Tugas halaman 100

8/17/2019 Tugas halaman 100

1/39

Tugas halaman 100

1. Diketahui : titik A dan B, garis g∋ A∉g , B∉g

Lukis :

a. g' =S A SB(g)

b. Garisk ∋쭔 A SB (k )=g

c. Garish∋S A SB (h )=h

Lukisan :

a. g' =S A SB(逜)

b. Garisk ∋S A SB (k )=g

c. Garish∋S A SB (h )=h

g ' =S A㉹B(g)

g SB(g)

B A

棨

SB(k )

A k g=S A SB(k )

h

B A


2/39

2. Diketahui : garis g dan h berpotongan. Titik A dan B tidak terletak pada garis

g dan h.

Lukis :

a. M g S A SB(h)

b. 昰∋S A SB M h (h )=g

Lukisan :

a. M g S A SB(h)

b. k ∋S A SB M h (h )=g

3. Diketahui : g= {( x , y )│2 x−5 y=4 } dan A= (1,4 )

Ditanya :

a. apakah C (−1,6)∈ g' =S A (g)

b. persamaan g ' Jawab :

a. g :2 x−5 y=4

Karena g' =S A (g) dan A=(1,4)∉g maka menurut teorema .!" g // g ' .

g


3/39

#ntuk mengetahui apakah C (−1,6)∈ g' =S A (g) maka harus di$ari

S A (C )=( x , y) lalu diselidiki apakah ( x , y )∈g

%enurut teorema .& maka

S A (C )=(2.1 — 1,2.4−6)

⇔ ( x , y )=(2−1,8−6 )

⇔( x , y )=(1,2)

%aka diperoleh x=1, y=2

'ubstitusikan nilai x dan y ke persamaan g

Diperoleh 2.1−5.2=2−10=−8

Karena ( x , y ) tidak memenuhi persamaan g maka ( x , y )=S A (C )∉g

maka C ∉g' =S A(g)

b. #ntuk menentukan persamaan g ' maka dihitung gradien g ' dan

diambil salah satu titik P∈

g " misalnya P=(7,2)

%akaS A ( P )=(2.1−7,2.4−2)

⇔ S A ( P )=(2−7,8−2 )

⇔ S A ( P )=(−5,6)

Karena P∈ g dan g' =S A (g) maka S A ( P )∈ g ' .

g :2 x−5 y=4 maka gradient g adalah2

5

g' =S A (g) sehingga g // g ' maka gradien g=¿ gradien g' =

2

5

y−7=25( x−2)

⇔ y=7+ 25

x−25

.2

⇔ y=7+ 25

x−45


4/39

⇔ y=25

x+ 315

⇔5 y=2 x+31

⇔−2 x+5 y=31

Jadi" persamaan garis g ' adalah −2 x+5 y=31 .

&. Diketahui : g= {( x , y )│ 3 x+2 y=4 } dan A=(−2,1)

Ditanya :

a. k ∋ D=(3,k )∈ g' =S A(g)

b. (ersamaan g '

$. (ersamaanh∋S A (h )=g

Jawab :

a. #ntuk menentukan k maka diambil titik P=( x , y )∈g sehingga

2.−2− x=3

⇔−4− x=3

⇔ x=−7

'ubstitusikan x=−70 pada persamaan g maka 3 x+2 y=4

⇔3.−7+2 y=4

⇔−21+2 y=4

⇔2 y=25

⇔ y=252

%aka P=( x , y )=(−7, 25

2)

Karena P=(−7, 25

2 )

dan A= (−2,1 ) maka menurut teorema .& maka

S A ( P )=(2.−2 — 7 ) ,2.1−25

2


5/39

⇔ (3,k )=(−4+7,2−252 )

⇔(3,k )=(3,−21

5 )

'ehingga diperolehk =−21

5

b. #ntuk menentukan persamaan g ' maka harus ditentukan gradien g '

Karena g' =S A (g) maka menurut teorema .! g // g ' sehingga gradien

g=¿ gradien g ' g :3 x+2 y=4 maka gradien g adalah

−32 sehingga gradien

〱' =

−32

Berdasarkan )awaban soal a" maka D=(3,−215 )∈g'

'ehingga persamaan ' adalah

y−3=−32 ( x —

21

5 )⇔ y=−3

2 ( x+21

5 )+3

⇔ y=−32

x−32

. 215

⇔ y=−3

2

x−63

10

⇔10 y=−15ㄎ−63

⇔15 x+10 y=63

Jadi" persamaan g ' adalah 15 x+10 y=63 .

$. S¿ (h )=g maka S−1

A (g )=h


6/39

%enurut teorema .3 ꢦ−1

A=S A sehingga S−1

A (g )=S A ( g )=h

Dari )awaban soal b" g' =S A (g) artinya g

' =S A ( g )=h sehingga diperoleh

g' =h

maka persamaan h=¿ persamaan g ' yaitu 15 x+10 y=63

Jadi" persamaan h adalah 15 x+10 y=63 .

!. Diketahui : kur*a k ={( x , y ) │@= x2 } dan titik A=(3,1)

Ditanya :a. Apakah B=(3,−7 )∈k

' =S A (k )

b. (ersamaan kur*a k '

Jawab :

a. #ntuk menyelidiki apakah B=(3,−7 )∈k ' =S A (k ) maka harus dihitung

S A (B )

%isalkanS A (B )=( x

' , y ' ) sehingga menurut teorema .& diperoleh

S A (B )=(2.3−3,2.1 — 7)

⇔ ( x ' , y ' )= (6−3,2+7 )

⇔ ( x ' , y ' )=(3,9)

%aka x' =3, y ' =9

'ubstitusikan ( x' , y ' )=(3,9) ke persamaan k

diperoleh 9=32

memenuhi persamaan k maka ( x'

, y'

)∈k

Karena S A (B )=( x' , y ' )∈k dan k

' =S A (k ) maka B∈k '

Jadi" B=(3,−7 )∈k ' =S A (k )

b. #ntuk menentukan persamaan k ' maka harus ditentukan koordinat titik

pun$ak kur*a k '


7/39

Karena k ={( x , y ) │ y= x2 } maka titik pun$ak k adalah (0,0) dan titik

+okus kur*a k adalah (0, 1

4 )

%isalkan titik pun$ak k adalah titik M maka M =(0,0) sehingga

menurut teorema .&"

S A ( M )=(2.3−0,2.1−0 )=(6,2)

Karena M ∈k dan k ' =S A (k ) maka S A ( M )∈k ' dan karena M

adalah titik pun$ak 尠 maka S A ( M )=(6,2) titik pun$ak k ' .

%isalkan titik +okus k adalah P maka P=(0, 1

4)

sehingga menurut

teorema .&"

S A ( P )=(2.3−0,2.1−14 )=(6,7

4)

Karena

P∈k dan

k ' =S A (k ) maka

S A ( P )∈k ' dan karena

P adalah

titik +okus k maka ¿ A ( P )=(6, 7

4)

titik +okus k '

'ehingga diperoleh titik pun$ak k ' adalah (6,2) dan titik pun$ak k '

adalah(6,

7

4)

maka kur*a k ' menghadap ke bawah sehingga persamaan

kur*a k ' adalah

( x−6 )2=−4.−14

( y−2 )

⇔ x2−12 x+36= y−2

⇔ y= x2−12《+38


8/39

Jadi" persamaan kur*a k ' =S A (k ) adalah y= x

2−12 x+38 .

,. Diketahui :( ){ } ( ) ( ){ } ( ) ( )k S M k xC y y x g A y y xk A g x ===== -","".""."2""

/

Ditanya : a0 nilai 1 sehingga-k C ∈ b0 persamaan

-k

'elesaian :

a0 Ambil (m"n0

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )nmnm M nm M nmS M P S M g g A g A g "&"&"22" −=−−=−−==

4al ini berarti bahwa

( ) ( )

−=

−−=

−−=

=

x

x

x

x M

x

x M

x

xS M k S M g g A g A g /

"&/

"&/

"22/

"

%aka,

/,

/=⇔== x

x yc

",

23

,

/& =−=c x

Jadi" nilai 1 sehingga-k C ∈ adalah

,

23

b0 %isal-k D∈

#ntuk nilai 1 5 /" maka

( ) -/"3/

/"/& k D ∈=

−=

%aka untuk men$ari persaman-k dapat diperoleh dari dua titik yaitu

( ) ( )/"3dan,",

23 DC


9/39

/,

23,,

!

23,

!

,

,

23/6,

23,

!

,

,

233

,

23

,/

,

/2

/

/2

/

−=⇔

−=−⇔−−

=−−

⇔

−

−

=−−

⇔

−

−

=−−

⇔

−−

=−−

x y

x y

x y

x

y

x y

x x

x x

y y

y y

. Diketahui : 7 titik tengah PR

Ditanya: Buktikan bahwa

Q R P Q S S S S =

Bukti :

Ambil A1"y0" (a"b0" 8$"d0" 7e"+0

Karena 7 titik tengah PR

" maka

( ) ( )d b f cae −=−=2

/

2

/ "

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ybd b xaca yb xaS y xS S AS S Q P Q P Q −−−−−−=−−== 22"222"2" 2/

2

/

( ) yd b xca +−−+−−= "

a.

( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) yd bd xcac yd b xcaS y xS S AS S RQ RQ R ++−++−=−−−−== 2"22"2" 2/

2

/

( ) yd b xca ++−++−= 3"3 9ilai

x∋C = ( x , 6 )∈k ' = M g S A(k )

b. (ersamaan

k '


10/39

Jawab :

a. #ntuk menyelidiki apakah x∋C = ( x ,6 )∈k ' = M g S A(k ) maka harus

diambil

b. #ntuk men$ari persamaan k ' maka

6. Diketahui : C =(2,−1 ) , g={( x , y )│ y= x } ,h={( x , y ) │ y=3 x−2}

Ditanya : persamaan garisk =SC M g(h)

Jawab :

Ambil titik A (2,4 )∈h

%aka M g ( A )= M g (2,4 )=(4,2 )= A'

Karena M g (h )=h' ,∈h,danM g ( A )= A '

%aka A ' ∈h '

%en$ari titik potong garis g dan garis h

h : y1=3 x−2

g : y2= x

Titik potong garis ¿ dan garis h adalah

y1= y2

3 x−2= x

2 x=2

x=1

%aka" y=1

Jadi" titik potong garis g dan garis h adalah di (1,1 )

Karena M g (h )=h'


11/39

%aka (1,1)∈h'

'ehingga garis h'

melalui titik (4,2) dan titik (1,1)

y2− y

1

y− y1=

x2− x

1

x− x1

1−2 y−2

=1−4 x−4

−1 y−2

= −3 x−4

−3 y+6=− x+4

−3 y+ x=−2

x−3 y+2=0

Jadi persamaan h' : x−3 y+2=0

Ambil titik B=(7,3)∈h'

%aka SC (B ) ¿SC (7,3 )

¿ (2.2−7,2. (−1 )−3 )

¿ (−3,−5)=B'

Karenak =SC M gh

Atau k =SC ( h' ) , B∈h' dan SC ( B )=B

'

%aka B ' ∈k

'ehinggak melalui B' =(−3,−5 ) dan k //h' dengan m=1

3

ꢦ− y1=m ( x− x1 )

y+5=13

( x+3 )


12/39

y+5=13

x+1

=

1

3 x−4

3 y= x−12

Jadi persamaan garisk =SC M g (h )adalah 3 y= x−12 .

.a0Diketahui : garis g dan h

Ditanya : buktikan )ika g;;h maka trans+ormasi %g%h tidak memiliki titik

tetap

Bukti :

%isal A A =--

Jelas

( ) ( ) --- A A M A M M g h g ==

Karena g;;h maka A A ≠--

sehingga

( ) - A A M M h g ≠

4al ini sebuah kontradiksi

%aka pengandaian harus dibatalkan.

Karena menurut de+inisi A dinamakan titik tetap trans+ormasi T apabila berlaku

TA05A dan sebuah setengah putar 'Ahanya memiliki satu titik tetap yaitu A"

sedangkan )ika g;;h diperoleh +akta bahwa( ) - A A M M h g ≠

dan( ) Ah g S A M M ≠

maka trans+ormasi %g%h tidak memiliki titik tetap.

Jadi" )ika g;;h maka trans+ormasi %g%h tidak memiliki titik tetap.

.b0Diketahui : garis g" titik

g A∉

Ditanya : buktikan 'A%g tidak memiliki titik tetap

Bukti :


13/39

A

/. Diketahui : ∆ ABC " garis g dan sebuah titik K ∉g , K diluar daerah

∆ ABC .

Tentukan semua pasangan titik X dan Y dengan X ∈g , Y ∈∆ ABC

sehingga K titik tengah´ XY <

Jawab:

//. Diketahui : lingkaran L1 dan L2 . 'alah satu titik potongnya adalah

A .

C ∈ L1 dan D∈ L2

Ditanya : Lukisan ruas garis ĆD sehingga A titik tengah ruas garis

ĆD <

Jelaskan lukisan tersebut<

Jawab :

A titik tengah ĆD " berarti AC = AD

Jadi" L1¿ L2 atau lingkaran pertama sama dengan lingkaran kedua.

/2. Diketahui: titik A dan garis g , A∈g

Ditanya :


14/39

a. Buktikan bahwa trans+ormasiS A Dg adalah sebuah re+leksi pada suatu

garis dan garis mana yang men)adi sumbu re+leksi ini<

b. Jika

g tegak lurus

h di titik

A dan

g tegak lurus

k di titik

B" buktikan bahwaS A M k = M h SB <

Jawab :

a. Ambil sebarang titik P∈V

DiperolehÓ A M g ( P )= P '

Tarik garis h⊥g yang melalui A

Tarik garis PP' ' yang memotong garis h dititik B"

sehingga CA= PB dan PC =BA

Lihat ∆ CA P'

dan∆CAPCA=CA berhimpit0

CP=CP' 8e+leksi0

¿ PCA=¿㌱ ' CA 'iku='iku0

Berdasarkan teorema kekongruenan '" 'd" '0

'ehingga dapat disimpulkan ∆ CA P' ≅∆CAP

'alah satu akibatnya A P' = AP

Lihat ∆ APBdan∆ AP' ' B

A 〰= AB berhimpit0

Ap ' = A P' ' setengah putaran0

!h"ngga AP= 〰 P' = A P' '

PB2= AP2− AB2= AP ' ' 2− AB2= P ' ' B2

Karena AP= A P' = A P '' " maka PB= P

' ' B

Berdasarkan teorema kekongruenan '" '" '0


15/39

h

%aka dapat disimpulkan ∆ APB≅∆ AP' ' B

Akibatnya PB= P' ' B

Karena > merupakan titik tengah PP' ' " makaS

A M

g ( P )= P ' '

merupakan

re+leksi dari ( dengan sumbu re+leksi adalah garis yang melalui titik B⊥ g .

Jadi"S A M g merupakan sebuah re+leksi pada suatu garis" dan garis itu adalah

garis yang melalui A tegak lurus dengan g .

b. Ambil garis g tegak lurus h di titik A dan g tegak lurus k

di titik B .

AdbS A M k = M h SB

%enurut teorema ./ : ?andaikan A sebuah titik, dan gdanh dua garis tegak

lurus yang berpotongan di A, makaS A¿筽g M h

%akaS A¿ M g M h dan SB ¿ M g M k

'ehingga

M g M (¿¿ h) M k S A M k =¿

Karena

M g M h¿ M h M g" maka diperoleh:

M g M M

¿(¿¿h M g) M k ¿ M h M g M k (¿¿h) M k ¿

¿

'ehingga


16/39

M g M M M

(¿¿ g M k )¿ M h SB¿(¿¿h M g) M k ¿ M h M g M k ¿ M h¿

(¿¿h) M k ¿S A M ꢦ=¿

Jadi terbukti bahwaS A M k = M h SB

/3. Diketahui : A , B , C tak segaris

Ditanya:

a. (ilih sebuah titik

P dan lukislah titik

P' =S AB SC ( P ) @

b. Jika M titik tengah´ P P' " lukislah M

' =S A SB SC ( M ) @

$. (erhatikan hubungan antara M dan M '

. Apakah dugaan kita

mengenai )enis trans+ormasiS A SB SC <

Jawab:

a.

A

B

C

P - P

-- P -- P

M

- M

-- M

b.

$. Karena M =S A SB SC = M −1

maka trans+ormasiS A SB SC merupakan

trans+ormasi identitas.

/&. Diketahui : ∆ ABC ,∠B=90#


17/39


18/39

⇔ SB S A ( P )=( x+6, y−2)

Jadi" P' =SB S A ( P )=( x+6, y−2)

$0 Karena C =(−2,4) dan C ' =(−8,6)

%aka persamaan CC '

:

x−1〱

x2− x1=

y− y1

y2− y1⇔

x+2−8+2

= y−46−4

⇔ x+2−6

= y−4

2

⇔−6 y=2 x+4−24⇔ y=−13

x+ 103

Karena P=( x ,〱) dan P' =( x+6, y−2)

#ntuk tidak membuat ran$u"

dimisalkan titik P=(a , $) dan P' =(a+6,$−2)

%aka persamaan PP'

:

x− x1 x2− x1

= y− y1 y2− y1

⇔ x−aa+6−a

= y−$$−2−$

⇔ x−a

6 =

y−$−2

⇔6 y=−2 x+2a+6$⇔ y=−13

x+ 13

a+$

Karena A= (0,0) danB=(3,−1)

%aka persamaan AB : x− x1 x2− x1

= y− y1 y2−ꢦ1

⇔ x−03−0

= y−0−1−0

⇔ x3=

y−1

⇔3 y=− x⇔ y=−13

x


19/39

Dari persamaanpersamaan di atas" dapat dikatakan bahwa persamaan

CC ' , PP' , dan AB mempunyai gradien yang sama" yaitu−13

/,. Buktikan :

/. Diketahui : ∆ ABC dan sebuah titik P∈ ´ꢦC

Lukis : di dalam ∆ ABC " sebuah ∆ P%0 yang kelilingnya paling pendek

RUAS GARIS BERARAH

9.1 Definisi dan Sifat-sifat yang Sedehana

#ntuk mela)utkan penyelidikan tentang isometri diperlukan pengertian tentang

ruas garis berarah sebagai berikut:

Definisi! 'uatu ruas garis berarah adalah sebuah ruas garis yang salah satu

u)ungnya dinamakan titik pangkal dan u)ung yang lain dinamakan titik akhir.

Apabila A dan B dua titik" lambang´ AB kita gunakan sebagai ruas garis

berarah dengan pangkal A dan titik akhir B. (erhatikan

´ AB dan AB


20/39

A

B

C

D

P

melukiskan dua hal yang berbeda. 'eperti diketahui bahwa AB

menggambarkan sinar atau setengah garis yang berpangkal di A dan melalui B.

Dua ruas garis´

AB dan´

CD disebut kongruen apabila AB 5 D. Calaupun

AB 5 D"´ AB dan ĆD tidak perlu sama ´ AB adalah sebuah himpunan

sedangkan AB adalah bilangan real. Jika´ AB dan ĆD kongruen ditulis

´ AB≅ ĆD .

Andaikan sekarang ada 2 ruas garis berarah´ AB dan ĆD . Dalam

membandingkan dua ruas garis berarah´ AB dan ĆD tidaklah sukup" )ika

AB 5 D kedua ruas garis berarah itu searah. Jika demikian" dikatakan bahwa

ruas garis berarah´ AB eki*alen dengan ruas garis berarah ĆD yang ditulis

sebagai´ AB= ĆD .

Definisi! ´ AB= ĆD apabila ' pA0 5 D dengan ( titik tengah B́C .

ambar ./

Te"ema 9.1!

Andaikan´ AB dan ĆD dua ruas garis berarah yang tidak segaris" maka segi=

& ABD sebuah )a)argen)ang )ika dan hanya )ika´ AB= ĆD .


21/39

Bu#ti!

Akan ditun)ukkan )ika ´ AB dan ĆD adalah dua ruas garis berarah yang

tidak segaris maka ABD )a)argen)ang ⟺ ´ AB= ĆD .

(⟹ ) Akan ditun)ukkan )ika ABD sebuah )a)ar gen)ang dengan´ AB dan

ĆD adalah 2 ruas garis berarah yang tidak segaris maka ´ AB= ĆD .

Dipunyai ABD sebuah )a)ar gen)ang.

Diagonal=diagonal´ AD dan B́C berpotongan di tengah=tengah" misalkan

titik (.

Dengan demikian ' pA0 5 D" dengan ( adalah titik tengah´ AD maupun B́C

.

Berdasarkan de+inisi keeki*alenan diperoleh´ AB= ĆD .

(⟸) Akan ditun)ukkan )ika ´ AB= ĆD maka ABD )a)argen)ang dengan

´ AB dan ĆD adalah 2 ruas garis berarah yang tidak segaris.

Dipunyai´ AB= ĆD .

%isalkan titik ( adalah titik tengah B́C .

%enurut de+inisi keeki*alenan maka ' pA0 5 D.

Berarti A( 5 (D" )adi ( )uga titik tengah AD.

4ubungkan titik A ke dan titik B ke D sehingga terbentuklah segiempat ABD.

´ AD dan B́C adalah diagonal=diagonal segiempat ABD yang terbagi sama

pan)ang di ( de+inisi )a)ar gen)ang0.

Akibatnya segiempat ABD sebuah )a)ar gen)ang.


22/39

Jadi terbukti )ika´ AB dan ĆD adalah dua ruas garis berarah yang tidak

segaris maka ABD )a)argen)ang ⟺ ´ AB= ĆD .

A#i$at Te"ema 9.1!

Jika´ AB= ĆD maka AB 5 D dan ´ AB dan ĆD se)a)ar atau segaris.

Bu#ti!

Akan dibuktikan´ AB= ĆD⟹ AB=CD dan

´ AB dan ĆD se)a)ar atau

segaris.

Dipunyai´ AB= ĆD

Kasus p∈ ´ AB :

Karena´ AB= ĆD, maka menurut de+inisi keeki*alenan" ' pA0 5 D dengan (

adalah titik tengah B́C sehingga B( 5 (.

(ilih titik ( pada perpan)angan´ AB .

Karena ' pA0 5 D" maka A( 5 (D.

Diperoleh A( 5 (D ⟺ AB E B( 5 ( E D.

Karena B( 5 (" maka AB E ( 5 ( E D ⟺ AB 5 D.

Buat garis yang melalui titik A dan D.

Diperoleh´ AB⊂ ´ AB dan ĆD⊂

ĆD sehingga ´ AB dan ĆD⊂ ´ AD .

Karena´ AB segaris dengan ĆD maka ´ AB segaris dengan ĆD .

Kasus p∉ ´ AB :

Karena´ AB= ĆD " maka ´ AB tidak segaris.


23/39

Berdasarkan teorema ./" diperoleh segiempat ABD )a)ar gen)ang.

%enurut karakteristik )a)ar gen)ang bahwa sisi=sisi yang berhadapan sama pan)ang

dan se)a)ar" akibatnya AB 5 D.

Karena ´ AB ;; ĆD " ´ AB⊂ ´ AB dan ĆD⊂ ĆD maka ´ AB ;; ĆD .

Te"ema 9.%!

Diketahui ruas=ruas garis berarah´ AB , ĆD, dan ´ & maka

/. ´ AB= ´ AB si+at re+le1i0

2. )ika´ AB= ĆD maka ĆD= ´ AB si+at simetrik0

3. )ika´ AB= ĆD dan ĆD= ´ & maka ´ AB= ´ & si+at transiti+0.

Bu#ti!

/. Akan dibuktikan´ AB= ´ AB si+at re+le1i0

%isalkan ( adalah titik tengah´ AB " maka ' pA0 5 B

%enurut de+inisi keeki*alenan diperoleh´ AB= ´ AB .

2. Akan dibuktikan )ika´ AB= ĆD maka ĆD= ´ AB si+at simetrik0

%enurut teorema ./ )ika´ AB= ĆD maka segiempat ABD )a)argen)ang"

diagonal=diagonal B́C dan´ AD membagi sama pan)ang di ("

maka ( dalah titik tengah´ AD

akibatnya ' p0 5 B

menurut de+inisi kekei*alenan apabila ' p0 5 B dengan ( titik tengah´ AD

maka ĆD= ´ AB .

3. Akan dibuktikan )ika´ AB= ĆD dan ĆD= ´ & maka ´ AB= ´ &

si+at transiti+0:

Diperoleh´ AB= ĆD maka ' pA0 5 D dengan ( titik tengah B́C

Diperoleh ĆD= ´ & maka 'F0 5 G dengan 7 titik tengah´ D&


24/39


25/39

diperoleh´ P3 P− ´ P1 P2 5 ( P− P3 )−( P2− P1 )

¿ [ ( x3+ x2− x1 , y3+ y2− y1 )−( x3 , y3 ) ]−[ ( x2 , y2 )−( x1 , y1 ) ]

¿ [ ( x3+ x2− x1− x3 , y3+ y2− y1− y3 ) ]−[ ( x2− x1 , y2− y1 ) ]¿ ( x2− x1 , y2− y1 )−( x2− x1 , y2− y1 )

¿ (0,0)

¿0.

A#i$at %!

Jika Pn=( xn , yn ) ,n=1,2,3,4, maka

´ P1 P2 5´ P3 P4

⟺

x2−

x1=

x4−

x3 , y2−

y1=

y4−

y3

(⟹ ) Akan dibuktikan )ika Jika Pn=( xn , yn ) ,n=1,2,3,4 maka´ P1 P2 5

´ P3 P4 ⟹ x2− x1= x4− x3, y2− y1= y4− y3

Karena´ P1 P2 5

´ P3 P4 maka P1 P2 5 P3 P4 sehingga

P2− P

1= P

4− P

3

⟺ [ ( x2, y2 )− ( x1 , y1 )]=[ ( x 4 , y4 )−( x3 , y3) ]

⟺ ( x2− x1, y2− y1 )= ( x4− x3 , y 4− y3 )

menurut de+inisi sebuah titik pada al)abar" dua titik Aa"b0 5 B$"d0 )ika dan hanya

)ika a=$ dan +=d

diperoleh x

2− x

1= x

4− x

3 dan y2− y1= y 4− y3

(⟸ ) Akan ditun)ukkan )ika x2− x1= x4− x3 , y2− y1= y4− y3 maka Jika

Pn=( xn , yn ) ,n=1,2,3,4 maka´ P1 P2 5

´ P3 P4

Dipunyai x2− x1= x4− x3 , y2− y1= y4− y3 maka dapat dibuat titik yang sama

misalkan 8 dan '" dengan )=( x2− x1 , y2− y1 ) dan S=( x4− x3 , y4− y3 )

misalkan 8 5 '

⟺ ( x2− x1, y2− y1 )= ( x4− x3 , y 4− y3 )


26/39

⟺ [ ( x2, y2 )− ( x1 , y1 )]=[ ( x 4 , y4 )−( x3 , y3) ]

⟺ P2− P1= P4− P3

⟺ P1 P2 5 P3 P4 ⟺ ´ P1 P2 5 ´ P3 P4

Jadi )ika x2− x1= x4− x3 , y2− y1= y4− y3 maka Jika Pn=( xn , yn ) ,n=1,2,3,4

maka´ P1 P2 5

´ P3 P4

'engali#an Ruas Gais Beaah dengan Se$uah S#ala

Definisi!

Andaikan ´ AB sebuah ruas garis berarah dan k suatu bilangan real" maka k

´ AB adalah ruas garis berarah´ AP sehingga P∈

´ AB dan A( 5 k AB0

)ika kI.

Apabila k maka k ´ AB adalah ruas garis berarah

´ AP dengan ( anggota

sinar yang berlawanan arah dengan AB sedangkan A( 5 |k | AB . Dikatakan

bahwa ´ AP adalah kelipatan ´ AB .


27/39

EB

CC A

D

EA

D B

F

B

A

DBA

S(A)-S(A) )ATIHA* DA* +E'BAHASA*

/. Diketahui titik=titik A" B" " dan D" tiap tiga titik tidak segaris.

Ditanya:

a. Lukis titik D sehingga Ć&= ´ AB

b. Lukis titik G sehingga´ D&= B́A

$. S A( ´ AB)

Jawab:

a. %isalkan titik D adalah titik tengah´ &A sehingga S D (C )=B

b. %isalkan titik G merupakan titik tengah´ &B sehingga S ( D )= A

$. S A( ´ AB)

2. Diketahui titik=titik A" B" yang tidak segaris.

Lukislah:

a. Titik D sehingga´ AD=3 ´ AB

b. Titik G sehingga´ A&=−4

3´ AB

$. Titik G sehingga Ć =√ 2 ´ AB

Jawab:

a. Titik D sehingga´ AD=3 ´ AB

B’


28/39


29/39

A BB’

A B A’

BA A’

Benar0

$. S A ( ´ AB )=SB ( ´ AB )

S A ( ´ AB )

SB ( ´ AB )

Benar0

d. Jika A' =SB ( A ) maka ´ AA ' =2 ´ AB

Benar0

e. Jika B' =S A SB ( B ) dan A

' =S A SB ( A ) " maka´ A ' B' = ´ AB

Benar0

&. Diketahui A "0" B !"30" dan =2"&0. Tentukan:

a. 8 sehingga´ A)= B́C

b. ' sehingga ĆS= ´ AB

$. T sehingga (́B= ´ AC

Jawab:

a. 8 sehingga´ A)= B́C

Berdasarkan teorema akibat )ika´ A)= B́C maka A8 5 B sehingga

( x

) y ))−( x

A y A)=( x

C yC )−( x

B yB)⟺

( x

) y ))=( x

C yC )−( x

B y B)+( x

A y A)⟺( x ) y ))=(

−24 )−(53)+(00)=(−71 )

Jadi 8 5 ="/0.

b. ' sehingga ĆS= ´ AB

Berdasarkan teorema akibat )ika ĆS= ´ AB maka ' 5 AB sehingga

A’ B’ A B


30/39

( xS yS)−( xC yC )=(

x B yB)−(

x A y A)⟺(

xS yS)=(

xB y B)−(

x A y A)+(

xC yC )

⟺

( x

S y S)=(5

3)−(0

0)+(−24 )=(

3

7)Jadi 8 5 3"0.

$. T sehingga (́B= ´ AC

Berdasarkan teorema akibat )ika´( B= ´ AC maka TB 5 A sehingga

( xB yB)−( x( y( )=(

xC yC )−(

x A y A)⟺(

x( y( )=(

xB yB)−(

xC yC )+(

x A y A)

⟺

( x(

y( )=(53)−(−

24 )+(

00)=(

7−1)

Jadi 8 5 "=/0.

!. Diketahui: A 2"/0" B 3"=&0" dan =/"!0. Tentukan:

a. D sehingga D 5 AB

b. H sehingga AH 5 B

$. G sehingga AG 51

2 AC

Jawab:

a. D sehingga D 5 AB

√ ( x D− xC )2+( y D− yC )

2

5 √ ( xB− x A )2+ ( yB− y A )

2

⟺√ ( x D+1 )2+( y D−5 )

2

5 √ (3−2 )2+ (−4−1 )

2

⟺√ ( x D+1)2+( y D−5 )

2

5 √ (1 )2+(−5 )

2

⟺√ ( x D+1 )2+( y D−5 )

2

5 √ 26

⟺ ( x D+1)2

+( y D−5)2

! "#

⟺ x D2+2 x D+1+ y D

2−10 y D+25=26

⟺ x D2+ y D

2+2 x D−10 y D+26=26

⟺ x D2+ y D

2+2 x D−10 y D=0

Jadi D adalah semua titik pada lingkaran x D2+ y D

2+2 x D−10 y D=0

b. H sehingga AH 5 B


31/39

√ ( x &− x A )2+( y &− y A )

2

5 √ ( xC − xB )2+( yC − yB )

2

⟺√ ( x &−2 )2+ ( y &−1 )

2

5 √ (−1−3 )2+ (5+4 )

2

⟺√ ( x &−2)2+ ( y &−1 )

2

5 √ (−4 )2+(9 )2

⟺√ ( x &−2 )2+ ( y &−1 )

2

5 √ 16+81

⟺√ ( x &−2)2+ ( y &−1 )

2

! √ 97

⟺ ( x &−2 )2+( y &−1 )

2=¿ $%

⟺ x &2−4 x &+4+ y &

2−2 y D+1=97

⟺ x &2

+ y &2

−4 x &−2 y D+5=97

⟺ x &2+ y &

2−4 x &−2 y D−92=0

Jai H adalah semua titik pada lingaran x &2+ y &

2−4 x &−2 y D−92=0

$. G sehingga AG 51

2 AC

√ ( x − x A )2+( y − y A )

2

51

2 √ ( xC − x A )

2+( yC − y A )2

⟺√ ( x −2)2+ ( y −1 )

2

51

2 √ (−1−2 )

2+(5−1 )2

⟺√ ( x −2)2+ ( y −1 )

2

51

2 √ (−3 )

2+(4 )2

⟺√ ( x −2)2+ ( y −1 )

2

51

2 √ 9+16

⟺√ ( x −2)2+ ( y −1 )

2

!1

2 √ 25

⟺ ( x −2 )2+( y −1)

2=1

4 .25

⟺ x 2−4 x +4+ y

2−2 y +1=1

4 . 25

⟺ x 2+ y

2−4 x −2 y +5=1

4.25

⟺4 x 2+4 y

2−16 x −8 y +20=25


32/39

⟺4 x 2+4 y

2−16 x −8 y −5=0

Jadi G adalah semua titik pada lingkaran 4 x 2+4 y

2−16 x −8 y −5=0

,. Jika A 5 /"30" B 5 2"0" dan 5 =/"&0 adalah titik=titik parallelogram

ABD. Tentukan koordinat=koordinat titik D.

Jawab:

%enurut teorema ./ )ika ABD )a)argen)ang maka AB5D dengan K adalah

titik tengah B dan AD.

Karena K titik tengah B maka K =( xB+ xC 2 , y B+ yC

2 )=(2−12 , 7+42 )=( 12 , 112 )

Karena K titik tengah AD maka K =( x A+ x D

2 , y A+ y D

2 )⟺(12 ,

11

2 )=(1+ x D

2 ,

3+ y D2 )

⟺1+ x D

2 =

1

2⟺1+ x D=1⟺ x D=0

⟺3+ y D

2 =

11

2 ⟺3+ y D=11⟺ y D=8

Jadi koordinat D adalah "60.

. Jika A=2"&0" Bh"30" 3"0" dan D!"k0 adalah titik sudut )a)argen)ang

ABD" tentukan h dan k.

Jawab:

Karena ABD )a)argen)ang maka´ AB= ĆD dan ´ AD= B́C

Dari´ AB= ĆD menurut akibat teorema ./ diperoleh AB5D maka

( xB yB)−( x A y A)=(

x D y D)−(

xC yC )

⟺(h3)−(−24 )=(30)−(5k )⟺(h+2−1 )=(−2−k )'ehingga diperoleh h+2=−2⟺h=−4 dan k =−1⟺k =1 .

6. Jika A=h"=k0" B!"=2 √ 3¿ , k"6 √ 3¿ dan D="h0 adalah titik=titik

sehingga´ AB= ĆD, tentukan h dan k.

Jawab:


33/39

Karena´ AB= ĆD maka menurut akibat teorema ./ diperoleh AB5D

sehingga

( xB yB)−( x A y A)=(

x D y D)−(

xC yC )⟺(

5+h−2√ 3+k )=(

−9−k h−8√ 3)

⟺5+h=−9−k ⟺h+k =−14 ... /0

⟺−2√ 3+k =h−8√ 3⟺h−k =6√ 3 ...20

Dari /0 dan 20 diperoleh k 5 = = 3 √ 3 dan h 5 = = 3 √ 3 .

. Diantara relasi=relasi di bawah ini manakah yang termasuk relasi eki*alensi<

a. Kese)a)aran pada himpunan semua garis. b. Kekongruenan pada himpunan semua sudut.

$. Kesebangunan pada himpunan semua segitiga.

d. Kekongruenan antara bilangan=bilangan bulat modulo 3.

Jawab:

a. 8elasi eki*alensi

b. 8elasi eki*alensi

$. 8elasi eki*alensi

d. Bukan relasi eki*alensi

e. Bukan relasi eki*alensi

/. Buktikan )ika ´ AB= ĆD dan ĆD= ´ & maka ´ AB= ´ & dengan )alan

memisalkan A=( a1 , a2 ) , B=($1 , $2 ) ,C = (0,0) dan&=( !1 , !2 ) .

Bukti:

Dari´ AB= ĆD diperoleh AB 5 D maka ($1$2)−(

a1a2)=(

d1d2)−(

+1+2)

⟺

(

d1

d2

)=

(

$1−a

1+0

$2−a

2+0

)=

(

$1−a

1

$2−a

2

)

Dari ĆD= ´ & diperoleh D 5 HG maka (d1d2)−(+1+

2)=(- 1-

2)−(!1!

2)

⟺($1−a1$2−a2)−(0

0)=(- 1- 2)−(!1!2)


34/39

⟺(- 1- 2)=($1−a1+!1$

2−a

2+!

2)

'ehingga ´ & =($1−a1+!1$2−a2+!2)−(!

1

!2)=($1−a1$2−a2).

//. Jika A5"0" B5/"=30" dan 5!"0" tentukan:

a. D sehingga AD 5 3 AB

b. H sehingga AH 51

2 BC

$. G sehingga AG 5 =2 AB

Jawab:

a. D sehingga AD 5 3 AB

√ ( x D− x A )2+( y D− y A )

2

5 3√ ( x B− x A )2+( yB− y A )

2

⟺√ ( x D+0 )2+ ( y D−0 )

2

5 3√ (1−0 )2+(−3−0 )

2

⟺√ x D2+ y D

2

5 3√ (1 )2+(−3 )2

⟺√ x D2+ y D

2

5 3√ 10

⟺ x D2+ y D

2

! $&

Jadi D adalah semua titik pada lingkaran x D2+ y D

2

! $&

b. H sehingga AH 51

2 BC

√ ( x &− x A )2+( y &− y A )

2

51

2 √ ( xC − xB )

2+( yC − yB )2

⟺√ ( x &−0 )2+( y &−0 )

2

5

1

2

√ (5−1 )2+ (7−(−3))2

⟺√ x &2+ y &

2

51

2 √ ( 4 )

2+(10 )2

⟺√ x &2+ y &

2

51

2 √ 16+100

⟺√ x &2+ y &

2

51

2 √ 116


35/39


36/39

b. ( sehingga´ P1 P=k ´ P1 P2

Karena´ P1 P=k ´ P1 P2 maka menurut akibat teorema ./ diperoleh (/(5k(/(2

sehingga P2−¿ x P1

( x P− x P1 y p− y P1)=k ( x¿ y P2− y P1 )⟺( x P− x1 y P− y1)=k (

x2− x

1

y2− y1)⟺

x P− x1=k x2−kx1⟺ x P=k x2−(k −1) x1

−1k ¿ y¿

⟺ y P− y1=ky2−k y 1⟺ y P=ky2−¿

Jadi

−1k ¿ y¿

k x2−(k −1) x1 , ky2−(¿1¿) P=¿

$. Jika´ P3 P=k ´ P1 P2 maka P=[ x3+k ( x2− x1 ) , y3+k ( y2− y1 ) ]

Karena

´ P3 P= & ´ P1 P2 maka menurut akibat teorema ./ diperoleh (3(5k(/(2

sehingga P2−¿ x P1

( x P− x P3 y P− y P3)=k ( x¿ y P2− y P1 )⟺ ( x P− x3 y P− y3)=k (

x2− x1 y2− y1)

⟺

x(¿¿2− x1)+ x3

x P− x3=k x2−kx1⟺ x P=k ¿

yk (¿¿2− y1)+ y3

⟺ y P− y3=ky2−k y 1⟺ y P=¿

Jadi

x y

k (¿¿2− y1)+ y3(¿¿2− x1)+ x3 ,¿

k ¿ P=¿


37/39


38/39

h

gP

P’

Q’

Q

Diperoleh ( xS− x D yS− y D)=3( xC − xB yC − yB)⟺(

x S−4 yS−(−2))=3(

−2−15−3 )

⟺ xS−4=−9⟺ xS=−5

⟺ yS+2=6⟺ yS=4

Jadi koordinat ' 5 −5,4 ¿ .

d. T sehingga Ć( =−2 ´ DB

Karena Ć( =−2 ´ DB maka T 5 =2 B D 0

Diperoleh ( x( − xC y( − yC )=−2( xB− x D yB− y D)⟺(

x( −(−2) y( −5 )=−2(

1−43−(−2))

⟺ x( +2=6⟺ x( =4

⟺ y( −5=−10⟺ y( =−5

Jadi koordinat 8 5 4,−5¿ .

/&. Diketahui garis=garis g dan h yang se)a)ar. Titik P∈ g sedangkan titik

% tidak pada g maupun h.

a. Lukislah (5%h%g(0 dan 75%h%g70

b. Buktikan bahwa´ PP' = ´%%'

Jawab:

a. ambar (5%h%g(0 dan 75%h%g70

b. Bukti bahwa´ PP' = ´%% '

/!. Diketahui garis=garis u dan * yang se)a)ar ada titik=titik dan C tidak pada

garis=garis itu.

a. Lukislah 5%*%u0 dan C5%*%uC0

Mg(Q


39/39

u

!

"#’

#

Mu("

Mu(#

b. Buktikan bahwa´ ' = ´// '

Jawab:

a. ambar 5%*%u0 dan C5%*%uC0

b. Bukti bahwa´ ' = ´// '

/,. Diketahui garis g dan lingkaran=lingkaran L/ dan L2 garis itu tidak memotong

lingkaran=lingkaran. Dengan memperhatikan %gL/0" tentukan semua titik M

pada g sehingga ∠ PXA≅∠%XB dengan A∈ L1 , B∈ L2 sedangkan

´ XA dan´ XB adalah garis=garis singgung.

Jawab:

/. Diketahui garis g dan lingkaran=lingkaran L/ dan L2. aris tidak memotong

L/ maupun L2. unakna sebuah trans+ormasi untuk melukis sebuah bu)ur

sangkar yang dua titik sudutnya terletak pada g" satu titik sudut ada pada L/

dan titik sudut yang keempat ada pada L2.

Jawab:

"’

Tugas halaman 100

Documents

Transcript of Tugas halaman 100