Review TurunanUntuk fungsi satu variabel f(x), turunan di titik x0 didefinisikan

Secara geometri f(x), adalah kemiringan dari garis tangen (grs. singgung) f di x0

Turunan ParsialMisalkan z = f(x,y) fungsi 2 variabel yg terdefinisi disekitar titik (x,y). Turunan parsial dari f terhadap x adalah turunan z terhdp x dimana hanya variabel x saja yg diasumsikan berubah, dan y tetap konstan. Mengukur kecepatan perubahan z thdp x sementara y konstan.

Turunan parsial z = f(x,y) terhdp x ditulis

didefinisikan sbb.

Turunan parsial z = f(x,y) terhdp y ditulisdidefinisikan sbb.

Contoh:

Misalkan z = f(x,y) merupakan suatu permukaan. Persamaan y = b merepresentasikan bidang vertikal sejajar bidang xz, dan memotong permukaan z, garis potongnya membentuk kurva z= f(x,b) disebut kurva-x.

Nilai dari turunan parsial fx(a,b) adalah gradien/kemiringan dari garis tangen di titik P(a,b,c) pada kurva-x yang melalui P pada permukaan z = f(x,y).

Hal yg sama, fy(a,b) adalah gradien/kemiringan dari garis tangen di titik P(a,b,c) pada kurva-y yang melalui P pada permukaan z = f(x,y).

Menentukan bidang tangen pada permukaanUntuk fungsi dua variable, bidang tangen pada z=f(x,y) di titik (x0, y0) adalah bidang yg melalui(menyinggung) titik (x0, y0 , f (x0, y0 )), bidang tsb. menyentuh permukaan z hanya di satu titik.

Definisi: Bidang tangen di titik P(a,b) pada permukaan z = f(x,y) adalah bidang yg melalui P dan memuat garis-garis tangen di P pada kurva-x dan kurva-y.Syarat: turunan parsial fx(x,y), fy(x,y) kontinu di daerah (cakram) sekitar (a,b).

Persamaan bidang tangen pada permukaan z = f(x,y) di titik P(a,b, f(a,b)) adalah z f(a,b) = fx(a,b) (x-a) + fy(a,b) (y-b)

Soal:Tulis persamaan bidang tangen pada paraboloida z = 5 2x2 y2 di titik P(1,1,2) fx(x,y)= ? fy(x,y)= ? Solusi: z 2=-4(x-1)-2(y-1)

Fungsi tiga atau lebih perubah (variabel)

Fungsi tiga atau lebih perubah (variabel)

Turunan parsial orde-tinggi

Aturan Rantai Misalkan x = g(t) dan y = h(t) fungsi terdeferensial, terdefinisi di t dan misalkan z = f(x,y) mempunyai turunan parsial orde-satu yg kontinu. Maka z = f(x(t), y(t)) terdefinisi di t dan terdeferensial

Contoh:

Mis. Z = f(u, v, x, y) dimana u dan v masing2 fungsi dari x dan y. Disini x dan y sebagai variabel antara dan variabel bebas.Aturan rantai menghasilkan:

Fungsi ImplisitMisal F(x,y)= 0 maka