TurunanCreate by Luke

Pendahuluan

Definisi :

Turunan fungsi f adalah fungsi lain f’ yang nilainya pada sembarang bilangan c adalah

f (c h) − f (c)

f ' (c) limasalkan limit ini ada

h→0 h

Contoh :

Andaikan f(x) = 13x – 6 cari f’(4)

Jawab :

f (4 h) − f (4) [13(4 h) − 6] − [13(4) − 6]f ' (4) lim lim

h→0 h h→0 h

13hlim lim13 13

h→0 h h→0

Keterdeferensialan menunjukan kekontinuan

Teorema :

Jika f’(c) ada, maka f kontinue di c

Bukti :

Kita perlu menunjukan bahwa lim f ( x)

x→c

f (c) sekarang

f ( x ) f ( c )

f ( x ) −

f ( c ) .( x − c ), x ≠ c

x − c

karenanya lim f ( x)

lim

f (c) f ( x) − f

(c)

x − c

.( x − c)

x→c x→c

f ( x) − f (c)= lim f (c) lim .lim ( x − c)

x→c

=f(c)+ f’(c) . 0

=f(c)

x→c x − c

x→c

Aturan Pencarian Turunan

Teorema A :

(Aturan fungsi Konstanta ). Jika f(x) = k dengan k suatu konstanta maka untuk sembarang

x, f’(x) = 0 yakni,

D(k) = 0

Teorema B :

(Aturan fungsi Identitas ). Jika f(x) = x, mka f’(x) = 1 yakni,

D(x) = 1

Teorema C :

(Aturan pangkat). Jika f(x) = xn, dengan n bilangan-bilangan bulat positif, maka

f ' ( x) nx n −1 yakni D(xn) = nxn-1

Teorema D :

(Aturan kelipatan konstanta). Jika k suatu konstanta dan f suatu fungsi yang

terdeferensialkan, maka (kf)’(x) = k.f’(x) , yakni

D[k.f(x)] = k Df(x)

Teorema E :

(Aturan Jumlah ). Jika f dan g fungsi fungsi yang terdeferensialkan, maka

( f g )' ( x)

f ' ( x) g ' ( x)

yakni D[f’(x) + g’(x)] = Df(x) +Dg(x)

Teorema F :

(Aturan Selisih ). Jika f dan g fungsi fungsi yang terdeferensialkan, maka

( f − g )' ( x)

f ' ( x) − g ' ( x) yakni D[f’(x) - g’(x)] = Df(x) - Dg(x)

Teorema G :

(Aturan hasil kali). Andaikan f dan g fungsi fungsi yang dapt dideferensialkan, maka

( f g )' ( x)

Teorema H :

f ( x) g ' ( x) g ( x) f ' ( x) yakni D[f(x)g(x)] = f(x)Dg(x) + g(x)Df(x)

(Aturan Hasil bagi). Andaikan f dan g fungsi fungsi yang dapt didefernsialkan dengan

g(x) ≠ 0, maka

'

f ( x)

g

f ' ( x) g ( x) − g ' ( x) f ( x) , yaitu

g ( x) '

D f ( x)

g ( x)Df ( x) − f ( x)Dg ( x)

g ( x)

g 2 ( x)

Turunan Sinus dan Kosinus

Teorema :

Fungsi fungsi f(x) = sin(x) dan g(x) = cos(x) keduanya dapat dideferensialkan,

sesungguhnya D(sin x) = cos x D(cos x) = - sin x

Contoh :

Turunkan y = tan x

Jawab :

sin x D(tan x) D cos x

cos xD(sin x) − sin xD(cos x)

cos 2 x

cos x cos x sin x sin x

cos 2 x

1

sec 2 xcos 2 x

Aturan Rantai

Teorema :

(Aturan Rantai ). Andaikan y = f(u) dan u = g(x) menentukan fungs komposit

y f ( g ( x)) ( f g )( x) . Jika g terdeferensialkan di x dan f terdeferensialkan di u =

g(x), maka f g terdeferensialkan di x dan ( f g )' ( x)

Dx y Du yDx u

f ' ( g ( x)) g ' ( x)

yaitu :

Contoh :

Jika y = (2x2 – 4x + 1)60, cari Dxy

Jawab :