Control robusto de sistemas con incertidumbres politópicas

PROYECTO DE GRADO

Presentado ante la ilustre UNIVERSIDAD DE LOS ANDES como requisito parcial para

obtener el Título de INGENIERO DE SISTEMAS

CONTROL ROBUSTO DE SISTEMAS CON INCERTIDUMBRES POLITÓPICAS

Por

Br. Maryury Cabrera Durán

Tutor: Addison Ríos Bolívar

Mayo 2009

©2009 Universidad de Los Andes Mérida, Venezuela

Control robusto de sistemas con incertidumbres politópicas

Br. Maryury Cabrera D.

Proyecto de Grado — Sistemas de Control, 112 páginas

Resumen: Este trabajo de investigación está basado en el análisis y síntesis de sistemas de control para

procesos con incertidumbres, es decir, el diseño de sistemas de control para procesos con modelos

matemáticos que no representan con exactitud la dinámica del sistema bajo estudio. Para ello, se hará

uso de la teoría de control robusto, por ser una disciplina de la teoría de control que centra su estudio

en plantas con estas características y que admiten al menos un controlador fijo. El estudio se

fundamenta en el diseño de controladores que garanticen estabilidad y desempeño robusto de sistemas

con incertidumbres de tipo politópicas, a partir de la caracterización de la norma-2 y la norma-∞ como

desigualdades matriciales lineales.

Palabras clave: Control Robusto. Sistemas Inciertos. Incertidumbres Politópicas. Normas H2 - H∞.

LMI.

ii

A DIOS todopoderoso

y a la memoria de mis padres,

en especial a la de mi

MADRE

iii

Índice

Índice ...................................................................................................................... iv Índice de Tablas .......................................................................................................... ix Índice de figuras .......................................................................................................... x Agradecimientos ........................................................................................................ xii Capítulo 1 Introducción ............................................................................................. ii

1.1 Antecedentes ................................................................................................ 2 1.2 Planteamiento del problema .............................................................................. 5 1.3 Justificación .................................................................................................. 5 1.4 Delimitación ................................................................................................. 6 1.5 Objetivos ..................................................................................................... 6

Objetivo general ................................................................................................... 6 Objetivos específicos .............................................................................................. 6

1.6 Estructura del documento ................................................................................ 6 Capítulo 2 Fundamentos teóricos .................................................................................. 8

2.1 Normas ....................................................................................................... 8 Norma de un vector ............................................................................................... 9 Norma de una matriz ........................................................................................... 10 Norma de una señal ............................................................................................. 12 Norma de sistemas .............................................................................................. 14

2.2 Valores singulares......................................................................................... 17 Descomposición de valores singulares ....................................................................... 17 Propiedades de los valores singulares ........................................................................ 18

iv

Capítulo 3 Introducción al control robusto .................................................................... 20 3.1 Tipos de incertidumbres ................................................................................ 22

Aditiva ............................................................................................................. 22 Multiplicativa a la entrada ...................................................................................... 23 Multiplicativa a la salida ........................................................................................ 23 De realimentación de la planta ................................................................................ 23 Bucle realimentado a la entrada ............................................................................... 24 Bucle realimentado a la salida ................................................................................. 24 Politópica ......................................................................................................... 24

3.2 Transformación lineal fraccional (LFT) ............................................................... 25 3.3 Sistemas MIMO ........................................................................................... 27 3.4 Estabilidad cuadrática .................................................................................... 29

Estabilidad para funciones de transferencia ................................................................. 29 Estabilidad de sistemas dinámicos ............................................................................ 29 Criterio de estabilidad de Lyapunov ......................................................................... 29 Análisis de estabilidad para sistemas politópicos ........................................................... 30

3.5 LMI’s en la teoría del control robusto ................................................................ 30 Problemas de las LMI’s ......................................................................................... 32

3.6 Algunos problemas LMI’s con soluciones analíticas ................................................ 33 Desigualdades de Lyapunov.................................................................................... 33 El Lema Real Acotado .......................................................................................... 33

3.7 Complemento de Schur ................................................................................. 34 3.8 Norma de sistemas como LMI’s ....................................................................... 35

Norma ....................................................................................................... 36 2H

Norma ....................................................................................................... 38 ∞H

3.9 Regiones LMI´s para la ubicación de polos ........................................................... 39

Semiplano a izquierda de .................................................................................. 40 0x

Semiplano a la derecha de ................................................................................. 40 0x

Cono con vértice en cero. ..................................................................................... 40 Región circular centrada en α− y de radio r ............................................................ 41

v

Banda vertical .................................................................................... 41 21 hxh <<

Capítulo 4 Síntesis de controladores robustos H2 y H∞ como LMI’s ....................................... 43 4.1 Realimentación del vector de estados ................................................................. 43

Versión Primal ................................................................................................... 44 Versión Dual ..................................................................................................... 44

4.2 Realimentación de la salida ............................................................................. 45 Realimentación estática de la salida .......................................................................... 45

4.3 Control ............................................................................................... 47 2H

Control - Realimentación de estados ................................................................... 47 2H

Control - Realimentación estática de la salida ......................................................... 48 2H

4.4 Control ............................................................................................... 49 ∞H

Control - Realimentación de estados ................................................................... 49 ∞H

Control - Realimentación estática de la salida ........................................................ 50 ∞H

4.5 Resumen para el controlador ..................................................................... 50 2H

Para el caso realimentación del vector de estados: Kxu = ............................................. 50

Para el caso realimentación estática de la salida: Kyu = ................................................ 51

4.6 Resumen para el controlador ..................................................................... 51 ∞H

Para el caso realimentación del vector de estados: Kxu = ............................................. 51

Para el caso realimentación estática de la salida: Kyu = ................................................ 52

4.7 Ejemplo ilustrativo ....................................................................................... 52

Controlador .................................................................................................... 53 2H

Ejemplo 4.1: Controlador con 2H Kxu = ............................................................... 53

Ejemplo 4.2: Controlador con 2H Kxu = y ubicación de polos ...................................... 55

Ejemplo 4.3: Controlador con 2H Kyu = ............................................................... 56

Ejemplo 4.4: Controlador con 2H Kyu = y ubicación de polos ...................................... 57

Controlador .................................................................................................... 58 ∞H

Ejemplo 4.5: Controlador con ∞H Kxu = ............................................................... 58

Ejemplo 4.6: Controlador con ∞H Kxu = y ubicación de polos ...................................... 59

vi

Ejemplo 4.7: Controlador con ∞H Kyu = ............................................................... 61

Ejemplo 4.8: Controlador con ∞H Kyu = y ubicación de polos ...................................... 62

Capítulo 5 Diseño de controladores H2 y H∞ para una caldera ............................................. 64

5.1 Controlador ......................................................................................... 67 2H

Controlador con ................................................................................ 67 2H Kxu =

Controlador con y ubicación de polos ....................................................... 70 2H Kxu =

Controlador con ................................................................................ 73 2H Kyu =

Controlador con y ubicación de polos ....................................................... 76 2H Kyu =

5.2 Controlador ......................................................................................... 79 ∞H

Controlador con ................................................................................ 79 ∞H Kxu =

Controlador con y ubicación de polos ...................................................... 83 ∞H Kxu =

Controlador con ................................................................................ 86 ∞H Kyu =

Controlador con y ubicación de polos ...................................................... 90 ∞H Kyu =

Análisis de los resultados .......................................................................................... 93 Conclusiones ............................................................................................................ 94 Recomendaciones ...................................................................................................... 95 Bibliografía ............................................................................................................... 96 Apéndice A .............................................................................................................. 99

Capítulo 2 ............................................................................................................ 99 Ejemplo 2.5.m: Descomposición en valores singulares .................................................. 99

Capítulo 4 ............................................................................................................ 99 Ejemplo C_O_Introductorio.m: Estudio de la controlabilidad y observabilidad para el sistema

incierto ............................................................................................................ 99

Ejemplo 41.m: Controlador con 2H Kxu = ............................................................ 99

Ejemplo 42.m: Controlador con 2H Kxu = y ubicación de polos ................................... 99

Ejemplo 43.m: Controlador con 2H Kyu = ............................................................ 99

Ejemplo 44.m: Controlador con 2H Kyu = y ubicación de polos ................................... 99

Ejemplo 45.m: Controlador con ∞H Kxu = ............................................................ 99

vii

Ejemplo 46.m: Controlador con ∞H Kxu = y ubicación de polos ................................... 99

Ejemplo 47.m: Controlador con ∞H Kyu = ............................................................. 99

Ejemplo 48.m: Controlador con ∞H Kyu = y ubicación de polos ................................... 99

Capítulo 5 ............................................................................................................ 99 Ejemplo EcuacionesCaldera.m ................................................................................ 99 Ejemplo C_O_Caldera.m ..................................................................................... 99

Ejemplo51.m: Controlador con 2H Kxu = ............................................................. 99

Ejemplo52.m: Controlador con 2H Kxu = y ubicación de polos .................................... 99

Ejemplo53.m: Controlador con 2H Kyu = ............................................................ 100

Ejemplo54.m: Controlador con 2H Kyu = y ubicación de polos ................................... 100

Ejemplo55.m: Controlador con ∞H Kxu = ............................................................ 100

Ejemplo56.m: Controlador con ∞H Kxu = y ubicación de polos .................................. 100

Ejemplo57.m: Controlador con ∞H Kyu = ............................................................ 100

Ejemplo58.m: Controlador con ∞H Kyu = y ubicación de polos .................................. 100

viii

Índice de Tablas

Tabla 4.1: Resultados obtenidos para -sistema incierto- con 2H Kxu = .................................. 54

Tabla 4.2: Resultados obtenidos para -sistema incierto- con 2H Kxu = y ubicación de polos ......... 55

Tabla 4.3: Resultados obtenidos para -sistema incierto- con 2H Kyu = .................................. 56

Tabla 4.4: Resultados obtenidos para -sistema incierto- con 2H Kyu = y ubicación de polos ......... 57

Tabla 4.5: Resultados obtenidos para -sistema incierto- con ∞H Kxu = .................................. 58

Tabla 4.6: Resultados obtenidos para -sistema incierto- con ∞H Kxu = y ubicación de polos ......... 60

Tabla 4.7: Resultados obtenidos para -sistema incierto- con ∞H Kyu = .................................. 61

Tabla 4.8: Resultados obtenidos para -sistema incierto- con ∞H Kyu = y ubicación de polos ......... 63

Tabla 5.1: Resultados obtenidos para -sistema físico- con 2H Kxu = ...................................... 68

Tabla 5.2: Resultados obtenidos para -sistema físico- con 2H Kxu = y ubicación de polos ............ 71

Tabla 5.3: Resultados obtenidos para -sistema físico- con 2H Kyu = ...................................... 74

Tabla 5.4: Resultados obtenidos para -sistema físico- con 2H Kyu = y ubicación de polos ............ 77

Tabla 5.5: Resultados obtenidos para -sistema físico- con ∞H Kxu = ..................................... 80

Tabla 5.6: Resultados obtenidos para -sistema físico- con ∞H Kxu = y ubicación de polos ............ 83

Tabla 5.7: Resultados obtenidos para -sistema físico- con ∞H Kyu = ..................................... 87

Tabla 5.8: Resultados obtenidos para -sistema físico- con ∞H Kyu = y ubicación de polos ............ 90

ix

Índice de figuras

Figura 2.1: Respuesta en tiempo de 210)(t

etx−

= ............................................................... 14

Figura 3.1: Planteamiento del problema de control ............................................................. 21 Figura 3.2: Esquema general de un sistema de control robusto ................................................ 22 Figura 3.3: Incertidumbre Aditiva .................................................................................. 22 Figura 3.4: Incertidumbre Multiplicativa a la entrada ........................................................... 23 Figura 3.5: Incertidumbre multiplicativa a la salida .............................................................. 23 Figura 3.6: Incertidumbre de tipo realimentación a la planta .................................................. 23 Figura 3.7: Incertidumbre de tipo bucle realimentado a la entrada ........................................... 24 Figura 3.8: Incertidumbre de tipo bucle realimentado a la salida .............................................. 24 Figura 3.9: Diagrama LFT por debajo .............................................................................. 26 Figura 3.10: Diagrama LFT por encima ............................................................................ 26 Figura 3.11: Esquema de interconexión general de un sistema ................................................ 27 Figura 3.12: Semiplano a la izquierda de x0........................................................................ 40 Figura 3.13: Semiplano a la derecha de x0. ........................................................................ 40 Figura 3.14: Cono centrado en cero. ............................................................................... 41 Figura 3.15: Circunferencia centrada en α− y de radio r .................................................... 41

Figura 3.16: Banda vertical ........................................................................... 41 21 hxh <<

Figura 4.1: Análisis SVD para -sistema incierto- con ∞H Kxu = ........................................... 59

Figura 4.2: Análisis SVD para -sistema incierto- con ∞H Kxu = y ubicación de polos .................. 60

Figura 4.3: Análisis SVD para -sistema incierto- con ∞H Kyu = ........................................... 62

Figura 4.4: Análisis SVD para -sistema incierto- con ∞H Kyu = y ubicación de polos .................. 63

Figura 5.1: Esquema de generación de vapor ..................................................................... 64 Figura 5.2: Autovalores en lazo cerrado del sistema variando el parámetro incierto ...................... 68 Figura 5.3: Diagrama en Simulink para analizar las salidas del sistema en lazo cerrado .................... 69

x

Figura 5.4: Salidas medidas para el sistema con el controlador -2H Kxu = ............................... 69

Figura 5.5: Salidas controladas para el sistema con el controlador -2H Kxu = ........................... 70

Figura 5.6: Autovalores en lazo cerrado del sistema variando el parámetro incierto ...................... 72

Figura 5.7: Salidas medidas para el sistema con el controlador -2H Kxu = y ubicación de polos ..... 72

Figura 5.8: Salidas controladas para el sistema con el controlador -2H Kxu = y ubicación de polos . 73

Figura 5.9: Autovalores en lazo cerrado del sistema variando el parámetro incierto ...................... 75

Figura 5.10: Salidas medidas para el sistema con el controlador -2H Kyu = ............................. 75

Figura 5.11: Salidas controladas para el sistema con el controlador -2H Kyu = ......................... 76

Figura 5.12: Autovalores en lazo cerrado del sistema variando el parámetro incierto ..................... 78

Figura 5.13: Salidas medidas para el sistema con el controlador -2H Kyu = y ubicación de polos .... 78

Figura 5.14: Salidas controladas para el sistema con el controlador -2H Kyu = y ubicación de polos 79


Figura 5.16: Salidas medidas para el sistema con el controlador -∞H Kxu = ............................. 81

Figura 5.17 Salidas controladas para el sistema con el controlador -∞H Kxu = .......................... 82

Figura 5.18: Análisis SVD para -sistema físico- con ∞H Kxu = ............................................. 82


Figura 5.20: Salidas medidas para el sistema con el controlador -∞H Kxu = y ubicación de polos .... 85

Figura 5.21: Salidas controladas para el sistema con el controlador -∞H Kxu = y ubicación de polos 85

Figura 5.22: Análisis SVD para -sistema físico- con ∞H Kxu = y ubicación de polos .................... 86


Figura 5.24: Salidas medidas para el sistema con el controlador -∞H Kyu = ............................. 88

Figura 5.25: Salidas controladas para el sistema con el controlador -∞H Kyu = ......................... 89

Figura 5.26: Análisis SVD para -sistema físico- con ∞H Kyu = ............................................. 89


Figura 5.28: Salidas medidas para el sistema con el controlador -∞H Kyu = y ubicación de polos .... 92

Figura 5.29: Salidas controladas para el sistema con el controlador -∞H Kyu = y ubicación de polos 92

Figura 5.30: Análisis SVD para -sistema físico- con ∞H Kyu = y ubicación de polos .................... 93

xi

xii

Agradecimientos

En estas líneas quiero agradecer a todas aquellas personas que de una u otra forma me brindaron su apoyo para alcanzar una de mis metas más anheladas, el titulo de Ingeniero de Sistemas. Pero muy especialmente y de corazón:

A DIOS TODOPODEROSO por concederme alcanzar esta meta. A mi señora madre Adela del Carmen Durán porque de no haber sido mí ejemplo a seguir no habría llegado tan lejos. Gracias madre, este logro lo dedico por completo a tu memoria. A mis hermanos Marisela, Jimmy, Jhony y Alexander por ser mi motivación para seguir adelante. En especial a David Anand por haber estado a mi lado en los momentos más difíciles y por su constante apoyo. Mil gracias… te AMO. Al profesor Addison Ríos Bolívar por haberme dado el privilegio de llevar a cabo esta investigación.

Al profesor Williams Colmenares por que sin conocerme me brindó su apoyo. Gracias muchas gracias.

A Nelson Cegarra por siempre motivarme a seguir adelante… Gracias. A Braulio Salcedo Valladares por su constante preocupación, un millón de gracias. A mis compañeros de estudio en especial a Víctor, Fernando, Justo e Yrian porque juntos compartimos momentos de angustia y de alegría. Al CDCHT por financiar este proyecto de investigación. Y a mi persona, por tener el valor de seguir adelante cuando muchos me decían que no lo hiciera. A ellos les digo ‘NO HAY LOGRO QUE SE ALCANCE SIN PROPÓSITO…’

Capítulo 1

Introducción

Todo modelo matemático es, en realidad, una aproximación del sistema real (debido a que éste es

o dependerán, en gran medida, de la

xactitud con la que dicho modelo capte los rasgos funcionales del proceso, es decir, el grado de

pueda ser descrito

ue se incrementarán si se trata de aproximar al sistema con un modelo lineal e invariante en el tiempo.

en estar sometidos a diferentes tipos de incertezas, debidas a dinámicas

o modeladas, ruidos, linealizaciones, entre otras incertidumbres. Dependiendo de su origen estas

Por tanto, es de suma importancia que las incertidumbres sean tomadas en cuenta en el análisis

incierto, constituido por el modelo matemático (sistema nominal), más las incertezas a las que está

xigentes, como por

jemplo, que el comportamiento del sistema sea aceptable en un ambiente realista donde las

istemas de control como por ejemplo: cómo modelar y describir las

certezas en el problema, cómo analizar el sistema de control y cómo diseñar el controlador.

s, se hace necesaria la introducción de nuevos

trol Robusto y es una de

sometido a simplificaciones), por lo que las características de diseñ

e

aproximación con que éste describa el comportamiento del sistema.

Existen casos en los cuales la complejidad del proceso impide que el mismo

de manera precisa por un simple modelo matemático. En cuyos casos se habla de errores de modelado

q

En este sentido, los modelos matemáticos de un proceso real son considerados imprecisos

consecuentemente por que pued

n

incertezas pueden clasificarse como estructurales, no estructurales, paramétricas y no paramétricas.

y síntesis de controladores, por lo que es conveniente representar el modelo físico por un sistema

sometido y finalmente hacer el análisis en torno al sistema incierto obtenido.

La necesidad de cumplir con especificaciones de diseño, cada vez más e

e

incertidumbres están siempre presentes, ha llevado a tener en consideración aspectos prácticos

importantes en el desarrollo de los s

in

Para dar solución a los aspectos antes mencionado

conceptos y herramientas para el análisis y diseño de sistemas de control con el manejo de

incertidumbres. El campo de aplicación de la nueva disciplina es llamado Con

Capítulo1-Introducción 2

las disciplinas de la teoría de control que da cabida a aquellos sistemas que presentan incertezas en su

modelo y que toleran un controlador fijo lineal e invariante en el tiempo.

El objetivo de esta nueva disciplina es buscar una solución para el sistema de control formado

por el sistema nominal y l ia de incertidumbres en torno a él, así como también minimizar el

efecto de perturbaciones externas sobre variaciones del sistema, como ruidos, variaciones de

tre otros aspectos.

Para atender a la problemática que se hace presente cuando se introducen en el análisis los

aspectos mencionados anteriormente, serán formulados controladores robustos basados en la

1.1 A

depende

merosos métodos para el

análisis y dise

a famil

temperaturas, ráfagas de viento en

caracterización de las normas 2 e ∞ como desigualdades matriciales lineales, enfocados con

controladores del tipo realimentación del vector de estados y realimentación estática de la salida en

presencia de incertidumbres de tipo politópica en el modelo de la planta.

ntecedentes

Para estudiar un sistema de control se hace necesario la obtención de un modelo cuya fidelidad

rá en gran medida de qué tan complejo sea el proceso bajo estudio. El modelado de cualquier

sistema lleva consigo un proceso de simplificación que a su vez incurre en incertidumbres en el modelo

matemático obtenido. Esta incertidumbre se debe, en la mayoría de los casos, a que no se consideran no

linealidades, retardos de tiempo, dinámica de alta frecuencia, entre otros aspectos.

En este sentido, existen sistemas que no pueden ser descritos fielmente por modelos

matemáticos. Como consecuencia de la incertidumbre, se hace necesario emplear una teoría de control

avanzada, como por ejemplo la teoría de control robusto que se encarga del estudio de las familias de

posibles plantas producto de estas incertidumbres. Se han desarrollado nu

ño de estos sistemas, sin embargo, para fines de la investigación se destacan:

Para las décadas de los 60-70 fue desarrollada la solución al problema de optimización 2H

(Youla, Bongiorno y Jabr, 1976), también denominada Wiener-Hopf; Mientras que el diseño con

∞H se inicio en el decenio de los 80 (Zames y Francis, 1983; Doyle, Glover, Khargonekar y Francis,

1989) y continúan aun su desarrollo.

El problema del control óptimo H∞ fue formulado en 1981 por Zames para el caso escalar

basado en la representación entrada-salida, en 1984 obtuvo la solución al problema (Zames y Francis,

1984). Posteriormente estos autores obtuvieron la solución para el caso multivariable. Los algoritmos


desarrollados desde 1984 a 1988 para la solución de los problemas H∞, por lo general, tenían el

inconveniente de que el controlador obtenido era de orden elevado (Francis, 1987) en comparación con

el de la

e, Glover, Khargonekar y Francis, 1989), logran

obtener

s en los últimos años se han

llevado a cabo en las áreas de control de procesos químicos, robótica, estructuras flexibles y control de

Muscato, 1993).

Como consecuencia de los resultados obtenidos y la importancia que ha significado para la

ladores a diseñar en

este trab

ack

con

tos y algunas condiciones necesarias y suficientes basadas en LMI

son pres

planta, por lo que se hacia necesario realizar un arduo trabajo para obtener reguladores de orden

reducido antes de la implementación física de estos.

Es en 1989 que se da comienzo a la segunda generación de algoritmos en el espacio de estados

de la teoría ∞H cuando Doyle y colaboradores (Doyl

un controlador de la misma dimensión que la planta generalizada (modelo del proceso más las

matrices de ponderación que componen las especificaciones de diseño). Generación caracterizada por el

planteamiento del problema de optimización formulado y solucionado a partir de dos ecuaciones

desacopladas de Riccati.

Las principales aplicaciones de la teoría de control robusto realizada

aeronaves (Dorato, Tempo y

ciencia, el desarrollo de la teoría del control robusto, han surgido diferentes herramientas de CACSD

(Diseño de Sistemas de Control Asistido por Computadora) para el diseño de sistemas de control

robusto, entre los cuales se pueden citar: Program CC (Thompson, 1988), Robust-Control Toolbox (Chiang

y Safonov, 1992) y µ-Analysis and Synthesis Toolbox (Balas, Doyle, Glover, Packard y Smith, 1991).

Siendo el Robust-Control Toolbox, la herramienta usada para el análisis de los contro

ajo.

Entre las investigaciones más recientes realizadas basadas en esta teoría pueden mencionarse:

Boyd, El Ghaoui, Feron y Balakrishnan (1994) plantearon el estudio del controlador PID como

la solución de un problema de optimización haciendo uso de las desigualdades matriciales lineales

(LMI’s) para sistemas con incertidumbres politópicas.

Wang y Zhang (2001), trabajaron con “An LMI Approach to Static Output Feedb

Stabilization of Linear Systems”, reporte en el que una desigualdad matricial lineal es aproximada para el

trol por estabilización estática de la salida extendida (SOF). Como una aplicación, es considerado el

problema de SOF para sistemas incier

entadas.

En la Universidad Simón Bolívar, Granado, Mata, Colmenares, Revollar y Pérez hicieron

público un estudio denominado Controlador PID robusto multivariable basado en el método iterativo


de desigualdades matriciales lineales (ILMI), donde presentan la síntesis de un controlador

Proporcional-Integral-Derivativo (PID) robusto discreto multivariable para un sistema lineal incierto

sometido a incertidumbre politópica, cuyo algoritmo se formuló como un problema de programación

convexa basado en ILMI.

Colmenares y Tadeo (2005), hicieron público un libro titulado “APUNTES SOBRE

CONTROL ROBUSTO Y MULTIOBJETIVOS DE SISTEMAS”, centrando su estudio en la

programación convexa (lineal y semidefinida) aplicada al control, la cual permite estudiar en un marco

unificado las incertidumbres sobre el sistema y sobre las perturbaciones externas. Apuntes en los que se

concentraron en el diseño de sistemas de control para sistemas lineales invariantes en el tiempo, a los

que se imponen múltiples objetivos en el desempeño del lazo cerrado de control.

étodo para la síntesis de filtros robustos de detección y

diagnós

y Acuña (2008), trabajaron en un reporte técnico sobre el control robusto por

realime l

tiempo,

descritas como desigualdades matriciales

lineales

o consiste en diseñar ganancias de realimentación para la salida y su derivada.

Establec

Mazars y Zolatas (2007), presentaron resultados de estudios realizados en la detección robusta

de fallas (DRF) en sistemas politópicos.

Ríos y Acuña (2007), estudiaron un m

ticos de fallas en sistemas lineales invariantes en el tiempo (LTI) continuos con incertidumbres

politópicas. Método de diagnóstico robusto de fallas basado en optimización convexa, utilizando una

representación afín, mediante LMI’s, para los sistemas politópicos. Esto es, el diseño de los filtros de

detección de fallas preserva condiciones de desempeño en ∞HH /2 y respectivamente de la

incertidumbre en los parámetros del sistema. Estableciéndose, además, condiciones de detectabilidad y

separabilidad de fallas en sistemas politópicos.

Ríos

ntación Estática de la Salida Extendida, donde consideran sistemas lineales invariantes en e

continuos con incertidumbres politópicas, presentando un método para la síntesis de filtros

robustos de detección y diagnóstico de fallas. Método basado en condiciones de desempeño

modificadas, establecidas a partir de las normas H ∞H/2

(LMI’s).

Ríos y Rivas (2008), formularon un estudio titulado “ ∞H Control by Extended Static Output

Feedback” como contribución para tratar el problema de síntesis de controladores robustos para

sistemas lineales con incertidumbres politópicas mediante la realimentación estática extendida de la

salida. El métod

iendo condiciones para la existencia de tales controladores. El problema de estabilización se

formula en el contexto de desigualdades matriciales lineales (LMI).


1.2 Planteamiento del problema

En la industria, los procesos tienen un nivel de complejidad que impide que estos puedan ser descritos

de manera precisa por un modelo matemático que capte los rasgos funcionales de dicho proceso. Por

esta raz

amiento global de los

proceso

ferencia es denominado controlador y es estudiado en la teoría

del Con

real sería bastante considerable.

Para solucionar este problema, se plantearán las especificaciones de diseño en términos de la

2 ∞

iciales lineales (LMI) (Boyd, El Chaoui, Feron y

Balakrishnan, 1994).

La síntesis de los controladores robustos estará fundamentalmente enfocada al diseño de una

realimentación de estados en sistemas con incertidumbres modeladas como politópos, para derivar un

1.3 Justificación

ón, se habla de errores de modelado o de incertidumbres en el modelo como consecuencia de:

no linealidades no consideradas, dinámica de alta frecuencia no modelada, retardos de tiempo no

contemplados, entre otros. Además, en todos los procesos técnicos se tiene la presencia de

perturbaciones que afectan negativamente el desempeño operacional de los sistemas.

Es por esto que, es indispensable hacer uso de un elemento de control que atenúe los efectos

adversos que estas incertidumbres y perturbaciones puedan ocasionar en el funcion

s técnicos.

Este elemento al que se hace re

trol Robusto bajo la perspectiva de que el sistema dinámico (modelo más incertidumbre) sea

estable robustamente en lazo cerrado a pesar de estar sometido a diversos cambios. De no tener en

cuenta estos aspectos, los estudios realizados en una planta industrial o en cualquier sistema de control

con estas características estarán sometidos a errores ya que la diferencia entre el modelo y el sistema

minimización de una función de costo, haciendo uso de las normas H (Wiener-Hopf) y H (Zames y

Francis, 1984), como sistemas de desigualdades matr

conjunto de desigualdades matriciales lineales que representan la caracterización del desempeño del

sistema en lazo cerrado.

Debido a que no siempre se puede modelar con exactitud la dinámica de cualquier sistema de control y

las perturbaciones presentes en el mismo, se hace imprescindible el uso de una teoría de control, en

nuestro caso consideramos la teoría de control robusto. Esta teoría permite garantizar la estabilidad y el

desempeño de un sistema a pesar de estar sujeto a situaciones que no son conocidas de su


funcionamiento, como consecuencia de la incertidumbre presente en el modelo y de perturbaciones

externas a las que está sometido todo sistema de control.

2 ∞ de herramientas

comput

1.5 O

esempeño de ambos controladores.

1.6 Estructu

gunos fundamentos matemáticos utilizados por la teoría de control robusto,

mas puesto que dan una cota como medida del índice de desempeño del

introduce la descomposición de los valores singulares que será usada para

sistemas y diseño de controladores así como también, las regiones para asignación de polos descritas en

1.4 Delimitación

El estudio será enfocado en la aplicación de la técnica de realimentación del vector de estados y

extendido al caso de realimentación estática de la salida a sistemas lineales invariantes en el tiempo con

incertidumbres de tipo politópicas. En cuanto al diseño de los controladores, serán desarrollados en el

dominio de las normas H y H caracterizadas como LMI’s, haciendo uso

acionales como MATLAB, a través del Robust-Control Toolbox (Chiang y Safonov, 1992) y LMI

Toolbox.

bjetivos

Objetivo general

Diseñar controladores por realimentación de estados para sistemas lineales e invariantes en el tiempo

con incertidumbres politópicas.

Objetivos específicos

• Diseñar un controlador basado en el problema de optimización de la norma H2 como LMI.

• Diseñar un controlador basado en el problema de optimización de la norma H∞ como LMI.

• Comparar el d

ra del documento

En este documento se presentan cinco Capítulos en total, incluyendo este Capítulo introductorio. En el

Capítulo 2 se definen al

como por ejemplo, las nor

sistema, de igual manera, se

representar la cota máxima que alcanza el sistema en lazo cerrado una vez diseñado el controlador

robusto ∞H . En el Capítulo 3 se presenta una introducción al Control Robusto dando cabida a

conceptos básicos como lo son: los tipos de incertidumbres, la estabilidad de un sistema, se muestran las

desigualdades matriciales lineales (LMI’s), como la herramienta en la que se fundamenta el análisis de


función de las LMI’s. En el Capítulo 4 se proponen las síntesis de controladores

robustos ∞HyH 2 caracterizadas como formulaciones LMI’s para el caso realimentación del vector de

n probados además los teoremas propuestos en el

capitulo anter or. En el Capítulo 5 se formula el diseño de controladores robustos para un

estado y realimentación estática de la salida y donde so

i ∞

sistema físico sometido a incertidumbre de tipo politópica y se presenta un estudio detallado de la

región de estabilidad de los autovalores en lazo cerrado del sistema, una vez se ha completado el diseño

del controlador.

HyH 2

Capítulo 2

Fundamentos teóricos

En esta sección se expondrán los conceptos matemáticos usados para el desarrollo y aplicación de los

métodos que serán tratados en los próximos capítulos. Siendo una herramienta útil para el análisis del

sistema bajo estudio, por otro lado, para fines de diseño de controladores robustos es de mucha

importancia conocer la magnitud de las señales que yacen en el sistema mismo, es decir, señales de

ruido y de perturbación. Por esta razón, se hace uso de normas por que dan una cota como medida del

desempeño del sistema.

Con el objeto de disminuir el efecto de tales señales, y mejorar el desempeño del sistema, se

propone la teoría de Control Optimo Robusto y , cuyo objetivo principal es encontrar un

controlador robusto que minimice el efecto del ruido o de la perturbación a la salida del sistema.

2.1 Normas

Las normas son operadores matemáticos que representan, de manera general, las medidas que dan

información sobre el tamaño de un vector, una matriz, una señal, un sistema, etc. Y que nos permiten

compararlas con sus similares (otro vector, matriz, señal, sistema, etc.). En este sentido, el control

óptimo busca minimizar una norma haciendo que el funcionamiento del sistema sea óptimo.

Las normas más utilizadas en control son la norma 2 y la norma ∞ y el objetivo principal es

minimizar dichas normas de la respuesta del sistema en lazo cerrado que constituyen una función de

costo.

Definición 2.1 Sea un espacio vectorial sobre

2H ∞H

E R (reales) o (complejos). Una Norma sobre C

E es una función no negativa denotada por E∈x→ xx , y cumple las siguientes propiedades:

b) si y E∈x 0=x entonces 0=x .

ii) si CóR∈λ , entonces E∈x xx .λλ = .

Capítulo 2 - Fundamentos teóricos 9

yxyxentoncesy,xsi +≤+∈Eiii)

Dado un espacio lineal y una norma E ⋅ sobre , el par (E E , ⋅ ) es llamado Espacio Normado.

Si (espacio l con

. La siguiente formula def ne las norma s sobre

ineal) es nC y considerando que nCx∈ , entonces ( 1xx =E

i

),,, 2 nxx K

nC : Cxi ∀∈ , i s comúnmente usada

),1[)......(:1

321 ∞∈++++= xxxx PP Px PPN

P

p

Donde:

ix es la magnitud de ix .

∞x es interpretada como ii xmax .

2x es conocida como norma 2 o Longitud Euclidiana del vector x .

Solo tres normas típicas son utilizadas comúnmente, la 1,2 e ∞

Norma de un vector

La norma de un vector x de n elementos, complejos o reales, es una función )(xf que transforma el

es al espacio de los números reales no negativos.

Dado un vector se definen las siguientes tres normas típicas en

nCespacio de los vector

[ ]Txxxx K= nC : N21

Norma 1:

∑=

≡N

iixx

11

Norma 2 o euclidiana:

∑=

≡≡N

T xxxx 2

ii

12

Norma ∞:

ix max≡

∞

ix


Ejemplo 2.1

[ ]T5

Solució Ap es tiene:

a) Norma 1:

: Norma de un vector.

Dado el vector X 69174= . Calcular las normas 1,2 e ∞ correspondientes.

n: licando las definicion anteriormente dadas se

326917451

1=+++++== ∑

=

N

iixX

b) Norma 2:

4222,14691745 222222

1=i

2

2=+++++== ∑

N

ixX

b) Norma ∞:

9691745maxmax ===∞ ii

xX

,

la medida resultante es distinta.

Una matriz es la composición de vectores bien sea por filas o columnas, e igual que estos, poseen tres

:

Nótese que dependiendo del tipo de norma escogida, para medir el tamaño del mismo vector

Norma de una matriz

normas muy utilizadas y tienen algoritmos prácticos para calcular sus valores

Norma 1:

∑=i

ijjaA max

1

Norma 2 o Norma espectral:

( )AAA A A = max2

Tii

σλ =)( máximo valor singular de

Donde ( ),)(det)( AAIAA TTi −= λλ el superíndice T denota la transpuesta y los autovalores de

no negativos.

Los valores singulares de una matriz se calculan usando el algoritmo SVD (de descomposición

de valores singulares), que se estudiará más adelante.

) necesariam(ATiλ A ente son reales y


Norma ∞:

∑=∞

jiji

aA max

Norma Frobenius o Euclidiana:

2/1

2)( ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡= ∑∑

i jijF

aA

Norma inducida:

Axx

AxA

xx 10supmax

=≠==

Esto significa considerar el conjunto de todos los vectores de longitud unidad.

Dada la matriz A, Calcular las normas 1,2 e ∞ correspondientes.

Solució o la definición de cada norma se tiene:

b) Norma 1(máximo entre las sumas de cada columna):

Ejemplo 2.2: Norma de una matriz.

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

=017952A

⎤⎡ 381

n: Aplicand

[ ] 14121410maxmax3ij1

=== ∑ ijaA

b) Norma-2:

)(max2

A =

⎤21 25 54

AATii

λ

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣ 90 69 21 69 90 25

⎡=AAT


Aplican se hallan los autovalores correspondientes a la matriz . ))(det( AAI T−λ AATdo la ecuación

16 45,0481 20,6883

3

2

1

===

λλλ

8,2637

, por lo tanto: 9716.122637.1682

==A 3λEl máximo autovalor corresponde a

c) Norma ∞ (máximo entre la suma de las filas):

168

1612

max,

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛== ∑∞

ijiji

aA

b) Norma Frobenius o Euclidiana:

))(( AAdiagsumA TF=

Se obtiene la diagonal de AAT , esto es, ))(( = sumAAdiagsum T 234)909054( =++ y se obtiene:

2971.15234 ==F

A

Norma de una señal

o en un número real no negativo según la

Definición 2.2 Una señal es una función donde representa el conjunto tiempo y

define el espacio de la señal.

Una señal representa en cada instante de tiempo

La norma de una señal transforma una función del tiemp

definición.

s WT→: RT ⊆

WmRTs →: Tt∈ a un vector:

El ‘tamaño’ de una señal es medido por normas.

sí se tienen los casos particulares:

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

)(

)()(

)( 2

1

ts

tsts

ts

m

M

A


Norma 1:

∫∞

= dttxtx )()( ∞−

1

Esta norma es llamada la acción de la señal x, porque puede ser visto como una medida para la acción

total asociada con la señal.

Norma 2:

∫∞

∞−

= dttxtx 22

2)( )(

En sistemas eléctricos y mecánicos la energía física asociada con una señal puede ser expresada por la

integral cuadrática. Por lo que esta norma es considerada como la en gía de la señal x.

Norma ∞ :

er

)(sup)( txtxRt∈

∞=

Esta norma representa la magnitud máxima que puede tomar la señal, razón por la cual es llamada

mplitud de la señal.

Ejemplo 2.3: Norma de señales.

Dada la señal x(t), Calcular las normas 1,2 e ∞ correspondientes.

a

00)(;10)( 2 <∀==−

ttxetxt

Solución: Aplicando la definición de cada norma se tiene:

b) Norma 1:

∫= dttx )(∞

∞−

tx )(1

2010)( 21

== ∫∞

∞−

−

dtetxt

b) Norma 2:


∫∞

2

∞−

= dttxtx 2

2)()(

100)100()( 2

2 ∫∞−

==∞

− dtetx t

10100)( ==tx 2

b) Norma ∞:

)(sup)( txtxRt∈

∞=

2sup)(t−

Rt∈etx

∞=

El supremo de la señal, esta dado por el punto más alto de la respuesta de ésta en el tiempo.

0 1 2 3 4 5 6 71

2

10

3

4

5

6

7

8

9

Figura 2.1: Respuesta en tiempo de 210)(t

etx−

=

Como muestra el gráfico anterior, el mayor valor que toma la función corresponde al punto 10, por lo

emo de dicha señal.

De este modo:

tanto éste es el supr

10sup)( 2 ==−

∈∞

t

Rtetx

Norma de sistemas

ferencia a un conjunto de señales. Éste describe las relaciones entre el conjunto de

señales de entrada y el conjunto de señales de salida, que pueden estar representadas por funciones de

Un sistema hace re


transferencia, ecuaciones diferenciales, ciones en espacio de estado, entre otras. Sea el

sistema definido en el dominio de la frec o:

representa

uencia com

)()()( sUsGsY =

y en el dominio del tiempo como:

ignifica que para

de transferencia o la transformada de Laplace de , entonces es racional

con coeficientes reales. Cumpliendo con las siguientes propiedades:

i. es estable si es analítica en el semiplano derecho cerrado

ii. es propia si es finita, en otras palabras que el grado del denominador sea que el

iii. es estrictamente propia si es igual a cero, es decir, que el grado del denominador

que el grado del numera

iv. es bipropia si son cada una propia en el sentido que el grado del denominador sea

igual al grado del numerador.

Se definen dos normas para la función de transferencia (Doyle y Francis, 1992).

Norma 2:

τττ duthty ∫∞

∞−−= )()()(

0)( =tG 0<t . S

Sea )(ˆ sG la función G )(ˆ sG

)(ˆ sG )0(Re ≥s .

)(ˆ sG )(ˆ ∞jG ≥

grado del numerador.

)(ˆ sG

sea >

)(ˆ ∞jG

dor.

)(ˆ sG 1ˆˆ −GyG

G

21

222

)(ˆ1:ˆ =⎟⎞

⎜⎛

= ∫∞

tdwjwGG1

)( ⎟⎞

⎜⎛∫∞

dtG 2 2 ⎟

⎠⎜⎝

⎟⎠

⎜⎝ ∞−∞−π

Norma ∞:

)(sup)(ˆsup:ˆ tGjwGGRtRw ∈∈∞

==

Para sistemas SISO, la norma de es igual a la distancia en el plano complejo desde el origen al

f , y en el gráfico de magnitud de Bode, es medido como

el valor pico ó magnitud mas grande que alcanza el gráfico. Una propiedad importante de la norma ∞ es

∞

ico de

G

Nyquist de Gpunto más lejano en el grá

que es submultiplicativa, esto es:

∞∞∞≤ HGHG ˆˆˆˆ


donde H es otra función de transferencia.

Lema 2.1 La norma 2 de G es finita si y solo si G es estrictamente propia y no tiene polos en el eje

imaginario. La norma ∞ es finita si y solo si no tiene polos en el eje imaginario.

Comentario 2.1 la norma 2 es sensible a la localización de los polos mientras que la norma ∞ solo

amplitud.

Dada la sistema G(s), Calcular las normas 2 e ∞ correspondientes.

G es propia y

depende de la

Ejemplo 2.4: Norma de sistemas.

44+s

)( =sG

ición frecuencial de cada norma y Cambiando a ‘s’ por ‘jw’ se tiene:

Solución: Aplicando la defin

44)(+

=jw

jwG , entonces:

a) Norma 2:

242

)(ˆ2

ˆ2

=⎟⎜

⎜+

=⎟⎟⎠

⎜⎜⎝

= ∫∫ dwjw

dwjwGGππ

411

21

22 ⎟

⎠

⎞

⎝

⎞⎛ ∞

∞−∞−

b) Norma ∞:

21

⎛∞

44sup)(ˆsupˆ+

==∈∈∞ jw

jwGGRwRw

1)( =

1)(0

1)(0

∴

<⇒>

=⇒=

jwGw

jwGw

∞sG


2.2 V lores singulares a

y

Sea el sistema definido como:

ujwG )(=

La ganancia de la respuesta en frecuencia puede ser descrita como la amplitud entre la salida )( jwG

y y la entrada u medida por la norma 2

( )( ) ))(()()(max)( 21

2jwGjwGjwGjwG T

iiσλ ==

)( jwGσ es el valor máximo singular de y el mínimo valor singular se define como

2

20 )(

)()( jwujwGinf))((

ujwG

u≠=σ

norma 2 entre la a entrada , el máximo y el mínimo singular de determinan la

cota superior e inferior respectivamente para esta ganancia.

La descomposición de valores singulares, consiste en descomponer una matriz en tres matrices, dos

unitarias y una real diagonal formada por los valores singulares que representarán la ganancia entre cada

ar de vectores de las bases de entrada y salida. Esta descomposición provee un conjunto de bases de

les para el espacio de entrada y el espacio de salida de la matriz. Que sean

ortonormales indica que son ortogonales y de longitud (norma 2) unidad y el que constituyan una base,

revela que cualquier vector puede escribirse como la combinación lineal de los vectores de la base. Se

tiene que:

jw

Definición 2.4 Si la ganancia de una matriz de transferencia )(sG es medida como la amplitud de la

salida y y l u )( jwG

Descomposición de valores singulares

p

vectores ortonorma

iσ representa los valores singulares y se calculan como sigue.

kiAAA Tii ,,2,1)()( K== λσ

es ordenado de tal manera que 1+≥ ii σσdonde iσ .

Entonces:

)()(

)()(

1

2

AA

AAA

i

i

+=

==

σσ

σσ


Lema 2.2 sea mnCA ×∈ una matriz compleja, entonces, existen dos matrices unitarias ,

tal que:

donde

mnCU ×∈mn× nmR ×∈ΨCV ∈ y una matriz diagonal

TVUA ψ=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

Tn

Tk

m

V

VUUUA

ML 2

21 000

][ψ

⎤⎡ TV1

∑=

=i

Tiii VUA

1σ

k

⎥⎥⎥⎥⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎡

==

0000000000

0000000

)(

1

kσ

σ

σσσσ⎥

⎢

⎢⎢⎢

0000000

0000

3

2

321 kk diagonalσ

σ

ψ ; LL

⎢⎢⎣ 000

U son los autovalores de TAA y

V son los autovectores de AAT .

La matriz V es la base de los vectores de entrada y U la base de los vectores de salida.

Propiedades de los valores singulares

i. )(

1(Aσ ) 1−=Aσ

.

ii. R∈= αασασ ;)()( AA .

)()()( BAAB σσσ ≤ . iii.

iv. )()() BAB(A σσσ +≤+ .

)(1)( 1−=A

Aσ

σ . v.


A uDefinición 2.5. Sea na matriz y si IAAT = , entonces, A se denomina una matriz un a

tidad. Por lo tanto, en osición d

itaria e I l

matriz iden la des e valore gulares y deben cumplir:

Ejemplo 2.5: Descomposición de valores singulares.

Dada la matriz A obtenga la descomposición en valores singulares

ón: Se sabe que ; son los autovalores de y son los autovectores de

. Se obtienen las matrices correspondientes. (Ver apé plo2.5.m)

;

comp s sin U V

IUUIVV

T

T

=

=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

5 1 31 4 23 2 1

A

Soluci TVUA ψ=

U y V

U TAA

ndice A Ejem

V

AAT

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

0.7387 0.5463 0.3948 0.4732 0.8375- 0.2734 0.4799 0.0151- 0.8772-

U⎥⎥⎦⎢

⎢⎢

⎣

⎡=

7.5896 0 0 0 3.3838 0 0 0 0.9734-⎥⎤

ψ ; y

⎥⎦⎢⎣ 0.7387 0.4732 4799 ⎥⎥⎤

0.5463 753948 34

⎢⎢= 0.0.83- 0.0151- TV⎡ 0. 0.27 0.8772-

Para verificar, calculamos A como: TVUA ψ= y se obtiene:

;

o que se verifica la anterior afirmación.

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

5.0000 1.0000 3.00001.0000 4.0000 2.00003.0000 2.0000 1.0000

5 1 31 4 23 2 1

A

Con l

Capítulo 3

Introducción al control robusto

El control robusto es una de las disciplina de la teoría de control que centra su estudio en sistemas que

dan cabida a incertidumbres en su modelo y que admitan al menos un controlador fijo invariante en el

tiempo, por eso se ha convertido en una de las herramientas más potentes a la hora de realizar el

con las car er

or diseñado

funcione bien al momento de su implantación en el proceso real, a su vez, este objetivo está compuesto

por una serie de subobjetivos. Uno de los principales, es que el sistema sea estable en ausencia de

incertidumbre, para especificaciones de desempeños dadas. Es lo que se conoce en la teoría como

estabilidad nominal.

Otro requerimiento, una vez conseguida la estabilidad nominal, es que ciertas variables del

sistema exhiban un comportamiento adecuado y en algunos casos óptimo respecto a una función de

coste o índice de desempeño. Objetivo que se tiene en consideración cuando es referenciado como

comportamiento nominal.

Una vez que el sistema de control diseñado con el modelo nominal es estable, atañe asegurar

es plantas productos de la incertidumbre

presente en el modelo. A este objetivo se le conoce con el nombre de estabilidad robusta.

Debe considerarse además, que no basta con que para toda la familia de plantas el sistema

permanezca estable sino que debe cumplir con las cificaciones de diseño establecidas, es así como

surge la última y no menos importante exigencia de la teoría a la que se le conoce como

omportamiento robusto.

oblema de diseño así como también los diferentes niveles

de exigencia que se establece sobre un sistema de control, tal y como se ha descrito anteriormente.

análisis y diseño de sistema act ísticas antes mencionadas (sistemas inciertos).

Los objetivos del Control Robusto, en cualquier caso, buscan que el controlad

que el sistema mantenga la estabilidad para la familia de posibl

espe

c

En la Figura 3.1 queda resumido el pr

Capítulo 3 – Introducción al control robusto 21

PROCESO REAL COMPLEJO

SIMPLIFICACIONES

MODELO

MATEMÁTICO

INCERTIDUMBRES

SISTEMA DE CONTROL

+

Comportamiento Robusto Estabilidad

Robusta Comportamiento

Nominal Estabilidad Nominal

Figura 3.1: Planteamiento del problema de control

ipales es como modelar y describir las incertidumbres en el problema, que

puede c

Quedando claro, que el control de sistemas con incertidumbres está dentro del campo de estudio de la

disciplina conocida como control robusto. Cuando se trabajan con sistemas inciertos surgen varias

dificultades, una de las princ

onllevar a un incremento en las restricciones a la hora de la búsqueda de la solución.

El esquema general de un sistema de control robusto puede ser visto en la Figura 3.2


G’ ∆G

Figura 3.2: Esquema general de un sistema de control robusto

La planta real puede expresarse de forma genérica como G′ GGG Δ+=′ , donde es el modelo

nominal de la representa la incertidumbr

G

planta, GΔ e presente en el modelo, η el ruido y las

perturbaciones externas.

Básicamente incluir incertezas en un nsiste en considerar que el sistema

real pertenece a una familia de modelos. Las formas de representar esta familia de modelos constituyen

los diferentes tipos de incertidumbres considerados.

3.1 Tipos de incertidumbres

Aditiva

d

sistema de control co

GGG Δ+=′

Figura 3.3: Incertidumbre Aditiva

Controlador G (Planta)

d

u y r

η

∆G

C G y

-

+ r +

+


Multiplicativa a la entrada

)( GIGG Δ+=′

Figura 3.4: Incertidumbre Multiplicativa a la entrada

Multiplicativa a la salida

umbre multiplicativa a la salida

e realimentación de la planta

Figura 3.6: Incertidumbre de tipo realimentación a la planta

GGIG )( Δ+=′

Figura 3.5: Incertid

D

GGGIG 1)( −Δ+=′

+

+

y C G

-

∆G

r +

∆G

C -

+ r y +

+ G

y +

- C

r + G

-

∆G


Bucle realimentado a la entrada

)( Δ+=′ GIGG

Figura trada

lida

Figura 3.8: Incertidumbre de tipo bucle realimentado a la salida

Considerando la representación general en espacio estado de un sistema lineal invariante en el tiempo.

1−

y

3.7: Incertidumbre de tipo bucle realimentado a la en

Bucle realimentado a la sa

GGI 1)( −Δ+=′ G

Politópica

DuCxyBuxAx

+=+= )(δ&

(3.1)

Donde es el vector de estados, es el vector de control, es el vector de salidas

medidas y como el vector de variables manipuladas das

nRx∈

Rz∈

que determinan como afect

matriz de dinámica

qRu∈ pRy∈

, B, C y D son matrices constantes conocizn

an las perturbaciones al sistema y la parte de él que se quiere controlar. La

)(δA

pertenece

es una matriz real no conoci

unto politópico

da, que puede o no ser constante y de la que sólo

a un conjse conoce que δβ .

Una clase de matriz )(δA con incertezas en forma politópica puede ser descrita por el conjunto

{ }rAAACoA ,,, 21 L=∈ δβ

G -

C -

+ r +

∆G

y G C

-

+ r

-

+

∆G


Con δβ definiendo el conjunto politópico y el envolvente convexo y los autovalores de

son los vértices del politópo y consi ndo además:

(3.2)

Donde es un conjunto convexo cerrado y las matrices son conocidas.

Una característica importante de este tipo de abordaje para describir las incertezas es la convexidad del

conjunto resultante, esto es, se tiene por propiedad de convexidad que si un grupo de restricciones de

desigualdades e igualdades se satisfacen en los s

Entretanto, el problema de la explosión exponencial aparece cuando son probadas las

condiciones, por consiguiente al probar, por ejemplo, para un sistema con 3 elementos inciertos, se

tiene que verificar las condiciones para vértices, o sea, se tienen que verificar las condiciones 8

veces.

Antes de discutir los métodos para resolver problemas de control óptimo y robusto se debe

discutir la representación de plantas para que todas aquellas técnicas matemáticas puedan ser aplicadas a

problemas específic sto es representar,

de forma realista, las incertidumbres de la planta, en el marco de un sistema lineal.

adamente existe una poderosa herramienta para hacer esto: la transformación lineal

3.2 Transforma accional (L

La aproximación LFT se utiliza para modelar variaciones de la planta como ganancias lineales variables

en una estructura general de realimentación. Las ganancias pueden ser números reales, cuando

modelo lineal constante y un conjunto de ganancias

re en

sus parámetros. Estos parámetros pueden variar, incluso, no linealmente.

Co

derariAi ,...,, 1=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=≥== ∑∑==

r

iii

r

iiir yAAAAACo

111 10;)(|},,{ δδδδK

Α iA

vértices, entonces, se garantiza que estas misma

restricciones se satisfacen en el interior del área formada por estos vértices.

32

os. La clave para aplicar con éxito estos métodos de control robu

Afortun

fraccionaria (LFT).

ción lineal fr FT)

representan parámetros físicos, o números complejos, cuando representan cambios en la ganancia o la

fase de la respuesta en frecuencia. Todas las partes no variables de esta estructura pueden estar incluidas

en una matriz (normalmente dependiente con la frecuencia), y las partes variables en otra. Esta

separación de un sistema con incertidumbre en un

variable realimentadas es muy general, y puede modelar cualquier sistema lineal con incertidumb


C

vectores de sa

onsideremos el sistema lineal P de la Figura 3.9, con dos vectores de entrada 21, uu y dos

lida 21, yy . P puede ser una matriz constante o dinámica representada en variables de

estado.

jo del diagrama, se puede

escribir:

P 1y 1u

22 y u

Figura 3.9: Diagrama LFT por debajo

Si otro sistema lineal lΔ es conectado desde 2y a 2u por la parte de aba

lΔ

2221212

2121111

uPuPuPuPy

+=

22 yuy

lΔ=

+=

Eliminando y se obtiene la respuesta del sistema en lazo cerrado

sta notación la LFT

po deba

ar un controlador

2y 2u

211

222111 )(),( PPIPPPF llll−Δ−Δ+=Δ

La matriz ),( ll PF Δ es llamada transformación lineal fraccional por debajo. Con e

jo indicará en control robusto la respuesta de la planta a lazo cerrado. El problema de control

óptimo será encontr K que minimice la norma 2 o la norma ∞ del sistema

De manera dual existe la transformación lineal fraccional por encima como se muestra en la

e ecuaciones relacionado con

la parte superior del diagrama es:

),( ll PF Δ según sea el caso.

Figura 3.10.

Figura 3.10: Diagrama LFT por encima

En este caso el sistema lineal uΔ es conectado de 1y hasta 1u . El sistema d

uΔ

1y 1u

P

2y2u


2221212

2121111

uPuPyuPuPy

+=+=

11 yu uΔ=

Eliminando y resulta la respuesta del sistema en lazo cerrado

La matriz es llamada la transformación lineal fraccionaria por encima. Con esta notación la

LFT por enci n control robusto, la respuesta de la planta con perturbaciones

De lo que resta del capít a el estudio de sistemas lineales

po n st

s en el tiempo multi-entrada multi-salida (MIMO), de igual manera serán tratadas las normas

H2 y H∞ como un subconjunto de restricciones que de forma genérica se denominan restricciones

integrales cuadráticas (ICQ) (Boyd et al., 1994). Pero que igual pueden ser descritas como

desigualdades matriciales lineales (LMI’s), concepto que será definido más adelante, así mismo serán

mostradas las regiones LMI’s para la asignación de polos como herramientas poderosas a la hora del

ontroladores robustos an lineales se contará con el

complemento de Schur. Por ser métodos que servirán de base para el posterior desarrollo de los

3.3 Sistemas MIMO

En lo q

rá usado para el diseño de los controladores robustos en secciones posteriores.

Figura 3.1 n sistema

1y 1u

121

112122 )(),( PPPPPF uuuu−Δ−Δ+=Δ I

),( uu PF Δma indicará, e Δ .

ulo, se presentan conceptos básicos par

invariantes en el tiem , así, se prosigue co mo rar las características de los sistemas lineales

invariante

diseño de c y para desigualdades que no se

conceptos de control robusto 2H y ∞H descritas como un conjunto de LMI’s. Conceptos que sentarán

las bases para los capítulos siguientes.

ue sigue se muestra en forma general la representación de un sistema lineal invariante en el

tiempo, que se

1: Esquema de interconexión general de u

Planta

Controlador

Z

u

y

W


Considerando sistemas lineales e invariantes en el tiempo (LTI) y dispuestos como se muestra en la

Figura 3.11 y cuya representación matricial (planta, controlador) en variables de estado está descrita

como sigue:

(3.3)

es el vector de salidas medidas y

mo

(3.4)

y que de manera extendida sería:

⎪⎩

⎨++=++==

uDwDxCyuDwDxCzG 12111

⎪⎧ ++= uBwBAxx 21&

22212

con: nR es el vector de estados del sistema;

wnRw∈ es el vector de entradas exógenas actuantes sobre el sistema: perturbaciones, ruidos, etc.

mRu∈ es el vector de entradas controladas de la planta generalizada.

pRy∈znRz∈ como el vector de salidas controladas.

Las matrices 222112112121 ,,,,,,,, DDDDCCBBA son matrices reales y de dimensiones apropiadas.

( )sGwz denota la función de transferencia en lazo cerrado de la perturbación w a la salida controlada

z .

El sistema, en general, estará dado co se escribe:

x∈

⎩⎨⎧

+=+=

DwCxzBwAxx&

De esta forma la función de transferencia queda descrita como sigue:

DBAsICBA

sG +−=⎤⎡

= −1)()( (3.5) D⎥⎦

⎢C⎣

[ ]

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

==

22211211

;21

;21;

DDDD

D

CC

C

BBBAA


3.4 Estabilidad cuadrática

Estudiar la estabilidad es uno de los objetivos más importantes impuesto en la teoría de control a la hora

de estudiar cualquier sistema, ya que a ella se debe la necesidad de diseñar controladores. La finalidad

seño de estos elementos de control (controladores robustos) se corresponde a que el sistema ahora

s insensible a perturbaciones externas, cambios internos en el comportamiento de la planta

(errores de modelado que conlleva el modelo que la representa) o a incertidumbres presentes en el

sistema, entre otras características. Por esta razón, en la sección que a continuación se presenta será

con analizar los polos de dicha

es decir, si la parte real de los polos esta ubicada en el

e el sistema es estable en lazo abierto. En cambio, si

os polos se encuentra ubicado en el semiplano derecho, el sistema será inestable.

n sabido, una propiedad fundamental de los sistemas, es el concepto de estabilidad. Si se

; con , se dice que el sistema es asintóticamente estable si el estado alcanza el

con

del di

debe ser má

discutido é

Estabilid

Como es b

función pa

semiplano

alguno de est

Estabilida

Como es bie

)(tAxx =&

ste tema.

ad para funciones de transferencia

ien sabido, cuando se tiene una función de transferencia, basta

ra concluir sobre su estabilidad,

izquierdo abierto, entonces, se dice qu

d de sistemas dinámicos

considera la ecuación no forzada

0)0( xx =

valor cero con el tiempo, es decir, 0)( →tx ∞→t . Se puede demostrar que esto ocurre cuando

analizar la estabilidad

encontrando los autovalores de la matriz A.

Criterio de estabilidad de Lyapunov

un sistema lineal invariante en el tiempo sea estable, es que exista una

función cuadrática , que disminuya a lo largo de las trayectorias no nulas de

, si existe tal sistema es cuadráticamente estable y es llamada función

cuadrática de Lyapun d et al., 1994).

Subsecuantemente

los autovalores de la matriz A tienen partes reales negativas. Por tanto, se puede

Una condición suficiente para que

PxxxV T=)(

P , se dice que el

0>P

)(tAxx =& )(xV

ov (Boy

xPAPAxxVdtd TT )()( +=


En otros términos, la condición necesaria y suficiente para la estabilidad cuadrática del sistema

) es que exista una matriz como soluciona a la desigualdad

Así pues, la lidad de u

estabilidad cuadrática

matriciales lineales (LMI).

trol robusto

ienta poderosa para el diseño y

de control ba o en

interés, un o recisa

l punto interior (Boyd et al., 1994).

rimeras LMI’s aparecieron alrededor de 1890, cuando Lyapunov publicó

su trabajo, que introduce lo que es conocido hoy como la teoría de Lyapunov (Boyd et al., 1994).

Para la teoría de Lyapunov, la ecuación diferencial

( )(tAxx =& 0>P

0<+ PAPAT (3.6)

Análisis de estabilidad para sistemas politópicos

Considerando el sistema lineal invariante en el tiempo

⎪21&

⎪⎩

⎨

⎧

==

++=

xCyxCz

uBwBAxx

2

1

donde { }AAACoA ,,, L∈ r21

El sistema es cuadráticamente estable si existe una matriz P definida positiva tal que:

],,1[0 riPAPA iT

i K∈∀<+

Prueba 3.1 sabiendo que:

⎧ rr

⎭⎬⎫

=≥== ∑∑== i

iii

ii yAAAAACo11

10;)(|},,{ λλλλ ⎩

⎨r1 K

y que: ∑=

<+=+r

i

TT PAPAPAPA1

0)()()( λλλ iii

estabi n sistema politópico queda asegurada con la estabilización de sus vértices.

Una manera de estudiar la de los sistemas es mediante las desigualdades

3.5 LMI’s en la teoría del con

Las desigualdades matriciales lineales (LMI’s) son una herram

formulación de controladores automáticos de sistemas dinámicos, dando cabida a una variedad de

problemas lineales sad la linealización de el modelo del sistema. El problema de

a vez formulad en términos de LMI puede ser resuelto de manera p por algoritmos de

optimización convexa basados en la técnica de

Históricamente las p


)()( tAxtxdtd

=

Axx =& es estable (toda las trayectorias de converg

como solución a la desigualdad

(3.7)

ésta condición es conocida como la desigualdad de Lyapunov.

Definición 3.1 Una LMI es una restricción sobre un vector de la forma

(3.8)

donde

ctor de escalares desconocidos (variables de optimización o de decisión),

son matrices simétricas dadas y el símbolo ‘< 0’ indica que la condición es definida

cir, que el mayor autovalor de es negativo.

Observación 3.1 Hay que señalar que pueden tenerse desigualdades matriciales lineales no estrictas si

convexo sobre la variable

e a cero), si existe una matriz P definida positiva

0<+T PAPA0>= TPP

mRx∈

0)( <+= ∑m

FxFxF1

0=i

ii

),,,( 21 mxxxx L= es un ve

mFFF ,,, 10 L

negativa, es de )(xF

la desigualdad es del tipo 0≤ .

xUna LMI define un problema , que se puede resolver numéricamente con la

Un sistema de múltiples LMI’s puede ser considerado como una sola LMI Sin destruir la propiedad de

riables son matrices,

como p

garantía de encontrar, si existe, una solución.

convexidad.

( )

( )( ) ( ) ( )( )xA,,xAdiagxA

0xA

0xA

N

1

KM =⇔⎪⎩

⎪⎨

⎧

<

<

En control, las LMI’s no aparecen en forma natural sino en problemas donde las va

N1

or ejemplo el caso típico es la desigualdad de Lyapunov

0<+ PAPAT


donde es dada y nxnRA∈ TPP =

P ,,1 K

es la matriz variable. La desigualdad se trasforma en la ecuación

para matrices simétricas de tamaño , (3.8) tomando como base mP nxn )2/)1(( += nnm

uto más eficiente.

y

y . De esta forma se logrará un cómp

Problemas de las LMI’s

Los problemas de optimización convexa poseen la propiedad de que un óptimo local corresponde a un

as son formulados como problemas de

Programación Semi-Definida (SDP), una clase de problemas de optimización convexa en la cual la

ue sigue se presentan

los tres problemas de la optimización convexa (Boyd et al., 1994).

1. Problema de Factibilidad:

asumiendo que 00 =F Ti APiPAF i−= −

óptimo global. En la teoría de control robusto, los problem

función objetivo es lineal y las restricciones están formuladas como LMI’s. En lo q

( ) 0>xF

Dada la desigualdad matricial lineal ( ) 0>xF , el correspondiente problema LMI (LMIP) es encontrar

feasx 0)( >feasxF tal que

2. Minimización de una función Lineal:

Encontrar una solución

, o determinar que el LMI es factible.

x tal que:

olución

{ 0)(min

>xFasujetoxcT

3. Minimización de autovalores generalizados:

Encontrar la s x que permita:

⎩⎨⎧

>>−

0)(,0)(

a sujeto

min

xBxAIλ

λ

diversas herramientas

Como ya se menciono, la búsqueda de la solución numérica para estos problemas representa un

problema de Programación Semi-Definida (SDP). En la actualidad,


comput s han sido das para solventar dichos problemas, entre los cuales pueden

mencionarse:

Algoritmo de punto i el problemas de optimización convexa, gracias al cual

acionale proba

nterior para resolver

se torna posible dar solución numérica a los LMI’s de forma más rápida y eficiente. Desde entonces,

alizado para desarrollar nuevos software para solucionar LMI’s, como

3.6 Algunos problemas LMI’s con soluciones analíticas

de forma especial e interpretaciones teóricas de

control. A continuación se describen brevemente algunos de estos resultados.

De an se conoce el esigualdad de Lyapunov, es decir:

0<+ PAPAT

muchas investigaciones se han re

el LMIlab en Matlab que usa el método de proyección (Nemirovskii y Gahinet., 1994) y el LMITOOL

del Scilab y Matlab que usan el método Primal-Dual desarrollado por (Vandenberghe y Boyd., 1994).

Además de estos dos métodos existen nuevos abordajes que buscan mejorar la eficiencia en

cuanto al tratamiento de sistemas extendidos. Para fines de esta investigación se usará el LMITOOL

para dar solución a los problemas LMI’s planteados en cada caso.

Existen soluciones analíticas a varios problemas LMI

Desigualdades de Lyapunov

te mano LMIP ( problema LMI), asociado a la d

,0>P

donde P es variable y nxnRA∈ es dada. Lyapunov demostró que este LMI es factible si y solo si la

matriz A es estable. Para sol r este LMIP, se escoge cualquier y se resuelve la ecuación de

Lyapunov , que no es más que un sistema de

uciona

Q−=

0>Q

2/)1PAPAT + ( +n

neales será resol

n

s li

ecuaciones lineales para las

uble y con resultado

El Lema Real Acotado

Considerando el sistema en lazo cerrado mostrado en (3.4) y su función de transferencia dada en (3.5).

Los siguientes enunciados son equivalentes:

i.

2/)1( +nn variables escalares en . Este sistema de ecuacioneP

en 0>P si y solo si la MI es factible. L

γ<∞

ii. Existe una matriz simétrica

)(sG con A estable.

P definida positiva tal que:


0I

I T ≤⎥⎥⎥

⎦⎢⎣ −−

γγDC

DP (3.9)

La ecuación de Riccati asociado a ésta LMI es:

0)()I)(( T1T1T2T1T1T =+−++++ −−−− CDPBDDDCPBCCPAPA γγγγγ (3.10

,0T⎡ +

>

PAPA

P

T

T ⎤

⎢⎢ B

CPB

)

la cual es factible si hay una matriz TPP = como solución real.

La demotración de este lema puede verse en Sánchez y Sznaier (1998), para 1=γ y XP = .

Una característica interesente es que desigualdades matriciales (convexas) no lineales pueden

e Schur que se

puntualiza a continuación.

erramienta matemática que permite llevar las desigualdades

matriciales convexas no lineales a desigualdades matriciales lineales.

Lema 3.1 (Boyd et al., 1994) Dada las matrices P, Q, R y la matriz S definida como:

Las proposi

Para la matriz dual de (3.11)

(3.12)

ene:

ser convertidas a desigualdades matriciales lineales haciendo uso del complemento d

3.7 Complemento de Schur

El complemento de Schur, es una h

0>⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=

RQQP

S T (3.11)

ciones siguientes son equivalentes

⎟⎜

00 1 >−> − QPQRyP T

00 1 >−> − TQQRPyR

⎞⎛−

=QP

S 0<⎟⎟⎠

⎜⎜⎝ − RQT

se ti

0 1 −> − RQPQyP T 0<

00 1 <−> − PQQRyR T


Observación 3.2 s involucradas son matrices que aparecen

en forma lineal en la desigualdad. Una vez escrita como una LMI, se puede invocar con certeza la

convexidad de la desigualdad (Col

Observación 3.3 Una vez descrita una LMI, existen herramientas de gran alcance en cuanto a la

resolución se refiere de tales problemas, como por ejemplo el ‘Toolbox de LMI’s de Matlab’, (Gahinet

emplo el del elipsoide (Winston, 1994) que aprovechan

la estructura particular de las LMI’s para su resolución (Colmenares y Tadeo,

com

Uno de

aneras mas utilizadas para atender los requerimientos de desempeño, pues

tenerse una idea del grado de influencia de las perturbaciones externas sobre la salida de interés.

mos a del sistema (señal de ruido, señal

de control, entre otras)

lo suficientemente ones.

onsidere el siguiente sistema LTI

⎩⎨ +=

+wDCxzwBAx

w

w (3.13)

con denotando el vector de estados, el vector de entradas de perturbación y

Se hace notar que en una LMI las variable

menares y Tadeo, 2005).

et al., 1995), que utiliza métodos como por ej

2005).

3.8 Norma de sistemas o LMI’s

los principales objetivos de control es el de alcanzar ciertas especificaciones de desempeño

además de garantizar la estabilidad interna. Ciertamente, la medida de energía de determinadas señales

de interés es una de las m

puede

Recordando que:

i. Las perturbaciones consisten en disturbios externos y ruidos de medición. ii. Los componentes de la inconsistencia del desempeño son todas las señales que desea

controlar o que suministran alguna información para la dinámic

El objetivo que se plantea resolver en esta sección es verificar si la variación del desempeño se mantiene

pequeña en presencia de perturbaci

C

⎧ =x&

nRx∈ rRw∈ qRz∈ el

gún Trofi el operador perturbaci

por tanto, el desempeño del sistema depende del tamaño del operador entre , que será

denotada por

vector de salidas de interés. Se no (2000), Para este sistema ón/salida de

interés wzG esta dado por:

wwwz DBAsICG +−= −1)(

)()( tzytw

wzG


¿Cómo se mide el tamaño de este operador? Las dos maneras más comunes y con significado

físico para cuantificar el tamaño del sistema son las normas ∞HyH 2 . En lo que sigue serán

presentadas tales definiciones para sistemas lineales invariantes en el tiempo (LTI). Por esta razón, se va

ocida, es posible

xcitado por un impulso, luego esta dinámica

puede ser incorporada al operador . De esta forma, se puede considerar que este sistema es

Para la definición de la norma , la energía de la señal será finita si se asume

a mostrar primero la clase de sistema a ser considerado.

Norma 2H

Cuando las perturbaciones que afectan el sistema son señales de forma con

representarlas como la salida de un sistema dinámico e

)(sGwz

excitado por señales )(tw impulsionales y definir la norma 2H de )(sGwz como la energía de la

respuesta al impulso que es la energía de la señal de salida de )(tz .

2H )(tzObservación 3.4

que el sistema (3.13) es estrictamente propio y estable, es decir, la matriz A es Hurwitz y 0≡wD . A

efinición 3.2 (Norma de sistemas)

da como:

continuación se formalizará este concepto.

D 2

La norma 2H del operador entrada/salida, )(sGwz es defini

H

∫∞

=owz dttgtgtrazaG )]()'([

2 (3.14)

donde es la respuesta impulsional del sistema (3.1)(tg 3) con A es Hurwitz, 0≡wD y 0)( =tg para

0<t<∞− .

La norma de sistema esta relacionada con el criterio de estabilidad de Lyapunov (3.4.3).

a través de condiciones LMI. Considerando la

condición de estabilidad de Lyapunov (3.6) para sistemas lineales invariantes en el tiempo rescrita de la

manera siguiente.

2H

Esta relación nos permite calcular la norma )(sGwz

Dada una matriz QPAPAPPQQ −=+>=∃>= ':0'0' (3.15)


la solución para la expresión (3.15), es dada por

dtQeeP AttA∫∞

=0

' (3.16)

En la definición (3.2) de la norma , el operador entrada/salida tiene la forma

y su respuesta impulsional es dada por . Entonces, se puede

2H

wwz BAsC 1)( −− wAt BCetg =)(IsG )( =

escribir

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛==

∞∞

wo

AttAwo w

AttAwwz BdtCeCeBtrazadtBCeCeBtrazaG '']''[ ''

2

note que el termino ∫oAttA dtCeCe '' , conocido como el gra ian

∫∫

mm o de observabilidad, es una solución

para la ecuaci

∞

ón de Lyapunov (3.6) con 0' ≥= CCQ . Luego, la norma puede determinarse por: 2H

[ ]BPtrazasG ')( 2

2= (3.17)

donde P es la solución de la ecuación '

wowwz B

o 0' =++ CCAPooPA .

])'()([)]()'([ ththtrazaththtraza =La conmutatividad de la función traza ( ), nos permite calcular la

versión dual de la norma H por el grammia2 no de controlabilidad de la siguiente manera:

]'[' CCPtraza=⎤ (3.18) ')( '2

2CdteBBeCtrazasG co

tAww

Atwz ⎥⎦⎢⎣

⎡ ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛= ∫

∞

Donde es la solución de la ecuación cP 0'' =++ wwcc BBAPAP .

La determinación de la norma puede ser fácilmente obtenida a través de un problema de

optimización convexa. Por onsiderando el grammiano de observabilidad si satisface la

2

o

ecuación oo y existe una matriz

H

ejemplo, c P

0<0'' =++ CCAPPA '':0' ++>= CCPAPAPP

a mediante la resoluci

entonces

oPP > . Por lo tanto la norma 2H puede ser calculad

n forma de LMI

ón del siguiente problema

de optimización e


⎩ <++ 0'' CCPAPA⎨⎧ >=

<0'

:])'[(min2

PPPBBtrazaGwz (3.19)

donde la diferencia de estimación y el verdadero valor es tan pequeña como se quiera.

Norma

a está asociada a la mayor ganancia que puede existir de alguna de las entradas para algunas de

las salidas, a lo largo de todo el espectro de la señal, esto es, ella cuantifica el mayor incremento de

energía que puede ocurrir entre las entradas y salidas de un determinado sistema. En lo que sigue se

presenta una definición más formal.

ma )

Considere el sistema (2.34). La norma del operador entrada/salida, es el valor supremo

entre la energía de las señale de energía limitada

2

∞H

Esta norm

Definición 3.3 (Nor

w

∞H

∞H

s de salida y entrada, para todo

)(sGwz

2

2

02

supwz

Gw

wz

≠∞= (3.20)

emo es calculado para todas las trayectorias no nulas del sistema (3.13) con 0)0( =x

ión de

donde el supr , en

el caso escalar, la norma de un sistema LTI coincide con la máxima ganancia de la func

De la misma forma que el caso , se utiliza la ecuación de Lya

numéricamente el valor de la norma de sistemas.

C

∞H

transferencia en todo el espectro de frecuencia.

2H punov para calcular

∞H

Pxxxv ')( =onsidere que existe una función de Lyapunov cuadrática , para el sistema (3.13)

0>γy un escalar tal que:

0'')( 2 (3.21) <−+ wwzzxv γ&

0)0( =xIntegrando la expresión anterior de 0 a T, con , se tiene que:

implica que

∫ <−=T

dtwwzzTx0

en vista de que 0))(( ≥Txv , esto

v 2 0)''())(( γ


2

2

wz

≥γ

El valor mínimo de γ que satisface (3.21) es la norma del sistema (3.13)

ue

∞H

Debido a q v PxBwxPAPAxx w''2)'(')( ++= wDCxz w+=& y , la expresión (3.21) se torna:

(3.22)

iente problema de optimización

Al momento de tomar en cuenta la ubicación de polos como requisito de desempeño del sistema en

también puede formularse como un problema de

desigual

0)'(')''('2)''(' 2 <−+++++ wIDDwxCDPBwxCCPAPAx rwwww γ

la expresión anterior en términos del vector auxiliar ]'[ wx puede ser descrito de la siguiente manera:

'''''

⎤⎢⎣

⎡ +++⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡B

DCPBCCPAPAwx

0'' 2 <⎥

⎦−+ IDDCDP wwww

ww

γ

Luego, la norma puede ser determinada por el sigu∞H

0'''0'

:min 2 <⎪⎨⎧

⎤⎡ +++>=

DCPCCPAPAPP

wwγ ''' 2⎪⎩

⎥⎦

⎢⎣ −+ IDDCDPB

B

wwww γ

estudio, se cuenta con las regiones LMI para ubicación de polos.

3.9 Regiones LMI´s para la ubicación de polos

La ubicación de polos en regiones convexas

dades matriciales lineales (LMI’s) en la matriz de Lyapunov P , siempre que la región pueda

describirse como una región LMI y qu e manera forme d al es definida como:

3.4 (Chilali y Gahinet 1996) Una región LMI es cualquier región convexa R que pueda

describirse de la forma:

Definición

}0{ <+∈ MzzMzR = : +LC

Donde y TLL = M son matrices constantes reales de las mismas dimensiones.


Es posible obtener condiciones que permitan modificar el comportamiento temporal de las

respuestas de los sistemas, garantizando la ubicación de los polos a lazo cerrado en regiones del plano

s

emiplano a izquierda de

, como se señala a continuación.

0x S

:{ ∈= zCzR }02 0 <++ xz

Figura 3.12: Semiplano a la izquierda de x0.

Semiplano a la derecha de 0x

}02:{ 0 >++∈= xzzCzR

n cero.

Figura 3.13: Semiplano a la derecha de x0.

Cono con vértice e

⎪⎬

⎪⎨ <⎟⎟

⎠+−= 0

)(sin)cos zzzzzR

θ

⎭

⎪⎫

⎩

⎪⎧ ⎞⎜⎜⎝

⎛ −+∈

()(cos)(sin: zzzzC

θθθ

Im(s)

X0 Re(s)

Im(s)

X0

Re(s)


Im(s)

Figura 3.14: Cono centrado en cero.

Región circular centrada en α− y de radio r

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

<⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−++−

∈= 0rαzαzr:CzR

Figura 3.15: Circunferencia centrada en α− y de radio r

Banda vertical 21 hxh <<

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

<⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

++−+−

∈= 0)(20

0)(2:2

1

zzhzzhCzR

Figura 3.16: Banda vertical 21 hxh <<

Re(s)

Im(s)

Re(s) r

−α

Im(s)

h1


El siguiente teorema establece la re

una región LMI y esa región.

Teorema 3.1

lación entre la ub n de polos – autovalores de una matriz A- en

Una matriz A tiene todos sus autovalores en una región LMI de la forma

icació

{ }0: <++∈= TMzzMLCzR ; Si y solo si existe una matriz tal que:

La expresión anterior también pu ;

0>X

0)()( <⊗+⊗+⊗ TT AXMAXMXL

mlkT

lk XAM ≤≤ ,1)ede escribirse como klkl AXMXl ++(

Donde )( klkl Ml es el elemento kl de la matriz )(ML y k ml ≤≤ ,

en Chilali y Gahinet (1996).

1 indica los valores de y entre

y .La demostración puede encontrase

Observación 3.4 Con el teorema anterior y teniendo en consideración la región a ser usada al

momento del diseño de los controladores se tendrá: La región del semiplano a la izquierda de esta

definida como

k l

1 m

0x

}02:{ 0 <++∈= xzzCzR ; haciendo uso del Teorema 3.1 se obtiene la siguiente

notación para dicha región:

Con y

02 0 <++ XxXAAX T

00 <x XP = el LMI será descrita como:

(3.22) 02 0 <−+ PxPAAP T

Capítulo 4

Síntesis de controladores robustos H2 y H∞ como

LMI’s

ubicación de polos, cota para el valor de las norma y según sea el caso, etc.). Acá, serán

mostradas las normas y como sistema de desigualda ales así como también el diseño de

ctor de estados, realimentación estática de la salida y al final del

capítulo será presentado un resumen del mismo con las acotaciones más importantes para el diseño de

4.1 Reali ector de estad

Considere el siguiente sistema lineal invariante en el tiempo:

(4.1)

donde es el vector de estados, son las perturbaciones externas,

Este capítulo está consagrado al diseño de controladores robustos para sistemas lineales e invariantes en

el tiempo a los que se impondrán múltiples objetivos para su desempeño en lazo cerrado (estabilidad,

∞

2

controladores por realimentación del ve

s 2H H

des lineH ∞H

los controladores a estudiar.

mentación del v os

⎩⎨⎧

++=++=

uDwDxCzuBwBAxx

zuzwz

uw&

nRx∈ rRw∈ qRz∈ son las salidas

son las en .

Suponga que todos los estados del sistema (4.1) son medibles, sea

manipuladas y pRu∈ tradas de controlpxnRK ∈ la matriz de

realimentación de estados, o sea . El sistema en lazo cerrado queda de la forma:

(4.2)

Kxu =

⎩⎨⎧

++=++=

wDxKDCzwBxKBAx

zwzwz

wu

)()(&

Capítulo 4 – Síntesis de controladores robustos 2H y ∞H como LMI’s 44

En esta sección se considera el problema de síntesis de una realimentación del

vector de estados, es decir, interesa una matriz de ganancia

de controladores a través

K para el sistema (4.2) de modo que

pueden ser satisfechas ciertas propiedades y especificaciones de desempeño.

El problema es determinar una matriz de ganancias K tal que el sistema (4.2) no forzado ( 0≡w ), sea

cuadráticamente estable. Según Trofino (2000), utilizando el criterio de estabilidad de Lyapunov

'

descrito en el apartado (3.4.3), puede ser determinada esta matriz que satisface el siguiente LMI

>=∃ PP 0'''0)()'(:0 <+++⇔<+++ KPBPBKPAPAKBAPPKBA uuuu (4.3)

note que la condición descrita en (4.3), denominada Primal, no es lineal en . A continuación se

verá como linealizar esta ecuación matricial en las formas Primal y Dual.

existe una matriz cualquiera

KyP

Versión Primal

En este abordaje se utiliza una restricción de igualdad para linealizar la expresión (4.3). Suponga que

M , tal que MBPB uu = , de esta forma puede rescribirse la expresión

(4.3) como:

⎪⎧ > 0P

⎪⎩

⎨<+++

==∃0''''

:'MKBBMKPAPA

MBPBPP

uu

uu

Ahora considere que existe una matriz X tal que MKX = . El problema de estabilización cuadrática

liza el sistema es dada por

tiene solución en la forma Primal si:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

<+++=>

=∃0'''

0:,'

XBBXPAPAPB

PXPP uu MB (4.4)

uu

En caso afirmativo, la matriz de ganancia que estabi XMK 1−=

Versión Dual

Considere que existe una matriz IPQ QQ => :0' . Multiplicando la inecuación ma= tricial dada en

(4.3) a la derecha y a la izquierda por Q , se obtiene:

0''' <+++ KQBBQKAQQA uu


Entonces se asume que existe una matriz Y tal que KQY = . El problema de estabilización cuadrática

tiene solución en la forma Dual si:

⎧ > 0Q

⎩⎨ <+++

=∃0'''

:,'YBBYAQQA

YQQuu

(4.5)

4.2 Realimentación de la salida

or rea

al caso de controladores por

ctor de estados.

Considerando el sistema LTI representado en variables de estado (4.1). Una condición

Realimentación estática de la salida

Según Trofino (2000), la forma más sencilla de diseñar controladores por realimentación de la salida es

ésta, y consiste en encontrar una matriz de ganancia

En caso afirmativo, la matriz de ganancia que estabiliza el sistema es dada por 1−= YQK

Se describe aquí, una solución para el problema de síntesis de controladores p limentación estática

de la salida, vía el abordaje LMI. Los resultados obtenidos se reducen

realimentación del ve

necesaria para que el problema de estabilización tenga solución, es que el par ),( BA sea estabilizable y el

par ),( CA sea detectable. (Chen, 1984)

K tal que la ley de control estabiliza el

aciones de diseño.

n LMI correspondiente con este tipo de controlador, el abordaje

será enfocado en la condición de estabilidad de la planta y será asumido que el sistema (4.1) esta exento

de perturbaciones por lo que se partirá de la siguiente representación en

Kyu =

sistema (4.1), y satisfaga algunas especific

Para encontrar la formulació

espacio estado.

CxyBuAxx

=+=&

(4.6)

El sistema en lazo cerrado es:

CxyxBKCAx

=+= )(&

Para que el sistema sea cuadráticamente estable debe satisfacerse la condición de Lyapunov (3.4.3), así

se tienen que encontrar matrices y 0>P K tal que:

Pxxxv ')( =


0)'()( <++= xPBKCCPAPAxxv T&

note que la ecuación anterior n

'''+ PBK

o es convexa en , y que imposibilita la utilización de

herramientas computacionales existentes, para limitar este problema, se ut

mostrado en Crusius y Trofino (1999), que crea un problema auxiliar convexo que sí se torna factible,

se obtiene las siguientes

ondiciones, dadas por el Teorema 4.1.

te estable por una ley de control del tipo

),( KP

ilizará el Problema-P

el problema original también lo será. Haciendo uso de éste (Problema-P), n

c

Kyu =Teorema 4.1 El sistema (4.7) será cuadráticamen , si

existen matrices 0>P , M y Y tal que:

PBBYCBYCPAPA

= BM<+++ 0''''

(4.7)

en caso de encontrarse dichas matrices, la ganancia de realimentación esta dado por YMK 1−= y

Pxxxv ')( = es una función de Lyapunov para el sistema.

En vez de hacer uso del abordaje primal se puede considerar el abordaje dual (el cual es usado

ta dado en el Teorema 4.2 y utiliza la versión dual del

Problema-P, denominado Problema-W (Crusius y Trofino, 1999).

ta del tip

para fines de esta investigación). Este resultado es

Teorema 4.2 El sistema (4.6) será cuadráticamente es ble por una ley de control Kyuo = , si

existen matrices 0>Q y Y tal que:

KCYQ

BYBYQAAQ=

<+++−1

0''' (4.8)

La ganancia de realimentación para el caso afirmativo esta dado por y

, con es una función de Lyapunov

ser interpretados para sistemas con incertidumbre de tipo politópica de

forma semejante al caso de realimentación de estados resolviendo las LMI en (4.7) para los vértices de

la región

11 )'(' −−= CCCYQK

Pxxxv ')( = 1−= PQ para el sistema.

Los resultados pueden

. Note que las matrices y C B

a

δβ no pueden ser inciertas conjuntamente, pues el problema

l c l que la matriz

se torna no convexo. Por eso, debido a la restricción de igualdad, es mas conveniente en el caso primal

que la matriz C sea incierta y no e duaso B sea incierta.


4.3 Control 2H

El problema es determinar la matriz de ganancia K que estabiliza el sistema (4.2) y minimiza la norma

2H del sistema

Buscando obtener una formulación convexa al problema de control 2H , se usará la

determinación de esta norma por el grammiano de controlabi

como . Según Trofino (2000), la norma de este sistema puede do por el

(4.9)

como en

inecuación m tilizadas las siguientes relaciones.

lidad. Considere el sistema (4.2),

ser determina0≡D 2Hzw

siguiente problema de optimización.

{ }⎩⎨⎧

<++++>=

++0')'()(

0':])'()[(min

uzuzzuz BBKBAPPKBA

PPKDCPKDCtraza

wwu

La condición anterior presenta términos no convexos, tanto en la función objetivo, la

atricial. Para linealizar dicha expresión, serán u

KPYKDCPKDCW zuzzuz

=++≥ )'()(

Aplicando el complemento de Schur en (Lema 3.1), y teniendo en consideración la expresión anterior,

puede obtenerse una relación convexa para la determinación de la norma bajo estudio (Norma ) que

ealim a ados

Tomando en cuenta el sistema (4.2 n

2H

será presentada a continuación.

Control 2H - R ent ción de est

atriz P simétrica, definida positiva, y 0≡zwD .) co Si existe una m

•

matrices YW , satisfaciendo el siguiente problema de optimización

⎪ ≥⎥⎤

⎢⎡

+0zuz

⎪⎪⎩

⎨<⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

+++⎦⎣

0'

)'''(:)(min zuz

IBBBYYBPAAP

Wtraza (4.10)

Entonces, se puede afirmar que

El sistema es estabilizable para la ley de control Kxu

⎪

⎧ +'''

)(

rw

wuu

PDYPCYDPCW

= ; con 1−= YPK

• La norma H del sistema esta dada por 2 )(WazaG <2

trwz

La demostración de esto aparece en (Rosales, 2003) y no será repetida aquí.


Comentario: con elacr ión a la escogencia de las matrices y se pueden hacer los siguientes

comentarios. Note que

zC zuD

dtuDxCuDxCzdtzz zuz

T

zuz

T)(')('

00

2

2++== ∫∫

Si escogemos zC y zuD tal que

0' =uzzDC

Se tendrá

2

2

2

2

2

2uDxCz zuz +=

Como el problema es minimizar 2

z , entonces, la ley de control debe minimizar la variación de

esto, se

aumenta la energía del término . Típicamente se tiene un compromiso entre el esfuerzo de

control (representado por ) y la rapidez de los modos (representados por ). Cuanto menor va

Control - Realimentación estática de la salida

El caso de realimentación estática de la salida se reduce a resolver el caso de realimentación de estado,

xCz tornando más rápidos los modos del sistema realimentado que afectan esta variable. Por otro lado,

el esfuerzo de control consumido para acelerar estos modos no puede ser excesivo, por

uDzu

uDzu xCz

uDzu en relación a xCz , más rápidos serán los modos del sistema y mayores serán las ganancias de

realimentación.

2H

en otras palabras:

Tomando en cuenta el sistema (4.2) con 0≡zwD . Si existe una matriz Q simétrica, definida

positiva, y matrices satisfacie ón

(4.11)

ontrol

YW , ndo el siguiente problema de optimizaci

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

<⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

+++

≥⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

+

0'

)'''(

0'''

)(

:)(min

rw

wuu

zuz

zuz

IBBBYYBPAAP

QDYQCYDQCW

Wtraza


; con 1222

1 )'(' −−= CCCYQ Kyu = K• El sistema es estabilizable para la ley de c


)• La norma 2H del sistema esta dada por (2

WtraGwz <

za

4.4 Control

riz de ganancia

∞H

KEl problema es determinar la mat que estabiliza el sistema (4.2) y minimiza la norma

gún Trofino (2000), La determinación de la norma por el abordaje Dual permite la

obtención de una formulación convexa para este problema de control.

La norma del sistema (4.2) es dada por el siguiente problema de optimización:

ser

∞H

∞H Se

∞H

⎪⎩

⎨

⎧

<⎥

⎥

⎦⎢

⎢

⎣ −+−

>=

0)(

''

0'

:min 22

IDQKDCDIB

QQ

zwzuz

γγ (4.12)

La expresión (4.12) puede linealizada por un cambio de variable KQY

⎪

⎪⎪

⎥

⎤

⎢

⎡ ++++ )'()()'( KDCQBQKBAKBAQ

zww

zuzwuu

= . próxima subsección

n para el problema de control ∞H por realimentación de estados Kxu

La

presenta una formulació = al

igual que para el problema de control Kyu = .

Control - Realimentación de estados ∞H

Considere el sistema (4.2). Si existen matrices 0'>= QQ , Y y un escalar 0>γ , satisfaciendo el

siguiente problema de optimización

(4.13)


• El sistema es estable para la ley de control

⎪⎩

⎪⎨ <

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣ −+0

)(

)':2

IDYDQC

B

zwzuz

zuzwuu⎧ ⎤⎡−

++++''

)'''(''(min 2 DIB

DYQCBYYBQAAQ

zww γγ

Kxu = ; con

• La norma del sistema es dada por

1−= YQK

∞H γ<∞wzG


Control ∞H - Realimentación estática de la salida

Análogo al caso anterior, las LMI’s para el caso realimentación estática de la salida teniendo en

) con 0≡zwD . Son satisfechas si existen matrices y 0'>= QQ Ydeferencia al sistema (4.2 , tal que el

(4.14)


• El sistema es estabilizable para la ley de control

siguiente problema de optimización sea factible:

⎪⎩ ⎥

⎥⎢⎢ zww⎪⎨

⎧<⎥

⎦

⎤⎢

⎣

⎡

−+−

++++0

)(''

)'''()'''(:min 22

IDYDQCDIB

DYQCBBYYBQAAQ

zwzuz

zuzwuu

γγ

Kyu = ; con

• La norma del sistema esta dada por

1222 )'(' −= CCCYQK

1−

∞H γ<∞wzG

La demostración de éste caso puede ser vista en Rosales (2003).

4.5 Resumen para el controlador

a nula y

(4.15)

el conjunto e

Para el caso realimentación del vector de estados:

2H

Para los casos donde se calcula la norma 2H la matriz D será asumid habrá equivalencia entre

los sistemas:

⎪⎧

=+=xCz

uBAxx u&

⎪⎩

⎪⎨⎧

==

++=≡⎨

+

xCyxCz

uBwBAxxBwz

w

2

1

21&

⎪⎩ = Cxy

Razón por la cual para la síntesis de controladores, d LMI a resolver en cada caso será:

Kxu =

0)

0

0'

)'''(

1

1

122

><

≥⎥⎦

⎤⎡

<⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

+++

Q

QCW

IBBBYYBQAAQ

r

γ'1

⎢⎣ QQC

(Wtraza

(4.16)

on 1−= YQK C


La norma H el sistema deberá cumplir: d )(2

WtrazaGwz <2

Región para ubicación de polos (semiplano a la izquierda de 0x )

02''' 022 <−+++QAQ QxBYYBA (4.17)

Para el caso realimentación estática de la salida: Kyu =

0)(

0'

0'

)'''(

1

1

122

><

≥⎥⎦

⎤⎡

<⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

+++

QWtraza

QQCQCW

IBBBYYBQAAQ

r

γ

1⎢ (4.18) ⎣

Con 1222

1 )'(' −−= CCCYQK

)(La norma 2H del sistema deberá cumplir: 2

Wtrazawz

Región para

G <

ubicación de polos (semiplano a la izquierda de ) 0x

02'''' 02222 <−+++ QxYCBBYCQAAQ (4.19)

4.6 Resumen para el controlador

de

este controlador son:

∞H

Teniendo presentes la equivalencia descrita en la sección 4.5, El conjunto de LMI’s para el diseño

Kxu =Para el caso realimentación del vector de estados:

0

0''''''

111

112

1

1122

>

<⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

+++

QIDQC

DIBQCBBYYBQAAQ

γ (4.20)

Con

La norma del sistema deberá satisfacer:

1−= YQK

∞H γ<∞wzG

Regi bón para u icación de polos (semiplano a la izquierda de ) 0x


02'' 022'++ BQAAQ <−+ QxBYY (4.21)

Para el caso realimentación estática de la salida: Kyu =

0''''''

111

112

1

1122

<⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

+++

IDQCDIBQCBBYYBQAAQ

γ

⎤

0>Q

(4.22)

Con

La norma del sistema deberá satisfacer:

1222

1 )'(' −−= CCCYQK

∞H γ<∞wzG

Región para ubicación de polos (semiplano a la izquierda de ) 0x

02'''' 02222 <−+++ QxYCBBYCQAAQ (4.23)

Ejemplo ilustrativo 4.7

Considere el sistema incierto descrito por:

[ ][ ]xy

xz

6687.08507.0

01

−−=

=

uwxx6687.01618.10 ⎥

⎦⎢⎣

+⎥⎦

⎢⎣

+⎥⎦

⎢⎣ −

=δ

&

rto, de él solo se sabe que tiene un rango de variación para con un

que

5257.000618.0 ⎤⎡−⎤⎡⎤⎡

El parámetro a es incie ]31[∈a

Avalor nominal de 20 =a respectivamente, por lo cual, se dice pert

politópico

enece a un conjunto

δβ . En primer lugar deben hallarse los vértices de dicho politópo, pa

diseñar los controladores. Recordando la condición descrita en (3.2)

Y sabiendo además, que para n parámetros inciertos se requieren calcular vértices. El procedimiento

ra en base a ellos,

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=≥== ∑∑==

r

iii

r

iiir yAAAAACo

111 10;)(|},,{ δδδδK

n2para tal acción es el siguiente:


21 618.10618.10 ⎦⎣ −⎦⎣ − aa0618.00618.0

)( δδδ ⎥⎤

⎢⎡

+⎥⎤

⎢⎡

=A ;

Con 1,5 −== aa .

Las ecuaciones a evaluarse surgen de la expresión (3.2) y se muestran a continuación

021

21 1

aaa =+

=+

δδ

δδ

Resol ecviendo el sistema de uaciones se obtuvieron los siguientes resultados (ver Apéndice A

Ec_Introductorio1.m)

5.0;5.0 21 == δδ ;

121 =+δδ

Con lo que se cumple con las exigencias para la ecuación (3.2). Entonces, los vértices del politópo para

v lores

iδlos a obtenidos son:

Una vez obtenidos los vértices del politópo, se procede con el análisis de la controlabilidad y

observabilidad propuesto por Kalman (ver Apéndice A Ejemplo C_O_Introductorio.m). Para el

espectivo diseño de controladores.

21

2211

618.1010

618.103δδδ ⎥⎦

⎤⎢⎣ −

+⎥⎦

⎢⎣ −

=

)( δδδ += AAA618.00618.0

)(⎡⎤⎡

A

r

Controlador

Ejemplo 4.1: Controlador 2H con Kxu

2H

=

Dado la representación en espacio de estado del sistema lineal invariante en el tiempo sometido a

incerteza de tipo politópica propuesto en el apartado anterior. Se pide diseñar un controlador de la

forma que permita:

.-

Kxu =

.-Estabilizar el sistema en lazo cerrado y minimizar la norma H del sistema, es decir: 2

γ<2wzG , 100<γ para lograr factibilidad de las LMI’s.


Solución: En primer luga an las condiciones para la existencia del controlador, es decir,

deben estudiarse la controlabili observabilidad del sistema (ver Apéndice A Ejemplo

e tanto los vértices, como la matriz nominal del

sistema incierto cumplen ser completamente controlable y completamente observable (puesto que el

esto, asumiendo que la matriz

r, se consider

dad y

0

C_O_Introductorio.m), cuyos resultados revelan qu

rango de las matrices encontradas se corresponden con el número de estados del sistema), además de

=D

), se dan por satisf

para que la norma sea finita y que todos los estados del

sistema son medibles ( echas las condiciones para la existencia del controlador.

Toolbox de Matlab (ver Apéndice A Ejemplo41.m). En lo que sigue se

muestran los resultados obtenidos.

2H

IC =2

Para el diseño del controlador se usaron las LMI’s descritas en (4.16) para cada vértice y para

resolverlas se hizo uso del

γ (gamma) 50.3091

2wz 0.1503 G

)(Wtraza 6.9229

Matriz de ganancia K [6.1517 1.8443]

Ubicación de Polos

Lazo Abierto Lazo Cerrado

=1λ -1.6180 =1λ -1.5003 + 2.1640i

=2λ 0.6180 =2λ -1.5003 - 2.1640i

Tabla 4.1: Resultados obtenidos para -sistema incierto- con

ntos de iseño fueron satisfechos, el sistema fue estabilizado, la

norma del sistema en lazo cerrado cumple ser menor que

2H Kxu =

La Tabla 4.1 refleja que los requerimie d

2H γ y a su vez, menor que la raíz cuadrada

de la traza de W . En este sentido, se concluye que el controlador hallado estabiliza internamente el

sistema y minimiza el efecto del ruido a la salida del mismo.


Ejemplo 4.2: Controlador 2H con Kxu = y ubicación de polos

Dado la representación en espacio de estado del sistema lineal invariante en el tiempo sometido a

incerteza de tipo politópica propuesto en la sección 4.7. Se pide diseñar un controlador de la forma

Kxu = que permita:

.-Estabilizar el sistema en lazo cerrado, tal que los polos estén ubicados a la izquierda de -5 y

minimizar la no del sistema, es decir:

.-

rma 2H

γ<2wzG , 5<γ para lograr factibilidad de las LMI’s.

directamente con su diseño. Para ésto, se usaron las LMI’s descritas en (4.16), (4.17) para cada vértice

y para resolverlas se hizo uso del Toolbox de Matlab (ver Apéndice A Ejemplo42.m). En lo que sigue se


Solución: Una estudiadas y satisfechas las condiciones para la existencia del controlador, se procede

γ (gamma) 4.0634

2wzG 0.3028

)(Wtraza 4.2395


Ubicación de Polos


=1λ -1.6180 =1λ -9.6733 + 6.3958i

=2λ 0.6180 =2λ -9.6733 - 6.3958i

Tabla 4.2: Resultados obtenidos para H -sistema incierto- con Kxu2 = y ubicación de polos

La Tabla 4.2 refleja que los requerimientos de diseño fueron satisfechos, el sistema fue estabilizado de

manera que sus polo al cerrar el lazo de control se encuentran a la izquierda de -5, la norma del

stema en lazo cerrado cumple ser menor que

2H

γ si y a su vez, menor que la raíz cuadrada de la t raza de


W . En este sentido, se concluye que el controlador hallado estabiliza internamente el sistema y

minimiza el efecto del ruido a la salida del mismo.

Ejemplo 4.3: Controlador 2H con Kyu =

Dada la representación en espacio de estado del sistema lineal invariante en el tiempo sometido a

umbre de tipo ince

forma

rtid politópica propuesto en la sección 4.7. Se pide diseñar un controlador de la

.- zar la norma del sistema, es decir:

u Ky= que permita:

Estabilizar el sistema en lazo cerrado y minimi 2H

γ<2wzG 10<γ.- , para lograr factibilidad de las LMI’s.

Apéndice A Ejemplo43.m). Cuyos resultados obtenidos fueron:

Solución: una vez satisfechas las condiciones para la existencia del controlador (estudiadas en el

Ejemplo 4.1), se procede directamente al diseño del controlador propuesto. Para esto, fue usado el

conjunto de LMI descrito por en las ecuaciones (4.18), (4.19) para cada vértice y para resolverlas se

hizo uso del Toolbox de Matlab (ver

γ (gamma) 5.8789

2wzG 0.4734

)(Wtraza 2.1533

Matriz de ganancia K [-5.5229]

Ubicación de Polos


=1λ =1λ -1.6180 -0.5001 + 2.8558i

=2λ =2λ 0.6180 -0.5001 - 2.8558i

Tabla 4.3: Resultados obtenidos para 2H -sistema incierto- con Kyu =

De nuevo, se observa que las especificaciones de diseño son satisfechas. Por lo que se concluye que el

controlador diseñado estabiliza internamente el sistema y minimiza el efecto del ruido a la salida del

mismo.


Ejemplo 4.4: Controlador 2H con Kyu = y ubicación de polos


certidumbre de tipo politópica propuesto en la sección 4.7. Se pide diseñar un controlador de la

.-

in

forma Kyu = que permita:

.-Estabilizar el sistema en lazo cerrado, tal que los polos sean ubicados a la izquierda de -0.5 y

minimizar la norma 2H del sistema, es decir:

2wzG γ< , < 100γ para lograr factibilidad de las LMI’s.

Solució Una vez ha sido es para la existencia del controlador

studiadas en el Ejemplo 4.1), se procede directamente al diseño del controlador propuesto. Para lo

n: n tudiadas y satisfechas las condiciones

(e

cual, fue usado el conjunto de LMI descrito por en las ecuaciones (4.18), (4.19) para cada vértice y para

resolverlas se hizo uso del Toolbox de Matlab (ver Apéndice A Ejemplo 44.m). Cuyos resultados

obtenidos fueron:

γ (gamma) 50.8258

2wzG 1.0899

)(Wtraza 7.0340


Ubicación de Polos


=1λ =1λ -0. -1.6180 5009 + 7.3202i

=2λ =2λ 0.6180 -0.5009 - 7.3202i

cierto- con Kyu = y Tabla 4.4: Re btenidos para -sistema in2Hsultados o ubicación de polos

Como se observa en la Tabla 4.4, las especificaciones de diseño son satisfechas. Por lo que se concluye

e el controlador diseñado estabiliza internamente el sistema y minimiza el efecto del ruido a la salida qu

del mismo.


Controlador ∞H

Ejemplo 4.5: Controlador ∞H con Kxu =


incertid de tipo politóumbre pica propuesto en la sección 4.7. Se pide diseñar un controlador de la

forma

.- r la norma del sistema, es decir:

u Kx= que permita:

Estabilizar el sistema en lazo cerrado y minimiza ∞H

γ<∞wzG 5<γ .- , para lograr factibilidad de las LMI’s.

Solución: Satisfechas las condiciones para la existencia del controlador (ver Apéndice A Ejemplo

C_O_Introductorio.m), se procede de manera directa con su diseño. Para esto, se usaron las LMI’s

descritas en (4.21) para cada vértice y para resolverlas se hizo uso del Toolbox de Matlab (ver apéndice

A Ejemplo45.m). Los resultados obtenidos fueron:

γ (gamma) 2.5000

∞wzG 0.0878

Matriz de ganancia K [10.24 48 1.7069]

Ubicación de Polos


=1λ =1λ -1.6180 -2.6221 + 1.8272i

=2λ =2λ 0.6180 -2.6221 - 1.8272i

Tabla 4.5: Resultados obtenidos para

os resultados mostrados en la Tabla 4.5 confirman que los requisitos establecidos para el sistema en

∞H - Kxu = sistema incierto- con

L

cuestión son satisfechos (la norma infinita fue menor que γ y γ cumple ser menor que 5) cuando es

cerrado el lazo de control.


100 101 102-100

-20

-90

-80

-70

-60

-50

-40

-30

Descomposicion en Valores Singulares del Sistema

pl

La Figura 4.1 muestra la curva de análisis de la descomposición en valores singulares del sistema en lazo

cerrado, la cual, se corresponde con la cota máxima alcanzada por el sistema con el controlador y a su

vez con la norma infinita del mismo.

Ejemplo 4.6: Con

itud

(db)

Am

Frecuencia (rad/seg)

Figura 4.1: Análisis SVD para ∞H -sistema incierto- con Kxu =

trolador H con u∞ Kx= y ubicación de

Dada la representación en espacio de es etido a

incertidumbre de tipo pol sección 4.7. Se pide dise un controlador de la

forma que

.-Estabiliza a en lazo cerrado, tal que lo os a la izquierda de -5 y

mini ir:

.-

polos

tado del sistema lineal invariante en el tiempo som

itópica propuesto en la ñar

Kxu = permita:

r el sistem s polos estén ubicad

mizar la norma ∞H del sistema, es dec

γ<∞wzG , 5<γ para lograr factibilidad de las LMI’s.

ont

procede de manera directa con su diseño. Para ésto, se usaron las LMI’s

escritas en (4.20), (4.21) para cada vértice y para resolverlas se hizo uso del Toolbox de Matlab (ver

apéndice A Ejemplo46.m). Los resultados obtenidos fueron:

Solución: Satisfechas las condiciones para la existencia del c rolador (ver Apéndice A Ejemplo

C_O_Introductorio.m), se

d


γ (gamma) 2.5000

∞wzG 0.1633


Ubicación de Polos


=1λ -1.6180 =1λ -8.0769 + 6.9356i

=2λ 0.6180 =2λ -8.0769 - 6.9356i

Tabla 4.6: Resultados obtenidos para -sistema incierto- con ∞H Kxu = y ubicación de polos

Los resultados mostrados en la Tabla 4.7 confirman que los requisitos establecidos para el sistema en

cuestión son satisfechos (los polos fueron movidos a norma infinita fue menor

ue

la izquierda de -0.4, la

γ y γq cumple ser menor que 5) cuando es cerrado el lazo de control.

100

-30

-40

101 102-110

-100

-90

-80

-70

-60

-50

-20

-10Descomposicion en Valores Singulares del Sistema

mpl

itud

(db)


A

nálisis SVD para -sistema incierto- con ∞H Kxu =Figura 4.2: A y ubicación de polos

La Figura 4.2 muestra la curva de análisis de la descomposición en valores singulares del sistema en lazo

cerrado, la cual, se corresponde con la cota máxima alcanzada por el sistema con el controlador y a su

vez con la norma infinita del mismo.


Kyu = r ∞H con Ejemplo 4.7: Controlado

Dada la representación en espacio de estado del sistema propuesto en la sección 4.7. Se pide diseñar un

controlador de la form a:

.-Estabilizar el sistema en lazo cerrado y minimizar la norma del sistema, es decir:

.-

a Kyu = que permit

∞H

γ<∞wzG , 5<γ para lograr factibilidad de las LM

Solución: Estudia sfechas las condiciones para la rolador (ver Apéndice A

Ejem u diseño. Para ésto, se usaron las

MI’s descritas en (4.22) para cada vértice y para resolverlas se hizo uso del Toolbox de Matlab (ver

I’s.

das y sati existencia del cont

plo C_O_Introductorio.m), se procede de manera directa con s

L

Apéndice A Ejemplo47.m). En lo que sigue se muestran los resultados obtenidos.

γ (gamma) 2.5000

∞wzG 0.8176


Ubicación de Polos


=1λ -1.6180 =1λ -0.5002 + 3.6175i

=2λ 0.6180 =2λ -0.5002 - 3.6175i

Tabla 4.7: Resultados obtenidos para -sistema incierto- con

Los resultados mostrados en la Tabla 4.7 confirman que los requisitos establecidos para el sistema son

satisfechos (la norma infinita fue menor que

∞H Kyu =

γ y γ cumple ser menor que 5) cuando es cerrado el lazo

de control.


100 101 102-90

-80

-70

-10

-20

-30

-40

-60

-50

0Des n ecomposicio n Valores Singulares del Sistema

Am

db)

Figura 4.3: Análisis SVD para -sistema incierto- con

La descomposición de valores singulares del sistema en lazo cerrado es mostrada en la Figura 4.3, la cual

muestra la cota máxima alcanzada por el sistema cuando es cerrado el lazo con el controlador.

Ejemplo 4.8: Control

plitu

d (


∞H Kyu =

ador ∞H con Kyu = y ubicación de po

Dada la representación e ado del sistema propuesto en la sección 4.7. Se pide diseñar un

controlador de la forma que permita:

.-Estabilizar el sistema en lazo cerrado, tal que los polos estén ubicados a la izquierda de -0.5 y

mini ir:

los

n espacio de est

Kyu =

mizar la norma H del sistema, es dec∞

γ<∞wz , 10G <γ.- para lograr factibilidad de las LMI’s.

Solución: Estudiadas y satisfechas las condiciones para la existencia del controlador (ver Apéndice A

Ejemplo C_O_Introductorio.m), se procede de manera directa con su diseño. Para ésto, se usaron las

LMI’s descritas en (4.22), (4.23) para cada vértice y para resolverlas se hizo uso del Toolbox de Matlab

(ver Apéndice A Ejemplo48.m). En lo que sigue se muestran los resultados obtenidos.


γ (gamma) 5.0000

∞wzG 1.0880


Ubicación de Polos


=1λ -1.6180 =1λ -0.5004 + 5.0194i

=2λ 0.6180 =2λ -0.5004 - 5.0194i

Tabla 4.8: Resultados obtenidos para -sistema incierto- con ∞H Kyu = y ubicación de polos

Los resultados mostrados en la Tabla 4.8 confirman que los requisitos establecidos para el sistema son

satisfechos (los pol da os fueron movidos a la izquier de -0.5, la norma infinita fue menor que γ y γ

cumple ser menor que 10) cuando es cerrado el lazo de control.

100 101 102-80

-70

0

-10

-20

-60

-50

-40

-30

10Descomposicion en Valores Singulares del Sistema

ud (d

b)


Am

plit

Figura 4.4: Análisis SVD para ∞H -sistema incierto- con Kyu = y ubicación de polos

La descomposición de valores singulares del sistema en lazo cerrado es mostrada en la Figura 4.4, la cual

muestra la cota máxima alcanzada por el sistema cuando es cerrado el lazo con el controlador.

Capítulo 5

Diseño de controladores H y H∞ para una caldera

En es casos: ctor

e estados y realimentación estática de la salida, para un sistema de calderas sometido a incertidumbre

2

te Capítulo serán diseñados los controladores 2H y ∞H para los realimentación del ve

d

politópica. Cuyo esquema se muestra en la figura 5.1.

Figura 5.1: Esquema de generación de vapor

El siguiente sistema de ecuaciones describe el comportamiento de una caldera alrededor de un punto de

operación caracterizado por un flujo de vapor máximo de 350 t/h. Una presión del domo de 140 bar y

un 90% de plena carga:

Capítulo 5 – Diseño de controladores 2H y ∞H para una caldera 65

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

0.074300- 0.000045 0.000035 0 0.000361 0.082200- 0 0 0.041100

3.851000- 0.000887 0.100000- 0 0.071800 0.621000- 0.000122- 0.000078- 0 0.032900

0.019100 0.025000 0.039600 0 0.129000-

δA

⎥⎥

⎢⎢

⎥⎥

⎢⎢

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

0.00000543- 00 0.00002490

0.00989000- 0 0.00003590 0 0.00139000 0

2;

1001101010

1 BB

Donde:

es la presión del domo (bar)

es el nivel de liquido en el domo (m)

es la temperatura del liquido en el domo (°C)

es la temperatura en el hogar (°C)

es la calidad del vapor (%)

es el flujo de calor de los calentadores (kJ/s)

es el flujo de agua de alimentación (Kg/s)

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

0001000001

2;0001000001

1 CC

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

0000000000000000

D

1x

2x

3x

4x

5x

1u

2u

Se sabe que la matriz A pertenece a un conjunto politópico δβ y que el parámetro

[ ] 0;11 0 =−∈ δδ , de esta manera, se procede con el estudio de la incertidumbre politópica


presente en la matriz de estados . Los vértices para este sistema quedan descritos como , con ,

el número de parámetros in o que a este ejercicio respecta se analizarán 2 vértices.

La matriz

Aciertos. Por l

n2 n

A está en realidad descrita por:

[ ]δδδδδ ∈+= ;2211 AAA

2δ

1

0.074300- 0.000045 0.000035 0 0.000361 0.082200- 0 0 0.041100

3.851000- 0.000887 0.100000- 0 0.071800 0.621000- 0.000122- 0.000078- 0 0.032900

0.019100 0.025000 0.039600 0 0.129000-

0.074300- 0.000035 0 0.000361 - 0 0 0.041100

3.85100- 0.100000- 0 0.071800 0.621000- - 0.000078- 0 0.032900

0.019100 0.039600 0 0.129000-

δδ

δ⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=A

as ecuaciones serán:

0.0000450.082200

0.0008870.000122

0.025000

0

L

021

21 1

δδδδδ

δδ

=+

=+

La solución de estas ecuaciones e ser vista en Apéndice A (Ejemplo EcuacionesCaldera.m) y cuyos

resultados fueron:

pued

5.0;5.0 21 == δδ

Cumpliendo con las restri scritas por la ecuación (3.2), en este sentido los vértices del

quedan definidos por:

propuesto por Kalman para la existencia de controladores para el sistema. (Ver Apéndice A Ejemplo

C_O_Caldera.m), c

controlables y observables.

cciones de

0.000887

025

politópo

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

=

0.074300- 0

3.851000- 0.100000- 0 0.071800 0.621000-0.019100 000

1A

⎡ 0. 0.039600 0 0.129000-

⎢ 0.000122- 0.000078- 0 0.032900

⎢⎣ 0.000045 0.000035 0 0.000361 ⎢⎢ 1.00000 0.082200- 0 0 0.041100

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣ 0.074300- 0.000045 0.000035 0 0.000361 00000

0000.621000- 0.000122- 0.000078- 0 0.032900 0.019100 0.025000

A ⎢⎢

= 3.851- 0.000887 0.100000- 0 0.071800 2

⎢⎡ 0.039600 0 0.129000-

⎢ 1.0- 0.082200- 0 0 0.041100

Conocidos los vértices del politópo, se procede con el estudio de controlabilidad y observabilidad

uyos resultados confirman que tanto los vértices, como la matriz nominal son


Satisfechas las condiciones de controlabilidad y observabilidad, se procede con el di ño de l s

controladores.

se o

5.1 C a

Para el diseño de este controlador se toma en cuenta varios aspectos: el principal es disponer de los

estados, es decir, que todos ellos sean medibles (

ontrol dor 2H

), con IIC =2 la identidad y que la matriz D sea cero

para que la norma sea finita.

Controlador con

lderas mostrado a principio de capítulo, se pide diseñar un controlador por

realimentación del vector de estados que permita:

._ Estabilizar el sistema en lazo cerrado y minimizar la norma 2 tal que:

2H

2H Kxu =

Para el sistema de ca

._ γ<2wz ; con G 110<γ para lograr factibilidad de las LMI’s.

Una vez estudiadas las condiciones para la existencia del controlador y asumiendo las consideraciones

I’s descritas en (4.16) extendidas para cada vértice y para resolverlas

se hizo uso del Toolbox de Matlab (ver Apéndice A Ejemplo51.m). En lo que sigue se muestran los

resultados obtenidos.

ostentadas para el diseño de este controlador, se procede de manera directa con el diseño del mismo.

Para esto, se usaron las LM

γ (gamma) 73.6885

2wzG 71.4354

)(Wtraza 158.7984

Matriz de ganancia K

1.0e+005 *

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡0.0069- 0.0001- 0.0004 0.0003 0.0002 2.0651 0.1965- 0.0454- 0.2063- 0.0964-

Ubicación de Polos


=1λ 0 =1λ -0.5337 + 0.0565i


=2λ -0.1803 =2λ -0.5337 - 0.0565i

=

3λ -0 =3λ.0596 + 0.0172i -0.0075

=4λ -0.0596 - 0.0172i =4λ -0.1223

=5λ -0.0860 =5λ -0.0756

Tabla 5.1: Resultados obtenidos 2 -sistema físico- con Kxu =

para

La Tabla 5.1 muestra que el controlador cumple con las especificaciones planteadas, es decir, el sistema

y a su vez menor que

H

es estabilizado en lazo cerrado, la norma 2H cumple ser menor que la traza de W

el valor γ establecido. Cumplidas con las especificaciones de diseño, se concluye que el controlador

hallado estabiliza internamente el sistema y minimiza el efecto del ruido a la salida del mismo.

En la Figura 5.2 se muestran los autovalores de la matriz de estados cuando es cerrado el lazo

de control sujeto a la variación del parám

tome la incerteza, pues ésta siempre tiene sus autovalores en el semiplano izquierdo cerrado.

etro incierto. Y en la cual se observa que no importa que valor

polo1 en lazo cerrado polo2 en lazo cerrado

-1 -0.5 0

0.058 -0.055

naria

0.5 1

-0.5337-0.5337

-0.5337-0.5336

0.056

0.057

-0.5337-0.5337

-0.5336-0.057

-0.056

naria

incertidumbreP Real

P Im

agi

P Im

agi

0 0.5 1

-0.5-0.5337 -1P Real incertidumbre

-1 -0.5 0 0.5 1

-7.55-7.5

-7.45-7.4

x 10-3

-1

0

1

P Im

agin

aria

polo3 en lazo cerrado

ncertidumbreP Real

1

0

i-1 -0.5 0 0.5 1

-0.123-0.1225

-0.122-0.1215

-0.121-1P

Imag

inar

ia


incertidumbreP Real

1

0

-1 -0.5 0 0.5 1

-0.0765-0.076

-0.0755-0.075

-0.0745-1P

Imag

inar

ia


incertidumbreP Real

Figura 5.2: Autovalores en lazo cerrado d l parámetro incierto el sistema variando e


Para estudiar las respuestas del sistema en lazo cerr ma en simulink mostrado en la

Figura 5.3

ado se uso el diagra

Planta

Control

x' = Ax+Bu y = Cx+Du

y

Salidas medidas

z

ladasSalidas contro

Referencia escalón

Ruido blanco

K*uvec

igura 5.3: Diagrama en Simulink para analizar las salidas del sistema en lazo cerrado

F

Una vez simuladas las salidas con la correspondiente matriz de ganancia K, se obtuvieron las siguientes

gráficas

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000-60

-40

-20

0

20

40

60Salidas medidas para el controlador h2 con u=kx

x1x2x3x4x5

Figura 5.4: Salidas medidas para el sistema con el controlador

2H -u Kx=


0 2000 4000 6000 8000 10000 12000-60

-40

-20

0

20

40

60Salidas controladas para el controlador h2 con u=kx

x1x2

Figura 5.5: Salidas controladas para el sistema con el controlador

ras 5.4 y 5.5 representan las salidas medidas y las salidas controladas respectivamente del

sistema en lazo cerrado y en las que puede apreciarse que los estados oscilan alrededor de cero, lo que

indica la condición de controlabilidad del sistema en estudio. El margen de error de estas señales se

debe a que cuando se plantearon las especificaciones de diseño no se tomó en consideración la

atenuación de las perturbaciones.

Controlador con y ubicación de polos

Para el sistema de calderas mostrado al principio del capítulo, se pide diseñar un controlador por


._ Estabilizar el sistema de forma que los polos en lazo cerrado estén ubicados a la izquierda de

-0.1 y minimizar la norma 2 tal que:

._

2H - u Kx=

Las Figu

2H Kxu =

γ<2wz ; con 305<G γ para lograr factibilidad de las LMI’s.

Estudiadas y satisfechas las condiciones para la existencia del controlador (ver Apéndice A Ejemplo

C_O_Caldera.m) y asumiendo las consideraciones ostentadas para el diseño de este controlador, se

procede de manera directa con el diseño del mismo. Para esto, se usaron las LMI’s descritas en (4.16),

(4.17) extendidas para cada vértice y para resolverlas se hizo uso del Toolbox de Matlab (ver Apéndice

A Ejemplo52.m). En lo que sigue se muestran los resultados obtenidos.


γ (gamma) 203.6424

2wzG 200.6535

)(Wtraza 4.7225e+003


1.0e+006 *

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡0.1608- 0.0003 0.0006 0.0105 0.0023 1.3317- 0.0004 0.0063 0.1122 0.0246

Ubicación de Polos


=1λ 0 =1λ -1.4019

=2λ -0.1803 =2λ -0.1550 + 0.0537i

=3λ -0.0596 + 0.0172i =3λ -0.1550 - 0.0537i

=4λ -0.0596 - 0.0172i =4λ -0.1332 + 0.0091i

=5λ -0.0860 =5λ -0.1332 - 0.0091i

Tabla 5.2: Resultados obtenidos para 2H -sistema físico- con Kxu = y ubicación de polos


s estabilizado en lazo cerrado de tal forma que los polos fueron movidos a la izquierda de -0.1, la

que el valor

e

norma 2H cumple ser menor que la traza de W y a su vez menor γ establecido. Cumplidas

mismo.

los autovalores de la matriz de estados cuando es cerrado el lazo

de control sujeto a la v n del pa va que no importa que valor

me la incerteza, pues ésta siempre tiene sus autovalores en el semiplano izquierdo cerrado

con las especificaciones de diseño, se concluye que el controlador hallado estabiliza internamente el

sistema y minimiza el efecto del ruido a la salida del

En la Figura 5.6 se muestran

ariació rámetro incierto. Y en la cual se obser

to


-1 -0.5 0 0.5 1

-1.404-1.402

-1.4-1.398

-1

0

1

P Im

agin

aria

polo1 en lazo cerrado polo2 en lazo cerrado

0.06

incertidumbreP Real-1 -0.5 0 0.5 1

-0.158-0.156

-0.154-0.152

-0.150.04

0.05

P Real

P Im

agin

aria

incertidumbre

polo4 en lazo cerradopolo3 en lazo cerrado

-1 -0.5 0 0.5 1

-0.158-0.156

-0.154-0.152

-0.15-0.06

-0.05

-0.04 10

x 10-3

P

P Im

agin

aria

Pna

ria

incertidumbre Real-1 -0.5 0 0.5 1

-0.14-0.135

-0.136

8

incertidumbre

Imag

i

P Real


-6

x 10-3

-8

-1 -0.5 0 0.5 1

-0.14-0.135

-0.13-10

P Real incertidumbre

P Im

agin

aria

Figura 5.6: Autovalores en lazo cerrado del sistema variando el parámetro incierto

mostrado en la Figura 5.3 con la correspondiente matriz de ganancia K se Haciendo uso del diagrama

obtuvieron las siguientes respuestas del sistema en lazo cerrado

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000-1500

-1000

-500

0

500

1000

1500Salidas medidas para el controlador h2 con u=kx y ubicación de polos

x1x2x3x4x5

Figura 5.7: Salidas medidas para el sistema con el controlador 2H - Kxu = y ubicación de polos


0 2000 4000 6000 8000 10000 12000-250

-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

200Salidas controladas para el controlador h2 con u=kx y ubicación de polos

x1x2

2H - Kxu =Figura 5.8: Salidas controladas para el sistema con el controlador y ubicación de polos

Las Figuras 5.7 y 5.8 representan las salidas medidas y las salidas controladas respectivamente del


indica la condición de controlabilida

antearon las especificaciones de diseño no se tomó en consideración la

Controlador con

Para el sistema de calderas mostrado a principio de capítulo, se pide diseñar un controlador por

realimentación estática de la salida que permita:

._ Estabilizar el sistema en lazo cerrado y minimizar la norma 2 tal que:

._

d del sistema en estudio. El margen de error de estas señales se

debe a que cuando se pl


2H Kyu =

γ<2wzG ; con 100<γ para lograr factibilidad de las LMI’s.

Una vez estudiadas las condiciones para la existencia del controlador y asumiendo las consideraciones

ostentadas para el diseño de este controlador, se procede de manera directa con el diseño del mismo.

Para ésto, se usaron las LMI’s descritas en (4.18) extendidas para cada vértice y para resolverlas

se hizo uso del Toolbox de Matlab (ver Apéndice A Ejemplo53.m). En lo que sigue se muestran los

resu

ltados obtenidos.


γ (gamma) 66.9728

2wzG 57.1598

)(Wtraza 166.5222


* 004+1.0e

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡0.0028 0.0014 2.2588- 0.9750-

Ubicación de Polos


=1λ 0 =1λ -0.0520 + 0.0745i

=2λ -0.1803 =2λ -0.0520 - 0.0745i

3λ = 3λ = -0.0596 + 0.0172i -0.1319

=4λ -0.0596 - 0.0172i =4λ -0.0405

=5λ -0.0860 =5λ -0.0879

Tabla 5.3: Resultados obtenidos para 2H -sistema físico- con Kyu =


s estabilizado en lazo cerrado, la norma cumple ser menor que la traza de y a su vez menor que 2H We

el valor γ establec . Cumido plidas con las especificacione

ndo es cerrado el lazo

de control sujeto a la v n del pa va que no importa que valor


s de diseño, se concluye que el controlador

hallado estabiliza internamente el sistema y minimiza el efecto del ruido a la salida del mismo.

En la Figura 5.9 se muestran los autovalores de la matriz de estados cua

ariació rámetro incierto. Y en la cual se obser


pol oo1 en lazo cerrad polo2 en lazo cerrado

-1 -0.5 0 0.5 1

-0.0513-0.0513

-0.0513-0.0513

-0.05120.072

0.074

0.076

incertidumbreP Re

P Im

agin

aria

al-1 -0.5 0 0.5 1

-0.0513-0.0513

-0.0513-0.0513

-0.0512-0.076

-0.074

-0.072

incertidumbreP Real

P Im

agin

aria

-1 -0.5 0 0.5 1

-0.135-0.134

-0.133-0.132

-1

0

1

P Im

agin

aria

incertidumbre


P Real

1

0

-1 -0.5 0 0.5 1

-0.043-0.042

-0.041-0.04

-0.039-1P

ria

polo4 en lazo cerra

incertidumbre

Imag

ina

do

P Real

1

0

-1 -0.5 0 0.5 1

-0.0885-0.088

-0.0875-0.087

-0.0865-1P

Imag

inar

ia


incertidumbre

Figura etro incierto

P Real

5.9: Autovalores en lazo cerrado del sistema variando el parám

Una vez simuladas las salidas con la correspondiente matriz de ganancia K en el diagrama 5.3, se

obtuvieron las siguientes gráficas

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40Salidas medidas para el controlador H2 con u=ky

x1x2

Figura 5.10: Salidas medidas para el sistema con el controlador 2H - u Ky=


0 2000 4000 6000 8000 10000 12000-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40Salidas controladas para el controlador H2 con u=ky

x1x2





debe a que cuando se pl ación la

iones.


Para el sistema de calderas mostrado a principio de este capítulo, se pide diseñar un controlador por

realimentación estática de la salida que permita:

._ Estabilizar el sistema de forma que los polos en lazo cerrado estén ubicados a la izquierda de

-0.01 y minimizar la norma 2 tal que:

._

2H - u Ky=

antearon las especificaciones de diseño no se tomo en consider

atenuación de las perturbac

2H Kyu =

γ<2wzG ; con 100<γ para lograr factibilidad de las LMI’s.

Estudiadas y satisfechas las condiciones para la existencia del controlador (ver Apéndice A Ejemplo


procede de manera directa con el diseño del mismo.


Para esto, se usaron las LMI’s descritas en (4.18), (4.19) extendidas para cada vértice y para

resolverlas se hizo uso del Toolbox de Matlab (ver Apéndice A Ejemplo54.m). En lo que sigue se


γ (gamma) 66.9810

2wzG 57.8101

)(Wtraza 210.7627


1.0e+004 *

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡0.0089 0.0032 6.9356- 2.2718-

Ubicación de Polos


=1λ 0 =1λ -0.0321 + 0.1367i

=2λ -0.1803 =2λ -0.0321 - 0.1367i

=3λ -0.0596 + 0.0172i =3λ -0.0514

=4λ -0.0596 - 0.0172i =4λ -0.1299

=5λ -0.0860 =5λ -0.0917

Tabla 5.4: Resultados obtenidos para -sistema físico- con 2H Kyu = y ubicación de polos

e los polos fueron movidos a la izquierda de -0.1, la

norma


es estabilizado en lazo cerrado de tal forma qu

2H cumple ser menor que la traza de W y a su vez menor que el valor γ establecido. Cumplidas

con las especificaciones de diseño, se concluye que el controlador hallado estabiliza internamente el

sistema y minimiza el efecto del ruido

res en el semiplano izquierdo cerrado.

a la salida del mismo.


de control sujeto a la variación del parámetro incierto. Y en la cual se observa que no importa que valor

tome la incerteza, pues ésta siempre tiene sus autovalo


-1 -0.5 0 0.5 1

-0.032-0.032

-0.0319-0.0319

-0.03180.135

incertidumbre


0.136

0.137

P Real

P Im

agin

aria

-1 -0.5 0 0.5 1

-0.032-0.032

incertidumbre


-0.135

-0.136

-0.0319-0.0319

-0.0318-0.137

P

P Im

agin

aria

Real

-1 -0.5 0 0.5 1

-0.052-0.0515

-0.051-0.0505

-0.05-1

0

1

P Im

agin

aria


incertidumbreP Real

1

-1 -0.5 0 0.5 1

-0.1314-0.1312

-0.131-0.1308

-0.1306-1

0

P I

a


incertidumbreP Real

mag

inar

i

1

0

-1 -0.5 0 0.5 1

-0.0916-0.0915

-0.0914-0.0913

-1P Im

agin

aria


incertidumbreP R

Figura 5.12: Autovalores en lazo cerrado d variando el parámetro incierto

Haciendo uso del diagrama mostrado en la Figura 5.3 respondiente matriz de ganancia K se

obtuvieron las siguientes respuestas del sistema en lazo cerrado

eal

el sistema

con la cor

Salidas para el controlador H2 con u=kymedidas

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000-60

-50

-40

40

-30

-20

-10

0

10

20

x1x2

30

2H - Kyu =Figura 5.13: Salidas medidas para el sistema con el controlador y ubicación de polos


0 2000 4000 6000 8000 10000 12000-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40Salidas controladas para el controlador H2 con u=ky

x1x2

2H - Kyu =Figura 5.14: Salidas controladas para el sistema con el controlador y ubicación de polos




debe a q ración la

5.2 Controlador

Controlador con

Para el diseño de este controlador hay que tomar en cuenta que los estados deben estar disponibles para

realimentarlos, es decir, que todos ellos sean medibles (

ue cuando se plantearon las especificaciones de diseño no se tomo en conside


∞H

∞H Kxu =

), con IIC =2 la identidad.

Para el sistema de calderas mostrado en este capítulo, se pide diseñar un controlador por


._ Estabilizar el sistema en lazo cerrado y minimizar la norma ∞ tal que:

._ γ<∞wzG ; con 5<γ para lograr factibilidad de las LMI’s.


Una vez estudiadas las condiciones para la existencia del controlador (ver Apéndice A Ejemplo


procede de manera directa con el diseño del mismo.

Para esto, se usaron las LMI’s descritas en (4.20) extendidas para cada vértice y para resolverlas

se hizo uso del Toolbox de Matlab (ver Apéndice A Ejemplo55.). En lo que sigue se muestran los

resultados obtenidos.

γ (gamma) 2.5000

∞wzG 1.4597

Matriz de ganancia K ⎥⎤

⎢⎡

0.0219 0.0000 0.0220- 0.0079-4.7417- 0.0115- 3.8632 0.9014-

1.0e+007 *

⎦⎣ 0.0000 0.0083-

Ubicación de Polos


=1λ 0 =1λ -123.6451

=2λ -0.1803 =2λ -2.1929

=3λ -0.0596 + 0.0172i =3λ -0.4143

=4λ -0.0596 - 0.0172i =4λ -0.2528

=5λ -0.0860 =5λ -0.0580

T a 5.5: R os obtenidabl esultad os para -sistema físico- con

estabilizado en lazo cerrado, la norma infinito del sistema con el controlador es menor que

∞H Kxu =

La Tabla 5.5 muestra que las especificaciones de diseño fueron satisfechas, es decir, el sistema fue

γ , por lo

bien en cuanto a los requisitos establecidos se

refiere.

la Figura 5. uest ados cuando es cerrado el lazo

de control sujeto a la variación del parámetro incierto. Y en la cual se observa que no importa que valor


que se concluye que el controlador diseñado se comporta

En 15 se m ran los autovalores de la matriz de est


-1 -0.5 0 0.5 1

-123.6451-123.6451

-123.6451-123.6451

-123.645-1

0

1

P Im

agin

aria



-2.1931-2.193

-2.1929-2.1928

-2.1927-1

1

P Im

agin

aria


0

incertidumbreP Real

-1 -0.5 0 0.5 1

-0.4146-0.4144

-0.4142-0.414

-1

0

1

P Im

agin

aria

o3 en lazo cerrado

incertidumbreP Real

pol

1

0

-1 -0.5 0 0.5 1

-0.2528-0.2528

-0.2527-0.2527

-0.2526-1P

Imag

inar

ia


incertidumbreP Real

1

0

-1 -0.5 0 0.5 1

-0.058-0.058

-0.058-0.058

-0.058-1P

Imag

inar

ia


incertidumbreP Real Figura 5.15: Autovalores en lazo cerrado del sistema variando el parámetro incierto

Haciendo uso del diagrama mostrado en la Figura correspondiente matriz de ganancia K se

obtuvieron las siguientes respuestas del sistema en lazo cerrado.

5.3 con la

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

x 104

-2500

-2000

-1500

-1000

-500

0

500

1000

1500

2000Salidas medidas para el =kx controlador Hinf con u

x1x2x3x4x5

Figura 5.16: Salidas medidas para el sistema con el controlador ∞H - Kxu =


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

x 104

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5Salidas controladas para el controlador Hinf con u=kx

x1x2

Figura 5.17 Salidas controladas para el sistema con el controlador


sistema en o, lo que

dica la condición de controlabilidad del sistema en estudio. El margen de error de estas señales se

∞H - u Kx=

lazo cerrado y en las que puede apreciarse que los estados oscilan alrededor de cer

in

debe a que cuando se plantearon las especificaciones de diseño no se tomo en consideración la


100 101 102-90

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

10Descomposicion en Valores Singulares del Sistema en lazo cerrado


Am

plitu

d (d

b)

Figura 5.18: Análisis SVD para ∞H -sistema físico- con u Kx=


La Figura 5.18 muestra la curva de

lazo cerrado, la cual, se corresponde

n

∞H

análisis de la descomposición en valores singulares del sistema en

con la cota máxima alcanzada por el sistema con el controlador y a

su vez con la norma i finita del mismo.


Para el sistema de calderas mostrado en este capítulo, se pide diseñar un controlador por realimentación

del vector de estados que permita:

._ Estabilizar el sistema en lazo cerrado de forma que los polos estén ubicados a la izquierda de

-0.02 y minimizar la norma tal que:

._

Kxu =

∞

γ<∞wzG ; con 5<γ para lograr factibilidad de las LMI’s.

s las condiciones para la existencia del controlador (ver Apéndice A Ejemplo Una vez estudiada





γ (gamma) 2.5000

∞wzG 1.4204

Matriz de ganancia K 1.0e+007 *

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡0.0273 0.0000 0.0001 0.0271- 0.0151-

3.9334- 0.0067- 0.0097- 2.8923 0.5149-

Ubicación de Polos


=1λ 0 =1λ -227.0963

=2λ -0.1803 =2λ -1.1240

=3λ -0.0596 + 0.0172i =3λ -0.5756

=4λ -0.0596 - 0.0172i =4λ -0.2220

=5λ -0.0860 =5λ -0.0578

Tabla 5.6: Resultados obtenidos para -sistema físico- con ∞H Kxu = y ubicación de polos


La Tabla 5.6 muestra que los resultados obtenidos para este controladores satisfacen los requerimientos

planteados, es decir, el sistema fue estabilizado de Manera que los polos en lazo cerrado fueron movidos

a la izquierda de -0.02, del mismo modo, la norma fue menor que ∞H γ y este menor que 5. Por lo

que se concluye que el controlador tiene un buen comportamiento.

arámetro incierto. Y en la cual se observa que no importa que valor

tome la


de control sujeto a la variación del p

incerteza, pues ésta siempre tiene sus autovalores en el semiplano izquierdo cerrado.

-1 -0.5 0 0.5 1

-227.0963-227.0963

-227.0963-227.0963

-227.0963-1

0

1

P Im

agin

aria

o cpolo1 en laz errado


-1.1244-1.1242

-1.124-1.1238

-1.1236

1

-1

0

P Im

agin


aria

incertidumbreP Real

-1 -0.5 0 0.5 1

-0.5765-0.576

-0.5755-0.575

-1

0

1

P Im

agin

aria



-0.2219-0.2219

-0.2218-1

0

1

P Im

agin

aria


-0.222-0.222

incertidumbreP Real

-1 -0.5 0 0.5 1

-0.0578-0.0578

-0.0578-0.0578

-0.0578-1

0

1

P Im

agin

aria

polo5 en laz errado

incertidumbrP Real

Figura 5.19: Autovalores en lazo cerrado del sistema v to

Haciendo uso del diagrama mostrado en la Figura 5.3 respondiente matriz de ganancia K se


o c

e

ariando el parámetro incier

con la cor


0 1 2 3 4 5 6 7 8

x 104

-2500

-2000

-1500

-1000

-500

0

500

1000

1500

2000Salidas medidas para el controlador Hinf con u=kx y ubicación de polos

x1x2x3x4x5

Figura 5.20: Salidas medidas para el sistema con el controlador ∞H - Kxu = y ubicación de polos

0 1 2 3 4 5 6 7 8

x 104

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5Salidas controladas para el controlador Hinf con u=kx y ubicación de polos

x1x2

.21: Salidas controladas para el sistema con el controlador ∞H - Kxu = y ubicación dFigura 5 e polos

ados oscilan alrededor de cero, lo que





sistema en lazo cerrado y en las que puede apreciarse que los est


100 101 102-90

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0



Am

plitu

d (d

b)

Figura 5.22: Análisis SVD para ∞H -sistema físico- con u Kx= y ubic

La Figura 5.22 muestra la curva de análisis de la descomposición en valores singulares del sistema en

lazo cerrado, la cual, se corresponde con la cota máxima alcanzada por el sistema con el controlador y a

su vez con la norma infinita del mismo.

Controlador con


estática de la salida que permita:

._ Estabilizar el sistema en lazo cerrado y minimizar la norma

ación de polos

∞H Kyu =

∞ tal que:

._ γ<∞wzG ; con 50000<γ para lograr factibilidad de las LMI’s.

s las condiciones para la existencia del controlador (ver Apéndice A Ejemplo

Una vez estudiada


procede de manera directa con el diseño del mismo. Para esto, se usaron las LMI’s descritas en (4.22)

extendidas para cada vértice y para resolverlas se hizo uso del Toolbox de Matlab (ver Apéndice A

Ejemplo57.m). En lo que sigue se muestran los resultados obtenidos.


γ (gamma) 2.5000e+004

∞wzG 183.1873


1.0e+008 *

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡0.0101- 0.0012-

1.4577 0.1035-

Ubicación de Polos


=1λ 0 =1λ -2.0924 e+002 *

=2λ -0.1803 =2λ -0.0002 + 0.0189i e+002 *

=3λ -0.0596 + 0.0172i =3λ -0.0002 - 0.0189i e+002 *

4λ 4λ= =-0.0596 - 0.0172i -0.0006 e+002 *

=5λ -0.0860 =5λ -0.0021 e+002 *

Tabla 5.7: Resultados obtenidos para ∞H -sistema físico- con Kyu =

La Tabla 5.7 muestra que las especificaciones de diseño fueron satisfechas, es decir, el sistema fue

o c la nor del sistema con el controlador efectivamente es menor estabilizado en laz errado, ma infinito

que γ , por lo que se concluye que el controlador diseñado se comporta bien en cuanto a los requisitos

establecidos se refiere.

En la Figura 5.23 se muestran los autovalores de la matriz de tados cuanes do es cerrado el lazo

de control sujeto a la variación del parám ue no importa que valor


etro incierto. Y en la cual se observa q



-1 -0.5 0 0.5 1

-203.1323-203.1322

-203.1322-203.1322

-1

0

1

P Im

agin

aria

ado

incertidumbreP Real

polo1 en lazo cerr

1.8999

P Im

agin

aria

1.8998

-1 -0.5 0 0.5 1

-0.0233-0.0233

-0.0233-0.02331.8997

incertidumbreP Real


-1 -0.5 0 0.5 1

-0.0233-0.0233

-0.0233-0.0233-1.8999

-1.8998

-1.8997

incertidumbreP Real

P Im

agin

aria

0

-0.0578-0.0578

-0.0578-1

1

P

-1 -0.5 0 0.5 1-0.0578

-0.0578

Imag

inar


incertidumbre

ia

P Real

-1 -0.5 0 0.5 1

-0.2078-0.2078

-0.2078-0.2078

-1

0

1

P Im

agin

aria

lo5 en lazo cerrado

incertidumbreP Real

Figura 5.23: Autovalores en lazo cerrado del sistema variando el parámetro incierto

po

Haciendo uso del diagrama mostrado en la Figura 5.3 con la correspondiente matriz de ganancia

K se obtuvieron las siguientes respuestas del sistema en lazo cerrado.

0 1 2 3 4 5 6 7

x 104

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25Salidas medidas para el controlador Hinf con u=ky

x1x2

Figura 5.24: Salidas medidas para el sistema con el controlador ∞H - u Ky=


0 1 2 3 4 5 6 7

x 104

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25Salidas controladas para el controlador Hinf con u=ky

x1x2




indica la condición de controlabilida

debe a que cuando se plantearon las especificaci es de diseño no se tomo en consideración la

∞H -u Ky=

d del sistema en estudio. El margen de error de estas señales se

on


100 101 102-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40



Am

plitu

d (d

b)

Figura 5.26: Análisis SVD para -sistema físico- con ∞H Kyu =


La Figura 5.26 muestra la curva de

lazo cerrado, la cual, se corresponde

n

∞H

análisis de la descomposición en valores singulares del sistema en

con la cota máxima alcanzada por el sistema con el controlador y a

su vez con la norma i finita del mismo.



estática de la salida que permita:

._ Estabilizar el sistema en lazo cerrado de forma que los polos estén ubicados a la izquierda de

-0.001 y minimizar la norma tal que:

._

Kyu =

∞

γ<∞wzG ; con 150<γ para lograr factibilidad de las LMI’s.

s las condiciones para la existencia del controlador (ver Apéndice A Ejemplo Una vez estudiada





γ (gamma) 75.0000

∞wzG 29.7224

1.0e+008 *

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡0.0081- 0.0002-

1.3246 0.1528- Matriz de ganancia K

Ubicación de Polos


=1λ 0 =1λ -60.2331

=2λ -0.1803 =2λ -0.3157 + 2.5495i

=3λ -0.0596 + 0.0172i =3λ -0.3157 - 2.5495i

=4λ -0.0596 - 0.0172i =4λ -0.0578

=5λ -0.0860 =5λ -0.2112

Tabla 5.8: Resultados obtenidos para ∞H -sistema físico- con Ku y= y ubicación de polos


La Tabla 5.8 muestra que los resultados obtenidos para este controladores satisfacen los requerimientos

planteados, es decir, el sistema fue estabilizado de Manera que los polos en lazo cerrado fueron movidos

a la izquierda de -0.001, del mismo modo, la norma fue menor que ∞H γ y este menor que 5. Por lo

ue se concluye que el controlador tiene un buen comportamiento.

l parámetro incierto. Y en la cual se observa que no importa que valor

tome la

q


de control sujeto a la variación de

incerteza, pues ésta siempre tiene sus autovalores en el semiplano izquierdo cerrado.


-1 -0.5 0 0.5 1

-56.3089-56.3089

-56.3089-56.3089

-1

0

1

Imag

inar

ia

errpolo1 en lazo c ado

2.5969

P


-0.3432-0.3432

-0.3432-0.34322.5968

2.5968

incertidumbreP Real

P Im

agin

aria

-1 -0.5 0 0.5 1

-0.3432-0.3432

-0.3432-0.3432-2.5969

-2.5968

-2.5968

incertidumbre


P Real

P Im

agin

aria

-1 -0.5 0 0.5 1

-0.0578-0.0578

-0.0578-0.0578

-1

0

1

P Im

agin

aria


incertidumbreP Real

-1 -0.5 0 0.5 1

-0.2114-0.2114

-0.2114-0.2114

-0.2114-1

0

1

P Im

agin

aria

polo5 en laz errado

incertidumbrP Real

Figura 5.27: Autovalores en lazo cerrado del sistema v to

Haciendo uso del diagrama mostrado en la Figura diente matriz de ganancia K se


o c

e

ariando el parámetro incier

5.3 con la correspon


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

x 104

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20Salidas medidas para el controlador Hinf con u=ky y ubicación de polos

x1x2

Figura 5.28: Salidas medidas para el sistema con el controlador ∞H - Kyu = y ubicación de polos

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

x 104

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20Salidas controladas para el controlador Hinf con u=ky y ubicación de polos

x1x2

.29: Salidas controladas para el sistema con el controlador ∞H - Kyu = y ubicación dFigura 5 e polos

ados oscilan alrededor de cero, lo que





sistema en lazo cerrado y en las que puede apreciarse que los est


100 101 102-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

20



Am

plitu

d (d

b)

Figura 5.30: Análisis SVD para ∞H -sistema físico- con u Ky= y ubic

La Figura 5.30 muestra la curva de análisis de la descomposición en valores singulares del sistema en

lazo cerrado, la cual, se corresponde con la cota máxima alcanzada por el sistema con el controlador y a

su vez con la norma infinita del mismo.

Análisis de los resultados De los resultados obtenidos al resolver el conjunto de LMI’s asociados a la solución de cada

problema, puede decirse con certeza que fueron satisfechos los requerimientos de diseño tanto para el

controlador como para el , así por ejemplo, para la ubicación de polos pudo observarse que

los autovalore de la región específicamente seleccionada. Además,

se da se l l

ontrolador ado compro se numé nte al verificar que

ación de polos

2H

diseñ

∞H

s en lazo cerrado se ubicaron dentro

bándo

confirma que el efecto de la perturbación )(tw a la salida controla z ogro minimizar con e )(t

la ricame γ<2wzG y γ<

∞wzG , c

respectivamente. De igual forma, en los gráficos de los autovalores de la matriz de dinámica del sistema

en lazo cerrado, pudo verificarse la propiedad de convexidad que conllevan las desigualdades matriciales

lineales puesto a que se cumplió que el sistema una vez estabilizado para los extremos del intervalo de

variación de la incertidumbre, conservó esta propiedad para el resto de valores en el interior del

mismo.

Conclusiones

Las técnicas de optimización convexas aplicadas (LMI), forman parte de las herramientas que sientan las

bases para el análisis y síntesis de sistemas lineales invariantes en el tiempo sometidos a incertidumbres

en su modelo estudiados en la teoría de control robusto, dichas técnicas resulta beneficioso y una de las

querimientos de diseño se tornan cada vez mas exigentes producto de la

omple dad presente en todo proceso real y porque estas herramientas propor onan solución numérica

a prob as sería

rmul omo problemas convexos y por métodos numéricos dilucidar su solución.

y cuyos resultados (provenientes de soluciones numéricas),

enen yor rango de confiabilidad que las soluciones provenientes de otros métodos.

etivos de control puedan ser expresados en términos de las

normas

hace de ésta, una teoría para análisis de sistemas multivariables muy interesante y con poca complejidad

de im

uaci obl

eño una ve rado el laz

de control.

razones es que los re

ji

lem

arlos c

un ma

H

c ci

as que carecen de solución analítica. Una manera de resolver dichos problem

fo

La técnica que fue empleada, consiste en transformar las restricciones de diseño en

desigualdades matriciales lineales, técnicas que han surgido como herramienta meritoria por poder ser

aplicables a un conjunto de problemas

ti

El hecho de que múltiples obj

2 y ∞ con tan solo involucrar las soluciones de dos ecuaciones desacopladas de Riccati,

comparada con otras técnicas modernas convencionales.

Una las ventajas mas portantes de utilizar las técnicas de desigualdades matriciales lineales

(LMI’s) en la solución de problemas de control de procesos, radica en el hecho de poder expresar como

su nombre lo indica, en un conjunto de inec ones la solución de pr emas complejos, así como

también, la flexibilidad que ofrece para combinar varias restricciones de dis z cer o

En este sentido, hacer uso de las LMI’s para el diseño de controladores robustos, proporciona

muy buenos resultados en cuanto a el cumplimiento de especificaciones de desempeño (estabilidad,

atenuación del ruido a la salida del sistema, mejora en los tiempo de respuesta a permitir la ubicación de

polos en regiones del plano s ) es refiere.

H

Recomendaciones

La orientación de este trabajo de grado fue dirigida al diseño de controladores robustos para sistemas

lineales invariantes en el tiempo sometidos a incertidumbres politópicas a partir de la caracterización de

tanta

•

• Usar métodos de separabilidad para conservar las condiciones de optimalidad.

las normas 2H y ∞H como sistema de desigualdades matriciales lineales, por lo que se recomienda:

• Analizar la posibilidad de extender el caso a la realimentación dinámica de la salida.

• Imponer nuevas especificaciones de desempeño como seguimiento de señales y ver la

mejora en las respuestas obtenidas.

• Implementar las demás regiones de ubicación de polos y observar con que

exactitud se cumplen con los requerimientos establecidos.

• Abordar estos problemas con la versión Primal y comparar el desempeño del sistema al

cerrar el lazo de control con los resultados obtenidos aquí.

• Desarrollar los controladores diseñados a nivel industrial.

Implementar estos controladores en un proceso real.

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A

Lo strados se encuentran en el CD anexo a este

Eje es singulares

apítulo 4

Ejemplo C_O_Introductorio.m: Estudio de la controlabilidad y observabilidad para el sistema incierto

Ejemplo 41.m: Controlador con

péndice A

s script usados en Matlab para obtener los resultados mo

documento y los mismos están identificados por capítulos como se muestra a continuación:

Capítulo 2

mplo 2.5.m: Descomposición en valor

C

2H Kxu =

Ejemplo 42.m: Controlador con 2H Kxu = y ubicación de polos

Ejemplo 43.m: Controlador con 2H Kyu =

Ejemplo 44.m: Controlador con 2H Kyu = y ubicación de polos

Ejemplo 45.m: Controlador con ∞H Kxu =

Ejemplo 46.m: Controlador con ∞H Kxu = y ubicación de polos

Ejemplo 47.m: Controlador con ∞H Kyu =

Ejemplo 48.m: Controlador con ∞H Kyu = y ubicación de polos

Capítulo 5

Ejemplo EcuacionesCaldera.m

Ejemplo C_O_Caldera.m

Ejemplo51.m: Controlador con 2H Kxu =

Ejemplo52.m: Controlador con 2H Kxu = y ubicación de polos

Apéndice A 100

Ejemplo53.m: Controlador con 2H Kyu =

Ejemplo54.m: Controlador con 2H Kyu = y ubicación de polos

Ejemplo55.m: Controlador con ∞H Kxu =

Ejemplo56.m: Controlador con ∞H Kxu = y ubicación de polos

Ejemplo57.m: Controlador ∞H con Kyu =

Ejemplo58.m: Controlador ∞H con Kyu = y ubicación de polos

Control robusto de sistemas con incertidumbres politópicas

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