TI 2001 or 1 - Kuliah 07 - Analisis Sensitivitas - 11 MAR 14 (1)

TI 2001 Penelitian Operasional I 1

Analisis Sensitivitas

(Sensitivity Analysis)

Kuliah 07


Pengertian analisis sensitivitas

Analisis sensitivitas dengan metode grafis

Analisis sensitivitas dengan metode simplex

Materi Bahasan


Pengertian Analisis Sensitivitas



Analisis thd. perubahan solusi optimal & nilai

optimal krn. perubahan parameter model (data input).

Perubahan:

1) Koefisien fungsi tujuan, c

2) Konstanta ruas kanan, b

3) Koefisien teknologi, aij

Penambahan aktivitas atau variabel baru

Perubahan pengunaan sumber dari aktivitas

(perubahan kolom)

Penambahan pembatas baru


Efek dari Perubahan Parameter Model

Perubahan parameter model yg. mempenga-

ruhi optimalitas :

Perubahan koefisien fungsi tujuan

Penambahan aktivitas (variabel) baru

Perubahan penggunaan sumber daya dari aktivitas

Perubahan parameter model yg. mempenga-

ruhi kelayakan :

Perubahan konstanta ruas kanan



Analisis Sensitivitas dengan Metode Grafis



Perubahan Konstanta Ruas Kanan

(ketersediaan SumberDaya)

Masalah Sensitivitas 1

Berapa banyak suatu sumber daya dapat

ditingkatkan untuk memperbaiki nilai fungsi

tujuan optimum Z* ?

Berapa banyak suatu sumber daya dapat

diturunkan tanpa menyebabkan perubahan solusi

optimum x*saat ini?


Pembatas binding dan nonbinding (1)

Pembatas

Binding sumber daya yg langka (scarce

resource)

Non-binding sumber daya yg berlebihan

(abundant resource)


Contoh Masalah Produk Campuran (*)

Variabel keputusan:

x1 = jumlah cat eksterior yang diproduksi per hari

x2 = jumlah cat interior yang diproduksi per hari

(*) Contoh persoalan PL yg telah dibahas sebelumnya



Pembatas:

1) Ketersediaan bahan

Bahan A : x1 + 2x2 6

Bahan B : 2x1 + x2 8

2) Permintaan

Selisih permintaan : x2 x1 1

Permintaan cat interior : x2 2

3) Pembatas tak negatif

x1 0; x2 0



Fungsi Tujuan:

Memaksimumkan Pendapatan Total :

Z = 3x1 + 2x2



Memaksimumkan Z = 3x1 + 2x2

dengan pembatas-pembatas:

x1 + 2x2 6

2x1 + x2 8

x1 + x2 1

x2 2

x1, x2 0


Pembatas binding dan nonbinding (2) (6)

(5)

(2)

(4)

(3) (1)

x1

x2

Pada Titik Optimal C, pembatas-pembatas

yang binding (aktif) & non-binding (non-

aktif) adalah :

Binding (1) : Bahan A (2) : Bahan B

Nonbinding (3) : Selisih permintaan (4) : Permintaan cat interior

A B

C

D E

F

Peningkatan Pembatas (1) : x1 + 2x2 6 (6)

(2)

(4)

(3) (1)

x1

x2

A

F

E

B

K

Bila b1= 7, Titik K merupakan solusi

optimum baru : x1* = 3, x2

* = 2; Z* = 13

Bahan A dapat ditingkatkan s.d. = 3(1) + 2(2)

= 7 ton.

D

C

Pembatas (1) :posisi awal : b1 6

Pembatas (1) :ditingkatkan : b1 7

Pembatas (1) : ditingkatkan : b1 p, dimana p>7

Bila b1>7, solusi optimum tetap di Titik K.


(6)

(5)

(2)

(4)

(3) (1)

x1

x2

A B

C

D E

F

J

Bila b2=12, Titik J adalah

solusi optimum baru :

x1* = 6; x2

* = 0; Z* = 18.

Bahan B dapat ditingkatkan

s.d. = 2(6) + 1(0) = 12 ton. Pembatas (2) : ditingkatkan : b2 12

Pembatas (2) : ditingkatkan :

b2 p, dimana p>12 Pembatas (2) :

posisi awal : b2 8

Bila b2>12, solusi optimum

tetap di Titik J.

Peningkatan Pembatas (2) : 2x1 + x2 8


(6)

(5)

(2)

(4)

(3) (1)

x1

x2

A B

C D E

F

Konstanta ruas kanan :

x1 + x2 = -31/3 + 1

1/3 = -2

atau pembatas menjadi:

x1 + x2 -2

x1 - x2 2

Solusi optimal pada Titik C saat ini tak

berubah walaupun selisih antara

permintaan eksterior dg. interior menjadi

2 ton.

Penurunan Pembatas (3) : -x1 + x2 1


(6)

(5)

(2)

(4)

(3) (1)

x1

x2

A B

C

D E

F

Konstanta ruas kanan :

x2 = 11/3

atau pembatas menjadi:

x2 11/3

Solusi optimal pada Titik C saat ini tdk

berubah walaupun batas permintaan

cat interior turun hingga 11/3 ton.

C

Penurunan Pembatas (4) : x2 2


Analisis Sensitivitas Sumberdaya yang diprioritaskan untuk ditingkatkan

Masalah sensitivitas

Sumberdaya mana yang perlu ditingkatkan?

i

ii

b

Zy

max

max

maxZi = perubahan maksimum dari nilai Z akibat

peningkatan pembatas i

maxbi = perubahan maksimum dari sumber daya/pembatas i

yi = shadow price pembatas i


Shadow price

Sumber

daya Jenis

Perubahan

maksimum dari

sumber daya

Perubahan

maksimum dari

fungsi tujuan (x

1.000)

Shadow price

1 Langka 7 (6) = 1 13 122/3 = 1/3 (1/3)/1 =

1/3

2 Langka 12 (8) = 4 18 122/3 = 51/3 (5

1/3)/4= 4/3

3 Berlimpah 2 (1) = 3 122/3 122/3 = 0 0

4 Berlimpah 11/3 (2) = 2/3 12

2/3 122/3 = 0 0


Interpretasi

Sumber daya 2 (bahan B) seharusnya

mendapatkan prioritas dalam pengalokasian

dana

Sumber daya 3 dan 4 tidak perlu ditingkatkan



- Perubahan Koefisien Fungsi Tujuan

Perubahan koefisien fungsi tujuan akan mempenga-ruhi slope dari garis lurus yg merepresentasikannya.

Perubahan koefisien fungsi tujuan akan mengubah status dari suatu sumber daya (langka atau berlimpah)

Pertanyaan: Berapa besar koefisien fungsi tujuan dpt diubah tanpa

menyebabkan perubahan pada solusi (titik) optimal.

Berapa besar koefisien fungsi tujuan dpt diubah utk mengubah status sumber dari berlimpah ke langka, dan sebaliknya.


Pada contoh kasus yang telah dibahas sebelumnya :

Memaksimumkan Z = 3x1 + 2x2 s/t :

x1 + 2x2 6

2x1 + x2 8

x1 + x2 1

x2 2

x1,, x2 0






(6)

(5)

(2)

(4)

(3) (1)

x1

x2

A B

C

D E

F

Peningkatan c2

Penurunan c1

Peningkatan c1

Penurunan c2

Titik C tetap sebagai

titik optimal sepanjang

slope dari Z berubah antara

slope pembatas (1) dan (2)


- Perubahan Koefisien Suatu Fungsi

TI 2001 Penelitian Operasional I 24 x1

x2

Bentuk Fungsi : Z = c1x1 + c2x2

Z = 3x1 + 2x2

Z = 6x1 + 2x2


(6)

(5)

(2)

(4)

(3) (1)

x1

x2

A B

C

D E

F

Slope Z sama dengan slope pembatas (1)




(6)

(5)

(2)

(4)

(3) (1)

x1

x2

A B

C

D E

F

Slope Z sama dengan slope pembatas (2)




Rentang c1 untuk mempertahankan solusi optimal pada

titik C (dengan c2 tetap)

Minimum dari c1 slope Z = slope pembatas (1):

F. Tujuan : Z = 3x1 + 2x2

Pembatas (1) : x1 + 2x2 6 c1/c2 =

Slope Z = c1min/c2 = c1min/2 = c1min = 1.

Maksimum dari c1 slope Z = slope pembatas (2) :

Pembatas (2) : 2 x1 + x2 8 c1/c2 = 2/1 = 2

Slope Z = c1max/c2 = c1max/2 = 2 c1max = 4.

Rentang c1 agar titik C tetap sebagai titik optimal: 41 1 c


Rentang c2 untuk mempertahankan solusi optimal pada

titik C (dengan c1 tetap)

Minimum dari c2 slope Z = slope pembatas (2):

F. Tujuan : Z = 3x1 + 2x2

Pembatas (2) : 2x1 + x2 8 c1/c2 = 2/1

Slope Z = c1/c2min = 3/c2min = 2/1 c2min = 3/2.

Maksimum dari c2 slope Z = slope pembatas (1) :

Pembatas (1) : x1 + 2x2 6 c1/c2 = 1/2

Slope Z = c1/c2max = 3/c2max = 1/2 c2max = 6.

Rentang c2 agar titik C tetap sebagai titik optimal:

62

32 c


Analisis Sensitivitas dalam Metode Simplex


Masalah Pemrograman Linier

Memaksimumkan Z = 3x1 + 2x2


x1 + 2x2 6 (Bahan A)

2x1 + x2 8 (Bahan B)

x1 + x2 1 (Selisih permintaan cat interior dan eksterior)

x2 2 (Permintaan cat interior)

x1 0

x2 0


Tabel Awal

cB

3 2 0 0 0 0

Konstanta

x1 x2 x3 x4 x5 x6

0 x3 1 2 1 0 0 0 6

0 x4 2 1 0 1 0 0 8

0 x5 -1 1 0 0 1 0 1

0 x6 0 1 0 0 0 1 2

3 2 0 0 0 0 Z = 0

Basis

cj

c Baris


Tabel Akhir (Tabel Optimal)

cB

3 2 0 0 0 0

Konstanta

x1 x2 x3 x4 x5 x6

2 x2 0 1 2/3 -1/3 0 0 4/3

3 x1 1 0 -1/3 2/3 0 0 10/3

0 x5 0 0 -1 1 1 0 3

0 x6 0 0 -2/3 1/3 0 1 2/3

0 0 -1/3 -4/3 0 0 Z = 38/3

Basis

cj

c Baris


Perubahan dalam

Koefisien Fungsi Tujuan

Perubahan koefisien fungsi tujuan dari :

a) variabel basis

b) variabel non basis

c) variabel basis dan non basis


a) Perubahan dalam Koefisien Fungsi Tujuan

dari Variabel Basis

Variabel x1:

3/2

1

3/1

3/2

)0,0,c,2(0c 13 3

c4c 13

3/1

1

3/2

3/1

)0,0,c,2(0c 14

3

c22c 14

Kondisi tetap optimal :

03 c

04 c

03

c4 1

03

c22 1

1c1

41 c41 1 c


211 244 xxZc

0

3/2

1

3/1

3/2

)0,0,4,2(0c3

Variabel x1: misal, nilainya berubah :

2

3/1

1

3/2

3/1

)0,0,4,2(0c4


dari Variabel Basis


cB

4 2 0 0 0 0

Konstanta

x1 x2 x3 x4 x5 x6

2 x2 0 1 2/3 -1/3 0 0 4/3

4 x1 1 0 -1/3 2/3 0 0 10/3

0 x5 0 0 -1 1 1 0 3

0 x6 0 0 -2/3 1/3 0 1 2/3

0 0 0 -2 0 0 Z = 16

Basis

cj

c Baris


dari Variabel Basis


211 255 xxZc

3/1

3/2

1

3/1

3/2

)0,0,5,2(0c3

Variabel x1: misal, nilainya berubah :

3/8

3/1

1

3/2

3/1

)0,0,5,2(0c4


dari Variabel Basis


cB

5 2 0 0 0 0

Konstanta

x1 x2 x3 x4 x5 x6

2 x2 0 1 2/3 -1/3 0 0 4/3

5 x1 1 0 -1/3 2/3 0 0 10/3

0 x5 0 0 -1 1 1 0 3

0 x6 0 0 -2/3 1/3 0 1 2/3

0 0 1/3 -8/3 0 0 Z = 38/3

Basis

cj

c Baris


dari Variabel Basis


cB

5 2 0 0 0 0

Konstanta

x1 x2 x3 x4 x5 x6

0 X3 0 3/2 1 -1/2 0 0 2

5 x1 1 1/2 0 1/2 0 0 4

0 x5 0 3/2 0 1/2 1 0 5

0 x6 0 1 0 0 0 1 2

0 -1/2 0 -5/2 0 0 Z = 20

Basis

cj

c Baris


dari Variabel Basis


b) Perubahan dalam Koefisien Fungsi Tujuan

dari Variabel Non Basis

3/2

1

3/1

3/2

)0,0,3,2(cc 33 3

1cc 33

Variabel non basis x3:

Kondisi tetap optimal :

03

1cc 33

3

1c3

3

1c3


Penambahan Aktivitas Baru

Memaksimumkan Z = 3x1 + 2x2 + 3/2 x7


x1 + 2x2 + 3/4 x7 6 (Bahan A)

2x1 + x2 + 3/4 x7 8 (Bahan B)

x1 + x2 x7 1 (Selisih permintaan cat interior dan eksterior)

x2 2 (Permintaan cat interior)

x1, x2, x7 0


103/13/2

0111

003/23/1

003/13/2

1B

777 acc

0

1

43

43

7

/

/

a2/37 c

103132

0111

003231

003132

0032Bc 16512

//

//

//

,,,,,, B


003431 ,,,


41

1

41

41

0

1

43

43

103132

0111

003231

003132

7

/

/

/

/

/

//

//

//

a


41

0

1

43

43

00343123 777 //

/

,,/,//

acc


cB

3 2 3/2 0 0 0 0

Konstanta

x1 x2 x7 x3 x4 x5 x6

2 x2 0 1 1/4 2/3 -1/3 0 0 4/3

3 x1 1 0 1/4 -1/3 2/3 0 0 10/3

0 x5 0 0 -1 -1 1 1 0 3

0 x6 0 0 -1/4 -2/3 1/3 0 1 2/3

0 0 1/4 -1/3 -4/3 0 0 Z = 38/3

Basis

cj

c Baris



cB

3 2 3/2 0 0 0 0

Konstanta

x1 x2 x7 x3 x4 x5 x6

3/2 x7 0 4 1 8/3 -4/3 0 0 16/3

3 x1 1 -1 0 -1 1 0 0 2

0 x5 0 4 0 5/3 -1/3 1 0 25/3

0 x6 0 1 0 0 0 0 1 2

0 -1 0 -1 -1 0 0 Z = 14

Basis

cj

c Baris



Perubahan dalam Penggunaan Sumber dari

Aktivitas

Perubahan pada aktivitas (variabel) non basis

Dilakukan analisis seperti kasus penambahan

aktivitas baru

Perubahan pada aktivitas (variabel) basis

Menyelesaikan masalah pemrograman linier dari

awal lagi


Perubahan yang Mempengaruhi Ketidaklayakan

Perubahan dalam konstanta ruas kanan



Perubahan dalam Konstanta Ruas Kanan

Pembatas 1:

2

1

8

1

*

b

b

01 bB

103/13/2

0111

003/23/1

003/13/2

1B


3/143/2

9

3/163/

3/83/2

2

1

8

103/13/2

0111

003/23/1

003/13/2

1

1

1

11

*1

b

b

b

bb

bB

403

8

3

21

1 bb

1603

16

31

1 bb

909 11 bb

703

14

3

21

1

bb

74 1 b



Pembatas 1:

2

1

8

7

*b

0

2

3

2

2

1

8

7

103/13/2

0111

003/23/1

003/13/2

*1bB

1300022233 Z



cB

3 2 0 0 0 0

Konstanta

x1 x2 x3 x4 x5 x6

2 x2 0 1 2/3 -1/3 0 0 2

3 x1 1 0 -1/3 2/3 0 0 3

0 x5 0 0 -1 1 1 0 2

0 x6 0 0 -2/3 1/3 0 1 0

0 0 -1/3 -4/3 0 0 Z = 13

Basis

cj

c Baris



Pembatas 1:

2

1

8

9

*b

3/4

0

3/7

3/10

2

1

8

9

103/13/2

0111

003/23/1

003/13/2

*1bB



cB

3 2 0 0 0 0

Konstanta

x1 x2 x3 x4 x5 x6

2 x2 0 1 2/3 -1/3 0 0 10/3

3 x1 1 0 -1/3 2/3 0 0 7/3

0 x5 0 0 -1 1 1 0 0

0 x6 0 0 -2/3 1/3 0 1 -4/3

0 0 -1/3 -4/3 0 0

Basis

cj

c Baris

Terapkan dual simplex



cB

3 2 0 0 0 0

Konstanta

x1 x2 x3 x4 x5 x6

2 x2 0 1 0 0 0 1 2

3 x1 1 0 0 1/2 0 -1/2 3

0 x5 0 0 0 1/2 1 -3/2 2

0 x3 0 0 1 -1/2 0 -3/2 2

0 0 0 -3 0 -1/2 Z = 13

Basis

cj

c Baris



Penambahan Pembatas Baru

Solusi optimal saat ini memenuhi pembatas

baru

Pembatas baru bersifat nonbinding atau redundant sehingga tidak mengubah solusi optimal saat ini.

Solusi optimal saat ini tidak memenuhi

pembatas baru

Pembatas baru bersifat binding


Pembatas baru: x1 4

Solusi optimal saat ini : x = (x1, x2, x5, x6) = (10/3, 4/3, 3, 2/3)

x1 = 10/3 4



Pembatas baru: x1 3

Solusi optimal saat ini : x = (x1*, x2

*, x5*, x6

*) = (10/3, 4/3, 3, 2/3)

Solusi optimum saat ini utk variabel x1* = 10/3 , lebih besar dari 3

x1* = 10/3 > 3 sehingga pembatas baru ini akan mengubah solusi

optimum saat ini


Pada pembatas baru ditambahkan variabel slack x7 : x1 + x7 = 3


cB

3 2 0 0 0 0 0

Konstanta

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7

2 x2 0 1 2/3 -1/3 0 0 0 4/3

3 x1 1 0 -1/3 2/3 0 0 0 10/3

0 x5 0 0 -1 1 1 0 0 3

0 x6 0 0 -2/3 1/3 0 1 0 2/3

0 x7 1 0 0 0 0 0 1 3

0 0 -1/3 -4/3 0 0 0

Basis

cj

c Baris



cB

3 2 0 0 0 0 0

Konstanta

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7

2 x2 0 1 2/3 -1/3 0 0 0 4/3

3 x1 1 0 -1/3 2/3 0 0 0 10/3

0 x5 0 0 -1 1 1 0 0 3

0 x6 0 0 -2/3 1/3 0 1 0 2/3

0 x7 0 0 1/3 -2/3 0 0 1 -1/3

0 0 -1/3 -4/3 0 0 0 Z = 38/3

Basis

cj

c Baris

Terapkan dual simplex



cB

3 2 0 0 0 0 0

Konstanta

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7

2 x2 0 1 1/2 0 0 0 -1/2 3/2

3 x1 1 0 0 0 0 0 1 3

0 x5 0 0 -1/2 0 1 0 3/2 5/2

0 x6 0 0 -1/2 0 0 1

0 x4 0 0 -1/2 1 0 0 -3/2 1/2

0 0 -1 -4/3 0 0 0 Z = 12

Basis

cj

c Baris


TI 2001 or 1 - Kuliah 07 - Analisis Sensitivitas - 11 MAR 14 (1)

Documents

Transcript of TI 2001 or 1 - Kuliah 07 - Analisis Sensitivitas - 11 MAR 14 (1)