TUGAS 1 STRUKTUR ALJABAR Nama: Febrina Bidasari Nim: 20102512018 1.Cobalah uji dengan contoh bahwa hasil kali cycle yang saling lepas bersifat komutatif Jawab: Misal cycle-cycle dari permutasi adalah (1,3,4,5) dan (2,6,7) dalam 7SMaka : ( ) 5 , 4 , 3 , 1= ||.|

\|32451671234567 ( ) 7 , 6 , 2=||.|

\|16345721234567 Sehingga : ||.|

\|32451671234567||.|

\|16345721234567 = ||.|

\|36451721234567 dan ||.|

\|16345721234567||.|

\|32451671234567 =||.|

\|36451721234567 2.Jadikan permutasi ||.|

\|=234164123456umenjadi cycle dua-dua Jawab : Orbit dari 1 =2 ) 1 ( = u3 ) 2 ( )) 1 ( ( ) 1 (2= = = u u u u4 ) 3 ( )) 1 ( ( ) 1 (2 3= = = u u u u1 ) 4 ( )) 1 ( ( ) 1 (3 4= = = u u u uOrbit dari 5 = 6 ) 5 ( = u5 ) 6 ( )) 5 ( ( ) 5 (2= = = u u u uJadi cycle dari uadalah : (1,2,3,4),(5,6) Dan cycle dua-dua adalah : (1 2)(1 3)(1 4)(5 6) 3.Tentukan orbit dan cycle-cycle dari permutasi ||.|

\|234516798123456789 Jawab : Orbit dari 1 =2 ) 1 ( = u3 ) 2 ( )) 1 ( ( ) 1 (2= = = u u u u4 ) 3 ( )) 1 ( ( ) 1 (2 3= = = u u u u5 ) 4 ( )) 1 ( ( ) 1 (3 4= = = u u u u1 ) 5 ( )) 1 ( ( ) 1 (4 5= = = u u u uOrbit dari 6 = 6 ) 6 ( = uOrbit dari 7 = 7 ) 7 ( = uOrbit dari 8 = 9 ) 8 ( = u 8 ) 9 ( )) 8 ( ( ) 8 (2= = = u u u uMaka orbit 1 adalah {1,2,3,4,5} Orbit 6 adalah {6} Orbit 7 adalah {7} Orbit 8 adalah {8,9} Jadi cycle-cycle adalah (1,2,3,4,5),(6),(7),(8,9) 4.Buktikan bahwa) 1 , 2 ,.... 3 2 , ( ) ,.... 2 , 1 (1 =n n n n ? Bukti : Ambil) , 1 )( 1 , 1 ),....( 3 , 1 )( 2 , 1 ( ) ,... 2 , 1 ( n n n =Diketahui) 1 , 2 ( ) 2 , 1 (1= ) 1 , 3 ( ) 3 , 1 (1= . . . . ) 1 , ( ) , 1 (1n n = Maka :) , 1 ),....( 4 , 1 )( 3 , 1 )( 2 , 1 )( 1 , 2 ( ) ,....., 2 , 1 )( 1 , 2 ( n n = =) , 1 ),....( 4 , 1 )( 3 , 1 ( 1 n =) , 1 ( ),...., 4 , 1 )( 3 , 1 ( n) , 1 ),....( 4 , 1 )( 3 , 1 )( 1 , 3 ( ) ,....., 2 , 1 )( 1 , 2 )( 1 , 3 ( n n = =) , 1 ),....( 4 , 1 ( 1 n =) , 1 ( ),...., 4 , 1 ( nDan seterusnya, sedemikian hingga diperoleh : ) , 1 ,..... 2 , 1 )( 1 , 2 )( 1 , 3 ),.....( 1 , 1 )( 1 , ( n n n n Maka diperoleh :1) , 1 ,...., 2 , 1 ( n n=) 1 , 3 ),.....( 1 , 1 )( 1 , ( n n=) 1 , 2 )( 1 , 3 )....( 1 , 3 )( 1 , 2 )( 1 , 1 , ( n n n n =) 1 , 2 )( 1 , 3 )....( 1 , 3 )( 1 , 2 , 1 , ( n n n n=) 1 , 2 )( 1 , 3 )....( 1 , 3 , 2 , 1 , ( n n n n=) 1 , 2 , 3 ,.... 2 , 1 , ( n n nMaka terbukti : 1) , 1 ,...., 2 , 1 ( n n = ) 1 , 2 , 3 ,.... 2 , 1 , ( n n n