Tugas Matematika Diskrit ( Teori Graf )

1

TUGAS

1. Dapatkah kita menggambar graf teratur berderajat 3 dengan 7 buah simpul?

Mengapa?

2. Tentukan jumlah simpul pada graf sederhana bila mempunyai 20 buah sisi dan

tiap simpul berderajat sama.

3. Berapa jumlah minimum simpul yang diperlukan agar sebuah graf dengan 6

buah sisi menjadi planar? Ulangi soal yang sama untuk 11 buah sisi.

4. Diberikan gambar sebuah graf G seperti di bawah ini.

5. Gambarkan 2 buah graf yang isomorfik dengan graf teratur berderajat 3 yang

mempunyai 8 buah simpul.

6. Sebuah departemen mempunyai 6 kelompok kerja yang setiap bulannya

masing-masing selalu mengadakan rapat satu kali. Keenam kelompok kerja

dengan masing-masing anggotanya adalah: K1 = {Amir, Budi, Yanti}, K2 = {Budi,

Hasan, Tommy}, K3 = {Amir, Tommy, Yanti}, K4 = {Hasan, Tommy, Yanti}, K5 =

{Amir, Budi}, K6 = {Budi, Tommy, Yanti}. Berapa banyak waktu rapat berbeda

yang harus direncanakan sehingga tidak ada anggota kelompok kerja yang

dijadwalkan rapat pada waktu yang sama. Gambarkan graf yang

merepresentasikan persoalan ini lalu (jelaskan sisi menyatakan apa, simpul

menyatakan apa) tentukan jumlah waktu rapat ini.

7. Apakah K13 memiliki sirkuit Euler? Sirkuit Hamilton? Ulangi pertanyaan yang

sama untuk K14

8. Sebuah graf akan dibentuk dari 25 buah sisi. Berapa jumlah maksimum simpul

di dalam graf sederhana yang dapat dibuat dari 25 buah sisi tersebut?

B

A C

G

H

F

D E

(a) Tunjukkan dengan ketidaksamaan Euler bahwa

graf G tidak planar.

(b) Tunjukkan dengan Teorema Kuratowski bahwa

graf G tidak planar.

Tugas Matematika Diskrit ( Teori Graf )

2

JAWABAN

1. Tidak, karena menurut aturan lemma jabat tangan. Jumlah derajat semua simpul

pada suatu graf adalah genap, yaitu 2 kali jumlah sisi pada graf tersebut.

Sedangkan pada graf tersebut :

212

732

.2

2

.

e

e

rne

rne

Jelas tidak memenuhi syarat karena 2 kali jumlah sisi pada graf tersebut ganjil

Kemungkinan jawaban lainnya adalah

2

21e

Jelas bahwa jumlah sisi suatu graf tidak mungkin berupa pecahan, maka tidak

mungkin menggambar graf teratur berderajat 3 dengan 7 buah simpul.

2. Lema jabat tangan

2)(Vv

vd

40202)( Vv

vd

Setiap simpul berderajat sama yaitu berderajat r dan jika n adalah jumlah simpul

pada graf tersebut maka : n r = 40. Jumlah simpul pada graf sederhana tersebut

adalah r

n40

, r > 0 dan r Z positif dan habis dibagi 40.

- Untuk r = 1 maka n = 40 akan terbentuk graf tidak terhubung yang

masing-masing simpulnya berderajat 1 jumlah sisinya adalah 202

40

( memenuhi )

- Untuk r = 2 maka n = 20 akan terbentuk graf lingkaran dengan sisi 20

(memenuhi)

- Untuk r = 3, 6, 7, 9 tidak mungkin sebab r

40 tidak bulat

Tugas Matematika Diskrit ( Teori Graf )

3

- Untuk r > 2 maka graf sederhana dapat terbentuk jika jumlah sisi graf

lengkap dengan derajat r. Jika lebih maka graf tersebut bukanlah graf

sederhana.

r ( derajat ) n( simpul )

Maksimum sisi yang

diijinkan agar terbentuk graf

sederhana

Keterangan

4 10 10. 9/2 = 45 Memenuhi sebab

20 45

5 8 8 . 9/2 = 28 Memenuhi sebab

20 28

8 5 5 . 4/2 = 10 Tidak memenuhi

sebab 20 > 10

10 4 4 . 3/2 = 6 Tidak memenuhi

sebab 20 > 6

..... ........ . .

- Untuk r yang lebih besar lagi tidak akan mungkin lagi terbentuk graf

sederhana sebab jumlah simpulnya akan lebih kecil sehingga maksimum

sisi yang diizinkan juga semakin kecil

Jadi : r yang memenuhi adalah { 1 , 2 , 4 , 5 } dan jumlah simpul di dalam graf

adalah {40 , 20 , 10 , 8 }

3. Menggunakan ketdaksamaan euler

Untuk e = 6

n

n

n

ne

4

312

636

63

Berarti jumlah minimum simpul adalah 4

Untuk e = 11

n

n

n

ne

3

17

317

6311

63

Berarti jumlah minimum simpul adalah 3

17

Tugas Matematika Diskrit ( Teori Graf )

4

4. a) Dengan ketidaksamaan euler jika menggunakan rumus kedidaksamaan euler

e 3n-6. Maka akan terlihat bahwa graf memenuhi ketidaksamaan tersebut (

padahal graf tidak planar)

E 3n -6

15 3 x 8 -6

15 24 6

15 18

Untuk menunjukan bahwa a graf tidak planar kita memenuhi asumsi baru bahwa

setiap setiap daerah pada graf planar dibatasi oleh paling sedikit 4 buah sisi.

Dengan demikian total banyaknya sisi lebih besar atau sama dengan 4f, tetapi

karena suatu sisi berada pada batas paling banyak 2 wilayah maka total banyaknya

sisi lebih kecil atau sama dengan 2e

Jadi, 2e 4f

Dengan rumus eulesmenjadi ketidaksamaan

e 2n -4

15 2.8 -4

15 16 4

15 12 Terbukti

b) Dengan teorema kurawtoksi dapat dibuktikan bahwa graf tersebut mengandung

upograf yang hemeomorfik dengan graf k3,3 atau k5

B

A C

G

H

F

D E

G G1 adalah upagraf dari G

Tugas Matematika Diskrit ( Teori Graf )

5

G2 yang isomorfik dengan G1 G2 homemeomorfik dengan k5

( dengan membuang simpul

A dan C yang berderajat 2 )

5. Gambar 2 buah graf isomorfik ( graf teratur berderajat 3 dengan 8 simpul )

6. Simpul : menyatakan kelompk

Sisi : menyatakan adanya anggota kelompok yang sama

Jika ada sisi yang menghubungkan 2 kelompok berarti kelompok tersebut tidak

boleh rapat pada waktu yang sama.

Tugas Matematika Diskrit ( Teori Graf )

6

Dibawah ini dapat dilihat gambar yang terbentuk untuk untuk mencari jumlah

minimum waktu rapat yang harus disediakan. Kita dapat menggunakan cara yang

sama seperti mencari bilangan eromatis dari graf tersebut.

Setiap warna yang berbeda mewakili satu waktu yang rapat yang dibutuhkan.

Bilangangan eromatis graf tersebut adalah S, maka waktu rapat yang harus

disediakan alah S.

1 waktu untuk K1

1 waktu untuk K2

1 waktu untuk k3

1 waktu untuk k4 dan k5

1 waktu untuk k6

7. Sirkuit euler terdapat pada graf tak berarah yang semua simpul pada graf

tersebut berderajat genap.

Setiap graf lengkap adalah graf hamilton (memiliki sirkuit hamilton)

a. K13 memiliki sirkuit euler sebab setiap simpul pada K13 berderajat 12

orang (genap); Memiliki sirkuit hamilton sebab K13 adalah graf

lengkap (setip graf lengkap adalah graf hamilton)

b. Tidak memiliki sirkuit euler sebab setiap simpul pada K14 berderajat

13 (ganjil). K14 memiliki sirkuit hamilton sebab K14 adalah graf

lengkap.

8. Rumus Lemma Jabat Tangan

nol. dibagi hasil positif Zrdan

,0runtuk r

50nadalah simpulnyajumlah maka 502.25d(V)

2)(

Vv

Vv

EVd

Tugas Matematika Diskrit ( Teori Graf )

7

Batas maksimum simpul didalam graf dirumuskan dengan 2

)1( nndengan rumus

itu akan tercipta graf sederhana

Untuk r = 1 maka n = 50maka memenuhi karena 25 50

Untuk r = 2 maka n = 25 maka memenuhi karena 25 50

Untuk r = 3 maka 105

50n ,

Batas maksimum simpulnya 452

)9(10

2

)110(10

. Jadi memenuhi untuk

n=10 karena 45 45

Untuk r=10 maka n=5, Batas maksimum simpulnya 102

20

2

)15(5

,

maka n = 5 tidak memenuhi karena 25 > 10

Kesimpulannya, Batas maksimum simpul yang dapat dibuat, yaitu 45. Atau

simpul-simpul graf yang memenuhinya n = {50,25,10} dengan r = {1,2,5}