ÇANAKKALE ON SEKĐZ MART ÜNĐVERSĐTESĐ FEN BĐLĐMLERĐ ENSTĐTÜSÜ

BĐTĐRME TEZĐ

SONLU FARKLAR YÖNTEMĐ ĐLE ĐKĐ BOYUTLU MANYETOTELLÜRĐK MODELLEME

Samet ŞAHĐN

JEOFĐZĐK MÜHENDĐSLĐĞĐ ANABĐLĐM DALI

ÇANAKKALE

2010

Her hakkı saklıdır

ÖZET

Bitirme Tezi

SONLU FARKLAR YÖNTEMĐ ĐLE ĐKĐ BOYUTLU MANYETOTELLÜRĐK MODELLEME

Samet ŞAHĐN

Çanakkale On Sekiz Mart Üniversitesi

Fen Bilimleri Enstitüsü Jeofizik Mühendisliği Anabilim Dalı

Danışman: Yar. Doç. Dr. Emin U. ULUGERGERLĐ

Manyetotellürik(MT) yöntem ilk olarak1950’li yıllarda derin kabuk yapısını araştırmak için kullanılmıştır. Yer içinin üç boyutlu yapısını araştırmak amacıyla yerin elektrik iletkenlik değişiminin incelenmesi temeline dayanan bu yöntem günümüzde de bir çok sorunun çözümü için tercih edilmektedir..

Sedimanter havzaların belirlenmesi, petrol ve jeotermal kaynakların araştırılması, maden yataklarının bulunması için yapılan araştırmalarda MT yöntem çok yaygın olarak kullanılmaktadır.

Bu tez çalışmasında birçok sorunun çözümünde kullanılan sonlu farklar yöntemi kullanılarak manyetotellürik verilerin iki-boyutlu(2-B) modellemesi yapılmıştır. Bu işlem matlab programlama dilinde geliştirilen bir programla gerçekleştirilmiştir.

Bu çalışmada geliştirilen program Candansayar(2002) ve konu hakkındaki diğer çalışmalarla karşılaştırılmış ve aynı sonu ulaşılmıştır. Benzer sorunların çözümünde kullanılabilir ve yapılacak bir ters çözüm algoritması için ön çalışma niteliğinde bir çalışma olmuştur.

Sınır koşullarının hesaplanmasında tabakalı(1-B) ortam hesabı kullanılmıştır. Bu hesaplama için Weaver (1994)’ın 1-B yer altı hesaplamaları kullanılmıştır. Genel dizey denkleminin çözümünde ‘‘sparse’’ dizey aritmetiğinden yararlanılmıştır.

2010,

Anahtar Kelimeler; Đki boyutlu modelleme, Manyetotellürik, sonlu Farklar Yöntemi

i

TEŞEKKÜR

Bu tez çalışmasında tez danışmanım olan Yar. Doç. Dr. Emin U. ULUGERGERLĐ’ye çalışmam boyunca her konuda yardımcı olduğu için teşekkür ederim. Ayrıca bölümümüzün diğer öğretim görevlilerine gerektiğinde yardımlarını sakınmadıkları için teşekkür ederim.

Çalışmam boyunca her konuda bana destek olan Eray CÜLCÜLOĞLU ve Tuğrul KONUK’a özellikle teşekkür ederim.

Samet ŞAHĐN

Çanakkale, Haziran 2010

ii

ĐÇĐNDEKĐLER

ÖZET ………………………………………………………………………..………. i

TEŞEKKÜR ………………………………………………………………………… ii

SĐMGELER DĐZĐNĐ ……………………………………………………………. ….. iv

ŞEKĐLLER DĐZĐNĐ …………………………………………………………….. ….. v

ÇĐZELGELER DĐZĐNĐ ……………………………………………………………… vi

1. GĐRĐŞ………………………………………………………………………….. 1

2. MANYETOTELLÜRĐK YÖNTEMDE ĐKĐ-BOYUTLU

MODELLEME ……………………….……………………………………… 2

2.1. Giriş …………………………………………………………………………. 2

2.2. Temel Denklemler ………………………………………….……………….. 2

2.3. Sonlu Farklar ile 2-B Modelleme …………………………………………… 7

2.3.1. Çözüm bölgesinin tanımlanması ve sonlu farklar ağı' nın elde edilmesi …. 7

2.3.2. Sonlu farklar ile genel denklemlerin çözümü …………….………….......... 10

2.3.2.a. TE-Modu için sonlu farklar denklemi ………………….………………... 10

2.3.2.b. TM-Modu için sonlu farklar denklemi ………………………………….. 11

2.3.3. Sınır koşulları …………………………………………….………………... 13

2.3.4. Genel dizey denkleminin elde edilmesi ve çözümü………………………... 14

2.3.5. Jeolojik doğrultuya dik alanların hesaplanması ………….………………... 16

2.4. Programın Test Edilmesi……………………………………………………... 18

3. SONUÇLAR…………………………………………………………………... 24

KAYNAKLAR…………………………………………………………………... 25

EKLER…………………………………………………………………………... 27

iii

SĐMGELER DĐZĐNĐ

Elektrik Alan Şiddeti (V/m)

Manyetik Alan Şiddeti (A/m)

µ Manyetik Geçirgenlik (H/m)

σ Öziletkenlik

ρ Özdirenç

f Frekans (Hertz)

Zxy, Zyx Empedans ∇, ∇ . Gradient ve diverjans operatörü

x,y,z Kartezyen koordinatlar

iv

ŞEKĐLLER DĐZĐNĐ

Şekil 2.1. Manyetotellürik’ de TE ve TM modu……………………................................ 4

Şekil 2.2. (a) Model ağı. Ağ içindeki hücreler ve düğüm noktaları, sırası ile,

yukarıdan-aşağıya ve soldan-sağa doğru numaralanmıştır. (b) Ağ

içerisindeki herhangi bir (i, j) düğüm noktası ve komşu düğüm

noktaları ......................................................……………………………………… 9

Şekil 2.3. x-yönünde M=4 ve z-yönünde N=4 olmak üzere NM=NxM=16

düğüm noktasından oluşan ağ. Düğüm noktaları yukarıdan-aşağıya ve

soldan-sağa doğru numaralandırılmıştır ……………………................................. 14

Şekil 2.4. COMMEMI 2D-0 modeli………………….….................................................. 18

Şekil 2.5.a) TE modu için bu çalışmada elde edilen görünür özdirenç ve faz eğrileri,

b) TE modu için Candasayar(2002) ve Erdoğan (2009) ‘da elde edilen verilerin

karşılaştırılması………………………………………………………………….. 19

Şekil 2.6. a)TM modu için bu çalışmada elde edilen görünür özdirenç ve faz eğrileri,

b)TM modu için Candasayar(2002) ve Erdoğan (2009)’da elde edilen verilerin

karşılaştırılması………………………………………………………………….. 20

Şekil 2.7 Oluşturulan olası süreksizlik modeli………………………………………... 21

Şekil 2.8. Süreksizlik modelinden TE modu için elde edilen görünür özdirenç

Görüntüsü……………………………………………………………………….. 21

Şekil 2.9 Süreksizlik modelinden TE modu için elde edilen faz görüntüsü………….. 22

Şekil 2.10. Süreksizlik modelinden TM modu için elde edilen görünür özdirenç

Görüntüsü………………………………………………………………………. 22

Şekil 2.11. Süreksizlik modelinden TM modu için elde edilen faz görüntüsü………. 23

v

ÇĐZELGELER DĐZĐNĐ

Çizelge 2.1. COMMEMI 2D-0 modeli için kullanılan ağ parametreleri...................... 18

vi

1. GĐRĐŞ

Manyetotellürik yöntem, jeofizik arama yöntemleri içinde günümüzde en çok kullanılan yöntemlerden biridir. Elektromanyetik esaslara bağlı olarak yer için özdirenç değişiminin incelendiği bu yöntem ilk olarak Rus Thikhonov tarafından 1950 yılında temeli atılmıştır. Yer içinin elektromanyetik özellikleri kullanılarak araştırılabileceği 1953 yılında Fransız Cagniard tarafından da belirtilmiştir. Đlk yıllarda derin kabuk yapısının araştırılması öngörülerek geliştirilen bu yöntem sonraki yıllarda kullanılan frekans aralığına bağlı olarak yer içinin birkaç yüz metreden birkaç kilometreye kadar araştırılabileceği görülmüştür. Günümüzde böyle bir derinlik özgürlüğü sağlayan MT yöntemi kabuk araştırmalarında, petrol araştırılmalarında sedimanter havzanın belirlenmesinde, maden aramalarında, fay araştırmalarında ve daha birçok sorunun çözümünde kullanılmaktadır.

Bazalt gibi volkanik birimlerle örtülü alanlarda, bu birimlerin çok yüksek hızda olmasından dolayı altındaki birimler ile ilgili bilgi sismik kayıtlarda görülmemektedir. Bu nedenle, son yıllarda bu tip alanlarda petrol ve doğalgaz kaynaklarının aranmasında MT yöntemi geniş kapsamlı olarak kullanılmaktadır (Christopherson, 1991; Beamish ve Travassos, 1992; Morrison ve diğ., 1996; Nagy, 1996; Mitsuhata ve diğ.,1999; Corcione ve Seriani, 2000). Ülkemizde de, Güneydoğu Anadolu bölgesinde benzer sorunlar görülmekte ve sismik ölçü yanında MT ölçüleri de alınmaktadır (Candansayar 2002).

Bu şekilde çok fazla sorunun çözümünde kullanılabilen MT yöntemi yapılan çalışmanın gerekçesine bağlı olarak 1-B, 2-B ve 3-B modellenerek yorumlanabilir. Ancak genel çalışma alanlarına göre günümüzde en çok başvurulan modelleme tekniği 2-B modellemedir. Bu tip bir modelleme ile kabuk yapısındaki değişimlerin ve fayların belirlenmesinde ve aynı zamanda diğer çalışma konularında yeterli bilgi sağlanabilmektedir.

2-B MT modellemede çeşitli yollar izlenebilir. Sonlu farklar yöntemi ve sonlu elemanlar yöntemi en çok kullanılan ve birbirine çok yakın sonuçlar üreten iki yöntemdir.

Bu çalışmada tüm koşullar ve geçmiş bilgiler göz önünde bulundurularak sonlu farklar yöntemi kullanılarak MT verilerinin 2-B modellemesi yapılmıştır. Öncelikle yöntemin alt yapısı araştırılmıştır. Đkinci bölümde yöntemin matematiksel olarak nasıl bir içeriğe sahip olduğu sunulmuştur. Modellemenin yapılabilmesi için gerekli olan denklemler anlatılmış ve helmholtz denklemlerinin çıkarılışı ve kullanılışı gösterilmiştir. Sonraki bölümde bu denklemlerin sonlu farklar ile çözümü anlatılmış, sınır koşullarının nasıl işlediği gösterilmiş ve modellemede kullanılan genel dizey denklemi anlatılmıştır. Son olarak geliştirilen modelleme programı daha önce bu konuda elde edilen sonuçlarla karşılaştırılarak test edilmiş ve sonuçlar kısmında çalışmanın hangi noktaya vardığı anlatışmış ve tartışılmıştır.

1

2. MANYETOTELLÜRĐK YÖNTEMDE ĐKĐ-BOYUTLU MODELLEME

2.1. Giriş

Elektromanyetik (EM) indüksiyon yöntemleri, elektromanyetik dalganın yer içinde yayınımının incelenmesine dayanır. Bu yöntemde kaynak, yer manyetik alanındaki değişimler veya dipol aracılığı ile yaratılan elektromanyetik dalgadır. Bu şekilde yer manyetik alanındaki değişimleri kullanan doğal kaynaklı yöntemler manyetotellürik (MT) ve jeomanyetik derinlik sondajıdır (GDS).

MT yönteminde yerin doğal EM alanı incelenir. Yer manyetik alanındaki değişimlerden kaynaklanan Eddy akımları (tellürik akım) ortamın özdirencinin hesaplanmasında kullanılabilir. Elektromanyetik dalganın bileşenleri olan manyetik ve elektrik alandaki değişimler ile yerin özdirenci arasında bir ilişki kurulabilir. Yöntemin temel ilkeleri Tikhanov (1950) ve Cagniard(1953) tarafından açıklanmıştır.

Yer içine doğru yayılan bir elektromanyetik dalganın yüzeydeki empedansı (Z), yatay elektrik alanın (E), buna dik manyetik alana (H) oranı olarak tanımlanır. Yer manyetik alanındaki değişim büyük periyotlardan küçük periyotlara kadar geniş bir aralıktadır ve yer içinde doğal bir elektromanyetik alanın varlığı söz konusudur. Yeryüzünde herhangi bir yerde elektromanyetik dalganın bileşenleri ölçülüp, empedans hesaplanırsa, ölçüm yapılan ortam için belirli bir derinliğe kadar özdirencin değişimi hakkında bilgi edinilir (Tiftik 2001).

2.2. Temel denklemler

Manyetotellürik yönteminin kuramı Maxwell denklemleriyle açıklanır. Bir ortamda yayınan elektromanyetik dalgalar ve oluşan alanlar arasındaki ilişkiler Maxwell denklemleriyle tanımlanabilir. Bu denklemler, elektrik alan şiddeti, manyetik alan şiddeti, manyetik akı yoğunluğu, elektrik yüklenme yoğunluğu gibi alan ve kaynak büyüklerini birbirine bağlayan denklemlerdir. Elektromanyetik kuram, Ampere, Faraday ve Coulomb gibi araştırmacılar tarafından bir araya getirilerek yayınlanan denklemlere dayanmaktadır. Maxwell denklemleri;

∇ � E � � ∂B∂t �2.1� � � � � σ� � ε ∂E∂t �2.2�

� � � � � /� (2.3) ∇ � � � 0 (2.4)

bağıntıları ile verilir. Burada, ∇ 2-B gradienti göstermektedir. Burada kullanılan fiziksel

büyüklüklerin isimleri izleyen biçimde verilir;

2

E: Elektrik alan şiddeti (electric field intensity)(Amper/metr��),

H: Manyetik alan şiddeti (magnetic field intensity)(Amper-sarım/metr��),

B: Manyetik akı yoğunluğu (magnetic induction)(Weber/metr��),

J: Akım yoğunluğu (current density) (Amper/metr��),

D: Elektrik yerdeğiştirme (electric displacement)(Coulomb/ metr��),

q: Yük yoğunluğu (charge density)( Coulomb/ metr��) ( Özürlan, Ulugergerli 2005)

µ , manyetik geçirgenlik ve σ , öziletkenliktir. σ 'nın tersi özdirenç ρ (Ohm-m) (ρ = 1/σ ) olarak bilinir.

Mayetotellürik yöntemde, üretilen elektrik ve manyetik alanlar birbirine diktir. Eğer σ, � ve ε parametrelerinin değişimi y-ekseninden bağımsız ise E ve H’ ın jeolojik doğrultuya paralel

etkilerinden doğan empedanslar � ! "� �! olmak üzere ikiye ayrılır. Bu empedanslar iki ayrı yaklaşımla TE modu (TE-Transverse Electric veya E-paralel) ve TM modu (TM-Transverse Magnetic veya H-paralel)(Sekil 2.1) olarak isimlendirilmiştir. Bu kavramlar sadece 2-B ortamda kullanılır. 1-B ve 3-B ortamlarda mod kavramı yoktur. Literatürdeki eski çalışmalarda yalnız TM modu için olan sonuçlara güvenilirken yakın zamandaki çalışmalarda her iki modun da birbirlerine karsı bir takım üstünlükleri olduğu savunulmuş ve iki boyutlu bir manyetotellürik problemin çözümü için her iki moddan da eşit derecede yararlanılması gerektiği belirtilmiştir.

TE modunda elektrik alanın y bileşeni, jeolojik doğrultuya paraleldir. TM modunda ise, manyetik alanın y bileşeni jeolojik doğrultuya paraleldir.

Zxy= Ex/Hy TE mod (2.5a)

Zyx= Ey/Hx TM mod (2.5b)

TE ve TM modunun birbirlerine göre farklılıkları kısmen şöyledir; TM modu yüzeye yakın yapılara, TE modu derinlerdeki yapılara karsı daha duyarlıdır. TM modu dirençli yapılara, TE modu iletken yapılara karsı daha duyarlıdır. TM modu sığ dirençli yapıya TE den daha duyarlıdır. TE modu derin iletken yapıya TM den daha duyarlıdır. TM modu iletken yapıların üç boyutlu etkilerine karsı daha güçlüdür. TE modu dirençli yapıların üç boyutlu etkilerine karşı daha güçlüdür.

3

Şekil 2.1 Manyetotellürik Yönteminde 2-B Model ve Mod Kavramı (Demirci 2009)

# � �� (2.6)

TE-modu için, eğer (2.1) bağıntısının döneli alınır, B yerine, 2.6 denklemindeki eşdeğeri konur ve � � � yerine (2.2) denklemindeki eşdeğeri yazılırsa, elektromanyetik arama yöntemlerinde kaynak dalganın yayınımı ve sönümünü tanımlayabilmek amacıyla maxwell denklemleri kullanılarak zaman ortamı için elektromanyetik dalga denklemi aşağıdaki formda verilir.

∇�� � µσ %�%& � µε %��%&� �2.7�

Burada ∇� 2-B Laplacian’ i göstermektedir (Candansayar 2002). Dünyanın geçirgen bir ortam olduğundan söz edebilir. Bu yüzden difüzyon denklemi olarak da bilinen yukarıdaki denklem MT veri analizlerinde kullanabilir. (2.7) bağıntısının Fourier dönüşümü;

4

∇�� � �µ ε ω� � i µ σ ω �E � 0 (2.8)

olarak alınır.

k� � � µ ε ω� � i µ σ ω (2.9)

tanımlaması yapılırsa (2.7) bağıntısı aşağıdaki gibi

∇�E � k� E � 0 (2.10) yazılabilir. Burada k dalga boyunun tersidir ve dalga sayısı (wave number) olarak adlandırılır. 10+,Hz den küçük frekanslarda µ ε -�<< µ σ w olduğunda yer değiştirme akımı ihmal edilebilir. Bu durumda, k� � i µ σ ω (2.11) bağıntısı ile verilir (Tiftik 2001). Böylece denklem; ∇�� � �iωσµE �2.12a� olarak elde edilir. Jeolojik doğrultuya dik elektrik alan bileşenleri ise aşağıdaki bağıntılarla hesaplanır, ∂E∂z � �iωσµ1� �2.12b�

∂E∂x � � iωσµ1H5 �2.12c�

Benzer şekilde TM-modu için, (2.2) denkleminin rotasyoneli alınır ve ∇xE yerine (2.1) denklemindeki eşdeğeri yerine konursa, manyetik alan için denklem aşağıdaki formda verilebilir;

∇�� � µσ ∂H∂t � µε %��%&� �2.13�

Yukarıdaki bağıntının, elektrik alan için elektromanyetik dalga denkleminde yapıldığı gibi uygun koşullara göre düzenlenirse frekans ortamındaki karşılığı,

5

∇�� � �iωσµ1H (2.14a)

olarak elde edilir. TM-modu için jeolojik doğrultuya dik elektrik alanlar ise %�%8 � σ� �2.14b�

%�%: � �σ�; �2.14c�

bağıntıları ile hesaplanır. (Candansayar 2002). 2-B helmholtz(difüzyon) denklemleri olarak da bilinen (2.12a) ve (2.14a) denklemleri 2-B ve 3-B düz çözümde çözülerek yer altındaki elektrik ve manyetik alanların zamana ve uzaklığa bağlı değişimleri belirlenebilir. MT verilerinin sunumu için görünür özdirenç ve empedans fazı eğrileri kullanılır. Empedans hesaplanması yapılarak bu değerler elde edilir. TE modu için empedans bağıntısı,

�! � �!� �2.12<�

gibidir. TM modu için empedans bağıntısı,

� ! � �!� �2.14<�

şeklinde bulunur. Bu bağıntılar yardımıyla görünür özdirenç ve empedans fazı denklemleri ise şöyledir:

ρ> � 1ωµ1 ?�! �@A!> !�? �2.15C�

φ � argtan HICJCK��! �@A!> !��gerçel��! �@A!> !��O �2.15P�

6

2.3. Sonlu Farklar ile 2-B Modelleme

Sonlu farklar ile 2-B modelleme yapmak izlenen adımlar:

• Çözüm bölgesinin tanımlanması ve sonlu farklar ağının elde edilmesi

• Sonlu farklar ile genel denklemlerin çözümü • Sınır koşullarının hesaplanması

• Genel dizey denkleminin elde edilmesi ve çözümü

• Jeolojik doğrultuya dik alanların hesaplanması • Görünür özdirenç ve empedans fazının hesabı

2.3.1. Çözüm bölgesinin tanımlanması ve sonlu farklar ağının elde edilmesi

2-B modellemede, yapabilmek için öncelikle çözüm bölgesi tanımlamamız gerekir. Çözüm bölgesini doğru belirlenmesi algoritmanın doğru çalışmasında çok önemlidir. Çünkü seçtiğimiz bir ağdaki blok kalınlıkları aşağıda verilen kriterlere göre seçilmezse beklenen sonuçlar alınamaz. Bu kriterlere göre farklı özdirençli ortamların sınırlarında uygun blok kalınlıkları seçilmesi gerekir.

Ağ dizaynında dikkat edilmesi gereken başlıca kriterler aşağıdaki gibi sıralanabilir (Weaver 1994)

I- Farklı özdirençli iki yapı arasındaki uzaklık, düşey yada yatay yönde ED’ nin iki katı kadar olmalıdır. Đki yapı arasında kalan düğüm noktalarının birbirine göre uzaklıkları, ED’ in 1/4' ünden fazla olmamalıdır. Bu uzaklık, özdirenci farklı iki yapı sınırında daha az olmalıdır.

II- Đlk ve son düşey grid, kendisine en yakın özdirenç sınırından en az ED’ in üç katı kadar uzaklıkta olmalıdır. Burada, ED, en büyük özdirenç değerli 1-B yapının derinliği olarak alınmıştır. Örneğin bu özdirenç değeri, x = −∞ ' da ilk sütundaki bloklar arasında en yüksek özdirençli blok, x = ∞ ' da ise son sütundaki bloklar arasında en yüksek özdirençli blok değeridir.

III- Özdirenç sınırına yakın yerde, komşu düğüm noktaları arasındaki uzaklık yaklaşık eşit olmalıdır. Bu süreksizliğin iki tarafında ise eşit olmalıdır. Model içinde, düğüm noktaları arasındaki uzaklıklar küçük aralıklarla artırılmalı ya da azaltılmalıdır. Ardarda gelen düğüm noktaları arasındaki komşu uzaklıklar arasındaki fark, küçük olan aralığın iki katından az olmalıdır.

7

Yukarıdaki kriterler göz önünde bulundurularak hazırlanan ağlar algoritmanın doğru çalışması için minimum koşulları oluşturabilir. Bu kriterlerin dışında sınır koşullarının uygulanacağı yerler için fazladan birer blok eklenmesi gerekir. Aynı zamanda sınır koşullarını uygulanacağı bloklara yakın blokların da gerekli uzunlukta( Manyetik ve Elektrik alanların değerlerini olumsuz yönde etkilememesi için) olması gerekir.

Bütün bu koşular göz önünde bulundurularak aşağıdaki gibi bir ağ ile 2-B modelleme yapılabilir. Ağın ayrıklaştırılması yani ağ üzerinde bulunan her noktanın belirlenen indislerle tanımlanması gerekir. Bu yüzden şekilde görüldüğü ağ üzerindeki noktalar x yönünde x=xQ(i=1,2,…,M), z yönünde de z=zR(j=1,2,….N) şeklinde numaralandırılmıştır. Düğüm noktaları xQ, zR noktalarında bulunmaktadır. Her düğüm noktasın E ve H alanları hesaplanacaktır ve toplamda NxM tane E ve H alanları hesaplanacaktır.

8

Şekil 2.2. (a) Model ağı. Ağ içindeki hücreler ve düğüm noktaları, sırası ile yukarıdan aşağıya ve soldan-sağa doğru numaralanmıştır. (b) Ağ içerisindeki herhangi bir (i, j) düğüm noktası ve komşu düğüm noktaları.(Candansayar 2002)

9

2.3.2. Sonlu farklar ile genel denklemlerin çözümü

Öziletkenliğin (veya özdirencin) süreksiz olması durumunda, (2.12a) ve (2.14a) denklemlerinde, E ve H-alanlarının ikinci türevi süreksiz olabilir ve Laplacian terimi iyi tanımlanamayabilir. Ayrıca, TM-modu için (2.6a) denkleminde özdireçlerin türevi doğrudan denkleme katıldığından, bu denklemin çözümü zordur. Bu problemi çözmek için, her düğüm noktası etrafında dikdörtgen bir alan için, her iki diferansiyel denklemin de integrali alınabilir (Zhdanov ve diğ. 1982, Aprea ve diğ. 1990, Weaver 1994, Aprea ve diğ. 1997).

Herhangi bir dikdörtgen alan içindeki bir (i, j) düğüm noktasını ele alalım (Şekil 2.3b). Bu noktanın komşu düğüm noktaları (i −1, j), (i +1, j) , (i, j-1), (i, j+1) sırasıyla ∆xi 1 , ∆xi ,∆z j 1 , ∆z j − − mesafeleri kadar (i, j) noktasından uzakta olsun. Aynı zamanda, (i, j) noktası farklı öziletkenliklerdeki σ(i −1 2, j −1 2), σ(i + 1 2, j −1 2), σ(i −1 2, j +1 2), σ(i +1 2, j+1 2) dört dikdörtgen alan ile çevrili olsun. Bu nokta için TE- ve TM-modu çözümleri aşağıda verilmektedir. (Candansayar 2002)

2.3.2.a. TE-modu için sonlu farklar denklemi

TE-modu için, (2.5a) denkleminin integrali PQRS alanı için alınırsa ve bu denklemin sol tarafına Green teoremi uygulanırsa, dikdörtgen alan etrafındaki çizgi integrali aşağıdaki gibi verilebilir:

S��. ��!�<TU

� S %�!JV <K� � W S �

XYS

Z[\ %�!%8 <: � W S �

XYS

Z[\ %�!%: <8 �2.15�

Burada A, kenarları (i, j) ile ona komşu düğüm noktalarını birleştiren gridlerin orta noktalarının oluşturduğu dikdörtgenin (PQRS) alanı ve nˆ, A' nın kenarlarında, dışa doğru birim normal vektördür. Bu denklemi çözerken, dikdörtgen üzerinde Ey =E(i, j) olarak alınmıştır. Dikdörtgen üzerinde her kenarın türevi, merkezi-türetme formülü ile hesaplanmıştır. Örneğin ]^____ ve ^`____ kenarları boyunca

%�!%: a E�i 1, j� � E�i, j�∆xi "� %�!%8 a E�i 1, j� � E�i, j�∆zj

yazılabilir. Buna göre tüm kenarlar için merkezi-türetme operatörü ile türevler alınırsa (2.9) denklemi aşağıdaki gibi elde edilir:

10

S %�!JV <K a ∆xQ � ∆xQ+d2 eE�i, j � 1� � E�i, j�∆zR � E�i, j �– E�i, j � 1�∆zR+d g� ∆zR+d � ∆zR2 eE�i � 1, j� � E�i, j�∆xQ � E�i, j �– E�i � 1, j�∆xQ+d g �2.16�

Denklem (2.5a)' nın sağ tarafının integrali aşağıdaki gibi alınabilir (Weaver, 1994);

iωσ�1 S ��i, j�U

σ�i, j�dA � iωσ�1��i, j� S σ�i, j�<TU

a iωσ�1 mn�i, j���i, j� �2.17�

Burada, ) j , i ( ~σ , (i, j) düğüm noktasındaki ağırlıklı ortalama iletkenliktir (weighted average conductivity) (Weaver 1994, Apprea ve diğ. 1997) ve aşağıdaki gibi tanımlanır;

mn�i, j� � ∆xQ∆zR+d4 σ�i � 1/2, j � 1/2 � � ∆xQ∆zR4 σ�i � 1/2, j � 1/2 �� ∆xQ+d∆zR4 σ�i � 1/2, j � 1/2 � � ∆xQ+d∆zR+d4 σ�i � 1/2, j � 1/2 � �2.18�

Denklem (2.16) ve (2.17) kullanılarak, TE-modu için (2.12a) bağıntısının sonlu farklar ile çözümü aşağıdaki gibi elde edilir:

∆zj�1 � ∆zj2∆xi ��i � 1, j� � ∆xi�1 � ∆xi2∆zj ��i, j � 1�� ∆zj�1 � ∆zj2∆xi�1 ��i � 1, j� ∆xi�1 � ∆xi2∆zj�1 ��i, j � 1�� p∆zj�1 � ∆zj2∆xi � ∆xi�1 � ∆xi2∆zj � ∆zj�1 � ∆zj2∆xi�1 � ∆xi�1 � ∆xi2∆zj�1� iωσ�1mn�i, j�q ��i, j� �2.19�

2.3.2.b. TM-modu için sonlu farklar denklemi

Denklem (2.14a), TE-modunda kullanılan yaklaşımla çözülebilir. Bu denklemin sağ tarafının integrali alınırsa,

�iωσ�1 S ��i, j�U

dA � iωσ�1��i, j� s Ttu

tvd� iωσ�1 ��i, j� �∆xi�1 � ∆xi��∆zj�1 � ∆zj�4 �2.20�

11

elde edilir. Burada, H(i, j), (i, j) noktasındaki Hy değeridir. Denklemin sol tarafına Green teoremi uygulanırsa,

S��. ��!�<TU

� S ρ %�!JV <K� � W S �

XYS

Z[\ ρ %�!%8 <: � W S �

[XS

YZ\ ρ %�!%: <8 �2.21�

bulunur. Son denklemde, ρ , çizgi integrali boyunca değişmektedir. Bu nedenle her parça boyunca uygun bir değerin kullanılması gereklidir (Şekil 2.3b). Örneğin, PQRS ile çevrili A- alanının ]^____ kenarı boyunca,

S ρ%�!%: <8[X

a H∆zj�12 ρ�i � 1/2, j � 1/2�� ∆zj�12 ρ�i � 1/2, j � 1/2�O �2.22�

yazılabilir. Burada özdirençler için kullanılan simgeler, iletkenlik için kullanılanlarlaaynıdır. Sonuç olarak, her kenar aşağıdaki gibi tanımlanan dört etkili özdirence bağlıdır (Weaver, 1994; Apprea ve diğ, 1997):

wn�i � 1, j� � ∆8x+d w�i � 1/2, j � 1/2� � ∆8x w�i � 1/2, j � 1/2�2∆xQ

wn�i, j � 1� � ∆xQ+d w�i � 1/2, j � 1/2� � ∆xQ w�i � 1/2, j � 1/2�2∆zR �2.23�

wn�i � 1, j� � ∆8x+d w�i � 1/2, j � 1/2� � ∆8x w�i � 1/2, j � 1/2�2∆xQ+d

wn�i, j � 1� � ∆xQ+d w�i � 1/2, j � 1/2� � ∆xQ w�i � 1/2, j � 1/2�2∆zR+d

SF yaklaşımı ile elde edilen (2.20), (2.21) ve (2.23) denklemleri kullanılırsa, TM-modu için (2.14a) denkleminin sonlu farklar ile çözümü aşağıdaki gibi elde edilir:

12

wn�i � 1, j�H�i � 1, j� � wn�i, j � 1�H�i, j � 1� � wn�i � 1, j�H�i � 1, j� � wn�i, j � 1�H�i, j � 1�� pwn�i � 1, j� � wn�i, j � 1� � wn�i � 1, j� � wn�i, j � 1�� iωσ�0 �∆xQ+d � ∆xQ��∆zR+d � ∆zR�4 y H�i, j� �2.24�

2.3.3. Sınır koşulları

Ağın kenarlarında E- veya H- alanının çözümü için çeşitli yöntemler önerilmiştir. Weaver ve Brewitt-Taylor (1978) kenarlarda asimptotik sınır koşulunu ve yüzeyde integral sınır koşulunu kullanmışlardır. Đntegral sınır koşulu sayesinde, TE-modunda yukarıya fazladan blok konulmamaktadır. Bu işlem, ağın daha küçük olmasını sağlamaktadır. Fakat bu sınır koşulunun kullanılması durumunda, genel dizey denklemindeki katsayı dizeyi band özelliğini yitirmektedir (Weaver, 1994). Bu durumda ise genel dizey denkleminin çözümü daha fazla zaman almaktadır. Yazılan modelleme programının ters çözüm algoritması içinde kullanılacağı düşünülürse, bu sınır koşulu programı çok yavaşlatacaktır.(Candansayar 2002)

Jones ve Price (1970), DeLugao ve diğ. (1997) izleyen sınır koşulunu kullanmışlardır.(Candansayar 2002) Kenarlarda, E- ve H-alanı tabakalı ortam (1-B) için hesaplanmıştır Üst ve alt sınırlarda ise E- ve H-alanı değerleri sabit alınmıştır. Bu sabit değerler, sol ve sağ üst köşedeki düğüm noktalarının 1-B çözümlerinin aritmetik ortalamasından hesaplanmıştır. Bu nedenle ağın sol ve sağ kenarları, E- ve H-alanı sıfıra çok yakın bir değer alacak şekilde uzatılmıştır.

Rijo (1977) aynı sınır koşulunu SE ile modellemede kullanmış, fakat alt sınırda TE- ve TM- modu için, E- ve H-alanını sıfır kabul etmiştir.(Candansayar 2002)

Bu tez çalışmasında da aynı yol izlenmiştir. Şekil 2.4de görüldüğü gibi x yönünde 5, y yönünde 5 bloktan oluşan bir ağda toplam 16 adet düğüm noktası ve 20 adet sınır koşulu bulunmaktadır.

Sol ve sağ kenarlarda bulunan düğüm noktalarının hem solundaki ve sağındaki sınır koşulları, 1-B olarak hesaplanmıştır. 1,4,13 ve 16 numaralı düğüm noktalarının(Ey veya Hy alanlarının) hesaplanmasında özel bir durum söz konusudur. Örneğin 1 numaralı düğüm noktası için hem solundaki hem de üstündeki sınır koşulu etki etmektedir. 4,13 ve 16 numaralı düğüm noktalarında da aynı durum söz konusudur. Kaynak dizeyin oluşturulmasında bu duruma dikkat edilmelidir.

Üst ve alt kenardaki noktalar ise 1-B olarak hesaplanan köşelerdeki değerlerin aritmetik ortalamalarıdır. Üst kenarda sağ ve sol üst köşedeki değerlerin ortalaması, alt kenarda ise sağ ve sol alt köşedeki değerlerin ortalaması kullanılmıştır.

13

Sınır koşullarının yani genel dizey hesabında kaynak terimi oluşturacak değerlerin belirlenmesi için Weaver (1994)’de kullanılan tabakalı ortam hesabı kullanılmıştır. (Ek-1)

2.3.4. Genel dizey denkleminin elde edilmesi ve çözümü

Şekil 2.3 16 düğüm noktasından oluşan 2-B modellemenin yapılacağı sembolik alan

Şekil 2.3 ‘ün hesaplama alanı olduğunu düşünürsek, 2-B bir modelleme için ağ üzerindeki eksenlerin kesiştiği her bir düğüm noktasında Ey ve Hy alanları hesaplamamız gerekir. Bu hesaplama için sonlu farklarla oluşturulan TE(2.19) modu ve TM(2.24) modu bağıntıları kullanılır. Bu şekilde her bir düğüm noktasını hesaplanmasına dayanan doğrusal bir denklem oluşturulur. Sonlu farklar teoremine göre her düğüm noktasının hesaplanması için hesaplanmak istenen ve ona komşu olan dört düğüm noktasından oluşan bu doğrusal denklemlerin birleştirilmesi ile bilinmeyen Ey ve Hy alanlarını belirlemek için genel dizey denklemi oluşturulur. Şekil.2.3 deki ağ için, x yönünde N=4, y yönünde M=4 olmak üzere toplam NxM=16 düğüm noktasının genel dizey denklemi aşağıdaki gibidir.

14

x

z

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

A

B

C

D

(A+C)/2 (A+C)/2 (A+C)/2 (A+C)/2

(B+D)/2 (B+D)/2 (B+D)/2 (B+D)/2

zd,d zd,� 0 0 zd,, 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 :d #d z�,d z�,� z�,� 0 0 z�,{ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 :� #� 0 z�,� z�,�z�,u 0 0 z�,| 0 0 0 0 0 0 0 0 0 :� #� 0 0 zu,�zu,u 0 0 0 zu,} 0 0 0 0 0 0 0 0 :u #u z,,d 0 0 0 z,,, z,,{ 0 0 z,,~ 0 0 0 0 0 0 0 :, #, 0 z{,� 0 0 z{,, z{,{ z{,| 0 0 z{,d1 0 0 0 0 0 0 :{ #{ 0 0 z|,� 0 0 z|,{ z|,| z|,} 0 0 z|,dd 0 0 0 0 0 :| #| 0 0 0 z},u 0 0 z},| z},}0 0 0 z},d� 0 0 0 0 :} � #} 0 0 0 0 z~,, 0 0 0 z~,~ z~,d1 0 0 z~,d� 0 0 0 :~ #~ 0 0 0 0 0 zd1,{0 0 zd1,~zd1,d1zd1,dd 0 0 zd1,du 0 0 :d1 #d1 0 0 0 0 0 0 zdd,|0 0 zdd,d1zdd,ddzdd,d� 0 0 zdd,d, 0 :dd #dd 0 0 0 0 0 0 0 zd�,}0 0 zd�,dd zd�,d� 0 0 0 zd�,d{ :d� #d� 0 0 0 0 0 0 0 0 zd�,~ 0 0 0 zd�,d�zd�,du 0 0 :d� #d� 0 0 0 0 0 0 0 0 0 zdu,d1 0 0 zdu,d�zdu,duzdu,d, 0 :du #du 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 zd,,dd 0 0 zd,,duzd,,d,zd,,d{ :d, #d, 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 zd{,d� 0 0 zd{,d, zd{,d{ :d{ #d{

Genel dizey denklemi (2.25)

2.25 denkleminde NMxNM=16x16 boyutlu dizey hesaplanmak istenen düğüm noktasındaki Ey veya Hy alanı değerlerinin bilinen değerlerinden oluşan katsayılar dizeyidir. Bu dizeydeki

örneğin TE modu içinzd,difadesi;

zd,d � ∆z1 � ∆z22∆x2 � ∆x1 � ∆x22∆z2 � ∆z1 � ∆z22∆x1 � ∆x1 � ∆x22∆z1 � iωσ�1mn�1,1� �� ��<�

TM modu için ise;

zd,d � wn�i � 1, j�1,1 � wn�i, j � 1�1,1 � wn�i � 1, j�1,1 � wn�i, j � 1�1,1� iωσ�1 �∆x1 � ∆x2��∆z1 � ∆z2�4 �� ��<�

gibidir. NxM,1=16,1 boyutlu her bir düğüm noktasındaki bilinmeyen Ey veya Hy (:d, :�, :� …) değerlerinin yer aldığı sütun vektör bilinmeyenler dizeyidir. Yine NxM,1=16,1

boyutlu kaynak dizey ise, sınırlarda 1-B olarak hesaplanan ve kaynak olarak kullanılarak çözüme ulaşılmasını sağlayan sınır koşullarının yer aldığı dizeydir. TE modu için 1. değeri

15

#d � � �∆z1 � ∆z22∆x1 � ∆x1 � ∆x22∆z1 � TE mod

gibidir. TM modu için ise,

#d � ∆8d w�1/2,1/2� � ∆8� w�1/2,3/2�2∆xd � ∆xd w�1/2,1/2� � ∆x� w�3/2,1/2�2∆zd TM mod

gibidir. Katsayılar dizeyi 5 köşegenden oluşan bir band dizeydir. En sağ ve en solda bulunan köşegenler kendilerine en yakın köşegenlere M-1 kadar uzaktadır. Eğer ağ sistemi yukarıdan aşağı ve soldan sağa ilerleyerek numaralandırılmayıp, soldan sağa ve yukarıdan aşağıya olarak numaralandırılsaydı N-1 kadar uzakta olurdu. TE modu için ana köşegendeki değerler hariç tüm köşegenlerin değerleri gerçeldir. TM modu için ise aynı durum söz konusudur ancak TM modunda tüm köşegenlerin değerleri özdirence bağlıdır.

Denklem (2.25) ‘i çözmek için "sparse" dizey aritmetiği kullanılmıştır. Bu sistem sayesinde kaynak ve katsayılar dizeylerindeki 0 değerleri hesaplamanın dışında tutularak çözüm çok kısa sürede yapılabilmektedir. Hafızada sadece hesaplanacak değerler tutulur ve çözüm bu değerler üstünden sağlanır.

2.3.5. Jeolojik doğrultuya dik alanların hesaplanması

Jeolojik doğrultuya dik alanların hesaplanması için genel olarak Weaver(1994)’de izlenen yol izlenmektedir. Bu sistemde türevler, merkezi türetme operatörüne göre hesaplanmaktadır. Merkezi türetme operatörleri ise fonksiyonun Taylor serisine açılmasından elde edilmektedir.

Bu çalışmada hesaplanmak istenen jeolojik doğrultuya dik alanın bulunduğu ve ona komşu iki düğüm noktasından geçen bir eğrinin 2. Türevini hesaplayarak sonuca ulaşılmıştır. Benzer bir çözüm olan bu yaklaşımda, her bir nokta için bir denklem olduğunu düşünürsek ve bu denklemlerin C:� � P: � � gibi bir denklem olduğunu düşünürsek her bir denklemin türevlerinden elde edilen ve katsayılardan oluşan dizeyler kullanılarak ulaşılmak istenen sonuç elde edilebilir. TE modu için Hx denklemi şöyle işlemektedir.

∆8d� ∆8d 1

T � ∆8�� ∆8� 1 �2.26C�

∆8�� ∆8� 1

16

A dizeyi her düğüm noktası için katsayıları temsil etmektedir.

T = �d �� �� �2.26P�

T dizeyi her bir düğüm noktası için Ey alanlarının oluşturduğu bir dizeydir. T+d. � � �P �2.26��

�: � �P�2� : iω�1 �2.26<�

TM modu için Ex denklemi ise benzer şekilde işlemektedir. Ancak yeryüzündeki manyetik alan ilk Hy değeri olarak kabul edilir ve işlem bu kabule göre düzenlenir.

T = �1 �d �� �2.27C�

�: � �P�2� : f �2.27P�

Denklem (2.27b) ‘deki f değeri ise hesaplanan Ex değerinin solunda ve sağındaki özdirenç değerleri kullanılarak oluşturulan ağırlıklandırılmış efektif özdirenç değerleridir.

� � ∆xQ+d w�i � 1/2, j � 1/2� � ∆xQ w�i � 1/2, j � 1/2�∆xQ+d � ∆xQ �2.27��

ve denklem (2.27c) ile hesaplanır. Bu aşamada elde edilen jeolojik doğrultuya dik alanlar (2.12d),( 2.14d), (2.15a ) ve (2.15b) denklemlerinde yerine konularak görünür özdirenç ve empedans fazı değerleri elde edilir.

17

2.4. Programın Test Edilmesi Bu bölüme kadar belirtilen gerekli işlemler yardımıyla matlab programla dili kullanılarak geliştirilen 2-B MT modelleme programı TE modu ve TM modu için düzenlenmiştir. Programın doğruluğunun tespiti için COMMEMI 2D0 Modeli (Zhdanov et al. 1997)kullanılmıştır. Çözüm bu model için 0.001 Hz değerinde elde edilmiştir. Bu çalışmada elde edilen görünür özdirenç ve faz eğrileri sonuçları TM modu için Erdoğan(2009)’da yayınlanan, sonlu elemanlar çözümü için elde edilen sonuçlarla, Candansayar(2002)’de yayınlanan, sonlu farklar çözümü için elde edilen sonuçlarla ve daha önce elde edilen analitik çözüm (Weaver et al. 1986) ile karşılaştırılmıştır ve birebir uyum sağladığı görülmüştür. TE modu için ise analitik çözüm olmadığı için yine aynı yayınların sonlu elemanlar ve sonlu farklar sonuçları ile karşılaştırılmış ve aynı sonuçların elde edildiği görülmüştür. Ayrıca oluşturulan bir fay modeli ile sonuçlar değerlendirilmiştir.

Çizelge 2.1. COMMEMI 2D-0 modeli için kullanılan ağ parametreleri

(a) x-yönünde blok sayısı ve blok kalınlıkları 36 300000 100000 30000 15000 12000 9000 7000 5000 5000 2500 1500 750 250 250 750 2000 3000 4000 4000 3000 2000 750 250 250 750 1500 2500 5000 5000 7000 9000 12000 15000 30000 100000 300000 (b) z-yönünde blok sayısı ve blok kalınlıkları 16 750 1250 2000 3000 5000 13500 13500 5000 3000 2000 1000 1000 5000 15000 45000 150000

Şekil.2.4. COMMEMI 2D0 Modeli (Zhdanov 1997)

18

10 (ohm-m) 1 (ohm-m) 2 (ohm-m)

10^-15 (ohm-m)

0

50

010 10

uzunluk(km)

derinlik(km)

a)

b)

Şekil 2.5 (a) TE modu için bu çalışmada sonlu farklarla geliştirilen programdan COMMEMI 2D0 Modeli için hesaplanan değerlerle elde edilen görünür özdirenç ve faz eğrileri (b)TE modu için Erdoğan(2009)’da COMMEMI 2D0 Modeli için yayınlanan sonlu elamanlar çözümü ve doğruluğu aynı model için Candansayar (2002)’de yayınlanan sonlu farklar çözümü ile karşılaştırılmış görünür özdirenç ve faz eğrileri

19

a)

b)

Şekil.2.6. (a) TM modu için bu çalışmada sonlu farklarla geliştirilen programdan COMMEMI 2D0 Modeli için hesaplanan değerlerle elde edilen görünür özdirenç ve faz eğrileri (b)TM modu için Erdoğan(2009)’da COMMEMI 2D0 Modeli için yayınlanan sonlu elamanlar çözümü ve doğruluğu aynı model için Candansayar (2002)’de yayınlanan sonlu farklar çözümü ile karşılaştırılmış görünür özdirenç ve faz eğrileri

20

Şekil.2.7.Olası bir süreksizlik modeli

Şekil.2.8. Şekil.2.7‘deki süreksizlik modelinin TE modu için görünür özdirenç grafiği

21

Şekil.2.9. Süreksizlik modelinin TE modu için faz grafiği

Şekil.2.10. Şekil.2.7’deki süreksizlik modelinin TM modu için görünür özdirenç grafiği

22

Şekil.2.11. Süreksizlik modelinin TM modu için faz grafiği

Fay modeli için TE ve TM modundan elde edilen görünür özdirenç ve faz sonuçları modelde belirlenen farklı özdirençli bölgeyi tanımlamamıza yardımcı olmaktadır. Blok kalınlıkları ve frekans aralığının daha iyi belirlenmesi sonuçların daha belirgin olmasını sağlayacaktır.

23

3.SONUÇLAR

Bu bölüme kadar gösterilen adımlar izlenerek geliştirilen bilgisayar programı çalışmanın başında amaçlanan MT verilerinin 2-B modellemesinin yapıldığını kanıtlamaktadır. Ulaşılan sonuçta varılmak istenen noktaya gelinmiştir. Ancak sadece bu program yardımıyla bir sorunun çözümü sağlanamayabilir. Bu çalışma yeni bir çalışmada MT verilerinin 2-B ters çözümü için bir ön çalışma olarak görülebilir.

Bu çalışma sırasında jeolojik doğrultuya dik alanların(Ey veya Hy) farklı bir yolla hesaplanabileceği sonucuna ulaşılmış olması da ek bir sonuç olarak görülebilir. Yeni çalışmalarda bu hesaplama tekniği kullanılabilir.

24

KAYNAKLAR

Zhdanov, M.Z., and Keller G.V., 1994. The geoelectrical methods in geophysical Exploration. Elsevier published, Amsterdam-London-NewYork-Tokyo. Candansayar, M. E., 1997. Doğru akım özdirenç yönteminde modelleme ve iki-boyutlu yapıların aranmasında elektrot dizilimlerinin ayrımlılıklarının karşılaştırılması. Yüksek lisans tezi, Ankara Üniversitesi, Türkiye, 3-22. Candansayar, M. E., and A. T. Basokur, 2001. Detecting small-scale targets by the 2D inversion of two- sided three-electrode data: application to an archaeological survey. Geophysical Prospecting, 49, 13–25. Candansayar, M. E., 2002. Sönümlü En-Küçük Kareler Ve Eşlenik Türev Algoritmalarının Ardışık Kullanımı Đle Manyetotellürik Verilerin Düzgünleştiricili Đki-Boyutlu Ters Çözümü Doktora Tezi, Ankara Üniversitesi, Türkiye, 3-30. Cagniard, L., 1953. Basic theory of magnetotelluric method of geophysical prospecting: Geophysics, 18, 605–635. Dinçer Y.. 2007 Petrol arama amaçlı ölçülen manyetotellürik verilerinin sönümlü en küçük kareler ve quasi-newton yöntemi ile iki- boyutlu melez ters çözümü Yüksek lisans tezi, Ankara Üniversitesi, Türkiye, 1-17. Demirci Đ. 2009. Sonlu farklarda üçgen gridler kullanarak doğru akım özdirenç ve manyetotellürik iki-boyutlu ters çözüme topografya etkisinin eklenmesi Yüksek lisans tezi, Ankara Üniversitesi, Türkiye, 1-19. Erdoğan, E. 2009. Doğru akım özdirenç ve manyetotellurik yöntemlerde sonlu elemanlar ile iki-boyutlu düz çözüme topografya etkisinin eklenmesi Yüksek lisans tezi, Ankara üniversitesi, Türkiye, 1-14. Ulugergerli, E. U. and Candansayar, M. E., 2002. Automated mesh design for two dimensional magnetotelluric interpretation codes. The Journal of the Balkan Geophysical Society, 5, 7-14,7 Weaver, J. T., LeQuang, B. V., and Fischer, G., 1985. A comparison of analytical and numerical results for a two-dimensional control model in electromagnetic induction-I. B-polarization calculations. Journal of Geomagnetism and Geoelectricity, 82, 263-278. Weaver, J. T. 1994. Mathematical Methods for Geo-electromagnetic Induction: Research Studies Press Ltd., Taunton. Kaya, C. 2002. Frekans Düzgünlenmiş Empedans Fonksiyonu Đle Manyetotellürik Verilerde Statik-Kayma Düzeltmesi Doktora tezi, Ankara üniversitesi, Türkiye, 1-25.

25

Tiftik, E. 2001. Manyetotellürik Yöntemde Genetik Algoritma Đle Parametre Kestirimi Yüksek lisans tezi, Ankara üniversitesi, Türkiye, 1-17. Ulugergerli, E. ,Özürlan, G. 2005. Jeofizik Mühendisliğinde Elektromanyetik Yöntemler kitabı, Türkiye.

26

EKLER

Ek-1

Elektrik alan;

z � z��n � 2,3, . . . , N � 1�, �z�+d son tabakanın kalınlığı�

k�� � k� � k�+d , k�+ � k��k�+d

E�z� � 0� � E�z� � 0� � E�

E��z� � 0� � E��z� � 0� � E�� �birinci türevler�

E���z� � 0� � E���� (ikinci türevler)

E���� � iωµ1 σ��d�E�, E���� � iωµ1 σ�+d�E�

E��d � E� � k�E�� � 12 iωµ1 σ��d�k��E�

E��d � E� � k�+dE�� � 12 iωµ1 σ�+d�k�+d� E�

2k�k�� E��d � 2k�k�+d E� � 2k�+dk�� E�+d � iωµ1 k�σ��d� � k�+dσ�+d�k�� E�

σ� � k�σ��d� � k�+dσ�+d�k��k�+d

2k�k�� E��d � � 2k�k�+d � iωµ1 σ�� E� � 2k�+dk�� E�+d � 0

E� � Ed � kdE�d � 12 iωµ1 σ��kd�Ed

1 � �d� iωµ1 σ��kd�� Ed � E� � iωk�B�0� , B(0)��1

E�+d � E� � k�+dE�� � 12 iωµ1 σ�+d�k�+d� E�

E�+d � p1 � k�+d �12 iωµ1 σ��d��d� � 12 iωµ1 σ�+d�k�+d� q E� � 0

27

Manyetik alan;

w�+12#�+� � w��12#���

#��d � #� � kn�1#��� � Wiωµ0 kn22w��12\ Bn

#�+d � #� � kn�1#�+� � Wiωµ0 kn�122w�+12\ Bn

w��12kn #��d � �w��12kn � w�+12kn�1� Bn � w�+12kn�1 #�+d � 12 iωµ0 kn�Bn k�w��d� � k�+dw�+d�k�� � 2k�k�� #��d � 2k�k�+d B� � 2k�+dk�� #�+d�

� w��d� � w�+d�k��2 �k�+dk�k�� #��d � k�+k�k�+d B� � k�k�+dk�� #�+d� � iωµ1 B�

w� � k�w��d� � k�+dw�+d�k� � k�+d , w�� � w��d� � w�+d�k� � k�+d2 w� � k�+dw��k�k�� #��d � H2w� � k�+w��k�k�+d � iωµ1 O B� � 2w� � k�w��k�+dk�� #�+d � 0 w�+d�# +d � pw�+d� � k�+d �iωµ1 w��d��d� � 12 iωµ1 k�+d� q B� � 0 Bd ¡ B�0� � 2B1

28