Instituto Tecnológico de Costa Rica

Escuela Ingeniería en Electrónica

Curso: Métodos Numéricos

Método de Bairstow

Profesor:Ing. Marvin Hernández C

II Semestre 2008

Agenda INTRODUCCIÓN PRESENTACIÓN DEL MÉTODO CARACTERÍSTICAS EJEMPLOS

INTRODUCCIÓN

El método de Bairstow es utilizado para encontrar las n-raíces de un polinomio. El método de Bairstow es un proceso iterativo relacionado con los métodos de Müller y Newton-Raphson.

Es importante que recuerde la forma factorizada de un polinomio:

)2)(3)(5)(4)(1()(5 xxxxxxf

Método de Bairstow

El método de Bairstow es un proceso iterativo relacionado con los métodos de Müller y Newton-Raphson

)2)(3)(5)(4)(1()(5 xxxxxxf

Se basa en… Por lo general, en esta

aproximación el proceso matemático depende de dividir el polinomio entre un factor (que no sea raíz). Por ejemplo, el polinomio general

nnn xaxaxaaxf ...)( 2

210

Se divide por un factor x-t Y se tiene un polinomio de menor grado fn-1(x) = b1+b2x+b3x2+…….+bnxn-1

Con residuo R=b0 Los coeficientes se calculan por una relación de

recurrencia bn=an; bi=ai+bi+1t para i=n-1 a 0 Si t es una raíz, b0 será cero Para raíces complejas se divide el polinomio

entre un factor cuadrático x2-rx-s Para el polinomio original la división dará fn-2(x)=b2+b3x+…+bn-1xn-3+bnxn-2 ; R=b1(x-r)+b0

Como en la división sintética normal la relación de recurrencia mostrada abajo se utiliza para la división entre el factor cuadrático

21

11

iiii

nnn

nn

sbrbabrbab

ab0 a 2ni

Bairstow muestra que las derivadas parciales pueden obtenerse por división sintética de las b en forma similar al camino en el cual las b en sí mismas fueron derivadas:

21

11

iiii

nnn

nn

scrcbcrcbc

bc1 a 2ni

Si x2-rx-s es un divisor exacto: Las raíces complejas se determinan con la fórmula

cuadrática. Así, lo que se hace es determinar r y s para que el factor sea un divisor exacto del polinomio (residuo cero).

Se busca que b0 y b1 tiendan a cero. Éstos son funciones de r y s y se usa expansión en serie de Taylor.

b1(r+Δr, s+Δs)=b1+(∂b1/∂r)Δr+(∂b1/∂s)Δs b0(r+Δr, s+Δs)=b0+(∂b0/∂r)Δr+(∂b0/∂s)Δs que se evalúan

en r y s La ecuación anterior se iguala a cero con lo que: (∂b1/∂r)Δr+(∂b1/∂s)Δs = -b1 y (∂b0/∂r)Δr+(∂b0/∂s)Δs = -

b0

Entonces, las derivadas parciales se obtienen por división sintética de las b. Así, las derivadas pueden sustituirse en las ecuaciones anteriores junto con las b para dar:

021

132

bscrcbscrc

Bairstow muestra que las derivadas parciales pueden obtenerse por división sintética de las b en forma similar al camino en el cual las b en sí mismas fueron derivadas:

21

11

iiii

nnn

nn

scrcbcrcbc

bc1 a 2ni

Para mejorar los valores iniciales de r y s. en cada paso, el error aproximado en r y s puede ser estimado como en:

%100

%100

,

,

ss

yrr

sa

ra

Cuando ambos errores estimados fallan bajo un criterio especificado de paro, , los valores de las raíces pueden determinarse como:

242 srrx

Ejemplos: Ejercicio 7.5 a Chapra, Canale

Tenemos que f(x) =0,7x^3-4x^2+6,2x-2

Obtenemos como solución tres valores de raíces

x1=0.4357, x2=2.0 y x3= 3.278

Tabla de Valores

ITERACIÓN r s Nuevo r Nuevo s Δr Δs

1 1 -1 1.085 -0.1128 1.085 0.887

2 1.085 -0.1128 2.49 -0.67 0.402 -0.556

3 2.49 -0.876 2.426 -0.876 -0.064 -0.206

4 2.426 -0.876 2.43 -0.87 0.0076 0.0045

Obteniendo finalmente un acercamiento a los valores de raíces:

x1= 1.999 x2= 0.4357 x3 = 3,278

Ejercicio 7.3(Chapra, Canale)Tenemos que

f(x)=x^5-(3.5)x^4+(2.75)x^3+(2.125)x^2+(3.875)x+1.25

Averiguando r y s después de 4 iteraciones se obtiene que:

εa,r =55.23% εa,r =824.1 %

x1=0.5 y x2=-1

Quedando como cociente el polinomio:f(x)=x^3-4x^2+(5.25)x-2.5

Utilizando el mismo método después de cinco iteraciones:

x3=1+0.499i x4=1-0.499i

Ahora el cociente es un polinomio de primer grado que puede ser directamente evaluado para determinar la quinta raíz:

x5= 2

Ejercicio 7.5 (Chapra, Canale)b) Utilizando:

para determinar los valores de b.Con

32 704.33.1697.2134.9)( xxxxf

nnn

nn

rbabab

11 nnn

nn

rcbcbc

11

5.02

sr

34.997.213.16704.3)( 23 xxxxf

226.0892.85.0334.2234.9334.2704.35.0892.8297.21

892.8704.323.16704.3

0

1

2

3

bbbb

3346.2704.35.0484.12334.2

484.1704.32892.8704.3

1

2

3

ccc

Reacomodando la ecuación:

Obteniendo el y el :

Resolviendo el sistema:

r s

334.2334.2484.1132

srbscrc

226.0484.1334.2021

srbscrc

5752.19047.0

sr

0752.25752.15.0

0953.19047.02

sr

Asi podemos obtener el % de error

100*, rrE ra

100*, ssE sa

%9.75,saE%6.82, raE

Aplicado a una segunda iteración:

05.2179.0

rr

08.1042.0

ss

Aplicado a una tercera iteración:

096.10165.0

ss

103.2053.0

rr

Iteración r Δr s Δs

1 1.0953 -0.9047 -2.0752 -1.5752

2 2.05 -0.179 -1.08 -0.042

3 2.103 -0.053 -1.096 -0.0165

Tabla 1. Valores de r,Δr, s y Δs

Asi las raíces son:

29.22

4

1

2

1

x

srrx

14956.129.2

3

2

xx