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Mécanique & Industries 4 (2003) 397–409

Modes d’instabilités observés dans un écoulementde Couette–Taylor viscoélastique

Instability modes observed in a viscoelastic Couette–Taylor flow

Olivier Crumeyrollea, Noureddine Latrachea, Alexander Ezerskya,b, Innocent Mutabazia,∗

a LMPG, UFR des sciences et techniques, Université du Havre, 25, rue Philippe Lebon, BP 540, 76058 Le Havre cedex, Franceb Institut de physique appliquée de l’Académie de sciences de Russie, 46, rue Uljanov, 603600 Nijni-Novgorod, Russie

Reçu le 28 avril 2003 ; accepté le 2 juin 2003

Résumé

Nous étudions les premiers modes d’instabilité de l’écoulement de solutions aqueuses de polyoxyéthylène de grandes masses mle système de Couette–Taylor lorsque seul le cylindre intérieur tourne. Pour les solutions les plus diluées ou de faibles masses mdeux premiers modes d’instabilités sont respectivement identiques aux rouleaux de Taylor (stationnaires et axisymétriques) et auondulés dans la direction azimutale observés dans les liquides newtoniens. Dans des solutions avec une concentration et/ou mplus élevées, le premier mode d’instabilité est instationnaire et non axisymétrique : il se manifeste sous forme d’ondes contraprfortement couplées. Ce mode transite vers la turbulence à de faibles valeurs de la criticalité. Ce comportement est relié à la viscoéla solution. 2003 Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. Tous droits réservés.

Abstract

We investigate the first instability modes in the flow of aqueous high molecular weight polyethyleneoxide solutions in the Couettsystem with rotating inner cylinder. For solutions with low concentrations or low molecular weight, the two first instability modesTaylor Vortex Flow and the Wavy Vortex Flow, as for Newtonian solutions. For solutions with higher concentrations or higher moweight, the first instability mode is instationary and non-axisymmetric: it occurs in form of strongly interacting counterpropagatingThis mode evolves to turbulence for small values of the criticality. This behavior is associated with the solution viscoelasticity. 2003 Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. Tous droits réservés.

Mots-clés : Instabilités ; Couette–Taylor ; Viscoélasticité ; Rhéofluidification ; Modes inertio-élastiques

Keywords: Instabilities; Couette–Taylor; Viscoelasticity; Shear-thinning; Inertio-elastic modes

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1. Introduction

L’ajout, dans un solvant newtonien, d’une faible quande polymère à longue chaîne linéaire flexible, de masselaire de plusieurs millions de g/mol, confère à la solutiondespropriétés viscoélastiques. Soumises au cisaillement, lesolutions présentent un comportement non newtonien.propriétés non newtoniennes les plus fréquentes dans delutions de polymères sont la rhéofluidification (diminutide la viscosité avec le taux de cisaillement) et l’apparit

* Auteur correspondant.Adresse e-mail : [email protected] (I. Mutabazi).

1296-2139/$ – see front matter 2003 Éditions scientifiques et médicales Eldoi:10.1016/S1296-2139(03)00072-1

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des différences de contraintes normales induites par l’agement des macromolécules dans l’écoulement [1]. Cespriétés viscoélastiques modifient la nature et les caracttiques des régimes d’instabilité dans la transition vers labulence. Dans un contexte industriel, les instabilités hydynamiques peuvent être recherchées pour augmenterpacité de mélange (par exemple dans un réacteur chimou redoutées quand elles limitent le rendement d’un prosus. Les solutions de macromolécules flexibles constitun modèle de liquides viscoélastiques commode pour lepériences car leurs propriétés viscoélastiques peuvenfacilement contrôlées en modifiant la nature du polymèreconcentration ou la nature du solvant.

sevier SAS. Tous droits réservés.

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Nomenclature

a rayon du cylindre intérieurb rayon du cylindre extérieurd = b− a entreferρ masse volumique du liquideP pression dynamiquec concentration de polymèrec∗ concentration critique de recouvrementn nombre de moles par unité de volumeR constante universelle des gaz parfaitsT températureΩ vitesse de rotation du cylindre intérieurΩc valeur critique de la vitesse de rotation du

cylindre intérieurγ =Ωa/d taux de cisaillement imposéγc =Ωa/d valeur critique du taux de cisaillement

imposéε = (Ω −Ωc)/Ωc = (γ − γc)/γc distance au seuil ou

criticalitéη viscosité dynamique totale de la solutionη0 viscosité dynamique totale au plateau (à

cisaillement nul)

ηs viscosité dynamique du solvantηp = η− ηs contribution polymérique à la viscosité

dynamiqueν = η/ρ viscosité cinématiqueRe =Ωad/ν nombre de ReynoldsTa = Re(d/a)1/2 nombre de TaylorWe = τ γ nombre de Weissenbergσii contraintes normales dans la directioniN1 = σθθ − σrr première différence de contraintes

normalesN2 = σrr − σzz deuxième différence de contraintes

normalesτν = d2/ν temps caractéristique de diffusion visqueuseτν0 = ρd2/η0 temps de diffusion visqueuse aux faibles

cisaillementsτ temps de relaxation de la solutionτM temps de relaxation moléculaireλ temps caratéristique de Carreauα exposant de rhéofluidification

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Un des effets non-newtoniens les plus complexes eréduction de traînée turbulente observée par Toms enpour les solutions de polymères flexibles [2] : l’écoument turbulent dans une conduite est facilité par l’additde polymère flexible à grande masse molaire, même àconcentrations en masse inférieures à 0,01 %. Les apptions industrielles de la réduction de traînée (transportdraulique, système de chauffage thermique centralisé, élements tournants tels que les centrifugeuses, augmende la portée des lances à incendie, augmentation dudes égouts, augmentation de la portance des objets degation, etc.) ont suscité de nombreux travaux sur les élements viscoélastiques. Le degré d’efficacité de la rétion turbulente (mesurée par exemple par la chute de psion dans un tube) dépend de la nature et de la concentrdes molécules de polymères.

Le mécanisme donnant lieu à la réduction de traînéedes solutions viscoélastiques reste mal compris malgrnombreux efforts de recherche sur ce sujet. Selon Lley [3], la réduction de traînée turbulente est due à l’augmtation de la viscosité effective, ce qui conduit à l’épaissisment de la sous-couche visqueuse. Des mesures soignment effectuées au centre des tubes ont montré que la rtion de traînée avait lieu même lorsque la présence derois ne jouait aucun rôle [4]. Ces résultats ont conduit Taet de Gennes [5] à proposer l’explication alternative selonquelle les molécules de polymères à de petites échelleshautes fréquences) exhibent des propriétés élastiques mà de très faibles concentrations.

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Les questions soulevées dans l’étude de la réductiontraînée sont de plusieurs niveaux : comment les proprvisco-élastiques de solutions de polymères affectentfluctuations turbulentes ? En particulier quel est le rjoué par l’élasticité des polymères ? A quelles échellestemps et de longueur les polymères affectent l’écoulemturbulent ? Selon Lumley [3], le seuil de la réductide traînée apparaît dès que le temps caractéristiquefluctuations turbulentes les plus rapides est de l’ordretemps de relaxation moléculaire. Alors que la taillepolymère est de quelques ordres de grandeur plus pque l’échelle de Kolmogorov de l’écoulement turbulent,a observé que les polymères étirés réduisaient la caset supprimaient des tourbillons. Est-ce que les polymaffectent seulement les plus petites échelles ou ont–ileffet sur les grandes échelles ? A notre connaissance,très peu d’études concluantes sur ce sujet.

La plupart des études de réduction de traînée ont été fdans des écoulements dans des tubes ou dans des canalisés dans beaucoup d’installations industrielles. Cependces configurations présentent une grande difficulté contuelle : les écoulements sont ouverts et l’étude de la tration vers la turbulence devient compliquée car les fluctions sont toujours advectées par l’écoulement moyen. Ivient alors quasi-impossible de disposer d’un ensembletistique stationnaire pour analyser les propriétés de cestuations turbulentes. Pour lever cette difficulté lors de l’étde la transition vers la turbulence, les chercheurs utilisdes configurations d’écoulements fermés comme l’éco

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Fig. 1. Schéma du système de Couette–Taylor, le liquide est confinéles deux cylindres. Une paire de rouleaux de Taylor est représentée.

ment de von Karman entre deux disques contrarotatifsou l’écoulement de Couette–Taylor entre deux cylindresaxiaux en rotation [7].

L’écoulement de Couette circulaire s’observe quandcouche de fluide est confinée entre deux cylindres coaxen rotation différentielle (Fig. 1). Il présente un granombre de symétries dont la brisure se manifestela bifurcation (instabilité ou transition) entre des étassociés à des régimes d’écoulements connus sous led’écoulements de Couette–Taylor [7]. De par sa simplicitégéométrique, le système de Couette–Taylor constituesystème modèle d’étude de la transition vers la turbuledans les systèmes confinés, c’est pour cette raison qusystème a fait l’objet de plusieurs études dans le caliquides newtoniens [8] et non newtoniens [9–18].

Les travaux sur l’écoulement de Couette–Taylor visélastique se sont tout d’abord attachés à caractériserfluence de la viscoélasticité sur le mode des rouleauTaylor. Ainsi Ginn et Denn [9] ont prédit avec un modède fluide du second ordre, la stabilisation dans le cas dfaible viscoélasticité sans rhéofluidification. Cette stabsation (l’augmentation de la valeur critique du nombreTaylor) s’accompagne d’une diminution du nombre d’on(augmentation de la taille des rouleaux). Les travaux deet Denn [10] ont montré que, même en tenant comptela rhéofluidification, la diminution du nombre d’onde n’étpas énergétiquement favorable et ne devait donc pas êtrservée, en accord avec leurs résultats expérimentaux. Nmoins, l’expérience de Beavers et Joseph [11] avec unetion de polyacrylamide dans un mélange eau–glycerol aen évidence une forte diminution (jusqu’à un facteur 3)nombre d’onde. A l’aide du modèle KBKZ, Karlsson, Soklov et Tanner [12] ont montré que la viscoélasticité induis

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une stabilisation et une diminution du nombre d’onde ples faibles concentrations, tandis qu’une déstabilisatiolieu pour des solutions de concentration plus élevées, acpagnée d’un comportement complexe du nombre d’oDans ce modèle, la rhéofluidification joue un rôle déstlisant. L’analyse de stabilité linéaire faite par ZielinskaDemay [13] sur l’écoulement de Couette circulaire pourférents modèles de fluides de Maxwell généralisé a moque les modes oscillants n’étaient pas critiques sauf dacas du fluide d’Oldroyd B qui n’est pas rhéofluidifiant.

De récentes études expérimentales avec des solutionquides de Boger, non rhéofluidifiants) réalisées avec desvants très visqueux (100 à 1000 fois la viscosité de l’eont montré que la viscoélasticité induit des modes d’inbilités différents du mode stationnaire et axisymétriquerouleaux de Taylor [14,15]. En particulier, la première dférence de contraintes normales déstabilise l’écoulemeCouette circulaire et donne lieu à des rouleaux mêmedes vitesses de rotation très faibles. Cette instabilité diterement élastique, peut être décrite à l’aide du nombreWeissenbergWe qui est le rapport du temps caractéristiqde relaxation sur le temps de cisaillement. Les effets étiques dominent à grandes valeurs deWe, mais sont négli-geables à petites valeurs deWe.

Groisman et Steinberg [16] ont caractérisé la transientre le régime inertiel où la force centrifuge est le motde la déstabilisation et le régime purement élastique dun écoulement de Couette–Taylor avec le cylindre intértournant avec des solutions 10 à 100 fois plus visqueque l’eau. Ils ont constaté que l’écoulement de Coucirculaire pouvait être déstabilisé au profit d’un mod’instabilité formé de deux spirales contrapropagatives.régime comparable a été observé par Baumert et Muller [

Notre étude s’intéresse aux premiers modes d’instlité dans l’écoulement de Couette–Taylor avec des solutaqueuses de polyoxyéthylène avec 3 masses molairesrentes. Dans la Section 2, nous donnons une brève destion de l’expérience et des techniques de traitement desnées. La Section 3 est consacrée à la caractérisationlogique des solutions utilisées. Les résultats sont présedans la Section 4 et discutés dans la Section 5. La dersection contient une conclusion et des perspectives.

2. Description du système expérimental

La cellule de Couette–Taylor employée dans nospériences est constituée de deux cylindres coaxiauxzontaux. Le cylindre intérieur, de rayona = 44,6 mm esten Delrin noir. Le cylindre extérieur est en Plexiglassa pour rayonb = 50,5 mm. L’entrefer est large ded =b − a = 5,9 mm et s’étend sur une longeur totale utileh= 275 mm. Le rapport des rayons vauta/b= 0,883 tandisque le rapport d’aspect vautΓ = h/d = 46,5. Le cylindreextérieur est maintenu fixe tandis que la rotation du cylinintérieur est imposée par un servomoteur.


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Pour visualiser les écoulements, on ajoute aux solut2 % en volume de Kalliroscope AQ1000. Le KalliroscoAQ1000 est une solution diluée de fines plaquettes réchissantes anisotropes dont les dimensions sont d’en30 × 6 × 0,07 µm, elles s’orientent avec la directionplus fort cisaillement et leur orientation révèle les strtures dans l’écoulement. Une caméra CCD linéaire egistre une ligne parallèle à l’axe des cylindres. La supesition chronologique des lignes enregistrées à intervalletemps égaux fournit un diagramme spatio-temporelI (x, t)

à partir duquel les propriétés spatiales et temporellesstructures de l’écoulement sont extraites par traitemensignal (transformée rapide de Fourier et démodulation cplexe).

En particulier, si un mode de Fourrier ei(qx−ωt) du signalbidimensionnelI (x, t) est modulé par une fonction basfréquenceM(x, t), alors le mode ei(qx−ωt) est entouré duspectre deM. En filtrant le spectre deI autour de(q,ω)avant de réaliser la transformée de Fourier inverse,obtient la quantité|M(x, t)|ei(qx−ωt+Arg(M(x,t))) de laquelleon extrait ensuite la modulation de l’amplitude|M(x, t)| etla perturbation de la phase Arg(M(x, t)).

Chaque expérience sur une solution est conduiteaugmentant progressivement la vitesse de rotation, etle taux de cisaillement imposé, et en respectant des pad’attente de l’ordre de 10 minutes ou plus, tandis quetemps de diffusion visqueuse ne dépasse pas 33 secon

3. Étude rhéologique des solutions de polyoxyéthylène

Le polyoxyéthylène (POE) est un polymère flexibneutre à chaîne linéaire de formule –(CH2–CH2–O)m–où le nombre de monomèresm peut atteindre 2× 105.Ce polymère est beaucoup employé dans les étuderéduction traînée. Nous avons utilisé trois types de Pqui se distinguent par la masse molaire viscosimétrimoyenne [19] annoncée par le fabricant (Tableau 1).POE se présente sous la forme d’une poudre blanchesolutions sont réalisées en le dispersant dans un vod’eau de 800 mL. Le récipient est fermé et placé à 8Cpendant 3 jours. Le froid permet une dissolution prapide et évite la biodégradation du polymère. Les solutsont homogénéisées avant utilisation pendant 10 minà l’aide d’un agitateur magnétique. Les concentratiétudiées varient de 50 à 1000 ppm en masse c.à.d. deà 0,1 %.

Tableau 1Types de polyoxyéthylènes employés

Fabricant Référence Masse molaire annoncé

Union Carbide WSR 301 4× 106 g/molUnion Carbide WSR 303 7× 106 g/molAldrich cat no 37,283-8 8× 106 g/mol

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5

Les viscosités des solutions sous taux cisaillementposé ont été mesurées avec un viscosimètre ContravesShear 30. On observe pour les trois types de POE empun comportement rhéofluidifiant dès que la concentratioteint 150 ou 200 ppm : la viscosité est constante jusqu’àcertain taux de cisaillement, puis décroît selon une lopuissance. Ce phénomène est plus marqué aux conctions plus élevées. Le comportement de la viscosité avetaux de cisaillement tenant compte de l’existence d’unteau pour de faibles taux de cisaillement et de la décroiss

Fig. 2. Courbe de viscosité pour les solutions de POE WSR 303. La cod’ajustement est représentée en trait plein pour chaque concentration

Tableau 2Propriétés des solutions de POE WSR 301

c (ppm) η0 (mPa s) λ (ms) α (10−3) τM (ms) τ (ms) τν0 (ms)

100 1,19 6,9 29275200 1,53 84 19 7,9 21,8 22769300 1,96 136 27 9,0 58,0 17774400 1,42 182 22 9,7 59,8 24533500 3,01 179 39 10,9 108,4 11574600 3,45 131 43 10,9 86,5 10098700 4,16 166 47 12,0 117,5 8374800 5,12 193 53 13,7 151,0 6804900 5,86 232 57 14,3 193,0 5945

1000 7,12 286 64 16,1 258,9 48931200 8,83 304 66 17,1 280,5 3945

Tableau 3Propriétés des solutions POE Aldrich

c (ppm) η0 (mPa s) λ (ms) α (10−3) τM (ms) τ (ms) τν0 (ms)

50 1,09 11,7 31961100 1,27 12,2 27431150 1,50 1097 7,6 13,5 38 23225200 2,08 191 33 20,4 99 16749300 2,88 333 36 23,0 188 12096400 4,09 324 53 27,9 254 8518500 5,81 409 76 34,5 417 5996600 7,94 453 92 41,3 525 4388700 12,35 1061 102 57,6 1315 2821


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Tableau 4Propriétés des solutions de POE WSR 303

c η0 λ α τM τ τν0 τN1(ppm) (mPa s) (ms) (10−3) (ms) (ms) (ms) (ms)

50 1,06 7,3 32865100 1,19 7,3 29275 2,3150 1,40 66 17 8,4 15,4 24884200 1,57 84 16 8,7 18,2 22189250 1,77 72 24 9,2 26,0 19682300 1,96 93 27 9,4 38,4 17774 4350 2,24 151 28 10,2 64,7 15552400 2,61 170 33 11,5 87,3 13348500 3,26 176 41 12,7 110,9 10686600 4,29 234 48 15,2 170,3 8121700 4,85 212 52 15,3 163,6 7183800 5,79 164 64 16,5 148,8 6017900 6,66 222 64 17,3 200,3 5231 8,1

1000 8,15 203 78 19,7 209,7 4275

Fig. 3. Première différence de contraintes normales pour trois concetions du POE WSR 303.

selon une loi de puissance pour de grands taux de cisment est décrit par la loi de Carreau [20]

η= η0[1+ (λγ )2

]−α (1)

où η0 est la viscosité au plateau,λ l’inverse du taux de ci-saillement auquel débute la rhéofluidifiation etα l’exposantde rhéofluidification. L’ajustement des mesures selon crelation permet d’obtenir les paramètres pour les différesolutions employées. Les courbes d’ajustement des donexpérimentales sont rapportées pour le WSR 303 Fig. 2valeurs des paramètres ajustés sont résumées Tableaupour les WSR 301, le POE Aldrich et le WSR 303 repectivement. Le temps de relaxation moléculaire assà la viscosité aux faibles taux de cisaillement [20]τM =(η0 − ηS)/nRT est de l’ordre de quelques millisecondes

Pour les faibles concentrations, la viscosité rédη0,red = (η0 − ηS)/(cηS) tend, vers la viscosité intrinsèqu[η0], à partir de laquelle peut être estimée [21] la concention critique de recouvrementc∗ = 0,77/[η0]. Cette concentration critique marque la frontière entre le régime delutions diluées dans lequel les interactions entre les pe

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(a)

(b)

Fig. 4. Rouleaux de Taylor (a) et rouleaux ondulés (b) observés pousolutions de WSR 301 (c= 200 ppm).

de macromolécules sont négligeables, et le régime delutions semi-diluées dans lequel ces interactions deviensensibles. Les interactions entre macromolécules introsent des échelles de temps d’interaction plus grandesl’échelle d’une seule macromolécule et donc des temprelaxation plus longs que le temps de relaxation moléculAinsi, nous déterminons un temps de relaxation de la stion à partir de la courbe de rhéofluidification [22] par l’iverse du taux de cisaillement

τ = λ

[(η

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)−1/α

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Fig. 5. Variation du nombre de Taylor critique en fonction de la concention pour les rouleaux de Taylor et les rouleaux ondulés pour les solude WSR 301.

lorsque la viscositéη atteint 0,95η0. Les temps de relaxatiodes solutions utilisées sont rapportés Tableaux 2–4. Pousolution donnée, on observe que le temps de relaxationsolution est deux ordres de grandeurs plus long que le tede relaxation moléculaire.

La première différence de contraintes normales amesurée pour trois concentrations de WSR 301 pour desde cisaillement d’environ 1000 s−1 (Fig. 3) sur un rhéomètrRheologica StressTech muni d’une géométrie cône-d’angle 0,5. Les temps de relaxation moléculaire que l’opeut en déduire [20] par la formuleτN1 = N1/2η0γ

2 sontdu même ordre de grandeur que les temps de relaxmoléculaire déterminés à partir de la viscosité aux faibtaux de cisaillementη0.

4. Modes d’instabilité observés

Les diagrammes spatio-temporels permettent de suivdynamique des modes d’instabilité. Les états observésvent être représentés dans le plan(c,Ta) où le nombre deTaylor Ta mesure la compétition entre la force centrifugela dissipation visqueuse. Ce nombre sans dimension esfini par le rapport entre le temps de diffusion visqueuseτν =d2/ν et le temps d’advection d’une particule fluide dal’entrefer, associé à la force centrifugeτc = (d/a)1/2/Ω ,où Ω est la vitesse de rotation angulaire du cylindre inrieur :

Ta = τν

τ= ρΩad

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Fig. 6. Motifs spatio-temporels des rouleaux ondulés pour le W301 : (a) c = 300 ppm,ε = 0,62 : les rouleaux ne sont pas séparé(b) c = 900 ppm,ε = 0,7 : réduction de l’amplitude spatiale d’oscillation(c) c= 1000 ppm,ε = 0,6 : réduction de l’amplitude spatiale d’oscillatioséparation complète des rouleaux.


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Fig. 7. Déstabilisation du régime des rouleaux ondulés faiblement oscildans une solution de WSR 301 à 1000 ppm pourε = 0,7. La longueurd’onde et la fréquence du motif non perturbé valent respectivemλ= 1,25 cm etf = 0,6 Hz.

On utilise aussi la distance au seuil appeléecriticalité ε =(Ta − Tac)/Tac = (Ω −Ωc)/Ωc.

Nous avons étudié les régimes d’instabilité pour deslutions de polyoxyéthylène obtenues avec des échantide polymères de trois masses molaires différentesbleau 1).

4.1. WSR 301

Sur toute la gamme de concentration de 0 à 1200 pla première instabilité donne lieu à des rouleaux statnaires axisymétriques de Taylor (Fig. 4(a)), avec unegueur d’onde axialeλ ≈ 2d . Le deuxième mode d’instabilité est le mode des rouleaux ondulés (Fig. 4(b))servé pour des concentrations inférieures à 1000 ppm.1200 ppm, lorsqu’on augmente le taux de cisaillementn’observe plus les rouleaux ondulés, mais les rouleauTaylor transitent directement vers un écoulement dédonné.

Le nombre de Taylor critiqueTac est calculé à l’aidede la formule (3) dans laquelle on prend la valeur du tde cisaillement imposé auquel les rouleaux de Taylorobservés et la viscosité correspondant à ce cisaillemimposé grâce à la courbe de viscosité. On observefaible stabilisation pour les plus faibles concentrations (c <

400 ppm) mais cet effet disparaît pour les concentratplus élevées (Fig. 5).

Lorsque le taux de cisaillement augmente au-delàseuil des rouleaux ondulés, le comportement des rouldévie du cas newtonien pour les concentrations deà 1000 ppm : l’amplitude des oscillations spatialesrouleaux ondulés diminue avec l’augmentation du taux

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(a)

(b)

Fig. 8. Motif spatio-temporel observé avec le POE Aldrich : (a) roulede Taylor perturbés àc = 450 ppm ; (b) spirales contrapropagativesc= 700 ppm.

cisaillement. Les cellules d’écoulement formées par charouleau se séparent plus nettement les unes des aCet effet s’amplifie avec le taux de cisaillement etconcentration (Fig. 6(a)–(c)), et à 1000 ppm on obsedes rouleaux nettement séparés les uns des autrerégime de rouleaux faiblement ondulés est très senaux perturbations aux bords du système (couche d’Ekmimperfections géométriques) qui peuvent le rendre chaot(Fig. 7).


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4.2. POE Aldrich

Pour les concentrations inférieures à 400 ppm de PAldrich, les premiers modes d’instabilités sont les mêmque ceux observés avec des solutions de WSR 30l’exception de l’effet de réduction des oscillations spatiades rouleaux ondulés qui est observable dès 100 ppm.

A 450 ppm l’écoulement de Couette bifurque versrégime de rouleaux de Taylor perturbés avec de légoscillations à l’intérieur des rouleaux (Fig. 8(a)). Le moprésente un faible comportement spatial et temporel rég(« tâches » rondes). Ces rouleaux de Taylor perturbémaintiennent jusqu’à des valeurs deε = 0,8 avant d’êtresupplantés par un écoulement désordonné ; les roulondulés ne sont pas observés.

Pour les concentrations de 500 à 700 ppm, l’écoulemde Couette circulaire bifurque vers un régime formé de dspirales contrapropagatives avec une onde stationnairminant au centre du motif (Fig. 8(b)). Le nombre de Taycritique pour ce régime de spirales contrapropagativescroît avec la concentration [18] alors que le nombre d’ocritique reste proche de celui observé dans le cas newtoAu-delà du seuil, le motif (Fig. 9) est composé de deux oncontrapropagatives. Si on augmente le taux de cisaillemimposé, on peut observer l’apparition de défauts (Fig. 10et un régime quasi-turbulent (Fig. 10(b)) peut être attpourε = 0,37.

Pour une concentration de 800 ppm, la solution obnue, même si elle reste transparente, n’est pas parment homogène, ce qui suggère la présence d’agréPour ce cas, nous avons observé une transition de l’écment de Couette vers un régime d’ondes contrapropaga(Fig. 11(a)), puis, en augmentant le taux de cisaillement

Fig. 9. Motif spatio-temporel des spirales contrapropagatives avec leAldrich pourε = 0,023 (c= 700 ppm).

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qu’àε = 0,034 seulement, un écoulement désordonné stalle (Fig. 11(b)).

4.3. WSR 303

Nous rapportons le comportement de solutions de PWSR 303 obtenues en supprimant la phase d’homogéntion afin d’obtenir des solutions avec agrégats, ce qui acles effets élastiques. Pour les concentrations inférieur400 ppm les rouleaux de Taylor et les rouleaux ondulésobservés, sans changement significatif du nombre d’o

(a)

(b)

Fig. 10. Motif spatio-temporel observé pour le POE Aldrich (c= 700 ppm) :(a) ε = 0,187 ; (b)ε = 0,372.


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Fig. 11. Motif spatio-temporel pour une solution de POE Aldr(c= 800 ppm) : (a) au seuil ; (b)ε = 0,034.

par rapport au cas newtonien. Le diagramme d’états (Figmontre une nette déstabilisation de l’écoulement de Coucirculaire vers un écoulement désordonné (Fig. 13) pourc >

500 ppm. Ce régime désordonné est observé aussi denière transitoire pour des taux de cisaillement plus faible

4.4. Effets d’un gradient radial de température

La modification de l’écoulement par ajout de macromocules affecte aussi les propriétés du transfert thermiqueles écoulements entre cylindres coaxiaux. En vue de te

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Fig. 12. Nombre de Taylor critique pour les modes d’instabilités obseavec les solutions de WSR 303.

Fig. 13. Motif spatio-temporel pour une solution de WSR 3(c= 500 ppm).

la sensibilité des solutions avec macromolécules aux pebations thermiques, nous avons imposé un gradient raditempérature au système de Couette–Taylor en positionticale avec une solution de 500 ppm. Le premier mode dstabilité est une onde spirale se propageant le long dedes cylindres (Fig. 14). Ce résultat est analogue à celuservé dans l’écoulement de Couette circulaire d’un liqunewtonien soumis à un gradient radial thermique [23].

5. Discussion

L’addition de polyoxyéthylène, en très faible quantitéun solvant newtonien de faible viscosité modifie la sta


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Fig. 14. Spirale dans un écoulement d’une solution POE Ald(500 ppm) dans le système de Couette–Taylor vertical (d = 5 mm ;a/b = 0,8 ; L/d = 114 ; d/a = 0,25) avec gradient radial de températu∇T = 0,855C/mm.

lité de l’écoulement de Couette circulaire. La viscositécisaillement de la solution obtenue varie avec le taux desaillement : elle augmente en fonction de la concentraet pour une concentration donnée, elle diminue avec lede cisaillement. La formule de Carreau nous a permis determiner des paramètres viscoélastiques (temps caractiques de la solution, exposant de rhéofluidification). Dle cas d’un écoulement newtonien, l’écoulement circulade Couette dans notre système est instable par rappor

-

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perturbations axisymétriques stationnaires pourTac = 45 delongueur d’ondeλ ≈ 2d . Dans le cas d’une solution viscoélastique, les valeurs critiques deTac dépendent de laconcentration de la solution. On constate que la valeurTacdiminue avec la concentration lorsque le seuil correspontaux de cisaillement dans la zone de rhéofluidification (bleaux 2–4, Figs. 2, 12). Ceci suggère que la rhéofluidifition est un mécanisme de déstabilisation en accord avmodèle théorique de KBKZ [12].

L’utilisation de la notion de concentration critique monque le seuilTac augmente pour les solutions diluées alqu’il diminue dans les solutions semi-diluées. Par ailleles modes stationnaires sont critiques uniquement pousolutions diluées alors que les modes oscillants sont critipour des solutions semi-diluées ou dans des solutionsbeaucoup d’agrégats. Ces solutions sont caractériséedes effets élastiques qui modifient la stabilité de la solutl’apparition des modes oscillants pour des concentrationseuil de l’instabilité est donc un effet dû à la visco-élasticde la solution. Le nombre d’onde critique est très psensible à la variation de la concentration, d’après le mode KBKZ, cela laisse supposer que la seconde différenccontraintes normales est faible pour les taux de cisaillemutilisés.

Dans des solutions de WSR 301 avec 1000 ppm,rouleaux ondulés observés pour des valeurs deε assezélevées oscillent avec de faibles amplitudes. La diminude l’amplitude des oscillations augmente la sensibilitérouleaux aux perturbations d’amplitude comparable vendes effets de bords qui peuvent ainsi envahir tout le met le rendre chaotique (d’après le contenu spectral)bout d’un temps de l’ordre d’une minute. Ce typesensibilité aux conditions de bords des motifs oscillandéjà observée dans le système de Taylor–Dean aveccylindres contrarotatifs [24].

POE Aldri
Fig. 15. Spectre de puissance 2-d du diagramme spatio-temporel au seuil d’apparition des spirales contrapropagatives pour une solution dech700 ppm (Fig. 10).


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(a)

(b)

Fig. 16. Décomposition des modes critiques observés au seuil pour les solution de POE Aldrich (c = 700 ppm) : (a) spirales contrapropagatives ; (b) moharmoniques spatial et temporel.

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Le motif observé au seuil dans les solutions de POEdrich à 500 et 700 ppm (Fig. 8(b)) peut être analysé à l’adu spectre 2-d de sa partie centrale. L’examen des drents modes de la partie centrale du motif (Fig. 15) pmet d’identifier un mode fondamental se propageantla droite, noté(q,ω), correspondant à la spirale se propgeant dans ce sens, un mode fondamental(−q,ω) pour laspirale se propageant vers la gauche, un mode harmoen temps invariant en espace, notée(0,2ω), et un mode harmonique en espace invariant dans le temps, notée(2q,0).Ces modes harmoniques sont de plus forte amplitude qumodes fondamentaux, ce qui explique l’apparence du

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tif. Le filtrage (Fig. 16(a), (b)) et la démodulation comple(Fig. 17(a), (b)) sur l’ensemble du motif spatio-temporel pmettent d’examiner individuellement chacun de ces moOn remarque une répartition spatiale différente pour chatype de modes : les modes fondamentaux propagatifscupent chacun une moitié distincte de l’expérience, taque les harmoniques dominent au centre, là où les mfondamentaux sont faibles, ce qui suggère un fort coupdes modes fondamentaux et harmoniques. L’apparitionmodes oscillants avec un fort couplage entre les modesdamentaux et les harmoniques est une propriété induitela viscoélasticité des solutions, notamment la rhéofluidifi


; (b)

(a)

(b)

Fig. 17. Diagramme spatio-temporel de l’amplitude spatiale obtenue pas démodulation des images de la Fig. 16 : (a) spirales contrapropagativesmodesharmoniques spatial et temporel.

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tion. Au delà du seuil (Fig. 9), les modes harmoniquesviennent moins importants [18]. L’étude de ce couplagemodes peut se faire dans le cadre de la théorie des équacomplexes de Ginzburg–Landau.

Les écoulements viscoélastiques sont sensibles auxturbations thermiques. Lorsqu’un gradient radial de temrature est appliqué aux parois cylindriques verticales, ilduit un écoulement axial ascendant près de la paroi chet descendant près de la paroi froide. Le profil de vitede cette composante de vitesse possède un point d’infleet par conséquent l’écoulement est potentiellement instpar rapport aux perturbations oscillantes transverses [7type d’écoulement est par exemple rencontré dans les

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-

-

teurs électriques utilisés sous l’eau (ex : moteur animanpompes de dragueuses [25]) qui sont lubrifiés et protéde la corrosion par un bain d’huile. L’écoulement de l’huentre le rotor et le stator est proche du problème de CouTaylor, et, outre les variations de puissance dues aux chaments de régime d’écoulement, le fonctionnement nomest largement influencé par l’évacuation de la chaleur.

6. Conclusion et perspectives

Nous avons mené des expériences avec des solutioPOE de trois masses molaires différentes et étudié les d


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rents régimes inertio-élastiques en fonction de la concetion. Pour les faibles concentrations, on peut retarder lparition des instabilités dans l’écoulement de Couette cilaire jusqu’à des valeurs du nombre de Taylor supériede 10 à 15 % à la valeur critique d’un écoulement newnien. Pour ces mêmes solutions, l’augmentation du taucisaillement permet de réduire les oscillations des rouleondulés et d’obtenir des cellules d’écoulement aussitinctes que des rouleaux de Taylor. Les effets élongationpourraient être à l’origine de ce comportement. Avecconcentration et/ou une masse molaire plus importantepeut au contraire déstabiliser l’écoulement de Couette claire vers des régimes plus complexes, voir quasi-turbuledonc plus mélangeants. Ainsi la transition vers la turbuledans des solutions avec polymères est fortement modpar rapport aux écoulements newtoniens. Notre étude a mtré que la stabilité des solutions viscoélastiques est senà la présence des agrégats et aux perturbations thermLa présence d’agrégats induit des modes critiques oscilvoire des modes critiques désordonnés. Un gradient rade température appliqué à l’écoulement de Couette claire vertical induit un écoulement axial qui se superposl’écoulement azimutal et l’instabilité résultante se manifesous forme d’une spirale se propageant le long de l’axecylindres.

La présente étude ouvre de nouvelles perspectivesla compréhension de la transition vers la turbulence dansécoulements de solutions viscoélastiques dans des sysfermés. La plupart des modèles théoriques utilisés dansétudes numériques ne prennent pas en compte le phénode rhéofluidification. La compréhension des résultats onus nécessite un cadre théorique adapté pour mieuxtifier le rôle joué par chaque paramètre sur la stabilitél’écoulement.

Remerciements

Les auteurs expriment leur gratitude envers M. GriD. Bonn et G. Muller pour les différentes discussions sutravail. Le présent travail bénéficie d’un soutien du Ministde la Recherche et des Nouvelles Technologies à tral’ACI Physico-Chimie de la Matière Complexe (2001).

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