GEOMETRI TRANSFORMASI

Drs. Sukanto Sukandar Madio, M. Pd.

Email: sukantosm@gmail.comNo. HP: 081322530465

Facebook : Sukanto Sukandar Madio

Twitter : @sukanto57

Aturan Perkuliahan1. Pakaian sopan dan bersepatu, bagi yang

melanggar dikeluarkan dari kelas2. Pertanyaan atau pendapat yang direspon

hanya yang berkaitan dengan perkuliahan yang berlangsung

3. Kehadiran minimal 75% dari kehadiran dosen, bagi yang tidak memenuhinya tidak diperkenankan ikut UAS.

4. Mahasiswa yang hadir terlambat tetap diperkenankan mengikuti perkuliahan, tapi didaftar hadir yang ada pada dosen, ditulis t (terlambat)

5. Penilaian diambil dari Rata-rata nilai tugas, nilai UTS, dan nilai UAS, sedangkan untuk mahasiswa yang aktif dalam perkuliahan akan dipertimbangkan untuk menambah kekurangan nilai dalam batas-batas tertentu

6. Rumus penilaian: NA = (2 RT +3 UTS + 5 UAS) : 10

PENDAHULUAN

GEOMETRI EUCLIDES BIDANG

Suatu bidang yang padanya diberlakukan geometri Euclides adalah sebuah himpunan yang unsur-unsur tak terdefinisinya dinamakan titik, dinamakan bidang Euclides.Pada bidang Euclides dapat diberlakukan suatu struktur geometri yang terdiri atas: unsur-unsur tak terdefinisi, macam-macam aksioma, definisi-definisi, dan teorema-teorema

STRUKTUR GEOMETRIUnsur-unsur tak terdefinisi: Titik dan himpunan bagian bidang yang dinamakan garis1. Sistem aksioma insidensia. Sebuah garis adalah himpunan titik-titik yang

tak kosong dan mengandung paling sedikit 2 titikb. Kalau ada 2 titik, maka ada tepat sebuah garis

yang memuat 2 titik tersebutc. Ada tiga titik yang semua terletak pada suatu

garis2. Sistem aksioma urutan

Aksioma yang mengatur konsep urutan tiga titik pada sebuah garis; konsep setengah garis (sinar); konsep ruas garis

STRUKTUR GEOMETRI (lanjutan)3. Sistem aksioma kekongruenan

Aksioma yang mengatur kokengruenan dua garis, kekongruenan dua sudut, kekongruenan dua segitiga (s-s-s ; s-sd-s; sd-s-sd), dll.

4. Aksioma kekontinuan/Aksioma ArchimidesAksioma yang mengatakan bahwa bila a dan b dua dilangan real positif denga a < b, maka ada bilangan asli n sehingga na > b.

STRUKTUR GEOMETRI (lanjutan)5. Aksioma kesejajaran Euclides

Aksioma yang menyatakan bahwa apabila ada dua garis a dan b yang sejajar dan dipotong oleh garis ketiga c dititik A a dan titik B b sehingga jumlah besarnya dua sudut dalam sepihak di A dan B kurang dari 1800, maka a dan b akan berpotongan pada bagian bidangyang terbagi oleh garis c yang memuat kedua sudut dalam sepihak tersebut.

a

B

A

b

c

Soal:1.Buktikan bahwa hanya ada satu garis a melalui sebuah titik pada sebuah garis b, sehingga a b.

Bukti: 1.Tarik garis b dan tentukan suatu titik P yang terletak pada garis b

2.Andaikan ada lebih dari satu garis a yang tegaklurus garis b di satu titik P, yaitu garis a1 dan garis a2 dimana a1 a2 sehingga didapat sudut-sudut P1, P2, P3

32

bP

a1a2

1

3. Karena a1 dan a2 tegaklurus terhadap garis b, maka P1 = P3 = 90

4. P1 + P2 + P3= 180 (sudut lurus) sehingga P2 =0 ini artinya garis a1 dan garis a2 berimpit atau a1 = a2.Hal ini konyradiktif karena a1 a2.Jadi pemisalan bahwa ada lebih dari satu garis a yang tegak lurus garis b disatu titik P, salah.Jadi benar bahwa hanya ada stu garis a yang tegaklurus b di sutu titik P

Soal:1.Diketahui g sebuah garis dan ABC. Apabila ABC dicerminkan pada garis g kita peroleh A1B1C1. Apakah ABC A1B1C1 ?

Bukti:1.Tarik garis g secara vertikal, gambar

ABC di sebelah kiri dari garis g, dan gambar A1B1C1.yang merupakan bayangan ABC karena penicerminan pada garis g , seperti pada gambar berikut

2. Tarik garis AA1 yang memotong g di T, maka AT = A1T

3. Tarik garis BB1 yang memotong g di R, maka BR = B1R

4. Tarik garis CC1 yang memotong g di Q, maka CQ =C1Q

5. Perpanjang AC sehingga memotong g di P., bayangan dari AP adalah A1P.

6. Perpanjang AB yang memotong g di S, bayangan dari AS adalah A1S.

7. Perpanjang CB yang memotong g di U, bayangan dari CU adalah C1U

BA

C1C

g

Q

P

B1

A1R

S

T

U

7. Perhatikan CQP dan C1QP , CQ C1Q ; CQP C1QP (=90); dan PQ PQ . Jadi CQP C1QP (s – sd - s). Akibatnya CP = C1P

8. Perhatikan ATP dan A1TP , AT A1T ; ATP A1TP (=90); dan PT PT . Jadi ATP A1TP (s – sd - s). Akibatnya AT = A1P

9. Dari no, 7 dan no. 8 diperoleh: AC = AP – CP = A1P – C1P = A1C1

10.Perhatikan ATS dan A1TS , AT A1T ; ATS A1TS (=90); dan TS TS . Jadi ATS A1TS (s – sd - s). Akibatnya AS = A1S

11.Perhatikan BRS dan B1RS , BR B1R ; BRS B1RS (=90); dan RS RS . Jadi BRS B1RS (s – sd - s). Akibatnya BS = B1S

12.Dari no. 10 dan no. 11 diperoleh: AB = AS – BS = A1S – B1S = A1B1

13.Perhatikan CQU dan C1QU , CQ C1Q ; CQU C1QU (=90); dan QU QU . Jadi CQU C1QU (s – sd - s). Akibatnya CU = C1U

14.Perhatikan BRU dan B1RU ,BR B1R ; BRU B1RU (=90); dan RU RU . Jadi BRU B1RU (s – sd - s). Akibatnya BU = B1U

15.Dari no. 10 dan no. 11 diperoleh: CB = CU – BU = C1U = B1U = C1B1

16.Perhatikan ABC dan A1B1C1 ,menurut no. 9,no. 12, dan no. 15,AB A1B1 ; AC A1C1, dan CB C1B1 . Jadi ABC A1B1C1 (s – s - s).

Garis-garis Istimewa dalam Segitiga1. Garis Bagi

Garis bagi adalah suatu garis yang membagi dua sama besar suatu sudut

Garis-garis Istimewa dalam Segitiga2. Garis Tinggi

Garis yang tegak lurus terhadap sisi segitiga yang menghubungkan dua titik sudut dan melalui titik sudut ketiga.

Garis-garis Istimewa dalam Segitiga3. Garis Berat

Garis berat adalah suatu garis yang membagi dua sama panjang suatu sis dan melalui titik sudut dihadapannya.

Soal:1. Buktikan bahwa setiap titik yang terletak pada garis bagi suatu sudut mempunyai jarak yang sama terhadap kaki-kaki sudutnya.

Bukti:1.Gambar ABC, kemudian

tarik garis bagi dari titik B kemudian tentukan sembarang titik D yang terletak pada garis bagi tersebut.

2. Tarik garis melalui D tegak lurus BA itulah jarak dari D ke BA.

3. Taris garis dari D tegak lurus BC, itulah jarak dari D ke BC

B C

A

D

4. Perhatikan ABD dan CBD. ABD CBD; BAD BCD (= 90). Karena dua pasang sudut kongruen, maka BDA BDC.Dengan demikian: ABD CBD; BD BD, dan BDA BDC.Jadi ABD CBD (sd – s – sd). Akibatnya AD = CD.Karena D sembarang titik pada garis bagi BD, maka setiap titik pada garis bagi BD jaraknya sama terhadap sisi BA dan sisi BC.

Soal:2. Buktikan bahwa ketiga garis bagi dalam setiap segitiga melalui suatu titik.

Bukti: 1. Gambarkan sembarang ABC .2. Tarik garis bagi dari A yang

memotong sisi BC di D3. Tarik garis bagi dari B yang

memotong sisi AC di E4. Garis AD dan garis BE berpotongan di

T

5. Karena T terletak pada garis bagi AD,maka jarak A ke sisi AB sama dengan jarak T ke sisi AC

6. Karena T terletak pada garis bagi BE,maka jarak A ke sisi AB sama dengan jarak T ke sisi BC

B

C

A

D

F

TE

**

7. Dari no. 5 dan no. 6 didapat jarak T ke AC sama dengan jarak T ke BC.Hal ini berarti T terletak pada garis bagi C

8. Dengan demikian ketiga garis bagi Ad, garis bagi BE, dan garis bagi CF bertemu di satu titik T.

Soal:3. Buktikan bahwa ketiga garis sumbu setiap sisi dalam suatu segitiga melalui suatu titik.

Bukti: 1. Gambar sembarang ABC sembarang.2. Tarik garis p yang merupakan garis

sumbu sisi BC, dan berpotongan dengan BC di D. Maka BD = CD dan p BC.

3. Tarik garis q yang merupakan garis sumbu sisi AC, dan berpotongan dengan AC di E. Maka AE = CE dan q AC.

4. Garis p dan garis q bertemu di titik T.

5. Tarik segmen garis CT, segmen garis AT, dan segmen garis BT.

B

C

Aq

T

D

p

E

6. Perhatikan BDT dan CDT. BD CD ; BDT CDT (=90) ; dan DT DT. Jadi BDT CDT (s – sd – s). Akibatnya BT = CT atau jarak T ke B sama dengan jarak T ke C.

7. Perhatikan AET dan CET. AE CE ; AET CET (=90) ; dan ET ET. Jadi AET CET (s – sd – s). Akibatnya AT = CT atau jarak T ke A sama dengan jarak T ke C

8. Dari no. 6 dan no. 7 didapat jarak T ke A sama dengan jarak T ke B, hal ini berarti T terletak pada garis sumbu sisi AB.

9. Jadi ketiga garis sumbu sisi-sisi ABC bertemu di satu titik T.

B

C

Aq

T

D

p

E

r

F

Soal:4. Buktikan bahwa ketiga garis tinggi dalam suatu segitiga melalui suatu titik.

Bukti:1. Gambar ABC sembarang.2. Tarik garis // AB melalui titik C.3. Tarik garis // AC melalui titik B.4. Tarik garis // BC melalui titik A.5. Garis pada no. 2 dan no. 3 bertemu di P,

garis pada no. 2 dan no. 4 bertemu di Q, dan garis pada no. 3 dan no, 4 bertemu di R.

6. Tarik garis melalui A tegak lurus QR dan memotong BC di D. Karena ADQR dan QR//BC, maka ADB = 90. Jadi AD garis tinggi dari A ke sisi BC

B

C

A

R

Q P

F

E D

7. Karena AQ//BC dan CQ//AB, maka ABCQ adalah jajar genjang sehingga AQ = BC dan AB = CQ

8. Karena AR//BC dan BR//AC, maka ARBC adalah jajar genjang sehingga AR = BC dan BR = AC

9. Dari no. 7 dan no. 8 didapat AQ = BC dan AR = BC, maka AQ = AR, sedangkan ADQR. Jadi AD adalah garis sumbu sisi QR.

10.Tarik garis melalui B tegak lurus PR dan memotong AC di E. Karena BEPR dan PR//AC, maka BEC = 90. Jadi BE garis tinggi dari B ke sisi AC

11.Karena BP//AC dan CP//AB, maka ABPC adalah jajar genjang sehingga BP = AC dan AB = CP

12.Dari no. 8 dan no. 11 didapat AC = BR dan AC = BP, maka BP = BR, sedangkan BEPR. Jadi BE adalah garis sumbu sisi PR.

13.Tarik garis melalui C tegak lurus PQ dan memotong AB di F. Karena CFPQ dan PQ//AB, maka BFC = 90. Jadi CF garis tinggi dari C ke sisi AB

14.Karena CQ//AB dan BC//AQ, maka ABCQ adalah jajar genjang sehingga AB = CQ dan BC = AQ

15.Dari no. 11 dan no. 14 didapat AB = CP dan AB = CP, maka CP = CQ, sedangkan CFPQ. Jadi CF adalah garis sumbu sisi PQ.

16.Dari no. 9. no. 12 dan no. 15 di peroleh bahwa AD, BE, dan CF masing-masing adalah garis-garis sumbu sisi QR, sisi PR, dan sisi PQ. Menurut soal sebelumnya ketiga garis sumbu bertemu di satu titik

17.Dari no. 6, no. 10 dan no. 13 di peroleh bahwa AD, BE, dan CF masing-masing adalah garis-garis tinggi pada sisi BC, sisi AC, dan sisi AB. Menurut soal no. 16 ketiga garis tinggi bertemu di satu titik

Soal:5. Buktikan bahwa ketiga garis berat dalam suatu segitiga melalui suatu titik.

Bukti:1. Gambar ABC sembarang2. Tarik garis berat AD dan BE

yang berpotongan di titik T.3. Tarik garis DE

4. Perhatikan CED dan CAB. CE : CA = CD : CB = 1 : 2 dan kedua segitiga mempunyai sudut yang sama yaitu C, maka CED CAB. Akibatnya ED : AB = 1 : 2

B

C

A

T

DE

*

*00

5. Karena CED CAB maka ED//AB

6. Perhatikan DET dan ABT. DTE ATB; DET ABT; EDT BAT, maka DET ABT. Akibatnya ET : TB = DE : AB = 1 : 2.

7. Kemudian pada ABC yang sama, tarik garis berat BE dan CF yang berpotongan di T1

8. Tarik garis EF.

9. Perhatikan AFE dan ABC. AE : AC = AF : AB = 1 : 2 dan kedua segitiga mempunyai sudut yang sama yaitu A, maka AFE ABC. Akibatnya FE : BC = 1 : 2

B

C

A

T1

F

E

*

*

00

10.Karena AFE ABC maka FE//BC11.Perhatikan EFT1 dan BCT1. ET1F

BT1C; FET1 CABT; EFT1 BCT1, maka EFT1 BCT1. Akibatnya ET1 : BT1 = FE : BC = 1 : 2.

12.Dari no. 6 dan no. 12 diproleh ET : TB = Et1 : BT1 = 1 : 2, sedangkan T dan T1 berada pada garis EB. Jadi T = T1

13.Dengan demikian ketiga garis berat AD, garis berat BE dab garis berat CF bertemu di satu titik T = T1.

B

C

A

T

F

E

D

KESEBANGUNAN DUA SEGITIGA

Dua segitiga, misalnya ABC dan DEF, adalah sebangun, ditulis ABC DEF, apabila ada dua pasang sudut yang seletak sama besar.

A B

C

G

H

F

D E

TeoremaDiketahui ABC, dan BD garis bagi ABC, maka AD : DC = AB : CB

Bukti:1.Gambar sembarang ABC dan tarik garis bagi BD.

2.Tarik garis melalui A sejajar BD dan perpanjang CB . Kedua garis tersebut berpotongan di E.

D

C

BA

E

*

*

**

3. Karena AE//DB dipotong oleh garis AB, maka sudut-sudut dalam bersebrangan ABD BAE

4. Karena AE//DB dipotong oleh garis CE, maka sudut-sudut sehadap CBD CEA

5. Dari no. 3 dan no. 4 didapat BAE BEA sehingga ABE sama kaki, akibatnya BA = BE.

6. Perhatikan CDB dan CAE. cdb CAE; CBD CEA; DAN C C, maka CDB CAE (sd-sd-sd)

7.Sehingga AD : DC = EB : CB. Karena BE = AB maka AD : DC = AB : CB.

TRANSFORMASI

Definisi Transformasi

Suatu transformasi T pada suatu bidang V adalah suatu fungsi yang bijektif (surjektif dan injektif) dengan daerah asal (domain) bidang V dan daerah hasil (range) bidang V (T : VV)

Surjektif:Fungsi T : VV adalah fungsi surjektif bila dan hanya bila BV (kodomain), AV (domain) sedemikian hingga T(A) = B Injektif:Fungsi T : VV adalah fungsi injektif bila dan hanya bila A, BV (domain), berlaku jika AB maka T(A) T(B)

Soal 1:Jika A V, ada pemetaan (padanan) T dengan daerah asal V dan daerah hasil juga V (T : V V) yang disefinisikan sebagai berikut:1. T(A) = A2. Apabila P A, maka T(P) = Q dengan Q

titik tengah garis APSelidiki apakah padanan T tersebut suatu transformasi ?(Harus diselidiki apakah T suatu fungsi bijektif)

R

P

S=T[R]

Q=T(P)

A

Apakah T suatu fungsi ?

1. Perhatikan gambar di atas2. Untuk setiap titik R pada bidang

V, selalu ada tepat satu titik S = T[R] sehingga S titik tengah AR atau AS = SR

3. Jadi T merupakan suatu fungsi.

XY = T(X)

A

Apakah T suatu fungsi surjektif?

1. Perhatikan gambar di atas2. Diketahui titik A pada bidang V.

Ambil sebarang titik Y V, maka selalu ada X V sehingga Y merupakan titik tengah AX atau Y = T(X) dimana AY = YX.

3. Jadi YV, XV Y = T(X) sehingg T merupakan suatu fungsi surjektif.

Q

P

T[Q]

T(P)

A

Apakah T suatu fungsi injektif?

1. Perhatikan gambar di atas2. T(P) titik tengah AP sehingga

T(P) AP dan T(Q) titik tengah AQ sehingga T(Q) AQ

3. Diketahui P Q dan andaikan T(P) = T(Q).

4. Karena T(P) = T(Q) maka T(Q) AP dan T(Q) titik tengah AQ, maka P = Q. Hal ini kontradiktif karena P Q

5. Jadi haruslah T(P) T(Q).6. Dengan demikian jika P Q

maka T(P) T(Q), berarti T fungsi injektif

Karena T suatu fungsi bijektif maka T suatu transformasi.

Soal 2:Pilihlah pada bidang Euclides V suatu sistem koordinat Ortogonal (koordinat Cartesius). T adalah padanan yang mengaitkan setiap titik P dengan P’ yang letaknya satu satuan dari P dengan arah sumbu X positif. Apakah T suatu transformasi ?Penyelesaian:1. Buat salib sumbu Kartesius2. Tentukan sebarang titik P (x,y) dan

titik P’ (x+1, y)

0

P(x,y)

Y

X

P’(x+1,y)

3. Untuk setiap P(x, y) V selalu ada tepat satu P(x+1, y) V sehingga T(P) = P’. Jadi T suatu fungsi.

4. Ambil sembarang titik P’ (x, y) V selalu ada titik P(x – 1, y) sedemikian hingga T(P) = T (x – 1, y) = (x – 1 + 1, y) = (x,y) = P’ Jadi T suatu fungsi surjektif

5. Ambil sembarang titik P (x1, y1) dan Q(x2, y2) maka T(P) = (x1+1, y1) dan T(Q)= (x2+1, y2) Andaikan T(P) = T(Q) maka (x1+1, y1) = (x2+1, y2) sehingga (x1, y1) = (x2, y2) atau P = Q. Jadi T adalah fungsi injektif

6. Karena T fungsi bijektif, maka T suatu transformasi

PENCERMINAN (REFLEKSI)

Definisi:Suatu pencerminan (refleksi) pada sebuah garis s adalah suatu fungsi Ms yang didefinisikan untuk setiap titik pada bidang V sebagai berikut:1.Jika P s, maka Ms (P) = P2.Jika P s, maka Ms (P) = P’ sehingga garis s adalah sumbu PP’.

P=Ms(P)

Q’=Ms(Q)

Q

s

Teorema:Setiap pencerminan (refleksi) pada garis adalah suatu transformasi

Bukti:1. Misalkan Ms adalah pencerminan terhadap garis s. Untuk setiap Ps, Ms (P) = P dan untuk Ps, Ms (P) = P’ sehingga s adalah garis sumbu PP’.

2.Apakah Ms suatu fungsi? Dari definisi pencerminan sudah jelas bahwa daerah asal dari Ms (adalah bidang V. Untuk setiap Ps selalu ada tepat satu Ms (P) dan untuk Ps selalu ada titik P’ sehingga s adalah garis sumbu PP’. Jadi Ms adalah suatu fungsi

3. Apakah Ms fungsi surjektif? Ambil X’V dan X’s, maka selalu ada X = X’ sehingga Ms(X) = X = X’. Ambil X’ V dan X’ s maka selalu ada X s sehingga s menjadi sumbu XX’. Ini berarti Ms(X) = X’. Jadi Ms merupakan fungsi surjektif.

4. Apakah Ms fungsi injektif? Andaikan AB. Kalau As dan Bs maka jelas A’ = Ms(A) = A dan B’ = Ms(B) = B, karena itu A’ B’. Jadi jika AB. maka Ms(A) Ms(B) Kalau salah satu tidak sama, misal As dan B s. Jika As maka A’ = Ms(A) = A. Karena B s maka B’ = Ms(B) dengan B’ s. Dengan demikian A’ B’. Jadi jika A’ B’ maka Ms(A) Ms(B)

Kalau A s dan B s. Andaikan Ms(A) = Ms(B) jadi AA’s dan BB’s. Jadi dari satu titik A’=B’ ada dua garis tegak lurus s. Ini tidak mungkin. Dengan demikian pengandaian jika AB.maka Ms(A) = Ms(B) adalah salah seharusnya jika AB.maka Ms(A) Ms(B)

5. Karema Ms fungsi bijektif maka Ms suatu transformasi.

Teorema Jika garis g {(x,y)| x = a} dan P(x,y), maka P’ = Mg(P) = Mg(x,y) = (2a – x, y)

Jika garis h {(x,y)| y = b} dan P(x,y), maka P’ = Mh(P) = Mh(x,y) = ( x, 2b – y)

Jika garis k {(x,y)| y = ax + b} dan P(x,y), maka P’ = Mh(P) = Mh(x,y) = ( ay + b, (x-b)/a))

ISOMETRI

DEFINISISuatu transformasi T adalah suatu isometri jika untuk setiap pasang titik P dan Q berlaku P’Q’ = PQ dengan P’ = T(P) dan Q’ = T(Q)

Teorema :Setiap pencerminan (refleksi) pada garis adalah suatu isometriBukti:1.Gambarlah s sebagai sumbu pencerminan, titik A dan titik B dan bayangannya titik A’ dan B’ karena pencerminan terhadap s, seperti pada gambar di bawah ini. AA” s = P, BB’s = Q

2.Tarik garis dari A ke B sehingga memotong s di R, begitu pula dari A’ ke B’ dan akan memotong s di R pula, karena A’R bayangan dari AR.

B

B’

A

A’

s

3. Perhatikan APR dan A’PR. AP A’P; APR A’PR (=90); dan PR PR, maka APR A’PR (s – sd – s). Akibatnya AR = A’R

P

Q

R4. Perhatikan BQR dan B’QR. BQ B’Q; BQR

B’QR (=90); dan QR QR, maka BQR B’QR (s – sd – s). Akibatnya BR = B’R

5. AB = AR – BR = A’R – B’R = A’B’. Jadi suatu pencerminan adalah suatu isometri.

Teorema 2Sebuah isometri mempunyai sifat:

a.Memetakan garis menjadi garis

b.Mengawetkan besarnya sudut antara dua garis

c.Mengawetkan kesejajaran dua garis

B’=T(B)h

A

B

A’=T(A)h

h’

g

Bukti bagian a

Andaikan g sebuah garis dan T suatu isometriAmbil A g dan B g .

Maka A’ = T(A) h dan B’=T(B)hAndaikan melalui A’ dan B’ ada satu

garis misalnya h’Akan kita buktikan bahwa h’ = h atau h’ h dan h h’

B’=T(B)h

A

B

A’=T(A)h

h’

g

X’=T(X)h’X

Ambil X’ h’ dan T(X) = X’Misalkan (A’X’B’) atau A’X’ + X’B’ = A’B’ Karena T suatu isometri maka AX = A’X’; XB = X’B’ dan AB = A’B’ berarti AX + XB = AB artinya A, X, B segaris pada g

Karena X g dan X’ = T(X), maka X’ h Jadi jika X’ h’ maka X’ h artinya h’

h Bukti ini juga dilakukan untuk posisi (X’A’B’) dan (A’B’X’).

B’

A

B

A’

h’

g

Y’=T(Y)hY

Ambil Y’ h, maka ada Y g sehingga T(Y) = Y’Karena Y g, maka AY + YB = AB. Karena T suatu isometri maka AY = A’Y’; YB = Y’B’ dan AB = A’B’ berarti A’Y’ + Y’B’ = A’B’ artinya A’, Y’, B’ segaris pada garis yang melalui A’ dan B’ yaitu h’

Hal ini berarti X’ h’ Jadi jika Y’ h maka Y’ h’ artinya h

h’ Bukti ini juga dilakukan untuk posisi (YAB) dan (ABY).

Karena h’ h dan h h’maka h’ = h Jadi bila g sebuah garis maka terbukti bahwa h = T(g) juga sebuah garis

Bukti bagian b

CB

C’

B’

A A’

Ambil ABC dan andaikan A’ = T(A) ; B’ = T(B) dan C’ = T( C )

Karena AB dan BC garis-garis lurus. Maka A’B’ dan B’C’ garis lurus pula

CB

C’

B’

A A’

Karena ABC = BA BC, maka A’B’C’ = B’A’ B’C’ sedangkan A’B’ – AB, B’C’ = BC dan A’C’ = AC

Jadi A’B’C’ ABC (s – s – s) akibatnya A’B’C’ = ABCJadi isometri mengawetkan besarnya sudut.

Bukti bagian c

b b’

a a’

Ambil garis-garis a//b.

Dan a’ = T(a) dan b’ = T(b)Kita harus membuktikan bahwa a’//b’

Andaikan a’ memotong b’ disebuah titik P’. Karena T suatu transformasi maka ada P sehingga P’ = T(P) dimana P a dan P b.

Hal ini kontradiktif, karena itu haruslah a’//b’Corollary: Apabika a b maka T(a) T(b) dengan T sebuah isometri

Soal:Diketahui garis g {(x,y)| y = -x} dan garis h = {(x,y)| y = 2x – 3}. Apabila Mg adalah refleksi pada garis g, tentikanlah persamaan garis h’ = Mg(h). Penyelesaian:Karena Mg refleksi, maka merupakan isometri sehingga h’ adalah sebuah garis.Untuk membantu gambarkan salib sumbu Kartesius dan kedua garis tersebut, dengan h g = R, dan h sb X = Q, seperti berikut:

Hitung koordinat R dan Q

Q

h

R

g

O

Y

X

h’ akan melalui titik R sebab Mg( R ) = R sehingga R=(1,-1) h’h’ juga akan melalui titik Q’ = Mg(Q)= Mg(3/2,0) = (0,-3/2)Jadi persamaan h’ {(x,y)| x – 2y – 3 = 0}

ISOMETRI LANGSUNG DAN

ISOMETRI LAWAN

Orientasi Tiga Titik Tak SegarisOrientasi yang negatif

Andai kan (P1,P2,P3) ganda tiga titik tak segaris.Apabila arah keliling dari P1, ke P2. terus ke P3 sesuai dengan putaran jarum jam, maka dikatakan (P1,P2,P3) memiliki orientasi yang negatifOrientasi yang positifAndai kan (P1,P2,P3) ganda tiga titik tak segaris.Apabila arah keliling dari P1, ke P2. terus ke P3 berlawanan dengan putaran jarum jam, maka dikatakan (P1,P2,P3) memiliki orientasi yang positif

BA

(A, B, C) berorientasi positif

C

R

Q

P

(P, Q, R) berorientasi negatif

Definisi:1. Suatu transformasi T mengawetkan suatu

orientasi apabila untuk setiap tiga titik tak segaris (P1,P2,P3) orientasinya sama dengan ganda (P1,P2,P3) dengan P1’=T(P1); P2’=T(P2); P3’=T(P3)

2. Suatu transformasi T membalik suatu orientasi apabila untuk setiap tiga titik tak segaris (P1,P2,P3) orientasinya tidak sama dengan orientasi peta-petanya (P1’,P2’,P3’) dengan P1’=T(P1); P2’=T(P2); P3’=T(P3)

Definisi:1. Suatu transformasi dinamakan

transformasi langsung apabila transformasi itu mengawetkan orientasi

2. Suatu transformasi dinamakan transformasi lawan apabila transformasi itu mengubah orientasi

Contoh pencerminan

Pencerminan mengubah orientasiPencerminan transformasi lawan

A1

B1C1

C

B

A

Contoh rotasi

Rotasi mengawetkan orientasiRotasi transformasi langsung

C1 C

B1

BA1

O

A

Teorema 3 (tanpa bukti)Setiap pencerminan (refleksi) pada garis adalah suatu isometri lawanTeorema 4 (tanpa bukti)Setiap isometri adalah isometri langsung atau isometri lawanpada garis adalah suatu isometri lawan

HASILKALI TRANSFORMASI

Definisi: Andaikan F dan G dua transformasi, dengan F : VV dan G : VV maka produk atau komposisi dari F dan G yang ditulis sebagai G o F didefinisikan sebagai(G o F )(P) = G[F(P)], P V.

Teorema:Jika F : V V dan G : VV masing-masing suatu transformasi, maka hasilkali H = G o F : VV adalah suatu transformasi pula

Bukti: 1.Oleh karena F suatu transformasi, maka F suatu fungsi, begitu pula karena G suatu transformasi maka G suatu fungsi. Komposisi dua fungsi adalah fungsi pula. Jadi H = G o F adalah suatu fungsi

2. Ambil Y V: Apakah ada H(X) = Y ?Karena G suatu transformasi (fungsi surjektif) , maka Y V. Z V, G(Z) = Y. Karena F suatu transformasi (fungsi surjektif) , maka Z V. X V, F(X) = Z. Sehingga Y = G(Z) = G[F(X)] = (G o F)(X) = H(X)Jadi Y V. X V, H(X)= Y artinya H = G o F suatu fungsi surjektif.

3. Ambil P Q. Apakah H(P) H(Q) ? Andaikan H(P) = H(Q), maka G[F(P)] = G[F(Q)]Karena G suatu fungsi injektif maka F(P) = F(Q)Karena F suatu fungsi injektif maka P = Q. hal ini kontradiktif dengan P Q.Jadi Jika P Q, maka H(P) H(Q) atau H injektifKesimpulannya H G o F suatu transformasi.

SoalAndaikan g sebuah garis dan T sebuah transformasi, T : VV, yang didefinisikan sebagai berikut:Jika P g maka T(P) = PJika P g maka T(P) adalah titik tengah ruas garis dari P ke g. Buktikan bahwa T suatu transformasi.Apakah T suatu isometri ?Transformasi kedua seperti berikut:Ambil sebuah garis hg dan Mh adalah refleksi pada garis h.Tunjukkan bahwa hasilkali Mh[T(P)] = Q suatu transformasi pula.Apakah hasil kali ini suatu isometri ?Tunjukkan Mh o T = T o Mh Dengan mengambil h tidak tegaklurus g, gunakan gambar untuk menunjukkan bahwa Mh o T T o Mh

1. Tunjukkan bahwa T suatu transformasi

Ambil sebarang X V, maka selalu ada tepat satu titik Y V yang merupakan titik tengah jarak antara X dengan garis g sehingga Y = T(X). Jadi T suatu fungsi.

g

X

Y = T(X)=

=

Ambil sebarang Q V, maka selalu ada tepat satu titik P V dimana Q merupakan titik tengah jarak antara P dengan garis g sehingga Q = T(P). Jadi T suatu fungsi surjektif

g

P

Q =

== T(P)

Ambil P, Q V, P Q, P’ = T(P) dan Q’ = T(Q) maka PP’ g dan QQ’ g, jadi ada dua garis yang tegak lurus terhadap g.Andaikan T(P) = T(Q), maka kontradiktif karena melalui satu titik ada dua garis tegak lurus g. Jadi jika P Q maka T(P) T(Q), sehingga T fungsi injektifKarena T fungsi bijektif, maka T suatu transformasi

g

P

=

=P’= T(P)

Q’=T(Q)

Q_

_

Posisikan g sebagai sumbu x, P(x1, y1) dan Q(x2, y2) maka P’(x1, ½ y1) dan (x2, ½ y2)PQ = (x1-x2)2+(y1-y2)2

P’Q’ = (x1- x2)2 + (1/2 y1 – ½ y2)2

Jadi PQ P’Q’. Maka T bukan isometri.

g

P(x1,y1)

=

=P’ (x1, ½ y1)

Q’(x2, ½ y2)

Q(x2, y2)_

_

2. Apakah T suatu isometri ?

3. Tunjukkan bahwa Mh o T suatu transformasi

Ambil sebarang X V, maka selalu ada tepat satu titik Y = T(X) V yang merupakan titik tengah jarak antara X dengan garis g, demikian pula untuk setiap titik Y = T(X) V ada tepat satu titik Z = Mh(Y) V. Jadi Mh o T suatu fungsi.

g

X

Y = T(X) =

= Z=Mh[T(X)]

h

v v

Posisikan g sebagai sumbu X, dan h sebagai sumbu Y.

Ambil R=(x, y) V sehingga Mh[T(P)] = (x, y)Karena Mh pencerminan pada sumbu Y maka T(P) = (-x, y) dan P = (-x, 2y) karena T(P) adalah titik tengah jarak P dengan g (sumbu X). Jadi R=(x, y) V, P(-x,2y) V R=Mh[T(P)] ini berarti Mho T fungsi surjektif.

g

P

Q = T(P) =

= R=Mh[T(P)]

h

v v

Ambil P Q. Apakah Mh[T(P)] Mh[T(Q)] ?

Andaikan Mh[T(P)] = Mh[T(Q)] . Karena pencerminan Mh suatu transformasi (injektif) maka T(P) = T(Q). Karena T suatu transformasi (injektif) maka P = Q. Ini kontradiktif dengan P Q.Jadi jika P Q maka Mh[T(P)] Mh[T(Q)] artinya Mho T fungsi injektif.

Dengan demikian Mho T fungsi bijektif. Jadi Mho T suatu transformasi.

4. Apakah Mh o T suatu isometri?

Posisikan g sebagai sumbu X dan h sebagai sumbu Y, P = (-a, b) dan Q = (-c, d) maka T(P) = (-a, ½ b) dan T(Q) = (-c, ½ d). Sehingga P” = (a, ½ b) dan Q” = (c, ½ d)

g

P

T(P)=

= P”=Mh[T(P)]

h

v v

T(Q)

Q

Q”=Mh[T(Q)]

PQ = (-a + c)2 + (b – d)2

P”Q” = (-a + c)2 + (1/2 b – ½ d)2

Jadi PQ P”Q” artinya Mho T bukan suatu isometri

4. Tunjukkan bahwa Mh o T = T o Mh

Posisikan g sebagai sumbu X dan h sebagai sumbu Y, P = (-x, y) maka T(P) = (-x, ½ y) . Sehingga P” = Mh[T(P)] = (x, ½ y)

g

P

T(P)=

= P”=Mh[T(P)]

h

v

Posisikan g sebagai sumbu X dan h sebagai sumbu Y, P = (-x, y) maka Mh(P) = (x, y) . Sehingga P” = T[Mh(P)] = (x, ½ y)

g

P

P”=T[Mh(P)]

h

Mh(P)

Mh[T(P)] = T[Mh(P)] = (x, ½ y). Jadi Mh o T = T o Mh

g

P

T(P)=

= P”

h

Mh(P)

5. Tunjukkan dengan gambar, jika g tidak tegak lurus h maka Mh o T T o Mh

g

X

X’=

=

X’

X”X”

h