1.1. Persamaan KontinuitasPersamaan Kontinuitas

Dalam modul ini, yang dimaksud dengan fluida secara umum adalah fluida ideal, yaitu fluida yangDalam modul ini, yang dimaksud dengan fluida secara umum adalah fluida ideal, yaitu fluida yang

mempunyai sifat-sifat sebagai berikut:mempunyai sifat-sifat sebagai berikut:

1). 1). Massa Massa jenis jenis fluida fluida tidak tidak bergantung bergantung pada pada tekanan (titekanan (tidak dak kompresibel). kompresibel). Pada Pada umumnya umumnya terutama terutama gasgas

bersifat kompresibel, jika volume gasdipersempit atau tekanan diperbesar, maka massa jenisbersifat kompresibel, jika volume gasdipersempit atau tekanan diperbesar, maka massa jenis

berubah.berubah.

2). 2). Aliran Aliran fluida fluida tidak tidak turbulen. turbulen. atau atau dengan dengan kata kata lain lain aliran aliran fluida fluida dianggaplaminer dianggaplaminer (streamline).(streamline).

3). 3). Aliran Aliran fluida fluida terjadi terjadi secara secara stasioner, stasioner, artinya artinya kecepatan kecepatan pada pada setiap setiap titikdalam titikdalam fluida fluida adalah adalah konstan.konstan.

4). 4). Fluida Fluida tidak tidak kental, kental, sehingga sehingga semua semua gesekan gesekan yang yang muncul muncul akibatviskositas akibatviskositas fluida fluida diabaikan. Dengdiabaikan. Denganan

asumsi, fluida tidak termampatkan, tidak kental, dan memiliki alirantunak inilah kemudianasumsi, fluida tidak termampatkan, tidak kental, dan memiliki alirantunak inilah kemudian

diturunkan semua persamaan yang berkaitan denganfluida dinamis.diturunkan semua persamaan yang berkaitan denganfluida dinamis.

Pada saat Anda akan menyemprotkan air dengan menggunakan selang, cobalah ujung selangPada saat Anda akan menyemprotkan air dengan menggunakan selang, cobalah ujung selang

dipencet, maka air yang keluar akan menempuh lintasan yang cukup jauh. Sebaliknya ketika selangdipencet, maka air yang keluar akan menempuh lintasan yang cukup jauh. Sebaliknya ketika selang

dikembalikan seperti semula maka jarak pancaran air akan berkurang. Dari dikembalikan seperti semula maka jarak pancaran air akan berkurang. Dari Fenomena fisika tersebut, kitaFenomena fisika tersebut, kita

peroleh peroleh bahwa bahwa luas luas penampang pipa penampang pipa mempengaruhi mempengaruhi lajulaju aliran fluidaaliran fluida..

Pernahkan kalian berarung jeram, atau naik perahu di sungai? Kalau kita perhatikan ketika orangPernahkan kalian berarung jeram, atau naik perahu di sungai? Kalau kita perhatikan ketika orang

berperahu disebuah sungai akan merasakan arus bertambah deras kberperahu disebuah sungai akan merasakan arus bertambah deras k etika sungai menyempit.etika sungai menyempit.

Dari dua fenomena alam terseDari dua fenomena alam tersebut kita amati bahwa but kita amati bahwa kecepatan fluida berkurang ketika melewkecepatan fluida berkurang ketika melewatiati

pipa lebar dan bertambah ketika melewati pipa sempit. Sekarang kita akan coba menjelaskan lebih eksakpipa lebar dan bertambah ketika melewati pipa sempit. Sekarang kita akan coba menjelaskan lebih eksak

hubungan hubungan kecepatan fluida di suatu tempat dekecepatan fluida di suatu tempat dengan tempat lain.ngan tempat lain.

Amatilah gambar di samping ini. Amatilah garis aliran airnya. Garis-garis pada aliran ini sama sekaliAmatilah gambar di samping ini. Amatilah garis aliran airnya. Garis-garis pada aliran ini sama sekali

tidak berpotongan satu sama lainnya. Garis alir semacam ini dinamakantidak berpotongan satu sama lainnya. Garis alir semacam ini dinamakan Garis alirGaris alir ((stream linestream line) yang) yang

didefinisikan sebagai lintasan aliran fluida ideal (aliran lunak). Pada pipa alir, fluida masuk dan keluardidefinisikan sebagai lintasan aliran fluida ideal (aliran lunak). Pada pipa alir, fluida masuk dan keluar

melalui mulut-mulut pipa. melalui mulut-mulut pipa. Air masuk dari ujung kiri dengAir masuk dari ujung kiri dengan ke cepatanan ke cepatan v v 1 dan keluar di ujung kanan dengan1 dan keluar di ujung kanan dengan

kecepatankecepatan v v 2. Jika2. Jika kecepatan fluida konstankecepatan fluida konstan,, maka dalam interval waktu ( maka dalam interval waktu ( t)t) fluida telah menempuh jarakfluida telah menempuh jarak s=s=

v.tv.t ..

Karena alirannya lunak (Karena alirannya lunak (steady steady ) dan massa konstan, maka massa yang masuk penampang) dan massa konstan, maka massa yang masuk penampang  A A1 harus1 harus

sama dengan massa yang masuk penampangsama dengan massa yang masuk penampang  A A2. Oleh karena itu persamannya menjadi2. Oleh karena itu persamannya menjadi

B. FLUIDA DINAMISB. FLUIDA DINAMIS

Laju aliran air dalam luas penampang dinamakan dengan istilah debit air (Q).Laju aliran air dalam luas penampang dinamakan dengan istilah debit air (Q).  Q Q = jumlah volume= jumlah volume

fluidafluida yang mengalir lewat suatu penampang tiap detik). Secara matematis dapat ditulisyang mengalir lewat suatu penampang tiap detik). Secara matematis dapat ditulis

Kita sering mendengar istilahKita sering mendengar istilah debitdebit  air. Misalnya debit air PAM menurun di musim kemarau.  air. Misalnya debit air PAM menurun di musim kemarau.

Apakah yang dimaksud dengan debit?Apakah yang dimaksud dengan debit? DebitDebit  adalah besaran yang menyatakan banyaknya air yang  adalah besaran yang menyatakan banyaknya air yang

mengalir selama 1 detik yang melewati suatu penampang luas. Ambillah sebuah selang dan nyalakan kran,mengalir selama 1 detik yang melewati suatu penampang luas. Ambillah sebuah selang dan nyalakan kran,

air akan mengalir melalui penampang ujung selang itu. Jika selama 5 detik air yang mengalir adalah lewatair akan mengalir melalui penampang ujung selang itu. Jika selama 5 detik air yang mengalir adalah lewat

ujung selang adalah 10 mujung selang adalah 10 m33, maka kita katakan debit air adalah (10/5) m, maka kita katakan debit air adalah (10/5) m33/detik = 2 m/detik = 2 m33/det./det.

Mari kita tinjau aliran fluida yang melalui pipa yang panjangnya L dengan kecepatan v. LuasMari kita tinjau aliran fluida yang melalui pipa yang panjangnya L dengan kecepatan v. Luas

penampang pipa adalah A. Selama t detik volume fluida yang mengalir adalah V = AL, sedang jarak Lpenampang pipa adalah A. Selama t detik volume fluida yang mengalir adalah V = AL, sedang jarak L

ditempuh selama t = L/v detik maka debit air adalah:ditempuh selama t = L/v detik maka debit air adalah:

dengan:dengan:VV = volume fluida yang mengalir (m= volume fluida yang mengalir (m 33),),

tt = waktu (s),= waktu (s),

 A A = luas penampang (m= luas penampang (m22),),

vv = kecepatan aliran (m/s), dan= kecepatan aliran (m/s), dan

QQ = debit aliran fluida (m= debit aliran fluida (m33/s)./s).

Debit merupakan laju aliran volume. Sebuah pipa dialiri air. Perhatikan kecepatan air yangDebit merupakan laju aliran volume. Sebuah pipa dialiri air. Perhatikan kecepatan air yang

mengalir. Tutuplah sebagian permukaan selang dengan jari. Bagaimana kecepatan air? Mana yang lebihmengalir. Tutuplah sebagian permukaan selang dengan jari. Bagaimana kecepatan air? Mana yang lebih

deras saat permukaan selang tidak ditutup atau saat ditutup? Kita akan melihat mengapa demikian.deras saat permukaan selang tidak ditutup atau saat ditutup? Kita akan melihat mengapa demikian.

Gambar 7.21 Pipa panjang luas penampang pipa A, panjang pipa L. Fluida mengalir dengan kecepatan v.

Selama waktu t maka volume fluida mengalir lewat pipa sebanyak V. Debit fluida adalah Q = A .v.

Tinjau fluida yang mengalir di dalam pipa dengan luas penampang ujung-ujung pipa berbeda. Fluida

mengalir dari kiri masuk ke pipa dan keluar melalui penampang di sebelah kanan seperti ditunjukkan

Gambar

Air memasuki pipa dengan kecepatan v 1. Volume air yang masuk dalam selang waktu Δt adalah:

Fluida tak termampatkan, dengan demikian bila ada V 1 volume air yang masuk pipa, sejumlah

volume yang sama akan keluar dari pipa. Luas penampang ujung pipa yang lain adalah A 2.

Dengan demikian:

Persamaan ini disebut persamaan kontinuitas. Debit yang masuk pada suatu penampang luasan

sama dengan debit yang keluar pada luasan yang lain meskipun luas penampangnya berbeda.

Gambar 7.23 Aliran air dalam fluida

Aliran air dalam pipa yang berbeda penampangnya dapat kita gambarkan sebagai berikut (Gambar

7.23). Di tempat yang penampangnya luas, maka aliran air kurang rapat dibanding bila melewati

penampang yang lebih kecil.

Contoh soal menghitung debit air

1. Air mengalir dalam pipa yang jari-jari 5 cm dengan laju 10 cm/det. Berapa laju aliran volumenya?

Penyelesaian :

Diketahui :

r = 0,05 cm, v= 10 cm/det

Jawab :

1. Fluida mengalir dalam pipa yang diameternya berbeda-beda, kelajuan air di titik A yang jari-jarinya 3

cm adalah 8 m/det, berapakah kelajuan air di titik B, dan C bila jari jari masing-masing 1 cm dan 5 cm.

Penyelesaian :

Diketahui :

AC= π(0,03 m)2, AB= π(0,01 m)2, AC= π(0,05 cm)2

Jawab :

Debit air di ketiga titik tersebut sama maka:

3. Suatu air terjun dengan ketinggian 10 m mengalirkan air dengan debit 20 m 3/det. Berapa daya yang

dapat dibangkitkan oleh air terjun itu. ρ air= 1.000 kg/det.

Penyelesaian :

Diketahui :

Kita tinjau di puncak air terjun massa air memiliki tenaga potensial yang besarnya:

Ep= mgh

Massa air adalah ρV

Daya yang dibangkitkan merupakan perubahan tenaga potensial air menjadi tenaga untuk penggerak

turbin di bawahnya.

Dengan demikian kita dapat menghitung daya yang ditimbulkan oleh air terjun.

P = 20 x 1.000 x 10 x 10

P = 2 x 106 Watt

4. Sebuah pipa lurus memiliki dua macam penampang, masing-masing dengan luas penampang 200 mm 2

dan 100 mm2. Pipa tersebut diletakkan secara horisontal, sedangkan air di dalamnya mengalir dari

penampang besar ke penampang kecil. Jika kecepatan arus di penampang besar adalah 2 m/s,

tentukanlah:

a. kecepatan arus air di penampang kecil, dan

b. volume air yang mengalir setiap menit.

Jawab

Diketahui: A1 = 200 mm2, A2 = 100 mm2, dan v 1 = 2 m/s.

a. A1v 1 = A2v 2

(200 mm2) (2 m/s) = (100 mm2)v 2

v 2 = 4 m/s

b.

Q = (200 × 10 –6 m2) (2 m/s) (60 s) = 24 × 10 –3 m3 = 2,4 × 10 –4 m3.

1. Hukum Bernoulli

Hukum ini diterapkan pada zat cair yang mengalir dengan kecepatan berbeda dalam suatu pipa.

Prinsip Bernoulli

Prinsip Bernoulli adalah sebuah istilah di dalam mekanika fluida yang menyatakan bahwa pada suatu

aliran fluida, peningkatan pada kecepatan fluida akan menimbulkan penurunan tekanan pada aliran

tersebut. Prinsip ini sebenarnya merupakan penyederhanaan dari Persamaan Bernoulli yang menyatakan

bahwa jumlah energi pada suatu titik di dalam suatu aliran tertutup sama besarnya dengan jumlah energi

di titik lain pada jalur aliran yang sama. Prinsip ini diambil dari nama ilmuwan Belanda/Swiss yang

bernama Daniel Bernoulli.

Dalam bentuknya yang sudah disederhanakan, secara umum terdapat dua bentuk persamaan

Bernoulli; yang pertama berlaku untuk aliran tak-termampatkan (incompressible flow), dan yang lain

adalah untuk fluida termampatkan (compressible flow).

Aliran Tak-termampatkan

Aliran tak-termampatkan adalah aliran fluida yang dicirikan dengan tidak berubahnya besaran

kerapatan massa (densitas) dari fluida di sepanjang aliran tersebut. Contoh fluida tak-termampatkan

adalah: air, berbagai jenis minyak, emulsi, dll. Bentuk Persamaan Bernoulli untuk aliran tak -termampatkan

adalah sebagai berikut:

di mana:

v = kecepatan fluida

g = percepatan gravitasi bumi

h = ketinggian relatif terhadapa suatu referensi

p = tekanan fluida

ρ = densitas fluida

Persamaan di atas berlaku untuk aliran tak-termampatkan dengan asumsi-asumsi sebagai berikut:

• Aliran bersifat tunak (steady state)

• Tidak terdapat gesekan

Aliran Termampatkan

Aliran termampatkan adalah aliran fluida yang dicirikan dengan berubahnya besaran kerapatan

massa (densitas) dari fluida di sepanjang aliran tersebut. Contoh fluida termampatkan adalah: udara, gas

alam, dll. Persamaan Bernoulli untuk aliran termampatkan adalah sebagai berikut:

Hukum Bernoulli menyatakan bahwa jumlah dari tekanan ( p ), energi kinetik per satuan volum (1/2

PV^2 ), dan energi potensial per satuan volume (ρgh) memiliki nilai yang sama pada setiap titik sepanjang

suatu garis arus.

Dalam bagian ini kita hanya akan mendiskusikan bagaimana cara berfikir Bernoulli sampai

menemukan persamaannya, kemudian menuliskan persamaan ini. Akan tetapi kita tidak akan

menurunkan persamaan Bernoulli secara matematis.

Kita disini dapat melihat sebuah pipa yang pada kedua ujungnya berbeda dimanaujung pipa 1 lebih

besar dari pada ujung pipa 2.

Penerapan Hukum Bernoulli- Perhatikanlah Gambar 7.27. Suatu fluida bergerak dari titik A yang

ketinggiannya h1  dari permukaan tanah ke titik B yang ketinggiannya h2dari permukaan tanah. Pada

pelajaran sebelumnya, Anda telah mempelajari Hukum Kekekalan Energi Mekanik pada suatu benda.

Misalnya, pada benda yang jatuh dari ketinggian tertentu dan pada anak panah yang lepas dari busurnya.

Hukum Kekekalan Energi Mekanik juga berlaku pada fluida yang bergerak, seperti pada Gambar 7.27.

Gambar 7.27 Fluida bergerak dalam pipa yang ketinggian dan luas penampangnya yang berbeda. Fluida naik dari

ketinggian h1 ke h2 dan kecepatannya berubah dari v 1 ke v 2.

Di ujung pipa satu, mengalir air dengan volume ΔV, bila kerapatan air adalah ρ maka massa pada

volume tersebut adalah Δm = ΔVρ. Tenaga potensial yang dimiliki massa adalah U = Δmgh. Fluida tak

termampatkan maka pada ujung yang lainnya keluar air dengan volume yang sama dan massa yang sama.

Ujung kedua memiliki ketinggian yang berbeda dengan ujung pertama. Dengan demikian, tenaga

potensialnya berbeda meskipun massanya sama. Jika massa Δm bergerak dar i ujung 1 ke ujung 2 maka

massa mengalami perubahan tenaga potensial sebesar,

Perubahan tenaga kinetik massa:

Saat fluida di ujung kiri fluida mendapat tekanan P 1dari fluida di sebelah kirinya, gaya yang diberikan

oleh fluida di sebelah kirinya adalah F1= P1A1. Kerja yang dilakukan oleh gaya ini adalah:

Pada saat yang sama fluida di bagian kanan memberi tekanan kepada fluida ke arah kiri. Besarnya

gaya karena tekanan ini adalah F 2= -P2A2. Kerja yang dilakukan gaya ini.

Kerja total yang dilakukan gaya di sebelah kiri dan sebelah kanan ini adalah:

Masih ingatkah dengan teorema kerja dan energi:

Setelah dimasukan akan diperleh:

kita bagi kedua ruas dengan ΔV kita memperoleh:

kita bisa mengubah persamaan tersebut menjadi:

Secara lengkap, Hukum Bernoulli menyatakan bahwa jumlah tekanan, energi kinetik per satuan

volume, dan energi potensial per satuan volume memiliki nilai yang sama di setiap titik sepanjang aliran

fluida ideal. Persamaan matematisnya, dituliskan sebagai berikut.

 p + ½ ρv2 +ρgh =konstan

atau

dengan: p = tekanan (N/m2),

v = kecepatan aliran fluida (m/s),

g = percepatan gravitasi (m/s 2),

h = ketinggian pipa dari tanah (m), dan

ρ = massa jenis fluida.

Penerapan Hukum Bernoulli dapat kita lihat pada:

a. Teorema Torriceli

Salah satu penggunaan persamaan Bernoulli adalah menghitung kecepatan zat cair yang keluar dari

dasar sebuah wadah (lihat gambar di bawah)

Kita terapkan persamaan Bernoulli pada titik 1 (permukaan wadah) dan titik 2 (permukaan lubang).

Karena diameter kran/lubang pada dasar wadah jauh lebih kecil dari diameter wadah, maka kecepatan zat

cair di permukaan wadah dianggap nol (v1 = 0). Permukaan wadah dan permukaan lubang/kran terbuka

sehingga tekanannya sama dengan tekanan atmosfir (P1 = P2). Dengan demikian, persamaan Bernoulli

untuk kasus ini adalah :

Jika kita ingin menghitung kecepatan aliran zat cair pada lubang di dasar wadah, maka persamaan ini

kita oprek lagi menjadi

Berdasarkan persamaan ini, tampak bahwa laju aliran air pada lubang yang berjarak h dari

permukaan wadah sama dengan laju aliran air yang jatuh bebas sejauh h (bandingkan Gerak jatuh Bebas)

Ini dikenal dengan Teorema Torricceli. Teorema ini ditemukan oleh Eyang Torricelli, murid eyang

butut Gallileo, satu abad sebelum om Bernoulli menemukan persamaannya.