Tugas Mata Kuliah Komputasi Geofisika B

PPT 4.3 & 4.4 Fixed Point Iteration, Newton Raphson Method, Secant Method

Tugas Ini Dipergunakan Untuk Memenuhi Syarat Mata Kuliah Komputasi Geofisika B

Disusun oleh:

Fuad Aulia Bahri

3713100007

Dosen Pengampu:

Dr. Dwa Desa Warnana, S.Si, M.Si

Jurusan Teknik Geofisika

Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan

Institut Teknologi Sepuluh Nopember

2015

1. A root of f (x) = x3 − 10x2 + 5 = 0 lies close to x = 0.7. Compute this root with the

Fixed Point Iteration and Newton–Raphson method!

Fixed Point Iteration

F(x) = x3 – 10x

2 + 5 = 0.

Dicari nilai x=g(x) dari f(x) = 0

Kemudian didapatkan nilai g(x)

x =

= g(x)

Inputkan data g(x) mathlab, berikut input dan output yang dihasilkan

Setelah dimasukan data g(x), kemudian lansung dicari akar dengan memasukan input sebagai

berikut

G adalah nilai dari g(x), 0.7 adalah x0 adalah tempat yang diduga dekat dengan akar, 1e-4 nilai

toleransi, dan 50 merupakan jumlah iterasi. Saat memasukan data mahasiswa sempat mencari

tahu berapa kali nilai iterasi sampai terjadi kekonvergenan. Didapatkan 4 kali iterasi untuk

menuju kekonvergenan. Jadi nilai akar dari f(x) di dekat nilai x=0.7 adalah x=0.7346.

Newton-Rhapson Method

Untuk Metode Newton-Rhapson mahasiswa menggunakan skrip pada ppt dan pada

(Young,2005). Karena pada saat pengerjaan mahasiswa awalnya menggunakan skrip dari pdf

karena terjadi syntax error pada skrip ppt. Namun mahasiswa telah mengetahui solusinya. Inti

skrip dari kedua sumber sama hanya saja terdapat sedikit perbedaan saat penginputan data.

Dengan skrip Yang,

Cari nilai f(x) dan df(x)

F(x) = x3 – 10x

2 + 5 = 0.

F’(x) = 3x2 – 20x

Kemudian inputkan f’(x) dan f(x) ke mathlab, berikut input dan output yang dihasilkan

Kemudian lansung dicari akar berikut input dan output yang dihasilkan.

Pada saat penginputan data mahasiswa lupa memasukan nilai dfunc, namun hasil yang

dikeluarkan sama dengan saat input yang sesuai dengan apa yang diminta scrip. Sehingga nilai

akar yang berada di dekat x=0.7 adalah x=0.7346.

Dengan skrip ppt

Mahasiswa mengambil batas 0.7 dan 0.8 karena sudah diketahui nilai akar persamaan

sebelumnya. Didapatkan hasil akar yang pasti sama dengan skrip Yang.

2. Find the smallest positive zero of f (x) = x4 − 6.4x

3 + 6.45x

2 + 20.538x − 31.752

Pada soal tidak disebutkan harus menggunakan metode apa Fixed point. Menurut persamaan

polynomial mahasiswa beranggapan akan lebih mudah menggunakan metoden newton rhapson

Dengan skrip Yang

F(x) = x4 − 6.4x

3 + 6.45x

2 + 20.538x − 31.752

F’(x) = 4x3 – 19.2x

2 + 12.9x + 20.538

Kemudian dinputkan ke mathlab sebagai berikut:

Kemudian dilanjutkan dengan input untuk mencari akar

Didapatkan nilai akar terkecil positif pada f(X) adalah x = 2.1.

Dengan skrip ppt

Mahasiswa mengambil batas 2.1 dan 2.2 karena sudah diketahui nilai akar sebelumnya

Setelah didapatkan nilai akar positif terkecil kemudian mahasiswa ingin melakukan pengujian

dengan mencari grafik persamaan f(x).

3. Solve f(x) = x3 + 4x

2 10 using the the Newton-Raphson method for a root in [1, 2].

Cari nilai f(x) dan f’(x)

Dengan skrip Yang

F(x) = x3 + 4x

2 10

F’(x) = 3x2 + 8x

Kemudian input ke mathlab

Kemudian masukan data untuk mencari akar di mathlab

Dengan skrip ppt

Dengan interval 1.3 dan 1.4

Didapatkan akar pada persamaan f(x) adalah x= 1.3652. Kemudian mahasiswa

mencocokan kebenaran akar dengan hasil plot grafik dari website wolframalpha.com.

Didapatkan grafik f(x) sebagai berikut:

Terdapat satu akar yaitu 1.3652 tetapi persamaan polynomial pangkat 3. 2 Akar selainya

yaitu akar imajiner dengan nilai

4. Find the positive root of f(x)= x15

- 1= 0 by the secant method using :

x = 1.2 and 1.1 as starting values.

x = 0.5 and 0.6 as starting values.

x = 1.2 and 1.1 as starting values.

Dari skrip yang ada di ppt 4.5 akan terjadi error saat mengcopy ke skrip mathlab. Perbaiki tanda

dimana ada line merah. Jika skrip sudah tidak ada line merah klik run pada scrip. Kemudian klik

run dan masukan beberapa input yang dimasukan. Saat klik run akan keluar f(x) di command

window kemudian mahasiswa tinggal mengisi nilai yang diinginkan

Setelah itu akan muncul output berupa jumlah iterasi, nilai akar, dan nilai fx

Didapatkan saat iterasi ke 7 akar berhenti pada x=1. Sehinga akar f(x) pada x = 1.2 and 1.1 as

starting values adalah x=1

x = 0.5 and 0.6 as starting values.

Klik run skrip dan masukan perintah sebagai berikut. Berikut input dan output yang dihasilkan:

Pada batas ini hanya terjadi 4 kali iterasi dan nilai x telah konvergen. Didapat akar f(x) pada 0.5

dan 0.6 sebagai starting values adlaah x= 0.6 . Kemudian mahasiswa mencari graphic persamaan

karena persamaan polynomial pangkat 15 sehingga akan memiliki 15 akar