REVIEW MATERI PERTEMUAN 11: AKAR-AKAR PERSAMAAN KARAKTERISTIKMata Kuliah : METODE NUMERIKDosen Pengampu: Elfi Fauziah, S.Si, M.Pd, M.SiNama Mahasiswa : SolehudinNIM : 2012141055Pertemuan : 11RINGKASAN MATERI TOPIK 1 : Metode GrafikMetode pertama untuk menyelesaikan persamaan non-linear adalah metode grafik. Metode grafik merupakan metode sederhana untuk mendapatkan akar perkiraan dari persamaan f(x) = 0 dengan membuat plot dari fungsi dan mengamatinya di mana fungsi tersebut memotong sumbu x. Di titik ini, yang merepresentasikan nilai x yang membuat f(x) = 0, memberikan hampiran kasar bagi akar persamaan itu.

Metode grafik adalah satu cara yang dapat digunakan untuk memecahkan masalah optimalisasi dalam programasi linier. Keterbatasan metode ini adalah variabel yang bisa digunakan terbatas (hanya dua), penggunaan 3 variabel akan sangat sulit dilakukan.

Dalam mencari akar-akar persamaan karakteristik orde dua kita bisa menggunakan metode pemfaktoran atau juga bisa menggunakan rumus ABC. Dimana bentuk umum dari persamaan karakteristik orde dua adalah : a x2 + b x + c = 0 Untuk mencari akar dengan rumus ABC sebagai berikut :

X1 = ( -b + V ( b2 – 4 a c ) / 2 a ) Dan X2 = ( -b – V ( b2 – 4 a c ) / 2 a )Rumusan tersebut hanya bisa digunakan untuk persamaan karakteristik orde dua sedangkan untuk persamaan karakteristik orde lebih dari dua atau persamaan non linier seperti : 2 x3 + 4x – 15 = 0 x2 ln(x-1) + x = 0

2 – 5x + sin x = 0 tentu tidak bisa digunakan untuk mencari penyelesaian akarnya. Persamaan karakteristik berupa polinomial, tingkat tinggi, persamaan sinusioda, persamaan eksponensial atau persamaan logaritmik yang berbentuk f(x) = 0, jika tidak dapat diselesaikan dengan analitis maka digunakan metode peyelesaian pendekatan. Salah satunya kita bisa menggunakan metode grafis.

Metode grafik adalah metode penyelesaian persamaan non linier (transendental) yang paling sederhana dan paling mudah, dengan cara membuat dua buah grafik dari persamaan tersebut. Persamaan dari fungsi f(x) = 0 dipecah menjadi dua bagian (dua persamaan), kemudian diplot / digambarkan untuk dicari titik potongnya. Titik potong tersebut merupakan akar persamaannya.

Metode grafik ini memiliki beberapa kekurangan yaitu :

Jika fungsi f(x) mempunyai beberapa akar (titik) penyelesaian, akar-akar penyelesaian tidak bisa dicari secara bersamaan.

Penyelesaian (titik potong yang dihasilkan) sangat tergantung dari hasil penggambaran grafik tersebut (dipengaruhi oleh penyekalaan bidang koordinat)

Metode grafik ini juga relatif sulit ketika usaha untuk membuat plot grafik fungsinya. Metode ini kurang cukup akurat dan Nilai praktis dari teknik-teknik grafis sangat

terbatas karena kurang tepat. Metode ini digunakan Sebagai pendekatan penyelesaian yang kompleks. Kendalanya

bahwa metode ini Tidak akurat, sangat lama, dan banyak membutuhkan waktu. Eror penyelesaiannya masih relatif besar. Untuk mengurangi error yang besar dapat

dikurangi dengan cara membuat banyak titik koordinat dalam membuat grafiknya. dimana semakin sedikit data titik koordinatnya maka semakin kasar hasil akar persamaan yang diperoleh artinya error nya semakin besar sedangkan jika data titik koordinatnya semakin banyak maka akar persamaan yang dihasilkan semakin halus artinya error nya semakin kecil (jika dibandingkan dengan data titik koordinat sedikit).

Kelebihan dari metode grafik o Metode Grafis ini dapat dimanfaatkan untuk memperoleh taksiran kasar dari

akaro Taksiran-taksran ini dapat diterapkan sebagai terkaan awal untuk metode

numerik. Misalnya, perangkat lunak komputer TOOLKIT elektronik yang menyertai naskah ini membolehkan untuk menggambarkan fungsi pada suatu rentang tertentu. Gambaran  ini dapat digunakan untuk memilih terkaan yang mengurung akar sebelum mengimplementasikan metode numerik.

o Selain menyediakan terkaan kasar untuk akar, tafsiran grafis merupakan sarana yang penting untuk memahami sifat-sifat fungsi dan mengantisipasi kesukaran-kesukaran yang tersembunyi dari metode-metode numerik.

Contoh 1:Fungsi f (x) = x 3 + 4 x – 6 = 0Penyelesaian :

Fungsi dipecah menjadi dua bagian (lebih sederhana), dari fungsi : x3 + 4 x – 6 = 0 didapatkan persamaan bentuk baru 4 x = – x3 + 6 . Yang dapat dipecah nebjadi 4 x = 0 dan – x3 + 6 = 0 .Sehingga didapat dua buah fungsi yaitu f1( x ) = 4 x dan f2 ( x ) = – x3 + 6 dari kedua persamaan ini dibuat grafiknya, untuk mempermudah menggambar ambillah beberapa titik, sehingga tampak tabel seperti di bawah.

 

Tabel titik koordinat untuk fungsi f1(x) = 4 x dan f (x) = – x3 + 6

x f1 (x) f2 (x)– 3 – 27 18– 2 – 8 14

– 1 – 1 100 0 61 1 22 8 – 2

3 27 – 6

Hasil perpotongan grafik yang dihasilkan dari data tabel diatas dimana grafik 1 merupakan kumpulan titik – titik ( x, f1 (x) ) dan grafik 2 merupakan kumpulan titik – titik ( x, f2 (x) ). Akar pendekatannya merupakan perpotongan kedua grafik fungsi untuk fungsi tersebut di titik x = 1,1.

RINGKASAN MATERI TOPIK 2 : Metode BiseksiLangkah-langkah Metode Biseksi

Ide awal metode ini adalah metode table, dimana area dibagi menjadi N bagian. Hanya saja metode biseksi ini membagi range menjadi 2 bagian, dari dua bagian ini dipilih bagian mana yang mengandung dan bagian yang tidak mengandung akar dibuang. Hal ini dilakukan berulang-ulang hingga diperoleh akar persamaan.

Metode Biseksi

Langkah 1

Pilih a sebagai batas bawah dan b sebagai batas atas untuk taksiran akar  sehingga terjadi perubahan tanda fungsi dalam selang interval. Atau periksa apakah benar bahwa

f(a) . f(b) < 0

Langkah 2

Taksiran nilai akar baru, c diperoleh dari :

c=(a+b)/2

Langkah 3

Menentukan daerah yang berisi akar fungsi:

Jika z merupakan akar fungsi, maka f(x < z) dan f(x > z) saling berbeda tanda. f(a)*f(c) negatif, berarti di antara a & c ada akar fungsi. f(b)*f(c) positif, berarti di antara b & c tidak ada akar fungsi

Langkah 4

Menentukan berhentinya itersi:

Proses pencarian akar fungsi dihentikan setelah keakuratan yang diinginkan dicapai, yang dapat diketahui dari kesalahan relatif semu.

RINGKASAN MATERI TOPIK 3 : Metode Regular FalsiMETODE REGULA FALSE

Asumsi awal yang harus diambil adalah sama seperti pada metode bisection yaitu  menebak interval awal [a,b] dimana f(x) adalah kontinu padanya, demikian pula interval tersebut harus mengapit nilai akar , sedemikian sehingga  .

Algoritma:

1. Tebak nilai interval [a,b], tentukan nilai error (e) dan iterasi maksimum (N)2. Cek konvergensi nilai f(a) dan f(b)

Jika tanda f(a)  f(b), nilai awal dapat digunakan untuk iterasi selanjutnya Jika tanda f(a) = f(b), tentukan nilai awal yang baru.

3. lakukan iterasi dan tentukan nilai c (hitung akar),

rumusnya; c = (f(b)a – f(a)b) /  (f(b)  – f(a))

4. cek konvergensi nilai c yaitu jika nilai f(c) = 0 maka hentikan proses iterasi

5.  jika belum konvergensi Tentukan nilai interval baru dengan cara;

jika tanda f(c) = tanda f(a) maka c = a jika tanda f(c) = tanda f(b) maka c = b

CONTOH SOAL

Dengan metode regula falsi, tentukanlah akar dari persamaan    !

Penyelesaian:

Langkah 1. Tentukan nilai interval awal [a,b]. Misal a = 2 dan b = 5, e = 0,001

Langkah 2. Cek konvergensi nilai f(a) dan f(b)

Jika tanda f(a)  f(b), nilai awal dapat digunakan untuk iterasi selanjutnya Jika tanda f(a) = f(b), tentukan nilai awal yang baru.

a=2 maka f(2) = (2)2 – 5(2) + 4= -2

b=5 maka f(5) = (5)2 – 5(5) + 4= 4

karena tanda f(a)  f(b) maka nilai awal dapat digunakan untuk iterasi selanjutnya.

Langkah 3. lakukan iterasi dan tentukan nilai c (hitung akar),

rumusnya;

Iterasi (n) a b f(a) f(b) f(c) c

0 2 5 -2 4 -2 31 3 5 -2 4 -0,889 3,6672 3,667 5 -0,889 4 -0,264 3,9093 3,909 5 -0,264 4 -0,069 3,9774 3,977 5 -0,069 4 -0,018 3,9945 3,994 5 -0,018 4 -0,004 3,9996 3,999 5 -0,004 4 -0,001 47 4 5 -0,001 4 0 4

Iterasi dihentikan karena nilai c6 = c7 (konstan) dan f(c) = 0, sehingga diperoleh akar dari persamaan  adalah 4 pada iterasi ke 7