Teori Kesalahan
-
Upload
toa-suhandita -
Category
Documents
-
view
30 -
download
1
description
Transcript of Teori Kesalahan
DASAR-DASAR METODA DAN ANALISA DASAR-DASAR METODA DAN ANALISA NUMERIKNUMERIK
PROF. DR. IR. BAMBANG TEGUH P., DEA
BTMP – BPPTKAWASAN PUSPIPTEK SERPONG
PENDAHULUANPENDAHULUAN
SOLUSI ANALITIS / EKSAK• Berguna untuk memberikan
pengertian yg lengkap thd perilaku beberapa sistem,
• Hanya bisa diturunkan untuk kelas permasalahan terbatas : model linier, Geometri sederhana dan
berdimensi rendah
Contoh 1: f(x) = 2x; a = 1; b = 3
8x22
dxx2I3
1
23
1=== ∫
0
2
4
6
8
0 1 2 3 4
x
f(x)
I
PERMASALAHANPERMASALAHAN( ) dxxfI
b
a∫=
I : luas dibawah kurva yg dibatasi I : luas dibawah kurva yg dibatasi f(a), f(b) dan sumbu xf(a), f(b) dan sumbu x
PENDAHULUANPENDAHULUANSOLUSI ANALITIS / EKSAKSOLUSI ANALITIS / EKSAK
Contoh 2.
( ) ?dxx2I3
1
x5lnx 2
=∫= −
susahBanyak permasalahan yg kompleks Banyak permasalahan yg kompleks dan tidak mempunyai solusi analitisdan tidak mempunyai solusi analitis
Contoh 3.Menentukan debit aliran dari hasil pengukuran kecepatan aliran di dalam pipa
Debit = 2D4
.vπ
Dimana : v adalah kecepatan rata-rata aliran
( ) ?drrvD1
vR
R=∫=
−
DR
v(r)
““ZAMAN PRA-KOMPUTER”ZAMAN PRA-KOMPUTER”
v(r) tidak diketahui
PENDAHULUANPENDAHULUAN
• Untuk mencirikan perilaku suatu sistem, Untuk mencirikan perilaku suatu sistem, biasanya dibentuk oleh gambar atau biasanya dibentuk oleh gambar atau homograf,homograf,
• Dapat untuk menyelesaikan masalah yg Dapat untuk menyelesaikan masalah yg cukup rumit, tapi hasilnya cukup rumit, tapi hasilnya kurang presiskurang presis
• Hanya bisa diturunkan bisa digunakan Hanya bisa diturunkan bisa digunakan untuk permasalahan berdimensi rendahuntuk permasalahan berdimensi rendah
f(x)
x1 2 3
SOLUSI GRAFISSOLUSI GRAFIS “ZAMAN PRA-KOMPUTER” “ZAMAN PRA-KOMPUTER”
PENDAHULUANPENDAHULUAN
Contoh 1: f(x) = 2x; a = 1; b = 3 8x22
dxx2I3
1
23
1=== ∫
0
2
4
6
8
0 1 2 3 4
x
f(x)
II : luas dibawah kurva yg I : luas dibawah kurva yg
dibatasi f(a), f(b) dan dibatasi f(a), f(b) dan sumbu xsumbu x
METODA RESOLUSI NUMERIK METODA RESOLUSI NUMERIK “ZAMAN KOMPUTER”“ZAMAN KOMPUTER”
METODA RESOLUSI NUMERIK METODA RESOLUSI NUMERIK “ZAMAN KOMPUTER”“ZAMAN KOMPUTER”
• Teknik dimana masalah matematika diformulasikan sedemikian rupa shg Teknik dimana masalah matematika diformulasikan sedemikian rupa shg dapat diselesaikan oleh pengoperasian aritmetika (ilmu hitung – dapat diselesaikan oleh pengoperasian aritmetika (ilmu hitung – bilangan),bilangan),
• Metoda pendekatan, namun berkat kemajuan komputer mampu untuk Metoda pendekatan, namun berkat kemajuan komputer mampu untuk menyelesaikan masalah yg rumit menyelesaikan masalah yg rumit
Contoh 2.Contoh 2.
( ) ?dxx2I3
1
x5lnx 2
=∫= −
f(x)
x1 2 3
f(1)
f(3)
( ) ( )[ ] ( )2
133f1fI
−+=
Kurang telitiKurang teliti
f(x)
x1 2 3
f(1)
f(3)
Lebih teliti , dengan cara:Lebih teliti , dengan cara:
• Diperbanyak segmen,• Dengan komputer bisa cepat
( ) ( )[ ] ( ) +−+=2
122f1fI
( ) ( )[ ] ( )2
233f2f
−+
PENDAHULUANPENDAHULUAN
PENDAHULUANPENDAHULUAN
METODA RESOLUSI NUMERIK PROBLEM INTEGRALMETODA RESOLUSI NUMERIK PROBLEM INTEGRAL
• ADA BERBAGAI CARA UNTUK MENYELESAIKANNYA SECARA NUMERIK
f(x)
x0 1 2 NN-1
f(0)f(1)
f(N-1)
f(N)
a b
( )( ) ( ) ( )
n2
nfif20fabI
Ni
1i∑ ++
−=
=
=
• Contoh : METODA TRAPESIUM
METODA TRAPESIUM METODA SIMPSON METODA ROMBERG, METODA KUADRATUR GAUSS DLL
Kesalahan: ( ) "2
3
a fn12ab
E−−=
"f : harga rata-rata turunan kedua fungsi
PENDAHULUANPENDAHULUAN
METODA RESOLUSI NUMERIK PROBLEM INTEGRALMETODA RESOLUSI NUMERIK PROBLEM INTEGRAL
f(x)
x0 1 2 NN-1
f(0)f(1)
f(N-1)
f(N)
a b
( )( ) ( ) ( ) ( )
n3
nfif2if40fabI
1Ni
,...3,1i
2Ni
,...4,2i∑ ∑ +++
−=
−=
=
−=
=
• Contoh : METODA SIMPSON 1/3
Kesalahan:( ) 4
4
5
a fn180ab
E−−=
4f : harga rata-rata turunan keempatfungsi
Metoda Simpson lebih teliti dibanding metoda Trapesium
PENDAHULUANPENDAHULUAN
METODA RESOLUSI NUMERIK PROBLEM INTEGRALMETODA RESOLUSI NUMERIK PROBLEM INTEGRAL
• Contoh : ( ) 5432 x400x900x675x200x252,0xf +−+−+=
( ) dxxfI8,0b
0a∫=
=
=
dengan N=2 atau h=0,4
• Penyelesaian :
Solusi analitis eksal I = 1,64053334
Dengan metoda Trapesium : I = 1,0688
Kesalahan : Ea = 0,64
Dengan metoda Simpson 1/3 : I = 1,6234667
Kesalahan : Ea = 0,01706667
PENDAHULUANPENDAHULUAN
KESIMPULAN SEMENTARA :
• METODA NUMERIK DAPAT MENYELESAIKAN PROBLEM YG RUMIT,
• METODA NUMERIK ADALAH METODA APROKSIMATIF SHG ADA KESALAHAN,
• KESALAHAN BISA DIATASI :♦ DGN MEMPERKECIL LANGKAH♦ MEMILIH METODA RESOLUSI YG TEPAT
PENDAHULUANPENDAHULUAN KESIMPULAN SEMENTARA :
PENEKANAN AKTIVITAS PENYELESAIAN MASALAHPENEKANAN AKTIVITAS PENYELESAIAN MASALAH
ZAMAN PRA-KOMPUTERZAMAN PRA-KOMPUTER ZAMAN KOMPUTERZAMAN KOMPUTER
FORMULASI FORMULASI MATEMATISMATEMATIS
Hukum dasar yg Hukum dasar yg diterangkan secara diterangkan secara
singkatsingkat
Eksposisi mendalam dari Eksposisi mendalam dari hubungan masalah terhadap hubungan masalah terhadap
hukum dasarhukum dasar
SOLUSISOLUSIPerluasan dan sering dgn Perluasan dan sering dgn cara yg rumit untuk cara yg rumit untuk
mempermudah masalah mempermudah masalah
Metoda numerik Metoda numerik mudah digunakan mudah digunakan
INTERPRETASIINTERPRETASIAnalisis mendalam dibatasi Analisis mendalam dibatasi
oleh solusi yg memakan oleh solusi yg memakan waktu waktu
Kalkulasi yg mudah Kalkulasi yg mudah memberikan pemikiran holistik memberikan pemikiran holistik
dan intuisi buat dan intuisi buat pengembangan sensitivitas pengembangan sensitivitas serta perilaku sistem dapat serta perilaku sistem dapat
dipelajaridipelajari
Catatan: ukuran kotak menunjukkan tingkat penekanan aktivitas
PENDAHULUANPENDAHULUAN
KEUNTUNGAN METODA RESOLUSI NUMERIKKEUNTUNGAN METODA RESOLUSI NUMERIK
• Dapat menyelesaikan masalah yg rumit (sistem persamaan yg besar, Dapat menyelesaikan masalah yg rumit (sistem persamaan yg besar, tidak linier, geometri kompleks), dan seringkali tidak mungkin tidak linier, geometri kompleks), dan seringkali tidak mungkin diselesaikan secara analitis diselesaikan secara analitis ⇒⇒ meningkatkan kemampuan kita meningkatkan kemampuan kita untuk menyelesaikan permasalahanuntuk menyelesaikan permasalahan
• Dalam bekerja seringkali kita menggunakan paket program komputer yg Dalam bekerja seringkali kita menggunakan paket program komputer yg mencakup metoda numerik mencakup metoda numerik ⇒⇒ memudahkan dlm memahami dan memudahkan dlm memahami dan pemakaian paket programpemakaian paket program
• Banyak permasalahan yg tidak/belum tersedia di pasaran paket program Banyak permasalahan yg tidak/belum tersedia di pasaran paket program penyelesaiannya penyelesaiannya ⇒⇒ bisa mengembangkan sendiri metoda resolusi bisa mengembangkan sendiri metoda resolusi dan dikemas dlm paket programdan dikemas dlm paket program
• Merupakan sarana untuk memperkuat kembali pengertian kita terhadap Merupakan sarana untuk memperkuat kembali pengertian kita terhadap matematika, karena tugas metoda numerik adalah matematika, karena tugas metoda numerik adalah mengurangi mengurangi matematika tinggi menjadi operasi aritmatika dasarmatematika tinggi menjadi operasi aritmatika dasar..
FORMULASI MATEMATIKAFORMULASI MATEMATIKADidefinisikan sebagai :Didefinisikan sebagai : sebuah formulasi atau persamaan yg sebuah formulasi atau persamaan yg mengungkapkan segi/unsur utama suatu sistem atau proses fisika ke dalam mengungkapkan segi/unsur utama suatu sistem atau proses fisika ke dalam istilah matematika istilah matematika Contoh Contoh : Hukum Newton kedua, : Hukum Newton kedua, F= m.aF= m.a
Dapat dibuat model matematik yg lebih komplek untuk menggambarkan Dapat dibuat model matematik yg lebih komplek untuk menggambarkan perilaku lain dlm proses fisikaperilaku lain dlm proses fisika
MisalMisal: menetukan kecepatan jatuh seorang penerjun bebas: menetukan kecepatan jatuh seorang penerjun bebas
Fu
Fd
Fdtdv
mFam =⇒=
m: massa penerjun (kg)a : percepatan (m/dt2)v : kecepatan (m/dt)
F : gaya netto yg bekerja (N) = Fu +Fd
Fu : gaya keatas akibat gesekan udara = -c.vFd : gaya kebawah akibat gravitasi = m.g
v.cg.mdtdv
m −=
vmc
gdtdv −= dtv
mc
gdv
−=
FORMULASI MATEMATIKAFORMULASI MATEMATIKA
Solusi analitisSolusi analitis::
Fu
Fd
dtvmc
gvmc
gdcm
−=
−−
dtvmc
gdv
−=
∫∫ −=
−
−
dtmc
vmcg
vmcgd
1Ctmc
vmc
gln +−=
−
Kondisi inisial:t = 0; v = 0, didapat C1 = ln g
( )
−=
− tmc
t e1cgm
v
Bila m = 68,1 kg; c = 12,5 kg/dt; g =9,8 m/dt2
53,39∞
41,108
35,646
27,774
16,412
00
v (m/dt)t (detik)
0
10
20
30
40
50
0 2 4 6 8waktu (detik)
kece
pata
n (m
/det
ik)
FORMULASI MATEMATIKAFORMULASI MATEMATIKASolusi numerikSolusi numerik::
• Memformulasikan masalah matematik sedemikian rupa agar dapat diselesaikan dgn operasi aritmatika
• Digunakan metoda finite different untuk pendekatan turunan pertama v thd t
ti ti+1
v(ti)
v(ti+1)
Kemiringan sebenarnya Kemiringan
pendekatan
∆t
∆v
( ) ( )i1i
i)1i
tttvtv
tv
dtdv
−−
=≈+
+
ΔΔ
( ) ( ) ( )ii1i
i)1i tvmC
gtt
tvtv−=
−−
+
+
( ) ( ) ( ) ( )i1iii1i tttvmC
gtvtv −
−+= ++
53,39∞
44,838
39,866
32,014
19,602
00
v (m/dt)t (detik)
0
10
20
30
40
50
0 2 4 6 8waktu (detik)
kece
pata
n (m
/dt)
eksaknumerikPoly. (eksak)
• Ada perbedaan akibat pendekatan dgn garis lurus,• Secara umum, metoda numerik memenuhi solusi eksak• Untuk mengurangi perbedaan, perlu interval lebih kecil
⇒ perhitungan bertambah ⇒ perlu kompromi
TEORI KESALAHANTEORI KESALAHAN BEBERAPA TERMINOLOGI
ANGKA SIGNIFIKAN :
• Dikembangkan secara resmi untuk menandakan sebUah nilai numerik• Banyaknya angka signifikan adalah banyaknya digit tertentu yg dapat dipakai
dengan meyakinkan Contoh :• Bilangan 45300, bisa mempunyai 3, 4, atau 5 buah digit signifikan, tergantung
apakah harga nol itu telah diketahui dgn yakin,• Ketidak pastian semacam ini bisa diselesaikan dgn memakai notasi ilmiah:
4,53 x 104 4,530 x 104 4,5300 x 104
3 4 5 Angka signifikan
• Dua arti penting konsep angka signifikan : Memutuskan kebenaran dari suatu pendekatan, Memaklumi bahwa ada besaran yg tidak pernah bisa dinyatakan secara
eksak (misal π = 3,141592653589……..)⇒ Pengabaian dari angka signifikan sisa dinamakan kesalahan pembulatan
Untuk menyatakan tingkat keyakinan suatu hasil numerik
TEORI KESALAHANTEORI KESALAHAN BEBERAPA TERMINOLOGI
AKURASI DAN PRESISI
• Akurasi / Akurat : mengacu pada dekatnya sebuah angka pendekatan atau pengukuran terhadap harga sebenarnya yg hendak dinyatakan,
• Presisi : mengacu pada :
1. Jumlah angka signifikan yg menyatakan suatu besaran, atau2. Penyebaran dlm bacaan berulang dari sebuah
a). Tidak akurat dan tidak presisib). Tidak akurat, presisi
a). b). c). d).c). Akurat dan tidak presisib). Akurat dan presisi
⇒ Untuk menyatakan kedua hal tsb , digunakan istilah kesalahan
TEORI KESALAHANTEORI KESALAHAN
APROKSIMASI / PENDEKATAN
OPERASI DAN BESARAN / MATEMATIK YG PASTI
KESALAHAN NUMERIK
KESALAHAN PEMOTONGAN (TRUNCATION ERROR)
KESALAHAN PEMBULATAN (ROUND-OFF ERROR)
• Terjadi sewaktu aproksimasi digunakan untuk menyatakan suatu prosedur matematika
• Terjadi bila angka2 aproksimasi dipakai untuk menyatakan angka2 pasti
tv
dtdv
ΔΔ≈ π ≈ 3,14
TEORI KESALAHANTEORI KESALAHAN
• Kesalahan Numerik (Et) = Harga sebenarnya – Aproksimasi
⇒ (tidak menunjukkan orde besara dari nilai yg diperiksa)
• Kesalahan Relatif Fraksional = %100xSebenarnyaaargH
Kesalahan
%100xSebenarnyaaargHEt
t =ε
KESALAHAN NUMERIK
Contoh :
• Pengukuran panjang jembatan dan panjang paku masing-masing 9999 cm dan 9 cm• Kalau harga sebenarnya masing-masing 10000 cm dan 10 cm, berapa kesalahan
dan kesalahan relatif
(1/10) x 100 % = 10 %(1/10000) x 100 % = 0,01 %εt (%)10 – 9 = 1 cm10000 – 9999 = 1 cmEt (cm)
PakuJembatan Kesalahan
Teliti Tergantung
TEORI KESALAHANTEORI KESALAHAN
• Kesalahan Aproksimasi (Ea) = Aproks. sekarang – Aproks. sebelumnya
⇒ (tidak menunjukkan orde besara dari nilai yg diperiksa)
%100xSekarangiAproksimas
Eaa =ε
• DALAM PERMASALAHAN YG KOMPLEKS, JARANG HARGA YG SEBENARNYA DAPAT DIKETAHUI DGN MUDAH, KECUALI FUNGSI-FUNGSI YG DAPAT DISELESAIKAN SECARA ANALITIS
• PERLU DIDEFINISIKAN KESALAHAN APROKSIMASI
Contoh : dalam perhitungan iteratif
• Tanda εa bisa(-) atau (+), dan biasanya iterasi berhenti bila :- dimana εs adalah toleransi praspesifikasi,- menurut Scarborough/1966/ :
sa εε <
( )%10x5,0 n2s
−=ε
• artinya: bila kondisi tsb di atas dapat dipenuhi, maka dapat dijamin bahwa hasilnya adalah betul sampai sekurang-kurangnya “n” angka signifikan
TEORI KESALAHANTEORI KESALAHAN
Contoh : Taksiran kesalahan untuk metoda iterasi
• Perluasan Deret Mac Laurin : ........!5
x!4
x!3
x!2
xx1e
5432x ++++++=
Tentukan kesalahan untuk x = 0,5 guna meyakinkan suatu hasil sampai sekurang-kurangnya tiga angka signifikan :
( ) %05,0%10x5,0 32s == −ε
Penyelesaian : Solusi eksak : 648721271,15,0 =ε
0,01580,001421,648697917660,1580,01721,648437500551,270,1751,645833333447,691,441,6253333,39,021,522
39,3111εa (%)εt (%)HasilSuku keIterasi Solusi numerik :
• Berhenti pada iterasi ke 7 karena εa < εs
• Ketelitian sampai 4 angka signifikan
TEORI KESALAHANTEORI KESALAHAN KESALAHAN PEMOTONGAN (TRUNCATION ERROR)
DERET TAYLOR
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) n
nin
3i'''
2i''
i'
i1i Rh!nxf....h
!3xfh
!2xfhxfxfxf +++++=+
Dimana suku sisa( ) [ ]
( )1n
1n
n h!1n
fR ++
+= ξ
Contoh : Gunakan perluasan deret Taylor orde ke nol s/d orde ke empat untuk menaksir fungsi : ( ) 2,1x25,0x5,0x15,0x1,0xf 234 +−−−−=
Dimana xi = 0 dan h = 1, artinya xi+1 = 1
Penyelesaian :
0
-0,25
-0,75
-1
Et
Tak perlu *)4
0,23
0,452
0,951
1,20
f(xi+1)n
*) karena ( ) ( ) 0
!5hfR
55
4 =ξ=
0
0.5
1
1.5
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
x
f(x)
( ) ( )i1i xfxf =+
( ) ( ) ( ) hxfxfxf i'
i1i +=+
( ) ( ) ( )( ) 2i
''i
'i1i
h!2xf
hxfxfxf ++=+
eksak
Orde nol
Orde ke 1
Orde ke 2
TEORI KESALAHANTEORI KESALAHAN KESALAHAN PEMOTONGAN (TRUNCATION ERROR)
Kesimpulan :• Makin tinggi ordenya (makin banyak suku-suku) akan memperkecil kesalahan,• Dalam hal-hal yg praktis, dgn menambahkan beberapa suku saja sudah
menghasilkan aproksimasi yg cukup
Dalam banyak hal penentuan banyaknya suku dimulai dengan menghitung suku sisa dari deret
Dilema : - harga ξ tidak pasti, Untuk itu suku sisa sering ditulis Rn=O(hn+1), yg berarti kesalahan pemotongan
berorde hn+1
Hal penting :
DERET TAYLOR
• Jika kesalahan O(h) ⇒ dgn memperkecil langkah h menjadi ½ h, kesalahan menjadi setengahnya,
• Jika kesalahan O(h2) ⇒ dgn memperkecil langkah h menjadi ½ h, kesalahan menjadi seperempatnya
TEORI KESALAHANTEORI KESALAHAN KESALAHAN PEMOTONGAN (TRUNCATION ERROR)
PENGGUNAAN DERET TAYLOR UNTUK MEMPERKIRAKAN KESALAHAN PEMOTONGAN
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) n
nin
3i'''
2i''
i'
i1i Rh!nxf....h
!3xfh
!2xfhxfxfxf +++++=+
Bila dipotong setelah turunan pertama :
( ) ( ) ( ) 1i'
i1i Rhxfxfxf ++=+ ( ) ( ) ( )hR
hxfxf
xf 1i1ii
' −−= +⇒
Taksiran kesalahan :( )
h!2
"fhR1 ξ= atau ( )hO
hR1 =
Dlm metoda numerik disebut “DiferensiTerbagi Hingga” atau “Beda Hingga”
Shg secara umum : ( ) ( ) ( ) ( )hOh
xfxfxf i1i
i' −−= +
h : ukuran langkah
Beda hingga pertama kedepan
DIFERENSIASI NUMERIKDIFERENSIASI NUMERIK METODA BEDA HINGGA
Turunan Pertama
KEDEPAN TERPUSAT KEBELAKANG
f(xi+1)
xi xi+1
f(xi)
h
xixi-1
f(xi-1)
f(xi)
h
( ) ( ) ( ) ( )hOh
xfxfxf i1i
i' +−= +
f(xi-1)
f(xi+1)
hh
xixi+1xi-1
( ) ( ) ( ) ( )21i1ii
' hOh2
xfxfxf +−= −+ ( ) ( ) ( ) ( )hO
hxfxf
xf 1iii
' +−= −
Turunan Kedua
( ) ( ) ( ) ( ) ( )hOh
xfxf2xfxf 2
i1i2ii
" ++−= ++ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )22
1ii1ii
" hOh
xfxf2xfxf ++−= −+ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )hO
hxfxf2xf
xf 22i1ii
i" ++−= −−
TEORI KESALAHANTEORI KESALAHAN KESALAHAN TOTAL
KESALAHAN PEMOTONGAN (TRUNCATION ERROR)
KESALAHAN PEMBULATAN (ROUND-OFF ERROR)
+
KESALAHAN TOTAL
(+) Diperbaiki dgn memperkecil langkah
(-) Menambah jumlah komputasi
(+) Diperbaiki dgn memperbanyak angka signifikan
(-) Kesalahan akan bertambah jika jumlah komputasi dinaikkan
• Perlu kompromi,• Merupakan seni dlm metoda numerik,• Tergantung pada penyelesaian trial&error, intuisi,
pengalaman,• Kemajuan komputer :
Angka signifikan mudah diperbanyak (+)Ukuran langkah bisa diperkecil (+)
Ukuran Langkah, logKe
sala
han,
log
KesalahanpembulatanKesalahan
pemotongan
Kesalahan
total