15 – Matem´ticas 1 : Preliminares

15 – Matematicas 1 : Preliminares

Capıtulo 3

Funciones, lımites y continuidad

3.1 Funciones reales de variable real

3.1.1 Los numeros reales

Los numeros reales son de sobra conocidos, sus operaciones basicas ası como su identificacion con los puntos de“la recta real”, por lo que solo vamos a mencionar aquı algunas de sus propiedades (la mayorıa conocidas) queson imprescindibles en el desarrollo de este tema.

Propiedades de orden 40.- Denotaremos por R+ = {x ∈ R : x > 0} y R− = {x ∈ R : x < 0}

1.- Antisimetrica: Si x ≤ y e y ≤ x =⇒ x = y .

2.- Transitiva: Si x ≤ y e y ≤ z =⇒ x ≤ z .

3.- Total : Para cualesquiera x, y ∈ R : o bien x ≤ y , o bien y ≤ x .

4.- Si x ≤ y , entonces x+ z ≤ y + z para todo z ∈ R (si x < y =⇒ x+ z < y + z ).

5.- Si x ≤ y , entonces x · z ≤ y · z para todo z ∈ R+ (si x < y =⇒ x · z < y · z ).

6.- Si x ≤ y , entonces x · z ≥ y · z para todo z ∈ R− (si x < y =⇒ x · z > y · z ).

7.- Si 0 < x < y , entonces 0 < 1y <

1x .

Las propiedades de acotacion siguientes garantizan que los numeros reales “llenan” la recta real, lo que nospermite decir que recorremos de manera continua un subconjunto de R .

Definicion 41.- Sea A ⊆ R , diremos que el conjunto A esta acotado superiormente si existe algun K ∈ Rtal que x ≤ K , para todo x ∈ A ; es decir, todos los elementos de A son menores que K . Del valor K diremosque es una cota superior de A .Analogamente, A esta acotado inferiormente si existe k ∈ R tal que k ≤ x , para todo x ∈ A y diremosque k es una cota inferior de A . Diremos que A esta acotado si lo esta superior e inferiormente.

Propiedad del extremo superior 42.- Todo subconjunto no vacıo A ⊆ R y acotado superiormente admite unacota superior mınima, es decir, ∃Γ ∈ R tal que:

a) x ≤ Γ; ∀x ∈ A b) Si K < Γ, entonces ∃x ∈ A verificando que K < x ≤ Γ.

Se dice que Γ es el extremo superior o supremo de A y se denota por supA o ext supA . Si Γ pertenecea A , se dice que Γ es el maximo de A , y escribiremos maxA = Γ.

Propiedad del extremo inferior 43.- Todo subconjunto no vacıo A ⊆ R acotado inferiormente admite unacota inferior maxima, es decir, ∃ γ ∈ R tal que:

a) γ ≤ x ; ∀x ∈ A b) Si γ < k , entonces ∃x ∈ A verificando que γ ≤ x < k .

Se dice que γ es el extremo inferior o ınfimo de A y se denota por inf A o ext inf A . Si γ pertenece a A ,se dice que γ es el mınimo de A , y escribiremos mınA = γ .

Nota: Que Γ = supA es equivalente a que para cada ε > 0 existe x ∈ A con Γ − ε < x ≤ Γ. Es decir, quepara cualquier valor mas pequeno que el superior hay algun elemento del conjunto mas grande que el.Analogamente, γ = inf A ⇐⇒ para cada ε > 0 existe x ∈ A con γ ≤ x < γ + ε .

Ejemplo El conjunto A ={

1n : n ∈ N

}={

1, 12 ,

13 ,

14 , . . .

}esta acotado superior e inferiormente.

Prof: Jose Antonio Abia Vian Grados de Ing. Industrial : Curso 2012–2013

16 – Matematicas 1 : Preliminares 3.1 Funciones reales de variable real

En efecto, 1n ≤ 1 < 2 para todo n , luego 2 es una cota superior del conjunto (de hecho, cualquier numero

mayor o igual a 1 lo es). Tambien esta acotado inferiormente, pues 1n es positivo luego 0 < 1

n para todo n y 0es una cota inferior de A (cualquier numero negativo es tambien una cota inferior).

Luego A es un conjunto acotado y tiene supremo e ınfimo: como el supremo es la mınima cota superior,supA = 1, pues 1 es una cota superior y si K < 1, existe el 1 ∈ A tal que K < 1 ≤ supA = 1 luego K no esuna cota y 1 es la mas pequena.Como el ınfimo es la maxima cota inferior, inf A = 0, pues es una cota y para cualquier k > 0, puedoencontrar un n suficientemente grande para que 0 < 1

n < k (por ejemplo, para k = 0.00001, se tiene que0 < 1

100001 <1

100000 = k ).Ademas, supA = 1 ∈ A luego maxA = 1; lo que no ocurre con el ınfimo, pues inf A = 0 /∈ A , luego

6 ∃ mınA . 4

3.1.2 Valor absoluto de un numero real

Definicion 44.- Sea a ∈ R , se llama valor absoluto de a , y se representa por |a| , al numero real dado por

|a| = +√a2 =

{a, si a ≥ 0−a, si a < 0

Propiedades del valor absoluto 45.-

a) |a| ≥ 0, ∀ a y |a| = 0 ⇐⇒ a = 0 b) |ab| = |a| |b| c)∣∣a−1

∣∣ = |a|−1

d) |a| ≤ k ⇐⇒ −k ≤ a ≤ k e) |a+ b| ≤ |a|+ |b| f)∣∣∣ |a| − |b| ∣∣∣ ≤ |a− b| .

El valor absoluto y su uso como distancia es clave en las definiciones de conjuntos y conceptos como el lımitey la continudad, la derivacion e integracion.

Nota: Con el valor absoluto, diremos que A es acotado ⇐⇒ existe K > 0 tal que |x| ≤ K , ∀x ∈ A .

Ejemplo El conjunto A ={

1, 12 ,

13 ,

14 , . . .

}del ejemplo anterior esta acotado pues

∣∣ 1n

∣∣ ≤ 1 para todo n .

3.1.3 Intervalos y entornos en RLos subconjuntos de R , estan formados por puntos separados o por intervalos (“trozos”) de la recta real o poruniones de ellos; pero no solo eso, sino que la validez de algunos resultados depende del tipo de intervalo usado.Pero ademas, los intervalos centrados en un punto (que llamaremos entornos) son basicos en la construccion dela mayorıa de los conceptos del Calculo.

Definicion 46.- Dados los numeros reales a y b con a ≤ b , se llama intervalo abierto de extremos a y b , yse representa por (a, b), al conjunto:

(a, b) = {x ∈ R : a < x < b} .Se llama intervalo cerrado de extremos a y b , y se representa por [a, b] , al conjunto:

[a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b} .

Analogamente se definen: (a, b] = {x ∈ R : a < x ≤ b} y [a, b) = {x ∈ R : a ≤ x < b}y los intervalos no acotados: (a,+∞) = {x ∈ R : a < x} y [a,+∞) = {x ∈ R : a ≤ x}

(−∞, b) = {x ∈ R : x < b} y (−∞, b] = {x ∈ R : x ≤ b}

En los intervalos cerrados, inf[a, b] = mın[a, b] = a y sup[a, b] = max[a, b] = b , mientras que en los abiertosinf{(a, b)} = a y sup{(a, b)} = b pero no tiene ni maximo ni mınimo.

En los no acotados, como [a,+∞), se tiene inf[a,+∞) = mın[a,+∞) = a pero no existe el superior (a vecesse escribe supA = +∞ , para indicar que el conjunto no esta acotado superiomente).

Naturalmente, R es tambien un intervalo R = (−∞,+∞). Y, [a, a] = {a} pero (a, a) = (a, a] = [a, a) = ∅ .

Definicion 47.- Llamaremos entorno de centro a y radio ε > 0, y escribiremos E(a, ε), al conjunto:E(a, ε) = {x ∈ R : |x− a| < ε} = {x ∈ R : a− ε < x < a+ ε} = (a− ε, a+ ε).

Llamaremos entorno reducido de centro a y radio ε > 0, E∗(a, ε), al conjuntoE∗(a, ε) = E(a, ε)− {a} = {x ∈ R : 0 < |x− a| < ε} .



3.1.4 Algunas operaciones con numeros reales

3.1.4.1 Potencias racionales y reales de un numero real

Las potencias racionales, xr , se definen paulatinamente a partir de las potencias naturales:

? para n ∈ N y x ∈ R , definimos xn = x · xn)· · · x .

? para z ∈ Z y x ∈ R− {0} , definimos x0 = 1 y si z < 0, xz = (x−1)−z .

? para n ∈ N y x ∈ R+ , definimos x1n = n

√x como el α ∈ R tal que αn = x

? para r = zn , con z ∈ Z y n ∈ N , y x ∈ R+ , definimos x

zn = n

√xz .

y se verifican las siguientes propiedades:

(1) xryr = (xy)r (2) xrxs = xr+s (3) (xr)s = xrs

(4) Si 0 < x < y , entonces 0 < xr < yr si r > 0 y 0 < yr < xr si r < 0

(5) Si r < s se tiene que xr < xs cuando x > 1 y xs > xr cuando 0 < x < 1.

Antes de terminar, un pequeno apunte sobre las raices n -esimas, n√x para x ≥ 0: si n es impar, existe un

unico numero real α > 0 tal que αn = x ; y si n es par, existe un unico numero real α > 0 tal que αn = x y(−α)n = x . Por ello, si n es par siempre se escribe n

√x > 0 y − n

√x < 0 para distinguir entre el valor positivo

y el negativo.

Potencias reales.- Las potencias reales de un numero real, xα , con x > 0 y α ∈ R se extienden de lasracionales (aunque no de manera sencilla) y verifican las mismas propiedades de (1) a (5) que las potenciasracionales.

3.1.4.2 Exponencial real de base e

La exponencial de base e que a cada x ∈ R le asigna el numero real ex . Las propiedades de las potencias,establecen la validez de:

(1) ex+y = exey (2) Si x < y se tiene que ex < ey (3) ex > 0

(Genericamente, tenemos exponenciales de base a , para cualquier a > 0, con propiedades similares.)

3.1.4.3 Logaritmo neperiano real

Para cada x ∈ (0,+∞), se define el logaritmo neperiano, lnx como el valor real α tal que eα = x ; es decir, laoperacion recıproca a la exponencial.

(1) ln(xy) = lnx+ ln y (2) ln(xy) = y lnx (3) Si 0 < x < y se tiene lnx < ln y

(Genericamente, para cada exponencial ax , tenemos el logaritmo en base a , loga x .)

3.2 Funciones reales de variable real

Definicion 48.- Llamaremos funcion real de variable real, a cualquier aplicacion f :A −→ R , donde A ⊆ R .Al conjunto A lo denominaremos dominio de f y escribiremos A = Dom(f).Si x ∈ A escribiremos y = f(x) para indicar que y ∈ R es la imagen de x por medio de f .El recorrido o conjunto imagen de f , que suele denotarse por f(A), sera:

f(A) ={f(x) ∈ R : x ∈ A

}={y ∈ R : ∃x ∈ A con y = f(x)

}= Img f

Nota: Si la funcion viene dada solo por la expresion y = f(x), sobreentenderemos que el dominio es el maximosubconjunto de R para el cual f(x) ∈ R , es decir, Dom(f) = {x ∈ R : f(x) ∈ R}

Ejemplo Sea f : [−1, 1] −→ R dada por f(x) =√

1− x2 . Se tiene que:

Dom(f) = [−1, 1]: pues x ∈ [−1, 1] =⇒ 0 ≤ x2 ≤ 1 =⇒ 1− x2 ≥ 0 =⇒√

1− x2 = f(x) ∈ R .



f([−1, 1]) ⊆ [0, 1], ya que x∈ [−1, 1] =⇒ 0≤x2≤1 =⇒ −1≤ −x2≤0 =⇒ 0 ≤ 1−x2 ≤ 1 =⇒ 0 ≤√

1−x2 ≤ 1 y,si k ∈ [0, 1], se tiene k = f

(√1− k2

); luego f([−1, 1]) = [0, 1].

Para f dada por f(x) = 11−x2 , su dominio se obtendra de:

f(x) ∈ R ⇐⇒ 11− x2

∈ R ⇐⇒ 1− x2 6= 0 ⇐⇒ x2 6= 1 ⇐⇒ x 6= ±1

luego Dom(f) = R− {1,−1} = (−∞,−1) ∪ (−1, 1) ∪ (1,+∞). Ademas, Img(f) = R− [0, 1). 4

Definicion 49.- Llamaremos grafica de la funcion dadapor y = f(x), y lo denotaremos por graf(f), al subcon-junto de R2

graf(f) ={

(x, y) ∈ R2 : x∈Dom(f) e y=f(x)}

={

(x, f(x)) ∈ R2 : x∈Dom(f)}

rr

r

a b c

f(a)

f(c)

f(b)

(a, f(a))

(b, f(b))

(c, f(c))

graf(f)�

��

x

y

Definicion 50 (Operaciones con funciones).- Sea f y g funciones reales de variable real. Entonces sonfunciones reales de variable real las siguientes:

1.- (Suma) (f+g)(x) = f(x) + g(x) 2.- (Producto) (fg)(x) = f(x) · g(x)

3.- (Cociente)(fg

)(x) = f(x)

g(x) 4.- (Composicion) (g ◦ f)(x) = g(f(x))

en los conjunto donde tenga sentido. Es decir:

Dom(f+g) = Dom(f) ∩Dom(g) Dom(f/g) =(

Dom(f) ∩Dom(g))− {x : g(x) = 0}

Dom(fg) = Dom(f) ∩Dom(g) Dom(g ◦ f) ={x ∈ Dom(f) : f(x) ∈ Dom(g)

}Ejemplo Sean f(x) =

√2− x y g(x) =

√x2 − 1. Se tiene que

Dom f = {x ∈ R : 2− x ≥ 0} = {x ∈ R : 2 ≥ x} = (−∞, 2]Dom g = {x ∈ R : x2 − 1 ≥ 0} = {x ∈ R : x2 ≥ 1} = (−∞,−1] ∪ [1,+∞) = R− (−1, 1)

Luego el dominio de (f + g)(x) =√

2− x+√x2 − 1 es

Dom(f + g) = Dom f ∩Dom g = (−∞, 2] ∩(

(−∞,−1] ∪ [1,+∞))

= (−∞,−1] ∪ [1, 2]

que coincide con el de (fg)(x) =√

2− x√x2 − 1.

Para el dominio de ( fg )(x) =√

2−x√x2−1

, como g(x) = 0 si x2 − 1 = 0, es decir, si x = ±1,

Dom(fg

)= (Dom f ∩Dom g)− {−1, 1} =

((−∞,−1] ∪ [1, 2]

)− {−1, 1} = (−∞,−1) ∪ (1, 2]

y, finalmente el dominio de (g ◦ f)(x) =√

(√

2− x)2 − 1 =√

1− x sera

Dom(g ◦ f) ={x ∈ (−∞, 2] :

√2− x ∈ Dom g

} (1)={x ∈ (−∞, 2] :

√2− x ≥ 1

}= {x ∈ (−∞, 2] : 2− x ≥ 1} = {x ∈ (−∞, 2] : 1 ≥ x} = (−∞, 1]

(1) como√

2− x ≥ 0, se tiene√

2− x ∈ Dom g si√

2− x ∈ [1,+∞) , es decir, si√

2− x ≥ 1. 4

Dominio de algunas funciones elementales 51.-

? Raız: f(x) = n√x y Dom f = [0,+∞). Con n

√x = 0 ⇐⇒ x = 0.

? Potencia real: f(x) = xα y Dom f = (0,+∞). Con xα > 0 para todo x .

? Exponencial: f(x) = ex y Dom f = R . Con ex > 0 para todo x .

? Logaritmo neperiano: f(x) = ln(x) y Dom f = (0,+∞). Con lnx = 0 ⇐⇒ x = 1.



? Seno: f(x) = sen(x) y Dom f = R . Con senx = 0 ⇐⇒ x = kπ con k ∈ Z ,

? Coseno: f(x) = cos(x) y Dom f = R . Con cosx = 0 ⇐⇒ x = π2 + kπ con k ∈ Z .

? Tangente: f(x) = tg(x) = sen xcos x y Dom f = R− {π2 + kπ : k ∈ Z} = dk∈Z(−π2 + kπ, π2 + kπ).

? Seno hiperbolico: f(x) = sh(x) = ex−e−x2 y Dom f = R . Con shx = 0 ⇐⇒ x = 0.

? Coseno hiperbolico: f(x) = ch(x) = ex+e−x

2 y Dom f = R . Con chx ≥ 1 para todo x .

? Tangente hiperbolica: f(x) = th(x) = sh xch x y Dom f = R .

f(x) = ex

1

1

f(x) = ln(x)

f(x) = xα1

1

α>1

��

α=1

0<α<1

α<−1

−1<α<0

1

sh(x)ch(x)

th(x)

1

ππ2

tg(x)

sen(x)

cos(x)

Fig. 3.1. Graficas de algunas funciones elementales.

Definicion 52.- Sea f :A −→ R , con A ⊆ R . Diremos que f es una funcion acotada si el conjunto imagenf(A) esta acotado. Es decir, si existe K > 0 tal que |f(x)| ≤ K para todo x ∈ A .

Ejemplo ? El seno y el coseno estan acotadas en R , pues |senx| ≤ 1 y |cosx| ≤ 1 para todo x ∈ R .

? La funcion f : R−{0} −→ R , con f(x) = x|x| , esta acotada en su dominio pues para todo x ∈ R , se tiene

− |x| ≤ x ≤ |x| , y para todo x 6= 0, −1 ≤ x|x| ≤ 1. (De hecho, |f(x)| = 1, ∀x 6= 0.)

? La funcion th(x) esta acotada en R . En efecto, si x ≥ 0, se cumple que ex ≥ 1 ≥ 1ex = e−x , luego

0 ≤ ex − e−x < ex + e−x y entonces 0 ≤ ex−e−xex+e−x < 1. Como th(−x) = − th(x) (comprobarlo), cuando

x < 0, se tiene −1 < th(x) < 0, por lo que |th(x)| < 1, para todo x ∈ R . 4

3.2.1 Monotonıa. Funciones inversas

Definicion 53.- Sea f :A −→ R diremos que f es creciente o monotona creciente en el conjunto A , sipara cualesquiera x, y ∈ A , con x < y , se verifica que f(x) ≤ f(y).

Diremos que f es decreciente o monotona decreciente en el conjunto A , si para cualesquiera x, y ∈A , con x < y , se verifica que f(x) ≥ f(y).

Diremos que f es creciente (resp. decreciente) en el punto a ∈ A , si existe un entorno E(a, δ) tal que∀x, y ∈ E(a, δ) con x < a < y se cumple f(x) ≤ f(a) ≤ f(y) (resp. f(x) ≥ f(a) ≥ f(y)).

Nota: Si las desigualdades son estrictas, diremos estrictamente creciente y estrictamente decreciente.

Ejemplo Por las propiedades enunciadas anteriormente, las funciones ex , lnx y xα con α > 0 son estricta-mente crecientes en sus dominios; y si α < 0, xα decrece estrictamente en (0,+∞) (ver graficas arriba).

La funcion f(x) = 1x es estrictamente decreciente en cada punto de su dominio R−{0} , pero no es monotona

decreciente en el conjunto (ya que −1 < 1 pero f(−1) = −1 < f(1) = 1.) 4

Definicion 54.- Se dice que f :A −→ R es inyectiva en A si f(x) 6= f(y) para todo x, y ∈ A , con x 6= y .

Ejemplo Las funciones estrictamente crecientes o estrictamente decrecientes en un conjunto son inyectivas.

La funcion f(x) = x2 es inyectiva en [0, 1] y tambien en [−1, 0], pero no lo es en el conjunto [−1, 1] puestoque f(−1) = 1 = f(1) con 1 6= −1.


20 – Matematicas 1 : Preliminares 3.3 Lımite y continuidad de una funcion en un punto

Definicion 55.- Sean f :A −→ R y B = f(A). Si f es inyectiva en A , llamaremos funcion inversa de f enA , y la denotaremos por f−1 , a la funcion f−1:B −→ A tal que f−1(f(x)) = x , para todo x ∈ A .

Ejemplo 56 ? La funcion f : [0,∞) −→ R con f(x) = x2 , tiene inversa en ese conjunto (es estrictamentecreciente en el) y es f−1: [0,∞) −→ [0,∞) dada por f−1(y) =

√y . [ f−1(f(x)) =

√x2 = |x| = x ]

? La funcion f : (−∞, 0] −→ R con f(x) = x2 , tiene inversa en ese conjunto (es estrictamente decrecienteen el), que es f−1: [0,∞) −→ (−∞, 0] dada por f−1(y) = −√y . [ f−1(f(x)) = −

√x2 = − |x| = x ]

? La funcion f : (0,+∞) −→ R con f(x) = xα , tiene inversa en el conjunto (es estr. creciente si α > 0 ydecreciente si α < 0), que es f−1: (0,∞) −→ R dada por f−1(y) = y

1α . [ f−1(f(x)) = (xα)

1α = x1 = x ]

? La funcion f : R −→ (0,∞) con f(x) = ex , tiene inversa en R (es estrictamente creciente en el), que esf−1: (0,∞) −→ R dada por f−1(y) = ln y . [ f−1(f(x)) = ln(ex) = x ln(e) = x ]

? La funcion f(x) = senx , tiene inversa en el conjunto [−π2 ,π2 ] (es estrictamente creciente en el), la funcion

f−1: [−1, 1] −→ [−π2 ,π2 ] que llamaremos arcoseno y denotaremos f−1(y) = arcsen y .

(El seno no tiene inversa en [0, 2π] , pues no es inyectiva en ese conjunto)

? La funcion f(x) = cosx , tiene inversa en el conjunto [0, π] (es estrictamente decreciente en el), la funcionf−1: [−1, 1] −→ [0, π] que llamaremos arcocoseno y denotaremos f−1(y) = arccos y .

? La funcion f(x) = tg x , tiene inversa en el conjunto [−π2 ,π2 ] (es estrictamente creciente en el), la funcion

f−1: R −→ [−π2 ,π2 ] que llamaremos arcotangente y denotaremos f−1(y) = arccotg y .

? La funcion f(x) = shx , f : R −→ R , tiene inversa en R (es estrictamente creciente en el), la funcionf−1: R −→ R que llamaremos argumento del sh y denotaremos f−1(y) = argsh y = ln(y +

√y2 + 1).

? La funcion f(x) = chx , tiene inversa en [0,∞) (estrictamente creciente), la funcion f−1: [1,∞) −→ [0,∞)que llamaremos argumento del ch y denotaremos f−1(y) = argch y = ln(−y +

√y2 + 1).

? La funcion th: R −→ (−1, 1), tiene inversa en R (estrictamente creciente), la funcion f−1: (−1,−1) −→ Rque llamaremos argumento de la th y denotaremos f−1(y) = argth y = ln

√y+1y−1 . 4

Nota: La grafica de f−1 es simetrica, respecto de la bisectriz del primer cuadrante, a la grafica de f .En efecto, si (x, y) ∈ graf(f) con y = f(x), entonces, el punto (y, f−1(y)) ∈ graf(f−1) es de la forma(y, f−1(y)) = (y, f−1(f(x))) = (y, x).Puede observarse esto en la figura 3.1 de la pagina 19, para ex y su inversa ln(x) y xα y su inversa x

1α .

3.3 Lımite y continuidad de una funcion en un punto

Definicion 57.- Un punto x0 ∈ R se dice punto de acumulacion de un conjunto A si, y solo si, para cadaε > 0 se tiene que E∗(x0, ε) ∩ A 6= ∅ . Es decir, x0 es un punto de acumulacion de un conjunto A si en cadaentorno de x0 hay otros puntos de A .

De los puntos de A que no son de acumulacion, se dice que son puntos aislados de A .

Nota: Es decir, x0 es punto de acumulacion de A si “cerca” de x0 siempre hay (otros) puntos de A , porpequeno que hagamos el cırculo de cercanıa; en consecuencia, a un punto de acumulacion de un conjuntosiempre podremos acercarnos con puntos del conjunto. Solo ası tiene sentido la definicion del lımite siguiente.

Definicion 58.- Sea f :A −→ R y sea x0 ∈ R un punto de acumulacion de A . Se dice que el lımite de lafuncion f(x) cuando x tiende a x0 es L , y se representa por

lımx→x0

f(x) = L, (tambien con f −→ L, cuando x→ x0)

si, y solo si, para cada ε > 0 existe δ > 0 tal que si x ∈ A y 0 < |x− x0| < δ , entonces |f(x)− L| < ε .



El significado de esta farragosa definicion serıa lo siguiente: “el lımite en x0 de f es L si la imagen de cada xcercano a x0 esta cerca de L”. Puede quedar un poco mas claro expresando esta crecanıa mediante entornos:

La definicion anterior es, evidentemente, equivalente a:

Diremos que el lımite de la funcion f cuando x tiende ax0 es L si, y solo si, para cada entorno de L , E(L, ε),existe un entorno reducido de x0 , E∗(x0, δ) tal que six ∈ A ∩ E∗(x0, δ), entonces f(x) ∈ E(L, ε).

En la figura de la derecha vemos que, en efecto, para los puntoscercanos a x0 (en fondo rojo) sus imagenes (en fondo rojo) estandentro de la cercanıa de L fijada (en fondo verde).

L+ε

L

L−ε

x0x0−δ x0+δ

Ejemplo Para f : [0,+∞) −→ R dada por f(x) =√x , se tiene que lım

x→0f(x) = 0.

Para cada ε > 0, tomamos δ = ε2 > 0, si x ∈ [0,+∞) y 0 < |x− 0| < δ , es decir, si 0 < x < ε2 se verificaque√x <√ε2 = ε , pero esto es lo mismo que

√x = |

√x| = |

√x− 0| < ε . 4

Nota: Para el lımite no importa la funcion en el punto, sino su valoren puntos cercanos (ponemos 0< |x− x0| < δ en la definicion).Ası, f(x) =

{x, x 6=12, x=1 tiene lım

x→1f(x) = 1 aunque f(1) = 2, ya que

si x → 1 y x 6= 1, la funcion toma los valores f(x) = x en esospuntos y entonces lım

x→1f(x) = lım

x→1x = 1.

Y tambien la funcion g(x) = x tiene por lımx→1

g(x) = lımx→1

x = 1.

b2

1

1

f

��

��

r1

1

g

��

��

r

El valor de la funcion en el punto es primordial sin embargo para el concepto de continuidad:

Definicion 59.- Sea f :A −→ R , se dice que f es continua en el punto x0 ∈ A si, y solo si, para cada ε > 0existe δ > 0 tal que si x ∈ A y |x− x0| < δ entonces |f(x)− f(x0)| < ε .

Observacion: Si el punto x0 no esta aislado, la definicion es equivalente a que lımx→x0

f(x) = f(x0).

Ejemplo La funcion de la nota anterior f(x) ={x, x 6=12, x=1 no es continua en 1, pues lım

x→1f(x) = 1 6= f(1);

mientras que la funcion g(x) = x sı lo es pues lımx→1

g(x) = 1 = g(1).

Tambien es continua en 0 la funcion f(x) =√x del ejemplo anterior, pues lım

x→0

√x = 0 =

√0. 4

Ejemplo 60 La funcion f(x) = ex es continua en 0. En efecto, por ser ex estrictamente creciente:si 0 < x < δ , es 1 < ex < eδ , luego 0 < ex − 1 = |ex − 1| < eδ − 1si −δ < x < 0 es e−δ < ex < 1, luego 0 < 1− ex = |ex − 1| < 1− e−δ = eδ−1

eδ< eδ − 1.

Entonces, para cada ε > 0 tomamos δ = ln(1 + ε) y si 0 < |x| < δ , se tiene que|ex − 1| < eδ − 1 = eln(1+ε) − 1 = (1 + ε)− 1 = ε

Luego se cumple que lımx→0

ex = 1 = e0 y ex es continua en 0. 4

3.3.1 Algunos resultados interesantes

Proposicion 61.- Sea f :A −→ R y x0 un punto de acumulacion de A . Entonces

a) lımx→x0

f(x) = L ⇐⇒ lımx→x0

(f(x)− L) = 0 b) lımx→x0

f(x) = 0 ⇐⇒ lımx→x0

|f(x)| = 0

c) Si h = x− x0 , entonces lımx→x0

f(x) = L ⇐⇒ lımh→0

f(x0 + h) = L

Demostracion:Basta observar que la definicion de lımite para el segundo termino de la 1a equivalencia:

para cada ε > 0, existe δ > 0 tal que si 0 < |x− x0| < δ =⇒ |(f(x)− L)− 0| = |f(x)− L| < ε



para el segundo termino de la 2a equivalencia:para cada ε > 0, existe δ > 0 tal que si 0 < |x− x0| < δ =⇒ ||f(x)| − 0| = |f(x)| < ε

y para el segundo termino de la 3a equivalencia:para cada ε > 0, existe δ > 0 tal que si 0 < |h| = |x− x0| < δ =⇒ |f(x0 + h)− L| = |f(x)− L| < ε

coinciden con la definicion de los lımites para los respectivos primeros terminos de la equivalencias.

Los resultados a) y c) anteriores deben considerarse definiciones equivalentes de la definicion de lımite ynos permiten transformar un lımite en un lımite de valor 0 o a un lımite en el punto 0. Con el apartado b)cambiamos la funcion por otra “acotable”, lo que cobra interes tras los resultados siguientes:

Proposicion 62.- Sean f, g, h:A −→ R y x0 un punto de acumulacion de A .

1.- Si f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) en A y lımx→x0

f(x) = L = lımx→x0

h(x), entonces lımx→x0

g(x) = L

2.- Si g esta acotada en A y lımx→x0

f(x) = 0, entonces lımx→x0

g(x) · f(x) = 0 .

Ejemplo El lımx→0

x sen 1x = 0, pues lım

x→0x = 0 y el seno esta acotado ( |sen y| ≤ 1, para cualquier y ∈ R). 4

3.3.1.1 Lımites y continuidad con las operaciones basicas

El calculo de los lımites y, por tanto el estudio de la continuidad, se extiende ampliamente y de manera sencillamediante las operaciones basicas de las funciones:

Propiedades 63.- Si lımx→x0

f(x) = L1 ∈ R y lımx→x0

g(x) = L2 ∈ R , entonces:

a) lımx→x0

[f(x) + g(x)] = lımx→x0

f(x) + lımx→x0

g(x) = L1 + L2 .

b) lımx→x0

[f(x) · g(x)] = lımx→x0

f(x) · lımx→x0

g(x) = L1 · L2 .

c) lımx→x0

f(x)g(x) =

lımx→x0

f(x)

lımx→x0

g(x) = L1L2

, siempre que L2 6= 0. .

Corolario 64.- Sean f y g funciones continuas en un punto x0 ∈ A , entonces:

1.- f + g es continua en el punto x0 .

2.- fg es continua en el punto x0 .

3.- fg es continua en el punto x0 siempre que g(x0) 6= 0.

Ejemplos

? La funcion f(x) = xn es continua en R : lımx→x0

xn = ( lımx→x0

x)n)· · · ( lım

x→x0x) =

(lımx→x0

x)n

= xn0

? En general, si P (X) es un polinomio, lımx→x0

P (x) = P (x0), luego continuo en todo R .

? Y una funcion racional, f(x) = P (x)Q(x) , sera continua en los puntos de su dominio (salvo en aquellos a con

Q(a) = 0, pero esos no pertenecen al dominio) y en todos ellos lımx→x0

P (x)Q(x) = P (x0)

Q(x0) .

? f(x) = ex es continua en R , pues lo es en 0 (Ejemplo 60) y, para los demas puntos, se tienelımx→x0

ex = lımh→0

ex0+h = lımh→0

ex0eh = ex0 lımh→0

eh = ex0e0 = ex04

Teorema 65.- Sean f :A −→ R y g: f(A) −→ R . Si lımx→a

f(x) = b y g es continua en b , entonces

lımx→a

g(f(x)) = g(b) = g(

lımx→a

f(x)). .

Corolario 66.- Si f es continua en a y g continua en f(a), entonces g ◦ f es continua en a .



Ejemplo La funcion f(x) = x − 1 es continua en 1 por ser polinomica; la funcion g(x) = |x| es continuaen 0 = f(1), pues lım

x→0x = 0 =⇒ lım

x→0|x| = 0 = |0| ; y h(x) =

√x es continua en 0 = g(0). Entonces, la

composicion (h ◦ g ◦ f)(x) = h(g(f(x))) =√|x− 1| es continua en 1.

Ademas, lımx→1

√|x− 1| =

√lımx→1|x− 1| =

√∣∣∣ lımx→1

(x− 1)∣∣∣ =

√|0| = 0. 4

Imponiendo condiciones sobre la funcion f , podemos dar una variante del teorema 65 anterior que prescindede la condicion de continuidad de g :

Proposicion 67 (Convergencia propia).- Sean f :A −→ R y g: f(A) −→ R . Si lımx→a

f(x) = b , con f(x) 6= b

para todos los x de un entorno reducido E∗(a, δ0) de a , entonces

lımx→a

(g ◦ f)(x) = lımf(x)→b

g(f(x)) = lımy→b

g(y). .

Ejemplo Sea g(y) ={y, si y 6= 12, si y = 1 , no continua en 1. Para f(x) = ex se cumple la condicion pedida, pues

lımx→0

f(x) = 1 6= ex = f(x) si x 6= 0 (es est. creciente), luego lımx→0

g(f(x)) = lımy→1

g(y) = 1. (En efecto, como

g(f(x)) = g(ex) = ex si ex 6= 1, se tiene lımx→0

g(f(x)) = lımx→0

ex = 1).

Sin embargo, si tomamos la funcion f(x) ={

1, si x 6= 00, si x = 0 , que no verifica la condicion de la proposicion

( lımx→0

f(x) = 1 = f(x) si x 6= 0), se tiene que: lımx→0

g(f(x)) = lımx→0

g(1) = 2 6= lımy→1

g(y) = 1. 4

3.3.1.2 Lımites laterales

Definicion 68.- Sean a < c < b y f : (a, c) ∪ (c, b) −→ R .

? Diremos que L1 es el lımite por la izquierda de f en c , si para cada ε > 0 existe δ > 0 tal quecuando x < c y 0 < |x− c| < δ , se tiene que |f(x)− L1| < ε .

? Diremos que L2 es el lımite por la derecha de f en c , si para cada ε > 0 existe δ > 0 tal que cuandox > c y 0 < |x− c| < δ , se tiene que |f(x)− L2| < ε .

Los representaremos, respectivamente, por

lımx→cx<c

f(x) = lımx→c−

f(x) = L1 y lımx→cx>c

f(x) = lımx→c+

f(x) = L2

Proposicion 69 (Lımites laterales).- Sean a < c < b y f : (a, c) ∪ (c, b) −→ R . Entonces

lımx→c

f(x) = L ⇐⇒ lımx→c−

f(x) = lımx→c+

f(x) = L .

Ejemplo Sea f(x) = |x| ={

x, si x ≥ 0−x, si x < 0 . Entonces

lımx→0−

|x| = lımx→0−

−x = 0 y lımx→0+

|x| = lımx→0+

x = 0 =⇒ lımx→0|x| = 0 4

Nota: Si solo hay funcion en un lado, el lımite coincide con el lımite lateral. Por ejemplo, lımx→0

√x = lım

x→0+

√x ,

pues en los puntos a la izquierda de 0 no esta definida la funcion.

Definicion 70.- Si f no es continua en un punto x0 , pero se cumple que lımx→x−0

f(x) = f(x0) o que lımx→x+

0

f(x) =

f(x0), se dice que f es continua por la izquierda o continua por la derecha en x0 .

Ejemplo Todas son funciones discontinuas en 1, la tercera es continua por la derecha y las dos ultimas soncontinuas por la izquierda.



b1

r bb1

b1

r b1

r1

rLa discontinuidad de la primera funcion suele denominarse evitable (porque basta “rellenar el hueco” para ha-cerla continua), de la quinta se dice de salto infinito y de las tres restantes de salto finito. 4

3.3.2 Lımites con infinito

De manera similar a como se definen los limites para valores reales, podemos definir lımites donde la variable seacerca a +∞ o a −∞ , o que sea la funcion la que pueda tomar valores cercanos a ellos (valores, tan grandes quesuperan cualquier cota K > 0, o tan pequenos que rebasan cualquier cota por abajo −K < 0). Las definicionesson analogas, sin mas que cambiar la aproximaciones a puntos reales por aproximaciones a ∞ :

Definicion 71.- Si f es una funcion real de variable real, se tienen las siguientes definiciones:

lımx→x0

f(x) = +∞ si, para cada K > 0, existe δ > 0 tal que si 0 < |x− x0| < δ =⇒ f(x) > K

lımx→−∞

f(x) = L si, para cada ε > 0, existe M > 0 tal que si x < −M =⇒ |f(x)− L| < ε

lımx→+∞

f(x) = −∞ si, para cada K > 0, existe M > 0 tal que si x > M =⇒ f(x) < −K

Analogamente: lımx→x0

f(x) = −∞ , lımx→+∞

f(x) = L , lımx→+∞

f(x) = +∞ , lımx→−∞

f(x) = +∞ y lımx→−∞

f(x) = −∞ .

Ejemplo Para a > 0, lımx→+∞

ax = +∞ y lımx→0−

1x = −∞ . En efecto:

? para cada K > 0 tomamos M = Ka > 0 y si x > M , entonces f(x) = ax > aM = aKa = K

? para cada K > 0 tomamos δ = 1K > 0 y si −δ < x < 0, entonces f(x) = 1

x <1−δ = −K 4

Las operaciones del resultado Propiedades 63 son validas tambien cuando tenemos lımites en el infinito o convalor infinito, aunque aparecen situaciones cuyo resultado no puede determinarse usando las reglas generales.Si lım

x→x0f(x) = a y lım

x→x0g(x) = b , donde tanto x0 como a y b pueden ser ±∞ , el valor del lımite para las

funciones f + g , f · g , fg y fg , se obtiene de las siguientes tablas:

f + g b = −∞ b ∈ R b = +∞a = −∞ −∞ −∞a ∈ R −∞ a+ b +∞

a = +∞ +∞ +∞

fg

b = −∞ b < 0 b = 0− b = 0 b = 0+ b > 0 b = +∞a = −∞ +∞ +∞ |∞| −∞ −∞a < 0 0 a

b+∞ |∞| −∞ a

b0

a = 0 0 0 0 0

a > 0 0 ab

−∞ |∞| +∞ ab

0

a = +∞ −∞ −∞ |∞| +∞ +∞

f · g b = −∞ b < 0 b = 0 b > 0 b = +∞a = −∞ +∞ +∞ −∞ −∞a < 0 +∞ ab 0 ab −∞a = 0 0 0 0

a > 0 −∞ ab 0 ab +∞a = +∞ −∞ −∞ +∞ +∞

fg b = −∞ b < 0 b = 0 b > 0 b = +∞a = 0 +∞ +∞ 0 0

0 < a < 1 +∞ ab 1 ab 0

a = 1 1 1 1

a > 1 0 ab 1 ab +∞a = +∞ 0 0 +∞ +∞

|∞| En estos casos, no se garantiza la existencia del lımite, pero sı que se tiene∣∣∣ fg ∣∣∣ −→ +∞ .

Hay siete indeterminaciones clasicas, indicadas con (que en el fondo se reducen a dos (i) e (ii)):

(i) ∞−∞ (ii) 0 · ∞ (iii) ∞∞ (iv) 0

0 (v) 1∞ (vi) 00 (vii) ∞0

Nota: Teniendo en cuenta que ab = eb ln a , las indeterminaciones (v), (vi) y (vii) se reducen a 0 · ∞ .



Ejemplo 72 lımx→+∞

x2+2x+13x−2x2 = (+∞

−∞ ) = −12 .

lımx→+∞

x2 + 2x+ 13x− 2x2

= lımx→+∞

x2+2x+1x2

3x−2x2

x2

= lımx→+∞

1 + 2x + 1

x2

3x − 2

=1 + 0 + 0

0− 2=−12 4

Ejemplo 73 lımx→0

x3−3x+2x2

3x3−2x = ( 00 ) = 3

2 .

lımx→0

x3 − 3x+ 2x2

3x3 − 2x= lımx→0

x(x2 − 3 + 2x)x(3x2 − 2)

= lımx→0

x2 − 3 + 2x3x2 − 2

=0− 3 + 0

0− 2=−3−2

=32 4


2xx+√x2+2x

= (+∞+∞ ) = 1.

lımx→+∞

2xx+√x2+2x

= lımx→+∞

2xx

xx +

√x2+2xx

= lımx→+∞

2

1 +√x2+2x√x2

= lımx→+∞

2

1 +√

1+ 2x

= 2√1+0+1

= 1

teniendo en cuenta que cuando x→ +∞ , sera x > 0 y por tanto x = |x| =√x2 . 4


√x2 + 2x− x = (∞−∞) = 1.

lımx→+∞

√x2 + 2x− x= lım

x→+∞

(√x2 + 2x− x)(

√x2 + 2x+ x)√

x2 + 2x+ x= lımx→+∞

(√x2 + 2x)2 − x2

√x2 + 2x+ x

= lımx→+∞

x2 + 2x− x2

√x2 + 2x+ x

= lımx→+∞

2x√x2 + 2x+ x

= 1 4


(1 + 1x )x = e

Por definicion, e = lımn→+∞

(1 + 1n )n y para cada x > 0, existe n ∈ N con n < x ≤ n + 1, luego con

1n+1 ≤

1x <

1n de donde 1 + 1

n+1 ≤ 1 + 1x < 1 + 1

n . De esta desigualdad y de n < x ≤ n+ 1, tenemos que:

(1 +

1n+ 1

)n≤(

1 +1x

)x<(

1 +1n

)n+1

=⇒(1 + 1

n+1 )n+1

1 + 1n+1

≤(

1 +1x

)x<(

1 +1n

)(1 +

1n

)n=⇒ n+ 1

n+ 2

(1 +

1n+ 1

)n+1

≤(

1 +1x

)x<n+ 1n

(1 +

1n

)nsi x→ +∞ , entonces n y n+1→ +∞ , por lo que se cumple que e ≤ lım

x→+∞(1 + 1

x )x ≤ e . 4

Nota: La Proposicion 67 de convergencia propia cobra nuevo interes con los lımites con infinitos (para los quetambien es valida), pues la condicion de continuidad no es aplicable en muchos de estos casos. Ademas, lacondicion de convergencia propia, que cuando f(x)→∞ sea f(x) 6=∞ se cumple de manera obvia.

Ejemplo Consideremos y = −x en (1), y z = h(y) = y − 1 en (2) entonces

lımx→−∞

(1 + 1x )x

(1)= lım

y→+∞(1− 1

y )−y = lımy→+∞

(y−1y )−y = lım

y→+∞( yy−1 )y = lım

y→+∞(1 + 1

y−1 )y

= lımy→+∞

(1 + 1y−1 )(1 + 1

y−1 )y−1 (2)= lım

y→+∞(1 + 1

y−1 ) lımz→+∞

(1 + 1z )z = 1 · e = e 4

Continuidad de algunas funciones elementales 77.- (Ver sus graficas en la figura 3.1 de la pagina 19.)? f(x) = ex es continua en R y lım

x→−∞ex = 0 y lım

x→+∞ex = +∞ .

? f(x) = lnx es continua en (0,+∞) y lımx→0+

lnx = −∞ y lımx→+∞

lnx = +∞ .

? f(x) = xα continua en (0,∞) y lımx→0+

xα=0 y lımx→+∞

xα=∞ si α>0 (resp. ∞ y 0 si α<0).

? f(x) = shx es continua en R y lımx→−∞

shx = −∞ y lımx→+∞

shx = +∞ .

? f(x) = chx es continua en R y lımx→−∞

chx =∞ y lımx→+∞

chx = +∞ .

? f(x) = thx es continua en R y lımx→−∞

thx = −1 y lımx→+∞

thx = 1.



? f(x) = senx y f(x) = cosx son de periodicas de periodo 2π , continuas en R y 6 ∃ lımx→±∞

f(x).

? f(x) = tg x es de periodo π , continua en su dominio y lımx→−π2

+tg x = −∞ y lım

x→π2−

tg x =∞ . .

3.3.3 Infinitesimos e infinitos equivalentes

Definicion 78.- Se dice que una funcion f es un infinitesimo en x0 si lımx→x0

f(x) = 0.

Una funcion f(x) se dice que es un infinito en x0 si lımx→x0

f(x) = +∞ (o −∞).

Definicion 79.- Dos infinitesimos en x0 , f y g , se dicen equivalentes en x0 si lımx→x0

f(x)g(x) = 1.

Dos infinitos en x0 , f y g , se dicen equivalentes en x0 si lımx→x0

f(x)g(x) = 1.

Proposicion 80.- Si g(x) y h(x) son infinitesimos (o infinitos) equivalentes en x0 , entonces

lımx→x0

g(x)f(x) = lımx→x0

h(x)f(x) y lımx→x0

f(x)g(x)

= lımx→x0

f(x)h(x)

,

siempre que los segundos lımites existan.

Demostracion:Si existe lım

x→x0f(x)h(x) y lım

x→x0

g(x)h(x) = 1, entonces:

lımx→x0

h(x)f(x) = lımx→x0

g(x)h(x) · lım

x→x0h(x)f(x) = lım

x→x0

g(x)h(x)f(x)h(x) = lım

x→x0g(x)f(x)

Analogamente para el otro caso.

Algunos infinitos e infinitesimos conocidos 81.- Usaremos la notacion f ∼ g para indicar que f y g soninfinitos o infinitesimos equivalentes:anx

n + · · ·+ a1x+ a0 ∼ anxn cuando x→ ±∞ anx

n + · · ·+ a1x ∼ a1x cuando x→ 0sen(x) ∼ x cuando x→ 0 tg(x) ∼ x cuando x→ 0sen 1

x ∼1x cuando x→ ±∞ 1− cos(x) ∼ x2

2 cuando x→ 0ln(1 + x) ∼ x cuando x→ 0 ex − 1 ∼ x cuando x→ 0

sh(x) ∼ x cuando x→ 0 ch(x)− 1 ∼ x2

2 cuando x→ 0 .

Ejemplos lımx→1

ln(x)x−1 = 1. En efecto, lım

x→1

ln(x)x−1 = lım

x−1→0

ln(x)x−1 = lım

t→0

ln(1+t)t = lım

t→0

tt = 1

lımx→0

x sen( x2 )

ex2−1={x→ 0⇒ x

2 → 0sen(x2 ) ∼ x

2

}= lımx→0

x x2ex2−1

={x→ 0⇒ x2 → 0ex

2 − 1 ∼ x2

}= lımx→0

x x2x2 = 1

2

lımx→+∞

2x sen( 1x ) =

{x→ +∞⇒ 1

x → 0sen( 1

x ) ∼ 1x

}= lımx→+∞

2x 1x = 2 4

Nota: La hipotesis de la Proposicion, en el sentido de que los infinitesimos (o infinitos) sean factores o divisoresde la funcion, deben tenerse muy presentes pues solo ası garantizaremos el resultado. El ejemplo siguientemuestra como al sustituir un sumando por otro se falsea el resultado.

Sabemos que senx y x son infinitesimos equivalentes en x = 0, pero senx no puede ser sustituido por xen el lımite: lım

x→0

sen x−xx3 , pues si lo hacemos obtendrıamos como lımite 0 cuando su valor correcto es −1

6 .Los infinitesimos o infinitos equivalentes son funciones que tienen un comportamiento “similar” en el lımite,

pero no igual. Por ello, si los usamos en sumas o restas podemos eliminar esa diferencia (como ocurre en ellımite anterior) y dejar sin sentido el lımite.

Al sustituir senx por x en la resta de arriba estamos asumiendo que son iguales, pues sutituimos senx−xpor 0, lo que no es cierto (es senx− x 6= 0 si x 6= 0); de hecho, el seno es mas parecido a senx ≈ x− x3

6 conlo que la deferencia es mas parecida a senx− x ≈ −x

3

6 que a 0.



3.3.4 Asıntotas de una funcion

Una buena ayuda para la representacion de la grafica de las funciones son las asıntotas. La grafica de f esuna representacion en el plano R2 formada por los puntos (x, y) con la condicion y = f(x) luego de la forma(x, f(x)); por consiguiente, la grafica puede tener puntos que se alejan hacia el infinito. Basta tener en cuentaque si el dominio es R , cuando x→ +∞ los puntos de la grafica se alejan hacia

(+∞, lım

x→+∞f(x)

).

Estos alejamientos de la grafica se llaman ramas infinitas de la funcion, y puede ocurrir que la funcion se“parezca” a una recta en estas ramas infinitas. Las rectas cumpliendo que la distancia de los puntos de unarama infinita a esa recta tienda hacia 0 a medida que se alejan, se denominan asıntotas de la funcion.

Dado que en R2 , los puntos se alejan en la forma (x,∞), (∞, y) o (∞,∞) (aquı, ∞ puede ser tanto +∞como −∞), buscaremos tres tipos de asıntotas: verticales, horizontales e inclinadas.

Asıntotas verticales

Si lımx→x−0

f(x) = ±∞ tenemos una rama infinita a la izquierda del punto x0 y la recta x = x0 es una asıntota

vertical de esa rama (el signo del lımite +∞ o −∞ , nos indicara el comportamiento de la rama infinita).Si lım

x→x+0

f(x) = ±∞ hay rama infinita a la derecha de x0 y la recta x = x0 es asıntota vertical de esa rama.

Asıntotas horizontales e inclinadas Aunque la busqueda de asıntotas horizontales e inclinadas puedenverse como procesos distintos, en ambos casos la variable x se aleja hacia el infinito (x, f(x))→

(∞, lım

x→∞f(x)

)y tambien, la recta es de la forma y = mx+ n (con m = 0 para las horizontales).

Si buscamos una recta y = mx + n cumpliendo que f(x) − (mx + n) −→ 0 cuando x → +∞ , tambien secumplira que f(x)−mx−n

x −→ 0, de donde f(x)x −m−

nx −→ 0 luego se tendra que m = lım

x→+∞f(x)x . Y conocido

m , se tendra f(x)− (mx+ n) −→ 0 ⇐⇒ f(x)−mx −→ n , de donde n = lımx→+∞

f(x)−mx .

En consecuencia, existira asıntota cuando x→ +∞ (o en +∞), si existen y son reales los valores de loslımites m = lım

x→+∞f(x)x y n = lım

x→+∞f(x)−mx , siendo y = mx+n es la asıntota buscada. (Analogo en −∞).

Ejemplo La funcion f(x) = (x−1)(x+2)|x|√(x2−1)(x−3)2

, tiene por dominio, Dom(f) = (−∞,−1) ∪ (1, 3) ∪ (3,+∞).

Como el numerador, es continuo en R , las asıntotas verticales (si existen) estaran en los puntos donde se anuleel denominador, es decir, −1, 1 y 3.

lımx→−1−

f(x) = lımx→−1−

(x− 1)(x+ 2) |x|√(x2 − 1)(x− 3)2

=(

(−2) · 1 · |−1|0+

)= −∞

lımx→1+

f(x) = lımx→1+

(x− 1)(x+ 2) |x|√(x2 − 1)(x− 3)2

= lımx→1+

(x+ 2) |x|√(x− 3)2

· lımx→1+

x− 1√x2 − 1

=32· lımx→1+

x− 1√x2 − 1

= 0

lımx→3−

f(x) = lımx→3−

(x− 1)(x+ 2) |x|√(x2 − 1)(x− 3)2

=(

300+

)= +∞ lım

x→3+f(x) =

( 300+

)= +∞

Luego las asıntotas verticales son x = −1 (cuando x → −1− , f(x) → −∞) y x = 3 (cuando x → 3− ,f(x)→ +∞ y cuando x→ 3+ , f(x)→ +∞).

Estudiamos las asıntotas en +∞ ,

m= lımx→+∞

f(x)x

= lımx→+∞

(x− 1)(x+ 2)√(x2 − 1)(x− 3)2

lımx→+∞

|x|x

= 1 · 1 = 1

n= lımx→+∞

f(x)− x = lımx→+∞

(x− 1)(x+ 2)x− x√

(x2 − 1)(x− 3)2√(x2 − 1)(x− 3)2

= lımx→+∞

x(x−1)(8x2−3x−13)√(x2−1)(x−3)2

((x−1)(x+2) +

√(x2−1)(x−3)2

) = 4

luego y = x+4 es asıntota de f cuando x→ +∞ . Analogamente,se obtiene que y = −x− 4 es asıntota cuando x→ −∞ . 4

x = 3

x=−1y=−x−4

y=x+4��

@@@

@@


28 – Matematicas 1 : Preliminares 3.4 Teoremas del lımite y de continuidad

3.4 Teoremas del lımite y de continuidad

Teorema 82 (de acotacion y del signo para lımites).- Sean f :A ⊆ R −→ R y x0 un punto de acumu-lacion de A . Si lım

x→x0f(x) = L ∈ R , existe un entorno E(x0, δ) tal que f esta acotada en E∗(x0, δ) ∩A .

Ademas, si L 6= 0, el valor de f(x) tiene el mismo signo que L .

Demostracion:Sea ε > 0 fijo, entonces existe E∗(x0, δ) tal que |f(x) − L| < ε , luego L − ε < f(x) < L + ε , para todox ∈ E∗(x0, δ). En consecuencia, f esta acotada en dicho entorno reducido.Para la segunda parte, basta tomar ε tal que 0<L−ε<f(x) si L>0, o tal que f(x)<L+ε<0, si L<0.

Corolario 83.- Si f :A −→ R es continua en x0 , entonces f esta acotada en algun entorno de x0 .Ademas, si f(x0) 6= 0, el valor de f(x) tiene el mismo signo que f(x0).

3.4.1 Teoremas de continuidad en intervalos cerrados

Teorema de Bolzano 84.- Sea f una funcion continua en el intervalo [a, b] y que toma valores de signo opuestoen a y b (es decir, f(a)f(b) < 0) entonces ∃c ∈ (a, b) tal que f(c) = 0. .

Teorema de los valores intermedios 85.- Si f : [a, b] −→ R es continua en [a, b] y f(a) 6= f(b), entonces paracada k entre f(a) y f(b), existe c ∈ (a, b) tal que f(c) = k .

Demostracion:Supongamos f(a)<f(b), y sea f(a)<k<f(b). La funcion g: [a, b] −→ R dada por g(x)=f(x)−k es continuaen [a, b] y verifica que g(a) = f(a)−k < 0 y g(b) = f(b)−k > 0, luego por el Teorema de Bolzano (84) existec ∈ (a, b) tal que g(c) = f(c)− k = 0, es decir, con f(c) = k . Analogamente si f(b) < f(a).

Corolario 86.- Sea I un intervalo de R y f : I −→ R continua en I , entonces f(I) es un intervalo de R . .

Teorema de acotacion 87.- Sea f una funcion continua en el intervalo cerrado [a, b] , entonces f esta acotadaen dicho intervalo. Es decir, existe M > 0 tal que |f(x)| ≤M , para todo x ∈ [a, b] . .

Teorema de Weierstrass 88.- Si f es una funcion continua en el intervalo [a, b] , entonces f alcanza unmaximo y un mınimo en [a, b] . Es decir, ∃α, β ∈ [a, b] tal que f(α) ≤ f(x) ≤ f(β), ∀x ∈ [a, b] . .

Corolario 89.- Si f es continua en (a, b) y lımx→a+

f(x) = l1 ∈ R y lımx→b−

f(x) = l2 ∈ R , la funcion f esta

acotada en (a, b). (Tambien es cierto cuando a es −∞ y cuando b es +∞ .) .

3.5 Ejercicios

3.26 Usar las Propiedades del orden 40 y las de las operaciones descritas en el apartado 3.1.4, para probar que:

a) si 0 < x < y , entonces 0 < x2 < y2 b) si y < x < 0, entonces 0 < x2 < y2

c) si 0 < x < y , entonces 0 < |x| < |y| d) si y < x < 0, entonces 0 < |x| < |y|e) si 0 < x < 1, entonces 0 < x2 < x f) si 1 < x , entonces 1 < x < x2

g) si y < x < 0, entonces 1x <

1y < 0 h) si y < x < 0, entonces 0 < 1

|y| <1|x|

i) si 0 < x < y , entonces 0 <√x <√y j) si 0 < x < y , entonces −√y < −

√x < 0


29 – Matematicas 1 : Preliminares 3.5 Ejercicios

3.27 Hallar el dominio de las funciones reales de variable real dadas por:

(i) f1(x) =√x2 − 2x (ii) f2(x) = −

√|x| − x (iii) f3(x) =

√x−1x+1

(iv) f4(x) = ln |x| (v) f5(x) = ln√x (vi) f6(x) = ln(2− x2)

(vii) f1(x) + f2(x) (viii) f3(x)− f1(x) (ix) 1f2(x) + 1

f3(x)

(x) f7(x) =√x−1√x+1

(xi) f8(x) = ln(f6(x)) (xii) f9(x) =√

x−1√x+1

(xiii) f3(x) · f3(x) (xiv) f9(x) · f7(x) (xv) f6(x)f1(x) + f1(x)

f6(x)

(xvi) f4(x)+f5(x)f8(x) (xvii) (f5 ◦ f8)(x) (xviii) (f1 ◦ f4 ◦ f2)(x)

a) Expresar la funciones f2 y f4 como funciones definidas a trozos.

b) ¿Por que los dominios de f3 y de f7 son distintos?

c) ¿Cual sera el dominio de la funcion f2 ◦ f2 ? Obtener su expresion.

3.28 Sean f y g dos funciones reales de variable real monotonas. Probar que:

a) Si f es (estrictamente) creciente, las funciones f(−x) y −f(x) son (estric.) decrecientes.

b) Si f es (estrictamente) decreciente, las funciones f(−x) y −f(x) son (estric.) crecientes.

c) Si f es (estric.) creciente y positiva, la funcion 1f(x) es (estric.) decreciente.

d) Si f es (estric.) decreciente y positiva, la funcion 1f(x) es (estric.) creciente. ¿Que ocurrira en este

caso y en el anterior si la funcion f es negativa?

e) Si f y g son crecientes (decrecientes), f + g es creciente (decreciente).

f) Buscar una funcion f creciente y una g decreciente tales que f + g sea creciente; y otras para quef + g sea decreciente.

g) Si g es creciente y f es creciente (decreciente), g ◦ f es creciente (decreciente).

h) Si g es decreciente y f es creciente (decreciente), g ◦ f es decreciente (creciente). ¿Que ocurrira sila monotonıa de g es estricta? ¿Y si lo es la de f ? ¿Y si lo son ambas?

3.29 Usar los resultados del ejercicio anterior, para probar lo siguente:

a) Probar que f(x) = 1x2+1 es creciente en (−∞, 0) y decreciente en (0,+∞).

b) Sabiendo que ex es esctirtamente creciente en R y que x = eln x , probar que sh(x) y ln(x) soncrecientes.

c) Probar que f(x) = x2−1x2+1 es creciente en (0,+∞) y usarlo para probar que th(x) es creciente en R .

3.30 Sea f : R −→ R , se dice que f es par si f(−x) = f(x), y que es impar si f(−x) = −f(x).

a) Comprobar si senx , cosx , tg x , shx , chx , thx y xn , para n = 0,±1,±2, . . . , son pares o impares.

b) Si f es par y creciente en (0,+∞), ¿sera tambien creciente en (−∞, 0)?

c) Si f es impar y creciente en (0,+∞), ¿sera tambien creciente en (−∞, 0)?

d) ¿Que caracterıstica especial cumplen las graficas de las funciones pares? ¿Y las de las funcionesimpares? Justificar la respuesta

3.31 Para las funciones que aparecen en el Ejemplo 56 anterior, dibujar su grafica y la de su inversa en losdominios indicados.

Si una funcion f :A −→ B es creciente (decreciente) en A , ¿dirıas que su inversa f−1:B −→ A tambienes creciente (decreciente) en B ?

Probarlo en el caso de creer que es cierto, o en el caso de creer que es falso, justificarlo con un ejemplo.

3.32 Sean las funciones f , g y h , funciones reales definidas por:

f(x) ={

1, si x ≤ 0−1, si x > 0 ; g(x) =

2x2 − 1

2 , si x ∈ (−∞,−1]1− x

2 , si x ∈ (−1, 0)3

1−x2 , si x ∈ [0,∞); h(x) =

{ −x3−12−x2 , si |x+ 1| ≤ 1x2+22x+4 , si |x+ 1| > 1



a) Describir la casuıstica de f y h mediante la pertenencia de x a intervalos (como la funcion g )

b) Describir la casuıstica de g y h mediante desigualdades de x (como la funcion f )

c) Obtener su dominio y el de las funciones |f | , |g| , f+g y f ·h .

d) Hallar las expresiones de |f | , |g| , f+g y f ·h , como funciones definidas a trozos.

e) Encontrar el dominio y la expresion de las funciones compuestas f(x2) y g(2− x).

f) Encontrar el dominio y la expresion de las funciones g ◦ f y f ◦ g .

3.33 Calcular los siguientes lımites:

a) lımx→−∞

7x3+4x3x−x2−2x3 b) lım

x→∞7x3+4x

3x−x2−2x3 c) lımx→0

7x3+4x3x−x2−2x3

d) lımx→−2

x2−4x2(2+x) e) lım

x→∞

√1+4x2

4+x f) lımx→∞

sen2 xx2

g) lımx→∞

√x2 + 3x− 1− x h) lım

x→0(2− x2)2x i) lım

x→+∞(x2 + 2)

2xx−10

j) lımx→−1

2+

√1−4x2

2x+1 k) lımx→0−

√|x|−x√x2−2x

l) lımx→1+

(1√x2−x −

√x+1x−1

)

3.34 Usar lımites laterales para verificar la existencia o no de los siguientes lımites:

a) lımx→1

√(1−x)2

x−1 b) lımx→0

x|x| c) lım

x→0

(1x −

1|x|

)d) lım

x→0

(|x|x − 1

)x

3.35 Probar, razonadamente, que los siguientes lımites valen 0:

a) lımx→1

(√x− 1) ex

2+2 b) lımx→0

x2 sen 1x c) lım

x→a(x−a)2

|x−a|

3.36 Usar la continuidad de las funciones, para hallar:

a) lımx→0

ln√

3 + (1−x)2

x2+1 b) lımx→0

tg(ln(cos(e−1x ))) c) lım

x→π

√1 + cos2(π th( 1

|x−π| ))

3.37 Encontrar infinitesimos e infinitos equivalentes a:

a) sen2√

1− x2, cuando x→ −1+ b)√

1 + x2 + 2x4, cuando x→∞c) 1− cos((2− x2)2), cuando x→

√2 d) ln(1− 1

x ), cuando x→ −∞e)

√1−x

3x3+12x2 , cuando x→ 0 f) cos(x), cuando x→ π2

g) ln(x2), cuando x→ 1 h) 1− e2x5, cuando x→ 0

i) sen(x), cuando x→ 2π j) tg(−x6), cuando x→ 0

3.38 Calcular, si existe, el valor de:

a) lımx→0

ln(cos x)x2 b) lım

x→0

sen2 x+ex−1th(2x) c) lım

x→∞x3 sen( 1

x3+x ) d) lımx→0

7x tg(x3−x5)(cos(2x)−1)2

3.39 a) Si f y g son ifinitesimos cuando x → a y lımx→a

f(x)g(x) = L 6= 0, probar que f(x) y L · g(x) son

infinitesimos equivalentes cuando x→ a .

b) Si β es una raız de multiplicidad m del polinomio P (x) = anxn + · · ·+ a1x+ a0 , probar que P (x)

y k(x− β)m son infinitesimos equivalentes cuando x→ β , para algun valor k 6= 0.

3.40 Usar el resultado lımx→a

f(x) = lımh→0

f(a+ h) para calcular

a) lımx→1

ln(x2)x−1 b) lım

x→−2

x3+23

x+2 c) lımx→π−

3 sen(π+x)√1−cos(x−π)

d) lımx→π

2

cos x2x−π

3.41 Usar el logaritmo neperiano, para probar que lımx→+∞

(1 + 1x )x = e y que lım

x→−∞(1 + 1

x )x = e .



3.42 Calcular, si existe, el valor de:

a) lımx→∞

(1− 1

x

)xb) lım

x→∞

(3−x1−x

)2−xc) lım

x→1

(2

x+1

) 3−x1−x

d) lımx→π

2

(1 + cosx)3

cos x

3.43 Considerar las funciones reales de variable real dadas por f(x) =√x2−3x+1 y g(x) = x−1√

3−x2 .

Estudiar la continuidad de f y g en sus dominios de definicion (indıquese tambien la continuidad lateral,si ha lugar).

3.44 Estudiar la continuidad de las siguientes funciones en su dominio:

a) f(x) ={

sen xx , si x 6= 0

1, si x = 0 b) f(x) =

{x2−4

x2(2+x) , si x 6= −20, si x = −2

c) f(x) =

{ √x2+x−

√2

x−1 , si x 6= 13√

24 , si x = 1

d) f(x) ={

x, si |x| > 1x3, si |x| ≤ 1

3.45 ¿Para que valores de las constantes a y b , f(x) =

ax+ 1, si x < 3a+ b, si x = 3

bx2 − 2, si x > 3es continua en R?

3.46 Sean las funciones f, g, h: R −→ R , definidas a trozos mediante:

f(x) ={

1, si x ≤ 0−1, si x > 0 ; g(x) =

2x2 − 1

2 , si x ≤ −11− x

2 , si − 1 < x < 03

1+x2 , si x ≥ 0; h(x) =

{ −x3−12+x2 , si |x+ 1| ≤ 1x2+22x+4 , si |x+ 1| > 1

a) Estudiar la continuidad de cada una de ellas (indıquese tambien la continuidad lateral).

b) Hallar las expresiones de |f | , |g| , f+g y f ·h , como funciones definidas a trozos.

c) Estudiar la continuidad de las funciones anteriores. ¿Que ocurre en los casos donde no puede aplicarsela regla general?

d) Realizar lo pedido en los apartados b) y c) para la funcion g ◦ f .

3.47 Estudiar la continuidad de las siguientes funciones segun los valores del parametro a :

a) fa(x) =

{a− x, si x ≤ a

x(a2−x2)a2+x2 , si x > a

b) fa(x) =

x2aa2+x2 , si x < a

x2 , si x = a

a2xa2+x2 , si x > a

3.48 Probar que las graficas de las funciones f(x) = ex y g(x) = 3x , se cortan al menos en dos puntos delintervalo [0, 2].

3.49 Estudiar si las funciones del ejercicio 3.44 estan acotadas superior e inferiormente.


15 – Matem´ticas 1 : Preliminares

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