Penggunaan Integral Dalam Bidang Teknik

Pengertian atau konsep integral tentu pertama kali dikenalkan oleh Newton

dan Leibniz. Namun pngertian secara lebih modern dikenalkan oleh Riemann.

Materi tentang integral tak tentu dan notasi sigma akan digambarkan untuk

mendefinsikan tentang integral tentu.

Teorema Dasar Integral

Misal fungsi f(x) kontinu pada [a, b] dan fungsi f(x) adalah anti turunan dari

fungsi f(x), maka berlaku :

∫a

b

f ( x )=f (b )− f ( a )

Dari bentuk integral tentu adalah :

∫a

b

f ( x )dx

maka fungsi f(x) dinamakan Integran, bilangan a dinamakan batas bawah integral

dan b dinamakan batas atas integral.

Integral merupakan salah satu bab bahasan di dalam ilmu Matematika.

Pengertian integral merupakan kebalikan dari proses diferensiasi. Integral

ditemukan menyusul ditemukannya masalah dalam diferensiasi di mana

matematikawan harus berpikir bagaimana menyelesaikan masalah yang

berkebalikan dengan solusi diferensiasi. Lambang integral  terdapat dua macam

integral, yaitu integral tak tentu dan integral tertentu. Perbedaan antara keduanya

ialah integral tertentu memiliki batas atas dan batas bawah sedangkan Integral tak

tentu biasanya dipakai untuk mencari volume benda putar dan luas.

Pada umumnya ilmu integral ini dapat bermanfaat dalam berbagai bidang

ilmu, seperti bidang ekonomi, teknologi, fisika dan matematika (keteknikan) pula.

Nama : Aprilianti MelindaNPM : 3335132582Jurusan : Teknik Kimia

Oleh sebab itu, dalam postingan kali ini saya akan sedikit memaparkan mengenai

manfaat dan penerapan ilmu integral khususnya di dalam bidang keteknikan.

Berikut ini beberapa kegunaan aplikasi integral yang berkaitan dengan

bidang ilmu lain, antara lain :

Ekonomi :

Mencari fungsi asal dari fungsi marginalnya (fungsi turunannya), mencari

fungsi biaya total, mencari fungsi penerimaan total dari fungsi penerimaan

marginal, mencari fungsi konsumsi dari fungsi konsumsi marginal, fungsi

tabungan dari fungsi tabungan marginal, fungsi kapital dari fungsi investasi.

Teknologi :

Penggunaan laju tetesan minyak dari tangki untuk menentukan jumlah

kebocoran selama selang waktu tertentu, Penggunaan kecepatan pesawat ulang

alik Endeavour untuk menentukan ketinggian maksimum yang dicapai pada

waktu tertentu, Memecahkan persoalan yang berkaitan dengan volume, panjang

kurva, perkiraan populasi, keluaran kardiak, gaya pada bendungan, usaha.

Fisika :

Analisis rangkaian listrik arus AC, analisis medan magnet pada kumparan,

analisis gaya-gaya pada struktur pelengkung.

Matematika (Teknik) :

Menentukan luas suatu bidang, menentukan volume benda putar,

menentukan panjang busur.

Di dalam bidang matematika teknik integral dapat berguna untuk mencari volume

benda putar suatu benda.  Contoh kasus yang berhubungan dengan penggunaan

integral dalam mencari volume benda putar dapat dilihat seperti berikut :

Contoh kasus :

Pada suatu hari, Supri sedang memanen blueberry kemudian dia megambil sebuah

tong blueberry. Supri kemudian penasaran untuk menghitung volume tong

tersebut agar ia bisa memperkirakan kira-kira berapa tong blueberry yang akan dia

bawa. Kemudian ia teringat akan pelajaran kalkulus yang ia dapatkan pada saat

kuliah . Supri kemudian mengukur tong tersebut. Data yang didapat supri dari

mengukur tong tersebut ialah jari-jari atas dan bawah tong adalah 30 cm dan jari-

jari tengah 40 cm, serta tinggi tong adalah 1 m. Setelah itu, kemudian Supri

menghitung volume tong tersebut.

Jawaban :

Hal pertama yang dilakukan Supri ialah meletakkan tong pada sisinya. Hal ini

berguna untuk membuat suatu perhitungan aljabar. Pada perhitungan ini Supri

menggunakan dasar rumus Integral Tentu untuk mencari volume tong blueberry

tersebut. Rumus Integral tentu adalah :

∫a

b

f ( x )dx ¿= f (b )−f (a)¿

kemudian Supri menemukan persamaan parabola dengan titik di (0,40) dan

melalui (50,30).

Dan menggunakan rumus:

(x – h) 2 = 4 a (y – k)

Sekarang (h, k) adalah (0, 40) sehingga akan didapatkan :

(x – h) 2 = 4 a (y – k)

(x – 0) 2 = 4 a (y – 40)

2x = 4 a (y – 40) dan parabola melewati (50, 30), sehingga

(50) 2 = 4 a (30 – 40)

2500 = 4 a (-10)

4 a = -250

Jadi persamaan sisi barel

2x = -250 (y – 40)  

y = – 2x / 250 + 40

kemudian mencari volume tong yang dihasilkan ketika kita memutar parabola

antara x = -50 dan x = 50 sekitar sumbu x-.

Maka di dapat perhitungan Integral sebagai berikut :

Jadi , didapat volume tong blueberry yang didapatkan Supri dengan menggunakan

perhitungan integral yaitu  425,2 L.

APLIKASI INTEGRAL DALAM KIMIA

Termodinamika

Termodinamika adalah kajian tentang kalor (panas) yang berpindah.

Dalam termodinamika kamu akan banyak membahas tentang sistem dan

lingkungan. Kumpulan benda-benda yang sedang ditinjau disebut sistem,

sedangkan semua yang berada di sekeliling (di luar) sistem disebut lingkungan.

Usaha Luar

Usaha luar dilakukan oleh sistem, jika kalor ditambahkan (dipanaskan)

atau kalor dikurangi (didinginkan) terhadap sistem. Jika kalor diterapkan kepada

gas yang menyebabkan perubahan volume gas, usaha luar akan dilakukan oleh gas

tersebut. Usaha yang dilakukan oleh gas ketika volume berubah dari volume awal

V1 menjadi volume akhir V2 pada tekanan p konstan dinyatakan sebagai hasil kali

tekanan dengan perubahan volumenya.

W = p∆V= p(V2 – V1)

Secara umum, usaha dapat dinyatakan sebagai integral tekanan terhadap

perubahan volume yang ditulis sebagai :

W =∫V 1

V 2

P dV

Tekanan dan volume dapat diplot dalam grafik p – V. jika perubahan tekanan dan

volume gas dinyatakan dalam bentuk grafik p – V, usaha yang dilakukan gas

merupakan luas daerah di bawah grafik p – V. hal ini sesuai dengan operasi

integral yang ekuivalen dengan luas daerah di bawah grafik.

Gas dikatakan melakukan usaha apabila volume gas bertambah besar (atau

mengembang) dan V2 > V1. sebaliknya, gas dikatakan menerima usaha (atau usaha

dilakukan terhadap gas) apabila volume gas mengecil atau V2 < V1 dan usaha gas

bernilai negatif.

Proses dalam Termodinamika

Terdapat empat proses dalam gas pada bahasan termodinamika. Pada pembahasan

Bab 8, Anda telah mengenal tiga proses, yaitu isotermal, isobarik, dan isokhorik.

Proses yang keempat adalah proses adiabatik. Usaha yang terdapat pada gas yang

mengalami proses-proses termodinamika tersebut akan diuraikan sebagai berikut.

a. Proses Isotermal

Proses isotermal adalah suatu proses perubahan keadaan gas pada suhu tetap.

Gambar 4. A–B merupakan proses isotermal.

Menurut Hukum Boyle, proses isotermal dapat dinyatakan dengan persamaan :

pV = konstan

atau

p1V1 = p2 V2

Dalam proses ini, tekanan dan volume sistem berubah sehingga persamaan W = p

ΔV tidak dapat langsung digunakan. Untuk menghitung usaha sistem dalam

proses isotermal ini digunakan cara integral. Misalkan, pada sistem terjadi

perubahan yang sangat kecil sehingga persamaan usahanya dapat dituliskan

sebagai

dW = pdV                     (1–3)

Jika Persamaan (1–3) diintegralkan maka dapat dituliskan :

∫ dW  = ∫P dV

Dari persamaan keadaan gas ideal diketahui bahwa p = nRT/V. Oleh karena itu,

integral dari Persamaan (9–3) dapat dituliskan menjadi :

∫ dW   = ∫ nRT /V

Jika konstanta n R, dan besaran suhu (T) yang nilainya tetap dikeluarkan dari

integral, akan diperoleh :

∫ dW=nRT∫V 1

V 2

dV /V

W =nRT∈V

W = nR T (lnV2 – lnV1)

W = n RT ln (V2/V1)

atau

W = n RT ln (P2/P1)                         (1–4)

Contoh Soal 3 :

Sepuluh mol gas helium memuai secara isotermal pada suhu 47 °C sehingga

volumenya menjadi dua kali volume mula-mula. Tentukanlah usaha yang

dilakukan oleh gas helium.

Pembahasan:

Diketahui: 

T = 47 °C = (47 + 273) K = 320 K dan V2 = 2V1.

Usaha yang dilakukan gas pada proses isotermal:

W = n RT ln (V2/V1)

W = (10 mol) ( 8,31 J/mol)(320 K) ln (2V2/V1)

W = 26.592 ln 2

W = 18.428 joule

TUGAS KALKULUS

APLIKASI INTEGRAL DALAM TEKNIK

Disusun oleh :

NAMA : DELA ASTRIANA INDAH N

NPM : 3335131150

KELAS : B

FAKULTAS TEKNIK JURUSAN TEKNIK KIMIA

UNIVERSITAS SULTAN AGUNG TIRTAYASA

CILEGON-BANTEN

TAHUN AJARAN 2014/2015