2/13/2015 CANTORIAN FRACTAL PATTERNS, QUANTUM­LIKE CHAOS AND PRIME NUMBERS IN ATMOSPHERIC FLOWS.

http://arxiv.org/html/chao­dyn/9810011v1 1/15

arXiv:chao­dyn/9810011v1 9 Oct 1998

 

 

 

 

 

 

 

 

Cantorian Fractal Patterns, Quantum­Like Chaos and Prime Numbers in AtmosphericFlows

 

A.M. Selvam and Suvarna Fadnavis

Indian Institute of Tropical Meteorology,

Dr. Homi Bhabha Road, Pashan, Pune, 411 008, India

 

Email: selvam@tropmet.ernet.in

Website: http://www.geocities.com/CapeCanaveral/Lab/5833

Telephone: 091­0212­330846

Fax: : 091­0212­347825

 

ABSTRACT

 

Atmospheric  flows  exhibit  cantorian  fractal  space­time  fluctuations  signifying  long­rangespatiotemporal correlations. A recently developed cell dynamical system model shows  thatsuch non­local connections are intrinsic to quantum­like chaos governing flow dynamics. Thedynamical evolution of  fractal structures can be quantified  in  terms of ordered energy  flowdescribed  by  mathematical  functions  which  occur  in  the  field  of  number  theory.  Thequantum­like  chaos  in  atmospheric  flows  can  be  quantified  in  terms  of  the  followingmathematical  functions  /  concepts:  (1) The  fractal  structure of  the  flow pattern  is  resolvedinto an overall  logarithmic  spiral  trajectory with  the quasiperiodic Penrose  tiling pattern  forthe  internal  structure  and  is  equivalent  to  a  hierarchy  of  vortices.  The  incorporation  ofFibonacci  mathematical  series,  representative  of  ramified  bifurcations,  indicates  orderedgrowth  of  fractal  patterns.  (2)  The  steady  state  emergence  of  progressively  larger  fractal

2/13/2015 CANTORIAN FRACTAL PATTERNS, QUANTUM­LIKE CHAOS AND PRIME NUMBERS IN ATMOSPHERIC FLOWS.

http://arxiv.org/html/chao­dyn/9810011v1 2/15

structures  incorporates  unique  primary  perturbation  domains  of  progressively  increasingnumber equal to z/lnz where z, the length step growth stage is equal to the length scale ratioof large eddy to turbulent eddy. In number theory z/lnz gives the number of primes less thanz.  The  model  also  predicts  that  z/lnz  represents  the  normalised  cumulative  variancespectrum of the eddies and which follows statistical normal distribution. The important resultof the study is that the prime number spectrum is the same as the eddy energy spectrum forquantum­like chaos in atmospheric flows.

1. INTRODUCTION

 

Recent  studies  indicate  a  close  association  between  number  theory  in  mathematics,  inparticular,  the  distribution  of  prime  numbers  and  the  chaotic  orbits  of  excited  quantumsystems such as the hydrogen atom [1]. Mathematical studies indicate that cantorian fractalspace­time  characterises  quantum  systems[2  to  4].  A  recently  developed  cell  dynamicalsystem model shows that cantorian fractal space­time is associated with quantum­like chaosin atmospheric flows.

The dynamical evolution of  fractal structures can be quantified  in  terms of ordered energyflow  described  by mathematical  functions  which  occur  in  the  field  of  number  theory.  Thequantum­like  chaos  in  atmospheric  flows  can  be  quantified  in  terms  of  the  followingmathematical  functions  /  concepts:  (a) The  fractal  structure of  the  flow pattern  is  resolvedinto an overall  logarithmic  spiral  trajectory with  the quasiperiodic Penrose  tiling pattern  forthe  internal  structure  and  is  equivalent  to  a  hierarchy  of  vortices.  The  incorporation  ofFibonacci  mathematical  series,  representative  of  ramified  bifurcations,  indicates  orderedgrowth  of  fractal  patterns.  (b)  The  steady  state  emergence  of  progressively  larger  fractalstructures  incorporates  unique  primary  perturbation  domains  of  progressively  increasingnumber equal to z/lnz where z, the length step growth stage is equal to the length scale ratioof large eddy to turbulent eddy. In number theory [5] z/lnz gives the number of primes  lessthan z.  The model  also  predicts  that z/lnz  represents  the  normalised  cumulative  variancespectrum of the eddies and which follows statistical normal distribution. The important resultof the study is that the prime number spectrum is the same as the eddy energy spectrum forquantum­like chaos in atmospheric flows.

 

 

2. MODEL CONCEPTS

 

Based on Townsend�s  [6]  concept  that  large eddies are envelopes of enclosed  turbulenteddy circulations,  the relationship between root mean square (r.m.s.) circulation speeds Wand w* respectively of large and turbulent eddies of respective radii R and r is given as

 

 (1)

 

In  number  field  domain,  the  above  equation  can  be  visualized  as  follows.  The  r.m.s.

2/13/2015 CANTORIAN FRACTAL PATTERNS, QUANTUM­LIKE CHAOS AND PRIME NUMBERS IN ATMOSPHERIC FLOWS.

http://arxiv.org/html/chao­dyn/9810011v1 3/15

circulation speeds W and w* are equivalent to units of computations of respective yardsticklengths R  and  r.  Spatial  integration  of w*  units  of  yardstick  length  r,  i.e.  a  computationaldomain w*r, results in a larger computational domain WR [7]. The computed domain WR islarger than the primary domain w*r because of uncertainty in the length measurement usinga  finite  yardstick  length  r,  which  should  be  infinitely  small  in  an  ideal  measurement.  Theabove  visualization  will  help  apply  concepts  developed  for  atmospheric  flow  dynamics  toevolution  of  structures  in  number  field  such  as  the  distribution  of  prime  numbers,  asexplained in the following.

Fractal structures emerge in atmospheric flows because of mixing of environmental air  intothe large eddy volume by inherent turbulent eddy fluctuations. The steady state emergenceof fractal structures A is equal to [8,9]

 

 

The  spatial  integration  of  enclosed  turbulent  eddy  circulations  as  given  in  Equation.(1)represents an overall  logarithmic spiral  flow  trajectory with  the quasiperiodic Penrose  tilingpattern  for  the  internal  structure  [8,9]  and  is  equivalent  to  a  hierarchy  of  vortices.  Theincorporation  of  Fibonacci  mathematical  series,  representative  of  ramified  bifurcationsindicates  ordered  growth  of  fractal  patterns  and  signifies  non­local  connectionscharacteristics  of  quantum­like  chaos.  Further,  the  means  of  ensembles  of  successivelylarger  number  field  domains  follow  a  logarithmic  spiral  trajectory  with  the  quasiperiodicPenrose tiling pattern for the internal structure.

 

The logarithmic flow structure is given by the relation.

 

 (2)

 

where z  is equal  to  the  length scale  ratio R/r and k  is equal  to  the steady state  fractionalvolume dilution of large eddy by turbulent eddy fluctuations and is given as

 

 (3)

 

The steady state emergence of fractal structure A is

 

2/13/2015 CANTORIAN FRACTAL PATTERNS, QUANTUM­LIKE CHAOS AND PRIME NUMBERS IN ATMOSPHERIC FLOWS.

http://arxiv.org/html/chao­dyn/9810011v1 4/15

 (4)

 

The  outward  and  upward  growing  large  eddy  carries  only  a  fraction  f  of  the  primaryperturbation equal to

 

since  the  fractional outward mass  flux of primary perturbation equal  to W/w* occurs  in  thefractional turbulent eddy cross section r/R.

 

 from equation (2)

 

 from equation (3)

 

 from equation (1)

Therefore

   from equation (4)

 

In atmospheric flows the fraction equal to f of surface air is transported upward to level z andrepresents  the  upward  transport  of  moisture  which  condenses  as  liquid  water  content  inclouds,  and  also  aerosols  of  surface  origin.  The  observed  vertical  profile  of  liquid  watercontent inside clouds is found to follow the f distribution [10]. The vertical profile of aerosolconcentration in the atmosphere also follows the f distribution [11]. The fraction f carries theunique signature of surface air (primary perturbation) at the level z.

Therefore the ratio P equal to A/f gives the number of units of the unique domain of surfaceair at level z.

 

2/13/2015 CANTORIAN FRACTAL PATTERNS, QUANTUM­LIKE CHAOS AND PRIME NUMBERS IN ATMOSPHERIC FLOWS.

http://arxiv.org/html/chao­dyn/9810011v1 5/15

 (6)

 

In number  theory, z/lnz  represents  the  number  of  primes  less  than z. Prime numbers areunique numbers, i.e. which cannot be factorized [5].

In  the quantum­like chaos  in atmospheric  flows z/lnz  represents  the  variance  spectrum ofthe fractal structures as shown below.

The length scale ratio z equal to R/r represents the relative variance (1). The relative upwardmass  flux of  primary perturbation equal  to W/w*  is proportional  to  lnz  (2).  Therefore z/lnzrepresents the cumulative variance normalized to upward flow of primary perturbation. Thecumulative  variance  or  energy  spectrum  of  the  eddies  is  therefore  represented  by  z/lnzdistribution.

By  concept  (1)  large eddies are but  the  integrated mean of  inherent  turbulent  eddies andtherefore  the  eddy  energy  spectrum  follows  statistical  normal  distribution  according  to  theCentral  Limit  Theorem.  The  prime  number  spectrum  which  is  equivalent  to  the  variance(energy)  spectrum  of  eddies  follows  normal  distribution.  Earlier  studies  using  variousmeteorological  data  sets  have  shown  that  atmospheric  eddy  energy  spectrum  followstatistical normal distribution [12]. The values of z/lnz which give the number of primes lessthan z. also follow statistical normal distribution as described in the following. The number ofprimes P  less  than  z  are  calculated  for  a  range  of  n  values  from  x1=z1  to  xn=zn  .  Thecumulative percentage number of primes PC is calculated as equal to (Pm / Pn )*100 wherem=1,2,...n  for each class interval X=(xm+xm+1)/2. The number of primes Pt = Pm+1­ Pm  ineach class interval X  is also calculated. The normalized standard deviate t  is  then equal  to(Xbar ­ X)/ where Xbar  is  the mean of  the prime number distribution. The correspondingstandard deviation of the X versus Pt distribution is then calculated as equal to  .

A representative computation is shown in Table 1.

Figs. 1  to 3 show representative samples of  the z spectrum  for  three different  ranges of zvalues. The statistical normal distribution is also plotted in the Fig.s 1 to 3. It is seen that thez spectrum closely follows normal distribution.

 

3. CONCLUSION

In mathematics  cantorian  fractal  space­time  is  now  associated with  reference  to  quantumsystems [2 to 4,13]. Recent studies  indicate a close association between number theory  inmathematics, in particular, the distribution of prime numbers and the chaotic orbits of excitedquantum  systems  such  as  the  hydrogen  atom  [1].  The  cell  dynamical  system  modelpresented  in  this  paper  shows  that  quantum­like  chaos  incorporates  prime  numberdistribution function in the description of atmospheric flow dynamics.

 

 

Acknowledgements

2/13/2015 CANTORIAN FRACTAL PATTERNS, QUANTUM­LIKE CHAOS AND PRIME NUMBERS IN ATMOSPHERIC FLOWS.

http://arxiv.org/html/chao­dyn/9810011v1 6/15

 

The  authors  are  grateful  to  Dr.  A.  S.  R.  Murty  for  his  keen  interest  and  encouragementduring the course of the study. The authors are indebted to Professor M. S. El Naschie forinspiration and guidance in this field of study

Thanks are due to Mr .R. D. Nair for typing the manuscript.

 

 

REFERENCES

1. Cipra , B., Prime formula weds number theory and quantum physics. Science,1996,274, 2014­1015.

2. Nottale,  L.,  Fractals  and  the  quantum  theory  of  space­time.  Int'l  J. Mod. Phys. A,1989, 4(19) , 5047­5117.

3.  Ord,  G.  N.,  Fractal  space­time  :  a  geometric  analogue  of  relativistic  quantummechanics .J. Phys .A: Math. Gen. ,1983, 16 , 1869­1884.

4. El Naschie, M. S., Penrose tiling, semi­conduction and cantorian 1/f spectra in fourand five dimensions. Chaos, Solitons and Fractals , 1993, 3(4) , 489­491.

5. Stewart, I., From here to infinity. Oxford university press, Oxford, 1996, pp. 299.

6.  Townsend,  A.  A.,  The  Structure  of  Turbulent  Shear  Flow.  Cambridge  UniversityPress, London, U.K. ,1956.

7.  Mary  Selvam,A.,  Universal  quantification  for  deterministic  chaos  in  dynamicalsystems. Applied Math. Modelling 1993, 17, 642­649.

8.  Selvam  A.  M.  and  Suvarna  Fadnavis,  Superstrings,  Cantorian­fractal  Space­timeand Quantum­like Chaos  in Atmosperic  flows. Chaos, Solitons and Fractals, 1998 (inPress)

9.  Selvam  A.  M.  and  Suvarna  Fadnavis,  Cantorian  fractal  spacetime,  quantum­likechaos and scale relativity in atmospheric flows. Chaos, Solitons and Fractals, 1998. (inPress)

10.  Mary  Selvam,  A.  Deterministic  chaos,  fractals  and  quantumlike  mechanics  inatmospheric flows. Can. J. Phys. 1990, 68, 831­841.

11.  Sikka,  P.,  Mary  selvam,  A.,  and  Ramachandran  Murty,  A.  S.,  Possible  solarinfluence  on  atmospheric  electric  field.  Adv.  Atmos.  Sci.,  1988,  2,  218­118  .(http://arXiv.org/abs/chao­dyn/9806014)

12.  Selvam  A.  M.  and  Suvarna  Fadnavis,  Signatures  of  a  universal  spectrum  foratmospheric  interannual  variability  in  some  disparate  climatic  regimes.  Meteorologyand Atmospheric Physics , 1998, 66, 87­112. (http://arXiv.org/abs/chao­dyn/9805028)

13.  El  Naschie,  M.  S.,  Penrose  universe  and  cantorian  spacetime  as  a  model  fornoncommutative quantum geometry. Chaos, Solitons and Fractals , 1998, 931­934.

2/13/2015 CANTORIAN FRACTAL PATTERNS, QUANTUM­LIKE CHAOS AND PRIME NUMBERS IN ATMOSPHERIC FLOWS.

http://arxiv.org/html/chao­dyn/9810011v1 7/15

 

Table 1

 

S.No.

Classintervalmean

Freq.of

primes

Cum.freq. ofprimes

Cum. %freq. ofprimes

t ­ vales Cum.normal

distrib(%)

1 3.5 0.155 0.155 0.815 ­1.603 5.443

2 4.5 0.221 0.376 1.980 ­1.568 5.846

3 5.5 0.242 0.618 3.255 ­1.532 6.273

4 6.5 0.249 0.867 4.565 ­1.497 6.722

5 7.5 0.250 1.116 5.881 ­1.461 7.194

6 8.5 0.249 1.365 7.192 ­1.426 7.701

7 9.5 0.247 1.612 8.493 ­1.390 8.228

8 10.5 0.244 1.857 9.780 ­1.355 8.777

9 11.5 0.242 2.098 11.054 ­1.319 9.356

10 12.5 0.239 2.338 12.314 ­1.283 9.967

11 13.5 0.237 2.574 13.560 ­1.248 10.607

12 14.5 0.234 2.808 14.793 ­1.212 11.264

13 15.5 0.232 3.040 16.014 ­1.177 11.963

14 16.5 0.229 3.270 17.223 ­1.141 12.683

15 17.5 0.227 3.497 18.420 ­1.106 13.443

16 18.5 0.225 3.722 19.607 ­1.070 14.225

17 19.5 0.223 3.945 20.783 ­1.035 15.042

18 20.5 0.221 4.167 21.950 ­0.999 15.890

19 21.5 0.220 4.387 23.107 ­0.964 16.760

20 22.5 0.218 4.605 24.255 ­0.928 17.670

21 23.5 0.216 4.821 25.395 ­0.893 18.604

22 24.5 0.215 5.036 26.527 ­0.857 19.574

23 25.5 0.213 5.249 27.652 ­0.821 20.569

24 26.5 0.212 5.461 28.769 ­0.786 21.599

25 27.5 0.211 5.672 29.878 ­0.750 22.649

2/13/2015 CANTORIAN FRACTAL PATTERNS, QUANTUM­LIKE CHAOS AND PRIME NUMBERS IN ATMOSPHERIC FLOWS.

http://arxiv.org/html/chao­dyn/9810011v1 8/15

26 28.5 0.209 5.882 30.982 ­0.715 23.735

27 29.5 0.208 6.090 32.078 ­0.679 24.843

28 30.5 0.207 6.297 33.168 ­0.644 25.986

29 31.5 0.206 6.503 34.253 ­0.608 27.149

30 32.5 0.205 6.707 35.331 ­0.573 28.342

31 33.5 0.204 6.911 36.404 ­0.537 29.561

32 34.5 0.203 7.114 37.472 ­0.502 30.795

33 35.5 0.202 7.315 38.534 ­0.466 32.063

34 36.5 0.201 7.516 39.591 ­0.430 33.342

35 37.5 0.200 7.716 40.644 ­0.395 34.647

36 38.5 0.199 7.915 41.691 ­0.359 35.962

37 39.5 0.198 8.113 42.734 ­0.324 37.303

38 40.5 0.197 8.310 43.773 ­0.288 38.654

39 41.5 0.196 8.506 44.807 ­0.253 40.021

40 42.5 0.196 8.702 45.838 ­0.217 41.397

41 43.5 0.195 8.897 46.864 ­0.182 42.792

42 44.5 0.194 9.091 47.886 ­0.146 44.190

43 45.5 0.193 9.284 48.904 ­0.111 45.595

44 46.5 0.193 9.477 49.919 ­0.075 47.007

45 47.5 0.192 9.669 50.930 ­0.040 48.419

46 48.5 0.191 9.860 51.937 ­0.004 49.840

47 49.5 0.191 10.050 52.941 0.032 51.262

48 50.5 0.190 10.240 53.942 0.067 52.674

49 51.5 0.189 10.430 54.939 0.103 54.085

 

 

Table 1 (continued)

 

 

50 52.5 0.189 10.618 55.934 0.138 55.497

51 53.5 0.188 10.807 56.925 0.174 56.895

2/13/2015 CANTORIAN FRACTAL PATTERNS, QUANTUM­LIKE CHAOS AND PRIME NUMBERS IN ATMOSPHERIC FLOWS.

http://arxiv.org/html/chao­dyn/9810011v1 9/15

52 54.5 0.188 10.994 57.913 0.209 58.291

53 55.5 0.187 11.181 58.898 0.245 59.667

54 56.5 0.186 11.368 59.880 0.280 61.043

55 57.5 0.186 11.553 60.859 0.316 62.394

56 58.5 0.185 11.739 61.835 0.351 63.734

57 59.5 0.185 11.924 62.809 0.387 65.058

58 60.5 0.184 12.108 63.780 0.423 66.370

59 61.5 0.184 12.292 64.748 0.458 67.650

60 62.5 0.183 12.475 65.714 0.494 68.919

61 63.5 0.183 12.658 66.677 0.529 70.160

62 64.5 0.182 12.840 67.638 0.565 71.389

63 65.5 0.182 13.022 68.597 0.600 72.587

64 66.5 0.181 13.204 69.553 0.636 73.754

65 67.5 0.181 13.385 70.506 0.671 74.902

66 68.5 0.181 13.566 71.458 0.707 76.019

67 69.5 0.180 13.746 72.407 0.742 77.111

68 70.5 0.180 13.925 73.354 0.778 78.170

69 71.5 0.179 14.105 74.298 0.813 79.201

70 72.5 0.179 14.284 75.241 0.849 80.203

71 73.5 0.179 14.462 76.182 0.885 81.183

72 74.5 0.178 14.640 77.120 0.920 82.122

73 75.5 0.178 14.818 78.057 0.956 83.036

74 76.5 0.177 14.996 78.991 0.991 83.918

75 77.5 0.177 15.173 79.924 1.027 84.771

76 78.5 0.177 15.349 80.854 1.062 85.592

77 79.5 0.176 15.526 81.783 1.098 86.382

78 80.5 0.176 15.702 82.710 1.133 87.150

79 81.5 0.176 15.877 83.635 1.169 87.878

80 82.5 0.175 16.052 84.558 1.204 88.578

81 83.5 0.175 16.227 85.479 1.240 89.249

2/13/2015 CANTORIAN FRACTAL PATTERNS, QUANTUM­LIKE CHAOS AND PRIME NUMBERS IN ATMOSPHERIC FLOWS.

http://arxiv.org/html/chao­dyn/9810011v1 10/15

82 84.5 0.175 16.402 86.399 1.276 89.894

83 85.5 0.174 16.576 87.317 1.311 90.508

84 86.5 0.174 16.750 88.233 1.347 91.095

85 87.5 0.174 16.924 89.148 1.382 91.652

86 88.5 0.173 17.097 90.061 1.418 92.185

87 89.5 0.173 17.270 90.972 1.453 92.695

88 90.5 0.173 17.443 91.882 1.489 93.174

89 91.5 0.172 17.615 92.790 1.524 93.626

90 92.5 0.172 17.787 93.696 1.560 94.058

91 93.5 0.172 17.959 94.601 1.595 94.469

92 94.5 0.172 18.131 95.505 1.631 94.850

93 95.5 0.171 18.302 96.407 1.666 95.215

94 96.5 0.171 18.473 97.307 1.702 95.560

95 97.5 0.171 18.643 98.206 1.738 95.888

96 98.5 0.170 18.814 99.104 1.773 96.188

97 99.5 0.170 18.984 100.000 1.809 96.479

 

Mean of prime number distribution = 48.612

Standard deviation = 28.136

 

 

Legend

Fig. 1. Association between prime number distribution and statistical normaldistribution for primes up to 3 to 100.

Fig. 2. Same as Fig. 1. for primes up to 3 to 1000.

Fig. 3. Same as Fig. 1. for primes up to 1500 to 2000.

 

 

 

 

2/13/2015 CANTORIAN FRACTAL PATTERNS, QUANTUM­LIKE CHAOS AND PRIME NUMBERS IN ATMOSPHERIC FLOWS.

http://arxiv.org/html/chao­dyn/9810011v1 11/15

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2/13/2015 CANTORIAN FRACTAL PATTERNS, QUANTUM­LIKE CHAOS AND PRIME NUMBERS IN ATMOSPHERIC FLOWS.

http://arxiv.org/html/chao­dyn/9810011v1 12/15

 

 

 

Fig.1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2/13/2015 CANTORIAN FRACTAL PATTERNS, QUANTUM­LIKE CHAOS AND PRIME NUMBERS IN ATMOSPHERIC FLOWS.

http://arxiv.org/html/chao­dyn/9810011v1 13/15

 

 

 

 

Fig.2

 

 

 

 

 

 

 

2/13/2015 CANTORIAN FRACTAL PATTERNS, QUANTUM­LIKE CHAOS AND PRIME NUMBERS IN ATMOSPHERIC FLOWS.

http://arxiv.org/html/chao­dyn/9810011v1 14/15

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2/13/2015 CANTORIAN FRACTAL PATTERNS, QUANTUM­LIKE CHAOS AND PRIME NUMBERS IN ATMOSPHERIC FLOWS.

http://arxiv.org/html/chao­dyn/9810011v1 15/15

 

Fig.3