A Goldman/Chisholm View of Property Exemplifications

JOURNAL OF PHILOSOPHY

Nr. 23 2010

Jürgen Mittelstraÿ: Through a glass darkly: on the enigmaticnature of science . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Christian Wallmann: Theorie der Konsequenzoperationen undlogische Unabhängigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5

Alexander Zimmermann: Der Hauptsatz der Smullyanmengen 24

David Botting: A Goldman/Chisholm View of Property�Exempli�cations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

Julius Schälike: Finkishness, Frankfurt�Szenarien und diekonditionale Analyse von Fähigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

Alexander Gebharter & Alexander Mirnig: From a Mereo�topological Point of View: Putting the Scienti�c Magnifying Glasson Kant's First Antinomy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

Rezension: Thomas Kuhn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .91

Rezension: Gerechte Verteilung medizinischer Ressourcen . . . . . 100

EDITORIAL

KRITERION is a forum for contributions in any �eld of analytic philo-sophy. We welcome submissions of previously unpublished papers. Con-tributions should meet the following conditions:

(1) The content must be philosophical.(2) The language must be intelligible to a broader readership.(3) The contribution must contain a traceable argumentation.

The length should not exceed 4000 words. Only contributions in Englishand German are accepted.

IMPRESSUM

Editorial Board: Albert J. J. Anglberger, Christian J. Feldbacher, ChristophLeitner, Niki Pfeifer, Christine Schurz, Alexander W. Ungar

Address: Franziskanergasse 1, 5020 Salzburg, Austria. <[email protected]>

Printing: University of Salzburg (ÖH)

The copyright remains with the author.

KRITERION is indexed in The Philosopher's Index.

ISSN 1019-8288.

http://www.kriterion.at

Through a glass darkly: on theenigmatic nature of science

Jürgen Mittelstraÿ

Abstract

The following article consists of a few short remarks on the in-

evitable incomprehensibility of science on the one hand and, in

order to overcome this incomprehensibility, on common structures

between science and the life-world on the other.

The veil of ignorance that, in the opinion of many, today hides sciencefrom society, and the public from science, and which in consequence oftenhinders communication about science, might be more easily lifted if thefollowing question is answered: How comprehensible is science, and howcomprehensible can and should science be?

Even the most energetic attempts at making science comprehensi-ble, and at winning society for its enterprise, cannot get around the factthat the scienti�c understanding remains in many cases a mystery forthe unscienti�c understanding. One cannot simply conjure the compre-hensibility of what science knows into being. Di�cult scienti�c subjectscannot simply be translated in all their aspects into colloquial languageand concepts. He who nonetheless perseveres in the attempt is oftendisappointed, and this disappointment cannot be laid at the feet of sci-ence. Science is in a well-de�ned sense unavoidably incomprehensible.It is concerned with things that are not understandable to the laymaneither directly or indirectly, unless of course he his prepared to trans-form himself over the course of a long apprenticeship into a scientist.And science speaks a language that only science itself can properly un-derstand. This mutual untranslatability belongs to its essence, and isindeed intimately connected to the responsibility of science. Simply anda bit exaggeratedly, put: science loses its scienti�c character when it ismade understandable, and few scientists can be prepared to make sucha sacri�ce; conversely, everyday experience becomes incomprehensiblewhen it is rendered scienti�cally.

Fortunately, this is not the last word on the matter. The reason isthat what has been said should caution against the suggestion that only

Kriterion � Journal of Philosophy (2010) 23: 1�4.http://www.kriterion.at c© 2010 The author

2 Kriterion � Journal of Philosophy (2010) 23: 1�4

arrogance and elitism hinder scientists from making themselves compre-hensible. Indeed, the relation of science and society concerns much morethan the popularisation of what science knows. It is a matter of assur-ing ourselves, and of justifying the scienti�c essence of our world, up toand including the structures of our everyday, so-called �life-world�. Thismakes understanding science, or surmounting the inability to understandscience as part of a larger, cooperative enterprise, a crucial task. Thisinability is shared by both scienti�c and unscienti�c minds; it can berefuted with three short observations:

1. Science is problem-solving with other methods. If one thinks ofscience only as a dialogue of an Absolute Spirit with itself, or as a kindof hermetic world in the head, one has failed to understand both thereal essence of science and its task. The essence and task of scienceconsist in the overcoming of problems. These problems are often self-posed problems, but they are nevertheless similar to the problems thatthe scienti�c mind poses to itself. This begins (in pre-Socratic thought)with attempts at explaining the rainbow and perception, proceeds byway of astronomical models and theories of time, and it ends (for themoment) with the mapping of the brain and the decoding of the gene.But whoever knows the problems can understand the solutions. And soboth for the scienti�c and unscienti�c minds it is ultimately a matter ofmaking scienti�c problems comprehensible. For how can one understandanswers if one doesn't understand the questions they are supposed toanswer?

2. Science is discovery beyond the frontiers of the evident. Scienti�cproblems are often, if not always, solved by means of discoveries. Forinstance, in the case of the constitution of matter this solution was pro-vided by the discovery of the atomic nucleus (1909 by Rutherford). Butthis is also the case with everyday problems and our dealings with themin everyday experience, for instance when we are looking for the rightpath, or for the proper spice for a soup. Not only the problem-structuresof science and the life-world are similar in this regard (expectations arenot ful�lled, experience is disrupted), but the structures of their solutionsare similar as well.

3. Science is a highly stylised form of pre-scienti�c forms of knowl-edge. Science has been characterised from its Greek origins on by itstheoretical forms. One such form, which is also the form of our text-books, is for example that of the proof. This is indeed the trademarkof science - and yet it �nds its partner in the everyday world, namelyin the form of argumentative communication. Induction, which is the

Jürgen Mittelstraÿ: The enigmatic nature of science 3

route from the particular to the general, and deduction, the route fromthe general to the particular, are not just instruments of the sciences.But this means in turn that the world of science and the life-world areconnected to each other by means of argumentative structures and struc-tures of action. It is only that in the one world, that of science, stricterrules hold than in the other one, the life-world. These rules mark thepath from the experiential form of knowledge to the theoretical formof the latter, a path which as a result does not lead us away from ourcommon world, but rather deeper into this very same one by means ofexplananation and justi�cation.

Let this su�ce as an answer to the question about how comprehensi-ble science can or ought to be. Let me close with a last remark concerningthis �ought�.

The path of a science that seeks to make itself comprehensible is be-set by risks, and by the enemies of understanding, among whom numberquite a few scientists. For if it is true that comprehensibility in the worldof science cannot be merely willed into being, that di�cult scienti�csubjects cannot be arbitrarily simpli�ed, and that scienti�c terminologycannot completely be translated into everyday language, still there is aconverse possibility, namely that of needlessly complicating matters inthe name of science. This possibility is abetted in many areas by a jar-gon of incomprehensibility that does not advance science, but preservesit from presumptuous attempts to render it understandable. And thisholds true just as much of the language in which science is expressedas it does of the theories in which it is represented. They are oftenlike the emperor's new clothes, above all in the social sciences and thehumanities, which are always under a special pressure to justify them-selves, so that the �ight into terminological fancy and esoteric languagebecomes particularly enticing. Simplicity appears as the enemy of one'sown claims to signi�cance. But this means that science here legitimatesitself with the credentials of its incomprehensibility (for after all, no oneunderstands the language of modern cosmology, and it is most certainlya science). One speaks the language of Absolute Spirit, which revealsitself only to the initiated, to which one would of course like to belong.

Unfortunately such cases are by no means rare. But to think this wayis to subvert the e�orts of serious scienti�c and unscienti�c minds to ori-ent themselves in a common and comprehensible world. For this reason,and in the light of the far-reaching �speechlessness� between science andsociety, a critique of science that is informed by the latter and practisedwith care is as important a task as the e�orts of everyday understanding


to comprehend the world of the scienti�c mind.

Jürgen MittelstraÿKonstanzer WissenschaftsforumUniversität KonstanzD�78457 Konstanz, Germany

<juergen.mittelstrass@uni�konstanz.de>

Theorie der Konsequenzoperationen undlogische Unabhängigkeit

Christian Wallmann

Abstract

This article deals with algebraic logic. In particular, it discusses

the theory of consequence operations and the general concept of

logical independency. The advantage of this general view is its gr-

eat applicability: The stated properties of consequence operations

hold for almost every logical system.

The notion of independency is well known and important in logic,

philosophy of science and mathematics. Roughly speaking, a set

is independent with respect to a consequence operation, if none of

its elements is a consequence of the other elements. The property

of being an independent set guarantees therefore that none of its

elements is super�uous.

In particular, I'm going to show fundamental results for every

consequence operation, and hence for every logic: no in�nite inde-

pendent set is �nite axiomatizable, and every �nite axiomatizable

set has relative to a �nitary consequence operation an independent

axiom system. The main result is that in sentential logic every set

of formulas has an independend axiom system.

1 Einleitung

In dieser Arbeit wird der allgemeine Begri� der Konsequenzoperationeingeführt. Die meisten üblichen Logiksysteme sind Konsequenzopera-tionen. Daher gelten die Eigenschaften von Konsequenzoperationen fürdie meisten Logiksysteme.Der hier untersuchte Begri� ist jener der Unabhängigkeit. Es werden ei-nige Resultate zur Unabhängigkeit bewiesen. Zwei seien erwähnt:1. Eine unendliche unabhängige Menge ist nicht endlich axiomatisierbar.2. Jede endlich axiomatisierbare Menge hat hinsichtlich einer �nitärenKonsequenzoperation ein unabhängiges Axiomensystem.Im zweiten Teil der Arbeit werden aussagenlogische Konsequenzope-rationen eingeführt. Die üblichen aussagenlogischen Kalküle sind aus-sagenlogische Konsequenzoperationen. Das Hauptresultat dieser Arbeit



ist, dass jede Menge hinsichtlich einer �nitären aussagenlogischen Kon-sequenzoperation unabhängig axiomatisierbar ist. Insbesondere ist alsojede Menge in jedem aussagenlogischen Kalkül unabhängig axiomatisier-bar.Die Vorteile der allgemeinen Betrachtungsweise sind zum einen die breiteAnwendbarkeit der Resultate und zum anderen das klare Hervortretender Eigenschaften, die für die Beweisbarkeit eines Satzes wesentlich sindund jener, die für die Beweisbarkeit eines Satzes unwesentlich sind.

2 Konsequenzoperationen

In diesem Abschnitt wird der Begri� der Konsequenzoperation einge-führt. Um diesen Begri� einführen zu können, wird der Begri� der for-malen Sprache de�niert. Es werden die Begri�e der Tautologie, der end-lichen Axiomatisierbarkeit und der Unabhängigkeit de�niert. Es wirdbewiesen, dass jede unendliche unabhängige Menge nicht endlich axio-matisierbar ist. Das Hauptresultat dieses Kapitels ist, dass jede endlichaxiomatisierbare Menge hinsichtlich einer �nitären Konsequenzoperationein unabhängiges Axiomensystem hat.

2.1 Abzählbare Sprachen

Eine formale Sprache ist eine Menge, die eine abzählbar unendliche Teil-menge N hat und die unter einer endlichen Menge von Funktionen ab-geschlossen ist (d.h., mit jeder Folge ihrer Elemente enthält sie auchdie Funktionswerte der entsprechenden Funktionen). Weiters enthält sienichts, auÿer eben dieser abzählbaren Teilmenge N , deren Funktions-werte und die Funktionswerte der Funktionswerte der Elemente von Nusw. . .Es sei (fi)i≤n eine endliche Folge von Funktionen beliebiger Stelligkeit.

De�nition 1. M heiÿt unter (fi)i≤n abgeschlossen gdw. für allei ≤ n gilt:Ist fi∗ die Stelligkeit von fi und sind A1, ..., Afi∗ ∈M ,so ist fi(A1, ..., Afi∗) ∈M .

De�nition 2. M wird von N und (fi)i≤n erzeugt gdw.M =

⋂{M ′ : N ⊆M ′ und M ′ ist unter (fi)i≤n abgeschlossen}.

De�nition 3. L ist eine formale Sprache gdw. es ein abzählbar un-endliches N und (fi)i≤n gibt mit: L ist von N und (fi)i≤n erzeugt.

Christian Wallmann: Konsequenzoperationen und Unabhängigkeit 7

Eine formale Sprache ist also die kleinste von einer abzählbar unendli-chen Menge und von endlich vielen Funktionen erzeugte Menge.Beispiele:1. Die Sprache der Aussagenlogik ist eine formale Sprache.2. Die Sprache der modalen Aussagenlogik ist eine formale Sprache.

2.2 Konsequenzoperationen

In diesem Abschnitt wird der für die Untersuchung grundlegende Begri�der Konsequenzoperation eingeführt. Die hierfür erforderlichen Bedin-gungen sind Minimalbedingungen, die Logiken erfüllen müssen. Es wer-den einige Lemmata über Konsequenzoperationen, die in späteren Teilender Arbeit nützlich sind, bewiesen.

Sei L eine formale Sprache und sei Cn eine Funktion auf Pow(L)1 undT, T ′, T ′′ ⊆ L und A, B ∈ L.

De�nition 4. Cn ist eine Konsequenzoperation (kurz: KO) gdw.für alle T, T ′ ⊆ L gilt:

(1) T ⊆ Cn(T ). (Re�exivität)

(2) Wenn T ⊆ Cn(T ′), dann ist Cn(T ) ⊆ Cn(T ′). (Transitivität)

Beispiele:1. Diejenige Funktion, die jeder Teilmenge von L L zuordnet, ist eineKonsequenzoperation.2. Sei L die Sprache der Aussagenlogik mit den Junktoren ¬,∧,∨,→.Dann ist diejenige Funktion, die jeder Teilmenge von L die Menge allerSätze, die belegungssemantisch aus ihr folgen, zuordnet, eine Konsequen-zoperation.3. Diejenige Funktion, die jedem Satz der Sprache der modalen Aus-sagenlogik die Menge aller seiner S5-Konsequenzen zuordnet, ist eineKonsequenzoperation.

Oft ist es leichter nachzuweisen, dass eine Funktion die folgenden Be-dingungen erfüllt, um darauf schlieÿen zu können, dass sie eine Konse-quenzoperation ist.

Satz 5. Cn ist eine Konsequenzoperation gdw. für alle T, T ′ ⊆ L gilt:

1Mit 'Pow(T )' wird die Menge aller Teilmengen von T bezeichnet.


(1) T ⊆ Cn(T ).

(2) Cn(Cn(T )) ⊆ Cn(T ). (Idempotenz)

(3) Wenn T ⊆ T ′, dann ist Cn(T ) ⊆ Cn(T ′). (Monotonie)

Beweis:=⇒:Monotonie: Sei T ⊆ T ′. Dann ist aufgrund der Re�exivität T ⊆ Cn(T ′)und also Cn(T ) ⊆ Cn(T ′).Idempotenz : Es ist Cn(T ) ⊆ Cn(T ). Also wegen der Transitivität Cn(Cn(T )) ⊆Cn(T ).⇐=:Sei T ⊆ Cn(T ′). Dann ist wegen der Monotonie Cn(T ) ⊆ Cn(Cn(T ′)) =Cn(T ′).

Im Folgenden sei Cn eine Konsequenzoperation.

Satz 6. Es gilt:

(1) Cn(T ∪ T ′) = Cn(Cn(T ) ∪ Cn(T ′)).

(2) Wenn T ′′ ⊆ Cn(T ), dann ist Cn(T ′′ ∪ T ′) ⊆ Cn(T ∪ T ′).Insbesondere: Wenn A ∈ Cn(T ), dann istCn({A} ∪ T ′) ⊆ Cn(T ∪ T ′). (Schnitt)

(3) Sei n ∈ N und Ai ∈ Cn(Ti) für alle i: 1 ≤ i ≤ n. Dann ist{A1, ..., An} ⊆ Cn(

⋃ni=1 Ti).

Beweis:von (1): Es ist nach der Re�exivität T ⊆ Cn(T ) und T ′ ⊆ Cn(T ′).Also T ∪ T ′ ⊆ Cn(T ) ∪ Cn(T ′). Also ist aufgrund der MonotonieCn(T ∪ T ′) ⊆ Cn(Cn(T ) ∪ Cn(T ′)).Es ist nach der Monotonie Cn(T ) ⊆ Cn(T ∪ T ′) undCn(T ′) ⊆ Cn(T ∪ T ′).Also ist Cn(T ) ∪ Cn(T ′) ⊆ Cn(T ∪ T ′).Wegen der Transitivität ist folglich Cn(Cn(T )∪Cn(T ′)) ⊆ Cn(T ∪ T ′).von (2): Es ist nach Teil 1 Cn(T ′′ ∪ T ′) = Cn(Cn(T ′′) ∪ Cn(T ′)).Sei also T ′′ ⊆ Cn(T ), dann ist wegen der Transitivität Cn(T ′′) ⊆ Cn(T ).Also ist wegen der MonotonieCn(Cn(T ′′) ∪ Cn(T ′)) ⊆ Cn(Cn(T ) ∪ Cn(T ′)).Nach Teil 1 ist Cn(Cn(T ) ∪ Cn(T ′)) = Cn(T ∪ T ′).Insgesamt also: Cn(T ′′ ∪ T ′) ⊆ Cn(T ∪ T ′).von (3): Sei Ai ∈ Cn(Ti). Es gilt: Cn(Ti) ⊆ Cn(

⋃Ti) (Monotonie). Also

ist Ai ∈ Cn(⋃

Ti).


Satz 7. Wenn A ∈ Cn(T ), dann ist Cn(T ) = Cn(T ∪ {A}).

Beweis: Sei A ∈ Cn(T ). Dann ist T ∪ {A} ⊆ Cn(T ) und also wegender Transitivität Cn(T ∪ {A}) ⊆ Cn(T ). Die umgekehrte Inklusion giltwegen der Monotonie.

De�nition 8. Cn ist �nitär gdw. für alle T ⊆ L gilt:Cn(T ) =

⋃{Cn(T ′) : T ′ ⊆ T und T ′ endlich}

Eine Konsequenzoperation ist also genau dann �nitär, wenn alles das auseiner Menge folgt, bereits aus einer endlichen Teilmenge dieser Mengefolgt.

2.3 Tautologien

`Tautologie' ist einer der wichtigsten Begri�e der Logik. Eine Tautologieist eine Konsequenz aus der leeren Menge und, da Konsequenzoperatio-nen monoton sind, eine Konsequenz jeder Menge.

De�nition 9. A ist eine Cn-Tautologie gdw. A ∈ Cn(∅).

Wenn T eine Menge und A eine Tautologie ist, dann ist aus {A} ∪ Tnicht mehr ableitbar, als aus T alleine ableitbar ist. Ebenso ist aus T \{A} nicht weniger als aus T ableitbar. Tautologien spielen also für dasKonsequenzenziehen keine Rolle.

Satz 10. Es ist Cn(T \ T ′) = Cn(T ) für alle T ′ ⊆ Cn(∅).

Beweis: Es ist Cn(T ) ⊆ Cn(T \ T ′ ∪ Cn(∅)) (Monotonie)= Cn(Cn(T \ T ′) ∪ Cn(Cn(∅))) (Satz 6)= Cn(Cn(T \ T ′) ∪ Cn(∅)) (Idempotenz)= Cn(T \ T ′ ∪ ∅) (Satz 6)= Cn(T \ T ′).

Satz 11. Es ist Cn(T ∪ T ′) = Cn(T ) für alle T ′ ⊆ Cn(∅).

Beweis: Es ist Cn(T ∪ T ′) ⊆ Cn(T ∪ Cn(∅)) (Monotonie)= Cn(Cn(T ) ∪ Cn(Cn(∅)) (Satz 6)= Cn(Cn(T ∪ Cn(∅)) (Idempotenz)= Cn(T ∪ ∅)= Cn(T ) (Satz 6).


2.4 Axiomensysteme

Axiomensysteme für eine Menge T sind Mengen, welche die gleichenKonsequenzen wie T haben.

De�nition 12. T ist ein Cn-Axiomensystem2 für T ′ gdw. Cn(T ) =Cn(T ′).

Bemerkung: Es ist nicht zweckmäÿig, den Begri� axiomatisierbar fol-genderweise zu de�nieren: Eine Menge ist axiomatisierbar gdw. sie einAxiomensystem hat.Es hat dann jede Menge ein Axiomensystem (nämlich sich selbst) undsomit wäre jede Menge axiomatisierbar.

De�nition 13. T ist Cn-endlich axiomatisierbar gdw. es ein endli-ches Cn-Axiomensystem für T gibt.

Der nächste Satz besagt, dass jede endlich axiomatisierbare Menge durcheine Teilmenge ihrer selbst endlich axiomatisierbar ist ([1], S.103, S.105und S.173).

Satz 14. Sei Cn eine �nitäre KO. Dann hat jede Cn-endlich axiomati-sierbare Menge T ein endliches Cn-Axiomensystem T ′ mit T ′ ⊆ T .

Beweis: Da T endlich axiomatisierbar ist, gibt es ein endliches T ′′ ⊆ Lmit Cn(T ) = Cn(T ′′).Ist T ′′ = ∅ , so ist T ′′ das gesuchte Axiomensystem.Sei also T ′′ = {A1, ..., An}.Wegen der Re�exivität von Cn ist {A1, ..., An} ⊆ Cn(T ).Also existieren, da Cn �nitär ist, endliche T ′′i mit T ′′i ⊆ T und Ai ∈Cn(T ′′i ) für alle i : 1 ≤ i ≤ n.Nach Satz 6 Teil 3 ist folglich {A1, ..., An} ⊆ Cn(

⋃T ′′i ).

Wegen der Transitivität ist Cn({A1, ..., An}) = Cn(T ) ⊆ Cn(⋃

T ′′i ).Umgekehrt ist aufgrund der Monotonie Cn(

⋃T ′′i ) ⊆ Cn(T ).

2.5 Unabhängigkeit

In diesem Abschnitt wird der Begri� der Unabhängigkeit untersucht. Einhistorisches Beispiel, das viele kennen, ist jenes der Euklidischen Geome-trie. Man hatte sich lange Zeit gefragt, ob das Parallelenpostulat schon

2Im Folgenden wird oft bei diesem Begri� und den weiteren Begri�en das Prä�x

Cn weggelassen.


aus den restlichen Axiomen logisch folgt. Nach unzähligen Beweisversu-chen, dass es folgt, wurde gezeigt, dass dem nicht so ist.Warum aber die ganze Mühe? Darüber gibt Satz 17 Auskunft. Er besagt,dass, wenn ein Satz A in einer Menge abhängig ist, nichts verloren geht,wenn A weggelassen wird, d.h. die Konsequenzenmenge ändert sich nichtdurch das Weglassen von A. Dieses A ist sozusagen über�üssig. Umge-kehrt heiÿt dies, dass, wenn ein Satz unabhängig ist, man durch dasWeglassen dieses Satzes eine kleinere Folgerungsmenge erhält.Es hat jede endlich axiomatisierbare Menge ein unabhängiges Axiomen-system, d.h. man kann jede Menge ohne über�üssigen Balast axiomati-sieren.Ein ebenfalls wichtiger Satz ist, dass eine unendliche unabhängige Mengenicht endlich axiomatisierbar ist.

De�nition 15. Sei A ∈ T . A ist in T Cn-unabhängig gdw.A 6∈ Cn(T \ {A}).

De�nition 16. Sei A ∈ T . A ist in T Cn-abhängig gdw. A in T nichtCn-unabhängig ist.

Beispiele:1. Das Parallelenpostulat ist in der Euklidischen Geometrie unabhängig.2. Das Intervallschachtelungsaxiom bzw. das Vollständigkeitsaxiom istin der Theorie der reellen Zahlen unabhängig.3. Das Archimedische Axiom ist in der Theorie der reellen Zahlen ab-hängig.4. Jede Tautologie ist in jeder Menge aussagenlogisch abhängig.5. p ∧ q ist in {p, q, p ∧ q} aussagenlogisch abhängig.6. p→ q ist in {p→ q, q → p} aussagenlogisch unabhängig.

Satz 17. Sei A ∈ T , dann gilt:A ist in T abhängig gdw. Cn(T ) = Cn(T \ {A}).

Beweis:=⇒:Sei A ∈ Cn(T \{A}). Dann ist {A}∪T \{A} = T ⊆ Cn(T \{A}). Wegender Transitivität ist also Cn(T ) ⊆ Cn(T \ {A}).Die andere Inklusion folgt unmittelbar aus der Monotonie.⇐=:Sei Cn(T \ {A}) = Cn(T ). Da A ∈ T ist, ist A ∈ Cn(T ). Also istA ∈ Cn(T \ {A}).

De�nition 18. T ist Cn-unabhängig gdw. für alle A ∈ T gilt: A istin T Cn-unabhängig.


De�nition 19. T ist Cn-abhängig gdw. T nicht Cn-unabhängig ist.

Beispiele:1. Die Euklidische Geometrie ist unabhängig.2. Die hyperbolische Geometrie ist unabhängig.3. Jede Menge, die eine Tautologie enthält, ist aussagenlogisch abhängig.4. Die Theorie der reellen Zahlen zuzüglich des Archimedischen Axiomsist abhängig.5. {p, q, p ∧ q} ist aussagenlogisch abhängig.6. {p→ q, q → p} ist aussagenlogisch unabhängig.

Satz 20. ∅ ist Cn-unabhängig.

Beweis: Trivial.

Satz 21. Sei Cn eine �nitäre KO. Dann ist T genau dann unabhängig,wenn jede endliche Teilmenge von T unabhängig ist.

Beweis:=⇒:Sei A 6∈ Cn(T \ {A}) für alle A ∈ T . Sei B ∈ T ′ ⊆ T . Dann ist aufgrundder Voraussetzung und der Monotonie B 6∈ Cn(T ′ \ {A}).⇐=:Sei jede endliche Teilmenge von T unabhängig.Angenommen, T wäre nicht unabhängig.Dann ist A ∈ Cn(T \ {A}) für mindestens ein A ∈ T . Also ist, da Cn�nitär ist, A ∈ Cn(T ′) für ein endliches T ′ ⊆ T \ {A}.Nun ist aber A ∈ {A} ∪ T ′ und A ∈ Cn({A} ∪ T ′ \ {A}). Was im Wi-derspruch zu {A} ∪ T ′ ist unabhängig steht.

Das nächste Resultat �ndet sich bei Asser ([1], S.115 und S.116). Dortwird allerdings der Begri� der Unabhängigkeit nach Ordnung eingeführtund mithilfe dieses Begri�es der Satz bewiesen. Der Beweis in meinerArbeit kommt ohne derartige Hilfsmittel aus.

Satz 22. Sei Cn eine �nitäre KO. Dann ist eine unendliche unabhängigeMenge T nicht endlich axiomatisierbar.

Beweis: Angenommen, T wäre endlich axiomatisierbar. Dann sind dieVoraussetzungen von Satz 14 erfüllt, und also existiert ein endlichesT ′ ⊆ T mit Cn(T ) = Cn(T ′).Da unsere Sprache abzählbar unendlich ist, ist auch T abzählbar unend-lich. Sei also T := {Ai : i ∈ N}.


Es ist nach Voraussetzung Ai 6∈ Cn(T \ {Ai}).Also, da T ′ ⊆ T und Cn monoton ist, ist Ai 6∈ Cn(T ′ \ {Ai}).Folglich ist Ai ∈ T ′.Denn: Es ist Ai ∈ Cn(T ) (weil Ai ∈ T ). Also: Ai ∈ Cn(T ′). Da nunAi 6∈ Cn(T ′ \ {Ai}) und Cn eine Funktion ist, ist T ′ 6= T ′ \ {Ai}.Es sind also alle Ai ∈ T ′. Das ist ein Widerspruch dazu, dass T ′ endlichist.

Für �nitäre Konsequenzoperationen lässt sich beweisen, dass jede end-lich axiomatisierbare Menge ein unabhängiges Axiomensystem hat ([1],S.113). Wenn eine aussagenlogische Konsequenzoperation vorgegeben ist,hat sogar jede Menge ein unabhängiges Axiomensystem. Der folgendeSatz ist � abgesehen von seiner wichtigen Rolle in der Theorie der Kon-sequenzoperationen � in diesem Beweis ein Lemma.

Hauptsatz 23. Sei Cn eine �nitäre KO. Dann hat jede Cn-endlichaxiomatisierbare Menge T ein endliches unabhängiges AxiomensystemT ′ mit T ′ ⊆ T .

Beweis: Nach Satz 14 hat T ein endliches Axiomensystem T ′′ mitT ′′ ⊆ T .Die Behauptung wird durch Induktion nach der Anzahl der Elemente nvon T ′′ gezeigt.Induktionsanfang: Sei n = 0.Dann ist T ′′ = ∅. ∅ ist nach Satz 20 unabhängig. Somit ist ∅ selbst dasgesuchte Axiomensystem.Induktionsschritt: n→ n + 1.Induktionsvoraussetzung: Hat T ein Axiomensystem mit n Elementen,dann hat T ein endliches unabhängiges Axiomensystem T ′ mit T ′ ⊆ T .Sei also {A1, ..., An+1} ein Axiomensystem für T mit {A1, ..., An+1} ⊆ T .Fall 1: {A1, ..., An+1} ist unabhängig. In diesem Fall ist nichts zu zeigen.Fall 2: {A1, ..., An+1} ist abhängig. Dann ist mindestens ein Ai in{A1, ..., An+1} abhängig.Es ist o.B.d.A.: An+1 ∈ Cn({A1, ..., An}). Nach Satz 7 ist alsoCn({A1, ..., An+1}) = Cn({A1, ..., An}). Somit ist {A1, ..., An} ein n-elementiges Axiomensystem für T . Wegen der Induktionsvoraussetzunghat T also ein endliches und unabhängiges Axiomensystem T ′ ⊆ T .

3 Aussagenlogische Konsequenzoperationen

In diesem Kapitel werden aussagenlogische Konsequenzoperationen ein-geführt. Im Wesentlichen sind dies die üblichen aussagenlogischen Kal-


küle. Um sie einführen zu können, muss die zugrundegelegte Spracheauf die aussagenlogische Sprache mit den gewöhnlichen Junktoren ein-geschränkt werden.Das Charakteristische an aussagenlogischen Konsequenzoperationen sindBedingungen, die angeben, unter welchen Umständen ein Satz aus einerKonjunktion, einer Adjunktion oder einer Implikation folgt und auch,wie eine Negation zu behandeln ist.Es werden einige aussagenlogische Tautologien bewiesen, die im Beweisdes zentralen Satzes, dass jede Menge bezüglich jeder �nitären aussagen-logischen Konsequenzoperation ein unabhängiges Axiomensystem hat,eine Rolle spielen.

3.1 Die aussagenlogische Sprache LAL

De�nition 24. LAL sei diejenige formale Sprache, die von der Mengeder aussagenlogischen Variablen Av und den Funktionen ¬,∨,∧,→ er-zeugt wird.Wobei für alle A, B ∈ LAL:¬(A) = ¬A.∨(A, B) = (A ∨B).∧(A, B) = (A ∧B).→ (A, B) = (A→ B).

Im Folgenden gelten diese Klammerersparnisregeln:1. In der Metasprache dürfen äuÿere Klammern weggelassen werden.2. In der Metasprache bindet ¬ am stärksten.3. In der Metasprache binden ∧ und ∨ stärker als →.

Es seien T, T ′ ⊆ LAL und A, B,C ∈ LAL.

3.2 Aussagenlogische Konsequenzoperationen

Zunächst wird der zentrale Begri� der aussagenlogischen Konsequenz-operation de�niert. Anschlieÿend werden einige Lemmata bewiesen. Wich-tig ist vor allem, dass {A,¬A} ein Axiomensystem für LAL und jedeKonsequenzenmenge unter Modus Ponens abgeschlossen ist.'Cn(T, {A1, ..., An})' stehe für 'Cn(T ∪ {A1, ..., An})'

De�nition 25. Eine KO Cn ist eine aussagenlogische Konsequen-zoperation (kurz: AL-KO) gdw.für alle A, B ∈ LAL und T ⊆ LAL gilt:(¬) A ∈ Cn(T ) gdw. Cn(T, {¬A}) = LAL.


(∧) Cn(T, {A ∧B})=Cn(T, {A, B}).(∨) Cn(T, {A ∨B})=Cn(T, {A}) ∩ Cn(T, {B}).(→) A→ B ∈ Cn(T ) gdw. B ∈ Cn(T, {A}).

Beispiele:1. Die Konsequenzoperation, die jeder Menge die Sprache LAL zuordnet,ist eine AL-KO.2. Jeder adäquate aussagenlogische Kalkül ist eine AL-KO.3. Die intuitionistische Logik ist keine AL-KO.

Satz 26. Sei Cn eine AL-KO. Dann ist LAL endlich axiomatisierbar.Insbesondere ist {A,¬A} ein Axiomensystem für LAL.

Beweis: Es ist aufgrund der Monotonie A ∈ Cn({A,¬A}) und also mit(¬) Cn({A,¬A}, {¬A}) = Cn({A,¬A}) = LAL.

Auch sind aussagenlogische Konsequenzoperationen unter Modus Pon-ens abgeschlossen; eine Tatsache, die in vielen Beweisen dieses Kapitelsverwendet wird.

Satz 27. Sei Cn eine AL-KO und seien A→ B ∈ T, A ∈ T .Dann ist B ∈ Cn(T ).

Beweis: Nach der Voraussetzung ist wegen der Re�exivitätA→ B ∈ Cn(T ).Also ist nach (→) B ∈ Cn(T, {A}). Da A ∈ T ist, ist T ∪ {A} = T .Also: B ∈ Cn(T ).

Satz 28. Sei Cn eine AL-KO. Sind A→ B, B → C ∈ Cn(T ), so istA→ C ∈ Cn(T ).

Beweis: Sei A→ B, B → C ∈ Cn(T ), dann ist wegen (→) B ∈ Cn(T, {A})und aufgrund der Monotonie B → C ∈ Cn(T, {A}).Also ist wegen Modus Ponens C ∈ Cn(Cn(T, {A})) = Cn(T, {A})(Idempotenz) und also wegen (→) A→ C ∈ Cn(T ).

3.3 Einige aussagenlogische Tautologien

Im Folgenden werden Tautologien aufgelistet, von denen einige eine wich-tige Rolle im Beweis des Satzes, dass jede Menge bezüglich einer �nitärenAL-KO ein unabhängiges Axiomensystem hat, spielen.

Satz 29. Sei Cn eine AL-KO. Alle Formeln der folgenden Formen sindCn-Tautologien.


1. A→ (B → A)2. (A→ (B → C))→ ((A→ B)→ (A→ C))3. (¬A→ ¬B)→ (B → A)4. A ∧B → A5. A ∧B → B6. A→ (B → A ∧B)7. A→ A ∨B8. B → A ∨B9. (A→ C)→ ((B → C)→ (A ∨B → C))

Beweis:ad 1.: Es ist wegen der Re�exivität und Monotonie von Cn A ∈ Cn({A, B}).Also ist wegen (→) B → A ∈ Cn({A}) und also wegen (→)A→ (B → A) ∈ Cn(∅).

ad 2.: Es ist wegen mehrmaliger Anwendung von Modus PonensC ∈ Cn({A, A → B, A → (B → C)}). Durch mehrmalige Anwendungvon (→) erhält man die Behauptung.

ad 3.: Es ist {B,¬B} ⊆ Cn({¬A,¬A → ¬B, B}) und also wegen derTransitivität LAL = Cn({B,¬B}) = Cn({¬A,¬A→ ¬B, B}).Deswegen ist nach (¬) A ∈ Cn({B,¬A→ ¬B}). Aufgrund von (→) giltdie Behauptung.

ad 4.: Es ist wegen (∧) Cn({A, B}) = Cn({A∧B}). Da A ∈ Cn({A, B})ist, ist auch A ∈ Cn({A ∧B}). Also gilt wegen (→) die Behauptung.

ad 5.: Analog zu 4.

ad 6.: Es ist wegen (∧) Cn({A ∧ B}) = Cn({A, B}). Also ist A ∧ B ∈Cn({A, B}). Durch zweimalige Anwendung von (→) erhält man die Be-hauptung.

ad 7.: Es ist Cn({A ∨B}) = Cn({A}) ∩ Cn({B}). Also istA ∨B ∈ Cn({A}).

ad 8.: Analog zu 7.

ad 9.: Es C ∈ Cn({A→ C, B → C, A}) undC ∈ Cn({A→ C, B → C, B}).Also ist C ∈ Cn({A→ C, B → C, A}) ∩ Cn({A→ C, B → C, B}).


Also ist nach (∨) C ∈ Cn({A→ C, B → C, A ∨B}). Durch mehrmaligeAnwendung von (→) ergibt sich die Behauptung.

Satz 30. Weitere Tautologien sind alle Formeln der Formen:1. ¬¬A→ A2. A→ ¬¬A3. A ∨ ¬A4. ((A→ B) ∧ (¬A→ B))→ B5. (A→ (B ∧ C))→ (A→ B)6. ¬A→ (A→ B)7. ¬(A→ B)→ A8. A ∨B → (¬A→ B)9. A ∨B → (¬B → A)10. (¬A→ B)→ A ∨B11. (¬A→ B)→ B ∨A12. (A→ B)→ (A ∧ C → B ∧ C)13. (A ∨ C) ∧ (B ∨ C)→ ((A ∧B) ∨ C)14.

∧ni=1(Ai ∨B)→ (

∧ni=1 Ai) ∨B 3

15. (∧n

i=1 Bi)→ Bj für alle j : 1 ≤ j ≤ n.

Beweis:ad 1.: Es ist Cn({¬A,¬¬A}) = LAL. Also ist wegen (¬) A ∈ Cn({¬¬A}).Woraus die Behauptung folgt.

ad 2.: Nach Teil 1 ist ¬¬¬A→ ¬A ∈ Cn(∅). Auÿerdem ist nach Satz 29Teil 3 (¬¬¬A → ¬A) → (A → ¬¬A) ∈ Cn(∅). Also ist A → ¬¬A ∈Cn(∅).

ad 3.: Nach Satz 29 Teil 8 ist ¬A→ A ∨ ¬A ∈ Cn(∅). Also ist¬A→ A ∨ ¬A ∈ Cn({¬(A ∨ ¬A),¬A}).Also ist A ∨ ¬A ∈ Cn({¬(A ∨ ¬A),¬A}).Auÿerdem ist ¬(A ∨ ¬A) ∈ Cn({¬(A ∨ ¬A),¬A}).Insgesamt also {¬(A ∨ ¬A), A ∨ ¬A} ⊆ Cn({¬(A ∨ ¬A),¬A}).Also ist wegen der Transitivität und (¬) A ∈ Cn({¬(A ∨ ¬A)}).

Es ist ¬¬A→ A nach dem 1. Teil dieses Satzes eine Tautologie. Darüberhinaus ist A→ A ∨ ¬A eine Tautologie. Deswegen ist¬¬A→ A ∨ ¬A ∈ Cn({¬(A ∨ ¬A),¬¬A}).Also ist A ∨ ¬A ∈ Cn({¬(A ∨ ¬A),¬¬A}).Auÿerdem ist ¬(A ∨ ¬A) ∈ Cn({¬(A ∨ ¬A),¬¬A}).

3Wobei:V1

i=1 Ai := A1 undVn

i=1 Ai := (Vn−1

i=1 Ai) ∧An.


Also ist ¬A ∈ Cn({¬(A ∨ ¬A}).

Ingesamt ist also A, ¬A ∈ Cn({¬(A ∨ ¬A)}).Also ist mit (¬) A ∨ ¬A ∈ Cn(∅).

ad 4.: Nach Satz 29 ist(A→ B)→ ((¬A→ B)→ (A ∨ ¬A→ B)) ∈ Cn(∅). Also istA ∨ ¬A→ B ∈ Cn({A→ B,¬A→ B}). Also ist, daA ∨ ¬A ∈ Cn(∅)B ∈ Cn({A→ B,¬A→ B}).Nach (∧) ist Cn({A → B,¬A → B}) = Cn({(A → B) ∧ (¬A → B)}).Woraus die Behauptung folgt.

ad 5.: Es ist B ∧ C → B ∈ Cn(∅). Also ist B ∈ Cn({A, A → B ∧ C}).Woraus mit (→) die Behauptung folgt.

ad 6.: Es ist Cn({A,¬A}) = LAL. Also ist B ∈ Cn({A,¬A}). Wor-aus die Behauptung folgt.

ad 7.: Nach Teil 6 ist ¬A→ (A→ B) ∈ Cn(∅).Also ist Cn({¬(A→ B),¬A}) = LAL

Also ist wegen (¬) A ∈ Cn({¬(A→ B)}).

ad 8.: Es ist nach (∨) B ∈ Cn({A ∨ B,¬A}) gdw. B ∈ Cn({A,¬A}) ∩Cn({B,¬A}). Letzteres gilt aber. Also ist B ∈ Cn({A ∨ B,¬A}). Alsogilt wegen (→) die Behauptung.

ad 9.: Analog zu 8.

ad 10.: Es ist, da B → A ∨B eine Tautologie ist,A ∨B ∈ Cn({¬A→ B,¬A}).Auch ist A ∨B ∈ Cn({¬A→ B, A}).Also ist mit Teil 4 dieser Behauptung A ∨B ∈ Cn({¬A→ B}).

ad 11.: Analog zu 10.

ad 12.: Es ist B, C ∈ Cn({A→ B, A,C}) = Cn({A→ B, A ∧ C}).Und da B → (C → B ∧ C) eine Tautologie ist, gilt die Behauptung.

ad 13.: Nach Teil 9 ist A ∈ Cn({A∨C,¬C}) und B ∈ Cn({B∨C,¬C}).


Also ist A, B ∈ Cn({A ∨ C, B ∨ C,¬C}).Also ist wegen (∧) A ∧B ∈ Cn({A ∨ C, B ∨ C,¬C}).Also wegen (→) ¬C → A ∧B ∈ Cn({A ∨ C, B ∨ C}).Nach Teil 11 ist (A ∧B) ∨ C ∈ Cn({A ∨ C, B ∨ C}).Also ist wegen (∧) (A ∧B) ∨ C ∈ Cn({(A ∨ C) ∧ (B ∨ C)}).Aufgrund von (→) gilt die Behauptung.

ad 14.: Beweis durch Induktion nach der Anzahl der Konjunktionsgliedern.Induktionsanfang: n=1 . In diesem Fall ist zu zeigen, dass (A1 ∨ B) →(A1 ∨B) ∈ Cn(∅). Dies gilt aber aufgrund von (→).Induktionsschritt: n→ n + 1Induktionsvoraussetzung:

∧ni=1(Ai ∨B)→ (

∧ni=1 Ai) ∨B ∈ Cn(∅).

Aufgrund von Teil 12 dieses Satzes folgt aus der Induktionsvorausset-zung:∧n

i=1(Ai ∨B) ∧ (Ai+1 ∨B)→ ((∧n

i=1 Ai) ∨B) ∧ (Ai+1 ∨B) ∈ Cn(∅).Wegen Teil 13 dieses Satzes ist also∧n

i=1(Ai ∨ B) ∧ (Ai+1 ∨ B) → ((∧n

i=1 Ai ∧ Ai+1) ∨ B) ∈ Cn(∅). NachDe�nition von

∧folgt, dass

∧n+1i=1 (Ai ∨B)→ (

∧n+1i=1 Ai) ∨B ∈ Cn(∅).

ad 15.: Beweis durch Induktion nach der Anzahl der Konjunktionsgliedern.Induktionanfang: n = 1. Es ist A1 → A1 eine Tautologie.Induktionsschritt: n→ n + 1Induktionsvoraussetzung: (

∧ni=1 Bi)→ Bj ist für alle j : 1 ≤ j ≤ n eine

Tautologie.Wir unterscheiden zwei Fälle:Fall 1: j = n+1. Dann ist, da (

∧ni=1 Bi)∧Bn+1 → Bn+1 eine Tautologie

ist, die Behauptung gezeigt.Fall 2: j ≤ n. Es ist wegen der Induktionsvoraussetzung(∧n

i=1 Bi)→ Bj für alle j : 1 ≤ j ≤ n eine Tautologie.Also ist, da (

∧ni=1 Bi)∧Bn+1 →

∧ni=1 Bi eine Tautologie ist, wegen Satz

28 die Behauptung gezeigt.

3.4 Aussagenlogische Konsequenzoperationen und Unabhängigkeit

Das Hauptresultat dieser Arbeit ist, dass jede Menge ein unabhäng-iges Axiomensystem hat (vgl. Hauptsatz 31). Dieses Resultat gilt abernur für �nitäre aussagenlogische Konsequenzoperationen und abzählba-re Sprachen. Es �ndet sich bei Monk ([2], S.370-371). Der Beweis dortist allerdings eher skizzenhaft und geschieht innerhalb eines spezielleren


Rahmens, sodass eine Verallgemeinerung und ein ausführlicher Beweisdringend notwendig waren.Beachtenswert ist, dass im Beweis der Satz, dass jede endlich axioma-tisierbare Menge hinsichtlich �nitären Konsequenzoperationen ein un-abhängiges Axiomensystem hat, wesentlich ein�ieÿt. Insbesondere ist esalso notwendig, diesen Satz vorher zu beweisen und nicht als bloÿenSpezialfall des nächsten Satzes anzusehen.

Hauptsatz 31. Sei Cn eine �nitäre AL-KO und T eine abzählbareSatzmenge 4. Dann gibt es ein unabhängiges Axiomensystem S′ für T .

Beweis: Da T abzählbar ist, gibt es zwei Fälle:Fall 1: T ist endlich. Dann ist T endlich axiomatisierbar. Da Cn �nitärist, existiert folglich nach Satz 23 ein unabhängiges Axiomensystem fürT .Fall 2: T ist abzählbar unendlich. Dann ist T = {Ai : i ∈ N}.Sei B1 := A1

und Bk+1 := (∧k

i=1 Ai → Ak+1).Sei S := {Bi : i ∈ N}

Es wird wie folgt vorgegangen: Zunächst wird gezeigt, dass S einAxiomensystem von T ist, dann wird ein S′ de�niert, das unabhängigist und ein Axiomensystem für S ist. Dann ist S′ auch ein unabhängigesAxiomensystem für T .Es gilt:1) S ist ein Axiomensystem für T , d.h. Cn(S) = Cn(T ).Beweis:"⊆": Cn(S) ⊆ Cn(T ). Es genügt wegen der Transitivität zu zeigen, dassS ⊆ Cn(T ).Sei B ∈ S. Dann ist B = Bk für ein k.Fall 1 : k = 1. Dann ist B = A1 und A1 ∈ T .Fall 2 : k ≥ 2. Dann ist B =

∧k−1i=1 Ai → Ak. Es ist Ak ∈ T und also nach

Satz 29 Teil 1∧k−1i=1 Ai → Ak ∈ Cn(T ).

"⊇": Cn(T ) ⊆ Cn(S). Wieder genügt es zu zeigen, dass T ⊆ Cn(S).Sei An ∈ T . Gezeigt wird: An ∈ Cn({B1, ..., Bn})Beweis durch Induktion nach n.Induktionsanfang: Sei n = 1.Es ist A1 ∈ Cn({A1}) und also da A1 = B1 gilt die Behauptung.Induktionsschritt: k ≤ n→ n + 1

4Da LAL abzählbar ist, ist es auch T . Man bräuchte dies also von T nicht zu

fordern. Es soll aber explizit gemacht werden.


Induktionsvoraussetzung: Ak ∈ Cn({B1, ..., Bk}) für alle k ≤ n.Zu zeigen ist An+1 ∈ Cn({B1, ..., Bn+1}).Nach der Induktionsvoraussetzung gilt: Ak ∈ Cn({B1, ..., Bk}) für allek : 1 ≤ k ≤ n. Folglich ist aufgrund der Monotonie{Ai : 1 ≤ i ≤ n} ⊆ Cn({B1, ..., Bn}).Wegen (∧)5 ist

∧ni=1 Ai ∈ Cn({B1, ..., Bn}) (*).

Da Bn+1 =∧n

i=1 Ai → An+1, ist∧n

i=1 Ai → An+1 ∈ Cn({Bn+1}) (**).Aus (*) und (**) folgt wegen des Schnittes An+1 ∈ Cn({B1, ..., Bn+1}).Womit die Behauptung gezeigt ist.

Sei nun S′ := S \ {A : A ist eine Tautologie}.Dann ist wegen Satz 112) Cn(S′) = Cn(S).

S′ ist unabhängig. Um dies einzusehen, wird ein Hilfssatz benötigt:3) Für alle k, j ∈ N : Bk ∨Bj ist eine Tautologie, falls j 6= k.Beweis: Sei o.B.d.A. j < k.Nach Satz 30 Teil 7 ist ¬(

∧k−1i=1 Ai → Ak)→

∧k−1i=1 Ai ∈ Cn(∅).

Also ist, da j < k und folglich Aj in∧k−1

i=1 Ai auftritt,∧k−1i=1 Ai → Aj ∈ Cn(∅) (Satz 30 Teil 15)

und also ¬(∧k−1

i=1 Ai → Ak)→ Aj ∈ Cn(∅).Nach Satz 29 Teil 1 ist Aj → (

∧j−1i=1 Ai → Aj) ∈ Cn(∅).

Insgesamt also ¬(∧k−1

i=1 Ai → Ak)→ (∧j−1

i=1 Ai → Aj) ∈ Cn(∅).d.h.¬Bk → Bj ∈ Cn(∅).Nach Satz 30 Teil 10 ist also Bk ∨Bj eine Tautologie.

Nun lässt sich Folgendes zeigen:4) S′ ist unabhängig.Beweis: Angenommen, S′ ist nicht unabhängig.Dann ist B ∈ Cn(S′ \ {B}) für ein B ∈ S′. Es ist B = Bn für einenatürliche Zahl n und Bn ist nicht tautolog.Also existiert, da Cn �nitär ist, ein endliches S′′ mit S′′ ⊆ S′ \{Bn} undB ∈ Cn(S′′). Zwei Fälle sind zu unterscheiden:Fall 1 : S′′ = ∅. Dann ist Bn tautolog. Widerspruch!Fall 2 : S′′ = {Bl1, ..., Blm}.Dann ist wegen (→) und (∧)

∧mr=1 Blr → Bn ∈ Cn(∅)(∗).

Nach 3) gilt, da Bn 6∈ S′′ und also Bn 6= Blr

Blr ∨Bn ∈ Cn(∅) für alle r : 1 ≤ r ≤ m.

5Wie man leicht durch Induktion zeigen kann.


Also ist wegen (∧)∧m

r=1(Blr ∨Bn) ∈ Cn(∅).Aufgrund von Satz 30 Teil 14 ist (

∧mr=1 Blr) ∨Bn ∈ Cn(∅).

Also ist wegen Satz 30 Teil 8 ¬∧m

r=1 Blr → Bn ∈ Cn(∅) (**).Aus (*) und (**) folgt mit Satz 30 Teil 4, dass Bn ∈ Cn(∅).Das ist ein Widerspruch zu: Bn ist keine Tautologie.

Somit ist S′ ein unabhängiges Axiomensytem für T .

Bemerkung: Der Satz liefert, wie aus dem Beweis ersichtlich ist, einee�ektive Methode, um zu einer vorgegebenen Menge ein unabhängigesAxiomensystem zu �nden.

Christian WallmannFachbereich Philosophie (KGW)Universität SalzburgFranziskanergasse 15020 Salzburg, Austria

<[email protected]>


Literatur

[1] Günter Asser. Einführung in die mathematische Logik, Teil 1 Aus-sagenkalkül. B.G. Teubner Verlagsgesellschaft, Leipzig, 6. Au�ageedition, 1983.

[2] J. Donald Monk. Mathematical Logic. Springer, New York, 1976.

[3] Witold Pogorzelski and Piotr Wojtylak. Completeness Theory forPropositional Logics. Birkhäuser, Basel, 2008.

[4] Ryszard Wojcicki. Theory of logical calculi. Kluwer Academic Pu-blishers, Dordrecht, 1988.

Der Hauptsatz der Smullyanmengen

Alexander Zimmermann

Abstract

In this article we prove step by step the main theorem of Smullyan

sets. This main theorem says that each element of a Smullyan set

is simultaneously satis�able in a semantic system of model sets

and therefore also, for example, in a semantic system of truth

sets as well as in a semantic system according to Henkin. After

that, we prove the semantical compactness of a propositional logic

system as an example of a utilisation of Smullyan sets and its main

theorem.

1 Einleitung

Mit Hilfe von Smullyanmengen, einer Art Hintikkamengen auf höhererEbene, und dem Hauptsatz der Smullyanmengen (vergleiche das Meta-theorem 13) sind auf eine verblü�end einfache Art und Weise eine Reihevon Metatheoremen eines Logiksystems beweisbar. Trotz dieses Vorteilsder Smullyanmethode gegenüber beispielsweise der Henkinmethode hatsie sich gegenüber dieser in der Literatur bis heute nicht durchgesetzt.

Die De�nition des Prädikats ,ist eine Smullyanmenge' geht auf denUS-amerikanischen Logiker und Mathematiker Raymond Smullyan (*1919) zurück. Smullyan erkannte, dass bei der üblichen Beweismethodeder Ableitbarkeitsvollständigkeit eines syntaktischen Logiksystems (so-fern sie beweisbar ist), der Kompaktheit sowohl eines syntaktischen alsauch eines semantischen Systems (sofern sie beweisbar sind) und anderenMetatheoremen ähnliche Beweisschritte ausgeführt werden. Daraufhinhat er eine Beweismethode entwickelt, bei der die strukturellen Gemein-samkeiten dieser Beweise quasi herausdestilliert werden.

Sowohl in [3] als auch in [1] sind lediglich Beweisideen oder Beweis-fragmente angeführt. Eine systematische Ausarbeitung sowohl des Be-weises des Hauptsatzes der Smullyanmengen als auch von Beweisen, beidenen dieser Hauptsatz angewendet wird, fehlt. Diesen Mangel werden



wir im Folgenden beheben, wobei wir uns in diesem Artikel auf die Aus-sagenlogik beschränken und die Smullyanmethode exemplarisch nur fürden Beweis der semantischen Kompaktheit eines aussagenlogischen Sys-tems zeigen.

2 Einige vorausgesetzte De�nitionen und später benötigte Me-

tatheoreme

Zu den folgenden De�nitionen und Metatheoremen siehe [4].

De�nition 1. Für jede Formelmenge T gilt:T ist eine Hintikkamenge gdw für jede Formel A sowie für jede FormelB gilt:

(1) Wenn A ∈ T und wenn A atomar ist, dann ¬A /∈ T ,

(2) wenn ¬¬A ∈ T , dann A ∈ T ,

(3) wenn (A ∧B) ∈ T , dann A ∈ T und B ∈ T ,

(4) wenn ¬(A ∧B) ∈ T , dann ¬A ∈ T oder ¬B ∈ T ,

(5) wenn (A ∨B) ∈ T , dann A ∈ T oder B ∈ T ,

(6) wenn ¬(A ∨B) ∈ T , dann ¬A ∈ T und ¬B ∈ T ,

(7) wenn (A→ B) ∈ T , dann ¬A ∈ T oder B ∈ T ,

(8) wenn ¬(A→ B) ∈ T , dann A ∈ T und ¬B ∈ T ,

(9) wenn (A ↔ B) ∈ T , dann (A ∈ T und B ∈ T ) oder (¬A ∈ T und¬B ∈ T ), und

(10) wenn ¬(A ↔ B) ∈ T , dann (¬A ∈ T oder ¬B ∈ T ) und (A ∈ Toder B ∈ T ).1

Drei Beispiele für Hintikkamengen: {p,¬¬p}, {(¬p→ q),¬¬p, p}, ∅.

De�nition 2. Für jede Hintikkamenge T sowie für jede FormelmengeT ∗ gilt:T erfüllt simultan hintikkamengensemantisch T ∗ (kurz: �T3 T ∗) gdwT ∗ ⊆ T .

1Vgl. [2], S. 27.


De�nition 3. Für jede Formelmenge T ∗ gilt:T ∗ ist hintikkamengensemantisch simultan erfüllbar gdw es mindestenseine Hintikkamenge T gibt derart, dass �T3 T ∗.

De�nition 4. Für jede Funktion f gilt:f ist eine Belegung gdw f eine Funktion von der Menge aller und nurder Aussagenkonstanten einer aussagenlogischen Sprache (kurz: Atom-formeln) in {0,1} ist.

De�nition 5. Für jede Belegung β sowie für jede Formel A gilt:β ist ein belegungssemantisches Modell von A (kurz: �β0 A) gdw für jedeFormel B sowie für jede Formel C gilt:

(1) Wenn A atomar ist, dann gilt: �β0 A gdw β(A) = 1,

(2) wenn A = ¬B, dann gilt: �β0 ¬B gdw es nicht der Fall ist, dass

2β0 B,2

(3) wenn A = (B ∧ C), dann gilt: �β0 (B ∧ C) gdw �β0 B und �β0 C,

(4) wenn A = (B ∨ C), dann gilt: �β0 (B ∨ C) gdw �β0 B oder �β0 C,

(5) wenn A = (B → C), dann gilt: �β0 (B → C) gdw �β0 ¬B oder

�β0 C,

(6) wenn A = (B ↔ C), dann gilt: �β0 (B ↔ C) gdw (�β0 B und �β0 C)oder (�β0 ¬B und �β0 ¬C).

De�nition 6. Für jede Belegung β sowie für jede Formelmenge T gilt:β erfüllt simultan belegungssemantisch T (kurz: �β1 T ) gdw für jede

Formel A gilt: Wenn A ∈ T , dann �β0 A.

Metatheorem 7. Für jede Belegung β sowie für jede Formel A gilt:�β1 {A} gdw �β0 A.

Beweis:Trivial.

De�nition 8. Für jede Formelmenge T gilt:T ist belegungssemantisch simultan erfüllbar gdw es mindestens eineBelegung β gibt derart, dass �β1 T .

2Statt ,Es ist nicht der Fall, dass �β0 A' schreiben wir kurz ,2β0 A'.


Metatheorem 9. Für jede Belegung β sowie für jede Formelmenge Tsowie für jede Formelmenge T ∗ gilt:�β1 T ∪ T ∗ gdw �β1 T und �β1 T

∗.

Beweis:Trivial.

De�nition 10. S̄ = {A : A ist eine Formel einer aussagenlogischenSprache.}.

3 Smullyanmengen

De�nition 11. Für jede Menge M gilt:P(M) = {N : N ⊆M}.De�nition 12. Für jede Menge Θ gilt:Θ ist eine Smullyanmenge gdw gilt:

(1) Θ ⊆ P(S̄), und

(2) für jede Formelmenge T gilt: Wenn T ∈ Θ, dann gilt für jedeFormel A sowie für jede Formel B:

(a) Wenn A ∈ T und wenn A atomar ist, dann ¬A /∈ T , und(b) wenn ¬¬A ∈ T , dann T ∪ {A} ∈ Θ, und

(c) wenn (A ∧B) ∈ T , dann T ∪ {A,B} ∈ Θ, und

(d) wenn ¬(A∧B) ∈ T , dann T ∪ {¬A} ∈ Θ oder T ∪ {¬B} ∈ Θ,und

(e) wenn (A ∨ B) ∈ T , dann T ∪ {A} ∈ Θ oder T ∪ {B} ∈ Θ,und

(f) wenn ¬(A ∨B) ∈ T , dann T ∪ {¬A,¬B} ∈ Θ, und

(g) wenn (A→ B) ∈ T , dann T ∪ {¬A} ∈ Θ oder T ∪ {B} ∈ Θ,und

(h) wenn ¬(A→ B) ∈ T , dann T ∪ {A,¬B} ∈ Θ, und

(i) wenn (A ↔ B) ∈ T , dann T ∪ {A,B} ∈ Θ oder T ∪{¬A,¬B} ∈ Θ, und

(j) wenn ¬(A ↔ B) ∈ T , dann T ∪ {A,¬B} ∈ Θ oder T ∪{¬A,B} ∈ Θ.3

Vier Beispiele für Smullyanmengen: {{¬¬p}, {¬¬p, p}}, {{(¬p→ q)},{(¬p→ q),¬¬p}, {(¬p→ q),¬¬p, p}}, {{(¬p→ q)}, {(¬p→ q), q}}, ∅.

3Vergleiche [1], S. 53. Fitting nennt in diesem Buch eine solche Menge 'proposi-tional consistency property'.


4 Hauptsatz: Jedes Element einer Smullyanmenge ist hintik-

kamengensemantisch simultan erfüllbar.

Metatheorem 13. Für jede Formelmenge T sowie für jede Smullyan-menge Θ gilt:Wenn T ∈ Θ, dann ist T hintikkamengensemantisch simultan erfüllbar.

Die Vorarbeiten für den Beweis von T13:4

Hilfsde�nition 1 (HD1) (Die Menge aller und nur der Teilmengenaller und nur der Elemente von Θ):

Θ⊆ = {T : Es gibt mindestens eine Formelmenge T ∗ derart, dassT ∗ ∈ Θ und T ⊆ T ∗.}

Hilfssatz 2 (HS2):

Für jede Menge Θ gilt:Wenn Θ eine Smullyanmenge ist, dann Θ ⊆ Θ⊆.

Beweis:Annahme: Θ ist eine Smullyanmenge.Zu zeigen: Θ ⊆ Θ⊆.Es genügt zu zeigen: Für jede Formelmenge T gilt, dass, wenn T ∈ Θ,dann T ∈ Θ⊆.Annahme∗: T ∈ Θ.Zu zeigen∗: T ∈ Θ⊆.Aus der Annahme∗ folgt zusammen mit ML: Es gibt mindestens eineFormelmenge T ∗ derart, dass T ∗ ∈ Θ und T ⊆ T ∗, nämlich T . Also nachHD1: T ∈ Θ⊆.

Hilfssatz 3 (HS3):

Für jede Formelmenge T sowie für jede Formelmenge T ∗ sowie fürjede Smullyanmenge Θ gilt:Wenn T ⊆ T ∗ und wenn T ∗ ∈ Θ, dann T ∈ Θ⊆.

Beweis:Sei Θ eine Smullyanmenge und seien T, T ∗ Formelmengen.Annahme: T ∗ ∈ Θ und T ⊆ T ∗.

4Siehe auch [3], S. 34-36, und [1], S. 53-55.


Zu zeigen: T ∈ Θ⊆.Aus der Annahme folgt nach HD1: T ∈ Θ⊆.

Hilfssatz 4 (HS4):5

Für jede Menge Θ gilt:Wenn Θ eine Smullyanmenge ist, dann ist Θ⊆ eine Smullyanmenge.

Beweis:Annahme: Θ ist eine Smullyanmenge.Zu zeigen: Θ⊆ ist eine Smullyanmenge.Sei T eine Formelmenge und sei T ∈ Θ⊆. Also nach HD1: Es gibt min-destens eine Formelmenge T ∗ derart, dass T ∗ ∈ Θ und T ⊆ T ∗. Sei T ∗

eine solche Formelmenge. Also: T ∗ ∈ Θ und T ⊆ T ∗. Seien A,B Formeln.

1. Annahme: A ∈ T und A ist atomar.Zu zeigen: ¬A /∈ T .Wegen: T ⊆ T ∗ und A ∈ T , gilt nach ML: A ∈ T ∗. Wegen: T ∗ ∈ Θund Θ ist eine Smullyanmenge, gilt nach D12: ¬A /∈ T ∗. WegenT ⊆ T ∗ gilt nach ML: ¬A /∈ T .

2. Annahme: ¬¬A ∈ T .Zu zeigen: T ∪ {A} ∈ Θ⊆.Wegen: T ⊆ T ∗ und ¬¬A ∈ T , gilt nach ML: ¬¬A ∈ T ∗. Wegen:T ∗ ∈ Θ und Θ ist eine Smullyanmenge, gilt nach D12: T ∗ ∪ {A} ∈Θ. Wegen T ⊆ T ∗ gilt nach ML: T ∪ {A} ⊆ T ∗ ∪ {A}. Also nachHS3: T ∪ {A} ∈ Θ⊆.

3. Annahme: (A ∧B) ∈ T .Zu zeigen: T ∪ {A,B} ∈ Θ⊆.Analog zu 2.

4. Annahme: ¬(A ∧B) ∈ T .Zu zeigen: T ∪ {¬A} ∈ Θ⊆ oder T ∪ {¬B} ∈ Θ⊆.Wegen: T ⊆ T ∗ und ¬(A ∧B) ∈ T , gilt nach ML: ¬(A ∧B) ∈ T ∗.Wegen: T ∗ ∈ Θ und Θ ist eine Smullyanmenge, gilt nach D12:T ∗ ∪ {¬A} ∈ Θ oder T ∗ ∪ {¬B} ∈ Θ. 1. Fall: T ∗ ∪ {¬A} ∈ Θ.Wegen T ⊆ T ∗ gilt nach ML: T ∪ {¬A} ⊆ T ∗ ∪ {¬A}. Also nachHS3: T ∪{¬A} ∈ Θ⊆. Also: T ∪{¬A} ∈ Θ⊆ oder T ∪{¬B} ∈ Θ⊆.

5Dieser Hilfssatz erleichtert die Anwendung von Smullyanmengen ungemein.


2. Fall: T ∗ ∪{¬B} ∈ Θ. Wegen T ⊆ T ∗ gilt nach ML: T ∪{¬B} ⊆T ∗∪{¬B}. Also nach HS3: T ∪{¬B} ∈ Θ⊆. Also: T ∪{¬A} ∈ Θ⊆

oder T ∪ {¬B} ∈ Θ⊆. Also in jedem Fall: T ∪ {¬A} ∈ Θ⊆ oderT ∪ {¬B} ∈ Θ⊆.

5. Annahme: (A ∨B) ∈ T .Zu zeigen: T ∪ {A} ∈ Θ⊆ oder T ∪ {B} ∈ Θ⊆.Analog zu 4.

6. Annahme: ¬(A ∨B) ∈ T .Zu zeigen: T ∪ {¬A,¬B} ∈ Θ⊆.Analog zu 2.

7. Annahme: (A→ B) ∈ T .Zu zeigen: T ∪ {¬A} ∈ Θ⊆ oder T ∪ {B} ∈ Θ⊆.Analog zu 4.

8. Annahme: ¬(A→ B) ∈ T .Zu zeigen: T ∪ {A,¬B} ∈ Θ⊆.Analog zu 2.

9. Annahme: (A↔ B) ∈ T .Zu zeigen: T ∪ {A,B} ∈ Θ⊆ oder T ∪ {¬A,¬B} ∈ Θ⊆.Analog zu 4.

10. Annahme: ¬(A↔ B) ∈ T .Zu zeigen: T ∪ {A,¬B} ∈ Θ⊆ oder T ∪ {¬A,B} ∈ Θ⊆.Analog zu 4.

Also nach D12: Θ⊆ ist eine Smullyanmenge.

Damit sind die Vorarbeiten für den Beweis von T13 abgeschlossenund wir beginnen mit dem Beweis von T13:6

Beweis:Sei T eine Formelmenge und sei Θ eine Smullyanmenge.Annahme: T ∈ Θ.Zu zeigen: T ist hintikkamengensemantisch simultan erfüllbar.Aus der Annahme folgt nach HS4: Θ⊆ ist eine Smullyanmenge.

6Siehe auch [3], S. 34-36, und [1], S. 53-55.


Sei A0, A1, A2, A3, ... eine Abzählung aller Formeln.

Wir de�nieren induktiv eine Abzählung T0, T1, T2, T3, ... von Formelmen-gen:7

Hilfsde�nition 5 (HD5):

(1) T0 = T

(2) Tk+1 (mit k ≥ 0) =

{Tk ∪ {Ak}, falls Tk ∪ {Ak} ∈ Θ⊆

Tk, sonst

Hilfssatz 6 (HS6):

Für jede natürliche Zahl k gilt, dass für jede natürliche Zahl n gilt:Tn ⊆ Tn+k.

Beweis:

Wir beweisen mit Hilfe eines Prinzips der vollständigen Induktion:

Für jede natürliche Zahl k gilt, dass für jede natürliche Zahl n gilt:Tn ⊆ Tn+k.

Basisbehauptung:

Für jede natürliche Zahl n gilt: Tn ⊆ Tn+0.

Induktionsbasis:Sei n eine natürliche Zahl. Nach ML gilt: Tn ⊆ Tn. Also: Tn ⊆ Tn+0.

Schrittbehauptung:

Für jede natürliche Zahl k gilt, dass für jede natürliche Zahl n gilt:Wenn Tn ⊆ Tn+k, dann Tn ⊆ Tn+k+1.

I) Induktionsvoraussetzung (I.V.):Sei k eine natürliche Zahl und gelte für jede natürliche Zahl n: Tn ⊆Tn+k.

II) Zu zeigen ist:

7Wir de�nieren also induktiv eine Funktion T .


Für jede natürliche Zahl n gilt: Tn ⊆ Tn+k+1.

Sei n eine natürliche Zahl. Nach HD5 sind die folgenden Fälle mög-lich:

1. Fall Tn+k ∪ {An+k} ∈ Θ⊆. Also nach HD5: Tn+k+1 = Tn+k ∪ {An+k}.Also nach ML: Tn+k ⊆ Tn+k ∪{An+k}. Nach I.V. gilt: Tn ⊆ Tn+k.Also nach ML: Tn ⊆ Tn+k ∪ {An+k}. Also: Tn ⊆ Tn+k+1.

2. Fall Tn+k ∪ {An+k} /∈ Θ⊆. Also nach HD5: Tn+k+1 = Tn+k. Also nachML: Tn+k ⊆ Tn+k ∪ {An+k}. Nach I.V. gilt: Tn ⊆ Tn+k. Also:Tn ⊆ Tn+k+1.

Also in jedem Fall: Tn ⊆ Tn+k+1.

Hilfssatz 7 (HS7):

Für jede natürliche Zahl k gilt:Tk ∈ Θ⊆.

Beweis:

Wir beweisen mit Hilfe eines Prinzips der vollständigen Induktion:

Für jede natürliche Zahl k gilt: Tk ∈ Θ⊆.

Basisbehauptung:

T0 ∈ Θ⊆.

Induktionsbasis:Nach HD5 gilt: T0 = T . Nach der Annahme gilt: T0 ∈ Θ. Weil Θ eineSmullyanmenge ist, gilt nach HS2: Θ ⊆ Θ⊆. Also nach ML: T0 ∈ Θ⊆.

Schrittbehauptung:

Für jede natürliche Zahl k gilt: Wenn Tk ∈ Θ⊆, dann Tk+1 ∈ Θ⊆.

I) Induktionsvoraussetzung (I.V.):Sei k eine natürliche Zahl und gelte: Tk ∈ Θ⊆.


II) Zu zeigen ist:Tk+1 ∈ Θ⊆.

Nach HD5 sind die folgenden Fälle möglich:

(1) Tk ∪ {Ak} ∈ Θ⊆. Also nach HD5: Tk+1 = Tk ∪ {Ak}. Also: Tk+1 ∈Θ⊆.

(2) Tk ∪ {Ak} /∈ Θ⊆. Also nach HD5: Tk+1 = Tk. Nach I.V. gilt:Tk ∈ Θ⊆. Also: Tk+1 ∈ Θ⊆.

Also in jedem Fall: Tk+1 ∈ Θ⊆.


T∪ =⋃∞i=0 Ti.

8

Hilfssatz 9 (HS9):

Für jede natürliche Zahl k gilt:Wenn Tk ∪ {Ak} ∈ Θ⊆, dann Ak ∈ T∪.

Beweis:Sei k eine natürliche Zahl.Annahme: Tk ∪ {Ak} ∈ Θ⊆.Zu zeigen: Ak ∈ T∪.Aus der Annahme folgt nach HD5: Tk+1 = Tk ∪ {Ak}. Also nach ML:Ak ∈ Tk+1. Also nach HD8: Ak ∈ T∪.

Hilfssatz 10 (HS10):

T∪ ist eine Hintikkamenge.

Beweis:Seien A,B Formeln.

1. Annahme: A ∈ T∪ und A ist atomar.Zu zeigen: ¬A /∈ T∪.

8Mit anderen Worten: T∪ = {A: Es gibt mindestens eine natürliche Zahl i derart,dass A ∈ Ti.}. Mit nochmals anderen Worten: T∪ = T0 ∪ T1 ∪ T2 ∪ ...


Indirekte Annahme: ¬A ∈ T∪.Aus der indirekten Annahme und der Annahme folgt nach Kon-struktion: Es gibt mindestens eine natürliche Zahl m derart, dassA ∈ Tm und ¬A ∈ Tm. Sei m eine solche natürliche Zahl. Al-so: A ∈ Tm und ¬A ∈ Tm. Nach HS7 gilt: Tm ∈ Θ⊆. Weil Θeine Smullyanmenge ist, gilt nach HS4: Θ⊆ ist eine Smullyanmen-ge. Weil A ∈ Tm und A atomar ist, gilt nach D12: ¬A /∈ Tm.¬A /∈ Tm steht im kontradiktorischen Widerspruch (kurz: Wider-spruch) zu: ¬A ∈ Tm. Aus einem Widerspruch folgt Beliebiges,also auch: ¬A ∈ Tm∗ und ¬A /∈ Tm∗ . Also: ¬A /∈ T∪.

2. Annahme: ¬¬A ∈ T∪.Zu zeigen: A ∈ T∪.Aus der Annahme folgt: Es gibt mindestens eine natürliche Zahl mderart, dass A = Am. Sei m eine solche natürliche Zahl. Also nachKonstruktion: Es gibt mindestens eine natürliche Zahl nmit n ≥ mderart, dass ¬¬A ∈ Tn. Sei n eine solche natürliche Zahl mit n ≥m. Also: A = Am und ¬¬A ∈ Tn. Nach HS7 gilt: Tn ∈ Θ⊆. Weil Θeine Smullyanmenge ist, gilt nach HS4: Θ⊆ ist eine Smullyanmenge.Weil ¬¬A ∈ Tn und A = Am, gilt nach D12: Tn ∪ {Am} ∈ Θ⊆.Also nach HD1: Es gibt mindestens eine Formelmenge T ∗ derart,dass T ∗ ∈ Θ und Tn ∪ {Am} ⊆ T ∗. Weil m ≤ n, gilt nach HD5:Tm ⊆ Tn. Also nach ML: Tm ∪ {Am} ⊆ Tn ∪ {Am}. Zusammenmit: Es gibt mindestens eine Formelmenge T ∗ derart, dass T ∗ ∈Θ und Tn ∪ {Am} ⊆ T ∗, gilt nach ML: Es gibt mindestens eineFormelmenge T ∗ derart, dass T ∗ ∈ Θ und Tm ∪ {Am} ⊆ T ∗. Alsonach HD1: Tm ∪ {Am} ∈ Θ⊆. Also nach HS9: Am ∈ T∪. WeilA = Am, gilt: A ∈ T∪.

3. Annahme: (A ∧B) ∈ T∪.Zu zeigen: A ∈ T∪ und B ∈ T∪.Aus der Annahme folgt: Es gibt mindestens eine natürliche Zahlm sowie mindestens eine natürliche Zahl n derart, dass A = Amund B = An. Seien m,n solche natürliche Zahlen. Also nach Kon-struktion: Es gibt mindestens eine natürliche Zahl k mit k ≥ m,nderart, dass (A ∧ B) ∈ Tk. Sei k eine solche natürliche Zahl mitk ≥ m,n. Also: A = Am, B = An und (A ∧ B) ∈ Tk. Nach HS7gilt: Tk ∈ Θ⊆. Weil Θ eine Smullyanmenge ist, gilt nach HS4:Θ⊆ ist eine Smullyanmenge. Weil (A ∧ B) ∈ Tk, A = Am undB = An, gilt nach D12: Tk ∪ {Am, An} ∈ Θ⊆. Also nach HD1: Esgibt mindestens eine Formelmenge T ∗ derart, dass T ∗ ∈ Θ und


Tk ∪ {Am, An} ⊆ T ∗. Weil m ≤ k, gilt nach HD5: Tm ⊆ Tk. Al-so nach ML: Tm ∪ {Am} ⊆ Tk ∪ {Am, An}. Zusammen mit: Esgibt mindestens eine Formelmenge T ∗ derart, dass T ∗ ∈ Θ undTk ∪ {Am, An} ⊆ T ∗, gilt nach ML: Es gibt mindestens eine For-melmenge T ∗ derart, dass T ∗ ∈ Θ und Tm ∪ {Am} ⊆ T ∗. Alsonach HD1: Tm ∪ {Am} ∈ Θ⊆. Also nach HS9: Am ∈ T∪. WeilA = Am, gilt: A ∈ T∪. Weil n ≤ k, gilt nach HD5: Tn ⊆ Tk.Also nach ML: Tn ∪ {An} ⊆ Tk ∪ {Am, An}. Zusammen mit: Esgibt mindestens eine Formelmenge T ∗ derart, dass T ∗ ∈ Θ undTk ∪ {Am, An} ⊆ T ∗, gilt nach ML: Es gibt mindestens eine For-melmenge T ∗ derart, dass T ∗ ∈ Θ und Tn ∪{An} ⊆ T ∗. Also nachHD1: Tn ∪ {An} ∈ Θ⊆. Also nach HS9: An ∈ T∪. Weil B = An,gilt: B ∈ T∪. Also: A ∈ T∪ und B ∈ T∪.

4. Annahme: ¬(A ∧B) ∈ T∪.Zu zeigen: ¬A ∈ T∪ oder ¬B ∈ T∪.Analog zu 3.

5. Annahme: (A ∨B) ∈ T∪.Zu zeigen: A ∈ T∪ oder B ∈ T∪.Analog zu 3.

6. Annahme: ¬(A ∨B) ∈ T∪.Zu zeigen: ¬A ∈ T∪ und ¬B ∈ T∪.Analog zu 3.

7. Annahme: (A→ B) ∈ T∪.Zu zeigen: ¬A ∈ T∪ oder B ∈ T∪.Analog zu 3.

8. Annahme: ¬(A→ B) ∈ T∪.Zu zeigen: A ∈ T∪ und ¬B ∈ T∪.Analog zu 3.

9. Annahme: (A↔ B) ∈ T∪.Zu zeigen: (A ∈ T∪ und B ∈ T∪) oder (¬A ∈ T∪ und ¬B ∈ T∪).Aus der Annahme folgt: Es gibt mindestens eine natürliche Zahlm sowie mindestens eine natürliche Zahl n sowie mindestens einenatürliche Zahl i sowie mindestens eine natürliche Zahl j derart,dass A = Am, B = An,¬A = Ai,¬B = Aj . Seien m,n, i, j solchenatürliche Zahlen. Also nach Konstruktion: Es gibt mindestens einenatürliche Zahl k mit k ≥ m,n, i, j derart, dass (A ↔ B) ∈ Tk.Sei k eine solche natürliche Zahl mit k ≥ m,n, i, j. Also: A =


Am, B = An,¬A = Ai,¬B = Aj und (A ↔ B) ∈ Tk. Nach HS7gilt: Tk ∈ Θ⊆. Weil Θ eine Smullyanmenge ist, gilt nach HS4:Θ⊆ ist eine Smullyanmenge. Weil (A ↔ B) ∈ Tk, A = Am, B =An,¬A = Ai und ¬B = Aj , gilt nach D12: Tk ∪ {Am, An} ∈ Θ⊆

oder Tk ∪ {Ai, Aj} ∈ Θ⊆.1. Fall: Tk ∪ {Am, An} ∈ Θ⊆. Also nach HD1: Es gibt mindestenseine Formelmenge T ∗ derart, dass T ∗ ∈ Θ und Tk ∪ {Am, An} ⊆T ∗. Weil m ≤ k, gilt nach HD5: Tm ⊆ Tk. Also nach ML: Tm ∪{Am} ⊆ Tk ∪ {Am, An}. Zusammen mit: Es gibt mindestens eineFormelmenge T ∗ derart, dass T ∗ ∈ Θ und Tk ∪ {Am, An} ⊆ T ∗,gilt nach ML: Es gibt mindestens eine Formelmenge T ∗ derart, dassT ∗ ∈ Θ und Tm ∪ {Am} ⊆ T ∗. Also nach HD1: Tm ∪ {Am} ∈ Θ⊆.Also nach HS9: Am ∈ T∪. Weil A = Am, gilt: A ∈ T∪. Weiln ≤ k, gilt nach HD5: Tn ⊆ Tk. Also nach ML: Tn ∪ {An} ⊆ Tk ∪{Am, An}. Zusammen mit: Es gibt mindestens eine FormelmengeT ∗ derart, dass T ∗ ∈ Θ und Tk ∪ {Am, An} ⊆ T ∗, gilt nach ML:Es gibt mindestens eine Formelmenge T ∗ derart, dass T ∗ ∈ Θ undTn∪{An} ⊆ T ∗. Also nach HD1: Tn∪{An} ∈ Θ⊆. Also nach HS9:An ∈ T∪. Weil B = An, gilt: B ∈ T∪. Also: A ∈ T∪ und B ∈ T∪.Also: (A ∈ T∪ und B ∈ T∪) oder (¬A ∈ T∪ und ¬B ∈ T∪).2. Fall: Tk∪{Ai, Aj} ∈ Θ⊆. Also nach HD1: Es gibt mindestens eineFormelmenge T ∗ derart, dass T ∗ ∈ Θ und Tk∪{Ai, Aj} ⊆ T ∗. Weili ≤ k, gilt nach HD5: Ti ⊆ Tk. Also nach ML: Ti ∪ {Ai} ⊆ Tk ∪{Ai, Aj}. Zusammen mit: Es gibt mindestens eine FormelmengeT ∗ derart, dass T ∗ ∈ Θ und Tk ∪ {Ai, Aj} ⊆ T ∗, gilt nach ML:Es gibt mindestens eine Formelmenge T ∗ derart, dass T ∗ ∈ Θ undTi ∪ {Ai} ⊆ T ∗. Also nach HD1: Ti ∪ {Ai} ∈ Θ⊆. Also nach HS9:Ai ∈ T∪. Weil ¬A = Ai, gilt: ¬A ∈ T∪. Weil j ≤ k, gilt nach HD5:Tj ⊆ Tk. Also nach ML: Tj ∪ {Aj} ⊆ Tk ∪ {Ai, Aj}. Zusammenmit: Es gibt mindestens eine Formelmenge T ∗ derart, dass T ∗ ∈ Θund Tk ∪ {Ai, Aj} ⊆ T ∗, gilt nach ML: Es gibt mindestens eineFormelmenge T ∗ derart, dass T ∗ ∈ Θ und Tj ∪ {Aj} ⊆ T ∗. Alsonach HD1: Tj ∪ {Aj} ∈ Θ⊆. Also nach HS9: Aj ∈ T∪. Weil ¬B =Aj , gilt: ¬B ∈ T∪. Also: ¬A ∈ T∪ und ¬B ∈ T∪. Also: (A ∈ T∪und B ∈ T∪) oder (¬A ∈ T∪ und ¬B ∈ T∪).Also in jedem Fall: (A ∈ T∪ und B ∈ T∪) oder (¬A ∈ T∪ und¬B ∈ T∪).

10. Annahme: ¬(A↔ B) ∈ T∪.Zu zeigen: (¬A ∈ T∪ oder ¬B ∈ T∪) und (A ∈ T∪ oder B ∈ T∪).Analog zu 9.


Also nach D1: T∪ ist eine Hintikkamenge.

Erinnern wir uns:Sei T eine Formelmenge und sei Θ eine Smullyanmenge.Annahme: T ∈ Θ.Zu zeigen: T ist hintikkamengensemantisch simultan erfüllbar.Aus der Annahme folgt nach HS2 und ML: T ∈ Θ⊆. Also nach HD5: Esgibt mindestens eine natürliche Zahl m mit Tm = T . Sei m eine solchenatürliche Zahl. Also: Tm = T . Also nach HD8: Tm ⊆ T∪. Nach HS10gilt: T∪ ist eine Hintikkamenge. Also nach D2: �T

∪

3 Tm. Also: Es gibtmindestens eine Hintikkamenge T ∗ derart, dass �T

∗

3 Tm. Weil Tm = T ,gilt: Es gibt mindestens eine Hintikkamenge T ∗ derart, dass �T

∗

3 T . Alsonach D3: T ist hintikkamengensemantisch simultan erfüllbar.

5 Die semantische Kompaktheit eines aussagenlogischen Sys-

tems

Besonders wertvoll ist die Anwendung von Smullyanmengen, wenn meh-rere metalogische Theoreme bewiesen werden sollten. In diesem Aufsatzbeweisen wir aber aus Platzgründen exemplarisch nur ein einziges me-talogisches Theorem, nämlich die semantische Kompaktheit eines aussa-genlogischen Systems mit Hilfe von Smullyanmengen.

Da die Hintikkamengensemantik vermutlich einigen Lesern fremd ist,formulieren wir das folgende Metatheorem relativ zur Belegungsseman-tik. Wir könnten es aber aufgrund der Metatheoreme 30 und 36 aus [4]relativ zur Hintikkamengensemantik formulieren.

Metatheorem 14. (Wenn jede endliche Teilmenge einer Formel-menge T belegungssemantisch simultan erfüllbar ist, dann istT belegungssemantisch simultan erfüllbar.) Für jede FormelmengeT gilt:Wenn für jede Formelmenge T ∗ gilt, dass, wenn T ∗ ⊆ T und wenn T ∗

endlich ist, dann ist T ∗ belegungssemantisch simultan erfüllbar, danngilt, dass T belegungssemantisch simultan erfüllbar ist.

Beweis:Sei T eine Formelmenge.



Θ1 = {T : Für jede Formelmenge T ∗ gilt: Wenn T ∗ ⊆ T und wennT ∗ endlich ist, dann ist T ∗ belegungssemantisch simultan erfüll-bar.}

Hilfssatz 2 (HS2):

Θ1 ist eine Smullyanmenge.

Beweis:Sei T ∈ Θ1. Also nach HD1: Für jede Formelmenge T ∗ gilt, dass, wennT ∗ ⊆ T und wenn T ∗ endlich ist, dann ist T ∗ belegungssemantisch si-multan erfüllbar. Seien A, B Formeln.

1. Annahme: A ∈ T und A ist atomar.Zu zeigen: ¬A /∈ T .Indirekte Annahme: ¬A ∈ T .Aus der indirekten Annahme und der Annahme folgt: A ∈ T und¬A ∈ T . Also nach ML: {A,¬A} ⊆ T . Sei T ∗ = {A,¬A}. Es gilt:T ∗ ⊆ T und T ∗ ist endlich. Zusammen mit T ∈ Θ1, gilt nach HD1und D8: Es gibt mindestens eine Belegung β derart, dass �β1 T ∗.

Sei β eine solche Belegung. Also: �β1 T ∗. Also nach D6: Für jede

Formel A gilt, dass, wenn A ∈ T ∗, dann �β0 A. Also: �β0 A,�β0 ¬A.

Weil �β0 ¬A, gilt nach D5: 2β0 A. Widerspruch zu: �β0 A. Aus einemWiderspruch folgt Beliebiges, also auch: �β0 A∗ und 2β0 A∗. Also:¬A /∈ T .

2. Annahme: ¬¬A ∈ T .Zu zeigen: T ∪ {A} ∈ Θ1.Analog zu 1.

3. Annahme: (A ∧B) ∈ T .Zu zeigen: T ∪ {A,B} ∈ Θ1.Also ist zu zeigen: Für jede Formelmenge T ∗ gilt, dass, wenn T ∗

⊆ T ∪ {A,B} und wenn T ∗ endlich ist, dann gibt es mindestens

eine Belegung β derart, dass �β1 T∗. Sei T ∗ eine Formelmenge.

Annahme 2: T ∗ ⊆ T ∪ {A,B} und T ∗ ist endlich.Zu zeigen 2: Es gibt mindestens eine Belegung β derart, dass �β1 T

∗.1. Fall: A /∈ T ∗ und B /∈ T ∗. Also: T ∗ ⊆ T . Zusammen mit T ∈ Θ1

und T ∗ ist endlich, gilt nach HD1 und D8: Es gibt mindestens eineBelegung β derart, dass �β1 T

∗.2. Fall: A ∈ T ∗ und B /∈ T ∗. Also: T ∗ = T ∪{A} mit A /∈ T , T ⊆ T


und T ist endlich, wobei T mit ∅ identisch sein kann. Weil T endlichist, gilt: T ∪{(A∧B)} ist endlich. Weil T ⊆ T und (A∧B) ∈ T gilt:T∪ {(A∧B)} ⊆ T . Zusammen mit T ∈ Θ1 und T ∪ {(A∧B)} istendlich, gilt nach HD1 und D8: Es gibt mindestens eine Belegungβ derart, dass �β1 T∪ {(A∧B)}. Sei β eine solche Belegung. Also:

�β1 T ∪{(A∧B)}. Also nach T9: �β1 T und �β1 {(A∧B)}. Also nachT7: �β0 (A ∧ B). Also nach D5: �β0 A und �β0 B. Also: �β0 A. Alsonach T7: �β1 {A}. Also: �β1 T und �β1 {A}. Also nach T9: �β1 T

∪{A}. Weil T ∗ = T ∪ {A}, gilt: �β1 T ∗. Also: Es gibt mindestens

eine Belegung β derart, dass �β1 T∗.

3. Fall: A /∈ T ∗ und B ∈ T ∗. Also: T ∗ = T ∪{B} mit B /∈ T , T ⊆ Tund T ist endlich, wobei T mit ∅ identisch sein kann. Weil T endlichist, gilt: T ∪{(A∧B)} ist endlich. Weil T ⊆ T und (A∧B) ∈ T gilt:T ∪ {(A∧B)} ⊆ T . Zusammen mit T ∈ Θ1 und T ∪{(A∧B)} istendlich, gilt nach HD1 und D8: Es gibt mindestens eine Belegungβ derart, dass �β1 T∪ {(A∧B)}. Sei β eine solche Belegung. Also:

�β1 T ∪{(A∧B)}. Also nach T9: �β1 T und �β1 {(A∧B)}. Also nachT7: �β0 (A ∧ B). Also nach D5: �β0 A und �β0 B. Also: �β0 B. Alsonach T7: �β1 {B}. Also: �β1 T und �β1 {B}. Also nach T9: �β1 T

∪{B}. Weil T ∗ = T ∪ {B}, gilt: �β1 T∗. Also: Es gibt mindestens

eine Belegung β derart, dass �β1 T∗.

4. Fall: A ∈ T ∗ und B ∈ T ∗. Also: T ∗ = T ∪{A,B} mit A /∈T ,B /∈ T , T ⊆ T und T ist endlich, wobei T mit ∅ identisch seinkann. Weil T endlich ist, gilt: T ∪{(A∧B)} ist endlich. Weil T ⊆ Tund (A ∧B) ∈ T gilt: T ∪ {(A ∧B)} ⊆ T . Zusammen mit T ∈ Θ1

und T ∪{(A ∧ B)} ist endlich, gilt nach HD1 und D8: Es gibt

mindestens eine Belegung β derart, dass �β1 T∪ {(A ∧ B)}. Sei βeine solche Belegung. Also: �β1 T ∪ {(A∧B)}. Also nach T9: �β1 Tund �β1 {(A∧B)}. Also nach T7: �β0 (A∧B). Also nach D5: �β0 Aund �β0 B. Also nach T7: �β1 {A,B}. Also: �β1 T und �β1 {A,B}.Also nach T9: �β1 T ∪ {A,B}. Weil T ∗ = T ∪ {A,B}, gilt: �β1 T

∗.

Also: Es gibt mindestens eine Belegung β derart, dass �β1 T∗.

Also in jedem Fall: Es gibt mindestens eine Belegung β derart, dass�β1 T

∗.

4. Annahme: ¬(A ∧B) ∈ T .Zu zeigen: T ∪ {¬A} ∈ Θ1 oder T∪ {¬B} ∈ Θ1.Analog zu 9.

5. Annahme: (A ∨B) ∈ T .


Zu zeigen: T ∪ {A} ∈ Θ1 oder T∪ {B} ∈ Θ1.Analog zu 9.

6. Annahme: ¬(A ∨B) ∈ T .Zu zeigen: T ∪ {¬A,¬B} ∈ Θ1.Analog zu 3.

7. Annahme: (A→ B) ∈ T .Zu zeigen: T ∪ {¬A} ∈ Θ1 oder T∪ {B} ∈ Θ1.Analog zu 9.

8. Annahme: ¬(A→ B) ∈ T .Zu zeigen: T ∪ {A,¬B} ∈ Θ1.Analog zu 3.

9. Annahme: (A↔ B) ∈ T .Zu zeigen: T ∪ {A,B} ∈ Θ1 oder T∪ {¬A,¬B} ∈ Θ1.Indirekte Annahme: Es gibt mindestens eine Formelmenge T ∗ der-art, dass T ∗ ⊆ T ∪ {A,B} und T ∗ ist endlich und für jede Bele-

gung β gilt, dass 2β1 T ∗, und es gibt mindestens eine FormelmengeT derart, dass T ⊆ T ∪{¬A,¬B} und T ist endlich und für jede

Belegung β gilt, dass 2β1 T .Seien T ∗, T solche Formelmengen. Also: T ∗ ⊆ T ∪ {A,B} und

T ∗ ist endlich und für jede Belegung β gilt, dass 2β1 T ∗, undT ⊆ T ∪ {¬A,¬B} und T ist endlich und für jede Belegung β

gilt, dass 2β1 T . Also gilt auch für die Belegung β: 2β1 T ∗ und

2β1 T .1. Fall: {A,B} * T ∗ und {¬A,¬B} * T . Also: T ∗ ⊆ T und T ⊆T . Zusammen mit T ∈ Θ1 und T ∗ ist endlich, gilt nach HD1 undD8: Es gibt mindestens eine Belegung β derart, dass �β1 T ∗. Sei

β eine solche Belegung. Also: �β1 T∗. Widerspruch zu: 2β1 T ∗. Aus

einem Widerspruch folgt Beliebiges, also auch: �β∗

1 T ∗ und 2β∗

1 T ∗.2. Fall: {A,B} ⊆ T ∗ und {¬A,¬B} * T . Also: T ⊆ T . Zusammenmit T ∈ Θ1 und T ist endlich, gilt nach HD1 und D8: Es gibtmindestens eine Belegung β derart, dass �β1 T . Sei β eine solche

Belegung. Also: �β1 T . Widerspruch zu: 2β1 T . Aus einem Wider-

spruch folgt Beliebiges, also auch: �β∗

1 T ∗ und 2β∗

1 T ∗.3. Fall: {A,B} * T ∗ und {¬A,¬B} ⊆ T . Also: T ∗ ⊆ T . Zusam-men mit T ∈ Θ1 und T ∗ ist endlich, gilt nach HD1 und D8: Esgibt mindestens eine Belegung β derart, dass �β1 T ∗. Sei β eine

solche Belegung. Also: �β1 T∗. Widerspruch zu: 2β1 T ∗. Aus einem


Widerspruch folgt Beliebiges, also auch: �β∗

1 T ∗ und 2β∗

1 T ∗.4. Fall: {A,B} ⊆ T ∗ und {¬A,¬B} ⊆ T . Also: T ∗ = T IV ∪{A,B}mit A /∈ T IV , B /∈ T IV , T IV ⊆ T und T IV ist endlich, wobeiT IV mit ∅ identisch sein kann, und T = TV ∪ {¬A,¬B} mit¬A /∈ TV ,¬B /∈ TV , TV ⊆ T und TV ist endlich, wobei TV mit∅ identisch sein kann. Sei T c = T IV ∪ TV . Weil T IV ⊆ T, T IV

endlich ist, TV ⊆ T, TV endlich ist und T c = T IV ∪ TV , gilt:T c ⊆ T und T c ist endlich. Zusammen mit (A ↔ B) ∈ T , gilt:T c ∪ {(A ↔ B)} ⊆ T und T c ∪ {(A ↔ B)} ist endlich. Zu-sammen mit T ∈ Θ1, gilt nach HD1 und D8: Es gibt mindes-tens eine Belegung β derart, dass �β1 T c ∪ {(A ↔ B)}. Sei β ei-

ne solche Belegung. Also: �β1 T c ∪ {(A ↔ B)}. Weil 2β1 T ∗ und

T ∗ = T IV ∪ {A,B}, gilt: 2β1 T IV ∪ {A,B}. Weil T c = T IV ∪ TV ,gilt: 2β1 T c∪ {A,B}. Weil 2β1 T und T = TV ∪ {¬A,¬B}, gilt:2β1 TV ∪ {¬A,¬B}. Weil T c = T IV ∪ TV , gilt: 2β1 T c ∪ {¬A,¬B}.Fall a: 2β1 T c. Also: 2β1 T c ∪ {(A↔ B)}. Fall b: �β1 T

c. Zusammen

mit 2β1 T c∪ {A,B} und 2β1 T c∪{¬A,¬B}, gilt nach T9: 2β1 {A,B}und 2β1 {¬A,¬B}. Weil {A,B} = {A} ∪ {B}, gilt: 2β1 {A} ∪ {B}.Also nach T9: 2β1 {A} oder 2β1 {B}. Also nach T7: 2β0 A oder

2β0 B. Weil {¬A,¬B} = {¬A} ∪ {¬B}, gilt: 2β1 {¬A} ∪ {¬B}.Also nach T9: 2β1 {¬A} oder 2β1 {¬B}. Also nach T7: 2β0 ¬A oder

2β0 ¬B. Also: (2β0 A oder 2β0 B) und (2β0 ¬A oder 2β0 ¬B). Al-so nach D5: 2β0 (A ↔ B). Also nach T7: 2β1 {(A ↔ B)}. Also:2β1 T c ∪ {(A↔ B)}. Also in jedem Fall: 2β1 T c ∪ {(A↔ B)}. Wi-

derspruch zu: �β1 T c ∪ {(A ↔ B)}. Aus einem Widerspruch folgt

Beliebiges, also auch: �β∗

1 T ∗ und 2β∗

1 T ∗.

Also in jedem Fall: �β∗

1 T ∗ und 2β∗

1 T ∗. Aus einem Widerspruch

folgt Beliebiges, also auch: �β∗

1 T ∗∗ und 2β∗

1 T ∗∗.Also: Für jede Formelmenge T ∗ gilt, dass, wenn T ∗ ⊆ T∪ {A,B}und wenn T ∗ endlich ist, dann gibt es mindestens eine Belegung βderart, dass �β1 T

∗, oder für jede Formelmenge T gilt, dass, wennT ⊆ T∪{¬A,¬B} und wenn T endlich ist, dann gibt es mindestens

eine Belegung β derart, dass �β1 T . Also nach HD1: T∪{A,B} ∈ Θ1

oder T ∪ {¬A,¬B} ∈ Θ1.

10. Annahme: ¬(A↔ B) ∈ T .Zu zeigen: T ∪ {A,¬B} ∈ Θ1 oder T ∪{¬A,B} ∈ Θ1.Analog zu 9.


Also nach D12: Θ1 ist eine Smullyanmenge.

Nach dem wir HS2 bewiesen haben, kehren wir zum Beweis von T14zurück:

Annahme: Für jede Formelmenge T ∗ gilt, dass, wenn T ∗ ⊆ T und wennT ∗ endlich ist, dann ist T ∗ belegungssemantisch simultan erfüllbar.Zu zeigen: T ist belegungssemantisch simultan erfüllbar.Nach HD1 gilt: Wenn für jede Formelmenge T ∗ gilt, dass, wenn T ∗ ⊆T und wenn T ∗ endlich ist, dann ist T ∗ belegungssemantisch simultanerfüllbar, dann gilt, dass T ∈ Θ1. Zusammen mit der Annahme gilt:T ∈ Θ1. Also nach HS2 und T13: T ist hintikkamengensemantisch si-multan erfüllbar. Also nach den Metatheoremen 30 und 36 aus [4]: T istbelegungssemantisch simultan erfüllbar.

6 Ausblick

Wie erwähnt, ist die Anwendung von Smullyanmengen insbesondere dannsinnvoll, wenn mehrere Metatheoreme, die der gleichen Beweisidee zu-grundeliegen, gemacht werden (sollten). So hätten wir ein leichtes Spiel,nun für einen aussagenlogischen Kalkül die Ableitbarkeitsvollständigkeitzu beweisen.

Wie so oft ist in der Prädikatenlogik die Sachlage noch viel interessan-ter. Ein Smullyanmengenzuckerl (von vielen) der Prädikatenlogik ist,dass man bei Anwendung von Smullyanmengen das Löwenheim-Skolem-Theorem quasi geschenkt bekommt, ohne vorher einen Vollständigkeits-beweis machen zu müssen.

Alexander ZimmermannDepartment of PhilosophyUniversity of TartuÜlikooli 1850090 Tartu, Estonia

<[email protected]>


Literatur

[1] Fitting, Melvin. First-Order Logic and Automated Theorem Proving.Springer-Verlag, New York u. a., 1990.

[2] Kleinknecht, Reinhard. Deduktive Ableitung und deduktive Begrün-dung. In Günther Kreuzbauer und Georg Dorn, editor, Argumenta-tion in Theorie und Praxis. Philosophie und Didaktik des Argumen-tierens, pages 17�29, Wien, 2006.

[3] Smullyan, Raymond M. First-order logic. Dover Publications, NewYork, 1995.

[4] Alexander Zimmermann. Ein Vergleich dreier aussagenlogischer Se-mantiken. Kriterion � Journal of Philosophy, 22(1):44�61, 2009.

A Goldman/Chisholm View ofProperty�Exempli�cations

David Botting

Abstract

I believe that a radically �ne�grained property�exempli�cation

theory1 is the right approach to the metaphysics of events. In this

paper I will not be arguing for this detail but will be more con-

cerned with issues over the internal consistency of the property�

exempli�cation theory; in particular, I want to resolve issues about

the individuation of property�tokens.

1 The property�exempli�cation theory

A particular property�token is the exempli�cation of a particular prop-erty by a particular substance at a particular time. Therefore, twoproperty�tokens are the same if they involve the same substance, thesame property and the same time.

Properties are here considered to be monadic. This means that ifbilliard ball A hits billiard ball B, the property being exempli�ed ishitting�billiard�ball�B, and this is being exempli�ed by billiard ball A.We can redescribe A without producing a di�erent property�token, e.g.,the property�token of a billiard ball at position 〈x, y, z〉 hitting billiardball B is the same property�token as above if ball A is, in fact, at 〈x, y, z〉.Thus Goldman ([2, p.12]) says �two expressions may refer to the sameact�token even though they contain di�erent, non�synonymous phrasesfor the same agent. If `John' and `the mayor' designate the same agent,then `John's killing Smith (at t)' and `The mayor's killing Smith (at t)'designate the same act�token.� Since John and the mayor are the samesubstance, and everything else is the same, they are the same property�token. It is perhaps counter�intuitive that the same does not apply ifwe redescribe billiard ball B. Here we are dealing with the propertieshitting�billiard�ball�B and hitting�the�billiard�ball�at�〈x, y, z〉. Theseare di�erent properties, so their exempli�cations are distinct.

Although they are distinct, they are of course related, but not bystrict identity. These property�exempli�cations are related to each other


David Botting: Property�Exempli�cations 45

through relations that Goldman ([2]) calls level�generation and same�levelness (hereafter level�generation will be taken to include same�level-ness) in a tree�like structure. The tree shows all the property�tokensthat are exempli�ed by a particular substance at a particular time wherethese tokens are level�generated by the basic token. In the case of acts,the basic act�token is taken to be the bodily movement of the agent,e.g., John's pulling his �nger. In the case of the billiard ball, billiardball A's hitting billiard ball B is already the basic token, and billiardball A's hitting the billiard ball at 〈x, y, z〉 is on the same�level as thebasic token. Tokens are on the same level if the only di�erence betweenthem is a redescription of the relational object ([2, p.31]). A discussionof level�generation is outside the scope of this paper, but we will discussrelational properties later.

2 The identity crisis of property�exempli�cations

To individuate between property�tokens we have to be able to individ-uate between substances, between properties, and between times. Thisallows us to describe events in terms of these more general ontologicaltypes, and the individuation of events becomes a question of the indi-viduation of instances of each type independently of the other types.

For instance, Thalberg ([7, pp.2f]) argues that it is impossible to in-dividuate between substances without referring to the events (property�tokens) in which they have been involved.2 It is circular to individuateevents by referring to substances if one cannot individuate substanceswithout referring to events. Then, Thalberg ([7, p.7]) argues that itis equally impossible to individuate between times without referring toevents. He remarks on the fact that all our systems of time�keepingrefer to events; speci�cally, on the periodicity of certain processes suchas the rotation of the Earth on its axis and around the sun. Thus, thereis again circularity. Thalberg's conclusion is that events are irreducibleparticulars, a position also held by Anscombe and Davidson amongstothers.

It should also be mentioned that, by Goldman's own account, theindividuation of properties is also extremely di�cult and one to whichhe does not pretend to have provided a fully adequate solution. He o�ersthe following ([2, p.12]):

�Properties Φ and Φ′ are identical [. . . ] when they are ex-pressible by synonymous expressions. Being a bachelor isthus the same property as being an unmarried man, since


the former can be expressed by the phrase `being a bachelor'and the latter by the synonymous phrase `being an unmarriedman.' [. . . ] if there are phrases in a language which expressΦ and Φ′, then their being synonymous is a necessary andsu�cient condition for their expressing the same property.�

He makes the following objections.Firstly, he considers properties that can be picked out by de�nite de-

scriptions. To take an example from Chisholm ([1, pp.14�16]), we can say`Black is the color of my true love's hair', and on this basis being�blackand being�the�color�of�my�true�love's�hair are identical properties al-though they are not synonymous. Goldman's ([2, p.13]) response is tosay that the synonymy test should only be applied to �phrases that ex-press properties, and must not be applied to de�nite descriptions thatmerely refer indirectly to properties.�

A contrasting view is taken by Tye [8, pp.22f], who constructs ananalogous argument as follows:

(1) Red is the color of ripe tomatoes.

(2) `Red' designates the property that ìs red' expresses.

(3) `The color of ripe tomatoes' designates the property that `has thecolor of ripe tomatoes' expresses.

(4) Ìs red' is not synonymous with `has the color of ripe tomatoes'.

(2) and (3), in conjunction with (1), entail

(5) Ìs red' expresses the same property as `has the color of ripe toma-toes'.

And (5), in conjunction with (4), yields the conclusion that the synonymyprinciple is mistaken.

Tye challenges premise (3). He says that `the color of ripe tomatoes'is a de�nite description of the property of redness. Therefore (3) is nottrue unless

(6) Being red is having the color of ripe tomatoes

is true ([8, p.23]). He argues that both `being red' and `having the colorof ripe tomatoes' are rigid designators, and that therefore if (6) is true, itmust be necessarily true. Since it is possible to imagine an object in somepossible world that is green and also the color of ripe tomatoes, then it


cannot be necessarily true, and therefore must be false. Consequently,(3) is also false. This follows for all contingent property identities withthe grammatical form of (6) ([8, pp.24f]).

Goldman seems to say that these are the same property, whereas Tyeseems to conclude that they are not. We will now look at what Chisholmsays. But �rst we have to look at his di�erent identity criterion: theintentional criterion. This sees properties as entia rationis, entities thatare essentially conceivable by the mind ([1, p.14]):

(C1) Attribute A is identical to attribute B i�Df Attributes A and B arenecessarily so related that whoever has one as intentional contentof an act of thought has the other as intentional content of an actof thought.

We can say in short that if two properties are identical, then wheneverwe conceive of one we also necessarily conceive of the other, thus rulingout, as a linguistic and extensional criterion like Goldman's does not,properties that are merely co�extensive.3

Then ([1, pp.14�16]) gives the objection as follows:

(1) There is a person S who can truly say, `Black is the color of my truelove's hair.'.

Therefore:

(2) The following attributes are identical, (a) black and (b) the color ofmy true love's hair.

(3) According to (C1), the identity criterion for attributes, the two at-tributes are distinct. One can attribute (conceive) either of themwithout thereby attributing the other. Hence:

(4) The criterion of attribute identity is inadequate.

He argues that the ìs' in (1) is an ìs' of identity linking two singularterms: the noun `Black' and the de�nite description `the color of mytrue love's hair'. He rewrites (1) as `The color of my true love's hair= Black', where `=' is the ìs' of identity. Black is the name of theattribute `being�black', so if Black is attributed by S, then S believesthat something is black. Next, from (1) we can substitute `the color ofmy true love's hair' for Black in the above, to give ìf the color of my truelove's hair is attributed by S, then S believes that something is black.'.If we look back at (3), we can see that we cannot attribute one of them


without attributing the other, or conceive of some x as having one butnot the other. Chisholm concludes that the intentional criterion doesnot entail that these attributes are distinct and a�rms their identity.

My sympathies are with Tye rather than with Chisholm here, and Ithink that we should consider being black and being the color of my truelove's hair as distinct properties. By adopting Chisholm's intentionalcriterion, I think we can obviate the need to talk about rigid designatorsin Tye's analysis, and simply stress the fact that the intentional criterionsays that the attributes are necessarily related such that one cannotconceive of one without the other. There is no necessary relation betweenbeing black and being the color of my true love's hair. As Tye would putit, there is a possible world in which black is not the color of my truelove's hair.

With this in mind, I think that the intentional criterion improves onthe synonymy test. In some ways the property�exempli�cation theoryI am endorsing is a fusion of Goldman's and Chisholm's views. Armedwith our new identity criterion for properties, we can examine the otherobjections Goldman raises.

The second objection Goldman ([2, p.13]) makes involves contingentidentities. Is the property of having a temperature T the same propertyas having mean molecular energy M? The predicate expressions formedfrom these properties do not seem to be synonymous but physics showsthe properties to be identical. Goldman ([2, p.224]) says: �There isan additional problem of deciding when, if at all, the exemplifying ofa property P by an object O is identical with the exemplifying of aproperty P ′ by the physical parts of O, where P 6= P ′.� Suppose thatwe say that an object, say a spoon, has the temperature T , and the meanmolecular energy M . What we should note is that when we say that thespoon has a mean molecular energy, by `spoon' we are referring to thearrangement of molecules that compose the spoon, that are its `physicalparts'. A spoon, as the exempli�er of the property having�temperature�T , is an individual, and an individual cannot have a mean of anything.Now apply the intentional criterion for properties. Is it possible to have,as the content of a thought, a spoon as having this property withouthaving as the content of a thought the micro�structure of the spoonhaving the property of having the corresponding (whatever that mightbe) mean molecular energy? I think not.

I propose, following an idea of Menzies ([6]), that we should say thatO's�having property�P is not identical but mereologically supervenes onthe�constitution�of�O's�having�the�contingently�identical�property�


P ′. There is a sense in which, when I conceive of the supervening prop-erty, I also conceive of the supervened property exempli�ed by the ob-ject's constituents, even if I do not know what those constituents in thesupervenience base might be or even whether O in fact has constituents.We can always conceive of physical matter being further subdivided intoparts, as a long tradition of philosophy teaches us, with the result thatLeibniz believed that atoms must be spiritual.

However, we should note that if we have the magnitudes of the contin-gently identical properties, e.g., by substituting real values for T and Min having�temperature�T and having�mean�molecular�energy�M , thisrelation is destroyed since we can always conceive that any proposedformula relating magnitudes is incorrect. But, we can say in addi-tion that O's�having property�P is on the same tree as O's�having�property�P�with�magnitude�10, and the�constituents�of�O's�having�the�contingent�property�P ′ is on the same tree as the�constitution�of�O's�having�the�contingent�property�P ′�with�magnitude�15, wherethese magnitudes follow from the formula. So, I propose that we can alsosay that the macro�level tree supervenes on the micro�level tree. Mereo-logical supervenience does not relate events within a tree but across trees;derivatively, we have a relation between trees. We thereby preserve theprinciple that a tree shows what is exempli�ed by a single substance.

In this way, my act of raising my right arm mereologically super-venes on the contraction of particular muscles. Obviously, this is not allthat it supervenes on. It also mereologically supervenes on particularintentional states � I would suggest on a particular preparedness of theagent to revise his beliefs depending on the outcome of his attemptedaction. Suppose that John shoots George dead. John's killing Georgesupervenes on the contraction of his �nger on the trigger, the causalchain this initiates up to the point of George's death, and an attentionto whether by acting thus he achieves his end of killing George. Withoutthis intentional state, the agent does not act intentionally. It is this thatdistinguishes my intentional act from the mere movement of my body.It is this that is left over when my right arm's rising has been subtractedfrom my raising of my right arm.

Not all contingent identities belong to the category of mereologicalsupervenience. For instance, the properties �ying�to�the�Evening�Starand �ying�to�the�Morning�Star are distinct on the intentional criterion.However, they are on the same tree (in these cases on the same�level),since they are both exempli�ed by the same substance at the sametime and the Evening Star is extensionally equivalent to the Morning


Star. Likewise, in our earlier example billiard�ball�A�hitting�billiard�ball�B is on the same tree as billiard�ball�A�hitting�the�billiard�ball�at�〈x, y, z〉. This contrasts with the temperature example where thecontingently identical properties are exempli�ed by di�erent substances,namely, the spoon�as�individual and the spoon�as�physical�parts, andtherefore belong on di�erent trees, where these trees are related by mere-ological supervenience. We must not let the ambiguity due to the factthat we use the same word `spoon' in both cases confuse us.

Failure to note this ambiguity can lead to error, especially in actiontheory, because the same subject term, e.g., `John', can refer to John�as�agent or to John�as�physical�system�without�intentionality. Consideran involuntary act, e.g., `John coughed'. According to Goldman, cough-ing is an act�type; if it is performed involuntarily, e.g., as a re�ex action,then its exempli�cation is not an act�token, but if it is performed on pur-pose, e.g., as a signal, then its exempli�cation is an act�token. Thus,Goldman ([2, p.16]) says that not every exempli�cation of an act�typeis an act�token. This seems to me incorrect. Rather, we should say thatcoughing involuntarily is not an act�type; no intentional state is in thesupervenience base. An act�type can only be exempli�ed by an agentqua agent, and not just qua physical body.

A more serious error can be found in Chisholm's notion of agent�causation. Chisholm proposes this as the semantic thesis that an action�sentence cannot be analyzed in such a way that reference to the agentis eliminated. By construing it in this way, it follows that both free andinvoluntary acts are agent�caused ([9]). But there is no semantic anal-ysis of `John coughed' that is able to discriminate between John's bodycoughing as a re�ex action and John's purposefully coughing. Anal-ogously to `spoon', although we use the same subject term `John' wedo not have the same referent. Analogously to `killing George', we usethe same predicate term `coughed' to refer to either free or involuntarycoughing. So `John coughed' is indeterminate, and can only becomemore determinate by its wider context, and not by delving any deeperinto its logical form. If `John coughed' is �nally determined as involun-tary, then `John' does not refer to an agent in the �rst place and we cannot talk about the ineliminability of reference to the agent.

The third objection Goldman ([2, p.13]) makes is that it results inindividuating properties where one is only an adverbial modi�cation ofthe other, e.g., running and running�at�ten�miles�an�hour. I think thatwe should accept that these are distinct properties and their exempli�-cations are distinct property�tokens. I will discuss later, and reject, the


idea that one token can be the exempli�cation of both properties.Fourthly, Goldman ([2, p.13]) considers relational properties. This

occurs when we redescribe the object of the relational property, e.g., ballB; it was noted earlier that this does produce di�erent property�tokens,although these tokens are on the same level of the same tree. Chisholm'sintentional criterion has not changed this result, and I think this resultis acceptable.

That concludes what I have to say about the objections, but I needto say more about properties and show another place where I preferChisholm to Goldman. Goldman licenses negative acts and conjunctiveor compound acts ([2, p.47]), and by extension, negative and conjunc-tive act�properties, but no other truth�functional act�properties, i.e.,disjunctive, conditional, or biconditional properties. Of course, in for-mal logic any disjunctive proposition can be transformed into a logicallyequivalent proposition containing only conjunctive and negative propo-sitions. Goldman ([2, p.47]) agrees that such logical transformations are�ne for statements, but are �not appropriate for forming new acts fromother acts�. In contrast, Chisholm licenses negative, disjunctive andconjunctive properties, or what he prefers to call attributes. Since I amlargely following Chisholm with regards to properties, it is worthwhilegiving his de�nitions. ([1, pp.32f]):

The attribute N is the negation of the attribute P i�Df Pand N are necessarily such that

(1) nothing can have or lack both at once;

(2) whoever can have N as the content of an act of believingcan have P as the content of an act of believing; and

(3) N is possibly such that it is exempli�ed by everything.

The attribute D is a disjunction of attributes P and Q i�Df

(1) D is necessarily such that for all x, x exempli�es D ifand only if either x exempli�es P or x exempli�es Q;

(2) P does not conceptually entail D;

(3) Q does not conceptually entail D; and

(4) D conceptually entails both P and Q.

The attribute C is a conjunction of attributes P and Q i�Df

(1) C is necessarily such that for all x, x exempli�es C ifand only if x exempli�es P and x exempli�es Q;


(2) P does not conceptually entail C;

(3) Q does not conceptually entail C; and

(4) C conceptually entails both P and Q.4

As for biconditional properties, I cannot envisage what they might be,but I can see no philosophical basis for excluding them either. Therefore,I will allow all truth�functional properties.

This concludes what I have to say about properties and their identityconditions. What about the other challenges Thalberg set, namely, toindividuate between times and substances without referring to events?I propose that we can take time as an unanalyzable primitive. My taskis now limited to an identity criterion for substances. This criterion canrefer to times but not to events, on pain of circularity.

The basis of any such criterion must be the spatiotemporal criterion.This says that two substances are the same if they occupy the sameregions of space and time. I think that this is a necessary but not asu�cient condition because it does not individuate between O and O′

where O′ is the physical parts of O. What, then, should we take as oursubstances? I suggest that it does not much matter. For most purposeswe are satis�ed with gross objects as the exempli�ers of secondary qual-ities. For other purposes, we may want to refer to the primary qualitiesof the corpuscles in their particular micro�structural arrangement as thecausal basis of those secondary qualities. A chemist will be workingwith something in�between these extremes, and with chemical proper-ties. The kind of object that you want as your substance is determinedby the kind of properties that you want to predicate of it. The importantthing is not to mix them up.

The result of this is that it is impossible and perhaps unintelligibleto provide a criterion for individuating substances qua substance. Onecan only provide a criterion for individuating gross substances, or thesubstances of chemistry, or the substances of sub�atomic physics, or thesubstances of act�properties, i.e., agents.5 The kinds of substance arethose over which the relevant properties can be projected. We shouldnot say that John�as�agent is or is not identical to John�as�physical�system�without�intentionality, but since for each particular type onlyone instance can occupy a particular spatiotemporal coordinate, by re-ferring to one you automatically �x the reference of all the others, so`The man who coughed (involuntarily) killed George (voluntarily)' isnot some strange kind of category mistake due to the fact the subjectterm seems to refer by de�nition to something without intentionality but


shows only that the verb (`killed') takes the referent that has been �xedto be of the appropriate type. Also, although the question of whetherobjects of di�erent kinds are identical has been rendered unintelligible,the relation of mereological supervenience is intelligible and can ful�llmuch the same function. Eddington's two tables are neither identicalnor distinct, but their trees are nevertheless related to each other.

3 The single instance principle

We might be tempted to say, especially where predicates have beenformed by redescribing the relational object or by adverbial modi�cationof the original predicate, that there is only one property�token althoughit exempli�es more than one property. But this, according to Goldman,is a mistake. Each exempli�cation of a property is an exempli�cation ofexactly one property ([2, p.11]). In a later paper he calls this the `sin-gle instance' principle ([4, pp.68f]) and says that �the redness of a pieceof paper may exemplify, or have, the property of being caused by thepaper's being dipped in red ink.� The property�token of that rednesshas, but is not a token of, the causal property of being dipped in redink. The tokens of causal properties seem to be exempli�ed by otherproperty�tokens rather than substances, because the causal relation istaken to be a relation between events.

Goldman stresses that we should not confuse exemplifying a propertywith being a token of a property. It is the substance that exempli�es aproperty P . If we use upper�case to designate properties and lower�caseto designate their tokens, we can say that although p is the exempli�ca-tion of P and p can also exemplify Q and R, it does not follow that pis a token of Q and R; in fact, p cannot be a token of Q and R. In thisway, Goldman can preserve the single�instance thesis.

Thalberg objects to this way of structuring property�tokens, at leastas it applies to act�tokens. He suggests that Goldman is making a lin-guistic stipulation that agents can exemplify any property except causalproperties, and act�tokens only exemplify causal properties. He ques-tions: �Whenever we �nd the act�property killing George exempli�ed byJohn, won't we �nd a token of the act type, causing George's death?�([7, p.783]). In one sense, Thalberg is correct. We will �nd a tokenof both act� types, but only because these are identical act�types andhence Thalberg's statement simply designates the same act�token twice.In another sense, Thalberg is incorrect since causing George's death isnot limited to being an act�type but might be exempli�ed by anything,


e.g., the event of a piano falling on him. Here it is not an agent but anevent that exempli�es the property. Similarly the act�token performedby the agent, e.g., pulling the trigger, causes the event of George's deathand thereby exempli�es the property causing�George's�death. We musttake care not to confuse the act�type causing�George's�death with thecausal property causing�George's�death.

We can talk about two di�erent kinds of causation here (or rather,two di�erent ways of expressing a causal relation): event�causation andobject�causation. Event�causation is a relation between events, so thiskind of relation (i.e., this kind of causal property, call it an event�causalproperty) can only be exempli�ed by an event, e.g., the act�token ofJohn pulling the trigger exempli�es the event�causal property of causingGeorge's death.6 It is assumed that event�causation is the only genuinetype of causation. Object�causation, e.g., `John killed George' is a wayof saying that some event or events (it may not be known what events)involving that object, e.g., John, exempli�ed some event�causal property,e.g., causing George's death. This does not mean that the propertyexempli�ed by the agent (we might call this the object�causal property)is identical to the property exempli�ed by his act�token (the event�causalproperty), although either could be meant by the verb�phrase `causedGeorge's death'. What occupies the subject position disambiguates theverb.

In the previous exposition of mereological supervenience, we notedambiguity in the subject position, but now we have to note similar am-biguity in the predicate position; you often can not tell from the verb�phrase on its own, e.g., `caused George's death', whether it designates anact�type (object�causal property) or some other (event�causal) property.When we have provided the subject term to give `John caused George'sdeath' then we know that we are dealing with object�causation. How-ever, as previously indicated, this is not an end to our di�culties, because`John' could mean John�as�agent or John�as�physical�body, dependingon whether or not John killed George intentionally. What we do knowis that `John' is not the name of an event.

Now we can talk about the agent performing two act�tokens, pullinga trigger and killing George, where the act�token of pulling�the�triggercausally generates the act�token of causing�George's�death (both object�causal properties) and the �rst of these act�tokens also exempli�es theevent�causal property of causing�George's�death. This last is not anact�token because act�tokens can only be exempli�ed by agents andnothing else, not even other act�tokens of those agents. Therefore, Thal-


berg is wrong to suggest that there is stipulation here. Everything fol-lows from the fact that acts relate agents to events and causation relatesevents to events.

It can easily be seen that a single movement (an event) like pulling atrigger will, through all the e�ects that it causes � all the event�causalrelations that it enters into � also causally generate7 the act�tokens ofJohn�causing�those�e�ects. When some John�involving event causessomething, John causes something ([2, pp.23f]). For this reason amongstothers, each tree is inde�nitely large, and Goldman concedes that thereis no way of counting property�tokens on his view, but that no methodof counting is required. Despite this ontological pro�igacy that so manyphilosophers seem to object to, he responds that although there are alarge number of tokens, there is not a large number of types ([3, p.773]).In fact, his is a remarkably �at ontology.

The alternative is that there is one event with di�erent aspects. Butthese di�erent aspects just seem to be equivalent to di�erent property�tokens exempli�ed by the property�token, and therefore show no advan-tage in parsimony over Goldman's view, but rather complicate it. Onthis alternative view, instead of an agent exemplifying two act�tokens,shooting George and killing George, he exempli�es the act�token shoot-ing George, and this token exempli�es the act�token killing George. An-other apparently plausible candidate for this kind of exempli�cation bya token is the case of adverbial modi�ers. It seems plausible to say thatthe act�token expressed by `John's saying `Hello' loudly' is a propertyof loudness exempli�ed by the act�token expressed by `John's saying`Hello�. Despite its plausibility, nothing is really gained by this manoeu-vre. We still have the same number of tokens, but have nested the tokensneedlessly. It also seems to imply that killing and saying `Hello' loudlyare not act�types, unless we drop the principle that act�types can onlybe exempli�ed by agents.

4 Conclusion

By replacing the synonymy test with Chisholm's intentional criterionfor the identity of properties, I hope to have solved some of the prob-lems with the property�exempli�cation theory and turned it into a pow-erful tool for the elucidation of action, events, and causality. Hav-ing at our power a plausible set of criteria for individuating property�exempli�cations gives us a good reason on its own to consider acts asevents and events as property�exempli�cations. I do not think that any


competing theories of events can individuate events in such a satisfac-tory fashion. Some philosophers will no doubt continue to dig in theirheels at the number of tokens that naturally result from the property�exempli�cation theory, but I do not see how any alternative will fareany better. Whatever theory one chooses, one will end up multiplyingsomething or other.

A fuller analysis would of course discuss Goldman's notion of level�generation and the problems that it involves. I do not see any seriousproblems here; I think that an appropriate liberalization of the categoryof same�levelness to absorb, for instance, augmentation generation (thisis the type of generation that caters for adverbial modi�cation), will solvemost of the problems. I have also suggested that there may be an addi-tional relation between property�exempli�cations, namely mereologicalsupervenience, and there may be more yet undiscovered.


Notes

1Property�exempli�cation theories will be most familiar to the reader as a theoryabout the metaphysics of events derived from the work of Jaegwon Kim, but Gold-man's very similar theory was developed independently at the time of working on hisdoctoral thesis upon which his classic of action theory �A theory of human action�is based, where it is couched in terms of acts rather than events more generally ([2,pp.10�19]), although he considers the possible extension of this theory to events ([2,p.172].

2This is an attack on Strawson's claim that to be a particular involves re�identi�-cation of the particular and the only thing that can play this role is substancesenduring over time. Thalberg quotes Moravscik and Davidson in support of thethesis that re�identi�cation also necessarily involves events, e.g., when I identify aparticular knife I identify it as the knife that I was holding an hour ago, the knifethat I buttered my toast with etc.

3An extensional criterion would require us to say that the properties of being arational animal and being a featherless biped are the same, since they have the sameextensions. Being a mermaid and being a unicorn would likewise be identical sincethey also have the same extension, namely the empty set. The intentional criterionavoids this result. When we conceiving the property of rational animal, we do notnecessarily conceive the property of featherless biped.

Also, it does not depend on any belief of the thinker such that substitution ofa co�referring term into the predicate position of an intensional context changes thetruth�value of the content. Consider the beliefs Ì believe that x is A' and Ì believethat x is B', and suppose that although A and B are synonymous, the thinker does notknow that they are, e.g., the thinker may not know that the word `pulchritudinous'means the same as `pretty'. It does not follow that these properties are distinct.Although the thinker may not apply the word `pulchritudinous', he still attributes theproperty `pulchritudinous' to anything to which he attributes the property `pretty'.The same does not follow when substituting into the subject position of the context.The beliefs Ì believe that x is A' and Ì believe that y is A' are distinct if the thinkerdoes not believe that x and y are co�referential, even if they are.

4P conceptually entails Q if one necessarily conceives of Q when one conceives ofP but one does not necessarily conceives of P when one conceives of Q. Thus, P andQ are identical when each conceptually entails the other.I am not sure that the de�nition for conjunctions is correct, since I think that anattribute should be identical to the conjunction of itself and any attribute that it con-ceptually entails, e.g., being�red is identical to being�red�and�being�colored. Thissituation seems to be ruled out if we do not allow one of the conjuncts to conceptuallyentail the conjunction, as prohibited by (2) and (3).

5Mellor ([5, p.112]) reaches a similar conclusion: �Consider the diversity of par-ticular things, ranging from quarks, through molecules, cells, organisms, mountainsand planets, to galaxies. Why must there be a single identity criterion for things ofall these kinds: why may not each kind have its own?�

6Act�tokens thereby become the basic token of their own (event�)trees. The act�tree mereologically supervenes on the event�trees generated by their act�tokens.

7Causal generation is one species of level�generation and represents the relation ofmeans to ends: John shoots George as a means of killing him; John pulls the triggeras a means to shooting George.


David BottingInstituto de Filoso�a da LinguagemFaculdade de Ciências Sociais e HumanasUniversidade Nova de Lisboa1069-061 Lisbon, Portugal

<[email protected]>


References

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[8] Michael Tye. On an objection to the synonymy principle of propertyidentity. Analysis, 41(1):22�26, 1981.

[9] J. David Velleman. What happens when someone acts? Mind, NewSeries, 101(403):461�481, 1992.

Finkishness, Frankfurt�Szenarien unddie konditionale Analyse von Fähigkeit

Julius Schälike

Abstract

The conditional analysis interprets power/capability as disposi-tion and gives it a counterfactual analysis. The phenomenon of�nkishness poses a problem for this account. I argue that theconditional analysis has to be modi�ed in order to solve theseproblems. The new analysis, I claim, is well suited to deal withFrankfurt-style scenarios as well, which conditional analyses arefrequently thought to be incapable of.

1 Die konditionale Analyse des praktischen Könnens

Wenn man von jemandem sagt, er sei fähig, x zu tun, so meint man,dass es sein kann oder dass es möglich ist, dass er x tut. Die Modalbe-gri�e �Möglichkeit� und �Notwendigkeit� sind interde�niert: Dass etwasmöglich ist oder sein kann, bedeutet, dass es nicht notwendig nicht ist.Daraus, dass jemand etwas tut, folgt somit, dass er es tun kann � ab essead posse valet consequentia. Jemandem die Fähigkeit zu attestieren, sooder anders zu handeln, ist nur dann sinnvoll, wenn es zu dem faktischenEreignisverlauf Alternativen gibt, die ebenfalls nicht verschlossen sind.In einer determinierten Welt existieren jedoch keine ontologisch o�enenAlternativen. Unter einer ontologisch o�enen Alternative verstehe ich ei-ne Alternative, die in der Konjunktion der Sätze, die den antezedentenWeltzustand beschreiben, und der Sätze, die alle herrschenden Naturge-setze beschreiben, weder logisch impliziert, noch mit ihr logisch unverein-bar ist. In einer determinierten Welt hat jedes Ereignis eine hinreichendeUrsache, eine Ursache also, die nicht lediglich die Wahrscheinlichkeit desEreignisses irgendwie erhöht, sondern die sicher stellt, dass das Ereigniseintritt. Wenn die Welt determiniert ist, lassen sich aus dem Konjunkteiner vollständigen Beschreibung des Zustands der Welt zu einem belie-bigen Zeitpunkt t, und der Beschreibung aller Naturgesetze, alle wahrenBeschreibungen von Weltzuständen zu jedem Zeitpunkt, der später als tliegt, ableiten. In ihr ist es ontologisch unmöglich, dass ein alternatives

Kriterion � Journal of Philosophy (2010) 23: 60�77.http://www.kriterion.at © 2010 The author

Julius Schälike: Finkishness und Frankfurt�Szenarien 61

Ereignis eintritt. Es fragt sich nun, in welchem Sinn man sagen kann,dass ein Akteur ggf. trotz ontologischer Alternativlosigkeit nicht nur et-was tun kann, sondern zudem etwas anderes als das tun kann, was erfaktisch tut. Ein Vorschlag lautet, dass �kann� hier einen konditionalenSinn hat:

KEin beliebiges Individuum x kann h ausführen und kann ¬hausführen, wenn folgende Konditionalsätze wahr sind:(1) Wenn x wollen würde, dass h, dann h, und(2) wenn x wollen würde, dass ¬h, dann ¬h.1

Die Konditionalanalyse K interpretiert das praktische Können als eineHandlungsdisposition. Sie ist ein Spezialfall der konditionalen AnalyseD. Dieser Analyse zufolge ist die Disposition, auf einen Stimulus miteiner Reaktion zu antworten, durch ein kontrafaktisches Konditional zuanalysieren:

DEin Gegenstand x ist zum Zeitpunkt t genau dann disponiert,auf einen Stimulus s mit der Reaktion r zu antworten, wenngilt: Wenn Stimulus s zu t aufträte, antwortete x mit derReaktion r.

2 Finkishness

Dispositionen jedoch sind veränderlich, sie kommen und gehen. Ange-nommen, ein Gegenstand hat die Disposition d1, auf Stimulus s mit derReaktion r zu antworten. Da es grundsätzlich möglich ist, dass alles allesverursacht, könnte es o�enbar sein, dass gerade der Stimulus s die Ursa-che davon ist, dass der Gegenstand die Disposition d1 verliert. Geschiehtdies schnell genug, so wird der Stimulus die Reaktion r nicht hervorrufen.Dennoch besitzt der Gegenstand die Disposition d1, wie es scheint, bis zudem Zeitpunkt, zu dem s auftritt. Andererseits könnte es sein, dass einGegenstand eine Disposition d2 nicht besitzt, sie ihm jedoch zuwächst,sobald Stimulus s auftritt. Eine Konditionalanalyse der Form D würded1 jedoch nicht zuschreiben, während d2 zugeschrieben würde.

Wenn die Disposition, wie im Falle von d1, ��üchtig� ist, also beimAuftreten von s schlagartig verschwindet, so ruft s nicht die Reaktion rhervor. Wenn das Fehlen der Disposition, wie im Falle von d2, ��üchtig�ist, die Disposition dem Gegenstand also beim Auftreten von s zuwächst,so ruft s die Reaktion r hervor. D zufolge besitzt x somit die Disposition


d1 nicht, wohl aber d2. Tatsächlich besitzt der Gegenstand d1 jedoch, d1ist lediglich �scheu�, ��üchtig�, labil oder, wie David Lewis sagt, ��nkish�.Die Disposition d2 hingegen besitzt der Gegenstand nicht, ihr Fehlen istjedoch �scheu� oder ��nkish�. D liefert somit in beiden Fällen das falscheErgebnis: Das Analysandum ist wahr, das Analysans aber o�enbar falsch.Dann aber kann das Konditional D keine logisch hinreichende Analysevon Dispositionen darstellen.2

Dieses Problem ist nach der Einschätzung von David Lewis seit An-fang der 1970er Jahre Teil der �philosophischen Folklore�.3 FolgendesBeispiel4 illustriert es: Auf dem Tisch stehen zwei zerbrechliche Gläser,die exakt die gleichen intrinsischen Eigenschaften besitzen. Ein Zauberer�ndet Gefallen an einem der Gläser. Er beschlieÿt, es vor dem Zerbre-chen zu schützen. Dies tut er, indem er die intrinsischen Eigenschaftendes Glases zunächst unverändert lässt, er beobachtet es lediglich. Erstdann, wenn ein Schlag das Glas tri�t, unter dem es zerbrechen würde,spricht er einen Zauberspruch, der das Glas so verändert, dass es nichtlänger zerbrechlich ist; auf diese Weise stoppt er den Prozess des Zer-brechens.5 Die Anwesenheit des Zauberers macht die Zerbrechlichkeit zueiner �scheuen� Eigenschaft des Glases. Solange kein Stimulus s auftritt,besitzt das Glas diese Eigenschaft, sobald s auftritt, verliert es sie.

Damit ist gezeigt, dass die Wahrheit des Satzes �wenn das Glas zumZeitpunkt t Stimulus s ausgesetzt wäre, würde es zerbrechen� keine not-wendige Bedingung dafür ist, dass das Glas zum Zeitpunkt t zerbrechlichist.

Ein verwandtes Problem liegt im Umstand, dass Dispositionen nichtnur �scheu� sein, sondern auch schlagartig entstehen können. So könnteder Zauberer dem Glas die Zerbrechlichkeit nehmen, etwa indem er eszum Schmelzen bringt, es aber stets dann, wenn es von einem Stimuluss, etwa einem Schlag, getro�en wird, zerbrechlich machen. Danach lässter das Glas wieder schmelzen. Diese Prozedur wiederholt sich bei jedemSchlag, der das Glas tri�t.6 Hier kann man von einem �scheuen� Fehleneiner Disposition sprechen: Einem Gegenstand wächst eine Dispositionerst dann zu, wenn die Umstände eintreten, unter denen sie sich zeigenkann.

Damit ist gezeigt, dass die Wahrheit des Satzes �wenn das Glas zumZeitpunkt t Stimulus s ausgesetzt wäre, würde es zerbrechen� keine hin-reichende Bedingung dafür ist, dass das Glas zum Zeitpunkt t zerbrech-lich ist.

Entsprechende Probleme ergeben sich für die konditionale Analysevon praktischen Fähigkeiten. Der klassischen Konditionalanalyse K zu-


folge besitzt jemand etwa die Fähigkeit, Französisch zu sprechen, wennfolgender kontrafaktischer Satz wahr ist: Er spricht Französisch, wenn erwill. Angenommen, einem Zauberer ist daran gelegen, Peter, der die Fä-higkeit besitzt, Französisch zu sprechen, bei jedem Versuch, Französischzu sprechen, scheitern zu lassen. Er tut dies, ohne irgendeine intrinsi-sche Eigenschaft von Peter sofort und dauerhaft zu verändern. Er liegtlediglich auf der Lauer, um aktiv zu werden, sobald Peter einen Versuchunternimmt. Sobald Peter den Willen bildet, Französisch zu sprechen,beseitigt der Zauberer die entsprechende Fähigkeit, um sie unmittel-bar hinterher wieder zu restaurieren. Peter besitzt dann eine �scheue�Fähigkeit, eine Fähigkeit also, die beim Versuch, sie zu aktualisieren,verschwindet. Die Wahrheit der Konditionale in K ist somit keine not-wendige Bedingung dafür, dass Peter eine bestimmte Fähigkeit besitzt.

Hans andererseits kann kein Französisch sprechen. Der Zauberer hates aber so eingerichtet, dass Hans diese Fähigkeit stets dann erwirbt,wenn er den Willen bildet, Französisch zu sprechen. Hans besitzt einen�scheuen� Mangel an Fähigkeit, der stets dann verschwindet, wenn erversucht, die Fähigkeit zu aktualisieren. Die Wahrheit der Konditionalein K ist somit auch keine hinreichende Bedingung dafür, dass Hans einebestimmte Fähigkeit besitzt.

Angesichts dieser Schwierigkeiten hält C. B. Martin die konditionaleAnalyse für gescheitert; da eine andere Analyse nicht in Sicht sei, plä-diert er dafür, �Disposition� und �Fähigkeit� als irreduzible Begri�e zuverstehen.7 Damit schüttet er jedoch das Kind mit dem Bade aus. Mirscheint, dass es für den Konditionalanalytiker zwei Möglichkeiten gibt,auf das Problem der �nkishness zu reagieren. Er kann erstens bestrei-ten, dass D das falsche Ergebnis liefert, oder zweitens dies anerkennenund D auf eine Weise modi�zieren, die die De�nition angemessen macht.Den ersten Weg schlägt Gary Watson ein, den zweiten David Lewis undKadri Vihvelin. Ich untersuche zunächst den ersten Vorschlag.

3 Watsons Vorschlag

Watson hält es für falsch, einem Gegenstand Fähigkeiten bzw. Disposi-tionen unabhängig von D zuzuschreiben. Der Hans-Fall, der als �scheuesFehlen einer Fähigkeit� beschrieben wurde, stellt Watson zufolge tatsäch-lich einen Fall dar, bei dem die Fähigkeit zuzuschreiben ist. Angenom-men, dass die Nervenverbindungen zu meiner Hand durchtrennt sind,solange ich sie nicht bewegen will; der Zauberer hat es jedoch so ein-gerichtet, dass stets dann schlagartig wieder zusammenwachsen, sobald


ich die Hand bewegen will. Die Annahme, ich könne meine Hand nichtbewegen, solange ich dies nicht wollte, beruht auf der Annahme, einenotwendige Bedingung dafür, dass ich meine Hand bewegen kann, sei,dass die Nervenbahnen intakt sind. Sind sie es nicht, so bin ich o�enbargelähmt, und Gelähmte können sich nicht bewegen. Aber bin ich wirk-lich gelähmt? Diese Annahme weist Watson zurück. Es ist, so argumen-tiert er, nicht angemessen, zu sagen, dass die Hand, deren Nervenbahnendurchtrennt sind, gelähmt ist, falls diese Bahnen zuverlässig dann wiederzusammen wachsen, wann immer ich die Hand bewegen will. Wie kannman von Lähmung sprechen, wenn die Hand unter der Kontrolle meinesWillens steht?

�I claim that no condition that is dependent in this way [i.e.like the �nkish neural connection] upon the will could be anecessary condition of the ability to move my hand. Is this apriori physiology? When [the neural connection] N is absent,we may suppose, the hand is paralyzed. To say that I amable to move my hand while N is absent is to say that I amable to move my hand while paralyzed! My claim is that thenotion of paralysis cannot be understood independently ofwhat reliably depends on the will. Although my moving myhand is causally dependent on N, where the presence of N isreliably ensured by my willing to move my hand, its absenceis not a necessary condition of my ability. What is a necessarycondition is that N depends on my will.�8

In der Tat: Durch die Unterbrechung der Nervenverbindungen bin ichin dem beschriebenen Szenario in keiner Weise daran gehindert, mei-ne Hand zu bewegen. Deshalb, so Watson, ist die angemessene Sicht-weise die, dass der Zauberer mir keinesfalls eine Fähigkeit genommen,sondern lediglich ihre kausale Komplexität erhöht hat.9 Bestimmte in-trinsische Eigenschaften, die prima facie als notwendige Bedingungendafür erscheinen, Fähigkeiten zuzusprechen, stellen in dem Fall, dass diePräsenz dieser Eigenschaften zuverlässig von dem relevanten Stimulusbewirkt wird, keine notwendigen Bedingungen dar.10 D schreibt Fähig-keiten bzw. Dispositionen somit korrekt zu.

Watsons Vorschlag besitzt eine hohe Attraktivität; dennoch halte ichihn für falsch. Es tri�t zwar zu, dass ein Akteur nicht dadurch behindertwird, dass einige seiner intrinsischen Eigenschaften, die für eine Hand-lung benötigt werden, in der Weise ��nkish� sind, dass sie erst dannentstehen, wenn er den Willen bildet, die Handlung zu vollziehen. Dies


reicht jedoch nicht aus, um die These zu rechtfertigen, die Fähigkeit, die-se Handlung zu vollziehen, bestehe auch zu einem Zeitpunkt, bevor dieAktualisierung gewollt wird. Die konditionale Analyse von Fähigkeiteninterpretiert diese als Dispositionen. Ein Gegenstand besitzt Dispositio-nen aufgrund bestimmter intrinsischer Eigenschaften. Der Besitz dieserEigenschaften ist die kausale Basis für den Besitz von Dispositionen.11

Es sind diese Eigenschaften, die einem zuwachsen, wenn man eine Dis-position erwirbt, und die man verliert, wenn man sie verliert. Sie sindes, die fortbestehen, wenn die Disposition nicht aktualisiert wird.12 DieseEigenschaften sind kriteriell für Dispositionen. Die Frage ist nun, ob maneinem Gegenstand eine intrinsische Eigenschaft, die er just unter der Be-dingung erwirbt, unter der sie sich zeigen kann, auch zuschreiben kann,bevor die Bedingung eintritt. Dies wäre durchaus angemessen, wenn mansagen könnte, dass es selbst eine intrinsische Eigenschaft dieses Gegen-standes darstellte, dass er diese Eigenschaft unter dieser Bedingung er-wirbt. Aber ist es eine intrinsische Eigenschaft etwa des Glases, dassder Zauberer gewillt ist, es vor dem Zerbrechen zu bewahren? Wie derBegri� �intrinsische Eigenschaft� genau zu verstehen ist, ist sicher eineschwierige Frage. Dennoch erscheint es mir sehr unplausibel, hierin eineintrinsische Eigenschaft des Glases zu erblicken. Daher folge ich Watsonhier nicht.13

4 Modi�zierte Konditionalanalyse: Lewis und Vihvellin

Ob etwas nun eine intrinsische Eigenschaft hat, ist unabhängig davon,ob die Eigenschaft sich zeigen kann � auch dann, wenn das Sich-Zeigenunter den relevanten Bedingungen begri�ich mit dem Besitz der Eigen-schaft verbunden ist. Wir schreiben dem vom Zauberer geschützten Glasdie Disposition zu, zu zerbrechen, weil wir ihm die intrinsischen Eigen-schaften zuschreiben, die die kausale Basis für Zerbrechlichkeit darstel-len, und wir schreiben Peter die Fähigkeit zu, Französisch zu sprechen,weil wir Peter die entsprechenden intrinsischen Eigenschaften zuschrei-ben, die ihm der Zauberer gerade dann nimmt, wenn sie sich zeigenwürden. Weil die Eigenschaften �scheu� sind, ist ihre Existenz gewisser-maÿen �verdeckt� oder �maskiert�14: Sie können sich nicht zeigen, sindjedoch präsent.

Die Beispiele zeigen keinesfalls, dass diese Eigenschaften nicht kon-ditional zu analysieren sind; das Problem besteht vielmehr darin, dassdie klassische kontrafaktische Analyse unzureichend ist, weil sie der Va-riabilität von Eigenschaften nicht Rechnung trägt. Eine intrinsische Ei-


genschaft zu besitzen, welche eine Fähigkeit konstituiert, heiÿt, das fürdie Fähigkeit de�nitorische Ereignis zu verursachen, sofern die de�nito-rischen Umstände eintreten, und sofern diese Eigenschaft lange genugbestehen bleibt, um ihre kausale Rolle zu entfalten.15

Der Mangel, den K aufweist, lässt sich, wie David Lewis16 gezeigthat, in einer etwas komplexeren Konditionalanalyse beheben. Erforder-lich ist es, K so zu modi�zieren, dass die intrinsischen Eigenschaften,die die kausale Basis der Fähigkeit bilden, welche das Subjekt zum Zeit-punkt t besitzt, bis zu dem Zeitpunkt t' festgehalten werden, an demdie Handlung vollzogen ist.17 Im Anschluss an David Lewis18 und KadriVihvelin19 lässt sich folgende modi�zierte Konditionalanalyse formulie-ren:

MKx kann h zu t ausführen und x kann ¬h zu t ausführen genaudann, wenn x die intrinsischen Eigenschaften e zu t besitztund wenn folgende Konditionalsätze wahr sind:(1) Wenn x zu t wollen würde, dass h, und wenn x e bis zueinem späteren Zeitpunkt t' besäÿe, dann h, und(2) wenn x zu t wollen würde, dass ¬h, und wenn x e bis zueinem späteren Zeitpunkt t' besäÿe, dann ¬h.20

5 Fähigkeiten in Frankfurt-Szenarien

Diese Überlegungen lassen sich nun auf Szenarien anwenden, wie sie Har-ry Frankfurt entworfen hat.21 Diese Szenarien sind ursprünglich zu demZweck konzipiert worden, zu zeigen, dass moralische Verantwortung kei-ne alternativen Möglichkeiten voraussetzt. Die Beispiele stellen jedochnicht nur eine Herausforderung für den Inkompatibilisten dar, der diesleugnet, sondern auch für denjenigen, der eine kompatibilistische Ana-lyse von �alternative Handlungsmöglichkeit� anbieten möchte. Dies liegtdaran, dass die Konditionalanalyse MK angesichts dieser Beispiele un-zureichend erscheinen könnte. Die Frankfurt-Beispiele sind dadurch ge-kennzeichnet, dass durch geeignete Maÿnahmen sichergestellt wird, dassein Akteur in einer bestimmten Situation einen bestimmten Willen bil-det. Für den Fall, dass er diesen Willen nicht aus eigenem Antrieb bildet,manipulieren technische Vorkehrungen � etwa ein neuronales Implantat� sein willensbildendes System so, dass der Wille sich dennoch bildet.Die Manipulation könnte etwa, wie in Frankfurts Szenario, den Willenbetre�en, eine bestimmte Person zu töten. Das Implantat bleibt inak-tiv, falls sich der Akteur von selbst dazu entschlieÿt, die Person zu töten;


andernfalls verursacht das Implantat, dass der Akteur sich dazu entschei-det, die Person zu töten. Unmittelbar nach der Tat wird das Implantatwieder deaktiviert.

Intuitiv liegt es nahe, zu sagen, dass der Akteur durch das Implantatdaran gehindert wird, die Person nicht zu töten, dass er die Fähigkeit,die Tötung zu unterlassen, einbüÿt. Dies scheint der Konditionalist je-doch leugnen zu müssen. Der Akteur ist ja nicht insofern behindert, alssich etwas seinem Willen entgegenstellt. Er büÿt somit nichts an prakti-scher Fähigkeit ein, wenn man diese gemäÿ MK analysiert. Man könntejedoch denken, das Implantat beraube den Akteur seiner praktischen Fä-higkeiten, indem es ihn seiner Willensbildungsfähigkeiten beraube, undzwar auch dann, wenn es gar nicht aktiv werde. Dann aber wäre MK alsAnalyse des praktischen Könnens unplausibel.

Dieser Eindruck ist jedoch trügerisch. Falls das Implantat nie aktivwird, bleibt die praktische Fähigkeit, h zu tun oder zu unterlassen, gänz-lich untangiert. Gegenstände und Personen besitzen Fähigkeiten auf-grund von intrinsischen Eigenschaften, die ihre kausale Basis darstellen.Solange das Implantat inaktiv bleibt, verfügt der Akteur über die für diepraktischen Fähigkeiten relevanten intrinsischen Eigenschaften, da dasImplantat in diese Eigenschaften gar nicht eingreift.

Was jedoch geschieht, sobald das Implantat aktiv wird? Hier lie-fert die konditionale Analyse scheinbar das falsche Ergebnis. Denn auchdann, wenn das Implantat die Kontrolle übernimmt, gilt, dass der Akteuranders handelte, wenn er anderes wollte.22 Plausibel ist hingegen, dassder Akteur die Fähigkeit, anders zu handeln, unter diesen Bedingungenverliert. Schreibt die Konditionalanalyse hier somit fälschlich Fähigkei-ten zu?

Dies ist nicht der Fall. Warum das so ist, wird deutlich, wenn manüberlegt, welchem Objekt die Fähigkeiten zugeschrieben werden. Hiergibt es zwei Kandidaten: Zum einen den Willen des Akteurs, zum an-deren das Gesamtsystem, das den Akteur konstituiert, also seine physi-schen, emotionalen, kognitiven und volitiven Teile, nach Abzug der vo-litiven Komponenten. Das bedarf der Erläuterung. Die Antwort auf dieFrage �Was kann ich tun?� lässt sich zum einen verstehen als Frage da-nach, wozu die Werkzeuge, über die ich verfüge, in der Lage sind, zumanderen als Frage danach, wozu ich mithilfe dieser Werkzeuge fähig bin.Eine bestimmte Bohrmaschine kann ein 1 cm breites, 20cm tiefes Lochin Beton bohren. Verfüge ich über diesen Bohrer, kann ich solch ein Lochbohren. In gewisser Weise ist hier nicht allein der Bohrer mein Werkzeug,sondern auch mein Körper, denn wäre ich gelähmt, könnte ich das Loch


nicht bohren. Ähnlich verhält es sich mit meinem doxastischen System.So stellen beispielsweise meine korrekten Meinungen darüber, wie manden Bohrer verwendet, auch eine Art Werkzeug dar, sind sie doch etwas,worüber ich verfüge und das mir Möglichkeiten erö�net. Wer bin dannich als derjenige, der über diese Werkzeuge und sonstigen Mittel verfügt?Ich bin mein Wille. Dieser stellt diejenige Instanz dar, die Fähigkeitenbesitzt, weil sie Werkzeuge besitzt, die diese Fähigkeiten haben.

Die konditionale Analyse nun schreibt Fähigkeiten zunächst demRestsystem zu, welches der Akteur nach Abzug seines Willens darstellt,dem System also, das den Status eines Werkzeugs hat. Die Fähigkeitendieses Werkzeugs ändern sich o�enbar nicht, wenn das Implantat aktivwird und den eigenen Willen des Akteurs gleichsam von den Schalthebelnverdrängt. Die intrinsischen Eigenschaften des Werkzeugs bleiben durchdie Aktivierung des Implantats unberührt, und es sind diese Eigenschaf-ten, die die Fähigkeiten des Werkzeugs konstituieren. Diese Fähigkeitenkönnen als die Fähigkeiten des Akteurs interpretiert werden, weil siediesem Akteur zur Verfügung stehen. Der Ausdruck �Akteur� referierthier jedoch nicht auf das System als Ganzes, sondern auf das Element,das in der konditionalen Analyse herausgenommen wird: seinen Willen.Die Zuschreibung praktischer Fähigkeiten hat somit stets zwei Seiten,die Zuschreibung fähigkeitskonstitutiver Eigenschaften eines Werkzeugs,und die Benennung eines Willens, der Zugri� auf die Fähigkeiten hat.

Welche Folgen hat nun das Aktivwerden des Implantats? Auch fürden vom Implantat generierten Willen gilt, dass ihm die Fähigkeiten desWerkzeugs zur Verfügung stehen. Diese Fähigkeiten ändern sich nicht.Und dennoch ändert sich etwas: Es ist nicht dieselbe Instanz, welche überden durch die Fähigkeiten erö�neten Handlungsspielraum verfügt, dennder Wille ist in einem entscheidenden Sinne nicht mehr derselbe Wil-le, und somit � insofern der Wille mit dem Akteur identi�ziert werdenkann � nicht mehr der Wille desselben Akteurs. Das Implantat zerstörtden Willen des Akteurs und ersetzt ihn durch einen anderen. Deshalbkann nicht länger gesagt werden, dass die Fähigkeiten des Werkzeug zu-gleich die Fähigkeiten des Akteurs darstellen; dieser Akteur hört durchdas Aktivwerden des Implantats (vorübergehend) auf zu existieren. DieFähigkeiten des Werkzeugs sind vielmehr Fähigkeiten eines anderen Ak-teurs, der durch das Implantat generiert wird. Der erste Akteur hingegenverliert, sobald er aufhört zu existieren, zugleich alle seiner Fähigkeiten.

Die Frankfurt-Beispiele entlarven somit keine Schwäche der Kondi-tionalanalyse, MK bedarf in ihrem Lichte keiner Modi�kation. In MKbezieht sich die Variable x zugleich auf das �Werkzeug� und auf den


Akteur, insofern er mit dem Willen identi�ziert werden kann, der hand-lungskausal wirksam ist. Sie bezieht sich daher nach dem Aktivwerdendes Implantats auf einen anderen Akteur als vorher. Der erste Akteurverliert seine Fähigkeiten, da er seine Existenz verliert, während derzweite, durch das Implantat generierte Akteur genau diese Fähigkeitenerwirbt, sobald das Implantat ihm zur Existenz verhilft. Das Implan-tat hat somit zur Folge, dass die Fähigkeiten des ersten Akteurs �scheu�sind,23 da dieser Akteur selbst �scheu� ist, seine volitiven Dispositionenverschwinden in dem Moment, in dem sie sich zeigen würden. Vorherund nachher jedoch ist er durchaus präsent und hat Zugri� auf die Fä-higkeiten des Werkzeugs.

Dieses Argument ist davon abhängig, dass man beide Akteure � nen-nen wir sie A und B � voneinander unterscheiden kann. Dies könnteangezweifelt werden. In einem bestimmten Sinne stellt auch der durchdas Implantat erzeugte Wille Wi einen Willen von A dar, ist es doch einWille, der sich in As Körper bildet. Warum sollte man Wi nicht A zu-schreiben? Zweifellos reicht der Umstand, dass sich unter dem Ein�ussdes Implantats der Wille ändert, als Erklärung nicht aus, denn sonstmüsste man immer dann, wenn sich der Wille einer Person ändert, sa-gen, dass sich die Person ebenfalls ändert. Der Wille ändert sich jedochlaufend: Jetzt will ich ein Buch lesen, etwas später werde ich etwas essenund noch später schlafen wollen und bleibe doch bei all diesen Änderun-gen dieselbe Person.

Stellt die Lokalisierung im Körper ein zu weites Kriterium dar, um ei-ner Person einen Willen zuzuschreiben, so die Konstanz des Willens einzu enges. Welches Kriterium ist einschlägig? Dies wird deutlich, wennman den Fokus nicht auf den bewussten Willen richtet, sondern auf Fak-toren, die an seiner Erzeugung beteiligt sind: auf die volitiven Disposi-tionen.

Ein Willensbildungssystem lässt sich vereinfacht als System denken,bei dem volitive Präferenzen24 als Willensdispositionen fungieren, dieunter bestimmten Bedingungen aktualisiert werden, etwa dann, wennbestimmte Meinungen ausgebildet werden bzw. bestimmte Perzeptionenentstehen. Dieses System kann unter demWandel der bewussten Willens-haltungen als identisches bestehen bleiben. Ändert es sich in bestimm-ten Punkten, so ist die Person in dieser Hinsicht eine andere geworden.Ändern sich sehr basale Elemente hinreichend gravierend, so kann mansagen, dass man es nicht mehr mit derselben Person zu tun hat: Sie ist�ein anderer Mensch� geworden. Während die Person A zu t1 etwa dann,wenn sie die Meinung hätte, die Handlung h würde zum Tode von Smith


führen, nicht den Willen ausbilden würde, h zu vollziehen, so würde siediesen Willen unter diesen Bedingungen zu t2 nun ausbilden. Somit hatsich die Person geändert, A ist zu B geworden. Während B durchausdie Fähigkeit besitzt, die Handlung zu unterlassen, fehlt A diese Fähig-keit, da A aufgehört hat, zu existieren. Die Suspension seiner Existenzkann durchaus vorübergehend sein, sofern das Implantat später wiederdeaktiviert wird.

6 Eigener und fremder Wille

Diese Analyse passt auch auf Variationen von Frankfurts Szenario. Sohaben etwa Mele und Robb ein Szenario entworfen, in dem die mani-pulative Vorrichtung nicht irgendwann aktiviert wird, sondern das Ge-hirn eines Akteurs ohne sein Wissen so präpariert wird, dass sein ei-gener Willensbildungsprozess W1 überlagert wird von einem fremden,mental gänzlich unau�älligen Mechanismus W2, der unter bestimmtenBedingungen bestimmte Entscheidungen auslöst.25 Immer wenn das ei-gene willensbildende System des Akteurs in den relevanten Situationendiese Entscheidungen auch dann tre�en würde, wenn das fremde Sys-tem inexistent wäre, sind die Entscheidungen überdeterminiert. Setztdas eigene System jedoch dazu an, anders zu entscheiden, wird es vomfremden Mechanismus insofern teilweise suspendiert, als die divergentevolitive Disposition des Akteurs vorübergehend oder dauerhaft suspen-diert wird. Auch hier markiert der Moment, in dem dies geschieht, denMoment, in dem der Akteur mit all seinen Fähigkeiten von der Bild�ächeverschwindet.

So stellt es sich jedenfalls dar, sofern zwischen eigenem und frem-dem Mechanismus unterschieden werden kann. Aber ist dies tatsächlichmöglich? Inwiefern ist der Mechanismus W2 nicht der Willensbildungs-mechanismus des Akteurs? Ein Willensbildungssystem ist nicht identischmit einem anderen, wenn es über unterschiedliche volitive Dispositionenverfügt. Freilich ändern sich nicht nur der okkurente Wille, sondern auchdie volitiven Dispositionen der meisten Menschen im Laufe der Zeit, ohnedass wir sagen, sie seien nicht mehr dieselben Personen. Dies würden wirerst dann tun, wenn die Änderungen ein bestimmtes Maÿ überschritten.In den Frankfurt-Szenarien ist dies nicht notwendig der Fall. Sicherlichhat sich ein Akteur, der sich entscheidet, jemanden unter Bedingungenzu töten, unter denen er dies zuvor niemals getan hätte, im Kern sostark verändert, dass er nicht mehr derselbe ist. Der Akteur könnte aberauch so manipuliert sein, dass er in Situationen, in denen Käse- und


Kirschtorte zur Auswahl steht, stets Käsetorte wählt. Wenn er unmani-puliert Kirschtorte gewählt hätte, wird man kaum sagen wollen, er seidurch die Manipulation zu einem anderen Menschen geworden. Hängt dieFrage, ob ein Akteur in Frankfurt-Szenarien Fähigkeiten einbüÿt, somitdavon ab, wie gravierend die Manipulation in seine personale Identitäteingreift? Das erscheint unplausibel.

Der Konditionalist ist jedoch zu einer plausibleren Antwort fähig.Wenn die Modi�kation unmittelbar vor der Handlung einsetzt und un-mittelbar danach rückgängig gemacht wird, hat die volitive Disposition,die handlungskausal wirksam wird, gleichgültig ob sie personenkonstitu-tiv ist oder nicht, nichts mit der Person zu tun, wie sie sich vor und nachder Handlung präsentiert. Auch wenn es unplausibel erschiene, zu sagen,die Person, die gehandelt hat, sei eine andere als die Person vorher undnachher, weil die Modi�kation zu unbedeutend ist, um den personalenKern zu tangieren, ist doch der volitive Faktor, der die Handlung aus-gelöst hat, kein Teil der Person, wie sie sich vor und nach der Handlungpräsentiert. Selbst wenn man sagen kann, diese Person sei insofern die-selbe wie die handelnde, als sie sich nicht gravierend verändert hat, istdoch der volitive Teil von ihr, der handlungskausal wirksam geworden ist,kein Teil der Person vor und nach der Tat. Vielmehr ist derjenige volitiveTeil von dieser Person, der ohne manipulative Vorkehrung handlungskau-sal wirksam geworden wäre, vorübergehend inexistent. Damit jedoch istdie Person volitiv gänzlich vom Geschehen abgekoppelt. Dies ist einemFahrschüler beim Eingri� des Fahrlehrers in einem Auto mit doppelterPedal- und Lenkausstattung vergleichbar, bei dem die Steuerinstrumen-te auf der Fahrerseite deaktiviert werden, sobald ihre Gegenstücke aufder Beifahrerseite betätigt werden. Auch wenn das neue volitive ElementTeil des volitiven Systems werden könnte, ohne die personale Identität zuverschieben, wird es doch kein solcher Teil, da es sofort wieder verschwin-det. Deshalb ist es plausibel, dass die Person in toto als kausaler Faktorinexistent ist, obgleich lediglich bestimmte volitive Faktoren verschwin-den: Es sind genau diejenigen Faktoren, die die Person kausal mit demGeschehen verkoppeln � so wie Lenkrad und Pedale den Fahrschüler.Auch wenn es mit der personalen Identität des Schülers vereinbar wäre,dass er das Manöver ausführt, welches faktisch der Lehrer ausführt, istes doch nicht er, sondern der Lehrer, der dies tut.

Was jedoch, wenn die manipulativ erzeugte Präferenz dauerhaft imvolitiven System der Person verbleibt? Die Person ist dann in einer be-stimmten Hinsicht eine andere geworden. Wenn die Veränderung denpersonalen Kern erfasst, lässt sich zwischen der Person vor dem Eingri�


A und der Person nach dem Eingri� B unterscheiden. A hätte nach demEingri� nicht anders handeln können, da A nicht mehr existiert, wäh-rend B anders hätte handeln können, da B dies getan hätte, wenn B esgewollt hätte. Wenn die Veränderung eher unbedeutend ist, gleicht derFall dem jeder anderen Änderung der volitiven Dispositionen, mit derBesonderheit, dass sie in einer Situation erfolgt, in der die neue Disposi-tion unmittelbar aktualisiert wird. Sowohl vor als auch nach dem Eingri�hätte die Person anders handeln können.

Wie erklärt sich die Intuition, dass das Implantat eine bestimmteHandlung notwendig, jede Alternative unmöglich macht, und zwar auchdann, wenn es inaktiv bleibt? Diese Intuition ist es, die Frankfurt dazubewogen hat, das von ihm entworfene Szenario als Beispiel einer alterna-tivlosen Handlung zu betrachten. Unter einer bestimmten Interpretati-on ist dies auch durchaus zutre�end. Falsch ist die Ansicht, eine andereHandlung sei unmöglich, wenn damit gemeint ist, dem Akteur fehltedie praktische Fähigkeit, anders zu handeln. Solange er existiert, ver-mag er dies, wie gezeigt, durchaus. Er kann jedoch nicht verhindern,dass mithilfe seines Körpers unter bestimmten Bedingungen bestimm-te Handlungen vollzogen werden. Wird das Implantat aktiv, verschwin-det der Akteur zwar als aktiver Teilnehmer am Geschehen, nicht jedochsein Körper. Dieser dient vielmehr dem künstlich induzierten Willen alsWerkzeug zum Handlungsvollzug. Wenn der Akteur von dem Implan-tat und seiner Funktionsweise nichts weiÿ, kann er das nicht verhindern.Zwar ist es nicht im relevanten Sinne der Akteur A, der die Tat vollzieht;dies tut der induzierte Wille, also B, aber er tut es mithilfe des Körpersvon A. Man kann somit sagen, dass A nichts daran ändern kann, dasssein Körper die Tat vollzieht. Insofern ist Frankfurts intuitiv einleuchten-de Diagnose, der Akteur könne nicht anders, durchaus zutre�end. Manmuss sich nur klar machen, dass es streng genommen nicht seine Hand-lung ist, die er nicht verhindern kann, sondern eine Handlung, die unterBenutzung seines Körpers vollzogen wird.26


Anmerkungen

1In Anlehnung an Seebaÿ 1994, 174; die Idee, die hinter diesem Vorschlag steht,geht auf Augustin zurück (De libero arbitrio III, 14-41); sie wurde aufgegri�en u.a.von Hobbes, Hume, Schopenhauer, Schlick, Tugendhat, Bok und Vihvelin. Zumeistwir sie heute mit G. E. Moore in Verbindung gebracht (Moore 1912, Kap. I und VI;1912a).

2Martin 1994, 3; Lewis 1997, 143f.3Lewis 1997, 143; Lewis zufolge wurde es erst 1994 von C. B. Martin publiziert

(Martin 1994). Lehrer erwähnt es jedoch bereits 1968, wenn er es auch nicht ausar-beitet und philosophisch falsch einordnet (Lehrer 1968, 44).

4Cf. Lewis 1997, 147; Vihvelin 2004, 435.5Lewis 1997, 147.6In Anlehnung an Martin 1994, 2; Vihvelin 2004, 436.7Martin 1996, 62�.; ähnlich Berofsky 2002, 192f.8Watson 1987a, 180f.9Watson 1987a, 181.

10�When C is a necessary condition of one's doing M, C is not a necessary conditionof one's being able to M if the presence of C is reliably dependent on one's will�(Watson 1987a, 182).

11Lewis 1997, 149; cf. auch Johnston 1994; Smith 1997, 101; 2003, 120�.12Cf. Vihvelin 2004, 438.13Man könnte allerdings bezweifeln, dass Gegenstände Dispositionen allein auf-

grund von intrinsischen Eigenschaften besitzen. Könnte man sie ihnen auch aufgrundvon extrinsischen Eigenschaften zuschreiben, so wäre Watsons Vorschlag plausibel.Für die konditionale Analyse bedeutete dies, dass eine alternative Verteidigungsstra-tegie zur Verfügung stünde. Ob dieser Weg gangbar ist, lasse ich hier o�en.

14In der Literatur wird hier von �masking� gesprochen, cf. Johnston 1993, Smith1997, 101; 2004, 120�. Johnston illustriert das Phänomen am Beispiel eines schüchter-nen Chamäleons, das mit einer enormen prognostischen Gabe ausgestattet ist. Es istgrün, wenn es dunkel ist, aber wann immer es voraussieht, dass es sichtbar wird, errö-tet es. Wenn man die Farbe Grün als Disposition de�niert, bei Beleuchtung grün zuerscheinen, so scheint das Chamäleon nicht grün zu sein. Die Lösung für die disposi-tionelle Analyse der Farben besteht darin, darauf hinzuweisen, dass Dispositionen wieFarben durch bestimmte intrinsische Eigenschaften konstituiert sind. Solche Eigen-schaften können durch andere Eigenschaften (wie die Schüchternheit des Chamäleons)verdeckt (�masked�) werden. Sie sind dann �scheue� (��nkish�) Eigenschaften.

15Cohen und Hand�eld (2007) argumentieren, diese Analyse passe nicht auf Fäl-le wie den eines Drogensüchtigen. Bei diesem sei die Fähigkeit, anders zu handeln,nicht �nkish, vielmehr sei die Sucht intrinsischer Bestandteil des Subjekts. Die Suchtmache das Subjekt unfähig, die Droge nicht zu nehmen. Dies stelle den Vertreter derThese, moralische Verantwortung sei an alternative Möglichkeiten gebunden, vor einProblem. Der willige Süchtige gelte intuitiv als verantwortlich, der unwillige Süchtigehingegen nicht. Beide Süchtige seien jedoch gleichermaÿen unfähig, anders zu han-deln. Diese Diagnose ist meiner Ansicht nach unzutre�end. Beide Süchtige haben dieFähigkeit, der Droge zu entsagen, da sie es täten, wenn sie es wollten. Warum einwiderwillig Süchtiger dennoch nicht für verantwortlich gehalten wird, untersuche ichin Schälike 2010.

16Lewis 1997.17Cf. Lewis 1997, 155. � Man könnte sich fragen, ob die Probleme, die mit �n-

kishness einhergehen, nicht einfacher dadurch gelöst werden können, dass man eine


Ceteris-paribus-Klausel einführt, die besagt, die intrinsischen Eigenschaften seien zu�xieren. Wie David Lewis zeigt, wirft dies jedoch im Falle bestimmter Fähigkeiten einProblem auf. Hielte man etwa die intrinsischen Eigenschaften eines Glases konstant,so würde es nicht zerbrechen (cf. Lewis 1997, 157f.).

18Lewis 1997, 157.19Vihvelin 2004, 438.20Genauer müsste das erste Consequens heiÿen: �dann wären der Wille von x und

der Besitz von e zusammen eine x-vollständige Ursache dafür, dass x h tut�, und ent-sprechend wäre das zweite Consequens zu modi�zieren. Es könnte nämlich sein, dassx einen �scheuen� Teil-Mangel an der kausalen Basis der Fähigkeit aufweist, der durchdas Eintreten des Wollens behoben wird, etwa wenn x aufgrund seiner intrinsischenEigenschaften zu t befähigt ist, ein Gewicht von höchstens 30 Kilo zu heben, ihmjedoch im Moment, in dem er den Willen ausbildet, 50 Kilo zu heben, die zusätzlicheKraft zuwächst, 20 Kilo zu heben. Dann aber verfügt x zu t nicht über die Fähig-keit, 50 Kilo zu heben, obgleich das Analysans gemäÿ MK wahr wäre. Der Ausdruck�x-vollständige Ursache� stellt sicher, dass allein die intrinsischen Eigenschaften zu tsowie der Wille als Kausalfaktoren berücksichtigt werden (cf. Lewis 1997, 156). Umdie De�nition nicht zu komplex und unübersichtlich zu machen, vernachlässige ichdiese Komplikation.

21Cf. Frankfurt 1969.22Dies wird von Haji 2002, 222 m.E. falsch gesehen.23So auch Vihvelin 2004, 447f., bei der jedoch unklar bleibt, warum der Akteur

seine Fähigkeiten verliert.24Ob volitive Präferenzen zugleich evaluative Präferenzen darstellen, kann ich hier

o�en lassen. Es spricht zwar einiges dafür, dass es zwischen ihnen einen begri�i-chen Zusammenhang gibt, doch scheint das Phänomen der Willensschwäche diesemAnschein zu widersprechen (cf. jedoch Schälike 2002; 2004; 2006; 2010).

25Mele/Robb 1998, 101f. In dem Kontext, in dem das Szenario bei Mele und Robbsteht, ist es wichtig, dass W1 indeterminiert ist, W2 jedoch determiniert. Dies istim gegenwärtigen Zusammenhang jedoch irrelevant. � Ähnliche Szenarien entwerfenHunt 2000 und Stump 1999.

26Dieser Text basiert auf meiner Konstanzer Habilitationsschrift (Schälike 2010).

Julius SchälikeFachbereich PhilosophieUniversität KonstanzUniversitätsstraÿe 1078464 Konstanz, Germany

<[email protected]>


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From a Mereotopological Point of View:Putting the Scienti�c Magnifying Glasson Kant's First Antinomy

Alexander Gebharter & Alexander G. Mirnig

Abstract

In his Critique of Pure Reason Immanuel Kant presents four anti-

nomies. In his attempt to solve the �rst of these antinomies he ex-

amines and analyzes �thesis� and �antithesis� more thoroughly and

employs the terms `part', `whole' and `boundary' in his argumen-

tation for their validity. According to Kant, the whole problem

surrounding the antinomy was caused by applying the concept

of the world to nature and then using both terms interchange-

ably. While interesting, this solution is still not that much more

than a well thought out idea if it does not also include an ade-

quate formal explication. Since the aforementioned terms all have

counterparts in modern mereotopology, a discipline that has seen

signi�cant progress in recent times, we will apply these concepts

to Kant's analysis in an attempt to evaluate Kant's solution in

light of modern analytic philosophy.

1 Introduction

The �rst step of our analysis (section 2) will be an illustration of the �rstantinomy and a concise summary of Kant's reaction to it. We will alsoexamine how it ultimately led to the position of Transcendental Idealism.In this section we shall also argue motivations why mereotopology seemsto be a suitable means for representing Kant's thoughts in this matter.

In section 3 a mereotopological system (GEMTM ) adequate for rep-resenting extensional domains and the integral terms of Kant's argu-mentation will be introduced, together with some explanations of thoseaxioms and de�nitions which are more di�cult to understand. In section4 we will then apply said system to Kant's views, draw the consequencesfrom our results and will then summarize them to provide a future out-look in section 5. The appendix contains an overview of the relevantaxioms, de�nitions and theorems of GEMTM .


Alexander Gebharter, Alexander G. Mirnig: Kant's First Antinomy 79

2 Taking a closer look at Kant's �rst antinomy

Thesis and antithesis of the �rst antinomy as it is found in Kant's Cri-tique of Pure Reason (cf. [2, pp. B 454-455]):

Thesis

The world has a beginning in time and is enclosed in spatialboundaries.

Antithesis

The world has no beginning and is not enclosed inboundaries but is in�nite regarding time as well as space.

It is possible to provide (at least intuitively) convincing argumentsfor both thesis and antithesis:1

ThesisRegarding time For us the world is the whole of all spatial parts (orat least it is di�cult to imagine it to be something di�erent) in orderof their temporal occurrence. This whole is built upon by successivelyadding one temporal part after another as it occurs in time. No matterhow many parts are added to a whole it will always remain �nite as longas its base or any of the parts added are not in�nite. Since, as of yet,no one has ever experienced an in�nite event, it is highly implausiblethat there are such things as temporally in�nite parts, thus suggestingthe presupposition of an in�nite base provided the world is temporallyin�nite. As such, the only way to talk about a world with no temporalbeginning would be to assume an �in�nite beginning�, which is simplycounterintuitive and certainly not what anyone could mean when theytalk about a beginning. Therefore a temporal boundary of the world, asexpressed in the thesis, is highly plausible.Regarding space The world encompasses all spatial parts at everypoint in time. Since there has never been a reported observation of anin�nite spatial entity, it is reasonable to assume that spatial parts arealways �nite. It is di�cult to imagine an entity consisting of all thosespatial parts as being of a di�erent structure than that of the parts itcontains, therefore suggesting that the world itself is �nite.

1These are not the reasons given by Kant in his Critique of Pure Reason, but areintuitively easier to understand and less opaque while still being analogous enoughto Kant's argumentation. For Kant's original argumentation for the validity of boththesis and antithesis of the �rst antinomy refer to [2, pp. B 455-457].


AntithesisRegarding time Assumed that time has a beginning, then therewould be a corresponding boundary marking said beginning of time.All known meanings of `boundary' have one basic intuition in common:the separation of one thing from another. This intuition, however, ishardly applicable to our natural understanding of `time': If time hadindeed a beginning, then there would have to be something beyond itsborder with no temporal attributes whatsoever. What strange kind ofentity could this possibly be considering we only ever experience entitiesin time? Moreover, does the question even make sense, when we takeinto account that we are trying to speak of a non-temporal entity to ex-ist before time? `Before' and `after' serve to distinguish events by theirtemporal order and are therefore not suitable for a non-temporal entity.Regarding space A thought similar to the one regarding the implau-sibility of a beginning of time applies here: Spatial boundaries alwaysserve to separate one spatial entity from another. What then would bebeyond a boundary encompassing all spatial entities? What could possi-bly be beyond it that is supposedly not spatial but at the same time, bythe very meaning of the word `spatial boundary', hardly imaginable tobe of anything else than spatial nature? This is not just counterintuitive,it is hardly comprehensible.

For thesis and antithesis to actually result in a contradiction, it isnecessary for every term appearing in both sentences to do so with thesame meaning. This holds true particularly for the word `world' which,according to Kant, violates the aforementioned principle:

�Hieraus erhellt, dass der Obersatz des kosmologischen Ver-nunftschlusses das Bedingte in transzendentaler Bedeutungeiner reinen Kategorie, der Untersatz aber in empirischer Be-deutung eines auf blosse Erscheinungen angewandten Ver-standesbegri�es nehmen, folglich derjenige dialektische Be-trug darin angetro�en werde, den man sophisma �gurae dic-tionis nennt.� ([2, pp. B 527-528])

While typically convoluted and di�cult to understand in this origi-nal formulation of Kant, Leonard Nelson o�ers a more comprehensibleaccount of the underlying basic idea:2

The antinomy disappears the very moment in which we stopusing `world' and `nature' synonymously. (cf. [3, p.243])

2For another more comprehensible account see the discussion of Bernard Bolzanoscritique from Arto Siitonen in [4, p.89].


In his then newly introduced position called �Transcendental Ideal-ism� Kant further argues that it is not even possible anymore to speak ofthe world as something spatially and/or temporally limited or unlimitedbeyond our experience, which would e�ectively eliminate any specula-tions of such nature. Further, he is convinced that nature, while beingthe embodiment of all that is spatial and temporal, does not exist in-dependently of its subjects, suggesting that there is indeed no objectiveboundary of nature.3

Transcendental Idealism is not just some hypothesis whichaids Kant in solving the antinomy but he is, without a doubt,guided to his solution by the antinomy itself. (cf. [3, p.243])

It can be said that Transcendental Idealism is Kant's response toand solution of his �rst antinomy. In his analysis of the antinomyKant brings the terms `part', `whole' and `boundary'4 into play � termswhich have undergone signi�cant development and clari�cation in mod-ern mereotopology. Together with the fact that Kant and many of hiscontemporaries thought the �rst antinomy to be a major obstacle whichhad to be overcome, it would now be interesting to try and see in the lightof modern mereotopology, whether the antinomy was justly perceived asa philosophical obstacle that ultimately led Kant to his TranscendentalIdealism or whether it only seems to pose a problem and therefore can-not be an adequate motivation for epistemological alternatives such asKant's aforementioned solution.

3 Whole, parts and boundaries

In our analysis we will use a modi�ed version (GEMTM ) of the mereotopo-logical system GEMT (General Extensional Mereotopology) introducedby Roberto Casati and Achille Varzi5. We presuppose a �rst order logicwith identity and begin with the basic mereological framework GEM. Inaddition to the standard quanti�ers and sentential connectives of pred-icate logic with identity `¬', `∧', `∨', `→', `↔', `=', `∀' and `∃' we shallalso use `↔df ' and `=df ' to indicate de�nitions. `≺' will signify our basicrelation: Proper Part.

`GEM' stands for `General Extensional Mereology' and denotes themereological standard system for representing extensional (and with that

3Cf. [2, pp. B 518 �].4Cf. [2, pp. B 452-457]5Cf. [1]


also spatial and temporal) structures. GEM allows, unlike many othermereological systems, introduction of an operator for the general sum,thus facilitating speech of the world as the sum of all extensional ob-jects, which is why GEM seems especially suited to analyzing space andtime in regards to Kant's �rst antinomy. GEMTM (General ExtensionalMereotopology Modi�ed) further expands GEM by the topological basicrelation Connectedness by which a relation for x is a boundary of y (thefocal point of this whole undertaking) can be expressed.

With that said, we shall begin our brief foray into the world ofmereotopology. Our basic relation Proper Part is both transitive andasymmetric, as is expressed by the following two axioms:

(A.1) x ≺ y ∧ y ≺ z → x ≺ z(Transitivity)

(A.2) x ≺ y → ¬y ≺ x(Asymmetry)

Also, the mereological standard relations Improper Part and Over-lap as well as, for practical reasons, the relation Disjointedness can bede�ned:

(D.1) x � y ↔df x ≺ y ∨ x = y(Improper Part)

(D.2) x ◦ y ↔df ∃z(z � x ∧ z � y)(Overlap)

(D.3) x][y ↔df ¬x ◦ y(Disjointedness)

With these we can add the following two axioms6 and arrive at theaforementioned basic framework GEM:

(A.3) x ≺ y → ∃z(z � y ∧ z][x)(Weak Supplementation Principle)

(A.4) ∃xA→ ∃z∀y(y ◦ z ↔ ∃x(A ∧ y ◦ x))(Fusion Principle)

While the Weak Supplementation Principle is fairly self explanatory,it is a little bit more di�cult at �rst glance, to grasp the meaning andbene�ts of the Fusion Principle. In a nutshell it says that for any numberof objects there exists always one entity consisting of those objects (i.e.their sum). Therefore a de�nition of the General Sum seems to be the

6`A' in (A.4) and the following sentences (i.e. (T.1), (D.4) and (T.2)) is a schematicvariable and stands for any formula of our system containing no free variables but x.Thus (A.4) is, strictly speaking, an axiom schema.


appropriate next step. Prior to de�ning our general sum, we must �rstensure that there is exactly one and only one object that ful�lls therequirements above. Fortunately there is a theorem in our system thattells us exactly that:

(T.1) ∃xA→ ∃!z∀y(y ◦ z ↔ ∃x(A ∧ y ◦ x))

And that is all we need for our partial de�nition of the operator σfor the General Sum:

(D.4) ∃xA→ ∀z(σxA = z ↔df ∀y(y ◦ z ↔ ∃x(A ∧ y ◦ x)))(General Sum)

(T.2) ∃xA→ ∃!z(z = σxA)

(T.2) is a convenient theorem that shows that for any number ofobjects there is exactly one entity that is their sum. Following the initialintuition that the world is the sum of all things, the next step seemsobvious. First one needs to guarantee that there is exactly one such sum(which, conveniently enough, another theorem (i.e. (T.3)) provides). Wecan then continue to introduce and de�ne an individual constant W forthe world:

(T.3) ∃!z(z = σx(x � x))

(D.5) W =df σx(x � x)(World)

There is one last useful tool for speaking of borders that can still beformulated without having to modify GEM: the Relative Complement:

(T.4) x ≺ z → ∃!y(y = σu(u � z ∧ u][x))

(D.6) x ≺ z → x′z =df σu(u � z ∧ u][x)(Relative Complement)

Given two entities x and z so that x is a proper part of z, thenthe relative complement x′z is simply the sum of all parts of z thatdo not overlap x. Without the proper part prerequisite it would benecessary to introduce a null individual that is part of everything (i.e. themereologist's equivalent to the empty set in set theory). While, from asystematical standpoint, the Relative Complement is a quite comfortableand powerful tool, the existence of such an entity is � at least whenapplied to extended domains like space and time � hardly imaginable.So in order to keep the system applicable to Kant's �rst antinomy (atleast we do not think Kant had null individuals in mind when writing


his Critique of Pure Reason) we shall refrain from introducing such anull individual and partially de�ne the relative complement x′z instead.

This system (GEM) is already quite rich in content but not yet pow-erful enough to allow us to speak of boundaries (our initial goal) as theterms available through GEM are not su�cient for an adequate de�ni-tion of `boundary', which is why we need at least one other basic relationto achieve such a de�nition. We choose Connectedness as this basic rela-tion, not only because it is intuitively plausible that spatial or temporalborders require at least some kind of connection between objects butalso because the axioms needed are uncomplicated, easy to understand,plausible and they determine that the relation behaves well within thesystem. In this context we shall speak of two objects as connected (./)simply if they touch or overlap. In adding the following three axioms forConnectedness we arrive at GEMTM :

(A.5) x ./ x(Re�exivity)

(A.6) x ./ y → y ./ x(Symmetry)

(A.7) x � y → ∀z(z ./ x→ z ./ y)

It is important to note that, while they seem quite similar, Connect-edness and Overlap are not the same: Two objects that overlap are alsoconnected but not necessarily vice versa (e.g. the right and left half of aball, while touching each other, have not a single part in common).

The basic idea behind our attempt to de�ne borders is the following:Given any object y of which we want to determine a boundary x, wecan get said boundary x by �rst cutting o� the interior of y and thencutting o� all surroundings. Now any remaining x is a boundary of y.To express this intuition in GEMTM we �rst need to de�ne the relationInternal Part:

(D.7) x / y ↔df x ≺ y ∧ ∀z(z ./ x→ z ◦ y)(Internal Part)

For any x to be an internal part of a y it is essential that (a) x is apart of y but not just any part but a proper part of y, as it is implausiblethat an object could be an interior part of itself or not something that isin at least some kind of way �smaller� than the object containing it; (b)every z that touches x must have at least one part with y in common(thus expressing the intuition that for every internal part x of an objecty there is also a part of y that is between x and the surface of y).

Now we can �nally try to �nd an adequate de�nition of the relation


Boundary (d) which can be used to represent (in GEMTM ) what wemean by saying that an object x is a boundary of an object y. Ouraforementioned �cutting process� requires at least one object z containingy so that we can then eventually arrive at our desired boundary x of y.This can be graphically illustrated as follows:

Fig. 1

For an object x to be called a boundary of y relative to z (xdy(z))it has to ful�ll the following requirements: it must not overlap any uthat is an internal part of y or of its relative complement y′z and theobject has to actually be an internal part of z. In �g. 1 x ful�lls theserequirements, however, it is of note that �g. 1 hardly covers every caseconcerning boundaries and therefore we will limit our de�nition to onlysuch cases where y is an internal part of z (as it is the case in �g. 1).With this we arrive at the following partial de�nition of the relation xis a boundary of y relative to z:

(D.8) y / z → ∀x(xdy(z) ↔df x / z ∧ ∀u(u / y ∨ u / y′z → u][x))(Boundary)

Now we have everything we need to examine Kant's �rst antinomyfrom a mereotopological point of view.

4 Kant under the mereolognifying glass

The most important term in our analysis of Kant's �rst antinomy iscertainly `boundary', as such, let us take a closer look at the sentenceexpressing it (i.e. (D.8)). Since the de�nition makes use of the relativecomplement y′z which was itself partially de�ned only for cases in whichy ≺ z, the same presupposition has to apply to (D.8). Having this asour sole presupposition of (D.8) could lead to problems when it comes


to objects y that lie at the edge of z.7 To avoid such problems we willfurther demand the stronger presupposition y / z (in which y ≺ z isincluded). This means that in a system such as GEMTM , that is builton axioms that are as plausible as possible in order to keep it applicableto natural contexts, we can speak of something being a boundary of anobject only if said object is an internal part of another object containingit, which is something to be kept in mind.

This leads us to another important term: `internal part'. Here it hasto be noted that the usual approach is to de�ne the internal part relationvia the improper part relation.8 Such a de�nition, however, would pavethe way for theorems such asW/W which is obviously not unproblematicand in dire need of justi�cation. Because of this it is advisable to de�neit via the proper part relation instead.

Now that the two most important de�nitions ((D.7) and (D.8)) havebeen made su�ciently clear it is �nally time to shift our focus to Kant.He speaks of the world as something spatially and temporally extended,which can be accounted for by giving separate interpretations of themereotopological world for spatial and temporal contexts respectively.Since the whole problem revolves around the question of the world andits supposed boundaries, the crucial point of our analysis is determiningwhether one or both of the following sentences is/are a theorem/theoremsof our mereotopological system GEMTM :

(*1) ∃x∃z(xdW (z))

(*2) ¬∃x∃z(xdW (z))

If one of these sentences would be a theorem in our system we couldcon�rm the existence or nonexistence of the boundaries of space andtime. In any case such a theorem would allow us to speak of the world'sboundaries (whether they are spatial or temporal, existent or nonexis-tent).

Interestingly neither sentence is deducible in GEMTM : The rela-tion Boundary was partially de�ned via the internal part relation whichmeans that at most the following two sentences could be (and actuallyare) theorems of GEMTM :

(**1) ∃z(W / z)→ ∃x∃z(xdW (z))

7E.g. presuming that one allows the border of an object to be a part of that sameobject, the sum of the border of z and the border of y would itself be a boundary ofy, which is obviously not what one would expect from a boundary.

8Cf. [1]


(**2) ∃z(W / z)→ ¬∃x∃z(xdW (z))

Since there is no z containing the mereotopological world W thereis no case in which our presupposition is ful�lled, which means that wecannot speak of the world as spatially or temporally limited and neithercan we deny it, thus arriving at a surprisingly similar result as Kantwho (as has been stated in section 2) regarded talk of the world andits supposed boundaries as meaningless. Seeing as our aforementionedpresupposition does not allow us to deduce any of the desired sentences(i.e. (*1) and (*2)), why do we not simply build a more adequate systemwithout such a seemingly clunky prerequisite? Simply because any def-inition of boundary requires reference to the relative complement whichitself cannot be de�ned without the presupposition x ≺ z (see section 3)and there is no z ful�lling it for those cases in which x is the world.

5 Conclusion

Our analysis has led us to two very interesting results � the �rst regardsKant's analysis of the �rst antinomy, the second, the antinomy itself.Regarding Kant's view of space and time after his analysis of the �rstantinomy we can say that, if our analysis is adequate, it is indeed notreasonably possible to reach beyond our experience and speak of theworld as something limited or unlimited regarding space and/or time,thus somewhat validating one's choice to pursue alternatives such asTranscendental Idealism from a mereotopological standpoint.

Regarding the antinomy itself, however, this means that Kant's claimthat both thesis and antithesis can be convincingly argued for seemsrather di�cult to uphold, since such an argumentation would requirethe possibility to speak of the world and its existent or nonexistent spa-tial and/or temporal borders in a meaningful manner, which is simplynot the case. This raises an important question for the transcendentalidealist: If it is true that the �rst antinomy is an essential motivator forTranscendental Idealism, what else does Transcendental Idealism havegoing for it when it is robbed of said motivator? Is there any ground leftthat could validate this position, or does it inevitably crumble like the�rst antinomy itself?


Appendix - the system GEMTM

(A.1) x ≺ y ∧ y ≺ z → x ≺ z(A.2) x ≺ y → ¬y ≺ x

(D.1) x � y ↔df x ≺ y ∨ x = y(D.2) x ◦ y ↔df ∃z(z � x ∧ z � y)(D.3) x][y ↔df ¬x ◦ y

(A.3) x ≺ y → ∃z(z � y ∧ z][x)(A.4) ∃xA→ ∃z∀y(y ◦ z ↔ ∃x(A ∧ y ◦ x))

(T.1) ∃xA→ ∃!z∀y(y ◦ z ↔ ∃x(A ∧ y ◦ x))(D.4) ∃xA→ ∀z(σxA = z ↔df ∀y(y ◦ z ↔ ∃x(A ∧ y ◦ x)))(T.2) ∃xA→ ∃z(z = σxA)

(T.3) ∃z(z = σx(x � x))(D.5) W =df σx(x � x)

(T.4) x ≺ z → ∃!y(y = σu(u � z ∧ u][x))(D.6) x ≺ z → x′z =df σu(u � z ∧ u][x)

(A.5) x ./ x(A.6) x ./ y → y ./ x(A.7) x � y → ∀z(z ./ x→ z ./ y)

(D.7) x / y ↔df x ≺ y ∧ ∀z(z ./ x→ z ◦ y)

(D.8) y / z → ∀x(xdy(z) ↔df x / z ∧ ∀u(u / y ∨ u / y′z → u][x))

Symbols

x ≺ y x is a proper part of yx � y x is an improper part of yx ◦ y x overlaps yx][y x is disjointed from yσxA the sum of all x, that AW the worldx′z the complement of x relative to zx ./ y x is connected to yx / y x is an internal part of yxdy(z) x is a boundary of y relative to z


Acknowledgments: We would like to thank the following for their input:

Kimberly Eckel, Reinhard Kleinknecht and Lucia M. Pichler.

Alexander Gebharter Alexander G. MirnigFachbereich Philosophie (KGW) Fachbereich Philosophie (KGW)Universität Salzburg Universität SalzburgFranziskanergasse 1 Franziskanergasse 15020 Salzburg, Austria 5020 Salzburg, Austria

<[email protected]> <[email protected]>


References

[1] Roberto Casati and Achille Varzi. Parts and Places. MIT Press,Massachusetts, 1999.

[2] Imanuel Kant. Kritik der reinen Vernunft. 2. Band. Suhrkamp,Frankfurt am Main, 1974.

[3] Leonard Nelson. Fortschritte und Rückschritte der Philosophie. InPaul Bernays et al., editors, Leonard Nelson. Gesammelte Schriften.Felix Meiner, Hamburg, 1970.

[4] Arto Siitonen. Zu Bolzanos Kritik der Kantischen Antinomien. Kri-terion � Journal of Philosophy, 21(1):84�97, 2007.

Rezension: Thomas Kuhn [1]

Christian J. Feldbacher & Stefan H. Gugerell

2009 erschien das vorliegende Buch Thomas Kuhn in der Reihe nach-Gedacht � Moderne Klassiker im Verlag Mentis. Es umfasst 111 Sei-ten. Die Autoren sind Daniela Bailer�Jones und Cord Friebe. Ersterewar Privatdozentin für Philosophie und Leiterin der Emmy�Noether�Nachwuchsgruppe am Philosophischen Seminar der Universität Heidel-berg und ist 2006 verstorben. Letzterer ist wissenschaftlicher Mitarbeiteram Lehrstuhl für Naturphilosophie und Wissenschaftstheorie der Univer-sität Bonn. Ziel der Reihe ist es, eine Einführung in die Werke prägenderWissenschafter zu geben. Im Speziellen ist es Ziel des vorliegenden Ban-des, eine Einführung für Studierende und interessierte Laien in das Werkvon Thomas Kuhn, näherhin in The Structure of Scienti�c Revolutions,zu geben. Nimmt man allerdings die Behauptung im einleitenden Textzur Reihe beim Wort, dann handelt es sich bei Kuhns Hauptwerk nachAu�assung der Reihenherausgeber um einen Klassiker der AnalytischenPhilosophie. Wir teilen diese Meinung nicht, obgleich wir denken, dasses ein Klassiker der Wissenschaftstheorie ist � dies ist ein Grund für uns,diese Einführung zu Kuhns Hauptwerk zu rezensieren.

Im Buch werden hauptsächlich vier Themen, eingeteilt in vier Kapi-tel, behandelt: (1) Eine Kurzbiographie zu Thomas Kuhn, (2) eine kurzeDarstellung von Kuhns Thesen, (3) eine Diskussion der Kuhnschen The-sen von Karl R. Popper, Imre Lakatos und Paul Feyerabend, und (4) einBlick auf die weitere Entwicklung in der Wissenschaftstheorie nach einerhistorizistischen Phase. Der Text zu den ersten zwei Kapiteln stammtaus dem Nachlass von Bailer�Jones, die beiden letzten Kapitel wurdenvon Friebe verfasst. Wir nehmen im Folgenden aus Gründen der Einfach-heit mit `die Autoren' Bezug auf den Verfasser der jeweils besprochenenTextstelle. Wir überspringen die bibliographische Notiz zu Kuhn mitdem Vermerk, dass eine Professur in Berkeley, Princeton und am MIT,fünf Monographien und eine erkleckliche Anzahl an Artikel in renom-mierten Zeitschriften, keine �unau�ällige akademische Existenz� (vgl. [1,p.10]) auszeichnen, und behandeln (2) und (3) zusammengefasst. ZumSchluÿ machen wir noch eine kurze Anmerkung zu (4).

Die Autoren weisen gleich zu Beginn der Darstellung von Kuhns The-sen darauf hin, dass alle wissenschaftstheoretischen Positionen bestimm-



te Eigenschaften haben: Einige Positionen sind rein normativ, einige reindeskriptiv und einige sind sowohl normativ als auch deskriptiv (vgl. [1,pp.11f]). Rudolf Carnap z.B. habe in seinen Werken Vorschläge dazu ge-macht, wie wissenschaftliche Theorien begründet werden sollen (Begrün-dungszusammenhang), habe aber z.B. nicht beschrieben, wie bestimm-te Theorien tatsächlich entstanden sind (Entdeckungszusammenhang).Carnaps Position, zu Beginn die des logischen Positivismus, später diedes logischen Empirismus, sei daher rein normativ. Kuhn hingegen habeu.a. die Entstehung und Änderung von Theorien beschrieben (vgl. [1,p.12]). Seine Position sei deshalb u.a. deskriptiv.

Dass eine Unterscheidung von Positionen anhand dieser Eigenschaf-ten fruchtbar ist, ist leicht einzusehen: Wenn Popper z.B. behauptet,dass jeder empirische Wissenschafter versuchen soll, Theorien zu falsi�-zieren, und wenn Kuhn z.B. behauptet, dass empirische Wissenschafterim Allgemeinen nicht versuchen, Theorien zu falsi�zieren, dann behaup-ten Popper und Kuhn nichts sich Widersprechendes. Wenn nun aberKuhn zusätzlich behauptet, dass nur wenige empirische Wissenschafterversuchen sollen, Theorien zu falsi�zieren, dann kann der Groÿteil derempirischen Wissenschafter nicht beide Vorschläge befolgen. Nicht im-mer machen die Autoren klar, ob sie eine Behauptung von Feyerabend,Kuhn, Lakatos oder Popper normativ oder deskriptiv verstehen. Wirversehen im Folgenden Thesen, von denen wir glauben, dass die Auto-ren sie rein normativ verstehen, mit einer vorangestellten Box (`2'), undThesen, von denen wir glauben, dass die Autoren sie rein deskriptiv ver-stehen mit einem vorangestellten Strich (`−'). Als gemischt aufgefassteThesen versehen wir mit beiden Zeichen (z.B. versehen wir den Satz `Al-le empirischen Wissenschafter versuchen, Theorien zu falsi�zieren.' miteinem vorangestellten `2−', sofern wir glauben, dass damit sowohl dieTatsachenbehauptung, dass alle empirischen Wissenschafter versuchen,Theorien zu falsi�zieren, als auch z.B. die Norm `Alle empirischen Wis-senschafter sollen versuchen, Theorien zu falsi�zieren!' aufgestellt wird).

Die Autoren stellen die Position Kuhns durch Erläuterung von zen-tralen Ausdrücken und durch Angabe der zentralen Thesen der Positiondar. Wir versuchen diese Ausdrücke und Thesen anhand von verstreutenBehauptungen und Bemerkungen im vorliegenden Band zu explizieren.Z.B. �nden sich relevante Behauptungen zum Gebrauch von `Normal-wissenschaft' in [1, pp.25�], weiter expliziert wird der Ausdruck erstspäter in der Diskussion in [1, ab p.58]. Zwar wird dadurch ein genau-eres Verständnis der Ausdrücke und Thesen erschwert, ein Verständnisin heuristischer Weise wird jedoch didaktisch wertvoll vermittelt.

Christian J. Feldbacher & Stefan H. Gugerell: Rezension 93

Die zentralen Ausdrücke der Position Kuhns sind `Paradigma', `Nor-malwissenschaft', Ànomalie', `Paradigmenwechsel', ìnkommensurabel',`wissenschaftliche Revolution' und `Zyklus'. Die Autoren halten fest, dassder wichtigste Ausdruck, nämlich `Paradigma', von Kuhn mehrdeutigverwendet wird (vgl. [1, p.49]). Sie heben zwei Verwendungen von Kuhnhervor: (i) `Paradigma einer Wissenschaftsgemeinde' zur Bezeichnungder Menge aller Überzeugungen, Werte und Techniken, die die Wissen-schafter der Wissenschaftsgemeinde teilen (vgl. [1, p.50]) und (ii) `Pa-radigma einer Wissenschaftsgemeinde' zur Bezeichnung der Menge vontypischen Problemen und typischen Problemlösungen, die in der Wis-senschaftsgemeinde diskutiert oder angewendet werden (vgl. [1, pp.50f]).Wir bemängeln, dass die Autoren die mehrdeutige Verwendung von `Pa-radigma einer Wissenschaftsgemeinde' von Kuhn zwar ansprechen, selberaber o�en lassen, an welchen Stellen sie den Ausdruck im Sinne von (i)und an welchen Stellen sie den Ausdruck im Sinne von (ii) verwenden.

Im Folgenden geben wir Bedeutungspostulate und De�nitionen zuden zentralen Ausdrücken, erschlossen aus dem vorliegenden Band, wie-der. `Paradigma' verwenden wir im Allgemeinen dreistellig: ìst ein Pa-radigma einer Wissenschaftsgemeinde in einem Zeitintervall', manchmalaber auch einstellig, wobei die letzten zwei Stellen als existenziell weg-quanti�ziert gedacht werden sollen. Zwei Zusammenhänge zwischen Pa-radigmen und Wissenschaftsgemeinden sind:

Bedeutungspostulat(e) 1 (Paradigma im Sinne von (i) oder (ii)).

• Es gibt Wissenschaftsgemeinden ohne Paradigma (vgl. [1, p.26]).D.h.: Es gibt Wissenschaftsgemeinden und Zeitintervalle derart,dass kein Paradigma ein Paradigma der Wissenschaftsgemeindein dem Zeitintervall ist.

• Wissenschaftsgemeinden, die einmal ein Paradigma haben, habenimmer ein Paradigma (vgl. [1, p.34]). D.h.: Wenn es ein Paradig-ma gibt, das ein Paradigma einer Wissenschaftsgemeinde in einemZeitintervall ist, dann gibt es für alle Zeitintervalle ein Paradigma,das ein Paradigma der Wissenschaftsgemeinde im jeweiligen Zeit-intervall ist.

Bedeutungspostulat(e) 2 (Normalwissenschaft).

• In der Normalwissenschaft gibt es ein vorherrschendes Paradig-ma (vgl. [1, p.12 und p.27f]). D.h.: Wenn ein Wissenschaftsbe-trieb einer Wissenschaftsgemeinde eine Normalwissenschaft in ei-nem Zeitintervall ist, dann gibt es genau ein Paradigma, das einParadigma der Wissenschaftsgemeinde in dem Zeitintervall ist.


• In der Normalwissenschaft glaubt man, dass es für alle Problemedes Paradigmas eine Lösung im Paradigma gibt (vgl. [1, p.28]).D.h.: Wenn ein Wissenschaftsbetrieb einer Wissenschaftsgemein-de eine Normalwissenschaft in einem Zeitintervall ist, dann gilt fürdie Mehrzahl der Mitglieder der Wissenschaftsgemeinde und für al-le Probleme, die ähnlich zu typischen Problemen des Paradigmasder Wissenschaftsgemeinde in dem Zeitintervall sind: Die Mitglie-der glauben, dass es für das Problem mindestens eine Problem-lösung im Paradigma der Wissenschaftsgemeinde im Zeitintervallgibt.

Unter `Problem' verstehen wir einen echten Fragesatz (das ist einFragesatz, dessen Voraussetzungen alle wahr sind). Unter `Problemlö-sung' verstehen wir einen Aussagesatz, der eine Antwort auf mindestensein Problem ist.

De�nition 1 (Anomalie (vgl. [1, pp.30f])). Etwas ist eine Anomalie hin-sichtlich eines Paradigmas einer Wissenschaftsgemeinde in einem Zeit-intervall gdw

• es ein Phänomen ist, das von mindestens einem Mitglied der Wis-senschaftsgemeinde beobachtet wurde, und

• wenn es für ein Problem, das eine Frage zum beobachtbaren Phä-nomen ist, keine Problemlösung im Paradigma der Wissenschafts-gemeinde im Zeitintervall gibt.

De�nition 2 (Paradigmenwechsel (vgl. [1, p.12 und p.38])). Etwas istein Paradigmenwechsel einer Wissenschaftsgemeinde von einem Para-digma in ein anderes gdw es eine zweigliedrige Folge von Wissenschafts-betrieben ist, und wenn es ein Zeitintervall gibt, sodass

• das erste Glied der Folge der Wissenschaftsbetrieb der Wissen-schaftsgemeinde in dem Zeitintervall ist, und

• das erste Glied eine Normalwissenschaft ist, und

• das eine Paradigma ein Paradigma der Wissenschaftsgemeinde indem Zeitintervall ist, und

• es ein auf das Zeitintervall folgendes Zeitintervall gibt, sodass dasandere Paradigma ein Paradigma der Wissenschaftsgemeinde indem folgenden Zeitintervall ist, und


• das zweite Glied der Folge der Wissenschaftsbetrieb der Wissen-schaftsgemeinde in dem folgenden Zeitintervall ist.

Bedeutungspostulat(e) 3 (inkommensurabel).

• Man kann nicht gleichzeitig zwei inkommensurablen Paradigmenverhaftet sein (vgl. [1, p.13]). D.h.: Wenn ein Paradigma mit ei-nem anderen Paradigma inkommensurabel ist, dann gibt es keineWissenschaftsgemeinde und kein Zeitintervall, sodass das eine Pa-radigma ein Paradigma der Wissenschaftsgemeinde in dem Zeitin-tervall ist und das andere Paradigma ein Paradigma der Wissen-schaftsgemeinde in dem Zeitintervall ist.

• Alle inkompatiblen Paradigmen sind inkommensurabel (vgl. [1, p.54]).D.h.: Wenn es Problemlösungen gibt, die sich logisch widersprechenund eine davon eine Problemlösung in einem Paradigma ist und dieandere eine Problemlösung in einem anderen Paradigma ist, dannsind beide Paradigmen inkommensurabel.

• Inkommensurabilität tritt nur dann auf, wenn man sich nicht überRegeln und Bedeutungen einig ist (vgl. [1, p.14, p.39 und p.54].D.h.: Wenn ein Paradigma mit einem anderen Paradigma inkom-mensurabel ist, dann gibt es keine objektiven Kriterien für einevergleichende Bewertung der Paradigmen).

De�nition 3 (wissenschaftliche Revolution (vgl. [1, p.12, p.41])). Et-was ist eine von einem Paradigma zu einem anderen Paradigma führendewissenschaftliche Revolution in einer Wissenschaftsgemeinde gdw

• es ein Paradigmenwechsel der Wissenschaftsgemeinde von dem einenParadigma in das andere Paradigma ist, und wenn

• beide Paradigmen inkommensurabel sind.

De�nition 4 (Zyklus (vgl. [1, p.13])). Etwas ist ein Zyklus in ei-ner Wissenschaftsgemeinde gdw es eine dreigliedrige Folge von Wissen-schaftsbetrieben der Wissenschaftsgemeinde ist, sodass es drei aufeinan-derfolgende Zeitintervalle gibt, derart:

• Das erste Glied ist eine Normalwissenschaft der Wissenschaftsge-meinde im ersten Zeitintervall, und:

• Das zweite Glied ist ein Wissenschaftsbetrieb der Wissenschafts-gemeinde im zweiten Zeitintervall, und die Mehrzahl der Wissen-schaftsgemeinde kennt mindestens eine Anomalie hinsichtlich des


Paradigmas der Wissenschaftsgemeinde im zweiten Zeitintervall,und:

• Das dritte Glied ist eine Normalwissenschaft der Wissenschaftsge-meinde im dritten Zeitintervall, und:

• Es gibt eine vom Paradigma der Wissenschaftsgemeinde im ers-ten Zeitintervall zum Paradigma der Wissenschaftsgemeinde imdritten Zeitintervall führende wissenschaftliche Revolution in derWissenschaftsgemeinde.

Die zentralen Thesen der Position Kuhns sind:

These 1 (Wissenschaftsbetrieb). 2− Der Gesamt�Wissenschaftsbetriebeiner Wissenschaftsgemeinde, das ist die Menge aller wissenschaftlichenHandlungen aller Mitglieder der Wissenschaftsgemeinde, lässt sich voll-ständig in Zyklen der Wissenschaftsgemeinde einteilen.

Wir glauben, dass die Autoren These 1 in [1, p.83] rein deskriptivund in [1, p.84] rein normativ oder gemischt verstehen. Aus These 1 undDe�nition 3 folgt eine These der Inkommensurabilität:

These 2 (Inkommensurabilität). (vgl. rein deskriptiv in [1, p.16]; reinnormativ wird nahegelegt in [1, p.93, Punkt 2.]) 2− Wenn etwas einParadigmenwechsel einer Wissenschaftsgemeinde von irgendeinem Pa-radigma in irgendein anderes Paradigma ist, dann sind die beiden Para-digmen inkommensurabel.

Nachweis. Mit These 1 folgt, dass jeder Paradigmenwechsel einer jedenWissenschaftsgemeinde von irgendeinem Paradigma in irgendein ande-res Paradigma eine, von dem einen Paradigma zum anderen Paradigmaführende, wissenschaftliche Revolution in der Wissenschaftsgemeinde ist.Mit De�nition 3 folgt die Behauptung.

Mit dem Nachweis wird, wie wir denken, sehr schön gezeigt, dass die-se schwache These der Inkommensurabilität nicht trivial wahr ist: Manist vielleicht geneigt, da Kuhn `Zyklus' mit `wissenschaftliche Revoluti-on' und `wissenschaftliche Revolution' wiederum mit `inkommensurabel'charakterisiert, anzunehmen, dass eine These der Inkommensurabilitätde�nitorisch wahr ist. Der Nachweis zeigt jedoch, dass man zur Stützungder hier formulierten These der Inkommensurabilität, zumindest für die-sen Nachweis, noch These 1 als wahr voraussetzen muss, und da These1 nicht analytisch ist, ist auch die hier formulierte These der Inkommen-surabilität nicht analytisch.


Unter der Zusatzannahme, dass Theorienbewertung und Paradig-menbewertung objektiv ist:

Bedeutungspostulat(e) 4 (Paradigmenbewertung (vgl. [1, p.41 undp.45])). Ein Paradigma ist nur dann besser oder fortschrittlicher als einanderes Paradigma, wenn es objektive Kriterien für eine vergleichendeBewertung der Paradigmen der Wissenschaftsgemeinden in Zeitinterval-len gibt.

folgt mit den Bedeutungspostulaten 3 und These 2, dass es keinenwissenschaftlichen Fortschritt gibt:

These 3 (Wissenschaftlicher Fortschritt). (vgl. rein deskriptiv in [1,p.14] und rein normativ in [1, p.82]) 2− Kein Paradigma einer Wis-senschaftsgemeinde in einem Zeitintervall ist besser oder fortschrittlicheroder nicht besser oder nicht fortschrittlicher als ein anderes Paradigmader Wissenschaftsgemeinde im darau�olgenden Zeitintervall.

Nachweis. Mit These 2 folgt, dass zwei Paradigmen, die Paradigmen ir-gendeines Paradigmenwechsels irgendeiner Wissenschaftsgemeinde vondem einen Paradigma in das andere Paradigma sind, inkommensurabelsind. Mit den Bedeutungspostulaten 3 folgt, da beide Paradigmen inkom-mensurabel sind, dass es keine objektiven Kriterien zur vergleichendenBewertung der zwei Paradigmen gibt. Mit Bedeutungspostulat 4 folgtdie Behauptung.

Anmerkung zu Bedeutungspostulat 4: Die Autoren behaupten, dassein Unterschied zwischen der logisch empiristischen Position und derKuhnschen Position darin liegt, dass Vertreter der logisch empiristi-schen Position davon ausgingen, dass Beobachtungssprache sinnvoller-weise auch theorieunabhängig verwendet werden kann, während Kuhndavon ausgehe, dass Beobachtungssprache �theoriebeladen� ist, d.h. nursinnvollerweise relativ zu einer Theorie verwendet werden kann (vgl. [1,p.17]). Mit unserer Formulierung `eine Beobachtungssprache kann theo-rieunabhängig sinnvollerweise verwendet werden' meinen wir genauer ge-sagt: Die beobachtungssprachlichen Ausdrücke der Beobachtungssprachewerden von allen Sprachbenützern der Beobachtungssprache ohne De�ni-tionen (einer Theorie) verstanden. Die Autoren legen weiters nahe, dassKuhn der Ansicht sei: Wenn und nur wenn eine Beobachtungssprachesinnvollerweise theorieunabhängig verwendet werden kann, dann sind dieWahrheitswerte von einigen Sätzen der Beobachtungssprache ein objek-tives Kriterium zur Theorien� oder Paradigmenbewertung (vgl. [1, p.17und p.45]). Diese Behauptungen sind ähnlich zu Bedeutungspostulat 4.


Ein Vergleich der Thesen 1 bis 3 mit Thesen von Positionen vonPopper, Lakatos und Feyerabend führt die Autoren zu folgendem Er-gebnis (für diese vereinfachte Übersicht ist vorausgesetzt, dass man inden Thesen `Theorie', `Paradigma' und `Forschungsprogramm' teilweisegegenseitig substituiert):

Position von These 1 These 2 These 3Kuhn 2− 2− 2−Popper (vgl. [1, p.66]) −Lakatos (vgl. [1, p.70 und p.73]) 2−Feyerabend (vgl. [1, p.82 und p.87]) 2− 2−

Besonders hervorheben möchten wir die klare Darstellung der Posi-tion von Lakatos hinsichtlich These 3: Lakatos de�niert die Prädikate`progressiv' und `degenerativ' aus einer Menge von Forschungsprogram-men. Aus Gründen der einfacheren Darstellung vereinfachen wir unsereSprechweise, indem wir nicht von Forschungsprogrammen sondern vonParadigmen sprechen wollen. Sehr verkürzt ausgedrückt ist ein Paradig-ma progressiv relativ zu einem anderen Paradigma genau dann, wenndarin alle Probleme erklärt werden können, die auch im anderen Pa-radigma erklärt werden können, und wenn darin mehr Probleme vor-hergesagt werden können, als mit dem anderen Paradigma vorhergesagtwerden können (vgl. [1, pp.73f]). Diese klare Darstellung � noch einmalverkürzt ausgedrückt als: Ein Paradigma ist progressiv relativ zu einemanderen genau dann, wenn es mindestens gleichen Erklärungsgehalt alsdas andere und gröÿeren Vorhersagegehalt als das andere hat � hat eineÄhnlichkeit zu einer von Poppers De�nitionen zur Wahrheitsnähe. Dieswiederum werten wir bestätigend für die, wenngleich auch nicht neue,Behauptung der Autoren, dass Lakatos' Position eine Art Vermittlungzwischen den Positionen von Kuhn und Popper sei (vgl. [1, p.70]).

In den Ausführungen zur weiteren Entwicklung in der Wissenschafts-theorie nach Kuhn stellen die Autoren, sehr gut beobachtet, fest: In derEntwicklung der modernen Wissenschaftstheorie wurden Experimentezur wissenschaftstheoretischen Bewertung von empirischen Theorien alsimmer weniger relevant angesehen. Sie stützten dies mit der Behaup-tung, dass bei Popper Experimente �nur� mehr relevant hinsichtlich einerBegründung empirischer Theorien seien, bei Kuhn sogar letztere Rele-vanz wegfalle (vgl. [1, p.96]). Wir ergänzen: U.a. vor Popper wurde vonhartgesottenen Induktivisten vertreten, dass Experimente auch relevanthinsichtlich einer Entdeckung empirischer Theorien sind � im Sinne von`Induktion als Methode für die Bildung von Hypothesen'.


Im Ausblick zur Entwicklung in der Wissenschaftstheorie führen dieAutoren die relevanten wissenschaftstheoretischen Positionen an, u.a.die strukturalistischen Positionen von Joseph D. Sneed und WolfgangStegmüller, aber auch den Bayesianismus. Eine Prognose der Autorenzur Entwicklung von letzterem mithilfe der Positionen von Popper undKuhn erachten wir als zum Schmunzeln anregenden Schluss.

Das Buch bietet einen einfachen Einstieg in das Hauptwerk von unddie Diskussion um Kuhn. Es ist, nicht unüblich hinsichtlich Literatur zumselben Gegenstandsbereich, heuristisch. Als Kennzeichen für heuristischeTexte erachten wir u.a.:

• Groÿteils allgemeine Ausdrucksweise im Text (wechselnder Gegen-standsbereich wie z.B. in [1, p.16]: �Paradigmen [sind] inkommensu-rabel� und in [1, p.57]: �Inkommensurabilität von Theorien�, wech-selnde Stellenzahl von Prädikaten, etc.);

• Häu�ges Vorkommen von Metaphern und Analogien im Text (auchzur Erläuterung zentraler Ausdrücke wie z.B. in [1, p.45]: �Die Weltändert sich und bleibt doch auch wieder dieselbe� für `Die Beob-achtungssprache ist theoriebeladen.', gleichso in [1, p.62]: �[Eine]Allaussage alleine vor das Tribunal der Erfahrung tritt� für `EinBeobachtungssatz ist ein potentieller Falsi�kator einer Allaussa-ge.');

Obwohl dieses Buch diese Eigenschaft hat, �nden sich darin detaillierte-re Ausführungen (z.B. in [1, p.61], wo sehr genau auf einen Unterschiedzwischen einer Verwendung von `gilt als falsi�ziert' und `ist falsi�zierbar'geachtet wird). Zudem erlaubt es auch, wie wir ansatzweise zu zeigen ver-sucht haben, eine weiterführende Präzisierung. Im Groÿen und Ganzenerachten wir das Buch als eine gute Einführung und empfehlen es demLaien hinsichtlich Kuhns Position mit dem Wunsch: Mögen in ihm beider Lektüre weitere Präzisierungsvorschläge reifen!

Literatur

[1] Daniela Bailer-Jones und Cord Friebe. Thomas Kuhn. Mentis, Pa-derborn, 2009. 111 Seiten, 14,80AC[D], ISBN: 978-3-89785-503-8.

Rezension: Gerechte Verteilungmedizinischer Ressourcen [1]

Christian J. Feldbacher & Christoph Leitner

Der Autor des rezensierten Buches, Edgar Rosenmayer, studierte Phi-losophie an der Paris-Lodron-Universität Salzburg. 2007 erschien seineDiplomarbeit unter dem Titel `Gerechte Verteilung medizinischer Res-sourcen. Ethische Aspekte der Mikroallokation' im Verlag Dr. Müller.Das Buch richtet sich nach Angaben des Autors an Ethiker, medizi-nisches Personal und Laien mit Interesse an einer ethischen Bewertungvon Kriterien zur Verteilung medizinischer Ressourcen. Im Rahmen einerethischen Diskussionsrunde mit dem Autor haben wir uns entschlossen,das Buch zu rezensieren.

Das Buch umfasst 153 Seiten und ist ohne Berücksichtigung derSchlussbemerkung und des Literaturverzeichnisses in vier Kapitel ein-geteilt: (1) Kontexte der medizinischen Allokation, (2) Nutzen- und E�-zienzfragen in der Medizin, (3) Gerechtigkeitsfragen in der Medizin und(4) Praktische Integration: Kriteriengewichtung. Diese Einteilung decktsich ungefähr mit Eckpunkten der Untersuchung des Autors: Ausgehendvon terminologischen Festsetzungen in (1) diskutiert der Autor zuersteine Nutzentheorie sowie Varianten davon in (2) und geht dann überin eine Diskussion von Gerechtigkeitstheorien in (3); dort diskutiert derAutor auch einen Zusammenhang zwischen Nutzen- und Gerechtigkeits-theorien hinsichtlich eines Allokationsproblems; ebenso in (3) untersuchtder Autor, nach welchen Kriterien in der Praxis medizinische Ressour-cen verteilt werden; er bewertet diese Kriterien anhand der vorgestelltenNutzen- und Gerechtigkeitstheorien und beendet die Untersuchung miteinem Vorschlag einer Reihung von Kriterien zur Verteilung medizini-scher Ressourcen in (4).

ad (1) � Kontexte der medizinischen Allokation. Der Autor legt zuBeginn seiner Untersuchung den Gegenstandsbereich der Untersuchungfest. Hierzu erläutert er zuerst verschiedene zentrale Ausdrücke. Es sinddies vor allem Àlloktion' (vgl. [1, p.8]), Àllokationsproblem' (vgl. [1,p.9]), `Knappheit' (vgl. [1, p.9]), `Mikroallokation' (vgl. [1, p.12]) sowie`Zuteilung' und `Verteilung' (vgl. [1, pp.12f]). Unter Àllokation' verstehtder Autor die Verteilung knapper medizinischer Ressourcen an Patien-ten. Unter `Mikroallokation auf der unteren Ebene' versteht der Autor


Christian J. Feldbacher & Christoph Leitner: Rezension 101

eine Verteilung von knappen medizinischen Ressourcen in der Entschei-dungsbefugnis des Arztes an die Patienten. In anderen Bereichen, z.B.auf Spitalsebene oder bei budgetpolitischen Entscheidungen, welche dieMedizin betre�en, seien andere ethische Fragen relevant. Bestimmte Fra-gen nach z.B. einer Verteilung eines Gesundheitsbudgets auf Kranken-kassen seien Makroallokationsprobleme auf der unteren Ebene.

Mit diesen Termini umgrenzt der Autor den Gegenstandsbereich sei-ner Untersuchung auf Kriterien zur Lösung des Allokationsproblems vonPatienten hinsichtlich medizinischer Ressourcen absoluter Knappheit derMikroallokation auf der unteren Ebene. Ziel des Autors ist es, die Ele-mente dieses Gegenstandsbereichs ethisch zu bewerten. Z.B. bewertetder Autor das Kriterium Lebensalter ethisch (vgl. [1, pp.90�]).

Positiv fällt auf, dass der Autor den Gegenstandsbereich der Untersu-chung sehr überlegt abgrenzt. Damit wird der ethisch von ihm behandel-te medizinische Bereich spezi�ziert. Negativ fällt auf, dass er viele Aus-drücke nur ungenau einführt oder sich nicht an seine terminologischenFestsetzungen hält. Z.B. setzt er eine Bedeutung von `medizinische Res-source' voraus; erst in [1, p.65] wird klar, dass es sich bei medizinischenRessourcen um bestimmte Gegenstände � wie etwa medizinische Geräteoder zur Verfügung stehende Zeit � handelt, nicht jedoch um z.B. Geldfür medizinische Zwecke. Auch der Versuch der De�nition von `Alloka-tion' ist inadäquat � die gegebene De�nition in [1, p.8] entspricht jenervon `Relation'. Sinnvollerweise unterscheidet der Autor Zuweisungen vonmedizinischen Ressourcen an Patienten in Verteilungen (nach ethischenKriterien) und Zuteilungen (nach medizinischen Kriterien) in [1, p.13].In der Untersuchung weicht er jedoch häu�g von dieser Festsetzung abund vertauscht die Ausdrücke miteinander (vgl. [1, p.25, p.51, p.53, p.71,p.81 u.a.]). Ein ganz ähnliches Problem tritt bei einer Unterscheidung ei-nes Lebensalters in ein biologisches und ein chronologisches Lebensalterauf (vgl. [1, pp.92f]).

ad (2) � Nutzen- und E�zienzfragen in der Medizin. In diesem Kapi-tel diskutiert der Autor Nutzentheorien. Er unterscheidet folgende Vari-anten von utilitaristischen Theorien:

• Handlungs- und Regelutilitarismus.

• Durchschnittsnutzen- und Nutzensummenutilitarismus.

• Glücks- und Präferenzutilitarismus.

Der Autor vermutet, dass für eine Bewertung der Kriterien zur Vertei-lung medizinischer Ressourcen insbesondere zwei Varianten von utilita-


ristischen Theorien relevant sind: handlungs-durchschnittsnutzen-präfer-enzutilitaristische Theorien und regel-durchschnittsnutzen-präferenzutil-itaristische Theorien. Erstgenannte hinsichtlich Kriterien zur Verteilungvon medizinischen Ressourcen, welche wohl überlegt werden können.Letztgenannte hinsichtlich Kriterien zur Verteilung von medizinischenRessourcen in dringlichen Situationen.

Eine Operationalisierung des Nutzens bestehe in der Medizin in demQualy-Modell, welches ein Punktesystem aus Lebenserwartung und er-warteter Lebensqualität für betro�ene Patienten sei (vgl. [1, p.38]). DasQualy-Modell basiere auf einer nutzensummenutilitaristischen Theorie.

Positiv ist, dass der Autor ein breites Spektrum von Varianten uti-litaristischer Theorien diskutiert und die weitere Untersuchung auf zweiVarianten beschränkt. Die Diskussion der utilitaristischen Theorien er-folgt allerdings nicht hinreichend genau.

ad (3) � Gerechtigkeitsfragen in der Medizin. Im dritten Kapitel derUntersuchung diskutiert der Autor u.a. zwei Gerechtigkeitstheorien undderen Fruchtbarkeit für eine Bewertung von Kriterien zur Lösung vonAllokationsproblemen: Eine aristotelische Theorie der Gerechtigkeit zurausgleichenden und austeilenden Gerechtigkeit, sowie zur Billigkeit (vgl.[1, pp.55f]). Eine weitere Theorie der Gerechtigkeit ist angelehnt an JohnRawls Theorie der Gerechtigkeit als Fairness (vgl. [1, pp.60�]). Quintes-senz der Diskussion sind notwendige Bedingungen für `ein Kriterium zurVerteilung medizinischer Ressourcen an Patienten ist gerecht'.

Ethische Theorien werden vielfach an Intuitionen gemessen. Saloppgesagt, sollten moralisch gebotene Handlungen möglichst nützlich undgerecht sein. Ein Problem in vielen ethischen Theorien, in denen so-wohl Annahmen zur Gerechtigkeit von Handlungen als auch Annahmenzur Nützlichkeit von Handlungen gemacht werden, ist das Problem vonNormkon�ikten: Es gibt z.B. Handlungen, die gerechtigkeitstheoretischgeboten sind, die aber nutzentheoretisch nicht geboten, ja sogar verbo-ten sind. Im nachfolgend behandelten Unterkapitel geht der Autor aufsolche Normkon�ikte ein.

Im Unterkapitel Gerechtigkeit in der medizinischen Praxis (auch in(3 ab [1, p.76]) bewertet der Autor tatsächlich verwendete Kriterien zurLösung von Mikroallokationsproblemen auf der unteren Ebene. In dermedizinischen Praxis verwendete Kriterien zur Lösung von Allokations-problemen sind z.B. das Kriterium der Dringlichkeit: Wer benötigt einemedizinische Ressource dringlicher? Das Kriterium der Wartezeit: Werwartet schon länger auf eine medizinische Ressource? Das Kriterium desZufalls: Wie entscheidet ein Los? Sowie das Kriterium des medizinischen


Erfolgs: Wer hat höhere Qualy � erwartete Lebenszeit und -qualität?Anhand des Qualy-Modells will der Autor zeigen, dass dieses durch-

aus als gerecht interpretiert werden kann. So sollte z.B. jedem Men-schen gleichermaÿen eine bestimmte Lebenszeit zur Verfügung stehen �Stichwort `faire Lebenszeit'. Ältere Menschen haben, gemessen an derdurchschnittlichen Lebenserwartung, schon mehr von ihrer Lebenszeitverbraucht als jüngere Menschen. Im Falle eines Allokationsproblemssolle gerechterweise der jüngere Mensch die medizinische Ressource er-halten. Auch sei ein nutzenorientierter Einsatz medizinischer Ressour-cen insofern gerecht, als diese durch den e�zienten Einsatz umso mehrPersonen zukommen könnten (vgl. [1, p.107]). Dies führt den Autor zufolgender quasi-generellen Forderung:

These 1 Wenn Kriterien einer Allokation medizinischer Ressourcen anPatienten nützlich sind, dann sind diese Kriterien der Allokation dermedizinischen Ressourcen an die Patienten auch gerecht.

Wir erachten die durch diese Untersuchung gewonnene Praxisnäheals positiv. Das Qualy-Modell ist ein Kriterium im Sinne von These 1.Negativ erscheint uns jedoch die ethische Bewertung der übrigen obenangeführten Kriterien. Es ist eine lose Zusammenstellung von Kriterienund dazugehörigen Begründungen. Die umgekehrte Richtung von These1, nämlich dass gerechte Kriterien auch nützlich sind, wird im Buch nichtbesprochen.

ad (4) � Praktische Integration: Kriteriengewichtung.Der Autor präsentiert zum Schluss des Buches eine Orientierungshil-

fe zur Lösung von Allokationsproblemen. Er schlägt vor, dass der Arztzuerst die Zuteilung von medizinischen Ressourcen an Patienten klärensoll. Im Anschluss daran solle der Arzt, sofern es Kon�ikte der Mikroal-lokation auf der unteren Ebene gibt, sich an folgender Kriterienreihungorientieren:

(I) Dringlichkeit und medizinische Erfolgsaussichten einer Verteilungmedizinischer Ressourcen an Patienten. Z.B.: Mit welcher Vertei-lung kann noch Leben gerettet werden?

(II) Nutzenmaximierende Kriterien für eine Verteilung medizinischerRessourcen an Patienten. Z.B. das nutzenmaximierende Qualy-Modell.

(III) In Fällen der Verantwortung gegenüber Dritten sollen soziale Kri-terien, wie z.B. Mutterschaft, für eine Verteilung medizinischerRessourcen herangezogen werden.


(IV) Ermessensspielraum des Arztes.

Kriterien wie z.B. das Kriterium der Wartezeit eines Patienten sind nachDafürhalten des Autors nicht für eine Verteilung medizinischer Ressour-cen an Patienten geeignet, da sie oftmals zu Ergebnissen führen, dienutzenmaximierenden Kriterien entgegenstehen. Z.B. sind oftmals diemedizinischen Erfolgsaussichten eines Patienten mit längerer Wartezeitgeringer als die medizinischen Erfolgsaussichten eines Patienten mit kür-zerer Wartezeit.

Der Autor schlägt hier, sehr praxisnah, eine Reihung nach ethischerGebotenheit der zur Lösung eines Allokationsproblems herangezogenenKriterien vor. Dies bewerten wir durchgängig positiv.

Zur Untersuchung im Allgemeinen: Die inhaltliche Aufteilung desBuches ist klar und übersichtlich. Thematisch wurden die für die Medi-zin relevanten ethischen Theorien ausgewählt: Bestimmte Nutzen- undGerechtigkeitstheorien. In formaler Hinsicht weist die Untersuchung al-lerdings erhebliche Mängel auf, welche auch inhaltlich missverständlichwirken. Zitate des Autors sind sehr häu�g Zitate von Zitaten � diesesVorgehen birgt die Gefahr von Fehlinterpretationen der Originallitera-tur. Für reportive De�nitionen scheint uns ein Rückgri� auf kodi�zier-te Werke zum Wortschatz der deutschen Sprache angemessener als einRückgri� auf bestimmte Quellen aus dem Internet (vgl. z.B. [1, p.8]).Stilistisch au�allend sind Wortkreationen wie `real-praktisch' (z.B. in [1,p.7]), òbjektiv-medizinisch' (z.B. in [1, p.13]), `sozial-moralisch' (z.B. in[1, p.36]), der ungezügelte Gebrauch von inhaltlich verschleiernden Aus-drücken (Àspekt', `Dimension', Èbene', `Sphäre' und ähnlichen mehr),sowie der uneinheitliche und extensive Gebrauch von Anführungszeichen.

Resümee: Die für die Medizinethik relevanten und zentralen Themensind im Allgemeinen zwar systematisch geordnet, im Einzelnen sind dievielzähligen Ideen jedoch eher grob nebeneinandergestellt. Dabei wurdendie theoretischen Teile der ethischen Untersuchung nur angedeutet, je-doch nicht weiterführend ausgearbeitet. Deshalb empfehlen wir das Buchzwar nicht an Leser mit ausgeprägtem Interesse an einer theoretischenUntersuchung, aber an Mediziner und Laien, die einen Einblick in eineethische Bewertung von Kriterien zur Allokation medizinischer Ressour-cen an Patienten gewinnen möchten.


Literatur

[1] Edgar Rosenmayer. Gerechte Verteilung medizinischer Ressourcen.Ethische Aspekte der Mikroallokation. Verlag Dr. Müller (VDM),Saarbrücken, 2007. 153 Seiten, 49,00AC[D], ISBN: 978-3-8364-1426-5.

A Goldman/Chisholm View of Property Exemplifications

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