Ukuran penyebaran adalah ukuran statistic yang digunakan untuk mengetahui luas

penyebaran data atau homogenitas data. Dua variable yang memiliki mean yang sama

belum tentu memiliki kualitas yang sama, tergantung dari besar atau kecil ukuran

penyebaran datanya .

Ada beberapa macam ukuran penyebaran data, namun yang umum digunakan adalah

standar deviasi.

Macam-macam ukuran penyebaran data adalah :

1. Range (rentang)

2. Rata-rata Deviasi (deviasi mean)

3. Standar Deviasi

4. Variasi Relatif

Kegunaan Ukuran Penyebaran

• Untuk menentukan apakah suatu nilai rata-rata dapat mewakili suatu

rangkaian data atau tidak.

Contoh data upah 5 (lima) karyawan berikut

Rp 15.000,- Rp 25.000,- Rp Rp 30.000,- Rp 30.000,- Rp 100.000,-

Nilai rata-rata atau mean-nya = Rp 50.000,-

Kita dapat mengatakan bahwa nilai rata-ratanya kurang mewakili karena

data tersebut memiliki standar deviasi yang besar, dimana 4 dari 5 karyawan

berada di bawah rata- rata.

• Untuk perbandingan terhadap variabilitas data, misalnya data curah

hujan, suhu udara, dsb.

• Membantu penggunaan ukuran statistik, misalnya dalam membandingkan

ukuran penyebaran sampel terhadap ukuran populasi.

Berikut beberapa contoh pentingnya ukuran penyebaran .

1. Saat biaya pulsa mahal, maka salah satu upaya untuk meringankan biaya pulsa

adalah memilih operator yang paling banyak pelanggannnya, sehingga

memudahkan bicara antar pelanggan yang sama. Saat ini terdapat 68 juta

pelanggan untuk lima oprator, sehingga rata-rata pelanggan setiap orang

mencapai 13,6 juta; jarak (range) sebesar 32 juta, dan standar deviasi sebesar

13 juta. Pelanggan terbanyak dimiliki oleh Telkomsel, yaitu 35 juta dan yang

terkecil adalah Telkom Flexi dengan 3 juta pelanggan.

2. Misalkan anda ingin belajar berenang. Anda menanyakan berapa kedalaman

rata-rata kolam renang. Misalkan kedalaman rata-rata adalah 1,5 meter. Jika

tinggianda adalah 1,65 meter, mungkin Anda piker Anda tidak akan

tenggelam. Namun Anda harus ingat bahwa 1,5 meter adalah rata-ata mulai

dari kolam anak-anak yang kedalamannya hanya 30 cm sampai dengan kolam

untuk dewasa yang kedalamannya mungkin mencapai 3,5 meter, Anda bisa

tenggelam.

Dari contoh diatas, Kita bisa jadi lebih memahami pentingnya ukuran penyebaran.

Apabila suatu kumpulan data yang tidak mempunyai nilai ekstrem rendah dan tinggi,

maka ukuran pemusatan relatif baik untuk digunakan . namun demikian, apabila

datanya mengandung nilai ekstrem , maka kita perlu mengetahui sebarannya. Pada

kasus sampel atau populasi yangmempunyai nilai ukuran pemusatan yang sama

sekalipun,belum tentu mempunyai karakter yang sama. Oleh karena itu, sangatlah

penting untuk memahami makna ukuran penyebaran. Ada beberapa kemungkianan

yang terjadi jika menggambarkan dua data ditinjau darinilai rata-rata hitung dan

penyebarannya.

1. Rata – rata sama dengan penyebaran yang berbeda.

2. Rata-rata berbeda, sebaran berbeda.

3. Rata-rata berbeda, sebaran sama.

Ukuran Penyebaran untuk Data yang tidak dikelompokkan

A. Jarak (Range)

Jarak atau kisarann nilai (range) merupakan ukuran yang paling sederhana dari

ukuran penyebaran. Jarak merupakan perbedaanantara nilai terbesar dan terkecil

dalam suatu kelompok data baik data populasi maupun sampel. Semakin kecil ukuran

jarak menunjukkan karakter yang lebih baik, karena berarti data mendekati nilai

pusat.

Contoh 1:

TAHUN

Siswa SMP Negeri 2 Jakarta

Laki-laki Perempuan

2002 250 256

2003 243 240

2004 267 238

2005 271 288

2006 244 260

Penyelesaian :

Jumlah Laki- laki Perempuan

Jarak/Range (R) = Nilai Terbesar (H) – Nilai terkecil (L)

Tertingi 271 288

Terendah 243 238

Jarak 271 – 243 = 28 288 – 238 =

50

Nilai range diperoleh dengan mengurangkan nilai tertinggi dengan nilai terendah.

Contoh 2:

Hasil ujian beberapa mata pelajaran semester genap dari 3 orang siswa kelas II MAN

adalah sebagai berikut :

A = 60 55 70 65 50 80 40

B = 50 55 60 65 70 65 55

C = 60 60 60 60 60 60 60

Dari data diatas dapat kita ketahui :

A = Memiliki H = 80, L = 40, R= 80 – 40 = 40, meannya 60

B = Memiliki H = 70, L = 50, R= 70 – 50 = 20, meannya 60

C = Memiliki H = 60, L = 60, R= 60 – 60 = 0, meannya 60

Dari contoh 2 di atas dapat kita tarik kesimpulan :

1. Semakin kecil rangenya, maka semakin homogen distribusinya

2. Semakin besar rangenya, maka semakin heterogen distribusinya

3. Semakin kecil rangenya, maka meannya merupakan wakil yang representative

4. Semakin besar rangenya, maka meannya semakin kurang representative

Koefisien Range

Koefisien Range adalah pengukuran penyebaran dengan menggunakan range secara

relative.

Koefisien dirumuskan sebagai berikut :

KR= La−LbLa+Lb

x100 %

Keterangan :

KR : Koefisien range dalam 100%

La : Batas atas data atau kelas tertinggi

Lb : Batas bawah data atau kelas terendah

B. DEVIASI

Deviasi adalah selisih atau simpangan masing-masing skor atau interval dengan rata-

rata hitungnya. Bila setiap skor atau nilainya lebih besar dari meannya, maka

deviasinya positif. Bila setiap skor atau nilainya lebih kecil dari meannya, maka

deviasinya negative.

Penjumlahan deviasi akan selalu menghasilkan nol, sehingga deviasi tidak dapat

digunakan untuk mengetahui variabilitas data, untuk mengatasi hal ini maka tanda-

tanda aljabarnya ( tanda +, dan - ) diabaikan, atau tanda positif dan negarifnya tidak

mempengaruhi penjumlahan nilai mutlaknya. Sehingga hasil penjumlahan dapat

digunakan untuk mengetahui variabilitas data.

Deviasi terbagi dua, yaitu deviasi rata-rata dan standar deviasi.

DEVIASI RATA-RATA

Apabila diperhatikan ukuran dari range, maka kesimpulan data hanya didasarkan

pada dua data ekstrem yaitu data tertinggi dan terendah. Hal tersebut berarti tidak

mempertimbangkan semua nilai data baiik dalam populasi maupun sampel. Oleh

sebab itu, di samping ukuran range, juga dikembangkan ukuran deviasi rata-rata.

Deviasi rata-rata mengukur besarnya variasi atau selisih dari setiap nilai dalam

populasi atau sampel dari rata-rata hitungnya. Deviasi rata-rata didefenisikan dan

dirumuskan sebagai berikut :

Deviasi rata-rata adalah rata-rata hitung dari nilai mutlak deviasi antara nilai data

pengamatan dengan rata-rata hitungnya.

Bentuk rumus deviasi rata-rata yang disingkat dengan MD (mean deviation) atau ada

juga yang menyingkat AD (average deviation) adalah sebagai berikut :

MD = ∑|X−X|N

Keterangan :

MD : Deviasi rata-rata

X : Nilai setiap data pengamatan

X : Nilai rata-rata hitung dari seluruh nilai pengamatan

N : Jumlah data atau pengamatan dalam sampel / populasi

∑ : Lambang penjumlahan

││ : Lambang nilai mutlak

DEVIASI STANDAR

Deviasi Standar adalah akar kuadrat dari varians dan menunjukkan standar

penyimpangan data terhadap nilai rata-ratanya.

Rumus deviasi standar dinyatakan dengan :

σ=√∑ (X−μ)2

N

Keterangan :

σ : Varians (σ merupakan huruf Yunani, dibaca tho)

X : Nilai setiap data / pengamatan

μ : Nilai rata-rata hitung

N : Jumlah total data / pengamatan

∑ : Simbol operasi penjumlahan

C. VARIANS

Varians adalah rata-rata hitung deviasi kudrat setiap data terhadap rata-rata

hitungmya.

Varians dapat dibedakan antara varianspopulasi dan varians sampel. Varians populasi

adalah devisi kuadrat dari setia data terhadap rata-rta hitung semua data dalam

populasi . sedangkan varians sampel adalah deviasi kuadrat dari setiap rata-rata

hitung terhadap semua data dalam sampel, dimana sampel adalah bagian dari

populasi.

Varians Populasi

Varians populsi dapat dirumuskan sebagai berikut :

σ 2=∑ (X−μ)2

N dengan μ=

∑ X

N

Contoh :

Hitunglah varians dari pertumbuhan ekonomi Negara maju dan Indonesia.

TahunPertumbuhan Ekonomi (%)

Negara Maju Indonesia

1994 3,2 7,5

1995 2,6 8,2

1996 3,2 7,8

1997 3,2 4,6

1998 2,2 -13,7

1999 2,0 4,8

2000 2,3 3,5

2001 3,2 3,2

Penyelesaian :

Diketahui : N = 8

Langkah – langkah :

1. Mencari nilai rata-rata hitung populasi μ=¿∑ X/ N , yaitu

μ=(3,2+2,6+3,2+3,2+2,2+2,0+2,3+2,1)

8 =

20,88

= 2,6

2. Mengurangkan setiap nilai X dengan μ , dan hasilnya tetap dalam nilai

absolute, tidak dimutlakkan . X−μ = 3,2 – 2,6 = 0,6. dst

3. Mengkuadratkan nilai X−μ, sehingga (X−μ )2 = (0,6)2 = 0,36. Dst

4. Menjumlahkan ∑ (X−μ )2, sehingga disapatkan nilai 1,94. Untuk mendapatkan

nilai varians, maka nilai 1,94 dibagidengan N dimana N=8, sehingga

diperoleh nilai vaians adalah 0,24.

a. Varians Negara Maju

Tahun X X−μ (X−μ)2

1994 3,2 0,6 0,36

1995 2,6 0,0 0,00

1996 3,2 0,6 0,36

1997 3,2 0,6 0,36

1998 2,2 -0,4 0,16

1999 2,0 -0,6 0,36

2000 2,3 -0,3 0,09

2001 2,1 -0,5 0,25

Jumlah ∑ X = 20,8 ∑(X−μ)2 = 1,94

Rata – rata μ=¿∑ X/ N = 2,6 σ 2 = ∑(X−μ)2 / N = 0,24

Ikuti langkah yang sama untuk mencari varian Negara maju. Sehingga didapatkan :

b. Varians Indonesia

Tahun X X−μ (X−μ)2

1994 7,5 4,2 17,64

1995 8,2 4,9 24,01

1996 7,8 4,5 20,25

1997 4,6 1,6 2,56

1998 - 13,7 -17,0 289,00

1999 4,8 1,5 2,25

2000 3,5 0,2 0,04

2001 3,2 -0,1 0,01

Jumlah ∑ X = 26,2 ∑(X−μ)2 = 355,76

Rata – rata μ=¿∑ X/ N = 3,3 σ 2 = ∑(X−μ)2 / N = 44,47

Varians sampel

Sampel merupakan bagian dari populasi, namun apabila angggota kdi dalam populsi

kurang atau sama dengan 30 , diusahakan semuanya menjadi bagian yang dikaji.

Apabila jumlahanggoa dalam populasi > 30, maka langkah pengambilan sampel

dapat dilakukan,sehingga jumlah data tidak terlalu besar.

Varians sampeldirumuskan sebagai berikut :

s2=∑ (X−X)2

n−1

Keterangan

s2 : Varians sampel

X : Nilai setiap data / pengamatan

X : Nilai rata-rata hitung

n : Jumlah total data / pengamatan

∑ : Simbol operasi penjumlahan

Pembagi untuk varians populasi berbeda dengan sampel, untuk populasi N, sedang

untuk sampel n-1. Mengapa menggunakan n-1, kkarena apabiladigunakan n, akan

menghasilkan dugaan yang lebih rendah (underestimate) terhadap varians

populasinya. Nilai varians sampel menjadi penduga yang bias atau menyimpang

terhadap populasinya. Pada ukuran sampel yang kecil, pembagi n-2 akan mengoreksi

hasil dugaan yang rendah, sehingga menjadi bpenduga yang tidak bias.

Ukuran Penyebaran untuk Data yang dikelompokkan

Data berkelompok adalah data yang sudah dibuat distribusi frekuensinya.

1. Jarak (Range)

Untuk data kelompok , nilai jarak (NJ) dapat dihitung dengan dua cara :

a. NJ = Nilai tengah kelas akhir - Nilai tengah kelas pertama

b. NJ = Batas atas kelas akhir – Batas bawah kelas pertama

Contoh :

Berat Badan

(kg)

Banyaknya Mahasiswa

(f)

60 – 62 5

63 – 65 18

66 – 68 42

69 – 71 27

71 - 74 8

Penyelesaian :

Cara I : Nilai tengah kelas akhir = 72+74

2 = 73 kg

: Nilai tengah kelas Pertama = 60+62

2 = 61 kg

Maka :

NJ = Nilai tengah kelas terakhir - Nilai tengah kelas pertama

= 73 – 61 = 12 kg

Cara II : Batas atas kelas akhir = 74,5

: Batas bawah kelas Pertama = 59,5

Maka :

NJ = Batas atas kelas terakhir - Batas bawah kelas pertama

= 74,5 – 59,5 = 15 kg

2. Deviasi rata – rata

Deviasi rata-rata untuk data berkelompok dirumuskan sebagai berikut :

MD=∑ f |X−X|

N

Keterangan :

MD = Deviasi rata-rata

f = Jumlah frekuensi setiap kelas

X = Nilai setiap data pengamatan

X = Nilai rata – rata hitung dai seluruh nilai pengamatan

n = Jumlah data atau pengamatan dalam sampel

∑ = Operasi penjumlahan

││ = Lambang nilai mutlak

3. Varians

Varians untuk data berkelompok hamper sama dengan variansdata tunggal,

namun dikalikan dengan frekuensi setiap kelasnya. Varians data berkelompok

dirumuskan :

s2=∑ f (X−X )2

n−1

Keterangan

s2 : Varians sampel

f : Jumlah frekuensi setiap kelas

X : Nilai setiap data / pengamatan

X : Nilai rata-rata hitung

n : Jumlah total data / pengamatan

∑ : Simbol operasi penjumlahan

IntervalTitik

tengahf f.X X-X

(

X−X ¿¿2

f .(

X−X ¿¿2

160 – 303 231,5 2 463,0 -259,2 67.185 134.369

304- 447 375,5 5 1.877,5 -115,2 13.271 66.355

448 – 591 519,5 9 4.675,5 28,8 829 7.465

592 – 735 663,5 3 1.999,0 172,8 29.860 89.580

736 - 878 807,0 1 807,0 316,3 100.046 100.046

Jumlah 20 9.813,0 397.815

X = ∑f . Xf

= 9.813,020

= 490,65

Jadi, untuk mencari Varians adalah :

s2=∑ f (X−X )2

n−1 =

397.815(20−1) =

397.81519

= 20.938

SEBARAN ATAU VARIASI

Derajat yang sampai seberapa jauh data numerik cenderung untung tersebar di

sekitar suatu nilai rata-rata disebut variasi (variation) atau sebaran (dispersion) data.

Tersedia aneka ukuran sebaran atau variasi , yang paling umum adalah rentang

(renge), nilai tengah simpangan (mean deviatin), rentang-antar kuartil, rentang

persentil 10-90 dan simpangan baku.

RENTANG

Rentang suatuhimpunan bilangan adalahselisih antara bilangan tersebar dan terkecil

dalam himpunan.

CONTOH. Rentang himpunan 2,3,3,5,5,5,8,10,12 adalah 12-2=10. Kadanag-kadanag

rentang cukup diberikan dengn menyebutkan bilangan terkecil dan terbesar pada

himpunan bilangan tersebut, rentang dapat ditunjukkan sebagai 2 sampai 12 atau 2-

12.

NILAI TENGAH SIMPANGAN

Nilai tengah simpangan (mean deviation) , aatau rata-rata simpangan (average

deviation), suatu himpunan N bilangan X1,X2,….,Xn didefenisikan oleh

Nilai tengah simpangan (MD) = ∑j=1

N

|X j−X|N

= ∑|X−X|N

= |X−X|

Dengan X adalah nilai tengah hitung(arithmetic mean ) bilangan –bilangan dan

|X j−X|adalah nilai mutlak simpangan X j dan X .( Nilai mutlak suatu bilangan

adalah bilangan itu sendiri tanpa dikaitkan dengan tandanya dan dinyatakan oleh dua

garis tegak yang diletakkan di sekitar bilangan itu, jadi |−4| = 4, |+3|=3, |6|=6,

|−0,84|=0,84 ).

Nilai tengah hitung |X| = 2+3+6+8+11

5 = 6

MD = ∑j=1

N

|X j−X|N