UU No 28 tahun 2014 tentang Hak Cipta Fungsi dan sifat hak cipta Pasal 4 Hak Cipta sebagaimana dimaksud dalam Pasal 3 huruf a merupakan hak eksklusif yang terdiri atas hak moral dan hak ekonomi. Pembatasan Pelindungan Pasal 26 Ketentuan sebagaimana dimaksud dalam Pasal 23, Pasal 24, dan Pasal 25 tidak berlaku terhadap: i. penggunaan kutipan singkat Ciptaan dan/atau produk Hak Terkait untuk pelaporan

peristiwa aktual yang ditujukan hanya untuk keperluan penyediaan informasi aktual; ii. Penggandaan Ciptaan dan/atau produk Hak Terkait hanya untuk kepentingan penelitian

ilmu pengetahuan; iii. Penggandaan Ciptaan dan/atau produk Hak Terkait hanya untuk keperluan pengajaran,

kecuali pertunjukan dan Fonogram yang telah dilakukan Pengumuman sebagai bahan ajar; dan

iv. penggunaan untuk kepentingan pendidikan dan pengembangan ilmu pengetahuan yang memungkinkan suatu Ciptaan dan/atau produk Hak Terkait dapat digunakan tanpa izin Pelaku Pertunjukan, Produser Fonogram, atau Lembaga Penyiaran.

Sanksi Pelanggaran Pasal 113 1. Setiap Orang yang dengan tanpa hak melakukan pelanggaran hak ekonomi sebagaimana

dimaksud dalam Pasal 9 ayat (1) huruf i untuk Penggunaan Secara Komersial dipidana dengan pidana penjara paling lama 1 (satu) tahun dan/atau pidana denda paling banyak Rp100.000.000 (seratus juta rupiah).

2. Setiap Orang yang dengan tanpa hak dan/atau tanpa izin Pencipta atau pemegang Hak Cipta melakukan pelanggaran hak ekonomi Pencipta sebagaimana dimaksud dalam Pasal 9 ayat (1) huruf c, huruf d, huruf f, dan/atau huruf h untuk Penggunaan Secara Komersial dipidana dengan pidana penjara paling lama 3 (tiga) tahun dan/atau pidana denda paling banyak Rp500.000.000,00 (lima ratus juta rupiah).

PENGANTAR PELUANG DAN DISTRIBUSI

Jaka Nugraha

Desain Cover : Herlambang Rahmadhani

Sumber :

https://www.shutterstock.com

Tata Letak : Titis Yuliyanti

Proofreader :

Avinda Yuda Wati

Ukuran : xii, 166 hlm, Uk: 15.5x23 cm

ISBN :

No ISBN

Cetakan Pertama : Bulan 2020

Hak Cipta 2020, Pada Penulis

Isi diluar tanggung jawab percetakan

Copyright © 2020 by Deepublish Publisher All Right Reserved

Hak cipta dilindungi undang-undang

Dilarang keras menerjemahkan, memfotokopi, atau memperbanyak sebagian atau seluruh isi buku ini

tanpa izin tertulis dari Penerbit.

PENERBIT DEEPUBLISH (Grup Penerbitan CV BUDI UTAMA)

Anggota IKAPI (076/DIY/2012)

Jl.Rajawali, G. Elang 6, No 3, Drono, Sardonoharjo, Ngaglik, Sleman Jl.Kaliurang Km.9,3 – Yogyakarta 55581

Telp/Faks: (0274) 4533427 Website: www.deepublish.co.id www.penerbitdeepublish.com E-mail: cs@deepublish.co.id

v

KATA PENGANTAR

Alhamdulillah, penyusunan buku dengan judul Pengantar Peluang

dan Distribusi telah selesai disusun. Pemahaman tentang konsep

probabilitas atau peluang merupakan materi dasar yang wajib dipelajari,

karena konsep probabilitas menjadi dasar dalam merumuskan metode-

metode statistika. Oleh karena itu buku ini ditulis untuk membantu

pembaca dalam memahami konsep probabilitas/peluang dan distribusi.

Buku disusun dalam lima bab dan harus dipelajari secara berurutan

dari bab satu sampai dengan bab lima. Pada setiap bab telah disertai soal

latihan yang dapat digunakan untuk menguji penguasaan materi yang

dibahas pada bab yang bersesuaian. Bab I berisi pembahasan tentang

himpunan dan ruang sampel yang tujuannya adalah pembaca dapat

mendefinisikan kejadian, memahami konsep ruang sampel dan dapat

mencacah anggota ruang sampel. Bab II dibahas materi pembelajaran

tentang peluang kejadian. Tujuan pembelajaran bab II adalah pembaca

memahami dan dapat menghitung peluang suatu kejadian, memahami

sifat-sifat peluang, memahami peluang bersyarat, memahami kaidah

Bayes, memahami konsep dasar probabilitas.

Selanjutnya pada bab III dibahas materi tentang variabel random

dan fungsi distribusi. Tujuan pembelajaran bab III adalah pembaca dapat

mendefinisikan variabel random (diskret dan kontinu), dapat

mendefinisikan distribusi probabilitas, dapat mendefinisikan distribusi

gabungan dan distribusi marginal. Pembahasan tentang distribusi

dilanjutkan pada bab 4 yang berisi fungsi distribusi khusus. Tujuan bab IV

adalah pembaca mengenal dan mengidentifikasi serta menghitung peluang

kejadian pada beberapa distribusi khusus.

Pada bab V berisi pembahasan tentang nilai harapan, transformasi

dan fungsi variabel random, dan fungsi pembangkit momen. Tujuannya

adalah pembaca memahami dan dapat menghitung nilai harapan,

vi

memahami konsep transformasi variabel random dan distribusinya,

memahami konsep dasar fungsi pembangkit momen.

Masih banyak kekurangan dalam penulisan buku ini, sehingga saran

dan kritik sangat penulis harapkan.

Yogyakarta, 24 Februari 2020

Penulis

Jaka Nugraha

vii

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR ............................................................................ v

DAFTAR ISI ........................................................................................ vii

DAFTAR TABEL .................................................................................. x

DAFTAR GAMBAR ............................................................................. xi

1. HIMPUNAN DAN RUANG SAMPEL .......................................... 1

1.1. Himpunan ................................................................................. 1

1.2. Ruang Sampel ........................................................................... 7

1.3. Mencacah Titik Sampel ........................................................... 11

1.3.1. Kaidah Penggandaan .................................................. 11

1.3.2. Permutasi.................................................................... 12

1.3.3. Kombinasi .................................................................. 13

1.4. Mencacah Titik Sampel Menggunakan Excel .......................... 17

2. PELUANG KEJADIAN ............................................................... 19

2.1. Definisi Peluang...................................................................... 19

2.2. Peluang Bersyarat ................................................................... 27

2.3. Kaidah Bayes .......................................................................... 37

3. VARIABEL RANDOM, PELUANG DAN FUNGSI

DISTRIBUSI ................................................................................ 43

3.1. Definisi Variabel Random ....................................................... 43

3.2. Fungsi Peluang dan Fungsi Distribusi ...................................... 44

3.3. Fungsi Kepadatan (Densitas) Peluang...................................... 52

3.4. Distribusi Bersama dan Kebebasan pada Variabel

Random .................................................................................. 57

3.5. Distribusi Campuran ............................................................... 66

3.6. Fungsi dan Persamaan Khusus. ............................................... 69

viii

4. DISTRIBUSI KHUSUS ................................................................ 73

4.1. Distribusi Khusus Variabel Random Diskret ............................ 73

4.1.1. Distribusi Bernouli ...................................................... 73

4.1.2. Distribusi Binomial ..................................................... 74

4.1.3. Distribusi Multinomial ................................................ 79

4.1.4. Distribusi Hipergeometrik ........................................... 80

4.1.5. Distribusi Hipergeometrik Peubah Ganda .................... 81

4.1.6. Distribusi Geometrik ................................................... 83

4.1.7. Distribusi Binomial Negatif ........................................ 85

4.1.8. Distribusi Poisson ....................................................... 87

4.1.9. Distribusi Seragam ...................................................... 90

4.1.10. Hubungan Antara Distribusi ........................................ 90

4.1.11. Menghitung Nilai Peluang Menggunakan Excel

dan Program R ........................................................... 92

4.2. Distribusi Khusus pada Variabel Random Kontinu .................. 93

4.2.1. Distribusi Eksponensial ............................................... 93

4.2.2. Distribusi Normal ....................................................... 94

4.2.3. Distribusi Uniform (Seragam) ..................................... 99

4.2.4. Distribusi Beta B(x|;α) (untuk ;α > -1) ..................... 99

4.2.5. Distribusi Gamma G(x| α; β;A) (untuk α > -1,

β>0 ) ......................................................................... 100

4.2.6. Distribusi Chi Kuadrat .............................................. 101

4.2.7. Distribusi F ............................................................... 102

4.2.8. Distribusi Student-t ................................................... 103

4.2.9. Distribusi Weibull ..................................................... 104

4.2.10. Distribusi Eksponen Rangkap (Laplace) .................... 105

4.2.11. Distribusi Cauchy ..................................................... 106

4.2.12. Distribusi Pareto ....................................................... 107

4.2.13. Distribusi Rayleigh ................................................... 108

4.2.14. Distribusi Logistik Baku ........................................... 109

4.2.15. Menghitung Nilai Densitas dan Peluang dalam

Distribusi Kontinu Menggunakan Excel dan

Program R ................................................................ 110

4.2.16. Invers Fungsi ............................................................ 111

ix

5. HARGA HARAPAN, TRANSFORMASI VARIABEL

RANDOM, FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN ....................... 117

5.1. Harga Harapan ...................................................................... 117

5.2. Variansi ................................................................................ 118

5.3. Transformasi Variabel Random ............................................. 120

5.4. Kovariansi dan Korelasi ........................................................ 122

5.5. Nilai Pendekatan untuk Mean dan Variansi ........................... 127

5.6. Mean dan Variansi pada Beberapa Distribusi Khusus ............ 130

5.6.1. Distribusi Diskret...................................................... 130

5.6.2. Distribusi Kontinu .................................................... 134

5.7. Distribusi dari Transformasi Variabel Random ...................... 141

5.7.1. Distribusi Transformasi Berdasarkan Fungsi

Distribusi .................................................................. 141

5.7.2. Distribusi Transformasi Berdasarkan Fungsi

Probabilitas............................................................... 144

5.7.3. Distribusi Bivariat (Dua Variabel Random) ............... 149

5.8. Fungsi Pembangkit Momen ................................................... 154

REFERENSI ...................................................................................... 163

GLOSARIUM .................................................................................... 164

INDEKS SUBJEK ............................................................................. 165

1

1. HIMPUNAN DAN RUANG SAMPEL

1. HIMPUNAN DAN RUANG SAMPEL

1.1. Himpunan

Sebelum membahas ruang sampel, kita perlu memahami kembali konsep

himpunan beserta operasi-operasinya. Himpunan adalah kumpulan atau

koleksi objek yang didefinisikan secara jelas dalam sembarang urutan (tak

diperhatikan keberurutan objek–objek anggotanya). Objek–objek itu

disebut anggota atau elemen himpunan. Himpunan dapat juga

didefinisikan sebagai kumpulan objek yang memiliki kesamaan sifat.

Objek dapat berupa orang, binatang atau benda-benda yang dapat

didefinisikan dengan jelas. Kesamaan sifat merupakan syarat keanggotaan

suatu objek menjadi anggota sebuah himpunan. Sebuah himpunan

disimbolkan dengan huruf kapital seperti A, B, C dan seterusnya.

Penulisan himpunan dapat dilakukan dengan menuliskan syarat

keanggotaannya atau menyebutkan/menuliskan masing-masing anggota.

Misalkan A adalah himpunan bilangan bulat 1 sampai dengan 10.

Himpunan A dapat dituliskan dengan

A = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} atau

A = {x| x anggota bilangan bulat 1 sampai dengan 10}

Capaian Pembelajaran Setelah mempelajari materi ini, diharapkan pembaca:

a) dapat mendefinisikan percobaan dan kejadian

b) memahami konsep ruang sampel diskret dan kontinu

c) dapat mencacah anggota ruang sampel

19

2. PELUANG KEJADIAN

2. PELUANG KEJADIAN

2.1. Definisi Peluang

Telah didefinisikan bahwa dalam himpunan, S sebagai semesta

pembicaraan. Sedangkan dalam pengamatan suatu percobaan, S sebagai

Ruang sampel, yaitu himpunan semua kemungkinan hasil (dalam

statistika). Setiap s anggota S (s S) disebut kejadian dasar atau unsur.

A S maka A disebut kejadian.

Teori peluang bagi ruang sampel berhingga (finite) memberikan

segugus bilangan nyata yang disebut pembobot atau peluang yang bernilai

0 sampai 1. Peluang merupakan fungsi real dengan domainnya adalah

kejadian. Peluang dapat dituliskan menggunakan simbol P(.). Beberapa

sifat peluang:

a. P(.) disebut fungsi peluang jika untuk setiap kejadian A S maka

0 ≤P(A)≤1, untuk setiap A

P(Ø) = 0 dan P(S) = 1

b. Peluang suatu kejadian A adalah peluang semua titik sampel dalam

A.

Capaian Pembelajaran Setelah mempelajari materi ini, diharapkan pembaca dapat:

a) memahami konsep dasar peluang

b) menjelaskan sifat-sifat peluang

c) menghitung peluang suatu kejadian

d) menghitung peluang bersyarat

e) menggunakan kaidah Bayes

f) menjelaskan kejadian bebas

43

3. VARIABEL RANDOM, PELUANG DAN FUNGSI

DISTRIBUSI 3. VARIABEL RANDOM, PELUANG DAN FUNGSI DISTRIBUSI

3.1. Definisi Variabel Random

Variabel random adalah suatu fungsi yang nilainya berupa bilangan real

yang ditentukan oleh setiap unsur dalam ruang sampel. Variabel random

dapat disimbolkan dengan X(e) = x untuk setiap e S (Ruang Sampel)

dan x R (bilangan Real).

Bila suatu ruang sampel mengandung jumlah titik sampel yang

terhingga atau suatu barisan unsur yang tidak pernah berakhir tetapi

banyaknya sama dengan bilangan cacah, maka variabel randomnya

termasuk dalam variabel random diskret.

Contoh 3.1.

Menguji calon mahasiswa baru, hasilnya lulus (L) dan tidak lulus (G). Jika

terdapat 3 calon maka

Ruang sampel S = {LLL, LLG, LGL, GLL, LGG, GLG, GGL, GGG}

Variabel random X yaitu banyaknya calon yang lulus, maka

X = {0, 1, 2, 3}

Capaian Pembelajaran Setelah mempelajari materi dalam bab ini, pembaca dapat:

a) menjelaskan sifat-sifat peluang b) menghitung peluang suatu kejadian

c) menghitung peluang bersyarat

d) menggunakan kaidah Bayes

e) menjelaskan kejadian bebas

73

4. DISTRIBUSI KHUSUS

4. DISTRIBUSI KHUSUS

4.1. Distribusi Khusus Variabel Random Diskret

4.1.1. Distribusi Bernouli

Pengamatan atas kejadian yang dapat diklasifikasikan ke dalam dua sifat

yang umumnya disebut “sukses” dan “gagal”. Variabel random X

menyatakan hasil pengamatan (sukses atau gagal). Hasil sukses dinyatakan

dengan X=1 dan hasil gagal dinyatakan dengan X=0. Peluang sukses

dinyatakan dengan parameter π, sehingga

P(X=1) = π (4.1)

Peluang gagal, dapat dinyatakan sebagai

P(X=0) = 1- π. (4.2)

Variabel random X mempunyai distribusi Bernouli yang dapat dinyatakan

dalam fungsi

1(1 ) ; x 0, 1( )

0 untuk x yang lainnya

x x

f X x

(4.3)

dengan 0 1 .

Capaian Pembelajaran Setelah mempelajari materi ini, diharapkan pembaca dapat mengidentifikasi

beberapa distribusi khusus, menghitung peluang kejadian pada distribusi

khusus

117

5. HARGA HARAPAN, TRANSFORMASI VARIABEL

RANDOM, FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN 5. HARGA HARAPAN, TRANSFORMASI VARIABEL

RANDOM, FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN

5.1. Harga Harapan

Harga harapan (expected value) disimbolkan dengan E(.). Jika X adalah

variabel random diskret dengan fungsi probabilitas (pdf: probability

density function) f(x), maka harga harapan untuk X didefinisikan sebagai

.

( ) ( )semua X

E X xf x (5.1)

Jika X adalah variabel random kontinu dengan pdf f(x), maka harga

harapan untuk X didefinisikan sebagai

( ) ( )E X xf x dx

(5.2)

E(X) biasa disebut mean (rata-rata) atau ukuran pemusatan,

E(X) = μ = μX

Capaian Pembelajaran Setelah mempelajari materi ini, diharapkan pembaca dapat:

a) menghitung harga harapan, mean dan variansi b) menghitung distribusi pada transformasi variabel random

c) menjelaskan fungsi pembangkit momen.

d) menggunakan fungsi pembangkit momen untuk menghitung mean dan

variansi

164

GLOSARIUM

Fungsi densitas : Disebut juga Probability Density Function (PDF)

atau fungsi kepadatan peluang, adalah fungsi yang

memiliki sifat tertentu yaitu bernilai positif dan nilai

integral atas seluruh domainnya bernilai satu.

Fungsi distribusi : Disebut Cumulative Density Function (CDF) yang

merupakan kumulatif (jumlah atau integral) dari

fungsi densitas.

Fungsi peluang : Fungsi real yang bernilai 0 sampai 1 dengan

domainnya adalah kejadian

Kejadian Hasil pengamatan atas suatu percobaan

Parameter : Sebarang nilai yang menjelaskan ciri populasi

Percobaan Suatu proses untuk mendapatkan hasil pengamatan

atas suatu fenomena

Ruang Sampel : Himpunan semua kemungkinan hasil dari suatu

percobaan atau observasi

Sampel : Suatu himpunan bagian dari populasi

Statistik : Sebarang nilai yang menjelaskan ciri sampel

Variabel random : Suatu fungsi yang nilainya berupa bilangan real yang

ditentukan oleh setiap unsur dalam ruang sampel

Variabel random

diskret

: Variabel random yang ruang sampelnya mengandung

jumlah titik sampel yang terhingga atau suatu barisan

unsur yang tidak pernah berakhir tetapi banyaknya

sama dengan bilangan cacah

Variabel random

kontinu

: Variabel random yang ruang sampelnya mengandung

jumlah titik sampel yang tak-terhingga yang sama

dengan banyaknya titik di garis bilangan.

165

INDEKS SUBJEK

B

Binomial, x, 74, 75, 76, 77, 78, 79,

85, 86, 87, 90, 91, 92, 93, 113,

130, 131

C

Cauchy, 106, 107, 161

Chi Kuadrat, 101, 102, 134, 143

D

Distribusi binomial, x, 74, 77, 78,

85, 91, 97, 131

Distribusi F, 102, 135, 144

E

Eksponensial, 93, 94, 111, 112,

134, 159

F

Fungsi densitas, 52, 53, 54, 56, 57,

61, 64, 65, 68, 70, 71, 72, 93,

94, 95, 96, 98, 99, 100, 101,

102, 103, 104, 105, 106, 107,

108, 109, 110, 119, 120, 125,

134, 139, 150, 151, 160, 164

Fungsi distribusi, v, 43, 44, 45, 46,

47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54,

55, 56, 57, 58, 59, 66, 68, 69,

70, 71, 72, 92, 93, 110, 111,

141, 154, 161, 164

Fungsi peluang, 19, 44, 46, 47, 48,

49, 50, 51, 58, 59, 63, 64, 74,

75, 120, 156, 164

G

Gamma, 69, 70, 100, 101, 111, 112,

134, 137, 158

Geometrik, x, 83, 84, 85, 130, 132,

157

K

Kombinasi, 13, 15, 17, 74

L

Laplace, 97, 105, 106

Logistik baku, 109, 110

N

Normal, 94, 96, 97, 98, 104, 110,

111, 112, 114, 116, 134, 138,

145, 146, 150, 159

166

P

Parameter, 73, 79, 80, 92, 93, 94,

99, 100, 110, 111, 112, 146,

148, 157, 159, 164

Pareto, 107, 108, 161

Permutasi, 12, 13, 14, 16, 17

Poisson, x, 87, 88, 89, 90, 91, 92,

93, 113, 130, 132, 146, 148, 157

R

Rayleigh, 108, 109

S

Student-t, 103, 104, 135

V

Variabel random, v, x, 43, 44, 45,

46, 47, 48, 49, 50, 52, 54, 55,

56, 57, 58, 59, 60, 61, 63, 64,

65, 66, 67, 70, 71, 72, 73, 74,

75, 76, 79, 83, 84, 85, 86, 88,

89, 90, 92, 93, 94, 97, 98, 99,

100, 101, 102, 103, 104, 105,

106, 107, 108, 109, 110, 111,

112, 113, 114, 117, 118, 119,

120, 121, 122, 123, 124, 125,

127, 128, 129, 130, 134, 139,

140, 141, 142, 143, 144, 146,

147, 148, 149, 150, 151, 152,

153, 154, 156, 161, 162, 164

W

Weibull, 104, 105, 111, 112, 137