BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Tujuan

Mencari akar persamaan dengan metode Newton Raphson

1.2 Dasar Teori

Persamaan kuadrat

Persamaan kuadrat adalah suatu persamaan polinomial berorde dua. Bentuk umum

dari persamaan kuadrat adalah :

dengan

Huruf-huruf a, b dan c disebut sebagai koefisien : koefisien kuadrat a adalah koefisien

dari , koefisien linier b adalah koefisien dari x, dan c adalah koefisien konstan atau

disebut juga suku bebas.

Ada beberapa metode standar untuk penyelesaian persamaan :

f(x) = 0 (3.1)

Sebagai contoh bentuk polinomial derajat dua berikut ax2 + bx + c = 0 , dapat dicari akar-

akar persamaannya dengan rumus persamaan kuadrat berikut :

x1,2 =

−b±√b2−4 ac2a (3.2)

Demikian pula seperti pada bagian terdahulu beberapa persamaan dapat ditulis dalam

bentuk x = F(x) dengan beberapa cara dan kemudian dikerjakan dengan cara metode

iteratif.

Suatu persamaan seperti persamaan (3.1) mungkin tidak memiliki akar-akar nyata, satu

akar nyata, banyak akar nyata atau bahkan bilangan pasti dari akar nyata. Dalam hal ini

ingin didapatkan semua akar-akar nyatanya, sebagian darinya (semua akar positif) atau

hanya satu akar bagian saja. Persamaannya juga mungkin memiliki akar bilangan

kompleks.

Pada pembahasan berikut, akan dibicarakan yang berkaitan dengan akar-akar nyata.

Pada berbagai pekerjaan computerisasi, terlebih dahulu dapat dibuat sketsa suatu grafik

f(x) dan melihat dimana letak grafik ini memotong sumbu x. Hal itu dapat memperlihatkan

bagaimana banyaknya akar-akar nyata disana dan memberikan suatu ide perkiraan dari

nilainya. Jadi jika grafik f(x) terlihat seperti Gambar.3.1 kita melihat adanya tiga akar

nyata, dalam interval (1,2), (3,4), (5,6).

Gambar.3.1 kurva f(x)

Metode Newton-Raphson 

Metode Newton-Raphson adalah metode pencarian akar suatu fungsi f(x) dengan

pendekatan satu titik, dimana fungsi f(x) mempunyai turunan. Metode ini menggunakan

pendekatan satu titik sebagai titik awal. Semakin dekat titik awal yang kita pilih dengan

akar sebenarnya, maka semakin cepat konvergen ke akarnya. Metode ini paling banyak

digunakan dalam mencari akar-akar dari suatu persamaan. Jika perkiraan awal dari akar-

akar adalah xi, suatu garis isnggung dapat dibuat dari titik (x i, f (xi)). Dimana garis

singgung tersebut memotong sumbu x biasanya memberikan perkiraan yang lebih dekat

dari nilai akar.

Metode Newton-Rephson ini diketahui untuk menyelesaikan dalam bentuk persamaan

(3.1). Pada Gambar.3.2 ditunjukan grafik y = f(x) yang berpotongan dengan sumbu x

pada titik R sebagai akarnya. Pendekatan langsung terhadap akarnya adalah x i, yang

memberikan titik P pada kurva tersebut. Kita gambarkan tangen terhadap kurva di titik P,

yang memotong sumbu di T. Apabila jarak PR adalah kecil, kurva tidak akan menyimpang

terlalu jauh dari garis lurus dalam interval ini, dengan demikian T akan semakin dekat

kepada R. Kita ambil posisi T sebagai pendekatan berikutnya terhadap akar , xi+1

Sekarang tinggi PM adalah f (xi) dan tan PTM = f’(xi) , secara trigonometri sederhana :

Ini merupakan rumusan untuk metode Newton xi+1 = xi -

f ( xi)f '( x i )

(3.3)

Gambar 3.2. Pendekatan untuk metode Newton

1.3 Algoritma

1. Definisikan fungsi f(x) dan f’(x).

2. Tentukan batas toleransi kesalahan (e) dan iterasi maksimumnya (n).

3. Tentukan nilai pendekatan awalnya, x0.

4. Hitung f(x0) dan f’(x0).

5. Untuk iterasi i = 1 ... n atau dengan batas |f (x i )|≥ε

X n+1=X n−f ( Xn )f ' ( Xn )

6. Akar persamaan adalah nilai xi yang terakhir diperoleh.

1.4 Flowchart

Ya

Tidak

Mulai

Defini Fx

Input:Pendekatan awal (x0)

ErrorIterasi max (n)

X=x0

Iterasi= i+1Fx=f(x0)Y1=f’(x0)

Xb=x0-fx/fx1

|xbxo|<errorIter>iter_max

X0=Xb

Tampilkan hasil

Xb,f(xb)

Akar terletak di x dengan

nilai Fx

selesai

1.5 Program

function y=newton21 (x);

y=x.^3-10*x.^2+5

% PROGRAM METODE NEWTON RAPHSON

clc

clear all

x=0.7; %tebakan awal

disp('%LATIHAN PROGRAM METODE NEWTON RAPHSON')

disp('f(x)=x*^3-10*x^2+5')

disp('-----------')

disp('|iterasi xr|ea%|')

disp('--------')

for i=1:5

fx(i)=newton21(x(i));

y1(i)=newton22(x(i));

x(i+1)=x(i)-(fx(i)/y1(i));

ea=abs((x(i)-x(i+1))/x(i+1))*100;

plot(fx,y1); grid on;

xlabel('x');

ylabel('y');

title('grafik f(x)=x.^3-10*x.^2+5');

title('grafik y(1)=3*x^2-20*x');

fprintf('%6.0f%13.8f%13.6f\n',i,x(i+1),ea)

end

function y=newton22 (x);

y=3*x^2-20*x

%PROGRAM METODE NEWTON RAPHSON

clc

clear all

x=0; %tebakan awal

disp('%PROGRAM METODE NEWTON RAPHSON')

disp('f(x)=exp(-x)-x')

disp('-----------')

disp('|iterasi xr|ea%|')

disp('--------')

for i=1:5

fx(i)=newton11(x(i));

y1(i)=newton12(x(i));

x(i+1)=x(i)-(fx(i)/y1(i));

ea=abs((x(i)-x(i+1))/x(i+1))*100;

x1=0:0.1:2;

fx1=newton11(x1);

y12=newton12(x1);

plot(fx,y1); grid on;

xlabel('x');

ylabel('y');

title('grafik f(x)=x.^3-10*x.^2+5');

title('grafik y(1)=3*x^2-20*x');

hold on

plot(x(i+1),fx1(i),'r0');

text(x(i+1)-0.6,fx(i)-0.1,{akar persamaan ',x(i+1)'});

fprintf('%6.0f%13.8f%13.6f\n',i,x(i+1),ea

end

BAB II

HASIL DAN PEMBAHASAN

2.1 Hasil

%PROGRAM METODE NEWTON RAPHSON

f(x)=x*^3-10*x^2+5

-----------

| iterasi xr|ea%|

--------

-20 0 20 40 60 80 100-20

0

20

40

60

80

100

x

y

grafik y(1)=3*x2-20*x

Y 0.4430

Y -12.5300

Y -0.0098

Y -13.0849

Y -4.3998e-006

Y -13.0731

Y -8.8374e-013

Y -13.0731

Y 0

Y -13.0731

-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-4

-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

x

y

grafik f(x)=exp(-x)-x

%PROGRAM METODE NEWTON RAPHSON

f(x)=exp(-x)-x

-----------

|iterasi xr|ea%|

--------

1 0.50000000 100.000000

2 0.56631100 11.709291

3 0.56714317 0.146729

4 0.56714329 0.000022

5 0.56714329 0.000000

2.2 Pembahasan

Metode Newton-Raphson didasarkan pada pemakaian turunan (yakni kemiringan) suatu

fungsi untuk menaksir pemotongan dengan sumbu peubah bebasnya-yakni akar. Taksiran ini

didasarkan pada uraian deret Taylor

f ( xr+1 )=f ( xr )+( xr+1−xr ) f ' ( xr )

Dimana xr adalah tebakan awal pada akarnya dan xr+1 adalah titik tempat garis

singgung memotong sumbu x. pada perpotongan ini, f ( xr+1 ) yang didefinisikan sama dengan

nol, dapat disusun kembali untuk menghasilkan

f ( xr+1 )=xr−f ( xr )f ' ( xr )

Yang merupakan bentuk persamaan tunggal dari Metode Newton Raphson.

Untuk memahami metode Newton Raphson lebih lanjut maka kita mengambil contoh

penyelesaian kasus berikut :

Gunakan metode Newton Raphson untuk menentukan akar dari f ( x )=x3−10 x2+5 dengan

tebakan awal x=0.7

Penyelesaian :

Langkah 1: Mencari turunan pertama dan kedua dari f(x), yaitu : f ' x1=3 x2−20 x

Langkah 2: menentukan titik x1, missal x1 = 0.7

Langkah 3: Melakukan Iterasi dengan persamaan:

Iterasi 1:

x i+1=x i

f ( xi )f

' ( xi ) x i+1=x i

x i−x3−10 x2+5

3 x2−20 x

¿ 3 x3−20 x2−x3+10 x2−53 x2−20 x2

¿ 2 x3−10 x2−5x (3 x−20 )

x1=2 0.73−10. 0.72−50.7 (3 (0.7 )−20 )

x1=0.73536

Iterasi 2

x2=2 (0.73536 )3−10 (0.73536 )2−5

0.73536 (3 (0.73536 )−20 )

x2=0.7346

Iterasi 3

x3=2 (0.7346 )3−10 (0.7346 )2−5

0.7346 (3 (0.7346 )−20 )

x=0.7346

Proses iterasi ini dilanjutkan terus sampai didapatkan nilai x yang tidak berubah atau hampir

tidak berubah.

Dari contoh kasus di atas serta penyelesaiannya dapat dilihat bahwa metode Newton Raphson

sangat sederahana.

BAB III

PENUTUP

Kesimpulan

Dalam analisis numerik, metode Newton (juga dikenal sebagai metode Newton-

Raphson)yang mendapat nama dari Issac Newton dan Joseph Raphson, merupakan metode

yang paling dikenal untuk mencari hampiran terhadap akar fungsi real.

Metode Newton-Raphson sering konvergen dengan cepat, terutama bila iterasi dimulai

“cukup dekat” dengan akar yang diinginkan. Namun bila iterasi dimulai jauh dari akar yang

dicari, metode ini dapat meleset tanpa peringatan. Implementasi metode ini biasanya

mendeteksi dan mengatasi konvergensi.

Metode Newton Raphson akan konvergen secara lambat atau mungkin gagal jika kurva

fungsinya hampir datar di sekitar akar atau titik-titik belok / balik, yakni jika terjadi f '(x) =0.

Kelebihan metode : Dapat menyelesaikan persamaan kompleks dengan lebih cepat dan efisien.

Kekurangan metode : Sulit menghitung fungsi derivative dan banyak melakukan iterasi.

DAFTAR PUSTAKA

Atkinson, Kendal (1993). Elementar Numerical Analysis. second edition. John Wiley & Sons,

Singapore.

Borse, G.J (1997). Numerical Methods with MATLAB, A Resource for Scientiests and

Engineers. PWS Publishing Company, Boston.

Conte, Samuel D. & Carl de Boor (1981). Elementary Numerical Analysis, An Algorithmic

Approach. 3rd edition. McGraw-Hill Book Company, Singapore

Gerald, Curtis F. & Patrick O. Wheatly (1994). Applied Numerical Analysis. 5th edition.

Addison-Wisley Pub. Co., Singapore

Jacques, Ian & Colin Judd (1987). Numerical Analysis. Chapman and Hall, New York.

Mathews, John H (1992). Numerical Methods for Mathematics, Science, and Engineering.

second edition. Prentice-Hall, Inc. Englewood Cliffs, New York.

Rinaldi Munir, Metode Numerik, Penerbit Informatika, 2010.

Scheid, Francis (1989). Schaum's Outline Series Theory and Problems of Numerical Analysis.

2/ed. McGraw-Hill Book Company, Singapore.

Volkov, E. A (1990). Numerical Methods. Hemisphere Publishing Company, New York.