TUJUAN

MATERI

ILLUSTRASI

LATIHAN

SELESAI

POKOK BAHASAN

BAHAN AJAR TEORI BILANGAN

TUJUAN

MATERI

ILLUSTRASI

LATIHAN

SELESAI

POKOK BAHASAN

BAHAN AJAR TEORI BILANGAN

Pertemuan Ke-10 :

Kongruensi dan Sifat-Sifat Dasarnya

Oleh : Dr. Kusnandi, M.Si.

TUJUAN

MATERI

ILLUSTRASI

LATIHAN

SELESAI

POKOK BAHASAN

BAHAN AJAR TEORI BILANGAN

Tujuan PembelajaranMahasiswa dapat memahami konsep kongruensi dan sifat-sifat dasarnya menerapkannya dalam permasalahan matematika yang relevan

TUJUAN

MATERI

ILLUSTRASI

LATIHAN

SELESAI

POKOK BAHASAN

BAHAN AJAR TEORI BILANGAN

Pengertian KongruensiMenurut Gauss, “ Jika suatu bilangan n mengukur perbedaan antara dua bilangan a dan b, maka a dan b dikatakan kongruen terhadap n”.

Pengertian mengukur dalam pernyataan itu maksudnya adalah bahwa panjang (modulus) n dapat membagi habis perbedaan antara kedua bilangan itu.

Definisi: Misalkan n adalah bilangan bulat positif. Dua bilangan bulat a dan b dikatakan kongruen modulo n, dinotasikan dengan

 a ≡ b (mod n) jika n | (a – b)

Contoh 1: 3 ≡ 24 (mod 7), –31 ≡ 11 (mod 7) –15 ≡ –64 (mod 7)

Contoh 2: 25 ≡ 12 (mod 7) /

TUJUAN

MATERI

ILUSTRASI

LATIHAN

SELESAI

POKOK BAHASAN

BAHAN AJAR TEORI BILANGAN

Berikan contoh kongruensi dalam kehidupan sehari-hari !

Pengertian Kongruensi

Di dalam kongruensi a ≡ b (mod n)

Berapakah nilai n yang menarik untuk dibicarakan ?

Berdasarkan definisi a ≡ b (mod n) bagaiamanakah hubungan bilangan a,

b dan n dengan pembagi, hasil bagi dan sisa ?

Kita mengetahui bahwa–33 ≡ 9 (mod 7) –33 ≡–12 (mod 7) –33 ≡ 2 (mod 7)

Manakah yang merupakan sisa pembagian dari -33 dengan 7 ?

Salah satu masalah yang akan diselesaikan terkait kongruensi adalah

tentukan sisa pembagian

532012 dibagi dengan 7

TUJUAN

MATERI

ILLUSTRASI

LATIHAN

SELESAI

POKOK BAHASAN

BAHAN AJAR TEORI BILANGANSifat-Sifat Dasar Kongruensi

Misalkan a, b, c, d, dan n > 1 adalah bilangan bulat

(1) a ≡ a (mod n)

(2) a ≡ b (mod n) b ≡ a (mod n)

(3) a ≡ b (mod n), b ≡ c (mod n) a ≡ c (mod n)

(4) a ≡ b (mod n) dan c ≡ d (mod n) a + c ≡ b + d (mod n)

a ≡ b (mod n) dan c ≡ d (mod n) ac ≡ bd (mod n)

(5) a ≡ b (mod n) a + c ≡ (b + c) mod n dan ac ≡ bc (mod n)

(6) a ≡ b (mod n) ak ≡ bk (mod n) untuk k N

TUJUAN

MATERI

ILLUSTRASI

LATIHAN

SELESAI

POKOK BAHASAN

BAHAN AJAR TEORI BILANGAN

Illustrasi 1 : Tentukan sisa pembagian bilangan

532012 dibagi dengan 7.

Pembahasan Kita akan mencari bilangan bulat a dengan 0 a < 7 sehingga

532012 ≡ a (mod 7) Perhatikan 53 ≡ 4 (mod 7)

533 ≡ 43 (mod 7) 533 ≡ 1 (mod 7)

(533)670 ≡ 1670 (mod 7)

532010 ≡ 1 (mod 7)

532010 . 532 ≡ 1 . 532 (mod 7)

532012 ≡ 532 (mod 7)

532012 ≡ 2 (mod 7) Ini artinya 532012 dibagi 7 sisanya adalah 2

TUJUAN

MATERI

ILLUSTRASI

LATIHAN

SELESAI

POKOK BAHASAN

BAHAN AJAR TEORI BILANGAN

Illustrasi 2 : Gunakan kongruensi untuk membuktikan bahwa

7 | 52n + 3 . 25n-2

Pembahasan Kita akan membuktikan bahwa 52n + 3 . 25n-2 ≡ 0 (mod 7)

Perhatikan 52 ≡ 4 (mod 7)

52n ≡ 4n (mod 7) (1) Sedangkan 25 ≡ 4 (mod 7)

25(n – 1) ≡ 4(n – 1) (mod 7) 25(n – 1) . 23 ≡ 4(n – 1) . 23 (mod 7)

Dari (1) dan (2) : 52n + 3.25n-2 ≡ 4n + 3.4n-1 (mod 7)

Ini artinya 7 | 52n + 3 . 25n-2

25n – 2 ≡ 4(n – 1) (mod 7)

3. 25n – 2 ≡ 3. 4(n – 1) (mod 7) (2)

52n + 3.25n-2 ≡ 4. 4n-1 + 3.4n-1 (mod 7)

52n + 3.25n-2 ≡ 7. 4n-1 (mod 7)

52n + 3.25n-2 ≡ 0 (mod 7)

TUJUAN

MATERI

ILLUSTRASI

LATIHAN

SELESAI

POKOK BAHASAN

BAHAN AJAR TEORI BILANGANLatihan (1)

1. Buktikan masing-masing pernyataan di bawah ini:

a. Jika a ≡ b (mod n) dan m | n, maka a ≡ b (mod m)

b. Jika a ≡ b (mod n) dan c > 0 maka ca ≡ cb (mod n)

c. Jika a ≡ b (mod n) dan bilangan bulat a, b, n semuanya dapat dibagi

dengan d > 0 maka a/d ≡ b/d (mod n/d)

2. Berikan contoh untuk menunjukkan bahwa a2 ≡ b2 (mod n) tida perlu

mengakibatkan bahwa a ≡ b (mod n)

3. Jika a ≡ b (mod n), buktikan bahwa fpb(a, n) = fpb(b, n)

4. Carilah sisanya apabila 250 dan 4165 dibagi dengan 7

5. Carilah sisa pembagian bilangan dibagi dengan 7.

6. Berapakah sisanya apabila jumlah dari bilangan-bilangan

15 + 25 + 35 + . . . + 995 + 1005

dibagi dengan 4.

TUJUAN

MATERI

ILLUSTRASI

LATIHAN

SELESAI

POKOK BAHASAN

BAHAN AJAR TEORI BILANGANLatihan (2)

7. Buktikan bahwa 53103 + 10353 dapat dibagi dengan 39, dan bahwa

111333 + 333111 dapat dibagi dengan 7.

8. Untuk n > 1 , gunakan teori kongruensi untuk memeriksa pernyataan pembagian

di bawah ini

a. 13 | 3n+2 + 42n+1

b. 27 | 25n+1 + 5n+2

c. 43 | 6n+2 + 72n+1

9. Gunakan teori kongruensi untuk memerika bahwa

89| 244 – 1 dan 97 | 248 –1

10. Buktikan bahwa apabila ab ≡ cd (mod n) dan b ≡ d (mod n) dengan

fpb(b, n) = 1, maka a ≡ c (mod n).

11. Jika a ≡ b (mod n1) dan a ≡ c (mod n2), buktikan bahwa b ≡ c (mod n) di mana

bilangan bulat n = fpb(n1, n2)

TUJUAN

MATERI

ILLUSTRASI

LATIHAN

SELESAI

POKOK BAHASAN

BAHAN AJAR TEORI BILANGAN

Terima kasih