Nama:

Imawan Avicena

Robert Lie N

Rendi Agung Wijaya

Rifqi Annora

Mu’alif W

Wahyu Bagus

Deza Arifandi (06)

Ririn (06)

1. Buktikan melalui induksi matemetik bahwa:a. 1(2)+2(3)+...+n(n+1) = n(n+1)(n+2)/3 untuk semua n1

Penyelesaian:i. Basis induksi : p(1) benar, karena n=1. Kita peroleh bahwa 1=1(1+1)(1+2)/3 1=1ii.Langkah induksi: misal p(n) benar yaitu mengasumsikan bahwa

1(2)+2(3)+...+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3adalah benar (hipotesis induksi). Kita harus memperlihatkan bahwa p(n+1) juga benar, yaitu1(2)+2(3)+...+n(n+1)+(n+1)(n+2)=(n+1)(n+2)(n+3)/3Untuk membuktikan ini tunjukan bahwa1(2)+2(3)+...+n(n+1)+(n+1)(n+2)=(n+1)(n+2)(n+3)/3

n(n+1)(n+2)/3+ =( )/3

)/3=( )/3

( )/3=( )/3

b. = untuk setiap n1

Penyelesaian:i. Basis induksi: p(1) benar, karena n=1. Kita peroleh

1/1(2)=1/1+1

=

ii.Langkah induksi: Misal p(n) benar, yaitu mengasumsikan bahwa

=

adalah benar (hipotesis induksi). Kita harus memperlihatkan bahwa p(n+1) juga benar, yaitu

Untuk membuktikan ini tunjukan bahwa

+

c. untuk semua n1

Penyeesaian:i. Basis induksi: p(1) benar, karena n=1. Kita peroleh

1 = 1ii.Langkah induksi: Misal p(n) benar, yaitu mengasumsikan bahwa

adalah benar (hipotesis induksi). Kita harus memperlihatkan bahwa p(n+1) juga benar, yaitu

Untuk membuktikan ini bahwa

d. untuk semua n0 dan a≠1

Penyelesaian:i. Basis induksi: p(0) dan a=0 benar, karena n=0 dan a=0. Kita peroleh

1=1ii.Langkah induksi: Misal p(n) dan a≠1 benar, yaitu mengasumsikan bahwa

adalah benar (hipotesis induksi). Kita harus memperlihatkan bahwa p(n+1) juga benar, yaitu

Untuk membuktikan ini bahwa

e. untuk semua n0

Penyelesaian:i. Basis induksi: p(0) benar, karena n=0. Kita peroleh

3=3ii.Langkah induksi: Misal p(n) benar, yaitu mengasumsikan bahwa

adalah benar (hipotesis induksi). Kita harus memperlihatkan bahwa p(n+1) juga benar, yaitu

Untuk membuktikan ini bahwa

2. Buktikan melalui induksi matematik bahwa habis dibagi 3 untuk semua n2.

Penyelesaian:a. Basis induksi: p(2)benar, karena n=3. Kita peroleh

habis dibagi 3

habis dibagi 3

b. Langkah induksi: Misal p(n) benar, yaitu mengasumsikan bahwa

habis dibagi 3

adalah benar (hipotesis induksi). Kita harus memperlihatkan bahwa p(n+1) juga benar, yaitu

habis dibagi 3

Untuk menyatakan ini bahwa

=

=

= habis

dibagi 3

3. Carilah dan kemudian buktikan melalui induksi matematik suatu rumus berdasarkan pengamatan berikut

Rumus: belum selesai

4. Buktikan dengan induksi matematik bahwa jumlah pangkat tiga dari tiga bilanga bulat positif berurutan habis dibagi 9.Penyelesaian:Misalkan p(n) adalah proposisi bahwa jumlah pangkat tiga dari tiga buah bilangan bulat positif berurutan habis dibagi 9.

Rumus: habis dibagi 9

a. Basis induksi: p(0) benar, karena

hasil ini habis dibagi 9

b. Langkah induksi: Misalkan p(n) benar. Kita asumsikan bahwa bilangan 0,1,2,3,...,n. Jika hasil pangkat tiga dari tiga buah bilangan yang dijumlahkan habis dibagi 9 (hipotesis induksi). Kita perlu membuktikan bahwa p(n+1) benar, yaitu

untuk semua n0 adalah benar habis dibagi 9.

Dari data di atas, yaitu terlihat bahwa ketiga suku

penjumlahan tersebut adalah suku dari bilangan yang berurutan.

Karena dari langkah (a) dan (b) sudah benar, maka terbukti bahwa jumlah pangkat tiga dari tiga bilangan bulat posiif berurutan habis dibagi 9.

5. Ketika n pasangan tamu tiba di pesta, mereka disambut oleh tuan dan nyoya rumah di pintu. Setelah saling berjabat tangan, tuan rumah bertanya kepada para tamu maupun istrinya untuk mengatakan berapa kali mereka masing-masing telah berjabat tangan. Ia memperoleh 2n+1 jawaban yang berbeda. Jika tidak seorangpun berjabat tangan dengan isrti atau suaminya sendiri, berapa kali nyonya rumah telah berjabat tangan? Buktikan jawaban Anda dengan induksi matematik.Penyelesaian:Minimal tamu yang datang n pasang. Jadi,banyaknya jabat tangan nyonya rumah adalah

.

a. Basis induksi: p(1)benar, karena untuk n=1 pasang, nyonya rumah berjabat tangan sebanyak2.1=2

b. Langkah induksi: Misakan p(n) benar, yaitu asumsikan jumlah jabat tangan nyoya rumah terjadi sebayak 2n (hipotesis induksi). Kita harus menunjukan bahwa p(n+1) juga benar, yaitu jumlah jabat tangan yang dilakukan nyonya rumah dengan n+1 pasang tamu adalah 2(n+1).Hal ini ditujukan sebagai berikut:Untuk n+1 pasang, maka jumlah jabat tangan nyonya rumah yang terjadi haruslah jumlah jabat tangan nyonya rumah dengan tamu n pasang ditambah pasangan tamu ke-(n+1). Menurut hipotesis induksi, untuk n pasang tamu, jumlah jabat tangan nyonya rumah adalah sebanyak 2n. Dengan ditambah pasangan tamu ke-(n+1) maka jumlah jabat tangan nyonya rumah bertambah 2 kali jabat tangan sehimgga menjadi:2n+2=2(n+1)

6. Buktikan bahwa surat pos yang menggunakan perangko 24 sen atau lebih dapat hanya menggunakan perangko 5 sen dan 7 sen saja.Penyelesaian:Kombinasi biaya pos dengan perangko 5 sen dan 7 sen saja untuk biaya sebesar n24 dapat ditulis sebagai kombinasi 5n+7m

Misalkan p(n) adalah proposisi bahwa untuk biaya pos sebesar n24 hanya dapat menggunakan perangko 5 sen dan 7 sen.a. Basis induksi: p(24) benar, karena untuk biaya pos sebesar 24 dapat digunakan 2

buah perangko seharga 5 sen dan 2 buah perangko seharga 7 sen.

b. Langkah induksi: Misalkan p(n) benar yaitu biaya pos sebesar n24 sen selalu dapat menggunakan perangko 5 sen dan 7 sen (hipotesis induksi). Kita harus menunjukkan bahwa p(n+1) benar adalah biaya pos sebesar n+1 juga dapat menggunakan perangko 5 sen dan 7 sen, yaitu Jika untuk membayar biaya pos sebesar n sen digunakan perangko 5 sen dan 7 sen, maka paling sedikit digunakan 2 buah perangko 5 sen dan 2 buah perangko 7 sen (sebab n24), maka dengan mengganti 2 buah perangko 7 sen dengan 23 buah perangko 5 sen sehingga menggunakan 5 buah perangko 5 sen dapat dibayarlah biaya pos sebesar n+1.

7. Untuk biaya pos berapa saja dapat digunakan perangko 5 sen dan 6 sen? Buktikan jawaban Anda dengan menggunakan induksi matematik!

Penyelesaian:Kombinasi biaya pos dengan perangko 5 sen dan 6 sen dapat ditulis sebagai kombinasi 5m+6n

Misalkan p(n) adalah proposisi bahwa untuk biaya pos sebesar n20 sen selalu dapat menggunakan perangko 5 sen dan 6 sen.a. Basis induksi: p(20) benar, karena untuk biaya pos sebesar 20 sen dapat digunakan 4

perangko 5 sen.b. Langkah induksi: Misalkan p(n) benar, yaitu biaya pos sebesar n20 sen selalu dapat

menggunakan perangko 5 sen dan 6 sen (hipotesis induksi). Kita harus menunjukan bahwa p(n+1) benar, yaitu biaya pos sebesar n+1 sen juga dapat menggunakan perangko 5 sen dan 6 sensaja. Ada dua kemungkinan yang harus ditinjau:1) Jika untuk membayar pos sebesar n sen digunakan perangko 5 sen,maka paling

sedikit digunakan 4 buah perangko 5 sen (sebab n20), maka dengan menggganti sebuah perangko 5 sen dengan perangko 6 sen selalu dapat dibayar biaya pos sebesar n+1.

2) Jika untuk membayar pos n sen menggunakan perangko 6 sen, maka paling sedikit digunakan 4 bguah perangko 6 sen (sebab n20), maka dengan mengganti 4 buah perangko 6 sen dengan 5 buah perangko 5 sen diperoleh biaya pos sebesar n+1 sen.

8. Sebuah kios penukaran uang hanya mempuyai pecahan Rp2000 dan Rp 5000. Untuk uang senilai berapa saja yang dapat ditukar dengan kedua pecahan tersebut? Buktikan jawaban Anda dengan menggunaknan induksi matematik.Penyelesaian:Dengan menggunakan pecahan Rp2000 dapt ditukar dengan Rp2000, Rp4000, Rp6000,..., sedangkan dengan pecahan Rp5000 dapat ditukar dengan Rp5000, Rp10000, Rp15000, ....

Misalkan p(n) adalah proposisi yang menujukan jumlah uang n 1000n senilai yang akan ditukar dengan uang Rp2000 dan Rp5000. Kita akan butikan p(n) dengan induksi matematik.a. Basis induksi: p(4) benar, karena uang Rp4000 dapat ditukarkan dengan 2 buah

pecahan Rp2000.

b. Langkah induksi: Misalkan p(n) benar, yaitu asumsikan bahwa kios penukaran dapat menukarkan uang senilai 1000n rupiah dengan pecahan Rp2000 dan Rp5000 (hipotesis induksi). Kita harus membukikan bahwa p(n+1) benar yaitu kios penukaran dapat menukarkan uang senilai 1000(n+1) rupiah dengan menggunakan pecahan Rp2000 dan Rp5000. Ada dua kemungkinan yang kita tinjau:1) Jika untuk uang senilai 1000n rupiah, kios penukaran menggunakan minimal 2

buah pecahan Rp2000 (sebab n4). Dengan mengganti 2 buah pecahan Rp2000 tersebut dengan pecahan Rp5000, maka selalu diperoleh uang senilai 1000(n+1) rupiah.

2) Jika untuk uang senilai 1000n rupiah, kios penukaran menggunakan minimal 1 buah uang pecahan Rp5000 (sebab n4), maka dengan mengganti 1 uang pecahan Rp5000 dengan 3 buah uang pecahan Rp2000 selalu dapat diperoleh uang senilai 1000(n+1) rupiah.