ON  THE  THEOREM  OF  SHEN  GUA      Abstract    The  Chinese  mathematician  and  philosopher  Shen  Gua  (11thAD)  has  developed  a  simple  and  beautiful  formula  for  the  approximated  calculation  of  the  arc  of  a  circle.  The  Chinese  text  has  been  translated  into  English  by  Wagner  and  by  Martzloff.  Since  their  mathematical  explanations  seem  to  me  very  complicated,  I  give  here  a  simple  and    complete  derivation  of  the  theorem.    It  is  based  on  the  term  “shift  one  place“  translated  from  the  Chinese  words  “tui  yi  wei”.  I  am  a  physicist  and  I  don’t  know  the  Chinese  language.  I  show,  however  that  “shift  one  place”  is  symbolically  equivalent  with  the  Binomial  Theorem  which  is  well  known  in  the  Chinese  and  the  European  mathematics.          Contents    1  )  The  theorem  of  Shen  Gua  2  )  Pythagoras  3  )  Babylon  4  )  Proof  of  Shen  Gua  5  )  Archimedes  6  )  Pascal  7  )  Newton  8  )  Conclusion  9  )  Literature        1)  The  theorem  of  Shen  Gua                          Figure  1          Definitions:    h  =  sagitta            r  =  radius            b  =  half  cord              𝛼  =  angle  of  half  chord    Formula  of  Shen  Gua:                        Arc  (2𝛼)=      2b  +  ℎ!/r    

2  )  THE  THEOREM    OF    PYTHAGORAS                  Figure  2                        Definitions                                  𝛼  =  angle  (p,a)                            𝛽  =  angle(q,b)                Demonstrations:            cos(𝛼)  =              p/a    =    a/c                          𝑎!  =    pc                                                        (Ahmed)       cos(𝛽)  =              q/b    =    b/c                          𝑏! = 𝑞𝑐    Pythagoras1:                          𝑎!+  𝑏!  =                (p  +q)c          =    𝑐!                                                                                        (Euklides)      Height:                                                  tg  (𝛼)      =                h/p  =  q/h                    ℎ!    =    pq                                                      (Euklides)      Pythagoras2:                          pq                  =            (r    +    x)  ×    (r  -­‐  x)    =              𝑟!    -­‐    𝑥!    =  ℎ!                (Babylon)      Pythagoras3:                          𝑟!      =            ℎ!      +      𝑥!      Pythagoras4:                    𝑎!/𝑐!  +  𝑏!/𝑐!    =          𝑐𝑜𝑠!  (𝛼)  +  𝑠𝑖𝑛!(𝛼)  =  1                                        (Hipparchos)      The  above  algebraic  demonstrations  are  based  on  the  Similarity  equations  of      the  rectangular  triangles  which  are  transformed  into  Metric  equations            

ha

r

xq

b

p = r + x c = p + q p

3)    Babylon    The  Babylonians  have  developed  a  method  for  an  approximated  calculation  of  a  square  root:  The    formula  is:      D1    =      1/2  (a    +    D/a)                    a    is    equal  to  the  root  oft  the  next  lower  square  of  D.                                       D1  is  the  approximation  to  the  square  root  of  D    The  equation  can  be  inductively  iterated:      D2  =    ½(D1  +  D/D1)    Example  :        D=6      a=2                  D1    =  1/2  (2  +  6/2  )    =      2.5                  True  value  =    2.44  .    .    .                          Figure  3              Geometric  proof       𝐷        =                    a    +    x          D        =              (  𝑎 +  𝑥)!            =              𝑎!    +      2  a  x    +        𝑥!      If    𝑥!    is  a  small    value  ,    it  can  be  neglected.  We  get  therefore:    x        =        D/2a      –    a/2                          and                        D1      =        a    +    x            =        1/2  (a    +    D/a)    If  a  is  equal  to  1    ,                          we  get                    D1      =        1/2          +            D/2        Consider  now  the  root  of      (  𝑎!      +        y)          where    y  is    small:    𝑎! +    𝑦          =                 𝑎!(1+ 𝑦/𝑎!)          =          a  ∙     1+ 𝑦/𝑎!)            =      a      +      y/2a  

 This  is  the  equation  that  has  been  used  by  Shen  Gua  .        

     

4  )  Proof  of  the  theorem  of  Shen  Gua      Shen  Gua  1:                              Calculate      s(b,h)    From  Figure  1  it  follows  that      𝑠!  =    𝑏!  +  ℎ!      =          𝑏!  (1+  ℎ!/𝑏!)                                                        Pythagoras            s      =    b   1+ ℎ!/𝑏!        ≅      b  +  ½  ℎ!/b                                            Babylon    (Shift  theorem)    Arc    =      2b      +    ℎ!  /  b          =            2b    +      ℎ!/r  sin(𝛼)    problem:  if      b  <  1          then  the  rest  arc  gets  greater                solution:    multiply  the  rest  arc  by    sin(𝛼)        Arc    =      2b      +      ℎ!/r                                                                                                            Theorem  of    Shen  Gua        note  :      the    new  arc  is    smaller    since            sin(  𝛼)    is  always      ≤      1          Shen  Gua  2:                              Calculate    b(h)          and            arc(r,h)    

b    =     𝑟!  –  𝑎!          =           𝑟!  –  (𝑟– ℎ)!                        Pythagoras                  Arc    =    2b    +      ℎ!  /  r      Shen  Gua  3                                  Example  with      r=5          and          h=2                              

Result:            a  =  r–h=3                      b  =     5!  –  3!        =      4                                          arc    =      8    +      0.8      =        8.8    note:        this  ist  the  well  known  Pythagorian  triangle        3,4,5            

5  )  Archimedes    Archimedes    (3.BC)  has  calculated  the  number  𝜋    with  regular    polygons  that  are  inscribed  in  a  circle.  He  used  the  following  equations  (see  Figure  1):                                                              𝑟!      =    𝑎!    +    𝑏!                                                                𝑠!    =    𝑏!    +    ℎ!                                                  if    r  =  1            then                                a  =cos𝛼                                                                ℎ!    =    (𝑟–𝑎)!                                                                                              and                                    b=sin  𝛼    polygon  side  equation:        𝑠!    =      𝑠𝑖𝑛!𝛼    +    (1– cos𝛼)!          =      𝑠𝑖𝑛!𝛼    +  𝑐𝑜𝑠!𝛼    +  1  –  2cos𝛼  

               =    (2   sin𝛼/2)!                                          =      2  (1-­‐cos𝛼)                                                            𝑠𝑖𝑛!    (𝛼/2)              =      1/2  (1–cos  𝛼)    

                                                       sin  (𝛼/2)          =       1/2(1– 1–  𝑠𝑖𝑛!𝛼    )  

 The  derivation  of  this  equation  uses  3  times  the  theorem  of  Pythagoras    and  one  time  the  Binom  theorem.  The  equation  shows  that  the  sin  of    𝛼/2    can  be  calculated  with  two    square  roots  from  the  sin  of  𝛼  .  An  iterative  procedure  gives  therefore  the  sin  of    𝛼 = 360°/(𝑛)  .          Numeric  values  are  shown  in  the  following  table.    Arc1=n∙ sin  (𝛼/2)                    Arc2=2n∙sin(𝛼/4)  ShenGua=(n/2)  ∙  (2  sin(𝛼/2)+(1– 𝑐𝑜𝑠!(𝛼/2)  )    n  gone                                    𝛼                                Arc1                              Arc2                            Shen  Gua                      Error    2  gone                              180°                          2                                          2.8                                          3                                              4.5  %  3  gone                              120°                          2.5                                    3.0                                        2.97                                    5.4%  4  gone                                  90°   2.8                                    3.06   3.0      4.5%  5  gone                                  72°                          2.93                                3.09                                    3.02                                  3.8%  6  gone   60°   3.0                                    3.105                                3.05                                  2.9%                  12  gone                            30°                            3.105                          3.13                                    3.11                                  1%  96  gone                          3.75°                      3.14103        𝜋  =  3.14159        

6  )  PASCAL        Pascal  (17.AD)  is  famous  for  the  discovery  of  the  Pascal  Triangle,  which  is    equivalent  with  the  Binomial    Theorem.  There  are  three  methods  for  the  development  of  this  theorem:                                                                        1                        1                        1                        1                        1                      1                        1                                                                      1                        2                        3                        4                        5                        6       1                        3                        6                  10                  15       1                        4                    10                  20       1                        5                    15                                                             1                        6       1    The  triangle  is  constructed  with  the  arithmetic  sum  of  2  successive  numbers  written  below.        Example:    3    +      6      =    10    .  Pascal  used  his  triangle  for  the  development    of  the  binomial  series:       1+ 𝑥 ! =            1        +          6  x        +    15  𝑥!      +      20  𝑥!      +        15  𝑥!        +        6  𝑥!      +      1  𝑥!      The  binomial  coefficients  of  the  series  can  also  be  determined  by  multiplication:         𝑛𝑘      =        n!/  k!(n-­‐k)!                  i.e.       62    =      6  5  4  3  2  1  /    (2  1)    (  4  3  2  1)      =      15      This  is  the  second  method.    The  binomial  coefficients  are  generally  used  in  the  Probability  theory.      Originally  the  Pascal  triangle  has  already  been  discovered  by  Omar  Kayyam  (11.AD),  and  Yang  Hui  (13.AD),  Al  Kashi  (15.AD)    They  used  a  Shift  and  Add  operation:      (1+ 𝑥)!        =              1                  1                                                                                      1                    1    (1+ 𝑥)!        =              1                  2                    1                                                                                      1                    2                    1            (1+ 𝑥)!        =              1                  3                    3                    1                                                                                      1                    3                    3                    1      (1+ 𝑥)!        =                1                4                    6                    4                    1                                                                                      1                    4                    6                    4                    1        (1+ 𝑥)!      =                1                5                10              10                    5                    1              

7  )  NEWTON    One  of  the  great  discoveries  of  Newton    (17.AD)  was,  that  the  definition  of  the  binom  coefficients  could  be  extended  to  fractional  exponents:  For  an  exponent  of  1/2  one  gets       1+ 𝑥            =        (1+ 𝑥)!/!        =          1          +          1/2  x      –      1/8  𝑥!  +          .    .    .      The  series  extends  to  the  infinite.  It  is  convergent  for  x  ≤  1.  It  is  a  shift  N  place  operation.    It  can  be  proved  with  the  Taylor  series  of  f(x):  y    =  f(x)  =  f(0)    +    𝑓(!)(0)  ∙  x    +    𝑓(!)(0)/2!  ∙  𝑥!    +    .    .    .        𝑓(!)(0)/n!  ∙  𝑥!          where      𝑓(!)    denotes  the  derivative  of  the  order  n.    The  connection  with  the  Shen  problem  is,  that  Shen  uses  only  the  shift  one  term.  Since  the  second  term  is  negative,  the  Shen  approximation  is  too  high.      8  )  Conclusion    My  comment  to  the  paper  of  Wagner  is:  He  writes,  that  we  have  to  leave  out  the  words  “shift  one  place“    for  an  understanding    of  the  text  and  he  thinks  that  these  words  have  been  added  by  a  later  editor  of  the  Shen  Gua  text.  My  opinion  is:  The  term  “shift  one  place”  is  the  key  to  the  understanding  of  the  Shen  Gua  formula.  If  we  leave  out  these  words,  actually  we  can’t  understand  the  Shen  Gua  formula.  Moreover,  if  we  leave  out  shift  N  operations,  we  can  forget  a  great  part  in  many  mathematical  books.    My  comment  to  the  book  of  Martzloff  is:  In  his  text  he  writes,  that  Shen  Gua  did  not  explain  his  equation.  This  is  not  true.  The  term  “shift  one  place“  is  a  short  and  very  precise  explanation  of  Shen  Gua’s  formula.      9  )  Literature    9.1    Donald  B.Wagner  :  Shen  Gua  and  an  ignorant  editor  on  the  length  of  an  arc                  in:      Google:      <http:/donwagner.dk/Shen-­‐Gua-­‐arc.htm>    9.2    Jean  –  Claude  Martzloff:  A  History  of  Chinese  Mathematics    9.3    Karine  Chemla  et  Guo  Shuchun:    Les  neuves  chapitres    9.4    B.  L.  van  der  Waerden:  Erwachende  Wissenschaft    9.5    Carl  B.  Boyer:  A  History  of  Mathematics