Canonical CorrelationLuis Carlos Ibáñez León

September 2015

Análisis de Correlación Canónica

El análisis de correlación canónica es un método de análisis multivariante desarrollado por Harold Hotelling.Su objetivo es buscar las relaciones que pueda haber entre dos grupos de variables y la validez de las mismas.Se diferencia del análisis de correlación múltiple en que este solo predice una variable dependiente a partir demúltiples independientes, mientras que la correlación canónica predice múltiples variables dependientes apartir de múltiples independientes.

Las correlaciones canónicas constituyen una generalización de las correlaciones simples y múltiples. Lascorrelaciones simples estiman la relación existente entre dos variables, la variable independiente X y ladependiente Y. Las correlaciones múltiples estiman la relación entre un conjunto de variables independientesXi y una sola variable dependiente Y. Las correlaciones canónicas estiman la correlación existente entre unconjunto de variables independientes Xi y otro conjunto de variables dependientes Yi.

Keywords

Correlación La correlación trata de establecer la relación o dependencia que existe entre las dos variables queintervienen en una distribución bidimensional.Es decir, determinar si los cambios en una de las variables influyen en los cambios de la otra. En caso de quesuceda, diremos que las variables están correlacionadas o que hay correlación entre ellas.

Canónico Ésta palabra indica algo que es natural e independiente de elecciones arbitrarias, que es absoluto yno relativo a un observador, que es intrínseco y no depende de un sistema de referencia o de un sistema decoordenadas, que pertenece a la estructura propia de lo que estudiamos.

Cómo funciona

Algunas estructuras de datos multivariados complejos se comprenden mejor mediante el estudio de lasproyecciones de baja dimensionalidad. Para un estudio conjunto de dos conjuntos de datos, podemospreguntar qué tipo de proyección de pocas dimensiones ayuda en el hallazgo posibles estructuras comunespara las dos muestras. El análisis de correlación canónica es una herramien ta estándar de análisis estadísticomultivariado para el descubrimiento y cuantificación de las asociaciones entre dos conjuntos de variables.

La técnica básica se basa en proyecciones. Uno de fine un índice (variable multivariante proyectada) quese correlaciona con el índice máximo de la otra variable para cada muestra por separado. El objetivo delanálisis de correlación canónica es maximizar la asociación (medida por la correlación) entre los salientes debaja dimensionalidad de los dos conjuntos de datos. Los vectores de correlación canónica se encuentran porun análisis de covarianza conjunta de las dos variables.

Supongamos que tenemos dos variables aleatorias Xq e Yp. La idea es encontrar un índice que describe una(posible) relación entre X e Y. El análisis de correlación canónica (CCA) se basa en los índices lineales, i.e. ,combinaciones lineales

aTX y bTY

de las variables aleatorias. El CCA busca vectores a y b tales que la relación entre los dos indices aT y bT escuantificada de manera interpretable.

1

Aplicaciones del Análisis e Correlación Canónica

El análisis de correlación canónica puede ser un instrumento adecuado para tratar los supuestos en los quese dispone de información de un conjunto numeroso de variables que pueden agruparse en dos grupos, elprimero formado por las variables explicativas y el segundo por las explicadas y, además, dentro de cadagrupo se observa un elevado grado de correlación entre las variables.

Su uso se extiende dentro de las ciencias sociales como la politica y educación hasta las ciencias de latierra como la biología y la química. Es el modelo mas generalizado de la familia de técnicas de análisismultivariado ya que permite analizar relaciones multidimensionales entre mltiples variables independientes yotras dependientes.

Correlación Canónica en R

R ofrece a través de el paquete CCA un conjunto de funciones que extienden la funcion ‘cancor’, y permitelidear con conuntos de datos en los que el número de variables sea mayor que el número de observaciones.

Para realizar un análisis de Correlación Canónica es necesario instalar el paquete de R que nos permite llevara cabo éste análisis y cargar la librería corresponiente.

install.packages("CCA")library("CCA")install.packages("MBESS")library("MBESS")install.packages("yhat")library("yhat")

Para comenzar a trabajar con las funciones que podemo utilizar en R para desarrollar un CCA trataremosvarios ejemplos.En el primero se trata de encontrar las posibles correlaciones ente las variables que describendos conjuntos de datos sobre una población (ambas tablas se muestran en la sección de anexos).

La primera matriz nos muestra 29 observaciones de individos a los cuales se les extrajo la siguiente información:

EdadGeneroNivel socioeconómicoEscolaridadOcupacionEstado Civil

La segunda tabla nos muestra los puntajes obtenidos por los 29 individuos(rows) despues de haberles aplicadoel test Cleaver(tipo y estilo de comportamiento), las variables que en esta tabla se muestran (cols) son:

D Dominio o empuje: La capacidad de liderazgo, de lograr resultados, de aceptar retos, de superarproblemas y tener iniciativaI Influencia: Habilidad para relacionarse con la gente y motivarla para que realice actividadesespecíficas.S Constancia: Capacidad para realizar trabajos de manera continua y rutinaria, que no requieracambios.C Apego: Habilidad para desarrollar trabajos respetando normas y procedimientos establecidos.

2

Análisis CCA

Cuando el numero de observaciones (n) es mucho mas grande que el numero de variables (p,q),(como eneste caso), procedemos a hacer un análisis de correlación canónica con la siguiente serie de comandos: Losresutados de esta instrucción se muestran en la seccion de Anexos

require(CCA)res<-cc(tablon,data)res

Para identificar las dimensiones o componentes a los que fueron reducidas las variables, de forma grafica, esnecesario hacer un plot de el vector de correlaciones obtenido en el analisis realizado con la funcion cc()

barplot(res$cor, xlab = "Dimension",ylab = "Canonical correlations", ylim = c(0,1))

Dimension

Can

onic

al c

orre

latio

ns

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Y de ésta manera podemos apreciar los Coeficientes de Correlación Canónica de forma numérica

res$cor

## [1] 0.7703545 0.5265784 0.4151710 0.1486793

Mediante la siguiente instrucción podemos observar los coeficientes de correlacion de cada grupo de variablescon los coeficientes de correlacion canonica para poder definir las Variables Canónicas.

3

res$xcoef[,1]

## EDAD GEN NSE ESC OCUP CIV## 0.06826268 0.51731034 -0.79123910 0.56326838 0.11820781 -1.83692747

res$ycoef[,1]

## D I S C## 0.01745376 0.01520050 -0.02788115 -0.04800486

Así, observamos que para las variables Independientes, la primer Variable Canónica podria ser interpretadapor las variables de NSE y Género con un peso negativo en Ocupación. Vemos también que es difícil definirla segunda variable ya que los coeficientes de correlacion son muy bajos.

Para observar de manera gráfica como se relacionan los dos conjuntos de variables con las nuevas variablescanónicas, podemos apoyarnos en un mapa realizando la siguiente instruccion

−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0

−1.

0−

0.5

0.0

0.5

1.0

Dimension 1

Dim

ensi

on 2

EDAD

GEN

NSE

ESC

OCUPCIV

DI

S

C

−1 0 1 2

−2.

0−

1.5

−1.

0−

0.5

0.0

0.5

1.0

Dimension 1

Dim

ensi

on 2

17

18

22

27

31

26

3425

33

19

1921

25 22

32

35

29

2722

24

26

21

19

21

32

34

27

32

29

1

2

1

1

2

2

21

2

1

2 2

2 1

1

2

1

12

2

2

1

2

1

1

1

2

1

2

2

3

2

3

4

3

32

3

3

4 4

3 2

3

2

1

23

2

3

2

1

1

1

4

2

3

2

3

4

3

4

5

3

54

4

4

3 3

4 5

5

5

4

44

4

5

4

5

5

5

3

5

3

4

1

1

3

2

2

2

22

2

1

1 1

1 1

2

2

2

23

2

2

2

2

2

2

2

2

2

3

1

1

2

1

1

1

22

2

1

1 1

2 1

2

2

1

22

2

1

2

1

2

2

1

2

1

2

A continuación veamos otro ejemplo.

Relación Producto Percepción

Aplicaremos el CCA en dos matrices de datos X y Y que corresponden a dos ses de valores Price, ValueStability y Economy, Service, Design, Sporty car, Safety, Easy handling respectivamente.

4

mark<-matrix(c(3.9,4.8,3,5.3,2.1,2.3,2.5,4.6,3.2,2.6,4.1,3.2,2.6,2.2,3.1,2.9,2.7,3.9,2.5,3.6,3.8,3.1,3.7,2.8,1.6,3.8,2.9,3.9,3.1,3.4,2.4,3.9,3.3,1.7,2.9,3.3,2.4,2.6,3.5,3.3,2.8,2.9,4.7,2.3,2.2,4.7,2.2,1.9,3.8,2.2,4,3.4,3.2,1.6,4.3,3.7,1.8,3.2,3.9,3,2.3,3.6,3.4,2.6,3.4,5.5,1.9,2.1,5.5,4.2,5,2.7,5.9,2.6,2.6,2.2,5.5,2,2.8,4.6,3.5,2.1,2.6,3.6,2.8,3,4,3,1.5,4.2,3.2,1.7,3,2,4,1.7,4.5,3.2,3.3,1.3,4.3,3.7,2.4,3.1,3.5,3.2,2.8,3.2,3.1,2.6,3.2,4.1,3.1,3.5,4.8,3.1,2.5,4.4,1.1,4.4,3.3,3.3,1.6,4.5,3,3.2,3.1,3.9,4,2.9,3.8,3.4,3,3.1,5.8,3.6,3.5,5.2,2.4,1.6,4,3.3,4.4,3.6,3.3,2.8,4.7,3.7,1.4,2.9,3.8,2.9,2.4,3.2,3,3.2,3.2,5.9,1.6,2.8,5.5,2.8,2.8,2.6,4.3,2.2,2.8,2.4,3.6,2.9,3.1,2.4,2.6,2.4,2.4,2.4,2.6,2.7,3,2.8,3.1,2.4,1.8,4),ncol=8)

colnames(mark)<-c("Economy","Service","Value","Price","Design","Sport","Safety","Easy")

dimnames(mark)[[1]]<-c("Audi","BMW","Citroen","Ferrari","Fiat","Ford","Hyundai","Jaguar","Lada","Mazda","Mercedes","Mitsubishi","Nissan","Opel","Chevy","Peugeot","Renault","Rover","Toyota","Trabant","VW","Alfa Romero","Wartburg")

Declaramos los data sets de variables independientes e independientes

xmark<-mark[,3:4]ymark<-mark[,-(3:4)]

Realizamos el analisis con la funcion cc()

bull<-cc(ymark,xmark)bull$corbull

Y observamos los coeficientes para cada set

bull$xcoef[,2]

## Value Price## -1.1828983 -0.5444246

bull$ycoef[,2]

## Economy Service Design Sport Safety Easy## 0.2096743 -0.8962260 0.2047663 -0.8662753 -0.4001649 -0.9755331

Ahora realizamos el analisis grafico de las correlaciones

5

barplot(bull$cor, xlab = "Dimension",ylab = "Canonical correlations", ylim = c(0,1))

Dimension

Can

onic

al c

orre

latio

ns

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

plt.cc(bull,type="b",var.label=TRUE,ind.names=paste(mark))

6

−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0

−1.

0−

0.5

0.0

0.5

1.0

Dimension 1

Dim

ensi

on 2

Value

Price

Economy

Service

Design

Sport

Safety

Easy

−2 −1 0 1 2

−2

−1

01

Dimension 1

Dim

ensi

on 2

3.9

4.8

3

5.3

2.12.3

2.5

4.6

3.2

2.6

4.1

3.2

2.6

2.2

3.12.9

2.7

3.9

2.5

3.6

3.8

3.1

3.7

2.8

1.6

3.8

2.9

3.9

3.13.4

2.4

3.9

3.3

1.7

2.9

3.3

2.4

2.6

3.53.3

2.8

2.9

4.7

2.3

2.2

4.7

2.2

1.9

3.8

2.2

4

3.4

3.21.6

4.3

3.7

1.8

3.2

3.9

3

2.3

3.6

3.42.6

3.4

5.5

1.9

2.1

5.5

4.2

5

2.7

5.9

2.6

2.6

2.2

5.52

2.8

4.6

3.5

2.1

2.6

3.6

2.8

3

43

1.5

4.2

3.2

1.7

3

2

4

1.7

4.5

3.2

3.3

1.3

4.33.7

2.4

3.1

3.5

3.2

2.8

3.2

3.1

2.6

3.24.1

3.1

3.5

4.8

3.1

2.5

4.4

1.1

4.4

3.3

3.3

1.6

4.5

33.2

3.1

3.9

4

2.9

3.8

3.4

3

3.1

5.83.6

3.5

5.2

2.4

1.6

4

3.3

4.4

3.6

3.3

2.8

4.7

3.7

1.42.9

3.8

2.9

2.4

3.2

3

3.2

3.2

5.9

1.62.8

5.5

2.8

2.8

2.6

4.3

2.2

2.8

2.4

3.6

2.9

3.1

2.4

2.62.4

2.4

2.4

2.6

2.7

3

2.8

3.1

2.4

1.84

La funcion matcor() de la paquereria CCA() permite realizar la matriz de correlaciones de dos matrices detamaño (n.p) y (n.q).

Para poder observar de forma gráfica la matriz de correlaciones que nos permita hacer un analisis visualdel comportamiento de las variables primero, creamos una tabla de correlaciones entre las dos matrices quedeseamos analizar.

Creamos la matriz de correlaciones

LMFAO<-matcor(xmark,ymark)

Y gracias a la siguiente función podemos realizar un mapa de correlciones de la matriz antes declarada

img.matcor(LMFAO,type=2)

7

X correlation Y correlation

Cross−correlation

−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0

Para este caso, observamos que la primera variable canonica puede ser intermpretada como un indice entre elprecio y el valor. La segunda variable canónica estaría principalmene formada por las variables cualiativaseconomia, servicio y manejo, con pesos negativos en la seguridad y deportividad. Las variables deben tambienser intempretadas como la apreciacion del valor del automovil. La deportividad tiene un efecto negativo en elindice de valor-precio, asi como tambien el diseño y la seguridad que brindan.

Marcas y Atributos

En este ejemplo se trbajara con dos sets de variables las cuales contienen informacion respecto al conocimientoy persepcion que tienen los entrevistados sobre istintas marcas de chocolates, en este caso las variablesindependientes (para este caso) son las de conocimiento previo de la marca como el estar familiarizado con elproducto, saberlo diferenciar de los demas y si es del gusto del entrevistado, mientras que las dependientesson atributos que la gente relaciona a las marcas dependiendo de sus respuestas anteriores.

YOLO<-read.csv("C:/Users/Patricia/Documents/tablita mini.csv",header=TRUE)dimnames(YOLO)[[1]]<-c("FAM","DIF","PERS","MUCH","CAL","CON","SAT","VAL","PUB")YOLO<-YOLO[,-1,-2]YOLO<-YOLO[,-1,-2]attach(YOLO)YOLO

## Dove Carlos.V Milky.Way Ferrero.Rocher Snickers Hersheys Mitch Larin## FAM 678 401 803 669 756 876 349 554## DIF 735 570 667 653 364 1088 555 454## PERS 303 300 693 590 902 908 735 655

8

## MUCH 676 495 885 495 648 782 667 438## CAL 492 475 1036 654 703 679 782 265## CON 559 782 261 498 667 894 756 669## SAT 347 398 673 595 706 1047 667 653## VAL 98 895 982 495 985 733 795 103## PUB 108 439 1053 475 836 795 885 495

Declaramos las matrices de variables independientes y dependientes.

trasp<-t(YOLO[,-1])trasp

## FAM DIF PERS MUCH CAL CON SAT VAL PUB## Carlos.V 401 570 300 495 475 782 398 895 439## Milky.Way 803 667 693 885 1036 261 673 982 1053## Ferrero.Rocher 669 653 590 495 654 498 595 495 475## Snickers 756 364 902 648 703 667 706 985 836## Hersheys 876 1088 908 782 679 894 1047 733 795## Mitch 349 555 735 667 782 756 667 795 885## Larin 554 454 655 438 265 669 653 103 495

y<-t(YOLO[-(1:3),-1])x<-(as.matrix(trasp[,1:3]))

Realizamos el analisis correspondiente.

chk<-cc(x,y)chk$xcoef

## [,1] [,2] [,3]## FAM 0.003679739 -0.0033862059 -0.00494852## DIF -0.004875669 -0.0007917235 0.00000000## PERS -0.001569232 0.0059913477 0.00000000

chk$ycoef

## [,1] [,2] [,3]## MUCH -0.012059220 -0.0142600054 0.001423861## CAL -0.006372139 0.0010791646 0.003589733## CON -0.007385130 0.0012547271 0.006326378## SAT 0.004168575 0.0032593655 -0.008656431## VAL 0.004608587 0.0001104459 -0.003623012## PUB 0.005329829 0.0091536107 0.002334385

Nos apoyamos del gráfico para la definicion de las variables canónicas.

plt.cc(chk,d1=1,d2=2,type="v",var.label=TRUE,ind.names=paste(YOLO))

9

−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0

−1.

0−

0.5

0.0

0.5

1.0

Dimension 1

Dim

ensi

on 2

FAM

DIF

PERS

MUCHCALCON

SAT

VAL

PUB

Observamos el comportamiento de los datos y como se relacionan unas variables con otras con ayuda delgrafico de la matriz de correlaciones.

chkc<-matcor(x,y)img.matcor(chkc,type=2)

10

X correlation Y correlation

Cross−correlation

−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0

Es difícil interpretar los coeficientes y sacar conclusiones sobre cuales variables son las que obtenemos ya quelos valores de los coeficientes son muy pequeños, sin embargo podemos apoyarnos en los gráficos para obtenerciertas conclusiones.

El problema de la interpretacion en estos ejemplos se debe a que el Análisis de Correlación Canónica funcionamejor, o tiene mejores resultados cuando se trabaja con muestras grandes.

Conclusiones

El Análisis de Correlación Canónica es un método estadístico empleado para investigar las relaciones entredos o más conjuntos de variables, cada uno compuesto por al menos dos variables. Éste análisis es la formamultivariante del modelo lineal general.

Éste es un potente metodo cuando tratamos de encontrar las variables latentes (que no observamos poerosospechamos que ahi estan), analizando los datos existentes. No sólo estima las relaciones positivas entre lasvariables, sino tambien las negativas, de esta manera las variables endógenas que obtenemos nos describen demanera mas eficiente la muestra que analisamos.

Bibliografía

Härdle· Simar. (2006), Applied Multivariate Statistical Analysis. USA: Springer.

11

Anexos

Tabla variables independientes Ej.

tablon<- matrix(c(17,18,22,27,31,26,34,25,33,19,19,21,25,22,32,35,29,27,22,24,26,21,19,21,32,34,27,32,29,1,2,1,1,2,2,2,1,2,1,2,2,2,1,1,2,1,1,2,2,2,1,2,1,1,1,2,1,2,2,3,2,3,4,3,3,2,3,3,4,4,3,2,3,2,1,2,3,2,3,2,1,1,1,4,2,3,2,3,4,3,4,5,3,5,4,4,4,3,3,4,5,5,5,4,4,4,4,5,4,5,5,5,3,5,3,4,1,1,3,2,2,2,2,2,2,1,1,1,1,1,2,2,2,2,3,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,1,1,2,1,1,1,2,2,2,1,1,1,2,1,2,2,1,2,2,2,1,2,1,2,2,1,2,1,2)

,ncol=6)

colnames(tablon)<-c("EDAD","GEN","NSE","ESC","OCUP","CIV" )tablon

## EDAD GEN NSE ESC OCUP CIV## [1,] 17 1 2 3 1 1## [2,] 18 2 3 4 1 1## [3,] 22 1 2 3 3 2## [4,] 27 1 3 4 2 1## [5,] 31 2 4 5 2 1## [6,] 26 2 3 3 2 1## [7,] 34 2 3 5 2 2## [8,] 25 1 2 4 2 2## [9,] 33 2 3 4 2 2## [10,] 19 1 3 4 1 1## [11,] 19 2 4 3 1 1## [12,] 21 2 4 3 1 1## [13,] 25 2 3 4 1 2## [14,] 22 1 2 5 1 1## [15,] 32 1 3 5 2 2## [16,] 35 2 2 5 2 2## [17,] 29 1 1 4 2 1## [18,] 27 1 2 4 2 2## [19,] 22 2 3 4 3 2## [20,] 24 2 2 4 2 2## [21,] 26 2 3 5 2 1## [22,] 21 1 2 4 2 2## [23,] 19 2 1 5 2 1## [24,] 21 1 1 5 2 2## [25,] 32 1 1 5 2 2## [26,] 34 1 4 3 2 1## [27,] 27 2 2 5 2 2## [28,] 32 1 3 3 2 1## [29,] 29 2 2 4 3 2

Tabla variables dependientes Ej. 1

12

data<- matrix(c(sample(50:100,116,replace=T)),ncol=4)

dimnames(data)[[1]]<-c(1:29)dimnames(data)[[2]]<-c("D","I","S","C")

data

## D I S C## 1 97 81 73 79## 2 62 89 85 54## 3 92 80 99 62## 4 74 65 72 72## 5 74 90 69 69## 6 94 67 54 99## 7 55 62 92 86## 8 82 72 63 93## 9 95 67 65 56## 10 54 86 73 71## 11 79 71 92 61## 12 67 100 56 62## 13 58 90 89 96## 14 93 65 89 71## 15 69 93 90 53## 16 55 59 95 57## 17 59 51 57 74## 18 79 53 95 91## 19 56 55 60 50## 20 75 73 81 73## 21 100 79 88 84## 22 59 78 79 78## 23 73 52 62 55## 24 56 88 77 76## 25 86 96 81 98## 26 68 97 99 62## 27 96 92 54 67## 28 94 73 67 81## 29 93 62 65 66

Resultados obtenidos con la funcion cc( ) Ej. 1

require(CCA)res<-cc(tablon,data)res

## $cor## [1] 0.6929647 0.4503488 0.2299387 0.1838858#### $names## $names$Xnames## [1] "EDAD" "GEN" "NSE" "ESC" "OCUP" "CIV"##

13

## $names$Ynames## [1] "D" "I" "S" "C"#### $names$ind.names## NULL###### $xcoef## [,1] [,2] [,3] [,4]## EDAD -0.006601079 0.1415098 -0.05605797 -0.05176674## GEN -1.256477958 -0.2174950 0.09929910 1.03661942## NSE 0.855847483 -1.1096585 0.02604722 -0.60724421## ESC 0.436027541 -0.6961888 0.95653643 -0.01398497## OCUP -1.188860101 -1.0084386 0.41710329 -1.27351474## CIV 1.431378932 0.3009090 0.89519968 -0.04505563#### $ycoef## [,1] [,2] [,3] [,4]## D -0.02364156 0.003142227 -0.045422445 -0.04141600## I 0.04464777 -0.023970544 -0.041478129 0.01928174## S 0.03455962 0.012661283 0.018776299 -0.05734172## C 0.01599764 0.064843670 -0.005297279 0.02454992#### $scores## $scores$xscores## [,1] [,2] [,3] [,4]## [1,] 0.06887140 0.91917813 -1.448072379 1.37147859## [2,] 0.09766738 -0.96265441 -0.422247587 1.73510210## [3,] -0.91047527 -0.08924109 0.001044052 -1.47944022## [4,] 0.10587553 -0.48000977 -0.608965093 -1.04093273## [5,] 0.11486828 -1.93731290 0.248685802 -0.83260944## [6,] -1.58002889 -0.14282574 -1.410144457 0.06143840## [7,] 0.67059650 -0.10221600 0.949664368 -0.42572108## [8,] 0.69460914 0.64753810 0.372303300 -0.37521067## [9,] 0.24117003 0.45246302 0.049185900 -0.35996937## [10,] 1.34754426 -0.60364961 -0.577604658 0.64671593## [11,] 0.51088625 -1.23461430 -1.408794767 1.09007612## [12,] 0.49768409 -0.95159469 -1.520910698 0.98654263## [13,] 1.48283876 0.32882319 0.080546336 1.32767929## [14,] 0.90792109 0.23434950 0.184710661 1.08467495## [15,] 1.94027661 -0.16774062 0.962481194 -1.35880702## [16,] -0.19185206 1.14895233 0.867559184 0.12975639## [17,] -1.61902159 2.02232689 -0.773175462 0.07002221## [18,] 0.68140698 0.93055771 0.260187369 -0.47874415## [19,] -0.87507820 -2.11258343 1.082926809 -1.06404997## [20,] -0.55526774 0.28853331 0.527660371 0.71317550## [21,] -0.70797381 -1.53520340 0.502928411 0.03346847## [22,] 0.72101345 0.08149888 0.596535163 -0.16814371## [23,] -2.37346122 -0.30645498 0.843239731 1.61032407## [24,] 0.30119351 0.49496858 1.527024377 0.42511554## [25,] 0.22858165 2.05157644 0.910386756 -0.14431861## [26,] 0.47948792 0.09708916 -1.931860067 -1.99655915## [27,] -0.13904344 0.01687389 1.316022908 0.54389031## [28,] -0.36315740 0.92372808 -1.845791355 -1.28578146

14

## [29,] -1.77713323 -0.01235627 0.664473831 -0.81917294#### $scores$yscores## [,1] [,2] [,3] [,4]## 1 -0.27004129 0.3229511 -1.30562527 -0.40492425## 2 0.92936973 -1.4479475 0.31008283 -0.10295913## 3 0.43010890 -0.4419385 -0.45879740 -2.12535932## 4 -0.58719287 0.1676416 0.42104567 0.12462799## 5 0.37732954 -0.6641368 -0.65634460 0.70504697## 6 -1.16086531 1.7054211 -1.05135939 1.02987037## 7 0.64321263 1.3408880 1.70987057 0.05055126## 8 -0.43887710 1.2727512 -0.51291033 0.95989605## 9 -1.49224951 -0.9404404 -0.66245955 -0.69795116## 10 0.84180331 -0.4507667 0.48252745 1.27597287## 11 0.07770427 -0.4205252 0.37886072 -1.38364499## 12 0.42803961 -1.5443402 -0.96017970 1.76136922## 13 1.87872297 1.2895923 0.30291395 0.88371646## 14 -0.46486658 0.3777421 -0.11748642 -1.66163501## 15 1.09927035 -1.5233714 -0.07460802 -0.62700262## 16 0.14901669 -0.4296830 2.04425495 -0.89126687## 17 -1.34403725 0.3958639 1.39083711 1.38514910## 18 -0.14234755 1.9942385 1.02287756 -1.16624386## 19 -1.37478597 -1.2277092 1.54465552 0.82530077## 20 0.07338189 0.1578147 0.20748761 -0.25405958## 21 0.16812095 0.8944565 -1.10377826 -1.30511186## 22 0.68575457 0.2865821 0.66281709 0.74243811## 23 -1.76152829 -0.7528388 0.90797455 0.07144980## 24 1.10204239 -0.1175599 0.35734510 1.12508712## 25 1.24016437 1.2621485 -1.37858822 0.34759264## 26 1.75651826 -0.9248512 -0.07378692 -0.80358580## 27 -0.60387866 -0.9625555 -2.00964456 0.64348446## 28 -0.73166118 0.5590084 -0.96078525 -0.04178008## 29 -1.50822886 -0.1784354 -0.41719681 -0.46602866#### $scores$corr.X.xscores## [,1] [,2] [,3] [,4]## EDAD 0.05292557 0.325968094 0.1124088 -0.6372062## GEN -0.32193412 -0.495962143 0.1664963 0.3321736## NSE 0.35391226 -0.655318311 -0.5084386 -0.2037282## ESC 0.09473122 0.017396818 0.8269849 0.1072295## OCUP -0.52112363 0.003441824 0.4218136 -0.7134891## CIV 0.17647151 0.277937731 0.7140785 -0.2481830#### $scores$corr.Y.xscores## [,1] [,2] [,3] [,4]## D -0.2817292 0.09372215 -0.17641416 -0.08280413## I 0.5102617 -0.13520665 -0.13248991 0.03472285## S 0.4476055 0.05694492 0.06933490 -0.12684973## C 0.1215178 0.41724153 -0.05490509 0.04267476#### $scores$corr.X.yscores## [,1] [,2] [,3] [,4]## EDAD 0.03667555 0.146799325 0.02584713 -0.11717317## GEN -0.22308898 -0.223355933 0.03828394 0.06108201

15

## NSE 0.24524870 -0.295121784 -0.11690974 -0.03746272## ESC 0.06564539 0.007834635 0.19015587 0.01971798## OCUP -0.36112028 0.001550021 0.09699129 -0.13120051## CIV 0.12228853 0.125168910 0.16419430 -0.04563733#### $scores$corr.Y.yscores## [,1] [,2] [,3] [,4]## D -0.4065563 0.2081102 -0.7672225 -0.4503019## I 0.7363460 -0.3002265 -0.5761966 0.1888283## S 0.6459283 0.1264463 0.3015364 -0.6898288## C 0.1753593 0.9264854 -0.2387814 0.2320721

16