resolver esses problemas tive que pensar e usar estratégias diferentes”.

Percebemos a ampliação dos conhecimentos das participantes em relação às

seções anteriores, pois apresentaram de forma mais consciente suas argumentações,

como podemos ver quando Cami relatou: ”Temos que ter bem claro os objetivos que

vamos ao ensinar aos alunos seja ele matemática ou em outras matérias, devemos

estar preparadas para as mais variadas situações”. Identificamos indícios de avanços

na maioria das participantes, apesar de Tulipa e Binna apresentarem limitações.

Relatamos às participantes a importância de elas detectarem potencialidades

e limitações relativas à compreensão de seus alunos, para ter mais elementos para

agir de forma eficiente. Destacamos para as futuras professoras que, num curso de

formação, é importante que saibam e estudem em outros trabalhos acerca do assunto

que estarão ensinando. Destacamos para elas que pesquisas como as de Gitirana et

al. (2004); Lamon (2005); Post, Behr e Lesh (1995); e Silvestre e Ponte (2009) relatam

que a opção pelos números, a forma de apresentação dos problemas e o contexto

influenciam na escolha da forma de resolução de uma situação. E aproveitamos para

retomar as situações discutidas durante as sessões e mostrar suas características.

Ao apresentar a atividade envolvendo material concreto, pelas evidências

apontadas, acreditamos ter feito uma boa escolha, pois teríamos de propor uma

atividade de valor omisso, visando minimizar as dificuldades apresentadas nas seções

203

anteriores e propor reflexões acerca do ensino e da aprendizagem do raciocínio

proporcional. Portanto, concluímos que as situações de ensino e de aprendizagem

apresentadas, aliadas às discussões promovidas na sistematização, provocaram

reflexões e avanços na base de conhecimentos para o ensino das futuras professoras.

A seguir veremos a atividade 4.

5.5 A atividade 4

A atividade 4 (APÊNDICE G) foi proposta por ser muito utilizada no cotidiano

das participantes, conforme nossa discussão na primeira sessão de formação.

Expusemos ao grupo o seguinte enunciado: “Uma receita de muffins de morango para

16 pessoas é a seguinte: 8 xícaras de farinha, 2 xícaras de morangos, 8 colheres de

manteiga, 1 xícara de açúcar e ½ xícara de manteiga”.

A partir da receita, as participantes teriam que, na primeira situação, alterar os

ingredientes da receita para cozinhar para 32 e 8 pessoas, respectivamente. Ao

analisarmos as produções das participantes, notamos que todas acertaram a primeira

situação. Apresentamos como exemplos os protocolos das participantes Tulipa e

Angel nas Figuras 137 e 138, respectivamente.

Figura 137: Resolução de Tulipa – Primeira situação da atividade 4

Fonte: Acervo do pesquisador

204

Figura 138: Resolução de Angel – Primeira situação da atividade 4

Fonte: Acervo do pesquisador

Para a segunda situação proposta, detectamos que a maioria delas, 92,86% do

total, resolveu corretamente a atividade; elas compreenderam que a receita fornecida

era para 16 pessoas e que a quantidade requerida era para 8.

Esperávamos que elas já tivessem avançado e provavelmente conseguissem

resolver a atividade, porém talvez apresentassem dificuldades na quantidade (½

xícara de manteiga). Isso de fato aconteceu: a maioria resolveu corretamente e não

apresentou dificuldades. No entanto, uma das participantes (Nilma) solicitou auxílio

acerca do que significava reduzir o último ingrediente ao meio. Retomamos a

atividade, promovendo discussões dos itens anteriores que envolviam redução de

medidas. A participante foi instigada a fazer a mesma redução com as barrinhas.

Nilma pegou uma barrinha e a dividiu ao meio para representar ½ e novamente a

dividiu para representar ¼. Perguntamos: “O que você fez?”. Nilma relatou: “Eu usei

a metade da metade”, e pedimos para ela lhe mostrar qual seria o pedaço referido por

ela. A participante, com a figura na mão, mostrou, e novamente lançamos a ela uma

pergunta: “Quantos pedaços você pegou?”, e ela afirmou: “Um”. Quisemos saber: “Um

de quanto?”. E Nilma: “Um de quatro”. Questionamos mais: “Por quê?”, e ela afirmou:

“Metade da metade – um de quatro por se tratar de uma fração”. E representou

corretamente o valor.

Percorremos a sala para saber se havia alguma dúvida. Como não houve

manifestação, pedimos para seguir com as atividades. A Figura 139 revela a produção

da participante Tulipa.

205

Figura 139: Resolução de Tulipa - Segunda situação da atividade 4

Fonte: Acervo do pesquisador

A participante se utilizou de figuras para pensar em sua resposta. Tulipa

recorreu ao desenho e, provavelmente, deve ter usado tal estratégia, por já termos

discutido a respeito em sistematizações anteriores. Primeiro a futura professora usou

a representação equivalente a meio (1/2) e, a partir dessa representação, chegou a

um quarto (1/4), para representar a quantidade de manteiga a ser inserida na receita

para 8 pessoas. Apenas 7,14% não tiveram êxito na resolução dessa segunda

situação. Foi o caso da participante B, apresentado na Figura 140.

Figura 140: Resolução de B - Segunda situação da atividade 4

Fonte: Acervo do pesquisador

Em contato posterior à entrega dos protocolos com a futura professora B, ela

nos relatou que teve dificuldades para reconhecer quanto seria a metade da medida

de ½ colher de manteiga e afirmou: “Eu sabia que seria a metade de meio, mas não

sabia que número era esse”. Além disso, percebemos incorreção na redução de

206

colheres de manteiga, mas a participante relatou que escreveu errado o número 8,

que era para ser 4, mas para a fração [referindo-se a ½] realmente ela teve

dificuldades.

As produções das futuras professoras nos levaram a conjecturar que a maioria

delas avançou na compreensão da representação fracionária e das ideias que

envolvem o raciocínio proporcional incluindo a ideia de dobro e metade.

A seguir expomos a sistematização dessa atividade realizada na formação.

5.5.1 A sistematização da atividade 4

Ao realizarmos a sistematização da atividade 4, notamos que as futuras

professoras demonstraram compreensão, apesar de reconhecerem que o maior grau

de dificuldade estava nos ingredientes que foram representados por números

racionais na forma de fração.

Durante as discussões e as reflexões no momento da plenária, denominada

aqui sistematização procuramos dar um caráter mais analítico à apresentação dos

resultados. Buscamos refletir acerca das concepções sobre o conteúdo, o ensino e o

currículo e procuramos, ao mesmo tempo, tratar do ensino e da aprendizagem do

raciocínio proporcional. Isso nos ajudou a propor alguns exemplos complementares,

visando sistematizar a compreensão das alunas acerca da multiplicação e da divisão

envolvendo frações e as convidamos para que participassem. Assim como na

atividade 1, as futuras professoras pareciam compreender os aspectos relacionados

aos números racionais presentes na situação, porém, ao expormos a atividade 5,

novamente percebemos dúvidas.

A seguir apresentaremos a atividade 5.

5.6 A atividade 5

A atividade 5 (APÊNDICE H) tinha o mesmo enunciado da atividade 4, no

entanto, nesta situação a quantidade requerida agora era para 12 pessoas. Ela

envolvia a mobilização de estratégias já utilizadas anteriormente, no entanto seria

necessário expandir as ideias ligadas ao raciocínio proporcional e ao tratamento com

os números racionais, visto que algumas participantes ainda focavam suas estratégias

somente no uso do dobro e da metade.

207

As futuras professoras, ao realizar a atividade, refletiram acerca dos valores a

serem inseridos, ou seja, sobre o quanto de cada ingrediente teriam que colocar. Carla

disse: “Se eu dividir 16 em quatro partes de 4, depois junto 3 grupos de 4 dará 12,

portanto, a receita será ¾ da receita inicial”. E complementou, apresentando a ideia

de operador: “Estou dividindo por 4 e multiplicando por 3”.

Conferimos se todas haviam entendido e se concordavam com Carla, elas

afirmaram positivamente e disseram: “Vamos fazer ¾ da receita”. Neste momento

orientamos para que continuassem a atividade. As futuras professoras realizaram

ricas discussões acerca de cada valor dos ingredientes para a confecção da receita

requerida na atividade. Com base no fator de proporcionalidade obtido pelas

participantes nas discussões, concluímos que, ao realizarem esta atividade,

aproximadamente 28,57% optaram por utilizar a estratégia da taxa unitária, ou seja,

conforme já mencionamos, elas dividiram cada ingrediente por 16 pessoas e, em

seguida, multiplicaram o resultado por 12 pessoas.

Embora tivessem obtido os resultados referentes aos ingredientes, nenhuma

delas conseguiu representar corretamente a medida correspondente a 1/2 xícara de

manteiga. Tal fato se deu pela dificuldade recorrente no trabalho com os números

racionais na representação fracionária. Tiveram dificuldades ao dividir 16 por ½ e

representaram de forma incorreta 1/8 como resultado para a xícara de manteiga. A

seguir apresentamos, nas Figuras 141 e 142, as produções de Orquídea e Margarida,

respectivamente, que indicam tal escolha.

Figura 141: Resolução de Orquídea - atividade 5

Fonte: Acervo do pesquisador

208

Figura 142: Resolução de Margarida - atividade 5

Fonte: Acervo do pesquisador

Foi possível notar que ambas realizaram a atividade e inseriram 1/8 como

resposta. As demais futuras professoras optaram pela estratégia escalar, ou seja,

estabeleceram a relação entre 16 e 12 pessoas. Porém apenas 30% destas

conseguiram associar corretamente o último ingrediente (1/2 xícara de manteiga), e

as restantes também inseriram 1/8 como resposta para esse ingrediente.

O que nos chamou a atenção nesta atividade foi a desenvoltura das futuras

professoras na forma de representação que utilizaram para resolver a atividade.

Detectamos que, das que optaram pela estratégia escalar, 60% usaram o fator de

proporcionalidade ¾ para obter a proporção requerida, como apresentamos na Figura

143, seguida pelo protocolo da participante Carla.

Figura 143: Resolução de Carla - atividade 5

Fonte: Acervo do pesquisador

209

Ademais, 20% dentre elas, Cami e Duda, que também optaram pela estratégia

escalar, fizeram os cálculos utilizando outras representações, como, por exemplo, a

representação 75% (fator de proporcionalidade) para cada ingrediente, em vez de

usar ¾. Todavia, não podemos dizer que essas participantes conheciam amplamente

os pressupostos e as relações envolvidas nas diferentes representações dos números

racionais, uma vez que elas se equivocaram ao calcular a medida do último

ingrediente (1/2 xícara de manteiga). Foi o caso de Tulipa, que usou tal registro, como

aponta seu protocolo na Figura 144.

Figura 144: Resolução de Tulipa – atividade 5

Fonte: Acervo do pesquisador

Tulipa chamou-nos disse: “A receita será 75% da receita original, mas ainda

preciso entender melhor a ideia de fração”. Nesse momento, ela pegou uma folha e

tentou representar, conforme demonstra a Figura 145.

Figura 145: Produção de Tulipa – segunda situação da atividade 5

Fonte: Acervo do pesquisador

210

A participante desenhou um círculo e disse: “A metade é 50%”, e pintou a

metade do lado esquerdo da figura. Continuou: “Como tenho que ter 75%, ainda falta

25% que é a metade da metade”. Ela então pintou uma parte do lado direito e disse:

“3/4”. As demais professoras que recorreram a tal estratégia usaram o complemento

do fator 3/4 para resolver a atividade, ou seja, dividiram o valor de cada ingrediente

por ¼. Com isso, encontraram o complemento de cada um, em seguida subtraíram do

valor do ingrediente e chegaram ao resultado, como apresentado pelas participantes

Cami e Pejo nas Figuras 146 e 147, respectivamente.

Figura 146: Resolução de Cami – atividade 5

Fonte: Acervo do pesquisador

Figura 147: Resolução de Pejo – atividade 5

Fonte: Acervo do pesquisador

211

Com a proposição dessa atividade, notamos que as participantes escolheram

formas diferentes de resolver a questão, e para nós representou um ganho, pois, ao

usarmos o fator de proporcionalidade como um número não natural, nós as instigamos

a desenvolver formas diferentes para a temática (LAMON, 2005, p. 100). A seguir

exporemos a sistematização.

5.6.1 A sistematização da atividade 5

Na sistematização da atividade 5, apesar das dificuldades no último

ingrediente, houve ampliação nas formas de pensamento com relação ao raciocínio

proporcional (LAMON, 2005, p. 100). As evidências foram notadas já nas discussões

iniciais promovidas pelas participantes, ao tentar encontrar o quanto seria necessário

para fazer a receita.

Diferentemente dos resultados apresentados nos estudos de Oliveira (2009),

em nossa pesquisa elas conseguiram identificar os fatores de proporcionalidade e

apresentaram representações diferentes (frações e porcentagens). Dessa forma,

pudemos detectar avanços nas participantes quanto ao raciocínio proporcional, e

mesmo aquelas que apresentavam maiores dificuldades conseguiram compreender e

resolver a questão.

Ademais, nessas últimas atividades envolvendo receitas culinárias as futuras

professoras já não mais se recorriam ao pensamento aditivo para solucionar as

situações. E também se utilizaram estratégias corretas para chegar à proporção

requerida, mesmo com as dificuldades apresentadas no trabalho com frações no

último ingrediente. Elas relataram que tal atividade fazia parte da vida delas e,

portanto, acharam mais fácil de compreendê-la.

Procuramos na sistematização apresentar as formas pelas quais as

participantes pensaram e que escolheram para resolver a atividade “conhecimentos e

competências requeridas do futuro professor” (BALL; THAMES; PHELPS, 2008;

FERNANDEZ; LLINARES, 2012; LLINARES, 2015a; LLINARES, 2015b).

Expusemos às futuras professoras os resultados de acertos delas na presente

atividade e pedimos para cada dupla explicar para as colegas como fez. Cada

estudante expôs sua resolução e, ao final, completamos a explicação.

Posteriormente realizamos explicações na lousa acerca do ensino de frações e

seus significados, demos alguns exemplos com o uso das barrinhas e pedimos que

212

informassem os resultados e as respectivas formas de pensamento que as levaram

às conjecturas feitas. Tivemos boa participação das futuras professoras na

sistematização e percebemos os avanços já relatados.

Além disso, discutimos com elas acerca de nossa escolha dos valores para

aumentar os ingredientes, relatamos que havia resultados de pesquisas que tratam

da mesma temática e que propunham atividades envolvendo receitas culinárias.

Também conversamos sobre resultados de estudos (LAMON, 2005; SPINILLO, 1992)

que indicam a inserção da temática com o uso das ideias de dobro e metade, e

apresentamos resultados (FERNÁNDEZ; LLINARES, 2012; OLIVEIRA, 2009) que

apontam ser fundamental expandir o fator de proporcionalidade para um número não

natural.

A finalidade dessa sistematização foi ampliar a visão das participantes acerca

de proporcionalidade e o desenvolvimento do raciocínio proporcional. A seguir

apresentaremos a atividade 6.

5.7 A atividade 6

A atividade 6 traz o seguinte problema de valor omisso: “Jim tem que imprimir

o jornal da escola, mas ele só pode fazê-lo no tempo do intervalo. Ele leva 15 minutos

para imprimir 12 jornais. Quantos jornais ele pode imprimir durante os 35 minutos de

intervalo?” (APÊNDICE I).

Assim como nas duas atividades anteriores, as participantes iniciaram a

discussão em dupla sobre a atividade. Detectamos avanços tanto nos relatos

promovidos em sala quanto ao analisar os protocolos, uma vez que todas as futuras

professoras presentes, 100% delas, obtiveram como reposta 28 jornais.

Acerca desta tarefa, é importante ressaltar, não foi necessária nossa

intervenção para fornecer informações. Buscamos pela sala indícios do olhar

profissional (LLINARES, 2015a; LLINARES, 2015b) das participantes e dos conteúdos

apontados por Ball, Thames e Phelps (2008). Identificamos nas produções o uso de

diferentes estratégias (regra de três, funcional, escalar e taxa unitária) de resolução

das futuras professoras. Ademais, algumas preocupavam-se em tentar usar duas

estratégias (na atividade não foi solicitado que o fizessem).

Nos protocolos identificamos que aproximadamente 35,71% das participantes

realizaram a atividade de duas formas diferentes e, dessas, 40% utilizaram as

213

estratégias: taxa unitária e regra de três. Procuramos questionar o motivo pelo qual

decidiram utilizar diferentes estratégias e Cami relatou: “Enquanto professora, é

importante que eu conheça variadas formas de resolução de um problema e também

por que queria confirmar o resultado”. B relatou: “Eu fiz para ter certeza que sei

resolver de outra maneira e praticar o que estamos apreendendo no curso”.

Constatamos que elas evoluíram quanto ao raciocínio proporcional. A seguir, nas

Figuras 148 e 149, trazemos duas produções (Cami e B) que refletem o uso de tais

estratégias.

Figura 148: Resolução de Cami – atividade 6

Fonte: Acervo do pesquisador

214

Figura 149: Resolução de B – atividade 6

Fonte: Acervo do pesquisador

Outras 20% usaram as estratégias (funcional e regra de três), como permite

visualizar o protocolo da participante Margarida na Figura 150.

Figura 150: Resolução de Margarida – atividade 6

Fonte: Acervo do pesquisador

215

Ademais, 20% usaram as estratégias (“up down” e regra de três), como na

produção de Groove na Figura 151.

Figura 151: Resolução de Groove – atividade 6

Fonte: Acervo do pesquisador

Groove recorreu ao desenho de um relógio para apresentar sua resposta por

meio da estratégia “up down”, e para confirmar seu raciocínio usou também os

procedimentos de cálculo da quarta proporcional – regra de três. Ao questionar

Groove sobre o que a levou a usar duas estratégias, relatou:

Eu usava muito a regra de três, mas no ensino para crianças como já discutimos aqui no curso não vamos usá-la como procedimento, posso até olhar para o fator de proporcionalidade, mas olhando para as medidas [referindo-se às grandezas envolvidas]. Então preciso ter o conhecimento do que está por trás das contas que faço na regra de três e conhecer outras estratégias e tentei buscar outra maneira de resolver.

As 20% restantes utilizaram as estratégias funcional e escalar como resposta,

como no exemplo na Figura 152.

216

Figura 152: Resolução de Girassol – atividade 6

Fonte: Acervo do pesquisador

Girassol teve relato semelhante ao das colegas, ou seja, ela também pensou

em usar duas estratégias de resolução. E relatou: “Eu decidi fazer dessa forma para

que conhecesse e praticasse outras formas de resolver o problema, a escalar e

funcional”.

Em nossa avaliação tais reproduções são evidências do avanço das

participantes nos conhecimentos (BALL; THAMES; PHELPS, 2008) e na competência

(LLINARES, 2015a, 2015b) requeridos delas. Procuraram aplicar formas

diversificadas de resolução e, ainda, justificaram o modo como pensaram para fazer

a atividade.

Além dessas participantes que utilizaram duas formas para resolver a

atividades, as 64,29% restantes fizeram a atividade usando uma estratégia. Dessas,

a grande maioria usou a escalar com o apoio do método “up down”. Duas dessas

produções (Angel e Duda) estão nas Figuras 153 e 154.

217

Figura 153: Resolução de Angel – atividade 6

Fonte: Acervo do pesquisador

Figura 154: Resolução de Duda – atividade 6

Fonte: Acervo do pesquisador

Aquelas que optaram por tal método recorreram ao uso das ideias de dobro

das atividades anteriores e a adicionaram ao tempo restante (5 minutos para 4 jornais)

para chegar ao valor de 28 jornais. Relacionaram conhecimentos prévios já

incorporados na execução de atividades anteriores, nas discussões promovidas

durante as seções e na sistematização. Dentre as 64,29% que realizaram a atividade

218

com apenas um método 11% delas empregaram a estratégia funcional, como Ana,

que faz parte da Figura 155.

Figura 155: Resolução de Ana – atividade 6

Fonte: Acervo do pesquisador

As participantes que optaram por essa estratégia relacionaram minutos e

jornais e obtiveram 1,25 como fator de proporcionalidade, dividiram 35 minutos por

esse fator e chegaram ao valor 28 jornais. Recorreram a uma estratégia pouco usada

nas atividades anteriores. Empregar diferentes formas de resolução aponta evolução,

e nos auxiliou na sistematização realizada posteriormente e exposta na próxima

seção.

E, por fim, as participantes restantes escolheram aplicar o produto cruzado, ou

seja, a regra de três, como foi o caso de Orquídea, cuja resolução está na Figura 156.

Figura 156: Resolução de Orquídea – atividade 6

Fonte: Acervo do pesquisador

219

As futuras professoras que utilizaram os procedimentos de cálculo ligados à

regra de três relataram que optaram por esse método por se lembrar de já ter feito na

escola e achar mais fácil para elas. Visando evitar a mecanização pela mera aplicação

de regras (POST; BEHR; LESH, 1995), quisemos saber das participantes quais ideias

estavam presentes nesse procedimento; perguntamos inicialmente quais as

grandezas envolvidas, e a professora Orquídea respondeu: tempo e jornais. Em

seguida, confirmamos se o restante da sala confirmava a resposta, e Mariza Letícia

respondeu: “Concordo, e como o senhor disse é a partir daí que eu posso olhar para

aqueles dois fatores [referindo-se a fator escalar e funcional]”. Dando continuidade,

questionamos se elas se lembravam de outras formas de resolver, e elas conseguiram

explicar a resolução pelo método “up down”.

A seguir apresentaremos a sistematização da atividade 6.

5.7.1 A sistematização da atividade 6

A sistematização da atividade 6 foi apresentada no questionário preliminar e,

ao analisarmos as respostas, detectamos avanços nas respostas dadas. Pudemos

identificar que não tiveram dificuldades em resolver a situação apresentada de valor

omisso e que se preocupavam em compreender e registrar suas respostas, e algumas

buscavam mostrar diferentes formas de resolução. Elas se utilizaram estratégias

corretas para chegar à proporção requerida, mesmo quando apresentavam

dificuldades.

Procuramos na sistematização apresentar as formas que as participantes

escolheram para solucionar a atividade “conhecimentos e competências requeridas

do futuro professor” (BALL; THAMES; PHELPS, 2008; FERNÁNDEZ; LLINARES,

2012; LLINARES, 2015a, 2015b). Assim como na atividade anterior, pedimos que

cada grupo de participantes que usou estratégias diferentes explicasse como haviam

feito e como pensaram para fazer a atividade.

Em seguida, no quadro negro complementamos e apresentamos a

nomenclatura correta para cada estratégia utilizada. As participantes interagiram

durante a sistematização e com isso puderam compreender diferentes estratégias

para um problema de valor omisso.

Na sistematização destacamos a necessidade que nos fez discutir com elas

outras situações como essa, com dados semelhantes e diferentes, para estimular e

220

refletir acerca da realização desta e de outras estratégias de resolução, e também

visando avançar para as atividades profissionais. Além disso, procuramos apresentar

resultados de pesquisas sobre situações desta natureza. Relatamos as pesquisas de

Greer e Mangan (1984) e de Vergnaud (1983, 2009). Por exemplo, Vergnaud (2009,

p. 212) aponta que: “os números grandes ocasionam mais dificuldades que os

números pequenos, os números decimais, mais dificuldades que os números inteiros”.

E acrescenta ainda: “[...] certos números impedem a utilização de certos

procedimentos porque eles não se prestam a cálculos muito simples” (p. 212).

Ainda a esse respeito, complementamos, afirmando que Greer e Mangan

(1984) nos mostram que situações como essa, que utilizam números naturais, são

consideradas “mais fáceis” do que as que envolvem números decimais maiores que

1; e essas últimas, mais bem-sucedidas que as que contêm decimais menores que 1.

Assim, ao discutir sobre tais evidências, entendemos que é importante que as

futuras professoras observem, além da classe de situações – no nosso caso, situação

envolvendo valor omisso – também o grau de complexidade das situações,

especialmente, a respeito da distinção nos procedimentos de cálculo observados no

interior de uma mesma categoria. É também fundamental que as estudantes tenham

a compreensão da complexidade dos cálculos envolvidos no raciocínio proporcional.

Como já mencionamos, as participantes aumentavam suas concepções acerca

da temática. Dessa forma, entendíamos que já era possível naquele momento partir

para as atividades profissionais.

E assim as apresentaremos nas próximas seções.

5.8 A atividade 7

Ao elaborarmos a atividade 7, levamos em consideração o que Llinares (2015a,

p. 7) discute: o processo de formação inicial para a docência pressupõe preparar os

alunos para obter a “competência docente” para o ensino e para promover a

aprendizagem da matemática.

Dessa forma, utilizamos uma atividade profissional64 em que as futuras

professoras deveriam analisar as produções de quatro alunas fictícias – nomeadas no

64 Em uma caixa há 5 bombons de caramelo e 13 de chocolate. Uma outra caixa tem 100 bombons de caramelo. Quantos bombons de chocolate devemos colocar para que se tenha a mesma proporção da primeira?

221

próximo quadro – e, em seguida, responder a quatro questionamentos sobre as

estratégias apresentadas. Optamos pela resolução individual, para ser possível maior

aproximação entre professor e alunas em situação de sala de aula. Eis a atividade.

Quadro 6: Atividade 7

Aluna Resolução Aline

Bianca

Cássia

Daiane

Fonte: Elaborado pelo pesquisador

Esta situação foi acompanhada pelos questionamentos:

a) qual (is) resposta (s) você acredita esteja (am) correta (s)?

b) identifique e analise as estratégias utilizadas pelas alunas.

c) em sua opinião, quais conhecimentos o professor precisa dominar em sala

de aula para lecionar esse tema?

d) Se tiver alguma resolução incorreta, identifique o erro e como você auxiliaria

seu aluno a compreender esse conteúdo matemático.

A atividade apresentava quatro itens, “a, b, c e d”, em que solicitava a

identificação e a análise das estratégias utilizadas por alunos fictícios.

Segue a análise desses itens.

222

5.8.1 O item “a” da atividade 7

Detectamos que a maioria – 86,67% das participantes – acertou o item “a”,

descrevendo corretamente as resoluções apresentadas. As duas próximas figuras –

Figuras 157 e 158, respectivamente – trazem as soluções de Tulipa e Mandala, que

evidenciam tais afirmações.

Figura 157: Resposta de Tulipa – item “a” da atividade 7

Fonte: Acervo do pesquisador

Figura 158: Resposta de Mandala – item “a” da atividade 7

Fonte: Acervo do pesquisador

Na formação tínhamos como premissa que o conhecimento comum do

conteúdo era primordial para que o futuro professor analise as produções de seus

alunos, para uma competência docente mais apurada. Os índices apresentados

indicam que algumas participantes já haviam transcendido o Nível 1 proposto por

Llinares (2015a), ou seja, já discriminavam o problema. No entanto, outras

pareciam ter dificuldades com o problema e erraram esse item, como podemos

visualizar nas Figuras 159 e 160.

Figura 159: Resposta de Nilma – item “a” da atividade 7

Fonte: Acervo do pesquisador

223

Figura 160: Resposta de Angel – item “a” da atividade 7

Fonte: Acervo do pesquisador

Essas participantes, assim como as outras que se equivocaram ao responder

a esse item, como Angel, por exemplo, calcularam a diferença entre as grandezas nos

dois momentos. Analisando o ocorrido, é possível perceber que elas aparentam estar

no nível 1, conforme Llinares (2015a), e não apresentaram nessa atividade

conhecimentos referentes ao conteúdo (BALL; THAMES; PHELPS, 2008).

O item “b” será descrito agora.

5.8.2 O item “b” da atividade 7

Ao verificar o item “a” entendemos que, se elas não conseguiram apontar

corretamente estratégias de resolução, igualmente teriam dificuldades em identificar

e analisar estratégias. Isso de fato se confirmou neste item “b”, pois o conhecimento

especializado requer das participantes o conhecimento comum do conteúdo. Na

Figura 161 está a produção de Nilma, na qual foi possível verificar que ela demonstrou

não conhecer as estratégias propostas no item “b".

Figura 161: Resposta de Nilma – item “b” da atividade 7

Fonte: Acervo do pesquisador

224

Nilma focou seu olhar na operação que resolvia a situação. As demais

participantes que resolveram esse item “b” voltaram sua análise para a descrição das

estratégias discutidas e as ideias envolvidas, como revelam, respectivamente, as

produções de Cami e Sempre Viva nas Figuras 162 e 163.

Figura 162: Resposta de Cami – item “b” da atividade 7

Fonte: Acervo do pesquisador

Figura 163: Resposta de Sempre Viva – item “b” da atividade 7

Fonte: Acervo do pesquisador

Apesar de, nem sempre, elas citarem os nomes referentes às estratégias (já

apresentados em sistematizações anteriores), essas futuras professoras analisaram

diversas estratégias utilizadas por alunos fictícios. Isso realça a importância do

conhecimento especializado do conteúdo no olhar profissional para a resolução de

alunos.

A seguir o item “c” será exposto.

225

5.8.3 O item “c” da atividade 7

No item “c” notamos que a maioria das participantes – 73,33% – indicou algum

aspecto relacionado ao raciocínio proporcional, como: reconhecimento dos

procedimentos de cálculo da regra de três, de multiplicação, divisão e frações, além

da proporcionalidade. No entanto, 26,67% indicaram apenas aspectos pedagógicos,

como, por exemplo, Orquídea, que discutiu questões ligadas ao perfil esperado do

professor, sobretudo relacionado aos conhecimentos pedagógicos necessários para

o ensino abordados durante o curso: “O professor precisa ser pesquisador e

compreender que cada aluno pensa de maneira diferente e também o professor

precisa dominar a disciplina e saber resolver de várias formas a mesma conta”.

Todavia, não citou quais seriam os conhecimentos específicos sobre o raciocínio

proporcional em jogo neste item.

Para desenvolver o que Llinares (2015a) denomina competência docente, é

necessário dominar e estabelecer relações entre as diferentes categorias de

conhecimentos profissionais descritas por Ball, Thames e Phelps (2008). É, portanto,

fundamental promover, durante a formação inicial, vivências que favoreçam às futuras

professoras discutir e refletir sobre a necessidade de articular diferentes estratégias

de resolução nos processos de ensino e de aprendizagem de problemas de valor

omisso.

Exporemos o item “d”.

5.8.4 O item “d” da atividade 7

E, finalizando, nossa análise revelou que 60% das futuras professoras

apontaram a resolução de Cássia como incorreta para o item “d” – “Se tiver alguma

resolução incorreta, identifique o erro e como você auxiliaria seu aluno a compreender

esse conteúdo matemático”.

Essas participantes registraram de forma genérica que ajudariam a aluna

fictícia a não utilizar a soma, mas a usar ideias de multiplicação, divisão, proporção e

fração. As Figuras 164 e 165 apresentam alguns desses registros.

226

Figura 164: Resposta de Mandala – item “d” da atividade 7

Fonte: Acervo do pesquisador

Figura 165: Resposta de Cami – item “d” da atividade 7

Fonte: Acervo do pesquisador

As 40% restantes apontaram a resolução de Cássia como incorreta, mas não

propuseram sugestões metodológicas para auxiliá-la, como podemos visualizar nas

Figuras 166 e 167, nos protocolos das participantes Carla e Tulipa, respectivamente.

Figura 166: Resposta de Carla – item “d” da atividade 7

Fonte: Acervo do pesquisador

227

Figura 167: Resposta de Tulipa – item “d” da atividade 7

Fonte: Acervo do pesquisador

Já havíamos detectado limitações do conhecimento comum do conteúdo no

item “a” 13,33%, e elas estão incluídas neste item “d”, o que dificultou sua análise.

Aqui temos uma evidência de que a limitação do conhecimento do conteúdo pode

interferir igualmente na obtenção da competência docente, ao analisar estratégias de

alunos.

A seguir está a sistematização da atividade.

5.8.5 A sistematização da atividade 7

Nosso propósito com este estudo foi verificar se as participantes seriam

capazes de identificar as estratégias utilizadas por alunos fictícios, ao resolver uma

situação de valor omisso.

Após a realização da atividade, ao discutirmos com as futuras professoras,

destacamos a importância de elas conhecerem o conteúdo (comum, especializado),

dos alunos e do ensino (BALL; THAMES; PHELPS, 2008) e pontuamos que a maior

parte delas foi capaz de argumentar, discriminar e analisar as respostas dos alunos.

Analisando as produções das participantes sob o ponto de vista desses

autores, notamos que elas relacionaram o pensamento matemático e o cognitivo.

Mesmo que algumas ainda tivessem revelado dificuldades, a maioria se enquadrou

no nível 3, ou seja, conseguiu discriminar o problema e o justificou (LLINARES,

2015a).

Um indício de tais evidências pode ser visto na discussão entre as participantes

Carla e Mariza Letícia, que resolveram novamente o problema e discutiram acerca do

que seria a proporção envolvida e qual seria o fator de proporcionalidade. Na

sistematização, as futuras professoras Carla e Mariza Letícia relataram a dificuldade

da opção pela estratégia funcional. Elas afirmaram que os alunos poderiam apresentar

228

problemas quanto ao valor do fator de proporcionalidade obtido na divisão 13 por 5.

O valor decimal resultante no caso 2,6 poderia levá-los a dificuldades e abortar tal

estratégia. Informamos novamente para as participantes que pesquisas apontam que

a forma de apresentação dos problemas e os números influenciariam na opção por

determinada maneira de resolver (LAMON, 2005; OLIVEIRA, 2009; SILVESTRE;

PONTE, 2009).

Entretanto, apesar de possuírem dificuldades quanto à nomenclatura das

estratégias, elas conseguiram identificá-las e tiveram maior facilidade na análise das

produções de Aline e Bianca, pois já compreendiam melhor tais estratégias.

Na sistematização recorremos às resoluções apresentadas pelas participantes

e procuramos discuti-las com elas, a fim de que evoluíssem acerca da competência

docente (LLINARES, 2013) de olhar com sentido para a atividade realizada por

estudantes. Pedimos que algumas delas apresentassem às colegas suas respostas

e, em seguida, fizemos com elas a sistematização das principais ideias.

Relatamos que é importante que incentivem seus futuros alunos para o

desenvolvimento do raciocínio proporcional e, para isso, se apropriem de diferentes

estratégias, pois vivenciarão situações similares às que encontraram em sala.

A seção seguinte trará a atividade 8.

5.9 A atividade 8

A atividade 8 (APÊNDICE K) consistiu em uma atividade profissional que

apresentava o seguinte enunciado: “Na figura a seguir podemos observar o Senhor

Baixo, cuja altura mede seis clipes. Se fôssemos medi-lo com palitos de fósforo,

seriam necessários quatro palitos. Ele tem um amigo, o Senhor Alto, que mede seis

palitos. Quantos clipes utilizaríamos para medir o Senhor Alto?”. E a propusemos

expondo a Figura 168.

Figura 168: Figura proposta na atividade 8

Fonte: Adaptado de Silvestre (2012, p. 127)

229

Escolhemos a essa atividade pelo fato de já haver estudos realizados sobre

ela, como os de Karplus e Karplus (1972) e Silvestre (2012), que poderiam subsidiar

nossas discussões. No entanto, infelizmente, como já dissemos aqui, esse tipo de

situação não é muito usado por professores que lecionam matemática para os anos

iniciais, como apontam os estudos de Santos (2012) e Souza (2015). Porém,

consideramos que seria importante discutir e refletir com as futuras professoras sobre

esse tipo de situação e seu ensino.

Essa atividade65 já havia sido proposta na questão 3, para que pudéssemos

identificar quais estratégias as futuras professoras utilizavam para resolver situações

que envolvem a ideia de proporcionalidade, conforme relatam Cramer e Post (1993).

No entanto, dessa vez, nosso propósito foi investigar o conhecimento profissional

docente, sobretudo a respeito do conteúdo e do ensino (BALL; THAMES; PHELPS,

2008), ou seja, procuramos descobrir se, depois de vivenciarem outras experiências,

discussões e reflexões acerca da temática, as futuras professoras seriam capazes de

identificar e analisar diferentes estratégias de resolução de alunos fictícios.

Nosso propósito com essa atividade era oferecer uma experiência de ensino

próxima à que encontrariam em suas salas. Além disso, acreditávamos que,

analisando o ocorrido nesta sessão, poderíamos, eventualmente, encontrar

evidências acerca do desenvolvimento de habilidades de resolução e interpretação de

atividades envolvendo o raciocínio proporcional pelas participantes.

A análise dos quatro itens será exposta aqui:

5.9.1 O item “a” da atividade 8

Ao analisar as respostas dadas pelas participantes ao item “a”, pretendíamos

confirmar evidências de avanços na compreensão do raciocínio proporcional,

conforme Ball, Thames e Phelps (2008). No item “a” elas teriam que identificar quais

soluções apresentadas na Figura 169 eram corretas.

65 Para garantir que a leitura da atividade 8 não interferisse no resultado da questão 3 do questionário preliminar, apresentamos uma questão de cada vez, ou seja, só depois de recolher a atividade anterior a aluna receberia a próxima atividade.

230

Figura 169: Atividade profissional de valor omisso

PRISCILA

ELIOTE

ALESSANDRA

FERNANDA

Fonte: Elaborada pelo autor

231

As futuras professoras relataram adequadamente que a solução de Priscila não

estava correta. Já havíamos percebido evoluções das participantes no conhecimento

comum do conteúdo (BALL; THAMES; PHELPS, 2008), e tal evidência pode ser

confirmada, se compararmos com o índice apresentado na resolução da questão 3 do

questionário preliminar, no qual tratamos da mesma atividade: elas teriam apenas que

resolvê-la, mas os resultados indicaram 80% de erros. Já na presente atividade

detectamos que resolveram corretamente. Corroborando esse resultado, destacamos

mais evidências nas discussões entre Carla e Mariza Letícia, conforme a imagem na

Figura 170.

Figura 170: Discussões entre Carla e Mariza Letícia

Fonte: Acervo do pesquisador

Ao nos aproximarmos das participantes, pudemos notar que elas encontraram,

por meio das estratégias escalar (Carla) e funcional (Mariza Letícia), o valor “um e

meio”, que representa o aumento entre as figuras. Seguem aqui alguns trechos da

discussão. Carla relatou: “Para encontrar a proporcionalidade, preciso dividir as

alturas com fósforos dos senhores alto e baixo, 9 dividido por 6, achei 1,5. Esse é o

tanto que aumentará de um para o outro, agora multiplico esse valor para 6 clipes e

tenho o resultado de 9 clipes”. Prosseguiu, dizendo: “Professor, esse aumento

proporcional é um e meio, os alunos, geralmente confundem e acham que é dois e

acabam errando o problema”. Mariza Leticia completou: “Mas posso fazer também

usando o senhor baixo como referência, divido sua altura em clipes 6 por 4 fósforos,

terei fator de aumento, no caso, 1,5. Pego esse valor e multiplico por 6 fósforos do

senhor alto e também chego a 9 como resposta”.

232

Este episódio exemplar permite ver avanços dessas participantes: ao se

depararem com uma situação de valor omisso, elas descreveram e discutiram sobre

duas estratégias de resolução e, ainda, reconheceram o fator de proporcionalidade,

relevante na aquisição do raciocínio proporcional.

Já nos demais itens, nossa intenção foi identificar quais categorias (BALL;

THAMES; PHELPS, 2008) haviam sido compreendidas pelas futuras professoras e o

quanto haviam avançado no olhar profissional (FERNÁNDEZ; LLINARES, 2012;

LLINARES, 2015a).

Segue aqui a apresentação do item “b”.

5.9.2 O item “b” da atividade 8

No item “b” as futuras professoras deveriam descrever e analisar as estratégias

utilizadas pelas alunas. A maioria delas procurou descrever os procedimentos usados

na atividade. Um bom exemplo dessas evidências está no protocolo de Mandala na

Figura 171.

Figura 171: Resposta de Mandala – item “b” da atividade 8

Fonte: Acervo do pesquisador

Notamos que 23% das futuras professoras registraram de forma mais genérica

os procedimentos de resolução, baseando-se nos cálculos, como foi o caso da

participante Babich apresentado na Figura 172.

Figura 172: Resposta de Babich – item “b” da atividade 8

Fonte: Acervo do pesquisador

233

Elas identificaram e descreveram os procedimentos de resolução das alunas.

É importante ressaltar indícios de que as alunas avançaram, pois o grau de

compreensão e capacidade de resolução aumentou, se compararmos com as

atividades iniciais de valor omisso. Além dos argumentos apresentados, outro ponto

a destacar é o reconhecimento, por parte de algumas, de estratégias de resolução,

como foi o caso de Orquídea, que apontou a estratégia escalar usada por Fernanda,

o que vemos na Figura 173.

Figura 173: Resposta de Orquídea– item “b” da atividade 8

Fonte: Acervo do pesquisador

Algumas participantes já usavam os termos matemáticos aos quais nos

referimos, quando apresentávamos as sistematizações nos últimos encontros; no

entanto, essa terminologia não apareceu em muitos registros ainda.

Vejamos o item “c”.

5.9.3 O item “c” da atividade 8

No item “c” as participantes deveriam mencionar os conhecimentos necessários

que o professor precisa dominar, e 75% delas associaram conhecimentos

matemáticos que vivenciaram no curso e registraram termos como: proporcionalidade,

raciocínio proporcional, regra de três, produto cruzado, multiplicação e divisão. Alguns

desses termos estão nos protocolos de Carla e Angel nas Figuras 174 e 175,

respectivamente.

Figura 174: Resposta de Carla – item “c” da atividade 8

Fonte: Acervo do pesquisador

234

Figura 175: Resposta de Angel – item “c” da atividade 8

Fonte: Acervo do pesquisador

As 25% restantes registraram aspectos pedagógicos, como Orquídea e

Margarida nas Figuras 176 e 177, respectivamente:

Figura 176: Resposta de Orquídea– item “c” da atividade 8

Fonte: Acervo do pesquisador

Figura 177: Resposta de Margarida – item “c” da atividade 8

Fonte: Acervo do pesquisador

Notamos que pelas produções apresentadas que essas participantes optaram

por registrar aspectos ligados ao ensino.

O item “d” está explicitado aqui:

5.9.4 O item “d” da atividade 8

E, por fim, no item “d”, as participantes teriam que indicar o erro da solução e a

forma como auxiliariam a aluna a compreender a situação. As produções revelam que

as participantes enxergavam as situações de maneira particular. Elas possuíam

conhecimentos ligados ao ensino que evidenciam melhoria do seu “olhar” para as

atividades profissionais de valor omisso, como prevê Llinares (2015a, 2015b) e

reconheceram a natureza dos erros, como podemos identificar na produção de

Orquídea na Figura 178.

235

Figura 178: Resposta de Orquídea– item “d” da atividade 8

Fonte: Acervo do pesquisador

A participante destacou a forma de compreensão incorreta de

proporcionalidade e apontou ideias que envolvem o raciocínio proporcional. Além de

Orquídea, a maioria das futuras professoras reconheceu a relevância de saber o que

é raciocínio proporcional e, ainda, identificar o fator de proporcionalidade e ter ideia

acerca de estratégias de resolução para ensinar a temática. Nas duas próximas

imagens – Figuras 179 e 180 – destacamos, respectivamente, os registros de Groove

e Mandala.

Figura 179: Resposta de Groove – item “d” da atividade 8

Fonte: Acervo do pesquisador

236

Figura 180: Resposta de Margarida – item “d” da atividade 8

Fonte: Acervo do pesquisador

Cabe ressaltar que até o aquele momento não tínhamos discutido com as

participantes o fato de tal problema já ter sido aplicado no questionário preliminar.

A sistematização está exposta a seguir.

5.9.5 A sistematização da atividade 8

Na sistematização procuramos discutir e refletir com as participantes

características que permeiam o raciocínio proporcional e questões relacionadas à

competência profissional de olhar com sentido para as resoluções de alunos em

situações de valor omisso.

Para conduzir as discussões, procuramos mapear o nível (LLINARES, 2015a)

do desenvolvimento do raciocínio proporcional que elas demonstravam e notamos

que, apesar de algumas terem dificuldades, como no caso de Tulipa, a maioria se

enquadrou no nível 3, uma vez que, de nosso ponto de vista, conseguiram discriminar

e justificar o problema.

Em nossas discussões sobre essa questão, refletimos com as participantes

quais seriam as atribuições do professor, apontamos a importância de verificar as

resoluções dos alunos, fazer intervenções e identificar os caminhos trilhados por eles

para resolver uma situação.

Posteriormente, destacamos a importância de conhecer as diversas maneiras

e estratégias de resolução e, ainda, como pensam os alunos: “Considero importante

que o professor saiba resolver o problema, mas é essencial que ele conheça diversas

formas de resolver, até para que ele compreenda como seus alunos estão pensando

e consiga propor caminhos para o ensino” (TULIPA).

237

Dando continuidade, Tulipa relatou para as demais que elas já haviam resolvido

tal problema na questão 3 do questionário preliminar e algumas, como Groove,

disseram que lembraram da atividade. Groove relatou a importância do curso e das

discussões promovidas: “Eu fazia tudo pela regra de três, mas não entendia direito,

percebia que tinha que aprender de fato proporção, pois teria que ensinar aos meus

alunos”. Prosseguiu, dizendo: “Nós aprendemos no curso que era importante que o

professor soubesse os procedimentos e estratégias de resolução para poder ajudar

os alunos, e que apenas a aplicação da regra não bastava, eu compreendi o que

estava fazendo”.

Neste momento Cami completou:

Eu só lembrava da regra de três, pois aprendi na escola e a aplicava sempre para obter o valor desconhecido, mas nos anos iniciais, conforme discutido aqui no curso, os documentos não indicam o uso dessa forma de resolver, podemos até organizar por grandeza e calcular os coeficientes de proporcionalidade.

Continuou e disse: “Me preocupei em aprender outras formas de resolver um

problema desse tipo e acho que melhorei” (CAMI).

Novamente tomamos a palavra e perguntamos se as demais participantes

concordavam com Groove e Cami. Tulipa revelou: “Eu tenho diversas dificuldades

com tudo relacionado a matemática, mas entendi que na minha profissão tenho que

ser matematicamente e pedagogicamente capaz para ajudar meus alunos, se eu não

aprender como vou ensinar?”. E prosseguiu: “Eu não sabia nada de

proporcionalidade, voltei a fazer supletivo depois de adulta e não aprendi direito na

escola. Com o curso percebi o quanto era importante conhecer mais profundamente

os assuntos e formas de ensinar aos alunos”.

Percebemos, com os relatos, que as futuras professoras haviam compreendido

a relevância dos conhecimentos relacionados ao conteúdo (BALL; THAMES;

PHELPS, 2008) e sua ligação com as demais categorias de conhecimento. Além

disso, destacaram a importância de compreender aspectos associados à

aprendizagem do raciocínio proporcional (BEHR; LESH; POST, 1988) e da obtenção

da competência docente de olhar com sentido para as resoluções dos estudantes

(LLINARES, 2011).

Em seguida, expusemos as resoluções contidas na atividade, e as participantes

comentaram cada uma delas. Neste momento ressaltamos a necessidade de

identificar as estratégias e as nomenclaturas corretas para cada uma.

238

Os resultados até aqui indicaram que a maioria das participantes conseguiu,

nessa atividade 8, identificar e compreender erros, e isso favoreceu a exposição de

eventuais intervenções. Mesmo entendendo que ainda precisam avançar na

proposição de encaminhamentos pedagógicos que auxiliem alunos a resolver a

atividade, elas tiveram êxito na análise das produções e também produziram registros

interessantes, que indicam avanços, como ocorreu com Tulipa e Orquídea.

Da mesma forma que na atividade 8, a 9 tratava de uma situação já resolvida

pelas participantes, e esperávamos, com ela, favorecer a discussão sobre o ocorrido

nas sessões de formação e, especialmente, ampliar as reflexões sobre o raciocínio

proporcional e seu ensino. Eis a atividade 9.

5.10 A atividade 9

A atividade 9 (APÊNDICE L) apresentava o seguinte enunciado: “No último

sábado à tarde, a família Smith foi para o teatro Starr e todos os 6 integrantes entraram

no cinema, pagando $ 10. A família West foi ver um filme no Odyssey e todos os 4

entraram no cinema, pagando $ 7. Que teatro tem melhores preços na matinê de

sábado?

Na Figura 181 apresentamos as estratégias das alunas.

239

Figura 181: Atividade profissional de comparação entre dois pares de grandezas

Cristiane

Lizzie

Debora

Mariana

Fonte: Acervo do pesquisador

240

Esta atividade já havia sido proposta na questão 4 do questionário preliminar e

envolvia a ideia de comparação entre duas grandezas. Porém, desta vez, visou à

análise de respostas de quatro alunas, nos itens: a, b, c e d. Pretendíamos com isso,

assim como na atividade anterior, analisar a competência profissional de olhar com

sentido para as resoluções de alunos em situações de comparação.

5.10.1 O item “a” da atividade 9

No item “a”, em que as participantes deveriam apontar as resoluções corretas,

todas apontaram a resolução de Lizzie como correta. Também nos chamou a atenção

que, embora tenham citado as resoluções como corretas, somente Tulipa, como

demonstra a Figura 182, identificou e descreveu o equívoco das alunas Mariana e

Débora.

Figura 182: Resposta de Tulipa – item “a” da atividade 9

Fonte: Acervo do pesquisador

Tulipa notou que as alunas fictícias Débora e Mariana inverteram os valores

que representavam o dividendo e o divisor, todavia não fez menção ao fato de que

Débora pode ter se equivocado somente no momento de registrar a operação, pois

apresentou o quociente correto. Já ao analisar os procedimentos da aluna fictícia

Mariana, Tulipa observou que ela registrou a operação com equívoco e apresentou o

valor correto da divisão em questão. Além disso, ao final, quando Tulipa afirma que

“as duas acharam o resultado de qual teatro tem melhor preço”, ela parece perceber

que as duas alunas fictícias reconheciam a ordem de grandeza dos quocientes

envolvidos. Para ratificar nossas hipóteses, questionamos Tulipa, que confirmou

nossas conjecturas.

Quanto à falta de justificativas para os equívocos das alunas fictícias, um dos

fatores dificultadores foi o fato de as grandezas estarem representadas na forma

decimal. Tais dificuldades já haviam sido identificadas nas pesquisas de Lamon (2005)

241

e de Stacey et al. (2001).

No estudo de Lamon (2005) já havia sido apresentada a mesma situação –

comparação entre preços de dois teatros –, e a pesquisadora destacou as possíveis

dificuldades de alunos em situações que envolviam números racionais com essa

representação. Isso também pode ter ocorrido em nossa investigação. Analisando as

respostas apresentadas pelas participantes nesta atividade, na perspectiva de

Llinares (2015a), entendemos que a maioria das participantes tem o Nível 266.

A seguir apresentamos o item “b”.

5.10.2 O item “b” da atividade 9

Diferentemente do ocorrido na questão 4, em que, ao sistematizarmos,

percebíamos que as participantes tinham dificuldades em descrever estratégias em

situações de comparações, elas avançaram nesta atividade no presente item, pois

todas descreveram os procedimentos usados pelas quatro alunas e, ainda, 80% delas

tiveram êxito ao discriminar o problema e justificá-lo (Nível 3), como podemos notar,

por exemplo, pelo protocolo da participante Margarida na Figura 183.

Figura 183: Resposta de Margarida – item “b” da atividade 9

Fonte: Acervo do pesquisador

Margarida identificou e descreveu os equívocos apresentados nas resoluções

de Cristiane e Débora e afirmou ter dificuldades para interpretar o equívoco de

Mariana. Procuramos, por meio da proposição dessa atividade, favorecer que as

66 Conforme já mencionamos na página 95, Llinares (2015a) afirma que, para o desenvolvimento do raciocínio proporcional no nível 2, os estudantes para professor discriminam o problema, porém não o justificam.

242

futuras professoras se deparassem com situações que lhes permitissem olhar

profissionalmente, para distinguir soluções de alunos fictícios. Para isso, dispunham

do conhecimento acerca das características do raciocínio proporcional e do

conhecimento especializado do conteúdo. O item “c”, apresentado a seguir, pretendia

levar os participantes a identificar quais conhecimentos o professor precisa dominar

em sala de aula para lecionar esse tema.

5.10.3 O item “c” da atividade 9

No item “c” todas participantes informaram os conhecimentos que o professor

precisa dominar ao lecionar o tema. Das respostas apresentadas, 60% apontaram

exclusivamente conhecimentos específicos de conteúdos matemáticos (como revela

o protocolo de Groove – Figura 184) e 30% indicaram conhecimentos pedagógicos

(como nos mostra o protocolo de Girassol – Figura 185).

Figura 184: Resposta de Groove – item “c” da atividade 9

Fonte: Acervo do pesquisador

Figura 185: Resposta de Girassol – item “c” da atividade 9

Fonte: Acervo do pesquisador

Já as 10% restantes das participantes indicaram tanto conhecimentos

pedagógicos quanto conhecimentos relacionados ao tema. O protocolo de Orquídea

na Figura 186 indica tal produção.

243

Figura 186: Resposta de Orquídea – item “c” da atividade 9

Fonte: Acervo do pesquisador

As respostas do grupo de futuros professores para esse item, assim como a

exposta por Orquídea, indicaram que, no geral, elas conseguiram citar alguns

aspectos importantes dos conhecimentos necessários para o ensino desse conteúdo

específico, como, por exemplo, a relevância de reconhecer, para, posteriormente

apresentar diferentes formas de resolução desse problema. Nesse contexto, assim

como para Orquídea, parecia ser consenso entre as participantes a necessidade de

conhecer uma maior diversidade de estratégias, que já parecia fazer parte do conjunto

de conhecimentos necessários para o desenvolvimento do ensino dessa temática. A

partir dessa constatação, inferimos que tal fato parece ter favorecido também o

reconhecimento da necessidade de conhecimentos pedagógicos desse conteúdo

para o ensino.

5.10.4 O item “d” da atividade 9

E, para finalizar a análise, o item “d” previa a identificação das respostas

incorretas e a forma de auxílio para compreender o presente conteúdo. Ao

verificarmos as produções, detectamos que 80% das futuras professoras

apresentaram maneiras de auxiliar a aluna Cristiane, como apontam os protocolos de

Nilma e Angel, nas Figuras 187 e 188, respectivamente.

244

Figura 187: Resposta de Nilma – item “d” da atividade 9

Fonte: Acervo do pesquisador

Figura 188: Resposta de Angel – item “d” da atividade 9

Fonte: Acervo do pesquisador

As demais professoras, da mesma forma que Nilma e Angel, demonstraram

preocupar-se em registrar quais conhecimentos matemáticos deveriam desenvolver

com os alunos – conceito da divisão –, mas ainda não expuseram exemplos e

contraexemplos detalhados que pudessem favorecer a compreensão da situação.

Quanto ao conhecimento pedagógico do conteúdo, as participantes que o citaram

preocuparam-se com o fato de o professor considerar o protagonismo do estudante.

Angel, por exemplo, preocupa-se com a postura mediadora do professor.

As respostas das futuras professoras indicaram que nem todas conseguem

analisar corretamente a situação de comparação entre dois fatores de

proporcionalidade. O resultado pode ser considerado, de certa forma, satisfatório –

afinal, as participantes haviam tido pouco contato com atividades de comparação.

Além disso, entendíamos que os números escolhidos poderiam ter influenciado esse

índice de acertos (GREER; MANGAN, 1984; VERGNAUD, 2009), como foi detectado

245

nos estudos de Lamon (2005), ao apresentar tal problema. Pensamos em analisar os

conhecimentos profissionais das futuras professoras em situações de comparação de

grandezas, visando à obtenção do raciocínio proporcional.

A seguir exporemos a sistematização da atividade 9, em que buscamos

aprofundar um pouco mais as discussões sobre o ensino desse tipo de situação.

5.10.5 A sistematização da atividade 9

Nossa intenção nesta atividade foi verificar se as participantes analisavam

corretamente estratégias utilizadas por alunas ao resolver uma situação de

comparação entre duas grandezas. Fizemos as discussões com as participantes

acerca das produções das alunas e refletimos com elas a necessidade do

conhecimento comum e especializado de problemas de comparação (BALL;

THAMES; PHELPS, 2008).

Na presente sistematização, procuramos avançar na compreensão da

competência docente proposta por Fernández e Llinares (2012) e Llinares (2015a,

2015b). Expusemos as resoluções de cada aluna e, em seguida, solicitamos às

participantes que identificassem ou não eventuais equívocos. Já havíamos notado que

as participantes estavam mais familiarizadas com o tema e com as colegas de curso.

Elas se sentiam mais preparadas para as discussões, como pudemos verificar em

Tulipa, que de imediato relatou como pensou: “Gente, Cristiane multiplicou os valores

e não tem nada a ver com os preços dos ingressos” e continuou: “Debora e Mariana

inverteram a divisão, mas Debora acertou os resultados, ela deve ter feito certo, mas

escrito errado e Lizzie acertou o problema”.

Algumas participantes complementaram, como foi o caso de Orquídea, que

também apresentou as estratégias de resolução e suas conjecturas. Neste momento

sugerimos que as futuras professoras que possuíam dificuldades se apropriassem das

respostas corretas das colegas e verificassem seus erros, como no caso de Babich,

que pediu para Orquídea lhe explicar como havia procedido. A imagem de tal

explicação está na Figura 189.

246

Figura 189: Orquídea explicando sua produção

Fonte: Acervo do pesquisador

Os resultados mostram que as participantes sabem resolver tais atividades,

apesar de algumas terem dificuldades em distinguir todas as respostas apresentadas

no item “a”. Elas analisaram as produções e ainda produziram registros interessantes,

que indicam avanços, como, por exemplo, as futuras professoras Tulipa e Orquídea.

Por exemplo, discutiram com Angel:

Tulipa: Eu não tinha pensado que Mariana poderia ter realizado uma estratégia correta ou incorreta. Orquídea: É verdade, se ela pensou em utilizar o valor unitário, ela realizou o cálculo errado, pois ela deveria dividir os 10 dólares pelos 6 componentes da família Smith e 7 dólares pelos 4 integrantes da família West. Angel: Esse valor unitário é aquele que quase todo mundo usa quando sai da escola, mas ela está certa, não é? Tulipa: Está sim, esse é um jeito mecânico de pensar naquele esquema que vimos com grandezas diferentes [referindo-se ao fator funcional analisado na quarta proporcional], mas se eu pensar na mesma grandeza [fator escalar], eu uso o raciocínio proporcional, não é? (Orquídea: Verdade, eu acho que Mariana pode até ter feito certo, se ela procurou calcular o coeficiente funcional do preço pago pelas duas famílias e chegou à conclusão que o preço pago pela Odyssey foi maior.

Durante essa sessão as indicações acerca das possíveis intervenções ainda

estavam focadas a “explicar” aos estudantes a ideia envolvida. À medida que as

reflexões sobre o conteúdo foram ampliadas, outras sugestões para proceder ao

ensino também foram surgindo, como, por exemplo, pedir para os alunos investigarem

247

nas calculadoras os valores encontrados, utilizar tabelas, acerca dos teatros para

representar a situação.

As respostas do grupo indicaram que à medida que alguns aspectos

importantes desse conteúdo específico, como, por exemplo, a compreensão do

significado do fator escalar e funcional, foram sendo discutidos, foi possível identificar

que as indicações de procedimentos pedagógicos também foram ampliadas.

A atividade 10 será apresentada em seguida.

5.11 A atividade 10

A atividade 10 envolveu a não proporcionalidade. Pensamos em tal situação,

por ser uma das características requeridas para o raciocínio proporcional. Além disso,

surgiram dificuldades para distinguir situações proporcionais de não proporcionais e

estudos apresentados na revisão de literatura indicam a relevância de problemas

dessa natureza (CRAMER; POST, 1993; FERNÁNDEZ; LLINARES, 2012; NUNES;

COSTA, 2016; OLIVEIRA, 2009; POST; BEHR; LESH, 1995; SILVESTRE; PONTE,

2009, entre outros).

O problema em questão já havia sido proposto nos estudos de Fernández e

Llinares (2012) e continha o seguinte enunciado: “Raquel e Juan estão plantando

flores, plantam na mesma velocidade, mas Juan começou antes. Quando Raquel

havia plantado 4 flores, Juan já havia plantado 12 flores. Se Raquel plantou 20 flores,

quantas plantou Juan?”.

Uma situação envolvendo a ideia de não proporcionalidade já havia sido

apresentada na questão 6 no questionário preliminar, porém, nesta atividade

profissional as participantes teriam que identificar a não proporcionalidade e analisar

as respostas de dois alunos (João e Marcos). Estes são os itens e suas respectivas

análises:

5.11.1 O item “a” da atividade 10

A análise das produções das participantes deixa ver que no item “a” apenas

20% delas reconheceram que a situação apresentada não envolve proporção, como

foi o caso da participante Nilma, apresentado na Figura 190:

248

Figura 190: Resposta de Nilma – item “a” da atividade 9

Fonte: Acervo do pesquisador

Nilma reconheceu que Raquel e Juan plantavam na mesma velocidade, mas

não na mesma proporção. Perguntamos para a Nilma por que ela achava isso. Ela

respondeu: “Eles plantam na mesma velocidade, mas o que me levou a responder

‘Não’ é que Juan começou antes”. Enquanto o grupo estava resolvendo a atividade,

percebemos que a participante havia entendido o motivo de a situação não ser

proporcional e pediu para prosseguir e responder aos demais itens. As outras futuras

professoras não conseguiram acertar esse item “a”, como revelam os protocolos de

Groove e Sempre Viva, respectivamente, nas Figuras 191 e 192.

Figura 191: Resposta de Groove – item “a” da atividade 9

Fonte: Acervo do pesquisador

249

Figura 192: Resposta de Sempre Viva – item “a” da atividade 9

Fonte: Acervo do pesquisador

Essas participantes, assim como as outras que erraram o problema, podem ter

sido levadas ao equívoco por terem feito atividades anteriores como

proporcionalidade. Dessa forma, de acordo com Llinares (2015a, p. 102), a maioria

delas se enquadra no nível 1 do desenvolvimento do raciocínio proporcional, ou seja,

não foram capazes de discriminar o problema que envolvia uma situação de não

proporcionalidade.

Ademais, as participantes, antes de ensinar tais conceitos, precisam ter clara a

distinção entre situações proporcionais e não proporcionais (POST; BEHR; LESH,

1995). Por essa razão propusemos essa atividade. Detectamos, ao analisar os

protocolos, que, apesar de apresentarem dificuldades em distinguir tais situações, as

participantes melhoraram a capacidade de distinguir situações não proporcionais. Tal

afirmação pode ser confirmada, se compararmos com o item “b” da questão 6 do

questionário preliminar, em que nenhuma futura professora havia reconhecido que o

problema não envolve proporcionalidade.

A seguir o item “b” será abordado.

250

5.11.2 O item “b” da atividade 10

O item “b” previa a descrição das estratégias de João e Marcos, e, na Figura

193, apresentamos as estratégias usadas por eles.

Figura 193: Atividade profissional de não proporcionalidade

Resolução de João

Resolução de Marcos

Fonte: Acervo do pesquisador

Os resultados indicaram que as futuras professoras avançaram os

conhecimentos acerca do conteúdo (BALL; THAMES; PHELPS, 2008). Embora a

maioria das participantes tenha revelado dificuldades em discriminar o problema, 80%

delas descreveram estratégias e procedimentos usados pelos alunos. Neste item, ao

fazer tais descrições, demonstraram certo domínio do conteúdo especializado, como

foi o caso de B e Tulipa, apresentado nas Figuras 194 e 195, respectivamente.

Figura 194: Resposta de B – item “b” da atividade 10

Fonte: Acervo do pesquisador

251

Figura 195: Resposta de Tulipa – item “b” da atividade 10

Fonte: Acervo do pesquisador

Tanto Tulipa e B como as outras participantes descreveram estratégias

multiplicativas e aditivas. Algumas delas focavam mais na descrição das operações e

outras já se utilizavam da terminologia matemática para as estratégias. No geral, as

participantes evoluíram em relação às atividades iniciais, em que revelaram

dificuldades na compreensão, na resolução e no reconhecimento dos problemas.

Nesta atividade, embora ainda hesitassem para reconhecer a não

proporcionalidade, elas apresentaram certa maturidade acerca do olhar profissional

essencial para o avanço do raciocínio proporcional.

A seguir a análise do item “c” será apresentada.

5.11.3 O item “c” da atividade 10

No item “c” as participantes teriam que apontar qual dos alunos, João ou

Marcos, acertou a questão. Além de identificar a proporcionalidade na situação

proposta anteriormente, as futuras professoras deveriam verificar a resolução correta,

tendo em vista que faz parte do conhecimento comum do conteúdo (BALL; THAMES;

PHELPS, 2008) requerido delas para os anos iniciais.

Pelos resultados, 80% delas conseguiram apontar a resolução de João como

correta e, dentre as 20% restantes, algumas se apropriaram de estratégias aditivas.

Um exemplo foi Sempre Viva, que, no item “a”, classificou a resposta de Marcos como

certa e usou estratégia aditiva para justificar sua resposta, como revela a Figura 191.

A seguir apresentamos a análise do item “d”.

252

5.11.4 O item “d” da atividade 10

Enfim, no item “d”, as participantes deveriam relatar sua forma de intervenção

para as respostas de João e Marcos. Elas registraram genericamente as formas de

intervenção. O protocolo de Angel na Figura 196 demonstra esse registro.

Figura 196: Resposta de Angel – item “d” da atividade 10

Fonte: Acervo do pesquisador

Notamos que 50% das participantes, incluindo Angel, não especificaram como

interviriam e como auxiliariam os alunos a compreender esse item. Já os 50%

restantes incluíram soluções referentes à ideia de proporcionalidade, o que já

prevíamos pelos resultados apresentados no item “a”, como aponta o protocolo de

Groove na Figuras 197.

Figura 197: Resposta de Groove – item “d” da atividade 10

Fonte: Acervo do pesquisador

253

Ao analisar o protocolo de Groove e das outras participantes desse índice,

pudemos notar que elas avançaram nas estratégias de resolução relacionadas ao

raciocínio proporcional, apesar de a situação não envolver proporcionalidade.

Faremos, a seguir, a sistematização da atividade 10.

5.11.5 A sistematização da atividade 10

Nesta atividade procuramos verificar se as participantes eram capazes de

diferenciar situações proporcionais e não proporcionais, tendo em vista que os

documentos oficiais destacam a importância de “abordar problemas de vários pontos

de vista e também identificar situações em que o que está em jogo é a não-

proporcionalidade” (BRASIL, 1997, p.38).

Além disso, procuramos identificar o grau de competência docente das

participantes, ao apresentar suas formas de intervenção para as resoluções de João

e Marcos. Ademais, verificamos os conhecimentos adquiridos pelas futuras

professoras, ao apontarem as resoluções corretas e descreverem estratégias de

resolução.

Na sistematização, discutimos com as participantes acerca dos conhecimentos

do conteúdo incorporados por elas. E apresentamos a elas os índices da questão 6

do questionário preliminar e os resultados do item “a” da atividade 10.

Devido aos resultados, procuramos refletir com as participantes o que

diferencia uma situação de proporcionalidade de uma situação de não

proporcionalidade. Apresentamos no quadro alguns exemplos de problemas com

proporcionalidade e, em seguida, problemas não proporcionais; e apontamos quais

características cada um possui. Elas relataram que, por terem feito atividades de

proporcionalidade, fixaram seu pensamento nesse aspecto. Tulipa relatou: “Eu achei

estranho mesmo; esse enunciado começou antes, fiquei meio na dúvida, mas, como

estamos estudando proporcionalidade, coloquei que era proporcionalidade”. Sua

expressão está revelada na Figura 198.

254

Figura 198: Tulipa em seu relato

Fonte: Acervo do pesquisador

Em seguida, Angel completou e relatou: “Eu tive a mesma impressão professor,

achei estranha a resolução de Marcos”. Prosseguiu e disse: “Eu também tive

dificuldade para saber se influenciaria no problema o fato de Raquel ter começado

antes”.

Relatamos que as participantes precisam saber identificar as características de

problemas matemáticos, pois é fundamental que elas, em atuação profissional,

apresentem uma competência docente apurada, ao ensinar aos alunos. Para tal,

necessitam de um olhar profissional agudo, e, além disso, precisam conhecer, de

forma especializada, o conteúdo e saber quais são as potencialidade e dificuldades

de cada situação e dos alunos. Os resultados indicaram que as participantes precisam

ainda melhorar no reconhecimento de situações não proporcionais e avançar mais

nas maneiras de intervenção.

A seguir apresentamos o memorial reflexivo.

255

5.12 O memorial reflexivo

O memorial reflexivo foi uma atividade em que as futuras professoras

registraram suas impressões sobre o curso, ou seja, as participantes puderam refletir

sobre suas trajetórias ao longo das seções e sobre o que incorporaram em sua

formação.

Esse memorial apresentou a seguinte proposta: “Agora você fará um memorial

sobre nosso curso, ou seja, relatará o que aprendeu, em que tem dúvida, o que até o

presente momento contribuiu para sua aprendizagem e o que será relevante para

desenvolver seu trabalho com seus alunos futuramente” (APÊNDICE N).

Os protocolos demonstraram que o curso de formação foi importante para todas

as integrantes do grupo de futuras professoras investigadas. Algumas alegam que sua

participação contribuiu para o seu desenvolvimento profissional, como é o caso de

Nilma (ANEXO A), quando relata: “Este curso terá uma grande importância para o

meu futuro profissional”. Corroborando, Angel (ANEXO B) registrou: “O curso

contribuiu de forma significativa e positiva para minha formação como docente”.

Outras destacaram a importância para o esclarecimento de dúvidas quanto ao

conteúdo matemático, como Tulipa (ANEXO C), por exemplo, quando afirma: “O curso

está sendo uma grande oportunidade para mim! Tanto para o esclarecimento de

algumas dúvidas e superar algumas dificuldades que tenho (em frações)”. Outro

exemplo de relevância de aspectos ligados aos conteúdos foi o da participante

Girassol (ANEXO D), ao descrever: ”Compreendi mais sobre adição, fração também

regra de três”.

Ademais, algumas participantes, como Orquídea (ANEXO E), destacaram a

relevância do raciocínio proporcional e sua presença no cotidiano: ”Quando comecei

o curso eu não tinha noção de proporcionalidade. E ao longo do curso pude perceber

que a proporcionalidade está ligada a tudo ao nosso redor, e que usamos diariamente

em diversas situações”. Complementando, Duda (ANEXO F) também ressaltou a

proporcionalidade no dia a dia: ”Percebi que a proporção está presente no nosso

cotidiano e que na maior parte do tempo trabalho proporcionalmente”.

Dessa forma, detectamos que as participantes haviam relacionado o raciocínio

proporcional a situações rotineiras debatidas em discussões, e isso foi fruto das ações

realizadas durante a formação. Naquele momento, elas pareciam ter entendido a

256

importância de dar sentido às atividades nos anos iniciais e de desenvolver reflexões

e debates em sala.

Notamos ainda que muitas delas valorizaram toda a experiência vivida e

consideraram que as levarão para as suas salas de aula. A estudante Groove (ANEXO

G), por exemplo, deu muito valor às nossas vivências, em que discutíamos as diversas

estratégias dos alunos. Assim afirmou: “Com certeza vou levar essa base para sala

de aula e tentar ensinar várias formas de chegar a um resultado com os alunos

levando em consideração o conhecimento e a experiência de cada um”. Além disso,

Groove apresentava a mecanização como ponto forte para as situações de

proporcionalidade. Durante a formação, por meio das atividades, das discussões e

das reflexões, ela incorporou outras características a sua formação. A participante

percebeu, ao longo do curso, que apenas a regra do produto cruzado não era

suficiente. Ela compreendeu que, como professora dos anos iniciais, teria que

aprender diferentes formas de resolução problemas de proporcionalidade. Inclusive,

assim como suas colegas de curso, precisará, ao longo da atuação profissional,

analisar atividades profissionais, pois serão situações que enfrentarão no exercício de

suas funções como professoras.

Os registros, os relatos, as sistematizações e, ainda, o memorial reflexivo

destacaram o valor dado pelas participantes para as vivências, as discussões e as

reflexões sobre o raciocínio proporcional. Foram unânimes em apontar a importância

do curso.

As considerações finais desta investigação virão no próximo segmento.

257

CONSIDERAÇÕES FINAIS

Nesta seção fazemos as considerações finais de nosso estudo, descrevendo,

de forma sucinta, as etapas percorridas. Procuramos sistematizar as ideias e

responder às questões de pesquisa explicitadas na introdução da tese, por meio da

análise do ocorrido na formação; buscamos ainda apresentar uma síntese das

dificuldades e das evoluções vividas pelas futuras professoras. Reportamo-nos,

portanto à introdução, ao objetivo e às questões de pesquisa.

Síntese da introdução e do objetivo e questões de pesquisa

Neste estudo, pela experiência obtida ao longo da carreira como professor,

observamos dificuldades na compreensão de situações que envolvem o raciocínio

proporcional, tanto em alunos da Educação Básica como em estudantes do Ensino

Superior.

A partir de algumas reflexões e leituras, entendíamos que uma formação inicial

envolvendo ideias ligadas ao raciocínio proporcional poderia contribuir para a atuação

profissional das futuras professoras, estudantes de um curso de Pedagogia de uma

universidade particular da Grande São Paulo.

Visando compreender os processos de ensino e de aprendizagem da

matemática para os anos iniciais e a formação inicial do professor que lecionará

matemática nesta fase escolar, projetamos a formação. Partimos da hipótese de que

uma investigação inicial em um processo formativo poderia auxiliar as participantes a

compreenderem melhor a importância do ensino da matemática nos anos iniciais.

Convidamos estudantes do curso de Pedagogia de semestres distintos para

um curso com duração de 20 horas que seria realizado fora do seu período de aula.

Para aquelas que aceitaram o convite, propusemos, já no protocolo de inscrição, que

respondessem a algumas questões (ANEXO A) sobre o seu perfil e sobre as

experiências vivenciadas com o tema a ser tratado no curso. Pelas respostas

apresentadas, as participantes aparentemente apresentavam dificuldades com o tema

e, tomando esses resultados como ponto de partida, desenhamos um processo

formativo que seria o cenário desta investigação. Para desenvolver este estudo

buscamos atingir o seguinte objetivo: Analisar a competência docente e os

conhecimentos profissionais desenvolvidos pelas participantes de um curso de

258

formação docente para o ensino do raciocínio proporcional. Para chegar ao

objetivo, procuramos responder às duas questões de pesquisa:

a) Quais competências relativas ao olhar profissional do pensamento

matemático de alunos são evidenciadas por futuras professoras durante

sua participação em um curso de formação inicial?

b) Quais conhecimentos profissionais são revelados por um grupo de

estudantes de pedagogia a respeito de situações envolvendo raciocínio

proporcional durante a participação de um curso?

Após a elaboração das questões e do objetivo para desenvolver a presente

pesquisa, propusemos dois estudos: o primeiro, de natureza analítico-descritiva, no

qual buscamos traçar um perfil profissional das futuras professoras, por meio das

respostas dadas por elas a um questionário preliminar. No segundo estudo, de caráter

intervencionista, desenvolvemos e analisamos uma formação inicial com as

participantes.

Procuramos identificar conhecimentos profissionais e competências relativas

ao olhar profissional do seu pensamento matemático e seus conhecimentos sobre o

raciocínio proporcional na formação.

A seguir explicitamos as etapas da pesquisa.

Síntese das etapas da pesquisa

Para desenvolver e delinear a pesquisa, conforme apontado no Quadro 3,

optamos por dividi-la em três etapas, que descrevemos aqui de forma resumida.

A primeira etapa consistiu na revisão de literatura. Apontamos a relevância do

tema e organizamos a revisão de forma temática: raciocínio proporcional, pensamento

proporcional e proporcionalidade; raciocínio proporcional: alguns pressupostos;

proporção e raciocínio proporcional em crianças; formação de professores e raciocínio

proporcional; o que propõem os documentos acerca do uso de diferentes tecnologias

no ensino.

Para contemplar os temas escolhidos para a revisão, inserimos uma bibliografia

que correspondesse às nossas expectativas. Os estudos contidos na revisão são

muito referenciados por outros pesquisadores, dentre os quais destacamos: Lesh,

Post e Behr; Lamon; Post, Behr e Lesh; Silvestre e Ponte.

259

Corroborando a revisão e visando fortalecer nossa pesquisa, inserimos os

documentos mais utilizados no Brasil: os Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL,

1997, 1998) e a Base Nacional Comum Curricular (BRASIL, 2017), que contêm

orientações pertinentes à temática e a questões ligadas ao ensino, o que muito nos

ajudou na elaboração, bem como na investigação, na formação e na análise.

Para fechar os conceitos teóricos, escolhemos os estudos de Llinares (2015a,

2015b) e de Llinares e Fernández (2012), a respeito do olhar profissional e da

competência docente; e de Ball, Thames e Phelps (2008), sobre os conhecimentos

necessários ao ensino.

Após estudar e verificar as convergências, identificar lacunas existentes,

localizar a pesquisa e consolidar nossa posição em relação aos trabalhos

investigados, apresentamos aqui a segunda fase desta investigação, destinada à

pesquisa de campo, na qual planejamos um processo formativo.

Para a condução da pesquisa, decidimos utilizar uma metodologia qualitativa

que nos permitisse um modelo próprio, que considerasse o progresso do aluno em

uma comunicação mais próxima à de uma sala aula. Dessa forma, pudemos analisar

e redesenhar constantemente a formação, à medida que detectávamos essa

necessidade.

Realizamos um estudo, de caráter qualitativo, com 30 participantes, com as

quais promovemos reflexões compartilhadas sobre práticas docentes para o ensino e

a aprendizagem do raciocínio proporcional e do olhar profissional sobre seu ensino.

Ao longo das 10 seções de duas horas cada (20 horas), foi possível analisar, discutir,

refletir e promover um processo de aprendizagem, uma vez que a forma de pensar

das participantes exerceu uma função importante, ou seja, se constituiu em um

instrumento que favoreceu a reflexão, deu indicações para que realizássemos a

intervenção ou, até, procurássemos um novo ponto a discutir, no decorrer do trajeto

da pesquisa. O processo formativo foi desenvolvido no segundo semestre letivo de

2016, no qual observamos algumas ausências dentre as participantes em algumas

das sessões. Em contato com as futuras professoras, elas afirmaram que se

encontravam em período de provas e trabalhos finais, o que dificultou sua participação

em todos os encontros.

E, enfim, a terceira etapa foi concebida para a análise dos dados, que teve

como objetivo: Analisar a competência docente e os conhecimentos profissionais

desenvolvidos pelas participantes de um curso de formação docente para o

260

ensino do raciocínio proporcional.

Nessa etapa, aplicamos situações de cunho diagnóstico (questionário

preliminar), atividades de resolução (1 a 6) e atividades profissionais (7 a 10) e, ao

final, propusemos a elaboração de um memorial reflexivo.

A seguir faremos uma síntese das atividades.

Síntese do questionário preliminar

As participantes responderam um questionário preliminar que possuía seis

questões, e a análise das produções e as discussões apresentadas nas gravações

nos levou a concluir que a maioria das futuras professoras apresentou dificuldades

em resolver problemas envolvendo a ideia de proporcionalidade. Apesar das

dificuldades, a maioria conseguiu identificar a proporcionalidade em questões

objetivas.

Detectamos, por meio da análise do relato das participantes durante o

preenchimento do protocolo de inscrição, que tais dificuldades se deram pelo fato de

elas não lembrarem do conteúdo ou por não terem aprendido na escola. Outra

explicação para as dificuldades encontradas, confirmada durante a formação foi o uso

do produto cruzado sem a devida compreensão.

Ademais, detectamos ainda que a maioria delas revelou dificuldades para

diferenciar problemas de proporcionalidade daqueles de não proporcionalidade.

Resultados como os nossos também foram encontrados nos estudos de Nunes e

Costa (2016). Em nossa pesquisa, no item “b” da questão 6 do questionário, não

houve nenhum acerto. Solicitamos que, após a resolução do problema, as

participantes respondessem se a situação envolvia a ideia de proporcionalidade, e o

porquê. No entanto, quando a questão solicitou apenas a distinção, numa proposta

objetiva (itens “b”, “c” e “e” da questão 5 – questionário preliminar), a maioria teve

sucesso.

Após o questionário preliminar, pensamos em ampliar a compreensão das

futuras professoras sobre o conteúdo e a competência docente de olhar

profissionalmente para atividades matemáticas e, para isso, apresentamos uma

atividade introdutória e seis atividades de resolução, com o propósito de identificar

competências relativas ao olhar profissional das futuras professoras e aos seus

conhecimentos profissionais a respeito do raciocínio proporcional.

261

A seguir apresentamos a síntese das atividades de resolução.

Síntese das atividades de resolução

Na atividade introdutória, a intenção foi proporcionar que as participantes

tivessem contato com o raciocínio proporcional por meio de situações de ampliação e

redução de figuras planas. Pretendíamos que compreendessem as relações

proporcionais existentes e explorassem algumas ideias do raciocínio proporcional.

Projetamos uma imagem no datashow e, conforme alterávamos as dimensões

(largura e altura) da figura com o mouse, as futuras professoras informavam o que

ocorria e se a figura era ou não proporcional. Essa situação revelou que as

participantes aparentemente entenderam quais ideias eram requeridas delas ali e, a

partir dos resultados, aplicamos as seis atividades de resolução.

A atividade 1 continha quatro itens e envolvia a ampliação e a redução de uma

figura (casinha) numa malha quadriculada. Pudemos detectar que, apesar das

dificuldades, elas a relacionaram com a atividade "Alterando o rosto do professor".

Nos itens “a” e “b” a maioria das participantes compreendeu a ideia que envolve a

covariação das grandezas, apesar das dificuldades iniciais na interpretação do

problema. No entanto, nos itens “c” e “d” a situação pedia delas que reconhecessem

e usassem um número racional para o fator de proporcionalidade. A maioria

apresentou dificuldades.

Identificamos lacunas no trabalho com os números racionais tanto na atividade

anterior como no questionário preliminar, e inserimos a atividade 2, que teve como

apoio um recurso tecnológico (computador) e um objeto de aprendizagem

denominado "Proporcionalidade e semelhança". A atividade 2 continha situações

introdutórias de reconhecimento do recurso, visando à compreensão do objeto de

aprendizagem, atividades envolvendo a ampliação e a redução de uma imagem (foto

de João) e a exploração do fator de proporcionalidade nas dimensões largura e altura.

Detectamos que, nos itens que solicitavam as ideias de dobro e metade, “a” e “c”, elas

tiveram êxito tanto para dobrar as dimensões da imagem de João quanto para reduzir

ao meio. Tais resultados já haviam sido aflorados na atividade anterior. Isso nos levou

a concluir que, em situações que envolvem dobrar ou reduzir figuras planas, a maioria

das participantes resolve problemas de proporcionalidade.

Já em situações que envolviam números racionais a maioria, assim como na

262

atividade 1, ainda tinha dificuldades. Entretanto, houve avanços, pois no item “d” elas

perceberam a semelhança dele com o item “b”. Por já terem resolvido uma situação

parecida, elas conseguiram solucionar o que lhes era requerido neste último item da

atividade.

A maior parte das participantes apresentou conhecimentos acerca do

conteúdo. Elas resolveram situações envolvendo estratégias de resolução: relação

escalar e funcional. Ademais, a maioria das futuras professoras compreendeu,

reconheceu e utilizou o fator de proporcionalidade corretamente, embora algumas,

como Tulipa, ainda apresentassem dificuldades ao relacionar o raciocínio proporcional

às relações multiplicativas e não aditivas.

Tais constatações nos permitem evidenciar certas competências referentes ao

olhar profissional do pensamento matemático das participantes nesses primeiros itens

de situações de covariância ligadas às ideias de dobro e metade. Essas ideias vão ao

encontro das indicações contidas nos PCN (BRASIL, 1997), na BNCC (BRASIL, 2017)

e nos estudos de Lamon (2005) e Spinillo (1992), que indicam a inserção de dobro e

metade em problemas de proporcionalidade. No entanto, por concordarmos com

Fernández e Llinares (2012) e Oliveira (2009), entendíamos que as futuras

professoras ainda precisavam evoluir em situações de proporcionalidade em que o

fator de proporcionalidade é um número não natural.

Visando ampliar os conhecimentos profissionais e avançar a respeito do

conteúdo, inserimos uma situação envolvendo ampliação e redução de figuras planas

com o apoio do material concreto (barrinhas coloridas), pois ainda naquele momento

algumas ideias precisavam ser compreendidas com mais clareza pelas participantes.

Nessa atividade, a maioria das futuras professoras revelou certa compreensão da

covariação com diferentes números, ampliando assim as ideias iniciais de dobro e

metade, embora Binna e Tulipa ainda apresentassem dificuldades quando a atividade

requeria o uso de números racionais (frações e decimais). A maior parte conseguiu

resolver corretamente todos itens da situação, independentemente dos números

usados para a elaboração da atividade, demonstrando avanços nos conhecimentos

do conteúdo (BALL; THAMES; PHELPS, 2008). Elas utilizaram estratégias distintas

para resolver os itens dessa atividade. Por exemplo, no item “a”, 81% delas utilizaram

a estratégia “up down”. Já no item “b” cerca de 92% utilizaram a “estratégia funcional”.

No item “c” a maioria – 75% das participantes – optou pela estratégia escalar. E, por

fim, no item “d”, 75% delas usaram a estratégia funcional.

263

Ademais, a escolha, pelas participantes, de certas estratégias em detrimento

de outras se deu pela maneira como propusemos a atividade e pelos números

utilizados por nós. Nossos resultados se assemelharam aos de Post, Behr e Lesh

(1995); Lamon (2005); Gitirana et al. (2004); Silvestre e Ponte (2009).

Para ampliar as reflexões das participantes, exploramos situações de

proporcionalidade voltadas para o cotidiano delas, associadas às ideias de dobro e

metade. Dessa forma, aplicamos a atividade 4, que requeria delas o aumento e a

diminuição proporcional dos ingredientes de uma receita de bolo. Os resultados

apontaram que a maioria resolveu corretamente, embora as dificuldades de algumas

participantes, como Tulipa e Binna, residissem nos ingredientes com o valor

fracionário.

Já a atividade 5 teve o mesmo enunciado da situação anterior, porém envolvia

a mobilização de estratégias para expandir apenas as ideias vinculadas a dobro e

metade, tendo em vista que o fator de proporcionalidade envolveu um número não

inteiro. As participantes utilizaram estratégias distintas: umas optaram pela estratégia

da taxa unitária, outras pela estratégia escalar, até mesmo Tulipa e Binna

conseguiram resolver o item que trazia uma fração. As participantes usaram e

relacionaram a porcentagem de 75% da receita original. Dessa forma, concluímos

que, apesar das dificuldades de algumas participantes com o último ingrediente, por

se tratar de uma fração, houve ampliação de competências relativas ao olhar do

raciocínio proporcional (LAMON, 2005).

Na última atividade a ser resolvida (atividade 6), propusemos uma situação de

valor omisso, cujo propósito foi verificar a forma de resolução das participantes e quais

estratégias afloravam. Como já mencionamos aqui, situações de valor omisso são

muito citadas nos programas curriculares (BRASIL, 1998; BRASIL, 2017). No entanto,

não são pouco usadas nos anos iniciais (SANTOS, 2012; Souza, 2015), e esse foi um

dos motivos que nos levou a utilizá-las em nossa pesquisa.

Houve avanços no tocante aos conhecimentos profissionais das futuras

professoras, pois todas resolveram corretamente a situação. As participantes

apontaram, em suas produções, diferentes estratégias (regra de três, funcional,

escalar e taxa unitária) de resolução. Uma evidência disso, foi que 35,71% delas

resolveram a atividade de duas formas diferentes, mesmo sem ter a atividade

solicitado duas resoluções.

A seguir faremos a síntese das atividades profissionais.

264

Síntese das atividades profissionais

Após a inserção e a análise das atividades de resolução, foram aplicadas três

atividades profissionais (7, 8 e 9), cuja finalidade foi verificar quais conhecimentos

profissionais haviam sido construídos (BALL; THAMES; PHELPS, 2008). Além disso,

verificamos se as futuras professoras desenvolviam a competência docente

(FERNÁNDEZ; LLINARES, 2012; LLINARES, 2015a, 2015b).

A atividade 7 (situação de valor omisso) apresentava quatro itens, “a, b, c e d”,

na qual eram solicitadas a identificação e a análise das estratégias utilizadas por

alunos fictícios. No item “a”, a maioria – 86,67% das participantes – apontou

corretamente as resoluções das alunas. Já no item “b” as participantes descreveram

de maneira correta as estratégias utilizadas por alunos fictícios, embora tivessem

apontado a nomenclatura da estratégia usada. No item “c” a maioria das participantes

em seus registros descreveu: procedimentos de cálculo associados à regra de três, à

multiplicação, à divisão, a frações e à proporcionalidade. Já algumas delas indicaram

apenas aspectos pedagógicos, E, por fim, no item “d”, 60% das futuras professoras

apontaram a resolução de Cássia como incorreta.

A atividade 8 (valor omisso) já havia sido proposta na questão 3 do questionário

preliminar, e há estudos realizados sobre ela, como os de Karplus e Karplus (1972) e

Silvestre (2012). Nossa intenção foi ampliar a análise numa situação de valor omisso

já desenvolvida pelas futuras professoras e identificar se avançariam na competência

docente relativa ao seu olhar profissional, ao analisar uma atividade profissional. Para

a presente atividade foi solicitado que as participantes respondessem a quatro itens.

No item “a” detectamos avanços nos conhecimentos: comum do conteúdo e do

currículo. Elas descreveram e discutiram sobre estratégias de resolução e

reconheceram o fator de proporcionalidade. Já no item “b” a maioria delas descreveu

os procedimentos utilizados por elas na atividade.

Conforme apontamos anteriormente, tivemos indícios de que as participantes

avançaram, pois o grau de compreensão e a capacidade de resolução aumentaram,

se compararmos com as atividades iniciais de valor omisso. Além disso, algumas

futuras professoras reconheceram as estratégias de resolução usadas pelos alunos

na atividade. Algumas já procuravam usar as nomenclaturas referentes à estratégia,

e mesmo aquelas que não utilizaram o nome correto descreveram os procedimentos

de modo que favorecesse a inserção da nomenclatura. No item “c”, 75% das futuras

265

professoras descreveram conhecimentos matemáticos e registraram termos como:

proporcionalidade, raciocínio proporcional, regra de três, multiplicação e divisão, e as

25% restantes registraram aspectos pedagógicos. E, no item “d”, as repostas

apresentadas apontaram avanços nos conhecimentos referentes ao ensino, e que

contribuem para o desenvolvimento de suas competências docentes.

A atividade 9 envolveu a comparação entre dois pares de grandezas.

Propusemos tais situações de comparação por serem muito referenciadas em

programas curriculares e, além disso, já terem sido apresentadas nos estudos de

Lamon (2005). A situação previu a análise de quatro itens. No item “a” detectamos

que, no geral, as participantes apontaram as resoluções de Lizzie e de Mariana como

corretas. Entretanto, a maioria delas apresentou dificuldades com as respostas de

Debora, como já havíamos identificado na revisão de literatura, pelos estudos de

Stacey et al. (2001). No item “b” apontamos evoluções das futuras professoras, pois

na questão 4 havíamos percebido que a maioria das participantes apresentou

dificuldades em descrever estratégias em situações de comparações entre dois pares

de grandezas. Já na presente atividade, conseguiram identificar as soluções corretas

e descreveram os procedimentos usados pelas quatro alunas. No item “c”, 40% das

participantes apontaram conhecimentos matemáticos, e os 60% restantes,

conhecimentos pedagógicos. E, no item “d”, a maioria propôs maneiras de auxiliar a

aluna Cristiane e algumas delas descreveram maneiras de auxiliar Cristiane e Debora.

A atividade 10 foi um problema proposto por Fernández e Llinares (2012), com

o qual pretendíamos verificar a capacidade de distinção entre situações proporcionais

e não proporcionais (CRAMER; POST, 1993; FERNÁNDEZ; LLINARES, 2012;

NUNES; COSTA, 2016; OLIVEIRA, 2009; POST; BEHR; LESH, 1995; SILVESTRE;

PONTE, 2009, entre outros). Além disso, observamos se as participantes

identificavam procedimentos de resolução em uma situação não proporcional. A

atividade continha quatro itens: no item “a” apenas 20% delas reconheceram que a

atividade não envolvia a ideia de proporcionalidade. Embora a maioria das

participantes se enquadre no nível 1 do desenvolvimento do raciocínio proporcional,

elas evoluíram. Tal evidência se deu, por compararmos a presente situação com a

atividade 6, na qual nenhuma delas havia identificado que a questão envolvia a não

proporcionalidade. Houve um avanço de 20%.

Identificamos lacunas no item “a”, pois as participantes, antes de ensinarem

tais conceitos, precisam ter clara a distinção entre situações proporcionais e não

266

proporcionais (POST; BEHR; LESH, 1995) e, pelos resultados, percebemos a

necessidade de mais estudos. No item “b” as participantes avançaram a respeito dos

conhecimentos acerca do conteúdo (BALL; THAMES; PHELPS, 2008). Apesar de

80% apresentarem dificuldades no reconhecimento da situação, elas descreveram

estratégias acerca do olhar profissional essencial para o avanço do raciocínio

proporcional. Já no item “c”, a maioria das futuras professoras apontou a resolução de

João como correta, E, no item “d”, elas inseriram em seus protocolos respostas

genéricas, contendo as formas pelas quais poderiam intervir para auxiliar Marcos.

Pudemos também perceber avanços quanto ao grau de competência docente das

participantes, ao apontarem as resoluções corretas e descreverem estratégias de

resolução.

Após as discussões e as reflexões, apresentaremos a síntese do memorial

reflexivo.

Síntese do memorial reflexivo

No memorial reflexivo solicitamos às participantes que escrevessem a respeito

de suas impressões sobre o curso. Os protocolos indicaram a satisfação das futuras

professoras com o curso. Além disso, conforme já vimos neste estudo, por já ter tido

contato com as futuras professoras na graduação, percebemos que aquelas que

terminaram o curso avançaram, umas em maior escala, outras em menor. Elas

desenvolveram competências docentes relativas ao olhar profissional e obtiveram

conhecimentos profissionais acerca do conteúdo, ao se deparar com atividades de

resolução e atividades profissionais.

A seguir traremos a conclusão deste estudo e as perspectivas futuras.

Conclusão do estudo: Respostas às questões de pesquisa e perspectivas

futuras

Para finalizar, é importante ressaltar que os resultados aqui destacados

retratam o domínio desse grupo investigado sobre situações envolvendo o raciocínio

proporcional com futuras professoras. Procuramos desenvolver um curso que

priorizasse as reflexões compartilhadas sobre diferentes categorias de situações que

envolvem o raciocínio proporcional, por meio de diferentes abordagens

267

metodológicas, por acreditar que, assim, esse grupo poderia (re)significar seus

conhecimentos e seu olhar profissional para o ensino desse tema.

As reflexões que realizamos acerca dos resultados aqui apresentados serviram

de referência para elaborar respostas às questões de pesquisa expostas

anteriormente: concluímos que as futuras professoras foram capazes de compreender

a função do fator de proporcionalidade e resolver corretamente situações de

proporcionalidade associadas às ideias de dobro e metade nos distintos ambientes

apresentados: papel e lápis, tecnológico e material concreto. Além disso, resolveram

e utilizaram diferentes estratégias em situações de valor omisso e de comparação

entre dois pares de grandezas, embora algumas tenham sentido dificuldades ao se

deparar com números racionais em suas diferentes representações.

Ademais, a maior parte das futuras professoras obteve conhecimentos do

conteúdo em problemas de proporcionalidade. Segundo nossa análise, elas se

classificam, de acordo com Llinares (2015a, p. 102) no Nível 3 (já possuem

habilidades para discriminar e justificar o problema). Mesmo aquelas que

apresentaram dificuldades, se compararmos suas últimas produções com as

produções iniciais e observarmos os relatos e as discussões apresentadas ao longo

da formação, revelam fortes indícios de avanços nesta investigação tanto no

desenvolvimento do raciocínio proporcional como nos conhecimentos do conteúdo,

como foi o caso de Tulipa.

Constatamos que, no início do presente estudo, as futuras professoras haviam

se apropriado do raciocínio aditivo, a partir do curso de formação realizado as

estudantes verificaram que envolviam o raciocínio multiplicativo.

Destacamos ainda, a evolução de algumas participantes como Groove e Cami

que no início do curso relatavam e aplicavam o produto cruzado de forma mecânica.

As participantes puderam refletir a respeito da necessidade da compreensão das

relações envolvidas no raciocínio proporcional e, partir daí, avançaram no

entendimento da temática como poderiam utilizá-la em suas respectivas salas de aula.

Esta investigação revelou, portanto, que um grupo de alunas de Pedagogia,

que apresentava dificuldades com o raciocínio proporcional, ao realizar uma formação

inicial, pôde avançar em aspectos tanto matemáticos quanto pedagógicos.

Corroborando, a formação permitiu que as futuras professoras

compreendessem melhor a respeito da temática e sua relevância no ensino, as

discussões e reflexões promovidas potencializaram nas participantes a tomada de

268

consciência que a aprendizagem do tema seria fundamental para seu futuro ensino.

Os resultados apresentados demonstram que a maioria das participantes mesmo que

ainda não terem vivência de sala de aula (quadro 2) puderam desenvolver a

competência docente de olhar com sentido. As ações e reflexões promovidas durante

a formação contribuíram para a ampliação dos conhecimentos do conteúdo, do ensino

e do currículo das futuras professoras.

Por outro lado, entendemos que é necessário mais tempo para o

desenvolvimento dessa competência docente de olhar com sentido e ainda, a

necessidade de mais sessões visando a construção de todas as categorias

destacadas por Ball, Thames e Phelps e até quem sabe, envolvendo outros tipos de

situações em que o raciocínio proporcional. É importante a realização de estudos a

respeito do tema, de modo a promover o reconhecimento e a diferenciação entre

situações proporcionais e não proporcionais.

Os resultados aqui encontrados nos permitem afirmar que situações com essa

finalidade devem ser mais exploradas em cursos de formação para professores.

Nossa afirmação se pauta nos resultados obtidos e, além disso, “a pessoa precisa ser

capaz de distinguir entre situações proporcionais e não proporcionais. Isso tem

implicação direta no ensino” (POST; BEHR; LESH, 1995, p. 91).

Vale ressaltar a importância de estudos com alunos de Pedagogia voltados

para a questão do raciocínio proporcional. Ao realizarmos a revisão de literatura,

sentimos falta de pesquisa que enfatize a temática com alunos de Pedagogia, pois

detectamos que grande parte dos estudos a respeito do assunto envolvendo

professores está concentrada nos anos finais do Ensino Fundamental. Em nossa

pesquisa, nenhuma participante atingiu o nível 467 proposto por Llinares (2015a), pois

as respostas e os relatos apresentados apontam a falta de identificação de perfis dos

estudantes. Provavelmente, uma formação com maior duração, com situações que

explorem a identificação de perfis e ações em sala de aula que aflorem tais

características possibilitem que estudantes cheguem ao nível 4.

Além disso, como perspectivas futuras identificamos a importância de

pesquisas que tenham como finalidade:

- analisar acerca de quais adaptações as futuras professoras poderiam fazer

ao aplicarem as atividades propostas nesse estudo em suas respectivas salas de aula;

67 Neste nível os futuros professores discriminam o problema, justificando e identificando os perfis.

269

- investigar como alunos dos anos iniciais do Ensino Fundamental se

comportam ao se deparem com as situações apresentadas nesse estudo;

- compreender as ideias envolvem o raciocínio proporcional;

- diferenciar relações aditivas de relações multiplicativas.

Acreditamos que a forma pela qual abordamos o assunto, bem como os

teóricos tanto da revisão como da formação, nos ofereceram um importante aporte

para a realização desta pesquisa. A junção desses elementos nos auxiliou a

responder às questões apresentadas na fase inicial da pesquisa e, principalmente,

possibilitou chegar aos objetivos traçados na introdução do estudo.

270

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SILVA, A. C. D. Interações: diálogos com a matemática. São Paulo: Blucher, 2012. SILVESTRE, A. I. O desenvolvimento do raciocínio proporcional: percursos de aprendizagem de alunos do 6º ano de escolaridade. 2012. 392 f. Tese (Doutorado em Educação) - Didática da Matemática, Universidade de Lisboa, Lisboa, 2012. SILVESTRE, A.; PONTE, J. P. Resolução de problemas de valor omisso: análise das estratégias dos alunos. In: ENCONTRO DE INVESTIGAÇÃO EM EDUCAÇÃO, 19., 2009, VILA REAL. Actas ... Vila Real, 2009. 1-14. Disponível em: <http://spiem.pt/DOCS/ATAS_ENCONTROS/2009/GD1/2009_02>. Acesso em: 28 mar. 2018. SOUSA, H. F. O estudo da proporcionalidade directa/inversa com alunos de um curso de formação e educação. 2010. 112 f. Dissertação. (Mestrado em Educação) - Didática da Matemática, Universidade de Lisboa, Lisboa, 2010.

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SPINILLO, A. G. As relações de primeira-ordem em tarefas de proporção: uma outra explicação quanto às dificuldades das crianças. Psicologia: Teoria e Pesquisa, Brasília, v. 2, n. 9, p. 349-364, 1993. SPINILLO, A. G. O papel de intervenções específicas na compreensão da criança sobre proporção. Psicologia: Reflexão e Crítica, Brasília, v. 15, n. 3, p. 349-364, 2002. STACEY, K. et al. Preservice teachers’ knowledge of difficulties in decimal numeration. Journal of Mathematics Teacher Education, Berlin, v. 4, n. 3, p. 205-225, 2001. VERGNAUD, G. Multiplicative structures. In: LESH, R.; LANDAU M. (Ed.). Acquisition of mathematics concepts and processes. New York: Academic Press, 1983. p. 127-174. VERGNAUD, G. La théorie des champs conceptuels. Recherches en Didactique des Mathématiques. v. 10, n. 23, p. 133-170, 1990. VERGNAUD, G. Multiplicative conceptual field: what and why? In: GUERSHON, H.; CONFREY, J. The development of multiplicative reasoning in the learning of mathematics. Albany: State University of New York Press, 1994. p. 41-59. VERGNAUD, G. A trama dos campos conceituais na construção dos conhecimentos. Revista do GEMPA, Porto Alegre, v. 4, p. 10-19, 1996. VERGNAUD, G. A criança, a matemática e a realidade: problemas do ensino da matemática na escolar elementar. Curitiba: UFPR, 2009. VERGNAUD, G. O longo e o curto prazo na aprendizagem da matemática. Educar em Revista, Curitiba, Brasil, n. Especial 1/2011, p. 15-27, 2011.

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276

APÊNDICES

APÊNDICE A – PROTOCOLO DE INSCRIÇÃO

277

278

279

APÊNDICE B – CONHECENDO MELHOR MEU COLEGA

Você recebeu um formulário para entrevistar seu colega de curso. Registre

todas as informações que entender serem pertinentes na apresentação.

QUESTÃO 1 – Qual é o seu nome, tem algum apelido? Em caso afirmativo, qual?

QUESTÃO 2 – Qual o motivo que o fez participar desse curso e o que espera dele?

QUESTÃO 3 – O que gosta de fazer nas horas vagas?

QUESTÃO 4 – Para preservar sua imagem, iremos chamá-lo (a) por um pseudônimo. Como gostaria de ser chamado (a)?

Resposta

Resposta

Resposta

Resolução

280

APÊNDICE C – QUESTIONÁRIO PRELIMINAR

Caro aluno, sua participação é muito importante para nós. Queremos

compreender como desenvolve o conhecimento de futuros professores, e para

isso precisamos que você apresente suas respostas de forma detalhada.

Obrigado desde já por sua ajuda.

QUESTÕES ABERTAS

QUESTÃO 1 – O raciocínio proporcional e a proporcionalidade estão presentes no

nosso dia a dia. Você poderia exemplificar situações da vida cotidiana em que

utilizamos o raciocínio proporcional e/ou a proporcionalidade?

QUESTÃO 2 – Ao lecionar matemática, você tratará da temática raciocínio

proporcional e proporcionalidade. Você se lembra de conteúdo matemático em que

esse tipo de raciocínio é utilizado para resolvê-lo? Se se lembrar, dê um exemplo de

uma situação.

Resolução

Resolução

281

QUESTÃO 3 - Na figura seguinte, podemos observar o Senhor Baixo, cuja altura mede

seis clips. Se fôssemos medi-lo com palitos de fósforo, seriam necessários quatro

palitos. Ele tem um amigo, o Senhor Alto, que mede seis palitos.

Quantos clipes utilizaríamos para medir o Senhor Alto?

QUESTÃO 4 - “No último sábado à tarde, a família Smith foi para o teatro Starr e todos

os 6 integrantes entraram no cinema, pagando $ 10. A família West foi ver um filme

no Odyssey e todos os 4 entraram no cinema, pagando $ 7. Que teatro tem melhores

preços na matinê de sábado?

Resolução

Resolução

282

QUESTÃO 5 - Como já dissemos, a proporcionalidade e o raciocínio proporcional

estão presentes no nosso dia a dia. Escolhemos algumas situações para que você

pense e nos diga se nelas há a variação das duas grandezas envolvidas. Se houver,

essas relações de dependência podem ser diretamente proporcionais (DP) ou não

proporcionais (NP). Leia cada situação e decida onde classificá-la.

Dependência - Diretamente proporcionais (DP) ou Não Proporcional (NP). DP NP

a) A quantidade de pães comprados e o preço pago por eles.

b) A idade de uma pessoa e o número de calça que ela veste.

c) A idade de uma pessoa e seu peso.

d) O salário de um vendedor e a quantidade de sapatos que ele vendeu.

e) A quantidade de ovos para uma receita de bolo e a quantidade de ovos para cinco receitas do mesmo bolo.

f) O salário de um trabalhador e o número de irmãos que esse trabalhador tem.

g) O salário de um professor e o número de aulas que ele leciona.

h) A nota de uma avaliação na qual todas as questões têm o mesmo valor e a quantidade de questões certas.

QUESTÃO 6 - Seu Manuel é vendedor de uma lojinha de conveniência e recebe

mensalmente R$ 850,00. Além de seu salário fixo, seu Manuel recebe também 10%

por cada venda feita. Responda:

a) Quanto o vendedor deverá receber, se vender R$10000,00?

b) Essa é uma situação de proporcionalidade, por quê?

Resolução

Resposta e justificativa

283

APÊNDICE D - FORMAÇÃO: ATIVIDADE 1

Em uma aula, a senhora Julia, professora da escola em que Maria estuda, solicitou a

seus alunos que fizessem um desenho de sua casa. Maria, antes de realizar sua

produção, fez uma malha quadriculada, para ficar mais fácil o desenho, e

apresentou à professora a seguinte figura:

Dona Julia, após esta etapa, solicitou aos alunos que:

a) dobrassem o tamanho do desenho;

b) reduzissem pela metade o tamanho do desenho;

c) aumentassem 2,5 o tamanho da casa;

d) reduzissem 1/4 o tamanho do desenho da casa.

Reproduza as possíveis figuras que Maria fez para sua professora.

a) Dobrar o tamanho do desenho

284

b) Reduzir pela metade o desenho

c) Aumentar 2,5 o tamanho da casa

d) Reduzir 1/4 o tamanho da casa

285

APÊNDICE E - FORMAÇÃO: ATIVIDADE 2

Queremos compreender como se desenvolve o conhecimento de futuros

professores sobre uma atividade a ser realizada no computador, chamada

"Proporcionalidade e semelhança", e, para isso, precisamos que você apresente

suas respostas de forma detalhada. Obrigado desde já por sua ajuda.

QUESTÕES ABERTAS

QUESTÃO 1 – Na atividade "Proporcionalidade e semelhança", quais dificuldades

você encontrou?

QUESTÃO 2 – Quais relações você pode identificar na atividade?

QUESTÃO 3 - Na sua opinião, seria possível trabalhar com os alunos dos anos

iniciais? Em caso afirmativo, explique.

Resposta

Resolução

286

APÊNDICE F - FORMAÇÃO: ATIVIDADE COM MATERIAL CONCRETO

287

288

289

290

APÊNDICE G - FORMAÇÃO: ATIVIDADE 4

Uma receita de muffins de morango para 16 pessoas é a seguinte: 8 xícaras de farinha,

2 xícaras de morangos, 8 colheres de manteiga, 1 xícara de açúcar e ½ xícara de

manteiga. Você vai cozinhar para 32 pessoas. Quanto de cada um desses

ingredientes você precisa usar?

Agora você vai cozinhar para 8 pessoas. Quanto de cada um desses ingredientes você

precisa usar?

291

APÊNDICE H - ATIVIDADE 5

Uma receita de muffins de morango para 16 pessoas é a seguinte: 8 xícaras de

farinha, 2 xícaras de morangos, 8 colheres de manteiga, 1 xícara de açúcar e ½ xícara

de manteiga. Você vai cozinhar para 12 pessoas. Quanto de cada um desses

ingredientes você precisa usar?

Kk;lkl

292

APÊNDICE I - FORMAÇÃO: ATIVIDADE 6

Jim tem que imprimir o jornal da escola, mas ele só pode fazê-lo no tempo do intervalo.

Ele leva 15 minutos para imprimir 12 jornais. Quantos jornais ele pode imprimir durante

os 35 minutos de intervalo?

Resolução

293

APÊNDICE J - FORMAÇÃO: ATIVIDADES PROFISSIONAIS - ATIVIDADE 7

Nas próximas atividades temos a intenção de saber como vocês lidam com atividades

profissionais nas quais terão que analisar resoluções de alunos. Para isso

apresentamos alguns problemas:

Em uma caixa há 5 bombons de caramelo e 13 de chocolate. Uma outra caixa tem

100 bombons de caramelo. Quantos bombons de chocolate devemos colocar para

que se tenha a mesma proporção da primeira?

Aluna Resolução Aline

Bianca

Cássia

Daiane

a) Qual (is) resposta (s) você acredita que está (ão) correta (s)?

Justificativa

294

b) Identifique e analise as estratégias utilizadas pelas alunas.

c) Quais conhecimentos o professor precisa dominar em sala de aula para lecionar

esse tema?

d) Se tiver alguma resolução incorreta, identifique o erro e explique como você

auxiliaria seu aluno a compreender esse conteúdo matemático.

Justificativa

Justificativa

Justificativa

295

APÊNDICE K - FORMAÇÃO: ATIVIDADES PROFISSIONAIS - ATIVIDADE 8

Na figura a seguir podemos observar o Senhor Baixo, cuja altura mede seis clipes.

Se fôssemos medi-lo com palitos de fósforo, seriam necessários quatro palitos. Ele

tem um amigo, o Senhor Alto, que mede seis palitos.

Quantos clipes utilizaríamos para medir o Senhor Alto?

Figura 1 - Imagem do senhor baixo construída pelo aluno do 4.° ano Karol

Fonte: Adaptado de Silvestre (2012, p. 127)

Essa questão foi aplicada em um curso de Pedagogia na disciplina Metodologia do

Ensino da Matemática. Selecionamos a resolução de quatro alunas.

PRISCILA

ELIOTE

296

ALESSANDRA

FERNANDA

Com base nas produções apresentadas, responda:

a) Qual (is) resposta (s) você acredita que está (ão) correta (s)?

b) Descreva e analise as estratégias utilizadas pelas alunas.

Justificativa

Justificativa

297

c) Quais conhecimentos o professor precisa dominar em sala de aula para lecionar

esse tema?

d) Você acredita que há algumas resoluções incorretas? Em caso afirmativo,

identifique o erro e explique como você auxiliaria seu aluno a compreender o

exercício.

Justificativa

Justificativa

298

APÊNDICE L - FORMAÇÃO: ATIVIDADES PROFISSIONAIS - ATIVIDADE 9

No último sábado à tarde, a família Smith foi para o teatro Starr e todos os 6

integrantes entraram no cinema, pagando $ 10. A família West foi ver um filme no

Odyssey e todos os 4 entraram no cinema, pagando $ 7. Que teatro tem melhores

preços na matinê de sábado?

Para o problema anterior, quatro alunos forneceram as seguintes respostas:

Cristiane

Lizzie

Debora

Mariana

Como professora dos anos iniciais:

299

a) qual (is) resposta (s) você acredita que está (ão) correta (s)?

b) Identifique e analise as estratégias utilizadas pelas alunas.

c) Quais conhecimentos o professor precisa dominar em sala de aula para lecionar

esse tema?

Justificativa

Justificativa

Justificativa

300

d) Se tiver alguma resolução incorreta, identifique o erro e explique como você

auxiliaria seu aluno a compreender esse conteúdo matemático.

Justificativa

301

APÊNDICE M - FORMAÇÃO: ATIVIDADES PROFISSIONAIS - ATIVIDADE 10

Raquel e Juan estão plantando flores e plantam na mesma velocidade, mas Juan

começou antes. Quando Raquel havia plantado 4 flores, Juan já havia plantado 12

flores. Se Raquel plantou 20 flores, quantas plantou Juan?

João

Marcos

a) O problema descrito envolve a ideia de proporcionalidade? Justifique.

302

b) Descreva detalhadamente as estratégicas de resolução que cada um dos alunos utilizou. c) Qual deles acertou a questão?

d) Se você fosse o professor desse aluno, para as duas respostas, o que você faria e por quê?

303

APÊNDICE N - FORMAÇÃO: MEMORIAL

Agora você fará um memorial sobre nosso curso, ou seja, relatará o que

aprendeu, em que tem dúvida, o que até o presente momento contribuiu para

sua aprendizagem e o que será relevante para desenvolver seu trabalho com

seus alunos futuramente.

Registro

304

ANEXOS

ANEXO A – MEMORIAL REFLEXIVO DE NILMA

305

ANEXO B – MEMORIAL REFLEXIVO DE ANGEL

306

ANEXO C – MEMORIAL REFLEXIVO DE TULIPA

307

ANEXO D – MEMORIAL REFLEXIVO DE GIRASSOL

308

ANEXO E – MEMORIAL REFLEXIVO DE ORQUÍDEA

309

ANEXO F – MEMORIAL REFLEXIVO DE DUDA

310

ANEXO G – MEMORIAL REFLEXIVO DE GROOVE