Análisis de estabilidad y bifurcación de Hopf para una ecuación logística con retardo mediante...

Abstraction & Application 10 (2014) 65 − 83 UADY

Analisis de estabilidad y bifurcacion de Hopf para una ecuacionlogıstica con retardo mediante metodos perturbativos

Noe Chan Chıa, Gerardo Emilio Garcıa Almeidab, Eric Jose Avila Valesc

Facultad de Matematicas, Universidad Autonoma de Yucatan, Mexico

[email protected], [email protected], [email protected]

Abstract

In this paper we focus on showing how to determine the direction of the delay induced Hopf bifurcationfor a generalized Hutchinson equation. Taking the delay as a parameter we show that the differentialequation loses its stability and a Hopf bifurcation delay occurs when passing through a critical value.Moreover, the periodic solution that emerges is calculated by perturbative methods. We establish ourresult on the stability of the periodic solutions by calculating the Lindstedt–Poincare series expansionand Floquet multipliers

Resumen

En este artıculo nos enfocamos en mostrar como determinar la direccion de la bifurcacion de Hopfinducida por el retardo en una ecuacion de Hutchinson generalizada. Tomando el retardo como parametromostramos que la ecuacion pierde su estabilidad y una bifurcacion de Hopf ocurre cuando el retardo pasaa traves de un valor crıtico. Mas aun, la solucion periodica que surge de la bifurcacion es calculadamediante metodos perturbativos. Se establecen resultados sobre la estabilidad de la soluciones periodicasmediante el calculo de la expansion en series de Lindstedt–Poincare y los multiplicadores de Floquet.

Keywords and phrases : Ecuaciones diferenciales con retardo, Estabilidad de soluciones periodicas, Metodos perturbativos.

2010 Mathematics Subject Classification : 34E05, 34K13, 34K18, 34K20, 34K27

1. Introduccion

La ecuacion logıstica del crecimiento poblacional ocupa un lugar unico y fascinante en el desarrollo delpensamiento ecologico, la cual fue propuesta en la primera mitad del siglo 19 por el matematico belgaPierre-Francois Verhulst como una solucion potencial al dilema del crecimiento exponencial de Malthus

x′(t) = rx(t)

(1− x(t)

K

),

donde r > 0 es la tasa de crecimiento intrınseco y K (> 0) es la capacidad de carga de la poblacion.La ecuacion logıstica anterior solo asume que la tasa de crecimiento de una poblacion en el tiempo t depende

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66 Analisis de estabilidad y bifurcacion de Hopf

del numero relativo de individuos en ese tiempo. En la practica, el proceso de reproduccion no es instantaneo.Hutchinson propuso la ecuacion logıstica

N ′(t) = rN(t)

(1− N(t− τ)

K

), (1.1)

en la cual r, τ , K son numeros positivos. Donde K representa el nivel de saturacion, r la tasa de reproduccion,

el termino 1− N(t−τ)K denota una densidad dependiente del mecanismo de retroalimentacion el cual toma τ

unidades de tiempo en responder a los cambios en la densidad de poblacion representada por la ecuacion porN . Las propiedades de (1.1) han sido estudiadas por varios autores, en [11] se muestra que para parametrosr y τ tales que rτ < π/2, el punto x = K es localmente asintoticamente estable.Consideramos la siguiente ecuacion, propuesta por Gopalsamy [4] que es un caso mas general y realista quela ecuacion de Hutchinson,

x(t) = rx(t)[1− a1x(t)− a2x(t− τ)], (1.2)

donde a1, a2, r y τ son constantes positivas. Queremos estudiar la estabilidad de las soluciones periodicasque surgen en el punto de bifurcacion. En Sun [13] se dan condiciones bajo las cuales ocurre una bifurcacionde Hopf. Tambien da un algoritmo para determinar la estabilidad de las soluciones periodicas mediante lateorıa de forma normal y el metodo de variedad central.En este artıculo damos resultados similares a los que se dan en [13], sin embargo lo haremos usando diferen-tes metodos, combinamos el metodo de Lindstedt-Poincare [4] y el metodo de Floquet [4]. Sabemos que porsı solo el teorema de bifurcacion de Hopf indica la existencia de las soluciones periodicas pero no la estabili-dad, es por eso que ademas utilizamos el metodo de Lindstedt-Poincare junto con el metodo de Floquet. Sicomparamos los resultados obtenidos usando la variedad central, aunque los calculos siguen siendo extensos,conceptualmente son mas simples pues no tenemos que recurrir a la forma normal, la cual teoricamente esmuy demandante.Este documento esta estructurado de la siguiente manera. En la seccion 2 introducimos los conceptos nece-sarios para la comprension del tema, como el teorema de bifurcacion de Hopf, mostramos un ejemplo del usode metodo de Lindsted-Poincare y tambien introducimos el metodo de Floquet. En la seccion 3 incluimosun teorema acerca de la estabilidad local del punto de equilibrio no trivial de (1.2), que si bien esta probadoen [13], en nuestra prueba damos mas detalles, estableciendo la ocurrencia de la bifurcacion de Hopf para elvalor τ0 y ejemplificamos graficamente los resultados. En la seccion 4, se determina la direccion y el perıodode la solucion periodica que surge de la bifurcacion de Hopf, esto mediante el calculo de la expansion enseries de Lindstedt-Poincare. En la seccion 5 estudiamos la estabilidad de la solucion periodica que surgeen la bifurcacion de Hopf mediante el calculo de los exponentes de Floquet, que tambien es un metodoperturbativo. En la seccion 6 presentamos algunas ilustraciones numericas de los resultados obtenidos.

2. Conceptos Previos

En esta seccion introducimos los conceptos necesarios para la comprension del documento, primero enun-ciamos el teorema de bifurcacion de Hopf para un sistema autonomo de ecuaciones diferenciales. En su formasimple, puede ser expresado como sigue: cuando un parametro real digamos µ en un sistema autonomo deecuaciones diferenciales ordinarias alcanza un valor crıtico digamos µ∗, dos autovalores de la ecuacion li-neal asociada al equilibrio cruzan el eje imaginario mientras que los otros autovalores tienen partes realesnegativas. Tambien ilustramos con un ejemplo el metodo de Lindstedt-Poincare, mediante el cual podemoscalcular de manera aproximada de la solucion periodica que surge en una bifurcacion de Hopf, ası como tam-bien calcular la direccion de la bifurcacion y el periodo de las soluciones periodicas. Tambien es de interes laestabilidad de la solucion periodica, y emplearemos el metodo de Floquet para determinarla.Ahora enunciamos el teorema de bifurcacion de Hopf para ecuaciones diferenciales autonomas de acuerdocon [4].

Considere un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias autonomo

dxidt

= fi(x1, . . . , xn, µ), i = 1, 2, . . . , n

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escrito de forma compacta en notacion de vector,

dx

dt= F (x, µ), (2.1)

donde F se asume analıtica en x y µ para x en un dominio G que contenga al vector cero θ, G ⊂ Rn y para|µ| < α, donde α es una contante positiva.

(i) Suponga que F (θ, µ) = θ para |µ| < α.

(ii) Para µ = 0, la ecuacion caracterıstica asociada con la linealizacion correspondiente a (2.1) en θ tieneun par de raıces imaginarias puras mientras que todas las otras tienen parte real negativa.

(iii) Sean σ(µ) y σ(µ) un par de extensiones continuas conjugadas de las raıces imaginarias puras (σ denotael conjugado de σ) y sea

σ(0) = −σ(0) = 0; Re[σ′(0)] 6= 0. (2.2)

Entonces existe una familia de soluciones periodicas x = x(t, ε), µ = µ(ε) la cual tiene las propiedadesµ(0) = 0, x(t, 0) = θ pero x(t, ε) 6= θ para ε 6= 0 suficientemente pequeno. El periodo T (ε) tambiensatisface T (0) = 2π/|σ(0)|. Tal conjunto {x(t, ε), µ(ε), T (ε)} es unico y la solucion periodica existe solopara µ > 0 o solo para µ < 0 o solo para µ = 0.

Definicion 2.1 Sea p(t) una solucion periodica de (2.1). Sea Γ el camino cerrado x = p(t) en Rn. Lasolucion periodica p(t) se dice que es orbitalmente estable si para cada ε > 0 existe una δ > 0 tal que todasolucion x(t) de (2.1) cuya distancia de Γ es menor que δ para t = 0, esta definida y permanece a unadistancia menor que ε de Γ para todo t ≥ 0. La solucion periodica p(t) se dice que es asintoticamente estable(Γ se dice que es un ciclo lımite) if, ademas, la distancia de x(t) a Γ tiende a cero cuando t→∞.

El teorema de bifurcacion de Hopf ha sido extendido a ecuaciones diferenciales con retardo, ecuacionesintegrodiferenciales y ecuaciones diferenciales parciales por varios autores como Hale [6]. Para encontrar lassoluciones periodicas consideramos tambien la siguiente proposicion demostrada en [4], considerando comoparametro de bifurcacion el retardo τ , ±iσ0 (σ > 0) una raız imaginaria pura de la ecuacion caracterıstica,y un par de soluciones periodicas φ1(t) = sen(σ0t), φ2(t) = cos(σ0t).

Proposicion 2.2 Para cada τ en una vecindad de τ0 existe una familia de un parametro de solucionesperiodicas no triviales z de periodo 2π/σ0 y esta familia puede ser obtenida en la forma

z(s, ε) =εφ+ ε2ω0(s) + ε3ω1(s, ε) + . . .

τ(ε) =τ0 + ε2τ2(ε) + . . .

σ(ε) =1 + εσ1 + ε2σ2(ε) + . . . ,

(2.3)

donde σ(ε) =

(2π

σ0

)/T (ε), ω0 y ω1 son diferenciables en s; ω1(·, ε), τ2(ε), σ2(ε) son continuas en ε para

|ε| < ε0 para algun ε0 > 0. Ademas

〈ω0, φi〉 = 0 = 〈ω1, φi〉 , i = 1, 2 , (2.4)

donde

〈ω0, φi〉 =

∫ 2π/σ0

0

ω0(s)φi(s)ds, i = 1, 2.

Construiremos una solucion periodica de (1.2) usando el metodo de Lindstedt-Poincare, el cual considerael calculo secuencial de soluciones en series de potencias de amplitud ε.


2.1. El metodo de Lindstedt-Poincare

En esta seccion presentamos el algoritmo del metodo de Lindstedt-Poincare, como en [4], para obteneruna aproximacion de la solucion periodica de la bifurcacion. Entre los muchos metodos desarrollados enel estudio de ecuaciones diferenciales ordinarias, el metodo de Lindstedt-Poincare ha sido atractivo desdeel punto de vista matematico. La razon puede ser que este metodo proporciona expansiones asintoticasespecıficas para las variables de estado ademas de proveer informacion del perıodo de la solucion perturbada.El exito de este metodo depende de introducir un parametro “pequeno” en el sistema de ecuaciones. Porejemplo, consideremos la ecuacion logıstica con retardo discreto

u(t) = ru(t)

(1− u(t− h)

K

), (2.5)

donde r, K son constantes positivas y h > 0 es el parametro en terminos del cual se analizara la bifurcacion.Sea

u(t) = K(1 + x(t)).

Sustituyendo en (2.5) obtenemos

x(t) = −rx(t− h)− rx(t)x(t− h). (2.6)

La ecuacion caracterıstica asociada con la linealizacion de (2.6), para detalles de la obtencion de la lineali-zacion ver [3], en el equilibrio x(t) ≡ 0 es

λ = −re−λh. (2.7)

Si 0 < rh < π/2, entonces todas las raıces de (2.7) tienen parte real negativa y si rh = π/2, entonces

(2.7) tiene un par de raıces imaginarias puras λ = ±ir, y Re(dλdh

)λ=ir

= 4r2

4+π2 > 0, lo anterior es un resultadoconocido, para su demostracion puede consultar [11]

y de aquı por la proposicion 2.2,existe una solucion periodica de amplitud pequena cuyo perıodo dependedel parametro h. Para calcular (aproximadamente) la solucion periodica que surge en la bifurcacion de laecuacion no lineal (2.6) procedemos como sigue. Sea

t = hs, x(sh) = y(s) y rh =π

2+ µ, (2.8)

entonces

y(s) = −(π

2+ µ

)[y(s− 1) + y(s)y(s− 1)] . (2.9)

Tomando el cambio de variable

s = (1 + σ)τ y y((1 + σ)τ) = v(τ) (2.10)

y derivando (2.9), obtenemos

v(τ) = −(π

2+ µ

)(1 + σ)

[v

(τ − 1

1 + σ

)+ v(τ)v

(τ − 1

1 + σ

)]. (2.11)

Asumimos la siguiente expansion asintotica en terminos de un parametro de perturbacion ε :

µ = µ2ε2 + µ4ε

4 + . . . (2.12)

σ = σ2ε2 + σ4ε

4 + . . . (2.13)

v(τ) = εv1(τ) + ε2v2(τ) + ε3v3(τ) + . . . (2.14)


Sustituyendo (2.12)-(2.14) en (2.11) obtenemos

d

dτ

{εv1(τ) + ε2v2(τ) + . . .

}=−

{π

2+ ε2

(µ2 + σ2

π

2

)+ . . .

}[{εv1(τ − 1 + σ2ε

2 + . . .)

+ ε2v2(τ − 1 + σ2ε2 + . . .) + ε3v3(τ − 1 + σ2ε

2 + . . .)

}+

{εv1(τ) + ε2v2(τ) + ε3v3(τ) + . . .

}{εv1(τ − 1 + σ2ε

2 + . . .)

+ ε2v2(τ − 1 + σ2ε2 + . . .) + ε3v3(τ − 1 + σ2ε

2 + . . .)

}].

(2.15)

Podemos expandir el lado derecho de (2.15) en potencias de ε por medio de las series de Taylor delas funciones con argumentos con perturbacion. Agrupando y comparando los coeficientes respecto a laspotencias de ε en (2.15) tenemos las siguientes ecuaciones

v1(τ) = −π2v1(τ − 1) (2.16)

v2(τ) = −π2v2(τ − 1)− π

2v1(τ)v1(τ − 1) (2.17)

v3(τ) = −π2v3(τ − 1)− {µ2 + σ2(π/2)}v1(τ − 1) (2.18)

− π

2σ2v′1(τ − 1)− π

2[v1(τ)v2(τ − 1) + v2(τ)v1(τ − 1)].

Note que (2.16) tiene dos soluciones periodicas φ1 y φ2 donde

φ1(τ) = cos(τπ/2) y φ2(τ) = sen(τπ/2)

son de periodo 4 en la variable τ . Consideramos

v1(τ) = cos(τπ/2).

La ecuacion (2.17) se convierte en

v2(τ) + (π/2)v2(τ − 1) = −(π/4)sen(τπ). (2.19)

Como el lado derecho de (2.19) satisface las condiciones (2.4)∫ 4

0

sen(πτ)φ1(τ)dτ = 0 =

∫ 4

0

sen(πτ)φ2(τ)dτ,

(2.19) tiene una solucion no trivial en terminos de polinomios trigonometricos. Tal solucion puede ser en-contrada por el metodo de coeficientes indeterminados lo que nos lleva a

v2(τ) = (1/10)[sen(τπ) + 2 cos(τπ)].

Con lo anterior la ecuacion (2.18) puede simplificarse como

v3(τ) + (π/2)v3(τ − 1) = F (τ, σ2, µ2), (2.20)

dondeF (τ, σ2, µ2) =− [µ+ σ2π/2]sen(τπ/2)− (π2/4)σ2 cos(τπ/2)

− (π/2)[cos(τπ/2)v2(τ − 1) + sen(τπ/2)v2(τ)].

Por la alternativa de Fredholm (Halanay [5]), las condiciones de solubilidad para (2.20) son∫ 4

0

F (τ, σ2, µ2) sen(τπ/2)dτ = 0,∫ 4

0

F (τ, σ2, µ2) cos(τπ/2)dτ = 0.


Evaluando las integrales anteriores obtenemos dos ecuaciones lineales algebraicas en σ2 y µ2 dadas por

−σ2π − 2µ2 +3

20π = 0 (2.21)

− 1

20π(10πσ2 − 1) = 0. (2.22)

Resolviendo (2.21) y (2.22) para µ2 y σ2 obtenemos

σ2 = 1/(10π), µ2 = [(3π − 2)/40].

Notemos que σ2 y µ2 nos indican el perıodo y la direccion de la bifurcacion de acuerdo al teorema debifurcacion de Hopf.

Ahora bien como

rh = π/2 + µ ≈ (π/2) + µ2ε2 ≈ (π/2) +

(3π − 2

40

)ε2,

entonces

ε ≈(

[rh− π/2]40

3π/2

)1/2

y de aquı

v(τ) ≈(

[rh− π/2]40

3π − 2

)1/2

cos(τπ/2) +1

10[rh− π/2]

40

3π − 2[sen(τπ) + 2 cos(τπ)]. (2.23)

De (2.8) y (2.10), tenemos

τ =t

h(1 + σ)≈ t

h(1 + σ2ε2)≈ t

h(

1 +(

110π

) [rh−π/2]403π−2

) . (2.24)

Por tanto, una aproximacion a la solucion periodica de la bifurcacion, donde rh > π/2 y rh − π/2 espequeno puede ser obtenida de la forma

u(t) ' K[1 + v(τ)],

donde τ y t estan relacionados por (2.24). Los calculos anteriores para (2.23) y (2.24), pueden hacerse porotros metodos, por ejemplo, la teorıa de variedad central y el metodo del promedio.

En resumen, para implementar el metodo es necesario proponer una expansion en series adecuada parala solucion de la ecuacion diferencial y para los parametros de los que depende el valor de la bifurcacion.El objetivo de la perturbacion es obtener una ecuacion mas sencilla con respecto a la original para poderaproximar la solucion.

2.2. Estabilidad de la solucion periodica bifurcada

Para los resultados de estabilidad de la solucion periodica puede consultar para mas detalle Gopalsamy [4],a continuacion escribimos el ejemplo de Gopalsamy a fin de ilustrar las ideas para determinar la estabilidadde las soluciones periodicas.

Considere una solucion periodica z(s, ε), de periodo 2π/σ0, de

σ(ε)dy(s)

ds+ ay(s) + by(s− στ) = f(y(s), y(s− στ)) (2.25)

dada porz(s, ε) = εϕ(s) + ε2ω0(s) + ε3ω1(s, ε)


para |ε| < ε0. Considere tambien las siguientes expresiones para σ(ε) y τ(ε) como sigue:

σ(ε) =1 + ε2σ2(ε)

τ(ε) =τ0 + ε2τ2(ε).

Para iniciar con la investigacion de la estabilidad de esta solucion consideramos algunas definiciones preli-minares. Sea C el espacio lineal de funciones continuas

C = {h|h : [−σ(ε)τ(ε), 0] 7→ R}

dotado con la norma || · || definida por

||h|| = suph∈C{|h(θ)|,−σ(ε)τ(ε) ≤ θ ≤ 0}.

Al ser autonoma la ecuacion (2.25), cuando z(s, ε) es una solucion periodica de (2.25) con periodo 2π/σ0,{z(s+ ξ, ε), 0 ≤ ξ < 2π/σ0} tambien es solucion. Por tanto podemos definir V ⊂ C por

V = {z(s+ ξ, ε) ∈ C|0 ≤ ξ ≤ 2π/σ0}.

Entonces V es compacto en C pues V esta definido por un mapeo continuo de [0, 2π/σ0] en C. En el espaciofase C, si identificamos las soluciones que solo difieren por una traslacion en la variable s, entonces V sera unatrayectoria cerrada. Notemos que una trayectoria cerrada V ⊂ C se dice que es asintoticamente estable siexiste una vecindad N de V tal que ψ ∈ N implica que

dist.{yψ(s), V } → 0 cuando s→∞,

donde yψ(s) es una solucion de (2.25) con yψ(0) = ψ y

dist.(ψ, V ) = mın{||ψ − Z||, Z ∈ V }.

Una trayectoria cerrada en V se dice que es asintoticamente estable con fase asintotica si es asintoticamenteestable y dado ψ ∈ N existe una constante n = n(ψ) tal que

||yψ(s)− z(s+ n, ε)|| → 0 cuando s→∞.

Para investigar la estabilidad asintotica de v(τ, s), sustituimos

y(s, ε) = z(s, ε) + v(s, ε)

en (2.25). Tal cambio de variable nos lleva a un sistema variacional

σ(ε)dv(s, ε)

ds+ av(s, ε) + bv(s− στ, ε) = fx(z(s, ε), z(s− στ, ε))v(s, ε) + fy(z(s, ε), z(s− στ, ε))v(s− στ, ε),

(2.26)La estabilidad de z(s, ε) esta determinada por la estabilidad de la solucion cero de v(s, ε) = 0 de (2.26).Por tanto, tenemos que estudiar el comportamiento de las soluciones v(s, ε) de (2.26) cuando τ → ∞.Para estudiar (2.26) usaremos la tecnica de Floquet, bien conocida para ecuaciones diferenciales ordinariasperiodicas; esta tecnica ha sido usada por varias autores (ver Crandall y Rabinowitz [1], Sattinger [10]). Latecnica de Floquet la cual ha sido extendida a ecuaciones diferenciales funcionales por Stokes [12].

Buscaremos soluciones de la forma

v(s, ε) = q(s, ε) exp(η(ε)s), (2.27)

donde q es periodica en s con perıodo 2π/σ0; los numeros η(ε) los cuales pueden ser complejos son conocidoscomo exponentes de Floquet y los numeros exp[(2π/σ0) η(ε)] son conocidos como multiplicadores de Floquet.El signo de la parte real de η(ε) determinara cuando o no v(s, ε)→ 0 cuando s→∞ y de aquı la estabilidadde la solucion trivial de (2.26).


3. Analisis de estabilidad y bifurcacion de Hopf

Primero hallemos los puntos de equilibrio de (1.2), para ello se buscamos soluciones constantes x(t) = x :

rx[1− a1x− a2x] = 0.

Resolviendo la ecuacion anterior obtenemos los puntos de equilibrio x0 = 0 y

x∗ =1

a1 + a2. (3.1)

La ecuacion caracterıstica de (1.2) en x0, obtenida mediante la linealizacion, es

λ− r = 0,

como vemos el autovalor es λ = r > 0, por tanto este equilibrio es inestable.En el equilibrio x∗ la ecuacion caracterıstica es

λ+ ra11

a1 + a2+ ra2

1

a1 + a2e−λτ = λ+ rx∗(a1 + a2e−λτ ) = 0. (3.2)

Notemos que cuando τ = 0 de la ecuacion (3.2) obtenemos la ecuacion

λ+ rx∗(a1 + a2e−λτ ) = λ+ rx∗(a1 + a2) = λ+ r = 0

con autovalor λ = −r que es negativo, pues r > 0, por tanto el equilibrio x∗ es asintoticamente estable.

El siguiente teorema establece la estabilidad de la solucion de equilibrio en terminos de la relacion de lasconstantes a1 y a2 de (1.2).

Teorema 3.1 Considerando la relacion entre las constantes a1 y a2 de (1.2) podemos establecer lo siguiente:

(i) Si a1 ≥ a2, entonces el punto de equilibrio x∗ =1

a1 + a2es asintoticamente estable para todo retardo

τ ≥ 0.

(ii) Si a1 < a2, entonces hay un valor crıtico τ0 dado por

τ0 =a1 + a2

r√a22 − a21

arcsen

(a22 − a21a2

)

tal que x∗ =1

a2 + a1es estable cuando τ ∈ [0, τ0) e inestable cuando τ > τ0. Una bifurcacion de Hopf

ocurre cuando τ pasa por τ0.

Demostracion Para (i) primero consideremos el caso en que λ es real y a1 ≥ a2 y escribamos la ecuacioncaracterıstica como

λ+ rx∗a1 = −rx∗a2e−λτ

y considerando f1(λ) = λ+ rx∗a1 y f2(λ) = −rx∗a2e−λτ , veamos que estas funciones no se intersectan paraλ ≥ 0, cuando λ = 0, f1(0) = rx∗a1 > f2(0) = −rx∗a2, pues a1, a2, r y x∗ son positivos, y cuando λ → ∞f1(λ) → ∞ y f2(λ) → 0, por tanto f1(λ) y f2(λ) no se intersectan y ası la ecuacion (3.2) no puede tenerraıces reales positivas.Para el caso en que λ es complejo procedamos por contradiccion, es decir, supongamos que a1 ≥ a2 y paraalgun τ∗ > 0 el equilibrio x∗ es inestable, es decir, la parte real de alguna raız de la ecuacion caracterısticaes positiva, pero para que esto ocurra, por la continuidad de las raıces debe ocurrir en algun momento quela raız λ tiene parte real cero, siendo de la forma λ = iω0, con ω0 > 0. Veamos las implicaciones de suponer


λ = iω0:Como λ satisface (3.2) tenemos que

iω0 + rx∗(a1 + a2e−iω0τ∗) = iω0 + rx∗(a1 + a2(cos(ω0τ

∗)− isen(ω0τ∗))) = 0. (3.3)

Separando (3.3) en parte real e imaginaria obtenemos el sistema siguiente

rx∗(a1 + a2 cos(ω0τ∗)) = 0 (3.4)

ω0 − a2rx∗sen(ω0τ∗) = 0. (3.5)

Escribiendo (3.4) y (3.5) como

rx∗a1 = −a2rx∗ cos(ω0τ∗)

ω0 = a2rx∗ sin(ω0τ∗).

Elevando al cuadrado ambos lados y luego sumando las igualdades anteriores obtenemos

ω20 + (rx∗a1)2 = (a2rx∗)

2 cos2(ω0τ∗) + (a2rx∗)

2 sin2(ω0τ∗) = (a2rx∗)

2,

dado que cos2(ω0τ∗) + sin2(ω0τ

∗) = 1, despejando ω0 de la igualdad anterior obtenemos

ω20 = (a22 − a21)r2x2∗. (3.6)

Si a1 ≥ a2, la igualdad anterior nos lleva a que ω20 ≤ 0 ya que a22 − a21 ≤ 0, lo cual es una contradiccion, por

lo tanto (3.2) no puede tener raıces imaginarias puras cuando a1 ≥ a2. Como λ = 0 no es una raız de (3.2) yx∗ es asintoticamente estable cuando τ = 0, se sigue de un resultado de Ruan y Wei [9] (corolario 2.4), queestablece que cuando τ varia la suma de los ordenes de los ceros de la ecuacion caracterıstica en el semiplanoderecho abierto puede cambiar solo si un cero aparece o cruza el eje imaginario, que todas las raıces de laecuacion caracterıstica (3.2) tienen partes reales negativas. Entonces el equilibrio positivo es asintoticamenteestable para todo retardo τ ≥ 0.Para ejemplificar el resultado anterior, es decir, que si a1 ≥ a2 el sistema es incondicionalmente estable,consideremos r = 1, a1 = 3, a2 = 2 y τ con los valores 2, 6, 10, con estos valores obtenemos la figura 1, quecomo vemos numericamente el equilibrio se mantiene estable para estos valores del retardo.

Para mostrar (ii) retomemos la igualdad (3.6), si a1 < a2 entonces podemos hallar el valor de ω0 en elcual se obtiene un par de raıces imaginarias puras de la ecuacion caracterıstica, λ = iω0, donde ω0 es

ω0 = rx∗

√(a22 − a21). (3.7)

Sustituyendo (3.7) en (3.5) obtenemos los valores crıticos de τ donde se presenta una raız imaginaria pura,estos valores son

sen(ω0τ) =−ω0

−a2rx∗=

√a22 − a21a2

.

Despejando τ obtenemos

τ0 =1

ω0

[arcsen

(√a22 − a21a2

)].

Para verificar que en este punto se presenta una bifurcacion de Hopf, veamos la direccion de la parte realcuando se presenta una raız imaginaria pura [11]. Para ello consideremos λ0(τ) = α0(τ) + iω0(τ) una raız dela ecuacion caracterıstica de (3.2) cerca de τ = τ0, tal que α0(τ0) = 0, ω0(τ0) = ω0. Derivando la ecuacioncaracterıstica respecto a λ tenemos

dλ

dτ= a2rx∗e

−λτ(λ+ τ

dλ

dτ

)⇒ dλ

dτ(1− a2rx∗e−λττ) = a2rx∗e

−λτλ.

Ası (dλ

dτ

)−1=

eλτ

a2rx∗λ− τ

λ.


(a) τ = 2 (b) τ = 6

(c) τ = 10

Figura 1: Ilustraciones numericas del inciso (i) del teorema 1 con r = 1, a1 = 3, a2 = 2. El equilibrio semantiene estable para todo τ ≥ 0.

Ahora veamos la direccion o el signo de la parte real de la raız

signo

(dα0(τ)

dτ

∣∣∣∣τ=τ0

)= signo

(<(dλ

dτ

)−1 ∣∣∣∣τ=τ0

)

= signo

(<(

eλτ

a2rx∗λ− τ

λ

) ∣∣∣∣τ=τ0

)

= signo

(<(

eiω0τ0

a2rx∗iω0− τ0iω0

))= signo

(<(

cos(ω0τ0) + i sen(ω0τ0)

ia2rx∗ω0− τ0iω0

))= signo

(sin(ω0τ0)

a2rx∗ω0

)= signo

(1

a22r2x2∗

)= 1,

lo anterior implica que la raız λ0(τ) de la ecuacion caracterıstica (3.2) cerca de τ0 cruza el eje imaginario deizquierda a derecha cuando τ continuamente varıa de un numero menor que τ0 a un numero mayor que τ0por el teorema de Rouche [11]. �

Para ejemplificar el resultado anterior consideremos a1 = 1, a2 = 2, r = 3, con estos valores el valorcrıtico τ0 = 0.6046 y x∗ = 1/3, para ilustrar los cambios de estabilidad consideramos los retardos τ1 = 0.5,τ2 = 1 y τ3 = 1.5. Las soluciones obtenidas numericamente se muestran en la figura 2. Se puede ver quecuando el retardo toma un valor menor a τ0 la solucion es estable, y con un valor mayor a τ0 comienza a serinestable. En τ = 1.5 la solucion es inestable.


(a) τ = 0.5

(b) τ = 1 (c) τ = 1.5

Figura 2: Ilustracion del teorema 1 inciso (ii) con r = 3, a1 = 1, a2 = 2 y distintos valores de τ. (a) muestrala estabilidad de la solucion. En (b) y (c) la solucion pierde la estabilidad al ser τ > τ0 = 0.6046.

4. Direccion y perıodo de las soluciones periodicas surgidas de labifurcacion

En la seccion anterior, obtuvimos las condiciones necesarias para que se presente una bifurcacion deHopf en el valor crıtico τ0. En esta seccion estamos interesados en determinar la direccion y el perıodo dela soluciones periodicas que surgen de la bifurcacion cuando τ = τ0. Usaremos el teorema de Bifurcacion deHopf [11] y seguiremos las ideas del metodo perturbativo usado en [2].

En nuestro caso consideraremos como parametro el retardo τ . Transformando la ecuacion (1.2) medianteel cambio x(t) = u(t) + x∗, obtenemos

u = r(u+ x∗)(1− a1u− a1x∗ − a2uτ − a2x∗)= −au− buτ − cu2 − duuτ .

(4.1)

Note que en la igualdad anterior usamos el equilibrio (3.1) para simplificar.Reescalando la variable t con s = ω(ε)t, tenemos que

du

ds

ds

dt= ω(ε)

du

ds,

ası la ecuacion (4.1) queda como

ωu+ au+ buτ + cu2 + duuτ = 0, (4.2)

donde a = a1rx∗, b = a2rx

∗, c = a1r y d = a2r.La solucion de (4.2) puede ser expresada como una serie asintotica

u(s, ε) ∼ εu0(s) + ε2u1(s) + ε3u2(s) + . . . (4.3)


Ahora perturbamos la frecuencia ω y el retardo τ como

ω = ω(ε) = ω0 + ε2ω2 + . . .

τ = τ(ε) = τ0 + ε2τ2 + . . .(4.4)

Notemos que la determinacion de τ2 y ω2 es de interes particular.Considerando (4.3) y (4.4) podemos expresar a u(s− ωτ) como

u(s− ωτ) = εu0(s− ωτ) + ε2u1(s− ωτ) + ε3u2(s− ωτ) + . . . (4.5)

dondeui(s− ωτ) = ui(s− ω0τ0)− u′i(s− ω0τ0)[ε2(ω2τ0 + ω0τ2) + . . .].

Sustituyendo (4.3), (4.4) y (4.5) en (4.2) obtenemos

(ω0 + . . .)(εu0(s) + ε2u1(s) + . . .) + a(εu0(s) + ε2u1(s) + . . .)

+b(εu0(s− ωτ) + ε2u1(s− ωτ) + . . .) + c(εu0(s) + ε2u1(s) + . . .)2

+d(εu0(s) + ε2u1(s) + . . .)(εu0(s− ωτ) + ε2u1(s− ωτ) + . . .) = 0

(4.6)

y agrupando respecto a las potencias de ε, obtenemos ecuaciones para hallar funciones ui. La ecuacionobtenida de los terminos de O(ε) es

ωu0(s) = −au0(s)− bu0(s− ω0τ0). (4.7)

Proponemos como solucionu0(s) = A1 cos(s), (4.8)

sustituyendo esto en (4.7), obtenemos

−ω0A1 sen(s) =− aA1 cos(s)− bA1 cos(s− ω0τ0)

=− aA1 cos(s)− bA1 cos(ω0τ0) cos(s)− bA1 sen(ω0τ0) sen(s).

Comparando los coeficientes de cos(s) y sen(s) obtenemos el siguiente sistema, que nos da las condicionessobre A1 para que u0(s) sea solucion.

−ω0A1 + bA1 sen(ω0τ0) = 0

aA1 + bA1 cos(ω0τ0) = 0.

Cancelando A1 del sistema anterior, obtenemos

−ω0 + b sen(ω0τ0) = 0

a+ b cos(ω0τ0) = 0,(4.9)

que es precisamente el sistema (3.4), (3.5) por lo tanto ω0 =√b2 − a2 y τ0 = (1/ω0) arc sen(ω0/b). Ası la

solucion es u0(t) = A1 cos(s) con A1 libre.Para hallar la funcion u1(s) consideramos los terminos O(ε2) de (4.6), obteniendo la ecuacion diferencial

ω0u1(s) + ω1u0(s) + au1(s) + bu1(s− ω0τ0) + cu20(s)

+du0(s)u0(s− ω0τ0) = 0,(4.10)

el sustituir los terminos conocidos y simplificar las expresiones resultantes, nos lleva a proponer como solucionpara (4.10)

u1(s) = B1 cos(2s) +B2sen(2s) +B3 cos(s) +B4sen(s) +B5. (4.11)

Al sustituir (4.8), (4.11) en (4.10) y agrupando respecto a cos(2s), sen(2s), cos(s), sen(s) y los terminosindependientes e igualando a cero los coeficientes obtenemos los siguientes sistemas para determinar Bi,i = 1, ..., 5.


Con los coeficientes de sen(2s) y cos(2s) obtenemos el sistema

cA21

2+cA2

1

2cos(ω0τ0) + 2B2ω0 +B1a+B1b cos(2ω0τ0)−B2bsen(2ω0τ0) = 0

dA21

2sen(ω0τ0)− 2B1ω0 +B2a+B1bsen(2ω0τ0) +B2b cos(2ω0τ0) = 0.

Con los coeficientes de sen(s) y cos(s) obtenemos el sistema

−B3ω0 +B4a+B3bsen(ω0τ0) +B4b cos(ω0τ0) = 0

B4ω0 +B3a+B3b cos(ω0τ0)−B4bsen(ω0τ0) = 0

y los terminos independientes son

cA21

2+dA2

1

2cos(ω0τ0) +B5a+B5b = 0.

Notemos que de (4.9) tenemos sen(ω0τ0) = ω0/b, cos(ω0τ0) = −a/b, sen(2ω0τ0) = −2aω0/b2 y cos(2ω0τ0) =

(a2 − ω20)/b2. Resolviendo los sistemas anteriores tenemos que

B1 =A2

1(a1 − a2)

x∗(4a1 − 5a2), B2 =

A21(2a1 − a2)

√a22 − a21

2x∗(4a21 − a1a2 − 5a22), B5 = 0,

y del sistema formado por lo coeficientes de cos(s) y sen(s), tenemos que B3, B4 son libres.

Ahora consideremos los terminos O(ε3) de (4.6), con estos obtenemos la ecuacion

ω0u2(s) + ω2u0(s) + au2(s)− bu′0(s− ω0τ0)(ω0τ2 + ω2τ0)

+bu2(s− ω0τ0) + 2cu0(s)u1(s) + du0(s)u1(s− ω0τ0)

+du1(s)u0(s− ω0τ0) = 0.

(4.12)

Al sustituir los terminos conocidos en (4.12) y simplificar proponemos como solucion

u2(t) =C1 sen(s) + C2 cos(s) + C3 sen(2s) + C4 cos(2s) + C5 sen(3s) + C6 cos(3s) + C7. (4.13)

Sustituyendo (4.8), (4.11), (4.13) en (4.12), la igualdad se satisface si los coeficientes de sen(ns) y cos(ns),para n=1,2,3 y el termino que independiente son iguales a cero, al formar los coeficientes de sen(s) y cos(s)obtenemos el sistema que involucra ω2 y τ2, este sistema es

−ω2A1 + bA1ω0τ2 cos(ω0τ0) + bA1ω2τ0 cos(ω0τ0) + cA1B2

+dA1B1sen(2ω0τ0)

2+dA1B2 cos(2ω0τ0)

2+dA1B2 cos(ω0τ0)

2

−dA1B1sen(ω0τ0)

2− ω0C2 + aC1 + bC1 cos(ω0τ0) + bC2(senω0τ0) = 0

aA1 − bA1ω0τ2sen(ω − 0τ0)− bA1ω2τ0sen(ω0τ0) + cA1B1

+dA1B1 cos(2ω0τ0)

2− dA1B2sen(2ω0τ − 0)

2+dA1B1 cos(ω0τ0)

2

+dA1B2sen(ω0τ0)

2+ ω0C1 + aC2 − bC1sen(ω0τ0) + bC2 cos(ω0τ0) = 0.

Para resolver el sistema anterior, ademas usamos (4.9) y los valores para a, b, c y d de (4.2), teniendo ası

τ2 =1

4 (4a21 − a1a2 − 5a22)ω20(x∗)3a2r

τ∗2

ω2 =−√a22 − a21

4ω0a2r(x∗)3(a1 − a2)(a1 + a2)(4a1 − 5a2)ω∗2 ,


donde

τ∗2 =− 2A21a

21ω

20 + 2A2

1a41r

2(x∗)2 + 2a31r2A2

1(x∗)2a2 − 2a21r2A2

1(x∗)2a22

− 2a1r2A2

1(x∗)2a32 + 2A21a

22ω

20 − 4a21r

2(x∗)4a22 − 20a1r2(x∗)4a32

+ 16a31r2(x∗)4a2 − 2τ0A

21ω

20(x∗)2ra32 + 2a41τ0r

3(x∗)3A21a2

+ 2a31τ0A21ω

20x∗r − 2a31τ0r

3(x∗)3A21a

22 − 2a21τ0r

3(x∗)3A21a

32

+ 16a41τ0r3(x∗)5a2 − 4a31τ0r

3(x∗)5a22 − 20a21τ0r3(x∗)5a32

+ 2a21τ0A21ω

20x∗ra2 − 2a1τ0a

21ω

20x∗ra22 + 2a31τ0

√a22 − a21r2(x∗)2a21ω0

+ 2τ0r3(x∗)3A2

1a51 + 4a21

√a22 − a21A2

1ω0x∗r −

√a22 − a21A2

1ω0x∗ra2

− τ0√a22 − a21A2

1ω30a2 + 2a1τ0

√a22 − a21A2

1ω30

− a21τ0√a22 − a21r2(x∗)2a2A1ω0

ω∗2 =2a41r2(x∗)2A2

1ω0 − 2a41

√a22 − a21r3(x∗)3A2

1 − 16a21

√a22 − a21r3(x∗)5a2

− 3a31r2(x∗)2a2A

21ω0 + a21r

2(x∗)2A21ω0a

22 + 2a21A

21ω

30

+ 20a21

√a22 − a21r3(x∗)5a22 − 2a1

√a22 − a21rx∗A2

1ω0

+ 2a21

√a22 − a21r3(x∗)3A2

1a22 − 3A2

1ω30a1a2 + 2

√a22 − a21rx∗A2

1a22ω0

+A21ω

30a

22.

Despues de encontrar los valores de los parametros perturbados, podemos escribir la solucion aproximadade (4.1) como

u(s) =

√τ − τ0τ2

u0(s) +

(τ − τ0τ2

)u1(s) + · · · (4.14)

donde u0(s) y u1(s) son dados en las ecuaciones (4.8) y (4.11) respectivamente y τ ≈ τ0 + ε2τ2.

De acuerdo a la seccion 2 τ2 determina la direccion de la bifurcacion de Hopf y ω2 el periodo de lassoluciones periodicas que surgen de la bifurcacion.

5. Estabilidad de las soluciones periodicas surgidas de la bifurca-cion de Hopf

Ahora estudiamos la estabilidad local de la solucion periodica que surge de la bifurcacion de Hopf,calculando los exponentes de Floquet. Primero reescribimos la solucion de (4.14) en la siguiente forma

U(s, ε) = εu0(s) + ε2u1(s) + ε3u2(s) + . . . = εu(s).

Para estudiar la estabilidad de la solucion, consideramos la correspondiente expansion de series de Lindstedt–Poincare. Sea x = εu+Z una solucion de (4.2) con Z una variacion de la solucion periodica εu. Sustituyendox en (4.2) tenemos

ωd

ds(εu+ Z) =r(εu+ Z + x∗)(−εa1u− a1Z − εa2uτ − a2Zτ )

=r(εu+ x∗)(−εa1u− εa2uτ − a1Z − a2Zτ )

+ rZ(−εa1u− εa2uτ − a1Z − a2Zτ )

=r(εu+ x∗)(−εa1u− εa2uτ ) + r(εu+ x∗)(−a1Z − a2Zτ )

+ rZ(−εa1u− εa2uτ − a1Z − a2Zτ ).


Como εu es solucion de (4.2) la ecuacion anterior puede simplificarse a

ωdZ

ds=(−2εra1u− ra1x∗ − εa2ruτ )Z

(−εra2u− ra2x∗)Zτ + (−ra1Z2 − ra2ZZτ ).

Considerando solamente lo terminos lineales de la expresion anterior tenemos

ωdZ

ds= (−2εra1u− ra1x∗ − εa2ruτ )Z + (−εra2u− ra2x∗)Zτ . (5.1)

Ya que εu es solucion de (4.2), tambien,

εωdu

ds= r(εu+ x∗)(−εa1u− εa2uτ ),

cancelando ε y derivando de ambos lados respecto a s tenemos

ωd

ds

du

ds= r

[(−a1εu− a2εuτ )

du

ds+ (εu+ x∗)

(−a1

du

ds− a2

duτds

)]= (−ra1x∗ − 2εra1u− εra2uτ )

du

ds+ (−ra2x∗ − εra2u)

duτds

.

(5.2)

Esto muestra que du/ds es tambien una solucion de la ecuacion (5.1). Tomando a = a1rx∗, b = a2rx

∗,c = a1r, d = a2r, podemos escribir (5.1) y (5.2) como

ωdZ

ds= (−2εcu− a− εduτ )Z + (−εdu− b)Zτ (5.3)

ωd

ds

du

ds= (−a− 2εcu− εduτ )

du

ds+ (−b− εdu)

duτds

. (5.4)

Para estudiar la estabilidad de esta solucion periodica, calculamos el exponente de Floquet. Sea

Z = eηsq(s), (5.5)

donde q(s) es 2π periodica en s. Llamamos a η el exponente de Floquet y a e2πη el multiplicador de Floquet.La estabilidad de la solucion trivial de (5.1) dependera del signo de la parte real de η.

Iniciamos perturbando η comoη = εη1 + ε2η2 + · · · (5.6)

Nuestra tarea es encontrar un valor aproximado a η obteniendo η1 y η2. Con este fin buscamos una solucionq(s) de la forma

q(s) = h(ε)du

ds+ q0(s) + εq1(s) + ε2q2(s) + · · ·

= h(ε)du

ds+ q(s),

(5.7)

donde qi(s) es 2π periodica en s, y

q(s) = q0(s) + εq1(s) + ε2q2(s) + · · ·h(ε) = h0 + εh1 + ε2h2 + · · · .

(5.8)

Ahora sustituyendo (5.5) en (5.3)

ωd (eηsq(s))

ds= (−2εcu− a− εduτ )eηsq(s) + (−εdu− b)eη(s−ωτ)q(s− ωτ).

Simplificando la expresion anterior obtenemos

ωdq(s)

ds+ ωηq(s) = (−2εcu− a− εduτ )q(s) + (−b− εdu)e−ηωτq(s− ωτ). (5.9)


Sustituyendo (5.7) en (5.9) y simplificando resulta

ωh(ε)d

ds

(du

ds

)+ ω

dq

ds+ ωηh(ε)

du

ds+ ωηq(s)

= (−2εcu− a− dεuτ )h(ε)du

ds+ (−2εcu− a− dεuτ )q(s)

+(−b− dεu)h(ε)e−ωητduτds

(−b− dεu)e−ωητ q(s− ωτ),

(5.10)

dondeq(s− ωτ) = q0(s− ωτ) + εq1(s− ωτ) + ε2q2(s− ωτ) + · · ·

y para cada iqi(s− ωτ) =qi(s− ω0τ0)− q′i(s− ω0τ0)[ε2(ω2τ0 + ω0τ2) + · · · ]

+ q′′i (s− ω0τ0)[ε2(ω2τ0 + ω0τ2) + · · · ]2 + · · ·

Sustituyendo (5.4) en (5.10) tenemos

ωdq

ds+ ωηh(ε)

du

ds+ ωηq(s) =h(ε)(b+ εdu)

duτds

+ h(ε)(b+ εdu)e−ηωτduτds

+ (−2εcu− a− dεuτ )q(s) + (−b− εdu)e−ηωτ q(s− ωτ)(5.11)

Finalmente sustituimos la siguiente serie

e−ηωτ = exp{−(εη1 + ε2η2 + · · · )(ω0 + ε2ω2 + · · · )(τ0 + ε2τ2 + · · · )

}=1− εη1τ0ω0 + ε2

(1

2η21ω

20τ

20 − η2ω0τ0

)+O(ε3)

y (5.8) en (5.11). Tambien sustituimos ω1 = τ1 = 0 (resultados del metodo de Lindstedt-Poincare) en lasseries que forman (5.11) y comparamos los coeficientes de ε0, ε y ε2 para obtener ecuaciones que nos ayudana encontrar los valores qi(s) y hi(s).Caso O(1)La ecuacion obtenida es

ω0q0(s) = −aq0(s)− bq0(s− ω0τ0).

Como vimos antes la solucion en q0(s) = A1 sen(s), con A1 libre,

ω0 =√b2 − a2, τ0 =

1

ω0asen

(ω0

τ0

).

Caso O(ε)La ecuacion es

ω0q1(s) + ω0η1q0(s)− h0bu0(t− ω0τ0) + h0du0(t− ω0τ0)

aq1(s) + bq1(s− ω0τ0)− bη1τ0ω0q0(s− ω0τ0) = 0,

dondeω0η1q0(s) = ω0η1A1 cos(s)

−h0bu0(s− ω0τ0) = hobA1 cos(ω0τ0) sen(t)− h0bA1 sen(ω0τ0) cos(t)

h0du0(s− ω0τ0) = −hodA1 cos(ω0τ0) sen(t) + h0dA1 sen(ω0τ0) cos(t)

−bη1τ0ω0q0(s− ω0τ0) = −bη1τ0ω0A1 cos(ω0τ0) cos(s) + bη1τ0ω0 sen(ω0τ0) sen(s).

Como sen(s) y cos(s) son solucion de

ω0q1(s) = −aq1(s)− bq1(s− ω0τ0),

si sus coeficientes son distintos de cero se generan terminos seculares, es decir terminos que al involucrar εtse vuelven significantes y afectan significativamente la precision de la aproximacion para valores grandes de


t. Para una mayor explicacion acerca los terminos seculares se pueden consultar las referencias [7] y [8]. Paraevitarlos imponemos las condiciones

ω0η1A1 − bη1τ0ω0A1

(−ab

)− h0bA1

(ω0

b

)+ h0dA1

(ω0

b

)= 0

bη1ω0τ0A1

(ω0

b

)+ h0bA1

(−ab

)− h0dA1

(−ab

)= 0.

Notemos que en las condiciones usamos (4.9),resolviendo obtenemos que h0 = η1 = 0. Ası

q1(s) = A2 cos(s).

Caso O(ε2)En este caso el problema es

ω0q2(s) + ω2q0(s) + ω0η2q0(s)− h1bu(t− ω0τ0)

+h1du0(t− ω0τ0) + aq2(s) + bq2(s− ω0τ0) + (2cu0(s) + du0(s− ω0τ0))q0(s)

−bq0(s− ω0τ0)(ω2τ0 + ω0τ2)− (bω0η2τ0 − du0(s))q(s− ω0τ0) = 0,

dondeω2q0(s) = −ω2A1 sen(s)

ω0η2q0(s) = ω0η2A1 cos(s)

−h1bu0(s− ω0τ0) = h1bA1 cos(ω0τ0) sen(s)− h1bA1 sen(ω0τ0) cos(s)

h1du0(s− ω0τ0) = −h1dA1 cos(ω0τ0) sen(s) + h1dA1 sen(ω0τ0) cos(s)

(2cu0(s) + du0(s− ω0τ − 0))q0(s) =cA1A1 + cA1A1 cos(2s) +A1A1d

2cos(ω0τ0)

+A1A1d

2cos(ω0τ0) cos(2t) +

A1A1d

2sen(ω0τ0) sen(2t)

−b(ω2τ0 + τ2ω0)q(s− ω0τ0) =b(ω2τ0 + τ2ω0) cos(ω0τ0) sen(s)

− b(ω2τ0 + τ2ω0) sen(ω0τ0) cos(t)

−bω0η2τ0q(t− ω0τ0) = −bω0η2τ0 cos(ω0τ0)− bω0η2τ0 sen(ω0τ0)

du0(s)q0(s− ω0τ0) =A1A1d

2cos(ω0τ0) +

A1A1d

2cos(ω0τ0) cos(2t)

+A1A1d

2sen(ω0τ0) sen(2t).

Nuevamente los terminos sen(s) y cos(s) son solucion de

ω0q1(s) = −aq1(s)− bq1(s− ω0τ0)

y si sus coeficientes son distintos de cero surgen terminos seculares, por tanto imponemos las condiciones

−ω2A1 + h1aA1 + h1cA1 − a(ω2τ0 + τ2ω0) + ω20η2τ0 = 0

ω0η2A1 − h1A1ω0 + h1cA1 − ω0(ω2τ0 − τ2ω0)− aω0η2τ0 = 0.

Resolviendo el sistema anterior obtenemos

η2 =η∗2

ω0(−ω20τ0 + ω0τ0c− A1a− A1c+ a2τ0 + aτ0c)

,

dondeη∗2 =− 2aω0ω2τ0 − 2aω2

0τ2 − cω0τ0ω2 − cω20τ2 − ω2A1ω0 + ω2A1c+ acτ0ω2

+ acω0τ2.

Como η1 = 0, y como se menciona en la seccion 2 η2 determina la estabilidad de las soluciones periodicasque surgen en la bifurcacion. Recordemos que en la seccion anterior obtuvimos los valores τ2 y ω2.

Con los calculos de la secciones 4 y 5 y de acuerdo con la seccion 2 al hallar ω2, τ2 y η2, cantidades queindican el perıodo, la estabilidad de la solucion periodica y la direccion de la bifurcacion podemos establecerel siguiente teorema:


Teorema 5.1 Para la ecuacion (1.2), cuando ocurre la bifurcacion de Hopf para x =1

a1 + a2en τ = τ0 las

soluciones periodicas existen y

1. τ2 determina la direccion de la bifurcacion de Hopf. Si τ2 > 0 (τ2 < 0) la bifurcacion de Hopf essupercrıtica (subcrıtica).

2. η2 determina la estabilidad de las soluciones periodicas que surgen de la bifurcacion de Hopf. Si η2 < 0(η2 > 0), las soluciones periodicas que surgen de la bifurcacion son localmente asintoticamente estables(inestables).

3. ω2 determina el periodo de la solucion periodica que surge de la bifurcacion. Si ω2 < 0 (ω2 > 0) elperiodo de la solucion es creciente (decreciente).

6. Simulaciones Numericas

En esta seccion presentamos simulaciones numericas del teorema 2, consideramos como valores para losparametros r = 3, a1 = 1, a2 = 2, con estos parametros y tomando como condicion inicial A1 = 1 en (4.8),tenemos

τ0 = 0.6046, ω0 =√

3,

τ2 =1

3+π√

3

6, ω2 = −

(3√

3

2+

√3

2

)y η2 = −16.6.

Y de acuerdo al teorema 1 el equilibrio es asintoticamente estable cuando τ < τ0 como vemos en la figura 2.Aquı ilustramos tambien el espacio fase generado en los casos cuando τ = 1 y τ = 1.5 y podemos ver comosurge una familia de soluciones periodicas, que son estables pues η2 < 0. Mas aun como ω2 < 0, el periodo

de la solucion y la amplitud√

τ−τ0τ2

se incrementa cuando τ aumenta, como vemos en las figuras 3 y 4.

(a) τ = 1 (b) Espacio fase con τ = 1

Figura 3: Simulaciones con r = 3, a1 = 1, a2 = 2


(a) τ = 1.5 (b) Espacio fase con τ = 1.5

Figura 4: Simulaciones con r = 3, a1 = 1, a2 = 2

Agradecimientos

Este trabajo fue parcialmente apoyado por SNI, numeros de registro 33365 y 15284

Referencias

[1] M. Crandall, P. Rabinowitz. The Hopf–bifurcation theorem in infinite dimension. Arch Rat. Mech. Anal.,45, (1972), pp. 79–100.

[2] D.Ding, J.Zhu, X.Luo, Y.Liu. Delay induced Hopf bifurcation in a dual model of Internet congestioncontrol algorithm. Nonlinear Analysis: Real World Applications, 10, (2009), pp. 2873–2883.

[3] A.G. Estrella Gonzales, G.E. Garcıa Almeida, y E.J. Avila Vales, Estabilidad local de ecuaciones diferen-ciales ordinarias con retardo y aplicaciones, Miscelanea Matematica, Sociedad Matematica Mexicana,No. 51, (2010), pp. 73–92.

[4] K.Gopalsamy. Stability and oscillations in delay differential equations of population dynamcs. KluwerAcademic Press, Netherlands,1992

[5] A. Halanay. Differential equations Academic Press, New York, 1966

[6] J. Hale. Theory of functional differential equations Springer–Verlag, New York, 1997

[7] M. H. Holmes. Introduction to perturbation methods. Springer–Verlag, New York, 1995

[8] J. Kevorkian, J. D. Cole. Multiple scales and singular perturbation methods Springer–Verlag, New York,1996

[9] S.Ruan, J.Wei. On the zeros of transcendental functions with applications to satability of delay diffe-rential equations with two delays. Dynamics of Continuous, Discrete and Impulsive Systems, Series A:Mathematical Analysis, 10, (2003), pp. 863–874.

[10] D. H. Sattinger. Topics in stability and bifurcation theory. Lect. Notes in Math, Springer–Verlag, NewYork, 1973.

[11] H.Smith. An Introduction to Delay Differential Equations with Applications. Springer, 2010

[12] A. Stokes. On the stability of a limit cycle of autonomous functional differential equation. Contr. Diff.Eqns. 3, (1964), pp.121–140

[13] C. Sun, M. Han, Y. Lin. Analysis of stability and hopf bifurcation for a delayed logistic equation. Chaos,Solitons and Fractals, 31, (2007), pp. 672–682.

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