DƯỚI VI PHÂN TỰA XẤP XỈ CỦA HÀM LIPSCHITZ ĐỊA ...

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SÀI GÒN SAIGON UNIVERSITY

TẠP CHÍ KHOA HỌC SCIENTIFIC JOURNAL

ĐẠI HỌC SÀI GÒN OF SAIGON UNIVERSITY

Số 77 (06/2021) No. 77 (06/2021)

Email: [email protected] ; Website: http://sj.sgu.edu.vn/

57

DƯỚI VI PHÂN TỰA XẤP XỈ CỦA HÀM LIPSCHITZ ĐỊA PHƯƠNG VÀ

ỨNG DỤNG

Approximately quasi subdifferentials for locally Lipschitz functions and

applications

Hứa Khắc Bảo

Học viên cao học Trường Đại học Sài Gòn

TÓM TẮT

Bài báo này giới thiệu khái niệm dưới vi phân tựa xấp xỉ cho hàm Lipschitz địa phương trên ,n dựa

trên các kết quả về đạo hàm suy rộng kiểu Clarke. Các tính chất lồi, đóng, và bị chặn của tập dưới vi

phân tựa xấp xỉ được khảo sát. Các phép tính của dưới vi phân tựa xấp xỉ cho tổng hai hàm và cho tích

của một hằng số với một hàm được thiết lập. Các điều kiện tối ưu cho một điểm là điểm tựa xấp xỉ cực

tiểu của hàm Lipschitz địa phương được đề nghị. Một số ví dụ minh họa được giới thiệu.

Từ khóa: Tựa -nghiệm, Tựa -cực tiểu, Tựa -dưới vi phân

ABSTRACT

In this paper, using the generalized directional derivative in the sense of Clarke, we study approximately

quasi subdifferentials for locally Lipschitz functions. The properties of convex, closed and bounded of

the set of approximately quasi subdifferentials are investigated. The approximately quasi subdifferential

calculus with the sum rule and the scalar product rule are establishted. Optimality conditions for

approximately quasi minimums of locally Lipschitz functions are proposed. Examples are given.

Keywords: -quasi solution, -quasi mimimum, -quasi subdifferential

1. Phần giới thiệu

Nghiệm xấp xỉ của bài toán tối ưu là

vấn đề đã được nghiên cứu từ khá lâu. Chủ

đề này trong những năm gần đây vẫn thu

hút sự quan tâm của nhiều nhà nghiên cứu

bởi trong các thuật toán tìm nghiệm theo

dãy lặp, thực chất cũng là tìm nghiệm xấp

xỉ [1], [2], [3], [4], [5]. Trong bài toán lồi,

nghiệm tối ưu của bài toán luôn là nghiệm

toàn cục, nhưng với các bài toán không lồi

thì điều đó có thể không xảy ra. Vì vậy, với

các bài toán không lồi, nghiệm địa phương

được chú ý hơn và điều này cũng được chú

ý với nghiệm xấp xỉ. Trong bài báo này,

chúng tôi quan tâm đến một loại nghiệm

xấp xỉ có tính địa phương cho các bài toán

không lồi, được giới thiệu bởi Loridan

[12], và gọi là tựa -nghiệm.

Với hàm số f là Lipschitz địa phương

trên ,n cho trước 0, điểm z được gọi

là tựa -cực tiểu của hàm f nếu

( ) ( )f z f x x z với mọi nx

Email: [email protected]

SCIENTIFIC JOURNAL OF SAIGON UNIVERSITY No. 77 (06/2021)

58

[6]. Rõ ràng rằng, nếu z là tựa -cực tiểu

và các điểm x thuộc lân cận ( )U z có tâm

z và bán kính , tức là ,x z ta

có ( ) ( ) .f z f x Ta cũng nói rằng, z là

một -cực tiểu trong lân cận ( ).U z Điều

này nói lên rằng, một điểm là tựa -cực

tiểu của hàm f cũng là điểm -cực tiểu

địa phương của hàm .f

Chúng ta biết rằng nếu f là hàm

Lipschitz địa phương và nếu z là một

điểm cực tiểu thì 0 ( )c f z trong đó

( )c f z là tập dưới vi phân suy rộng của

hàm f theo nghĩa Clarke (còn gọi là dưới

vi phân Clarke) [9, tr.27]. Nếu f là hàm

lồi thì dưới vi phân Clarke trùng với dưới

vi phân của hàm lồi, ký hiệu bởi ( )f z

[11, tr.145]. Khi đó, điều kiện 0 ( )c f z

trở thành 0 ( )f z và điều này, như đã

biết, sẽ dẫn đến kết luận z là điểm cực tiểu

toàn cục của hàm .f Kết quả này đã được

mở rộng cho nghiệm xấp xỉ của hàm lồi

với dưới vi phân xấp xỉ. Khi đó, nếu f là

hàm lồi thì z là -cực tiểu khi và chỉ khi

0 ( )f z [10, Định lý 10.4], trong đó

( )f z là tập dưới vi phân xấp xỉ của

hàm lồi f tại .z Rất tự nhiên, các kết quả

như thế cần được khảo sát cho lớp hàm

Lipschitz địa phương.

Cần chú ý rằng, các cấu trúc dưới vi

phân thường liên quan đến đạo hàm. Đạo

hàm Dini tại điểm z theo hướng d của

hàm f xác định trên không gian hữu hạn

chiều X và ( )f x được ký hiệu và

định nghĩa như sau [8] (xem thêm [7]):

0

( ) ( )( ; ) : inflim .

t

f z td f zd f z d

t

Khi đó, với *X là không gian đối

ngẫu của ,X dưới vi phân Dini của hàm f

tại z được ký hiệu và định nghĩa bởi

( ) : { ( ; ) , , }.f z x X d f z d x d d X ∣

Cũng với cấu trúc tương tự, khi f là hàm

Lipschitz địa phương xác định trên ,X đạo

hàm suy rộng Clarke [9] được cho bởi:

0

( ) ( )( ; ) : sup .limc

t

x z

f x td f xf z d

t

và dưới vi phân Clarke là:

( ) : { ( ; ) , , }.c cf z x X f z d x d d X ∣

Về mặt hình học có thể thấy tập dưới

vi phân Clarke là lớn hơn tập dưới vi phân

Dini như trong các định nghĩa nêu trên.

Tuy nhiên, khi hàm f là chính quy tại ,z

tức là, ( ; ) ( ; ),cf z d f z d khi đó các tập

dưới vi phân nói trên là trùng nhau. Việc

đạo hàm Clarke không yêu cầu tại điểm z

hàm số có giá trị hữu hạn, đã làm cho đạo

hàm này có tính linh hoạt hơn trong việc sử

dụng.

Từ định nghĩa dưới vi phân Dini, một

dạng dưới vi phân xấp xỉ đã được biết khá

sớm trong bài báo [8] do Ioffe giới thiệu

liên quan đến đạo hàm Dini theo hướng,

gọi là -dưới vi phân Dini, được định

nghĩa như sau:

( ) : { ( ; ) , , }.f z x X d f z d d x d d X ∣ ‖ ‖

Mục đích của bài báo này là tìm hiểu

một dạng dưới vi phân xấp xỉ cho hàm

Lipschitz bằng cách dùng đạo hàm Clarke

thay cho đạo hàm Dini trong công thức nêu

trên. Từ các kết quả đạt được, chúng tôi

thiết lập điều kiện tối ưu xấp xỉ cho bài

toán tối ưu không lồi có ràng buộc tập.

Bài báo được tổ chức như sau: Phần

HỨA KHẮC BẢO TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC SÀI GÒN

59

tiếp theo dành để trình bày các kiến thức cơ

sở dùng cho việc chứng minh các kết quả

chính. Đặc biệt, chúng tôi nhắc lại Định lý

Homander trong việc làm trội một họ các

hàm tuyến tính bởi một hàm dưới tuyến

tính và nửa liên tục dưới [11]. Phần cuối

của bài báo dùng để giới thiệu các kết quả

liên quan về dưới vi phân tựa xấp xỉ dựa

trên khái niệm dưới vi phân Clarke. Trong

đó khái niệm véc tơ tựa xấp xỉ được giới

thiệu và các tính chất được khảo sát; tính

chất lồi, đóng, bị chặn của tập tựa dưới vi

phân xấp xỉ được chứng minh, các quy tắc

tính tựa dưới vi phân xấp xỉ của tổng hai

hàm và tính tích của một hằng số với một

hàm được thiết lập. Dựa trên các kết quả

đạt được, điều kiện tối ưu của một điểm là

điểm tựa -cực tiểu của hàm số Lipschitz

địa phương trên n được giới thiệu.

2. Kiến thức cơ bản

Hàm f xác định trên n được gọi là

Lipschitz địa phương tại ,z nếu tồn tại lân

cận ( )U z của điểm z và hằng số 0K

sao cho

| ( ) ( ) | , , ( ).f x f y K x y x y U z ‖ ‖

Nếu bất đẳng thức nêu trên xảy ra với

mọi ,, nx y ta nói hàm f là Lipschitz

trên n và số 0K bé nhất thỏa mãn bất

đẳng thức trên gọi là hằng số Lipschitz.

Với nS là tập khác rỗng, hàm chỉ

của tập S và hàm tựa của tập S được ký

hiệu và định nghĩa lần lượt như sau:

0,( ) :

, ,S

x Sx

x S

( ) : sup{ , , }, .n

S x x s s S x

Ký hiệu , dùng để chỉ tích vô hướng

của hai véc tơ trong .n Chú ý rằng nếu S

là tập lồi thì hàm chỉ và hàm tựa của S là

các hàm lồi.

Với hàm f cho trước, hàm liên hợp

của f được ký hiệu và định nghĩa bởi

( ) sup[ , ( )].x S

f v v x f x

Chú ý 2.1 Với hàm chỉ S và hàm tựa

S đã nói ở trên, ta luôn có:

( ) ( ) ( ).S Sv v

Ngoài ra, giả sử , nC D là các tập lồi,

đóng, khác rỗng, khi đó

( ) ( ), .n

C DC D x x x

Với A là tập đóng khác rỗng trong

,n nón pháp của A tại điểm z A được

cho bởi

( , ) : { , 0, ( , )},nN A z u u v v T A z ∣

trong đó ( , ) : { ( ; ) 0}n c

AT A z v d z v ∣ và

Ad là hàm khoảng cách đến tập A [11,

tr.10]. Khi A là tập lồi, nón pháp này

trùng lại với nón pháp trong Giải tích lồi:

( , ) : { , 0, }.nN A z u u x z x A ∣

Ngoài ra ( , ) ( ).AN A z z

Hàm f xác định trên n được gọi là

dưới tuyến tính nếu thỏa các tính chất:

thuần nhất không âm và dưới cộng tính, tức

là thỏa mãn tương ứng các tính chất sau:

i) ( ) ( ), 0, ,nf x f x x

ii) ( ) ( ) ( ), , .nf x y f x f y x y

Định lý 2.1 [11, Định lý 7.4.3, tr.147]

Giả sử hàm 1 2, : nf f là các hàm

Lipschitz địa phương tại .z Ta có:

1 2 1 2( )( ) ( ) ( ).c c cf f z f z f z

Chú ý rằng Định lý 2.1 có thể mở

rộng cho hữu hạn các hàm Lipschitz địa


60

phương tại .z

Chúng tôi cần đến một số khái niệm về

nghiệm tối ưu xấp xỉ cho bài toán tối ưu

sau đây. Xét bài toán

(P) Min ( )

s.t. ,

f x

x A

với : nf là hàm Lipschitz địa

phương và nA là tập đóng khác rỗng.

Định nghĩa 2.1 [12] Cho 0. Đối

với bài toán ( ), điểm z A được gọi là

i) -nghiệm nếu ( ) ( ) ,f z f x với

mọi x A ;

ii) Tựa -nghiệm nếu

( ) ( )f z f x x z ‖ ‖ với mọi x A ;

iii) -nghiệm chính quy nếu z là một

-nghiệm và là một tựa -nghiệm.

Nếu trong định nghĩa nói trên có nA ta sẽ thay từ “nghiệm” bởi từ cực

tiểu.

Định nghĩa 2.2 [11, Định nghĩa 7.4.1,

tr. 146] Hàm : nf được gọi là

chính quy tại z nếu ( ; ), ( ; )cf z d f z d tồn

tại và bằng nhau.

Trong bài báo [12], các tác giả đã nhắc

lại khái niệm -nửa lồi cho một hàm có

tính Lipschitz địa phương. Theo đó, hàm

f được gọi là -nửa lồi tại điểm z nếu

tại đó hàm f là chính quy và điều kiện sau

được thỏa mãn

( ; ) 0

( ) ( ), .n

f z d d

f z d d f z d

‖ ‖

‖ ‖

Bằng cách nới lỏng điều kiện chính

quy, trong bài báo [12], hàm -nửa lồi

được gọi là -giả lồi và được định nghĩa

lại như sau:

Định nghĩa 2.3 Cho : nf là

hàm Lipschitz địa phương. Hàm f được

gọi là -giả lồi tại z nếu

( ; ) 0

( ) ( ), .

c

n

f z d d

f z d d f z d

‖ ‖

‖ ‖

Hàm f được gọi là -giả lồi nếu f là

-giả lồi tại mọi .nz

Kết quả dưới đây nhận được trên

không gian Banach .X Ký hiệu *X để chỉ

không gian đối ngẫu của .X

Xét hàm : { }.f X Miền hữu

hiệu của f được ký hiệu và định nghĩa bởi

dom : { ( ) }.nf x f x ∣ Hàm f

được gọi là chính thường nếu dom .f

Bổ đề 2.1 [11, Định lý ( Homander ),

2.3.1b] Giả sử X là không gian Banach

với *X là không gian đối ngẫu. Xét

: { }p X là hàm chính thường,

nửa liên tục dưới và dưới tuyến tính trên

.X Khi đó, tập hợp

: { , ( ), }pM x X x x p x x X ∣

là một tập lồi, đóng, khác rỗng, đồng thời

.pM p

Mệnh đề 2.1 Cho f là hàm Lipschitz

địa phương xác định trên n và .nz

Hàm : { },np được định nghĩa

bởi

( ) : ( ; ) ,cp d f z d d ‖ ‖

là hàm chính thường, dưới tuyến tính và

nửa liên tục dưới.

Chứng minh: i) Hàm p là một hàm

chính thường: Ta có

(0) ( ;0) 0 0 ,cp f z ‖ ‖

hay p là một hàm chính thường.


61

ii) Hàm p là dưới tuyến tính: Với

1 2, nd d và 1 2, 0 ta có

1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2( ) ( ; ) .cp d d f z d d d d ‖ ‖

Vì ( ; )cf z là hàm thuần nhất dương và

dưới tuyến tính (xem [9, Mệnh đề 2.1.1]),

nên

1 1 2 2 1 1 2 2

1 1 2 2

( ; ) ( ; ) ( ; )

( ; ) ( ; ).

c c c

c c

f z d d f z d f z d

f z d f z d

Mặt khác, ta cũng có

1 1 2 2 1 1 2 2

1 1 2 2 .

d d d d

d d

‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖

‖ ‖ ‖ ‖

Vậy,

1 1 2 2 1 1 1

2 2 2

1 1 2 2

( ) ( ( ; ) )

( ( ; ) )

( ) ( ),

c

c

p d d f z d d

f z d d

p d p d

‖ ‖

‖ ‖

hay p là một hàm dưới tuyến tính.

iii) Hàm p là nửa liên tục dưới: Lấy

( ) n

n nd là một dãy tùy ý hội tụ về

,d ta có

( ) ( ; )

( ; ) .

c

c

n n n n

p d f z d d

f z d d d d d d

‖ ‖

‖ ‖

Chú ý rằng

( ; ) ( ; ) ( ; ).c c c

n n n nf z d d d f z d d f z d

Vì f là Lipschitz địa phương, khi n

đủ lớn, theo [9, Mệnh đề 2.1.1 b], tồn tại

0K để

( ; ) .c

n nf z d d K d d ‖ ‖

Hơn nữa, vì

,n n n nd d d d d d ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖

nên,

‖ ‖ ‖ ‖

‖ ‖

( ) ( , ) ( )

( ) ( ) .

c

n n n

n n

p d f z d d K d d

p d K d d

Khi n tiến đến vô cùng, ta nhận được:

( ) inf ( ).lim nn

p d p d

3. Dưới vi phân tựa xấp xỉ của hàm

Lipschitz địa phương

Từ các quan sát đã được chỉ ra trong

phần giới thiệu và khái niệm tựa -nghiệm

nói trong Định nghĩa 2.1, chúng tôi đề nghị

khái niệm tựa -dưới vi phân cho hàm

Lipschitz địa phương như sau:

Định nghĩa 3.1 Cho : nf là

hàm Lipschitz địa phương tại .nz Với

0 cho trước, một véc tơ nu được gọi

là -tựa dưới gradient hay còn gọi là tựa

dưới gradient xấp xỉ của hàm f tại z

nếu bất đẳng thức sau đây được thỏa mãn:

( ; ) , , .c nf z d d u d d ‖ ‖

Tập hợp tất cả các véc tơ u thỏa mãn

bất đẳng thức nêu trên được gọi là tựa -

dưới vi phân của hàm f tại z và được ký

hiệu bởi ( ),c f z tức là

∣

‖ ‖

( ) : { ( , )

, , }.

c n c

n

f z u f z d

d u d d

Trong định nghĩa nêu trên, để tương

thích với khái niệm tựa -nghiệm của

Loridan [6], được dùng để xây dựng

khái niệm tựa -dưới vi phân. Ngoài ra,

nếu 0 thì tựa -dưới vi phân của hàm

f tại z trùng với dưới vi phân Clarke của

hàm f tại .z

Sau đây chúng tôi giới thiệu một số kết

quả thu được từ khái niệm tựa -dưới vi

phân.

Mệnh đề 3.1 Cho : nf là hàm

Lipschitz địa phương tại .z Với 0 cho

trước, ta có


62

i) ( ) ( )c cg z f z trong đó

( ) ( ) .g x f x x z ‖ ‖ Dấu bằng trong

bao hàm thức xảy ra khi f là hàm lồi.

ii)( )

sup , ( ).c

c

u f z

v u v f z

‖ ‖ ‖ ‖

Chứng minh:

i) Lấy ( ).cu g z Khi đó,

, ( ; ), .c nu d g z d d

Mà

‖ ‖

‖ ‖

( ; ) ( ( ) ) ( ; )

( ; ) , .

c c

c n

g z d f z z d

f z d d d

Từ những điều trên, ta được

, ( ; ) , .c nu d f z d d d ‖ ‖

Hay ( ).cu f z

Hơn nữa, giả thiết thêm f là hàm

lồi thì g cũng là hàm lồi. Lấy

( ).cu f z Khi đó,

, ( ; ) , .c nu d f z d d d ‖ ‖

Với nx , đặt d x z , ta được

, ( ; ) .cu x z f z x z x z ‖ ‖

Vì f là một hàm lồi nên

0

( ; ) ( ; )

( ( )) ( )inf .

cf z x z f z x z

f z x z f z

Từ đó suy ra

( ; ) ( ) ( ).cf z x z f x f z

Từ những điều trên, ta được

, ( ) ( )

( ) ( ).

u x z f x x z f z

g x g z

‖ ‖

Hay ( ).u g z Ngược lại, lấy ( ),u g z

ta được

( .

, ( ) ( )

) ( ), n

u x z g x g z

f x x z f z x

‖ ‖

Đặt x z d với 0 đủ nhỏ và d

bất kỳ. Khi đó

, ( ) ( )u d f z d f z d ‖ ‖ .

Vậy

0

( ) ( ), lim

( ; )c

f z d f zu d d

f z d d

‖ ‖

‖ ‖ .

Ta nhận được ( ).cu f z

ii) Lấy tùy ý ( ).cv f z Ta được:

, ( ; ), .c nv d d f z d d ‖ ‖

Do f lồi nên

‖ ‖

‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖

( )

( )

, sup ,

sup , .

c

c

u f z

n

u f z

v d d u d

d d u d

Vậy

‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖

‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖

( )

( )

sup ,

sup , .

c

c

u f z

n

u f z

v d d u d

d d u d

Suy ra

( )

sup , .cu f z

v u d

‖ ‖

Ví dụ 3.1 Tìm dưới vi phân tựa xấp xỉ tại

0x của ( )f x x với 1

.4

Với 0x , ta có (0; ) | | .cf d d Từ

định nghĩa của dưới vi phân tựa xấp xỉ với

1

4 , ta nhận được

3| | . , .

2d u d d

Bất đẳng thức trên xảy ra với mọi d

khi 3

| | , .2

d u d d Tính toán ta


63

được 3 3

(0) ; .2 2

[ ]c f

Dùng kết quả của Mệnh đề 3.1, ta có

thể tìm dưới vi phân tựa xấp xỉ nói trên

theo một cách khác như sau: Vì ( )f x x

là hàm lồi tại 0,x ta tính được

(0) (0) [ 1,1]c f f nên (0)

sup 1.v f

v

‖ ‖

Theo công thức ii) trong Mệnh đề 3.1,

với (0),cu f ta có 1

| | 1 .2

u Vậy

3 3(0) ; .

2 2[ ]c f

Định nghĩa 3.2 Cho nK là tập

hợp khác rỗng và z K . Với 0 , tập các

pháp véc-tơ tựa xấp xỉ của K tại z

được định nghĩa bởi

( , ) : { , , ( , )}.Q nN K z u u d d d T K z ∣ ‖ ‖

Khi 0 và K là tập đóng, tập

( , )QN K z thu về nón pháp ( , )N K z theo

nghĩa Clarke. Hơn nữa, nếu K là tập lồi thì

tập ( , )QN K z trùng với nón pháp trong

Giải tích lồi.

Định lý 3.1 Cho nK là tập hợp

khác rỗng và .z K Với 0, tập

( , )QN K z là tập lồi đóng.

Chứng minh

i) ( , )QN K z là một tập lồi: Lấy tùy ý

, ( , ).Qu v N K z Ta được:

, , ( , ),

, , ( , ).

u d d d T K z

v d d d T K z

‖ ‖

‖ ‖

Với (0,1), nhân lần lượt hai bất

đẳng thức trên với và 1 rồi cộng theo

vế ta được

(1 ) , , ( , ), (0,1),u v d d d T K z ‖ ‖

tức là (1 ) ( , )Qu v N K z . Vậy ( , )QN K z

là một tập lồi.

ii) ( , )QN K z là tập đóng: Lấy ( )n nu

là một dãy thuộc ( , )QN K z sao cho nu hội

tụ về u khi n tiến đến vô cùng, ta có

, , ,

, ( , ).

n n

n

u d u u d u d

u u d d d T K z

‖ ‖‖ ‖ ‖ ‖

Khi n tiến đến vô cùng, ta được

, , ( , ).u d d d T K z ‖ ‖

Vậy ( , ),Qu N K z hay, ( , )QN K z là

một tập đóng.

Định lý 3.2 Cho : nf là hàm

Lipschitz địa phương tại .z Với 0,

( )c f z là một tập lồi đóng và bị chặn.

Chứng minh:

i) Tính lồi: Lấy tùy ý , ( ).cu v f z

Khi đó, ta có:

( ; ) , , ,

( ; ) , , .

c n

c n

f z d d u d d

f z d d v d d

‖ ‖

‖ ‖

Với (0,1), nhân lần lượt hai bất

đẳng thức trên với và 1 rồi cộng theo

vế ta được

( ; ) (1 ) , , ,c nf z d d u v d d ‖ ‖

tức là (1 ) ( ).cu v f z Vậy ( )c f z

là một tập lồi.

ii) Tính đóng: Gọi Lấy ( )n nu là một

dãy thuộc ( )c f z sao cho nu hội tụ về u

khi n tiến đến vô cùng, ta có

, , ,

( ; )

n n

c

n

u d u u d u d

u u d f z d d

‖ ‖‖ ‖ ‖ ‖ .

Khi n tiến đến vô cùng, ta được


64

, ( ; ) .cu d f z d d ‖ ‖

Vậy, ( )cu f z , hay, ( )c f z là một tập đóng.

iii) Tính bị chặn: Giả sử ( )c f z không

bị chặn. Lấy ( )c

kw f z sao cho .kw ‖ ‖

Xét điểm : .kk

k

wz z

w

‖ ‖ Hiển nhiên

kz bị

chặn. Khi đó,

( ; ) , , .c n

kf z d d w d d ‖ ‖

Với kd z z , ta nhận được:

( ; ) , ,c

k k k kf z z z z z w z z ‖ ‖

hay

( ; ) .c kk k

k

wf z z z w

w ‖ ‖ ‖ ‖

‖ ‖

Khi k vế phải của bất đẳng

thức tiến về , kéo theo về trái cũng tiến

về . Điều này mâu thuẫn với tính bị

chặn của đạo hàm Clarke khi hàm f

Lipschitz.

Hệ quả 3.1 Nếu nK là tập lồi

đóng khác rỗng thì

( , ) { ,

, }.

Q nN K z u u x z

x z x K

∣

‖ ‖

Chứng minh: Lấy ( , ).Qu N K z Theo

Định nghĩa 3.2 ta được u thuộc vế phải.

Ngược lại, lấy u thuộc vế phải. Vì K

là tập lồi nên ( , ) ( ( )).T K z cl cone K z

Khi đó, với d bất kì thuộc ( , )T K z tồn tại

dãy ( )n n ny x z hội tụ về d khi n tiến

đến vô cùng, trong đó nx K và 0.n

Do u thuộc vế phải nên

, n nu x z x z ‖ ‖ .

Từ đó dẫn đến

, ( ) ( ) ,n n n nu x z x z ‖ ‖

hay

, ,n nu y y ‖ ‖

khi n tiến đến vô cùng, ta có

, .u d d ‖ ‖

Vậy ( , ).Qu N K z

Bổ đề 3.1 Nếu nK là tập lồi đóng

và khác rỗng thì

( , ) ( ).Q c

KN K z z

Chứng minh: Chú ý rằng

( ) { ( ; )

, , }.

c n c

K Kz u z x z

x z u x z x K

∣

‖ ‖

Lấy ( , ).Qu N K z Theo Định nghĩa

3.1 dễ dàng suy ra ( ).c

Ku z

Ngược lại, lấy ( ).c

Ku z Vì K là

tập lồi nên, hàm K là hàm lồi. Khi đó,

( ; ) ( ; ) 0.c

K Kz x z z x z

Vì vậy, ta nhận được ( , ).Qu N K z

Chú ý 3.1 Khi 0, ta nhận được kết

quả quen thuộc trong Giải tích lồi

( , ) ( ).KN K z z

Định lý 3.3 Cho các hàm số , : nf g

là Lipschitz địa phương tại .z Khi đó,

i) 1 2 1 2

1 2

0 ,( )( ) ( ) ( ).c c cf g z f z g z

Dấu bằng trong bao hàm thức xảy ra

khi f và g là chính quy tại .z

ii) 2

( )( ) ( ), 0.c cf z f z

Chứng minh:

i) Với

1

2

1

2

( ) : { , ( ; ) , },

( ) : { , ( ; ) , },

( )( ) : { , ( ) ( ; )

, }.

c n c n

c n c n

c n c

n

f z u R u d f z d d d

g z u R u d g z d d d

f g z u R u d f g z d

d d

∣ ‖ ‖

∣ ‖ ‖

∣

‖ ‖


65

Chú ý rằng hàm ( ) : ( ; )cp d f z ‖ ‖

là hàm chính thường, nửa liên tục dưới và

dưới tuyến tính. Áp dụng Bổ đề 2.4, cho

các tập hợp 1 2

( ), ( )c cf z g z và ( )( ).c f g z

Ta có

1

2

1( )

2( )

( ) ( ; ) ,

( ) ( ; )

c

c

c

f z

c

g z

d f z d d

d g z d d

‖ ‖

‖ ‖

và

( )( )( ) ( ) ( ; ) .c

c

f g zd f g z d d

‖ ‖

Với d cho trước, ta xét hàm

1( ) , , ( ).cq u u d u f z

Do q là hàm liên tục mà 1

( )c f z là

tập compact nên tồn tại 10 ( )cu f z sao cho

1

0( )

max , , .cu f z

u d u d

Chứng minh tương tự, khi đó tồn tại

20 ( )cv g z sao cho

2

0( )

max , , .cv g z

v d v d

Với mọi ,u v bất kì thuộc 1 2

( ), ( ),c cf z g z

ta có

1 2

1 2

0 ( ) ( )

0( ) ( ).

, ( ),

, ( ) , ,

c c

c c

n

f z g z

n

f z g z

u v d d d

u d d v d d

Vậy

1 21

1 21

1 2 1 2

0( ) ( )( )

0 ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

max , ( ) , ,

max , , ( ),

( ) ( ) ( ), .

c cc

c cc

c c c c

n

f z g zu f z

n

f z g zu f z

n

f z g z f z g z

u d d v d d

u d v d d d

d d d d

Mà

1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ), .c c c c

n

f z g z f z g zd d d d

Vậy

1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ).c c c cf z g z f z g zd d d

Mà 1 2 và

( ) ( ; ) ( ; ) ( ; ), ,c c c nf g z d f z d g z d d

nên,

1

2

( ) ( ; ) ( ; )

( ; ) .

c c

c

f g z d d f z d d

g z d d

‖ ‖ ‖ ‖

‖ ‖

Mà

1 21( ) ( )

2

( ) ( ; )

( ; ) .

c c

c

f z g z

c

d f z d d

g z d d

‖ ‖

‖ ‖

Điều này dẫn đến:

1 2( )( ) ( ) ( )

( ) ( ).c c cf g z f z g zd d

Áp dụng Chú ý 2.1, ta suy ra được

1 2 1 2

1 2

0 ,( )( ) ( ) ( ).c c cf g z f z g z

Nếu giả thiết thêm f và g là các hàm

chính quy, khi đó ta có

1

2

( ) ( ; ) ( ; )

( ; ) .

c c

c

f g z d d f z d d

g z d d

‖ ‖ ‖ ‖

‖ ‖

Từ đó ta có

1 2( )( ) ( ) ( )

( ) ( )c c cf g z f z g zd d

Áp dụng Chú ý 2.1, ta suy ra được

1 2 1 2

1 2

0 ;( )( ) ( ) ( ).c c cf g z f z g z

ii) Lấy ( )( ).cu f z Khi đó, theo

định nghĩa -tựa dưới vi phân, ta có

( ) ( ; ) , , , 0.c nf z d d u d d ‖ ‖

Nên,

( ; ) , , , 0.c nuf z d d d d

‖ ‖

Vậy, 2

( )cuf z

, tức là,

2

( ).cu f z


66

Do đó, 2

( )( ) ( )c cf z f z

.

Ngược lại, lấy 2

( ).cu f z

Khi đó,

tồn tại 2

( )cv f z

sao cho .u v Vì

2

( ),cv f z

nên,

( ; ) , , , 0.c nf z d d v d d

‖ ‖

Do đó,

( ; ) , , , 0.c nf z d d v d d ‖ ‖

Vậy ta có được u thuộc ( )( ).c f z Tóm

lại, 2

( )( ) ( ), 0.c cf z f z

Chú ý 3.2 Nếu , : nf g là các

hàm lồi. Khi đó, với 0 , ta có

( )( ) ( ) ( ).f g z f z g z

Định lý 3.4 Cho hàm Lipschitz địa

phương : .nf Giả sử rằng f là

hàm -giả lồi tại .z Khi đó, z là tựa -

cực tiểu của hàm f khi và chỉ khi

0 ( ).c f z

Chứng minh: Hiển nhiên, nếu 0 ( )c f z thì

( ; ) 0, .c nf z d d d ‖ ‖ Do f là

hàm -giả lồi tại z nên kéo theo

( ) ( ), .nf z d d f z d ‖ ‖ (2.1)

Đặt :d x z với x bất kỳ, ta kết luận

được z là tựa -cực tiểu của f theo Định

nghĩa 2.1.

Ngược lại, giả sử z là một tựa -cực

tiểu của f trên ,n tức là,

.( ) ( ) , nf z f x x z x ‖ ‖

Đặt ( ) : ( ) , .ng x f x x z x ‖ ‖

Ta có ( ) ( ).g z f z Khi đó, bất đẳng thức

(2.1) tương đương với ( ) ( ), .ng z g x x

Vì g cũng là hàm Lipschitz địa phương

và z là cực tiểu của g trên ,n nên

0 ( ).cg z Vì ( )h x x z ‖ ‖ là hàm lồi

nên ( ) ( )ch z h z B với B là hình cầu

đóng đơn vị trong .n Vì vậy, ta có

( ) { ( ) }( ) ( ) ,c c cg z f z z f z B ‖ ‖

nên, 0 ( ) .c f z B Suy ra, tồn tại

( )cw f z và b B sao cho 0 .w b

Khi đó,0 0, , ,

( ; ) , .c n

d w d b d

f z d d d

‖ ‖

Do đó, 0 ( ).c f z

Định lý 3.5 Với bài toán ( ), giả sử

A là tập lồi đóng. Giả sử thêm rằng f là

hàm -giả lồi tại .z A Khi đó, z là tựa

-nghiệm của bài toán ( ) nếu và chỉ nếu

tồn tại 1 2, sao cho các điều kiện sau đây

được thỏa mãn:

1 2

1 2 1 2

0 ( ) ( , ),

, 0, .

c Qf z N A z

Chứng minh

" " Nếu 1 2

0 ( ) ( , ),c Qf z N A z thì

tồn tại 1 2

( ), ( , ).c Qu f z u N A z Khi đó,

2, , ,u x z x z x A ‖ ‖

hay

2, , .u x z x z x A ‖ ‖

Vì 1

( )cu f z nên

1

2

( ; ) ,

, ,

cf z x z x z u x z

x z x A

‖ ‖

‖ ‖

hay,1 2( ; ) ( ) 0, .cf z x z x z x A ‖ ‖

Do f là hàm -giả lồi tại z và


67

1 2 , nên ta nhận được

( ) ( ).f x x z f z ‖ ‖

Vậy z là tựa -nghiệm của bài toán

(P) theo Định nghĩa 2.1 ii).

" " Giả sử z là một tựa -nghiệm

của bài toán (P). Khi đó, z cũng là một

tựa -nghiệm của bài toán (P ) :

(P ) Min ( ) ( ),

s.t. .

A

n

f x x

x

Đặt ( ) : ( ) ( ).Ag x f x x Áp dụng Định

lý 3.4, ta nhận được 0 ( ).c g z Theo Định

lý 3.3, tồn tại 1 2, 0 và 1 2

sao cho 1 2

0 ( ) ( ).c c

Af z z Mặt khác, do

A tập lồi nên theo Bổ đề 3.1, bao hàm thức

được viết lại

1 20 ( ) ( , ).c Qf z N A z

Chứng minh kết thúc.

Kết luận

Trong bài báo này, chúng tôi giới thiệu

khái niệm dưới vi phân tựa xấp xỉ cho hàm

Lipschitz địa phương và tập các pháp véc-tơ

tựa xấp xỉ cho các tập đóng khác rỗng trên

không gian .n Dựa trên các kết quả thu

được về dưới vi phân tựa xấp xỉ cho tổng

hai hàm và các kết quả liên quan, chúng tôi

thiết lập các điều kiện tối ưu xấp xỉ cho một

lớp bài toán tối ưu không lồi tổng quát.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] F. Bai, Z. Wu, D. Zhu, “Sequential Lagrange multiplier condition for -optimal

solution in convex programming”, Optimization, 57(5), 669-680, 2008.

[2] T. D. Chuong, D. S. Kim, “Approximate solutions of multiobjective optimization

problems”, Positivity, 20, 187-207, 2016.

[3] Kim D. S, Son T. Q, “An Approach to 𝜖-duality Theorems for Nonconvex Semi-

infinite Multiobjective Optimization Problems”, Taiwanese Journal of Mathematics,

22(5), 1261-1287, 2018.

[4] T.Q. Son, N.V. Tuyen, C.F. Wen, “Optimality conditions for approximate solutions

of nons-mooth semi-infinite multiobjective optimization problems”, Acta

Mathematica Vietnamica, 45, 435-448, 2020.

[5] N.V. Tuyen, Y-B Xiao, T.Q. Son, “On AKKT optimality conditions for cone

constrained vector optimization problems”, Journal of Nonlinear and Convex

Analysis, 21(1), 105-117, 2020.

[6] P. Loridan, “Necessary Conditions for 𝜖-Optimality”, Mathematical Programming

Study, 19, 140-152, 1982.

[7] A.D. Ioffe, “Approximate Sundifferentials and Applications. I: The Finite

Dimensional Theory”, Transactions of the American Mathematical Society, 281(1),

389-416, 1984.


68

[8] A.D. Ioffe, “Proximal Analysis and Approximate subdifferentials”, J. London Math.

Soc, 41(2), 175-192, 1990.

[9] Clarke F.H, Optimization and nonsmooth analysis, Willey-Interscience, 1983.

[10] Dhara, J. Dutta, Optimality conditions in Convex Optimization: A Finite-

Dimensional View, Taylor & Francis Group, 2012.

[11] W. Schirotzek, Nonsmooth Analysis, Springer-Verlag, 2007.

[12] T.Q. Son, J.J. Strodiot, V.H. Nguyen, “𝜖 -Optimality and 𝜖 -Lagrangian duality for a

nonconvex programming problem with an infinite number of constraints”, Journal of

Optimization Theory and Applications, 141, 389-409, 2009.

Ngày nhận bài: 07/9/2020 Biên tập xong: 15/6/2021 Duyệt đăng: 20/6/2021

DƯỚI VI PHÂN TỰA XẤP XỈ CỦA HÀM LIPSCHITZ ĐỊA ...

Documents

Transcript of DƯỚI VI PHÂN TỰA XẤP XỈ CỦA HÀM LIPSCHITZ ĐỊA ...