Integrales trigonométricas 72 VII INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS

Integrales trigonométricas

72

VII

INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS

Áreas 1, 2 y 3

Diez fórmulas más habrán de agregarse al formulario actual de integrales del estudiante.Son seis correspondientes a las seis funciones trigonométricas seno, coseno, tangente, cotangen-te, secante y cosecante, y cuatro más correspondientes a las inversas de las derivadas de las seisfunciones trigonométricas. Esto último se refiere a que si la derivada de la tangente es la secantecuadrada, entonces la integral de la secante cuadrada es la tangente.

(17) sen u du cosu c= − +∫

(18) cosu du sen u c= +∫

(19) tanu du ln secu ln cosu c= = − +∫

(20) cot u du ln sen u c= +∫

(21) ( )secu du ln tan u secu c= + +∫


73

(22) ( )cscu du ln cscu cot u c= − +∫

(23) 2sec u du tanu c= +∫

(24) 2csc u du cot u c= − +∫

(25) tanu secu du secu c= +∫

(26) cot u cscu du cscu c= − +∫

Como en todos los casos de fórmulas nuevas, para emplearlas debidamente debe hacerseun cambio de variable, en donde u es el argumento de la función trigonométrica.

Ejemplo 1: Integrar 9sen x dx∫Solución: En este caso el argumento es 9x, o sea que

u = 9x , de dondedu = 9dx

Para tener la diferencial du hay que multiplicar por 9; pero para que no se altere la integraloriginal también debe dividirse entre 9, de modo que:

[ ]19 9 99

sen x dx sen x dx=∫ ∫

sen u du


74

[ ]1 19 9

sen u du cos u c= = − +∫

19 99

sen x dx cos x c= − +∫

Ejemplo 2: Integrar ( ) ( )23 2 3 4 11x tan x x dx− − +∫Solución: En este caso el argumento es 3x 2 - 4x + 11 , o sea que

u = 3x 2 - 4x + 11 , de dondedu = (6x - 4)dx

Para tener la diferencial du hay que multiplicar por 2; pero para que no se altere la integraloriginal también debe dividirse entre 2, de modo que:

( ) ( ) ( ) ( )2 213 2 3 4 11 3 4 11 2 3 22

x tan x x tan x x x dx− − + = − + −⎡ ⎤⎣ ⎦∫ ∫

( ) ( )21 3 4 11 6 42

tan x x x dx= − + −∫

tan u du

12

ln sec u c= +


75

( ) ( ) ( )2 213 2 3 4 11 3 4 112

x tan x x dx ln sec x x c− − + = − + +∫

COMPROBACIÓN:

Para efectos de abreviar símbolos al momento de referirse a la derivada del resultado de la

integral, hágase .( )21 3 4 112

I ln sec x x c= − + +

Entonces

( )

( )

2

2

3 4 111 02 3 4 11

d sec x xdI dxdx sec x x

⎡ ⎤− +⎢ ⎥= +⎢ ⎥

− +⎢ ⎥⎣ ⎦

( ) ( ) ( )( )

2 2 2

2

3 4 11 3 4 11 3 4 1112 3 4 11

dtan x x sec x x x xdx

sec x x

⎡ ⎤− + − + − +⎢ ⎥= ⎢ ⎥

− +⎢ ⎥⎣ ⎦

( ) ( ) ( )( )

2 2

2

3 4 11 3 4 11 6 412 3 4 11

tan x x sec x x x

sec x x

⎡ ⎤− + − + −⎡ ⎤⎣ ⎦⎢ ⎥=− +⎢ ⎥⎣ ⎦

( ) ( ) ( )( )

2 2

2

2 3 2 3 4 11 3 4 1112 3 4 11

x tan x x sec x x

sec x x

⎡ ⎤− − + − +⎢ ⎥=

− +⎢ ⎥⎣ ⎦


76

( ) ( )23 2 3 4 11dI x tan x xdx

= − − +

EJERCICIO 25 (Áreas 1, 2 y 3)

Realizar las siguientes integrales:

1) 2)13sen x dx∫ 4cos x dx∫

3) 4)( )4 9tan x dx−∫ ( )17 6cot x dx+∫

5) 6)( )11 12sec x dx+∫ ( )1 5csc x dx−∫

7) 8)( ) ( )25 10 1x sen x x dx− − +∫ ( ) ( )23 3 5 10 10x cos x x dx+ + +∫

9) 10)( ) ( )22 3 7 21 9x tan x x dx− − +∫ ( ) ( )2 3 26 9 15x x cot x x dx+ + −∫

11) ( ) ( )2 3 26 6 3 8 12 12 13x x sec x x x dx− + − + −∫

12) 13)5 22

sen x dxx∫ 2

7 3cos dxxx

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠∫

14) 15)3 2

11 9tan dxx x

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠∫ 4 3

2 5csc dxx x

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠∫


77

TÉCNICAS Y RECURSOS DE INTEGRACIÓN (Área 2)

Para integrar cualquier otra función trigonométrica que no pueda resolverse con un sim-ple cambio de variable, tales como las estudiadas en las páginas precedentes de este capítulo,deben emplearse diferentes técnicas y recursos algebraicos para reducir la función original a unaforma equivalente ya integrable.

Independientemente de la técnica o recurso que se emplee, es necesario tener a la manolas siguientes fórmulas o identidades trigonométricas:

(1) 2 2 1sen A cos A+ =

(2) 2 21tan A sec A+ =

(3) 2 21cot A csc A+ =

(4) 1sen Acsc A

=

(5) 1cos Asec A

=

(6) 1tan Acot A

=

(7) 1cot Atan A

=

(8) 1sec Acos A

=


78

(9) 1csc Asen A

=

(10) sen Atan Acos A

=

(11) cos Acot Asen A

=

(12) ( )2 1 1 22

sen A cos A= −

(13) ( )2 1 1 22

cos A cos A= +

(14) 2 2sen A sen A cos A=

(15) 2 2 2 22 1 2 1cos A cos A sen A sen A cos A= − = − = −

Igualmente, deben tenerse presentes algunas normas generales para evitar transformar laintegral original en otra función más complicada:

a) Si la función a integrar está compuesta por dos o más factores trigonométricos, éstosdeben tener el mismo argumento; de lo contrario, mientras no se igualen los argu-mentos no se podrá integrar.

Por ejemplo, la integral no se podrá integrar mientras no se igua-2 4sen x tan x dx∫len los argumentos del seno con el de la tangente.

b) Debe evitarse pasar de una integral del seno a otra del coseno de la misma forma,


79

porque se considera que una y otra son lo mismo en cuanto a su técnica de integra-ción.

Por ejemplo, si se tiene la integral y se emplea la fórmula trigonométrica (1)2sen x dx∫

para establecer que , como se( )2 2 21sen x dx cos x dx dx cos x dx= − = −∫ ∫ ∫ ∫pasó de la integral a la integral se considera que no se2sen x dx∫ 2cos x dx∫avanzó absolutamente nada porque son de la misma forma.

c) Cuando deba emplearse más de una vez la técnica de los cuadrados, debe seguirsesiempre el mismo criterio porque de lo contrario se regresa a la integral original.Emplear el mismo criterio significa utilizar siempre la misma función trigonométricaal cuadrado para sustituirla por su equivalente de dos términos, no una vez una y otravez otra.

d) Para integrar :m nsen v cos v dv∫

i) Si m = n , debe emplearse la fórmula trigonométrica (14) en la que, despe-jando, se llega a que

, 1 22

sen A cos A sen A=

por lo que2

2 2 1 22

sen A cos A sen A⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

, etc.3

3 3 1 22

sen A cos A sen A⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠


80

ii) Si m = 1 o bien n = 1 , con el cambio de variable u igual a la funcióntrigonométrica con exponente diferente de 1, se resuelve.

iii) En cualquier otro caso, utilizar la técnica de los cuadrados para partir endos la integral.

Las principales técnicas son:

a) Técnica de los cuadrados.b) Técnica de pasar a senos y/o cosenos.c) Técnica de los binomios conjugados.

a) Técnica de los cuadrados: Consiste en factorizar una potencia trigonométrica en unfactor al cuadrado multiplicado por lo que quede; ese factor al cuadrado se reemplaza por suequivalente de dos términos para partir en dos la integral original.

Como en casi todas las integrales de las diferentes potencias de las seis funciones trigo-nométricas se emplea la técnica de los cuadrados, en el siguiente bloque de ejemplos se mostrarála técnica para integrar el seno al cuadrado, el seno al cubo, el seno a la cuarta potencia, etc; lomismo con la tangente y con la secante.

Ejemplo 3: Integrar 2sen x dx∫Solución: Si se emplea la técnica de los cuadrados se tienen dos opciones: (des-2 21sen x cos x= −

pejando de la fórmula (1), página 77) o bien hacer , según la fór-( )2 1 1 22

sen x cos x= −

mula (12). Pero como ya se vio en el ejemplo del inciso (b) de la página 79, la primera rela-ción no debe emplearse porque se pasa de una forma a otra igual. Entonces

( )2 1 1 22

sen x dx cos x dx= −∫ ∫


81

1 1 22 2

dx cos x dx= −∫ ∫

1 1 22 2

dx cos x dx= −∫ ∫

La primera integral ya es de fórmula. Para la segunda integral, sea u = 2x, de donde. Así que multiplicando y dividiendo por 2 al mismo tiempo para que no se altere2du dx=

la integral original:

( )1 1 1 2 22 2 2

dx cos x dx⎡ ⎤= − ⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫

1 12 4

dx cos u du= −∫ ∫

1 12 4

x sen u c= − +

2 1 2

2 4xsen x dx sen x c= − +∫

Ejemplo 4: Integrar 3sen x dx∫Solución: Empleando la técnica de los cuadrados, se factoriza el seno cúbico en seno cuadrado por se-

no. El seno cuadrado se sustituye por su equivalente de dos términos (1 - cos 2 x), tomandoen cuenta la norma del inciso (a), página 78, se multiplica y luego se parte en dos integrales:

3 2sen x dx sen x sen x dx=∫ ∫


82

( )21 cos x sen x dx= −∫2sen x dx cos x sen x dx= −∫ ∫

u = cos xdu = - sen x dx

La primera integral ya es de fórmula. La segunda integral es de la forma señalada en el inci-so (d) de la página 79 y cumple con el requisito del subinciso (ii). De manera que se hace elcambio de variable indicado para obtener

2sen x dx u du= +∫ ∫3

3ucos x c= − + +

3 31

3sen x dx cos x cos x c= − + +∫

Ejemplo 5: Integrar 4sen x dx∫

Solución: Empleando la técnica de los cuadrados se factoriza el seno cuarto en seno cuadrado por seno

cuadrado, es decir . Debe tenerse cuidado en que esta técnica señala4 2 2sen x sen x sen x=

que un factor al cuadrado (y solamente uno) es el que debe sustituirse por su equivalente dedos términos, no los dos factores al cuadrado. De modo que


83

4 2 2sen x dx sen x sen x dx=∫ ∫

( )2 21 cos x sen x dx= −∫2 2 2sen x dx sen x cos x dx= −∫ ∫

La segunda integral es de la forma marcada en el inciso (d) de la página 79 y cumple con elrequisito del subinciso (i), por lo que debe emplearse la fórmula (14) de la página 78:

22 1 2

2sen x dx sen x dx⎛ ⎞= − ⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ ∫

2 21 24

sen x dx sen x dx= −∫ ∫

Ambas integrales son el seno al cuadrado, solamente que con diferente argumento. Se inte-gran como se mostró en el ejemplo 3 de la página 80:

( ) ( )1 1 11 2 1 42 4 2

cos x dx cos x dx= − − −∫ ∫

1 1 1 12 42 2 8 8

dx cos x dx dx cos x dx= − − +∫ ∫ ∫ ∫

1 12 42 4 8 32x xsen x sen x c= − − + +

4 3 1 12 48 4 32xsen x dx sen x sen x c= − + +∫


84

Ejemplo 6: Integrar 5sen x dx∫Solución: Empleando la técnica de los cuadrados se factoriza el seno quinto en seno cuadrado por seno

cúbico, es decir . De modo que5 2 3sen x sen x sen x=

5 2 3sen x dx sen x sen x dx=∫ ∫

( )2 31 cos x sen x dx= −∫3 2 3sen x dx cos x sen x dx= −∫ ∫

La primera integral se resolvió en el ejemplo 4 página 81, por lo que ya solamente se copiarásu resultado. La segunda integral pertenece a la condición del inciso (d), subinciso (iii), pá-gina 79/80, por lo que se debe volver a utilizar la técnica de los cuadrados con el mismo cri-terio, es decir que si anteriormente se factorizó para obtener un seno al cuadrado para susti-tuirlo por su equivalente de dos términos, ahora nuevamente debe factorizarse un seno alcuadrado y reemplazarlo por su equivalente de dos términos. Haciéndolo se obtiene:

3 2 2sen x dx cos x sen x sen x dx= −∫ ∫

( )3 2 21sen x dx cos x sen x cos x dx= − −∫ ∫3 2 4sen x dx cos x sen x dx cos x sen x dx= − +∫ ∫ ∫

La segunda y tercera integrales corresponden a la condición del inciso (d), subinciso (ii),página 79/80, por lo que con un cambio de variable se puede integrar. Haciendo

u = cos xdu = - sen x dx


85

3 2 4sen x dx u du u du= + −∫ ∫ ∫3 5

313 3 5

u ucos x cos x c= − + + − +

3 3 51 1 13 3 5

cos x cos x cos x cos x c= − + + − +

5 3 52 1

3 5sen x dx cos x cos x cos x c= − + − +∫

Ejemplo 7: Integrar 2tan x dx∫Solución: Por la técnica de los cuadrados, sabiendo que tan 2 x = sec 2 x - 1,

( )2 2 1tan x dx sec x dx= −∫ ∫2sec x dx dx= −∫ ∫

Estas dos integrales ya son directas de fórmula, así que

2tan x dx tan x x c= − +∫

Por las reglas de escritura matemática no debe escribirse así, sino

2tan x dx x tan x c= − + +∫


86

Ejemplo 8: Integrar 3tan x dx∫Solución: Por la técnica de los cuadrados, debe factorizarse en tangente cuadrada por lo demás, y susti-

tuir la tangente cuadrada por su equivalente de dos términos (sec 2 x -1):

2tan x tan x dx= ∫

( )2 1sec x tan x dx= −∫2sec x tan x dx tan x dx= −∫ ∫

La primera integral se resuelve con el cambio de variable u = tan x , ya que du = sec 2 x. Lasegunda integral ya es de fórmula. Así que

u du tan x dx= −∫ ∫2

2u ln sec x c= − +

3 21

2tan x dx tan x ln secx c= − +∫

Ejemplo 9: Integrar 4tan x dx∫Solución: Por la técnica de los cuadrados, debe factorizarse en tangente cuadrada por lo demás, y susti-

tuir la tangente cuadrada (y solamente una, no las dos) por su equivalente de dos términos:

4 2 2tan x dx tan x tan x dx=∫ ∫


87

( )2 21sec x tan x dx= −∫2 2 2sec x tan x dx tan x dx= −∫ ∫

Para la primera integral basta con hacer el cambio de variable , ya que derivandou tan x=

se obtiene que , y la segunda integral fue resuelta en el ejemplo 7:2du sec x dx=

2 2u du tan x dx= −∫ ∫

( )3

3u x tan x c= − − + +

313

tan x x tan x c= + − +

que debe escribirse, conforme a las reglas de escritura matemática como

4 313

tan x dx x tan x tan x c= + − +∫

Ejemplo 10: 5tan x dx∫Solución: Por la técnica de los cuadrados, debe factorizarse en tangente cuadrada por lo demás, y susti-

tuir la tangente cuadrada por su equivalente de dos términos (sec 2 x - 1):

5 2 3tan x dx tan x tan x dx=∫ ∫( )2 31sec x tan x dx= −∫


88

2 3 3sec x tan x dx tan x dx= −∫ ∫

Para la primera integral basta hacer el cambio de variable , de donde derivando seu tan x=

obtiene . La segunda integral fue resuelta en el ejemplo 8:2du sec x dx=

3 3u du tan x dx= −∫ ∫4

214 2

u tan x ln sec x c= − + +

5 4 21 1

4 2tan x dx tan x tan x ln sec x c= − + +∫

COMPROBACIÓN:

Para efectos de abreviar símbolos al momento de referirse a la derivada del resultado de la

integral, hágase .4 21 14 2

I tan x tan x ln sec x c= − + +

Entonces

( ) ( )4 1 2 11 14 2 04 2

dI d d tan x sec xtan x tan x tan x tan xdx dx dx sec x

− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

3 2 2d dtan x sec x x tan x sec x x tan xdx dx

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

3 2 2tan x sec x tan x sec x tan x= − +

3 2 21 1tan x tan x tan x tan x tan x⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + − + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦5 3 3tan x tan x tan x tan x tan x= + − − +


89

5dI tan xdx

=

Ejemplo 11: Integrar 2sec x dx∫Solución: Esta integral es directa de fórmula. Basta aplicar la fórmula (23) de la página 73.

2sec x dx tan x c= +∫

Ejemplo 12: Integrar 3sec x dx∫Solución: Todas las potencias nones de la secante y de la cosecante solamente se pueden integrar por

el método llamado integración por partes, que se verá en el próximo capítulo (ejemplo 4,página 108). De manera que queda pendiente de integrarse hasta que se aborde en el capítulosiguiente la integración por partes.

Ejemplo 13: Integrar 4sec x dx∫Solución: Por la técnica de los cuadrados, se factoriza en secante cuadrada por secante cuadrada. De la

misma forma en que se hizo con el seno a la cuarta y la tangente a la cuarta, solamente elprimer factor al cuadrado debe sustituirse por su equivalente de dos términos:

4 2 2sec x dx sec x sec x dx=∫ ∫

( )2 21tan x sec x dx= +∫2 2 2tan x sec x dx sec x dx= +∫ ∫


90

Para la primera integral basta hacer el cambio de variable u = tan x, de donde du = sec2x; lasegunda integral ya es directa de fórmula:

2 2u du sec x dx= +∫ ∫3

3u tan x c= + +

4 313

sec x dx tan x tan x c= + +∫

b) Técnica de pasar todo a senos y/o cosenos: Consiste en pasar o escribir todas lasfunciones trigonométricas en términos de senos y/o cosenos, a partir de que todas las funcionestrigonométricas tienen un equivalente en senos y/o cosenos, ya que

sen xtan xcos x

=

cos xcot xsen x

=

1sec xcos x

=

1csc xsen x

=

Después de escribir todo en términos del seno y/o coseno, se simplifica y se vuelve a aplicar la técnica de los cuadrados, si las integrales resultantes no están aún listas para ya integrarse.


91

Ejemplo 14:2sen x cot x dxsec x∫

Solución: Pasando todo a senos y/o cosenos:

22

1

cos xsen xsen x cot x senxdx dxsec x

cos x

=∫ ∫

2sen x cos x cos x dxsen x

= ∫

2sen x cos x dx= ∫

Esta integral es de la forma especificada en el inciso (d), subinciso (ii), páginas 79/80, por loque con un cambio de variable se puede integrar. En efecto, haciendo

u = cos x , de dondedu = - sen x dx

( ) ( )2cos x sen x dx= − −∫3

2

3uu du c= − = − +∫

231

3sen x cot x dx cos x c

sec x= − +∫


92

Ejemplo 15: Integrar dx2

2

tan x cos x cot x sen xsec x csc x∫

Solución: Pasando todo a senos y/o cosenos:

22

2

21 1

sen x cos xcos x sen xcos x sen xtan x cos x cot x sen x dx dx

sec x csc xsen xcos x

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠=⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠

∫ ∫

2 2sen x cos x cos x sen x cos x sen x dxcos x sen x

= ∫

3 3sen x cos x dx= ∫

Esta integral corresponde a lo señalado en el inciso (d), subinciso ( i ), página 79, debe em-plearse la fórmula trigonométrica (14) en la que, despejando, se llega a que

, 1 22

sen x cos x sen x=

por lo que

3

3 3 1 22

sen x cos x sen x⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

por lo tanto,

3

3 3 1 22

sen x cos x dx sen x dx⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫

31 28

sen x dx= ∫


93

Para ver los detalles de cómo se resuelve esta integral, ver el ejemplo 4 de la página 81:

21 2 28

sen x sen x dx= ∫

( )21 2 1 28

sen x cos x dx= −∫

21 12 2 28 8

sen x dx sen x cos x dx= −∫ ∫

Para la primera integral debe hacerse el cambio de variable u = 2x, de donde du = 2 dx. Pa-ra la segunda integral hacer v = cos 2x, de donde dv = - 2 sen 2x dx :

( ) ( )21 1 1 12 2 2 2 28 2 8 2

sen x dx cos x sen xdx⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ ∫

sen u du v 2 dv

21 116 16

sen u du v dv= +∫ ∫

31 1216 16 3

vcos x c⎛ ⎞

= − + +⎜ ⎟⎝ ⎠

23

2

1 12 216 48

tan x cox cot x sen x dx cos x cos x csec x csc x

= − + +∫


94

c) Técnica de los binomios conjugados: Cuando en el denominador aparece uno delos binomios conjugados que se mencionan en la siguiente tabla, se multiplica el numerador y eldenominador por su conjugado para obtener en el denominador su equivalente de un término alcuadrado.

Esta técnica se basa en el hecho de que de las tres fórmulas trigonométricas llamadasPitagóricas o de los cuadrados (ver fórmulas (1), (2) y (3) de la página 77), al despejar cualquierade los dos términos que aparecen en el lado izquierdo del signo igual (=), se obtiene una diferen-cia de cuadrados, la cual se puede factorizar en dos binomios conjugados.

La siguiente tabla muestra lo afirmado en el párrafo anterior:

Fórmula Pitagórica: 2 despejes posibles:(diferencia de cuadrados)

Binomios conjugados

sen 2A + cos 2A = 1sen 2A = 1 - cos 2A = (1 - cos A)(1 + cos A) (b1)

cos 2A = 1 - sen 2A = (1 - sen A)(1 + sen A) (b2)

tan 2A + 1 = sec 2Atan 2A = sec 2A - 1 = (sec A - 1)(sec A + 1) (b3)

1 = sec 2A - tan 2A = (sec A - tan A)(sec A + tan A) (b4)

cot 2A + 1 = csc 2Acot 2A = csc 2A - 1 = (csc A - 1)(csc A + 1) (b5)

1 = csc 2A - cot 2A = (csc A - cot A)(csc A + cot A) (b6)

La idea de esta técnica radica en que los numeradores sí se “pueden partir” en cada unode sus términos entre todo el denominador; sin embargo, los denominadores no se “pueden par-tir”. Entonces se trata de hacer que en el denominador aparezca un solo término y en el numera-dor dos o más para partir la fracción en su suma correspondiente.


95

Una vez multiplicado el numerador y el denominador por el conjugado del binomio deldenominador, el producto del denominador dará la diferencia de cuadrados correspondiente a latabla anterior, leída de derecha a izquierda, la cual equivale a una función trigonométrica al cua-drado. Se vuelve a aplicar la técnica (1) de los cuadrados o la técnica (2) de convertir todo a se-nos y/o cosenos.

Ejemplo 16: Integrar 2

1 2tan x dx

cos x−∫Solución: El denominador tiene dos términos, pero así no se puede partir en la suma de dos la fraccio-

nes. Sin embargo, este denominador es uno de los binomios conjugados (b1) de la tabla an-terior. Esto sugiere que debe multiplicarse numerador y denominador por su binomio conju-gado, es decir, por (1 + cos 2x). Haciéndolo resulta:

( )

( )( )2 1 22

1 2 1 2 1 2tan x cos x dxtan x dx

cos x cos x cos x+

=− − +∫ ∫

( )2

2 2 21 2

tan x tan x cos x dxcos x

+=

−∫

( )2

2 2 22

tan x tan x cos x dxsen x

+= ∫

En este momento el numerador ya tiene dos términos, por lo que ya se puede partir en la su-ma de dos fracciones:

2 2

2 2 22 2

tan x dx tan x cos x dxsen x sen x

= +∫ ∫

Una vez partida la integral en la suma de dos, se aplica el criterio de pasar todo a senos y/ocosenos vista en la página 90:


96

2 2

2 2 22 2 2 2

sen x dx sen x cos x dxcos x sen x cos x sen x

= +∫ ∫

2 2 2dx dx

sen x cos x sen x= +∫ ∫

Para la primera integral se cumple la condición del inciso (d), subinciso (i), de la página 79.

La segunda integral es igual a la cosecante, ya que , de manera que1 csc A

sen A=

21 42

dx csc x dxsen x

= +∫ ∫

2 4 2csc x dx csc x dx= +∫ ∫

( ) ( )1 12 4 4 2 24 2

csc x dx csc x dx⎡ ⎤= +⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫

1 12 2

cscu du csc v dv= +∫ ∫

( ) ( )1 12 2

ln cscu cot u ln csc v cot v c= − + − +

( ) ( )2 1 14 4 2 21 2 2 2tan x dx ln csc x cot x ln csc x cot x c

cos x= − + − +

−∫


97

EJERCICIO 26 (Área 2)

Realizar las siguientes integrales:

1) 2)( )4 7 2sen x dx−∫ 3 9cos x dx∫

3) 4)( )5 9 11cos x dx−∫ ( )3 7 8tan x dx+∫

5) 6)5 12cot x dx∫ 4 13sec x dx∫

7) 8)( )2 6 17sec x dx+∫ 4 9csc x dx∫

9) 10)3 5 5sen x cot x dx∫ 3 29 9tan x csc x dx∫

11) 12)8 8 8tan x sen x cot x dx∫ 3 3 3 3tan x cot x sec x csc x dx∫

13) 14)1 5

dxsen x−∫

99 9

cos x dxsec x tan x−∫

15) 16)4

4 4tan x dx

csc x cot x+∫10

10 10cos x dx

sec x tan x+∫

17) 18)8

1 8cos x dx

cos x−∫ 2 6 6dx

csc x csc x−∫

Integrales trigonométricas 72 VII INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS

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