APÉNDICE MATEMÁTICO

APÉNDICE MATEMÁTICO

Vamos a refrescar ciertos conocimientos matemáticos elementales que se aprenden en el

bachillerato y que se van a utilizar frecuentemente a lo largo de este curso de Introducción a

la Microeconomía.

Como es lógico, vamos realizar un tratamiento informal y no exhaustivo del cálculo dife-

rencial e integral más elemental, por lo que en ningún caso el contenido de este apéndice ma-

temático puede sustituir el estudio del material didáctico de la asignatura Matemáticas para

economistas: cálculo, que se imparte en el primer cuatrimestre del primer curso del Grado en

Economía.

El contenido de este apéndice hay que entenderlo como una tarjeta de consulta rápida, pa-

ra refrescar los conocimientos matemáticos correspondientes aprendidos en el bachillerato, a

medida que se van necesitando cuando se aborda la lectura del libro de texto básico de la

asignatura.

Por ello, en este apéndice se pone más énfasis en la interpretación y utilidad práctica del

instrumental matemático que se describe, que en el desarrollo riguroso y la demostración de

ideas que se transmiten. Para esto último lo recomendable es recurrir a un libro de texto sobre

la materia.

Este apéndice matemático versa sobre funciones de una variable y se centra en los si-

guientes puntos:

a) La interpretación de la derivada de la función.

b) Máximos y mínimos libres, es decir, no condicionados al cumplimiento de alguna

restricción adicional.

c) Concavidad y convexidad de una curva.

d) Reglas de derivación más elementales.

e) Cálculo integral elemental.

APÉNDICE MATEMÁTICO 2/21

Finalmente, este apéndice rememora la ecuación de una línea recta que pasa por dos pun-

tos, o cuando pasa por un punto y se conoce el valor de su pendiente. Conocimientos todos

ellos que se imparten en el bachillerato.

A.1. Interpretación de la derivada de una función

Tomemos una función genérica con una variable independiente:

( )y f x

La derivada de esta función se expresa frecuentemente con la siguiente notación:

( )

( )dy df x

y f xdx dx

No vamos a entrar en el concepto de derivada, sino a enfatizar que la derivada de una fun-

ción en un determinado punto no es más que la pendiente de la curva que representa la fun-

ción en ese punto, tal como puede observase en la Figura A.1, es decir, la pendiente de la rec-

ta tangente a la curva en ese punto.

Lógicamente el término función y curva son sinónimos, puesto que una curva no es más

que la representación gráfica de una función matemática.

y=f(x)

Tangente

dy

y

x

Figura A.1. La derivada de una función en un punto

dx

Pendiente: dy/dx


Dado esto, es fácil inferir que si esta derivada es positiva en un determinado punto o interva-

lo, la función o curva es creciente en ese punto o intervalo, porque la pendiente de la curva es

positiva.

Y si esta derivada es negativa en un determinado punto o intervalo, la función o curva es de-

creciente en ese punto o intervalo, porque la pendiente de la curva es negativa.

En cambio, si la derivada de la función es cero en un determinado punto, entonces es que la

función no es creciente ni decreciente en ese punto, sino que estamos ante lo que se denomina

un máximo o un mínimo local de esta función, es decir, ante un punto crítico de la función.

A.2. Máximos y Mínimos libres

Una función puede tener varios máximos y mínimos locales. Nosotros, puesto que no pre-

tendemos ser ni exhaustivos y ni absolutamente rigurosos, nos centraremos en funciones con

un único máximo o mínimo local, respectivamente, que, por tanto, constituiría a su vez un

máximo o mínimo global de la función.

Lógicamente la condición necesaria para tener un máximo o mínimo local es, como puede

inferirse fácilmente del apartado anterior, que la primera derivada de la función se anule. Esto

es lo que se conoce como la condición de primer orden para tener un máximo o un mínimo

local.

Pero esta condición no es suficiente. Se requiere además el cumplimiento de una condi-

ción de segundo orden en el entorno del punto en que se anula la primera derivada de la fun-

ción, que para la existencia de un máximo local consiste en que la segunda derivada de la fun-

ción debe ser negativa, y que esta última sea positiva para que se trate de un mínimo local de

la función.

Veamos qué significa que la segunda derivada de la función deba ser positiva o negativa.

Ante todo, la segunda derivada de una función no es más, por definición, que la derivada

de la primera derivada de la función, que en el caso que estamos manejando se representaría

mediante la siguiente notación matemática:

2 2

2 2

( )( )

d y d f xy f x

dx dx


¿Qué quiere decir que la segunda derivada de una función es negativa? Pues que la prime-

ra derivada de la función es decreciente, es decir, que la pendiente de la curva es decreciente a

medida que aumenta el valor de la variable independiente, como puede observarse en la Figu-

ra A.2.

Luego si en un punto la primera derivada es igual a cero y en el entorno del punto en que

se anula esta primera derivada, la segunda derivada es negativa, ello quiere decir que la pri-

mera derivada (la pendiente de la curva) comienza siendo positiva un poco antes de llegar a

ese punto (curva creciente), se anula en ese punto y pasa a hacerse negativa (curva decrecien-

te) al sobrepasar ese punto.

Por eso la primera derivada de la función es decreciente en el entorno de ese punto en que

es igual a cero, y esto es condición suficiente para que ese punto constituya un máximo local

de la función, como puede observarse en la Figura A.2.

¿Qué quiere decir que la segunda derivada de una función es positiva? Pues que la primera

derivada de la función es creciente, es decir, que la pendiente de la curva es creciente a medi-

da que aumenta el valor de la variable independiente, como puede observarse en la Figura

A.3.

y=f(x)

y

x

Figura A.2. Máximo local de una función

Pendiente decreciente

Segunda derivada negativa

Pendiente

igual a cero


Luego si en un punto la primera derivada es igual a cero y en el entorno del punto en que

se anula esta primera derivada, la segunda derivada es positiva, ello quiere decir que la prime-

ra derivada (la pendiente de la curva) comienza siendo negativa un poco antes de llegar a ese

punto (curva decreciente), se anula en ese punto y pasa a hacerse positiva (curva creciente) al

sobrepasar ese punto.

Por eso la primera derivada de la función es creciente en el entorno de ese punto en que es

igual a cero, y esto es condición suficiente para que ese punto constituya un mínimo local de

la función, como puede observarse en la Figura A.3.

A.3. Concavidad y Convexidad de una función

Centrémonos ahora en interpretar el signo de la segunda derivada de una función sin hacer

referencia a los posibles máximos o mínimos locales que pueda tener aquélla. Sino simple-

mente para deducir la forma geométrica a grandes rasgos que tiene la función con fines de

representarla gráficamente.

Supongamos una función creciente, es decir, con la primera derivada positiva. Si la segun-

da derivada es positiva, quiere decir que la pendiente de la curva es creciente a medida que

aumenta el valor de la variable independiente. Entonces decimos que esa curva es convexa

y=f(x)

y

x

Figura A.3. Mínimo local de una función

Pendiente

igual a cero

Pendiente creciente

Segunda derivada positiva


respecto de la parte negativa del eje de ordenadas, o respecto del origen de coordenadas si la

curva está representada en el primer cuadrante de los ejes de coordenadas, es decir, si la va-

riable independiente y función sólo admiten valores no-negativos. Como puede observarse en

la Figura A.4.

Como puede intuirse fácilmente, para afirmar que una curva es convexa estamos emplean-

do una convención. Porque esta misma curva sería cóncava si la miramos desde la parte posi-

tiva del eje de ordenadas, es decir, de arriba a abajo. Ésta es la convención que manejan algu-

nos matemáticos.

Nosotros manejaremos la primera convención, es decir, mirar las curvas de abajo a arriba,

desde la parte negativa del eje de ordenadas, pues es la convención que se maneja normal-

mente dentro del Análisis Económico.

Por eso los economistas decimos frecuentemente que una función con una segunda deri-

vada positiva es convexa respecto del origen de coordenadas, porque normalmente maneja-

mos funciones, como la de la Figura A.4, que se representan en el primer cuadrante de los ejes

y=f(x)

y

x

Figura A.4. Curva convexa respecto del origen de coordenadas

Pendiente positiva

y creciente

Segunda derivada

positiva


de coordenadas, pues tanto la variable independiente como la función toman valores no-

negativos.

En cambio si la segunda derivada de una función es negativa pero la primera derivada es

positiva, estamos ante una función creciente pero cóncava. Como puede observarse en la Fi-

gura A.5. Porque la pendiente de la curva decrece a medida que aumenta el valor de la varia-

ble independiente.

Por otra parte, para agotar la casuística, si la primera derivada de una función es negativa

(curva decreciente) pero la función es convexa (segunda derivada positiva), la pendiente cre-

ce, pero como es negativa, decrece en valor absoluto a medida que aumenta el valor de la va-

riable independiente. Como puede observarse en la Figura A.6.

y=f(x) y

x

Figura A.5. Curva cóncava respecto del origen de coordenadas

Pendiente positiva

y decreciente

Segunda derivada

negativa


Finalmente, si la primera derivada de una función es negativa (curva decreciente) pero la

función es cóncava (segunda derivada negativa), la pendiente decrece, pero como es negativa,

crece en valor absoluto a medida que aumenta el valor de la variable independiente. Como

puede observarse en la Figura A.7.

y=f(x)

y

x

Figura A.6. Curva convexa respecto del origen de coordenadas

Pendiente negativa y

creciente (decreciente

en valor absoluto)

Segunda derivada

positiva

y=f(x) y

x

Figura A.7. Curva cóncava respecto del origen de coordenadas

Pendiente negativa y

decreciente (creciente

en valor absoluto)

Segunda derivada

negativa


Lógicamente si la segunda derivada de la función se anula en un punto, es que en ese pun-

to la función no es ni cóncava ni convexa, sino que se trata de un punto de inflexión de la cur-

va, en el que la función pasa de ser cóncava a convexa, o a la inversa, de convexa a cóncava.

Resumiendo y enlazando con el punto anterior. Para que una función tenga un mínimo lo-

cal en un determinado punto, la primera derivada debe anularse en ese punto, y la curva debe

ser convexa en el entorno de ese punto según la convención que nosotros estamos manejando.

Como puede observarse en la Figura A.3.

Y para que una función tenga un máximo local en un determinado punto, la primera deri-

vada debe anularse en ese punto, y la curva debe ser cóncava en el entorno de ese punto según

la convención que nosotros estamos manejando. Como puede observarse en la Figura A.2.

A.4. Reglas de derivación más elementales

Vamos a repasar brevemente las reglas de derivación más elementales como simple recor-

datorio, para refrescar la memoria de lo que se debió aprender en el bachillerato.

La derivada de una función constante es igual a cero.

Sea la función f(x)=c, donde c es una constante. Su derivada, f’(x)=0.

La derivada de una función f(x)=x es igual a uno.

Sea la función f(x)=x. Su derivada f’(x)=1.

La derivada de la función 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑎, donde a es una constante.

𝑓′(𝑥) = 𝑎𝑥𝑎−1, es decir, la función derivada es igual al exponente a multiplicado por la

variable x que aparece en la base elevada al mismo exponente a menos uno.

Por ejemplo, obtengamos la función derivada de las siguientes funciones f(x): 𝑥2, √𝑥 y

1𝑥⁄ .

𝑓(𝑥) = 𝑥2 ; 𝑓′(𝑥) = 2𝑥2−1 = 2𝑥


𝑓(𝑥) = √𝑥 = 𝑥1 2⁄ ; 𝑓′(𝑥) =1

2𝑥

1

2−1 =

𝑥−1 2⁄

2=

1

2√𝑥

𝑓(𝑥) =1

𝑥= 𝑥−1 ; 𝑓′(𝑥) = −1𝑥−1−1 = −𝑥−2 = −

1

𝑥2

La derivada de la función g(x)=cf(x), donde c es una constante.

𝑔′(𝑥) = 𝑐𝑓′(𝑥), es decir, la función derivada de una constante multiplicada por una fun-

ción f(x) es igual a la constante multiplicada por la derivada de la función f’(x).

Tomemos los siguientes ejemplos de funciones g(x): 5𝑥3 y 3

2𝑥.

𝑔(𝑥) = 5𝑥3 ; 𝑔′(𝑥) = 5 × 3𝑥3−1 = 15𝑥2

𝑔(𝑥) =3

2𝑥=

3

2𝑥−1 ; 𝑔′(𝑥) =

3

2× (−1)𝑥−1−1 = −

3

2𝑥−2 = −

3

2𝑥2

Derivada de una suma o diferencia de funciones

Sea la función y la suma/diferencia de dos funciones f(x) y g(x):

𝑦 = 𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)

La función derivada de y sería igual a la suma/diferencia de las funciones derivadas f’(x) y

g’(x):

𝑦′ = 𝑓′(𝑥) ± 𝑔′(𝑥)

Pongamos los siguientes ejemplos de funciones: 2𝑥 − √2, (𝑥 + 3)(𝑥 − 3) y 𝑥2−1

𝑥.

𝑦 = 2𝑥 − √2 ; 𝑦′ = 2 − 0 = 2

𝑦 = (𝑥 + 3)(𝑥 − 3) = 𝑥2 − 9 ; 𝑦′ = 2𝑥 − 0 = 2𝑥

𝑦 =𝑥2−1

𝑥= 𝑥 −

1

𝑥= 𝑥 − 𝑥−1 ; 𝑦′ = 1 − (−1)𝑥−2 = 1 + 𝑥−2 = 1 +

1

𝑥2


Derivada de un producto de funciones

Sea la función y el producto de dos funciones f(x) y g(x):

𝑦 = 𝑓(𝑥) × 𝑔(𝑥)

La función derivada de y sería igual a la derivada de la primera función f’(x) por la segun-

da función g(x) sin derivar, más la derivada de la segunda función g’(x) por la primera función

f(x) sin derivar:

𝑦′ = 𝑓′(𝑥) × 𝑔(𝑥) + 𝑔′(𝑥) × 𝑓(𝑥)

Por ejemplo, tomemos una función considerada anteriormente y apliquemos la regla del

producto para calcular su derivada:

𝑦 = (𝑥 + 3)(𝑥 − 3)

𝑦′ = 1 × (𝑥 − 3) + 1 × (𝑥 + 3) = 2𝑥

donde 1 es la derivada tanto de 𝑥 + 3 como de 𝑥 − 3, que son dos funciones de la variable x.

Derivada de un cociente de funciones

Sea la función y el cociente de dos funciones f(x) y g(x):

𝑦 =𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)

La función derivada de y sería igual a la derivada de la función del numerador f’(x) por la

función del denominador g(x) sin derivar, menos la derivada de la función del denominador

g’(x) por la función del numerador f(x) sin derivar, dividido todo ello por el cuadrado de la

función que figura en el denominador:

𝑦′ =𝑓′(𝑥) × 𝑔(𝑥) − 𝑔′(𝑥) × 𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)2

Por ejemplo, tomemos una función considerada anteriormente y apliquemos la regla del

cociente para calcular su derivada:


𝑦 =𝑥2 − 1

𝑥

𝑦′ =2𝑥 × 𝑥 − 1 × (𝑥2 − 1)

𝑥2=

2𝑥2 − 𝑥2 + 1

𝑥2=

𝑥2 + 1

𝑥2= 1 +

1

𝑥2

Derivada de la composición de funciones: regla de la cadena

Consideremos la función z=g(y), tal que a su vez la variable y es una función que depende

de la variable x, de la forma y=f(x). Por tanto, podemos escribir:

𝑧 = 𝑔[𝑓(𝑥)]

Entonces la derivada de la función z con respecto de la variable x es el resultado de multi-

plicar la derivada de la función g(y) (la derivada de la función z con respecto a la variable y)

por la derivada de la función f(x) (la derivada de la función y con respecto a la variable x):

𝑧′(𝑥) = 𝑔′(𝑦) × 𝑓′(𝑥) ; 𝑑𝑧

𝑑𝑥=

𝑑𝑧

𝑑𝑦×

𝑑𝑦

𝑑𝑥

Pongamos un ejemplo al respecto tomando la siguiente función de x:

𝑧 = 𝑓(𝑥) = (𝑥2 − 1)5

Apliquemos la regla de la cadena definiendo la siguiente función auxiliar y:

𝑦 = 𝑥2 − 1 ; 𝑧 = 𝑦5

Tendremos entonces que la derivada de la función z respecto de la variable x es el resulta-

do de multiplicar la derivada de la función z respecto de la variable y (5𝑦4) por la derivada de

la función y con respecto a la variable x (2x):

𝑧′ = 5𝑦4 × 𝑦′ = 5(𝑥2 − 1)4 × 2𝑥 = 10𝑥(𝑥2 − 1)4

Por lo que la derivada de la función 𝑓(𝑥) = (𝑥2 − 1)5 resulta ser igual al exponente 5

multiplicado por la función que aparece en la base (𝑥2 − 1) elevada a este exponente menos


uno, que en este caso es 4, y a su vez multiplicado todo ello por la derivada de la función que

aparece en la base (2x).

Derivada de las funciones polinómicas

La derivada de las funciones polinómicas de la forma genérica:

𝑓(𝑥) = 𝑎𝑛𝑥𝑛 + ⋯ + 𝑎1𝑥 + 𝑎0

es elemental, y se deduce inmediatamente aplicando las reglas de derivación más simples que

hemos visto anteriormente:

𝑓′(𝑥) = 𝑛𝑎𝑛𝑥𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1 + 0

Derivada de las funciones logarítmicas

Partamos de la derivada de la siguiente función logarítmica elemental:

𝑓(𝑥) = ln 𝑥 ; 𝑓′(𝑥) =1

𝑥

es decir, la derivada del logaritmo neperiano de la variable x es igual a 1 dividido por la varia-

ble x.

Si aplicamos ahora la regla de la cadena, podemos obtener la derivada de una función lo-

garítmica del mismo estilo pero donde en lugar de la variable x, tal cual, aparezca una función

f(x) más complicada:

𝑔(𝑥) = ln 𝑓(𝑥) ; 𝑦 = 𝑓(𝑥)

𝑔′(𝑥) =1

𝑦𝑦′ =

𝑓′(𝑥)

𝑓(𝑥)

es decir, la derivada de una función g(x) que es el logaritmo neperiano de otra función f(x), es

igual a la derivada de esta última función f’(x) dividida por la función f(x) sin derivar.

Por ejemplo, calculemos la derivada de la siguiente función logarítmica:

𝑓(𝑥) = ln(𝑥3 + 5)6


𝑓′(𝑥) =6(𝑥3 + 5)5 × 3𝑥2

(𝑥3 + 5)6=

18𝑥2(𝑥3 + 5)5

(𝑥3 + 5)6=

18𝑥2

(𝑥3 + 5)

Tomemos ahora una función logarítmica elemental pero empleando logaritmos decimales,

no neperianos como hasta ahora:

𝑓(𝑥) = log 𝑥

La función derivada de esta función logarítmica la podemos deducir fácilmente a partir de

la siguiente igualdad obvia:

10𝑓(𝑥) = 𝑥

Es decir, si la función f(x) es el logaritmo decimal de la variable x, entonces la función f(x)

es, por definición de logaritmo decimal, el exponente al que hay que elevar la base 10 para

obtener el valor de la variable x.

Entonces, si tomamos logaritmos neperianos en esta última expresión, obtendremos:

𝑓(𝑥) ln 10 = ln 𝑥

𝑓(𝑥) = log 𝑥 =ln 𝑥

ln 10

Por lo que la derivada de la función f(x), al ser ln 10 una constante, es inmediata:

𝑓′(𝑥) =1

𝑥 ln 10

En caso de que en lugar de la variable x tuviéramos una función más complicada, el cálcu-

lo de la derivada se haría aplicando la regla de la cadena, como hemos hecho anteriormente

para una función logarítmica neperiana, por lo que aquí podríamos escribir:

𝑔(𝑥) = log 𝑓(𝑥) ; 𝑦 = 𝑓(𝑥)


𝑔′(𝑥) =𝑓′(𝑥)

𝑓(𝑥) ln 10

Derivada de las funciones exponenciales

Calculemos la derivada de una función exponencial elemental a partir del número e:

𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥

Como ya sabemos calcular la función derivada de una función logarítmica, tomemos loga-

ritmos neperianos en esta última función:

ln 𝑓(𝑥) = 𝑥 ln 𝑒 = 𝑥

dado que se cumple que ln 𝑒 = 1, pues, por definición de logaritmo neperiano, ln 𝑒 es el ex-

ponente al que hay que elevar el número e para obtener el número e, y este exponente es ob-

viamente la unidad.

Entonces, si calculamos la derivada de las funciones que aparecen en esta última expresión

tendremos:

𝑓′(𝑥)

𝑓(𝑥)= 1 ; 𝑓′(𝑥) = 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥

Es decir, la función derivada de la función exponencial 𝑒𝑥 es la propia función exponen-

cial.

Si aplicamos ahora la regla de la cadena, podemos calcular la derivada de una función ex-

ponencial del mismo estilo, pero en la que aparezca en el exponente una función más compli-

cada de la variable x y no la propia variable x simplemente:

𝑔(𝑥) = 𝑒𝑓(𝑥) ; 𝑦 = 𝑓(𝑥)

𝑔′(𝑥) = 𝑒𝑦𝑦′ = 𝑒𝑓(𝑥)𝑓′(𝑥)


Es decir, la función derivada de una función exponencial de esta naturaleza es igual a la

propia función exponencial de partida multiplicada por la derivada de la función que aparece

en el exponente.

Consideremos ahora una función exponencial genérica donde en la base no aparezca el

número e sino una constante a, de la siguiente forma:

𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥

Si tomamos logaritmos neperianos en esta expresión resultará:

ln 𝑓(𝑥) = 𝑥 ln 𝑎

Obtengamos la derivada de esta expresión, donde lógicamente ln 𝑎 es una constante. Ten-

dremos:

𝑓′(𝑥)

𝑓(𝑥)= ln 𝑎

De donde despejando obtendremos la siguiente regla de derivación para este tipo de fun-

ciones exponenciales genéricas:

𝑓′(𝑥) = 𝑓(𝑥) ln 𝑎 = 𝑎𝑥 ln 𝑎

Es decir, la función derivada de la función exponencial 𝑎𝑥, es igual a la propia función ex-

ponencial de partida multiplicada por el logaritmo neperiano de la base.

Y si aplicamos la regla de la cadena para funciones exponenciales más complicadas de es-

ta naturaleza, en las que el exponente no es simplemente la variable x sino una función más

complicada f(x), resultará naturalmente la siguiente regla de derivación:

𝑔(𝑥) = 𝑎𝑓(𝑥) ; 𝑦 = 𝑓(𝑥)

𝑔′(𝑥) = 𝑎𝑓(𝑥) ln 𝑎 × 𝑓′(𝑥)

Es decir, la función derivada es igual a la propia función exponencial de partida multipli-

cada por el logaritmo neperiano de la base, y a su vez todo ello multiplicado por la derivada

de la función que aparece en el exponente de la función de partida.


A.5. Función de varias variables: derivación parcial

Sea una función con dos variables independientes, por ejemplo:

𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2𝑥5𝑦8

Se definen las siguientes derivadas parciales de esta función:

𝜕𝑧

𝜕𝑥=

𝜕𝑓(𝑥, 𝑦)

𝜕𝑥= 2 × 5𝑥4𝑦8 = 10𝑥4𝑦8

𝜕𝑧

𝜕𝑦=

𝜕𝑓(𝑥, 𝑦)

𝜕𝑦= 2𝑥5 × 8 𝑦7 = 16𝑥5𝑦7

En cada una de ellas lo que se hace es derivar la función original con respecto a cada una

de las variables, considerando la otra variable como si tratara de un parámetro constante.

Por tanto, las reglas de derivación parcial son las mismas que las que hemos visto para fun-

ciones de una variable.

A.6. Cálculo integral elemental

Del cálculo integral más elemental nos interesa resaltar para nuestros intereses dos cosas:

a) La obtención de la primitiva de una función: Integral Indefinida.

b) El cálculo del área situada debajo de una curva: Integral Definida.

Decimos que la función F(x) es la primitiva de la función ( )y f x , porque esta última

función es la derivada de la primera. Es decir, la función primitiva de una determinada fun-

ción es aquélla cuya derivada coincide con esta última función:

( )

( ) ( )dF x

F x f xdx

Nosotros utilizaremos siempre funciones polinómicas sencillas cuando se trata de obtener

la función primitiva, por ejemplo de la forma genérica by ax .

La función primitiva genérica de esta última función adoptaría la siguiente forma:


1( )1

baF x x k

b

siendo k una constante cualquiera, pues si obtenemos la derivada de esta última función resul-

ta la función de partida, como fácilmente puede comprobar el lector.

El conjunto de funciones primitivas de la función ( )y f x , las cuales se diferencian lógi-

camente unas de otras por el valor que toma la constante k en cada caso, se representa nor-

malmente mediante el símbolo de la integral indefinida de esta función:

( )

( )dF x

f xdx

( ) ( )dF x f x dx ( ) ( ) ( )dF x f x dx F x

Por ejemplo, obtengamos la integral indefinida de la función: 4( ) 2y f x x . Resultará:

4 52( ) 2

5F x x dx x k

que nos indica el conjunto de funciones primitivas de la función original de partida, depen-

diendo del valor que tome la constante k.

Si nosotros conocemos un valor particular de la función primitiva, por ejemplo, que cuan-

do x=0 entonces esta función toma el valor de 7; deduciremos fácilmente que k=7, siendo k la

denominada constante de integración. Y entonces la función primitiva resultante sería en este

caso particular:

52( ) 7

5F x x

En cuanto al cálculo del área situada bajo una curva, que es la representación matemática

de una determinada función, tal como ( )y f x ; por ejemplo, el área aBCb de la Figura A.8.

Lo que tenemos que hacer es sumar las infinitas barras verticales, cada una de ellas consisten-

te en el área de un rectángulo como el que aparece sombreado en la figura, de base dx y de

altura igual al valor que tome la función, dependiente del valor de x que estemos considerando

comprendido dentro del intervalo [a,b].


El resultado de esta suma de infinitas barras verticales rectangulares de base infinitesimal

es el área S situada debajo de la curva, que se obtiene al aplicar la conocida como regla de

Barrow, que consiste en calcular la diferencia del valor que toma la primitiva de la función

f(x) entre los dos puntos extremos del intervalo:

( ) ( ) ( ) ( )

x bb

a

x a

S f x dx F x F b F a

Esto es lo que se conoce como el Teorema Fundamental del Cálculo, que intuitivamente

se puede comprender fácilmente relacionando la obtención de la primitiva de la función f(x)

con el área situada debajo de la curva que representa esta función. Puesto que si F(x) es la

primitiva de f(x), entonces debe cumplirse como hemos visto anteriormente:

( ) ( )dF x f x dx

Pero f(x)dx se puede interpretar como el área de un rectángulo de base dx y altura f(x), es

decir, el área de la barra vertical sombreada de la Figura A.8 por ejemplo. Y esta área se co-

rresponde según la ecuación anterior con un incremento o variación infinitesimal dF(x) de la

función primitiva F(x). Entonces, si sumamos todas las barras verticales comprendidas entre a

y=f(x)

y

x

Figura A.8. Cálculo del área bajo una curva

a b

S

dx

xA

A

f(xA)

B

C


y b, con lo que tenemos el área S situada debajo de la curva f(x), estamos de hecho sumando

los sucesivos incrementos infinitesimales que sufre la función primitiva F(x) entre los dos

puntos extremos del intervalo [𝑎, 𝑏], y esto, obviamente, no es más que la variación o incre-

mento total que sufre la función primitiva F(x) dentro de ese intervalo. Lo que equivale natu-

ralmente a la diferencia del valor que toma la función primitiva en el punto extremo b del in-

tervalo menos el valor que toma en el otro punto extremo a del intervalo, y en esto consiste

precisamente la razón de ser de la regla de Barrow.

A.7. Ecuación de una línea recta que pasa por dos puntos

Consideremos una línea recta que pasa por dos puntos, cuyas coordenadas son respectiva-

mente: 1 1( , )x y y

2 2( , )x y , tal como aparece pintada en la Figura A.9.

Lógicamente, al tratarse de una línea recta su pendiente es constante igual a:

2 1

2 1

y y

x x

y

x

Figura A.9. Ecuación de una línea recta que pasa por dos puntos

x1

x2

y2

A

y1

B

C


que no es más que la tangente del ángulo CAB: cateto opuesto CB (2 1y y ) dividido por cate-

to contiguo AB (2 1x x ).

Por tanto, para cualquier otro punto de coordenadas ( , )x y , situado sobre la línea recta,

debe cumplirse que la pendiente con respecto a cualquiera de los dos puntos anteriores, por

ejemplo el primero, debe ser la misma que obtuvimos antes, por tratarse de la tangente del

mismo ángulo.

Es decir, debe cumplirse que:

1 2 1

1 2 1

y y y y

x x x x

Luego, si conocemos las coordenadas de dos puntos, 1 1( , )x y y

2 2( , )x y , por donde pasa la

línea recta, a partir de esta última expresión podemos obtener la ecuación de la recta en cues-

tión.

Y si conocemos las coordenadas de un punto, por ejemplo 1 1( , )x y , por donde pasa la línea

recta, y el valor de su pendiente , también podemos obtener, a partir de la expresión ante-

rior, la ecuación de la recta:

1 1( )y y x x

En el caso de que y1 sea la ordenada en el origen de la recta, es decir, que esta última pase

por el punto 1(0, )y , entonces la ecuación de la recta se simplifica en relación con la expresión

anterior:

1y y x

APÉNDICE MATEMÁTICO

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