KATA PENGANTAR

Puji syukur kehadirat Tuhan Yang Maha Kuasa yang telah memberikan rahmat dan

karuniaNya sehingga tulisan ini dapat selesai dan rampung sebagaimanan diharapkan.

Tulisan ini merupakan salah satu syarat untuk digunakan dalam kenaikan pangkat

pegawai negeri sipil dilingkungan Universitas Tanjungpura Pontianak.

Pada tulisan ini dibahas mengenai teori perpindahan panas dan diselesaikan dengan

metoda Elemen Hingga yang selanjutnya dibuat dalam bentuk program untuk computer.

Pada kesempatan ini juga diperkenankanlah penulis mengucapkan terima kasih kepada

rekan-rekan dosen yang membantu sehingga tulisan ini dapat terwujud.

Dengan keterbatasan ilmu pengetahuan dan pengalaman penulis tentunya masih banyak

dijumpa kekurangan-kekurangan, untuk itu penulis harapkan saran dan kritik dari

pembaca untuk kesempurnaan dan perbaikan tulisan ini.

Akhir kata, penulis harapkan tulisan ini dapat bermamfaat bagi kita semua dan terutama

bagi penulis sendiri

Pontianak, Pebruary 2009

Penulis

Chrisna Djaja Mungok

NIP : 131679603

ABSTRAK

Suatu alasan pengguaan elemen hingga untuk analisis heat transfer adalah akibat

perkembangan penggunaan metoda elemen hingga yang pada mulanya hanya digunakan

untuk menyelesaikan masalah-masalah struktur. Dalam perkembangan selanjutnya

metoda elemen hingga dikembangkan untuk memecahkan masalah-masalah diluar

bidang struktur.

Persamaan differensial perpindahan panas dimodifikasi menjadi persamaan matrik yang

indentik dengan persamaan matrik dari struktur untuk penyelesaian dengan metode

elemen hingga.

Persamaan ini didapat dengan meminimumkan persamaan panas yang dinyatakan dalam

fungsi koordinat nodal point dan temperature.

Metoda elemen hingga digunakan untuk menyelesaikan masalah non struktur mula-

mula dilakukan oleh Melosh’s tahun 1963, Zieenkiewicz dan cheung tahun 1965,

Wilson dan Nickel tahun 1966 serta Martin tahun 1968 yang berupa masalah Torsion of

a shaft, Fluid flow dan Heat conduction.

Kasus heat transfer diuraikan dalam kasus perpindahan panas dua dimensi dengan

menggunakan elemen isoparametrik lengkung.

BAB I

PENDAHULUAN

1.1. MASALAH PANAS

Masalah panas mempunyai hubungan antara perpindahan panas dan termodinamika.

Jikalau dalam suatu system terdapat gradient suhu atau jikalau ada dua sistem yang

suhunya berbeda disinggungkan maka akan terjadi perpindahan energi. Proses yang

mana transport energi itu berlangsung disebut perpindahan panas (heat transfer).

Cabang ilmu pengetahuan yang membahas hubungan antara panas dan bentuk energi

lainnya disebut termodinamika. Semua proses perpindahan panas menyangkut

perpindahan dan pengubahan energi harus mengikuti hokum-hukum dasar

termodinamika.

1.2. CARA- CARA PERPINDAHAN PANAS.

Perpindahan panas dapat didefinisikan sebagai berpindahnya energi dar suatu daerah ke

daerah lainnya sebagai akibat dari beda suhu antara daerah-daerah tersebut. Pada

umumnya perpindahan panas mengenal tiga cara perpindahan panas yaitu konduksi

(conduction), radiasi (radiation) dan konveksi (convection).

1.2.1. KONDUKSI

Konduksi. Konduksi adalah proses yang mana panas mengalir dari daerah yang bersuhu

lebih tinggi kedaerah yang lebih rendah didalam suatu medium atau antara medium-

medium yang berlainan yang bersinggungan secara langsung. Dalam aliran panas

konduksi, perpindahan energi terjadi karena hubungan secara langsung tampa adanya

perpindahan molekul yang cukup besar. Energi yang dimiliki sutu elemen zat yang

disebabkan oleh kecepatan dan pasisi relative molekul-molekulnya disebut energi

dalam.

1.2.2. RADIASI

Radiasi. Radiasi adalah proses yang mana panas mengalir dari benda yang bersuhu

tinggi kebenda yang bersuhu rendah bila benda-benda itu terpisah dalam ruang atau

ruang hampa diantara benda-benda tersebut. Dalam ilmu perpindahan panas yang

diakibatkan oleh suhu dan yang dapat mengangkut energi melalui medium yang tembus

cahaya atau melalui ruang, maka energi yang berpindah dengan cara ini disebut panas

radiasi.

1.2.3. KONVEKSI

Konveksi. Konveksi adalah proses transport energi dengan kerja gabungan dari

konduksi panas, penyimpangan energi dan gerakan mencapur. Konveksi sangat penti

sebagai mekanisme perpindahan energi antara permukaan benda padat dan cair atau gas.

Dalam penyelesaian soal-soal perpindahan panas, kita tidak hanya perlu mengenal cara-

cara perpindahan panas yang memegang peranan tetapi juga mentukan apakah

prosesnya steady atau unsteady.

Bila laju aliran panas dalam suatu sistem tidak berubah dengan waktu, yaitu bila laju

tersebut konstan, maka suhu dititik manapun tidak berubah dan terdapat kondisi steady

state. Sedangkan aliran panas dalam suatu sistem adalah transient atau unsteady bila

suhu di berbagai titik dari sistem tersebut berubah dengan waktu.

1.3. LINGKUP/BATASAN MASALAH.

Tulisan ini akan membahas analisis perpindahan panas pada penampang melintang

sebuah pipa baja dengan menggunakan metoda elemen hingga. Perinsip metoda elemen

hingga ini adalah penampang melintang strukturnya dibuat model dengan membagi-

bagi menjadi elemen diskrit. Tiap-tiap elemen mempunyai sifat-sifat yang sama dengan

struktur asalnya.

Data input untuk program computer diketahui dari ilustrasi gambar potongan struktur

yang digunakan untuk menyelesaikan masalah perpindahan panas. Pada penampang

struktur mempunyai vertical axis of symmetry dan diketahui juga distribusi temperatur

pada permukaan pipa bagian dalam (inside boundary).

BAB II

HUKUM-HUKUM DASAR PERPINDAHAN PANAS

2.1. KONDUKSI.

Hubungan dasar untuk perpidahan panas dengan cara konduksi dikemukakan oleh

ilmuwan Perancis yang bermana J. B. J. Fourier dalam tahun 1882. Hubungan ini

menyatakan bahwa laju aliran panas denga cara konduksi dalam suatu bahan sama

dengan hasilkali dari tiga buah besaran yaitu

1. k, konduktivitas termal bahan.

2. A, luas penampang melalui panas mengalir dengan cara konduksi, yang harus

diukur tegak lurus terhadap arah aliran panas.

3. dT /dx , gradient suhu pada penampang tersebut, yaitu laju perubahan suhu T

terhadap jarak dalam arah aliran x.

Untuk menulis persamaan konduksi panas dalam bentuk matematika, kita harus

mengadakan perjanjian tentang tanda. Kita tetapkan bahwa arah nilainya jarak x adalah

arah aliran panas positif. Mengingat hokum kedua termodinamika panas akan mengalir

secara otomatis dari titik yang bersuhu lebih tinggi ketitik yang bersuhu lebih rendah,

maka aliran panas akan menjadi positif bila gradient suhu negative. (gambar 2.1).

Persamaan dasar untuk konduksi suatu demensi dalam kondisi steady state :

qk = - kA dT

dx

(2.1)

Dimana : qk = luas laju aliran panas ( W /m2 )

A = luas penampang elemen (m2 )

dT /dx = gradient suhu (❑0C / m )

k = konduktivitas termal bahan ( W /m. 0 C )

Gambar 2.1. perjanjian tanda untuk aliran panas konduksi.

Untuk kasus sederhanan aliran panas kondisi steady state melalui dinding daftar,

gradient suhu dan aliran panas tidak berubah dengan waktu dan sepanjang lintasan

aliran panas luas penampangnya sama. Persamaan 2.1 dapat dipisahkan dan persamaan

yang dihasilkan :

qk

A ∫o

L

dx=− ∫Tpanas

Tdingin

k dT (2.2)

Batas-batas intergrasi dapat diperiksa dimana suhu dipermukaan sebelah kiri (x = 0)

uniform pada Tpanas dan suhu pada permukaan sebelah kanan (x = L) uniform pada

Tdingin. Jika k tidak tergantung pada T, setelah intergrasi didapat rumus untuk laju

konduksi panas melalui dinding :

qk=A kL

(Tpanas−Tdingin )=∆TL/A k

(2.3)

Untuk ΔT pada persamaan ini, beda suhu antara suhu yang lebih tinggi Tpanas dan suhu

yang lebih rendah Tdingin, adalah potensial penggerak yang menyebabkan aliran panas

L/Ak seta dengan tahanan termal (thermal resistance) Rk yang diberikan oleh dinding

kepada aliran panas dengan cara konduksi dan diproleh :

Rk=LA k

(2.4)

Untuk melihat distribusi suhu untuk konduksi pada steady-state dengan melalui dinding

daftar dapat dilihat pada gambar 2.2.

Gambar 2.2. distribusi suhu untuk konduksi kondisi steady state melalui dinding datar.

Konduktansi termal (thermal conductance) adalah kabalikan dari tahanan termal.

Rk=A kL

(2.5)

k/l adalah konduktasi termal per satuan luas (unit thermal conductance) untuk aliran

panas konduksi.

2.2. KONVEKSI.

Laju perpindahan panas dengan cara konveksi antara suatu permukaan dan suatu fluida

dapat dihitung dengan hubungan :

qc=hc A ∆T (2.6)

Dimana : qc = laju perpindahan dengan cara conveksi (m2 )

A = luas perpindahan panas ( m2 )∆ T = beda suhu antara suhu permukaan Ts dan

suhu fluida T∞ di lokasi yang ditentukan (❑0 C)

hc = koefisien perpindahan pannas konveksi ( W /m2 . 0C )

harga hc dalam suatu sistem tergantung pada geometri permukaan dan kecepatannya,

maupun sifat-sifat fisik fluidanya dan seringkali juga pada beda suhu ∆ T. koefisien

perpindahan panas konveksi tidak selalu kostan dapat berubah-ubah dari suatu titik ke

titik lainnya. Karena itu harus dibedakan antara koefisien perpindahan konveksi lokal

dan rata-rata. Koefisien lokal hc didefinisikan dengan

dqc = hc dA (T s−T∞ ) (2.7)

sedangkan koefisient lokal didefinisikan dengan

hc=1A∫A

❑

∫ hc dA (2.8)

Dengan menggunakan persamaan (2.6) dapat didefinisikan konduksi termal Kc untuk

perpindahan panas konveksi yaitu

Kc = hc A (2.9)

Dan tahanan termal terhadap perpindahan panas konveksi Rc yang merupakan

kebalikan konduktasi yaitu

Rc = 1

hc A (2.10)

BAB III

KONDUKSI PANAS KONDUKSI STEDY STATE

3.1. KONDUKSI

3.1.1. KASUS DINDING DATAR

Kasus aliran panas suatu dimensi yang paling sederhana yaitu konduksi panas melalui

dinding datar. Untuk suhu seragam pada permukaan uang panas maupun yang dingin,

laju aliran panas dengan cara konduksi melalui suatu bahan yang homogen diberikan

oleh

qk = ( A . k / l ) (T panas−T dingin)=∆ T / Rk=¿ K k ∆T ¿

3.1.2. KASUS SILINDER BERLUBANG

Kasus aliran panas radial dengan cara konduksi melalui silinder berlubang merupakan

konduksi suatu dimensi. Contoh yang khas adalah konduksi melalui pipa dan melalui

isolasi pipa, jika silinder itu homogen dan cukup panjang sehingga pengaruh ujung-

ujungnya dapat diabaikan dan suhu permukaan dalamnya kostan pada T i sedangkan

suhu luar dipertahankan seragam pada To maka persamaan (2.1) untuk laju konduksi

panasnya adalah

qk = −k . A . dT /dr (3.1)

Dimana dT/dr adalah gardien suhu arah radial. Untuk silinder berlubang, luasnya

merupakan fungsi jari-jari, A = 2 π rl dimana r adalah jari-jari dan l panjang selinder.

Maka aliran panas dengan cara konduksi dapat dinyatakan sebagai

qk = −k 2π r ldTdr

(3.2)

Pemisahan variabel-variabel dan intergrasi antara To pada To dan Ti pada ri

menghasilkan

T i−T o=( qk /2 π kl )∈(lo/ri ) (3.3)

Gambar 3.1. konduksi melalui silinder berlubang.

3.2. KONDUKSI PANAS

DUA DAN TIGA DIMENSI.

Bila batas sistem untuk kasus atau dimensi tidak beraturan atau suhu sepanjang suatu

batas tidak seragam, maka penggarapan konduksi panas suatu dimensi tidak memuaskan

lagi. Konduksi panas dalam sistem dua atau tiga dimensi dapat diselesaikan dengan

metoda analitik, grafik, analog dan numerik. Pembahasan yang lengkap tentang

penyelesaian analitik memerlukan adanya pengetahuan tentang deret fourier, fungsi

bassel, polinominal legendre, metoda transform laplace dan teori variabel kompleks.

PERSAMAAN KONDUKSI PANAS.

Untuk mendapatkan persamaan distribusi suhu suatu elemen kecil didalam sebuah

benda padat dapat dituliskan hukum keseimbangan energi yaitu

Laju aliran laju pembangkitan laju aliran laju perubahan

panasmasuk panasoleh sumber panas keluar energi dalam

sumber dalam

(qx+qy +qz)+q (dxdydz )=∂T (qx+dx+q y+dy+qz+dz )+cρ (dx dy dz )−∂ θ

(3.4)

Dimana laju pembangkit panas per volume satuan q dan suhu T pada umumnya

merupakan fungsi dari tiga koordinat x,y,z maupun waktu θ.

Laju konduksi panas ke dalam elemen dengan melintasi permukaan kiri arah x, yaitu qx

menurut persamaan (3.4) dapat ditulis sebagai

qx=(−k∂ T∂ x )dy dz (3.5)

=+ -

Gambar 3.1. elemen benda padat untuk penurunan pers. Konduksi panas umum dalam

koordinat cartesius

Gradient suhu dinyatakan sebagai koefisien turunan parsial (partial derivative) karena T

tidak hanya fungsi x tetapi juga y,z dan θ. Laju konduksi panas yang keluar dari elemen

dengan melintasi permukaan kanan pada x + dx yaitu qx+dx adalah

qx+dx=[(−k∂ T∂ x )+ ∂

∂ x (−k∂ T∂ x )dx]dy dz (3.6)

Kurangkan laju aliran panas yang meninggalkan elemen dari laju aliran panas kedalam

elemen sehingga diperoleh

qx−qx+dx=∂(k ∂ T

∂ x )∂ x

dx dydz (3.7)

Masukkan pers. (3.7) juga arah y dan z ke dalam persamaan energi dan dibagi dengan

dx dy dz diperoleh

∂x (k

∂ T∂ x )+ ∂

y (k ∂ T∂ y )+ ∂

z (k∂ T∂ z )+q=c ρ

∂ T∂ θ

(3.8)

Jika sistemnya homogen dan panas jenis (specific heat) c serta kerapatan (density) ρ

tidak tergantung dari suhu, jika k dianggap seragam maka pers. Adalah

∂ T2

∂ x2 + ∂ T 2

∂ y2 +∂ T2

∂ z2 + qk=1

αT

∂ θ (3.9)

Dimana konstanta α = k/cρ disebut difusivita termal. Jika distribusi suhu kondisi steady

state di dalam benda yang tanpa sumber panas maka menjadi pers. Poisson

∂2T∂ x2 + ∂2T

∂ y2 +∂2 T∂ z2 + q

k=0 (3.10)

Jika disribusi suhu kondisi steady state di dalam benda yang tampa sumber panas harus

memenuhi pers. Laplace.

∂2T∂ x2 + ∂2T

∂ y2 +∂2 T∂ z2 =0 (3.11)

Penyelesaian analitik.

Tujuan analisa perpindahan panas adalah meramalkan laju aliran panas ayau distribusi

suhu. Dalam sistem dua dimensi tanpa sumber panas, persamaan yang mengatur

distribusi suhu dalam kondisi steady state adalah

∂2T∂ x2 + ∂2T

∂ y2=0 (3.12)

Penyelesaian analitik suatu konduksi panas harus memenuhi persamaan konduksi

panasnya dan syarat-syarat batas yang ditetapkan oleh kondisi fisik struktur benda.

Pendekatan yang klasik dalam penyelesaian persamaan fourier secara eksak adalah

pemiasahan variabel. Karena 𝜕T/𝜕z dapat diabaikan maka suhu merupakan fungsi x

dan y saja serta konduktivitas termal seragam, maka distribusi suhu harus memenuhi

persamaan

∂2T∂ x2 + ∂2T

∂ y2=0 (3.13)

Persamaan differensial partikel linier dan homogen yang dapat diintergrasikan dengan

mengansumsikan sutu penyelesaian hasilkali untuk T(x,y) yang berbentuk T = xy

dimana x = x (x) dan y = y(y) diperoleh

−1x

d2 xdx2 =1

yd2 ydy2 (3.14)

Gambar (3.2). aliran panas dalam dua dimensi

Dapat diperoleh dua persamaan differensial total

∂2 x∂ x2 +λ2 x=0 (3.15)

∂2 y∂ y2− λ2 y=0 (3.16)

Penyelesaian umum x = A cos λ x+B sin λx

y = C e−λ y+D e λ y

T = x , y

A, B, C dan D adalah kostan yang ditentukan syarat batas. Syarat-syarat batas yang

harus dipenuhi adalah T = 0 pada y = 0

Gambar (3.3) : pelat empat persegi panjang.

T = 0 pada x = 0, T = 0 pada x = L dan

T=Tmsinnπx

Lpada y=0 (3.16)

Masukan harga T didapat tiga syarat yaitu

Syarat pertama :

( A cos λx+B sin λx ) (C+D )=0

Syarat kedua :

A (C e−λy+D eλy )=0

Syarat ketiga :

( A cos λL+B sin λL ) (C e− λy+ D eλy )=0

Jika C = - D dan A = 0 diperoleh

T=∑n=1

∞

Cnsinnπx

Lsin n

nπyL

(3.18)

Pada gambar (3.4) memperlihatkan medan suhu dari pelat yang bersangkutan. Garis

penih adalah garis isotermis sedangkan garis putus-putus adalah garis-garis aliran panas.

Hal ini dapat dilihat garis yang menunjukan aliran panas tegak lurus pada isoterm.

Gambar (3.4). garis isotermis dan garis aliran panas pada pelat empat persegi.

Dengan metoda grafik dapat secara cepat menghasilkanperkiraan distribusi suhu yang

cukup baik pada sistem dua dimensi yang geometriknya rumit dengan batas-batas yang

iisotermal dan diisolasi. Tujuan metoda grafik adlah membuat jaringan yang terdiri dari

garis-garis isotrm dan garis-garis aliran panas konstan.

BAB IV

METODA ELEMEN HINGGA

Metoda elemen hingga adalah prosedur numerik untuk memecahkan masalah mekanika

kontinum dengan ketelitian yang dapat diterima. Banyak sekali masalah yang terlalu

kompleks untuk diperoleh hasilnya, untuk itu diperlukan solusi numerik yang cukup

memadai yaitu salah satunya adalah metoda elemen hingga.

ONE DIMENSIONAL LINEAR ELEMENT.

Elemen linier yang digunakan adalah

D=d2∅dx2 +Q=0 (4.1)

Elemen linier satu dimensi merupakan segmen garis yang panjangnya £ dan dua titik

nodal i dan j serta mempunyai фi dan фj

∅=α 1+α 2 x (4.2)

Koefisien α1 dan α2 dapat dihitung dengan determinan dengan menggunakan nodal

conditions.

∅=фi pada x=x i

∅=ф j pada x=x j

Gambar (4.1)

Maka didapat persamaan фi=α1+α 2 x i

ф j=α 1+α2 x j (4.3)

Dari pers. (4.3) didapat

α 1=фi x j−ф j x i

x j−x i

(4.4)

α 2=ф j−фi

x j−x i

Substitusikan pers. (4.4) ke pers. (4.1) menghasilkan

∅=( x j−x

L )фi+( x−x i

L )ф j (4.5)

Dimana xj – xi merupakan panjang elemen L, pers. (4.5) adalah merupakan bentuk

dalam elemen hingga yang standar. Fungsi bentuk dilukiskan dengan Ni dan Nj

N i=x j−x

Ldan N j=

x−x i

L (4.6)

Pers. (4.6) dapat dituliskan sebagai

∅=N i фi−N j ф j (4.7)

Atau

∅=[ N ] [ ф ] (4.8)

Dimana vektor baris dari fungsi bentuk

[ N ]=[ N i N j ] (4.9)

Dan vektor kolom dari elemen titik nodal

{ф }={фi

ф j} (4.10)

Gambar (4.2). the linear shape function Ni dan Nj.

TWO DIMENSIONAL ELEMENTS

Umumnya program elemen hingga digunakan untuk menyelesaikan masalah dua

dimensi yaitu program elemen segitiga, elemen sikuempat dan elemen umum lainnya.

Persamaan interpolasi untuk elemen segitiga mempunyai sisi dan titik sudut pada

ujungnya

∅=α 1+α 2 x+α 2 y (4.11)

Sedangkan untuk elemen sikuempat pers. Intrpolasinya

∅=C1+C2 x+C3 y+C4 xy (4.12)

ELEMEN ISOPARAMETIK QUADRILATERAL.

Suatu elemen hingga disebut isoparametirik bila fungsi geometrik dan fungsi bentuk

peralihan dari elemen tersebut menggunakan rumus interpolasi yang sama. Jadi elemen

ini akan memenuhi baik kondisi geometrik elemen maupun kompatibilitas peralihannya.

x=N1 x1 +N2 x2+N3 x3+………… ..N n xn

y=N 1 y1+N 2 y2+N3 y3+………… .. N n yn (4.13)

Bentuk lengkung dari karakteristik geometrik elemen yang dipergunakan untuk sistem

koordinat natural menggantikan koordinat certesian sehingga memudahkan proses

penurunan dan pengintergrasian matrik kekakuan dan beban titik simpul ekivalen. Hal

ini elemen isoparametrik quadrilateral dengan delapan titik nodal koordinat x dan y

dapat di transformasikan kedalam bentuk koordinat natural ξ dan n yaitu