EJES Y ÁRBOLES

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UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA DE LA

FUERZA ARMADA BOLIVARIANA

EJES Y ÁRBOLES

Ing. Vicente Díaz P.

Marzo 2012

Diseño de Elementos de Maquina II

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EJES:

Llevan piezas móviles de maquinas como poleas, rodillo,

tambores, etc.. Están sometidos únicamente a flexión.

EJES FIJOS:

Son el tipo mas favorables. La flexión

corresponde al caso de cargas I o II (estática o

intermitente)

EJES ROTATIVOS:

Se usan con preferencia para vehículos sobre

carriles. Permiten un fácil montaje y desmontaje

de los juegos de ruedas y transmiten bien las

fuerzas laterales. Presentan el inconveniente

que están sometidos a flexión alternativa, es

decir carga tipo III.

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ÁRBOLES

Los árboles son elementos de maquinas que giran siempre con los elementos

que soportan (poleas, ruedas dentadas, etc.) a los que hacen girar o giran con

ellos. Estos elementos que soportan se fijan por medio de chavetas, ranuras

estriadas o uniones forzadas. Los árboles de transmisión descansan

radialmente sobre cojinetes o rodamientos, y cuando están dispuestos

verticalmente, su extremo inferior se apoya sobre quicioneras. La parte del

árbol que sobre cojinetes se denomina gorrón o muñón y cuando es vertical

quicio.

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Tipos de árboles

Lisos

Escalonado

Ranurado o con

talladuras especiales

Acodado

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MATERIALES PARA EJES Y ÁRBOLES

Para confección de ejes y árboles, en la mayoría de los casos, en nuestro país

se prefieren aceros según norma AISI. De tal manera que preferentemente se usan

los siguientes aceros:

AISI 1010 Y AISI 1020 para árboles poco cargados o de uso esporádico donde

sea deseable un bajo costo de fabricación o cuando algunas partes de los elementos

deban ser endurecidas mediante cementación.

AISI 1045 es el acero para árboles más corrientemente usado, pues el mayor

contenido de carbono le otorga una mayor dureza, mayor resistencia mecánica y un

costo moderado. No obstante lo anterior, cuando este acero se endurece por

templado sufre deforrnaciones y baja su resistencia a la fatiga.

AISI 4140 es un acero al cromo molibdeno bonificado de alta resistencia que se

emplea en ejes muy cargados y en donde se requiere alta resistencia mecánica.

AISI 4340 es un acero al cromo níquel molibdeno bonificado de máxima

tenacidad, resistencia a la tracción y torsión que se aplica a los cálculos para el diseño

de árboles.

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Procedimiento de Diseño de Ejes y Árboles

1. Desarrollar un diagrama de cuerpo libre, reemplazando los diversos

dispositivos por sus correspondientes acciones o solicitaciones, de

manera de obtener un sistema estático equivalente.

2. Evaluar los momentos flectores, torsores, esfuerzos de corte y esfuerzos

axiales en el tramo completo del eje.

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Procedimiento de Diseño de Ejes y Árboles

3. Seleccionar las secciones más conflictivas y de ellas los puntos más

conflictivos. Esta tarea está asociada a la determinación de factores de

concentración de tensiones debidos a entallas geométricas.

4. Evaluar los estados tensionales en los puntos conflictivos.

5. Seleccionar el criterio o teoría de falla estática o dinámica en función del

tipo de material (frágil o dúctil) y tipo de rotura estimada (fatiga, etc.)

6. Evaluar la seguridad de los puntos conflictivos.

7. Efectuar un replanteo en términos de diámetro y configuraciones

geométricas o material en tanto que los resultados obtenidos no

satisfagan las condiciones de diseño.

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Diseño para solicitación estática

Dado el tipo de configuración de las solicitaciones se puede

discriminar el siguiente estado tensional genérico debido a flexión,

torsión y efecto axial:

Donde M(x), T(x) y P(x) son el momento flector, el momento torsor y

la fuerza axial respectivamente y además:

Luego los valores de tensión serán

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Según las expresiones de tensiones principales y las tensiones de corte

máxima y mínima, según un estado plano de tensiones, se obtienen

como:

Finalmente se tiene

Según sea el criterio de rotura que se pretenda emplear se tendrán

diferentes casos, los cuales se tratarán a continuación.

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Teoría de la Energía de Distorsión (Criterio de Von Mises-Hencky)

El criterio de máxima energía de distorsión establece que la falla se

produce (en un material dúctil) cuando se cumple que:

Donde Sy y ns son el límite de fluencia del material y el coeficiente de

seguridad del material. Reemplazando los valores) se puede obtener la

siguiente expresión:

Se puede obtener el diámetro como forma explícita en función de las

solicitaciones actuantes. Sin embargo en el caso de poder desechar el

esfuerzo axial, se puede obtener la conocida expresión:

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Teoría de la máxima tensión de corte (Criterio de Coulomb-Tresca)

En este caso la falla se presentará si se cumple que:

reemplazando se obtiene

La cual no tiene explicitado el diámetro en función de los esfuerzos. Ahora

como en el caso anterior, en ausencia de cargas axiales se puede explicitar

el diámetro obteniendo:

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Código ASME

La ecuación del código ASME para un eje hueco combina torsión, flexión

y carga axial, aplicando la ecuación del esfuerzo cortante máximo

modificada mediante la introducción de factores de choque, fatiga y el

efecto columna.

(do)3 = 16

Ss (1-K4)

F do (1 + K2) Kb M +

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2

+ (Kt T)2

1/2

Donde:

do : diámetro exterior

di : diámetro interior

F : Fuerza axial

K = di/do

Kb = Factor combinado choque y fatiga aplicado a M

Kt = Factor combinado choque fatiga aplicado a T

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(d)3 = 16

Ss (Kb M) 2

+ (Kt T)2

1/2

Para un eje macizo con carga axial nula o despreciable:

TIPO DE CARGA Kb Kt

Ejes fijos (esfuerzo de flexión sin inversión)

- Carga aplicada gradualmente 1,0 1,0

- Carga aplicada repentinamente 1,5 a 2,0 1,5 a 2,0

Ejes giratorios (esfuerzos de flexión con inversión)

- Carga constante o aplicada gradualmente 1,5 1,0

- Carga aplicada repentinamente, con choque ligero 1,5 a 2,0 1,0 a 1,5

- Carga aplicada repentinamente, con choque fuerte 2,0 a 3,0 1,5 a 3,0

TABLA DE VALORES DE “Kb Y Kt”

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Ss : esfuerzo permisible = 30% del limite elástico pero no debe

superar el 18% de la resistencia a la tracción (Su), para ejes sin

cuñero, en caso de poseer cuñero se debe reducir el valor en 25%.

= factor de columna para l/k 115 = 1 / ( 1- 0,0044 l/ k .

para l/k 115 = Sy (L/K)2 / 2 nE

n=1 Extremos articulados

n= 2,25 Extremos fijos

n= 1,6 Extremos restringidos parcialmente

k= Radio de giro

Sy = limite de fluencia a la compresion

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TORSION

Torsión

θ

L r

ρ

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Potencia:

Sistema Internacional:

Potencia [Watt] = Par (momento torsor) [N-m] X Velocidad angular [rad/seg]

En sistema Ingles:

Potencia [hp] = Torque [Libras-pulgada] X N [rpm] / 63000

Potencia [hp] = Fuerza [libras] X Velocidad Periférica [pie/min] / 33000

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FLEXION ALTERNANTE Y TORSION CONTINUA

En todo árbol rotatorio, cargado con momentos torsionales y flexionantes

invariables en el tiempo, el efecto de la flexión es completamente

alternativo en cada ciclo y el efecto de la torsión es constante.

De acuerdo a evidencias experimentales se ha determinado que la

resistencia a la fatiga por flexión no es afectada por la existencia del

esfuerzo medio por torsión, hasta que la resistencia de fluencia a la torsión

no se exceda en un 50%.

d= 32.M.n

Se.

1/3

Se debe verificar el factor de seguridad por el Criterio de Coulomb-Tresca o el

Criterio de Von Mises-Hencky

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Velocidad crítica de ejes

Todos los ejes, aun sin la presencia de cargas externas, se deforman

durante la rotación. La magnitud de la deformación depende de la

rigidez del eje y de sus soportes, de la masa total del eje, y de las

piezas que se le añaden, del desequilibrio de la masa con respecto al

eje de rotación y del amortiguamiento presente en el sistema.

La deformación, considerada como una función de la velocidad de giro

del eje, presenta sus valores máximos en las llamadas velocidades

críticas. Un sistema de 1 masa, será un sistema de 1 grado de libertad,

y tendrá 1 velocidad crítica. Para sistemas de n masas, esto es n gdl,

habrán n velocidades críticas.

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Normalmente, sólo la velocidad crítica más baja (primera) y

ocasionalmente la segunda tienen relevancia. Las otras son generalmente

tan altas que están muy alejadas de la s velocidades de operación.

En la primera velocidad crítica, la flexión del eje sigue la forma más

sencilla posible. En la segunda, la flexión sigue la segunda forma más

sencilla, etc. Por ejemplo, un eje soportado en sus extremos y con dos

masas relativamente grandes (en comparación con la del eje), se

deforma según la configuración mostrada en las figuras siguientes,

cuando rota en la primera y la segunda velocidad crítica

respectivamente.

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Para un eje con masa despreciable y con una sola masa M se tiene que:

La constante K es proporcional a la deflexión del

eje y al peso de la masa M

K= M.g / δ

ωn K / M =

ωn g / δ =

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MÉTODO DE RAYLEIGH

Consideremos un eje con n masas, y asumamos rozamiento nulo.

Designemos por y la deformación del eje durante la rotación, en el

punto de localización de la masa. Sean δ las deformaciones debidas a

los pesos.

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MÉTODO DE ECUACIÓN DE FRECUENCIAS

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X2 = 1 / ω4

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MÉTODO DE DUNKERLEY

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