Transformasi Wavelet Haar

Heri Susanto (teknik elektro Unyiah) email: [email protected]

2.5.1 Transformasi Wavelet Kontinu (TWK)

Cara kerja transformasi Wavelet kontinu (TWK) adalah dengan

menghitung konvolusi sebuah sinyal dengan sebuah jendela modulasi pada setiap waktu dengan

setiap skala yang diinginkan. Jendela modulasi yang mempunyai skala fleksibel inilah yang biasa

disebut induk Wavelet atau fungsi dasar Wavelet. Dalam transformasi Wavelet digunakan

istilah translasi dan skala, karena istilah waktu dan frekuensi sudah digunakan oleh transformasi

Fourier. Translasi adalah lokasi jendela modulasi saat digeser sepanjang sinyal, berhubungan

dengan informasi waktu. Skala behubungan dengan frekuensi, skala tinggi (frekuensi rendah)

berhubungan dengan informasi global dari sebuah sinyal, sedangkan skala rendah (frekuensi

tinggi) berhubungan dengan informasi detail.

2.5.2 Tranformasi Wavelet Diskrit (TWD)

Transformasi Wavelet diskrit (TWD) mulai dikenal pada tahun 1976 dimana teknik untuk

mendekomposisi sinyal waktu ditemukan (Polikar, Robi 1998). Di dalam transformasi Wavelet

kontinu (TWK), sinyal dianalisi menggunakan seperangkat fungsi dasar yang saling

berhubungan dengan penskalaan dan transisi sederhana. Sedangkan dalam TWD, penggambaran

sebuah skala waktu sinyal digital didapatkan dengan teknik filterisasi digital. Secara garis besar

proses dalam teknik ini adalah dengan melewatkan sinyal yang akan dianalisis pada filter dengan

frekuensi dan skala yang berbeda.

Filterisasi sendiri merupakan sebuah fungsi yang digunakan dalam pemprosesan sinyal.

Wavelet dapat direalisasikan menggunakan iterasi filter dengan penskalaan. Resolusi dari sinyal

yang merupakan rata-rata dari jumlah detil informasi dalam sinyal ditentukan melalaui filterisasi

ini dan skalanya didapatkan dengan upsampling dan downsampling (subsampling).

Sebuah sinyal harus dilewatkan dalam dua filterisasi TWD yaitu highpass filter dan

lowpass filter agar frekuensi dari sinyal tersebut dapat dianalisis. Analisa sinyal dilakukan

terhadap hasil filterisasi highpass filter digunakan untuk menganalisa frekuensi tinggi dan

lowpass filter digunakan untuk frekuesi rendah. Analisis terhadap frekuensi dilakukan dengan

cara menggunakan resolusi yang dihasilkan sebuah sinyal yang dilewati filterisasi. Analisis

frekuensi yang berbeda dengan menggunakan resolusi yang berbeda inilah yang disebut dengan

multi-resolution analysis (Meutia, Rahmi, 2009).

http://id.wikipedia.org/wiki/Skala

http://id.wikipedia.org/wiki/Translasi

http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Konvolusi&action=edit&redlink=1


2.6 DEKOMPOSISI CITRA PADA TRANSFORMASI WAVELET

Pembagian sinyal menjadi frekuensi tinggi dan frekuensi rendah dalam proses filterisasi

highpass filter dan lowpass filter disebut sebagai dekomposisi. Proses dekomposisi dimulai

dengan melewatkan sinyal asal melewati highpass filter dan lowpass filter. Misalkan sinyal asal

ini memiliki rentang waktu frekuensi dari 0 sampai dengan π rad/s dalam melewati highpass

filter dan lowpass filter ini, rentang di-subsample menjadi dua, sehingga rentang frekuensi

tertinggi masing-masing subsample menjadi π/2 rad/s. Sehingga sinyal dapat selalu di-subsample

oleh 2(↓2) dengan cara mengabaikan setiap sample yang kedua (Zulfathan 2010).

Proses dekomposisi ini dapat melalui satu atau lebih tingkatan. Dekomposisi satu tingkat

ditulis secara matematis pada persamaan berikut:

Y tinggi [k ]=∑n

X [ n ] h[2 k−n ] (2.4)

Y rendah [ k ]=∑n

X [n ] g[2k−n] (2.5)

Dimana :

Y tinggi dan Y rendah = hasil dari highpass filter dan lowpass filter

X[n] = sinyal asal

h[n] = highpass filter

g[n] = lowpass filter

Untuk dekomposisi lebih dari satu tingkat, prosedur pada rumus diatas dapat digunakan

pada masing-masing tingkatan. Misal penggambaran dekomposisi dipaparkan pada gambar 2.3

berikut dengan menggunakan dekomposisi tiga tingkat.


Gambar 1: Dekomposisi Wavelet Tiga Tingkat (Meutia, Rahmi 2009)

2.7 REKONTRUKSI CITRA PADA TRANFORMASI WAVELET

Dengan menggunakan koefisien TWD, maka dapat dilakukan proses inverse discrete

transform (IDWT) untuk merekontruksi menjadi sinyal asal. TWD menganalisis sinyal pada

frekuensi berbeda dengan resolusi berbeda melalui dekomposisi sinyal menjadi detil informasi

dan taksiran kasar. DWT bekerja pada dua kumpulan fungsi yang disebut fungsi penskalaan dan

fungsi wavalet yang masing-masing berhubungan dengan lowpass filter dan highpass filter

(Zulfathan 2010).

Proses rekontruksi diawali dengan menggabungkan koefisien TWD dari yang berada

pada akhir dekomposisi dengan sebelumnya meng-upsample oleh 2(↑2) melalui highpass filter

dan lowpassfilter. Proses rekontruksi ini sepenuhnya merupakan kebalikan dari proses

dekomposisi sesuai dengan tingkatan pada proses dekomposisi. Sehingga persamaan rekontruksi

pada masing-masing tingkatan dapat ditulis sebagai berikut:

X [ n ]=∑k

(Y tinggi¿ [ k ] h [−n+2k ]+Y rendah [ k ] g[−n+2 k ])¿ (2.9)

Proses rekontruksi Wavelet untuk mendapatkan sinyal asal dengan tiga tingkatan

digambarkan pada gambar 2.6.

Gambar 2.5: Rekontruksi Wavelet Tiga Tingkat (Meutia, Rahmi, 2009)

Rekontruksi dari proses dekomposisi pada gambar 2.5, disebut juga inverse Wavelet

transform. Koefisien aproksimasi dan detail (horizontal, vertikal dan diagonal) di-upsampling


dan dikonvolusi dengan dua filter 1D. Satu filter bekerja pada kolom dan yang lainnya bekerja

pada baris. Proses ini diulangi hingga berbentuk citra asli.

2.8 WAVELET HAAR

Dalam transformasi Wavelet Haar, terdapat dua proses yang harus dilakukan yaitu

transformasi forward (dekomposisi) dan transformasi inverse (rekontruksi). Transformasi

forward berguna untuk memecah gambar. Sedangkan transformasi inverse adalah kebalikannya,

yaitu membentuk kembali pecahan-pecahan gambar dari proses forward menjadi sebuah citra

seperti semula (proses rekonstruksi) (Donoho 1994).

2.8.1 Transformasi Forward (Dekomposisi)

Tiap langkah dalam transformasi Haar memperhitungkan kumpulan koefisien-koefisien

Wavelet dan kumpulan rata-rata. Jika suatu kumpulan data S0, S1, …, SN-1 berisi unsur-unsur N,

akan terdapat N/2 rata-rata dan N/2 nilai-nilai koefisien. Rata-rata disimpan dalam setengah lebih

rendah dari kesatuan unsur N dan koefisien-koefisien disimpan dalam setengah diatas. Rata-rata

menjadi input untuk langkah selanjutnya dalam penghitungan Wavelet, dimana untuk iterasi i+1,

Ni+1 = Ni/2. Iterasi-iterasi berlanjut sampai suatu rata-rata tunggal dan koefisien tunggal dihitung.

Ini mengganti sekumpulan data asal dari unsur-unsur N dengan rata-rata yang telah didapat, yang

diikuti dengan sekumpulan koefisien-koefisien yang ukurannya adalah peningkatan pangkat dua

(misalnya, 20, 21, 22, …, N/2) (I. Dabechies 1992).

Persamaan-persamaan Haar untuk menghitung suatu rata-rata (ai) dan koefisien-koefisien

Wavelet (ci) dari suatu unsur ganjil dan genap dalam sekumpulan data ditunjukkan di bawah :

ai =

S i+Si+1

2 (2.10)

ci =

S i−S i+1

2 (2.11)

Dalam terminologi Wavelet, rata-rata Haar dihitung dengan fungsi penskalaan. Koefisien

dihitung dengan fungsi Wavelet.

Input data pada tranformasi Haar dapat secara sempurna dibangun kembali dengan

menggunakan persamaan-persamaan berikut :


Si = ai + ci (2.12)

Si+1 = ai - ci (2.13)

Dalam pandangan aljabar linear transformasi forward Haar, rata-rata pertama dihitung

dengan produk sinyal linear [s0, s1, …sN-1] dan vektor, dari ukuran yang sama [0,5, -0,5, 0, 0, …

0]. Rata-rata dan koefisien selanjutnya dihitung dengan merubah penskalaan dan vektor-vektor

Wavelet dengan dua dan menghitung produk-produk sebelah dalam.

Pada penskalaan literatur dan nilai-nilai Wavelet terkadang ditunjukkan masing-masing

dengan h1 dan g1.

Koefisien-koefisien fungsi penskalaan:

h0 = 0,5

h1 = 0,5

Koefisien-koefisien fungsi Wavelet :

g0 = 0,5

g1 = - 0,5

Penskalaan dan nilai-nilai Wavelet untuk perubahan Haar ditunjukkan di bawah ini dalam bentuk

matriks :

Gambar 2.6: Matriks Transformasi Haar

Langkah pertama dari transformasi forward Haar delapan sinyal unsur diperlihatkan di bawah.

Disini sinyal dikalikan dengan matriks tranformasi forward :


Gambar 2.7: Matriks Transformasi Forward Haar

Tanda panah menunjukkan operasi pembagian yang mengatur kembali hasil sehingga

nilai-nilai rata-rata berada dalam setengah pertama vektor dan koefisien-koefisien berada dalam

setengah kedua vektor. Langkah selanjutnya mengalikan nilai-nilai ai dengan matriks perubahan

4 x 4, yang menghasilkan dua rata-rata baru dan dua koefisien-koefisien baru yang akan

menggantikan rata-rata dalam langkah pertama. Langkah terakhir mengalikan rata-rata baru ini

semua dengan matriks 2 x 2 yang menghasilkan rata-rata akhir dan koefisien akhir.

Citra asli V dengan M x N piksel didekomposisi menjadi empat subband LL1, LH1, HL1,

dan HH1 dengan menggunakan transformasi Wavelet Haar. Komponen-komponen tersebut

secara matematis untuk transformasi Wavelet dengan filter Haar dihasilkan dengan

menggunakan persamaan sebagai berikut:

ll 1 ( x,y )=1

4∑i=0

1

∑j=0

1

v (2 x+i ,2 y+ j) (2.14)

lh 1 ( x,y )=1

4∑i=0

1

v (2 x+i ,2 y )−14∑i=0

1

v (2 x+ i , 2 y+1)

(2.15)

hl 1 (x,y )=1

4∑j=0

1

v (2x ,2 y+ j)− 14∑j=0

1

v (2 x+1,2 y+ j) (2.16)

hh 1 ( x,y )=1

4{v (2 x , 2 y )+v (2 x+1,2 y+1 )−v (2 x+1,2 y )−v (2 x , 2 y+1 )}

(2.17)


Dengan syarat : [0≤x≤ M

2, 0≤ y≤ N

2 ](2.18)

Dimana v(x,y) merupakan nilai piksel pada koordinat (x,y) pada citra V. Sedangkan ll1(x,y),

lh1(x,y), hl1(x,y), dan hh1(x,y) secara berturut-turut adalah komponen pada koordinat (x,y) dari

LL1, LH1, HL1, dan HH1. LL merupakan setengah resolusi dari citra asli. LH merupakan subband

detail horizontal, HL merupakan subband detail vertikal, dan HH merupakan subband dari detail

diagonal. LL1 selanjutnya didekomposisi menjadi empat subband LL2, HL2, LH2, dan HH2.

Operasi ini dapat diulang sampai dengan LL sama dengan 1 x 1.

Berikut adalah gambar dan pembagian subband dari proses forwad Haar :

Gambar 2.8: Proses Transformasi Forward Haar

Keterangan:

L = Lowpass

H = Highpass


2.8.2 Transformasi Inverse (Rekontruksi)

Seperti pada transformasi forward Haar, satu langkah dalam transformasi inverse Haar

dapat digambarkan dalam hubungan-hubungan aljabar linear. Operasi matriks untuk

membalikkan langkah pertama transformasi Haar untuk delapan sinyal unsur ditunjukkan di

bawah:

Gambar 2.9: Matriks Transformasi Inverse Haar

Proses pengembalian dekomposisi Haar menjadi sebuah citra kembali (rekonstruksi), secara

singkat bisa dijabarkan sebagai berikut:

1. Mengembalikan LL2, HL2, LH2, dan HH2 menjadi LL1, dengan cara mengambil satu

piksel di LL2, HL2, LH2, dan HH2, dengan koordinat yang sama, begitu seterusnya

sampai koordinat terakhir.

2. Mengembalikan LL1, HL1, LH1, dan HH1 menjadi citra kembali dengan cara yang sama

seperti pada proses.

Transformasi Wavelet Haar

Documents

Transcript of Transformasi Wavelet Haar