Menghitung Semua Kemungkinan

(Accounting All Possibilities)

Menghitung semua kemungkinan secara sistematis

merupakan strategi yang sering digunakan bersama-sama

dengan strategi mencari pola dan membuat tabel, karena

kadang kala tidak mungkin untuk mengidentifikasi seluruh

kemungkinan himpunan penyelesaian. Dalam kondisi

demikian, kita dapat menyederhakan dengan mengkategorikan

semua kemungkinan kedalam beberapa bagian. Namun, jika

memungkinkan kadang-kadang perlu mengecek atau

menghitung semua kemungkinan jawaban.

Strategi ini seringkali disebut dengan

mengeliminasi/menghilangkan kemungkinan yakni strategi

di mana pemecah masalah menghilangkan kemungkinan

jawaban sampai menyisakan jawaban yang benar karena

strategi ini berkaitan dengan penggunaan aturan-aturan yang

dibuat sendiri oleh pemecah masalah selama proses

pemecahan masalah berlangsung sehingga dapat dipastikan

tidak akan ada satupun alternatif yang terabaikan. Ini adalah

strategi pemecahan masalah yang dapat digunakan dalam

masalah matematika dasar atau untuk membantu memecahkan

masalah logika.

Tanpa disadari kita sering menggunakan strategi

pemecahan masalah ini dalam kehidupan sehari-hari. Misalnya

ketika diundang untuk datang pada suatu pertemuan, baik

secara tertulis maupun mental kita mendaftar semua

kemungkinan jenis transportasi (misalnya kereta, pesawat,

mobil, bus, helikopter, dll) yang dapat digunakan untuk

memutuskan jalan terbaik untuk pergi ke pertemuan tersebut

dengan mengeliminasi atau memilih secara langsung

(disebabkan oleh waktu, biaya, dll).

Ketika sebuah program komputer mengalami

kerusakan dan kita harus menentukan apa penyebabnya, kita

biasanya memulai dengan mendaftar (sekali lagi, mungkin

secara mental) faktor yang mungkin menyebabkan kerusakan

tersebut. Kemudian, satu demu satu, kita memeriksa titik-titik

masalah yang mungkin yang ada di dalam daftar sampai kita

menemukan satu faktor yang menyebabkan kerusakan

tersebut.

Menghilangkan kemungkinan membantu pemecah

masalah mengatur informasi dan mengevaluasi mana potongan

informasi yang mereka akan menggunakan, menghilangkan

informasi yang tidak sesuai. Hal ini mendorong pemecah

masalah untuk mempertimbangkan semua pilihan dan

mempersempit kemungkinan untuk menyisakan pilihan yang

masuk akal.

A. Masalah dan penyelesaiannya

Berikut ini disajikan beberapa masalah dan

penyelesaiannya menggunakan strategi memperhitungkan

semua kemungkinan.

1. Jika ada 4 bahan topping pizza (jamur, bawang putih,

papperoni, lada hitam), berapa banyak pizza yang dapat

dibuat dengan menggunakan satu, dua, tiga atau empat

topping?

Penyelesaian:

Kita misalkan J = Jamur, B = Bawang putih, P =

Paperoni, L = Lada Hitam.

Yang pertama dilakukan adalah mendaftar semua

kemungkinan pizza sesuai dengan syarat yang ditentukan.

Satu topping: J, B, P, L (4 pizza)

Dua topping: JB, JP, JL, BP, BL, PL (6 pizza)

Tiga topping: JBP, JBL, JPL, BPL (4 pizza)

Empat topping: JBPL (1 pizza)

Dari daftar di atas dapat diketahui bahwa pizza yang

dapat dibuat dengan beragam topping sebanyak 15 pizza.

2. Penyebut suatu pecahan dipilih secara acak dari

himpunan bilangan ganjil {1, 3, 5, 7, 9} dan

pembilangnya dipilih secara acak dari himpunan lima

bilangan asli pertama {1, 2, 3, 4, 5}. Berapakah peluang

bahwa pecahan yang terbentuk, ketika dinyatakan dalam

bentuk desimal, akan menjadi bilangan desimal terbatas?

Penyelesaian:

Akan ada sejumlah pecahan yang mungkin, yaitu, 25

(karena ada 5 pilihan untuk pembilang dan 5 pilihan

untuk penyebut, 5 X 5 = 25). Siswa dapat menulis semua

25 pecahan, mengkonversikannya ke bentuk desimal

menggunakan kalkulator, kemudian menentukan desimal

yang terbatas. Metode ini akan menghasilkan jawaban

yang benar, tapi mungkin agak membosankan.

Sebaliknya, mari kita mempertimbangkan semua

kemungkinan dengan beberapa penalaran matematika.

Pecahan akan menjadi desimal terbatas jika penyebut

hanya memuat faktor-faktor 1, 2 atau 5. Jadi kita tahu

bahwa 20 pecahan dengan penyebut 1, 2, 4, dan 5

semuanya akan menjadi desimal terbatas.

Selanjutnya, kita hanya perlu memeriksa lima pecahan

dengan penyebut 3 yakni

pecahan tersebut hanya

desimal terbatas, sedangkan

Jadi dapat diketahui bahwa 22 dari 25 pecahan dapat

membentuk desimal terbatas. Dengan kata lain

peluangnya sebesar

,

dan

,

,

,

,

yang akan membentuk

, dan

tidak terbatas.

. Dari kelima

.

3. Temukan semua pasang bilangan bulat berturut-turut

yang kurang dari 25, sedemikian sehingga jika

dikuadratkan, selisihnya membentuk bilangan kuadrat

sempurna.

Penyelesaian:

Biasanya siswa mulai menyelesaikan dengan membentuk

sepasang persamaan sebagai berikut:

Misal x bilangan terkecil dari dua bilangan berturut-turut.

Misal x + 1 bilangan terbesar dari dua bilangan berturut-turut.

Maka,

Persamaan yang diperoleh adalah persamaan dua variabel

yang kebanyakan siswa menengah ke atas sulit untuk

menyelesaikannya.

Karena jawaban permasalahan yang diberikan adalah

bilangan bulat, kita dapat membentuk persamaan

Diophantine dari persamaan dua variabel tersebut, yakni:

Untuk x,

Jika x merupakan bilangan bulat, maka z pasti merupakan

bilangan ganjil di mana z

akan mempertimbangkan setiap bilangan ganjil dan

mensubtitusikannya ke persamaan di atas.

Bilangan

Ganjil

(z)

1 0 1 1

3 4 5 5

5 12 13 132

7 24 25 252

9 40 41 412

Dengan mempertimbangkan semua kemungkinan kita

bisa fokus dalam mencari nilai penyelesaian dari masalah

yang diberikan. Jadi himpunan pasangan bilangan

berurutan yang kurang dari 25 yang selisih kuadratnya

membentuk bilangan kuadrat sempurna adalah:

4. Berapa banyak cara membagikan 20 pensil kepada tiga

orang anak, sehingga setiap anak akan menerima

setidaknya 1 pensil?

Penyelesaian:

Langkah pertama adalah mendaftar semua kemungkinan

pembagian 20 pensil kepada 3 orang anak. Untuk

2

1 hais dibagi 2. Sekarang kita

x x +1 (x+1)2

2

x

= z

2

Syarat x , x + 1 25

2

2

0

= 1 Memenuhi

2

2

= 9 Memenuhi

4

122

= 25 Memenuhi

242

= 49 Memenuhi

402

= 81 Tidak Memenuhi

mempermudah mendaftar kemungkinan-kemungkinan

berapa pensil untuk setiap anak, maka kita menggunakan

tabel seperti berikut.

Anak 1 Anak 2 Anak 3 Kombinasi

1 1 18 3 cara

1 2 17 6 cara

1 3 16 6 cara

1 4 15 6 cara

1 5 14 6 cara

1 6 13 6 cara

1 7 12 6 cara

1 8 11 6 cara

1 9 10 6 cara

2 2 16 3 cara

2 3 15 6 cara

2 4 14 6 cara

2 5 13 6 cara

2 6 12 6 cara

2 7 11 6 cara

2 8 10 6 cara

2 9 9 3 cara

3 3 14 3 cara

3 4 13 6 cara

3 5 12 6 cara

3 6 11 6 cara

3 7 10 6 cara

3 8 9 6 cara

4 4 12 3 cara

4 5 11 6 cara

4 6 10 6 cara

4 7 9 6 cara

4 8 8 3 cara

5 5 10 3 cara

5 6 9 6 cara

5 7 8 6 cara

6 6 8 3 cara

6 7 7 3 cara

Setelah itu, kita menjumlahkan semua cara yang telah

didaftar, di mana kombinasi dua angka menghasilkan 3

cara dan kombinasi tiga angka menghasilkan 6 cara.

Sehingga diperoleh:

9 x 3 = 27

24 x 6 = 144

= 171 cara

Jadi, dengan menghitung semua kemungkinan kita dapat

mengetahui bahwa ada 171 cara membagikan 20 pensil

kepada tiga orang anak.

+

5. Diberikan segitiga ABC, di mana

. Apakah jenis segitiga

ABC tersebut?

Penyelesaian:

Beberapa siswa akan mencoba untuk menggantikan nilai-nilai untuk sudut A, B, dan C, dan menyelesaikan masalah.

Hal ini biasanya menyebabkan berbagai kesulitan. Masalah

ini akan dipecahkan dengan mempertimbangkan semua

kemungkinan jenis segitiga.

a) Segitiga ABC adalah segitiga siku-siku. Jika segitiga

ABC adalah segitiga siku-siku, maka salah satu

sudutnya harus 90, dan cos 90 = 0. Sehingga

, hal ini bertentangan

dengan syarat yang diberikan.

b) Segitiga ABC adalah segitiga tumpul. Jika segitiga

ABC adalah segitiga tumpul, maka salah satu sudut

nya (mari kita asumsikan sudut B) harus memiliki

ukuran yang lebih besar dari 90, sedangkan sudut A

dan C keduanya harus lancip. Diperoleh < 0,

sedangkan cos > 0 dan > 0. Di sini,

. Sekali lagi, hal ini

tidak sesuai dengan syarat yang diberikan.

c) Segitiga ABC adalah segitiga lancip. Jika segitiga

ABC adalah lancip maka ketiga sudut segitiga ABC

harus lancip. Jadi, cos A > 0, cos B > 0, dan

cos C > 0. Hal ini membuat cos A . cos B . cos

C > 0. Jadi dapat disimpulkan segitiga ABC adalah

segitiga lancip.

6. Sebuah digit disisipkan di antara bilangan kuadrat

sempurna dua digit, untuk membentuk bilangan kuadrat.

Tentukan bilangan kuadrat tiga digit yang terbentuk dengan

cara ini.

Penyelesaian:

Solusi aljabar mungkin dapat memecahkan masalah ini.

Namun, jelas tidak seefisien menggunakan strategi

menghitung semua kemungkinan.

Langkah pertama adalah memahami masalah. Yang

dimaksud adalah mengidentifikasi potongan kunci

informasi yang dibutuhkan untuk menemukan jawabannya.

Hal ini mungkin mengharuskan pemecah masalah untuk

membaca masalah beberapa kali atau menempatkan

masalah ke dalam kata-kata mereka sendiri.Strategi

menghilangkan kemungkinan dapat digunakan dalam

situasi ini dimana ada satu set jawaban yang mungkin.

Sehingga kita mendaftar bilangan kuadrat dua digit:

16, 25, 36, 49, 64, dan 81

dan bilangan kuadrat tiga-digit:

100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361,400, 441,

484, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, dan 961.

Selanjutnya, kita memeriksa nilai tempat ratusan dan

satuan pada setiap bilangan kuadrat dan mencari bilangan

yang sesuai dengan kriteria masalah.

Oleh karena itu kita menghilangkan bilangan kuadrat tiga

digit yang nilai ratusan dan satuannya tidak sama dengan

bilangan kuadrat dua digit.

*, *, *, *, 196, 225, *, *, *, *,*, *, *, *, *, *, *, *, *, 841,

*,*.

Sehinigga akan ditemukan bilangan kuadrat tiga digit yang

tersisa yang sesuai dengan kriteria masalah yakni berasal

dari bilangan kuadrat dua digit yaitu 196, 225, dan 841.

Daftar Pustaka:

Anonymous. Eliminating Possibilities.

http://www.teachervision.fen.com/math/problemsolvin

g/48898.html (diunduh pada 17 Desember 2012)

Anonymous. Math Strategies.

http://ehlt.flinders.edu.au/education/DLiT/1999/Teach

/litster/maths_page.htm#Systematical (diunduh pada

17 Desember 2012)

Posamentier, Alfred S dan Stephen Krulik. 1998. Problem

Solving Strategies for Efficient and Elegant Solutions

a Resource for the Mathematics Teacher.

California:Corwin Press, Inc.

trategi Pemecahan Masalah: Menghitung SemuaKemungkinanDEC 7Posted bySitti Busyrah MuchsinMenghitung semua kemungkinan secara sistematis merupakan strategi yang sering digunakan bersama-sama dengan strategi mencari pola dan membuat tabel, karena kadang kala tidak mungkin untuk mengidentifikasi seluruh kemungkinan himpunan penyelesaian. Dalam kondisi demikian, kita dapat menyederhakan dengan mengkategorikan semua kemungkinan kedalam beberapa bagian. Namun, jika memungkinkan kadang-kadang perlu mengecek atau menghitung semua kemungkinan jawaban.Strategi ini seringkali disebut dengan mengeliminasi/menghilangkan kemungkinan yakni strategi di mana pemecah masalah menghilangkan kemungkinan jawaban sampai menyisakan jawaban yang benar karena strategi ini berkaitan dengan penggunaan aturan-aturan yang dibuat sendiri oleh pemecah masalah selama proses pemecahan masalah berlangsung sehingga dapat dipastikan tidak akan ada satupun alternatif yang terabaikan. Ini adalah strategi pemecahan masalah yang dapat digunakan dalam masalah matematika dasar atau untuk membantu memecahkan masalah logika.Tanpa disadari kita sering menggunakan strategi pemecahan masalah ini dalam kehidupan sehari-hari. Misalnya ketika diundang untuk datang pada suatu pertemuan, baik secara tertulis maupun mental kita mendaftar semua kemungkinan jenis transportasi (misalnya kereta, pesawat, mobil, bus, helikopter, dll) yang dapat digunakan untuk memutuskan jalan terbaik untuk pergi ke pertemuan tersebut dengan mengeliminasi atau memilih secara langsung (disebabkan oleh waktu, biaya, dll).Ketika sebuah program komputer mengalami kerusakan dan kita harus menentukan apa penyebabnya, kita biasanya memulai dengan mendaftar (sekali lagi, mungkin secara mental) faktor yang mungkin menyebabkan kerusakan tersebut. Kemudian, satu demu satu, kita memeriksa titik-titik masalah yang mungkin yang ada di dalam daftar sampai kita menemukan satu faktor yang menyebabkan kerusakan tersebut.Menghilangkan kemungkinan membantu pemecah masalah mengatur informasi dan mengevaluasi mana potongan informasi yang mereka akan menggunakan, menghilangkan informasi yang tidak sesuai. Hal ini mendorong pemecah masalah untuk mempertimbangkan semua pilihan dan mempersempit kemungkinan untuk menyisakan pilihan yang masuk akal.Berikut beberapa contoh masalah yang dapat diselesaikan dengan menggunakan strategi menghitung semua kemungkinan.

Tugas 2

10 STRATEGI DALAM MEMECAHKAN MASALAHMATEMATIKAFebruari 7, 2014

Dalam bukuProblem Solving Strategies for Efficient and Elegeant Solutions, Alfred S. Posamentier dan Stephen Krulik menyatakan bahwa ada 10 buah strategi pemecahan masalah. Kamu dapat mendownload materi dari kesepuluh strategi tersebut di bawah ini !!Bekerja mundur ( Working Backwards)Menemukan pola ( Finding a Pattern )Melihat dari sudut pandang berbeda ( Adopting a Different Point of View )Menyederhanakan masalah ( Solving a Simpler analogous Problem)Mempertimbangkan hal yang tidak mungkin/ ekstrim ( Considering Extreme Cases)Menggunakan Gambar sebagai Representasi Visual (Making a Drawing (Visual RepresentationMenebak dan Menguji (Intelligent Guessing and Testing )Mendaftar semua kemungkinan (Accounting for All Posibilities)Mengatur data (Organizing Data)Membuat penalaran logis (logical Reasoning)Semoga materi tersebut dapat bermanfaat dan saya berharap setelah membaca dan memahami materi tersebut kamu dapat berkata wah, ternyata MATEMATIKA ITU MUDAH (XiXiXiXiXiXi :D) dan tentunya semakin giat lagi untuk belajar matematika. Aminn:)

Simpler Analogous Problem Strategi Menyelesaikan Masalah dengan Menyederhanakan Masalah yangSerupaSeperti yang telah kita ketahui bersama bahwa ada lebih dari satu cara untukmenyelesaikan suatu masalah. Persoalannya adalah bagaimana menemukan metodeterbaik, cara yang efisien, atau metode yang mampu membuka pikiran kita untukmenyelesaikan masalah tertentu. Sebuah metode kadang menghasilkan suatu masalahterlihat menjadi lebih sederhana dan menjadi sesuatu yang mungkin lebih mudah untukdipecahkan. Strategi pemecahan masalah dengan menyederhanakan masalah inibiasanya dengan mencobakan masalah ke suatu bentuk yang lebih sederhana, kemudiansetelah didapatkan solusi yang berupa pola penyelesaian masalah sederhana ini, kitadapat menggunakannya untuk menyelesaikan pada masalah awal yang lebih kompleks(rumit). Sehingga untuk melakukannya diperlukan pemahaman atau pengetahuanbagaimana cara menyelesaikan masalah yang lebih kompleks menjadi masalah yangsederhana.Penerapan metode ini dalam kehidupan sehari-hari misalnya seorang koki inginmembuat atau menemukan resep kue baru. Untuk membuat kue dalam porsi yang besar tentunya koki tersebut harus menemukan takaran (ukuran) yang pas dari bahan-bahannya.Agar tidak banyak bahan yang terbuang dalam pembuatan porsi yang besar,dia harus mencobanya dulu dalam takaran yang kecil (menyederhanakan masalah).Apabila dia telah menemukan takaran yang pas, maka koki tersebut dapat membuat kuedalam porsi yang besar dengan menggunakan perbandingan dari takaran yang telahditemukannya tadi.Contoh lain yaitu apabila seorang pengendara mobil hendak bepergian jauh, dan diatidak ingin mengisi bahan bakar selama perjalanannya. Sehingga dia harus mengetahuijumlah bahan bakar yang diperlukannya untuk menempuh perjalanan tersebut. Denganmetode penyederhanaan masalah ini, pengendara mobil dapat menentukan berapa literbensin yang harus dipersiapkannya dengan cara memperkirakan banyaknya penggunaanbahan bakar dalam jarak yang lebih dekat. Misalkan, 7 km dapat ditempuh denganmenghabiskan 2 liter bensin. Sehingga pengendara tersebut dapat menghitung berapajumlah bahan bakar yang dibutuhkannya dengan menggunakan perbandingan dalam perkiraannya tadi.Berikut ini beberapa contoh permasalahan yang dapat dikerjakandengan menggunakan metode iniMisalkan kereta penumpang jalur Surabaya Madiun selalu berangkat tiap jam dari masing-masing kota. Dalam perjalanan dari Madiun ke Surabaya, suatu kereta shuttle akan bertemu dengan x banyaknya kereta shuttle yang lain dengan arah yang berlawanan. Jika waktu yang dibutuhkan kereta untuk sekali jalan tepat 4 jam, berapa nilai x?Solusi :Untuk menentukan kecepatan kereta dan melakukan simulasi untuk menghitung berapakereta yang lewat tentunya akan memakan banyak waktu.Kita dapat menggunakan simpler analogous problem untuk mempermudahmemecahkan masalah tersebut. Perhatikan kasus berikut. Pada saat suatu kereta, sebut96kereta A, meninggalkan Madiun, misalkan pada pukul 14.00, maka ia akan bertemukereta yang berangkat dari Surabaya pukul 10.00. Dan ketika kereta A tiba di Surabayapada pukul 18.00 (lama perjalanan 4 jam), maka ia akan bertemu dengan kereta yangakan meninggalkan Surabaya pada pukul 18.00. Jadi kereta A tersebut akan bertemudengan kereta yang berangkat dari Surabaya pada pukul 10.00,11.00,12.00,13.00,14.00,15.00,16.00,17.00,18.00 (karena kereta berangkat tiap jam darimasing-masing kota). Jadi total ada 9 kereta.