1

Sistem Persamaan Simultan (Simultaneous Equations)

Diterjemahkan oleh Budhi Wibowo

Model-model dengan persamaan tunggal (single equation) selama ini sesungguhnya mengabaikan

masalah saling ketergantungan (interdependence) antar variabel yang menjadi karakteristik

ekonomi modern. Sebaian besar aplikasi ekonometrik bersifat saling tergantung atau simultan,

dan untuk memahami masalah ini adalah dengan cara memahami sifat saling mempengaruhi

(feedback loops) dalam model-model yang kita bangun.

Sebagian besar model-model dalam ekonomi dan bisnis bersifat simultan. Sebagai contoh supply

dan demand jelas bersifat simultan. Bahkan model-model single equation juga sering bersifat

simultan.

Estimasi sistem persamaan simultan dengan menggunakan metode OLS (ordinary least squares)

menyebabkan sejumlah kesulitan yang tidak terdapat pada single equation. Dalam model-model

simultan, Classical Assumption III yang menyatakan bahwa semua explanatory variables

(independent variables) harus tidak berkorelasi dengan error term ( ) tidak terpenuhi. Hal ini terutama disebabkan estimasi koefisien dalam model-model simultan tersebut bias. Sebagai

alternatifnya, prosedur estimasi Two-Stage Least Squares 2SLS digunakan dalam model-model

simultan.

The nature of simultaneous equation system (sifat persamaan simultan)

Mana yang lebih awal mempengaruhi, ayam atau telur? Pertanyaan ini sulit dijawab sebab ayam

dan telur merupakan jointly determined; yaitu hubungan sebab akibat dua-arah antar kedua

variabel tersebut. Semakin banyak telur yang ada akan menyebabkan semakin banyak ayam, dan

semakin banyak ayam akan semakin banyak telur yang didapat. Dalam dunia ekonomi ini

dipenuhi oleh bentuk feed-back effects dan dual casuality yang membutuhkan penerapan

persamaan simultan. Dalam sistem persamaan simultan, kita dapat berbicara mengenai dual

casuality antara jumlah penduduki dengan food supply, antara upah dan harga atau antara foregn

exchange rates dan international trade dan capital flows.

2

Persamaan simultan biasanya dibangun dengan membedakan antara variabel-variabel yang

ditentukan sebagai variabel simultan (simultaneously determined), disebut endogenous variables Y,

dan variabel-variabel yang ditentukan tidak simultan, disebut exogenous variables X.

ttttt XXYY 123122101 ++++= (1)

ttttt XXYY 223321102 ++++= (2)

Sebagai contoh, 1Y dan 2Y merupakan kuantitan dan harga ayam, 1X merupakan pendapatan

konsumen, 2X harga daging sapi dan 3X merupakan harga pakan ayam. Dengan definisi

tersebut, persamaan (1) menjelaskan perilaku konsumen ayam dan persamaan (2) menjelaskan

perilaku produsen ayam. Kedua persamaan tersebut juga disebut structural equations. Structural

equation menjelaskan teori ekonomi dibalik setiap endogenous variable yang diekspresikan dalam

bentuk persamaan yang melibatkan endogenous dan exogenous variable. Sebagai contoh Y

merupakan jointly determined, sehinga perubahan pada 1Y akan menyebabkan perubahan pada

2Y , yang selanjutnya juga akan menyebabkan kembali perubahan 1Y . Sebaliknya perubahan

pada 1X tidak akan kembali menyebabkan (loop back) perubahan pada 1X . Koefisien dan disebut sebagai structural cofficients.

Perlu dicatat bahwa suatu variabel dikatakan endogenous karena variabel tersebut jointly

determined, bukan karena variabel tersebut muncul dua kali di dua persamaan tersebut.

Bagaimana menentukan suatu variabel sebagai endogenous atau exogenous? Beberapa variabel

sebagai contoh hampir selalu sebagai variabel exogenous (contoh: cuaca), tapi sebagian besar

dapat dianggap sebagai endogenous atau exogenous, tergantung pada jumlah dan karakteristik

persamaan lain dalam sistem tersebut. Sehingga perbedaan antara endogenous dan exogenous

biasanya tergantung pada bagaimana peneliti mendefinisikan cakupan dari penelitian tersebut.

Kadang-kadang lagged endogenous variables muncul pada persamaan yang melibatkan distribusi

lag. Predetermined variables didefinisikan untuk mencakup semua variabel exogenous dan variabel

lagged endogenous. Predetermined maksudnya bahwa variabel exogenous dan endogenous

ditentukan diluar sistem persamaan tertentu. Variabel endogenous yang tidak lagged bukan

merupakan predetermined, karena variabel tersebut jointly determined. Sehingga praktisi

ekonometrik cenderung berbicara mengenai endogenous dan predetermined variables ketika

membahas sistem persamaan simultan.

3

Tidak salah jika kita mengasumsikan bahwa endogenous variables adalah variabel yang muncul di

sisi kiri persamaan minimal pada satu persamaan.

Sistem simultan melanggar Classical Assumption III

Classical Assumption III menyatakan bahwa error term dan setiap explanatory variables harus tidak

berkorelasi. Jika terjadi korelasi, dan estimasi regresi OLS digunakan, maka akan menghasilkan

estimasi yang bias.

Untuk melihat bagaimana persamaan simultan melanggar asumsi tersebut, perhatikan sistem

persamaan simultan brikut:

ttttt XXYY 123122101 ++++= (3)

ttttt XXYY 223321102 ++++=

(4)

Perhatikan sistem persamaan ini dan apa yang terjadi jika error term meningkat, dengan

mengganggap variabel lainnya tidak berubah:

1. Jika 1 meningkat dalam periode tertentu, maka 1Y juga akan meningkat pada persamaan (3)

2. Jika 1Y meningkat, 2Y juga akan meningkat pada persamaan (4)

3. Tapi jika 2Y meningkat pada persamaan (4), juga berarti meningkat di persamaan (3)

dimana variabel tersebut merupakan explanatory variable.

Sehingga meningkatnya error term pada suatu persamaan menyebabkan meningkatnya

explanatory variable pada persamaan yang sama; jika 1 meningkat, 1Y meningkat dan selanjutnya 2Y juga meningkat, yang artinya melanggar asumsi bahwa error term dan explanatory

variabel harus saling bebas.

Reduced-form equations

4

Cara alternatif untuk mengekspresikan suatu sistem persamaan simultan adalah dengan

menggunakan reduced-form equations, yaitu persamaan yang mengekspresikan endogenous

variables dengan hanya melibatkan error term dan semua predetermined variables (exogenous plus

lagged endogenous) dalam sistem persamaan simultan tersebut.

Reduced-form equations untuk persamaan (3) dan (4) menjadi:

ttttt vXXXY 133221101 ++++= (5)

ttttt vXXXY 237261542 ++++= (6)

Dimana v merupakan stochastic error term dan disebut reduced-form cofficients karena merupakan koefisien dari predetermined variables variables dalam reduced-form equations. Perhatikan

bahwa pada setiap persamaan hanya terdapat satu variabel endogenous yaitu hanya sebagai

dependen variabel, dan setiap persamaan memiliki predetermined variables yang persis sama.

Koefisien reduced-form seperti 1 dan 5 disebut sebagai impact multipliers karena koefisien tersebut mengukur pengaruh pada variabel endogenous terhadap peningkatan satu unit

predetermined variable, setelah menghilangkan feddback effect dari seluruh sistem simultan.

Ada sedikitnya empat alasan menggunakan reduced form equation:

1. karena reduced-form equation tidak memiliki sifat simultan, maka tidak melanggar Classical

Assumption III, sehingga dapat diestimasi dengan OLS.

2. koefisien reduced-form ini dapat secara matematis dimanipulasi untuk mendapakan

structural coefficient. Jadi pada persamaan (5) dan (6) dapat digunakan untuk menyelesaikan atau mendapatkan dan pada persamaan (3) dan (4). Metode ini, menghitung structural cofficient berdasarkan reduced-form coefficient, disebut Indirect Least

Squares (ILS).

3. interpretasi koefisien reduced-form sebagai impact multipliers berarti bahwa koefisien

tersebut memiliki makna ekonomi. Sebagai contoh koefisien tersebut bisa digunakan

untuk membandingkan pengeluaran pemerintah terhadap pengaruh pemotongan pajak.

4. persamaan reduced-form memainkan peran penting dalam teknik estimasi yang paling

sering digunakan untuk persamaan-persamaan simultan yaitu teknik Two-Stage Least

Squares.

5

Two-Stage Least Squares

Mengestimasi persamaan-persamaan simultan dengan OLS mengakibatkan bias sehingga

melanggar Classcial Assumption III. Kita dapat menghindari pelanggaran asumsi tersebut jika kita

dapat menemukan variabel baru yang memiliki sifat:

1. sebagai variabel yang mendekati (good proxy) variabel endogenous tersebut, dan

2. tidak berkorelasi dengan error term

Jika kemudian variabel baru ini kita gunakan untuk mengganti variabel endogenous yang mucul

sebagai explanatory variable, maka explanatory variable tersebut tidak akan berkorelasi dengan error

term, sehingga Classical Assumption III terpenuhi.

Perhatikan sistem persamaan berikut:

tttt XYY 122101 +++= (7)

tttt ZYY 221102 +++= (8)

Jika kita bisa menemukan variabel baru yang sangat erat berkoralasi dengan 2Y tapi tidak

berkorelasi dengan 1 , kemudian kita dapat mengganti variabel baru ini untuk 2Y pada sisi kanan persamaan (7). Variabel baru ini disebut instrument variable. Suatu instrument variable

digunakan untuk menggantikan variabel endogenous (ketika variabel endogenous tersebut sebagai

explanatory variable); dengan kata lain merupakan variabel yang paling dekat dengan endogenous

variable tersebut dan tidak berkorelasi dengan error term.

Karena tidak ada joint casualty antara instrument variable dengan endogenous variable, penggunaan

instrument variable ini menghindari pelanggaran Classical Assumption III. Meskipun demikian cara

menemukan instrument variable tersebut merupakan masalah lain.

Two-Stage Least Squares (2SLS) merupakan suatu metode yang secara sistematis menggunakan

instrument variable untuk menggantikan endogenous variable yang muncul sebagai explanatory

variable dalam sistem persamaan simultan. 2SLS melakukan hal ini dengan cara:

6

Tahap pertama: mengestimasi koefisien pada persamaan reduced-form dalam sistem

persamaan struktural dengan menggunakan OLS.

Karena predetermined variables (exogenous plus legged endogenous) tidak berkorelasi dengan error

term pada reduced-form, estimasi koefisien reduced-form ( ) dengan OLS tidak akan bias. Kemudian koefisien ini dapat digunakan untuk mengestimasi variabel dependennya yang

merupakan variabel endogenous.

ttt ZXY 2101 ++= (9)

ttt ZXY 5432 ++= (10)

Tahap kedua: mengganti Y pada reduced-form untuk Y dalam structural equation, kemudian mengestimasi persamaan struktural yang telah direvisi ini dengan

menggunakan OLS.

Jadi tahap kedua yaitu mengestimasi persamaan tersebut dengan menggunakan OLS:

tttt uXYY 122101 +++= (11)

tttt uZYY 221102 +++= (12)

Perhatikan bahwa dependen variabel masih asli variabel endogenous dan penggantian hanya

untuk variabel yang muncul di sisi kanan dalam structural equation tersebut. Selanjutnya dari

persamaan (11) dan (12) bisa didapat estimasi koefisien dan dengan menggunakan OLS. Jadi metode Two-Stage Least Squares ini menggunakan dua tahap OLS.