Integrales Impropias

Objetivo de aprendizaje:

Calcular integrales cuyos límites de integración o son infinito o bien, en ese valor lafunción en cuestión no es continua. Por consiguiente, la idea fundamental es tratar deestablecer las condiciones bajo las cuales el Teorema Fundamental del Cálculo (TFC),sigue funcionando.

Debo saber:

Teoría de Integración.Integrales Definidas.Teorema Fundamental del Cálculo (TFC).Límites al Infinito.

El proceso de calcular integrales definidas, corresponde con una visión meramentefinita, donde casi todos los recursos en términos de cálculos, refieren al uso del TeoremaFundamental del Cálculo y en éste, se pide que la función en cuestión sea continua enun cerrado de la forma: [a, b] ⊂ R. Ahora bien, cuando se quebranta esta continuidadpodemos tener distintas posibilidades de acción, y en esta dirección, va dirigido estematerial. A saber, ¿cómo hacer que el TFC siga funcionando, quebrantando la hipótesis decontinuidad? o más aún, ¿existe la posibilidad de tener un límite de integración infinito?,entendiendo que éste no es un número real.

Sabemos que f ∈ C [a, b] (f es continua en [a, b]), si ysólo si, se satisfacen las siguientes condiciones:(1) f(c) existe para todo c ∈ [a, b]

(2) lımx→c f(x) existe, para todo c ∈ [a, b]

En el caso de x = a y x = b, basta con los laterales.

(3) lımx→c f(x) = f(c), para todo c ∈ [a, b].

La teoría de Riemann para construir la integral definida se fundamenta en la conti-nuidad de las funciones, aunque contempla el caso en que la función f ∈ C [a, b] exceptoposiblemente en un punto x = c interior al intervalo.

Todo esto es posible, en virtud de que se está extrayendo del cálculo del área a unconjunto de medida cero. Por ello, si en x = c la función f tiene una ruptura evitable o unadiscontinuidad evitable o una discontinuidad o una ruptura esencial finita, podemos usarel Teorema Fundamental del Cálculo en cada trozo, considerando que F (la antiderivada)es continua en el valor que corresponda.

2

TeoremaSea f una función continua en [a, b], salvo posiblemente en un punto c ∈]a, b[. Si f noposee una ruptura o discontinuidad infinita en x = c, entonces

∫ba

f(x)dx =

∫ ca

f(x)dx+

∫bc

f(x)dx (1)

Z OBSERVACIÓN bSi F : [a, b] −→ R es una antiderivada de f en [a, b], entonces como la rupturao discontinuidad en x = c, es esencialmente finita, tenemos que cada unade las integrales dadas en (1), se calcula de la forma:∫ c

a

f(x)dx = F(c) − F(a) , donde lımx→c+ F ′(x) = L <∞

O bien, ∫bc

f(x)dx = F(b) − F(c) , donde lımx→c− F ′(x) =M <∞

en virtud de que cada uno de estos límites laterales existe.

Ejemplo

Determine el valor de:∫ 30

f(x)dx, donde f se describe como:

f(x) =

{x2 + 1 , si 0 ≤ x ≤ 22x+ 5 , si 2 < x ≤ 3

Esta función en x = 2, presenta una discontinuidad esencial de salto finito. En conse-cuencia, tenemos que como cada una de las funciones trozo es continua en R, debido aque son polinomios, nos queda estudiar el comportamiento en x = 2. Por tanto,∫ 3

0

f(x)dx =

∫ 20

f(x)dx+

∫ 32

f(x)dx =

∫ 20

(x2 + 1)dx+

∫ 32

(2x+ 5)dx

=

[x3

2+ x

∣∣∣∣x=2x=0

+[x2 + 5x

∣∣∣x=3x=2

[lımx→2+(2x+ 5) = 9 = L

]=

[23

2+ 2

]+[32 + 5(3)

]− [22 + 5(2)] = 6+ 9+ 15− 4− 10 = 16

�Ahora bien, si la ruptura o discontinuidad de la función es esencialmente infinita,

tenemos que al menos alguno de los dos límites laterales anteriores es infinito y en estecaso, debemos definir el comportamiento.

3

Definición (Integral Impropia).

Un integral definida∫ba

f(x)dx, se denomina Integral Impropia, si:

(a) Si el integrando tiene un número finito de discontinuidades y/o rupturas esen-cialmente infinitas en el intervalo [a, b].

(b) Si al menos uno de los límites de integración es infinito.

Cada uno de estos casos los trataremos por separado, esto en virtud de que representansituaciones de estudio muy distintas. Además, de que se pueden generalizar algunosresultados en cada caso. Veamos:

Definición (Integrando Discontinuo).

• Sea f una función continua en [a, b[ y tal que tiene unadiscontinuidad esencial infinita en x = b, entonces:∫b

a

f(x)dx = lımp→b-∫pa

f(x)dx (2)

siempre que el límite exista.

• Sea f una función continua en ]a, b] y tal que tiene unadiscontinuidad esencial infinita en x = b, entonces:∫b

a

f(x)dx = lımp→a+

∫bp

f(x)dx (3)

siempre que el límite exista.

Cuando las integrales dadas en (2) y (3) existen, entonces decimos que convergen.En caso contrario divergen.

Problema Resuelto 1.

Calcule en caso de que exista la integral:∫ 30

dx√9− x2

.

Solución.Consideremos f(x) =

1√9− x2

. Resulta sencillo observar, que esta función presenta una

ruptura esencial infinita en x = 3, ya que, x = 3 /∈ Domf y además:

lımx→3− f(x) = lım

x→3−1√9− x2

=1√9− 9−

=1

0+=∞

Entonces,∫ 30

dx√9− x2

= lımp→3−

∫p0

dx√9− x2

[Definición de Integral Impropia]

= lımp→3−

∫p0

dx√9− x2

x = 3 sen t

√9− x2 = 3 cos t

=⇒du = 3 cos tdt

{x = 0⇒ t = 0x = p⇒ t = arc sen

(p3

)

4

de donde,∫ 30

dx√9− x2

= lımp→3−

∫ arc sen(p3 )0

����3 cos t

����3 cos tdt = lım

p→3−∫ arc sen(p3 )0

dt

[Sustitución

Trigonométrica

]= lım

p→3−[t∣∣∣t=arc sen(p3 )

t=0= lım

p→3− arc sen(p3

)= arc sen(1) =

π

2

�

Problema Resuelto 2.

Calcule si existe la integral:∫ 10

dx

x.

Solución.Es claro que la función f(x) =

1

x, tiene una ruptura esencial infinita en x = 0 y por tanto,

∫ 10

dx

x= lım

p→0+∫ 1p

dx

x[Definición de Integral Impropia]

= lımp→0+ ln x

∣∣∣x=1x=p

= lımp→0+[���*

1ln 1− lnp] =∞

Luego, la integral diverge. �

Z OBSERVACIÓN bSi f(x) es una función continua en [a, b], sal-vo en x = c ∈]a, b[ y en x = c presenta unadiscontinuidad esencial infinita, entonces:∫b

a

f(x)dx = lımp→c-

∫pa

f(x)dx+ lımm→c+

∫bm

f(x)dx (4)

Esta integral converge, si ambas convergen ydiverge si al menos una de ellas diverge..

Problema Resuelto 3.

Determine si la integral:∫ 40

dx

(x− 1)2, converge o diverge.

Solución.La función en el integrando, tiene una ruptura esencial infinita en x = 1, que es un puntointerior del intervalo [0, 4]. En consecuencia, esta integral se puede escribir de la forma:∫ 4

0

dx

(x− 1)2=

∫ 10

dx

(x− 1)2+

∫ 41

dx

(x− 1)2

5

Ahora bien, si alguna de ellas diverge, entonces tendremos que la integral diverge o si porel contrario, ambas convergen se concluye que la integral completa converge al valor sumade ambas integrales. Veamos entonces, si la primera integral converge o diverge:∫ 10

dx

(x− 1)2= lım

p→1-∫p0

dx

(x− 1)2[Definición de Integral Impropia]

= − lımp→1-

[1

x− 1

∣∣∣∣px=0

= − lımp→1-

[1

p− 1+ 1

]= −

[1

1- − 1+ 1

]=∞

De donde esta integral diverge y en consecuencia, tenemos que la integral original tambiéndiverge. No es necesario resolver la segunda integral. �

Problema Resuelto 4.

Calcule la integral:∫ 31

dx3√x− 1

en caso de que exista.

Solución.Nuevamente, se puede observar que en x = 1, esta función tiene un comportamientoasintótico y por tanto, usando la definición de integral impropia, obtenemos:∫ 3

1

dx3√x− 1

= lımm→1+

∫ 3m

dx3√x− 1

= lımm→1+

[3

2· 3√

(x− 1)2∣∣∣∣3m

=3

2lımm→1+

[3√4−���

����:0

3√

(m− 1)2

]=3

2· 3√4 <∞

En consecuencia, esta integral converge justamente a:3

2· 3√4. �

Problema Resuelto 5.

Determine los valores de α ∈ R, para los cuales:∫ 10

dx

xαconverge.

Solución.Para cualquier valor negativo de α, tenemos que x = 0 representa un punto singular de lafunción. Entonces, tenemos que:∫ 10

dx

xα= lım

m→0+∫ 1m

dx

xα[Definición de Integral Impropia]

= lımm→0+

∫ 1m

x−αdx = lımm→0+

[x−α+1

−α+ 1

∣∣∣∣1m

[Regla de la Potencia]

Luego, tenemos que si α > 1 =⇒ −α+ 1 < 0, de donde:∫ 10

dx

xα= lım

m→0+[

1

xα−1(−α+ 1)

∣∣∣∣1m

= lımm→0+

[1

1− α+

1

(α− 1)mα−1

]=∞

Por otra parte, si α < 1 =⇒ −α+ 1 > 0, de donde:∫ 10

dx

xα= lım

m→0+[x−α+1

−α+ 1

∣∣∣∣1m

= lımm→0+

[1

1− α−m1−α

1− α

]=

1

1− α

6

Ahora , el caso α = 1 se calculo en el Problema 1 y se demostró que esta integral diverge.En consecuencia, podemos concluir que:

∫ 10

dx

xα=

1

1− α, si α < 1

Diverge , si α ≥ 1

�

Problema Propuesto. Use la fórmula anterior, para determinar si la integral:∫ 42

dx5√x− 2

converge o diverge.

Problema Resuelto 6.

Determine si:∫ π2

0

sec xdx, converge o no.

Solución.Sabemos que: sec x =

1

cos x, entonces en x =

π

2la función secante tiene una singularidad.

En consecuencia,∫ π2

0

sec xdx = lımp→π

2-

∫p0

sec xdx [Definición de Integral Impropia]

= lımp→π

2-

[ln | sec x+ tan x|

∣∣∣x=px=0

= lımp→π

2-

[ln | secp+ tanp|− ln(1)

]= lım

p→π2-ln(secp[1+ senp]) =∞

Luego, esta integral diverge. �

! ALERTA !Es necesario recordar, toda la galería de integrales realizada. En efecto,∫

sec x =

∫sec x · (sec x+ tan x)

(sec x+ tan x)dx =

∫sec2 x+ sec x tan x

sec x+ tan xdx

=

∫du

u= lnu+ C = ln | sec x+ tan x|+ C , C ∈ R

donde: u = sec x+ tan x y du = (sec x · tan x+ sec2 x)dx .

Trataremos ahora de extender la definición de integral definida a intervalos no acotados.Para ello, es necesario nuevamente utilizar el recurso del límite, esto en virtud de que nopodemos aplicar directamente el Teorema Fundamental del Cálculo cuando al menos unode los límites de integración es infinito. En este contexto, no podemos evaluar directamentea una función en el infinito, en virtud de que no es un número real.

7

Definición (Límites infinitos).Sea f : [a,∞[−→ R una función continua. Entonces, laintegral de f en el intervalo [a,∞[ se define por:∫∞

a

f(x)dx = lımp→∞∫pa

f(x)dx (5)

siempre que el límite exista, diremos que esta integralconverge. En caso contrario, diremos que diverge.

Nota: La definición para f ∈ C ] −∞, a], es totalmente análoga.

Problema Resuelto 7.

Determine si la integral:∫∞0

dx

x2 + 4, converge o diverge.

Solución.En este caso, usaremos la definición dada en (5), en virtud de que f(x) =

1

x2 + 4es

totalmente continua en [0,∞[. En consecuencia,∫∞0

dx

x2 + 4= lım

p→∞∫p0

dx

x2 + 4[Definición de Integral Impropia]

=1

4lımp→∞∫p0

dxx2

4+ 1

=1

2lımp→∞∫p0

d(x2

)(x2

)2+ 1

[Escritura adecuada]

=1

2lımp→∞

[arctan

(x2

)∣∣∣x=px=0

[Integración Inmediata]

=1

2lımp→∞

[arctan

(p2

)− arctan(0)

]=1

2

[π2− 0]=π

4

Nota: Otra vía para resolver esta integral, es usar la sustitución trigonométrica. �

Problema Resuelto 8.

Calcule la integral:∫ 0−∞ e

2xdx.

Solución.La función f(x) = e2x es una función continua en todo R, en particular lo es en el intervalo] −∞, 0]. Por tanto,∫ 0

−∞ e2xdx = lım

p→−∞∫ 0p

e2xdx

[Definición de

Integral Impropia

]

= lımp→−∞

[e2x

2

∣∣∣∣0p

= lımp→−∞

12−����70

e2p

2

=1

2

TeoremaFundamentaldel Cálculo

�

8

Definición (Dobles límites infinitos).Sea f ∈ C (R), entonces:∫∞

−∞ f(x)dx =∫a−∞ f(x)dx+

∫∞a

f(x)dx (6)

donde a ∈ R, es un número cualquiera.La integral sobre toda la recta, será convergentesiempre que las integrales del lado derecho converjan y esto debe ser independiente dela escogencia del valor de a.

Problema Resuelto 9.

Determine si la integral:∫∞−∞

dx

ex + e−xconverge o diverge.

Solución.Como una función exponencial no toma valores negativos, tenemos que el denominador deesta función nunca se anula y por tanto, es continua en todo R. De donde,∫∞

−∞dx

ex + e−x=

∫ 0−∞

dx

ex + e−x+

∫∞0

dx

ex + e−x

[Tomamos a = 0en la Definición

]= lım

p→−∞∫ 0p

dx

ex + e−x+ lımm→∞

∫m0

dx

ex + e−x

[Definición de

Integral Impropia

]= lım

p→−∞∫ 0p

ex

(ex)2 + 1dx+ lım

m→∞∫m0

ex

(ex)2 + 1dx

[Escrituraadecuada

]

u = ex{x = p⇒ u = ep

x = 0⇒ u = 1Para Primera Integral

=⇒du = ex dx

{x = 0⇒ u = 1x = p⇒ u = em

Para Segunda Integral

= lımp→−∞

∫ 1ep

du

u2 + 1+ lımm→∞

∫ em1

du

u2 + 1

= lımp→−∞

[arctanu

∣∣∣1ep

+ lımm→∞

[arctanu

∣∣∣em1

= lımp→−∞

[π

4−���

���:0

arctan(ep)

]+ lımm→∞

[���

����:

π2

arctan(em) −π

4

]=π

2

�

Problema Resuelto 10.

Determine si la integral:∫∞1

dx√x, converge.

Solución.El punto singular para esta función es justamente, x = 0 y 0 /∈ [1,∞[. En consecuencia, lafunción es continua en el intervalo indicado y por tanto

9

∫∞1

dx√x= 2 lım

p→∞∫p1

dx

2√x= 2 lım

p→∞[√x∣∣∣x=px=1

= 2 lımp→∞ [

√p− 1] =∞

Por consiguiente, la integral diverge. �

Resultaría sencillo demostrar basándonos en la definición, que la integral:∫∞1

dx

x2= 1.

Entonces, surge una pregunta natural: ¿Será que podemos generalizar este proceso? Larespuesta es afirmativa y lo podemos mostrar con el siguiente problema.

Problema Resuelto 11.

Determine los valores de α ∈ R, para los que la integral:∫∞1

dx

xαconverge.

Solución.Como x ≥ 1, tenemos que x 6= 0 y por tanto, la función dada es continua en [1,∞[. Ahorabien,∫∞1

dx

xα= lım

p→∞∫p1

dx

xα[α 6= 1]

[Definición de

Integral Impropia

]= lım

p→∞∫p1

x−α dx = lımp→∞

[x−α+1

−α+ 1

∣∣∣∣x=px=1

= lımp→∞

[p−α+1

1− α+

1

α− 1

] [Regla de laPotencia

]Si α > 1 =⇒ −α < −1 =⇒ −α+ 1 < 0, de donde obtenemos:

= lımp→∞

���

����*0

1

pα−1(1− α)+

1

α− 1

=1

α− 1

Si α < 1 =⇒ −α > −1 =⇒ −α+ 1 > 0, de donde obtenemos:

= lımp→∞

�����∞

p−α+1

1− α+

1

α− 1

=∞Para el caso α = 1, tenemos que:∫∞

1

dx

x= lım

p→∞∫p1

dx

x= lım

p→∞[

ln x∣∣∣x=px=1

= lımp→∞ lnp =∞

En consecuencia, podemos establecer que:

∫∞1

dx

xα=

1

α− 1, si α > 1

Diverge , si α ≤ 1

�

La fórmula anterior, así como la versión en el intervalo [0, 1], son muy útiles al momentode comparar integrales y determinar convergencia o divergencia.

10

Teorema (Teorema de Comparación y Acotamiento).Sean f, g ∈ C [a,∞], tales que: f(x) ≥ g(x), para todo x ≥ a, entonces:

(i) Si∫∞a

f(x)dx converge =⇒ ∫∞a

g(x)dx converge

(ii) Si∫∞a

g(x)dx diverge =⇒ ∫∞a

f(x)dx diverge

Problema Resuelto 12.

Determine si la integral:∫∞2

dx

5x5 + 2x2 + 1converge o diverge.

Solución.Como x ∈ [2,∞[, en particular es positivo y en consecuencia, tenemos que:

1

5x5 + 2x2 + 1≤ 1

5x5, para todo x ≥ 2

Por tanto,∫∞2

dx

5x5 + 2x2 + 1≤∫∞2

dx

5x5=1

5

∫∞2

dx

x5

Teorema deComparacióny Acotamiento

=

1

5lımp→∞∫p2

dx

x5= −

1

20lımp→∞

[1

x4

∣∣∣∣x=px=2

[Definición de

Integral Impropia

]= −

1

20lımp→∞

[1

p4−1

16

]=

1

320<∞

Luego, la integral dada converge.

Nota: Pudimos volver a usar el Teorema de Comparación y Acotamiento para no calcularexplícitamente la última integral. Para ello, observamos que:∫∞

2

dx

x5≤∫∞1

dx

x5=

1

5− 1=1

4�

Problema Resuelto 13.

Determine si la integral:∫∞1

dx

x2 + x− 12converge y en caso de que converja halle su

valor.

Solución.Es claro que: x2 + x− 12 = (x+ 4)(x− 3), de donde la función en el integrando presentauna ruptura esencial infinita en x = 3 ∈ [1,∞[. En consecuencia,∫∞

1

dx

x2 + x− 12=

∫ 31

dx

x2 + x− 12+

∫ 43

dx

x2 + x− 12+

∫∞4

dx

x2 + x− 12

Por otra parte,1

x2 + x− 12=1

7

[1

x− 3−

1

x+ 4

]

11

En consecuencia,∫ 31

dx

x2 + x− 12= lım

p→3-∫p1

dx

x2 + x− 12=1

7lımp→3-∫p1

[1

x− 3−

1

x+ 4

]dx = −∞

Como esta integral diverge, podemos afirmar que la integral original diverge. �

Z OBSERVACIÓN bRecordemos el Método de Integración por Partes para integrales definidas:Sean f y g son funciones continuas y derivables en [a, b]. Entonces,∫b

a

f(x) · g ′(x)dx = f(x) · g(x)∣∣∣x=bx=a

−

∫ba

g(x) · f ′(x)dx

Problema Resuelto 14.

Calcule:∫∞1

(1− x)e−2xdx.

Solución.En este caso, ameritamos el uso de Integración por Partes y usaremos el Teorema en suversión definida, todo esto en virtud de que la función en el integrando es continua en[1,∞[. Veamos a que hacemos referencia:∫∞

1

(1− x)e−2xdx = lımp→∞∫p1

(1− x)e−2xdx

[Definición de

Integral Impropia

]u = 1− x du = −dx↑ ↘ ↑dv = e−2xdx v = −

e−2x

2

= lımp→∞

[−(1− x)e−2x

2

∣∣∣∣x=px=1

−1

2

∫p1

e−2xdx

] [Integraciónpor Partes

]

= lımp→∞

[−(1− x)e−2x

2

∣∣∣∣x=px=1

+e−2x

4

∣∣∣∣x=px=1

]

=1

2lımp→∞

x− 1

e2x+1

4�����>0

lımp→∞

1

e2x

=1

2lımp→∞

1

2e2x= 0

[Regla deL’Hopital

]�

12

Problema Resuelto 15.

Calcule:∫∞0

e−x sen xdx.

Solución.Usando el Método de Integración por Partes, obtenemos que:∫

e−x sen xdx = −e−x sen x+

∫e−x cos xdx

= −e−x sen x− e−x cos x−

∫e−x sen xdx

de donde se obtiene que:∫e−x sen xdx = −

e−x[sen x+ cos x]

2+ C , C ∈ R

Finalmente,∫∞0

e−x sen xdx = lımp→∞∫p0

e−x sen xdx = − lımp→∞

e−x[sen x+ cos x]

2

∣∣∣∣x=px=0

=1

2

�

Z OBSERVACIÓN bEn general, se puede usar el Método de Integración por Partes para demos-trar la fórmula:∫

emx sennxdx =emx[m sen(nx) − n cos(nx)]

m2 + n2+ C , C ∈ R

Problema Resuelto 16.Demuestre que la longitud de una circunferencia de radio 1, es justamente 2π.

Solución.Sabemos que la ecuación de una circunferencia de radio 1 y centrada en el origen, esjustamente x2 + y2 = 1. Luego si consideramos sólo la semicircunferencia en el semiplanosuperior, obtenemos como función a: f(x) =

√1− x2. Ahora bien, para simplificar los

cálculos, consideremos x ∈ [0, 1] y a esta longitud la multiplicamos por 4. Entonces, paracalcular la longitud de una curva debemos recordar que:

Lf =

∫ba

√1+ [f ′(x)]2dx

Por consiguiente,

f ′(x) = −x√1− x2

=⇒ [f ′(x)]2 =x2

1− x2=⇒ 1+ [f ′(x)]2 =

1

1− x2

13

Luego,√1+ [f ′(x)]2 =

1√1− x2

, tiene una singularidad en x = 0. Por tanto,

L = 4

∫ 10

dx√1− x2

= 4 lımp→0+

∫ 1p

dx√1− x2

[Definición de

Integral Impropia

]= 4 lım

p→0+[

arc sen x∣∣∣x=1x=p

= 4 lımp→0+

[arc sen 1−���

��:0arc senp

]= 4 arc sen 1 = 4

π

2= 2π

�

Problema Resuelto 17.

Considere a la función f(x) =1

x, para x ≥ 1. Demuestre que el volumen del sólido de

revolución que se genera al hacer girar la región R comprendida entre el eje x, la gráficade la función f y la recta x = 1 es finito, pero su área de superficie es infinita.

Solución.Para calcular el sólido de revolución y el área de superficie, debemos considerar lasintegrales:

V = π

∫∞1

[f(x)]2dx

y

S = 2π

∫∞1

f(x)√1+ [f ′(x)]2dx

Entonces, para el caso del volumen tenemos:

V = π

∫∞1

[1

x

]2dx = π lım

p→∞∫p1

1

x2dx = −π lım

p→∞[1

x

∣∣∣∣x=px=1

= −π lımp→∞

[1

p− 1

]= π

El cual es claramente finito, pero para la superficie tenemos:

S = 2π

∫∞1

1

x

√1+

[−1

x2

]2dx = 2π lım

p→∞∫p1

1

x

√1+

1

x4dx = 2π lım

p→∞∫p1

√x4 + 1

x3dx

≥ 2π lımp→∞∫p1

√x4

x3dx = 2π lım

p→∞∫p1

x2

x3dx = 2π lım

p→∞∫p1

1

xdx =∞

Y esto evidentemente establece que la integral diverge. En consecuencia, este sólido tienesuperficie infinita. �

ING-CALC-II/Integrales Impropias/APT/2019/LATEX