Transformasi Fourier Waktu Diskrit...

Edisi Semester 1 17/18 EYH 1

Materi :

•Konvergensi transformasi Fourier

•Sifat-sifat TFWD

•Karakteristik domain frekuensi sistem linier tidak berubah terhadap waktu

•Filter frekuensi selektif

•Pasangan TFWD

•Pemakaian TFWD

Transformasi Fourier Waktu Diskrit (TFWD)3


3.1 Konvergensi Transformasi Fourier

1Persamaan sintesis ( ) (1)

2

Persamaan analisis ( ) (2)

Deretan yang

j j nx n X e e d

j j nX e x n e

n

dapat direpresentasikan oleh persamaan (1) adalah deretan yang memenuhi konvergensi

dari penjumlahan tak hingga pada persamaan (2).

Konvergen uniform bila ( ) , d imana ( ) adalah limit Mj jX e X e

dari penjumlahan yang berhingga

( )

lim ( ) ( ) 0M

Deretan akan konvergen uniform bila absolutely summable .

Mj j nX e x n eM

n M

j jX e X eM

( )

Bila deretan absolutely summable

j j nX e x n e

n

j nx n e

n

x n

n

, yaitu , maka ( )ada jx n X e

n

Transformasi Fourier Waktu Diskrit3


1Persamaan sintesis ( ) (1)

2

Persamaan analisis ( ) (2)

Deretan yang

j j nx n X e e d

j j nX e x n e

n

dapat direpresentasikan oleh persamaan (1) adalah deretan yang memenuhi konvergensi

dari penjumlahan tak hingga pada persamaan (2).

Konvergen uniform bila ( ) , d imana ( ) adalah limit Mj jX e X e

dari penjumlahan yang berhingga

( )

lim ( ) ( ) 0M

Deretan akan konvergen uniform bila absolutely summable .

Mj j nX e x n eM

n M

j jX e X eM

( )

Bila deretan absolutely summable

j j nX e x n e

n

j nx n e

n

x n

n

, yaitu , maka ( )ada jx n X e

n


Beberapa pengecualian

Selain deretan yang absolutely summable , deretan yang mean square summable

juga dapat direpresentasikan oleh Transformasi Fourier Waktu Diskrit.

Deretan yang memenuhi mean squar

e convergence

2 ( )

dimana ( ) adalah limit M dari penjumlahan yang berhingga

( )

jX e

jX e

Mj j nX e x n eM

n M

2

lim ( ) ( ) 0M

Konvergensi deretan akan mean square convergence bila deretan tersebut

mean square summable .

2

j jX e X e dM

x n

n

2

enerji terbatasE x nx

n


Fungsi ( ) dievaluasi untuk beberapa harga M.

Harga M semakin besar, osilasi pada frekuensi ,

amplituda ripple tetap (fenomena Gibbs).

Begitu juga untuk M mplituda maksi

j

M

c

H e

semakin cepat tetapi

a

lp

mum ripple tidak

menuju nol, osilasi konvergen menuju titik . ( ) tidak konvergen

uniform menuju fungsi ( ).

Akan tetapi h n akan mean square convergence , yaitu

j

c M

j

Sehingga H e

H e

2

M lim ( ) ( ) 0 j j

lp MH e H e d


3.2 Sifat-sifat Transformasi Fourier Waktu Dsikrit

1. Periodik dengan perioda 2 : ( ) ( )

Bukti : ( ) . ( )

2. Simetris

jj

j j n j n j n j n j

n n n

X e X e

X e x n e x n e e x n e X e

2

2 2 2

x(n) X(ej)

Riil dan genap Riil dan genap

Riil dan ganjil Imajiner dan ganjil

Imajiner dan genap Imajiner dan genap

Imajiner dan ganjil Riil dan ganjil

Contoh:

a.

cos cosj j n

n

x n n n n n n

X e x n e

2

2

2 2 1 3 2 1 2

2 2 4 3


3. Linier

Bila ( ) dan ( )

Maka . . . ( ) . ( )

4. Pergeseran deretan

Bila ( ) maka . ( )

5. Pembalikan waktu

Bila

j j

j j

j nj j

x n X e x n X e

a x n b x n a X e b X e

x n X e x n n e X e

x n X

0

1 1 2 2

1 2 1 2

0

*

( ) maka ( )

Bila riil maka ( )

6. Modulasi

Bila ( ) maka ( )

cos . , . , .

cos . , ( ) , ( )

j j

j

jj nj

j n j n

j j

e x n X e

x n x n X e

x n X e e x n X e

n x n e x n e x n

n x n X e X e

00

0 0

0 0

0

0

0 5 0 5

0 5 0 5

Contoh:

b.

.sin sinj j n

n

x n n n n n

X e x n e j j

2

2

2 2 1 2 1 2

2 2 4


7. Konvolusi

Bila ( ) dan ( )

dan bila maka

( ). ( )

Bukti :

( )

j j

k

j j

j j n j n

n n k

n

x n X e h n H e

y n x k h n k x n h n

x n h n X e H e

Y e y n e x k h n k e

x k h n k

( ). ( )

8. Multiplikasi

Bila ( ) dan ( )

Maka .

Bukti :

(

j l kj n

k k l

j k j l j j

k l

j j

jj

e x k h l e

x k e h l e X e H e

x n X e w n W e

y n x n w n X e W e d

Y

1

2

) .

. . . .

. . .

Hal ini disebut teorema "wi

j j n j n

n n

j j n j n

n

j n jj j

n

e y n e x n w n e

X e e d w n e

X e d w n e X e W e d

12

12

1

2

ndowing", konvolusi dikawasan frekuensi dijital


9. Turunan dalam kawasan

( ) Bila ( ) maka .

10. Konjugasi

Bila ( ) maka ( )

11.Teorema parseval

Bila ( ) dan ( )

maka

jj

j j

j j

dX ex n X e n x n j

d

x n X e x n X e

x n X e x n X e

x n x

1 1 2 2

1

*

n=- -

n=- -

21

( ). ( )

Bila = = maka = ( )

Teorema parseval disebut juga teorema konservasi enerji.

Fungsi ( ) disebut energy density s

j j

j

j

n X e X e

x n x n x n x n X e d

X e

2 1 2

22

1 2

2

1

2

1

2

n=-

-

pectrum.

Enerji dalam kawasan n

sama dengan enerji dalam kawasan ( )j

x n

X e d

2

21

2


3.3. Karakteristik Domain Frekuensi Sistem inier Tidak Berubah Terhadap Waktu

3.3.1 Respon terhadap Sinyal Eksponensial Kompleks

Pada sistem linier tidak berubah terhadap waktu :

y(n)=.x(n)h(n)x(n)

=eigen value, secara umum tergantung sinyal masukan ( )

Bila ( ) - <n < dan =konstan, maka

( ) disebut fungsi eigen sistem linier tidak berubah terhadap waktu (LTI).

Keluaran sistem :

x n

j nx n e

j nx n e

*

( )

Bila ( ) ( ) .

y n x n h n

j n k j n j ky n h k x n k h k e e h k e

k k k

j k j j j nh k e H e y n H e e x n

k


( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

disebut respon frekuensi sistem linier tidak berubah terhadap waktu.

Umumnya nilainya kompleks sebagai fungsi

Dalam term magnituda dan fasa =

jH e

j j k j jH e h k e H e jH er i

k

j jH e H e

.

( ) ( ).

22 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )

[ ]

1

dimana dan adalah magnituda dan fasa

Respon magnitude squared :

Group delay :

Apabila penjumlahan eksponensial

k

je

j jH e H e

j j j j jH e H e H e H e H er i

d

d

Nj n

x n ek

k

[ ]

1

kompleks maka

dimana adalah respon sistem pada = .k

k k

k

Nj j n

y n H e ek

k

jH e


3.3.2 Respon terhadap Sinyal Sinusoidal

Masukan dari sistem linier tidak berubah terhadap waktu (LTI) adalah

x(n) = A cos(ω0n +)=Aej ejω0n /2+ Ae-je-jω0n /2 .

Keluaran dari sistem LTI dengan respon impuls h(n) :

0 0 0 0

0 0

0 0

0 0

( ) ( )

2 2

2Re / 2 ( )

Re ( ) exp arg ( )0

( ) cos arg ( )0

j n j j n jj jAe e H e Ae e H ey n

j j n jy n A H e e e

j jy n A H e j n H e

j jA H e n H e

fasamagnitude berubahberubah


y(n)= e jωn H(e jω)Sistem LTI

h(n)

H(e jω)

e jωn

kj nx n ek

k

( )j j kH e h k e

k

0 0( ) cos arg ( )0j j

y n A H e n H e

fasamagnitude berubahberubah

Sistem LTI

h(n)

H(e jω)

A cos(ω0n +)

Sistem LTI

h(n)

H(e jω)

k kj j ny n H e ek

k


( )

d

h n n nd

j j kH e k n ed

k

j ne

Sistem LTI

Delay Ideal

y(n) =x(n-nd)x(n)] =e jωn

Contoh 1. Delay Ideal : y(n) =x(n-nd)

y(n)]= e jωn-nd

= e jωn . e-jωnd

y(n)= e jωn H(e jω)

H(e jω)=e -jωnd


2

( )

0.5 1 0.5 2

0.5 0.5

(0.5 1 0.5 )

(1 cos )

( 1 cos 1 cos 0.75 0.2929

arg arg

j j k

k

j k

k

j j

j j j

j

j

j

H e h k e

k k k e

e e

e e e

e

H e

H e

(1 cos )

0.75

0 0

0 0

0( ) cos arg ( )

5 ( ) cos 0.05 arg ( )

j j

fasamagnitudeberubahberubah

j j

y n A H e n H e

y n H e n H e

Sistem LTI

h(n)

H(e jω)

x(n) = 5 cos(0.75n)

ω = 0.75

h(n) =0.5(n)+ (n-1)+0.5(n-2)

x n ]

1.4645cos 0.75 0.75

1.4645 cos 0.75 1magnitude x n

inputberubah

bergeser

y n n

n

Contoh 2. Sistem LTI : y(n) =0.5x(n)+ x(n-1)+0.5x(n-2)


2

( )

0.5 1 0.5 2

0.5 0.5

(0.5 1 0.5 )

(1 cos )

( 1 cos 1 cos 0.25 1.707

arg arg(

j j k

k

j k

k

j j

j j j

j

j

j

H e h k e

k k k e

e e

e e e

e

H e

H e

1 cos )

0.25

0 0

0 0

0( ) cos arg ( )

5 ( ) cos 0.05 arg ( )

j j

fasamagnitudeberubahberubah

j j

y n A H e n H e

y n H e n H e

Sistem LTI

h(n)

H(e jω)

x(n) = 5 cos(0.25n)

ω = 0.25

h(n) =0.5(n)+ (n-1)+0.5(n-2)

[ ]

x[n]

8.5355cos 0.25 0.25

8.5355 cos 0.25 1magnitude x n

inputberubahbergeser

y n n

n

Contoh 3. Sistem LTI : y(n) =0.5x(n)+ x(n-1)+0.5x(n-2)


( ) (1 cos )

( 1 cos

arg arg(1 cos )

j j

j

j

H e e

H e

H e


3.3.3 Sifat-sifat Respon Frekuensi

1. Periodik dengan perioda 2 .

Sinyal maka periodik dengan periode 2 .

Bila masukan sistem maka keluaran ( ).

Bila masukan sistem ( ).

00

0 0 0

0 0 0

2

2 2

j nj n

j n j j n

j n j j

x n e e x n

x n e y n H e e

x n e y n H e e

( ).

maka ( ) ( ) periodik dengan perioda 2 .

2. Simetris

Bila maka ( ) simetris conjugate

Artinya :

,

0 0

00

2 2

2

n j j n

jj

j j k

k

j j

H e e

H e H e

h n riil H e h k e

H e H e

( ) ( ) fungsi genap

( ) ( ) fungsi ganjil

( ) ( ) fungsi genap, fungsi ganji

j j

r r

j j

i i

j j

H e H e

H e H e

H e H e

l

Group delay : = - fungsi ganjil


Contoh 1.

Persamaan suatu sistem linier tidak berubah terhadap waktu yang kausal :

Turunkan persamaan dan gambarkan respon magnituda dan respon fasa

, 1

0 9 1

0 9 1

0 9

j j

n

h

y n x n , y n

H e H( e )

y n x n , y n

y n C ,

,

0

1 1

0 0 0

0

0 9 1

0 0 0 9 1 0 1

0 0 9 1 1

0 9 0

10 9 0 9

1 0 9

1 1 0 9 1 0 9 11 0 9

1 0 81 0 191 0 9 1 0 9

n

kkj j k j k j

jk k k

j jj

j j

n

h n n , h n

h , h h

h C , C

h n , n

H( e ) h k e , e , .e, e

, e , eH( e ) . , cos j

, ,, e , e

2 2

0 9

1 1 1 1

1 0 9 1 0 9 0 9 1 81 1 81 0 9 0 9

0 9

1 0 9

j

j

, sin

H( e ), e , cos j , sin , , cos, cos , sin

, sintan

, cos


Contoh 2.

Respon Frekuensi Window Persegi

Respon impuls filter window persegi :

1

0

2 2 2

2 2 2

2

1 0 1

0

1

1

2

j NN

j j k j k

jk k

j N / j N / j N /

j / j / j /

j N /

, n N -h n

,lainnya

eH e h k e e

e

e e e

e e e

e sin N /

e

2

1 2

2

2

2

2

2

21 2

2

j /

j N /

j

j

sin /

sin N /e

sin /

sin N /H e

sin /

sin N /arg H e N / arg

sin /


Respon Frekuensi Window Persegi untuk N = 5


3.4. Sistem Linier Tidak Berubah terhadap Waktu sebagai Filter Frekuensi Selektif

Contoh penggunaan filter :

• spectral shaping ( mis; ekualisasi pada kanal komunikasi)

• noise suppression

• signal detection pada radar, sonar dan komunikasi

• analisis spektral sinyal, dsb

Pemfilteran ditentukan oleh karakteristik respons frekuensi ( ), yang tentunya

bergantung pada parameter sistem ( mis: koefisien ,dan pada persamaan

perbedaan yang mengkarakteristikkan sistem).

S

j

k k

H e

a b

istem LTI memodifikasi spektrum sinyal input ( ) menggunakan ( )

untuk mendapatkan spektrum ouput ( ) ( ). ( ).

( ) berlaku sebagai spectral shaping function terhadap berbagai

kompone

j j

j j j

j

X e H e

Y e X e H e

H e

n frekuensi pada sinyal input.


Filter Lowpass

Filter High pass

Filter Band pass

Filter Band stop / reject / notch

- -c c

H(ej)

1

- -c2 -c1 c1 c2

H(ej)

1

- -c c

H(ej)

1

- -c2 -c1 c1 c2

H(ej)

1

3.4.1 Karakteristik Filter Ideal


Filter ideal mempunyai karakteristik :

- Gain konstan ( biasanya =1) pada daerah passband

- Gain nol pada daerah stopband

- Respon fasa linier.

Sistem linier mempunyai respon fasa linier bila respon freku

ensinya :

( ) ( ). =bilangan riil

( ) fungsi , ( ) nilainya riil.

Respon fasa : ( )

( )

Group delay :

0

0

j j j

j j

j

j

H e A e e

A e A e

A e

A e

konstan

Sistem linier mempunyai sifat "generalized linier phase " atau "piecewise linier phase" bila:

( ) ( ). jj j

d

H e A e e


3.5 Pasangan Transformasi Fourier Waktu Diskrit

x(n) X(ej)

1

1

u(n)

n

0n n 0 jne

2 2 k

k

0 j ne

02 2 k

k

1na u n a1

1 jae

sin cn

n

, ,

,

c

c

1 X

0

je

cos 0n 0 02 k 2 k

k

1

2 k 1

jke


12

Persamaan perbedaan sistem LTI yang stabil sbb :

-

Dengan Transformasi Fourier Waktu Diskrit

( ) dan ( )

( )

j j

j j

y n y n x n x n

y n Y e x n X e

Y e e

1 12 4

1 1

12

( ) ( ) ( )

( ) 1- ( )

( ) ( )

( ) -

j j j j

j j j j

jjj

j j

Y e X e e X e

Y e e X e e

eY eH e

X e e

14

14

14

12

1

1

1

3.6 Pemakaian Transformasi Fourier Waktu Dsikrit

3.6.1 Menentukan Respon Frekuensi dari Persamaan Perbedaan


Persamaan perbedaan sistem LTI yang stabil sbb :

-

Persamaan respon impuls

-

Dengan Transformasi Fourier Waktu Diskrit

y n y n x n x n

h n h n n n

1 12 4

1 12 4

1 1

1 1

12

12

12

1 12 2

( ) ( )

( ) 1-

( )1-

( )1- 1-

j j j j

j j j

j

j

j

j

j

j

H e e H e e

H e e e

eH e

e

eH e

e e

14

14

14

14

1

1

1

1

12 1

2

12 1

2

1-

- 1-

-

j

n TF

j

jn TF

j

n n

u ne

eu n

e

h n u n u n

11 41

4

11 1 12 4 2

1

1

1

3.6.2 Menentukan Respon Impuls dari Persamaan Perbedaan

Transformasi Fourier Waktu Diskrit...

Documents

Transcript of Transformasi Fourier Waktu Diskrit...