NÚMEROS NATURALES PRINCIPIO DE INDUCCIÓN

UNIDAD N° 3

NÚMEROS NATURALES

PRINCIPIO DE INDUCCIÓN

ÁLGEBRA I. UNIDAD Nº 3: NÚMEROS NATURALES – PRINCIPIO DE INDUCCIÓN – PROF. MARÍA EUGENIA RIVERO _____________________________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________ INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE “JOAQUÍN V. GONZÁLEZ” 123

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Cuando emitimos una afirmación o proposición podemos intentar clasificarla en

el conjunto de las proposiciones generales, en donde interviene una afirmación del

tipo de “para todo elemento de...”, o bien en el conjunto de las proposiciones

particulares en donde la afirmación se refiere “al elemento tal de...”.

De la certeza de una proposición general se puede pasar a la certeza de las

correspondientes proposiciones particulares, y, al revés, de la certeza de una o

varias proposiciones particulares se puede pasar a la certeza de la correspondiente

proposición general o generalización.

El paso de un tipo de proposición a otra requiere un proceso de razonamiento

lógico que en general se denomina deducción si se trata del paso de una

proposición general a una o más proposiciones particulares, o inducción, cuando

realizamos el paso de una o varias proposiciones particulares a una proposición

general.

Si decimos que “todos los números enteros pares son divisibles por 2”

estamos exponiendo una proposición general, de la que es particularización, por

ejemplo, la proposición “el número 246 es divisible por 2”.

El proceso por el cual, conocida la verificación de la proposición general,

inferimos que se verifica la proposición particular correspondiente, es lo que

entendemos por deducción o proceso deductivo.

Por otra parte, cuando desde la verificación de una o varias proposiciones

particulares inferimos que se verifica una proposición general que las engloba,

entendemos que estamos realizando un proceso de inducción o proceso

inductivo.

Si, por ejemplo, aceptamos como cierta la proposición general de que “todos

los suecos son rubios”, la veracidad de la afirmación correspondiente a la

particularización: “Gustav es sueco y por consiguiente rubio” es un proceso de

deducción. Evidentemente, la certeza depende de que sea cierta la proposición

general de la que se ha partido.



En cambio, el proceso contrario, en el que partiríamos de la veracidad de la

afirmación “Gustav es sueco y rubio” no nos permitiría afirmar la veracidad de la

proposición general “Todos los suecos son rubios”. Ni tampoco negarla.

En general, pues, el proceso de inducción, por el que pasamos de una o varias

afirmaciones particulares a una afirmación generalizadora, no es tan sencillo. ¿Cómo

podríamos realizarlo de una forma segura? Este será el tema a tratar en esta unidad.

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DEFINICIÓN Nº 1:

De acuerdo con la definición precedente, para poder determinar si un conjunto

K es o no es inductivo, deberemos verificar si 1 es un elemento de K.

En caso de que esto no se cumpla, podemos concluir en que K no es inductivo,

puesto que para serlo deben cumplirse simultáneamente las dos propiedades. Por

tanto, con que una no se verifique es suficiente para afirmar la no inductividad de K.

Si 1 K∈ deberemos chequear la segunda propiedad. Para ello se tomará un

elemento genérico del conjunto, por ejemplo r. Por pertenecer a K este elemento

deberá cumplir todas las propiedades que cumplen los elementos de K, según la

forma en que este conjunto haya sido definido. A partir de r, deberemos probar si

r 1+ también verifica esas propiedades.

Si ocurriese que r 1 K+ ∉ para r K∈ , se concluirá en que K no es inductivo.

En caso contrario, como se verifican las propiedades 1 y 2 de la definición,

podremos afirmar que K es inductivo.

Decimos que un SUBCONJUNTO K de � es INDUCTIVO si verifica las

siguientes propiedades:

1) 1 K∈ .

2) Si r K∈ entonces r 1 K+ ∈ .



El siguiente esquema resume lo anteriormente planteado:

�� ! � "

�� #�$��%�&%�'#�'��%��!�%��

�� #�$��%�&%�'#�'��%��(��# �)� # ! �"

��

→→→→ ∈∈∈ ∈ →→→→ →→→→ ∈ + ∈∈ + ∈∈ + ∈∈ + ∈ →→→→

1) � es un conjunto inductivo pues 1∈ � y dado un número real r, r 1+

también es un número real (pues la suma de dos reales es real).

2) { }x /x 0+ = ∈ >� �� es un conjunto inductivo pues 1 +∈ � y dado un número

real r positivo, r 1+ también es un número real positivo.

3) { }x / x 0− = ∈ <� � no es un conjunto inductivo pues 1 −∉ � y dado un

número real r negativo, r 1+ no necesariamente es un número real negativo. Por

ejemplo si 1 1

r r 12 2

− −= − ∈ ⇒ + = ∉� � .

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4) Veamos si { }K x / x 1 2 x= ∈ = ∨ ≤� es o no un conjunto inductivo. Para

ello chequearemos si verifica las dos propiedades.

1 – De acuerdo a como está definido K, 1 K∈ .

2 – Sea x K∈ . Existen dos posibilidades:

• Si x 1= , entonces x 1 2 K+ = ∈ .

• Si 2 x≤ , entonces (sumando 1 a ambos miembros de la desigualdad)

3 x 1≤ + , y 2 3 x 1≤ ≤ + , con lo cual, x 1 K+ ∈ .

Por lo tanto, dado x K∈ , se verifica, en cualquier caso, que x 1 K+ ∈ .

Como se cumplen las dos propiedades, puede concluirse en que el conjunto K

es inductivo.

5) { }K 1= no es inductivo pues 1 K, pero 1 1 2 K∈ + = ∉ .

6) { }K x / 1 x 2= ∈ < ≤� no es inductivo porque no satisface ninguna de las dos

condiciones: 1 K∉ y si x K∈ , entonces 1 x 2< ≤ , con lo cual (sumando 1 a todos

los miembros de la desigualdad) se tiene que 2 x 1 3< + ≤ . Al ser x 1 2+ > queda

claro que x 1 K+ ∉ .

a) ℤ

b) −ℤ

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c) { }x / x 4 es divisible por 5∈ +�

d) Un subconjunto finito de ℕ

e) Un subconjunto infinito de que contenga al 1.ℕ

f) { }0∪ℕ

g) { } { }1 x 1/ x∪ + ∈ ℕ

h) { }x 1/ x+ ∈ ℕ

RTA: Son inductivos: a, f, g.

∈= + ∈= + ∈= + ∈= + ∈

� ��

�� !"�"� #"$%&$!"� '$�&#!'("�

#"$!'�$��)*�#"$%&$!"��$+,�-".�$)!&-)*�.��

�

�

DEMOSTRACIÓN:

Sean A y B dos conjunto inductivos de � . Debemos demostrar que su

intersección es también un conjunto inductivo. Para ello habrá que chequear que se

verifiquen las dos propiedades.

1) Por ser A y B inductivos, 1 ∈ A y 1 ∈ B. Por lo tanto 1 A B∈ ∩ .

$�� /� �

TEOREMA Nº 3:

Si A, B son conjuntos inductivos de � , entonces A ∩ B es un

conjunto inductivo de � .



2) Verificaremos ahora la propiedad 2.

Sea r A B∈ ∩ . Esto implica que r A∈ ∧ r B∈ .

Como A es inductivo y r A∈ , entonces r 1 A+ ∈ .

Como B es inductivo y r B∈ , entonces r 1 B+ ∈ .

Por lo tanto, r 1 A B+ ∈ ∩ , con lo cual se cumple la propiedad 2 de la definición.

Como se verifican para A B∩ las propiedades 1 y 2 de la definición 1,

entonces A B∩ es un conjunto inductivo.

DEFINICIÓN Nº 2:

La propiedad 2) de esta última definición nos indica que ℕ es el menor (en

sentido de la inclusión) subconjunto inductivo de � . Es decir que:

{ }K /K es inductivo= ⊂ℕ ∩ �

Para probar esto es suficiente exhibir un conjunto inductivo K tal que 1

K2

∉ .

¿Por qué afirmo esto? Pues si encontramos tal conjunto K inductivo, ℕ estará

incluido en él (al igual que lo está en cualquier otro conjunto inductivo). Por lo tanto,

el hecho de probar que 1

K2

∉ implicará también que 1

2∉ ℕ .

Llamaremos CONJUNTO DE NÚMEROS NATURALES, al subconjunto

denotado por ℕ , caracterizado por las siguientes propiedades:

1) ℕ es inductivo.

2) Si K ⊂ � es un conjunto inductivo, entonces K⊂ℕ .

� �� ∉ ℕ��

.�



Sea { }K x / 1 x= ∈ ≤� .

Claramente, 1 K∈ .

Además, dado x K∈ , se verifica que 1 x≤ , con lo cual (sumando 1 a ambos

miembros de la desigualdad) 2 x 1≤ + . Por lo tanto, 1 x 1≤ + , es decir, x 1 K+ ∈ .

Queda entonces probado que este conjunto es inductivo, por lo que se verifica

que K⊂ℕ .

1K

2∉ pues

11

2< , entonces

1

2∉ ℕ .

DEMOSTRACIÓN:

ℕ K

1

2

PROPOSICIÓN Nº 2:

Todo n ∈ ℕ satisface 1 n≤ .

� �� 0� �

��1 ��



Sea { }K x /1 x= ∈ ≤� .

El conjunto K es inductivo, por lo tanto K⊂ℕ (propiedad 2 de la definición 2).

De esta manera, si n ∈ ℕ , entonces n K∈ y, por lo tanto, 1 n≤ .

DEMOSTRACIÓN:

Si n m< , dividiendo a ambos miembros de la desigualdad por m se obtiene

< =n m1

m m (esto es posible debido a que, como ∈ ℕm , m ≠ 0).

Por lo tanto, n

1m

< , con lo cual puede concluirse en que n

m∉ ℕ (pues por la

proposición 2, todo número natural es mayor o igual a 1).

DEMOSTRACIÓN:

Sea { }K x / x 0= ∈ >� .

Como ya lo hemos visto en el ejemplo 2, este conjunto es inductivo. Por lo tanto

K⊂ℕ (propiedad 2 de la definición 2).

De esta manera, si n ∈ ℕ , entonces n K∈ y, por lo tanto, n 0> .

COROLARIO Nº 2:

Si n,m ∈ ℕ y n m< entonces n

m∉ ℕ .

COROLARIO Nº 3:

Todo n ∈ ℕ satisface n 0> .

PROPOSICIÓN Nº 3:

Si n ∈ ℕ satisface 1 n< , entonces 2 n≤ . (Por lo tanto no

existen números naturales n tales que 1 n 2< < ).



DEMOSTRACIÓN:

Sea { }K x / x 1 2 x= ∈ = ∨ ≤� .

Como ya lo hemos visto en el ejemplo 4, este conjunto es inductivo. Por lo tanto

K⊂ℕ (propiedad 2 de la definición 2). De esta manera, si n ∈ ℕ y 1 n< (como

plantea la hipótesis de la proposición), entonces n K∈ y, por lo tanto, 2 n≤ .

!*�� 2�� ∈ =ℕ�2 3 2 � ��

Supongamos que 2 x / x 2∃ ∈ =ℕ .

Por la proposición 1, tendríamos que x 1≥ .

Ahora, x 1= es imposible pues 21 1 2= ≠ . Por lo tanto x 1> , o sea 2 x≤

(proposición 3).

Entonces, elevando al cuadrado ambos miembros de la desigualdad,

obtenemos, 2 24 2 x 2= ≤ = , lo cual implica que 4 2≤ .

Absurdo, puesto que 2 4< . El absurdo proviene de suponer que x /∃ ∈ ℕ

2x 2= .

Por lo tanto no existe 2x / x 2∈ =ℕ .

(*�� ∈ ℕ2� �0 ��0�� ⋅ = ⇒ = =2 0 � 2 0 � ��

Supongamos que x 1 1 x 2 x≠ ⇒ < ⇒ ≤ (proposición 3).

Como y 1 y∈ ⇒ ≤ℕ (proposición 2).

Luego, multiplicando los dos primeros miembros entre sí y los dos segundos

miembros entre sí de las desigualdades recuadradas obtenemos 2 1 x y 2 1⋅ ≤ ⋅ ⇒ ≤ .

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