TUGAS-METODE VARIASI
-
Upload
meli-muchlian -
Category
Documents
-
view
223 -
download
32
Transcript of TUGAS-METODE VARIASI
![Page 1: TUGAS-METODE VARIASI](https://reader035.fdokumen.com/reader035/viewer/2022081415/557202464979599169a341e9/html5/thumbnails/1.jpg)
METODE VARIASI PADA MEKANIKA KUANTUM
Oleh :
Jamaluddin Meli Muchlian Elma Yusnita
![Page 2: TUGAS-METODE VARIASI](https://reader035.fdokumen.com/reader035/viewer/2022081415/557202464979599169a341e9/html5/thumbnails/2.jpg)
Ide Dasar
Harga ekspekstasi dari operator energi H memberikan energi rata-rata, tentunya energi rata-rata ini terkait dengan fungsi keadaan yang digunakan. Energi rata-rata ini harus > atau = keadaan energi terendah dari sistem. Karena energi terendah sebagai batas bawah dari harga ekspektasi maka memungkinkan untuk memilih fungsi gelombang “coba” (trial) yang mengandung sejumlah parameter dan meminimasi harga ekspektasi dengan cara variasi.
![Page 3: TUGAS-METODE VARIASI](https://reader035.fdokumen.com/reader035/viewer/2022081415/557202464979599169a341e9/html5/thumbnails/3.jpg)
Prinsip metode variasi betujuan untuk mencari energi tingkat dasar pada sistem kuantum untuk potensial tertentu. Metode ini menggunakan solusi tebakan fungsi eigen yang ternormalisasi
![Page 4: TUGAS-METODE VARIASI](https://reader035.fdokumen.com/reader035/viewer/2022081415/557202464979599169a341e9/html5/thumbnails/4.jpg)
Perumusan
Misalkan terdapat persamaan eigen dan fungsi gelombang umum yaitu :
Persamaan eigen :
Fungsi gelombang :
nnn EH
nN
nC
![Page 5: TUGAS-METODE VARIASI](https://reader035.fdokumen.com/reader035/viewer/2022081415/557202464979599169a341e9/html5/thumbnails/5.jpg)
Sembarang nilai energi rata-rata untuk suatu fungsi eigen ternormalisasi tertentu tidak mungkin lebih besar dari energi rata-rata tingkat dasarnya. Secara matematis dituliskan
HHEg
![Page 6: TUGAS-METODE VARIASI](https://reader035.fdokumen.com/reader035/viewer/2022081415/557202464979599169a341e9/html5/thumbnails/6.jpg)
Teorema Variasi Jika telah diketahui bahwa operator
Hemiltonian H adalah operator penentu energi terendah Eg maka untuk sistem yang fungsi gelombangnya berlaku :
pers. 2 EgdH *
![Page 7: TUGAS-METODE VARIASI](https://reader035.fdokumen.com/reader035/viewer/2022081415/557202464979599169a341e9/html5/thumbnails/7.jpg)
Untuk sembarang fungsi gelombang ternormalisasi berlakulah :
1* EdH ternormalisasi
Fungsi diekspansi menjadi kombinasi linear yang suku-sukunya merupakan fungsi eigen.
diekspansi ke dalam fungsi eigen
pers.3
k
k
kka
![Page 8: TUGAS-METODE VARIASI](https://reader035.fdokumen.com/reader035/viewer/2022081415/557202464979599169a341e9/html5/thumbnails/8.jpg)
Dan karena adalah fungsi eigen maka padanya berlaku:
pers. 4
Substitusi pers. (3) ke ruas kiri pers. (2)
menggunakan persamaan eigen (4) maka ruas kiri pers. (2) menjadi:
kkk EH
daHadH jk j
jkk ***
k j
jjjkk dEaadH ***
![Page 9: TUGAS-METODE VARIASI](https://reader035.fdokumen.com/reader035/viewer/2022081415/557202464979599169a341e9/html5/thumbnails/9.jpg)
Karena aj , ak dan Ek adalah bukan fungsi
berharga 1, jika k = j dan 0 jika k j
Karena pers.5
Jika Ek pasti > Eg maka,
pers.6
k j k j
kjjjkjkjjk EaadEaadH ****
kj
kkkk EaadH **
2*kkk aaa
kkk EadH 2*
k
gkk
kk EaEadH 22*
![Page 10: TUGAS-METODE VARIASI](https://reader035.fdokumen.com/reader035/viewer/2022081415/557202464979599169a341e9/html5/thumbnails/10.jpg)
Normalisasi
pers.7
Jika disubstitusi ke pers.6
ternomalisasi
1* d
2****1 k j k j k
kkjjkjkjk aaadaad
12
kka
gEdH *
![Page 11: TUGAS-METODE VARIASI](https://reader035.fdokumen.com/reader035/viewer/2022081415/557202464979599169a341e9/html5/thumbnails/11.jpg)
jika tidak ternormalisasi maka ada faktor normalisasi
gEdHA *2
A = faktor normalisasi
Eg = Energi keadaan dasar
Jika diambil sebagai fungsi gelombang ground state yang sesungguhnya, maka
1
11 gEH
![Page 12: TUGAS-METODE VARIASI](https://reader035.fdokumen.com/reader035/viewer/2022081415/557202464979599169a341e9/html5/thumbnails/12.jpg)
Contoh KasusContoh 1 : (Osilator Harmonik)
Anggap kita ingin mencari keadaan energi dasar untuk osilator harmonik satu dimensi:
222
22
2
1
2xm
dx
d
mH
![Page 13: TUGAS-METODE VARIASI](https://reader035.fdokumen.com/reader035/viewer/2022081415/557202464979599169a341e9/html5/thumbnails/13.jpg)
Jawab : Prosedur pertama yaitu mencari fungsi sembarang untuk digunakan
sebagai fungsi eigen ternormalisasi, misalkan kita pilih fungsi
Normalisasikan fungsi tersebut (cari A yang cocok) melalui syarat normalisasi berikut dimana b adalah konstanta:
Selanjutnya mencari masing-masing rata-rata energi potensial dan energi kinetik dari Hamiltoniannya
2
)( bxAex
![Page 14: TUGAS-METODE VARIASI](https://reader035.fdokumen.com/reader035/viewer/2022081415/557202464979599169a341e9/html5/thumbnails/14.jpg)
Energi kinetik rata-rata :
Energi potensial rata-rata :
Hamiltonian total :
Minimalisasikan H terhadap b:
b
m
m
bH
82
22
H min
![Page 15: TUGAS-METODE VARIASI](https://reader035.fdokumen.com/reader035/viewer/2022081415/557202464979599169a341e9/html5/thumbnails/15.jpg)
Contoh 2 :
Misalkan kita ingin mencari keadaan energi dasar potensial fungsi delta
Jawab:
Karena
menentukann normalisasi dan menghitung
![Page 16: TUGAS-METODE VARIASI](https://reader035.fdokumen.com/reader035/viewer/2022081415/557202464979599169a341e9/html5/thumbnails/16.jpg)
Maka
Turunkan H terhadap b
Sehingga
![Page 17: TUGAS-METODE VARIASI](https://reader035.fdokumen.com/reader035/viewer/2022081415/557202464979599169a341e9/html5/thumbnails/17.jpg)
![Page 18: TUGAS-METODE VARIASI](https://reader035.fdokumen.com/reader035/viewer/2022081415/557202464979599169a341e9/html5/thumbnails/18.jpg)
![Page 19: TUGAS-METODE VARIASI](https://reader035.fdokumen.com/reader035/viewer/2022081415/557202464979599169a341e9/html5/thumbnails/19.jpg)
![Page 20: TUGAS-METODE VARIASI](https://reader035.fdokumen.com/reader035/viewer/2022081415/557202464979599169a341e9/html5/thumbnails/20.jpg)
Dimana A diperoleh dari normalisasi:
![Page 21: TUGAS-METODE VARIASI](https://reader035.fdokumen.com/reader035/viewer/2022081415/557202464979599169a341e9/html5/thumbnails/21.jpg)
![Page 22: TUGAS-METODE VARIASI](https://reader035.fdokumen.com/reader035/viewer/2022081415/557202464979599169a341e9/html5/thumbnails/22.jpg)
![Page 23: TUGAS-METODE VARIASI](https://reader035.fdokumen.com/reader035/viewer/2022081415/557202464979599169a341e9/html5/thumbnails/23.jpg)
2.2 Keadaan Dasar Helium Atom helium pada Gambar 3 berisi dua elektron dalam orbit mengelilingi nukleus yang berisi dua proton (sama dengan neutron). Hamiltonian sistm ini (mengabaikan struktur halus dan koreksi yang kecil)
(12)
![Page 24: TUGAS-METODE VARIASI](https://reader035.fdokumen.com/reader035/viewer/2022081415/557202464979599169a341e9/html5/thumbnails/24.jpg)
menghitung keadaan energi dasar , sejumlah besar energi yang akan melepaskan dua electron.
eV (eksperimen) (13)
Gambar Atom Helium
![Page 25: TUGAS-METODE VARIASI](https://reader035.fdokumen.com/reader035/viewer/2022081415/557202464979599169a341e9/html5/thumbnails/25.jpg)
Sehingga solusi eksak adalah fungsi gelombang hidrogenik:
fungsi eigennya sebagian besar Hamiltonian
Sehingga
dimana
![Page 26: TUGAS-METODE VARIASI](https://reader035.fdokumen.com/reader035/viewer/2022081415/557202464979599169a341e9/html5/thumbnails/26.jpg)
Gambar 4. Pemilihan koordinat untuk integral
![Page 27: TUGAS-METODE VARIASI](https://reader035.fdokumen.com/reader035/viewer/2022081415/557202464979599169a341e9/html5/thumbnails/27.jpg)
![Page 28: TUGAS-METODE VARIASI](https://reader035.fdokumen.com/reader035/viewer/2022081415/557202464979599169a341e9/html5/thumbnails/28.jpg)
![Page 29: TUGAS-METODE VARIASI](https://reader035.fdokumen.com/reader035/viewer/2022081415/557202464979599169a341e9/html5/thumbnails/29.jpg)
Dengan mengabaikan pengaruh electron lainnya, kita bisa mengatakan satu electron membentuk awan bermuatan negative sebagai perisai nucleus sehingga electron lainnya dianggap sebagai muatan efektif inti (Z=2). Pendapat ini kita gunakan pada bentuk fungsi percobaan
![Page 30: TUGAS-METODE VARIASI](https://reader035.fdokumen.com/reader035/viewer/2022081415/557202464979599169a341e9/html5/thumbnails/30.jpg)
Harga ekspektasi H otomatis adalah
Nilai ekspektasi
![Page 31: TUGAS-METODE VARIASI](https://reader035.fdokumen.com/reader035/viewer/2022081415/557202464979599169a341e9/html5/thumbnails/31.jpg)
Mengambil nilai ini untuk Z, kita peroleh
![Page 32: TUGAS-METODE VARIASI](https://reader035.fdokumen.com/reader035/viewer/2022081415/557202464979599169a341e9/html5/thumbnails/32.jpg)
Contoh Kasus
![Page 33: TUGAS-METODE VARIASI](https://reader035.fdokumen.com/reader035/viewer/2022081415/557202464979599169a341e9/html5/thumbnails/33.jpg)
![Page 34: TUGAS-METODE VARIASI](https://reader035.fdokumen.com/reader035/viewer/2022081415/557202464979599169a341e9/html5/thumbnails/34.jpg)
![Page 35: TUGAS-METODE VARIASI](https://reader035.fdokumen.com/reader035/viewer/2022081415/557202464979599169a341e9/html5/thumbnails/35.jpg)
![Page 36: TUGAS-METODE VARIASI](https://reader035.fdokumen.com/reader035/viewer/2022081415/557202464979599169a341e9/html5/thumbnails/36.jpg)
Molekul Ion Hidrogen
Ion molekul hidrogen H2+ (1 elektron, 2 proton)
dalam medan coulomb
![Page 37: TUGAS-METODE VARIASI](https://reader035.fdokumen.com/reader035/viewer/2022081415/557202464979599169a341e9/html5/thumbnails/37.jpg)
Hamiltonian :
r1 dan r2 : jarak elektron thd proton
SRATEGI AWAL : Menentukan fungsi gel “trial” dan gunakan
metode variasi utk mendapatkan ikatan pada energi keadaan dasar
![Page 38: TUGAS-METODE VARIASI](https://reader035.fdokumen.com/reader035/viewer/2022081415/557202464979599169a341e9/html5/thumbnails/38.jpg)
Gambaran ion atom hydrogen pada keadaan dasar
![Page 39: TUGAS-METODE VARIASI](https://reader035.fdokumen.com/reader035/viewer/2022081415/557202464979599169a341e9/html5/thumbnails/39.jpg)
![Page 40: TUGAS-METODE VARIASI](https://reader035.fdokumen.com/reader035/viewer/2022081415/557202464979599169a341e9/html5/thumbnails/40.jpg)
![Page 41: TUGAS-METODE VARIASI](https://reader035.fdokumen.com/reader035/viewer/2022081415/557202464979599169a341e9/html5/thumbnails/41.jpg)
I disebut integral overlap/tumpang tindih ; digunakan untuk mengukur jumlah Ψg(r1) overlap Ψg(r2)
![Page 42: TUGAS-METODE VARIASI](https://reader035.fdokumen.com/reader035/viewer/2022081415/557202464979599169a341e9/html5/thumbnails/42.jpg)
Nilai 1 utk R → 0, dan 0 saat R → Bentuk faktor normalisasi :
![Page 43: TUGAS-METODE VARIASI](https://reader035.fdokumen.com/reader035/viewer/2022081415/557202464979599169a341e9/html5/thumbnails/43.jpg)
![Page 44: TUGAS-METODE VARIASI](https://reader035.fdokumen.com/reader035/viewer/2022081415/557202464979599169a341e9/html5/thumbnails/44.jpg)
![Page 45: TUGAS-METODE VARIASI](https://reader035.fdokumen.com/reader035/viewer/2022081415/557202464979599169a341e9/html5/thumbnails/45.jpg)
![Page 46: TUGAS-METODE VARIASI](https://reader035.fdokumen.com/reader035/viewer/2022081415/557202464979599169a341e9/html5/thumbnails/46.jpg)
Contoh kasus 1 : Evaluasi D dan X pd pers.(43) dan (44). Cek jawabannya pad pers.
(45) dan (46) Jawab :
![Page 47: TUGAS-METODE VARIASI](https://reader035.fdokumen.com/reader035/viewer/2022081415/557202464979599169a341e9/html5/thumbnails/47.jpg)
![Page 48: TUGAS-METODE VARIASI](https://reader035.fdokumen.com/reader035/viewer/2022081415/557202464979599169a341e9/html5/thumbnails/48.jpg)
![Page 49: TUGAS-METODE VARIASI](https://reader035.fdokumen.com/reader035/viewer/2022081415/557202464979599169a341e9/html5/thumbnails/49.jpg)
![Page 50: TUGAS-METODE VARIASI](https://reader035.fdokumen.com/reader035/viewer/2022081415/557202464979599169a341e9/html5/thumbnails/50.jpg)
![Page 51: TUGAS-METODE VARIASI](https://reader035.fdokumen.com/reader035/viewer/2022081415/557202464979599169a341e9/html5/thumbnails/51.jpg)
Contoh kasus 2 :
Misalkan kita menggunakan tanda minus pd fungsi gelombang percobaan pers.(35)
Tanpa menggunakan integral baru, cari F(x) dan buktikan kalau tidak ada ikatan
![Page 52: TUGAS-METODE VARIASI](https://reader035.fdokumen.com/reader035/viewer/2022081415/557202464979599169a341e9/html5/thumbnails/52.jpg)
Jawab :
![Page 53: TUGAS-METODE VARIASI](https://reader035.fdokumen.com/reader035/viewer/2022081415/557202464979599169a341e9/html5/thumbnails/53.jpg)
![Page 54: TUGAS-METODE VARIASI](https://reader035.fdokumen.com/reader035/viewer/2022081415/557202464979599169a341e9/html5/thumbnails/54.jpg)
DAFTAR PUSTAKA
![Page 55: TUGAS-METODE VARIASI](https://reader035.fdokumen.com/reader035/viewer/2022081415/557202464979599169a341e9/html5/thumbnails/55.jpg)
TERIMA KASIH