Flujo Turbulento Cargado con Partículas Sólidas en una Tubería Circular

UNIVERSIDAD SIMON BOLIVARDIVISION DE FISICA Y MATEMATICAS

Departamento de Mecanica

Valle de Sartenejas. Caracas, Venezuela.

Trabajo de Ascenso en el Escalafon, Presentado como Requisito Parcialpara Optar a la Categorıa de “Profesor Titular”, Respetando

la Antiguedad Exigida en el Artıculo No. 18o, Literal “a”,el Plazo de Realizacion Establecido en el Artıculo No. 30o y

las Condiciones del Artıculo No. 31o, Todos del Reglamento de“Ingreso, Ubicacion y Ascenso del Personal Academico” de la USB,

Vigente desde el 1o de Enero de 2001.

FLUJO TURBULENTO

CARGADO CON PARTICULAS SOLIDAS

EN UNA TUBERIA CIRCULAR

ANDRES L. GRANADOS M.

Marzo, 2004.

♣

UNIVERSIDAD POLITECNICA DE MADRID

ESCUELA TECNICA SUPERIOR DE INGENIEROS INDUSTRIALES

DEPARTAMENTO DE INGENIERIA ENERGETICA Y FLUIDOMECANICA

FLUJO TURBULENTO

CARGADO CON PARTICULAS SOLIDAS

EN UNA TUBERIA CIRCULAR

Autor: ANDRES LEONELL GRANADOS MIRENA

Ingeniero Mecanico y Magister en Ing. Mecanica por laUniversidad Simon Bolıvar, Caracas, Venezuela

Director: ANTONIO CRESPO MARTINEZCatedratico de Mecanica de Fluidos de la E.T.S.I.I (U.P.M.)

Doctor Ingeniero Aeronautico por la E.T.S.I.A (U.P.M.)MSc. y PhD. por California Institute of Technology (CALTECH)

2003

TRIBUNAL

Tribunal nombrado por el Magfco. y Excmo. Sr. Rector de la Universidad Politecnicade Madrid, el dıa 20 de Junio de 2003.

Presidente: D. Jose Marıa Martınez-Val PenalosaVocal: D. Cesar Dopazo GarcıaVocal: D. Antonio Lecuona NeumannVocal: D. Julio Hernandez RodrıguezSecretario: D. Javier Garcıa Garcıa

Suplente: D. Francisco Castro RuızSuplente: D. Pablo Gomez del Pino

Realizado el acto de defensa y lectura de la Tesis el dıa Martes 16 de Septiembre de 2003,en la Escuela Tecnica Superior de Ingenieros Industriales.

CALIFICACION .................

EL PRESIDENTE LOS VOCALES

EL SECRETARIO

Para mi querida esposa Magalysy mis adoradas hijas Andreına y Andrea,

con todo el amor del mundo.

AGRADECIMIENTOS

En primer lugar, quiero agradecer la oportunidad que me ha brindado el Directorde esta tesis, Catedratico Antonio Crespo Martınez, de participar en su desarrollo. Dichatesis que es para mi de un gran interes, puesto que esta relacionada con dos areas quesiempre me han atraıdo, como lo son el Flujo Turbulento y el Flujo Multifasico, quese sintetizan en el contenido de la misma. Agradezco tambien su atencion y asesorıaoportuna que me ha ayudado a culminar mi trabajo con exito y a tiempo, esto en sulabor tanto como Director de tesis, como en su geston como Director del Departamento deIngenierıa Energetica y Fluidomecanica y Catedratico de la Unidad Docente de Mecanicade Fluidos.

En segundo lugar, y no por ello con menor valıa, quisiera agradecer de maneragenerosa a todo el equipo de profesionales y docentes integrantes del Laboratorio de laCatedra de Mecanica de Fluidos de la E.T.S.I.I. Todos ellos, en mayor o menor cuantıa,me han brindado su valiosa colaboracion y consejo, tanto en la logıstica de mis activi-dades, como en el suministro de recursos para la consecucion de mis objetivos.

De manera igualmente acuciosa, quiero agradecer a la Fundacion para el Fomentode la Innovacion en la Ingenierıa (F.F.I.I.) por su apoyo financiero en la obtencion dealgunos recursos informaticos, como en la ayuda para cubrir parte de los gastos de viajesen la asistencia a congresos para la divulgacion de los resultados parciales de esta tesisen su debido momento.

De forma particular, tambien me gustarıa mencionar el agradable ambiente detrabajo, colaboracion y companerismo que me han ofrecido mis colegas Fermın Moreno,Emilio Migoya, Javier Garcıa, Alexandre Da Costa, Fernando Martın, Javier Jimenez,Jose Carlos Grau, Jorge Servert, Tomas Martınez, etc., el personal tecnico de apoyo allaboratorio Salvador Manzanares y Agustın Garcıa, y la Secretaria del DepartamentoMarıa Jesus Durantez, todos igualmente amigos. De especial manera, quisiera agradecera Javier Garcıa por las contribuciones en los artıculos ya publicados y por publicarse,y por las discusiones construtivas en la lınea de investigacion que desarrollamos en elequipo que formamos junto con el profesor Crespo.

En ultimo lugar, pero con un protagonismo sin igual, quisiera resaltar el apoyosentimental, la paciencia, comprension y la compania de mi familia, integrada por miquerida esposa Magalys Palacios y mis adoradas hijas Andreına y Andrea, quienes du-rante esta estancia en el doctorado, incondicionalmente me han incitado a estudiar ytrabajar duro y me han premiado cari nosamente por ello.

Finalmente, quiero agradecer al cuerpo docente de la E.T.S.I.I de la U.P.M. dequienes he aprendido, me he informado y me he formado, en cuantıa y valıa, durante loscursos del doctorado y consultas personales. Para todos ellos, buenos profesionales de laensenanza universitaria, mis felicitaciones por su exitosa labor.

A todos, muchas gracias

iii

RESUMEN

Esta tesis contiene el compendio del trabajo realizado en el estudio del flujo tur-bulento cargado con partıculas solidas en una tuberıa circular. Este estudio se ha estruc-turado en tres aspectos a saber: Estudio del flujo turbulento ‘per se’ sin partıculas, elestudio de la influencia de este flujo sobre las partıculas de forma unilateral, y el estudiode la respuesta de las partıculas sobre el flujo de manera bilateral.

En el primer aspecto, se ha escogido un flujo turbulento dentro de una tuberıacircular, a un numero de Reynolds moderado de 5600 para que los requerimientos com-putacionales sean relativamente bajos. Este flujo, en particular bien estudiado y docu-mentado en las referencias, se ha simulado de nuevo, pero con otros metodos numericos,de forma de poder validar comparativamente los resultados. El metodo escogido porsu rapidez en la ejecucion ha sido el de diferencias finitas de paso fraccionado de tercerorden en el tiempo, semi-implıcito de segundo orden en los terminos viscosos y explıcitode cuarto orden en el termino convectivo de tipo ‘aguas arriba’. Las simulaciones se hanhecho tanto de forma directa (DNS), como con modelos de grandes escalas (LES), eneste ultimo caso con condicion de borde en la pared de la tuberıa del tipo deslizamientopara ajustar bien los resultados. Aunque algunos investigadores opinan que la simulacionnumerica directa (DNS) debe satisfacer requerimientos mas rigurosos, tanto en el metodo(e.g. metodos espectrales), como en el mallado (e.g. mallado de tamano varios ordenesmas pequeno que la escala de Kolmogorov), en este trabajo se han usado metodos ymallados mas modestos, basados en simulaciones de trabajos anteriores y cuyos autoreslas califican de simulaciones numericas directas tambien. Se ha incluido en los analisis losperfiles de la velocidad y vorticidad y las intensidades de sus fluctuaciones, la disipacionturbulenta, la asimetrıa y el aplastamiento de la velocidad, y los espectros de la velocidady la vorticidad.

En el segundo aspecto, se ha analizado la influencia del flujo sobre las partıculasde forma unilateral. Es decir, las partıculas no afectan el flujo turbulento. Para estudiareste aspecto, se ha supuesto que las concentraciones de partıculas son bajas, aunque lasimulacion numerica ha sido directa. Aunque el numero de partıculas es bajo, estas sehacen recircular un numero grande de veces en el trozo de tuberıa simulado, para obtenerel ‘ensemble’ deseado. El flujo turbulento recircula simultaneamente con la imposicionde condiciones periodicas en la direccion axial. En la direccion azimutal las condicionesde borde tambien son periodicas. Con estas simulaciones se ha podido crear un modelolineal, independiente de la concentracion de las partıculas, que predice la disminucionde la energıa cinetica turbulenta de las partıculas en funcion de la disipacion viscosaproducida por las mismas. Se ha comparado los resultados cualitativamente con datosexperimentales y numericos en conductos rectangulares o canales.

v

En el tercer aspecto, se ha simulado de forma numerica directa la totalidad delsistema fluido-partıculas y se ha considerado adicionalmente el efecto de las partıculassobre el fluido. Se han comparado estos resultados con resultados experimentales ynumericos para validar la solucion. Con estos datos, y mediante simulacion numericaa grandes escalas (LES), se ha desarrollado un modelo de viscosidad turbulenta queincluye el efecto de la concentracion de las partıculas. Las comparaciones del modelo conlas simulaciones numericas directas han sido satisfactorias.

vi

PREFACIO

Esta monografıa, titulada Flujo Turbulento Cargado con Partıculas Solidas enuna Tuberıa Circular, corresponde a la tesis del Programa de Doctorado en IngenierıaTermica y Fluidomecanica de la Escuela Tecnica Superior de Ingenieros Industrialesde la Universidad Politecnica de Madrid. Esta tesis, que es requisito parcial para laobtencion del tıtulo de Doctor en Ingenierıa Industrial, fue dirigida por el CatedraticoAntonio Crespo Martınez, quien es a su vez el Director del Departamento de IngenierıaEnergetica y Fluidomecanica.

La tesis se ha estructurado en seis (6) capıtulos:

• Introduccion.• Modelos Fısicos.

• Metodos Numericos.• Resultados sin Partıculas.

• Resultados con Partıculas.• Conclusiones.

Adicionalmente, se ha incluido al final, la recopilacion de toda la bibliografıa consultaday a la que se hace referencia en el texto de la tesis. Tambien se ha anexado al final unapendice sobre metodos matematicos, para el mejor entendimiento de los aspectos detransformadas de Fourier y probabilidades de sistemas continuos y discretos planteadosa lo largo de la tesis y a los eventualmente se hace referencia. No obstante este apendicees opcional para los entendidos en los mencionados temas y se ha colocado solo parahacer esta monografıa de forma autocontenida.

El capıtulo 1 contiene la introduccion a todo el trabajo realizado en la tesis. Laprimera parte contiene la motivacion y objetivos del mismo. Adicionalmente se incluyeel estado del arte en general, que luego en los capıtulos 2 y 3 se revisa detenida yespecıficamente en su aplicacion a la presente tesis en las area respectivas de modelosfısicos y metodos numericos. En la segunda parte se hace una descripcion del flujoturbulento utilizado y la discretizacion del dominio cilındrico. En la tercera parte sehace una descripcion de las partıculas utilizadas en las simulaciones.

El capıtulo 2 incluye los diferentes modelos utilizados para las simulaciones reali-zadas. Existe un modelo para el flujo turbulento, que es el modelos de grandes escalas(LES), un modelo para las partıculas y las interacciones entre ellas y de ellas con la paredde la tuberıa, y un modelo de la influencia de las partıculas sobre el flujo. Este ultimomodelo es lo que se ha llamado ‘modulacion de la turbulencia’.

El capıtulo 3 describe los distintos metodos numericos implementados para desa-rrollar el programa informatico que realiza las simulaciones numericas en el ordenador.

vii

Se hace una descripcion general de los metodos Runge-Kutta y luego se particularizapara la evolucion en el tiempo de las ecuaciones discretizadas para el fluido y el sistemade ecuaciones diferenciales ordinarias de las partıculas. Se ha usado un metodo Runge-Kutta semi-implıcito de tercer orden para el fluido, el cual en las referencias se designacomo el ‘metodo de paso fraccionado’, y un metodo Runge-Kutta implıcito de sexto ordenpara las partıculas. Finalmente se describen los metodos de interpolacion utilizados paraobtener el campo de velocidades y sus derivadas en todo el dominio, a partir de los valoresen puntos discretos.

Los capıtulos 4 y 5 contienen todos los resultados de las actividades realizadasdurante el desarrollo de la tesis. Esto incluye primeramente la validacion de los metodosaplicados exclusivamente sobre el fluido en el capıtulo 4. Luego, en el capıtulo 5, laspartıculas se incluyen en tres etapas. Inicialmente con muy baja concentracion para con-firmar los modelos lineales de la influencia del flujo turbulento sobre la partıcula. Estosmodelos ha sido introducidos algunos de ellos en trabajos anteriores y otros original-mente encontrados en el desarrollo de este trabajo. En la etapa intermedia se describenlos resultados con concentraciones reales de partıculas, utilizando simulaciones numericasdirectas (DNS). Hasta este nivel solo se estudia la influencia del flujo sobre las partıculas.En la etapa final, se describen los resultados de la modulacion del flujo turbulento por lapresencia de las partıculas. Esto ultimo se hace con simulacion numerica directa y luegocon simulacion de grandes escalas incluyendo un modelo de sub-malla para las partıculas.En estos dos capıtulos se hace un analisis de todos los resultados en sus diferentes etapas.Se comparan dichos resultados entre las distintas etapas y con trabajos reportados en laliteratura especializada. Las conclusiones de cada seccion de estos dos capıtulos luegose organizan en el mismo orden en el capıtulo 6, de manera que las correspondientessecciones de estas dos partes se puedan leer una detras de la otra.

Los capıtulos se han enumerado con dıgitos arabicos. Las secciones y sub-seccionesse han enumerado como X.Y y X.Y.Z, respectivamente, donde X, Y y Z son tambiendıgitos arabicos. El dıgito X corresponden al capıtulo al que pertenecen. Las sub-sub-secciones, que son muy pocas, no se han enumerado de ninguna manera para no recargarlos tıtulos de forma excesiva en casos esporadicos. Las ecuaciones se han enumerado deforma consecutivas de la forma X.W, siendo el dıgito X de nuevo el capıtulo y el dıgitoW numeros arabicos inicializados para cada capıtulo.

La referencias se han colocado de la forma [Autor, Ano]. No obstante, cuando elautor aparece en el texto, la referencia se coloca simplemente como [Ano] para no serredundante. Cuando existan dos o mas referencias similares, entonces estas se escribencomo [Autor, Ano a], [Autor, Ano b],..., etc.

Como productos de esta tesis, se han generado en el transcurso del desarrollo dela misma, varios artıculos presentados en congresos internacionales [Crespo, Granados &Garcıa,2001] [Granados,2002a] [Granados, Crespo & Garcıa,2002b] [Granados, Crespo &Garcıa, 2003]. Destacan tambien en esta tesis las aportaciones originales en: El modelolineal para flujos cargados con partıcula solidas, condicion de contorno en el modelode ‘LES’ para tuberıas lisa y rugosas, metodo Runge-Kutta de sexto orden implıcito

viii

con control de paso, analisis de estabilidad para los metodos de paso fraccionados einterpolacion polinomica eficiente de alto grado.

Esta tesis se realizo con la ayuda financiera de la Universidad Simon Bolıvar,en Caracas, Venezuela, mediante una beca de doctorado y un permiso de trabajo noremunerado durante un perıodo de cuatro anos (1999-2003). En dicha universidad elautor de la tesis esta adscrito como Profesor Asociado a dedicacion exclusiva, en elDepartamento de Mecanica.

Andres Leonell Granados MirenaMadrid, Julio de 2003

ix

INDICE

AGRADECIMIENTOS. iii

RESUMEN. vPREFACIO. viiINDICE. xi

1. INTRODUCCION. 1

1.1. MOTIVACION Y OBJETIVOS. 11.1.1. Motivacion. 11.1.2. Objetivos. 11.1.3. Estado del Arte. 2

1.2. DESCRIPCION DEL FLUJO. 4

1.2.1. Fenomeno. 41.2.2. Nivel de Turbulencia. 51.2.3. Discretizacion del Dominio. 51.2.4. Campo de Velocidades. 6

1.3. DESCRIPCION DE LAS PARTICULAS SOLIDAS. 71.3.1. Ecuacion del Movimiento. 71.3.2. Numero de Stokes. 81.3.3. Integracion de las Ecuaciones Diferenciales. 9

2. MODELOS FISICOS. 11

2.1. SIMULACION DE GRANDES ESCALAS (LES). 112.1.1. Filtrado de las Ecuaciones. 112.1.2. Viscosidad Turbulenta. 14

2.1.3. Modelo de Smagorinsky. 152.1.4. Modelo Dinamico. 162.1.5. Condicion de Contorno. 18

2.2. INTERACCIONES DE LAS PARTICULAS. 21

xi

A.GRANADOS FLUJO TURBULENTO CARGADO CON PARTICULAS SOLIDAS EN UNA TUBERIA CIRCULAR

2.2.1. Choque entre Partıculas. 212.2.2. Choque de las Partıculas con la Pared. 22

2.3. INTERACCIONES ENTRE LAS PARTICULAS Y EL FLUIDO. 222.3.1. Modelo Lineal para las Partıculas. 222.3.2. Termino de Disipacion Debido a las Partıculas. 282.3.3. Modelo ‘LES’ para Incluir las Partıculas. 32

3. METODOS NUMERICOS. 35

3.1. METODO RUNGE-KUTTA. 363.1.1. Ecuaciones Diferenciales. 363.1.2. Descripcion del Metodo. 37• Cuadratura de Kutta. 43• Cuadratura de Gauss. 443.1.3. Cuadratura de Lobatto. 453.1.4. Proceso Iterativo. 473.1.5. Control del Paso. 49• Analisis del Error. 49• Algoritmo de Control. 523.1.6. Analisis del Metodo. 53• Precision. 53• Convergencia. 54• Estabilidad. 553.1.7. Aplicacion de Newton-Raphson. 57• Acoplamiento Newton-Pahson con Runge-Kutta. 57• Proceso Iterativo. 59

3.2. METODO DE PASO FRACCIONADO. 603.2.1. Ecuaciones Fundamentales. 603.2.2. Aproximaciones Discretas Directas. 613.2.3. Adaptacion del Metodo Runge-Kutta. 623.2.4. Aproximaciones Discretas Proyectadas. 633.2.5. Metodos de Resolucion. 64

3.3. METODO DE INTERPOLACION. 673.3.1 Diferencias Divididas. 683.3.2 Polinomios de Newton. 693.3.3 Polinomios de Lagrange. 70

xii

INDICE

3.3.4 Residuo. 703.3.5 Interpolacion Espacial. 72• Dos Dimensiones. 72• Tres Dimensiones. 72

3.4. CODIGO, SOFTWARE Y HARDWARE. 733.4.1. Programas Informaticos. 733.4.2. Ordenador Personal. 743.4.3. Estacion de Trabajo. 743.4.4. Discretizacion de las Ecuaciones. 74

4. RESULTADOS SIN PARTICULAS. 79

4.1. SIMULACION NUMERICA DIRECTA. 804.1.1. Perfil de Velocidad. 804.1.2. Esfuerzos Turbulentos. 814.1.3. Energıa Cinetica Turbulenta. 814.1.4. Disipacion Turbulenta. 824.1.5. Velocidad de Friccion. 834.1.6. Simetrıa y Aplastamiento. 834.1.7. Espectros de la Velocidad. 854.1.8. Auto-Correlacion de la Velocidad. 864.1.9. Vorticidad y sus Productos. 884.1.10. Espectros de la Vorticidad. 89

4.2. SIMULACION ‘LES’ SIN DESLIZAMIENTO. 914.2.1. Perfil de Velocidad. 924.2.2. Esfuerzos Turbulentos. 924.2.3. Energıa Cinetica Turbulenta. 934.2.4. Disipacion Turbulenta. 944.2.5. Simetrıa y Aplastamiento. 94

4.3. SIMULACION ‘LES’ CON DESLIZAMIENTO. 954.3.1. Perfil de Velocidad. 954.3.2. Esfuerzos Turbulentos. 964.3.3. Energıa Cinetica Turbulenta. 974.3.4. Disipacion Turbulenta. 984.3.5. Simetrıa y Aplastamiento. 984.3.6. Espectros de la Velocidad. 100

xiii


4.4. SIMULACION ‘LES’ Y PARED RUGOSA. 1014.4.1. Diagrama de Moody. 1014.4.2. Perfiles de Velocidad. 1024.4.3. Energıa Cinetica Turbulenta. 1034.4.4. Disipacion Turbulenta. 1044.4.5. Comparacion con k - ε. 105

5. RESULTADOS CON PARTICULAS. 109

5.1. MODELO LINEAL PARA LAS PARTICULAS. 1095.1.1. Introduccion. 1105.1.2. Decaimiento de La Turbulencia Isotropa. 113• Comparacion con Simulaciones ‘DNS’. 115• Comparacion con un Experimento. 1205.1.3. Turbulencia Homogenea Forzada. 1205.1.4. Flujo en un Canal Rectangular. 1205.1.5. Flujo en una Tuberıa Circular. 122• Campo de Velocidades. 123• Trayectoria de las Partıculas. 123• Energıa Cinetica Turbulenta. 123• Disipacion Turbulenta. 123• Concentracion Preferencial. 124• Analisis de Resultados. 126

5.2. INFLUENCIA DEL FLUJO SOBRE LAS PARTICULAS. 1305.3. MODULACION DE LA TURBULENCIA POR LAS PARTICULAS. 135

5.3.1. Simulacion Numerica Directa Global. 1355.3.2. Ajuste del modelo ‘LES’ para la Concentracion. 140

6. CONCLUSIONES. 1456.1. FLUJO SIN PARTICULAS. 1456.2. MODELO LINEAL. 1466.3. EFECTO DEL FLUJO SOBRE LAS PARTICULAS. 1476.4. MODULACION DE LA TURBULENCIA. 1486.5. METODOS NUMERICOS. 1496.6. INVESTIGACION FUTURA. 149

xiv

INDICE

APENDICE: METODOS MATEMATICOS. 151

A. TRANSFORMADA DE FOURIER. 151A.1. Fundamentos. 151A.2. Ecuacion de Parseval y Espectro. 154A.3. Producto de Convolucion. 156A.4. Correlacion. 157A.5. Escalas. 159A.6. Transformada del Coseno. 160A.7. Transformada del Seno. 160A.8. Filtros. 161A.9. Transformada Rapida de Fourier. 163

B. PROBABILIDAD: SISTEMAS CONTINUOS. 166B.1. Variable Aleatoria. 166B.2. Distribucion y Densidad. 167B.3. Esperanza y Momentos. 169B.4. Funcion Caracterıstica. 171B.5. Densidad Gaussiana. 171B.6. Probabilidad Condicionada. 172

C. PROBABILIDAD: SISTEMAS DISCRETOS. 173C.1. Variable Aleatoria. 173C.2. Distribucion de Probabilidad. 173C.3. Esperanza y Momentos. 173

BIBLIOGRAFIA. 175

xv

CAPITULO 1

INTRODUCCION

1.1. MOTIVACION Y OBJETIVOS

1.1.1. MOTIVACION

El flujo turbulento cargado con partıculas solidas en una tuberıa circular, que esel tıtulo de esta tesis, se motiva principalmente en la importancia que tiene este tipo defenomeno en las aplicaciones industriales. En la industria energetica, el transporte decarbon pulverizado a traves de tuberıas antes de llegar a los quemadores. En la industriaquımica, la formacion de lechos fluidizados con partıculas catalizadoras. En la industriapetrolera, el arrastre de pequenas gotas de petroleo por el gas natural en las estacionesde flujo. En las industrias que usan maquinas con combustion incompleta, el arrastredel hollın hacia la atmosfera. En la industria de servicios, la limpieza con chorros dearena (sandblasting). En la industria alimenticia, el transporte de granos de cerealesy otros alimentos granulados para el llenado y vaciado de tolvas de almacenamiento ytraslado. En la industria cementera, el transporte de cemento de un lugar a otro para sualmacenamiento o llenado (tolvas, sacos, hormigoneras y mezcladoras de hormigon).

En todos los casos mencionados es necesario conocer el comportamiento de laspartıculas moviendose dentro del flujo turbulento. Se requiere saber si existe algunamigracion de las partıculas hacia alguna region particular del dominio del flujo. De igualmanera, se requiere conocer la frecuencia de choques entre partıculas para predecir ciertogrado de fraccionamiento o coalescencia entre partıculas y la frecuencia de choques entrelas partıculas y la pared de la tuberıa para estimar el grado de abrasion o deposicion.

1.1.2. OBJETIVOS

El objetivo general de la tesis es el estudio del flujo turbulento cargado de partıculasen una tuberıa de seccion circular. Este proyecto se va a realizar en tres etapas con unobjetivo especıfico para cada una:

1

• Obtencion del campo de velocidades del flujo turbulento sin partıculas mediante lassimulaciones numericas directas (DNS) y las simulaciones con el modelo de grandesescalas (LES), para validar el programa informatico, los metodos numericos y losmodelos usados. En las simulaciones con ‘LES’ sin partıculas se incluira un modelopara paredes rugosas, que luego servira para futuras investigaciones.

• Estudio de la respuesta de las partıculas debida al flujo turbulento a bajo numerode Stokes y bajas concentraciones para verificar el modelo lineal. Esto se hara conun numero mınimo de partıculas y el ‘ensemble’ de los resultados y con el numeroreal de partıculas para observar si esto tiene influencia en los resultados.

• Modulacion del flujo turbulento por la influencia de las partıculas a concentracionesmedias, tanto con simulacion numerica directa (DNS), como con simulacion con elmodelo de grandes escalas (LES), para ajustar el termino que incluye la influenciade las partıculas sobre el flujo. En particular, se ha propuesto un modelo lineal para‘LES’ que incluye la concentracion de las partıculas en la viscosidad turbulenta.

1.1.3. ESTADO DEL ARTE

Las simulaciones numerica directas (DNS) en canales planos mas rigurosamenterealizadas hasta ahora en Espana [Del Alamo & Jimenez,2001] [Del Alamo & Jimenez,2002] llegan hasta valores de Reynolds (basado en la velocidad de friccion Uτ y el medioancho h del canal) de IReτ = 550 con un mallado de 6 × 108 puntos. No obstante en losEstados Unidos se ha podido llegar a valores de IReτ = 950 con un mallado de 4 × 109

puntos. En los casos antes citados, el uso de super-ordenadores es lo normal, y aunası, el tiempo de ejecucion esta en el orden de varios millones de horas de CPU. EnJapon, se espera dentro de poco hacer simulaciones del orden de IReτ = 2000 − 4000con el uso de ordenadores mas poderosos. En este trabajo, el caso propuesto tiene unnumero de Reynolds modesto de IReτ = 380 (basado en la velocidad de friccion y eldiametro de la tuberıa) con un mallado de 2.1 × 106 puntos. Fue escogido este casopor ser menos ambicioso que los estudios de vanguardia arriba mencionados, y de estaforma ser resoluble con el uso de ordenadores personales o a lo sumo con una estacionde trabajo convencional, que son los equipos de los que se disponen.

En la literatura especializada se disponen de pocos casos resueltos para tuberıas deseccion circular con flujo turbulento. Casi todos los resultados reportados concentran susesfuerzos en canales planos. No obstante, existen algunas simulaciones numericas directascon bajos numeros de Reynolds IReD basado en la velocidad media Um y el diametroD, como por ejemplo [Loulou et al.,1997] con IReD = 5600 Existen tambien algunosexperimentos de medicion como [Durst et al.,1995] con IRe = 7442, 13500, 20800. En otrosexperimentos fısicos, que incluyen el estudio del efecto de la rugosidad, normalmente seescogen altos numeros de Reynolds, como por ejemplo [Perry et al.,1986] con numerosde Reynolds basados en la velocidad en el centro de la tuberıa Uc y el diametro deIRec = 75000, 100000, 125000, 150000, 175000, 200000. Otros estudios que incluyen otrosefectos, como la reduccion de la viscosidad con polımeros [Den Toonder,1995], tambienusan numeros de Reynolds elevados, en este caso de IReD = 24580. De todos estos

2

ejemplos con resultados reportados en [AGARD,1998] se ha escogido el primero [Loulouet al.,1997] por tener el menor numero de Reynolds y adaptarse mejor a las limitacionesmencionadas en el parrafo anterior.

No se han encontrado publicaciones donde se reporte experimentos con partıculasen tuberıas circulares. Todos los resultados que se han revisado provienen de experi-mentos [Kulick et al.,1994] o simulacion numerica [Li et al.,2001] de los mismos casos encanales rectangulares. De estos estudios, se desprende la observacion de la atenuacionde la intensidad de turbulencia de la partıculas en la direccion transversal del flujo y elincremento de la intensidad de las fluctuaciones longitudinales del fluido. Otros estudiosanalizan algunos efectos numericos, como la importancia de considerar o no el choqueentre partıculas [Yamamoto et al.,2001] [Li et al.,2001]. No obstante, el interes por elestudio de los flujos cargados con partıculas ha aglomerado cada vez mas a un numeroimportante de investigadores [Dopazo et al.,200] [Castro et al.,2002].

Otras publicaciones de flujo turbulento cargado con partıculas concentran suatencion en el decaimiento del flujo turbulento homogeneo [Elghobashi & Truesdell,1992-1993] o el flujo turbulento isotropo [Squire & Eaton,1994] con la idea de analizar de formaaislada el efecto de las partıculas en el flujo. De este analisis, han surgido modificacionesde los modelos k − ε para incluir el efecto de la carga de partıculas en la modulacion dela turbulencia: Incremento de la disipacion viscosa total y la disminucion de la energıacinetica turbulenta del flujo. Estos mismos analisis han servido para consolidar modeloslineales para la disipacion εp de las partıculas [Crespo et al.,2001] y la atenuacion de laenergıa cinetica turbulenta de las partıculas kp [Granados et al.,2002b].

Se ha considerado utilizar para la resolucion del flujo turbulento un metodonumerico eficiente y que sea compatible con la irregularidad del mallado en la direccionradial. En este sentido, se ha escogido un metodo de diferencias finitas del tipo pasoescalonado [Kim & Moin,1985], de tercer orden en la integracion temporal mediante unmetodo Runge-Kutta que es semi-implıcito en los terminos viscosos [Rai & Moin,1991],pero adaptado a coordenadas cilındricas [Verzicco & Orlandi,1996]. El modelo de grandesescalas (LES) utilizado es de tipo dinamico [Lilly,1992] [Lesieur,1997], pero el filtrado seha hecho lo mas sencillo con variables vecinas ponderadas para darle eficiencia al metodo.

Siguiendo las recomendaciones de un reciente artıculo [Yeung,2002], para elmovimiento de las partıculas se ha usado un Runge-Kutta de un orden mas alto queel del fluido y con una mayor estabilidad. Debido a que los choques de las partıculasentre sı y con la pared de la tuberıa introducen cierta rigidez al sistema de eccuacionesdiferenciales ordinaria que las describen, se ha preferido utilizar un metodo Runge-Kuttaimplıcito. Esto esta en concordancia con el metodo para el fluido que tambien es implıcitoen cierta medida. Estas dos caracterısticas estan presentes simultaneamente en el metododescrito en [Granados,1993/1998], basado en la cuadratura de Lobatto [1851/1852]. Paraescoger el numero de partıculas utilizado en las simulaciones de bajas concentraciones, sehan seguido las recomendaciones del artıculo [Graham & Moyeed,2001]. En un artıculoreciente [Piomelli & Balaras,2002] se hace una revision extensa del tratamiento de lasecuaciones y las condiciones de frontera en la pared de la tuberıa y la region cercana aesta. Todos los modelos de grandes escalas (LES) consideran cierto deslizamiento en la

3


pared, es decir la velocidad no es nula en la pared, sino que en cambio la derivada delcampo de velocidades paralelo a la pared es instantaneamente consistente con el esfuer-zos cortante correspondiente. Algunos modelos de los mencionados hacen diferenciacionentre la direccion preferencial del flujo y la direccion transversal a este. Para el esfuerzocortante se utiliza una media espacial de la velocidad de friccion en la direccion paralelaa la pared. En el modelo LES usado en esta tesis [Granados,2002a], el razonamiento essimilar permitiendo el deslizamiento, pero no se hace distincion entre las direcciones par-alelas a la pared de la tuberıa y la velocidad de friccion se calcula instantaneamente encada direccion por separado. Para la componente de la velocidad en la direccion perpen-dicular a la tuberıa, la condicion de frontera es siempre la convencional (componente dela velocidad nula cuando la tuberıa es impenetrable, positiva cuando existe transpiraciony negativa cuando existe succi’on).

El estudio del efecto de la rugosidad en este trabajo es desde el punto de vista de suinfluencia en las condiciones de frontera de acuerdo a lo explicado en el parrafo anterior,pero no se intenta entender los mecanismos y las estructuras introducidas por la rugosi-dad. Una revision relativamente moderna de este ultimo enfoque puede encontrarse en[Raupach et al.,1991]. Queda fuera del alcance de este trabajo el refinamiento exhaus-tivo que se requiere para observar los mencionados mecanismos y estructuras mediantesimulacion numerica directa. El efecto de la rugosidad no depende solo del tamano dela irregularidad en la pared, sino tambien de su forma, orientacion y distribucion, y delnumero de Reynolds, como lo demuestran algunos experimentos [Perry et al.,1969/1987].En lo que respecta a la rugosidad, en este trabajo se conforma con comparar los resultadoscon las referencias tradicionales [Colebrook,1939] [Schlichting,1968].

1.2. DESCRIPCION DEL FLUJO

1.2.1. FENOMENO

El fenomeno objeto de estudio de esta tesis, corresponde al flujo turbulento in-compresible dentro de una tuberıa de seccion circular cargado con partıculas solidas. Lapared de la tuberıa puede ser lisa o rugosa. Las partıculas solidas son todas igualesy esfericas. Se considera el choque entre partıculas y de estas contra la pared. Estoschoques son completamente elasticos y simetricos (reflexion). El flujo turbulento arras-tra a las partıculas debido a la viscosidad del fluido y a su vez las partıculas, si son losuficientemente pesadas y grandes (numero de Stokes alto), afectan al flujo modulandola turbulencia.

Todo el fenomeno queda bien caracterizado con una dimension caracterıstica quees el radio R de la tuberıa, una densidad caracterıstica ρ que es la densidad del flui-do, una velocidad caracterıstica que es la velocidad Um axial media y una unidad detiempo caracterıstica que se calcula como R/Um. Todos los resultados obtenidos vienenadimensionalizados con el uso de las anteriores cantidades caracterısticas.

4

CAPITULO 1 INTRODUCCION

1.2.2. NIVEL DE TURBULENCIA

El flujo turbulento dentro de la tuberıa esta caracterizado por un numero deReynolds moderado de IRe

D= UmD/ν = 5600, basado en el diametro D y la velocidad

axial media Um, y IReτ = UτD/ν = 380, basado en la velocidad de friccion Uτ =√

τw/ρ

(τw = Esfuerzo cortante en la pared, ρ = Densidad del fluido). Se escogio estos valores pordos razones principales. Primero, para poder comparar los resultados obtenidos con lasimulacion numerica del flujo turbulento con aquellos obtenidos por otros investigadores[Loulou et al.,1997] y que estuvieran bien documentados con enorme cantidad de datos[AGARD,1998]. Segundo, un numero de Reynolds del orden mencionado permite hacersimulaciones numericas directas sobre mallados no tan afinados en tiempos razonablescon el uso de un ordenador personal.

Como el problema a resolver es estadısticamente estacionario y estadısticamentehomogeneo en las direcciones axial y azimutal, se decidio realizar todos los calculosestadısticos en funcion de la posicion radial.

1.2.3. DISCRETIZACION DEL DOMINIO

El mallado usado es una copia exacta de la referencia [Loulou et al.,1997] con 68,160 y 192 celdas en las direcciones radial, azimutal y axial, respectivamente. Esto daunos valores maximos de tamano de celda (expresados en variables de pared + = Uτ/ν)de ∆x+ = ∆r+, R+∆θ, ∆z+max ≈ 3, 8, 10. Los numeros de Reynolds de mallase calculan como + IReD/IReτ (IReD/IReτ = Um/Uτ). En este mallado, la escala deKolmogorov η al cubo no supera nunca el volumen de una celda, llegando inclusive a seruna milesima parte del volumen de una celda en el eje y del mismo orden de magnitudcerca de la pared de la tuberıa. La siguiente figura representa esquematicamente ladistribucion del mallado

Para las simulaciones con los modelos de grandes escalas (LES) se utiliza la cuartaparte de las celdas en cada direccion, con 17, 40 y 48 celdas en las direcciones radial,azimutal y axial, respectivamente. Esto se hace convirtiendo cada cuatro celdas pequenasen una celda mas grande, de manera que se conserve en cierta medida las tendencias derefinamiento del mallado. Este procedimiento reduce el numero original de nodos de2088960 a 2088960/43=32640, o sea, 64 veces menos. Obviamente esto tambien reducelos tiempos de ejecucion de los programas informaticos de manera substancial para lassimulaciones con los modelos de grandes escalas (LES).

5


Figura 1.1. Discretizacion del dominio cilındrico.

1.2.4. CAMPO DE VELOCIDADES

El campo de velocidades turbulento se desarrolla en una longitud L de diez veces elradio (L = 10 R), luego el flujo se reinyecta de nuevo al inicio de la tuberıa, imponiendouna condicion de borde periodica en la direccion axial. Aunque en los experimentos seusa aire (ρ ≈ 1.2 kg/m3) en condiciones casi normales (P = 102825 Pa= 1.5 kPaman,T = 298.15oK= 25oC), el flujo en la simulaciones se considera incompresible debido alos bajos ordenes de los numeros de Mach. El campo de velocidades es por lo tantosolenoidal (∇.v = 0).

En la direccion azimutal, logicamente se establece una condicion de borde periodicadebido a la geometrıa cilındrica del dominio de flujo. En la pared de la tuberıa lacondicion de borde es de no deslizamiento. No obstante, para el modelo de grandesescalas se hace necesario luego imponer una condicion de deslizamiento, es decir, unacondicion en el esfuerzo cortante, para ajustar dicho modelo.

El campo de velocidades se obtiene resolviendo directamente la ecuacion de Navier-Stokes en su forma conservativa

∂v∂t

+ ∇.(vv) = −∇P + ∇.(ν ∇v) (1.1)

y en coordenadas cilındricas mediante un metodo basado en diferencias finitas. Se usa elesquema de paso fraccionado [Rai & Moin,1991], el cual adicionalmente es semi-implıcito

6


de tercer orden en las derivadas viscosas y de cuarto orden en el termino convectivo[Verzicco & Orlandi,1996] [Orlandi & Fatica,1997]. Por el adimensionamiento usado, en(1.1) el coeficiente ν es realmente el inverso del numero de Reynolds IRe = Um R/ν =2800, siendo el ultimo ν la viscosidad cinematica del fluido. Cuando se usa un modelode grandes escalas (LES), el mencionado coeficiente se substituye por ν + νt, donde elsegundo termino incluye la formulacion del modelo como se vera mas adelante.

El programa informatico fue desarrollado sobre la base del codigo que acompanala referencia [Orlandi,2000]. El programa fue modificado para incluir la simulacion conun modelo dinamico de grandes escalas [Lilly,1992] y adicionalmente el efecto de unapared rugosa [Granados,2002a] (solo para ‘LES’). La pared rugosa y el ajuste del modelode grandes escalas (LES) para pared lisa se hace a traves del manejo apropiado de lacondicion de borde en la pared con deslizamiento. Es decir, imponiendo una condicionde borde en el esfuerzo, mas que en la velocidad.

1.3. DESCRIPCION DE LAS PARTICULAS SOLIDAS

1.3.1. ECUACION DEL MOVIMIENTO

La trayectoria de cada partıcula esferica se obtiene con la integracion numerica dela ecuacion diferencial de movimiento

dvp

dt=

FD

mp+ g =

fD

τp(v − vp) + g fD = CD IRep / 24 = 1 + 0.15 IRe0.687

p (1.2)

donde el numero de Reynolds para la partıcula es

IRep = ρ |vr| dp/µ (1.3)

y el tiempo caracterıstico para la misma es

τp = ρp d2p/(18µ) (1.4)

En las ecuaciones previas dp y ρp son el diametro y la densidad de la partıcula. Lapropiedades ρ y µ son la densidad y la viscosidad del fluido donde la partıcula estasumergida. La velocidad

vr = v − vp (1.5)

es la velocidad relativa del fluido respecto a la partıcula y g es la aceleracion de lagravedad. Las cantidades

FD =12

CD ρSp vr |vr| = 3 fDπ µ dp vr mp = ρp Vp = ρp π d3p/6 (1.6)

son respectivamente la fuerza de arrastre del flujo alrededor y la masa de una partıculaesferica. Las cantidades Sp y Vp son respectivamente el area proyectada y el volumen de

7


la partıcula. En nuestra simulaciones, IRep es siempre menor que la unidad, ası que seha preferido tomar la relacion empırica para el coeficiente de arrastre CD de Schiller &Naumann [1933] tomada de la referencia [Clift et al.,1978] y es la que da la expresion defD ≈ 1 en (1.2).

ABSOLUTO RELATIVO

Figura 1.2. Arrastre de la partıcula por el flujo.La figura 2 muestra como se observan las fuerzas y velocidades sobre un partıcula

sumergida en un fluido, vista desde un marco de referencia absoluto y otro relativo a lapartıcula.

1.3.2. NUMERO DE STOKES

El numero de Stokes /Sk se define por la relacion entre el tiempo caracterıstico delfluido y el tiempo caracterıstico de la partıcula. Esto es,

/Sk =τp

τfτf = k/ε (1.7)

donde el tiempo caracterıstico del fluido τf es debido a los efectos de la energıa cineticaturbulenta

k = v′.v′/2 (1.8)

y la disipacion turbulentaε = 2ν D′ :D′ (1.9)

siendo v′ y D′ las fluctuaciones del campo de la velocidad y del tensor velocidad dedeformacion ( D = [G + Gt]/2, G = [∇v]t ).

Para las simulaciones realizadas en este trabajo, los numeros de Stokes fueron entodos los casos de valores muy bajos, lo que ha permitido despreciar las fuerzas de masavirtual y las fuerzas de Basset en la ecuacion del movimiento de las partıculas (1.2).Los pequenos diametros de partıculas y las altas densidades relativas (relativas al fluidoalrededor) de las mismas nos ha permitido despreciar de igual forma las fuerzas debidasa los gradientes de presion y las fuerzas de flotacion, respectivamente.

8


1.3.3. INTEGRACION DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

La integracion simultanea de las ecuaciones de movimiento de las partıculas serealiza con un metodo Runge-Kutta implıcito de sexto orden con control de paso, queesta basado en la cuadratura de Lobatto [Granados,1993/1998]. Como se incluye elchoque elastico entre partıculas y contra la pared de la tuberıa el sistema de ecuacionesdiferenciales se vuelve muy rıgido y esto justifica el alto orden del metodo y el que seaimplıcito. El seguimiento de la velocidad alrededor de las partıculas se hace medianteinterpolacion polinomica de cuarto orden en el espacio, siguiendo los criterio de simetrıade puntos alrededor de la interpolacion y la monotonıa de las funciones y sus derivadasen la vecindad.

9

CAPITULO 2

MODELOS

En este capıtulo se revisan algunos modelos fısicos y se introducen otros nuevosrelacionados con el flujo turbulento cargado con partıculas solidas. En primer lugar, sehace una descripcion del modelo de grandes escalas (LES) en su version original quees el modelo de Smagorinsky [1963] y luego este modelo se amplia con una estimaciondinamica del coeficiente involucrado [Germano et al.,1991] [Lilly,1992]. En segundo lugar,se describen las interacciones entre las partıculas y entre las partıculas y la pared de latuberıa, mediante un modelo puramente elastico con choques reflexivos. En tercer yultimo lugar, se introducen el modelo lineal para predecir la energıa cinetica turbulentay la disipacion de las partıculas, y una modificacion del modelo de grandes escalas (LES)para incluir el efecto de las partıculas en el coeficiente de Smagorinsky y la ecuacion deNavier-Stokes. En esta parte se han hecho aportaciones importantes y originales para ladiferencia de las energıa cinetica turbulenta del fluido y las partıculas y la estimacion dela constante de Kolmogorov para la funcion de estructura lagrangiana de la velocidad.

2.1. SIMULACION DE GRANDES ESCALAS (LES)

2.1.1. FILTRADO DE LA ECUACIONES

La simulacion de grandes escalas (LES - Large Eddy Simulation), frecuentementetambien denominada simulacion de grandes remolinos o simulacion con modelos de sub-malla, se basa en definir dos escalas de simulacion para los campos involucrados. Laescala mas pequena viene determinada por el tamano del mallado, que en la simulacionnumerica actua como un filtro sobre el resultado obtenido en los campos de velocidady presion (i.e. los resultados con ‘LES’ con un mallado grueso son equivalentes a haberaplicado un filtro “numerico” al resultado con ‘DNS’ que se hubiese obtenido con unmallado muy refinado). La escala mas grande viene determinada por la aplicacion de unfiltro “artificial” de un ancho espacial asociado a dicha escala.

Los campos de grandes escalas son aquellos asociados a los campos filtrados atraves de la convolucion con un filtro /G

∆(x) de ancho vectorial ∆ (con componentes

11

A. Granados FLUJO TURBULENTO CARGADO CON PARTICULAS SOLIDAS EN UNA TUBERIA CIRCULAR

∆j , j = 0, 1, 2, 3, 0 para el tiempo y 1,2,3 para el espacio) el cual puede ser gaussianoeventualmente (En el filtro gaussiano ∆j = 2

√3σj para cada direccion j, teniendo un

tamano de malla uniforme de hj = ∆j/2). Ası, el campo ϕ(t,x) tiene su valor filtradoϕ(t,x) dado por

ϕ(t,x) =∫V∞(x)

ϕ(t, r) /G∆(x − r) dV(r) =

∫V∞(x)

ϕ(t,x − r) /G∆(r) dV(r) (2.1)

donde V∞(x) = IB(x, ∞), o sea, la bola abierta con centro en x y radio infinito, yfuera de sus dominios las funciones ϕ(x) y /G

∆(x) se suponen nulas. En efecto, se tiene

que IB(x + y, ∞) = IB(x, ∞), ∀y. Es facilmente verificable que el filtro (2.1) conmutacon las derivadas temporal y espacial (con respecto a x). Esta conmutacion deja de servalida si ∆ no es una constante. Dos ejemplos frecuentemente mencionados y utilizadosen el espacio unidimensional son las funciones de filtro de caja y gaussiano representa-dos analıticamente con las funciones desplegadas en la tabla A.2 de la seccion A.8 delapendice.

Sea ϕ′ las fluctuaciones del campo actual ϕ con respecto a su valor filtrado ϕ, esdecir,

ϕ = ϕ + ϕ′ (2.2)

Los campos ϕ′ conciernen a las fluctuaciones a escalas menores que el tamano de ∆ y sedenominaran los campos de subescala. Existen varias formas de correlacionar el ancho delfiltro ∆ con los tamano de las mallas hj = ∆xj/2 en el espacio, pero una de las mas usadases considerar ∆ = (∆x1∆x2∆x3)1/3, cuando el filtrado (2.1) se considera que es isotropo,pero el mallado no. Esta forma se justifica porque el ancho equivalente ∆ conserva elvolumen del espacio filtrado. Otra forma serıa definir ∆ = ‖∆‖ = (∆x2

1+∆x22+∆x2

3)1/2,

pero es evidente que en aquellas direcciones de mallado mas fino el filtro cubrirıa mayorcantidad de informacion. Sin embargo, cuando el filtrado es anisotropo, se suele definir∆j = ∆xj = 2 hj para cada direccion del espacio.

Consideremos las ecuacion de Navier-Stokes

ρdvdt

= ρ

(∂v∂t

+ v.∇v)

=∂ρv∂t

+ ∇.(ρvv) = ρg − ∇P + ∇.T (2.3)

siendo T el tensor de esfuerzos debido a la viscosidad dinamica µ. Luego de aplicar elfiltro (2.2), se obtiene

ρ

(∂v∂t

+ v.∇v)

= ρg − ∇P + ∇.T T = T + T t T = 2µD (2.4.a, b, c)

donde el tensor de esfuerzos de la subescala T t, viene dado por

T t = ρ ( vv − vv ) = ρ [ (vv − vv) − (vv′ + v′v ) − v′v′ ] (2.5)

12

CAPITULO 2 MODELOS

El tensor de esfuerzos T es el esfuerzo viscoso debido a las deformaciones del campofiltrado. El tercer miembro de la expresion (2.5) se deriva de aplicar la descomposicion(2.2) al primer termino del segundo miembro de la misma expresion. En dicho tercermiembro de (2.5), el primer termino se denomina el termino del tensor de Leonard, elsegundo terminos cruzados, y el tercero el termino del tensor de esfuerzos de Reynolds.El tensor de Leonard es un termino explıcito que se puede calcular en funcion de loscampos filtrados, peros los otros terminos son desconocidos.

La ecuacion del movimiento para los campos filtrados (2.4) tiene una analogıa conla ecuacion de Reynolds, para flujo turbulento no homogeneo promediado en el tiempo.Sin embargo, otros terminos, aparte del tensor de esfuerzos de Reynolds, surgen delanalisis en el modelo de grandes escalas, debido al hecho de que el operador definido enel filtro (2.1) no es idempotente como en el caso del promediado en el tiempo. Es decir,en el filtro ϕ = ϕ, lo que implica que ϕ′ = 0. La operacion de filtrado, visto como unoperador lineal, conmuta con los operadores de derivacion, tanto temporal como espacial,debido a la regla de Leibniz y a que el filtro /G

∆(x) es una funcion conservativa por estar

normalizada.

Por las caracterısticas antes planteadas, el operador · de filtrado, jamas podraconsiderarse como el operador 〈 · 〉 de la esperanza estadıstica de una variable aleato-ria. Por ello, es necesario utilizar un operador de esperanza estadıstica (o promediadoespacio-temporal), en aquellas direcciones espacio-temporales, donde el flujo turbulentoes homogeneo-estacionario estadısticamente hablando. De esta forma, se tiene que

ϕ = 〈ϕ〉 + ϕı (2.2′)

siendo ϕı una variable aleatoria centrada, y los esfuerzos de Reynolds estadısticos, seguneste operador, calculados segun

T t = −ρ 〈vıvı〉 (2.5′)

Observese la similaridad entre las expresiones (2.2′) y (2.2), y entre (2.5′) y (2.5) confiltrado idempotente. El resultado (2.5′) proviene de un procedimiento similar al seguidopara el promediado en el tiempo, pero intercambiando el operador promediado · por eloperador de esperanza estadıstica 〈 · 〉, el cual es igualmente idempotente. Obviamente,las expresiones (2.2′) y (2.5′) jamas deben considerarse respectivamente iguales a lasexpresiones (2.2) y (2.5), descritas anteriormente. Las primeras se refieren a las fluc-tuaciones del campo de velocidades filtrado, respecto a sus esperanzas estadıstica, lassegunda se refieren a las fluctuaciones de la velocidad, respecto a su valor filtrado. Sondos definiciones y calculos distintos. Al final los esfuerzos turbulentos globales (en unadireccion perpendicular al plano homogeneo-estacionario) seran la suma de los esfuerzosde Reynolds estadısticos (2.5′) y los esfuerzos de subescala (2.5) (mas adelante, en laproxima sub-seccion, se vera porque es conveniente cambiar estos ultimos por su partedesviatoria). Los esfuerzos totales seran la suma de los esfuerzos turbulentos globales ylos esfuerzos puramente viscosos (2.4.c).

13


Otra diferencia entre el modelo de grandes escalas y la ecuacion de Reynoldspromediada en el tiempo es que el primero usualmente simula campos de rapidas fluc-tuaciones en el espacio y el tiempo, si ∆ es suficientemente pequeno, mientras que elsegundo simula campos que varıan muy suavemente en el espacio, y generalmente nosufren cambios en el tiempo o estos cambios se producen muy lentamente en el tiempo,con tiempos caracterısticos muchısimo mayores que los lapsos de tiempos tomados en elpromediado. Este promediado puede considerarse como un filtrado “pasa bajo” en ladireccion temporal, con una funcion de filtro tipo caja de un tamano muy grande y conancho de banda muy pequeno. Por el contrario, los modelos de grandes escalas usanfiltros de tamanos muy pequeno y anchos de banda muy grandes.

2.1.2. VISCOSIDAD TURBULENTA

El tensor de subescala T t se simula a traves de una viscosidad turbulenta µt,denominada a veces viscosidad de sub-malla, siguiendo la misma hipotesis de Boussinesq,adoptada antes tambien para la ecuacion de Reynolds. De esta forma se tiene que laecuacion (2.4) se puede expresar

ρ

(∂v∂t

+ v.∇v)

= ρg − ∇p + ∇.T T = T + T t′= T − T t

(2.6)

conT = 2 µD T t

′= 2 µt D (2.7)

La cantidad T t′

= T t − T t

en (2.6) es la parte desviatoria del tensor de esfuerzosde la subescala T t definido en (2.5). La parte isotopica de este tensor de subescala,T t

= (1/3) tr(T t) I, esta incluida en la presion modificada p = P − (1/3) tr(T t), siendo

P la presion hidrostatica filtrada. Se observa tambien que esta parte isotropa es lo quediferencia (2.4.b) de (2.6.b). Se introduce la parte desviatoria del tensor T t en (2.6.a) porrazones similares a las que se han argumentado para la ecuacion de Reynolds: se deseaque tenga la caracterıstica de no tener traza como el tensor velocidad de deformacionfiltrado

D =12(G + G

t) G = (∇v)t (2.8)

siendo G el tensor gradiente de velocidad filtrado.

El campo de presiones p, aunque ya no representa a las presiones hidrostatica P ,debe ser tal, que se satisfaga de igual manera la ecuacion de continuidad

∇.v = 0 (2.9)

La cual se deriva de aplicar la conmutatividad del operador filtrado y la derivacionespacial. Al igual que antes, el campo de velocidades v es solenoidal, como el campo develocidades v.

14

CAPITULO 2 MODELOS

El problema de la modelizacion de los terminos de la subescala, a veces denomi-nada parametrizacion de la subescala, es la de expresarlos en funcion de los campos degrandes escalas. En la fısica matematica este problema es referido como un problemade homogenizacion, donde las leyes que gobiernan el medio son conocidas a un nivelmicroscopico, y se desea tener las leyes de evolucion a niveles macroscopicos.

2.1.3. MODELO DE SMAGORINSKYEl modelo mas conocido para la simulacion de la viscosidad turbulenta en los

modelos de gran escala, es el modelo de Smagorinsky [1963], el cual se resume de lasiguiente manera

µt = ρ l2 ‖D‖ l = Cs ∆ ‖D‖ =√

2D : D (2.10.a, b, c)

donde Cs es un parametro del modelo, el cual puede ser constante o puede calcularsedinamicamente. Si se asume turbulencia isotropa y que kc = π/∆x, es el numero deonda del espectro en el espacio de Fourier donde se hace el corte, y este cae dentro de lacascada de E(k) ∼ k−5/3 de Kolmogorov, se puede ajustar la constante Cs, tal que, enpromedio espacial, la energıa cinetica turbulenta de la subescala tenga un decaimientoigual a ε. De esta forma, se obtiene que

Cs ≈ 1π

(3 CK

2

)−3/4

(2.11)

donde CK

es la constante de Kolmogorov (la expresion (2.11) es valida solamente paraun tipo muy particular de filtro). Si se toma un valor de la constante de Kolmogorov deC

K= 1.4, entonces se puede calcular un valor de Cs ≈ 0.18, aunque es muy frecuente

asumir un valor que varıa en el rango Cs = 0.1 - 0.18.Experimentalmente se ha encontrado que un valor de Cs = 0.1 (lo que representa

una reduccion de la viscosidad turbulenta en un factor de aproximadamente cuatro,respecto a Cs = 0.18) produce resultados satisfactorios para turbulencia isotropa, flujoslibres con cortadura y flujos en canales si se le adapta una funcion de amortiguamiento enla pared a l, como se ha hecho con la funcion de Van Driest en el modelo de la longitud demezcla lm de Prandtl. Sin embargo, se ha encontrado que el modelo de Smagorinsky esexcesivamente disipativo en la cercanıa de la pared. En particular, el modelo no funcionabien en la transicion hacia la turbulencia en el flujo de una capa lımite sobre una paredplana, comenzando con un perfil laminar al cual se le ha agregado una perturbacion. Elflujo permanece laminar debido a una excesiva viscosidad turbulenta generada por lasdeformaciones cortantes.

15


2.1.4. MODELO DINAMICO

Definamos un filtro de prueba con un ancho ∆ = α∆, digamos de mayor escala,con α > 1 (por ejemplo, α = 2), de la forma

ϕ(t,x) =∫V∞(x)

ϕ(t, r) /G∆(x − r) dV(r) =

∫V∞(x)

ϕ(t,x − r) /G∆(r) dV(r) (2.12)

Con este filtro podemos filtrar otra vez los campos ϕ ya filtrados antes con el filtrodefinido por (2.1), de manera de obtener ϕ. Apliquemos ahora este filtro al tensor sesubescala T t, con lo cual se obtiene

T t = ρ ( ˜vv − vv ) (2.13)

Definamos adicionalmente los tensores

Rt = ρ ( ˜v ˜v − vv ) Lt = ρ ( ˜v ˜v − ˜vv ) (2.14.a, b)

siendo el primero el tensor de subescala obtenido si se reemplaza el filtro “barra” por eldoble filtro “barra-tilde” en (2.5), y el segundo, denominado tambien tensor de esfuerzosde Leonard, es el tensor de esfuerzos turbulentos correspondiente al filtro de pruebaaplicado al campo de velocidades v. Estos tensores verifican la siguiente expresion

Lt = Rt − T t (2.15)

denominada la identidad de Germano [Germano et al.,1991].Obtengamos la parte desviatoria de los tensores de sub-escala antes definidos.

Usando el modelo de Smagorinsky, la parte desviatoria de (2.13) es

T t

′= T t − 1

3tr(T t) I = 2 ρ l2 ˜‖D‖D (2.16)

De la misma forma, la parte desviatoria de (2.14.a) es

Rt

′= Rt − 1

3tr(Rt) I = 2 ρ (αl)2 ‖D‖ D (2.17)

El tensor D es analogo al tensor D, pero construido con el campo de velocidades doble-mente filtradas v, en lugar del campo de velocidades v, filtrado una sola vez.

Con la ayuda de la identidad de Germano (2.15) y con las expresiones (2.16) y(2.17), resulta que la parte desviatoria de (2.14.b) es

Lt

′= Lt − 1

3tr(Lt) I = 2 ρ l2 ( α2 ‖D‖ D− ˜‖D‖D ) (2.18)

16

CAPITULO 2 MODELOS

Con el objeto de calcular el parametro del modelo de Smagorinsky a partir de las ecua-ciones planteadas, durante el filtrado del tensor en (2.13), la longitud l, y por consiguienteCs, se ha supuesto invariante frente al filtro, por lo que se ha considerado una constanteen (2.16). La expresion (2.18) se puede multiplicar escalarmente (o lo que es equivalente,contraerse doblemente) con el tensor D en la forma

Lt : D = ρ ( ˜v ˜v − ˜vv ) : D = 2 ρ l2 ( α2 ‖D‖ D− ˜‖D‖D ) : D = 2 ρ l2 M : D (2.19.a)

siendoM = α2 ‖D‖ D− ˜‖D‖D (2.19.b)

y donde se ha tenido en cuenta la definicion (2.14.b), y la mutliplicacion con la parteisotropa se ha eliminado debido a la ecuacion de continuidad (2.9) (recuerdese que I :D = trD = ∇.v = 0). Del resultado (2.19) se puede despejar l2 y por consiguiente elcoeficiente Cs, obteniendose finalmente

l2 = (Cs ∆)2 =12

( ˜v ˜v − ˜vv ) : D

( α2 ‖D‖ D− ˜‖D‖D ) : D=

12 ρ

Lt : D

M : D(2.20)

donde las cantidades involucradas se obtienen filtrando con (2.12) cantidades que se supo-nen estan en funcion de los campos de las velocidades de gran escala v, ya conocidos.El resultado (2.20) se ha usado para varios tipos de flujo, y se sabe que el denomi-nador eventualmente puede anularse o volverse tan pequeno que produce inestabilidadesnumericas.

Otra forma de resolver la expresion (2.18), es considerando que no se satisface exac-tamente, puesto que los tensores en su primer y ultimo miembros no son necesariamenteproporcionales entre sı, siendo el error

ε = 2 ρ l2 M − Lt

′(2.21)

Luego se encuentra el parametro c = l2 que minimiza ε2 aplicando el metodo de mınimoscuadrados a este error. Ası se obtiene la ecuacion normal ∂ε2/∂c = 2 ε ∂ε/∂c = 0 y deella se despeja c [Lilly,1992]. De acuerdo a esto, entonces queda que en el mınimo de ε elparametro c toma el valor

l2 = (Cs ∆)2 =12

( ˜v ˜v − ˜vv ) : ( α2 ‖D‖ D− ˜‖D‖D )

( α2 ‖D‖ D− ˜‖D‖D ) : ( α2 ‖D‖ D− ˜‖D‖D )=

12 ρ

Lt : M

M : M(2.22)

El tensor definido M es tambien un tensor sin traza al igual que D debido a la linealidaddel operador tr( · ), por lo que la doble contraccion con el tensor identidad es nulo, loque al igual que antes elimina la parte isotropa del tensor (2.14.b). El resultado (2.22)

17


remueve la posibilidad de la indeterminacion que pudiera presentarse en (2.20) y quecausa las inestabilidades numericas que se mencionaron antes.

Los resultados (2.20) o (2.22) que permiten obtener el valor del parametro Cs, caendentro de lo que se ha denominado modelos dinamicos, ya que el valor de Cs se calculapara cada instante y cada posicion. En otra palabras, se considera que Cs(t,x) es unafuncion con una descripcion de tipo euleriana. Sin embargo, como el calculo debe hacersede forma numerica, calcular Cs(t,x) se hace una tarea costosa, computacionalmentehablando. Por ello, en la mayorıa de los estudios el calculo del mencionado parametrose hace promediando espacialmente en ciertas regiones del espacio, que pueden ser porejemplo, superficies paralelas a las paredes que limitan el flujo. En turbulencia isotropa, elpromedio debe hacerse en tiempo y espacio y el resultado final se considera una constantedel flujo. Todo lo expuesto en esta seccion ha sido el resultado de la revision de lareferencia [Lesieur,1997].

Para los efectos numericos, el filtro usado es uno que se aplica en cada punto delas superficies axial-azimutales con un peso de 1/2 en el nodo central y 1/8 en los cuatronodos vecinos. Para este filtro se ha considerado que α =

√6 (siguiendo el planteamiento

sugerido por Lund [1997] de que, cuando el filtro de prueba tiene una ancho que es eldoble del filtro producido por el mallado, el factor α no es 2, sino que viene determinadopor los coeficientes de la regla trapezoidal). Luego, el coeficiente de Smagorinsky escalculado en promedio espacio-temporal para cada posicion radial. Particularmente, estecoeficiente es amortiguado cerca de la pared con una funcion similar a la de van Driest[1956], definida por Cs = C′

s [ 1− exp(0.05 y 〈Uc〉/17ν) ], donde 〈Uc〉 es la velocidad en eleje Uc promediada espacialmente a lo largo de toda la tubera (factor de amortiguamientosugerido por J. Jimenez en comunicacion privada).

2.1.5. CONDICION DE CONTORNO

La condicion de no deslizamiento en una pared solida no da buen resultado cuandose usan los modelos de grandes escalas, ya que estos modelos no logran tener la suficientedefinicion como para adentrarse en la subcapa viscosa y mucho menos en la rugosidadde la superficie. Ademas, la utilizacion de funciones de amortiguamiento de la longitudde Smagorinsky cerca de una pared lisa no ha sido exitosa del todo en estos modelos.Por esta razon, se hace necesario modificar las condiciones de pared para los modelos degrandes escalas. Esto se hace fundamentalmente con el uso del perfil logarıtmico

U+ =1κ

ln y+ + B U+ =|U |Uτ

y+ =y Uτ

νUτ =

√τw

ρ(2.23)

Dicho perfil se asume que es valido tambien de forma transitoria y en cualquier planoperpendicular a la pared. Sea uo una muestra de velocidad, tangente a la superficiesolida a una cierta distancia (ortogonal) de la pared yo (y+

o > 30). Suponiendo que lavelocidad perpendicular a dicha superficie es practicamente nula, entonces con este perfil

18

CAPITULO 2 MODELOS

se puede estimar la velocidad de friccion Uτ =√

τw/ρ, y con ella imponer una condicionde esfuerzo instantaneo τw conocido en ese contorno.

No obstante, como en (2.23) esta incognita aparece de forma implıcita, tanto enu+

o , como en y+o , se hace difıcil su calculo. Para facilitar este procedimiento se ha escogido

el siguiente parametro de ajuste

α =1κ

ln(y+U+) + B =1κ

ln U+ + U+ (κ = 0.41, B = 5.0) (2.24)

para el cual, como se puede observar en el segundo miembro, no existe dependenciacon respecto a la velocidad de friccion. Este parametro satisface aproximadamente lasiguiente correlacion

U+ = f(α) = −1.7121 + 0.7015 α + 0.00337 α2 (2.25)

para valores de α ≥ 8, como se puede observar en la siguiente grafica de la figura 2.1.

Figura 2.1. Funcion de correlacion de U+ vs. α.

El mencionado procedimiento se puede resumir de la siguiente manera: Se escogeuna muestra de la velocidad del flujo uo en yo de la zona logarıtmica (y+

o > 30), pudiendo

19


ser u = vx o vz (el plano xz es tangente a la pared, y el eje y es normal a dicha superficie,pero dirigido hacia el fluido). Con esta muestra se estiman las derivadas

∂u

∂y

∣∣∣∣w

=τw

µsign(uo) =

U2τo

νsign(uo) (2.26)

las cuales sirven como condiciones de borde en u = vx o vz del tipo Neumann, junto conla condicion de Dirichlet vy = vyo, todas evaluadas en la pared. Estas ultimas condicionesevitan, en cierta medida, que el campo de velocidades del tipo solenoidal se desplace porlos dos grados de libertad de deslizamiento (paralelos a la pared) que estan implicados en(2.26). Sin embargo, este limitado deslizamiento no tiene la menor importancia porquecae dentro de la sub-capa viscosa que es de pequena escala, y la cual no se trata desimular con los modelos de grandes escalas. Cuando se considera la impenetrabilidadde la pared, entonces vyo = 0, en caso contrario, vyo > 0 cuando existe transpiracion, yvyo<0 cuando existe succion.

Cuando la pared es lisa ( k+s < 5 ), siendo ks la rugosidad aparente de tamano

de grano de arena de Nikuradse, la velocidades de friccion correspondientes se calculancomo

Uτo =|uo|

f(αo)αo =

1κ

ln(

yo |uo|ν

)+ B ≥ 8 (2.27)

No obstante, cuando αo < 8, el calculo de la velocidad de friccion puede hacerse como sise tratase de flujo laminar ∂u/∂y = uo/yo.

En esta parte se ha preferido tomar el valor de B = 5.0 para el flujo sobre unaplaca plana lisa, en lugar del valor B = 5.5 del flujo dentro de una tuberıa de paredlisa. Se ha hecho ası porque, aunque la curvatura de la superficie no es la misma en ladireccion axial y en la direccion azimutal, las fluctuaciones del flujo en dichas direccionescerca de la pared son pequenas y el efecto de la curvatura es despreciable.

Cuando la pared es rugosa [Schlichting,1968], la ley de pared en la forma dada por(2.23), deja de ser valida y en su lugar se utiliza

U+ =1κ

ln(y+/k+s ) + B′ k+

s =ksUτ

ν(2.28)

siendo B′ = B′(k+s ) cuando 5 ≤ k+

s ≤ 70. Cuando k+s > 70, entonces B′ ∼= 8.5 es

aproximadamente una constante. Por debajo de k+s = 5, la tuberıa se considera lisa y

entonces B′(k+s ) ∼= B+κ−1 ln(k+

s ), recobrandose la forma de (2.23). De acuerdo a (2.28),la expresion de Uτo, equivalente a (2.27), pero para el caso rugoso, entinces se escribe

Uτo =|uo|

κ−1 ln(yo/ks) + B′ (2.29)

La ecuacion anterior se ha obtenido con la expresion (2.28) aplicada a la muestra. Aligual que en el caso de la pared lisa, la pared el calculo de la velocidad de friccion Uτo esinstantaneo y su valor cambia en cada punto y en cada instante [Granados,2002a].

20

CAPITULO 2 MODELOS

Una relacion que permite encontrar aproximadamente la funcion B′(k+s ) en el

rango de transicion k+s < 43.6 es

B′(k+s ) = B + X − C X3 X = κ−1 ln k+

s (2.30)

con B = 5.5 y C = 0.007666746 [Granados,2002a]. Por encima de este rango de tran-sicion, se asume B′ = 8.5. En esta oportunidad, se ha preferido tomar el valor de B parauna tuberıa lisa en lugar del valor que asume en este trabajo para una placa plana lisa,con el objetivo de que (2.30) reproduzca los resultados experimentales de Nikuradse (verpor ejemplo [Schlichting,1968], pp.582-583).

2.2. INTERACCIONES DE LAS PARTICULAS

2.2.1. CHOQUE ENTRE PARTICULAS

Dos partıculas, una etiquetada i y otra etiquetada j estan separadas una distancia

dij = ‖ri − rj‖ (2.31)

donde ri y rj son sus respectivos vectores de posicion. Si la distancia dij es menor queel diametro de las partıculas dp, entonces las partıculas han entrado en colision desdeun tiempo ∆t. Este tiempo que ha pasado desde que el choque era inminente entre laspartıculas se calcula como

∆t = (dp − dij)/‖vij‖ (2.32)

con vij = vi − vj siendo la velocidad relativa entre partıculas. Las posiciones de laspartıculas se modifican para que sean aquellas del choque inminente. Esto es, ri = ri − ∆t vi

r

θi = θi − ∆t viθ/ri

zi = zi − ∆t viz

rj = rj − ∆t vjr

θj = θj − ∆t vjθ/rj

zj = zj − ∆t vjz

(2.33)

En estas nuevas posiciones se calcula el vector unitario

eij =rj − ri

‖rj − ri‖ (2.34)

que va de la partıcula i a la partıcula j. Las velocidaddes de cada partıcula se proyectanen la direccion de este vector unitario en la forma

vie = vi.eij vj

e = vj .eij (2.35)

Con estas velocidades se calcula las componentes de la velocidad media y la energıacinetica

vijm = (vi

e + vje)/2 Kij = [(vi

e)2 + (vj

e)2]/2 (2.36)

21


en la direccion del eje eij del choque. La variacion de la velocidad durante el choquese obtiene de considerar la conservacion de cantidad de movimiento lineal (o velocidadmedia) y la energıa cinetica. Luego de resolver el sistema de ecuaciones se obtiene quela variacion de la velocidad de cada partıcula ocurre solamente en el eje del choque y secalcula como

∆vi = vijm − vi

e ±√| Kij − (vij

m)2| ∆vj = vijm − vj

e ∓√| Kij − (vij

m)2| (2.37)

Finalmente las nuevas velocidades de las partıculas se recalculan teniendo en cuenta lavariacion anterior en la forma siguiente

vi = vi + ∆vi eij vj = vj + ∆vj eij (2.38)

En la expresion (2.37) se escogen los signos principales en caso de que la velocidad vie sea

menor que la velocidad media vijm. En caso contrario, los signos se cambian.

La nuevas posiciones de las partıculas despues del choque se corrigen con las nuevasvelocidades ri = ri + ∆t vi

r

θi = θi + ∆t viθ/ri

zi = zi + ∆t viz

rj = rj + ∆t vjr

θj = θj + ∆t vjθ/rj

zj = zj + ∆t vjz

(2.39)

y cada partıcula continua por su lado.

2.2.2. CHOQUE DE LAS PARTICULAS CON LA PARED

El choque de la partıcula con la pared se resuelve buscando la imagen especularque tendrıa la partıcula si no existiese pared, para el momento del choque. El choquede la partıcula i y con posicion ri con la pared se detecta con la cantidad Rp = R − dp

2 ,que es la posicion radial del centro de la partıcula en un choque inminente. Si ri ≥ Rp,entonces la partıcula ya ha chocado con la pared y la nueva posicion y velocidad radialde la partıcula se cambian a ri = 2 Rp−ri y vi

r = −vir, respectivamente. Todas las demas

cantidades de la partıcula i quedan inalteradas.

2.3. INTERACCIONES ENTRE LAS PARTICULAS Y EL FLUIDO

2.3.1. MODELO LINEAL PARA LAS PARTICULAS

Las velocidades del fluido, de la partıcula y la relativa se pueden descomponer enla forma

v = 〈v〉 + v′ vp = 〈vp〉 + v′p vr =

0〈vr〉 + v′

r (2.40)

donde el operador 〈 · 〉 representa un ‘ensemble’ para todas las partıculas posibles en unalocalizacion determinada, dentro de un subdominio donde el flujo es estadısticamente

22

CAPITULO 2 MODELOS

estacionario y homogeneo. Dentro del contexto de esta teorıa, la hipotesis de flujo ho-mogeneo solo va a ser cierta cerca del eje del tubo. La justificacion por la cual se haasumido que 〈vr〉 = 0, se basa en que en un flujo estadısticamente estacionario, confD ≈ 1 y sin gravedad (g=0), se tiene que d〈vp〉/dt = 〈vr〉/τp = 0 (ver ecuaciones (1.2)).Debido a la definicion de la velocidad relativa vr = v − vp, las velocidades tambien sepueden descomponer en su parte promedio y su parte fluctuante de la forma

v = vr + vp 〈v〉 =0

〈vr〉 + 〈vp〉 v′ = v′r + v′

p (2.41)

Las ecuaciones de evolucion de la energıa cinetica de la partıcula, considerando quepracticamente no depende del numero de Reynolds (fD

∼= 1) y tampoco de la gravedad(g ∼= 0), se obtienen de la ecuacion de movimiento (1.2), luego de multiplicar por lavelocidad de la partıcula y promediar. De ello resultan las dos siguientes expresiones

12

d〈v2p〉

dt=

〈vp.vr〉τp

12

d〈v′2p 〉

dt=

〈v′p.v

′r〉

τp(2.42)

De estas ultimas relaciones y del cuadrado de las expresiones (2.40) y (2.41), se puedensacar las siguientes conclusiones:

• Para un comportamiento estadısticamente estacionario, es decir, eliminando lasderivadas temporales en (2.42), se tiene que

〈vp.vr〉 = 0 〈v′p.v′

r〉 = 0 (2.43)

i.e. La velocidad de la partıcula y la velocidad relativa son ortogonales en promedioy lo mismo ocurre con las fluctuaciones.

• El cuadrado de la descomposicion de la velocidad relativa resulta en

〈v2r〉 = 〈v′2

r 〉 (2.44)

i.e. En promedio, el cuadrado de la velocidad relativa es igual al cuadrado de susfluctuaciones.

• Despues de algunas manipulaciones algebraicas, se obtiene que

〈v′2〉 = 〈v′2r 〉 + 〈v′2

p 〉 (2.45)

i.e. La definicion de la velocidad relativa (v = vr + vp) y el promedio de loscuadrados de las fluctuaciones de sus terminos satisfacen la misma relacion com-plementaria.La disipacion viscosa ocasionada por las partıculas puede ser estimada mediante

la expresion

εp = 〈FD.vr 〉 Yp

mp= 〈 fD v2

r 〉Yp

τp(2.46)

23


donde Yp es la fraccion masica de las partıculas. Bajo condiciones de muy baja con-centracion, el modelo lineal para la disipacion de las partıculas se formula suponiendoque esta es linealmente proporcional a la disipacion turbulenta ε y la fraccion masica Yp

[Garcıa & Crespo,1997/2000]. Esto es,

εp =32

Co Yp ε (2.47)

donde Co es la constante de Kolmogorov que aparece en la funcion lagrangiana de es-tructura turbulenta para las partıculas.

Las relaciones (2.45) y (2.47) permite formular tambien un modelo lineal [Granadoset al.,2002] para la diferencia entre la energıa cinetica turbulenta del fluido k = 〈v′.v′〉/2y la energıa cinetica de las partıculas kp = 〈v′

p.v′p〉/2 de la forma

k − kp =εp τp

2 Yp(2.48)

donde substituyendo (2.47) queda el modelo independiente de la fraccion masica de laspartıculas

kp

k= 1 − 3

4Co /Sk (2.49)

donde el numero de Stokes /Sk ya ha sido definido en (1.7). De este modelo se infiere,bajo las condiciones expuestas, que las partıculas poseen siempre menor energıa cineticaque la turbulencia del fluido donde estan sumergidas. Este modelo sirve como metodoalternativo para obtener la constante Co de Kolmogorov, bien sea usando (2.47) o (2.49).

Tal como lo demuestran algunos experimentos numericos [Elghobashi & Trues-dell,1992/1993] y experimentos fısicos [Schreck & Kleis,1993], las ecuaciones de de-caimiento de la turbulencia homogenea e isotropa son [Crespo et al.,2001]

dk

dt= −ε

dε

dt= −Cε2

ε2

k(2.50)

donde se ha incluido la disipacion global

ε = ε + εp = [1 + fp(Yp)] ε (2.51)

en lugar de la disipacion turbulenta ε, siendo la funcion εp/ε = fp(Yp) dependiente ex-clusivamente de la concentracion de partıculas. En (2.50) se puede eliminar el diferencialdel tiempo dt con lo cual se obtiene que

Cε2

dk

k=

dε

ε

(k

ki

)Cε2

=ε

εi(2.52.a, b)

24

CAPITULO 2 MODELOS

donde el ındice i indica un instante particular ti. Similarmente para el fluido sinpartıculas, se obtiene (ko/koi)Cε2 = εo/εoi. Dividiendo (2.52) por esta ultima expre-sion y considerando que koi = ko y que εi = εoi (1 + fp), se obtiene la siguiente relacioninstantanea (

k

ko

)Cε2

=ε

εo(2.53)

La diferencia fundamental entre (2.52.b) y (2.53) radica en que la primera relaciona dosinstantes de tiempo t y ti, mientras que la segunda es valida para un solo instante genericot posterior o igual a ti. Son expresiones similares, pero con un significado diferente.

Para el modelo lineal (2.47) antes expuesto [Garcıa & Crespo,1997/2000]

fp(Yp) = Cp Yp Cp = 0.75 Co (2.54)

Otros investigadores han propuesto tambien una dependencia con respecto al numero deStokes, por ejemplo del tipo [Kulick et al.,1994]

fp(Yp, /Sk) =2/Sk

Yp

1 − Yp=

2 φp

/Sk(2.55)

donde φp es la carga de partıculas, definida como la masa de partıculas dividida entrela masa del fluido. La equivalencia entre la fraccion masica y la carga de las partıculasviene expresada por las dos siguientes relaciones

φp =Yp

1 − YpYp =

φp

1 + φp(2.56)

Estas dos cantidades son asintoticas entre sı para bajas concentraciones de partıculas.De esta forma, el modelo (2.55) tiende al modelo (2.54) con Cp = 2//Sk a bajas concentra-ciones, aunque esta ultima dependencia de Cp con el numero de Stokes parece contradecirlos resultados experimentales.

Por otra parte, existen estudios [Squires & Eaton,1994] de los efectos selectivos dela turbulencia cargada con partıculas sobre los modelos k-ε, basados en una compilacionde resultados obtenidos con simulacion numerica directa [Squires & Eaton,1990]. Estossugieren como razonable, en el caso donde se desprecia el termino de produccion (nucleodel flujo), usar las ecuaciones del modelo k-ε (ϕ = k, ε), para flujo estacionario (∂ϕ/∂t =0) y desarrollado (∇.(vϕ) = 0), modificadas de la siguiente manera [Kulick et al.,1994]

dk

dt= Cµ

k2

ε

d2k

dr2− ε − εp = 0

dε

dt= Cµ

k2

ε

d2ε

dr2− Cε2

ε

kε − Cε3

ε

kεp = 0 (2.57)

Si se asume que las derivadas segunda d2k/dr2 d2ε/dr2 se pueden escalar como k/L2 yε/L2 (siendo L una longitud caracterıstica en un posicion cerca de un eje de simetrıa),entonces (2.57) se puede reducir a

k′3

ε′= ε′ + ε′p

k′3

ε′= ε′ +

Cε3

Cε2

ε′p, (2.58)

25


donde k′ = k/ko y ε′ = ε/εo son variables adimensionalizadas con las variables ko y εo queson la energıa cinetica turbulenta k y la disipacion turbulenta ε para concentracion nulade partıculas (Yp = 0). Para que las dos ecuaciones en (2.58) tengan validez simultanea(o sea, que la solucion sea unica para una determinada concentracion de partıculas),entonces se debe satisfacer la igualdad Cε3 = Cε2. Esto no debe tomarse como unaprueba formal de esta igualdad, principalmente porque el escalamiento usado para lassegundas derivadas no es del todo riguroso.

Reasumiendo los resultados obtenidos con anterioridad (ecuacion (2.57)), el mo-delo k-ε (2.57) se reduce a

νtd2k

dr2− ε = 0 νt

d2ε

dr2− Cε2

ε2

k= 0 νt = Cµ

k2

ε(2.59)

donde se ha considerado que Cε3 = Cε2, como lo sugiere el analisis antes hecho. Concen-trando ahora la atencion sobre el flujo, mas que en las partıculas, las ecuaciones anterioresse pueden expresar tambien como

νtd2k

dr2− ε = 0 νt

d2ε

dr2− Cε2

ε2

k= 0 νt =

νt

1 + fp= Cµ

k2

ε(2.60)

transfiriendo el factor de influencia de las partıculas a la viscosidad turbulenta. Noteseque esto se puede hacer en regimen estacionario-desarrollado, pero en regimen transitorio-no desarrollado ya no es posible, como lo indica (2.50), donde no se pueden eliminar elmencionado factor en el termino de la derivada material.

De las expresiones (2.59) y (2.60) se pueden extraer las siguientes conclusiones:

• Para resolver las ecuaciones de k-ε como si el sistema fuese monofasico, de manerade obtener una disipacion turbulenta ε, que incluya la disipacion de las partıculasεp, estas se deben resolver con una viscosidad turbulenta incrementada que estepre-multiplicada por el factor (1 + fp). Es decir, en (2.59) la viscosidad a usardebe ser νt = (1 + fp) νt. En otras palabras, pre-multiplicar la viscosidad por elmencionado factor que es mayor que la unidad, resulta en la obtencion de unadisipacion que incluye el aporte de las partıculas y que obviamente es mayor quela disipacion solo de la parte fluida.

• Por el contrario, si lo que se desea es resolver las ecuaciones k-ε para obtener ladisipacion turbulenta ε solamente de la parte fluida, entonces se debe utilizar unaviscosidad turbulenta disminuida que este pre-multiplicada por el factor (1+fp)−1.Es decir, en (2.60) la viscosidad a usar debe ser νt = (1 + fp)− 1 νt.

Mediante el cambio de variables

k = k (1 + fp)13 (2.61)

26

CAPITULO 2 MODELOS

el modelo (2.60) se puede expresar alternativamente como

νtd2k

dr2− ε = 0 νt

d2ε

dr2− Cε2

ε2

k= 0 νt =

νt

(1 + fp)23

= Cµk2

ε(2.62)

Este modelo no es mas que el mismo modelo k-ε para el fluido sin partıculas, solo queusando la variable k en lugar de k. Generalizando un poco mas e incluyendo tambien eltermino de produccion de turbulencia, el modelo (2.62) se amplıa en la forma

∇.(νt ∇k) + νt ∇v :∇v − ε = 0 ∇.(νt ∇ε) + Cε1 ∇v :∇vε

k− Cε2

ε2

k= 0 (2.63)

con el cual se obtiene que

v = v (1 + fp)16 (2.64)

Las variables v, k y ε, serıan las cantidades representativas del flujo sin partıculas,suponiendo que al agregar dichas partıculas el flujo permanecerıa inalterable en cuantoa la disipacion turbulenta, eso es ε = ε = εo. Sin embargo, como de esto no se tiene unacompleta y segura confirmacion experimental, el modelo (2.63) se puede ampliar masaun con la siguiente familia de transformaciones

v = vo α13 (1 + fp)

16 k = ko α

23 (1 + fp)

13 ε = εo α (2.65)

que mantendrıa la misma forma en las ecuaciones, pero con las variables vo, ko y εo, ydonde α serıa una variable arbitraria que se podrıa usar para relacionar los resultadoscon y sin partıculas.

En el caso de turbulencia isotropa y homogenea, de acuerdo a (2.53), el valor de α

se reduce a α = ε/εo = (k/ko)Cε2 . No obstante, el resto de la transformaciones (2.65) noson validas por las razones explicadas antes. No existe forma de relacionar esta variablecon el factor (1 + fp), excepto a traves de la disipacion total ε de la siguiente manera

ε

εo= α (1 + fp) =

(k

ko

)Cε2

(1 + fp) Turbulencia Isotropa - Homogenea (2.66)

con lo cual queda que k/ko = α1/Cε2 .En el caso de que con y sin partıculas se mantenga el gradiente de presion, lo

que es equivalente a mantener la disipacion total ε = εo constante (suponiendo que elcaudal volumetrico es practicamente constante entre un caso y otro y no existen efectosgravitatorios), da como resultado el siguiente valor de α

α = (1 + fp)− 1 Gradiente Presion Constante (2.67)

27


con lo cual queda que k/ko = (1 + fp)− 1

3 .

En el caso de que con y sin partıculas se mantenga el caudal volumetrico (deforma exacta), y adicionalmente la energıa cinetica turbulenta sufra una atenuacion porla presencia de partıculas, se puede suponer k = ko − β kp (este modelo lineal se justificacon los resultados experimentales a bajas concentraciones de partıculas [Elghobashi &Truesdell,1993] [Kulick et al.,1994]), lo que da como resultado, luego de usar el modelolineal (2.48), la siguiente ecuacion algebraica

α23 (1 + fp)

13 (1 + β) = 1 + β fp α

τp

τfo

12 Yp

(2.68)

cuya solucion se puede obtener iterando, usando la tecnica numerica de punto fijo con elsiguiente despeje de α de la expresion (2.68)

α =

√(1 + 0.5 β fp α /Sko/Yp)3

(1 + fp) (1 + β)3Caudal Volumetrico Constante (2.69)

donde el numero de Stokes involucrado es /Sko = τp/τfo, siendo el tiempo caracterısticodel flujo sin partıculas τfo = ko/εo. En aquellos flujos de muy bajos numeros de Stokes/Sko, el anterior valor tiende a

α = (1 + fp)− 1

2 (1 + β)− 32 Caudal Volumetrico Constante, /Sko 1 (2.70)

lo que substituido en (2.65) da que k/ko = (1+β)−1. Esta ultima cantidad serıa el lımitede la reducion de k debida a la presencia de las partıculas. Es decir, lo maximo que sepuede reducir k por las partıculas es a la (1 + β) partes de ko. El valor (2.70) puede encualquier caso usarse como el iterado inicial en el metodo de punto fijo antes mencionadopara resolver (2.69).

2.3.2. TERMINO DE DISIPACION DEBIDO A LAS PARTICULAS

En esta seccion, a posteriori, se va a describir muy brevemente la deduccion delmodelo del termino de disipacion extra debido a las partıculas [Garcıa & Crespo,2000] re-sumido en la expresion (2.47). Para dicho modelo se han supuesto las siguientes hipotesis:

1. La densidad de las partıculas es muchısimo mas elevada que la densidad del fluido(gas), y las fuerzas de Basset y las fuerzas de masa virtual se desprecian.

2. Las partıculas son esfericas.3. La fraccion de volumen de las partıculas es lo suficientemente pequena que las

interacciones partıcula-partıcula pueden ser despreciadas.4. En el movimiento local de las partıculas, las gravedad puede ser despreciada frente

a las fuerzas de inercia.

28

CAPITULO 2 MODELOS

La ecuacion del movimiento (1.2) de las partıculas se puede escribir de la forma

ρp Vpdvp

dt≈ F

D(2.71)

donde la fuerza de arrastre se estima como

FD

=12

CD

ρSp vr |vr| (2.72)

En esta parte, especial atencion se va a brindar a la velocidad relativa vr del fluidorespecto a la partıcula, como se podra observar en la figura 2.2, por lo que es preferibleexpresar (2.71) en la forma

ρp Vpdvr

dt≈ ρp Vp

dvdt

− FD

(2.73)

Las igualdades aproximadas que se han colocado en (2.71) y (2.73) son debidas a lashipotesis hechas.

Figura 2.2. Movimiento relativo del fluido alrededor de la partıcula (derecha)

Ahora se hara un estudio del orden de las escalas de cada uno de los terminos dela ecuacion de movimiento. Para diferentes escalas de turbulencia (lε > > η) se tiene

• Para el fluido (fase gaseosa)

τ≈

v

≈ 2/3

ε1/3v

≈ (ε )1/3 dv

dt≈ v

τ≈

τ2

≈ ε2/3

1/3(2.74.a, b, c)

• Para las partıculas

τp≈

vr

dvr

dt≈ vr

τp

≈ vr

/vr

≈ v2r

(2.74.d, e)

• Para la fuerza de arrastre

FD≈ 1

2C

DρSp v2

r(2.74.f)

29


Substituyendo en la ecuacion de movimiento (2.73), resulta

masa × aceleracionrelativa︷︸︸︷

B ρp Vp

v2r

︸︷︷︸dominante para pequeno

≈

inercia de la partıcula︷︸︸︷Aρp Vp

ε1/3

1/3−

fuerza de arrastre︷︸︸︷12

CD ρSp v2r︸︷︷︸

dominante para grande

(2.75)

donde A y B son dos constantes de escalamiento. Finalmente despejando la velocidadrelativa se obtiene

vr ≈ A (ρpVp)1/2 ε1/31/3

(B ρpVp + 12 C

DρSp )1/2

(2.76)

Se puede observar en (2.76) que vr debe tener un maximo para un determinado valor de∗, dado por

∂vr

∂= 0 =⇒ |vr

max = ∗ ≈ 1CD

ρp

ρ

Vp

Sp=⇒ ∗ dp ≈ Vp

Sp(2.77)

u∗ ≈ (2dp)1/3ε1/3

(ρp

ρ

)1/3( 4C

D

)1/3

(2.78)

De este resultado se asume que la disipacion turbulenta debida a las partıculas ocurre ala escala ∗, y viene dada por

εp ≈ FDu∗ Yp

ρpd3p

≈ CD

(ρp

ρ

)u∗3

dpYp (2.79)

e introduciendo v∗r de la ecuacion (2.78) se obtiene

εp ≈ CD

(ρp

ρ

) [(2dp)1/3ε1/3

(ρp

ρ

)1/3( 4C

D

)1/3 ]3 1dp

Yp (2.79)

o simplificando

εp = Cp Yp ε (2.80)

donde Cp incluye todo lo que no contiene a la disipacion ε o a la concentracion Yp.

Para el caso del flujo Stokesiano de la partıcula, es decir CD = 24/IRep (fD ≈ 1),el valor de C puede ser mas precisamente inferido de consideraciones teoricas. Sea ladisipacion de las partıculas

εp = 〈FD vr〉 Ypπ6 ρp d3

p

= 〈u2〉 Yp

τp(2.81)

30

CAPITULO 2 MODELOS

donde en el lımite de Stokes, FD

= 3π µ u d y τp = ρp d2/18µ. Con la finalidad de estimar〈v2

r 〉, se realiza la transformada de Fourier de la ecuacion de movimiento

dudt

=dvg

dt− u

τp(2.82)

de lo cual se obtiene la siguiente relacion

v2r =

v2

1 +1

ω2τ2p

(2.83)

donde ω esta en el espacio de frecuencias.Luego, asumiendo que:

• La turbulencia es cuasi-homogenea e isotropa, la relacion entre el espectro de lavelocidad del gas y la velocidad relativa es

Er(ω) = E(ω)1

1 +1

ω2τ2p

(2.84.a)

• Las escalas de interes estan en el sub-rango inercial

τ−1ε

ω τ−1η

(2.84.b)

• Ya que hemos asumido que la presencia de las partıculas no afecta al fluido enprimera aproximacion, el espectro lagrangiano en el tiempo es

E(ω) =3Co

πε ω−2 (2.84.c)

donde Co es la constante universal de Kolmogorov.• El valor de la media del cuadrado de la velocidad relativa viene dada por

〈v2r 〉 =

3π

∫ ∞

0

Co ε ω−2

1 + 1

ω2τ 2p

dω =32

Co ε τp (2.84.d)

se obtiene, luego de las subtituciones de las hipotesis, el siguiente resultado esperadopara la disipacion adicional introducida por las partıculas

εp =32

Co ε Yp Cp =32

Co (2.85)

31


En las ecuaciones del modelo k−ε se introducen unos terminos de fuentes adicionales quetoman en consideracion el efecto de la presencia de partıculas. La forma de estos terminosde fuentes (realmente sumideros) es similar a las expresiones usadas en la mayorıa de losmodelos que incluyen partıculas y se expresan como

Sk = −εp Sε = −ρ Cε3ε

kεp (2.86)

Esto completa la deduccion planteada al inicio de la seccion.

2.3.3. MODELO ‘LES’ PARA INCLUIR LAS PARTICULAS

Siguiendo un razonamiento inductivo, se puede tener como hipotesis que la modifi-cacion realizada en (2.59) para aumentar el valor de la disipacion, incluyendo la disipacionde las partıculas, se puede extender a cualquier modelo que utilice la viscosidad turbu-lenta de Boussinesq. Lo que se pretende es verificar si esta hipotesis es valida con elmodelo ‘LES’. Se reformula el modelo ‘LES’ de la siguiente forma

µt = ρ l2 ‖D‖ (1 + Cp Y p ) l = Cs ∆ ‖D‖ =√

2D : D (2.87)

donde Cs es un parametro que de nuevo se puede calcular dinamicamente, los tensoresde esfuerzos se seguirıan expresando por (2.7) y el paramentro Cp se tiene que estimarcomo en (2.54). El modelo (2.87) se justifica con el siguiente razonamiento: multiplicarla definicion (2.10) por el factor (1 + Cp Y p ) es similar a usar un modelo lineal (2.54)en la viscosidad turbulenta νt = νt (1 + fp) en (2.59), usando la variable ε. Finalmentese obtiene como resultado una disipacion global ε que ya incluye la disipacion de laspartıculas.

Siguiendo un procedimiento similar al utilizado en la seccion 2.1.4, se puede for-mular un modelo dinamico para la anterior modificacion (2.87) del modelo ‘LES’, que sepuede implementar definiendo un nuevo tensor de Leonard

Lt = ρ [ ˜v ˜v (1 + CpY p) −˜︷︸︸︷

vv(1 + CpY p) ] (2.88)

Introduciendo la viscosidad turbulenta, la parte desviatoria de este tensor se puede cal-cular como

Lt

′= Lt − 1

3tr(Lt) I = 2 ρ l2 [ α2 ‖D‖ D (1 + CpY p) −

˜︷︸︸︷‖D‖D (1 + CpY p) ] = 2 ρ l2 M

(2.89)

32

CAPITULO 2 MODELOS

Luego se puede encontrar el parametro l2 por mınimos cuadrados, como se hizo antes enla seccion 2.1.4, pero incluyendo los ultimos cambios como

l2 =1

2 ρ

Lt : M

M : M(2.90)

Esta expresion es identica a (2.22), pero sus elementos, dados por (2.89), son diferentes.El filtro con tilde se realiza en superficies cilındricas a distintas posiciones radiales. Esteplanteamiento es similar al propuesto en [Garcıa,2001] para canales, donde el filtrado sehace en planos paralelos a las paredes del mismo.

Adicionalmente, para completar el modelo y poder observar la modulacion dela turbulencia, a la ecuacion de Navier-Stokes (2.6) ya discretizada, hay que anadirleun termino de fuerzas de cuerpo Fp expresada por unidad de volumen, debida a laspartıculas. Esto se hace para cada celda sumando los opuestos de todas las fuerzas dearrastre de las partıculas i dentro de dicha celda en la forma

Fp = − 1Vc

∑i∈Vc

FDi (91)

donde Vc es el volumen de la celda correspondiente. Esta modificacion tambien se hace a(1.1) ya discretizada, cuando la simulacion es numerica directa (DNS) y se desea observarla modulacion de la turbulencia, es decir, el efecto dinamico de las partıculas sobre elmovimiento del fluido.

33

CAPITULO 3

METODOS NUMERICOS

En este capıtulo se describen en tres apartados los metodos numericos utilizadosen esta tesis. En el primer apartado, el metodo Runge-Kutta se introduce desde unpunto de vista general, porque luego la notacion y algunos de los resultados se usan parael analisis de estabilidad en el metodo de paso fraccionado del segundo apartado. Enel tercer apartado se presenta el algoritmo para realizar las interpolaciones polinomicasen el espacio. El metodo Runge-Kutta implıcito de sexto orden con control de pasobasado en la cuadratura de Lobatto y su algoritmo de ejecucion, aquı expuestos, se handesarrollado exclusivamente para esta tesis. Con este metodo se resuelven las ecuacionesde movimiento de todas las partıculas simultaneamente de forma eficiente, teniendo encuenta que el choque de las partıculas introducen una cierta rigidez (Stiffness) e inesta-bilidad al sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias. El metodo de paso fraccionado,utilizado para resolver la ecuacion de Navier-Stokes del fluido, es de tercer orden (tipoRunge-Kutta) en el tiempo y de segundo orden en el espacio con un esquema semi-implıcito en el termino viscoso de tipo Crank-Nicolson. El metodo de interpolacion in-terrelaciona los dos metodos anteriores, puesto que la velocidad relativa que percibe cadapartıcula se calcula con la interpolacion en el punto de localizacion de dicha partıcula delcampo de velocidades en el espacio, representado por valores discretos de la velocidad enlos centros de las celdas numericas. Luego, las partıculas en su movimiento relativo con elfluido introducen fuerzas de arrastre sobre el flujo, que se representa por una fuerza netaadicional por cada celda en la ecuacion de Navier-Stokes. El algoritmo de interpolacionpolinomica hasta de cuarto grado expuesto, fue desarrollado exclusivamente para estatesis por su eficiencia, puesto que al basarse en los criterios de simetrıa y monotonıa,permite reducir el grado del polinomio, cuando no sea necesaria tanta precision.

El seguimiento de las recomendaciones de Yeung [2002], como ası se menciono enla seccion 1.1.3, justifica el uso de los metodo de mayor orden (Runge-Kutta de tercerorden para el fluido, Runge-Kutta de sexto orden para las partıcula y polinomios decuarto grado para las interpolaciones) y mas estables (metodos Runge-Kutta implıcitosen el tiempo y dicretizacion de Crank-Nicolson en el espacio), tanto para las partıculas,como para el fluido. Los otros metodos explicados en este capıtulo y que son menos

35


sofisticados, solo se han usado para reducir los costos computacionales en el proceso deconvergencia previo a la simulacion definitiva. La eleccion de los diferentes metodosutilizados en esta tesis ha seguido el criterio anterior recomendado por Yeung.

3.1. METODO RUNGE-KUTTA

La generalidad excesiva con la que se presentan en este capıtulo los metodos Runge-Kutta, obedece a dos razones bien justificadas. Primero, en el desarrollo de esta tesis sehan probado, para la integracion de la ecuaciones de movimiento de las partıculas, variosmetodos Runge-Kutta, explıcitos e implıcitos, sin control y con control de paso. Se haencontrado que en una primera aproximacion, para hacer la convergencia mas rapida, esmejor y mas rapido y eficiente utilizar un metodo de menor orden y con paso constante.Luego, para obtener resultados mas confiables, sobre todo en el rango de altas frecuencias,es necesario utilizar metodos de mayor orden y con control de paso. Finalmente, si seincluyen los choques entre partıculas y entre estas y la pared de la tuberıa, es mejoremplear metodos implıcitos y por consiguiente mas estables. Esto ultimo tambien sejustifica, si el metodo utilizado para el fluido tambien es implıcito.

En segundo lugar, el tema que se introduce en esta seccion, permite el en-tendimiento integral de la proxima seccion, relativa al metodo del paso fraccionado,dentro de un contexto bastante general. Esto conducira luego, basandose en criteriosde precision y estabilidad, a justificar la eleccion de un valor de un CFL (numero deCourant-Friedrichs-Lewy) un poco mas relajado que lo normal (e.g. En la cuadraturade Adams-Bashforth de segundo orden se ha usado un CFL de 1.0, mientras que en laaplicacion de un metodo Runge-Kutta de tercer orden semi-implıcito se ha usado un CFLde 1.7).

3.1.1 ECUACIONES DIFERENCIALES

Como es bien conocido, todo sistema de ecuaciones diferenciales de cualquier or-den, con un conveniente cambio de variables, puede ser transformado en un sistema deecuaciones diferenciales de primer orden [Gerald,1979][Burden & Faires,1985]. Por estarazon, estos ultimos sistemas son los que se estudiaran en esta parte.

Sea el siguiente sistema de M ecuaciones diferenciales de primer orden

dyi

dx= f i(x,y) i = 1, 2, 3, . . . , M (3.1)

siendo y una funcion M -dimensional con cada una de sus componentes dependiendo dex. Esto es

dydx

= f(x,y) (3.2)

dondey = y(x) = (y1(x), y2(x), y3(x), . . . , yM (x)) (3.3)

36

CAPITULO 3 METODOS NUMERICOS

Cuando cada funcion f i(x,y) depende solo de la variable yi, se dice que el sistemaesta desacoplado, de lo contrario se dice que esta acoplado. Si el sistema esta desacoplado,entonces cada una de las ecuaciones diferenciales se puede resolver separadamente.

Cuando las condiciones de las solucion de y(x) son conocidas en un unico punto,por ejemplo

x = xo yi(xo) = yio (3.4)

las expresiones (3.1) y (3.4) se dicen que conforman un “problema de valor inicial”, delo contrario se dice que es un “problema de valor en la frontera”.

En realidad, el sistema (3.1) es una caso particular del caso mas general expresadode la siguiente forma [Burden & Faires,1985][Gear,1971]

dydx

= f(y) ≡

dyi/dx = 1 if i = 1dyi/dx = f i(y) if i = 2, 3, . . . , M + 1

(3.5)

pero con el adicional cambio de variable y1o = xo en (3.4).

3.1.2. DESCRIPCION DEL METODO

Tratando de hacer una formulacion general, se puede plantear al metodo Runge-Kutta de orden P y equipado con N etapas con la siguiente expresion [Gear,1971]

yin+1 = yi

n + crkir (3.6.a)

donde las variables M -dimensionales auxiliares bfkr son calculadas de la forma

kir = h f i(xn + brh,yn + arsks) (3.6.b)

parai = 1, 2, 3, . . . , M r, s = 1, 2, 3, . . . , N (3.6.c)

Notese que se ha usado la notacion indicial, de manera que si un ındice aparece dos veces(o mas) en un termino, se debe realizar una sumatoria en todo su rango (en este contexto,no es importante el numero de factores con el mismo ındice en cada termino).

Un metodo Runge-Kutta (3.6) tiene orden P , si para un problema lo suficiente-mente suave del tipo (3.2) y (3.4), se tiene que

‖y(xn + h) − yn+1‖ ≤ Φ(ζ) hP+1 = O(hP+1) ζ ∈ [xn, xn + h], (3.7)

es decir, si la expansion en series de Taylor para la solucion exacta y(xn+h) del problemay la solucion aproximada yn+1 coinciden hasta (e incluyendo) el termino del orden dehP [Lapidus & Seinfeld,1971].

37


El metodo Runge-Kutta antes definido se puede aplicar para resolver un problemade valor inicial y se usa recurrentemente. Dado un punto (xn,yn), el punto siguiente(xn+1,yn+1) se obtiene usando la expresion (3.6), siendo

xn+1 = xn + h (3.8)

y h el paso del metodo. Cada vez que se hace este procedimiento, el metodo avanzahacia adelante (o hacia atras si h es negativo) un paso de integracion h en x, ofre-ciendo la solucion en puntos consecutivos, uno para cada salto. De esta forma, si elmetodo comienza con el punto (x0,y0) definido por (4), entonces luego se pueden cal-cular (x1,y1), (x2,y2), (x3,y3), . . . , (xn,yn), y continuar de esta forma, hasta la fronteradeseada en x. Cada integracion o salto el metodo se reinicializa con la informacion delpunto precedente inmediatamente anterior, por ello el metodo Runge-Kutta se consideradentro del grupo de metodos denominados de un solo paso. No obstante, se debe notarque las variables auxiliares ki

r son calculadas para todo r hasta N en cada paso. Estoscalculos no son mas que evaluaciones de f i(x,y) para puntos intermedios x + brh en elintervalo [xn, xn+1] (0 ≤ br ≤ 1), pero pre-multiplicadas por h (esta multiplicacion porh puede hacerse al final, lo que hace al metodo mas eficiente). La evaluacion de cadavariable M -dimensional auxiliar kr, representa una etapa del metodo.

Ahora se introduce una representacion condensada del metodo Runge-Kutta ge-neralizado, originalmente desarrollada por Butcher [1964]. Esta representacion matricialdel metodo Runge-Kutta se presenta de forma sistematica en las referencias [Lapidus &Seinfeld,1971], [Hairer et al.,1987] y [Hairer & Wanner,1991], siendo las dos ultimas unpar de catalogos de todos los metodos Runge-Kutta imaginables. Despues del artıculode Butcher [1964] se ha vuelto costumbre simbolizar un metodo Runge-Kutta (3.6) convalores ordenados de forma tabular. Con la finalidad de ilustrar la notacion de Butcher,como se le denomina actualmente, considerese (3.6) aplicado a un metodo de cuatroetapas (N = 4). Acomodando los coeficientes ars, br y cr de forma ordenada como en lasiguiente tabla matricial

b1 a11 a12 a13 a14

b2 a21 a22 a23 a24

b3 a31 a32 a33 a34

b4 a41 a42 a43 a44

c1 c2 c3 c4

(3.9)

con valores particulares, se obtiene la notacion de Butcher del metodo en particular.La representacion anterior permite hacer una distincion basica para los distintos

metodos Runge-Kutta, de acuerdo a las caracterısticas de la matriz ars: Si ars = 0 paras ≥ r, entonces la matriz ars es triangular inferior, excluyendo la diagonal principal, yel metodo se clasifica como completamente explıcito. Si, ars = 0 para s > r, entoncesla matriz ars es triangular inferior, pero incluyendo la diagonal principal, y el metodose clasifica como semi-implıcito o simple-diagonalmente implıcito. Si la matriz ars esdiagonal por bloques, se dice que el metodo es diagonalmente implıcito (por bloques). Si

38


la primera fila de la matriz ars esta llena de ceros, a1,s = 0, y el metodo es diagonalmenteimplıcito, entoces se denomina metodo de Lagrange [van der Houwen & Sommeijer,1991](los coeficientes br pueden ser arbitrarios). Si un metodo de Lagrange tiene bN = 1y la ultima fila es el arreglo aN,s = cs, entonces el metodo se dice que es rıgidamentepreciso. Si, contrariamente, ninguna de las condiciones previas son satisfechas, el metodose clasifica de implıcito. Cuando ningun elemento de la matriz ars es nulo, se dice que elmetodo es completamente implıcito. En los casos de los metodos Runge-Kutta implıcitos,se debe hacer notar que una variable auxiliar kr puede depender de ella misma y de otrasvariables auxiliares no calculadas hasta el momento en la misma etapa. Es por ello, queestos metodos se llaman implıcitos en estos casos.

Adicionalmente, la representacion arriba descrita, permite verificar muy facilmentelas propiedades que los coeficientes ars, br, y cr deben tener. En particular, se debensatisfacer las siguientes propiedades

0 ≤ br ≤ 1 ars δs = br cr δr = 1 (3.10.a, b, c)

donde el vector δ es unitario en todas sus componentes (δr = 1 ∀r = 1, 2, 3, . . . , N). Lasanteriores propiedades pueden interpretarse de la siguiente manera: La propiedad (3.10.a)expresa que el metodo Runge-Kutta es un metodo de un solo paso, y que las funcionesf i(x,y(x)) en (3.6.b) deben ser evaluadas para x ∈ [xn, xn+1]. La propiedad (3.10.b)resulta de aplicar el metodo Runge-Kutta (3.6) a un sistema de ecuaciones diferencialesdel tipo (3.5), donde k1

s = 1 ∀s = 1, 2, 3, . . . , N , y ası la suma de ars en cada lınea rofrece el valor de br. La propiedad (3.10.c) significa que en la expresion (3.6.a), el valorde yi

n+1 es obtenido del valor de yin, proyectando con h un promedio de las derivadas

dyi/dx = f i(x,y) en los puntos intermedio del paso. Este promedio se hace con loscoeficientes de peso cr, por lo que la suma obviamente debe ser la unidad.

Los coeficientes ars, br y cr son determinados mediante la aplicacion de laspropiedades (3.10) y usando algunas relaciones que son deducidas de la siguiente manera:Sea el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden expresadode acuerdo a (3.5) como un problema de valor inicial del tipo

dydx

= f(y) (3.5′)

x = x0 y(x0) = y0 (3.4′)

El metodo Runge-Kutta aplicado a este problema se formula como

yn+1 = yn + crkr (3.6.a′)

donde las variables auxiliares kr se definen como

kr = h f(yn + arsks) (3.6.b′)

39


Si ahora se hace una expansion en serie de Taylor a la componente kir de (3.6.b′),

alrededor del punto (xn,yn), siendo yn = y(xn), resulta que

kir =h f i [δr] + h f i

j [arskjs] +

h

2f i

jk [arskjs] [artk

kt ]

+h

6f i

jkl [arskjs] [artk

kt ] [arukl

u]

+h

24f i

jklm [arskjs] [artk

kt ] [arukl

u] [arvkmv ] + O(h6)

(3.11.a)

donde la regla del ındice repetido y la siguiente notacion ha sido usada

f i = f i(xn) f ij =

∂f i

∂yj

∣∣∣yn

f ijk =

∂2f i

∂yj∂yk

∣∣∣yn

· · · (3.11.b)

Aquı las functiones se suponen del tipo C∞ (funciones analıticas), y por consiguiente losındices en (3.11.b) son permutables.

La variable kjs en el segundo termino del miembro de la derecha de (3.11.a) puede

de nuevo ser expandida en serie de Taylor como

kjs =h f j [δs] + h f j

k [asαkkα] +

h

2f j

kl [asαkkα] [asβkl

β ]

+h

6f j

klm [asαkkα] [asβkl

β ] [asγkmγ ] + O(h5)

(3.11.c)

De la misma manera kkα puede ser expandida como

kkα = h fk [δα] + h fk

l [aαδklδ] +

h

2fk

lm [aαδklδ] [aαεk

mε ] + O(h4) (3.11.d)

y ası sucesivamentekl

δ = h f l [δδ] + h f lm [aδϕkm

ϕ ] + O(h3) (3.11.e)

hastakm

ϕ = h fm [δϕ] + O(h2) (3.11.f)

40


Si finalmente se hace una recurrente substitucion regresiva, se obtiene que

kir =h f i [δr] + h2 [f i

jfjbr] + h3 [f i

jfjkfkarsbs +

12f i

jkf jfkb2r]

+ h4 [f ijf

jkfk

l f larsastbt +12f i

jfjklf

kf larsb2s

+ f ijkf j

l fkf lbrarsbs +16f i

jklfjfkf lb3

r]

+ h5 [f ijf

jkfk

l f lmfmarsastatubu +

12f i

jfjkfk

lmf lfmarsastb2t

+ f ijf

jklf

kmf lfmarsbsastbt +

16f i

jfjklmfkf lfmarsb

3s

+ f ijkf j

l fkf lmfmbrarsastbt +

12f i

jkf jlmfkf lfmbrarsb

2s

+12f i

jkf jl fk

mf lfmarsbsartbt +12f i

jklfjmfkf lfmb2

rarsbs

+124

f ijklmf jfkf lfmb4

r] + O(h6)

(3.11.g)

Insertando esta ultima expresion de los componentes de kr en la ecuacion (3.6.a′), ycomparando luego con la siguiente expansion en series de Taylor de yn+1 (Esta expansionse desarrolla alrededor del punto yn)

yin+1 = yi

n + h f i +h2

2(f i

jfj) +

h3

6(f i

jfjkfk + f i

jkf jfk)

+h4

24(f i

jfjkfk

l f l + f ijf

jklf

kf l + 3f ijkf j

l f lfk + f ijklf

jfkf l) (3.11.h)

+h5

120(f i

jfjkfk

l f lmfm + f i

jfjkfk

lmf lfm + 3f ijf

jklf

kmf lfm + f i

jfjklmfkf lfm + 4f i

jkf jl fkf l

mfm

+ 4f ijkf j

lmfkf lfm + 3f ijkf j

l fkmf lfm + 6f i

jklfjmfkf lfm + f i

jklmf jfkf lfm) + O(h6)

41


resultan las siguientes relaciones que deben satisfacerse por los coeficientes ars, br y cr

para un metodo Runge-Kutta de hasta quinto orden

h crδr = 1

h2 crbr = 1/2

crarsbs = 1/6

h3 crb2r = 1/3

crarsastbt = 1/24

crarsb2s = 1/12

crbrarsbs = 1/8

h4 crb3r = 1/4

crarsastatubu = 1/120

crarsastb2t = 1/60

crarsbsastbt = 1/40

crarsb3s = 1/20

crbrarsastbt = 1/30

crbrarsb2s = 1/15

crarsbsartbt = 1/20

crb2rarsbs = 1/10

h5 crb4r = 1/5

(3.12)

En estas relaciones, br se ha definido de acuerdo a la propiedad (3.10.b). Notesetambien que se han usado expansiones de las series de Taylor hasta el termino de quintoorden (con h5) en el desarrollo de las anteriores relaciones. Por consiguiente, las relaciones(3.12) son validas para los metodos Runge-Kutta, tanto explıcitos como implıcitos, desdeel primer orden (e.g. Metodo de Euler), pasando por los de segundo orden (e.g. Metodode Euler modificado en sus variantes del paso medio o del trapecio), los de tercer y cuartoordenes (e.g. Metodos de Kutta), hasta el metodo de quinto orden (e.g. metodo Fehlbergy metodo de Cash & Karp) y de sexto orden (e.g. Metodos basados en las cuadraturasde Gauss-Legendre y de Lobatto). En todos los casos los ındices r, s, t y u varıan desde1 hasta N , que es el numero de etapas.

Gear [1971] presenta una deduccion similar a (3.11), pero solo para metodosexplıcitos. En Hairer et al. [1987], aparecen relaciones similares a (3.12), pero solopara metodos explıcitos hasta de cuarto orden. En esta ultima referencia aparece unteorema que resalta la equivalencia entre el metodo Runge-Kutta y los metodos de colo-cacion ortogonal. El siguiente teorema [Hairer & Wanner,1991] resume los resultados de(3.12) de una forma mas concisa:Teorema [Butcher,1964]. Sea la siguiente condicion definida como

B(P )N∑

i=1

cibq−1i =

1q

q = 1, 2, . . . , P

C(η)N∑

j=1

aijbq−1j =

bqi

qi = 1, 2, . . . , N q = 1, 2, . . . , η (3.12′)

42


D(ξ)N∑

i=1

cibq−1i aij =

cqj

q(1 − bq

j) j = 1, 2, . . . , N q = 1, 2, . . . , ξ

Si los coeficientes bi, ci y aij de un metodo Runge-Kutta satisfacen las condiciones B(P ),C(η) y D(ξ), con P ≤ η + ξ + 1 and P ≤ 2η + 2, entonces el metodo es de orden P .

Cuadratura de Kutta

En 1965 Ralston hizo un analisis similar a (3.11), para obtener las relaciones delos coeficientes de un metodo Runge-Kutta explıcito de cuarto orden y cuatro etapas, yencontro la siguiente familia de metodos en funcion de los coeficientes b2 y b3

b1 = 0 b4 = 1 (3.13.a)

ars = 0 s ≥ r (3.13.b)

a21 = b2 (3.13.c)

a31 = b3 − a32 (3.13.d)

a32 =b3(b3 − b2)

2 b2(1 − 2 b2)(3.13.e)

a41 = 1 − a42 − a43 (3.13.f)

a42 =(1 − b2)[b2 + b3 − 1 − (2 b3 − 1)2]

2 b2(b3 − b2)[6 b2b3 − 4 (b2 + b3) + 3](3.13.g)

a43 =(1 − 2 b2)(1 − b2)(1 − b3)

b3(b3 − b2)[6 b2b3 − 4 (b2 + b3) + 3](3.13.h)

c1 =12

+1 − 2(b2 + b3)

12 b2b3(3.13.i)

c2 =2 b3 − 1

12 b2(b3 − b2)(1 − b2)(3.13.j)

c3 =1 − 2 b2

12 b3(b3 − b2)(1 − b3)(3.13.k)

c4 =12

+2 (b2 + b3) − 3

12 (1 − b2)(1 − b3)(3.13.l)

Notese que la substitucion de los valores b2 = 1/2 y b3 = 1/2, o los valores b2 = 1/3y b3 = 2/3, permiten obtener los clasicos, bien conocidos y muy utilizados metodos de

43


Kutta de cuarto orden y cuatro etapas del primer o segundo tipo, y que se muestran acontinuacion

0 0 0 0 01/2 1/2 0 0 0

1/2 0 1/2 0 01 0 0 1 0

1/6 1/3 1/3 1/6

0 0 0 0 01/3 1/3 0 0 0

2/3 0 −1/3 1 01 1 −1 1 0

1/8 3/8 3/8 1/8

(3.14.a, b)

0 0 0 0 01/2 1/2 0 0 0

1/2 −1+√

22

2−√2

2 0 0

1 0 −√

22

2+√

22 0

1/6 2−√2

62+

√2

6 1/6

(3.14.c)

El primer de los metodos arriba mostrados se basa en la cuadratura propuesta por Kuttaoriginalmente. El segundo metodo en una variante del anterior, solo que las evaluacionesintermedias son equidistantes (a veces se le denomina cuadratura de Kutta del segundotipo). El tercer de los metodos es el metodo de Gill [1951], y no pertenece a la familiadescrita por (3.13). No obstante, es una variante que mejora en cierta medida al metodode Kutta del primer tipo [Carnahan et al.,1969], al cual se le parece mucho por la similitudde los coeficientes y por ser del mismo orden y tener el mismo numero de etapas. Loscoeficientes del metodo de Gill, por supuesto satisfacen las relaciones (3.12) y (3.12′).Todos los metodos de cuatro etapas (3.14) antes descritos son de cuarto orden en el errorglobal y quinto orden en el error local.

Cuadratura de GaussComo un ejemplo, existen metodos Runge-Kutta completamente implıcitos basa-

dos en la cuadratura de Gauss-Legendre. En estos casos, los coeficientes satisfacen lassiguientes relaciones

arsbγ−1s =

bγr

γcsb

γ−1s =

1γ

γ = 1, 2, 3, . . . , N (3.12′′.a)

donde los coeficientes br son las raıces del polinomio de Legendre de orden N , el numerode etapas, es decir,

PN (2 br − 1) = 0 (3.12′′.b)

donde el orden del metodo Runge-Kutta que se origina es el doble del numero de etapa(P = 2N). En la notacion de Butcher, los tres primeros de estos metodos son

1/2 1/2

1

(3 −√3)/6 1/4 (3 − 2

√3)/12

(3 +√

3)/6 (3 + 2√

3)/12 1/4

1/2 1/2

(3.14′.a, b)

44


(5 −√15)/10 5/36 (10 − 3

√15)/45 (25 − 6

√15)/180

1/2 (10 + 3√

15)/72 2/9 (10 − 3√

15)/72

(5 +√

15)/10 (25 + 6√

15)/180 (10 + 3√

15)/45 5/36

5/18 4/9 5/18

(3.14′.c)

de segundo, cuarto y sexto ordenes, respectivamente.

3.1.3. CUADRATURA DE LOBATTO

Los metodos Runge-Kutta explıcitos son de aplicacion directa, mientras que losmetodos Runge-Kutta implıcitos requieren la resolucion de un sistema de ecuacionescon las variables auxiliares kr en cada paso de integracion de las ecuaciones diferenciales,como esta sugerido por las ecuaciones (3.6.b). Este sistema de ecuaciones es generalmenteno lineal, al menos que la funcion f(x,y) sea lineal, y puede ser resuelto aplicando unesquema iterativo del tipo punto fijo.

El metodo Runge-Kutta implıcito que va a ser usado aquı, es un metodo de sextoorden (P = 6) con cuatro etapas (N = 4), desarrollado sobre las bases de la cuadraturade Lobatto [1851] (para mas detalles ver [Butcher,1987] y [Lapidus & Seinfeld,1971]).Los coeficientes de este metodo organizados en la notacion de Butcher son

0 0 0 0 0(5 −√

5)/10 (5 +√

5)/60 1/6 (15 − 7√

5)/60 0

(5 +√

5)/10 (5 −√5)/60 (15 + 7

√5)/60 1/6 0

1 1/6 (5 −√5)/12 (5 +

√5)/12 0

1/12 5/12 5/12 1/12

(3.15.a)

Este metodo sera denominado como el “principal”.Dentro de los coeficientes del metodo principal, pueden ser detectados una parte

de ellos que forman otro metodo Runge-Kutta “secundario” empotrado en el primero.Este otro metodo es de tercer orden (P = 3), tiene tres etapas (N = 3) y en la notacionde Butcher son

0 0 0 0(5 −√

5)/10 (5 +√

5)/60 1/6 (15 − 7√

5)/60

(5 +√

5)/10 (5 −√5)/60 (15 + 7

√5)/60 1/6

1/6 (5 −√5)/12 (5 +

√5)/12

(3.15.b)

Ambos metodos, el principal y el secundario, constituyen lo que se denomina laforma de la cuadratura de Lobatto empotrada de tercer y sexto ordenes con cuatroetapas (el metodo de Fehlberg [1971] posee una forma similar, pero es explıcito). Notese

45


que esta forma Lobatto solo es implıcita en en las variables k2 and k3, y por lo tantodebe ser resuelto el sistema solo en esas dos variables, lo que trae como consecuencia unincremento de la eficiencia de resolucion, comparado con otros metodos implıcitos. Lasotras variables son de resolucion directa (en la ultima etapa, una vez encontradas lasanteriores.

Con la finalidad de aplicar un proceso iterativo para resolver el sistema de ecua-ciones no lineales se requieren estimaciones iniciales de las variables auxiliares implıcitas.La mejor forma de hacer esto es obtenerlas de un metodo Runge-Kutta explıcito, dondelas variables auxiliares kr esten evaluadas en los mismos puntos intermedios en cadapaso, o sea, que el metodo explıcito tenga los mismos valores en los coeficientes br queel metodo implıcito, o lo que es lo mismo que tenga los mismos puntos de colocacion.Observando el metodo (3.15.a), esta claro que el mencionado metodo explıcito se puedeobtener rapidamente de las relaciones (3.13) sugeridas por Gear, asumiendo los valoresb1 = 0, b2 = (5 − √

5)/10, b3 = (5 +√

5)/10 y b4 = 1. Notese que la seleccion devalores es consistente con las caracterıstica de un metodo explıcito. Este ultimo aspecto,casualmente hace que el metodo implıcito (3.15.a) sea ideal para los propositos deseados.

Ası que, si los valores seleccionados para b2 y b3 son substituidos en las relaciones(3.13), se obtienen los siguientes coeficientes

a′21 =

(5 −√5)

10(3.16.a)

a′31 = − (5 + 3

√5)

20(3.16.b)

a′32 =

(3 +√

5)4

(3.16.c)

Estos son los coeficientes de un nuevo metodo Runge-Kutta explıcito, que en la notacionde Butcher pueden globalmente ser expresados como

0 0 0 0 0

(5 −√5)/10 (5 −√

5)/10 0 0 0

(5 +√

5)/10 −(5 + 3√

5)/20 (3 +√

5)/4 0 0

1 1/6 (5 −√5)/12 (5 +

√5)/12 0

1/12 5/12 5/12 1/12

(3.17)

Este metodo, perteneciente a la familia de soluciones (3.13), sera usado para obtener losestimados iniciales de k′

2 y k′3 para el proceso iterativo de la siguiente forma

k2,(0) = h f(xn + b2h , yn + a′21k1) (3.18.a)

46


k3,(0) = h f(xn + b3h , yn + a′31k1 + a′

32k2) (3.18.b)

con los coeficientes de (3.17). Una vez que estas estimaciones iniciales son usadas, seespera que exista una convergencia segura y rapida hacia la solucion del sistema no lineal(3.6.b), con los coeficientes (3.15.a).

3.1.4. PROCESO ITERATIVO

Como se menciono antes, el sistema de ecuaciones no lineales (3.6.b), que es ori-ginado por cualquier metodo Runge-Kutta implıcito, puede ser resuelto en las variablesauxiliares kr, aplicando un procedimiento iterativo de punto fijo (ver [Gear,1971])

kir,(m+1) = h f i(xn + brh , yn + arsks,(m)) (3.19)

el cual es el mas sencillo de usar debido a la forma de variable despejada que tiene elmencionado sistema de ecuaciones. Aquı el ındice m = 0, 1, 2, 3, . . . es el numero de laiteracion en el proceso iterativo para cada paso de integracion.

El error global durante el proceso iterativo se define como

εir,(m) = ki

r,(m) − kir (3.20.a)

donde kir es la solucion exacta del sistema de ecuaciones no lineal.

El error local en cada iteracion se define como

εir,(m) = ki

r,(m+1) − kir,(m) (3.20.b)

El procedimiento iterativo se detiene cuando se satisfaga

cr‖εr,(m)‖ < εmax (3.20.c)

donde εmax es la tolerancia impuesta al error local para encontrar la solucion yin+1 de

las ecuaciones diferenciales en un paso de integracion, y donde la norma del error localεr,(m) se supone euclidiana.

Si ahora la expresion (3.6.b) se sustrae de la expresion (3.19), queda

kir,(m+1) − ki

r = h [f i(xn + brh , yn + arsks,(m)) − f i(xn + brh , yn + arsks)] (3.21)

Luego, si se aplica la condicion de Lipschitz (con h > 0 por conveniencia), resulta

|kir,(m+1) − ki

r| ≤ h lij |ars| |kjs,(m) − kj

s| (3.22)

|εir,(m+1)| ≤ h lij |ars| |εj

s,(m)| (3.23)

47


donde lij es el maximo del valor absoluto de cada elemento de la matriz jacobiana de f .Esto es

|f ij | ≤ lij (3.24)

De manera que, si se satisface que

ε(m) = max1≤j≤M

(max

1≤s≤N|εj

s,(m)|)

(3.25)

entonces|εi

r,(m+1)| ≤ h lij |ars| |εjs,(m)| ≤ h lijδj |ars| δsε(m) (3.26)

max1≤i≤M

max1≤r≤N

(|εir,(m+1)|

) ≤ max1≤i≤M

[max

1≤r≤N

(h lijδj |ars| δsε(m)

)](3.27)

ε(m+1) ≤ h L A ε(m) (3.28)

dondeL = max

1≤i≤M

(lijδj

)A = max

1≤r≤N

(|ars| δs

)(3.29)

La expresion (3.28) significa que, para un alto numero de iteraciones, m → ∞, el errorglobal ε(m) → 0 cuando

h ≤ 1L A

(3.30)

y el proceso iterativo es convergente localmente (tambien globalmente) en la forma

cr‖εr,(m+1)‖ < cr‖εr,(m)‖ (3.31)

(se suma en r). La expresion (3.30) es el lımite del tamano del paso para que el proced-imiento iterativo de punto fijo descrito antes sea convergente. Esta es la unica restriccionadicional de los metodos implıcitos, frente a los explıcitos. No obstante, los metodosimplıcitos son mas estables que los explıcitos, como se vera mas adelante.

En la seccion 3.7 se encontrara una formulacion general del proceso iterativo,cuando se usa el metodo de Newton-Raphson, mas costoso en cuanto al computo y conuna convergencia mas rapida, en lugar del sencillo y de lenta convergencia metodo depunto fijo (3.19).

Algunas veces el sistema de ecuaciones diferenciales no aparece en la forma de(3.1), sino de una forma implıcita del tipo

dyi

dx= f i

(x,y,

dydx

)i = 1, 2, 3, . . . , M (3.32)

En estos casos, el procedimiento iterativo se aplica en la forma descrita antes, pero se re-quiere estimaciones iniciales de kr tambien para el metodo Runge-Kutta explıcito. Estasestimaciones debe ser aceptables, o de otra forma el numero de iteraciones puede volverse

48


muy grande. Una forma de obtener tales estimaciones es mediante extrapolaciones conpolinomios de Lagrange. esto es, para estimar k2, se hace una extrapolacion con un poli-nomio de grado 0 comenzando en k1; para estimar k3, se hace una extrapolacion con unpolinomio de grado 1 definido por k1 and k2; Para estimar k4, se hace una extrapolacioncon un polinomio de grado 2 definido por k1, k2 y k3. El procedimiento descrito arrojalos siguientes resultados

k′2 = k1 (3.33.a)

k′3 =

b2 − b3

b2k1 +

b3

b2k2 (3.33.b)

k′4 =

(b4 − b2)(b4 − b3)b2b3

k1 +b4(b4 − b3)b2(b2 − b3)

k2 +b4(b4 − b2)b3(b3 − b2)

k3 (3.33.c)

Notese que los coeficientes br han sido usado como los puntos de colocacion de los cor-respondientes polinomios. Para el metodo Runge-Kutta Lobatto las expresiones (33) separticularizan como

k′2 = k1 (3.34.a)

k′3 = −1 +

√5

2k1 +

3 +√

52

k2 (3.34.b)

k′4 = k1 −

√5(k2 − k3) (3.34.c)

En cualquier caso, la estimacion de k1 se hace con la variable k4 del paso inmediatamenteanterior.

3.1.5. CONTROL DEL PASO

Analisis del Error

El metodo Runge-Kutta implıcito de sexto orden y cuatro etapas definido porlos coeficientes (3.15.a), en realidad representa dos metodos: uno de tercer orden y tresetapas, empotrado en el otro de sexto orden y cuatro etapas. Es decir, los coeficientes(3.15.b) estan incluidos en (3.15.a). Este aspecto es relevante para controlar el tamanodel paso. Resolviendo el sistema de ecuaciones (3.6.b) para los mismos coeficientes, seobtienen con un solo esfuerzo dos soluciones de diferentes ordenes en el error de trun-camiento local, reduciendo a un mınimo el numero de calculos. Fehlberg [1971] reportoeste aspecto al disenar un algoritmo del control del paso para su metodo Runge-Kutta-Fehlberg explıcito de cuarto y quinto ordenes empotrado o encapsulado completamente

49


uno en el otro. Por ejemplo,

0 0 0 0 0 0 014

14 0 0 0 0 0

38

332

932 0 0 0 0

1213

19322197 − 7200

219772962197 0 0 0

1 439216 −8 3680

513 − 8454104 0 0

12 − 8

27 2 − 354420520

18594104 − 11

40 0

4to 25216 0 1408

256521974104 − 1

5 0

5to 16135 0 6656

128252856156430 − 9

50255

(3.35.a)

0 0 0 0 0 0 015

15 0 0 0 0 0

310

340

940 0 0 0 0

35

310 − 9

1065 0 0 0

1 − 1154

52 − 70

273527 0 0

78

163155296

175512

57513824

44275110592

2534096 0

4to 37378 0 250

621125594 0 512

1771

5to 282527648 0 18575

483841352555296

27714336

14

(3.35.b)

donde existen dos juegos de coeficiente cr, uno para el metodo de cuarto orden (lıneade arriba) y otro para el metodo de quinto orden (lınea de abajo). Debe observarseque los coeficientes expuestos antes en (3.35.a) son los originales de Fehlberg [1971].Los coeficientes particulares expuestos antes en (3.35.b) fueron desarrollados por Cash& Karp [1990], y aunque estan basados en la misma filosofıa y orden, no son los origi-nales de Fehlberg, pero algunos piensan que tiene un mejor comportamiento [Chapra &Canale,1999]. No obstante, los valores particulares encontrados por Cash & Karp ha-cen el metodo mas eficiente que el metodo original de Fehlberg, con una mejora en laspropiedades de los errores [Press et al.,1992].

Sean yn y yn+1 las soluciones del sistema de ecuaciones diferenciales (3.1) o (3.2),ofrecidas por los metodos Runge-Kutta implıcitos tipo Lobatto de sexto y tercer ordenes,respectivamente, empotrados en una sola formulacion como se describio antes en (3.15.a).Esto es,

yin+1 = yi

n +112

(ki1 + 5ki

2 + 5ki3 + ki

4) (3.36)

50


yin+1 = yi

n +112

[2ki1 + (5 −

√5)ki

2 + (5 +√

5)ki3] (3.37)

Las variables auxiliares k1, k2, k3 y k4 son las mismas para ambas expresiones y sonobtenidas usando el sistema de ecuaciones (3.6.b) con los coeficientes (3.15.a) y (3.15.b).

Se denotara como Ein+1 la diferencia entre la solucion del metodo de sexto orden

y el metodo de tercer orden, es decir, la ecuacion (3.36) menos la ecuacion (3.37). Estoes,

Ein+1 = yi

n+1 − yin+1 =

112

[−ki1 +

√5(ki

2 − ki3) + ki

4] (3.38)

Si y(xn) es la solucion exacta de la ecuacion diferencial (3.2) en el valor x = xn, entoncesel error de truncamiento local de las soluciones numericas (3.36) y (3.37) son definidosrespectivamente por

ein = yi

n − yi(xn) = O(h7n−1) (3.39)

ein = yi

n − yi(xn) = O(h4n−1) (3.40)

y luegoEi

n+1 = yin+1 − yi

n+1 = ein+1 − ei

n+1 = O(h4n) (3.41)

Recuerdese que el error de truncamiento local es de orden P +1 si el metodo Runge-Kuttaes de orden P .

Si la expresion (3.41) se organiza de la siguiente forma

Ein+1 =

[yin+1 − yi(xn+1)

yi(xn+1)

]yi(xn+1) − [yi

n+1 − yi(xn+1)] (3.42)

se obtiene queEi

n+1 = ei(r),n+1y

i(xn+1) − ein+1 (3.43)

donde

ei(r),n+1 =

[yin+1 − yi(xn+1)

yi(xn+1)

](3.44)

es el error de truncamiento local relativo.Si ahora se asume que yi(xn+1) es aproximado por yi

n+1 en el denominador de(3.44), se puede aplicar la desigualdad de Cauchy-Schwartz y la desigualdad triangulara la expresion (3.43), y de esto resulta

|Ein+1| ≤ |ei

(r),n+1| |yi(xn+1)| + |ein+1| ≤ e(r),max |yi

n+1| + emax (3.45)

donde e(r),max y emax son respectivamente las tolerancias para el error de truncamientolocal relativo y absoluto de los metodos Runge-Kutta implıcitos de sexto y tercer ordenes.

51


La expresion (3.45) tambien significa que, para que la solucion de la ecuacion diferencialen un solo paso sea aceptada, se debe verificar que

Qin =

|Ein+1|

e(r),max |yin+1| + emax

≤ 1 (3.46)

siendo las tolerancias para los errores de truncamiento local relativo y absoluto propuestospor el usuario del algoritmo de control que se explicara a continuacion.

Algoritmo de Control

Sea hn+1 el tamano del paso en el siguiente paso que tiende a hacer Qin

∼= 1.Teniendo en cuenta el orden de la diferencia Ei

n+1 definida por (3.41), el parametro Qn

puede ser redefinido como

Qn =( hn

hn+1

)P+1

P = 3 (3.47)

dondeQn = max

1≤i≤M

(Qi

n

)(3.48)

y ası, resolviendo para hn+1, se obtiene

hn+1 = hn

( 1Qn

)α

= hnSn (3.49)

con

Sn =( 1

Qn

)1/4

α =1

P + 1= 1/4 (3.50)

Para el metodo de Fehlberg descrito antes en (3.35), el exponente serıa α = 1/5, puestoque los errores mas grandes provendrıan del metodo con el menor orden, que en ese casoserıa el de cuarto orden con P = 4.

Aquı es conveniente mencionar que Shampine et al.[1976] usan expresiones simi-lares a (3.49) y (3.50) para controlar el tamano del paso en el metodo Runge-Kutta decuarto y quinto ordenes desarrollado originalmente por Fehlberg [1971], pero con algunasmodificaciones, con la finalidad de garantizar que Sn siempre este acotado en el intervalo[Smin, Smax], y que hn+1 siempre sea mas grande que el valor lımite hmin. Adicional-mente, los mencionados autores multiplican Sn por un coeficiente Cq menor que la unidadpara que hn+1 tienda a ser casi igual que hn, y ası hacer Qn

∼= 1, pero un poco menor.Todas las modificaciones descritas estan resumidas a continuacion

Sn = Cq

( 1Qn

)α

Cq = 0.9 ∼ 0.99 α = 1/4 (3.51)

S′n = max(min(Sn, Smax), Smin) (3.52)

52


hn+1 = hnS′n (3.53)

h′n+1 = max(hn+1, hmin) (3.54)

Mientras que en [Shampine et al.,1976] el exponente α es 1/5 en la expresion (3.51),aquı dicho exponente es 1/4. En la mencionada referencia tambien se recomienda paralos coeficientes y lımites los valores Cq = 0.9, Smin = 0.1 and Smax = 5. El valor delmınimo paso de integracion, hmin, se determina con la precision del computador usado.En este trabajo se usaron los mismos valores antes citados para las expresiones de (3.51)a (3.54).

El procedimiento para calcular el valor optimo del paso de integracion, que permitasatisfacer las tolerancias e(r),max y emax, se describe a continuacion:

• Estimado un tamano de paso inicial hn, el metodo Runge-Kutta implıcito tipoLobatto es utilizado para calcular las variables auxiliares ki

1, ki2, ki

3 y ki4 con la

expresion (3.6.b), usando los coeficientes (3.15.a) y con el proceso iterativo (3.19),y usando los valores iniciales (3.18).

• Las expresiones (3.36) y (3.37) permiten encontrar las soluciones yin+1 y yi

n+1 delos metodos de sexto y tercer ordenes, respectivamente.

• La definicion (3.38) permite calcular la diferencia Ein+1 entre los dos metodos.

• Con la ecuacion (3.46) se puede calcular los parametros Qin, y con la ecuacion

(3.48) se puede obtener el maximo de ellos.• Las relaciones (3.51) a (3.54) determinan el valor del tamano del paso siguiente

hn+1.• Si Qn ≤ 1, la integracion con el paso hn (o la aplicacion del metodo Runge-Kutta

desde xn hasta xn+1) se acepta y el paso hn+1 se considera el paso optimo parala siguiente integracion (o la siguiente aplicacion del metodo Runge-Kutta desdexn+1 hasta xn+2).

• Si Qn > 1, la integracion con el paso hn se rechaza y se repite todo el algoritmode nuevo pero con hn = h′

n+1 obtenido de (3.54).

Este procedimiento algunas veces incrementa el tamano del paso, y otras veceslo disminuye, con la finalidad de garantizar que el error relativo ei

(r),n+1 del metodo

Runge-Kutta de sexto orden sea menor que la tolerancia e(r),max, y que el error ein+1 del

meetodo Runge-Kutta de tercer orden sea menor que la tolerancia emax. En cualquiercaso, la solucion del metodo Runge-Kutta sera yi

n+1, es decir, la solucion con el metodode sexto orden.

3.1.6. ANALISIS DEL METODO

PrecisionEl orden de precision de cualquier metodo Runge-Kutta proviene de la com-

paracion entre este y la expansion en series de Taylor de y(xn+1) alrededor de y(xn). De

53


esta comparacion se obtuvieron la relaciones (3.12) que deben satisfacer los coeficientesde los metodos Runge-Kutta. Para un metodo Runge-Kutta de orden P , se deben sa-tisfacer las relaciones (3.12) hasta el termino de la serie de Taylor que contiene hP . Losterminos remanentes de la serie de Taylor son los que determinan el orden del error detruncamiento local. Ası, un metodo de orden P tiene un error de truncamiento localdel orden de P + 1, esto es, que es proporcional a hP+1. El error de truncamientoglobal siempre es una unidad mayor que el error de truncamiento local [Gear,1971], estoes, que es proporcional a hP . Todos estos criterios pueden ser aplicados a los metodosRunge-Kutta tipo Lobatto de tercer y sexto ordenes. De esta forma se obtiene que elmetodo de tercer orden satisface las relaciones (3.12) hasta el termino que contiene h3 ylos errores de trucamiento local y global son proporcionales respectivamente a h4 y h3.El metodo de sexto orden satisface las relaciones (3.12) hasta el termino que contiene h6

(las relaciones para el ultimo termino no aparecen por lo tedioso de su obtencion) y loserrores de trucamiento local y global son proporcionales respectivamente a h7 y h6. Ladependencia de un error respecto a hP se indica con la ayuda del sımbolo de Landau enla forma O(hP ), y se dice que el orden de precision del metodo es P , de acuerdo a ladefinicion (3.7). Tambien se satisface que O(hP ) + O(hQ) = O(hP ) cuando Q ≥ P .

Convergencia

En la seccion del proceso iterativo se ha indicado que los metodos Runge-Kuttaimplıcitos generaban en cada paso de integracion un sistema de ecuaciones del tipo (3.6.b),en general de caracterısticas no lineales, donde las incognitas son las variables auxiliareskr. Como se dijo antes, este sistema de ecuaciones puede ser resuelto usando un esquemaiterativo de punto fijo, el cual converge para el problema en particular si se satisface

h ≤ 1L A

(3.55)

dondeL = max

1≤i≤M

(lijδj

)A = max

1≤r≤N

(|ars| δs

)(3.56)

y donde la convergencia local se establece de acuerdo a

cr‖εr,(m+1)‖ < cr‖εr,(m)‖ (3.57)

Para el caso especıfico donde se este resolviendo una sola ecuacion diferencial dela forma

dy

dx= f(y) f(y) = λy (3.58)

se obtiene que L = |λ|. Para el metodo Runge-Kutta implıcito tipo Lobatto de tercery sexto ordenes, se obtiene que A = (5 +

√5)/10 y A = 1, respectivamente. Ası, para

54


asegurar la convergencia del proceso iterativo arriba enunciado en estos casos, particu-larmente para el problema lineal (3.54), se debe satisfacer las siguientes dos condiciones(asumiendo h positivo)

h ≤ 5 −√5

2 |λ|∼= 1.38

|λ| (Implicit 3rd order method) (3.59)

h ≤ 1|λ| (Implicit 6th order method) (3.60)

respectivamente. Notese que la condicion (3.60) es la mas restrictiva de las dos.

EstabilidadLa estabilidad de los metodos Runge-Kutta se estudia generalmente sobre la base

de su comportamiento en la resolucion del problema especıfico (3.58) con una solaecuacion diferencial lineal. Si se aplica esta consideracion a la expresion (3.6.b), se obtieneque

kr = h f(yn + arsks) = h λ (yn + arsks) = h λ yn + h λars ks (3.61)

Adicionalmente, si kr se subtituye como δrsks y los terminos son reagrupados, resulta

δrsks = h λ yn + h λars ks (3.62.a)

δrsks − h λars ks = h λ yn (3.62.b)

y ası, si ks se factoriza, entonces

[δrs − h λars] ks = h λ yn δr r, s = 1, 2, 3, . . . , N (3.63)

Esta ultima expresion representa un sistema de N ecuaciones lineales con Nincognitas ks. Si en este sistema se resuelve y sus soluciones kr son substituidas enen la ecuacion (3.6.a), entonces se encuentra una relacion para yn+1 dependiente exclu-sivamente de yn y de los coeficiente del metodo Runge-Kutta usado. La mencionadarelacion es de la forma

yn+1 = Γ(hλ) yn (3.64)

donde Γ(hλ) se encuentra aplicando el procedimiento descrito, por ejemplo, al metodoRunge-Kutta implıcito tipo Lobatto de sexto orden. Este caso, se obtiene

Γ(z) =

[1 + 2

3z + 15z2 + 1

30z3 + 1360z4

1 − 13z + 1

30z2

](3.65)

donde la funcion Γ(z) es deducida con los coeficientes (3.15.a). Para el caso del metodoRunge-Kutta implıcito tipo Lobatto de tercer orden resumido en los coeficientes (3.15.b),se obtiene

yn+1 = Γ(hλ) yn (3.66)

55


donde

Γ(z) =

[1 + 2

3z + 15z2 + 1

30z3

1 − 13z + 1

30z2

](3.67)

Las funciones Γ(z) and Γ(z) son denominadas raıces carcaterısticas de los metodosRunge-Kutta implıcitos tipo Lobatto de tercer y sexto ordenes, respectivamente. Losmetodos Runge-Kutta son estables, si sus raıces caracterısticas poseen un valor absolutomenor que la unidad, para un valor determinado de z = hλ. Notese que, si |Γ1(hλ)| o|Γ(hλ)| es menor que la unidad, entonces se satisface que |yn+1| o |yn+1| es menor que|yn| y la estabilidad es garantizada.

La regiones de estabilidad para las funciones Γ(hλ) y Γ(hλ) vs. hλ se obtiene deresolver las correspondientes desigualdades |Γ(z)| ≤ 1 y |Γ(z)| ≤ 1. De aquı se obtieneque los mencionados metodos son estables si se satisfacen las siguientes dos condiciones(asumiendo que h es positivo y λ es negativo)

h ≤ 6.8232|λ| (Metodo Implıcito de 3er orden) (3.68)

h ≤ 9.6485|λ| (Metodo Implıcito de 6to orden) (3.69)

Una comparacion de las condiciones (3.59) y (3.60) con las condiciones (3.68) y (3.69),respectivamente, sigue dando que la condicion (3.60) continua siendo la mas restrictivade todas las mencionadas.

La funcion Γ(z) constituye una aproximacion de Pade [Burden & Faires,1985] parala funcion exponencial y = ex [Lapidus & Seinfeld,1971], y adicionalmente es siemprepositiva y menor e igual a la unidad en el intervalo cerrado [−9.648495252 , 0.0]. Noteseque la funcion Γ(z) se aproxima muy bien a la funcion y = ez en el rango z > −4.

La funcion Γ(z), sin embargo, no es una aproximacion de Pade, tiene una sola raızen el punto z = −2.706010973 . . ., y es en valor absoluto menor e igual a la unidad dentrodel intervalo cerrado [−6.823183583 , 0.0].

Las condiciones (64) y (65) revelan que los metodos Runge-Kutta implıcitos tipoLobatto de tercer y sexto ordenes son mas estables que el metodo Runge-Kutta explıcitotipo Fehlberg de cuarto y quinto ordenes, los cuales poseen las siguientes condiciones deestabilidad

h ≤ 2.785|λ| (Metodo Explıcito 4to orden) (3.70)

h ≤ 3.15|λ| (Metodo Explıcito 5to orden) (3.71)

Aparte del incremento evidente de la cantidad de calculo introducido por la formade resolucion con los metodos implıcitos, estos poseen una limitacion adicional con respec-to a los metodos explıcitos. Esta limitacion proviene de las condiciones de convergencia

56


(3.59) y (3.60), las cuales estan basadas en la forma como se resuelve el sistema de ecua-ciones (3.6.b), bajo la suposicion de que la ecuacion diferencial tiene la forma lineal (3.58).Estas condiciones de convergencia, siendo las mas restrictivas, permiten un incrementodel paso de integracion h mucho menor que las condiciones de estabilidad (3.68) y (3.69).Este aspecto frena el avance de los metodos Runge-Kutta implıcitos de una manera no-table, pero esta dificultad puede ser compensada parcialmente de dos formas. La primera,estimando convenientemente los valores iniciales de las variables auxiliares kr en el pro-ceso iterativo para cada paso de integracion. Como se ha dicho antes, esto puede hacerseusando un metodo Runge-Kutta explıcito con las expresiones (3.18) y/o haciendo ex-trapolaciones polinomicas con las expresiones (3.34). Segundo, se puede usar el esquemaiterativo de punto fijo de una manera eficiente, similar como se hace en el metodo deGauss-Seidel en los sistemas lineales. Esto es, cuando una incognita esta aproximada-mente calculada, se le substituye inmediatamente en las ecuaciones subsiguientes, y asısucesivamente. Estas dos recomendaciones de los procedimientos usados en los metodosRunge-Kutta aquı propuestos pueden mejorar el comportamiento de dichos metodos, enel sentido que se pueda liberar el tamano del paso de integracion en cierta medida de lascondiciones de convergencia (3.59) y (3.60), y ası permitir su incremento.

Una solucion mucho mas sofisticada al problema mencionado antes, es usar elmetodo de Newton-Raphson para resolver el sistema de ecuaciones no lineales (3.6.b),como se propone en la siguiente seccion. Esto puede incrementar el numero de calculo ycomplicar el algoritmo, pero mejora la convergencia haciendola mas rapida.

3.1.7. APLICACION DE NEWTON-RAPHSON

Acoplamiento Newton-Raphson con Runge-KuttaEsta seccion explica como el metodo Newton-Raphson puede ser aplicado para

resolver el sistema de acuaciones no lineales con las variables auxiliares kir en los metodos

Runge-Kutta en general.Sea un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias expresado como

dyi

dx= f i(y)

dydx

= f(y) (3.72)

con las condiciones iniciales

x = xo yi(xo) = yio y(xo) = yo (3.73)

(del lado izquierdo se han colocado las expresiones en notacion indicial, mientras que enel lado derecho se han escrito usando notacion simbolica). Para resolver este problemade valor inicial, se usara un metodo Runge-Kutta implıcito en la forma

yin+1 = yi

n + crkir yn+1 = yn + crkr (3.74)

kir = h f i(yn + arsks) kr = h f(yn + arsks) (3.75)

57


donde las funciones f i(y) no son necesariamente lineales y la falta de dependencia conrespecto a x queda resuelta aplicando (3.5).

La expresion (3.75) puede ser interpretada como un sistema de ecuaciones nolineales en las variables ki

r como incognitas. Por esta razon, es conveniente definir lafuncion

gir(K) = h f i(yn + arsks) − ki

r gr(K) = h f(yn + arsks) − kr (3.76)

que debe ser nula en todas sus componentes, cuando la solucion para cada kir ha sido

encontrada. La variable K indica que incluye las variables kr para todas las etapas.Con la finalidad de resolver el sistema de ecuaciones no lineales homogeneas (3.76),

es mas eficiente, en lo que a velocidad de convergencia se refiere, utilizar el metodo deNewton-Raphson, en lugar del metodo de punto fijo antes propuesto

kir,(m+1) = h f i(yn + arsks,(m)) kr,(m+1) = h f(yn + arsks,(m)) (3.75′)

Cabe mencionar que el metodo de Newton-Raphson es tambien un metodo de puntofijo, pero muy particular. El metodo de Newton-Raphson requiere del calculo del tensorjacobiano de la funcion gi

r(k), con respecto a las variales kjt , el cual se define como

∂gir

∂kjt

= h∂f i

∂yk

∣∣∣yn+arsks

arsδkjδst − δijδrt

= h f ij(yn + arsks) art − δijδrt

JG(K) = hJf (yn + A.K) ⊗ A − I ⊗ I

(3.77)donde ha sido usada la regla de la cadena. Los superındices se han usado para indicarla diferentes componentes del sistema de ecuaciones diferenciales y los subındices paraindicar las correspondientes etapas en el metodo. La notacion f ij se ha usado en lugarde escribir completamente los elementos de la matriz jacobiana ∂f i/∂yj y el ındice rno suma. De ahora en adelante reservaremos el uso de la letra mayuscula negrillasen aquellas variables donde se han agrupado en un solo arreglo todas las etapas. Lasminusculas negrillas indican el agrupamiento de todas las componentes en una sola etapa.En la ecuacion simbolica de (3.77), el ındice que se contrae en la operacion “.” es el ındices y la operacion “⊗” indica producto tensorial (en este ultimo caso, los ındices se puedenpermutar, si hace falta en la operaciones).

Ası, el metodo de Newton-Raphson puede ser aplicado de la siguiente manera

kir,(m+1) = ki

r,(m) + ω ∆kir,(m) kr,(m+1) = kr,(m) + ω ∆kr,(m) (3.78)

donde las variables de error ∆kjt,(m) se encuentra de la resolucion del siguiente sistema

de ecuaciones lineales[∂gir

∂kjt

](m)

∆kjt,(m) = −gi

r(k(m)) [JG(K(m))].∆K(m) = −G(K(m)) (3.79)

58


y ω es un factor de relajacion y m indica el numero de la iteracion. Los ındices j y tson los que se contraen en la operacion “.” de la ecuacion simbolica. El proceso iterativodescrito por (3.78) y (3.79) se aplica de forma sucesiva hasta satisfacer

cr ‖εr,(m)‖ = ω cr ‖∆kr,(m)‖ < εmax donde εir,(m) = ki

r,(m+1) − kir,(m) (3.80)

El valor εir,(m) es el error local en la variable auxiliar ki

r y εmax es la tolerancia para el

error de truncamiento local en la solucion numerica yin+1. El ındice r suma en (3.80).

Para funciones muy complicadas, es conveniente expresar las derivadas parcialesen el tensor jacobiano (3.77) de una forma numerica aproximada, como esta indicado enla proxima expresion

[∂gir

∂kit

] ∼= h[f i(yn + ∆yn) − f i(y(j)

n )∆yj

n

]art − δijδrt (3.81)

donde la perturbacion para derivar es

∆yjn = arsk

js ∆yn = A.K (3.82)

y la evaluacion de la derivada se hace mediante diferencias atrasadas, siendo

f i(y(j)) = f i(y1n + ∆y1

n, y2n + ∆y2

n, . . . , yjn, . . . , yM

n + ∆yMn ) (3.83)

Esto permite la implementacion general del algorımo para cualquier funcion.

Los valores iniciales kjr,(0) para el proceso iterativo se pueden estimar con un

metodo Runge-Kutta explıcito, cuyos puntos intermedio de colocacion br sean los mismosque los del metodo implıcito.

Proceso IterativoEl problema planteado en (3.76) puede ser re-escrito en la siguiente forma

G(K) = F(K) − K = 0 F(K) = h f(yn + A.K) (3.84)

donde las variables y funciones negrillas significan la evaluacion de (3.76.b) para todas lasetapas. Las derivadas de f respecto a K, adicionalmente requiere la pre-multiplicacioncon la matriz h [ars] como en (3.77), por lo que J

F= hJf ⊗A. Con esta nueva notacion,

el metodo de Newton-Raphson (3.78) y (3.79) se puede expresar como

Km+1 = Km − ω [JG(Km)]−1.G(Km)

= Km − ω [hJf (yn + A.Km).A − II]−1. (f(yn + A.Km) − Km)(3.85.a)

conJ

G(K) = J

F(K) − II = hJf (yn + A.K).A − II (3.85.b)

59


donde la denotacion [Jh(k)] significa el jacobiano de la funcion h(k). El sımbolo IIsignifica I ⊗ I. La inversion se hace respecto a las variables con ındices j y t y lacontraccion en la primera ecuacion se hace con respecto a los ındices i y r en el arreglo(3.77) o (3.81).

Es bien conocido que, en la proximidad de la solucion, el metodo de Newton-Raphson posee una convergencia cuadratica cuando

‖JH

(K)‖K∈IBρ(K∗) < 1 (3.86.a)

con

H(K) = K− ω [JG(K)]−1.G(K)

[JH

(K)] = [JG(K)]−1. [IH

G(K)] . [J

G(K)]−1.G(K) + (1 − ω)[ II ]

(3.86.b, c)

donde los hessianos [IHG(K)] = [IHF (K)] de las funciones G y F son iguales. Las con-tracciones primera y tercera se hace respecto a los ındices de g y la segunda respecto alos ındices de k. Componentes y etapas deben organizarse de la misma forma en ambasvariables, para que las inversiones de multiplicaciones de matrices sean consistentes. Elconjunto de proximidad a la solucion es la bola IBρ(k∗) de radio ρ < ρ∗ con centro en K∗,la solucion de (3.84). La norma usada es la norma infinita ‖ · ‖∞ [Burden & Faires,1985].

Cuando la condicion (3.86.a) es apropiadamente aplicada a un metodo Runge-Kutta, impone una restriccion al valor del paso de integracion h, pero nunca como enel caso del metodo de punto fijo. Esta restriccion nunca debe ser confundida con larestriccion impuesta por la condicion de estabilidad o con la restriccion impuesta por elcontrol de paso.

3.2. METODO DE PASO FRACCIONADO

El metodo de paso fraccionado se ha utilizado para integrar las ecuaciones deNavier-Stokes. En esta seccion se presentan dos metodos: el metodo de Adams-Bashforthde segundo orden y el metodo Runge-Kutta de tercer orden, ambos semi-implıcitos enel termino viscoso. El enfoque que se ha usado para la presentacion de estos metodos,ha sido relacionandolos con los metodos Runge-Kutta de la seccion anterior. Esto se hahecho ası, para analizar los metodos desde el punto de vista de su estabilidad usando lateorıa antes expuesta para los metodos Runge-Kutta. De esta forma se puede relajar unpoco el valor del CFL (numero de Courant-Friedrichs-Lewy) en los metodos Runge-Kuttade mayor orden y semi-implıcitos (para Euler simple CFL< 1).

3.2.1. ECUACIONES FUNDAMENTALESLas ecuaciones fundamentales para el estudio del flujo incompresible son la

ecuacion de conservacion de masa o continuidad

∇.v = 0 (3.87)

60


y la ecuacion de conservacion de cantidad de movimiento lineal o Navier-Stokes

ρ

(∂v∂t

+ v.∇v)

= ρg − ∇P + µ∇2v (3.88)

Para eliminar la densidad de esta ultima expresion, se divide por ρ, resultando

∂v∂t

= −∇P − v.∇v + ν ∇2v (3.89)

Las fuerzas masicas son conservativas, por lo que g = −∇ϕ se genera de una funcionpotencial ϕ (e.g. la fuerza de gravedad g = −g ez se genera a partir del potencialϕ = g z). La cantidad P = (P − Po)/ρ + (ϕ − ϕo) es la presion equivalente. Los valoresPo y ϕo son dos valores de referencia arbitrarios que no alteran la ecuacion original(3.88). Finalmente, tomando la divergencia de la ecuacion (3.89), se obtiene la ecuacionde Poisson para la presion

∇2P = −∇v : ∇v (3.90)

En esta ultima parte se ha supuesto que los operadores de la divergencia y el lapla-ciano conmutan, y de igual manera la divergencia conmuta con la derivacion parcial conrespecto al tiempo.

3.2.2. APROXIMACIONES DISCRETAS DIRECTASHaciendo un abuso de la notacion, se han designado los siguientes operadores como

aproximaciones discretas de las operaciones diferenciales de los miembros de la derecha

G(P ) ≈ ∇P D(v) ≈ ∇.v H(v) ≈ −v.∇v = −∇. (vv) L(v) ≈ ν ∇2v(3.91)

El operador discreto aplicado a un punto se calcula tomando en consideracion los valoresde los puntos vecinos, utlizando cualquiera de los metodos de discretizacion de ecuacionesdiferenciales en derivadas parciales (diferencias finitas, volumenes finitos, elementos fini-tos, etc.) y sus variantes. Con la definicion de los operadores, la ecuacion (3.89) enderivadas parciales de funciones continuas se convierte en un sistema de ecuaciones dife-renciales ordinarias de la forma

dvdt

≈ −G(P ) + H(v) + L(v) D(v) = 0 (3.92)

El problema original que era un problema de valor en la frontera con condiciones iniciales,se convierte en un problema exclusivamente de valores iniciales.

Involucrando la ecuacion (3.90), el sistema de ecuaciones diferenciales (3.92) sepuede reformular en el siguiente sistema

F(v) = H(v) + L(v)

∇2P = D[H(v)] = −G(v) : G(v)

dvdt

= f(v) = F(v) − G(P )

(3.93)

61


donde se ha tenido en cuenta que D[L(v)] = 0. El operador diferencial discreto G( · ) seutiliza de manera indistinta para campos escalares y campos vectoriales, debido a que eslineal y no actua sobre la base del espacio vectorial.

En cuanto a las condiciones de frontera para la velocidad, se tienen dos circunstan-cias. La primera, la condicion de Dirichlet v = vw +vo, donde se tiene que el fluido sobreuna pared adquiere su velocidad vw, mas la velocidad de transpiracion vo, si la hubiese.La segunda, la condicion de Neumann ∇nv = Tw/µ, donde el gradiente de la velocidaden la direccion normal a la pared es conocida. En cualquiera de estas circunstancias,la condicion de la frontera introducida en la ecuacion de movimiento (3.89), da comoresultado la condicion de la frontera de tipo Neumann ∇nP = −dvn/dt + ν ∇2vn parala presion, en caso que no se conozca la condicion de tipo Dirichlet P = Pw , siendovn = (v.n)n y n la normal exterior al fluido en la frontera.

3.2.3. ADAPTACION DEL METODO RUNGE-KUTTAComo el problema es de valor inicial, para su resolucion se puede aplicar el metodo

Runge-Kutta de la siguiente forma

∇2Pr = D[Kr] Kr = F(vn + arsks)

vn+1 = vn + crkr kr = ∆t f(vn + arsks) = Kr − G(Pr)(3.94)

Estas ecuaciones sirven para obtener un campo de presiones estimado para cada etapa rdel metodo Runge-Kutta (el numero y tipo de etapas determina el orden de aproximaciondel metodo respecto al intervalo ∆t). Las otras ecuaciones de abajo ponderan variosvalores para las derivadas con respecto al tiempo (variables auxiliares k), estimadas parainstantes intermedios entre tn y tn+1 = tn + ∆t.

En la notacion de Butcher los coeficientes del metodo de Runge-Kutta (por ejem-plo, para cuatro etapas) se expresan de forma matricial como

b1 a11 a12 a13 a14

b2 a21 a22 a23 a24

b3 a31 a32 a33 a34

b4 a41 a42 a43 a44

c1 c2 c3 c4

br =∑

s

ars

1 =∑

r

cr

(3.95)

Los valores de br son las fracciones de ∆t donde se ubican los puntos de colocacion enuna cuadratura especıfica, coincidiendo con los instantes intermedios antes mencionados.Cuando la matriz [ars] es una matriz triangular inferior de forma estricta (sin incluirelementos de la diagonal principal no nulos), el metodo se dice que es explıcito. Cuandola misma matriz es triangular inferior de forma no estricta, se dice que el metodo essemi-implıcito. En cualquier otro caso se dice que el metodo es implıcito.

62


3.2.4. APROXIMACIONES DISCRETAS PROYECTADASA priori, conociendo el campo de velocidades, se puede obtener el campo de pre-

siones resolviendo la ecuacion de Poisson (3.90). Sin embargo, para conocer el campo develocidades, se requiere a priori conocer el campo de presiones. Este cırculo vicioso sepuede romper, si en lugar de usar la ecuacion (3.92), se elimina de la misma el gradientede la presion, de manera que ahora la ecuacion

dvdt

≈ H(v) + L(v) D(v) = 0 (3.96)

permite obtener un campo de velocidades, sin conocer a priori el campo de presiones.No obstante, dicho campo de velocidades ya no sera solenoidal, como se indica en lasegunda parte de (3.96). Consideremos que tanto el campo de velocidades solenoidal yel no solenoidal parten de las mismas condiciones iniciales y con condiciones de bordesiempre siendo las mismas, tal como se indica a continuacion

c.i. vo = vo = v(to,x) ∇.vo = 0 para t = to y x ∈ Ω

c.b. v = v = h(t,x) para x ∈ ∂Ω(3.97)

Si ahora a la ecuacion (3.92) le restamos la ecuacion (3.96), resulta la siguiente ecuaciondiferencial

d

dt(v − v) ≈ −G(P ) + H(v) − H(v) + L(v − v) (3.98)

Con el siguiente cambio de variables

d

dt(v − v) = −∇φ v − v = −∇Φ

dΦdt

= φ (3.99)

formulado bajo el supuesto que las diferencias de velocidades se originan de una funcionpotencial Φ, y asumiendo que, cerca del instante inicial, los terminos no lineales son muyparecidos

H(v) − H(v) ≈ 0 (3.100)

entonces, aplicando la divergencia a (3.98) y (3.99), se obtiene que

∇2φ ≈ d

dt[D(v)] P ≈ φ − L(Φ) = φ − ν ∇.v (3.101)

Este planteamiento permite formular el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales

dvdt

= H(v) + L(v)

∇2φ =d

dt[D(v)]

dvdt

=dvdt

− G(φ)

(3.102)

63


Geometricamente, el sistema anterior se puede interpretar como que el campo de veloci-dades v, se pueden obtener a partir del campo de velocidades v, proyectandolo de talforma que, el complemento ortogonal sea justamente el gradiente del campo escalar Φ.De una forma mas estructurada, el sistema (3.102) se puede expresar como

F(v) = H(v) + L(v)

∇2φ = D[F(v)]

dvdt

= F(v)

dvdt

= f(v) = F(v) − G(φ)

(3.103)

usando la funcion auxiliar F. Aunque en la segunda ecuacion se tiene que D[F(v)] =D[H(v)], se ha preferido dejarlo ası, para poder aplicar adecuadamente el metodo Runge-Kutta en la seccion siguiente.

3.2.5. METODOS DE RESOLUCIONPara el sistema (3.103) tambien se puede usar el metodo Runge-Kutta de la si-

guiente forma

vn+1 = vn + crKr Kr = ∆t F(vn + arsKs) ∇2φr = D(Kr)/∆t

vn+1 = vn + crkr kr = ∆t f(vn + arsks) = Kr − ∆t G(φr) vn = vn

(3.104)donde para cada paso de integracion en el tiempo se parte de un campo de velocidadessolenoidal, que es el campo de velocidades actual vn para dicho instante tn = to + n ∆t.

El metodo de paso fraccionado, a diferencia del metodo Runge-Kutta, se expresamediante la siguente formula algorıtmica

vs+1 = vs + ∆t [ γs H(vs) + ζs H(vs−1) + 0.5 αs L(vs+1 + vs) ]

γs ∇2φs+1 + ζs ∇2φs = D(vs+1)/∆t αs = γs + ζs

vs+1 = vs+1 − ∆t [ γs G(φs+1) + ζs G(φs) ]

(3.105)

El factor de 0.5 se debe a que se esta usando un esquema del tipo Crank-Nicolson parala parte implıcita en las derivaciones de segundo orden en el operador L.

Los valores de los coeficientes, que con cierta frecuencia se usan, son:

γ1 =815

ζ1 = 0 α1 =815

γ2 =512

ζ2 = −1760

α2 =215

γ3 =34

ζ3 = − 512

α3 =13

(3.106)

64


Tratando de hacer una analogıa con el metodo Runge-Kutta de tercer orden, en la no-tacion de Butcher, los coeficientes del metodo de paso fraccionado se pueden expresar,para el operador H como

0 0 0 0 0γ1 γ1 0 0 0

γ1 + γ2 + ζ2 γ1 + ζ2 γ2 0 0γ1 + γ2 + γ3 + ζ2 + ζ3 γ1 + ζ2 γ2 + ζ3 γ3 0

0 0 0 1

(3.107.a)

y para el operador L como

0 0 0 0 0α1 0.5 α1 0.5 α1 0 0

α1 + α2 0.5 α1 0.5 (α1 + α2) 0.5 α2 0

α1 + α2 + α3 0.5 α1 0.5 (α1 + α2) 0.5 (α2 + α3) 0.5 α3

0 0 0 1

(3.107.b)

Teniendo en cuenta la relacion αs = γs +ζs, con ζ1 = 0, se puede observar que los puntosde colocacion de ambas matrices de Butcher son los mismos. No obstante, el esquema esexplıcito para el operador no lineal H y semi-implıcito para el operador lineal L. Sacadaslas cuentas con los valores particulares antes mencionados en (3.105), las dos matrices(3.107.a, b) quedan como

0 0 0 0 08/15 8/15 0 0 0

2/3 1/4 5/12 0 0

1 1/4 0 3/4 0

0 0 0 1

0 0 0 0 08/15 4/15 4/15 0 0

2/3 4/15 1/3 1/15 0

1 4/15 1/3 7/30 1/6

0 0 0 1

(3.108)

Dos aspectos diferencian al metodo de paso fraccionado con el metodo Runge-Kutta. Primero, que en el metodo de paso fraccionado se usa en donde sea posibleel campo de velocidades solenoidal v, en lugar de v para la evaluacion de la funcionF(v) = H(v) + L(v). Esto hace que en el metodo de paso fraccionado, el campo develocidades obtenido en cada paso vs+1 este mas cerca del campo solenoidal, y por lotanto, haga que el campo escalar φ = γsφ

s+1 + ζsφs tambien este mas cerca del campo de

presiones P (valor de L(Φ) = ν ∇.v pequeno). Segundo, en el metodo de paso fraccionadoel campo escalar φ se descompone en la forma antes mencionada, para obtener valoresde φs+1 mas pequenos, y ası reducir los errores ∆tG(φ) de la velocidad (en realidad, loque se reduce es el error parcial por cada componente de φ en cada paso).

65


Las raıces caracterısticas de los metodos Runge-Kutta (3.108) se encuentran deigual forma que antes, resolviendo el sistema de ecuaciones lineales (3.63), con lo cual seobtienen

Γ(z) =[1 + z + z2 +

12z3 +

16z4]

(3.109.a)

Γ(z) =[

1 − 2330z + 191

150z2 − 5863375z3 − 56

2025z4 + 12850625z5

1 − 2330z + 93

450z2 − 763375z3 + 8

10125z4

](3.109.b)

respectivamente para el operador H y el operador L. Luego la estabilidad de los dife-rentes metodos se establece imponiendo que las raıces caracterısticas sean menores quela unidad. Esto da los siguientes lımites para el avance del tiempo ∆t

∆t ≤ 1.596|λ| ∆t ≤ 7.243

|λ| (3.110)

respectivamente para los dos operadores. Como se tiene que el lımite CFL≥ Um ∆t/∆x,si consideramos que el autovalor |λ| = Um/∆x, entonces los valores en los numeradoresde (3.110) son los valores CFL maximos necesarios para que las diferentes partes delmetodo de pasos escalonados sea estable (El metodo de Euler explıcito, con b1 = 1,a11 = 0 y c1 = 1 y Γ(z) = 1 + z requiere de un CFL=1). Esto permite relajar un pocoel procedimiento (3.105) de integracion en el tiempo con valores de ∆t mas grandes, demanera de obtener un avance mas rapido en el algoritmo numerico. En esta tesis se harecomendado y utilizado el uso de un valor CFL=1.7, levemente superior al menor de losvalores de CFL en (3.110), contando que la parte implıcita del metodo mejore en ciertamedida a su parte explıcita.

Cuando el metodo Runge-Kutta se hace muy pesado y se desea un avance masrapido en el tiempo, se puede usar un metodo de paso multiple del tipo Adams-Bashforthde segundo orden (semi-implıcito). Para este metodo los valores de los coeficientes son:

γ1 =32

ζ1 = −12

α1 = 1 (3.111)

respectivamente para los operadores H y L. Particularmente en este metodo, por sertan solo de dos pasos, no se hace la descomposicion de φ. Con los coeficientes (3.111) seobtienen las siguientes matrices de Butcher

0 0 03/2 3/2 0

0 1

0 0 01 1/2 1/2

0 1

(3.112)

y las siguientes raıces caracterısticas

Γ(z) =[1 + z +

32z2]

Γ(z) =[

1 + 12z + 1

2z2

1 − 12z

](3.113)

66


La estabilidad de estos metodos queda establecida con los dos lımites siguientes

∆t ≤ 0.666|λ| ∆t ≤ 2

|λ| (3.114)

Como se podra observar, la estabilidad del metodo para la parte explıcita es peor queel metodo de Euler, no obstante, la estabilidad se mejora notablemente con la parteimplıcita.

Es conveniente expresar la primera ecuacion del metodo de paso fraccionado como

[ I − 0.5 αs ∆tL ] (vs+1 − vs) = ∆t [ γs H(vs) + ζs H(vs−1) + αs L(vs) ] (3.115)

(I es el operador identidad) debido a que el operador diferencial se puede ahora factorizarde la siguiente forma aproximada

[ I− 0.5 αs ∆tL ] ≈ [ (I − L1) (I − L2) (I − L3) ]Li ≈ 0.5 αs ∆t (ν ∇2

i )∑i

Li = 0.5 αs ∆tL (3.116)

(siendo i = 1, 2, 3 tres direcciones ortogonales) lo que permite que las matrices a resolversean tridiagonales, en lugar de grandes matrices de banda dispersa. Esto resulta enuna significante reduccion del costo de computo y de memoria. Finalmente la ecuacion(3.115) del metodo de paso fraccionado queda en la forma

[ (I − L1) (I − L2) (I − L3) ] = ∆t [ γs H(vs) + ζs H(vs−1) + αs L(vs) ] (3.115′)

que se aplica en direcciones alternadas (ADI - Alternating Direction Implicit) para hacermas eficiente el algoritmo.

3.3. METODO DE INTERPOLACION

Sean (x0, f(x0)), (x1, f(x1)), (x2, f(x2)) hasta (xn, f(xn)) n + 1 puntos discre-tos que representan a una funcion y = f(x). Como se sabe, existe un unico polinomioy = Pn(x) de grado n que pasa por los n + 1 puntos mencionados. Estos polinomios sonadecuados para realizar estimaciones de la funcion y = f(x) para un valor x cualquieraperteneciente al intervalo [x0, x1, x2, x3, . . . , xn] que contiene a todos los puntos, estandolos valores xi no necesariamente ordenados. A este proceso se le denomina “Interpo-lacion”. Si el valor x esta fuera del intervalo de los puntos entonces el proceso se denomina“Extrapolacion”.

En esta seccion se ha desarrollado un algoritmo de interpolacion usando los poli-nomios de Newton en diferencias divididas. Se han usado dos criterios para hacer lainterpolacion lo mas consistente posible con los puntos discretos dados: Simetrıa y mono-tonıa. El criterio de la simetrıa consiste en escoger la distribucion de puntos lo mas

67


simetricamente posible, alrededor de donde se desee interpolar. Esto se puede hacer dedos maneras: mediante el numero de puntos o mediante la distancia de influencia a unoy otro lado del punto donde se vaya a interpolar. En el caso de intervalos regulares unade las formas implica a la otra, pero no cuando los datos son irregulares o no estan orde-nados. El criterio de la monotonıa se basa en la definicion de monotonıa de una funcion:Una funcion se dice que es monotona hasta el orden m, en un determinado intervalo, sitodas sus derivadas de hasta dicho orden conservan siempre su signo en dicho intervalo.Las diferencias divididas son proporcionales a las derivadas en su entorno, por ello elcriterio de monotonıa implica escoger hasta el mayor orden en las diferencias divididasque tengan igual signo. La ultima diferencia dividida debera tener signo opuesto a unao ambas de las diferencias divididas vecinas. La falta de monotonıa implica que puedenproducirse oscilaciones indeseables de la funcion alrededor o entre los puntos dados. Loscriterios de simetrıa y monotonıa se complementan para indicar que puntos y el cunatosde ellos se deben usar en la interpolacion. En cualquier caso, el grado del polinomiosera siempre una unidad menor que el numero de puntos. El algoritmo se resume de lasiguiente manera: se escogen los puntos mas cercanos al punto donde se desee interpolar,en un numero (o distancia) simetrica hasta que dicho numero de puntos reflejen en lasdiferencias divididas que la funcion conserva la monotonıa deseada.

El algoritmo antes explicado puede usarse para hacer interpolaciones en una o envarias dimensiones. Tambien permite la interpolacion sin necesidad de pre-ordenar lospuntos usados. En varias dimensiones lo unico que se exige es que los valores de lasfunciones sean siempre para los mismos y todos los valores discretos en cada dimension.El algoritmo tampoco necesita escoger un grado del polinomio anticipadamente, duranteel proceso de la interpolacion el algoritmo decide el grado del polinomio optimo quegarantice satisfacer los criterios de simetrıa y monotonıa.

Los algoritmos explicados adelante se han utilizado para encontrar el campo develocidades y sus derivadas en todo el dominio del flujo, basado en los valores de dichocampo en puntos discretos en el espacio. Se ha escogido interpolaciones polinomicas decuarto grado (cinco puntos en cada direccion espacial) para hacer las interpolaciones,siguiendo el criterio de que el error de las interpolaciones debe ser menor que el de losvalores discretos usados (segundo orden). Ademas, el numero de puntos se justifica alusar el criterio de la simetrıa. Luego la monotonıa elimina el orden innecesario. Duranteel proceso de convergencia, apenas se uso interpolaciones parabolicas (tres puntos encada direccion) para agilizar los tiempos de ejecucion.

3.3.1. DIFERENCIAS DIVIDIDAS

Las diferencias divididas, tambien denominadas cocientes incrementales, sim-bolizadas por f [ · ] se definen de forma recurrente de la siguiente forma

f [x0] = f(x0) (3.117.a)

f [x1, x0] =f [x1] − f [x0]

x1 − x0(3.117.b)

68


f [x2, x1, x0] =f [x2, x1] − f [x1, x0]

x2 − x0(3.117.c)

f [x3, x2, x1, x0] =f [x3, x2, x1] − f [x2, x1, x0]

x3 − x0(3.117.d)

f [xn, xn−1, . . . , x1, x0] =f [xn, xn−1, . . . , x2, x1] − f [xn−1, xn−2, . . . , x1, x0]

xn − x0(3.117.e)

Las diferencias divididas cumplen con la propiedad

f [xn, xn−1, . . . , x1, x0] = f [x0, x1, . . . , xn−1, xn] ∀n ∈ Z (3.118)

Esta propiedad, expresada de otra forma, lo que significa es que, sin importar el ordenen que estan los valores xi dentro de una diferencia dividida, el resultado es siempre elmismo.

Una forma de expresar todas las diferencias divididas posibles de generar mediante,por ejemplo, un conjunto de puntos x0, x1, x2, x3 y x4, no necesariamente ordenados,es lo que se denomina el Diagrama Romboidal de diferencias divididas. Para el ejemplopropuesto se tiene que el diagrama romboidal se representa como

x0 f [x0]f [x0, x1]

x1 f [x1] f [x0, x1, x2]f [x1, x2] f [x0, x1, x2, x3]

x2 f [x2] f [x1, x2, x3] f [x0, x1, x2, x3, x4]f [x2, x3] f [x1, x2, x3, x4]

x3 f [x3] f [x2, x3, x4]f [x3, x4]

x4 f [x4]

(3.119)

La manipulacion algebraıca de la diferencias de ordenes crecientes conlleva, me-diante induccion, a una forma simetrica similar para la n-esima diferencia dividida, entermino de los argumentos xi y de los valores funcionales f(xi). Esta forma simetricapuede ser escrita de manera compacta como

f [x0, x1, x2, . . . , xk−1, xk] =k∑

i=0

f(xi)∏kj=0j =i

(xi − xj)(3.120)

3.3.2. POLINOMIOS DE NEWTON

Los polinomios de Newton de grado n en diferencias divididas, como se dijo antes,permiten hacer estimaciones de la funcion y = f(x) en la forma

f(x) = Pn(x) + Rn(x) (3.121)

69


donde Pn(x) es el polinomio de grado n

Pn(x) =f [x0] + (x − x0) f [x0, x1] + (x − x0)(x − x1) f [x0, x1, x2] + · · ·+ (x − x0)(x − x1)(x − x2) · · · (x − xn−1) f [x0, x1, x2, . . . , xn−1, xn]

=n∑

k=0

k−1∏j=0

(x − xj) f [x0, x1, x2, . . . , xk−1, xk] (3.122)

y Rn(x) es el error cometido en la interpolacion.

Rn(x) =n∏

j=0

(x − xj)f (n+1)(ξ)(n + 1)!

ξ ∈ [x0, x1, . . . , xn−1, xn] (3.123)

Naturalmente Rn(xi) = 0 para i = 1, 2, 3, . . . , n, ya que el polinomio pasa por cada unode los puntos (xi, f(xi)). Cuando el lımite superior de una productoria es menor que ellımite inferior, el resultado de dicha productoria es la unidad.

3.3.3. POLINOMIOS DE LAGRANGE

Los polinomios de Lagrange son otra forma de expresar los mismos polinomiosPn(x) de la expresion (3.121), pero se tiene que

Pn(x) =n∑

i=0

Li(x) f(xi) (3.124)

donde

Li(x) =n∏

j=0j =i

(x − xj)(xi − xj)

(3.125)

El error Rn(x) continua siendo el mismo que la expresion (3.123).

3.3.4. RESIDUO

A continuacion se hara la deduccion de la expresion (3.123) para Rn(x) [Carnahanet al.,1969]. Consideremos la formula (3.121) fundamental de Newton

f(x) = Pn(x) + Rn(x) = Pn(x) +[ n∏

i=0

(x − xi)]

G(x) (3.126.a)

conG(x) = f [x0, x1, x2, . . . , xn−1, xn, x] (3.126.b)

70


en la cual Pn(x) es el polinomio de interpolacion de orden n dado por (3.122) o (3.124),Rn(x) es el termino residual o residuo (3.123) y G(x) es el cociente incremental queincluye x de orden n + 1 y que es deconocido.

Para los puntos que forman la base de datos x0, x1, . . . , xn−1, xn, Rn(xi) = 0, peropara cualquier otro punto, en general Rn(x) = 0. Consideremos por otro lado una nuevafuncion Q(t), tal que

Q(t) = f(t) − Pn(t) −[ n∏

i=0

(t − xi)]

G(x) (3.127)

Cuando t = xi, i = 0, 1, 2, . . . , n, Q(t) = 0; y cuando t = x tambien Q(t) = 0, ya que eltermino de la derecha de (3.127) desaparece (vease (3.126)). Es decir que la funcion Q(t)se anula n+2 veces, o sea que tiene n+2 raıces en el intevalo mas pequeno que contengax y los n + 1 puntos base x0, x1, . . . , xn−1, xn. si f(t) es continua y convenientementediferenciable, se le puede aplicar el siguiente teorema:

Teorema 1. (Teorema de Rolle). Sea f(x) una funcion continua en el intervaloa ≤ x ≤ b y diferenciable en a < x < b; si f(a) = f(b), entonces existe por lo menos unpunto ξ, siendo a < ξ < b, para el cual f ′(ξ) = 0.

El teorema exige que la funcion Q′(t) se anule por lo menos n+1 veces en intervalo.de los puntos base. Aplicando el teorema repetidamente a las derivadas de orden superior,se observa que Q′′(t) debe tener n raıces, Q′′′(t), n− 1 raıces, etc... y que Q(n+1)(t) debeanularse por lo menos una vez en el intervalo que contenga los puntos bases. Sea dichopunto t = ξ. Derivando la expresion (3.127) n + 1 veces, se obtiene

Q(n+1)(t) = f (n+1)(t) − P (n+1)n (t) − (n + 1)! G(x) (3.128)

Pero Pn(t) es un polinomio de grado n, de modo que P(n+1)n (t) = 0, y por tanto, para

t = ξ se satisface

G(x) =f (n+1)(ξ)(n + 1)!

ξ ∈ [x0, x1, . . . , xn−1, xn, x] (3.129)

o sea que se justifica (3.123) cuando x esta en el intervalo base (interpolacion)

Rn(x) =n∏

j=0

(x − xj)f (n+1)(ξ)(n + 1)!

ξ ∈ [x0, x1, . . . , xn−1, xn, x] (3.130)

El valor de ξ es desconocido, salvo que se conoce que esta contenido en el intervaloformado por x y los valores x0, x1, . . . , xn−1, xn. Si la funcion f(x) se describe solamentede forma tabular, la expresion (3.130) es de poca utilidad, ya que f (n+1)(ξ) no se puededeterminar. No obstante, agregando uno o mas puntos adicionales al calculo, se puede

71


usar la diferencia dividida del mismo orden que la derivada para tener un valor estimativodel error. Por el contrario, si f(x) se conoce de forma analıtica, entonces (3.130) es utilpara establecer una cota superior al error.

3.3.5. INTERPOLACION ESPACIAL

Las interpolaciones con funciones dependientes de mas de una variable se hacenmediante el mismo algoritmo de interpolacion en una variable, repetido varias vecesen curvas (dos dimensiones) o superficies paralelas (tres dimensiones), y a su vez, lasinterpolaciones en las superficies paralelas se realizan como en funciones de dos variables.

Dos Dimensiones

El algoritmo para la interpolacion en dos dimensiones para la funcion discretazij = z(xi, yj), con i = 0, . . . , nx − 1 en x y j = 0, . . . , ny − 1 en y, se describe de formaestructurada a continuacion:

• Para i = 0, . . . , nx − 1• Para j = 0, . . . , ny − 1

• Se asigna ηi(yj) = zij = z(xi, yj)• Siguiente j

• Para cada curva i se interpola en el punto y∗ con los valores de ηi(yj), lo que danlos valores interpolados ζi = ζ(xi) = z(xi, y∗) de la funcion z(x, y) en la curva quepasa por y∗ y esta parametrizada con los valores xi.

• Siguiente i

• Finalmente se interpola en el punto x∗ con los valores ζi = ζ(xi), lo que da comoresultado el valor deseado z∗ = z(x∗, y∗).

Tres Dimensiones

El algoritmo para la interpolacion en tres dimensiones para la funcion discretatijk = t(xi, yj, zk), con i = 0, . . . , nx − 1 en x, j = 0, . . . , ny − 1 en y y k = 0, . . . , nz − 1en z, se describe de forma estructurada a continuacion:

• Para k = 0, . . . , nz − 1• Para j = 0, . . . , ny − 1• Para i = 0, . . . , nx − 1• Se asigna ηk(xi, yj) = tijk = t(xi, yj , zk)

Siguiente i

• Siguiente j

• Para cada superficie k se interpola en dos dimensiones en el punto (x∗, y∗) con losvalores de ηk(xi, yj), lo que dan los valores interpolados ζk = ζ(zk) = t(x∗, y∗, zk)de la funcion t(x, y, z) en la curva que pasa por (x∗, y∗) y esta parametrizada conlos valores zk.

72


• Siguiente k

• Finalmente se interpola en el punto z∗ con los valores ζk = ζ(zk), lo que da comoresultado el valor deseado t∗ = t(x∗, y∗, z∗).Para mayores dimensiones se sigue la misma practica de apoyar el algoritmo en

algoritmos para dimensiones menores.

3.4. CODIGO, SOFTWARE y HARDWARE

3.4.1. PROGRAMAS INFORMATICOS

Todos los codigos de programas compilados y utilizados en esta tesis fueron de-sarrollados en el lenguaje FORTRAN 90. El compilador en el ordenador personal es elFortran PowerStation de Microsoft Developer Studio (1994-1995). El compilador en laestacion de trabajo es el FORTRAN 90 de HP (1997).

Para el post-procesamiento de los datos de los resultados de los anteriores progra-mas y la generacion de imagenes y graficos, se han utilizado programas como el MatLabversion 6 ‘release’ 12 y el Maple version 5 ‘release’ 5. Eventualmente para algunas graficas,tambien se uso el programa Excel de Office 2000 de Microsoft.

La rutina RKF36.FOR para la integracion de las ecuaciones de movimiento de laspartıculas y que eta basado en en el metodo de Runge-Kutta de tercer y sexto ordenes(seccion 3.1.3) del tipo cuadratura de Lobatto [1851/1852] con control de paso vari-able (seccion 3.1.5), se construyo con la modificacion (ver una explicacion extensa en[Granados,1992/1993]) realizada sobre el codigo del programa RKF45.FOR, basado en elmetodo de Fehlberg [1971] de cuarto y quinto ordenes (ecuacion (3.35.a)) que fue escritopor H. A. Watts y L. F. Shampine de los Laboratorios Sandıa en Albuquerque, NuevoMexico, E.E.U.U. Este ultimo codigo y su ejecucion esta bien documentado en [Shampineet al.,1975/1976]. Adicionalmente, se le ha optimizado la convergencia de las variableskr en cada paso de integracion con la implementacion (en esta tesis) de un algoritmo deltipo Newton-Raphson [Granados,1998].

El programa de simulacion desarrollado en esta tesis se construyo sobre la base delas rutinas que vienen en un diskette que acompana al libro [Orlandi,2000]. Dentro delos aspectos relevantes que fueron agregados o cambiados a estas rutinas estan:

• Adicion del modelo Smagorinsky [1963] y dinamico [Lilly,1992] para ‘LES’.• Adicion de las condiciones de frontera modificadas para incluir deslizamiento e

imposicion del esfuerzo cortante instantaneo en la pared de la tuberıa, la cualpuede ser lisa o rugosa.

• Ampliacion de la interfase entre archivo de datos y programa de manera de hacerlamas interactiva. Ahora se tienen mas datos de entrada y se obtienen mas datosen los archivos de resultados.

• Los resultados de los esfuerzos incluyen ahora en los resultados la parte viscosa,la parte turbulenta y el componente de sub-red.

73


• El perfil del coeficiente de Smagorinsky se almacena en un archivo a lo largo delradio.

• Adicion de una rutina para el calculo del campo de vorticidades y el perfil radialde la enstrofıa.

• Se agrego el calculo de la disipacion turbulenta ε.

• Se anadio una rutina para el calculo de los espectros de los campos de velocidadesy vorticidades, y para el calculo de la funcion de auto-correlacion para el campode las velocidades.

• Se incluyeron facilidades para la simulacion simultanea de las partıculas con unmayor grado en la interpolacion polinomica y un mayor orden en el metodo Runge-Kutta, ambos cambiables a requerimiento del usuario.

• Se agregaron codigos de rutinas nuevas, tanto para la interpolacion numerica,como para el calculo de la transformada rapida de Fourier, ambas en el espacio osubdominio del mismo.

• Se incluyo el modelo que simula la modulacion de la turbulencia, tanto para sim-ulaciones directas (DNS), como para el modelo de grandes escalas (LES).

3.4.2. ORDENADOR PERSONAL

El ordenador personal utilizado para las simulaciones menos exigentes es unHewlett & Packard, modelo Vectra VE, con un procesador Pentium II MMX a 233MHz y 384 MB de memoria RAM. El campo de velocidades guardado en un instanteocupa 24.5 MB en la simulacion numerica directa (DNS), mientras que ocupa 430 kB enuna simulacion de grandes escalas (LES). La simulacion de una unidad de tiempo fısicocon ‘DNS’ tarda aproximadamente 24 horas, mientras que con ‘LES’ tarda una hora.Las simulaciones mas largas, una vez convergido el flujo, fue de 140 unidades de tiempofısico con ‘DNS’ y de 720 unidades con ‘LES’.

3.4.3. ESTACION DE TRABAJO

La estacion de trabajo utilizada en los casos mas exigentes es una Hewlett &Packard K Class 9000, con cuatro procesadores a 180 MHz y 780 MB de memoria RAM.Aunque la velocidad de su procesador era menor que la del ordenador personal, su ve-locidad de respuesta fue mayor debido a la disponibilidad de mayor memoria RAM. Lostiempos de simulacion en esta estacion de trabajo se reducıan aproximadamente en dostercios, comparandolos con el ordenador personal.

3.4.4. DISCRETIZACION DE LAS ECUACIONES

El dominio donde se desarrolla el flujo es cilındrico, por consiguiente las ecuacionesdel movimiento del fluido incompresible se han expresado en coordenadas cilındricas. En

74


estas coordenadas, la ecuacion de continuidad se escribe como

1r

∂

∂r(ρ r vr) +

1r

∂

∂θ(ρ vθ) +

∂

∂z(ρ vz) = 0 (3.131)

Esta ecuacion y las que siguen estan adimensionalizadas con el radio R de la tuberıa, lavelocidad Um del flujo y la viscosidad cinematica ν. Las ecuaciones de Navier-Stokes seescriben como

∂vr

∂t+ vr

∂vr

∂r+

vθ

r

∂vr

∂θ− v2

θ

r+ vz

∂vr

∂z

= −∂P

∂r+ µ

∂

∂r

[1r

∂

∂r(r vr)

]+

1r2

∂2vr

∂θ2− 2

r2

∂vθ

∂θ+

∂2vr

∂z2

∂vθ

∂t+ vr

∂vθ

∂r+

vθ

r

∂vθ

∂θ+

vrvθ

r+ vz

∂vθ

∂z

= −1r

∂P

∂θ+ µ

∂

∂r

[1r

∂

∂r(r vθ)

]+

1r2

∂2vθ

∂θ2+

2r2

∂vr

∂θ+

∂2vθ

∂z2

∂vz

∂t+ vr

∂vz

∂r+

vθ

r

∂vz

∂θ+ vz

∂vz

∂z

= −∂P

∂z− ∂P

∂z+ µ

[1r

∂

∂r

(r∂vz

∂r

)+

1r2

∂2vz

∂θ2+

∂2vz

∂z2

]

(3.132)

donde se ha hecho el uso de la presion piezometrica que incluye los efectos del campogravitatorio y en la direccion axial se ha separado el gradiente de la presion media P .El parametro µ es realmente el inverso del numero de Reynolds IRe = Um R/ν. En losmodelos de grandes escalas (LES) al parametro µ se le agrega una viscosidad de remolinoµt. La dependencia de esta ultima variable con respecto a las coordenadas se desprecia alos efectos de poderla sacarla fuera de las derivadas parciales, pero el cambio de su valorcon la posicion si se tiene en cuenta.

Haciendo el cambio de variables qr = r vr y qθ = r vθ en (3.132), que permitentratar la singularidad en el eje de forma conveniente, se obtienen las siguientes ecuacionesequivalentes.

75


∂qr

∂t+

∂

∂r(q2

r/r) +1r2

∂

∂θ(qrqθ) − q2

θ

r2+

1r

∂

∂z(qrqz)

= −r∂P

∂r+ µ

[r

∂

∂r

(1r

∂qr

∂r

)+

1r2

∂2qr

∂θ2− 2

r2

∂qθ

∂θ+

∂2qr

∂z2

]∂qθ

∂t+

∂

∂r(qrqθ/r) +

1r2

∂

∂θ(q2

θ) +qrqθ

r2+

∂

∂z(qθqz)

= −∂P

∂θ+ µ

[r

∂

∂r

(1r

∂qθ

∂r

)+

1r2

∂2qθ

∂θ2+

2r2

∂qr

∂θ+

∂2qθ

∂z2

]∂qz

∂t+

1r

∂

∂r(qrqz) +

1r2

∂

∂θ(qθqz) +

∂

∂z(q2

z)

= −∂P

∂z− ∂P

∂z+ µ

[1r

∂

∂r

(r∂qz

∂r

)+

1r2

∂2qz

∂θ2+

∂2qz

∂z2

]

(3.133)

Particularmente, existen terminos en la componente viscosa de las ecuaciones que seprefiere colocar de las formas

r∂

∂r

(1r

∂ϕ

∂r

)=

∂

∂r

(r

∂ϕ/r

∂r

)− ϕ

r2

1r

∂

∂r

(r

∂ϕ

∂r

)=

∂

∂r

(1r

∂ϕ

∂r

)+

ϕ

r2(3.134)

para evitar la influencia de la singularidad en el eje.

Figura 3.1. Diagrama de la celda computacional: a) celda en el eje, b) celda en el dominio.

Las ecuaciones se discretizan utilizando un conjunto de mallas desplazadas, comolo indica la figura 3.1. La variables qr, qθ y qz se definen en las caras de las celdas

76


hexaedricas (caso b). Las celdas adyacentes al eje tienen forma de cuna y adolecen deuna de las caras, pero de igual forma qr existe en la arista de la cuna. Las presiones yotras variables (como la viscosidad turbulenta y φ) se definen en el nodo central.

Las ecuaciones diferenciales para cada variable qi se expresan de la forma

[ (1 − βsLr) (1 − βsLθ) (1 − βsLz) ] (qs+1

i − qsi )

= ∆t [ γs Hi(vs) + ζs Hi(vs−1) − αs Gi(P s) + αs µ L(qsi ) ]

(3.135)

donde L = Lr +Lθ +Lz, βs = 0.5 αs µ ∆t, y los operadores diferenciales se definen como

Lr = r∂

∂r

(1r

∂ ·∂r

)o

1r

∂

∂r

(r∂ ·∂r

)Lθ =

1r2

∂2 ·∂θ2

Lz =∂2 ·∂z2

(3.136)

Estos operadores diferenciales se discretizan de forma convencional, usando diferenciasfinitas de segundo orden para las derivadas de segundo orden. La derivadas de losterminos convectivos son discretizadas usando polinomios de tercer grado (cuatro puntoso nodos), pero ubicando un nodo central, dos nodos aguas arriba (dependiendo del sen-tido del flujo) y un nodo aguas abajo [Rai & Moin,1991]. Los operadores diferenciales Hi,adicionalmente ahora, contienen, aparte de los terminos convectivos, aquellos terminosviscosos con una sola derivada, que aparecen en (3.133) (pero que no estan en (3.136)).A diferencia del metodo mostrado en la seccion 3.2.5, en esta oportunidad se ha anadidoel termino −αs Gi(P s), porque esto simplifica las condiciones de frontera para el campode velocidades q [Verzicco & Orlandi,1996].

El campo de velocidades intermedias q debe ser globalmente solenoidal, pero nolocalmente. Por consiguiente, para conseguir el campo solenoidal buscado, se fuerza queen cada celda se satisfaga

qs+1

i = qs+1

i − ∆t [ γs G(φs+1) + ζs G(φs) ] (3.137)

donde φs+1 se obtiene de resolver

γs ∇2φs+1 = D(qs+1)/∆t − ζs ∇2φs αs = γs + ζs (3.138)

donde el operador de divergencia en coordenadas cilındricas y el laplaciano se escribencomo

D(q) =1r

∂qr

∂r+

1r2

∂qθ

∂θ+

∂qz

∂z∇2( · ) =

1r

∂

∂r

(r∂ ·∂r

)+

1r2

∂2 ·∂θ2

+∂2 ·∂z2

(3.139)

Es conveniente senalar que, a diferencia de las referencias [Kim & Moin,1985] y[Rai & Moin,1991], la expresion (3.135) introduce la presion P s y esto simplifica las

77


condiciones de frontera para q, pero, por otra parte, se requiere el calculo explıcito delos gradientes de presion a traves de

P s+1 = P s + φs+1 − µ D(qs+1) (3.140)

siguiendo un razonamiento muy parecido al usado para generar la ecuacion (3.101.b).Las ecuaciones (3.133) parecen estar plagadas de singularidades en la region cerca

del origen en el eje (r ≈ 0). No obstante, la utilizacion de un mallado desplazado, comoel mostrado en la figura 3.1, evita en gran medida algunas de estas singularidades. Enparticular, el uso de las identidades (3.134), evita singularidades cuando se aplican a losprimeros terminos viscosos de las ecuaciones de Navier-Stokes (3.133).

78

CAPITULO 4

RESULTADOS

SIN PARTICULAS

Este capitulo tiene como objetivo primordial establecer, por una parte la validezde los metodos utilizados, y por otra parte la comprobacion de los algoritmos codificadosen los programas informaticos. En primera instancia, se verificara que los resultados delas simulaciones numericas directas dan satisfactoriamente los resultados reportados enotras investigaciones. En segunda instancia, se intentara utilizar el modelo mas simple desimulacion de grandes escala (LES) para encontrar que existe un fallo en los resultados,en lo que respecta a los valores de la velocidad de friccion y los esfuerzos cortantes. Entercera instancia, se conseguira corregir el fallo cambiando las condiciones de contornode la velocidad para que exista un cierto deslizamiento, imponiendo una condicion decontorno en la derivada de la velocidad, mas que en la velocidad misma (se sabe que lacondicion natural de contorno en la pared es la de no deslizamiento, es decir, velocidadnula en la pared de la tuberıa, pero con el metodo de ‘LES’ tradicional, los resultados noson satisfactorios). Esto se hara con el uso del perfil logarıtmico para pared lisa, el cualse considerara con validez instantanea. Como los resultados resultaran ser exitoso, enultima instancia, luego se ampliara el procedimiento a paredes rugosas, con el correspon-diente perfil logarıtmico dependiente de la rugosidad. Los resultados continuaran siendoigualmente aceptables. Por esto se adoptan dichos procedimientos como buenos y son unaporte original de esta tesis. Se hacen comprobaciones con otras simulaciones numericasdirectas y, en el caso de modelos de grandes escalas, las comparaciones se hacen tambiencon un modelo k − ε para paredes rugosas.

79


4.1. SIMULACION NUMERICA DIRECTA

4.1.1. PERFIL DE VELOCIDAD

La figura 4.1 muestra los perfiles de velocidades en variables fısicas reales (ladoizquierdo) y en variables de pared (lado derecho). Esta disposicion de los graficos dentrode las figuras se sigue igual de aquı en adelante, excepto para las figuras de los esfuerzoscortantes y los espectros. Tambien se designara de ahora en adelante para las velocidadesque u = vθ, v = vr y w = vz y el significado de los subındices en coordenadas cilındricassera extensivo a las otras cantidades. En la mencionada figura con escala logarıtmica seobserva notablemente la region de la sub-capa viscosa (y+ < 10) y la region del perfillogarıtmico (y+ > 10). En esta ultima region, se aprecia la tendencia del perfil a teneruna pendiente cuyo inversa es la constante de von Karman κ (aquı se ha graficado conun valor de κ = 0.41, aunque Rodi [1993] recomienda un valor de 0.435 para tuberıas).Se debe mencionar, sin embargo, que existe una tercera region que es la ley del defectoque esta alrededor del eje de la tuberıa y que por simetrıa cilındrica queda casualmenteabsorbida por la region del perfil logarıtmico.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

v z/U

m

r / R

PERFIL VELOCIDAD AXIAL

Vz / UmVz / Um (AGARD)Mallado

10-1

100

101

102

0

5

10

15

20

25

v z+

y+

PERFIL VELOCIDAD AXIAL (Unid. Pared)

Vz+

Vz+=1/ 0.41*ln( y+)+ 5.5Vz+ (AGARD)Mallado

Figura 4.1. Perfiles de velocidades axiales medias

No obstante, los valores encontrados para la velocidad son levemente superioresa los estimados con la ecuacion del perfil logarıtmico, lo que indica que el valor de laconstante 5.5 (ordenada en el origen, y+ = 1) debe ser mayor para este caso. En laparte inferior de los graficos se pueden observar con cruces las ubicaciones de los nodosdistribuidos radialmente. Los resultados concuerdan muy bien con del reporte de laAGARD [1998]. La velocidad de friccion con esta simulacion dio Uτ = 0.068731, quecomparandola con el valor de Uτ = 0.067308 obtenido con la correlacion de Colebrook[1939], dio un valor aceptable.

80

CAPITULO 4 RESULTADOS SIN PARTICULAS

4.1.2. ESFUERZOS TURBULENTOS

La figura 4.2 muestra el perfil del esfuerzo turbulento mixto τrz. Este esfuerzoconsistentemente tiende a cero en la region cercana a la pared de la tuberıa y tieneuna pendiente constante (en variables fısicas) donde la viscosidad molecular se hacedespreciable frente a la viscosidad turbulenta. La pendiente constante del esfuerzo es unresultado logicamente justificado por el balance entre la fuerza producida por el gradientede la presion y los esfuerzos locales en superficies cilındricas concentricas. Los resultadosconcuerdan muy bien con el reporte de la AGARD [1998], excepto levemente en el valormaximo. Los esfuerzos globales (incluyendo la parte viscosa) deben llegan al valor de launidad en la grafica de la derecha, por definicion, y el maximo observado se iguala a launidad cuando el numero de Reynolds tiende al infinito.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5x 10

-3

τ uv

-τv

wτ u

w

r / R

ESFUERZOS TURBULENTOS MIXTOS

τu v

τv w

τu w

AGARD

100

102

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

τ+ uv

-τ+ v

wτ+ u

w

y+

ESFUERZOS TURBULENTOS MIXTOS (Unid. Pared)

τ+u v

τ+v w

τ+u w

AGARD

Figura 4.2. Esfuerzos turbulentos mixtos (τvw = −ρ v′rv′z)

4.1.3. ENERGIA CINETICA TURBULENTA

La figura 4.3 muestra los perfiles de los esfuerzos turbulentos diagonales τθθ, τrr

y τzz junto con la energıa cinetica turbulenta k. De todos estos esfuerzos, el mas sig-nificativo, frente a los otros, es el esfuerzo axial, lo que indica que las fluctuaciones sonmayores en dicha direccion. La energıa cinetica turbulenta tiene un maximo justo antesde comenzar la subcapa viscosa, en donde se atenua hasta hacerse nula en la pared comoera de esperarse. Todas estas cantidades poseen tambien un mınimo en el eje de la tuberıadebido a la condicion de simetrıa cilındrica. Las diferencias con respecto al reporte dela AGARD [1998] son mınimas. En cruces se ha colocado el valor de la energıa cineticaturbulenta en la ‘ley de la pared’ y simultaneamente puede observarse la distribucion delmallado.

81


0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

τ uu

τ vv

τ ww

k

r / R

ENERGÍA CINÉTICA TURBULENTA

τu u

τv v

τw w

kAGARDk=U

t2/Cµ

0.5

100

102

0

1

2

3

4

5

6

7

8

τ+ uu

τ+ vv

τ+ ww

k+

y+

ENERGÍA CINÉTICA TURB. (Unid. Pared)

τ+u u

τ+v v

τ+w w

k+

AGARDk+=1/Cµ

0.5

Figura 4.3. Productos diagonales τt = v′iv′i i = θ, r, z

y energıa cinetica turbulenta k = 12

∑i v′iv

′i

4.1.4. DISIPACION TURBULENTA

La figura 4.4 contiene la disipacion turbulenta isotropa calculada con dos pro-cedimientos ε1 = 2ν 〈D : D〉 − ν 〈w〉.〈w〉 y ε2 = 2ν〈D : D〉 − ν 〈w〉.〈w〉, obteniendoseresultados identicos. Tambien se muestra la disipacion viscosa total Φµ = 2µD : D(realmente, dividida por la densidad ρ y promediada en el espacio 〈 · 〉 y en el tiempo· ). Se grafica tambien la ley de la pared para la disipacion turbulenta ε ≈ U3

τ /(κ y).Todos los valores practicamente coinciden, excepto en la subcapa viscosa, donde la disi-pacion turbulenta se atenua llegando a un maximo (En la ley de la pared ε → ∞ cuandoy → 0). La disipacion turbulenta presenta un maximo local en donde se observan lasmayores diferencias con los valores del reporte de la AGARD [1998], pero el resto de losvalores obtenidos son aceptables. Tambien se compara con 2ν veces la enstrofıa 〈w′.w′〉/2(2ν × enstrofıa = ν 〈w′.w′〉) porque se sabe que este valor es casi igual a la disipacionturbulenta en el caso de turbulencia isotropa [Tennekes & Lumley,1972], pero en estecaso da siempre levemente por debajo de los otros valores. En el flujo turbulento dentrode una tuberıa existe una disipacion turbulenta extra debido a la falta de isotropıa. Muycerca del eje de la tuberıa, las curvas se disparan a valores muy altos, debido a que lasingularidad que allı existe produce errores numericos en el calculo de las derivadas. Enla figura se han suprimido estos valores por discrepar de lo que deberıa dar.

82


0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.005

0.01

0.015

ε 1ε 2

Φµ/ρ

ν

⟨

ωiω

i⟩

r / R

DISIPACIÓN TURBULENTA

ε1

ε2

Φµ/ρν ⟨ω

iω

i⟩

ε=Ut3/(κ Y)

AGARD

100

102

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

ε 1+ε 2+

Φµ+

ν

⟨

ωiω

i⟩

+

y+

DISIPACIÓN TURBULENTA (Unid. Pared)

ε1+

ε2+

Φµ+

ν ⟨ωiω

i⟩+

ε+=1/(κ y)AGARD

Figura 4.4. Disipacion turbulenta isotropa

4.1.5. VELOCIDAD DE FRICCION

El informe de la AGARD [1998] reporta para la simulacion numerica directa losvalores de Cf = f/4 = 9.16−3 (f = 0.03664), Uτ/Um = 0.0678571. Estas mismascantidades calculadas con la correlacion de Colebrook [1939] da como resultado f =0.036243 (Cf = 9.06 × 10−3) y Uτ/Um = 0.0673081, valores que se corresponden muybien. En las diferentes ejecuciones del programa de Orlandi, se utilizo el valor de Uτ/Um

como parametro para decidir cuando detener los calculos numericos.

4.1.6. ASIMETRIA Y APLASTAMIENTO

La figura 4.5 muestra los perfiles de las asimetrıas. La asimetrıa azimutal Su espracticamente nula, lo que indica que las partıculas de fluidos fluctuan sin preferenciaalguna en un movimiento paralelo a la pared de la tuberıa, sin importar la distanciaa la misma. En el nucleo del flujo las asimetrıas radial Sv y axial Sw son negativasambas, lo que indica que las fluctuaciones tienden a apartar el fluido de la pared y a ir ensentido opuesto al flujo medio. Dentro de la sub-capa viscosa estos efectos se invierten.Los resultados de la asimetrıa axial Sw difieren un poco de los resultados del reporteAGARD [1998], pero en el eje y en la subcapa viscosa coinciden.

83


0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Su

Sv

Sw

r / R

ASIMETRÍA CAMPO VELOCIDADES

Su

Sv

Sw

AGARD

100

102

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Su

Sv

Sw

y+

ASIMETRÍA CAMPO VELOCIDADES (Unid. Pared)

Su

Sv

Sw

AGARD

Figura 4.5. Asimetrıa S del campo de velocidades

La figura 4.6 muestra los perfiles de los aplastamientos. Todos los aplastamientosson similares y uniformes en el nucleo del flujo, lo que significa que las fluctuaciones estanmas distribuidas y el flujo tiene una funcion de densidad de probabilidades mas o menosisotropa, salvo por las asimetrıas. Cerca de la sub-capa viscosa el aplastamiento radialFv crece bastante, mucho mas que el aplastamiento azimutal Fu y el axial Fw, los cualescrecen en menor cuantıa, respectivamente, lo que manifiesta una notable anosotropıa.El aplastamiento axial Fw, no obstante, oscila un poco antes de la pared de la tuberıa,presentando un mınimo. Este aplastamiento se ajusta muy bien a los resultados delreporte de la AGARD [1998]. Las asimetrıas y aplastamiento (o curtosis) corresponden alos momentos de tercer y cuarto orden de la variable aleatoria fluctuacion de la velocidad,como se explica en el apendice B, seccion B.3.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

2

4

6

8

10

12

14

16

18

Fu

Fv

Fw

r / R

APLASTAMIENTO CAMPO VELOCIDADES

Fu

Fv

Fw

AGARD

100

102

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

Fu

Fv

Fw

y+

APLASTAMIENTO CAMPO VELOCIDADES (Unid. Pared)

Fu

Fv

Fw

AGARD

Figura 4.6. Aplastamiento F del campo de velocidades

84


4.1.7. ESPECTROS DE LA VELOCIDAD

En las figuras 4.7 y 4.8 podemos observar los espectros de la velocidad en las direc-ciones axial y azimutal en funcion de sus respectivos numeros de ondas kz y kθ, y tambienpara diferentes posiciones radiales r = 0.11, 0.3578, 0.8842, 0.9818, correspondientes alas posiciones en coordenadas de pared y+ = 169.1, 122, 21.99, 3.458, respectivamente.En todas las graficas y en lıneas punteadas se muestra la ley de E(k) ∼ k−5/3 de Kol-mogorov que esta presente en la cascada de energıa turbulenta isotropa. A medida quenos acercamos al centro de la tuberıa los espectro de las velocidades en distintas direc-ciones estan mas juntas, denotando cierta isotropıa. El efecto es contrario a medida quenos acercamos a la pared de la tuberıa, denotando anisotropıa (a partir aproximadamentede r = 0.8842). Muy cerca de la pared de la tuberıa el espectro axial Eww tiene unamarcada potencia mayor, lo que puede indicar la presencia de grandes estructuras axialesya observadas en canales planos [Del Alamo & Jimenez,2001/2002].

100

101

102

10-10

10-5

Espectro a r/R=0.11 (y+=169.1)

Eu

uE

vv

Ew

w

Eu u

Ev v

Ew w

AGARD

100

101

102

10-10

10-5

Espectro a r/R=0.3578 (y+=122)E

uu

Ev

vE

ww

Eu u

Ev v

Ew w

AGARD

100

101

102

10-10

10-5

Espectro a r/R=0.8842 (y+=21.99)

Eu

uE

vv

Ew

w

kz

Eu u

Ev v

Ew w

AGARD

100

101

102

10-10

10-5

Espectro a r/R=0.9818 (y+=3.458)

Eu

uE

vv

Ew

w

kz

Eu u

Ev v

Ew w

AGARD

Figura 4.7. Espectro de la velocidad en la direccion axial.

Todos los espectros son comparados con los presentados en el reporte de la AGARD[1998]. Las mayores diferencias se observan a numeros de ondas muy alto, donde elmetodo de diferencias finitas utilizado en esta tesis se ve que filtra mucho mas las escalaspequenas que el metodo B-Splines descrito en [Loulou et al.,1997]. Los espectros mostra-dos fueron calculados como se presenta en el apendice A para la variable E(k) y estanormalizado tambien como se indica allı (tercer parrafo, despues de la ecuacion (11)).

85


100

101

102

10-10

10-5


Eu

uE

vv

Ew

w

Eu u

Ev v

Ew w

AGARD

100

101

102

10-10

10-5

Espectro a r/R=0.3578 (y+=122)

Eu

uE

vv

Ew

w

Eu u

Ev v

Ew w

AGARD

100

101

102

10-10

10-5

Espectro a r/R=0.8842 (y+=21.99)

Eu

uE

vv

Ew

w

kθ

Eu u

Ev v

Ew w

AGARD

100

101

102

10-10

10-5

Espectro a r/R=0.9818 (y+=3.458)

Eu

uE

vv

Ew

w

kθ

Eu u

Ev v

Ew w

AGARD

Figura 4.8. Espectro de la velocidad en la direccion azimutal.

La transformada de Fourier se ha obtenido de forma numerica como se describeen la seccion A.9 del apendice A. Dicha transformada se ha aplicado a las direccionesestadısticamente homogeneas, es decir, sobre superficies cilındricas (superficies paralelasaxial-azimutales). La rutina utilizada para hacer estos calculos ha sido la desarrollada porClive Temperton en ECMWF en Noviembre de 1978, ha sido modificada, documentaday probada para NCAR por Russ Rew en Septiembre de 1980 y luego ha sido mejoradapara el caso complejo por Dave Fulker en Noviembre de 1980.

4.1.8. AUTO-CORRELACION DE LA VELOCIDAD

La auto-correlacion del campo de velocidades (ver definicion en la seccion A.4del apendice A, ecuacion (23)) se presentan en las figuras 4.9 y 4.10, respectivamentepara las separaciones axiales y azimutales. Estas ultimas son las separaciones angularesmultiplicadas por el correspondiente radio. La correspondencia con los resultados delreporte [AGARD,1998] es satisfactoria, sobre todo cerca del origen, pero en la cola seaprecian algunas discrepancias. Estas diferencias pueden ser debidas al bajo orden delmetodo de diferencia finitas (2do orden), respecto al metodo de B-Spline que es de tercerorden.

86


0 1 2 3-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

Correlación Axial a r/R=0.11 (y+=169.1)R

uu

Rv

vR

ww

Ru u

Rv v

Rw w

AGARD

0 1 2 3-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

Correlación Axial a r/R=0.3578 (y+=122)

Ru

uR

vv

Rw

w

Ru u

Rv v

Rw w

AGARD

0 1 2 3-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

Correlación Axial a r/R=0.8842 (y+=21.99)

Ru

uR

vv

Rw

w

dz

Ru u

Rv v

Rw w

AGARD

0 1 2 3-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

Correlación Axial a r/R=0.9818 (y+=3.458)

Ru

uR

vv

Rw

w

dz

Ru u

Rv v

Rw w

AGARD

Figura 4.9. Auto-correlacion de la velocidad en la direccion axial.

0 1 2 3

0

0.5

1Correlación Azimutal a r/R=0.11 (y+=169.1)

Ru

uR

vv

Rw

w

Ru u

Rv v

Rw w

0 1 2 3

0

0.5

1Correlación Azimutal a r/R=0.3578 (y+=122)

Ru

uR

vv

Rw

w

Ru u

Rv v

Rw w

0 1 2 3

0

0.5


Ru

uR

vv

Rw

w

r dθ

Ru u

Rv v

Rw w

AGARD

0 1 2 3

0

0.5


Ru

uR

vv

Rw

w

r dθ

Ru u

Rv v

Rw w

AGARD

Figura 4.10. Autocorrelacion de la velocidad en la direccion acimutal.

Se observa en las figuras que las escalas integrales son mayores para la direccionaxial, que para la direccion azimutal. En la direccion axial, la escala integral es del

87


orden del radio R, mientras que en la direccion azimutal la escala integral es del ordende un tercio de dicho radio. Esto de nuevo nos suguiere que existen grandes remolinosque presentan una estructura alargada en la direccion axial, como lo habıamos apreciadoantes con los espectros. La escalas integrales a las que nos hemos referido aquı, aparecendescritas formalmente con las expresion (27) del apendice A, seccion A.5. Las autocor-relaciones se han calculado, realizando la anti-transformada de Fourier de los espectroscorrespondientes, como lo indica las expresiones (23) del apendice A. La autocorrelacionen la direccion azimutal para los dos primeros radios no se han comparado con los de[AGARD,1998] porque en este ultimo no aparecen reportados.

4.1.9. VORTICIDAD Y SUS PRODUCTOS

Aunque los resultados del perfil de la vorticidad media se ajustan muy bien a losvalores reportados [AGARD,1998], como se muestra en la figura 4.11, en realidad noocurre lo mismo con las fluctuaciones de estas. Esto produce unas ciertas diferenciasen los resultados de los productos de fluctuaciones de vorticidades (promediados) comopodra apreciarse mas adelante.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

5

10

15

ωθ

ωr

ωz

r / R

PERFIL VORTICIDAD

ωθω

rω

zAGARD

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

ωθ

ωr

ωz

r / R

PERFIL VORTICIDAD (ZOOM)

ωθω

rω

zAGARD

Figura 4.11. Perfiles de vorticidades medias.

En la grafica de la izquierda de la figura 4.11 puede verse que la vorticidad mas apreciablees la wθ. La grafica de la derecha de la misma figura muestra una ampliacion de la escalavertical para observar el resultados de las otras dos vorticidades wr y wz , sienda estaultima la que tiene mayores valores, pero oscilante al recorrer el radio. No obstante losvalores de Wr y wz son despreciables comparados con wθ como era de esperarse. Estetipo de flujo, por la simetrıa cilındrica que presenta, tanto geometrica, como fısica, enpromedio se sabe que es rotacional solamente en los planos r-z, debido al deslizamientode las capas cilındricas concentricas.

88


La figura 4.12 presenta los productos diagonales 〈w′iw

′i〉 (i no suma) de las fluc-

tuaciones de la vorticidad del lado izquierdo (1 - θ, 2 - r, 3 - z). Se observa que el mayorproducto es el azimutal, siguiendole el radial y finalmente el axial. Estos dos ultimos pro-ductos presentan un maximo global y otro local, respectivamente, cerca de la sub-capaviscosa.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

5

10

15

20

ω1ω

1ω

2ω2

ω3ω

3ω

iωi/2

r / R

PRODUCTOS DE VORTICIDAD y ENSTROFIA

ω1ω

1ω

2ω

2ω

3ω

3ω

iω

i/2

AGARD

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1

-0.5

0

0.5

1

ω1ω

2ω

2ω3

ω1ω

3

r / R

PRODUCTOS DE VORTICIDAD MIXTOS

ω1ω

2ω

2ω

3ω

1ω

3

Figura 4.12. Productos de vorticidades.

En la figura 4.12 Tambien se compara la enstrofıa 12 〈w′

iw′i〉 (i si suma) con los

valores reportados [AGARD,1998] y los resultados difieren un poco cerca de la sub-capa viscosa, pero mantienen la tendencia y el valor maximo. La enstrofıa tambienposee un maximo local cerca de la sub-capa viscosa, derivado de los maximos de losproductos. La diferencias encontradas se deben a que, en el metodo de diferencias finitas,cuando las velocidades poseen un error del segundo orden, las vorticidades (que sonderivadas de la velocidad) poseen errores del primer orden, o sea, errores con mayoresvalores. La numeracion adoptada para los sub-ındices es la misma que la del programade simulacion y aquı se ha querido mantener (tambien en el resto de la tesis se ha usadoeste ordenamiento).

Del lado derecho de la figura 4.12 se muestran los productos mixtos 〈w′iw

′i〉 (i = j)

de las fluctuaciones de la vorticidad. Sus valores son casi nulos en todo el nucleo del flujoy oscilan cuando estan dentro de la sub-capa viscosa.

4.1.10. ESPECTROS DE LA VORTICIDAD

Los espectros de las vorticidades se han graficado en las figuras 4.13 y 4.14 enlas direcciones axial y azimutal en funcion de sus respectivos numeros de ondas kz ykθ, y tambien para diferentes posiciones radiales r = 0.11, 0.3578, 0.8842, 0.9818, cor-respondientes a las posiciones en coordenadas de pared y+ = 169.1, 122, 21.99, 3.458,respectivamente.

89


100

101

102

10-5

100


Ωu

uΩ

vv

Ωw

w

Ωu u

Ωv v

Ωw w

AGARD

100

101

102

10-5

100


Ωu

uΩ

vv

Ωw

w

Ωu u

Ωv v

Ωw w

AGARD

100

101

102

10-5

100

Espectro a r/R=0.8842 (y+=21.99)

Ωu

uΩ

vv

Ωw

w

kz

Ωu u

Ωv v

Ωw w

AGARD

100

101

102

10-5

100

Espectro a r/R=0.9818 (y+=3.458)

Ωu

uΩ

vv

Ωw

w

kz

Ωu u

Ωv v

Ωw w

AGARD

Figura 4.13. Espectro de la vorticidad en la direccion axial.

100

101

102

10-5

100


Ωu

uΩ

vv

Ωw

w

Ωu u

Ωv v

Ωw w

AGARD

100

101

102

10-5

100


Ωu

uΩ

vv

Ωw

w

Ωu u

Ωv v

Ωw w

AGARD

100

101

102

10-5

100

Espectro a r/R=0.8842 (y+=21.99)

Ωu

uΩ

vv

Ωw

w

kθ

Ωu u

Ωv v

Ωw w

AGARD

100

101

102

10-5

100

Espectro a r/R=0.9818 (y+=3.458)

Ωu

uΩ

vv

Ωw

w

kθ

Ωu u

Ωv v

Ωw w

AGARD

Figura 4.14. Espectro de la vorticidad en la direccion azimutal.

Al igual que los espectros de velocidades, los resultados son mas parecidos a losde [AGARD,1998] en la medida que se esta mas cerca a la pared. En el nucleo del flujo,los peores resultado se obtienen para los espectros axiales a grandes numeros de ondakz, donde las curvas se separan marcadamente. Esto puede significar que el mallado en

90


esa direccion requiere ser refinado un poco mas. Del resto, todos los otros resultados sonsatisfactorios. La figura 4.15 presentan los espectros pre-multiplicados de la velocidadaxial. Estos espectros, como se menciona en la seccion A.2 del apendice A, tiene la ventajade que el area bajo la curva, en escala semi-logarıtmica, representa la potencia total enel rango de numeros de ondas (o frecuencias) analizado. Los espectros pre-multiplicadosde la velocidad siempre son inferiores a los espectros pre-multiplicados de la vorticidad,pero del mismo orden de magnitud. Existen un radio (cerca de r/R = 0.8842) para elcual ambos espectros pre-multiplicados son maximos, lo que indica que para esa posicionradial las potencia de la energıa y la enstrofıa son maximas. Esto ocurre en la zona detransicion entre la capa del perfil logarıtmico y la sub-capa viscosa. Coincide tambien conel maximo de la energıa cinetica turbulenta y el maximo local de la disipacion turbulenta.La mayores diferencias con los resultados del reporte [AGARD,1998] se encuentran en eleje de la tuberıa.

100

101

102

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1Espectro Pre-Multiplicado a r/R=0.11 (y+=169.1)

k z*Ew

wk z*Ω

ww

kz*E

w w*102

kz*Ω

w w

100

101

102

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1Espectro Pre-Multiplicado a r/R=0.3578 (y+=122)

k z*Ew

wk z*Ω

ww

kz*E

w w*102

kz*Ω

w w

100

101

102

0

0.2

0.4

0.6

0.8


k z*Ew

wk z*Ω

ww

kz

kz*E

w w*102

kz*Ω

w w

100

101

102

0

0.2

0.4

0.6

0.8


k z*Ew

wk z*Ω

ww

kz

kz*E

w w*102

kz*Ω

w w

Figura 4.15. Espectros pre-multiplicados de la velocidad y la vorticidad.

La figura 4.15 es importante porque permite estimar el umbral a partir del cual sepuede utilizar el modelo ‘LES’. Este punto esta en los alrededores del valle que se ubicaen la interseccion de los espectros pre-multiplicados. Del lado izquierdo se deberıa usar‘LES’ y del lado derecho ‘DNS’.

4.2. SIMULACION ‘LES’ SIN DESLIZAMIENTO

En la simulacion de grandes escalas (LES) se van a estudiar y analizar compara-tivamente en tres casos:

91


- Condicion de no deslizamiento en la pared (LES-Non Slip).- Condicion de deslizamiento en la pared (LES-Slip).- Condicion de pared rugosa (LES-Rough wall).

En el primero, se impondra una velocidad nula en la pared de la tuberıa, que es lacondicion de borde natural del problema. En los otros dos se impondra una condicion deborde en el esfuerzo, de manera que coincida la velocidad de friccion instantaneamentecon los resultados clasicos de la “Ley de la Pared”, tanto para la pared lisa, como parala pared rugosa. El mallado para las simulaciones ‘LES’ en paredes lisas esta descrito enla seccion 1.2.3.


La figura 4.16 muestra los perfiles de velocidades donde se observa en variables depared que las estimaciones con ‘LES’ se sobrepredicen excesivamente sobre los perfileslogarıtmicos y sobre los resultados obtenidos con DNS. Esto se debio a que la velocidaddde friccion dio un valor de Uτ/Um = 0.0634, muy bajo respecto a lo que da con ‘DNS’,lo que eleva la grafica notablemente cuando se representa en unidades de pared. Noobstante, en unidades fısicas, las velocidades obtenidas con ‘LES’ dieron muy parecidas alas obtenidas con ‘DNS’, con la excepcion del centro de la tuberıa, donde dieron levementemas altas.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

v z/U

m

r / R


Vz / Um (LES)Vz / Um (DNS)Mallado Arriba (LES)Mallado Abajo (DNS)

100

102

0

5

10

15

20

25

v z+

y+


Vz+ (LES)Vz+ (DNS)1/ 0.41*ln( y+)+ 5.5

Figura 4.16. Perfil de velocidades axiales medias ( LES - DNS ).


Una menor velocidad de friccion tambien se ve reflejada en la figura 4.17, dondese presentan los esfuerzos turbulentos mixtos o de cortadura. Una diferencia apreciableexiste en los esfuerzos τrz calculados con ‘LES’, cuyos valores son inferiores a los esfuerzoscalculados con ‘DNS’ (ver figura 4.2). Los otros esfuerzos mixtos deberıan ser nulos yaquı se grafican solamente para verificar esta condicion. En cualquier caso, los esfuerzosturbulentos contienen la parte debida a los esfuerzos de Reynolds y la parte debida almodelo de sub-malla con la viscosidad turbulenta. Este ultimo componente se agrego

92


en el programa original de Orlandi [2000], que no lo tenıa incorporado, pero sus valoresmostraron ser muy bajos para hacer una consideracion especial.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5x 10

-3

τ uv

-τv

wτ u

w

r / R


τu v

τv w

τu w

AGARD

100

102

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

τ+ uv

-τ+ v

wτ+ u

w

y+


τ+u v

τ+v w

τ+u w

AGARD

Figura 4.17. Esfuerzos turbulentos mixtos (u = vθ, v = vr, w = vz).

La simulacion con LES sin deslizamiento dio un resultado de la velocidad defriccion Uτ/Um = 0.0537 (error 21%) un tanto baja. Luego de deslizar el perfil develocidad de ∆U/Um = 0.11 y reescalar con la nueva velocidad media Um = 0.8862,el resultado se corrigio a Uτ/Um = 0.0605 (error 10%). Aparentemente, la falta deun numero apreciable de nodos en la sub-capa viscosa el perfil de velocidades sufre undeslizamiento ocacionado por el modelo de grandes escalas.


Los esfuerzos diagonales y la energıa cinetica turbulenta obtenidos con ‘LES’ se en-cuentran en las graficas de la figura 4.18. Estos perfiles son muy similares a los obtenidoscon ‘DNS’ (ver figura 4.3), pero algo inferiores en el nucleo del flujo, un poco alejado dela pared hasta llegar al eje de la tuberıa. No obstante, los valores maximos justo antesde la sub-capa viscosa son muy similares.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

τ uu

τ vv

τ ww

k

r / R


τu u

τv v

τw w

kAGARDk=U

t2/Cµ

0.5

100

102

0

1

2

3

4

5

6

7

8

τ+ uu

τ+ vv

τ+ ww

k+

y+


τ+u u

τ+v v

τ+w w

k+

AGARDk+=1/Cµ

0.5

Figura 4.18. Esfuerzos turbulentos diagonales τt = v′iv′i i = θ, r, z


∑i v′iv

′i.

93



Las disipaciones turbulenta de la figura 4.19 con ‘LES’ dieron muy inferiores alos resultados con ‘DNS’ (ver figura 4.4). De esto, y de la reduccion de los esfuerzosde Reynolds, se infiere que el modelo ‘LES’ produce un atenuacion instantanea de losgradientes de velocidad. Los valores mostrados obtenidos con ‘LES’ son inferiores porqueno incluyen el aporte de los remolinos de sub-malla. No obstante, un estimado del valorcorrecto se podrıa hallar multiplicando por el factor (1+µt/µ), pero ya no tendrıa sentidofısico.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.005

0.01

0.015

ε 1ε 2

Φµ

νωiω

i

r / R


ε1

ε2

Φµνω

iω

iε=U

t3/(κ Y)

AGARD

100

102

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

ε 1+ε 2+

Φµ+

(νω

iωi)+

y+


ε1+

ε2+

Φµ+

νωiω

i

ε+=1/(κ y)AGARD

Figura 4.19. Disipacion turbulenta isotropa.


Los perfiles de asimetrıa en la figura 4.20 dan con ‘LES’ valores un poco desplaza-dos, casi paralelamente, hacia arriba con respecto a los perfiles con ‘DNS’. Los perfiles delaplastamiento en la figura 4.21 dieron con ‘LES’ valores casi constantes en el nucleo delflujo, pero cerca de la pared, en la sub-capa viscosa, se atenuaron bastante con respectoa los perfiles obtenidos con ‘DNS’.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Su

Sv

Sw

r / R


Su

Sv

Sw

AGRAD

100

102

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Su

Sv

Sw

y+


Su

Sv

Sw

AGARD

Figura 4.20. Asimetrıa S del campo de velocidades.

94


0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

2

4

6

8

10

12

14

16

18

Fu

Fv

Fw

r / R


Fu

Fv

Fw

AGARD

100

102

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

Fu

Fv

Fw

y+


Fu

Fv

Fw

AGARD

Figura 4.21. Aplastamiento F del campo de velocidades.

4.3. SIMULACION ‘LES’ CON DESLIZAMIENTO

Observando las diferencias de los valores obtenidos con ‘LES’ con la condicion deno deslizamiento de la seccion anterior, respecto a los resultados esperados que era losobtenidos con ‘DNS’, se procedio a cambiar dicha condicion de frontera por una quemejorara los resultados significativamente. Estas nuevas condiciones de fronteras son lasque estan descrita en la seccion 2.1.5 para paredes lisas, ecuacion (2.26). Aquı se handenominado este modelo de deslizamiento porque, al ser impuesta sobre la derivada dela velocidad, mas que sobre la misma velocidad, permite que esta ultima pueda ser nonula en la pared.

Con esta simulacion con modelos de grandes escalas la unica modificacion hechaha sido considerar que la velocidad en el rango 30 < y+ < 100 satisface instantaneamentela ecuacion para la region del perfil logarıtmico (2.23), pero en este caso con diferentesconstantes (Orlandi utiliza κ = 0.41, B = 5.0 en su programa). Para la simulacion conLES hace falta tambien imponer una condicion de esfuerzo en la pared obtenida del mismoperfil de velocidad logarıtmico. Esto se hace resolviendo la ecuacion del perfil logarıtmicocon respecto a Uτ para alguno de los puntos que caigan en el rango mencionado. Luegocon la velocidad de corte Uτ se calcula el esfuerzo en la pared lo que se puede asumircomo condicion de frontera en la derivada (ver modelo en la seccion 2.1.5).


La figura 4.22 muestra que los resultados en el perfil de velocidades en variablesde pared. El perfil con simulacion ‘LES’ con deslizamiento da un mejor resultado que sindeslizamiento en la pared. Aunque el perfil es algo superior que el perfil obtenido conDNS, su grafica casi coincide con el perfil de DNS de manera asintotica, teniendo unapendiente igual que el perfil logarıtmico clasico. Dentro de la sub-capa viscosa si existen

95


diferencias apreciables de los perfiles en variables de pared con respecto al perfil obtenidocon ‘DNS’, no obstante los dos perfiles obtenidos con ‘LES’ se acercan entre sı en estaregion. En variables fısicas con respecto al radio, los perfiles con simulacion ‘LES’, con ysin desplazamiento, practicamente coinciden, lo que significa que en ambas simulaciones,con y sin deslizamiento, la diferencia ha sido debida a la velocidad de friccion. Las graficasnuevamente muestran en su parte inferior la distribucion de los nodos, que coinciden conlos de las graficas de la figura 4.16.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

v z/U

m

r / R


Vz / Um (LES)Vz / Um (DNS)Mallado Arriba (LES)Mallado Abajo (DNS)

100

102

0

5

10

15

20

25

v z+

y+


Vz+ (LES)Vz+ (DNS)1/ 0.41*ln( y+)+ 5.5

Figura 4.22. Perfil de velocidades axiales medias ( LES - DNS ).


La figura 4.23 muestra los esfuerzos mixtos donde se nota una considerable mejoradel esfuerzo τrz , que en esta oportunidad da muy cercano al esfuerzo obtenido con DNS,si se le observa en coordenadas fısicas. En coordenadas de pared las diferencias sonmayores en la sub-capa viscosa. La figura muestra exactamente la misma tendencia enlos esfuerzos τrz que los obtenidos con LES sin deslizamiento. Los esfuerzos τrθ, quedeberıan ser nulos, tienen los mismos ordenes de magnitud que antes.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5x 10

-3

τ uv

-τv

wτ u

w

r / R


τu v

τv w

τu w

AGARD

100

102

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

τ+ uv

-τ+ v

wτ+ u

w

y+


τ+u v

τ+v w

τ+u w

AGARD

Figura 4.23. Esfuerzos turbulentos mixtos (u = vθ, v = vr, w = vz).

96


Debido al aspecto antes analizado sin deslizamiento, fue que se decidio probarcon el modelo de grandes escalas pero con deslizamiento. En este caso la velocidadde friccion dio como resultado Uτ/Um = 0.0649 (error 4bien con el valor que deberıadar (Uτ/Um = 0.06785 en AGARD). Este resultado correcto repercutio tambien en losperfiles de velocidad en variables de pared y en los esfuerzos de cortadura τrz en variablefısica, los cuales dieron valores cercano a los de la simulacion numerica directa. Sinembargo, en la sub-capa viscosa, observando los resultados en variables de pared, estosdieron apartados de los de la simulacion numerica directa por la poca cantidad de nodosque se encontraban distribuidos en la region. En total habıan 4 nodos dentro de la sub-capa viscosa. El programa de Orlandi [2000] considera el quinto nodo como el nodo demuestra para hacer satisfacer el perfil logarıtmico (punto donde se toma la muestra uo

en la posicion yo de la seccion 2.1.5). Tal vez por esta razon el perfil de velocidadesdio un poco desplazado hacia el lado izquierdo en la grafica derecha de la figura 4.22con variables de pared. El modelo de grandes escala con deslizamiento permite obtenerbuenos resultados en la velocidad de friccion, porque fuerza su valor al hacer coincidirel perfil calculado numericamente con el perfil logarıtmico, pero en detrimento de unabuena resolucion del perfil dentro de la subcapa viscosa.


En la figura 4.24 se dan los esfuerzos diagonales y energıa cinetica turbulenta ahorapresentan una mejor concordancia en la energıa cinetica turbulenta con la simulacion‘DNS’, que se hace extensible a las demas cantidades. Sin embargo, todas estas cantidadesya no tienden a anularse en la pared de la tuberıa como antes por la inclusion de lacondicion de deslizamiento.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

τ uu

τ vv

τ ww

k

r / R


τu u

τv v

τw w

kAGARDk=U

t2/Cµ

0.5

100

102

0

1

2

3

4

5

6

7

8

τ+ uu

τ+ vv

τ+ ww

k+

y+


τ+u u

τ+v v

τ+w w

k+

AGARDk+=1/Cµ

0.5

Figura 4.24. Esfuerzos turbulentos diagonales τt = v′iv′i i = θ, r, z


∑i v′iv

′i

El maximo de la energıa cinetica turbulenta cerca de la pared de la tuberıa obtenidocon ‘LES’ se incrementa respecto a la simulacion ‘DNS’. Tal vez, esto ocurre provocado

97


por la no anulacion de dicha cantidad en y = 0, que se propaga al resto del perfil en laregion cercana a dicho maximo.


La dispacion turbulenta, sin embargo, no sufrio ninguna mejora, como puede ob-servarse en la figura 4.25. Esto confirma la hipotesis hecha antes sobre la atenuacion delos gradientes de velocidad instantanea por el modelo ‘LES’.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.005

0.01

0.015

ε 1ε 2

Φµ

νωiω

i

r / R


ε1

ε2

Φµνω

iω

iε=U

t3/(κ Y)

AGARD

100

102

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

ε 1+ε 2+

Φµ+

(νω

iωi)+

y+


ε1+

ε2+

Φµ+

νωiω

i

ε+=1/(κ y)AGARD

Figura 4.25. Disipacion turbulenta isotropa

El modelo ‘LES’, como puede observarse en la figura 4.25, da resultados de ladisipacion turbulenta que son menores que los obtenidos con simulacion directa (pun-tos gruesos). Tampoco reproduce el maximo local cerca de la pared, donde ocurre latransicion a la sub-capa viscosa, tal vez por la poca cantidad de nodos en dicha zona.No obstante, en la zona del nucleo del flujo en los alrededores del eje de la tuberıa losresultados son aceptablemente cercanos. Esto confirma la hipotesis de que los modelosde grandes escalas (LES) son mas apropiados para aquellas regiones del flujo, dondelas caracterısticas del mismo son aproximadamente parecidas a la del flujo turbulentoisotropo, como ocurre en el centro del tubo.


En las figuras 4.26 y 4.27 se presentan las asimetrıas y los aplastamientos. Losresultados son muy similares a los obtenidos cuando no habıa deslizamiento, con lasmismas tendencias dentro y fuera de la sub-capa viscosa y pequenas variaciones.

98


0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Su

Sv

Sw

r / R


Su

Sv

Sw

AGRAD

100

102

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Su

Sv

Sw

y+


Su

Sv

Sw

AGARD

Figura 4.26. Asimetrıa S del campo de velocidades.

La estadıstica calculada, basada en las asimetrıas y los aplastamientos dieron muyparecidas para los dos casos simulados con el modelo de grandes escalas, tanto sin desliza-miento, como con el. Algo similar tambien ocurrio con los esfuerzos turbulentos diago-nales. Esto se puede interpretar como que la diferentes condiciones de contorno aplicadasen la pared de la tuberıa no modifican significativamente los diferentes momentos de lasfluctuaciones de la velocidad. Comparando la estadıstica de este modelo con la de lasimulacion numerica directa, se observa que en el nucleo del flujo las fluctuaciones seatenuan bastante debido a que la senal de los modelos LES se filtran al ser el malladomas grueso que en DNS.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

2

4

6

8

10

12

14

16

18

Fu

Fv

Fw

r / R


Fu

Fv

Fw

AGARD

100

102

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

Fu

Fv

Fw

y+


Fu

Fv

Fw

AGARD

Figura 4.27. Aplastamiento F del campo de velocidades.

El modelo de grandes escalas, a pesar de permitir resolver ciertos problemas contacticas numericas poco confiables, como el deslizamiento intensional del flujo en la pared,debe ser mejorado tratando de conservar la generalidad de su uso para diferentes situa-ciones de flujo, evitando trucos numericos como algunos autores han hecho hasta ahora.

99


4.3.6. ESPECTROS DE LA VELOCIDAD

La variacion de los espectros de la velocidad en las direcciones axial y azimutal,con respecto a los numeros de onda kz y kt, respectivamente, y para varias posicionesradiales, estan representados en las figuras 4.28 y 4.29. Para la simulacion con ‘LES’ sindeslizamiento estos espectros no se mostraron, pero los resultados son muy parecidos.Los espectros presentan una interrupcion a escalas mayores (menores numeros de onda)que en la simulacion ‘DNS’. Es decir, con ‘LES’ no se puede obtener las fluctuacionesque tengan una escala menor que la que ofrece el mallado, y esto es lo causante de lamencionada interrupcion del espectro. Adicionalmente, comparando con los resultadoscon ‘DNS’, en los resultados mostrados existen mayores discrepancias cuando se esta mascerca de la pared de la tuberıa. Esto se debe sobre todo a que el mallado en esa region,por lo poco refinado que es, no logra penetrar lo suficiente dentro de la sub-capa viscosa.

100

101

102

10-10

10-5


Eu

uE

vv

Ew

w

Eu u

Ev v

Ew w

AGARD

100

101

102

10-10

10-5


Eu

uE

vv

Ew

w

Eu u

Ev v

Ew w

AGARD

100

101

102

10-10

10-5

Espectro a r/R=0.8842 (y+=21.99)

Eu

uE

vv

Ew

w

kz

Eu u

Ev v

Ew w

AGARD

100

101

102

10-10

10-5

Espectro a r/R=0.9818 (y+=3.458)

Eu

uE

vv

Ew

w

kz

Eu u

Ev v

Ew w

AGARD

Figura 4.28. Espectro de la velocidad en la direccion axial

Sin embargo, para numeros de ondas pequenos (grandes escalas) los espectrosobtenidos con ‘LES’ son satisfactoriamente coincidentes con los obtenidos con ‘DNS’(en sımbolos), exceptuando en la region muy cercana a la pared de la tuberıa. Estaapreciacion refuerza lo que ya se estabecido en los analisis anteriores sobre la pobrezade todos los resultados en dicha region del flujo. Justo allı es donde los espectros sonmenores con ‘LES’, sobre todo en la direccion acimutal, lo que viene a confirmar laatenuacion de las fluctuaciones y sus derivadas antes mencionado. Dichas atenuacionesson muchısimo menores si se considera la condicion de no deslizamiento. Algo similar,aunque no mostrado aquı, ocurre con los espectros de la vorticidad, pero con diferenciasmınimas con respecto a la condicion de no deslizamiento.

100


100

101

102

10-10

10-5


Eu

uE

vv

Ew

w

Eu u

Ev v

Ew w

AGARD

100

101

102

10-10

10-5


Eu

uE

vv

Ew

w

Eu u

Ev v

Ew w

AGARD

100

101

102

10-10

10-5

Espectro a r/R=0.8842 (y+=21.99)

Eu

uE

vv

Ew

w

kθ

Eu u

Ev v

Ew w

AGARD

100

101

102

10-10

10-5

Espectro a r/R=0.9818 (y+=3.458)

Eu

uE

vv

Ew

w

kθ

Eu u

Ev v

Ew w

AGARD

Figura 4.29. Espectro de la velocidad en la direccion acimutal

4.4. SIMULACION ‘LES’ Y PARED RUGOSA

Los resultados de la simulacion se han obtenido para tres numeros de Reynolds:uno bajo, uno medio y otro alto. Estos resultados incluyen perfiles radiales de la veloci-dad, la energıa cinetica turbulenta y la disipacion turbulenta viscosa. Para el numero deReynolds mas bajo, el algoritmo completo de calculo se ha validado, como se ha descitoen las secciones anteriores, con una simulacion numerica directa (DNS) en una tuberıalisa [Loulou et al.,1997]. Un barrido para los tres numeros de Reynolds y varias ru-gosidades relativas ha reproducido bastante bien los resultados del diagrama de Moody[Moody,1944]. Finalmente, los resultados obtenidos con ‘LES’ son comparados con losresultados obtenidos con un modelo k − ε [Zhang et al.,1996] para superficies rugosas.

4.4.1. DIAGRAMA DE MOODY

La figura 4.30 muestra una parte del diagrama de Moody para el factor de friccionf = 8(Uτ/Um)2, obtenido a traves de la resolucion de la ecuacion de Colebrook [1939],donde aparecen solo las rugosidades ks/R = 0, 0.012, 0.040 y 0.080 usadas en esteestudio. En el diagrama aparecen las rugosidades relativas al diametro D, en lugar delradio R, como es tradicional. La velocidad media Um se ha ajustado siempre a la unidaden todas las simulaciones para normalizar los resultados. Con asterisco se indican losresultados obtenidos con el modelo ‘LES’ modificado en las condiciones de borde, comose explico en la seccion 2.1.5, ecuaciones (2.28)-(2.30). Las simulaciones se hicieron paralos numeros de Reynolds IReD (basados en el diametro y la velocidad media) de 5600,44800 y 423000. Para el numero de Reynolds mas alto y las dos rugosidades mas grandes,las simulaciones tuvieron problema de inestabilidad, por lo que no aparece sino un solo

101


resultado reflejado. Los resultados con el modelo LES se corresponden aceptablementebien con los del diagrama de Moody, aunque se nota una tendencia a sobre-estimar losvalores del factor de friccion para las mayores rugosidades.

104

105

106

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.1

Fac

tor

deF

ricci

ón

ReD

DIAGRAMA DE MOODY

k/D=0

k/D=6×10-3

k/D=2×10-2

k/D=4×10-2

Figura 4.30. Diagrama de Moody mostrando los resultados con ‘LES’

4.4.2. PERFILES DE VELOCIDAD

Los perfiles de velocidades para un numero de Reynolds intermedio de 44800 y elrango de rugosidades estudiado aparecen en la figura 4.31. En unidades radiales (ladoizquierdo), se observa que el efecto de la rugosidad se manifiesta en el aumento de lavelocidad en el eje de la tuberıa. Tambien se aprecia que, aunque la condicion de bordeen la pared solida es fluctuante en la derivada de la velocidad, se verifica la condicionde no deslizamiento (deslizamiento muy bajo). En unidades de pared (lado derecho), sepuede observar el desplazamiento que sufren los perfiles hacia abajo a medida que crecela rugosidad. De nuevo se observa que los resultados se apartan mas de los esperados(perfiles logarıtmicos representados con lıneas rectas) a medida que crece la rugosidad,pero las pendientes son muy parecidas, lo que indica que los valores de las velocidadesde friccion son correctos. Tambien se observa que la velocidad en el eje se hace mayor enla medida que crece la rugosidad, la cual afecta a la totalidad del perfil de velocidades,haciendolo menos achatado. En la parte inferior de las graficas aparece la distribucion delmallado, tanto en unidades radiales, como en unidades de pared. En este ultimo caso,desplazadas las mallas segun varıa la velocidad de friccion. Para este caso se usaron34, 80 y 96 celdas en las direcciones radial, azimutal y axial, respectivamente. Para losotros numeros de Reynolds (no mostrados) los resultados son similares, con la mitadde las celdas para el menor numero de Reynolds y el doble de las celdas para el mayor

102


numero de Reynolds (en todas las direcciones). El mallado mas denso fue copiado de lasimulacion directa (DNS) para IReD = 5600 hecha por Loulou et al. [1997] y reportada en[AGARD,1998]. Los mallados menos densos se obtuvieron de los anteriores agrupandodos celdas en una sola, de manera de que en cada aplicacion de este proceso se reduceel numero de celdas a la mitad. Para el menor numero de Reynolds (IReD = 5600), losresultados con superficie lisa fueron validados satisfactoriamente con los resultados de‘DNS’, como se explico en la seccion 4.1.1. No obstante, la definicion en la subcapaviscosa fue pobre por la poca cantidad de celdas en dicha zona (4 celdas) en el caso delmenor numero de Reynolds.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

v z/U

m

r / R

PERFILES DE VELOCIDADES Re=4.48×104

LES ks=0.000

LES ks=0.012

LES ks=0.040

LES ks=0.080

Malla

100

102

0

5

10

15

20

25

v z+

y+

PERFILES DE VELOCIDADES (Unidades de Pared)

LES ks=0.000

LES ks=0.012

LES ks=0.040

LES ks=0.080

Malla

Figura 4.31. Perfiles de velocidades para IReD = 44800.


La energıa cinetica turbulenta para el numero de Reynolds intermedio (IReD =44800) esta representada en la figura 4.32. En la izquierda, en unidades radiales, sedistinguen curvas bien diferenciadas para cada rugosidad, presentando un maximo cercade la pared y un mınimo en el eje del tubo, respectivamente, ambos mas elevados segunlas rugosidades sean mas grandes. A la derecha, en unidades de pared, parece quedichas unidades generaran un perfil universal cerca de la superficie solida, pero concurvas levemente diferentes cerca del eje del tubo y marcadamente diferentes dentro dela sub-capa viscosa. Este efecto se aprecia tambien en las otras simulaciones hechas adiferentes numeros de Reynolds, siendo mas marcado para los valores mas bajos. Lasrugosidades mas grandes, simuladas con el modelo, eliminan marcadamente la atenuacion

103


que presenta la turbulencia en la sub-capa viscosa, aunque en teorıa, por la condicionde no deslizamiento, la energıa turbulenta deberıa ser nula en una pared solida, sea estalisa o no. En otras palabras, el modelo no verifica la condicion de no deslizamiento en laenergıa cinetica turbulenta.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

k

r / R

ENERGIA TURBULENTA ReD

=4.48×104

LES ks=0.000

LES ks=0.012

LES ks=0.040

LES ks=0.080

100

102

0

2

4

6

8

10

12

14

16

k+=

k/U

τ2

y+

ENERGIA TURBULENTA (Unidades de Pared)

LES ks=0.000

LES ks=0.012

LES ks=0.040

LES ks=0.080

Figura 4.32. Perfiles de energıa cinetica turbulenta para IReD = 44800.


La disipacion turbulenta para el numero de Reynolds intermedio (IReD = 44800)esta representada en la figura 4.33. Se observa en unidades radiales que a mayor rugosidadexiste mayor disipacion. Lo cual es logico, porque la rugosidad introduce en el flujo unelemento de friccion que consume una potencia irreversible, que es compensada por elgradiente de presion favorable al flujo. Sin embargo, en unidades de pared, parece denuevo surgir un perfil universal del comportamiento de la disipacion turbulenta. Estosugiere que el perfil de la disipacion es siempre hiperbolico y proporcional al cubo de lavelocidad de friccion, como en el caso de pared lisa. En ningun caso se observo la presenciade un maximo cerca de la pared, como se ha obtenido de resultados experimentales ynumerico con ‘DNS’.

104


0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

0.045

0.05

ε

y

DISIPACION TURBULENTA ReD

=4.48×104

LES ks=0.000

LES ks=0.012

LES ks=0.040

LES ks=0.080

100

102

0

10

20

30

40

50

60

70

ε+=

εR

/Uτ3

y+

DISIPACION TURBULENTA (Unidades de Pared)

LES ks=0.000

LES ks=0.012

LES ks=0.040

LES ks=0.080

Figura 4.33. Perfiles de la disipacion turbulenta para IReD = 44800 y varias rugosidades.

4.4.5. COMPARACION CON k - ε

Se ha comparado los resultados obtenidos con el modelo de ‘LES’ presentado aquı,con un modelo de k − ε para paredes rugosas de Zhang et al. [1996]. La figura 4.34presenta esta comparacion para la velocidad en unidades radiales y de pared, y la energıacinetica y la disipacion turbulentas, ambas en unidades de pared. El modelo de k−ε consimetrıa axisimetrica se ha resuelto mediante la discretizacion radial de las ecuacionesen un mallado telescopico con 100 celdas y afinado cerca de la pared con un factor demalla de 0.97. El proceso iterativo ha sido del tipo punto fijo, encontrando la velocidadde friccion para que la velocidad media fuera de valor unidad. En la figura superior seobserva que el efecto de la rugosidad en el perfil de velocidades es menos marcado conel modelo de k − ε que con el modelo ‘LES’. Los valores de los maximos de las energıasturbulentas fueron menores y la disipaciones fueron siempre mayores con el modelo k−ε.En el eje de la tuberıa los mınimos locales de las energıas turbulentas fueron mayores conel modelo k − ε. En este modelo siempre se verifico la condicion de no deslizamiento enla pared, tanto en la velocidad, como en la energıa turbulenta, puesto que fueron usadascomo condicion de frontera. Cerca del eje de la tuberıa, los resultados en los dos modelosfueron comparables. En todas las variables las tendencias con respecto a la rugosidadson similares.

105


0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

v z/U

m

r / R

PERFILES DE VELOCIDADES Re=4.48×104

LES ks=0.000

LES ks=0.012

LES ks=0.040

LES ks=0.080

k-ε ks=0.000

k-ε ks=0.012

k-ε ks=0.040

k-ε ks=0.080

100

102

0

5

10

15

20

25

v z+

y+

PERFILES DE VELOCIDADES (Unidades de Pared)

LES ks=0.000

LES ks=0.012

LES ks=0.040

LES ks=0.080

k-ε ks=0.000

k-ε ks=0.012

k-ε ks=0.040

k-ε ks=0.080

Figura 4.34a. Comparacion del modelo ‘LES’ con el modelo k - ε para tuberıas rugosas.(Velocidades)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

k

r / R

ENERGIA TURBULENTA ReD

=4.48×104

LES ks=0.000

LES ks=0.012

LES ks=0.040

LES ks=0.080

k-ε ks=0.000

k-ε ks=0.012

k-ε ks=0.040

k-ε ks=0.080

100

102

0

2

4

6

8

10

12

14

16

k+=

k/U

τ2

y+

ENERGIA TURBULENTA (Unidades de Pared)

LES ks=0.000

LES ks=0.012

LES ks=0.040

LES ks=0.080

k-ε ks=0.000

k-ε ks=0.012

k-ε ks=0.040

k-ε ks=0.080

Figura 4.34b. Comparacion del modelo ‘LES’ con el modelo k − ε para tuberıas rugosas.(Energıa cinetica turbulenta)

106


0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.001

0.002

0.003

0.004

0.005

0.006

0.007

0.008

0.009

0.01

ε

r / R

DISIPACION TURBULENTA ReD

=4.48×104

LES ks=0.000

LES ks=0.012

LES ks=0.040

LES ks=0.080

k-ε ks=0.000

k-ε ks=0.012

k-ε ks=0.040

k-ε ks=0.080

100

102

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

ε+=

εR

/Uτ3

y+

DISIPACION TURBULENTA (Unidades de Pared)

LES ks=0.000

LES ks=0.012

LES ks=0.040

LES ks=0.080

k-ε ks=0.000

k-ε ks=0.012

k-ε ks=0.040

k-ε ks=0.080

Figura 4.34c. Comparacion del modelo ‘LES’ con el modelo k − ε para tuberıas rugosas.(Disipacion turbulentas)

107

CAPITULO 5

RESULTADOS

CON PARTICULAS

En este capıtulo se van a mostrar los resultados del flujo turbulento cargado conpartıculas. En la primera parte se analizan y comparan los resultados con flujos turbulen-tos variados: Decaimiento de la turbulencia isotropa, turbulencia homogenea generadacon rejillas, flujo turbulento en canales rectangulares y flujo turbulento en tuberıas. Entodos estos flujos los numeros de Stokes son bajos o medios y las concentraciones son rel-ativamente bajas, por lo que se comparan los resultados con el modelo lineal propuesto enesta tesis y aplicable a dichas condiciones, para verificar su validez y rango de aplicacion.En la segunda parte, se observan los resultados de las simulaciones enfocando el analisisal efecto que produce el flujo turbulento en las partıculas. Las variables de las partıculas,como el perfil de velocidades, la energıa cinetica turbulenta, la disipacion turbulenta, laconcentracion masica y las intensidades de las fluctuaciones son analizadas y comparadascon otros resultados. En la tercera parte, las mismas variables antes observadas para laspartıculas, ahora son observadas y analizadas para el fluido exclusivamente, de man-era de estudiar como las partıculas afectan al flujo turbulento, modulando o cambiandosus caracterısticas. Finalmente, se hara una simulacion numerica con el modelo ‘LES’modificado para incluir el efecto de las partıculas.

5.1. MODELO LINEAL PARA LAS PARTICULAS

En esta parte se utiliza un modelo propuesto inicialmente por Garcıa & Cres-po [1997/2000] para estudiar la modificacion de las caracterısticas de la turbulencia enpresencia de partıculas solidas. Este modelo ha sido aplicado con exito a varias configu-raciones aparecidas en la literatura, como flujo en chorro, capa de mezcla, decaimientoisotropo, flujo homogeneo, canales rectangulares, canales planos, etc. y ahora es aplicadoa conductos de seccion circular (tuberıas). El modelo es valido para flujos muy diluidosy numeros pequenos de Stokes.

109


Se usa el modelo clasico de k − ε, modificado para incluir un termino adicional enlas ecuaciones de k y ε, que considera el efecto de las partıculas en la fase continua. Ladisipacion adicional introducida por las partıculas, εp, es proporcional a la concentracionmasica de las partıculas y a la disipacion ε de la turbulencia propia de la fase continua,y tiene una constante de porporcionalidad de 3/2 la constante de Kolmogorov, Co (verecuacion (2.47)). El termino de fuente adicional en la ecuacion de ε se supone que esproporcional a ε/k, usando un coeficiente Cε3. El modelo se aplica para partıculas losuficientemente pequenas como para que incremente la disipacion de la energıa cineticaturbulenta. En esta parte se amplia la validez del modelo lineal y se encuentran losvalores apropiados de Co y Cε3.

Primero, se considera el caso de decaimiento de k y ε en el flujo turbulento ho-mogeneo e isotropo. Los resultados de las simulaciones numericas directas de Elghobashi& Truesdell [1993] y los experimentos de Schreck & Kleis [1993] son usados para reali-zar comparaciones. Segundo, se haran comparaciones con los resultados de Squires &Eaton [1994], que reproducen el flujo turbulento isotropo y homogeneo bajo condicionesde forzamiento y en estado estacionario. Tercero, el flujo en canales rectangulares estambien estudiado y se hacen comparaciones con las mediciones de Kulick et al. [1994]y las simulaciones numerica de Li et al. [2001]. Cuarto, se estudia el modelo lineal enel flujo turbulento dentro de una tuberıa circular y se hacen comparaciones cualitativascon los anteriores resultados de canales, debido a la escasa informacion encontrada paratuberıas. En esta parte, se introduce un modelo lineal para la energıa cinetica de laspartıculas kp y su correspondiente atenuacion respecto a la energıa cinetica de la fasecontinua k (ver ecuacion (2.48)). Esto permite formular una forma alternativa de predecirla constante de Kolmogorov (ver ecuacion (2.49)).

De las comparaciones se deduce que Cε3 tiene que ser muy similar al coeficienteCε2 del modelo k − ε, aunque con diferentes valores en cada caso. Las tendencias sepredicen correctamente, aunque se obtienen diferentes valores de Co segun el caso.

5.1.1. INTRODUCCION

Las dispersiones turbulentas para concentraciones diluidas de partıculas solidas(o lıquidas) estan presentes en muchas aplicaciones industriales, como se detallo en laseccion 1.1.1. El modelo explicado y estudiado [Garcıa & Crespo 2000] en esta parte, dehecho ha sido primeramente aplicado al propano almacenado en un recipiente a su presionde vapor, de manera que su liberacion justo por debajo del nivel del lıquido produce unchorro bifasico con partıculas lıquidas (flashing jet) [Garcıa & Crespo,1997].

La mayorıa de los modelos usados en los analisis de la ingenierıa estan basados enla solucion de las ecuaciones de Navier-Stokes promediadas (Reynolds-averaged Navier-Stokes equations) para la fase transportadora. El modelo mas comun usado para losflujos turbulentos es el clasico modelo k − ε. Cuando la concentracion masica de laspartıculas es lo suficientemente pequena, no es necesario modificar el modelo k − ε. Porel contrario, si la concentracion es pequena, pero apreciable, el modelo de turbulenciapara la fase continua tiene que ser modificado para retener el efecto de las partıculas sobre

110

CAPITULO 5 RESULTADOS CON PARTICULAS

la turbulencia. El planteamiento general es modificar las ecuaciones de conservacion dela intensidad de la turbulencia k y de la disipacion turbulenta ε de una sola fase (la fasecontinua). En el modelo lineal que se va a usar, se incluye en cada ecuacion un terminoadicional.

Una compilacion de datos experimentales de Gore & Crowe [1989] indica que sonlas partıculas relativamente grandes las que generan turbulencia. Los datos sugieren quela transicion ocurre cuando el tamano de la partıcula es aproximadamente de 1/10 de laescala de longitud integral, que en este trabajo es del orden del radio de la tuberıa, comose preciso en la seccion 4.1.8.

En los casos considerados aquı, los diametros de las partıculas son los suficiente-mente pequenos, de manera que la disipacion domina la fısica del problema. Squires &Eaton [1994], usando los datos de simulaciones numericas directas de flujos turbulentosisotropos cargados con partıculas, evaluaron la influencia de las partıculas en la pro-duccion y disipacion de k, y encontraron que la constante clasica Cε2, podıa aumentaro disminuir con la carga de masa φp, dependiendo del numero de Stokes. Ellos tambienencontraron un termino de sumidero (termino de fuente negativo) para la ecuacion dek, y un termino de fuente o sumidero para la ecuacion de ε, dependiendo del valor delnumero de Stokes. Yuan & Michaelides [1992] calcularon la disipacion de la energıaturbulenta debida a las partıculas como la sumatoria de las fuerzas de arrastre por lavelocidad relativa en cada partıcula, integrada en el mınimo del tiempo de vida de unremolino o el tiempo que le toma a la partıcula atravesar dicho remolino, y lo compararoncon la produccion de k debida a la disgregacion de los vortices y la perturbacion del flujopor la estela de la partıcula. Ellos concluyeron que, para las partıculas pequenas, talque el numero de Stokes sea menor que la unidad, como pasa en la mayorıa de los casosconsiderados en este trabajo, la disipacion es el efecto dominante. Sheun et al. [1985]estudiaron los chorros turbulentos cargados con partıculas entrando en un ambiente qui-eto. Ellos propusieron un modelo k − ε modificado, pero la constante Cε3 variaba en unamplio rango (0.1 a 5), dependiendo del experimento usado para calibrarla.

Ninguno de los autores previos da una dependencia funcional especıfica del terminode disipacion de las partıculas, respecto a las variables promediadas del flujo, lo que per-mitirıa el cierre del problema. En el artıculo de Garcıa & Crespo [2000], los coeficientesclasicos del modelo k − ε no cambian y son introducidos dos terminos de sumidero adi-cionales, uno para cada ecuacion, debidos a la presencia de las partıculas. Basados en elmetodo propuesto por Levich [1962], Garcıa & Crespo [2000] estimaron la distribucionde la velocidad relativa turbulenta entre las partıculas y el gas como funcion de las difer-entes escalas turbulentas. Luego, la disipacion adicional se obtiene como el productode la fuerza de arrastre y la velocidad relativa de la partıcula, integrado para todaslas escalas. Resulta que el termino de disipacion, εp, es la concentracion masica de laspartıculas multiplicada por ε y 3/2 de la constante de Kolmogorov, que en dicho artıculoha sido asumida como Co = 3, de Du et al. [1995] (ver ecuacion 2.47). Los resultados delpresente trabajo dan valores de la constante Cp = 3

2 Co muy diferentes a Cp = 4.5. En elartıculo de revision por Pope [1994], hay reportado un amplio rango de posibles valorespara Co, de 1.0 hasta 6.5. En la investigacion realizada por Weinman & Klimenko [2000]

111


con simulaciones numericas directas, los valores de Co vande 0.5 hasta 4 en un rango delnumero de Reynolds IReλ (basado en la escala de Taylor λ) de 15 hasta 60.

El termino de disipacion en la ecuacion de ε es de la forma Cε3 (ε/k)εp, como usual-mente se ha encontrado en la literatura [Berlemont et al.,1990], [Squires & Eaton,1994],etc. En el trabajo de Garcıa & Crespo [2000] se tomo el valor de Cε3 igual a 0.9 obtenidomediante regresion lineal de los resultados de Shuen et al. [1985] y Hishida et al. [1992],obtenidos para chorros y capa de mezcla. Aunque el valor de Cε3 esta dentro de los ran-gos usuales encontrados en la literatura, resulta que los valores son menores comparadoscon los de este trabajo, donde se indica que Cε3 = Cε2.

Fessler & Eaton [1999] and Kulick et al. [1994] dan, para un numero grande deStokes, una simple expresion para la disipacion extra εp, similar a la propuesta por Garcıa& Crespo [2000], aunque a diferencia de esta, incluye un factor, que es inversamenteproporcional al tiempo de la partıcula, pero ellos reconocen que sus datos experimentalescontradicen este resultado.

El modelo usado por Garcıa & Crespo [2000] se aplica para valores bajos de laconcentracion masica Yp de las partıculas, aunque muchos de los trabajos usados paracomparar estan realizados para valores de Yp mas altos. Para darle mas generalidad aeste trabajo, la disipacion extra, εp, sera calculada asumiendo que εp/ε es una funcionde Yp, entonces el valor de Cp es el valor de d(εp/ε)/dYp en Yp = 0.

En la siguiente seccion se presentaran las ecuaciones para el decaimiento de k y εpara la turbulencia homogenea e isotropa para un fluido cargado con las partıculas. Sehace una comparacion con los resultados de la simulacion numerica directa de Elghobashi& Truesdell [1993] y los experimentos de Schreck & Kleis [1993]. En ambos casos, sera masapropiado operar con la disipacion total ε = ε + εp, ya que ni en los experimentos, ni enlos calculos se puede distinguir entre ε y εp. En la simulacion de Elghobashi & Truesdell[1993] las partıculas se inyectan en un determinado instante. Esto es representado conel modelo por un aumento repentino en el valor de ε en dicho instante, pasando de ser εa ser (ε + εp).

En la seccion posterior se mostraran las comparaciones con los resultados deSquires & Eaton [1994], que reproducen la turbulencia isotropa y homogenea bajo condi-ciones de forzamiento y en estado estacionario. Estos resultados son obtenidos paravarios valores del numero de Stokes, ası que el efecto sobre εp puede ser analizado.

En la penultima seccion se estudian los resultados de Kulick et al. [1994] en uncanal rectangular. El valor de k se obtiene por medicion. Para obtener εp/ε como funcionde Yp se utiliza un procedimiento similar al seguido por Kulick et al. El modelo k − εse aplica a lo largo del eje del canal y se obtiene unas relaciones entre k, ε, y εp. Otrarelacion tambien se obtiene bajo la hipotesis que la energıa total disipada no cambia alinyectar las partıculas. Alternativamente, tambien se hacen otras hipotesis, como, porejemplo, que la disipacion total es proporcional a k.

En la ultima seccion se presentan los resultados del flujo dentro de una tuberıacircular. El campo de velocidades y los perfiles de de k y ε obtenidos mediante una sim-ulacion numerica directa, se usan para validar el modelo lineal que relaciona la diferencia

112


k − kp de la energıa cinetica turbulenta con la disipacion εp de las partıculas, a bajasconcentraciones y bajos numero de Stokes y de Reynolds. Se utilizan pocas partıculastratando de optimizar las simulaciones, pero luego se hace el ‘ensemble’ para obtenerlos perfiles promedios. Se obtienen resultados para un numero de Reynolds medio deIReD = 5600, basado en la velocidad media y el diametro de la tuberıa, similar al obtenidopor Loulou et al. [1997].

5.1.2. DECAIMIENTO DE LA TURBULENCIA ISOTROPA

De acuerdo al modelo k−ε, el decaimiento de la turbulencia homogenea e isotropase puede simular con las siguientes ecuaciones

dk

dt= −ε

dε

dt= −Cε2

ε2

k(5.1)

obtenidas de las generales, eliminando las derivadas parciales espaciales. El coeficienteCε2 tradicionalmente ha adoptado el valor de 1.92.

Este modelo se ha modificado segun [Garcıa & Crespo,2000], para incluir la in-fluencia de una carga de partıculas con una fraccion de masa Yp

dk

dt= −(ε + εp) = −(1 + C Yp) ε

dε

dt= −(Cε2 + C′

ε3 Yp)ε2

k(5.2)

con

εp = C Yp ε C ≈ 32

Co C′ε3 = C Cε3 Yp =

φp

1 + φp(5.3)

donde la carga φp es la relacion de masas entre las partıculas y el resto del fluido y loscoeficientes C y Cε3 son parametros ajustados heurısticamente a cada flujo en particular.El coeficiente Co es la constante de Kolmogorov, establecida con un valor de 3.0±0.5. Elvalor εp es la disipacion turbulenta con que las partıculas afectan al fluido. Normalmentepara partıculas muy pequenas y muy diluidas en el flujo, este valor afecta a las ecuacionesde k y ε como un termino de sumidero (C > 0). El modelo es lineal en el sentido que lafuncion εp/ε = fp(Yp) es lineal y de la forma fp = C Yp.

Derivando la ecuacion de k en (5.2) y subtituyendo la ecuacion de ε, se obtieneuna ecuacion diferencial ordinaria de segundo orden en k

d2k

dt2− λ

k

(dk

dt

)2

= 0 λ =λε

λk

λk = 1 + fp

λε = Cε2

(1 +

Cε3

Cε2fp

) (5.4)

113


La solucion general de (5.4) ( o del sistema (5.2), si se considera ε ) es

k(t) =(

a

t + b

) 1λ−1

dk

dt= − k(t)

(λ − 1) (t + b)= − 1

a (t + b)

(a

t + b

) λλ−1

= −λk ε(t)

dε

dt= −λε

ε(t)2

k(t)

(5.5)

Para un problema de valor inicial en t = ti con k(ti) = ki y dk/dt(ti) = ki, la solucionanterior se particulariza a

k(t) = ki

(b

t − ti + b

) 1λ−1

dk

dt= − k(t)

(λ − 1) (t − ti + b)= −λk εi

(b

t − ti + b

) λλ−1

= −λk ε(t)

(5.6)

donde los valores de b y εo se calculan como

b = − ki

(λ − 1) ki

εi =ko

b (λ − 1)λk= − ki

λk(5.7)

obtenidas con la evaluacion de la expresion del lado derecho de (5.6) para t = ti.Las expresiones (2) se pueden replantear, si se expresan en funcion de

ε = ε + εp = λk ε (5.8)

que es la disipacion turbulenta global (fluido + partıculas), incluyendo la disipaciongenerada por las partıculas εp. De esta forma se obtiene

dk

dt= −ε

dε

dt= −λ

ε2

k(5.9)

quedando ası el sistema de ecuaciones planteado originalmente de forma mas sencillay dependiendo de un solo parametro λ, dependiente este de la fraccion masica de laspartıculas.

El sistema (9) se puede resolver tambien de forma independiente de t, si se dividela ecuacion diferencial de ε entre la ecuacion diferencial de k. De esta forma se obtieneuna nueva ecuacion diferencial con su respectiva solucion

dε

dk= λ

ε

k

ε

εi=

ε

εi=(

k

ki

)λ

(5.10)

114


Esta proporcionalidad entre ε (o ε) y k, si sus valores son conocidos, permite la obtenciondel parametro λ por simple despeje como

λ =ln(ε/εi)ln(k/ki)

=ln(ε/εi)ln(k/ki)

(5.11)

para cada valor de Yp (o φp). La solucion del flujo sin partıculas es similar a (5.10), soloque en lugar k, ε y λ, las variables serıan ko, εo y λo = Cε2

Cuando la expresion (5.10) se aplica a dos puntos de la evolucion del flujo en eltiempo denominados punto 1 y punto 2, entonces la condicion inicial o de referenciadesaparece y se puede reescribir para el flujo con partıculas y sin partıculas

ε1

ε2=(

k1

k2

)λεo1

εo2=(

ko1

ko2

)λo

(5.12)

donde se ha utilizado el subındice ‘o’ para distinguir el estado sin partıculas. Si adicional-mente se escoge dos estados del flujo, uno sin partıculas y otro con partıculas, tal que sesatisfaga que ko1 = k1 para el punto 1, donde se inyectan las partıculas, experimentando-se un salto de εo1 a ε1 y, adicionalmente, se satisfaga que εo2 = ε2 para el punto final 2,donde las partıculas dejan de actuar por la baja energıa del sistema, entonces utilizando(5.12) se puede predecir el salto de ε en el instante de la inyeccion y la constante C dela forma

C Yp

(εo1

εo2

)=

ε1 − εo1

εo2=(

ko1

k2

)λ

−(

ko1

ko2

)λo

(5.13)

Si ademas, se satisface que λo = λ (Cε2 = Cε3), entonces la expresion anterior se simpli-fica aun mas

C Yp

(εo1

εo2

)=

ε1 − εo1

εo2= kλ

o1

[(1k2

)λ

−(

1ko2

)λo]

(5.14)

Comparacion con Simulaciones ‘DNS’Elgobashi & Truesdell [1993] estudiaron la modificacion del decaimiento de la

turbulencia homogenea debido a la interaccion con partıculas solidas dispersas en el flujo.Las partıculas eran mas pequenas que la escala de Kolmogorov, y el numero de Stokesera del orden de 0.043 ≤ /Sk ≤ 0.578. La densidad de las partıculas era mucho mas grandeque la del fluido de transporte, y su fraccion volumetrica era mas pequena que 5× 10−4.Ellos encontraron que, en ausencia de fuentes externas, la energıa de la turbulenciaeventualmente decae mas rapido que en la turbulencia carente de partıculas. A escalasmas pequenas, las partıculas incrementan la turbulencia del fluido; este incremento deenergıa es acompanado por un incremento de la transferencia de energıa desde las escalasmas grandes.

115


Figura 5.1. Evolucion de k y ε para diferentes fracciones masicas de partıculas, Yp.

En la figura 5.1 los valores de k y ε calculados por Elghobashi & Truesdell [1993]con simulaciones numericas directas, son presentados usando una escala logarıtmica paradiferentes cargas masicas de partıculas, φ = Yp/(1 − Yp). Se ve claramente que, sobreun amplio lapso de tiempo las lıneas son casi paralelas y sus pendientes, de acuerdo ala ecuacion (5.11), son todas iguales a un valor λ = 1.56, unico e independiente de Yp.Lo que hace concluir que Cε3 = Cε2 = λ = 1.56. Esto se satisface, excepto para losvalores grandes de k and ε que corresponden a los instantes cercanos al momento en quese inyectan las partıculas.

En los calculos de Elghobashi & Truesdell [1993] existe continuidad de k y ε en elpunto de inyeccion, mientras que en el modelo lineal propuesto aquı debe haber un cambiorepentino de ε a ε = ε + εp = (1 + fp) ε, dependiente de Yp, desde cero hasta algun valorfinito. Un esquema de esto esta representado en la esquina superior izquierda de la figura5.1, mostrando las diferencias entre el modelo analıtico propuesto y los resultados de lassimulaciones numericas directas. En esta figura, el tiempo adimensional aumenta enincrementos de tiempo ∆t = 0.5 que se marcan con cruces. Las partıculas son inyectadasen el instante t = 0.75, aunque su efecto no se nota sino hasta t = 1, y entre t = 1y t = 2 existe la region de transicion, en la cual el modelo analıtico y la simulacionnumerica difieren. El valor de fp = εp/ε como funcion de Yp puede ser obtenido delgrafico logarıtmico de la figura 5.1, donde las lıneas para diferentes concentraciones sonparalelas. Consecuentemente, para un valor dado de k, el cociente entre ε(Yp = 0) yel correspondiente valor sin partıculas, ε(Yp = 0), sera independiente de k y de t, ydependera solo de Yp. Este cociente sera igual a [ 1 + fp(Yp) ].

116


Figura 5.2. Comparacion de la extra-disipacion εp/ε = fp(Yp) debida a las partıculas.

En la figura 5.2 se presenta el cociente εp/ε = fp(Yp), como funcion de la con-centracion masica Yp de las partıculas. Una curva cubica ha sido ajustada para los tresvalores correspondientes a las concentraciones usadas por Elghobashi & Truesdell [1993],obteniendose

εp

ε= 0.1233 Yp + 1.8697 Y 2

p + 3.2668 Y 3p , (5.15)

Para esta funcion, en el lımite lineal fp(Yp) = Cp Yp, da un valor de Cp = 0.1233, un valormucho menor que el sugerido por Garcıa & Crespo [2000] de Cp = 4.5. No obstante,el valor de la constante de Kolmogorov utilizado de Co = 3 puede ser cuestionable sise considera que este depende mucho de las condiciones estacionarias del flujo [Du etal.,1995] [Weinman & Klimenko,2000], no presentes en este problema.

117


0 1 2 3 4 5 60

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

k(t)

/k(0

)

t

EVOLUCIÓN ENERGÍA TURBULENTA

φp=0.00

φp=0.23

φp=0.45

φp=0.91

Figura 5.3. Grafica de k vs. t (λ = 1.5568).

La figuras 5.3 y 5.4 muestran la evolucion en el tiempo t (adimensional) de lascurvas de k y ε (adimensionalizadas respectivamente con sus valores en t = 0), segunlas ecuaciones (5.6). El valor de b en (5.7) ha sido elegido para que los valores de k encada caso, en los instantes ti = 0.75 y tf = 6.0, se correspondan con los resultados deElghobashi & Truesdell [1993], mostrados con sımbolos. Un simple despeje de b en laprimera expresion de (5.6) para k, permite hacer esto cuando se substituyen los valoresde k(tf ).

118


0 1 2 3 4 5 60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

ε(t)

/ε(0

)

t

EVOLUCIÓN DISIPACIÓN TURBULENTA

φp=0.00

φp=0.23

φp=0.45

φp=0.91

Figura 5.4. Grafica de ε vs. t (λ = 1.5568).

Los resultados mostrados en las figuras 5.3 y 5.4 han sido obtenidos al aplicar laexpresion (5.14) para el calculo de ε1 y Cp en cada caso, con λ = λo = Cε2 = Cε3 =1.5568075. Luego los valores de la disipacion global ε se calculan de la segunda expresionde (5.6), introduciendo el valor de ε1 en lugar de εi. Parte de dichos calculos estanresumidos en la siguiente tabla

Tabla 1. Resultados del ajuste de los puntos iniciales y finales en ti = 1.0 y en tf = 6.0.λ = 1.5568, ko1 = 0.67, ko2 = 0.155, εo1 = 0.73, εo2 = 0.075

φm Yp k2ε1−εo1

εo2ε1 εp/ε λk

0.23 0.18699 0.145 1.0685 0.8101 0.5871 1.1098

0.45 0.31034 0.13 3.0762 0.9607 1.0184 1.3160

0.91 0.47644 0.105 8.1418 1.3406 1.7557 1.8365

Los valores obtenidos de Cp estan en el rango Cp ≈ 0.65 → 1.96, algo superiores aCp = 0.1233, el cual ha sido extraıdo del ajuste (5.15) en el lımite Yp −→. Los resultados

119


de k en la figura 5.3 dan muy bien, mientras que los resultados de ε son aceptables perose alejan mucho para las mayores concentraciones, cuando el modelo lineal deja de servalido.

Comparacion con un ExperimentoSchreck & Kleis [1993] investigaron experimentalmente los efectos de partıculas

livianas de plastico (casi flotantes) y partıculas pesadas de vidrio en la turbulencia ge-nerada por rejilla en instalaciones para el flujo de agua. El rango del tamano de laspartıculas oscilaba entre 0.6 y 0.71 mm. En estos experimentos, la medida del valor dek decaıa como (t − ti)−1, tanto con o sin partıculas, indicando, de las ecuaciones (5.6)que λ = Cε3 = Cε2 = 2.

Para concentraciones volumetricas del 1%, el decaimiento de la energıa turbulentase incrementa alrededor del 17% para las partıculas de plastico, y cerca del 31% paralas partıculas de vidrio. Las densidades del plastico y del vidrio son respectivamente1045 kg/m3 y 2400 kg/m3, ası que las respectivas fracciones masicas son Yp = 0.0104 y0.0237. Estas dos condiciones estan representadas en la figura 5.2. El numero de Stokesse estimaba que siempre era muy inferior a la unidad.

5.1.3. TURBULENCIA HOMOGENEA FORZADA

Squires & Eaton [1994] han estudiado los efectos de las modificaciones selectivasde los modelos k − ε, debido a las partıculas. Esto lo han hecho para flujos bi-fasicosmuy diluidos, usando datos obtenidos de simulaciones numericas directas de turbulenciaisotropa y homogenea cargada con partıculas solidas, compilados por Squires & Eaton[1990] en una publicacion anterior.

Las simulaciones fueron obtenidas usando 643 puntos de mallado y hasta 106

partıculas. Se ha usado una simulacion de turbulencia isotropa forzada, en la cualel flujo se hace estacionario, aplicando fuerzas de masa a las escalas mas grandes delmovimiento. Ellos han dado valores de ε/ε

φ=0 para diferentes cargas masica de partıculasφp (o fraccion masica Yp) y varios numeros de Stokes. Se ha supuesto que las condicionesde los experimentos numericos son tales, que la disipacion total de la energıa es constante,independiente de la fraccon masica. Esto es,

ε = ε + εp = εφ=0 . (5.16)

En la figura 5.2 se presentan los valores de εp/ε = fp(Yp) como funcion de la fraccionmasica Yp obtenidos para estos experimentos numericos, y para diferentes numeros deStokes. Se aprecia que los valores de Cp barren un rango que va desde 2.0 hasta 2.5. Lospuntos estan alrededor de la curva dada por la cubica (5.15).

5.1.4. FLUJO EN UN CANAL RECTANGULAR

Kulick et al. [1994] han estudiado la interaccion entre partıculas pequenas y pe-sadas y la turbulencia del aire fluyendo hacia abajo en un canal rectangular. La partıculas

120


eran mas pequenas que la escala de Kolmogorov en el movimiento turbulento estudiado.La turbulencia del fluido era atenuada por la adicion de las partıculas, y el grado deatenuacion se incrementaba con el aumento del numero de Stokes, la carga masica y ladistancia a la pared.

Con la finalidad de interpretar sus resultados, Kulick et al. [1994] aplicaron elmetodo de k − ε a lo largo del eje del canal, donde en promedio existe simetrıa axial ylas derivadas radiales son todas nulas. Ademas, como el flujo esta completamente de-sarrollado y es en promedio estacionario, el termino convectivo y el termino transitoriotambien son nulos, y las ecuaciones de (2.57) son las que quedan para k y ε, respecti-vamente, expresando el balance entre la difusion y la disipacion. Siguiendo un analisissimilar al seguido en (2.58) alrededor del eje del conducto, se llega a la conclusion de queCε3 = Cε2, siendo este resultado tambien deducido de otras investigaciones previamentemencionadas. Kulick et al. [1994] complementa el resultado (2.58) usando una simpleexpresion para la disipacion extra εp, que es similar a (2.80) propuesto por Garcıa &Crespo [2000]. No obstante, dicha expresion es inversamente proporcional al tiempo τp

caracterıstico de la partıcula, pero ellos reconocen que los datos experimentales contradi-cen esta suposicion, porque la disipacion se incrementa con el aumento del tiempo departıcula, aunque, como se discutira luego, esto no es cierto siempre. Dicha expresion sepuede expresar como (2.55), que para bajas concentraciones de partıculas se reduce almodelo de Garcıa& Crespo [2000] si Cp = 2//Sk.

En este trabajo se propone considerar que la disipacion total es independiente dela concentracion masica de partıculas, de manera que

ε = ε + εp = ε(Yp=0) ε′ = ε′ + ε′p = 1. (5.17)

Esta suposicion se basa en el hecho de que la potencia total necesitada para producirel flujo deseado en el canal (esto es, el caudal volumetrico multiplicado por la caıda depresion) no parece cambiar con Yp. El caudal y la velocidad de friccion (que es propor-cional a la caida de presion) aparentemente son parametros fijos en los experimentos deKulick et al. [1994]. Combinando la ecuacion (2.58) (asumiendo Cε3 = Cε2) y (5.17) seobtiene la siguiente expresion para fp

fp =εp

ε=

ε′pε′

=1

k′3 − 1, (5.18)

donde el valor de k′ se obtiene de las mediciones experimentales de Kulick et al. En lafigura 5.2 se presentan estos resultados para el caso de partıculas de cobre de 70 mm,con un numero de Stokes de 3. Estas condiciones son equivalentes a considerar que setiene un valor de α = (1 + fp)−1 en (2.65).

Es obvio que la perdida de presion permanece constante, si el caudal volumetricopermanece tambien constante. Se puede esperar que, si la total perdida de presionpiezometrica es proporcional al cuadrado de la velocidad de friccion turbulenta, la caıdade presion deberıa tambien decaer como k. Si se asume que k′ en el eje del conducto

121


es igual a k/k(Yp=0) cerca de la pared, entonces en lugar de (5.18) y (5.19), usando denuevo (2.58), se tiene

ε′ = ε′ + ε′p = k′ εp

ε=

ε′pε′

=1k′ − 1, (5.19)

Los resultados correspondientes estan tambien presentados en la figura 5.2. Estas condi-ciones son equivalentes a tener un valor de de α = (1 + fp)−2 en (2.65).

El valor de Cp se puede obtener mediante d(εp/ε)/dYp|Yp=0, de lo cual resulta de(5.18) que

C = −3dk′

dYp

∣∣∣∣Yp=0

= 18, (5.20)

o de la ecuacion (5.19) que

C = − dk′

dYp

∣∣∣∣Yp=0

= 6, (5.21)

donde dk′/dYp se ha obtenido de Kulick et al. [1994].

5.1.5. FLUJO EN UNA TUBERIA CIRCULAR

En esta parte del trabajo se estudia el comportamiento de partıculas solidas me-dianamente pesadas y con un numero de Stokes bajo, en un flujo turbulento dentro deuna tuberıa circular. La concentracion de las partıculas es muy pequena, de manera queel campo de velocidades no se ve afectado por ellas. La densidad de las partıculas esmucho mas grande que la densidad del fluido, y las fuerzas de Basset y de masa virtualson despreciadas. El campo de velocidades es obtenido con ‘DNS’ usando un metodo dediferencias finitas del tipo paso fraccionado, como el que se ha descrito en la seccion 3.2.Dicho metodo es semi-implıcito en los terminos viscosos y usa una integracion de tercerorden del tipo Adams-Bashforth. En las direcciones axial y acimuthal las condiciones decontorno se consideran periodicas, lo cual permite el uso de la transformada rapida deFourier en las ecuaciones discretizadas (ver apedice A.9).

Los pasos lagrangianos de las partıculas son obtenidos mediante un metodo Runge-Kutta implıcito (tipo cuadratura de Lobatto) de sexto orden y con control de paso,como el descrito en la seccion 3.1. La partıculas son inyectadas uniformemente a variassecciones transversales iniciales en diferentes posiciones radiales y acimutales, con lavelocidad media del fluido correspondiente a cada posicion. Debido a la periodicidadimpuesta por la simulacion ‘DNS’ en la direccion axial, cuando cada partıcula alcanzala salida de la tuberıa, es de nuevo recirculada en la entrada de la tubeıa. De estaforma, las partıculas son recirculadas en la tuberıa un nmero indefinido de veces despuesde transcurrido un tiempo largo. Despues de un largo perıodo de tiempo la dinamicaestadıstica de la partıcula se vuelve independiente de las condiciones iniciales y consimetrıa axial en las variables promediadas. Se obtienen resultados para dos numeros

122


de Stokes y luego se hacen comparaciones con los resultados de Kulick et al. [1994] yLi et al. [2001], aunque estos sean para canales rectangulares. Se verifican los modelosde la seccion 2.3 para la diferencias de energıa cinetica entre el fluido y la partıcula y ladisipacion viscosa y se confirma que se adaptan mejor en el nucleo del flujo cerca del ejede la tuberıa, donde el flujo es mas isotropo.

Campo de VelocidadesSe ha utilizado el campo de velocidades para un numero de Reynolds de 5600

(basado en la velocidad media y el diametro). Este campo de velocidades obtenidocon ‘DNS’ ha sido validado con las comparaciones entre las simulaciones del capıtulo4, seccion 4.1, y los resultados de Loulou et al. [1997], los cuales estan bien docu-mentados en el reporte de la AGARD [1998] y en su correspondiente portal en In-ternet. El mallado utilizado es exactamente igual al utilizado en la referencia previa,con 68, 160 y 192 celdas en las direcciones radial, acimutal y axial, respectivemente(∆x+ = ∆r+, R+∆θ, ∆z+max ≈ 3, 8, 10).Trayectoria de las partıculas

La trayectoria de cada partıcula se obtiene con la integracion numerica de laecuacion del movimiento

dvp

dt=

fD

τp(v − vp) + g fD = 1 + 0.15 IRe0.687

p (5.22)

donde el numero de Reynolds para la partıcula es IRep = ρ |vr| dp/µ y el tiempo carac-terıstico de la partıcula es definido como τp = ρp d2

p/(18µ). En las ecuaciones anterioresdp y ρp son el diametro y la densidad de la partıcula, y ρ y µ son la densidad y la vis-cosidad del fluido. La velocidad vr = v−vp es la velocidad de la partıcula respecta a lade la partıcula. En las presentes simulaciones IRep es siempre menor a la unidad, por loque fD ≈ 1.

Energıa Cinetica TurbulentaComo se mostro en la seccion 2.3.1, si la influencia del numero de Reynolds y

la gravedad en (5.22) se desprecian, y si en promedio las variables son axisimetricas yestacionarias, entonces

〈v′2〉 − 〈v′2p 〉 = 〈v′2

r 〉 (5.23)

donde v = 〈v〉 + v′, vr = 〈vr〉 + v′r, and vp = 〈vp〉 + v′

p.

Disipacion TurbulentaEn la seccion 2.3.2 se reproduce la referencia [Garcıa & Crespo,2000] para de-

duccion del modelo de la disipacion extra introducida por las partıculas. Esta disipacionde la energıa producida por partıculas esfericas viene dada por εp = 〈FD.vr 〉Yp/mp =〈 fD v2

r 〉Yp/τp, donde Yp es la fraccion masica de las partıculas. La fuerza de arrastresobre una partıcula es FD = 3 fD π µ dp vr y su masa es mp = ρp π d3

p / 6. La susbtitucion

123


de la definicion de la energıa cinetica turbulenta k = 〈v′2〉/2 en la ecuacion (5.23), y lasubstitucion de las definiciones precedentes (con fD ≈ 1), permiten expresar el siguientemodelo

k − kp =εp τp

2 Yp(a) εp =

32

Co Yp ε (b) (5.24)

para la diferencia de energıa cinetica turbulenta entre el fluido y las partıculas [Granadoset al.,2002b] y la disipacion turbulenta de las partıculas [Garcıa & Crespo,2000]. Com-binando las expresiones anteriores se puede eliminar la fraccion masica Yp, resultando

kp

k= 1 − 0.75 Co

τp

τt(5.25)

donde τt = k/ε es el tiempo caracterıstico del flujo turbulento y Co es la constante deKolmogorov para funcion de estructura lagrangiana de la velocidad del fluido.

Concentracion Preferencial

Para partıculas muy pequenas (dp 1), sin gravedad (g = 0), la ecuacion delmovimiento (5.22) se simplifica a

dvp

dt=

1τp

(v − vp) (5.26)

Esta ecuacion para tiempos de partıcula muy pequenos (τp 1) se reduce a vp = v. Siconsideramos que la aceleracion de la partıcula dvp/dt y del fluido dv/dt = ∂v/∂t+v.∇vson similares, el despeje de vP en (5.26), en primera aproximacion, se puede expresarcomo

vp = v − τpdvdt

= v − τp (∂v/∂t + v.∇v) (5.27)

Extrayendo la divergencia a esta expresion, se elimina ∇.v = 0 por continuidad y eltermino transitorio, resultando

∇.vp = −τp ∇.(v.∇v) = −τp (∇v : ∇v) = −τp (G : G) (5.28)

donde G = (∇v)t = D+W es el tensor gradiente de velocidad, siendo D = (G+Gt)/2y W = (G − Gt)/2 las partes simetricas y anti-simetricas del tensor G. Si expresamosel resultado anterior en funcion de D y W, finalmente obtenemos

∇.vp = −τp (D : D + W : W) = −τp (D : D− w.w/2) (5.29)

donde w = ∇×v es el vector de vorticidad [Maxey,1987]. Esta relacion ha sido obtenidanuevamente por Shaw [2003]. De acuerdo a la expresion anterior, habra acumulacion departıculas donde proporcionalmente haya mas deformacion que vorticidad (enstrofıa).

124


La expresion (5.29) es instantanea, pero se puede interpretar mejor promediada enlas direcciones estadısticamente estacionarias y homogeneas. Se sabe que una divergenciade un campo de velocidades alrededor de un punto es positiva cuando dicho punto (ysus alrededores) se comporta como una fuente, y negativa cuando se comporta como unsumidero. Si de manera similar, en una region se tiene que 〈∇.vp〉 es negativo, debidoa que 〈Φµ〉/2µ = 〈D : D〉 = 〈D〉 : 〈D〉 + ε/2ν es mayor que 〈w.w〉/2 = 〈w〉.〈w〉/2 +〈w′〉.〈w′〉/2, entonces en dicha region habra una acumulacion preferencia de partıculas.Ocurrira lo contrario si es positivo el valor de〈∇.vp〉. Recuerdese que la disipacionviscosa (instantanea) por unidad de masa se define como Φµ/ρ = 2ν D : D, mientras quela disipacion turbulenta se define como ε = 2ν 〈D′ : D′〉.

En el desarrollo anterior debe tenerse en cuenta que los ordenes de magnitud delas cantidades obtenidas con productos de variables promediadas son menores que lascantidades obtenidas con el promedio del producto de las fluctuaciones de las mismasvariables, segun se indica en el analisis siguiente

〈D〉 : 〈D〉 ∼ U2

2 ε

2ν∼ U3

ν

〈w〉.〈w〉 ∼ U2

2 〈w′〉.〈w′〉 ∼ ε

ν∼ U3

ν

=⇒ 1 U

ν(5.30)

donde se tiene en cuenta que el numero de Reynolds U /ν es elevado. Una verificacionvisual de los ordenes de magnitud de los terminos en (5.30) pueden tomarse de las figuras4.4 y 4.11. Este analisis permite simplificar la ecuacion (5.29) a la siguiente expresion

〈∇.vp〉 = − τp

2ν( ε − ν〈w′.w′〉 ) (5.31)

lo que finalmente viene a indicar que ocurrira una concentracion preferencial de partıculasen las regiones donde ε > ν〈w′.w′〉.

Existe un mecanismo que tiende a equilibrar el fenomeno de concentracion prefe-rencial. Este mecanismo es el de difusion turbulenta (ley de Fick), que lleva las partıculasde las regiones con mayor concentracion a regiones con menor concentracion. En estecaso, el transporte de partıculas por unidad de tiempo y unidad de area viene determinadopor la cantidad −∇.〈v′c′〉 = ∇.(K ∇〈c〉), siendo c = 〈c〉+c′ la concentracion instantaneadescompuesta es su parte media y su fluctuacion y el parametro K un coeficiente dedifusion turbulenta. Como es sabido que las partıculas livianas tienden a colocarse enlos ejes de los torbellinos (lo contrario a las partıculas pesadas que tiende a colocarse enla periferia de los torbellinos) [Fernandez,2000] [Fernandez & Garcıa,2000], entonces estadifusion es debida a las partıculas que acompanan a los torbellinos que se desprenden porejemplo de las paredes, donde las partıculas tienden a reagruparse de forma preferencial[Zaichik & Alipchenkov,2003].

125


Analisis de ResultadosLos experimentos numericos fueron realizados con 320 partıculas (con ε escalado a

una concentracion de Yp = 0.30 para propositos graficos) de diametro dp = 0.001 (relativoal radio de la tuberıa), y densidades de ρp1 = 800 y ρp2 = 1600 (relativas a la densidaddel fluido de ρ = 1.2). Estas cantidades dan los tiempos caracterısticos de las partıculasde τp1 = 0.1244 y τp2 = 0.2489 (Unidad de tiempo = radio / velocidad media), los cualescorresponden a los numeros de Stokes de (cerca del eje de la tuberıa) de /Sk1 = 0.015 y/Sk2 = 0.030, respectivamente.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

v z/U

m

r / R


(DNS)Caso 1Caso 2

100

101

102

0

5

10

15

20

25

v z+

y+


DNSCaso 1Caso 2Log.Visc.

Figura 5.5. Perfiles de velocidad axial del fluido y las partıculas.

La figura 5.5 muestra los perfiles de velocidad axial del flujo en lınea continua yde las partıculas en lıneas intermitentes. En lıneas punteadas se ha colocado la ‘ley de lapared’ para efectos comparativos. Practicamente no existen diferencias marcadas entreunos perfiles y los otros. Ya que las partıculas tienen un numero de Stokes bastante bajoes razonable que los perfiles de velocidad axial sean casi iguales.

En esta investigacion se ha tratado de verificar el modelo lineal (5.24) con losexperimentos y metodos numericos descritos antes. En esta parte se hara lo mismo,pero para el caso del flujo en una tuberıa circular. La energıa cinetica turbulenta delfluido y las partıculas se ha mostrado en la figura 5.6 del lado izquierdo. La disipacionturbulenta de las partıculas se ha mostrado en la figura 5.6 del lado derecho. La disi-paciones de las partıculas εp1 y εp2 se han calculado mediante la expresion (2.46). Enestas dos figuras, con sımbolos, se han graficado las estimaciones del modelo lineal prop-uesto. En lınea continua se ha graficado la simulacion numerica directa (DNS) del fluido.En lıneas punteadas se presentan los resultados numericos de las simulaciones de laspartıculas, los cuales dan valores aceptablemente cercanos al modelo, sobre todo en eleje de la tuberıa, y con tendencia similar. La energıa cinetica turbulenta del fluido seestima a partir de la energıa cinetica turbulenta de las partıculas, mediante la expresion

126


(5.24a). Por otra parte, para la disipacion turbulenta existen marcadas diferencias entreel modelo lineal (5.24b) y las simulaciones cerca de pared de la tuberıa, donde el flujoturbulento es apreciablemente anisotropo. En la mencionada figura para la disipacionturbulenta se muestran las estimaciones del modelo lineal con tres valores de la constantede Kolmogorov de Co = 15, 20 y 25. Se infiere de esta figura que un valor de Co = 20es aceptable para este flujo que tiene un valor del numero de Reynolds de la escala de

Taylor de IReλ = (15IReε)12 ≈ 205 (El numero de Reynolds de la escala integral tiene un

valor para este flujo de IReε ≈ IReD/2 = 2800), a pesar de que es un valor muy alto paraCo comparado con los resultados de Weinman & Klimenko [2000] que nunca superan elvalor de 4 (IReλ < 100).

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012

0.014

0.016

0.018

0.02

k,k

p

r / R


k (DNS)k=k

p1+ε

p1τp1

/(2Yp1

)k

p1k=k

p2+ε

p2τp2

/(2Yp2

)k

p2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012

0.014

0.016

0.018

0.02

ε p

r / R

DISIPACIÓN TURBULENTA DE PARTÍCULA

εp1

εp2

εp=1.5 C

oY

pε (C

o=15)

εp=1.5 C

oY

pε (C

o=20)

εp=1.5 C

oY

pε (C

o=25)

Escalado a Yp

= 0.3

Figura 5.6. Energıa cinetica y disipacion turbulentas del fluido y las partıculas.

127


0 0.2 0.4 0.6 0.8 10.5

1

1.5

2

2.5

Yp

/Ypo

,N

p/N

po

r / R

CONCENTRACIÓN DE PARTÍCULAS

Yp1

/ Ypo

Np1

/ Npo

Yp2

/ Ypo

Np2

/ Npo

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.1

τ f×

10-2

,S

t

r / R

TIEMPO DE PARTÍCULAS / FLUIDO & NÚMERO DE STOKES

τf× 10-2

St1

= τp1

/ τf

St2

= τp2

/ τf

τp1

=0.1244τp2

=0.2489

Figura 5.7. Concentracion de las partıculas y numero de Stokes.

La figura 5.7 presenta del lado izquierdo las concentraciones de las partıculasdistribuidas para distintas posiciones radiales. Se han escalado los valores de las con-centraciones para producir una concentracion media de Yp = 0.30. Sin embargo, comoası se planteo en las relacion (5.25), el modelo es independiente de la concentracion delas partıculas. Se observa en dicha figura que las concentraciones de las partıculas sonpracticamente constantes a lo ancho de la tuberıa, con la excepcion de la pared, dondese manifiesta una concentracion preferencial de las partıculas. Esta preferencia de laspartıculas se justifica, si se nota que la expresion (5.31) evaluada para los resultados dela figura 4.4 en y+ < 10, da valores negativos de 〈∇.vp〉. La figura 5.7 del lado derechomuestra los tiempos caracterısticos del flujo (τf ) a lo ancho de la tuberıa y los numerosde Stokes (St1ySt2) para los tiempos caracterısticos de las partıculas de τp1 = 0.1244 yτp2 = 0.2489, respectivamente de los casos 1 y 2. En el eje de la tuberıa se observa que losvalores del numero de Stokes son del orden de 0.015 y 0.030, respectivamente, mientrasque cerca de la pared es del orden de 0.1 o mas (justo en la pared, tiende al infinito).

128


0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-2

-1

0

1

2

3

4

5

6x 10

-3k

-k p

,ε p

τ p/(

2Y

p)

r / R

DIFERENCIA DE ENERGÍA TURB.

k - kp1

εp1

τp1

/ ( 2 Yp1

)k - k

p2εp2

τp2

/ ( 2 Yp2

)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

5

10

15

20

25

30

35

Co

r / R

CONSTANTE DE KOLMOGOROV

Co=ε

p1/(1.5 ε Y

p1)

Co=4/3 (1-k

p1/k) τ

f/τ

p1C

o=ε

p2/(1.5 ε Y

p2)

Co= 4/3 (1-k

p2/k) τ

f/τ

p2

Figura 5.8. Diferencias de energıa cinetica y Constante de Kolmogorov.

La figura 5.8 del lado izquierdo muestra con mas detalles los resultados de lafigura 5.6. En esta figura se comparan los resultados del miembro de la izquierda (lıneaspunteadas) y de la derecha (sımbolos) del modelo lineal (5.24a). Los resultados han sidoescalados para una concentracion media de Yp por razones graficas. Ambos miembros delmodelo fueron calculados con resultados obtenidos de las simulaciones directamente delflujo y las partıculas. Se observa que el modelo lineal da estimaciones de las diferencias deenergıa cinetica turbulenta del fluido menos las partıculas, que son bastante aceptables atodo lo ancho de la tuberıa. Dichas diferencias presentan un maximo en el mismo puntodonde esta el maximo de k. En la misma figura 5.8, pero del lado derecho, se muestra losvalores de la constante de Kolmogorov, estimados mediante el despeje de Co de las dosexpresiones del modelo lineal (5.24). Ambos despejes dan valores de Co muy cercanosentre sı. Los valores estimados con las diferencias k − kp de energıa cinetica turbulenta(sımbolos) dan un poco por encima de los valores estimados con la disipacion εp de laspartıculas, en el eje de la tuberıa. En el resto de la tuberıa, los valores de Co son bastanteparecidos, decreciendo monotonamente hasta anularse en la pared. En el eje los valoresde Co son aproximadamente constantes corroborando la hipotesis de que en dicha regionel flujo es aproximadamente isotropo.

129


100

101

102

0

0.05

0.1

0.15

0.2

u rms

/Uc

y+

INTENSIDAD DE FLUCTUACIÓN AXIAL

FluidoPartículas (Caso 1)Partículas (Caso 2)

100

101

102

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

v rms

/Uc

y+

INTENSIDAD DE FLUCTUACIÓN TRANSVERSAL

FluidoPartículas (Caso 1)Partículas (Caso 2)

Figura 5.9. Intensidad de fluctuacion longitudinal y transversal.

Finalmente, la figura 5.9 contiene la informacion de las intensidades

urms = 〈v′z2〉12 vrms = 〈v′r2 + v′θ

2〉12 (2k = u2

rms + v2rms) (5.32)

de las fluctuaciones longitudinal y transversal, respectivamente, adimensionalizadas conla velocidad promedio en el eje de la tuberıa. Las intensidades de las fluctuacionestransversales son aproximadamente la mitad de las fluctuaciones axiales. Estas graficasreproducen cualitativamente bien y con los mismos ordenes de magnitud los resultadosexperimentales de Kulick et al. [1994] y los resultados de las simulaciones numericas de Liet al. [2001], aunque estos ultimos resultados sean para flujo en canales rectangulares. Seobserva que la intensidad longitudinal de las partıculas sufre una variacion relativamentepequena frente a la intensidad longitudinal del fluido. Por el contrario, a diferencia dela intensidad longitudinal que es casi invariante, la intensidad de fluctuacion transversalde las partıculas es mucho menor que la del fluido, siendo las diferencias mas grandescuanto mas grande sea el numero de Stokes. Las maximas intensidades ocurren justo porencima de la sub-capa viscosa, son mınimas en el eje de la tuberıa y nulas en la pared dela tuberıa.

5.2. INFLUENCIA DEL FLUJO SOBRE LAS PARTICULAS

En esta parte, a diferencia que en la seccion anterior, las partıculas utilizadastienen densidades reales de materiales conocidos y los diametros y las concentracionesde partıculas son mas grandes. Todo esto hace que los numeros de Stokes no seantan bajos como antes y, por consiguiente, el modelo lineal antes estudiado, el cual eraindependiente de la concentracion de las partıculas, deja de tener validez. En esta seccionconcentraremos la atencion exclusivamente sobre las caracterısticas de las partıculas en

130


un flujo turbulento identico al de la seccion precedente. Especıficamente, se van a des-cribir el perfil de velocidades, la energıa cinetica turbulenta, la disipacion turbulenta, laconcentracion de las partıculas y la intensidad de las fluctuaciones.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

v z/U

m

r / R


(DNS)Caso 2Caso 3Caso 4

100

101

102

0

5

10

15

20

25

v z+

y+


DNSCaso 2Caso 3Caso 4

Figura 5.10. Perfiles de velocidad axial del fluido y las partıculas.

Para esta parte se han usado los mismos tipos de partıculas que se han utilizadoen los trabajos experimentales de Kulick et al. [1994] y que tambien han servido de basepara las simulaciones numericas de Li et al. [2001]. Se estudiaran tres casos: El caso2 de la seccion anterior se utilizara como caso de comparacion para algunas variables.El caso 3 estara conformado por 10112 partıculas de cobre con una densidad relativaal fluido (aire ρ = 1.2 kg/m3) de ρ3 = 7333 (8800 kg/m3), diametro relativo al radiode la tuberıa de dp3 = 0.00548 (τp3 = 34.2553 y /Skp3 ≈ 4 en el eje) y con una carga departıculas de φp3 = 0.20 (Yp3 = 0.1667). El caso 4 estara compuesto con 11060 partıculasde vidrio con una densidad relativa de ρp4 = 2083 (2500 kg/m3), con diametro relativode dp4 = 0.01018 (τp4 = 33.5792 y /Skp4 ≈ 4 en el eje) y con una carga de partıculasde φp4 = 0.4 (Yp4 = 0.2857). Como en los casos 3 y 4 los tiempos caracterısticosy los numeros de Stokes son muy similares, lo que se pretende es ver el efecto de laconcentracion de partıculas.

131


0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.005

0.01

0.015

0.02

k,k

p

r / R


k (DNS)Caso 2Caso 3Caso4

100

101

102

0

0.005

0.01

0.015

0.02

k,k

p

y+


k (DNS)Caso 2Caso 3Caso4

Figura 5.11. Energıa cinetica turbulenta del fluido y las partıculas.

La figura 5.10 muestra del lado izquierdo los perfiles de velocidades de las partıculaspara los distintos casos (lineas punteadas) comparados con el perfil de velocidades del flujosin partıculas (lınea continua) obtenida de la simulacion numerica directa (DNS). El perfildel caso 2 coincide con el perfil sin partıculas. Sin embago, los casos 2 y 3 con partıculasmas pesadas presentan perfiles de velocidades similares, pero con velocidades mas bajasen el nucleo de flujo, respecto al fluido sin partıculas. Lo mismo puede observarse envariables de pared del lado derecho (salvo que se diga lo contrario de ahora en adelante semostraran las figuras en coordenadas radiales del lado izquierdo y en variables de pareddel lado derecho). En otras palabras, las partıculas se mueven en promedio un poco maslentas en el nucleo del flujo de lo que lo hacıa el fluido cuando no las contenıa. A pesar deesto, los resultados para las partıculas siguen teniendo la misma pendiente (en la graficasemi-logarıtmica) que para el fluido en la zona de la ‘ley de la pared’. Sin embargo,en la sub-capa viscosa, detallada mejor en el lado derecho de la figura 5.10, ocurre locontrario: las partıculas se mueven mas rapido de lo que lo hacia el fluido cuando notenıa partıculas. Aparentemente, existe un intercambio de energıa de las partıculas delnucleo hacia la subcapa viscosa, donde ceden parte de su impulso a las partıculas allıconcentradas preferencialmente, como se vera mas adelante.

132


0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.001

0.002

0.003

0.004

0.005

0.006

0.007

0.008

0.009

0.01

ε p

r / R


εp2

εp3

εp4

100

101

102

0

0.001

0.002

0.003

0.004

0.005

0.006

0.007

0.008

0.009

0.01

ε p

y+


εp2

εp3

εp4

Figura 5.12. Disipacion turbulenta de las partıculas.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10.5

1

1.5

2

Yp

/Ypo

r / R


Caso 2Caso 3Caso 4

100

101

102

0.5

1

1.5

2

Yp

/Ypo

y+


Caso 2Caso3Caso 4

Figura 5.13. Concentracion de las partıculas.

Lo anteriormente expuesto queda mejor justificado si observamos la figura 5.11de la energıa cinetica turbulenta. En el nucleo, las partıculas presentan menos energıaque la que tenıa el flujo sin partıculas. En la sub-capa viscosa, no obstante, ocurre lo

133


contrario. Esto lleva a pensar que existe un intercambio de energıa turbulenta de laspartıculas del centro del flujo hacia las partıculas de las zonas cercanas a la pared de latuberıa. Las partıculas allı acumuladas, conteniendo mas energıa turbulenta que el fluidosin partıculas, luego vuelven al nucleo del flujo, siguiendo el mecanismo de difusion (dealta a baja concentracion), habiendo perdido parte de su energıa.

La disipacion turbulenta de las partıculas, calculada con (2.46) tambien se ve afec-tada. Como puede observarse en la figura 5.12, la disipacion turbulenta de las partıculasdel caso 3 (Yp = 0.17) y del caso 4 (Yp = 0.29) son una pequena fraccion de lo que era ladisipacion de las partıculas pequenas y livianas del caso 2 (Yp = 0.30) de la seccion 5.1.5.La diferencia entre el caso 4 y el caso 2 es marcadamente grande a pesar que las con-centraciones son practicamente las mismas. Sin embargo, se observa para partıculas conel mismo numero de Stokes que, mientras mas grande es la concentracion, mas elevadoes el valor de la disipacion, como muestra la figura 5.12. La disipacion en la sub-capaviscosa para los casos 3 y 4 se vuelve mas alta que la del caso 2, por la alta concentracionpreferencial de las partıculas en dicha region. Se aprecia una disminucion importante enla disipacion turbulenta de las partıculas grandes y pesadas (casos 3 y 4, /Skp ≈ 4) conrespecto al caso con partıculas pequenas y livianas (caso 2, /Skp ≈ 0.03). Esto se debeprincipalmente a las caracterısticas de diametro y densidad, que al ser de mayor valor,reducen substancialmente el numero de partıculas, cuando la carga masica es la misma(el diametro y la densidad del caso 2 son las fracciones 0.10 y 0.38 del caso 4, con casi lamisma concentracion masica, conteniendo el primero 2600 veces el numero de partıculasdel segundo con 11000 partıculas).

100

101

102

103

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

0.2

u rms

/Uc

y+


FluidoPartículas (Caso 2)Partículas (Caso 3)Partículas (Caso 4)

100

101

102

103

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.1

v rms

/Uc

y+


FluidoPartículas (Caso 2)Partículas (Caso 3)Partículas (Caso 4)

Figura 5.14. Intensidad de fluctuacion longitudinal y transversal.

134


La concentracion de las partıculas esta representada en la figura 5.13. A medidaque las partıculas son mas pesadas tienden a concentrarse preferencialmente hacia lapared de la tuberıa. En el caso 3, para el que son las partıculas mas pesadas, se observalas menores concentraciones en el nucleo, lo que significa que la mayor cantidad de laspartıculas se ha ido a la region de la sub-capa viscosa cerca de la pared de la tuberıa.Esta tendencia es muchısimo menor par el caso 2, donde la concentracion de las partıculases practicamente constante, con una leve aglomeracion de las partıculas en la sub-capaviscosa. Se observa para los casos 3 y 4 que existe un anillo aproximadamente en r/R =0.7, donde existe escasez de partıculas (caso 4) o presencia nula de ella (caso 3).

La figura 5.14 muestra la intensidad de las fluctuaciones en la direccion longitu-dinal de la tuberıa y en la direccion transversal a la misma. Para los casos con numerosde Stokes bajos (caso 2), las intensidades de fluctuacion axial eran casi invariantes. Paranumeros de Stokes mas altos (casos 3 y 4), las fluctuaciones axiales se incrementan apre-ciablemente, sobre todo en la region de la sub-capa viscosa, como lo indica tambien lafigura 5.11 de la energıa cinetica turbulenta. Las fluctuaciones transversales en cambiodisminuyen, siendo esa disminucion mucho mas acentuada para los casos 2 y 3. Hastatal punto, que la fuctuacion disminuye casi a una septima parte del maximo que tenıa enel fluido sin partıculas (la catorceava parte del los maximos de las fluctuaciones axiales),haciendose practicamente constante a lo ancho de la tuberıa. Estas caracterısticas delas intensidades de las fluctuaciones obedece al intercambio de energıa que mencionamosantes cuando se analizo la figura 5.11. Dicho intercambio de energıa convierte fluctua-ciones transversales en el nucleo del flujo, en fluctuaciones axiales en la subcapa viscosa.Al parecer, la mecanica del choque tiene algo que ver: partıculas muy pesadas moviendosea alta velocidad en el nucleo del flujo, chocan oblicuamente con partıculas igualmentepesadas, pero moviendose a menor velocidad en la subcapa viscosa y sus alrededores. Elresultado final es el intercambio de energıa y cantidad de movimiento de las primeras conlas segundas, produciendo el efecto antes descrito.

Del analisis de esta parte se desprende que el comportamiento de las partıculasdepende fuertemente del numero de Stokes y relativamente poco de los niveles de concen-tracion, al menos en los valores probados en estas simulaciones. Para un mismo numerode Stokes, las diferencias introducidas por el cambio en la concentracion de las partıculasse observan levemente sobre todo en las intensidades de fluctuacion y, por consiguiente, enla energıa cinetica y disipacion turbulentas. Las otras variables de las partıculas quedanpracticamente inalteradas.

5.3. MODULACION DE LA TURBULENCIAPOR LAS PARTICULAS

5.3.1. SIMULACION NUMERICA DIRECTA GLOBAL

Si en la seccion anterior se vio la influencia del flujo sobre las partıculas, en estaseccion se va a observar el efecto dinamico que producen las partıculas sobre el flujo.

135


Solamente se presentaran en esta parte resultados para el fluido con y sin partıculas, deforma que se puede observar la modulacion (desviacion del caso sin partıculas) de la tur-bulencia. Las simulaciones utilizadas en este estudio de la modulacion de la turbulenciadel fluido por la presencia de las partıculas, incorporan el termino (2.91) en la ecuacion deNavier-Stokes ya discretizada. Las partıculas utilizadas presentan un numero de Stokesde aproximadamente 4 por lo que se esta en la zona de transicion a partir de la cual, laspartıculas comienzan a incrementar la energıa cinetica turbulenta del flujo (lo contrarioocurre para numeros de Stokes bajos) [elghobashi,1994].

La figura 5.15 presenta los perfiles de la velocidad axial. Del lado izquierdo seobserva que las partıculas producen un incremento de la velocidad en el eje Uc. Como semantiene el caudal volumetrico, entonces el gradiente de la velocidad, el esfuerzo cortantey la velocidad de friccion en la pared se reducen levemente. La velocidad de friccion Uτ

pasa de tener un valor de 0.0682 sin partıculas a un valor de 0.0612 en el caso 3 y de0.0619 en el caso 4. La misma figura del lado derecho presenta los perfiles de velocidaden variables de pared y se observa que en la region de la ‘ley de la pared’ las graficastienen casi las mismas pendientes. Todas la curvas a la final se unen en una sola en laregion de la sub-capa viscosa. En resumen las partıculas aceleran el flujo en el nucleo ydesaceleran el flujo cerca de la pared.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

v z/U

m

r / R


Sin PartículasCaso 3Caso 4Mallado

100

101

102

0

5

10

15

20

25

v z+

y+


Sin PartículasCaso 3Caso 4LogMallado

Figura 5.15. Perfiles de velocidad axial del fluido.

El perfil de vorticidad media se presenta en la figura 5.16. Allı se observa que losperfiles de vorticidad de los casos 3 y 4 son bastante coincidentes, pero respecto al perfilsin partıculas existen marcadas diferencias dentro de la subcapa viscosa. Los perfiles devorticidad dentro de la subcapa viscosas empiezan a tener valores inferiores. La granacumulacion de partıculas dentro de esa region disminuye los gradientes de velocidad, locual tambien justifica la reduccion de la velocidad de friccion.

136


Los esfuerzos turbulentos tambien sufren una alteracion por la presencia de laspartıculas. Como se muestra en la figura 5.17, para los casos 3 y 4 son coincidentes.No obstante en casi toda la tuberıa los esfuerzos turbulentos son siempre superiores alos esfuerzos sin partıculas. Esto significa que existe en el fluido una difusion mas altade cantidad de movimiento del nucleo hacia la pared. No obstante, en la region de lasub-capa viscosa se invierte la tendencia, decreciendo mas rapidamente los esfuerzos conpartıculas, a medida que se acerca a la pared. Esto significa que la difusion de cantidadde movimiento mencionada antes se atenua en la sub-capa viscosa por la interaccion conla gran cantidad de partıculas allı presentes.

La energıa cinetica turbulenta en la figura 5.18 sigue una tendencia similar a losesfuerzos turbulentos. La energıa cinetica turbulenta del flujo con partıculas es mar-cadamente mayor en el nucleo del flujo y levemente menor en la sub-capa viscosa. Laspartıculas aportan energıa al flujo en el nucleo. Esta energıa se difunde hacia la pareden donde se entrega a las partıculas allı asentadas.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

5

10

15

ωθ

r / R

PERFIL VORTICIDAD

Sin PartículasCaso 3Caso 4

100

101

102

0

5

10

15

ωθ

y+

PERFIL VORTICIDAD (Unid. Pared)


Figura 5.16. Perfiles de vorticidad acimutal del fluido.

La disipacion turbulenta esta mostrada en la figura 5.19. En el nucleo del flujolas disipaciones turbulentas son todas practicamente iguales, pero en la sub-capa viscosala disipacion del flujo con partıculas se reduce apreciablemente. Al ser los gradientesmenores en esa zona, tambien lo son sus fluctuaciones y, por consiguiente, la disipacionturbulenta.

137


0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4x 10

-3

-τv

w

r / R



100

102

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-τ+ v

w

y+



Figura 5.17. Esfuerzos turbulentos mixtos.

En la figura 5.20 se pueden observar las intensidades de las fluctuaciones, del ladoizquierdo las axiales, y del lado derecho las transversales. En general, conservan losmismos ordenes de magnitud que cuando no habıa partıculas. Es decir, las transversalesson la mitad de las longitudinales. No obstante, las intensidades de las fluctuacioneshan sufrido un desplazamiento hacia el eje de la tuberıa, debido a la presencia de laspartıculas. El maximo de las intensidades se ubican ahora donde existe menor cantidadde partıculas.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

k

r / R



100

101

102

0

1

2

3

4

5

6

7

8

k+

y+



Figura 5.18. Energıa cinetica turbulenta del fluido.

138


0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.005

0.01

0.015

ε

r / R



100

102

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

ε+

y+



Figura 5.19. Disipacion turbulenta del fluido.

100

101

102

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

0.2

u rms

/Uc

y+



100

101

102

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.1

v rms

/Uc

y+



Figura 5.20. Intensidad de fluctuacion axial y transversal del fluido.

139


5.3.2. AJUSTE DEL MODELO ‘LES’ PARA LA CONCENTRACION

En esta seccion se presentan los resultados de las simulaciones con los modelos degrandes escalas (LES) con las modificaciones introducidas al modelo en la seccion 2.3.3.Se determinado solo simular el caso 3 por las coincidencia casi global que tiene con elcaso 4, como se observo en la seccion pasada. A manera de recordatorio se mencionaque el caso 3 estara conformado por 10112 partıculas de cobre con una densidad relativaal fluido (aire ρ = 1.2 kg/m3) de ρ3 = 7333 (8800 kg/m3), diametro relativo al radiode la tuberıa de dp3 = 0.00548 (τp3 = 34.2553 y /Skp3 ≈ 4 en el eje) y con una cargade partıculas de φp3 = 0.20 (Yp3 = 0.1667). Para la simulacion ‘LES’ del fluido se hautilizado el mismo mallado descrito en la seccion 1.2.3 y utilizado en las secciones 4.2 y4.3, conformado por la cuarta parte de las celdas en cada direccion de las simulaciones‘DNS’, de manera que esta formado por 17, 40 y 48 celdas en las direcciones radial,azimutal y axial, respectivamente.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

v z/U

m

r / R


AGARDDNSLES

100

101

102

0

5

10

15

20

25v z+

y+


AGARDDNSLES

Figura 5.21. Perfiles de velocidad axial del fluido.

En el modelo de grandes escalas (LES) modificado para considerar las partıculas,se ha tomado en primera instancia considerar el valor de Cp = 1.5 Co = 4.5 (Co = 3.0).Los resultados de esta simulacion se van a comparar con los resultados de las simulacionesnumericas directas de AGARD [1998] y de la seccion anterior (DNS).

La figura 5.21 muestra los perfiles de velocidad axial. El modelo ‘LES’ solo produceun leve aumento de la velocidad en el eje y no como la simulacion ‘DNS’, en la cual dichoaumento es mas apreciable. Se sigue conservando la pendiente del perfil de la ‘ley de lapared’ en la escala semi-logarıtmica.

140


0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

5

10

15

ωθ

r / R

PERFIL VORTICIDAD

AGARDDNSLES

100

101

102

0

5

10

15

ωθ

y+

PERFIL VORTICIDAD (Unid. Pared)

AGARDDNSLES

Figura 5.22. Perfiles de vorticidad acimutal del fluido.

En la figura 5.22 esta representada la vorticidad del flujo. De nuevo se nota queel modelo ‘LES’ trata de reporducir la tendencia de las simulaciones ‘DNS’, pero enuna medida muy leve. Esto hace pensar que tal vez el valor escogido para la constantede Kolmogorov Co sea muy pequeno y haya que aumentarlo, como queda sugerido alobservar la grafica de la derecha de la figura 5.8, donde los valores en el eje de la tuberıallegan a tener valores superiores a Co = 20.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4x 10

-3

-τv

w

r / R


AGARDDNSLES

100

101

102

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-τ+ v

w

y+


AGARDDNSLES

Figura 5.23. Esfuerzos turbulentos mixtos.

141


En la figura 5.23 el modelo ‘LES’ tiende a aumentar el esfuerzo cortante en el nucleodel flujo, como lo predice la simulacion ‘DNS’, pero lo hace de manera parcial porqueposee un maximo menor. En la sub-capa viscosas no se producen cambios notables.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

k

r / R


AGARDDNSLES

100

101

102

0

1

2

3

4

5

6

7

8

k+

y+


AGARDDNSLES

Figura 5.24. Energıa cinetica turbulenta del fluido.

100

101

102

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

0.2

u rms

/Uc

y+


AGARDDNSLES

100

101

102

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.1

v rms

/Uc

y+


AGARDDNSLES

Figura 5.25. Intensidad de fluctuacion axial y transversal del fluido.

La figura 5.24 contiene la energıa cinetica turbulenta del flujo. El modelo ‘LES’tiende a aumentar el maximo de la energıa, pero solo en una parte del dominio, y no

142


como lo predice la simulacion ‘DNS’ en todo el nucleo del flujo.La figura 5.25 muestra como se distribuye la energıa cinetica turbulenta entre las

intensidades de fluctuaciones axiales y transversales. El modelo ‘LES’ intenta reproducirel incremento de la intensidad de fluctuacion en la direccion axial, como lo hace lasimulacion ‘DNS’, pero en la direccion transversal queda por debajo de lo esperado.La fluctuacion transversal es la causante de que en la figura 5.24, la energıa cineticaturbulenta no siga la tendencia esperada y predicha con la simulacion numerica directa(DNS).

Todas las caracterısticas mostradas de los resultados del modelo de grandes escalas(LES), hacen pensar que debe existir un valor optimo de la constante de Kolmogorov Co

para el cual se obtengan las tendencias y valores predichos con la simulacion numericadirecta (DNS). El analisi de sesibilidad con respecto a dicho parametro se hara en futurasinvestigaciones.

143

CAPITULO 6

CONCLUSIONES

En este capıtulo final se resumiran las conclusiones que corresponden a cada partedel estudio realizado en la tesis. Estas conclusiones se han agrupado segun la tematicaindicada en los capıtulos 4 y 5, incluyendo ademas algunos referentes al procedimientonumerico del capıtulo 3 y a las investigaciones futura.

6.1. FLUJO SIN PARTICULAS

A continuacion se enumeran las conclusiones principales del capıtulo 4.

• Existen en el flujo simulado (tanto con ‘LES’, como con ‘DNS’) dentro de la tuberıados regiones principales concentricas: La region de la subcapa viscosa muy cercade la pared y la region del perfil logarıtmico en el nucleo del flujo.

• La simulacion numerica directa (DNS) reproduce muy aceptablemente las condi-ciones de flujo escogidas (IReD = 5600), comprobandose los resultados exitosa-mente con otras investigaciones y validando el programa informatico de maneracontundente.

• El modelo ‘LES’ pobremente reproduce la subcapa viscosa por la poca cantidad denodos en dicha region tan delgada (5% del radio). Ası, este modelo concentra suatencion en la simulacion del nucleo central del flujo, cuyas dimensiones y cantidadde nodos son mayores.

• Con el metodo ‘LES’, la condicion de contorno de no-deslizamiento en la paredinduce un deslizamiento del perfil de velocidades en la zona cercana a la pared,produciendo una disminucion numerica de la velocidad de friccion.

• Con el metodo ‘LES’, la condicion de contorno de deslizamiento en la pared, usandoel esfuerzo en el borde estimado por el perfil logarıtmico a traves de la velocidadde friccion, produce mejores resultados en el nucleo del flujo y en el gradiente depresion.

145


• Debido a que los campos de velocidades y presiones son filtrados numericamentepor el algoritmo del modelo de grandes escalas (LES), la asimetrıa y la kurtosissufren una atenuacion, pero mantienen su tendencia.

• Con el modelo ‘LES’, los espectros de los campos de velocidades y vorticidadestambien sufren un corte a partir de un cierto numero de onda, correspondientea la escala del mallado, debido a la poca resolucion (filtrado de sub-escala) queexperimentan los remolinos de pequena escala.

• Los modelos de grandes escalas (LES) requieren un bajo numero de nodos, lo quelos hace atractivos desde el punto de vista de economıa computacional (rapidez enla ejecucion y poca cantidad de almacenamiento). No obstante, existe la necesidadde recurrir a trucos numericos en las condiciones de contorno en la pared para quelos resultados sean aceptables.

• Se ha desarrollado con exito un modelo ‘LES’, con el cual se pueden simular flujosturbulentos en la cercanıas de paredes solidas lisas o rugosas.

• Con el modelo ‘LES’ para paredes rugosas se reprodujeron con una exactitudaceptable los resultados del diagrama de Moody.

• El modelo ‘LES’ para paredes rugosas permite, en su condicion de contorno parala derivada, cierto deslizamiento fluctuante en la velocidad, no obstante se verificaen promedio la condicion de no deslizamiento para la velocidad, mas no para laenergıa cinetica turbulenta.

• La rugosidad de la pared afecta al flujo, aumentando los niveles de la velocidad enel eje, la energıa turbulenta y la disipacion turbulenta. Cuando estas cantidadesse expresan en unidades de pared, entonces los perfiles parecen seguir una leyuniversal.

• Al comparar el modelo ‘LES’ para paredes rugosas con un modelo k − ε se obtu-vieron resultados que presentan las mismas tendencia con respecto a la rugosidad,pero las variables, aunque del mismo orden de magnitud, mostraron diferenciasapreciables.

6.2. MODELO LINEAL

A continuacion se enumeran las conclusiones mas importante de la seccion 5.1del capıtulo 5, para situaciones con numero de Stokes bajos (/Skp ≈ 0.015 → 1.5) yconcentraciones muy bajas.

• Despues de aproximadamente 150 recirculaciones de 320 partıculas (baja con-centracion), se obtuvieron las condiciones estadısticamente estacionarias para losvalores promedios y se satisfacieron las siguiente tres condiciones:

En promedio, la velocidad de la partıcula y la velocidad relativa son or-togonales, tanto para las componentes medias, como para las componentesfluctuantes, es decir, 〈vp.vr〉 = 〈v′

p.v′r〉 = 0.

146

CAPITULO 6 CONCLUSIONES

En promedio, el cuadrado de la velocidad relativa es igual al cuadrado desus fluctuaciones, es decir, 〈v2

r〉 = 〈v′2r 〉, o equivalentenmente, 〈vr〉 = 0.

Consecuentemente, 〈v′2〉 = 〈v′2r 〉 + 〈v′2

p 〉, lo que ha permitido formular unmodelo lineal para la diferencia de las energıas cineticas turbulentas delfluido y las partıculas.

• Un modelo lineal ha sido propuesto, que relaciona las energıas cineticas turbulentaspara el fluido, k, y las partıculas, kp, con la disipacion turbulenta ε. Se ha probadoeste modelo con diferentes situaciones de flujo turbulento con partıculas y bajasconcentraciones y se ha estabecido su validez.

• El modelo lineal que estima la disipacion introducida por las partıculas, εp, comoproporcional a la disipacion de la turbulencia en el fluido ha sido comprobadopara situaciones diferentes ( decaimiento de la turbulencia, tubulencia isotropa,flujo turbulento en canales, flujo turbulento en tuberıas) de las ya estudiadas enel pasado (Chorros turbulentos, capa de mezcla turbulenta), y se ha establecidosu universalidad para flujo con partıculas con bajo numero de Stokes y concentra-ciones bajas.

• Se ha encontrado que el coeficiente Cε3, que acompana en la ecuacion de ε altermino adicional que incluye el efecto de la disipacion de las partıculas en el flujo,en muchas situaciones es igual al coeficiente Cε2 del modelo de k − ε para el flujoturbulento sin partıculas.

• Los modelos antes descritos han sido utilizados para estimar, mediante dos proced-imientos diferentes, la constante de Kolmogorov Co para la funcion de estructuralagrangiana de la velocidad. Ha sido encontrado que su valor varıa con la posicionradial en el flujo turbulento dentro de una tuberıa (IReλ ≈ 205) entre los valoresde 5 y 25.

• Las mas altas concentraciones de las partıculas se encuentran cerca de la paredde la tuberıa. Existe un mınimo alrededor de r/R = 0.7. Esto se ha corrobo-rado con una expresion que predice la concentracion preferencial de las partıculassumergidas en un flujo turbulento.

• La principal contribucion a la atenuacion de la energıa cinetica turbulenta de laspartıculas es debida a la intensidad de fluctuacion transversal.

• Se ha encontrado que hasta un valor del numero de Stokes de /Skp = 1.5 el mo-delo lineal propuesto se adapta aceptablemente a los resultados experimentales ynumericos. En la medida que el numero de Stokes se hace mas bajo las prediccionesdel modelo lineal se hacen mejores.

6.3. EFECTO DEL FLUJO SOBRE LAS PARTICULAS

A continuacion se enumeran las conclusiones principales de la seccion 5.2 delcapıtulo 5. Solo se concluye sobre el efecto que tiene el flujo turbulento en la tuberıa

147


(IReD) en el comportamiento de partıculas pesadas (/Skp ≈ 4 en el eje) a concentracionesmedianas (φp = 20%, 40%). Las comparaciones de estos resultados se hacen respecto alos resultados precedentes del flujo turbulento con partıculas de bajo numero de Stokesy en bajas concentraciones.

• Conservando el caudal volumetrico (Um = 1 adimensional) del fluido, se observauna disminucion de las velocidades de las partıculas en el eje y un incremento delas velocidades de las partıculas en la sub-capa viscosa.

• La energıa cinetica turbulenta de las partıculas disminuye en el nucleo del flujo y seincrementa en la sub-capa viscosa debido al mecanismo de intercambio de energıade las partıculas al flujo (nucleo) y luego de del flujo a las partıculas (sub-capa).El cambio ocurre aproximadamente en r/R = 0.6.

• La disipacion viscosa de las partıculas disminuye apreciablemente y esta dismin-ucion es proporcional a la concentracion masica de partıculas.

• Existe una concentracion preferencial de las partıculas cerca de la pared de latuberıa. Concentraciones menores se tienen en el nucleo del flujo, con un mınimo(o ausencia de partıculas) en r/R = 0.7.

• La migracion de la partıculas a la pared obedece al mecanismo de intercambio deenergıa mencionado antes. El retorno de las partıculas al nucleo del flujo obedeceal mecanismo de difusion turbulenta. Ambos mecanismos se equilibran y el vaciadode las partıculas del nucleo del flujo nunca ocurre.

• Existe un incremento considerable de la intensidad de fluctuacion axial y unadisminucion aun mucho mas apreciable de la intensidad de fluctuacion transversal.Estas variaciones de las intensidades de fluctuaciones son las que producen lascaracterısticas de la energıa cinetica turbulenta de las partıculas descritas arriba.

• La concentracion masica de las partıculas tiene efecto solo sobre las disipacionesturbulentas de las partıculas εp y sobre las intensidades de fluctuaciones, y porconsiguiente sobre la energıa cinetica turbulenta de las partıculas kp.

6.4. MODULACION DE LA TURBULENCIA

A continuacion se enumeran las conclusiones principales de la seccion 5.3 delcapıtulo 5. Las comparaciones se hacen respecto al flujo sin partıculas (Yp = 0).

• Conservando el caudal volumetrico (Um = 1 adimensional) del fluido, se observauna incremento de la velocidad en el eje Uc y una disminucion de la velocidad defriccion Uτ . El perfil logarıtmico se desplaza hacia arriba, pero conserva aproxi-madamente su pendiente 1/κ.

• El perfil de la vorticidad del flujo permanece igual, excepto en la sub-capa viscosa,donde disminuye apreciablemente. Algo similar ocurre con la disipacion turbulentadel flujo.

148

CAPITULO 6 CONCLUSIONES

• Los esfuerzos turbulentos se incrementan en el nucleo del flujo y disminuyen en lasub-capa viscosa. Algo similar ocurre con la energıa cinetica turbulenta del flujo.

• Las graficas de la intensidades de fluctuacion se desplazan a la derecha en lasescalas semi-logarıtmica, pero mantienen practicamente sus valores maximos. Estoes lo mismo que se refleja en las graficas de las energıa cinetica turbulenta.

• Los cambios observados en el flujo turbulento se deben a los intercambios en-ergeticos entre el flujo y las partıculas, en ambas direcciones, y a la migracion delas mencionadas partıculas hacia regiones preferenciales en el flujo.

• El modelo ‘LES’ predice en cierta medida los resultados de las simulaciones ‘DNS’,pero se requiere encontrar un valor de Co para el modelo que optimice dichosresultados. No obstante, el modelo ‘LES’ si modula la turbulencia de algunamanera.

6.5. METODOS NUMERICOS

A continuacion se enumeran las conclusiones principales del uso integral de losmetodos numericos descritos en el capıtulo 3.

• Las ecuaciones de movimiento de partıculas forman un sistema de ecuaciones dife-renciales de primer grado, que se rigidiza, o se vuelven ‘stiff’, cuando se introducenlos choques entre ellas o de ellas contra la pared de la tuberıa.

• Debido a lo anterior, se ha hecho necesario el desarrollo especıfico de un metodoRunge-Kutta implıcito de alto orden (6to orden), que es mas estable y tiene erroresmenores, basado en la cuadratura de Lobatto. En el algoritmo numerico se haincluido el control de paso de avance del metodo, con el objetivo de garantizar unalimitacion en los errores y la estabilidad del sistema.

• Se ha realizado el analisis de estabilidad del metodo de paso fraccionado de tercerorden (Runge-Kutta), lo que ha permitido incrmentar el numero de CFL a un valorde 1.7, lo cual reduce substancialmente los tiempo de ejecucion de las simulaciones(casi a la mitad). La simulacion numerica directa y simultanea del flujo turbulento(IReD = 5600) y el movimiento de las partıculas (11000 partıculas), en ordenadorespersonales y en tiempos de ejecucion relativamente cortos, con metodos numericosde alto orden, ha sido un logro importante en el desarrollo de esta tesis.

• Las interpolaciones de los campos de velocidades y el calculo de las derivadasparciales han sido calculadas con un algoritmo eficiente, basado en los criterios desimetrıa y monotonıa. Es un desarrollo especıfico para esta tesis, el desarrollo deun algoritmo de interpolacion polinomica esapcial de alto grado (4to grado) y quesatisface los criterios anteriores.

149


6.6. INVESTIGACION FUTURA

El trabajo de investigacion en el futuro incluira:• Estudio del efecto de la gravedad, primeramente en flujo vertical en favor y en

contra y luego en tuberıas inclinadas con flujo subiendo o bajando.• Efecto de la pared rugosa en el flujo turbulento cargado con partıculas. En esto

sera necesario formular un modelo estadıstico de choque de partıculas con paredesrugosas.

• Realizacion del analisis de los espectros de velocidad de las partıculas y su relacioncon el espectro de velocidad del fluido.

• Completar el estudio incluyendo otras condiciones de flujo (numeros de Reynoldsmas altos) y partıculas con numero de Stokes y concentraciones mas altos y vari-ados.

• El estudio mas detallado de la concentracion preferencial y de los mecanismos quela controlan, y el desarrollo de un modelo sencillo para su prediccion.

• Implementacion de mejoras en el modelo de grandes escala (LES) para flujo tur-bulento cargado con partıculas.

150

APENDICE:

METODOS MATEMATICOS

A. TRANSFORMADA DE FOURIER

A.1. Fundamentos

La transformada de Fourier se define como la integral

F[ f ](κ) ≡√

2π f(κ) =∫ ∞

−∞f(x) eiκx dx (1)

Si la funcion f(x) es real, particularmente se tiene que f(−κ) = f(κ), y si la funcion es

imaginaria entonces particularmente se tiene que f(−κ) = −f(κ). Aun mas, si la funcionf(x) es par o impar, entonces la transformada de Fourier f(κ) tambien lo es, respecti-vamente. Combinando estas condiciones se puede decir que la transformada de Fourierf(x) no cambia la naturaleza real o imaginaria de la funcion f(x) si ambas son pares,pero si la cambia de real a imaginaria o de imaginaria areal si las funciones mencionadasson impares. Finalmente, todos estos resultados particulares permiten concluir de formageneral que

F[f(−x)](κ) = F[f(x)](−κ) = F[ f ](κ) ¯f(−x)(κ) = ˆf(−κ) = f(κ) (2)

lo que en palabras quiere decir, que la transformada de Fourier y la conjugacion complejason dos operadores permutables, si se invierte el sentido en el dominio (dos ultimosmiembros). Este dominio puede ser en la variable x o la variable κ, ya que es indistintosi se invierte en una de ellas o en la otra (primeros dos miembros). La siguiente tablarepresenta las diferentes correspondencias entre distintas simetrıas de la funcion f(x) ysu transformada de Fourier f(κ) en los dos dominios de la variable x y de la variable κ:

151


Tabla A.1. Correspondencias entre distintas simetrıas para la transformada de Fourier

Si se tiene... Entonces...

Funcion Tipo Funcion Tipo

f(x) Real f(−κ) = f(κ) Sim. / Conj.

f(x) Imag. f(−κ) = −f(κ) Antisim. / Conj.

f(x) = f(−x) Par f(−κ) = f(κ) Par

f(x) = −f(−x) Impar f(−κ) = −f(κ) Impar

f(x) = f(−x) Real / Par f(−κ) = f(κ) Real / Par

f(x) = −f(−x) Real / Impar f(−κ) = −f(κ) Imag. / Impar

f(x) = f(−x) Imag. / Par f(−κ) = f(x)(κ) Imag. / Par

f(x) = −f(−x) Imag. / Impar f(−κ) = −f(κ) Real / Impar

La version multidimensional de la expresion (2) es

f(−x)(κ) = ˆf(−κ) = f(κ) (3)

donde x, κ ∈ Rn y f(x), f (κ) son funciones vectoriales del tipo Rn −→ Cm ( f y ftambien pueden ser funciones tensoriales, ya que la conjugacion compleja es distributivarespecto al producto tensorial ⊗ y otros productos: ·, ×, etc. entre vectores ).

Otros autores [Ablowitz & Fokas, 1997] denotan la transformada de Fourier en laforma F y la definen como F (κ) ≡ F[f(−x)](κ) = F[ f ](−κ) =

√2π f(−κ), que no es

mas que un cambio de signo en el exponencial de la expresion (1) (y de la expresion (4)como se vera mas adelante). Esto es equivalente al cambio o inversion del sentido en eldominio de alguna de las dos variables x o κ, tal como se menciono en el parrafo anterior.Algunos autores cambian los papeles de f y F[ f ] en la expresion (1) (y la expresion (4)adelante), lo cual es equivalente a cambiar el signo en el exponencial, como se mencionoantes, y transferir el factor (2π)−1 de una expresion a la otra. Todas estas variantes nosllevan a percatarnos que, antes de analizar los resultados con la transformada de Fourier,se debe entender primero como ha sido esta definida.

No obstante se utilice F[ f ](κ), f(κ) o F (κ), los resultados son equivalentes (con-jugados) o iguales salvo por un factor de 2π o

√2π. Sin embargo, la transformada f

152

APENDICE METODOS MATEMATICOS

permite una forma simetrica de definir el funcional lineal · que calcula la transformadade Fourier, puesto que tiene la misma forma salvo el signo del exponencial, el cual espositivo en el funcional original y negativo en su inverso (por ello es que se utilizaraunicamente esta forma de la transformada para los casos multidimensionales).

Si todas las funciones f(x) : R −→ C pertenecen al espacio vectorial VV definidosobre el cuerpo de los numeros complejos C, entonces el conjunto IL de todos estosfuncionales · , F[ · ], etc., que tambien son lineales, forman un espacio vectorial VV∗ =IL(VV, C), que es el dual del primero definido sobre el cuerpo de los numeros complejosC. El conjunto de todas las funciones f(κ) : R −→ C tambien es un espacio vectorial, aveces erroneamente referido como el espacio dual de VV (ver la Seccion A.2 del ApendiceC). Todas estas implicaciones son facilmente extensibles a funciones multidimensionalesdel tipo f(x) : Rn −→ Cm pertenecientes al espacio vectorial VVm definido sobre el cuerpode los numeros complejos C.

La transformada inversa de Fourier es muy sismilar a (1) y se expresa como

f(x) =12π

∫ ∞

−∞F[ f ](κ) e−ixκ dκ =

1√2π

∫ ∞

−∞f(κ) e−ixκ dκ (4)

En el caso de la transformada inversa para F , la expresion es la misma que para F, salvo elsigno del exponencial. La existencia de la inversa de la transformada de Fourier de manerabiyectiva nos lleva a concluir que esta transformada es un isomorfismo endomorfico deltipo F : VV −→ VV o · : VV −→ VV .

Dentro de la fısica, si x mide el tiempo en segundo, entonces κ es la frecuenciaangular ω = 2 π f medida en radianes/segundo, siendo f la frecuencia medida en cic-los/segundo o Hertz. Por otro lado, si x mide distancias o posiciones en metro, entoncesκ es el numero de onda nλ = 2 π/λ, siendo λ la longitud de onda medida en metros.

Ademas de las propiedades antes mencionadas, las transformadas de Fourier F[ f ]y f tambien cumplen con las siguientes propiedades

F[F[ f ]

](x) = 2π f(−x) lim

κ→±∞F[ f ](κ) = 0 (5.a)

ˆf(x) = f(−x) lim

κ→±∞ f(κ) = 0 (5.b)

donde los lımites se satisface si la integral∫∞−∞ |f(x)| dx converge (Lema de Riemann-

Lebesgue). Esta ultima condicion nunca se cumple si la funcion f(x) es periodica, encuyo caso los lımites son infinitos. En la practica lo que se hace es que se redefine lafuncion para que sea la misma en un perıodo y fuera de este sea nula el resto del dominio.

Cuando se realizan los calculos para funciones complejas definidas sobre un espa-cios n-dimensional R

n, entonces la transformada de Fourier se expresa como

f(κ) =1

(√

2π )n

∫V∞

f(x) ei κ.x dVx (6)

153


y la transformada inversa como

f(x) =1

(√

2π )n

∫V∞

f(κ) e−i x.κ dVκ (7)

donde el volumen V∞ = x | −∞ < xj < ∞ ∀j ≤ n ≡ Rn es el espacio infinito n-dimensional. Las funciones f y f pueden ser funciones escalares, vectoriales, o tensoriales,reales o complejas, no necesariamente de una base n-dimensional. En todo caso x y κ

deben ambas estar definidas en Rn. Los espacios a los que pertenecen f y f deben ser deigual dimension ambos y deben estar definidos sobre el cuerpo de los numeros complejos,por ejemplo, el espacio Cm.

A.2. Ecuacion de Parseval y EspectroLas funciones que poseen transformada de Fourier son funciones integrables, por

lo que forman un espacio de Lebesgue Lp(R), en este caso definido por la existencia dela integral

‖f‖Lp(R) =(∫

R

|f(x)|p dx

)1/p

< ∞ (8)

En realidad, como se vera durante esta seccion, las funciones cuyas transformadas deFourier existen pertenecen a L1(R) ∩ L2(R) ( o sea, las funciones son absolutamenteintegrables p = 1 y cuadraticamente integrables p = 2), por lo que se satisface lasexpresiones

|F[ f ](κ) | ≤ ‖ f ‖L1 ‖F[ f ]‖L2 = ‖ f ‖L2 (9)

La transformada de Fourier satisface la ecuacion de Parseval

〈 f g 〉 =∫ ∞

−∞f(x) g(x) dx =

12π

∫ ∞

−∞F[ f ](κ) F[ g ](κ) dκ =

∫ ∞

−∞f(κ) g(κ) dκ (10)

que a continuacion se ha particularizado para el caso f = g

〈 |f |2 〉 =∫ ∞

−∞|f(x)|2 dx =

12π

∫ ∞

−∞| F[ f ](κ) | 2 dκ =

∫ ∞

−∞|f(κ)|2 dκ (11)

Observese que con la definicion de las transformadas f y g, la ecuacion de Parseval (10)queda sin ser multiplicada por un coeficiente en el miembro de la derecha, lo que haocurrido cuando se expresa con F. En este ultimo caso, cuando se utiliza F, a veces seacostumbra a expresar la integral del miembro central en funcion de la frecuencia f paraevitar el mencionado coeficiente. El operador puede interpretarse como un promedioen todo el dominio o como la esperanza de una variable aleatoria centrada, como estadefinida en la seccion B.3.

154


Cuando f es una senal, a las integrales en (11) se le denominan potencia totalde dicha senal y al integrando en el dominio de κ ( o en el dominio de frecuenciasf = κ/(2π), si se trabaja con F ) se le denomina densidad del espectro de potencia,la cual representa la cantidad de potencia contenida en el intervalo κ y κ + dκ ( o enel intervalo f y f + df, si se trabaja con F ). Usualmente, no se acostumbra distinguirentre valores positivos y negativos para κ ( o para f ), por lo que se redefine la densidadespectral de potencia como E(κ) = |f(κ)|2 + |f(−κ)|2, en cuyo caso la potencia totalse calcula como 〈 |f |2 〉 =

∫∞0

E(κ) dκ = 2π∫∞0

E(f) df. (Cuando se trabaja con F enel dominio de frecuencia f, la densidad del espectro de potencia se puede definir como2π E(κ) = E(κ)+E(−κ), donde E(κ) = |F[ f ](κ) | 2, a veces tambien es llamado densidaddel espectro de potencia o simplemente espectro).

En el caso que la senal f sea puramente real, la densidad de potencia espectral secalcula como E(κ) = 2 |f(κ)|2 (o como 2π E(κ) = 2 E(κ) en el dominio de frecuencias).Al grafico de E(κ) vs. κ, usualmente se le denomina espectro de potencia, y el areabajo la curva representa la potencia total. Este grafico, cuando se representa en escalasemilogarıtmica, ocasionalmente se pre-multiplica por κ. En otras palabras, se representaκ E(κ) vs. ln κ, de manera que el area bajo la curva

∫∞0 κ E(κ) d(ln κ) siga representando

a la potencia total. Lo mismo ocurre cuando se representa 2π E(f) vs. f , siendo el areabajo la curva igual de nuevo a la misma potencia total. A veces se suele normalizar ladensidad del espectro de la forma E(κ)/〈 |f |2 〉, de manera que el area bajo la curva deeste espectro normalizado ahora es unitaria.

Es importante mencionar que no existe uniformidad de como los autores represen-tan las graficas de los espectros, ya que a veces utilizan la transformada F en lugar dela transformada f , o utilizan el dominio de frecuencia f en lugar del dominio en κ, o lanormalizacion no es la del area unitaria, o a veces olvidan incluir la parte correspondientea los valores negativos de κ ( o de f ), de manera que en el caso real no aparece el factorde 2 y las area son la mitad de lo que deberıa ser. Es frecuente ver espectros de potenciadonde se ha graficado E(κ) en lugar de E(κ) y el area resulta multiplicada por un factorde π. Algo similar ocurre cuando se trabaja con F y el eje de las abscisas se escoge enel dominio de κ y no de f como deberıa ser, quedando las area multiplicadas por unfactor de 2π. Ası, que hay que tener cuidado cuando se lean los valores de las graficasde espectros, o cuando se comparen espectros reportados por autores diferentes.

Cuando se tienen dos senales f y g (complejas o reales) se puede definir unapseudo-potencia total mixta de dichas senales como

〈 f g 〉 =∫ ∞

−∞f(x) g(x) dx =

12π

∫ ∞

−∞F[ f ](κ) F[ g ](κ) dκ =

∫ ∞

−∞f(κ) ˆg(κ) dκ (12)

lo que es equivalente a haber subtituido g por g en toda la expresion (10). La aplicacionde la regla (2) y si, como antes, nos limitamos a analizar los valores de κ positivos, lapseudo-potencial total mixta (12) se puede re-calcular tambien como

〈 f g 〉 =∫ ∞

−∞f(x) g(x) dx =

12π

∫ ∞

0

2 Esfg(κ) dκ =

∫ ∞

0

Efg(κ) dκ (13.a)

155


donde

Esfg(κ) = 1

2 [ Efg(κ) + Egf (κ) ]

Efg(κ) = F[ f ](κ) F[ g ](κ) Egf(κ) = Efg(−κ)Efg(κ) = f(κ) ˆg(κ) +ˆf(κ) g(κ)

(13.b)

En las expresiones (13.b), las substituciones F[ g ](κ) = F[ g ](−κ) y ˆg(κ) = g(−κ) sonigualmente validas (lo mismo para f), si se observa la regla (2), aunque se han colocadode la forma mostrada para evaluarlas siempre en valores de κ positivos. Las densidades2 Es

fg(κ) = 2π Efg(κ) del espectro de la pseudo-potencia mixta son simetricas con respectoa los ındices f y g. Sin embargo, la densidad espectral Efg(κ) no es simetrica respecto alos mencionados ındices. Estos resultados se reducen a los obtenidos antes con el espectrode potencia si se escoge g = f , siendo Eff = E(κ) , Eff = E(−κ) y Efg(κ) = E(κ) .

La ecuacion de Parseval para el caso multidimensional se puede expresar como

〈 f ⊗ g 〉 =∫V∞

f(x) ⊗ g(x) dVx =∫V∞

f (κ) ⊗ g(κ) dVκ (14)

donde la operacion entre las funciones es un producto tensorial, que puede luego teneruna o varias contracciones, si los espacios involucrados son de vectores o tensores. Lasfunciones f y g pueden ser funciones con valores en Cm y Cm′

, respectivamente, pero entodo caso x y κ deben ambas estar definidas en Rn.

Un equivalente de las expresiones (13) para el caso multidimensional es

〈 f ⊗ g 〉 =∫V∞

f(x)⊗ g(x) dVx =∫V∞

Efg(κ) dVκ Efg(κ) = f (κ)⊗ g(−κ) (15)

donde Efg(κ) es un tensor de segundo orden que representa la densidad espectral por

unidad de volumen en el espacio de κ. Cuando en (15) g ∈ Rm′, entonces se puede

hacer la siguiente substitucion g(−κ) = g(κ).

A.3. Producto de Convolucion

El producto de convolucion f ∗ g(x) de dos funciones f(x) y g(x) se define como

f ∗ g (x) =∫ ∞

−∞f(x − y) g(y) dy =

∫ ∞

−∞f(y) g(x − y) dy (16)

Este producto tiene muchas de las propiedades del producto ordinario:

• Es bilinear con respecto a f y g

( a f1+b f2 )∗g = a f1∗g+b f2∗g f ∗( a g1+b g2 ) = a f ∗g1+b f ∗g2 (17.a)

156


• Es conmutativof ∗ g = g ∗ f (17.b)

• Es asociativof ∗ (g ∗ h) = (f ∗ g) ∗ h (17.c)

La transformada de Fourier F tambien satisface que es un isomorfismo con respectoal producto de convolucion

F [ f ∗ g ](κ) = F[ f ](κ) F[ g ](κ) f ∗ g(κ) =√

2π f(κ) g(κ) (18)

cuando las funciones f(x) y g(x) son funciones absolutamente integrables y cuadradointegrables (en el sentido de (8) con p = 1 y p = 2, respectivamente).

La definicion y propiedades del producto de convolucion se pueden extrapolarpara espacios euclıdeos Rn en donde esten definidas funciones inmersas en Cm (condimensiones iguales o menores a m) en la forma

f ∗ g (x) =∫V∞

f(x − y) ⊗ g(y) dVy f ∗ g (κ) = (√

2π)n f(κ) ⊗ g(κ) (19)

donde el producto dentro de la integral de convolucion entre las funciones y afuera entrelas transformadas son productos tensoriales los cuales se pueden contraer de cualquierforma.

A.4. Correlacion

La correlacion Γ[f, g](x) de dos funciones f(x) y g(x) se define como un funcionalde la forma

Γ[f, g] (x) =∫ ∞

−∞f(x + y) g(y) dy =

∫ ∞

−∞g(y − x) f(y) dy = Γ[g, f ] (−x) (20)

y se tiene que la transformada de Fourier de la correlacion satisface que

F[

Γ[f, g]](κ) = F [ f ](κ) F [ g ](−κ) = Efg(κ)

F[

Γ[f, g]](κ) + F

[Γ[g, f ]

](κ) = 2 Es

fg = 2πEfg

Γ[f, g](κ) =√

2π f(κ ) g(−κ )Γ[f, g](κ) + Γ[g, f ](κ) =√

2π Efg(21)

donde, por la propiedad (2), se tiene que F[

Γ[f, g]](κ) = F

[Γ[g, f ]

](−κ) yΓ[f, g](κ) = Γ[g, f ](−κ) . La expresion (21) puede interpretarse como la composicion

de dos funcionales F Γ[f, g] . Dicha composicion evidentemente no es conmutativa, nidistributiva a las funciones. En el caso particular de que la funcion g(x) sea simetrica,la correlacion y el producto de convolucion coinciden.

157


Cuando (21) se particulariza para el caso de funciones reales, se obtiene la formulade Wiener-Khinchin

F[

Γ[f, g]](κ) = F [ f ](κ) F [ g ](κ) = Efg(κ)

F[

Γ[f, g]](κ) + F

[Γ[g, f ]

](κ) = 2 Es

fg = 2πEfg

Γ[f, g](κ) =√

2π f(κ) g(κ)Γ[f, g](κ) + Γ[g, f ](κ) =√

2π Efg(22)

Cuando la autocorrelacion se normaliza dividiendola por Γ[f, g](0) = 〈 f g 〉 , siendo suvalor maximo la unidad, entonces el area obtenida con la integral del espectro normal-izado Efg(κ)/〈 f g 〉 vs. κ tambien queda normalizada a la unidad como lo sugiere laexpresion de la pseudo-potencia mixta total (13.a). Hacer satisfacer esta igualdad, mul-tiplicando por un factor la integral de la densidad del espectro de la pseudo-potencia, estambien una forma de normalizar la densidad del espectro, cuando se trabaja con otrastransformaciones de Fourier de distintos factores y dominios o cuando se trabaja en espa-cios multidimensionales y se hace dificultoso elegir una normalizacion en particular. Eneste ultimo caso, la igualdad (13.a) se hace satisfacer para cada uno de los elementos deltensor correspondiente, el cual esta compuesto del producto de dos funciones no necesari-amente iguales. Obviamente, esto no normalizara todo el tensor de manera uniforme ala unidad como la normalizacion sugerida al principio de este parrafo, pero es la practicacorriente.

Para el caso especial f = g (funciones reales) la formula de Wienwe-Khinchin sereduce a

F[

Γ[f, f ]](κ) = | F[ f ](κ) | 2 = E(κ) = π E(κ)Γ[f, f ](κ) =

√2π |f(κ)|2 =

√2π E(κ)/2

(23)

en donde Γ[f, f ](x) = Γ[f, f ](−x) (simetrica) se acostumbra a denominar la autocor-relacion, por ser las dos funciones involucradas iguales. Cuando la autocorrelacion senormaliza dividiendola entre Γ[f, f ](0) = 〈 f2〉 , siendo su valor maximo la unidad,entonces el area obtenida con la integral del espectro normalizado E(κ)/〈 f2〉 vs. κtambien queda normalizada a la unidad (esto es cierto solo para el caso f real donde sesatisface 〈 |f |2 〉 = 〈 f2〉 y la normalizacion usada para la correlacion es equivalente a lanormalizacion sugerida por la expresion (11)).

La definicion de la correlacion y su transformada de Fourier se pueden extenderpara funciones complejas inmersas en Cm definidas sobre espacios euclıdeos Rn en laforma

Γ[ f ,g](x) =∫V∞

f(x+y)⊗ g(y) dVy =∫V∞

f(y)⊗ g(y−x) dVy = Γ[g, f ]t(−x) (24.a)

Γ[f ,g](κ) = Γ[g, f ]t(−κ) = (√

2π)n f(κ ) ⊗ g(−κ ) = (√

2π)n Efg(κ) (24.b)

donde el producto dentro de las integrales de correlacion, entre las funciones y abajoentre las transformadas, de nuevo son productos tensoriales que se pueden contraer de

158


cualquier manera. La transposicion al final de (24.a) es necesaria, puesto que el productotensorial no es conmutativo.

La forma general de la formula de Wiener-Khinchin para funciones f y G realeses Γ[f ,g](κ) = (

√2π)n f(κ) ⊗ g(κ) = (

√2π)n Efg(κ) (25)

Queda entendido siempre que x y κ son vectores en Rn y f y G son funciones inmersas

en Cm. Cuando se esta evaluando la integral de la pseudo-potencia mixta en este caso, seobserva que Efg(κ) = Efg(−κ), por consiguiente, lo que en un semi-espacio se le suma enla parte imaginaria, en el otro semi-espacio se le resta, cancelando por completo lo quese refiere a la parte imaginaria de la pseudo-potencia total mixta. Por ello es costumbrerealizar los calculos en un solo semi-espacio y trabajar solamente con la parte real de ladensidad espectral Efg(κ). La expresion (25) multidimensional para la autocorrelacion(o sea con G = f) resulta en

Γ[f , f ](κ) = (√

2π)n f(κ) ⊗ f(κ) = (√

2π)n E (26)

donde E es un tensor de segundo orden con componentes reales en la diagonal principaldenominados espectros principales y componentes mixtos complejos cuyas partes reales(en valor absoluto) son denominadas co-espectros (los componentes mixtos son simetricosen el sentido de los dos primeros miembros de (24.b), de forma que para G = f se tengaen componentes que Eij(κ) = Eji(−κ), o sea, simetrıa respecto al origen de componentestranspuestos. Precaucion: esto ultimo no ocurre cuando G = f).

A.5. EscalasLa normalizacion sugerida para la autocorrelacion tambien permite encontrar una

escala integral L definida como

L =1

〈 f2〉∫ ∞

0

Γ[f, f ](x) dx 〈 f2〉 = Γ[f, f ](0) (27)

la cual puede asumirse finita cuando limx→∞ Γ[f, f ](x) = 0, Esta escala se interpretacomo el area de la autocorrelacion normalizada en el dominio semi-infinito (equivalenteal area de un rectangulo de lados 1 × L).

Cuando la autocorrelacion decrece monotonamente cerca del origen, tambien sepuede encontrar una micro-escala λ definida mediante la curvatura de la autocorrelacionnormalizada en el origen en la forma

−2 〈 f2〉/λ2 = [ (d2/dx2) Γ[f, f ](x) ]x=0 (28)

donde el valor de λ puede interpretarse como la interseccion con el eje de las abscisas dela parabola tangente y con igual curvatura a la autocorrelacion normalizada en el origen.Esto es equivalente a decir que λ2/2 es el valor absoluto del radio de curvatura, tanto dela mencionada parabola como de la autocorrelacion, en el origen.

159


A.6. Transformada del Coseno

Cuando la funcion a transformar es par se acostumbra a expresar su transformadade Fourier, la cual es tambien par, de la siguiente manera denominada transformada delcoseno

Fc[ f ](κ) =12

F[ f ](κ) =√

π/2 fc(κ) =∫ ∞

0

f(x) cos κx dx (29)

y su inversa como

f(x) =1

π/2

∫ ∞

0

Fc[ f ](κ) cos xκ dκ =1√π/2

∫ ∞

0

fc(κ) cos xκ dκ (30)

Esta transformacion satisface que Fc

[Fc[ f ]

](x) = (π/2) f(x) y que ˆ

fc(x) = f(x). Latransformada del coseno de funciones pares transforman funciones reales en funcionesreales y funciones imaginarias en funciones imaginarias, de manera que f(κ) = fc(κ).

Para funciones definidas en un espacio n-dimensional Rn, la transformada delcoseno y su inversa se calculan como

fc(κ) =1

(√

π/2 )n

∫V+

∞f(x) cos κ.x dVx f(x) =

1(√

π/2 )n

∫V+

∞fc(κ) cos x.κ dVκ

(31)donde el volumen V+

∞ = x | 0 ≤ xj < ∞ ∀j ≤ n es el espacio semi-infinito n-dimensional.

A.7. Transformada del Seno

Cuando la funcion a transformar es impar se acostumbra a expresar su transfor-mada de Fourier, la cual es tambien impar, de la siguiente manera denominada transfor-mada del seno

Fs[ f ](κ) =12i

F[ f ](κ) =√

π/2 fs(κ) =∫ ∞

0

f(x) sen κx dx (32)

y su inversa como

f(x) =1

π/2

∫ ∞

0

Fs[ f ](κ) sen xκ dκ =1√π/2

∫ ∞

0

fs(κ) sen xκ dκ (33)

Esta transformacion satisface que Fs

[Fs[ f ]

](x) = (π/2) f(x) y que ˆ

fs(x) = f(x). Latransformada del seno de funciones impares transforman funciones reales en funcionesimaginarias y funciones imaginarias en funciones reales, de manera que f(κ) = i fs(κ).

160


Para funciones definidas en un espacio n-dimensional Rn, la transformada del senoy su inversa se calculan como

fs(κ) =1

(√

π/2 )n

∫V+

∞f(x) sen κ.x dVx f(x) =

1(√

π/2 )n

∫V+

∞fs(κ) sen x.κ dVκ

(34)

Las transformadas del coseno y del seno de funciones pares e impares, respectiva-mente, tambien satisfacen la ecuacion de parseval y las propiedades de los productos deconvolucion y de correlacion, salvo por la constante

√2π que debe cambiarse a

√π/2 (lo

mismo aplica para los cuadrados de dichas constantes).

A.8. Filtros

El proceso de filtrado de una funcion f(x) : Rn −→ R

m se realiza a traves dela convolucion de dicha funcion con una funcion escalar denominada filtro y denotada/G

∆(x) con x ∈ Rn, donde ∆ es el ancho del filtro. Un ejemplo de un filtro puede ser la

funcion de densidad gaussiana ℘σ(x) definida por B.(19), donde el vector ancho del filtro∆ se relaciona con el vector de la desviacion tıpica σ. La siguiente tabla muestra otrosejemplos de filtros, pero unidimensionales:

Tabla A.2. Funciones de filtros y de transferencia.

FUNCIONES

NOMBRE FILTRO TRANSFERENCIA

General /G∆(x) /G

∆(κ)=

1(√

2π )n

∫V∞

/G∆(x) ei κ.x dVx

Unidim. /G∆(x) F [ /G∆ ](κ)=

∫ ∞

−∞/G∆(x) eiκx dx

Caja /G∆(x)= 1

∆ IH(∆/2 − |x| ) F [ /G∆ ](κ)=sen (κ∆/2)

κ∆/2

Gauss. /G∆(x)=

(6

π∆2

) 12

exp

(−6 x2

∆2

)F [ /G∆ ](κ)=exp

(−κ2∆2

24

)

Espectral /G∆(x)=sen (π x/∆)

π xF [ /G∆ ](κ)=IH(κc − |κ|) κc =π/∆

Cauchy /G∆(x)=

a

π ∆ [ (x/∆)2 + a2 ] F [ /G∆ ](κ)=exp(−a ∆ |κ| ) a=π

24

161


Un valor sugerido para el filtro gaussiano es tomar el ancho total efectivo ∆j delfiltro como 6σj en cada direccion j. Este valor se justifica si observamos que en el casounidimensional ℘(±3 σ) = 0.004432 y P(3 σ)−P(−3 σ) = 0.9973002, con P =

∫℘(x) dx.

Otros prefieren trabajar con un 1% de error y utilizan un ancho total efectivo del filtrode aproximadamente 5.4 σ, para el cual ℘(±2.7 σ) = 0.01042 y P(2.7 σ) − P(−2.7 σ) =0.993066.

Otro criterio para escoger el ancho ∆ del filtro gaussiano en funcion del parametroσ (caso unidimensional o en cada direccion multidimensional), consiste en hacer coincidiralgunos de los momentos

∫∞−∞ xm /G

∆(x) dx, de orden m par (los momentos impares

siempre son nulos), del filtro gaussiano de parametro σ, con el mismo momento del filtrode caja de ancho ∆, ambos centrados en el origen. El filtrado de caja (centrado en elorigen) de ancho total efectivo ∆ de una funcion es simplemente el promedio de dichafuncion en el intervalo −∆/2 ≤ x ≤ ∆/2. En el caso m = 2 entonces ∆ = 2

√3σ, o

equivalentemente, σ2 = ∆2/12 (se puede observar que el miembro de izquierda de estaexpresion es la varianza para una densidad de probabilidades gaussiana y el miembro dela derecha es el momento de inercia de area del rectangulo de base ∆ y altura 1, conrespecto al eje y − y en el origen, dividido luego entre ∆). En todo caso, σ siempre es ladistancia desde el origen hasta el punto de inflexion de la curva y = ℘σ(x) de la campanade Gauss en el plano cartesiano, donde

℘σ(x) =1√2π σ

exp(−x2

2 σ2

)(35)

Una funcion f(x) tiene su valor filtrado f(x) dado por

f(x) = f ∗ /G∆

(x) =∫V∞(x)

f(r) /G∆(x − r) dV(r) =

∫V∞(x)

f(x − r) /G∆(r) dV(r) (36)

donde V∞(x) = B(x, ∞), o sea, la bola abierta con centro en x y radio infinito, y fuerade sus dominios las funciones f(x) y /G

∆(x) se suponen nulas. En efecto, se tiene que

B(x + y, ∞) = B(x, ∞), ∀y.Ahora se puede aplicar la propiedad (19.b) de la convolucion para obtener la sigu-

iente identidadˆf(κ) = f ∗ /G

∆(κ) = (

√2π)n f(κ) /G

∆(κ) (37)

Como las funciones son todas reales, es costumbre observar solamente los valores positivosde las componentes de κ. El rango de valores de κ donde la transformada de Fourier

del filtro, /G∆(κ), denominada funcion de transferencia, obtiene valores significativos, se

denomina ancho de banda del filtro. La tabla anterior tambien muestra las funciones detransferencias de los diferentes filtros (caso unidimensional), pero usando la transformadade Fourier F[ /G∆ ](κ), como tradicionalmente se hace para no arrastrar el factor

√2π.

162


El equivalente de (37) para el caso unidimensional se obtiene a partir de lapropiedad del producto de convolucion (18.a), resultando

F [ f ∗ /G∆ ](κ) = F[ f ](κ) F[ /G∆ ](κ) (38)

donde f(x) puede ser una funcion de R en Rm.Se habla de un filtro pasa-bajo cuando el ancho de banda esta ubicado en los

valores bajos de κ. Por el contrario, se habla de un filtro pasa-bajo cuando el anchode banda esta ubicado en los valores altos de κ. En varias dimensiones se pueden tenercombinaciones pasa-bajo / pasa-altos en un mismo filtro para las distintas componentesde κ. El ancho de banda de un filtro pasa-bajo es aproximadamente el inverso del anchodel filtro (En el caso especial del filtro gaussiano Ancho de Banda × Ancho del Filtro =18).

A.9. Transformada Rapida de FourierLa transformada rapida de Fourier es la forma numerica de calcular la trasformada

de Fourier de funciones dadas de forma discreta. Supongase que se tiene un numero finitoN de muestras consecutivas de una funcion discreta ordenados de tal forma que

xj = j ∆x ∆x = L/N fj = f(xj) j = 0, 1, 2, . . . , N − 1 (39)

donde L es el tamano del dominio y ∆x es el intervalo uniforme que separa una muestrade la siguiente. Supongamos por conveniencia que N es siempre un numero par. Cuandox representa el tiempo, entonces el inverso de ∆x se denomina tasa de muestreo. Conestas muestras de la funcion f se puede obtener la transformada de Fourier de formanumerica haciendo

F[ f ](κ) =∫ ∞

−∞f(x) eiκx dx ≈

N−1∑j=0

f(xj) eiκxj ∆x = ∆x

N−1∑j=0

fj eiκxj (40)

Como se parte de N muestras, es logico persar que esta transformada de Fourier se puedeevaluar en N valores consecutivos de κ, distribuidos de manera tambien uniforme como

κn = n ∆κ =2 π n

N ∆x=

2 π n

L= ∆κ =

2 π

N ∆x=

2 π

Ln = −N

2, . . . , 0, . . . ,

N

2(41)

donde ∆κ es el tamano del intervalo en el dominio de κ. Dentro de la fısica, si xj mideinstantes de tiempo, entonces fn = n/L mide diferentes frecuencias. Por otro lado, si xj

mide posiciones en el espacio, entonces λn = L/n mide diferentes longitudes de onda.Los valores extremos de κ son

±κc = ± π

∆xn = ±N

2(42)

163


y su valor absoluto κc se denomina numero de onda crıtico de Nyquist, ya que coincidetambien con el valor obtenido en el caso extremo de tener solamente dos muestras (N = 2,n = ±1). Estas serıan, por ejemplo, las muestras de la cresta y el valle en una senalsinusoidal. La forma como se han distribuido los valores de κn en (41) es el apropiado, yaque ocurre que una mayor cantidad de informacion fuera del rango −κc ≤ κ ≤ κc produceque la densidad espectral de potencia que cae afuera del mencionado rango introduzcade forma espurea (falsa) informacion dentro de dicho rango. Este fenomeno es lo que sedenomina en ingles aliasing. Cualquier componente fuera del rango establecido en κ esfalsamente trasladado (aliased) dentro de el. Este efecto puede ser eliminado solamentefiltrando la funcion previamente con un filtro pasa-bajo, cuyo ancho de banda coincidacon π/∆x en el dominio de κ o con (2 ∆x)−1 en el dominio de frecuencias f, resultandouna funcion mas suavizada. El ancho del filtro serıa aproximadamente el inverso del anchode banda, dependiendo del filtro utilizado (Para el caso especial de un filtro gaussianoAncho de Banda × Ancho de Filtro = 18).

Las transformadas de Fourier evaluadas en los puntos mencionados de acuerdo con(40) son

F[ f ](κn) ≈ ∆x

N−1∑j=0

fj ei κnxj = ∆xFn = Fn ≡√

2π fn (43)

donde cada uno de los valores

Fn =N−1∑j=0

fj ei κnxj (44)

es lo que se denomina la transformada rapida de Fourier en los puntos κn. La formulade la transformada inversa para los datos discretos que exactamente recupera los valoresde fj a partir de los valores de Fn es

fj =1N

N/2∑n=−N/2

Fn e−i xjκn (45)

Esta expresion se verifica rapidamente si se introduce (44) en (45) (o en (45′) como severa mas adelante).

Hasta ahora se ha tomado que el ındice n varıa desde −N/2 hasta N/2. Sinembargo, se puede ver facilmente que (43) es periodico en n, con perıodo N . Por lo tanto,F−n = FN−n con n = 1, 2, . . . , N/2,. . . . Con esta conversion en mente se puede dejar quen en Fn varıe de 0 hasta N−1 (un perıodo completo). Entonces, se hace que tanto j comon varıen exactamente sobre el mismo rango. Cuando esta convencion se sigue, entoncesse tiene que los valores positivos de κ en el rango 0 ≤ κ < κc corresponden con los valoresde n en el rango n = 0, . . . , N/2− 1, mientras que los valores negativos de κ en el rango−κc < κ < 0 corresponden con los valores de n en el rango n = N/2 + 1, . . . , N − 1.Particularmente, el valor de n = N/2 corresponde a una combinacion lineal (no un

164


promedio) de las transformadas en los valores para κ = ±κc, debido al aliasing ocurridoen el valor crıtico de Nyquist. En la tabla de abajo se puede observar la correspondenciaantes mencionada. Desde el ındice n = N (que corresponde de nuevo a κN = 0, es decira n = 0), los valores de los numeros de onda y los valores de las transformadas discretasse vuelven a repetir de manera periodica. La periodicidad tambien se existe hacia abajocon los ındices negativos (n < 0) desde n = −1, que corresponde al primer valor negativode κn (n = N − 1) con menor valor absoluto.

De acuerdo a la convencion antes explicada la expresion (7) se puede cambiar a

fj =1N

N−1∑n=0

Fn e−i xjκn (45′)

Teniendo en cuenta (41) y (43), la expresion anterior se puede colocar como

fj =1L

N−1∑n=0

Fn e−i xjκn =∆κ

2π

N−1∑n=0

Fn e−i xjκn ≈ 12π

∫ ∞

−∞F[ f ](κ) e−ixjκ dκ (46)

lo cual comprueba que Fn = ∆xFn es una transformada de Fourier evaluada discreta-mente, como se sugirio en (43).

Tabla. Correspondencia entre el numero de onda κn y el ındice n.

n 0 1 · · · N/2 − 1 N/2 N/2 + 1 · · · N − 1

κn 0 + ±κc −

Es importante hacer notar que (44) y (45′) se diferencian solamente en: (i) elcambio de signo en el exponencial y (ii) la division del resultado por N . Esto significaque las rutinas para el calculo de estas transformadas y su inversa pueden ser, salvopequenas modificaciones, la misma.

La forma discreta de la ecuacion de Parseval es

N−1∑j=0

|fj |2 =1N

N−1∑n=0

|Fn|2 (47)

lo que nos da que la expresion discreta para la potencia espectral total es

∆x

N−1∑j=0

|fj |2 =∆x

N

N−1∑n=0

|Fn|2 =∆κ

2π

N−1∑n=0

|Fn|2 = ∆κ

N−1∑n=0

|fn|2 (48)

165


expresada en el ultimo miembro en funcion de la transformada discreta de Fourier fn =Fn/

√2π = ∆xFn/

√2π, siendo la densidad espectral de potencia para el caso discreto

expresada como En = |fn|2. El espectro en este caso es la grafica discreta de puntosEn vs. κn (transponiendo los puntos para n > N/2 como indica la tabla). Si no sedesea distinguir la densidad espectral para valores positivos y negativos de κ, comoes de costumbre, hay que redefinirla como En = |fn|2 + |fN−n|2 (teniendo en cuentala periodicidad de la funcion discreta fn a partir de n = N y el alising para ±κc enn = ±N/2) y la potencia total serıa entonces calculada como 2 E0 +

∑N/2−1n=1 En + EN/2.

Dicha densidad espectral de potencia para el caso discreto se expresa, en funcion de lasvarias transformadas de Fourier definidas, como

En = |fn|2 + |fN−n|2 =12π

( |Fn|2 + |FN−n| ) =∆x2

2π( |Fn|2 + |FN−n| ) (49)

En la expresion de la potencia total, el primer termino aparece aparte, para evitar eluso de fN , ya que el ındice sale del rango inicialmente considerado (ver tabla). Elultimo termino no se ha sumado dos veces porque ya contiene en sı la combinacion linealde los valores para κ = ±κc, como se explico antes. Todas las observaciones hechasanteriormente para el caso continuo, en lo que se refiere a la grafica del espectro, siguensiendo validamente adaptables tambien para el caso discreto.

B. PROBABILIDAD: SISTEMAS CONTINUOS

B.1. Variable Aleatoria

Una variable aleatoria continua X se define como la imagen mediante un mapa χ

continuo y no necesariamente invertible

χ : Ω −→ Rn X −→ X = χ(X ) (1)

donde Ω es una variedad diferenciable que se denomina espacio de eventos. Si la variedadΩ es particularmente identica a Rm entonces al mapa χ se le denomina funcion aleatoriacontinua. Al espacio Rn en (1) se le denomina espacio de muestras. Los desplazamientosX′ = χ(X + ∆X ), la suma X′ = X + Y de dos variables aleatorias compatibles y lamultiplicacion X′ = cX por un escalar c, son tambien variables aleatorias continuas.

Un ejemplo de una variable aleatoria continua puede ser el vector velocidad v(t,x)(n = 3) con x = χ(t, X) de un flujo turbulento en un determinado intervalo de tiempo[ ta, tb] t y en una region del espacio tridimensional V x (o volumen espacial), obtenidode la ecuacion de Navier-Stokes a partir de las condiciones iniciales X. En conjunto, paraeste ejemplo, Ω = [ ta, tb]×V es la region del espacio-tiempo (espacio tetradimensional conm = 4) donde ocurren todos los eventos v(t,x) (descripcion euleriana). EL conjunto detodos los valores que puede tomar v(t,x) serıa el espacio de muestras para este ejemplo ypara los que siguen. En este ejemplo, alternativamente tambien se puede representar Ω =

166


[ ta, tb]×Va como la region del espacio-tiempo donde ocurren todos los eventos v[t, χ(t, X)](descripcion lagrangeana) con Va como la region del espacio tridimensional (o volumenmaterial) donde estan ubicados los puntos materiales X en el instante inicial ta. Otroejemplo, para el mismo flujo turbulento, puede ser Ω = [ ta, tb] (espacio unidimensionalcon m = 1), como el intervalo de tiempo donde ocurren todos los eventos v(t,xo) develocidades en un punto xo de la region del espacio V . Otro ejemplo, obtenido delmismo flujo, puede ser Ω = V (espacio tridimensional con m = 3), como la regiondel espacio donde ocurren todos los eventos v(tb,x) de las velocidades en la region delespacio V para el instante particular t = tb. Otros ejemplos particulares pueden obtenersesi subdividimos el espacio V (o Va) en subregiones como superficies (m = 2) o lıneas(m = 1). El ejemplo mas complejo Ω = [ ta, tb]×V×Va (m = 7) se obtiene si consideramosel flujo turbulento anterior como un sistema dinamico dx/dt = v(t,x, X) con x = X parael instante inicial t = ta. Desplazamientos en el tiempo o en el espacio de este sistemadinamico (o subregiones del mismo), son igualmente ejemplos de variables aleatorias.

B.2. Distribucion y Densidad

La funcion de distribucion de probabilidades P(x) : Rn −→ R se puede definir conbase a la probabilidad que una variable aleatoria X tiene de estar dentro de un ciertovolumen Vo ∈ Rn. Dicha probabilidad se calcula como

prob(X ∈ Vo) =∫Vo

℘(x) dV =∫

Ωo

dΩ Vo = χ(Ωo) Ωo ⊂ Ω (2)

donde ℘(x) : Rn −→ R es la funcion de densidad de probabilidades y dΩ es una medida

diferencial de la variedad Ω. Esta funcion de densidad, definida como una funcion en elespacio, se construye dentro de un espacio euclıdeo como

℘j(x) = ℘j(xj) ℘(x) =n∏

j=1

℘j(x) ℘(x) = ℘1(x), ℘2(x), . . . , ℘n(x)

(3)donde ℘(x) : Rn −→ Rn es el vector de densidad de probabilidades asociado, cuyas com-ponentes son todas a su vez funciones de densidad unidimensionales, y no necesariamenteiguales entre sı. Estas funciones de densidad de probabilidades deben satisfacer siempreque ∫ ∞

−∞℘j(χj) dχj = 1

∫V∞

℘(x) dV =∫

Ω

dΩ = 1 V∞ = χ(Ω) (4)

La expresion del lado derecho es consecuencia de las del lado izquierdo. Adicionalmente,debe escogerse una medida dΩ que garantice dicha igualdad. En otras palabras, si Ω esparticularmente un subconjunto abierto de un espacio euclıdeo Rn, la medida apropiadaserıa dΩ = dVΩ/VΩ , siendo VΩ =

∫Ω dVΩ el volumen total que ocupa todo el dominio Ω

inmerso en dicho espacio. En estos terminos, la relacion (4.b) puede interpretarse comoun cambio en la metrica entre los espacios V∞ y Rn ⊇ VΩ , con la funcion de densidad de

167


probabilidades siendo proporcional a la raız cuadrada del determinante del tensor metricodel primero con respecto al segundo. Las expresiones (4) lo que en definitiva quierensignificar es que las funciones de densidad deben estar normalizadas por definicion. Elvolumen V∞ ≡ Rn debe interpretarse como todo el espacio, o sea, como el espacio infinitodefinido antes, y, formalmente hablando, es diferente al espacio Rn ⊇ VΩ , donde puedeestar inmerso Ω, aunque topologicamente sean iguales.

Basados en estas definiciones previas, entonces la funcion de distribucion de prob-abilidades se define como

Pj(x) =∫ xj

−∞℘j(χj) dχj P(x) =

∫ x1

−∞

∫ x2

−∞· · ·

∫ xn

−∞℘(x1, x2, . . . , xn) dx1dx2. . . dxn =

n∏j=1

Pj(x)

(5)Esta definicion queda bien justificada, sobre todo en la ultima igualdad, si observamosque las componentes del vector de densidad asociado estan desacopladas. En este caso,la medida apropiada para el diferencial de Ω es dΩ(X ) = dP1dP2 . . . dPn[χ(X )], ya quees obvio que la integral sobre Ω queda normalizada con dicha medida.

No obstante a lo definido anteriormente, bajo un cambio de la metrica en la forma℘j(x) dxj = n

√℘(x) dxj , el eventual desacoplamiento antes mencionado puede desapare-

cer y la funcion densidad de probabilidades ℘(x) puede tener un contexto mas general.El proceso inverso, de encontrar una metrica donde las funciones de densidad esten de-sacopladas, partiendo de una que no lo esta, es siempre factible, ya que todas las funcionesde densidad en cualquier metrica son definidas positivamente de forma estricta.

Otra forma de ver la anterior definicion, es que se puede decir que la funcion dedensidad es el gradiente de la funcion de distribucion. Esto es,

℘(x) = ∇P(x) ℘j(xj) =∂P∂xj

=dPj

dxj(6)

La expresion (5) tambien debe interpretarse como una distribucion acumulativa de lasprobabilidades, o sea,

P(x) = P(x1, x2, . . . , xn) = prob(Xj < xj , 1 ≤ j ≤ n) (7)

Sea el siguiente caso especial

P(xb)−n∑

i=1

Pi +n∑

i<j=1

Pij −n∑

i<j<k=1

Pij k + · · ·+ (−1)nP(xa) =∫Vab

℘(x) dV = prob(X ∈ Vab)

(8)con Pij k...l = P(χ1 , χ2 , . . . , χn), donde χi = xi

a, χj = xja, χk = xk

a, . . ., χl = xla, mientras

todos los otros χr = xrb . La suma en el miembro de la izquierda de (8) se interpreta como

la probabilidad de que la variable aleatoria X se encuentre en el volumen

Vab = x ∈ Rn | xj

a ≤ xj < xjb , 1 ≤ j ≤ n (9)

168


inmerso en Rn. Este volumen es el cubo o paralelepıpedo n-dimensional cuyos verticesopuestos son los puntos xa y xb unidos por un vector diagonal xb − xa, y los ladosson paralelos a los ejes de coordenadas correspondientes. La direccion de este vector esimportante porque determina el sentido en que se va a realizar la integracion (8) en lasdiferentes coordenadas. El valor de (8) puede dar negativo si las componentes del vectorse opone con frecuencia impar a los sentidos positivos de las coordenadas.

B.3. Esperanza y MomentosLa esperanza 〈F〉 de la variable aleatoria F, definida por un funcion F = F(X) de

la variable X aleatoria original, se calcula como

〈F〉 =∫V∞

f(x)℘(x) dV =∫

Ω

F [χ(X )] dΩ F = F(X) = f(x) (10)

donde la funciones F y F tiene la misma estructura algebraica, solo que se denotan deforma diferente para hacer enfasis de que se aplican sobre variables distintas. Particu-larmente, el momento de orden m de una variable aleatoria X se define como

〈Xm〉 =∫V∞

xm ℘(x) dV =∫

Ω

[χ(X )]m dΩ m ∈ N (11)

Cuando m = 1 la expresion anterior se denomina la media o el promedio.Una variable aleatoria X se dice que esta centrada si su media es nula, esto es

〈X〉 = 0. Cuando la variable aleatoria X no esta centrada se puede expresar la variable

aleatoria centrada como X = X−〈X〉. Si una variable aleatoria X esta centrada, entoncesel momento de segundo orden Γ = 〈XX〉 es el tensor de covarianza de segundo orden,que en el caso isotropo es Γ = σ2 I, siendo σ2 la varianza y σ =

√σ2 la desviacion tıpica

o estandar.El momento de tercer orden S = 〈X3〉 es un tensor de tercer orden y en el caso

isotropo se expresa de forma normalizada como S II = S/σ3, donde S es la asimetrıa.Similarmente, el momento de cuarto orden F = 〈X4〉 es un tensor de cuarto orden yen el caso isotropo se expresa de forma normalizada como F III = F/σ4, donde F es elaplastamiento o curtosis. Es costumbre tambien usar los nombres de asimetrıa y aplas-tamiento en los casos no isotropos para las distintas componentes, especificando cualesson, pero las normalizaciones utilizadas suelen variar de autor en autor. Los tensoresI =

∑ni=1 eiei, II =

∑ni=1 eieiei, y III =

∑ni=1 eieieiei son los tensores diagonales de se-

gundo, tercero y cuarto ordenes repectivamente, es decir, que sus componentes solamentetienen valor de 1 en la correspondiente diagonal principal.

En los casos no isotropos la cantidad σ =√‖Γ‖ se utiliza solamente para nor-

malizar las definiciones de asimetrıa y aplastamiento de alguna manera uniforme en suscomponentes. Sin embargo, es practica frecuente utilizar las componentes (σj)2 del ten-sor Γ en un sistema de coordenadas principales, siendo (σj)2 los autovalores de dicho

169


tensor en el sistema mencionado. La potenciacion en (11) siempre debe interpretarse

como productos tensoriales de vectores, es decir, Xm =m⊗ X (⊗ no debe confundirse con

un producto escalar o de otro tipo, no obstante, cuando X es un escalar, entonces ⊗ esel producto entre escalares). En los casos no isotropos tambien es frecuente el uso de losmomentos direccionales tales como

〈XjXk〉 = σj k 〈(Xj)2〉 = (σj)2 〈(Xj)3〉/(σj)3 = Sj 〈(Xj)4〉/(σj)4 = F j

(12)En esta oportunidad las potencias si son algebraicas.

Cuando se tienen variables aleatorias no centradas y se desea encontrar el tensorde covarianza, se debe aplicar la linealidad del operador de la esperanza 〈cX + Y〉 =c 〈X〉 + 〈Y〉. De acuerdo a esto, entonces

Γ = 〈XX〉 = 〈 (X − 〈X〉) (X − 〈X〉) 〉 = 〈XX〉 − 〈X〉〈X〉 (13)

donde, para los efectos de la linearidad, 〈X〉 se ha considerado un constante. De manerasimilar se puede definir el tensor de covarianza de dos variables aleatorias diferentes

ΓXY = 〈XY〉 = 〈 (X − 〈X〉) (Y − 〈Y〉) 〉 = 〈XY〉 − 〈X〉〈Y〉 (14)

muchas veces denominado tambien tensor de correlacion (no normalizado) y cuandoY = X′ = χ(X −∆X ) tensor de autocorrelacion (no normalizado) (En este ultimo casoes evidente que el tensor de autocorrelacion queda en funcion del desplazamiento ∆Ximpuesto a traves del mapa χ que describe la variable aleatoria centrada X inicialmenteno desplazada). El tensor de covarianza Γ = Γ

XXes el tensor de autocorrelacion con un

desplazamiento nulo.

El tensor de correlacion normalizado de dos variables aleatoria centradas X y Yes

RXY

=〈XY〉σ

Xσ

Y

=Γ

XY

σX

σY

Rj kXY

=〈Xj Y k〉σj

X σkY

=Γj k

XY

σjX σk

Y

(14′)

Estas dos expresiones no son equivalentes, ya que las normalizaciones utilizadas no sonlas mismas. En la segunda expresion se han utilizado para la normalizacion las desvia-ciones tıpicas de cada una de las componentes de la variable aleatoria por separado.Sin embargo, el numerador de la segunda expresion contiene las componentes del ten-sor en el numerador de la primera. Para la autocorrelacion de una variables aleatoriashomogeneas (es decir con sus momentos todos iguales 〈Xm〉 = 〈X′m〉, los de la vari-able aleatoria original y los de la variable aleatoria desplazada), la expresion (15.a) esequivalente a R = Γ

XX′ /‖ΓXX‖, puesto que σ

X= σ′

X.

La funcion de estructura Sm de orden m se define como el momento del mismoorden de la variable aleatoria Y = χ(X + ∆X ) − χ(X ), obtenida como un diferencialdel mapa χ en la direccion ∆X . Esto es

Sm(X , ∆X ) = 〈 [ χ(X + ∆X ) − χ(X ) ]m 〉 = 〈Ym〉 (15)

170


B.4. Funcion CaracterısticaLa funcion caracterıstica ϑ(κ) de las probabilidades se define, salvo un factor,

como la transformada de Fourier de la funcion de densidad de las probabilidades

ϑj(κj) =∫ ∞

−∞℘j(xj) eiκjxj

dxj =√

2π ℘j(κj) ϑ(κ) =∫V∞

℘(x) ei κ.x dVx = (√

2π)n ℘(κ)

(16)Obviamente, si se satisface que ϑ(κ) = (

√2π)n℘(κ) ( o en sus componentes ϑj(κj) =√

2π ℘j(κj) ), entonces esta expresion tambien se satisface para las anti-transformadasϑ(x) = (

√2π)n ℘(x) ( o en sus componentes ϑj(xj) =

√2π ℘j(xj) ) . En (16.a) no

se debe realizar la suma sobre el ındice j. En (16.b) la funcion caracterıstica se puedeinterpretar como 〈 exp(i κ.x) 〉, es decir, la esperanza de la funcion armonica exp(i κ.x).

De manera similar a como se hizo con la funcion densidad de probabilidades, lafuncion caracterıstica se puede construir de la siguiente forma

ϑj(κ) = ϑj(κj) ϑ(κ) =n∏

j=1

ϑj(κ) ϑ(κ) = ϑ1(κ), ϑ2 (κ), . . . , ϑn(κ)

(17)Esto mismo tambien es valido para las anti-transformadas ϑj(x).

Los momentos se relacionan con la funcion caracterıstica mediante la expresion

〈Xm〉 = i−m ∇mϑ(κ)|κ=0 (18)

donde, al igual que en los momentos se debe interpretar ∇m =m⊗ ∇.

B.5. Densidad GaussianaLa funcion de densidad gaussiana centrada se expresa como

℘j(xj) =1√2π

1σj

exp(−xj2

2 σj2

)℘(x) =

1(√

2π )n

1√Γ

exp(− 12 x . Γ

−1. x )

(19)donde Γ = σσ es el tensor de covarianza, formado por la diadica del vector de desvia-ciones tıpicas σ = σ1 , σ2 , . . . , σn (en este caso expresado en un sistema de coordenadasprincipales), Γ

−1es su inverso y Γ = |Γ | es su determinante. El escalar σ. σ = tr(Γ)

es la suma de todas las varianzas∑n

j=1(σj)2. En un sistema de coordenadas principales

el valor σj es la distancia, a lo largo de cada eje j, desde el origen hasta el punto deensilladura (puntos de inflexion de las campanas de Gauss en las secciones de los planoscoordenados).

La funcion caracterıstica gaussiana es

ϑj(κj) = exp(− 12 σj2

κj2) ϑ(κ) = exp(− 1

2 κ .Γ. κ ) (20)

171


Cuando la variable aleatoria no esta centrada, la funcion de densidad gaussiana seexpresa como

℘(x) =1

(√

2π )n

1√Γ

exp[− 12 (x − 〈X〉) . Γ

−1. (x − 〈X〉) ] (21)

donde el tensor de covarianza Γ se calcula como en (13) y, como el sistema de coordenadasno es necesariamente principal, las componentes principales del vector de desviacionestıpicas se obtienen con las raıces cuadradadas de los autovalores del tensor de covarianza.

Teorema (Integracion Por Parte Gaussiana). Sea X ∈ Rn una variablealeatoria centrada y con una funcion caracterıstica gaussiana, y sea f : Rn −→ Rm unafuncion diferenciable, entonces, asumiendo que las siguientes esperanzas existen,

〈 X f(X) 〉 = Γ.〈∇f(X) 〉 (22)

donde Γ = 〈XX〉 es el tensor de covarianza.

B.6. Probabilidad CondicionadaLa funcion de densidad de probabilidades condicionada se define fraccionando el

dominio Rn de la funcion densidad de probabilidades en varios subconjuntos. Sin perdidade generalidad se va a fraccionar el dominio en dos subconjuntos de hiperplanos delprimero mediante el producto cartesiano en la forma Rn = Rn′ × Rn′′

, con n′ + n′′ = n.Sea x′ ∈ Rn′

y x′′ ∈ Rn′′, tal que el par ordenado (x′,x′′) es el mismo punto x. La

funcion de densidad de probabilidades condicionada ℘(x|x′′) se define como

℘(x |x′′) =℘(x)

℘′′(x′′)=

℘(x′,x′′)℘′′(x′′)

(23)

donde la funcion densidad de probabilidades en el denominador se define como ℘′′(x′′) :Rn′′ −→ R. La interpretacion de (23) se hace a traves de la siguiente expresion

prob[ X = (X′,X′′) ∈ Vo , con X′′ fijo ] =∫V′

o

℘(x|x′′) dV ′ =∫

Ω′o

dΩ′ (24.a)

V ′o = V ′

∞ ∩ Vo = χ(Ω′o) V ′

∞ =

x = (x′,x′′) ∈ Rn∣∣ x′′ fijo

Ω′

o ⊂ Ωo ⊂ Ω(24.b)

La funcion de densidad (23) tambien esta normalizada, ya que se satisface que

℘′′(x′′) =∫V′∞

℘(x) dV ′ =∫V′∞

℘(x′,x′′) dV ′ (25)

y, por consiguiente,∫V′∞

℘(x|x′′) dV ′ =∫V′∞

℘(x)℘′′(x′′)

dV ′ =∫V′∞

℘(x′,x′′)℘′′(x′′)

dV ′ =℘′′(x′′)℘′′(x′′)

= 1 (26)

172


La esperanza condicionada se define de forma similar a (10), pero con la densidadde probabilidades condicionada

〈F |X′′〉 =∫V′∞

f(x) ℘(x |x′′) dV ′ =∫

Ω′F [χ(X )] dΩ′ F = F(X) = f(x) (27)

De igual manera se definen los momentos condicionados.Dos variables aleatorias X′ y X′′ son estadısticamente independientes, si la funcion

de densidad de probabilidades condicionada ℘(x |x′′) depende exclusivamente de x′,o sea, que existe una funcion de densidad de probabilidades definida como ℘′(x′) =℘(x |x′′) que satisface la siguiente igualdad

℘(x) = ℘(x′,x′′) = ℘′(x′) ℘′′(x′′) (28)

En otras palabras, la funcion de densidad de una de las variables aleatorias no se veafectada por la otra variable aleatoria, y viceversa.

C. PROBABILIDAD: SISTEMAS DISCRETOS

C.1. Variable AleatoriaUna variable aleatoria discreta XI se define como una muestra de N valores X1,

X2, . . . , XN tomados del universo de eventos de un proceso aleatorio

C.2. Distribucion de ProbabilidadLa distribucion de probabilidades se hace de manera discreta a traves de la prob-

abilidad ℘i de que ocurra un evento i dentro del universo de eventos, definida de lasiguiente forma

prob(X = xi) = ℘i = f(xi)/N i ∈ Z (1)

donde f(xi) es la frecuencia con que la muestra de N valores aleatorios XI toman el valorxi. La expresion (1) es la version discreta de la expresion B.(2).

Para que la probabilidad ℘i este normalizada se debe satisfacer que

∞∑i=−∞

℘i =1N

N∑I=1

1 = 1 (2)

Esta expresion es el equivalente discreto de la expresion B.(4).

C.3. Esperanza y MomentosLa esperanza 〈F〉 de la variable aleatoria FI , definida por una funcion FI = F(XI)

de la variable XI aleatoria original, se calcula como

〈F〉 =∞∑

i=−∞f(xi)℘i =

1N

N∑I=1

F(XI) (3)

173


donde la funciones F y F tiene el mismo significado que para variables aleatorias con-tinuas. Particularmente, el momento de orden m de una variable aleatoria XI se definecomo

〈Xm〉 =∞∑

i=−∞xm

i ℘i =1N

N∑I=1

XmI m ∈ N (4)

Las expresiones (3) y (4) son las equivalentes discretas de las expresiones B.(10) y B.(11).La definiciones que siguen a las variables aleatorias continuas son extensivas de

manera equivalente de aquı en adelante. Todo el desarrollo de los conceptos definidosanteriormente para variables aleatorias continuas se pueden obtener de manera indirectasi se consideran a las funciones de integrales de la seccion 5.1 como distribuciones dis-continuas y constantes a trozos regulares.

174

BIBLIOGRAFIA

• AGARD, 1998. “A Selection of Test Cases for The Validation of Large-EddySimulations of Turbulent Flows”, AGARD Advisory Report, No.345, AdvisoryGroup for Aerospace Research & Development. Chapter 5: Pipes and Channels,case of study PCH00: Fully Developed Turbulent Pipe Flow Simulation by P.Loulou, R. Moser, N. Mansour, and B. Cantwell.

• Berlemont, A. et al. 1990. “Particle Lagrangian Simulation in Turbulent Flows”,Int. J. Multiphase Flow, Vol.16, No.1, pp.19-34.

• Butcher, J. C. 1964. “On the Runge-Kutta Processes of High Order”. J. Austral.Math. Soc., Vol. IV, Part 2, pp. 179-194.

• Butcher, J. C. 1987. The Numerical Analysis of Ordinary DifferentialEquations, Runge-Kutta and General Linear Methods. John Wiley (NewYork).

• Burden R. L.; Faires, J. D. 1985. Numerical Analysis. 3rd Edition. PWS(Boston).

• Carnahan, B.; Luther, H. A.; Wilkes, J. O. 1969. Applied Numerical Methods.John Wiley & Sons (New York).

• Cash, J. R.; Karp, A. H. 1990. ACM Transactions on Mathematical Soft-ware, Vol.16, pp.201-222.

• Chapra S. C.; Canale, R. P. 1999. Metodos Numericos para Ingenieros,Tercera Edicion. McGraw-Hill Interamericana Editores (Mexico).

• Chung, T. J. 2002. Computational Fluid Dynamics. Cambridge UniversityPress.

• Clift, R.; Grace, J.R.; Weber, M.E. 1978. Bubbles, Drops and Particles,Academic Press.

• Colebrook, C. F. 1939. “Turbulent Flow in Pipes, With Particular Reference tothe Transition Region Between Smooth and Rough Pipe Laws”, J. Inst. Civ.Engrs., Vol.11, pp.133-156.

• Crespo, A.; Granados, A. L.; Garcıa, J. 2001. “Modeling of Turbulence Dissi-pation for Gas-Particle Flows”. Fourth International Conference on MultiphaseFlow, ICMF-2001, Hotel Marriot, New Orleans, Louisiana, U.S.A., 27/May/2001al 1/Jun/2001.

• Del Alamo, J. C.; Jimenez, J. 2001. “Direct Numerical Simulation of the Very-Large Anisotropic Scales in a Turbulent Channel”, CTR Ann. Res. Briefs, Stand-ford Univ., pp.329-342

175

• Del Alamo, J. C.; Jimenez, J. 2002. “DNS of the Very Large Anisotropic Scales in aTurbulent Channel”. Advances in Turbulence IX, I. P. Castro, P. E. Hancock,and T. G. Thomas (Eds.), proceedings of Ninth European Turbulence Conference- EUROMECH, University of Southampton, United Kingdom, 2-5 Julio de 2002,pp.403-406.

• Den Toonder, J. M. J. 1995. Drag Reduction by Polymer Additives in aTurbulent Pipe Flow: Laboratory and Numerical Results. Ph.D. Thesis,Delft University of Technology.

• Dopazo, C. et al. (Editores). 2000. Advances in Turbulence VIII. Editorialdel CIMNE, Barcelona, Espana.

• Castro, I. P.; Hancock, P. E.; Thomas, T. G. (Editores). 2002. Advances inTurbulence IX. Editorial del CIMNE, Barcelona, Espana.

• Du, S.; Sawford, B. L.; Wilson, J. D.; Wilson D. J. 1995. “Estimation of theKolmogorov Constant (Co) for The Lagrangian Structure, Using a Second-OrderLagrangian Model of Grid Turbulence”, Phys. Fluids, Vol.7, No.12, pp.3083-3090.

• Durst, F.; Jovanovic, J.; Sender, J. 1995. “LDA Measurements in the Near-WallRegion of a Turbulent Pipe Flow”, J. Fluid Mech., Vol.295, pp.305-335.

• Elghobashi, S. E. 1994. “On predicting Particle-Laden Flows”, Appl. Sci. Res.,Vol.52, pp.309-329

• Elghobashi, S. E.; Truesdell, G. C. 1992. “Direct Simulation of Particles Dispersionin Decaying Isotropic Turbulence”, J. Fluid Mechanics, Vol.242, p.655.

• Elghobashi, S.; Truesdell, G. C. 1993. “On The Two-Way Interaction BetweenHomogeneous Turbulence and Dispersed Solid Particles. I: Turbulence Modifica-tion”, Phys. Fluids A, Vol.5, No.7, pp.1790-1801.

• Fehlberg, E. 1971. “Low-Order Classical Runge-Kutta Formulas with StepsizeControl”. NASA Report No. TR R-315.

• Fernandez Laguna, A. 2000. Simulacion Numerica de Flujos Turbulentoscon Partıculas Mediante el Metodo de Vortices. Tesis Doctoral de la E. T.S. Ing. Industriales de la Univ. Politecnica de Madrid, Espana.

• Fernandez, A.; Garcıa, J. 2000. “A Time-Evolving Simulation of a Two-WayCoupled Particle-Laden Jet using a Discrete Vortex Method”, Proceedings ofASME Fluids Engineering Summer Meeting (CD-ROM), Boston (E.E.U.U.), 11-15/junio/2000.

• Fessler, J.R. and Eaton, J.K. 1999. “Turbulence Modification by Particles in aBackward-Facing Step Flow”, J. Fluid Mech., Vol.394, pp.97-117.

• Fletcher, C. A. J. 1991. Computational Techniques for Fluid Dynamics,Second Edition. Vol.1: “Fundamental and General Techniques”. Vol.2: “SpecificTechniques for Different Flow Categories”. Springer-Verlag (Berlın), 1991. FourthPrinting, 2000.

176

BIBLIOGRAFIA

• Garcıa, J. 2001. “Study of The Turbulence Modulation in Particle-Laden FlowsUsing LES”, Center for Turbulence Research, Annual Research Brief, pp.177-184.

• Garcıa, J.; Crespo, A. 1997. “A model of Turbulent Two-Phase Flashing Jets”,Proc. ASME Fluids Eng. Div. Summer Meeting, FEDSM97-3584,Vancouver (Canada).

• Garcıa, J.; Crespo, A. 2000. “A Turbulent Model for Gas Particle Jets”, Journalof Fluids Engineering ASME, Vol.122, pp.505-509.

• Gear, C. W. 1971. Numerical Initial Value Problems in Ordinary Differ-ential Equations. Prentice-Hall (Englewood Cliffs, New Jersey).

• Gerald, C. F. 1970. Applied Numerical Analysis. 2nd Edition. Addison-Wesley (New York).

• Germano, M.; Piomelli, U.; Moin, P.; Cabot, W. H. 1991. “A Dynamical Subgrid-Scale Eddy Viscosity Model”, Phys. Fluid A, Vol.3, No.7, pp.1760-1765.

• Gill, S. 1951. “A process for the Step-by-Step Integration of Differential Equationsin an Automatic Computing Machine”, Proc. Cambridge Phil. Soc., Vol.47,pp.96-108.

• Gore, R.A., Crowe, C.T. 1989. “Effect of Particle Size on Modulating TurbulenceIntensity”, Int. J. Multiphase Flow, Vol.15, pp.279-285.

• Graham, D. I.; Moyeed, R. A. 2001. “How Many Particles for my LagrangianSimulations?”, Fourth International Conference on Multiphase Flow, ICMF-2001,Hotel Marriot, New Orleans, Louisiana, U.S.A., 27/May/2001 al 1/Jun/2001.

• Granados M., A. L. 1993. Lobatto Implicit Sixth Order Runge-KuttaMethod for Solving Ordinary Differential Equations with Stepsize Con-trol. INTEVEP S.A. Reporte Tecnico No. INT-EPPR/3-NT-92-003. Los Teques,Marzo de 1992. Trabajo presentado en: Las Jornadas Panamericanas de Matem-aticas Aplicadas y Computacionales. Universidad Simon Bolıvar. Sartenejas, del10 al 15 de Enero de 1993.

• Granados M., A. L. 1998 “Implicit Runge-Kutta Algorithm Using Newton Raph-son Method”. Fourth World Congress on Computational Mechanics, realizado enel Hotel Sheraton, Buenos Aires, Argentina, 29/Jun/98 al 2/Jul/98. InternationalAssociation for Computational Mechanics, Abstracts, Vol.I, p.37.

• Granados, A. L. 2002a. “Simulacion con ”LES” del Flujo Turbulento en unaTuberıa Rugosa”. II Congreso Internacional de Metodos Numericos en Inge-nierıa y Ciencias Aplicadas, Vol.1 y Vol.2, E. Onate, F. Zarate, G. Ayala, S.Botello, M. A. Moreles (Eds.), Guanajuato, Mexico, 17-19 Enero de 2002, pp.899-910.

• Granados, A.L.; Crespo, A.; Garcıa, J. 2002b. “Particle Response in a TurbulentPipe Flow”. Advances in Turbulence IX, I. P. Castro, P. E. Hancock, andT. G. Thomas (Eds.), proceedings of Ninth European Turbulence Conference -EUROMECH, University of Southampton, United Kingdom, 2-5 Julio de 2002,pp.27-30.

177

A.Granados FLUJO TURBULENTO CARGADO CON PARTICULAS SOLIDAS EN UNA TUBERIA CIRCULAR

• Granados, A.; Crespo, A.; Garcıa, J. 2003. “Relative Dispersion in a TurbulentPipe Flow”. Aceptado para ser publicado en 5th EUROMECH Fluid MechanicsConference, Institut de Mecanique des Fluides de Toulouse, Centre des CongresPierre Baudis, 24/Ago/2003 al 28/Ago/2003.

• Hairer, E.; Norsett, S. P.; Wanner, G. 1987. Solving Ordinary DifferentialEquations I. Nonstiff Problems. Springer-Verlag (Berlin).

• Hairer, E.; Wanner, G. 1991. Solving Ordinary Differential Equations II:Stiff and Differential- Algebraic Problems. Springer-Verlag (Berlin).

• Hirsch, C.1988/1990 Numerical Computation of Internal and ExternalFlows. Vol.1: “Fundamentals of Numerical Discretization”. Vol.2: “Compu-tational Methods for Inviscid and Viscous Flows”. John Wiley & Sons, 1988/90.Reprint, 2001/2000.

• Hishida, K., Ando, A., Maeda, M. 1992. “Experiments on Particle Dispersion in aTurbulent Mixing Layer”, Int. J. Multiphase Flow, Vol.18, No.2, pp.181-194.

• Kim, J.; Moin, P. 1985. “Application of a Fractional-Step Method to IncompresibleNavier-Stokes Equations”, J. Comp. Physics, Vol.59, pp.308-323

• Kulick, J. D.; Fessler, J. R.; Eaton, J. K. 1994. “Particle Response and Turbu-lence Modification in Fully Developed Channel Flow”, J. Fluid Mech., Vol.227,pp.109-134.

• Lapidus, L.; Seinfeld, J. H. 1971. Numerical Solution of Ordinary Differen-tial Equations. Academic Press (New York).

• Lesieur, M. 1997. Turbulence in Fluids, Third Edition. Kluwer Academic Pub.

• Levich, V. G. 1962. Physicochemical Hydrodynamics. Prentice-Hall (Engle-wood Cliffs, N.J.).

• Li, Y.; McLaughlin, J. B.; Kontomaris, K.; Portela, L. 2001. “Numerical Simu-lation of Particle-Laden Turbulent Channel Flow”, Physics of Fluids, Vol.13,pp.2957-2967.

• Lilly, D. K. 1992. “A Proposed Modification of The Germano Subgrid-Scale Clo-sure Method”, Phys. Fluid A, Vol.4, No.3, pp.633-635.

• Lobatto, R. 1851/1852. Lessen over Differentiaal- en Integraal-Rekening.2 Vol. La Haye.

• Loulou, P.; Moser, R. D.; Mansour, N. N.; Cantwell, B. J. 1997. “Direct Numer-ical Simulation of Incompressible Pipe Flow Using a B-Spline Spectral Method”,NASA Technical Memorandum, No.110436.

• Lund, T. S. 1997. “On the Use of Discrete Filters for Large Eddy Simulation”,Center for Turbulence Research, Annual Research Brief, pp.177-184.

• Maxey, M. R. 1987. “The Gravitational Settling of Aerosol Particles in Homoge-neous Turbulence and Random Flow Fields” J. Fluid Mech., Vol.174, pp.441-465.

178

BIBLIOGRAFIA

• Moody, L. F. 1944. “Friction Factors for Pipe Flow”, Trans. ASME, Vol.66,p.671.

• Orlandi, P. 2000. Fluid Flow Phenomena: A Numerical Toolkit. KluwerAcademic Publishers (Dordrecht, The Netherlands).

• Orlandi, P.; Fatica, M. 1997. “Direct Simulations of Turbulent Flow in a PipeRotating About its Axis”, J. Fluid Mech., Vol.343, pp.3-72.

• Perry, A. E.; Schofield, W. H.; Joubert, P. 1969. “Rough-Wall Turbulent BoundaryLayers”, J. Fluid Mech., Vol.37, pp.383-413.

• Perry, A. E.; Henbest, S. M.; Chong, M. S. 1986. “A Theoretical and ExperimentalStudy of Wall Turbulence”, J. Fluid Mech., Vol.165, pp.163-199.

• Perry, A. E.; Lim, K. L.; Henbest, S. M. 1987. “An Experimental Study of Tur-bulence Structure in Smooth- and Rough-Wall Turbulent Boundary Layer”, J.Fluid Mech., Vol.177, pp.437-466.

• Peyret, R.; Krause, E. (Eds.) 2000 Advanced Turbulent Flow Computations.Springer-Verlag (New York).

• Peyret, R.; Taylor, T. D. 1983. Computational Methods for Fluid Flow.Springer-Verlag (Berlın / Heidelberg).

• Piomelli, U.; Balaras, E. 2002. “Wall-Layer Models for Large-Eddy Simulation”,Annu. Rev. Fluid Mech., Vol.34, pp.349-374.

• Press, W. H.; Teukolsky, S. A.;Vetterling, W. T.; Flannery, B. P. 1992. Numer-ical Recipes in Fortran 77: The Art of Scientific Computing, Second Edition(Volume 1 of Fortran Numerical Recipes). Cambridge University Press.

• Rai, M. M.; Moin, P. 1991. “Direct Simulations of Turbulent Flow Using Finite-Difference Schemes”, J. Comput. Phys., Vol.96, pp.15-53.

• Ralston, A.; Rabinowitz, P. 1978. A First Course in Numerical Analysis.2nd Edition. McGraw-Hill (New York).

• Raupach, M. R.; Antonia, R. A.; Rajagopalan, S. 1991. “Rough-Wall TurbulentBoundary Layers”, Appl. Mech. Rev., Vol.44, pp.1-25.

• Rodi, W. 1993. Turbulence Models and Their Application in Hydraulics:A State of the Art Review, Third Edition. Institut fur Hydromechanik (Universityof Karlsruhe) - A. A. Balkema (Rotterdam).

• Schiller, L.; Naumann, A. 1933. “Uber die die grundlegenden Berechungen bei derSchwerkraftaufbereitung”. Ver. Deut. Ing., Vol.77, p.318.

• Schlichting, H. 1968. Boundary Layer Theory, 6th Edition. McGraw-Hill (NewYork).

• Schreck, S.; Kleis, S. J. 1993 “Modification of Grid-Generated Turbulence by SolidParticles”, J. Fluid Mech., Vol.249, pp.665-688.

• Shampine, L. F.; Watts, H. A.; Davenport, S. M. 1976. “Solving Non-Stiff Or-dinary Differential Equations - The State of the Art”. SANDIA Laboratories,Report No. SAND75-0182, 1975. SIAM Review, Vol.18, No.3, pp.376-411.

179

A.Granados FLUJO TURBULENTO CARGADO CON PARTICULAS SOLIDAS EN UNA TUBERIA CIRCULAR

• Shaw, R. A. 2003. “Particle-Turbulence Interactions in Atmospheric Clouds”,Annu. Rev. Fluid Mech., Vol.35, pp.183-227.

• Sheun, J-S.; Solomon, A. S. P.; Zhang, Q-F.; Faeth, G. M. 1985. “Structure ofParticle-Laden Jets: Measurements and Predictions”, AIAA Journal, Vol.23,No.3, pp.396-404.

• Smagorinsky, J. 1963. “General Circulation Experiments with The PrimitiveEquations”, Mon. Weath. Rev., Vol.91, No.3, pp.99-164.

• Squires, K. D.; Eaton, J. K. 1990. “Particle Response and Turbulence Modificationin Isotropic Turbulence”, Phys. Fluids A, Vol.2, No.7, pp.1191-1203.

• Squires, K. D.; Eaton, J. K. 1994. “Effect of Selective Modification of Turbulenceon Two-Equation Model for Particle-Laden Turbulent Flows”, J. Fluids Eng.,Vol.116, pp.778-784.

• Tennekes, H.; Lumley, J. L. 1972. A First Course in Turbulence. The MITPress.

• van der Houwen, P. J.; Sommeijer, B. P. 1991. “Iterated Runge-Kutta Methodson Parallel Computers”. SIAM J. Sci. Stat. Comput., Vol.12, No.5, pp.1000-1028.

• Van Driest, E. R. 1956. “On Turbulence Flow Near a Wall”, Journal ofAerospace Science, Vol.23, p.1007-1011.

• Verzicco, R.; Orlandi, P. 1996. “A Finite-Difference Scheme for The Three-Di-mensional Incompressible Flows in Cylindrical Coordinates”, J. Comp., Vol.123,pp.402-413.

• Weinman, K. A.; Klimenko, A. Y. 2000. “Estimation of the Kolmogorov ConstantCo by Direct Numerical Simulation of a Continuou Scalar”, Physics of Fluids,Vol.12, No.12, pp.3205-3220.

• Yamamoto, Y.; Potthoff, M.; Tanaka, T.; Kajishima, T.; Tsuji, Y. 2001. “Large-Eddy Simulation of Turbulent Gas-Particle Flow in a Vertical Channel: Effect ofConsidering Inter-Particle Collisions”, J. Fluid Mech., Vol.442, pp.303-334.

• Yeung, P. K. 2002. “Lagrangian Investigations of Turbulence”, Annu. Rev.Fluid Mech., Vol.34, pp.115-142.

• Yuan, Z., Michaelides, E. E. 1992. “Turbulence Modulation in Particulate Flows -A Theoretical Approach”, Int. J. Multiphase Flow, Vol.18, No.5, pp.779-785.

• Zaichik, L. I.; Alipchenkov, V. M. 2003. “Pair Dispersion and Preferencial Con-centration of Particles in Isotropic Turbulence”, Physics of Fluids, Vol.15, No.6,pp.1776-1787.

• Zhang, H.; Faghri, M.; White, F. M. 1996. “A New Low-Reynolds-Number k − εModel for Turbulent Flow Over Smooth and Rough Surfaces”, Journal of FluidsEngineering, Vol.118, No.2, pp.255-259.

180

Flujo Turbulento Cargado con Partículas Sólidas en una Tubería Circular

Documents

Transcript of Flujo Turbulento Cargado con Partículas Sólidas en una Tubería Circular