KEBEBASAN LINEAR VEKTOR

Tugas Kelompok

Diajukan Untuk Mememnuhi Salah Satu Tugas Terstruktur

Dalam Mata Kuliah Ilmu Pendidikan Islam

Disusun oleh

Sri Ermita Putri

Endang Lastri

Eka Sartika Dewi

Dosen pembimbing

Isnaniah, M.Pd

JURUSAN TARBIYAH PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

SEKOLAH TINGGI AGAMA ISLAM NEGERI (STAIN)

SCJECH M. DJAMIL DJAMBEK BUKITTINGGI

BAB I

PENDAHULUAN

Matematika sebagai salah satu ilmu dasar, memegang peranan penting dalam

mempercepat penguasaan ilmu pengetahuan dan teknologi. Hal ini disebabkan karena,

matematika merupakan sarana berfikir untuk menumbuh kembangkan cara berfikir logis,

sistematis, dan kritis.

Matematika banyak berhubungan dengan ide-ide abstrak yang diberi symbol-simbol

yang tersusun secara hierarkis dan penalarannya deduktif sehingga belajar matematika

merupakan kegiatan mental yang tinggi. Karena, kehierarkisan matematika itu, maka belajar

matematika yang terputus-putus akan menggangu terjadinya proses belajar. Ini berarti proses

belajar matematika akan terjadi dengan lancar bila belajar itu dilakukan secara kontinyu.

Kesulitan belajar atau memahami materi yang dialami para siswa, baik pada jenjang

perguruan tinggi. Dimana hl ini merupakan hal yang selalu menarik untuk ditelusuri, sikap

masa bodoh untuk tidak peduli pada terhadap kesulitan yang mereka alami sangat fatal

pengaruhnya dan akibatnya bisa menjadi anggapan bahwa matematika adalah momok bagi

mereka. Dan salah satu materi yang sering dihadapi tersebut adalah “Vektor”. Dan disini

penulis akan mencoba menjelaskan tentang vektor tersebut.

Suatu himpunan vektor S = (v , v , ..., vr) merentang suatu ruang vektor V tertentu jika

setiap vektor V dapat dinyatakan sebagai suatu kombinasi linear dari vektor-vektot pada S.

Secara umum, kemungkinan terdapat lebih dari satu cara dalam menentukan suatu vektor

pada V sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor dalam suatu himpunan rentangan. Pada

makalah ini kami akan membahas syarat-syarat di mana setiap vektor pada V dapat

dinyatakan sebagai suatu kombinasi lionear dari vektor-vektor rentangan dengan tepat satu

cara. Himpunan-himpunan rentang dalam bentuk seperti ini memainkan peranan yang

penting dalam studi mengenai ruang vektor

BAB II

KEBEBASAN LINEAR VEKTOR

A. Defenisi Kebebasan Linear

Contoh 1 Himpunan Tidak Bebas Linear

Jika v - v = (1,2,5,-1), dan v = (7,-1.5,8), maka himpunan vekto-vektor

vektor S v v v tidak bebas linear karena k ≠k ≠k ≠

k v +k v +k v = k (2,-1,0,3) + k (1,2,5,-) + k3 (7,-

= (2k ,-k ,0,3k ) +( k ,2k ,5k ,-k ) + (7k ,-k ,5k ,8k

2k1+k2+7k3 = 0

-k1+2k2-k3 = 0

0k1 + 5k2 +5k3 = 0

3k1 –k2 + 8k3 =0

Dengan menggunakan operasi baris elementer didapat k k = 1 dan k - .

Jika adalah himpunan takkosong vektor-vektor, maka

persamaan vektor

k v + k v +.......+ krvr

Memiliki paling tidak satu solusi, yaitu :

k , k ....kr

Jika ini satu-satunya solusi, maka S disebut sebagai himpunan bebas linear

(linearly indenpendent). Jika terdapat solusi-solusi lain, maka S disebut

sebagai himpunan tidak bebas linear (linear dependent)

Sesuai dengan perngertian himpunan tidak bebas linear yaitu jika solusi dari persamaan

tersebut nontrovial, maka pernyatan di atas bukanlah himpunan bebas linear.

Contoh 2 Himpunan Bebas Linear

Perhatikan vektor-vektor i j = (0,1,0), dan k = (0,0,1) pada R . Persamaan

vektor dalam bentuk kompenen-kompenennya

k i +k j + k k =

menjadi

k k + k

ekivalen dengan

(k , k , k

Berarti k = 0, k = 0, dan k = 0, sehingga himpunan S = ( i, j, k) bebas linear.

B. Teorema Kebebasan Linear

Istilah tidak bebas linear bearti bahwa vektor-vektor bergantung satu sama lain dengan

suatu cara. Teorema berikut menunjukan bahwa ini adalah fakta sebenarnya.

Suatu himpunan S dengan dua atau lebih vektor adalah :

(a) Tidak bebas linear jika dan hanya jika paling tidak salah satu dari vektor pada S dapat

di nyatakan sebagai suatu kombinasi linear dari vektor – vektor lain pada S.

(b) Bebas linear jika dan hanya jika tidak ada vektor pada S yang dapat di nyatakan

sebagai kombinasi linear dari vektor – vektor lain pada S.

Contoh 3

Pada contoh 1, kita telah melihat bahwa vektor-vektor v - v = (1,2,5,-1), dan

v - . membentuk suatu himpunan tidak bebas linear.

3v1 + v2 + - v3 = 0

Diperoleh

v = -1/3v + 1/3 v

v2 = -3v + v

v = 3v + v

Contoh 4

Vektor-vektor i j = (0,1,0), dan k membentuk suatu himpunan yang

bebas linear. Tidak satupun dari vektor ini yang dapat dinyatakan sebagai suatu

kombinasi linear dari dua vektot lainnya.

k = k i + k j

k k

Sehingga k tidak dapat dinyakan sebagai kombinasi linear dari i dan j,demikian juga i

tidak dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari j dan k dan j tidak dapat dinyatakan

sebagai suatu kombinasi linear dari i dan k, karena persamaan terakhir tidak terpenuhi

oleh nilai k dan k .

Fakta sederhana mengenai kebebasan linear yang penting :

a. Suatu himpunan terhingga vektor-vektor yang mengandung vektor nol adalah tidak

bebas linear.

Bukti : untuk vektor v ,v , ..,vr sebarang , himpunan S = v , v ...,vr, tidak bebas

linear karena persamaan

.v v .... vr .

Bukti di atas menyatakan nol sebagai suatu kombinasi lenear dari vektor-vektor pada

S dengan koefesien tidak semuanya nol.

b. Suatu himpunan dengan tepat dua vektor adalah bebas linear jika dan hanya jika tidak

satu pun dari vektornya merupakan kelipan skalar dari vektor lainnya.

C. Interpretasi Geometri dari Kekebasan Linear

Kebebasan linear sejumlah interpetasi geometrik yang berguna pada R dan R

.

a. Pada R atau R

, suatu himpunan yang terdiri dari dua vektor adalah bebas linier jika

dan hanya jika vektor-vektok tersebut tidak terletak pada garis yang sama ketika

ditempatkan sedemikian rupa sehingga titik awalnya terletak pada titik asal.

b. Pada R , suatu himpunan yang terdiri dari tiga vektor adalah bebas linear jika dan

hanya jika vektor-vektor tersebut tidak terletak pada bidang yang sama ketika

ditempatkan sedemikian rupa sehingga titik awalnya terletak pada titik asal.

Suatu himpunan bebas linear pada Rn

dapat mengandung maksimum n vektor sesuai

dengan terorema berikut :

Bukti :

Misalkan v = (v , v .... v1n)

v = (v , v , ..v2n)

vr = (vr1, vr2, ..., vrn)

x

y

z

v

V

Misalkan S = v , v , ...., vr adalah suatu himpunan vektor-

vektor pada Rn. Jika r>n maka S tidak bebas linear.

k v + k v + ....+krvr

k v + k v +...+ krvr2

k v1n +k v2n+....+krvrn

Karena r > n, maka sistem homogen memiliki solusi-solusi nontrivial, yang

merupakan himpunan tidak bebas linier.

Sistem homogen

BAB III

PENUTUP

A. Kesimpulan

1. Jika adalah himpunan takkosong vektor-vektor, maka

persamaan vektor

k v + k v +.......+ krvr

Memiliki paling tidak satu solusi, yaitu :

k , k ....kr

Jika ini satu-satunya solusi, maka S disebut sebagai himpunan bebas linear (linearly

indenpendent). Jika terdapat solusi-solusi lain, maka S disebut sebagai himpunan

tidak bebas linear (linear dependent).

2. Misalkan S = v , v , ...., vr adalah suatu himpunan vektor-vektor pada Rn. Jika r>n

maka S tidak bebas linear.