MB 701 Algebra Linear

Capítulo 1

Espaço Vetoriais

O objetivo deste capítulo é introduzir o conceito de espaços vetoriais, dependência eindependência linear.

Definição 1.1 Seja V um conjnto não vazio e R o corpo dos números reais, nos quaispodemos definir as seguintes operações:

+ : V × V → V,

que a cada par (u, v) ∈ V × V, associa o elemento u+ v ∈ V, denominada adição e

· : R× V → V,

que a cada par (α, u) ∈ R × V, associa o elemento α · u ∈ V, denominada multiplicaçãopor escalar. Dizemos que V munido destas operações é um espaço vetorial real se esomente se estas operações satisfazem as seguintes propriedades:

a) associatividade: (u+ v) + w = u+ (v + w) , para todos u, v, w ∈ V

b) comutatividade: u+ v = v + u, para todos u, v ∈ V

c) existência de elemento neutro: existe 0 ∈ V tal que u+ 0 = u, para todo u ∈ V

d) existência de elemento simétrico: para cada u ∈ V, existe −u ∈ V tal que u+(−u) = 0.

e) α · (u+ v) = α · u+ α · v, para todo α ∈ R e para todos u, v ∈ V

f) (α + β) · u = α · u+ β · v, para todos α, β ∈ R e para todo u ∈ V

g) (αβ) · u = α · (β · u) , para todos α, β ∈ R e para todo u ∈ V.

h) 1 · u = u, para todo u ∈ V

Exemplo 1.1 O conjunto V = R2, munido das operações de adição (x, y) + (a, b) =(x+ y, a+ b) e de multiplicação por escalar α · (x, y) = (αx, αy) é um espaço vetorialreal.

1

2 CAPÍTULO 1. ESPAÇO VETORIAIS

Exemplo 1.2 O conjunto V = Mm×n (R) , munido das operações de adição de matrizese da multiplicação de uma matriz por um escalar é um espaço vetorial real.

Exemplo 1.3 O conjunto dos números complexos C, munido das operações de adiçãode números complexos (x+ iy) + (a+ ib) = (x+ a) + i (y + b) e da multiplicação de umnúmero complexo por um número real: α · (x+ iy) = αx+ iαy é um espaço vetorial real.

Proposição 1.1 Seja V um espaço vetorial real. Então:

a) O elemento neutro é único.

b) Para cada u ∈ V o elemento simétrico de u é único.

c) α · u = 0⇔ α = 0 ou u = 0.

d) (−1) · u = −u, para todo u ∈ V.

Definição 1.2 Seja V um espaço vetorial real e H ⊂ V, H �= ∅. Dizemos que H é umsubespaço vetorial de V, quando H munido das operações definidas em V, é tambémum espaço vetorial.

Proposição 1.2 Seja V um espaço vetorial real e H ⊂ V, H �= ∅. H é um subespaçovetorila de V ⇔ α · u+ β · v ∈ H, para todo u, v ∈ H e α, β ∈ R.

Exemplo 1.4 Considere V = R2 então H = {(x, y) ∈ R2;x = y} é um subespaçovetorial de R2, já que (0, 0) ∈ H, portanto H �= ∅. Ainda para todos (x, y) , (u, v) ∈ H,

e α, β ∈ R tem-se que x = y e u = v, logo α (x, y) + β (u, v) = (αx+ βu, αy + βv) ∈ H,

pois αx+ βu = αy + βv.

Exemplo 1.5 Considere V = Mn×n (R) , então H = {A ∈ V ;At = A} é um subespaçovetorial de V.

Exemplo 1.6 O conjunto constituído apenas do vetor nulo é um subespaço vetorial dequalquer espaço vetorial.

Proposição 1.3 Seja V um espaço vetorial real e H,W subespaços de V então:

a) H ∩W é um subespaço de V.

b) H +W = {u+ v; u ∈ H e v ∈W} é um subespaço de V.

1.1. DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR 3

1.1 Dependência e independência linear

Daremos a seguir o importante conceito de dependência e independência linear, um dosprincipais conceitos de Álgebra linear. Em todo este parágrafo V é um espaço vetorialreal.

Definição 1.3 Sejam u1, u2, . . . , un ∈ V . Dizemos que u ∈ V é uma combinação linearde u1, u2, . . . , un se e só se existem α1, α2, . . . , αn ∈ R tais que

u =n∑

i=1

αiui. (3)

Nota 1.1 Quando u é uma combinação linear de u1, u2, . . . , un, dizemos que u é ger-ado por {u1, u2, . . . , un} e que α1, α2, . . . , αn são os coeficientes de u com respeito a esteconjunto gerador.

Definição 1.4 Seja S = {u1, u2, . . . , un} ⊂ V. O conjunto de todas as combinaçõeslineares dos elementos de S será denotado por [S] . Ou seja,

[S] =

{n∑

i=1

αiui;αi ∈ R}

(4)

Proposição 1.4 [S] é um subespaço vetorial de V, denominado subespaço gerado por S.

Nota 1.2 Se S é um subconjunto infinito de V, então [S] é o conjunto de todas as com-binações lineares dos subconjuntos finitos de S, pois uma combinação linear é semprefinita.

Nota 1.3 Por convenção dizemos que o subespaço nulo é gerado pelo conjunto vazio, istoé, [∅] = {0}.

Proposição 1.5 Seja V um espaço vetorial real e S,F ⊂ V então:

a) S ⊂ [S] .

b) Se S ⊂ F então [S] ⊂ [F ] .

c) [[S]] = [S] .

d) [S ∪ F ] = [S] + [F ] .

Nota 1.4 Observe que o vetor nulo é gerado por qualquer subconjunto de vetore de V,

bastando tomar os coeficientes todos iguais a 0. Mas veremos que esta não é a únicamaneira de gerar o vetor nulo.


Definição 1.5 Sejam u1, u2, . . . , un ∈ V . Dizemos que {u1, u2, . . . , un} é um subconjuntolinearmente independente (l.i) . de V quando a única combinação linear que gera ovetor nulo é aquela em que todos os coeficientes são nulos. Ou seja,

n∑

i=1

αiui = 0⇔ αi = 0, i = 1, . . . , n.

Caso contrário, dizemos que {u1, u2, . . . , un} é um subconjunto linearmente dependente(l.d.) de V , isto é, se existe algum αi ∈ R, αi �= 0, tal que

∑n

i=1 αiui = 0 = 0.

Exemplo 1.7 O subconjunto {(1, 1) , (1,−1)} do R2 é l.i., pois

α (1, 1) + β (1,−1) = (0, 0)

se e somente se {α + β = 0α− β = 0

⇔ α = β = 0.

Exemplo 1.8 O subconjunto {(1, 1) , (1,−1) , (2, 4)} do R2 é l.d., pois

α (1, 1) + β (1,−1) + γ (2, 4) = (0, 0)

se e somene se {α + β + 2γ = 0α− β + 4γ = 0

se e somente se {α = −3γβ = γ

, ∀γ ∈ R,

ou seja tomando α = −3 e β = γ = 1, temos que

−3 (1, 1) + (1,−1) + (2, 4) = (0, 0) ,

portanto uma combinação linear, onde nenhum dos coeficientes é 0 gerando o vetro nulo(0, 0) .

Proposição 1.6 Seja V um espaço vetorial e S ⊂ V. Então:

a) S = {u} é l.d.⇔ u = 0.

b) S = {u1, u2, . . . , un} é l.d.⇔ existe k ∈ {1, . . . , n} tal que uk ∈ [S\{uk}] .

c) Se S = {u1, u2, . . . , un} é l.i. então para cada u ∈ [S] existem únicos α1, . . . , αn talque u =

∑n

i=1 αiui.

d) Se S = {u1, u2, . . . , un} é l.i. e S ∪ {w} é l.d. então w ∈ [S] .

e) Se S é l.i. então todo subconjunto de S é l.i.

f) Se S é l.d. e S ⊂ T ⊂ V então T é l.d.

1.1. DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR 5

1.1.1 Lista de exercícios

Exercício 1.1 Analise se o conjunto V = {(x, y) ;x, y ∈ R com y > 0} munido dasoperações

(x, y)⊕ (u, v) = (x+ u, yv) , para todo (x, y) , (u, v) ∈ V.α · (x, y) = (αx, yα) , para todo α ∈ R e (x, y) ∈ V.

é um espaço vetorial real.

Exercício 1.2 Verifique quais dos subconjuntos abaixo são subespaços de V = M2×2 (R) .

a) H = {A ∈ V ;At = −A}.

b) H = {A ∈ V ; tr (A) = 1}.

Exercício 1.3 Determine um conjunto finito e l.i.de geradores dos subespaços abaixo,isto é, determine S finito l.i. tal que [S] = H.

a) H = {(x, y, z) ∈ R3; x+ y − z = 0}.

b) H = {A ∈M2×2 (R) ;At = A}.

Exercício 1.4 Determine se os subconjuntos do R3 abaixo são l.i. ou l.d.

a) S = {(1, 1,−1) , (0, 2, 3) , (2, 1, 1) , (−1, 1, 3)}. para cada u

b) S = {(0, 1, 0) , (−1, 2, 1)}.

c) S = {(5,−2, 0) , (2, 3, 1) , (1, 0, 1)}.

Exercício 1.5 Seja {v1, . . . , vn} um subconjunto de um espaço vetorial real. Mostre que{v1, . . . , vn} é l.i. ⇔ a igualdade α1v1 + · · · + αn vn = β

1v1 + · · ·βn vn só é válida se

αi = βi, i = 1, . . . n.

Exercício 1.6 Prove que {u, v} é um subconjunto l.i. de um espaço vetorial V ⇔ {u +v, u− v} é também um subconjunto l.i. de V.

Exercício 1.7 Prove que se {u, v, w} é um subconjunto l.i. de um espaço vetorial V então{u+ v + w, u− v, 3v} também um subconjunto l.i. de V.


1.2 Base

Vimos na seção anterior que se u ∈ [S] e S é um subconjunto finito e l.i. de um espaçovetorial V então a combinação linear de elementos de S é única. Isto nos leva a definiçãode base de um espaço vetorial finitamente gerado.

Definição 1.6 Seja V um espaço vetorial real. Dizemos que V é finitamente gerado,quando existe um subconjunto finito S de V tal que V = [S] .

Exemplo 1.9 O R2 é um espaço finitamente gerado pois [(1, 0) , (0, 1)] = R2.

Exemplo 1.10 O M2×2 (R) é um espaço finitamente gerado pois[(

1 00 0

),

(0 10 0

),

(0 01 0

),

(0 00 1

)]= M2×2 (R) .

Definição 1.7 Seja V um espaço vetorial finitamente gerado. Dizemos que B ⊂ V éuma base de V quando [B] = V e B é l.i.

Exemplo 1.11 O subconjunto B = (1, 0) , (0, 1) é uma base do R2 pois [B] = R2 e(1, 0) , (0, 1) é l.i.

Exemplo 1.12 O subconjunto B =

(1 00 0

),

(0 10 0

),

(0 01 0

),

(0 00 1

)é uma

base de M2×2 (R) , pois [B] = V e B é l.i.

Proposição 1.7 Seja V um espaço vetorial real finitamente gerado V.Então B = {u1, . . . , un}é uma base de V ⇔ para cada u ∈ V existem únicos α1, . . . , αn ∈ R tais que u =∑n

i=1 αiui.

Nota 1.5 A base de um espaço vetorial não é única. Para isso vejamos alguns exemplos:

Exemplo 1.13 Os subconjuntos {(1, 0) , (0, 1)} e {(1, 1) (1,−1)} são bases do R2.

No entanto temos algumas propriedades sobre bases quaisquer de um mesmo espaçovetorial.

Proposição 1.8 Se B é uma base de um espaço vetorial real finitamente gerado V, comn elementos então:

a) Qualquer subconjunto de V com mais de n elementos é l.d.

b) Todo subconjunto l.i. de V tem no máximo n elementos.

Teorema 1.9 Duas bases de um mesmo espaço vetorial real V finitamente gerado pos-suem o mesmo número de elementos.

1.2. BASE 7

Definição 1.8 Seja V um espaço vetorial real finitamente gerado. Dizemos que a di-mensão de V é n quando uma base de V possui n elementos. Denotamos por:

dimV = n.

Exemplo 1.14 dimR2 = 2.

Exemplo 1.15 dimM2×2 (R) = 4.

Definição 1.9 Seja W um subespaço vetorial de um espaço vetorial real finitamente ger-ado V . Definimos dimensão de W, como sendo o número de elementos de uma basequalquer de W.

Notação 1.10 dimW = número de elementos de uma base de W.

Exemplo 1.16 Seja B = {u1, u2, u3} uma base de um espaço vetorial V e W = [u1 −u2, u1 + u2 + u3]. Determine dimW. Como já temos um conjunto gerador, basta verificarse este é l.i. Vejamos α (u1 − u2) + β (u1 + u2 + u3) = 0⇔ (α + β)u1 + (β − α)u2 + βu3e como B é l.i, então β = 0 = α e portanto o conjunto gerador de W é l.i, sendo assimé uma base de W ⇒ dimW = 2.

Proposição 1.11 Seja V um espaço vetorial real de dimensão n. Então todo subconjuntode V, l.i., com n elementos é uma base de V.

Definição 1.10 Uma base ordenada de um espaço vetorial real finitamente geradoV dedimensão n é uma n− upla ordenada de vetores l.i.de V.

Exemplo 1.17 Como {(1, 0) , (0, 1)} é uma base do R2 então ((1, 0) , (0, 1)) é uma baseordenada de R2, assim como ((0, 1) , (1, 0)) é uma outra base ordenade de R2.

Definição 1.11 Seja V um espaço vetorial real fintamente gerado e B = (u1, . . . , un) umabase ordenada de V. Então sabemos que para cada u ∈ V existem únicos α1, . . . , αn ∈ R

tais que u =∑n

i=1 αiui. À matriz coluna

α1...αn

de números reais, denominamos de

coordenadas de u com respeito à base ordenada B e denotamos por

(u)B =

α1...αn

.

Nota 1.6 Observe que uma vez conhecida a base ordenada as coordenadas de um vetoro caracterizam completamente.


Vejamos alguns resultados importantes envolvendo as coordenadas dos vetores comrespeito a uma determinada base ordenada.

Exemplo 1.18 Considerando B = ((1, 0, 1) , (0, 1, 0) , (1, 0,−1)) uma base ordenada deR3, temos que para cada (x, y, z) ∈ R3 existem α, β, γ ∈ R tais que

(x, y, z) = α (1, 0, 1) + β (0, 1, 0) + γ (1, 0,−1)

ou seja(x, y, z) = (α+ γ, β, α− γ) .

Assim temos o seguinte sistema

x = α + γ

y = β

z = α− γ

o que implica

α =x+ z

2β = y

γ =x− z

2

.

Assim,

((x, y, z))B=

x+ z

2yx− z

2

.

Proposição 1.12 Seja B = (u1, . . . , un) uma base ordenada de um espaço vetorial realV . Então (u+ v)B = (u)B + (v)B e (λu)B = λ (u)B , para todos u, v ∈ V e λ ∈ R.

Proposição 1.13 Seja B = (u1, . . . , un) uma base ordenada de um espaço vetorial real

V. Então dado (a1, . . . , an) ∈ Rn, existe um único u ∈ V tal que (u)B =

a1...an

.

A demonstração destas proposições seguem diretamente da definição de coordenadasde um vetor com respeito a uma base ordenada e serão deixadas como exercícios.

Nota 1.7 Das duas proposições anteriores segue que podemos identificar os elementosde um espaço vetorial real V de dimensão n com os elementos do Rn, pois existe umacorrespondência biunívoca entre eles, que preserva suas operações.

1.2. BASE 9

Proposição 1.14 Seja B = (u1, . . . , un) uma base ordenada de um espaço vetorial real V.

e w1, . . . , wn ∈ V tais que (w1)B =

a11...a1n

, . . . , (wn)B =

an1...ann

. Então {w1, . . . , wn}

é l.i⇔ {(w1)B , . . . , (wn)B} é um subconjunto l.i. deMn×1 (R)⇔ det

a11 . . . a1n...

......

an1 . . . ann

�=

0.

Em algumas situações a escolha da base adequada ajuda na resolução de problemasmais facilmente. No entanto, se já conhecemos as coordenadas de um vetor com respeitoa uma determinada base e queremos mudar a base, queremos saber qual a relação entreas coordenadas de um vetor numa nova base, a partir das coordenadas denadas do mesmovetor com respeito a diferentes bases, pois assim poderemos resolver nosso problema nabase mais adequada e em seguida voltar à base inicial. Vejamos então como proceder.Para isso é necessário trabalharmos com matrizes, como veremos a seguir.

Definição 1.12 Sejam B = (u1, . . . , un) e C = (v1, . . . , vn) bases ordenadas de um espaçovetorial V. Então como cada vi, i = 1, . . . , n é um vetor de V e B é base ordenadade

V , segue que existem únicos aji ∈ R, j = 1, . . . , n tais que vi =n∑

j=1

ajiuj. À matriz

M =

a11 . . . a1n...

......

an1 . . . ann

denominamos matriz mudança da base B para a base C e

a denotaremos por MBC.

Nota 1.8 Observe que, com a notação da definição acima segue que

MBC =((v1)B · · · (vn)B

)

isto é, as colunas de MBC são as coordenadas dos vetores da base C com respeito à baseB.Exemplo 1.19 Sejam B = ((1, 0, 0) , (0, 1, 0) , (0, 0, 1)) e C = {(1, 0, 1) , (0, 1, 0) , (1, 0,−1)bases ordenadas de R3. A matriz MBC é dada por

MBC =

1 0 10 1 01 0 −1

,

enquanto que a matriz mudança da base C para a base B, isto é, MCB é dada por

MCB =

1

20

1

20 1 01

20 −1

2

.


Veremos a seguir importantes propriedades da matriz mudança de base e como ela nosajudará a determinar as coordenadas de um vetor numa nova base.

Proposição 1.15 Sejam B, C e D bases ordenadas de um espaço vetorial finitamentegerado V, de dimensão n. Então

a) MBD = MBCMCD.

b) (u)C = MCB (u)B .

c) M−1BC = MCB.

d) MBB = In, onde In é a matriz identidade n× n.

Exemplo 1.20 Sejam B = ((1, 0, 0) , (0, 1, 0) , (0, 0, 1)) e C = {(1, 0, 1) , (0, 1, 0) , (1, 0,−1)bases ordenadas de R3, já vimos que

((x, y, z))C =

x+ z

2yx− z

2

e ((x, y, z))B =

x

y

z

,

logo tem-se que

((x, y, z))B =

x

y

z

=

1 0 10 1 01 0 −1

x+ z

2yx− z

2

= MBC ((x, y, z))C

((x, y, z))C =

x+ z

2yx− z

2

=

1

20

1

20 1 01

20 −1

2

x

y

z

= MCB ((x, y, z))B .

1.2.1 Lista de exercícios

Exercício 1.8 Fixada uma base ordenada B de R3, considere os vetores u, v, w ∈ R3 tais

que (u)B =

213

, (v)B =

01−1

e (w)B =

453

.

a) Calcule (u+ v)B e (u− 2v + 3w)B .

b) Determine a e b, de modo que au+ bv = w.

1.2. BASE 11

Exercício 1.9 Seja B uma base ordenada de R3. Mostre que {u, v} é l.d.⇔existe λ, α ∈

R não ambos nulos tais que α (u)B + λ (v)B =

000

, isto é, se suas coordenadas são

proporcionais.

Exercício 1.10 Seja B uma base ordenada de R3. Determine m, de modo que os vetoresabaixo sejam l.d..

a) (u)B =

351

, (v)B =

204

e (w)B =

1m

3

b) (u)B =

135

e (v)B =

2

1 +m

10

Exercício 1.11 Dada a base ordenada de R3, (e1, e2, e3) ,considere os vetores f1 = e1 −e2 − e3, f2 = e1 + 2e2 + e3 e f3 = 2e1 + e2 + 4e3.

a) Verifique que (f1, f2, f3) é uma base.

b) Determine a matriz mudança da base nova para a base antiga.

c) Sendo v = 3e1 − 5e2 + 4e3, determine as coordenadas de v na nova base.

Exercício 1.12 Para cada um dos subespaços abaixo, determine uma base e sua dimen-são:

a) H = {A ∈M2×2 (R) ;At = −A}.

b) H = {(x, y, z) ∈ R3; x+ y − 2z = 0}.

c) H = {p ∈ P2 (R) ; p (1) = 0}.

Exercício 1.13 Considerando U = {(x, y, z) ∈ R3; x + 2y − z = 0} e W = {(x, y, z) ∈R3; x+ z = 0} subespaços do R3, determine uma base de U ∩W e uma base para U +W.

Exercício 1.14 Determine as coordenadas do vetor u = (4,−5, 3) ∈ R3 em relação àbase ordenada B = ((1, 2, 1) , (0, 3, 2) , (1, 1, 4)) .

Exercício 1.15 Amatriz mudança de uma base ordenada B do R2 para a base ((1, 1) , (0, 2))desse mesmo espaço é: [

5 −20 3

].

Determine a base B.


Exercício 1.16 Considere o seguinte subespaço vetorial de M2×2 (R) :

U = {[a b

c d

]; a− b− c = 0}.

a) Mostre que os subconjuntos abaixo são bases de

B =

([1 10 0

],

[1 01 0

],

[0 00 1

]),

C =

([1 01 0

],

[0 −11 0

],

[0 00 1

]).

b) Determine a matriz mudança da base B para a base C e a da base C para a base B.

c) Determine uma base D de U, tal que a matriz mudança de D para B seja

1 1 00 0 20 3 1

.

1.3 Produto Interno

Conceitos importantes na geometria são o de ângulo entre vetores, o de distância e o decomprimento de vetores. Todos esses conceitos provem do conceito de produto escalar.Vamos agora generalizar este conceito para um espaço vetorial qualquer.

Definição 1.13 Seja V um espaço vetorial real. Um produto interno sobre V é umafunção

〈, 〉 : V × V → R

tal que:

i) 〈u, v〉 = 〈v, u〉 , para todos u, v ∈ V.

ii) 〈u+ v,w〉 = 〈u, w〉+ 〈v,w〉 para todos u, v, w ∈ V.

iii) 〈α · u.v〉 = α 〈u, v〉 para todos u, v ∈ V e α ∈ R.

iv) 〈u, u〉 ≥ 0, para todo u ∈ V e 〈u, u〉 = 0 se e somente se u = 0.

Um espaço vetorial real munido de um produto interno é denominado um espaço veto-rial euclidiano.

Exemplo 1.21 Um produto interno sobre R3 é dado por:

〈(x, y, z) , (a, b, c)〉 = xa+ yb+ zc.

1.3. PRODUTO INTERNO 13

Exemplo 1.22 Um produto interno sobre P2 (R) é

⟨a+ bt+ ct2, α + βt+ γt2

⟩= aα + bβ + cγ.

Exemplo 1.23 Um produto interno sobre Mm×n (R) é dado por:

〈A,B〉 = tr(ABt

).

Proposição 1.16 Seja V um espaço vetorial real euclidiano. Então:

P1) 〈0, u〉 = 0, para todo u ∈ V.

P2) 〈u, v + w〉 = 〈u, v〉+ 〈u, w〉 para todos u, v, w ∈ V.

P3) 〈u, α · v〉 = α 〈u, v〉 para todos u, v ∈ V e α ∈ R.

P4)

⟨n∑

i=1

αiui, v

⟩=

n∑

i=1

αi 〈ui, v〉 .

Definição 1.14 Seja V um espaço vetorial euclidiano. Então para cada u ∈ V, definimosa norma de u, como sendo o número real não negativo:

‖u‖ =√〈u, u〉.

Exemplo 1.24 Em Rn a norma de (x1, . . . , xn) é dada por:

‖(x1, . . . , xn)‖ =√x21+ · · ·+ x2n.

Exemplo 1.25 Em Mm×n (R) a norma de cada matriz A é dada por:

‖A‖ = tr(AAt

).

Proposição 1.17 Seja V um espaço vetorial euclidiano. Então:

a) ‖u‖ ≥ 0, para todo u ∈ V e ‖u‖ = 0⇔ u = 0.

b) ‖α · u‖ = |α| ‖u‖ para todo u ∈ V e α ∈ R.

c) ‖u+ v‖ ≤ ‖u‖+ ‖v‖ para todos u, v ∈ V.

Proposição 1.18 (Desigualdade de Cauchy-Schwarz): Seja V um espaço vetorialeuclidiano. Então para todos u, v ∈ V, tem-se que:

|〈u, v〉| ≤ ‖u‖ ‖v‖ .


Nota 1.9 A partir da desigualdade acima, se u, v são vetores não nulos de V, tem-se que

−1 ≤ 〈u, v〉‖u‖ ‖v‖ ≤ 1,

e portanto define-se o ângulo θ entre u e v, tal que

cos θ =〈u, v〉‖u‖ ‖v‖ .

Definição 1.15 Seja V um espaço vetorial euclidiano. Dizemos que u, v ∈ V são ortog-onais quando 〈u, v〉 = 0. Denotaremos u⊥w.

Nota 1.10 Observe que quando u �= 0, v �= 0 então 〈u, v〉 = 0⇔ o ângulo θ entre u e v

éπ

2. Enquanto que {u, v} são l.d.⇔ o ângulo θ entre u e v é 0. ou π.

Proposição 1.19 Seja V um espaço vetorial euclidiano. Se {u1, . . . , un} é um subcon-junto de vetores não nulos e dois a dois ortogonais então {u1, . . . , un} é um subconjuntol.i.

Definição 1.16 Dizemos que uma base B de um espaço vetorial real V finitamente geradoé ortonormal quando seus vetores são unitários, isto é têm norma igula a 1, e são doisa dois ortogonais.

Nota 1.11 É claro que se um espaço W é tal que dimW = 1, uma base ortonormal deW terá apenas um vetor unitário.

Veremos a seguir como a norma de um vetor, o produto interno entre dois vetores eas coordenadas de um vetor podem ser escritos em relação às suas coordenadas quando abase é ortonormal.

Proposição 1.20 Seja B = (e1, . . . , en) uma base ordenada ortonormal de um espaço

vetorial real euclidiano V e u, w ∈ V tais que (u)B =

a1...an

e (w)B =

b1...bn

. Então

ai = 〈u, ei〉 , bi = 〈w, ei〉 , 〈u,w〉 = a1b1 + · · ·+ anbn = (u)tB (w)B e ‖u‖ =√a21+ · · ·+ a2n.

Exemplo 1.26 Seja V um espaço vetorial real euclidiano de dimensão igual a 3. De-termine u ∈ V tal que ‖u‖ = 3

√3, u⊥w, u⊥v e u forma um ângulo agudo com e1,

onde B = (e1, e2, e3) é uma base ortonormal de V , (w) =

23−1

e (v) =

1−23

.

Consideremos u = ae1 + be2 + ce3. Assim, das hipóteses, segue que

a2 + b2 + c2 = 27

2a+ 3b− c = 0

a− 2b+ 3c = 0


Assim, temos que b = c, a = −b e portanto b = ±3. Agora utilizando a hipótese de que uforma um ângulo agudo com e1, segue que a > 0 e assim, b = −3, a = 3 e c = −3. Logou = 3e1 − 3e2 + 3e3.

Veremos a seguir que dada uma base ordenada qualquer de um espaço vetorial realeuclidiano V, pode-se construir uma nova base ordenada ortonormal, da seguinte forma:

Teorema 1.21 Processo de ortonormalização de Gram-Scmidt: Seja B = (u1, . . . , un)uma base ordenada de V. Então existe C = (e1, . . . , en) base ordenada ortonormal de V

tal que [{e1, . . . ek}] = [{u1, . . . , uk}] , 1 ≤ k ≤ n.

Prova. Para que [{e1}] = [{u1}] , devemos ter {e1, u1} l.d., portanto deve existir α ∈ Rtal que e1 = αu1 e como ‖e1‖ = 1, segue que α =

1

‖u1‖. Logo, e1 =

1

‖u1‖u1. Assim, temos

as condições requeridas para o primeiro vetor da base ordenada ortonormal. O segundovetor deve ser tal que [{e1, e2}] = [{u1, u2}] e portanto e2 deverá pertencer a [{u1, u2}] =[{e1, u2}] ou seja e2 = βe1 + γu2 e como {e1, e2} deve ser l.i. então γ �= 0, logo podemos

tomar e2 = γ

(β

γe1 + u2

)= γ (λe1 + u2) e como ‖e2‖ = 1, segue que |γ| = 1

‖λe1 + u2‖.

logo devemos determinar λ e para isso, é só lembrar que a base que queremos é ortonormal,portanto 〈e2, e1〉 = 0 ⇔ 〈λe1 + u2, e1〉 = 0. Assim das propriedades de produto interno,

obtemos que λ = −〈u2, e1〉 ⇒ e2 =u2 − 〈u2, e1〉 e1‖u2 − 〈u2, e1〉 e1‖

. Procedendo de modo análogo,

vamos determinar δ, η ∈ R tais que (u3 + δe2 + ηe1)⊥e1 e (u3 + δe2 + ηe1)⊥e2. Utilizandoo que já obtivemos e as propriedades de produto interno, obtemos que δ = −〈u3, e2〉 e η =

−〈u3, e1〉 e como e3 é um vetor unitário, segue que e3 =u3 − 〈u3, e2〉 e2 − 〈u3, e1〉 e1‖u3 − 〈u3, e2〉 e2 − 〈u3, e1〉 e1‖

. E

assim sucessivamente para cada 1 ≤ k ≤ n, tem-se que

ek =uk − 〈uk, ek−1〉 ek−1 − · · · − 〈uk, e1〉 e1‖uk − 〈uk, ek−1〉 ek−1 − · · · − 〈uk, e1〉 e1‖

.

�

Exemplo 1.27 Sabendo que B = ((1, 0, 1) , (1, 2, 1) , (1,−1, 0)) é uma base de R3, deter-mine uma nova base ortonormal de R3, construída a partir do processo de Gram Scmidt

e se (u)B =

311

, determine (u)C .

Solução 1.22 Do processo de Gram Smidt, construímos C = (e1, e2, e3) da seguinte

forma, e1 =1√2(1, 0, 1) , 〈e1, u2〉 =

2√2, logo u2 − 〈u2, e1〉 e1 = (0, 2, 0) ⇒ e2 = (0, 1, 0).


Ainda, 〈u3, e2〉 = −1, 〈u3, e1〉 =1√2, u3 − 〈u3, e2〉 e2 − 〈u3, e1〉 e1 =

(1

2, 0,−1

2

)e por-

tanto e3 =

(1√2, 0,− 1√

2

). Ainda, temos que MCB =

√2√2 2√2

0 2 1

0 0√2

. Assim,

(u)C = MCB (u)B =

6√2

3√2

.

Proposição 1.23 Sejam B = (u1, . . . , un) e C = (e1, . . . , en) bases ordenadas ortonor-mais de um espaço vetorial real eucldiano V . Então a matriz mudança entre as bases Be C é uma matriz ortogonal, isto é, M−1

BC = M tBC e M−1

CB = M tCB.

Definição 1.17 Seja V um espaço vetorial euclidiano e U um subespaço vetorial de V.

Definimos o complemento ortogonal de U, como sendo o subconjunto:

U⊥ = {w ∈ V ; 〈w, u〉 = 0, para todo u ∈ U}.

Proposição 1.24 Seja V um espaço vetorial euclidiano e U um subespaço vetorial de V.O complemento ortogonal de U, U⊥, é um subespaço vetorial de V, tal que U ∩U⊥ = {0}.

Exemplo 1.28 O complemento ortogonal do subespaço vetorial U = {x, y, z); x−2z = 0}do R3 é tal que 〈(a, b, c) , (x, y, z)〉 = 0, para todo (x, y, z) ∈ U. Primeiramente deter-minemos uma base de U. Da definição de U, temos que (x, y, z) ∈ U ⇔ x = 2z, portantoum vetor de U é da forma (2z, y, z) = z (2, 0, 1) + y (0, 1, 0), logo U = [(2, 0, 1) , (0, 1, 0)] .Ainda como

α (2, 0, 1) + β (0, 1, 0) = (0, 0, 0)⇔ α = 0 = β,

temos que {(2, 0, 1) , (0, 1, 0)} é uma base de U. Logo das propriedades de produto interno,

segue que (a, b, c) ∈ U⊥ ⇔{〈(a, b, c) , (2, 0, 1)〉 = 0〈(a, b, c) , (0, 1, 0)〉 = 0

, ou seja se e somente se

{2a+ c = 0b = 0

.

Logo U⊥ = {(a, 0,−2a) ; a ∈ R}.

Definição 1.18 Seja V um espaço vetorial euclidiano e U um subespaço vetorial de V

de dimensão finita. Considere B = (e1, . . . , en) uma base ortonormal de U. Definimos aprojeção ortogonal de V sobre U, como sendo a função: ProjU : V → U definida porProjU (v) = 〈v, e1〉 e1 + · · ·+ 〈v, en〉 en.

Exemplo 1.29 Determine a projeção ortogonal do vetor (1, 1, 1) ∈ R3 sobre o subespaçoU do exemplo anterior. Para isso precisamos determinar uma base ortonormal de U

e como já temos uma base, basta utilizar o processo de Gram-Schmidt. Assim, e1 =


1√5(2, 0, 1) e como

⟨1√5(2, 0, 1) , (0, 1, 0)

⟩= 0, então e2 = (0, 1, 0) , já que tal vetor

é unitário. Logo ProjU (1, 1, 1) =3√5

1√5(2, 0, 1) + (0, 1, 0) =

(6

5, 1,

3

5

). É claro que

(6

5, 1,

3

5

)∈ U, já que

6

5− 2.

3

5= 0.

Exemplo 1.30 Seja V um espaço vetorial e u ∈ V, u �= 0 tal que U = [u] subespaço deV, então uma base ortonormal de U é {e} onde e =

u

‖u‖ . Assim, para cada v ∈ V, tem-se

que ProjU (v) = 〈v, e〉 e =

⟨v,

u

‖u‖

⟩u

‖u‖ =〈v, u〉‖u‖2

u.

Nota 1.12 A projeção ortogonal se caracteriza pelo fato de v − ProjU (v) ∈ U⊥. AindaProjU (v) ∈ U é o vetor de U mais próximo de v, já que ‖v − ProjU (v)‖ ≤ ‖v − u‖ , paratodo u ∈ U.

1.3.1 Método dos mínimos quadrados

Aproximação por projeções

Suponhamos que você queira determinar o valor de uma constante. Por exemplo umaconstante da Física. Para isso você faz n medições. Se as medidas não tivessem erros vocêdeveria ter n valores iguais desta medida, já que ela é constante, mas como as mediçõestrazem imprecisões, em geral obtém-se n valores distintos. O que se faz é tomar a médiaaritmética como o valor mais provável da constante. Vejamos porque realmente este éo valor mais provável. Suponhamos então que obtivemos k1, . . . , kn valores para a talconstante. Definimos então o vetor experiência v = (k1, . . . , kn) ∈ Rn e consideremoso subespaço do Rn, U = [(1, . . . , 1)] . Como o valor que gostaríamos de ter obtido eraaquele em que v pertencesse a U, vamos determinar a projeção ortogonal de v sobre U, jáque esta projeção nos dá o vetor de U, mais próximo de v.. Assim, devemos determinar

k ∈ R, tal que k · (1, . . . , 1) = ProjU (v) =〈(k1, . . . , kn) , (1, . . . , 1)〉

‖(1, . . . , 1)‖2(1, . . . , 1) , ou seja

k =〈(k1, . . . , kn) , (1, . . . , 1)〉

‖(1, . . . , 1)‖2=k1 + · · ·+ kn

n, da definição de produto interno do Rn. Ou

seja o melhor valor para a constante k =k1 + · · ·+ kn

n.

Se tivermos uma experiência mais complexa, onde queremos determinar o valor de 2constantes, simultaneamente e tivermos encontradom valores k1, . . . , km, para uma delas el1, . . . , lm valores para a segunda, consideremos o vetor experiênciaE = (k1, . . . , km, l1, . . . , lm) ∈R2m, espaço vetorial euclidiano, com o produto interno usual e consideremos o subespaçovetorial de R2m, U = [(1, . . . , 1, 0, . . . , 0) , (0, . . . , 0, 1, . . . , 1)] . Assim, queremos deter-minar k, l ∈ R tais que k (1, . . . , 1, 0, . . . , 0) + l (0, . . . , 0, 1, . . . , 1) = ProjU (E) . Como


(1, . . . , 1, 0, . . . , 0) e (0, . . . , 0, 1, . . . , 1) já são ortogonais, para determinar uma vase orto-

normal de U, basta tomarmos e1 =(1, . . . , 1, 0, . . . , 0)

‖(1, . . . , 1, 0, . . . , 0)‖ =(1, . . . , 1, 0, . . . , 0)√

me e2 =

(0, . . . , 0, 1, . . . , 1)

‖(0, . . . , 0, 1, . . . , 1)‖ =(0, . . . , 0, 1, . . . , 1)√

m.Assim, k (1, . . . , 1, 0, . . . , 0)+l (0, . . . , 0, 1, . . . , 1) =

ProjU (E) = 〈E, e1〉 e1 + 〈E, e2〉 e2 ⇒ k =k1 + · · ·+ km

me l =

l1 + · · ·+ lm

m.

Ajuste de curvas

Uma necessidade bastante frequente é dados n pontos (xi, yi) , 1 ≤ i ≤ n encontraruma função g, combinação linear de funções conhecidas g1, . . . , gm, que passa por estespontos. Como muitas vezes estes pontos são obtidos por esperiência ou medição, elestrazem consigo imprecisões e por isso na maioria das vezes não encontramos tal com-binação linear que passe pelos pontos (xi, yi) , 1 ≤ i ≤ n. Consideremos os vetoresG1 = (g1 (x1) , . . . , g1 (xn)) , . . . , Gm = (gm (x1) , . . . , gm (xn)) , Y = (y1, . . . , yn) ∈ Rn

e o subespaço U = [G1, . . . , Gm] . Queremos então determinar c1, . . . , cm ∈ R tal quec1G1+ · · ·+ cmGm = ProjU Y , que é o vetor combinação linear das funções, mais próximode Y. Mas c1G1 + · · ·+ cmGm = ProjU Y ⇔ Y − (c1G1 + · · ·+ cmGm) ∈ U⊥, ou seja,

〈Y − (c1G1 + · · ·+ cmGm) , Gi〉 = 0, 1 ≤ i ≤ n

〈c1G1 + · · ·+ cmGm, Gi〉 = 〈Y,Gi〉 , 1 ≤ i ≤ n.

Logo resolvendo o sistema, determinaremos c1, . . . , cm ∈ R, que fornecem a combinaçãolinear tal que ‖Y − (c1G1 + · · ·+ cmGm)‖ é mínima e portanto este método é denominadométodo dos mínimos quadrados.

Exemplo 1.31 Uma experiência forneceu os seguintes valores (x1, y1) = (3, 6) , (x2, y2) =(1, 3) , (x3, y3) = (5, 9) e (x4, y4) = (4, 7) . Determinemos a reta da forma y = kx quemelhor se adapta a estes resultados no sentido dos mínimos quadrados. Temos entãouma única função, a saber, g1 (x) = x. Consideremos os vetores Y = (6, 3, 9, 7) e G1 =(3, 1, 5, 4) . Assim, queremos determinar k ∈ R tal que

〈Y − kG1, G1〉 = 0⇔ k ‖G1‖2 = 〈Y,G1〉 ,

logo,

k =3.6 + 1.3 + 5.9 + 4.7

32 + 12 + 52 + 42=

94

51.

Exemplo 1.32 Ajustar uma função do tipo g (x) = a + bx2 aos pontos (0, 1.1) , (1, 0.1)e (2,−3.1) . Assim, a função g1 = 1 e g2 = x2. Consideremos então os vetores do R3,Y = (1.1, 0.1,−3.1) , G1 = (1, 1, 1) e G2 = (0, 1, 4) . Assim, devemos encontrar a, b ∈ Rtais que {

3a+ 5b = −1.95a+ 17b = −12.3 ,

que resolvendo nos dá a ∼= 1.12 e b ∼= −1.05.


1.3.2 Lista de Exercícios

Exercício 1.17 Num espaço vetorial euclidiano V, mostre que.

a) 〈u, v〉 = 1

4

[‖u+ v‖2 − ‖u− v‖2

].

b) ‖u‖2 + ‖v‖2 = 1

2

[‖u+ v‖2 + ‖u− v‖2

].

Exercício 1.18 Seja B = (f1, f2, f3) uma base ortonormal de um espaço vetorial euclidi-ano V e C = (e1, e2, e3) uma base dada por e1 = 2f1+3f2, e2 = f1+f2+f3, e3 = f2+2f3.

a) Determine a matriz MBC.

b) Dados os vetores u, v ∈ V tais que (u)C =

−1

2−45

2

, (v)C =

1−11

, calcule ‖u‖ ,

‖v‖ e 〈u, v〉 .

c) Determine as coordenadas de um vetor w em relação à base C, de modo que ‖w‖ = 1,w⊥u e w⊥v, onde u e v do ítem (b).

d) Determine o ângulo entre e1 e e2. Responda se a base C é ortonormal.

Exercício 1.19 Considere V = {(x, y, z) ∈ R3;x+ z = 0}.

a) Determine uma base ortonormal de V.

b) Determine u0 ∈ R3 tal que u0⊥u, ∀u ∈ V.

c) Dado o vetor w = (1,−3,−2) ∈ R3, determine v0 ∈ V de modo que w−v0⊥v,∀−→v ∈ V.

Exercício 1.20 Considere(−→i ,−→j ,−→k)

a base ortonormal canônica de R3.

a) Determine x ∈ R tal que x−→i + 3

−→j + 4

−→k ⊥3−→i +

−→j +−→k .

b) Determine os ângulos entre os vetores: (i) 2−→i +−→j e

−→j − −→k , (ii) −→i +

−→j +

−→k e

−2−→j − 2−→k .

c) Determine um vetor unitário da direção da bissetriz da ângulo entre os vetores 2−→i +

3−→j +−→k e 3

−→i + 2

−→j − 3

−→k .

Exercício 1.21 Determine uma base ortonormal de W e uma base ortonormal de W⊥,

onde W é o subespaço do R4 dado por W = {(x, y, z, t) ; x+ y = 0 e 2x+ z = y}.


Exercício 1.22 Determine a projeção ortogonal do vetor (1, 1, 0,−1) ∈ R4 sobre o sube-spaço W = {(x, y, z, t) ∈ R4; x− y − z = 0 e z − 2t = 0}.

Exercício 1.23 Determine a reta em R2 de equação y = kx que melhor se adapte aospontos (3, 0) , (2, 1) e (1, 2) .

Exercício 1.24 Determine o polinômio f (x) = ax2 + bx + c, que melhor se ajuste aospontos (1, 2) , (3, 1) , (4, 2) e (2, 0) .

Capítulo 2

Transformações Lineares

No primeiro capítulo estudamos os espaços vetoriais e as suas principais propriedades.Neste próximo capítulo estudaremos as aplicações entre espaços vetoriais, onde as maisimportantes são as transformações lineares.

Definição 2.1 Sejam U e V dois espaços vetoriais reais. Dizemos que uma função T :U → V é uma transformação linear quando:

T (u+ v) = T (u) + T (v) , para todos u, v ∈ UT (α · u) = α · T (u) , para todo u ∈ U e α ∈ R.

Exemplo 2.1 Considere C1 (R) o espaço vetorial das funções reais continuamente de-riváveis e C (R) o espaço vetorial das funções reais contínuas. A função D : C1 (R) →C (R) definida por D (f) = f ′ é uma transformação linear, já que (f + g)′ = f ′ + g′ e(αf)′ = αf ′, para todas f, g ∈ C1 (R) e α ∈ R. Assim, D (f + g) = D (f) + D (g) eD (αf) = αD (f) .

Exemplo 2.2 Considere os espaços vetoriais C ([a, b]) e C1 ([a, b]) . A função I : C ([a, b])→C1 ([a, b]), definida por I (f) =

∫af , ou seja que a cada função contínua associa a primi-

tiva F de f tal que F (a) = 0 é uma transformação linear, já que∫a(f + g) =

∫af +

∫ag

e∫aαf = α

∫af , para todas f, g ∈ C ([a, b]) e α ∈ R. Assim, I (f + g) = I (f) + I (g) e

I (αf) = αI (f) .

Nota 2.1 Quando U = V, denominamos a transformação linear T : V → V de operadorlinear.

Proposição 2.1 Sejam U e V espaços vetoriais reais e T : U → V uma transformaçãolinear. Então:

a) T (0) = 0, isto é T leva vetor nulo de U em vetor nulo de V.

b) T (−u) = −T (u) , para todo u ∈ U, ou seja T leva o elemento simétrico de cada vetoru de U no elemento simétrico de sua imagem em V.

21

22 CAPÍTULO 2. TRANSFORMAÇÕES LINEARES

c) Se W é um subespaço de U então T (W ) = {T (w) ;w ∈ W} é um subespaço de V.

Portanto a imagem de T, denotada por Im (T ) é um subespaço de V.

d) Se H é um subespaço de V então T−1 (H) = {u ∈ U ;T (u) ∈ H} é um subespaço deU.

Definição 2.2 Sejam U e V espaços vetoriais reais e T : U → V uma transformaçãolinear. Denotamos por Ker (T ) o seguinte subconjunto de U, denominado núcleo de T :

Ker (T ) = {u ∈ U ;T (u) = 0} = T−1{0}.

Exemplo 2.3 Seja T : R3 → P1 (R) definida por T (x, y, z) = (x+ z) − yt. Para deter-minarmos o núcleo de T, devemos fazer T (x, y, z) = 0 + 0t, que é o polinômio nulo degrau menor ou igual a 1. Assim, temos:

(x+ z)− yt = 0 + 0t⇔{

x+ z = 0y = 0

,

portanto Ker (T ) = {(x, 0,−x) ; x ∈ R} = [(1, 0,−1)] .

Vejamos algumas propriedades do núcleo de uma transformação linear.

Proposição 2.2 Sejam U e V espaços vetoriais reais e T : U → V. Então:

i) Ker (T ) é um subespaço vetorial de U.

ii) T é uma função injetora ⇔ Ker (T ) = {0}.

Teorema 2.3 (dimensão do núcleo e da imagem): Sejam U e V espaços vetoriaisreais e T : U → V uma transformação linear, sendo U um subespaço de dimensão finita.Então

dim (U) = dim (Ker (T )) + dim (Im (T )) .

Exemplo 2.4 Seja T : R3 → M2×2 (R) definida por T (x, y, z) =

[x− z y + z

2x+ 2y x+ y

].

É claro que T é uma transformação linear(mostre) e dim (R3) = 3. Ainda para de-terminarmos o núcleo de T, devemos determinar (x, y, z) ∈ R3 tal que T (x, y, z) =[x− z y + z

2x+ 2y x+ y

]=

[0 00 0

]. Portanto

x = z

y = −zx = −y

,

23

ou seja Ker (T ) = {(x,−x, x) , x ∈ R} = {x · (1,−1, 1) , x ∈ R} = [(1,−1, 1)] , portantodim (Ker (T )) = 1. Logo pelo teorema da dimensão do núcleo e da imagem, segue quedim (Im (T )) = 2. Verifiquemos:

Im (T ) =

{[x− z y + z

2x+ 2y x+ y

], x, y, z ∈ R

}=

=

{x

[1 02 1

]+ y

[0 12 1

]+ z

[−1 10 0

], x, y, z ∈ R

}=

=

[{[1 02 1

],

[0 12 1

],

[−1 10 0

]}]=

=

[{[1 02 1

],

[0 12 1

]}],

pois [−1 10 0

]=

[0 12 1

]−

[1 02 1

]

e como{[

1 02 1

],

[0 12 1

]}é l.i., já que α

[1 02 1

]+β

[0 12 1

]=

[0 00 0

]⇔ α = 0 =

β, segue que{[

1 02 1

],

[0 12 1

]}é base de Im (T ) , o que implica que dim (Im (T )) = 2,

conforme o teorema.

Corolário 2.4 Sejam U e V espaços vetoriais reais de mesma dimensão n e T : U → V

uma transformação linear. Então são equivalentes:

i) T é sobrejetora.

ii) T é injetora.

iii) T é bijetora.

iv) T transforma uma base de U numa base de V.

Prova. i)⇒ii): Como T é sobrejetora então Im (T ) = V, logo dim (Im (T )) = n =dim (U) , portanto do teorema do núcleo e da imagem, temos que dim (Ker (T )) = 0, ouseja Ker (T ) = {0}, o que implica que T é injetora.

ii)⇒iii): Como T é injetora, segue queKer (T ) = {0}, o que implica que dim (Ker (T )) =0, portanto do teorema do núcleo e da imagem, temos que dim (Im (T )) = n = dimV ecomo Im ((T )) é subespaço de V, segue que Im (T ) = V, o que implica que T é sobrejetorae portanto bijetora.

iii)⇒iv): Como T é bijetora, segue que Im (T ) = V. Ainda se B = {u1, . . . , un} é umabase de U, então Im (T ) = [T (u1) , . . . , T (un)] . Basta então verificar que {T (u1) , . . . , T (un)}é l.i. De fato:

α1T (u1) + · · ·+ αnT (un) = 0⇔ T (α1u1 + · · ·+ αnun) = 0⇔⇔ α1u1 + · · ·+ αnun ∈ Ker (T )⇔ α1u1 + · · ·+ αnun = 0,


pois T é injetora. Mas como {u1, . . . , un} é uma base de U, segue que {u1, . . . , un} é l.i..o que implica que

α1 = 0 = · · · = αn.

Logo {T (u1) , . . . , T (un)} é base de Im (T ) e portanto base de V.iv)⇒i): Se B = {u1, . . . , un} é uma base de U, segue que {T (u1) , . . . , T (un)} é base

de V, mas Im (T ) = [T (u1) , . . . , T (un)] e portanto {T (u1) , . . . , T (un)} é base de Im (T ) ,logo Im (T ) = V, portanto T é sobrejetora. �

Definição 2.3 Sejam U e V espaços vetoriais reais. Dizemos que T : U → V é umisomorfismo quando T é uma transformação linear bijetora.

Exemplo 2.5 Seja T : R3 → P2 (R) definida por T (a, b, c) = (a+ c) + (b− 2c) t +(2a) t2.Verifiquemos primeiramente que T é uma transformação linear:

T ((a, b, c) + (x, y, z)) = T (a+ x, b+ y, c+ z) =

= (a+ x+ c+ z) + (b+ y − 2 (c+ z)) t+ 2 (a+ x) t2 =

=[(a+ z) + (b− 2c) t+ 2at2

]+

[(x+ x) + (y − 2z) t+ 2xt2

]=

= T (a, b, c) + T (x, y, z) .

T (α · (a, b, c)) = T (αa, αb, αc) = (αa+ αc) + (αb− 2αc) t+ 2αat2 =

= α[(a+ c) + (b− 2c) t+ 2at2

]= αT (a, b, c) .

Para mostrar que T é bijetora, basta mostrar, pelo corolário, que T é injetora, poisdim (R3) = dim (P2 (R)) = 3. Verifiquemos:

T (a, b, c) = 0⇔ (a+ c) + (b− 2c) t+ (2a) t2 = 0 + 0t+ 0t2 ⇔⇔ a = −c, b = 2c, a = 0⇔ a = 0 = b = c,

o que implica que Ker (T ) = {0} logo T é um isomorfismo.

Definição 2.4 Sejam U e V espaços vetoriais reais. Dizemos que U e V são isomorfosquando existe um isomorfismo entre U e V.

Exemplo 2.6 Do exemplo anterior temos que R3 e P2 (R) são isomorfos.

Nota 2.2 Observe que basta existir uma transformação linear bijetora entre espaços iso-morfos.

Proposição 2.5 Sejam U e V espaços vetoriais reais de dimensão finita. U e V sãoisomorfos ⇔ dimU = dimV.

25

Prova. (⇒)Se U e V são isomorfos então existe um isomorfismo entre U e V. PortantoKer (T ) = {0} e Im (T ) = V, ou seja dim (Ker (T )) = 0 e dim (Im (T )) = dimV. Mas doteorema da dimensão do núcleo e da imagem, segue que dimU = dim (Im (T )) = dimV.

(⇐) Temos que dimU = dimV = n. Considere B = {u1, . . . , un} é uma base de U eC = {v1, . . . , vn} é uma base de V. Seja T : U → V, definida por

T (α1u1 + · · ·+ αnun) = α1v1 + · · ·+ αnvn, ∀u = α1u1 + · · ·+ αnun ∈ U.

É fácil mostrar que T é uma transformação linear (mostre). Ainda T leva base de U embase de V, pois

T (u1) = T (1 · u1 + 0 · u2 + · · ·+ 0 · un) = 1 · v1 + 0 · v2 + · · ·+ 0 · vn = v1,

T (u1) = T (0 · u1 + 1 · u2 + · · ·+ 0 · un) = 0 · v1 + 1 · v2 + · · ·+ 0 · vn = v2,

...

T (un) = T (0 · u1 + 0 · u2 + · · ·+ 1 · un) = 0 · v1 + 0 · v2 + · · ·+ 1 · vn = vn.

Logo como dimU = dimV, segue do corolário acima que T é bijetora e portanto umisomorfismo, o que implica que U e V são isomorfos. �

Exemplo 2.7 Os espaços vetoriais M2×2 (R) e R4 são isomorfos pois tem a mesma di-mensão.


Exercício 2.1 Determine uma base e a dimensão do núcleo e da imagem das transfor-mações lineares abaixo:

a) T : R3 → R2 dada por T (x, y, z) = (x+ y − z, x+ y) .

b) T : P2 (R)→ P2 (R) dada por T (p) (t) = t2p” (t) .

Exercício 2.2 Determine um operador linear do R3 cujo núcleo é gerado por {(1, 1, 1) , (0,−1, 2)}.

Exercício 2.3 Mostre que cada um dos operadores lineares do R3 abaixo é um isomor-fismo e determine o isomorfismo inverso:

a) T (x, y, z) = (x− y, 2z, y + z) .

b) T (x, y, z) = (3y − 2z, x, x− 3z) .

Exercício 2.4 Sabendo que T : P2 (R)→ R3 é uma transformação linear tal que T (1) =(1,−1, 0) , T (t) = (0, 2, 1) e T (t2) = (1, 0,−1) , determine T (a+ bt+ ct2) .

Exercício 2.5 Seja V um espaço vetorial euclidiano e U = [{e1, . . . , en}], onde {e1, . . . , en}é uma base ortonormal de U. Mostre que E : V → U projeção ortogonal de V sobre U éuma transformação linear, tal que Ker (E) = U⊥ e Im (E) = U.


2.1 Matriz de uma transformação linear

O objetivo deste parágrafo é identificar uma transformação linear entre espaços de dimen-são finita com matrizes, assim poderemos reduzir nosso trabalho às matrizes.

Definição 2.5 Sejam U e V espaços vetoriais reais de dimensão finita e T : U → V

uma transformação linear. Considere B = (u1, . . . , un) uma base ordenada de U e C =(v1, . . . , vm) uma base ordenanda de V. Assim,

T (ui) =m∑

j=1

ajivj.

Definimos a matriz de T com respeito às bases ordenadas B e C, denotada por(T )BC

(T )BC = [aji]m×n =[(T (u1))C . . . (T (un))C

].

Exemplo 2.8 Seja T : R2 → P2 (R) por T (a, b) = (a− b) + 3bt − 2at2. Considere B =((1, 0) , (0, 1)) e C = (1, t, t2) bases ordenadas de R2 e P2 (R) respectivamente. Portantoda definição de T, tem-se que

T (1, 0) = 1− 2t2 = 1 + 0t− 2t2,

T (0, 1) = −1 + 3t = −1 + 3t+ 0t2.

Logo

(T )BC =

1 −10 3−2 0

.

Exemplo 2.9 Seja T : P2 (R)→ P1 (R) tal que

(T )BC =

[−1 1 02 −5 3

],

onde B = (1, t, t2) e C = (1, t, ) são bases ordenadas de P2 (R) e P1 (R) respectivamente,então

T (1) = −1 + 2t,

T (t) = 1− 5t,

T(t2)

= 3t.

Logo T (a+ bt+ ct2) = aT (1)+bT (t)+cT (t2) = a (−1 + 2t)+b (1− 5t)+c3t = (b− a)+(2a− 5b+ 3c) t.

Nota 2.3 Dos exemplos acima podemos ver que conhecendo a transformação linear e asbases ordenadas podemos determinar a matriz de T com respeito a tais bases e reciproca-mente conhecendo a matriz e as bases ordenadas recuperamos a transformação linear.

2.1. MATRIZ DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR 27

Nota 2.4 É bom observar também que a matriz da transformação linear depende dasbases ordenadas consideradas, isto é, para cada par de bases ordenadas temos uma únicamatriz, mas se mudarmos as bases ordenadas mudamos também a matriz.

Quando T é um operador linear, ou seja, T : U → U, pode-se tomar a mesma baseordenada B para o domínio e o contradomínio e denotamos por (T )B .Exemplo 2.10 Seja T : R2 → R2 definida por T (x, y) = (x− 2y, 3x+ y) . ConsiderandoB =((1, 1) , (1,−1)) base ordenada do R2, determinemos a matriz de T com respeito à baseB

T (1, 1) = (−1, 4) e T (1,−1) = (3, 2) .

Mas (−1, 4) = a (1, 1) + b (1,−1) = (a+ b, a− b) ⇒{

a+ b = −1a− b = 4

⇒ a =3

2e b = −5

2.

Ainda (3, 2) = α (1, 1) + β (1,−1) = (α + β, α− β) ⇒{

α + β = 3α− β = 2

⇒ α =5

2e β =

1

2.

Portanto

(T )B =

3

2

5

2

−5

2

1

2

.

A importância da matriz de transformação linear é que podemos trabalhar apenas coma matriz ao invés de trabalharmos com a transformação linear. Para isso apresentaremosalgumas propriedades.

Proposição 2.6 Sejam U e V espaços vetoriais reais de dimensão n em, respectivamentee T : U → V uma transformação linear. Considere B = (u1, . . . , un) uma base ordenadade U e C = (v1, . . . , vm) uma base ordenanda de V. Então

(T (u))C = (T )BC (u)B .

O resultado acima nos diz que para obtermos as coordenadas de T (u) basta multiplicara matriz de T pelas coordenadas de u.

Exemplo 2.11 Seja T : P2 (R)→ P1 (R) tal que

(T )BC =

[−1 1 02 −5 3

],

onde B = (1, t, t2) e C = (1, t, ) são bases ordenadas de P2 (R) e P1 (R) respectivamente.Então

(T

(a+ bt+ ct2

))C

= (T )BC(a+ bt+ ct2

)B=

[−1 1 02 −5 3

]

a

b

c

=

=

[b− a

2a− 5b+ 3c

],

o que implica que T (a+ bt+ ct2) = (b− a) + (2a− 5b+ 3c) t, como vimos em exemploanterior.


Pode-se também operar transformações lineares, operando suas matrizes.

Proposição 2.7 Sejam U, V,W espaços vetorias reais de dimensão n,m e k, respectiva-mente. Considere T, F : U → V e G : V →W transformações lineares e α ∈ R. Prova-seque T + F, αT e G ◦ T são transformações lineares (prove!). Considere B = (u1, . . . , un)uma base ordenada de U , C = (v1, . . . , vm) uma base ordenanda de V e D = (w1, . . . , wk)uma base ordenada de W. Então:

a) (T + F )BC = (T )BC + (F )BC .

b) (αT )BC = α (T )BC .

c) (G ◦ T )BD = (G)CD (T )BC .

Pode-se ainda ter a necessidade de mudar de base. Como fazer sem ter que voltarpara a transformação linear, ou seja, trabalhando apenas com matrizes? Para responderesta pergunta vamos dar mais algumas propiedades.

Proposição 2.8 Seja U um espaço vetorial real de dimensão n. Considere B = (u1, . . . , un)e C = (v1, . . . , vm) bases ordenadas de U. Então

(I)BC = MCB e (I)CB = MBC

onde I : U → U, tal que I (u) = u e MCB é a matriz mudança da base C para a base B.

Proposição 2.9 Sejam U e V espaços vetoriais reais de dimensão n em, respectivamentee T : U → V uma transformação linear e F : U → U um operador linear. Considere B,B1 bases ordenadas de U e C, C1 bases ordenadas de V. Então

(T )BC = MCC1 (T )B1C1 MB1B,

(F )B1 = MB1B (F )BMBB1 =

= M−1BB1

(F )BMBB1 .

Proposição 2.10 Sejam U e V espaços vetoriais reais ambos de dimensão n, e T : U →V uma transformação linear. Considere B base ordenada de U e C base ordenada de V .Então T é um isomorfismo ⇔ (T )BC for inversível e (T−1)CB = (T )−1BC . Analogamente seF : U → U é um operador linear e B base ordenada de U . Então F é um isomorfismo⇔ (F )B for inversível e (F−1)B = (F )−1B .

Exemplo 2.12 Seja T : P2 (R) → P1 (R) tal que (T )BC =

[−1 0 21 2 3

], onde B base

ordenada de P2 (R) e C base ordenada de P1 (R). Se B1 base ordenada de P2 (R) e C1 baseordenada de P1 (R) tal que

MCC1 =

[1 12 1

]e MBB1 =

1 0 −12 1 10 −1 −2

,


então(T )B1C1 = MC1C (T )BCMBB1 = M−1

CC1(T )BCMBB1 .

Mas

M−1CC1

= −[

1 −1−2 1

]=

[−1 12 −1

],

portanto

(T )B1C1 =

[−1 12 −1

] [−1 0 21 2 3

]

1 0 −12 1 10 −1 −2

=

=

[2 2 1−3 −2 1

]

1 0 −12 1 10 −1 −2

=

[6 1 −2−7 −3 −1

].

Exemplo 2.13 Sabendo que T : P1 (R) → P1 (R) é tal que (T )B =

[2 −20 1

], como

det (T )B = 2 �= 0, segue que T é um isomorfismo, então T−1 : P1 (R)→ P1 (R) é tal que

(T−1

)B= (T )−1B =

1

2

[1 20 2

].


Exercício 2.6 Determine o operador linear do R2 cuja matriz em relação à base ordenadaB = ((1, 2) , (1,−1)) é dada por [

3 1−2 1

].

Exercício 2.7 Se a matriz de um operador linear F do R3 em relação à base canônica é

1 −1 20 4 32 0 −2

e se T = I +2F −F ◦F, determine a matriz de T em relação à base canônica e verifiquese T é ou não um isomorfismo. Determine também T (x, y, z) e T−1 (x, y, z) .

Exercício 2.8 Seja T : C → C um operador linear tal que (T )B =

[1 −23 −1

], onde

B base ordenada de C. Sabendo que MBC =

[−2 51 3

], onde C base ordenada de C,

determine (T )C . Se u ∈ C é tal que (u)C =

[3−7

], determine (T (u))C .


2.1.2 Diagonalização de operadores

Como vimos podemos trabalhar com matrizes ao invés de operadores lineares. Mas éimportante em algumas situações determinar uma base onde a matriz do operador seja amais simples, por exemplo uma matriz diagonal. É isso que veremos neste parágrafo.

Definição 2.6 Seja V um espaço vetorial real e T : V → V um operador linear. Dizemosque λ ∈ R é um autovalor de T quando existe u ∈ V, u �= 0, tal que T (u) = λu. Nestecaso u é denominado autovetor de T associado ao autovalor λ.

Proposição 2.11 Seja V um espaço vetorial real de dimensão n e T : V → V umoperador linear. Então λ ∈ R é um autovalor de T ⇔ det ((T )B − λIn) = 0, qualquer queseja B base ordenada de V e In a matriz identidade n× n.

Prova. λ ∈ R é um autovalor de T ⇔ existe u ∈ V, u �= 0, tal que T (u) =λu ⇔ existe u ∈ V, u �= 0, tal que T (u) − λu = 0 ⇔ existe u ∈ V, u �= 0, tal que(T − λI) (u) = 0 ⇔ Ker (T − λI) �= {0} ⇔ (T − λI) não é um isomorfismo ⇔ (T − λI)não é inversível ⇔ det (T − λI)B = 0, qualquer que seja B base ordenada de V. Mas(T − λI)B = (T )B − λ (I)B = (T )B − λIn. �

Exemplo 2.14 Seja T : P2 (R)→ P2 (R) definida por T (p) (t) = p (t)+3p′ (t)+ t2p′′

(t) .Para determinar os autovalores de T, vamos determinar a matriz de T em relação à baseordenada B =(1, t, t2) ,

T (1) = 1 = 1 + 0t+ 0t2,

T (t) = 3 + t = 3 + t+ 0t2,

T(t2)

= 6t+ 3t2 = 0 + 6t+ 3t2.

Assim,

(T )B =

1 3 00 1 60 0 3

,

logo,

det ((T )B − λI3) = det

1− λ 3 00 1− λ 60 0 3− λ

= (1− λ) [((1− λ) (3− λ))] .

Portanto det ((T )B − λI3) = 0 ⇔ λ = 1 e λ = 3. Logo os autovalores de T são 1 e 3.Para determinar os autovetores associados, basta lembrar que p ∈ P2 (R) é um autovetorassociado ao autovalor λ ⇔ T (p) = λp ⇔ (T − λI) (p) = 0 ⇔ (T − λI)B (p)B = 0,


qualquer que seja a base ordenada B de P2 (R) ⇔ ((T )B − λI3) (p)B = 0. Assim, para

λ = 1, considerando (p)B =

a

b

c

, temos

0 3 00 0 60 0 2

a

b

c

=

000

3b = 06c = 02c = 0

⇒ b = 0 = c,

portanto os autovetores de T associados ao autovalor λ = 1 são tais que (p)B =

a

00

=

a

100

, com a �= 0, ou seja, p (t) = a, a �= 0, isto é, os autovetores de T associados ao

autovalor λ = 1 são os polinômios constantes não nulos. Para λ = 3, obtemos

−2 3 00 −2 60 0 0

a

b

c

=

000

{−2a+ 3b = 0−2b+ 6c = 0

⇒ b = 3c e a =9

2c,

portanto os autovetores de T associados ao autovalor λ = 3 são tais que (p)B =

9

2c

3cc

=

c

9

231

, com c �= 0, ou seja, p (t) = c

(9

2+ 3t+ t2

), c �= 0.

Proposição 2.12 Seja V um espaço vetorial real e T : V → V um operador linear.Então autovetores associados a autovalores distintos são l.i.

Definição 2.7 Seja V um espaço vetorial real de dimensão finita n e T : V → V um op-erador linear. Dizemos que T é diagonalizável quando existe uma base de V constituídade autovetores de T. Neste caso se B = (u1, . . . , un) é uma base ordenada de V constituída


de autovetores de T , com ui autovetor associado ao autovalor λi, temos que

(T )B =

λ1 0 · · · 0 00 λ2 0 · · · 0... 0 λ3 0

......

......

. . . 00 0 · · · 0 λn

,

isto é, a matriz de T em relação à base constituída de autovetores é uma mtriz diagonal,onde na diagonal principal aparecem os autovalores, na ordem em que os autovetoresaprecem na base ordenada.

Vemos que o operador linear do exemplo anterior não é diagonalizável, pois tem-seapenas 2 autovetores l.i. de T.

Exemplo 2.15 Seja T : C→ C, tal que (T )B =

[1 11 1

], onde B = {1 + i, 1− i}. Ver-

ifiquemos se T é diagonalizável. Para isso determinemos os autovalores e os autovetoresde T.

det

[1− λ 11 1− λ

]= (1− λ)2 − 1 = λ2 − 2λ = 0⇔ λ = 0 ou λ = 2.

Observe que temos 2 autovalores distintos e portanto temos 2 autovetores l.i. e comodimC = 2, segue que T é diagonalizável, pois admite uma base constituída de autovetores.Determinemos tal base e a matriz de T com respeito a esta base. Para λ = 0, considerando

(u)B =

[x

y

], obtemos

[1 11 1

] [x

y

]=

[00

]⇒ x+ y = 0⇒ y = −x,

logo os autovetores associados a λ = 1, são tais que (u)B =

[x

−x

]= x

[1−1

], x �= 0.

Portanto podemos tomar u1 ∈ C tal que (u1)B =

[1−1

]⇒ u1 = 2i. Para λ = 2,

[−1 11 −1

] [x

y

]=

[00

]⇒ x− y = 0⇒ y = x,

logo os autovetores associados a λ = 2, são tais que (u)B =

[x

x

]= x

[11

], x �= 0.

Portanto podemos tomar u2 ∈ C tal que (u2)B =

[11

]⇒ u1 = 2. Assim a base constituída


de autovetores é C = {2i, 2}. Portanto a matriz mudança da base C para a base B é

MCB =

1

2−1

21

2

1

2

⇒MBC = 2

1

2

1

2

−1

2

1

2

=

[1 1−1 1

].

Logo

(T )C = MCB (T )BMBC =

=

1

2−1

21

2

1

2

[

1 11 1

] [1 1−1 1

]=

=

[0 01 1

] [1 1−1 1

]=

[0 00 2

].

Observe que (T )C é uma matriz diagonal, com os autovalores em sua diagonal, como jáera esperado.

Proposição 2.13 Seja V um espaço vetorial real de dimensão finita n e T : V → V umoperador linear. Então o número de autovetores l.i. associados a um mesmo autovalor émenor ou igual a multiplicidade do autovalor, como raiz do polinômio det ((T )B − λIn) .

Dos resultados acima, sempre que tivermos um operador sobre um espaço vetorial Vde dimensão n, com n autovalores distintos este será diagonalizável.

Existe um tipo de operador que é sempre diagonalizável, e mais por uma base orto-normal de autovetores. Vejamos.

Definição 2.8 Seja V um espaço vetorial real euclidiano. Dizemos que um opervadorlinear T : V → V é auto-adjunto quando

〈T (u) , v〉 = 〈u, T (v)〉 ,

quaisquer que sejam u, v ∈ V.

Exemplo 2.16 O operador T do R3, definido por T (x, y, z) = (x+ 2y, 2x− y + 3z, 3y + 5z)é auto-adjunto, pois

〈T (x, y, z) , (a, b, c)〉 = (x+ 2y) a+ (2x− y + 3z) b+ (3y + 5z) c =

= xa+ 2ya+ 2xb− yb+ 3zb+ 3yc+ 5zc =

= x (a+ 2b) + y (2a− b+ 3c) + z (3b+ 5c) =

= 〈(x, y, z) , T (a, b, c)〉 .

Proposição 2.14 Seja V um espaço vetorial real eucldiano de dimensão n. T : V → V

é um operador auto-adjunto ⇔ (T )B é uma matriz simétrica em relação a qualquer baseortonormal B de V.


Prova. (⇒) Considere B = (e1, . . . , en) uma base ordenada ortonormal de V. Então

T (ei) =n∑

j=1

〈T (ei) , ej〉 ej ,

portanto, da definição de matriz de T em relação à base B, temos que (T )B = (aji)n×n ,onde aji = 〈T (ei) , ej〉 . Mas T é auto-adjunto e portanto 〈T (ei) , ej〉 = 〈ei, T (ej)〉 =〈T (ej) , ei〉 = aij, o que implica que (T )B é simétrica.

(⇐)Exercício. �

Proposição 2.15 Seja V um espaço vetorial real eucldiano e T : V → V é um operadorauto-adjunto. Então autovetores associados a autovalores distintos são ortogonais.

Prova. Sejam α e β autovetores distintos de T, então existem u, w vetores não nulosde V, tais que T (u) = αu e T (w) = βw. Ainda

〈T (u) , w〉 = 〈u, T (w)〉 ,

o que implica que〈αu,w〉 = 〈u, βw〉 .

Das proriedades de produto interno, obtemos

α 〈u, w〉 = β 〈u,w〉 ⇒ (α− β) 〈u, w〉 = 0.

Como (α− β) �= 0, pois são autovalores distintos, segue que 〈u,w〉 = 0, ou seja, u e wsão ortogonais. �

Teorema 2.16 Seja V um espaço vetorial real eucldiano de dimensão n. T : V → V éum operador auto-adjunto ⇔ existe uma base ortonormal de V constituída de autovetoresde T. Neste caso se B é uma base ortonormal de V e C é uma base ortonoirmal de V

constituída de autovetores de T, segue que

(T )C = M tBC (T )BMBC,

sendo (T )C uma matriz diagonal.

Exemplo 2.17 Seja T um operador do R3, cuaja matriz com respeito à base canônica é

1 −2 0−2 1 00 0 −1

.

Como a base canônica do R3 é ortonormal e a matriz é simétrica, segue que T é auto-adjunto e portanto existe uma base ortonormal de R3 constituída de autovetores de T, em


relação a qual a matriz de T é diagonal. Vamos determinar, a base, a matriz mudança dabase canônica para a base ortonormal de autovetores e a matriz de T em relação a novabase.

det

1− λ −2 0−2 1− λ 00 0 −1− λ

= 0⇔ (λ− 3) (λ+ 1)2 = 0.

Portanto os autovalores de T são λ = −1 (raiz dupla) e λ = 3. Como λ = 3 é uma raizsimples existe apenas um vetor l.i. associado a λ = 3, que é ortogonal aos autovetoresassociados a λ = −1. Como λ = −1 é raiz dupla, e T é diagonalizável, já que é autoadjunto, então devem existir 2 autovetores l.i. associados a este autovalor. Vejamos, paraλ = −1,

2 −2 0−2 2 00 0 0

x

y

z

=

000

⇒{

2x− 2y = 0−2x+ 2y = 0

⇒ x = y,

logo os autovetores de T associados a λ = −1 tem as seguintes coordenadas em relação àbase canônica

x

x

z

= x

110

+ z

001

.

Estes 2 vetores já são ortogonais e portanto l.i., basta tomaá-los unitários. Assim, os

autovetores unitários e ortogonais associados a λ = −1 são(

1√2,

1√2, 0

)e (0, 0, 1) .

Para λ = 3,

−2 −2 0−2 −2 00 0 −4

x

y

z

=

000

⇒

−2x− 2y = 0−2x− 2y = 0−4z = 0

⇒{

y = −xz = 0

,

logo os autovetores de T associados a λ = 3 tem as seguintes coordenadas em relação àbase canônica

x

−x0

= x

1−10

.

Assim, o autovetor unitário e ortogonal aos autovetores associados a λ = −1, associadoa λ = 3 é

(1√2,− 1√

2, 0

). Logo a base ortonormal do R3 constituída de autovetores de

T é C = {(

1√2,

1√2, 0

),(0, 0, 1) ,

(1√2,− 1√

2, 0

)}. A matriz mudança da base canônica

para a base C é a quela constituída das coordenadas dos autovatores, ou seja é a matrizM, dada abaixo:

M =

1√2

01√2

1√2

0 − 1√2

0 1 0


e a matriz de T em relação à base C é

(T )C = M t (T )canM =

−1 0 00 −1 00 0 3

.

Nota 2.5 Tudo o que foi definido e os resultados para operadores lineares podem ser tran-feridos para as matrizes quadradas, uma vez que estas estão associadas univocamente aoperadores, assim como as matrizes simétricas estão associadas a operadores auto adjun-tos.


Exercício 2.9 Determine os autovalores e autovetores dos operadores lineares do R3

abaixo:

a) T (x, y, z) = (x+ y, x− y, z) .

b) T (1, 0, 0) = (2, 0, 0) , T (0, 1, 0) = (2, 1, 2) e T (0, 0, 1) = (3, 2, 1) .

c) T (1, 1, 0) = (0, 0, 0) , T (1,−1, 0) = (0, 0, 0) e T (0, 0, 2) = (5,−1, 2) .

Exercício 2.10 Determine os autovalores e autovetores do operador T de P3 (R) cujamatriz em relação à base B = {1, t, t2, t3} é:

2 1 0 00 2 0 00 0 1 10 0 −2 4

.

Exercício 2.11 Determine, se possível, uma matriz M ∈ M2×2 (R) de maneira queM−1AM seja diagonal, onde A é:

a)

[2 43 13

]b)

[3 −22 1

]c)

2 0 43 −4 121 −2 5

.

Exercício 2.12 Seja T um operador do R3 definido por T (x, y, z) = (x+ y + z, x+ y + z, x+ y + z) .

a) Determine os autovalores de T.

b) Determine uma base ortonormal B do R3 tal que (T )B é diagonal.

c) Qual a matriz de mudança da base canônica do R3 para a base B?


Exercício 2.13 Seja T um operador do R3 cuja matriz de T em relação à base B =((1, 2, 0) , (−1, 0, 1) , (0, 2é

1 −2 0−2 1 00 0 −1

.

a) T é diagonalizável? Justifique.

b) Determine os autovalores e autovetores de T.

c) T é um operador auto adjunto? Justifique.

MB 701 Algebra Linear

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