Teori dan Analisis Ekonomi 1

(Himpunan dan Bilangan)point_1

Julian Adam Ridjal, SP., MP.PS Agribisnis Universitas Jember

Sumber Pustaka :

• Matematika Terapan untuk Bisnis & Ekonomi oleh Dumairy,Penerbit BPFE Yogyakarta

• Matematika Ekonomi-buku I oleh Wahyudi Hidayat. UGM Yogyakarta.

• dan lain-lain

Materi Perkuliahan

• Konsep-konsep Dasar Matematika

Konsep-konsep Dasar

HimpunanSistem Bilangan

Himpunan

Himpunan adalah Kumpulan benda atau objek yang didefinisikan (diterangkan) dengan jelas

Contoh :

A adalah himpunan bilangan asli kurang dari 10

A = { 1,2,3,4,5,6,7,8,9 }

Soal : Nyatakan himpunan berikut dalam bentuk notasi pembentuk himpunan

3. D adalah bilangan ganjil kurang dari 20

1. B = { x | 3 < x ≤ 15 , x A}

1.B adalah bilangan Asli yang lebih dari 3 dan kurang atau sama dengan 15

2. C adalah bilangan bulat lebih dari atau sama dengan

-5 tetapi kurang dari 10

Jawaban :

2. C = { x | -5 ≤ x < 10 , x B }

3. D = { x | x < 20 , x L }

Contoh soal : Nyatakan soal di atas dengan cara mendaftar anggotanyaJawaban:

= { 4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15 }

= { -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }

= { 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19 }

1. B = { x | 3 < x ≤ 15 , x A}

2. C = { x | -5 ≤ x < 10 , x B }

3. D = { x | x < 20 , x L }

Operasi Himpunan

• Gabungan (Union) notasi U• Irisan(Intersection) notasi • Selisih notasi (-)• Pelengkap(complement) misal Him. AC

Beberapa notasi Himpunan

a A berarti a anggota him A

a A berarti a bukan anggota him A

notasi untuk himpunan kosong atau { }

Keanggotaan Suatu HimpunanContoh:

A = { 1, 3, 5, 7, 9 } B = { 2, 4, 6, 8, 10, 12 }

1 A 1 B

3 A 3 B

5 A 5 B

7 A 7 B

9 A 9 B

2 B 2 A

4 B 4 A

6 B 6 A

8 B 8 A

10 B 10 A

Banyaknya anggota himpunan A dilambangkan dengan n(A) = 5

Banyaknya anggota himpunan B dilambangkan dengan n(B) = 6

12 B 12 A

Catatan: Lambang dibaca “elemen” atau anggotaLambang dibaca “bukan elemen” atau bukan anggotaLambang n(A), n(B) disebut bilangan kardinal

D = { x | x orang yang tingginya lebih dari 5 m}

HIMPUNAN KOSONGDEFINISI:

Himpunan Kosong adalah himpunan yang tidak memiliki anggota dan dilambangkan dengan { } atau

Contoh :

F = { x | x bilangan prima antara 7 dan 11 }

Pada contoh di atas adakah saat ini orang yang tingginya lebih dari 5 meter dan adakah bilangan prima diantara 7 dan 11 ? (coba pikir)

Sekarang cobalah membuat notasi himpunan yang mendefinisikan himpunan kosong (waktu 5 menit)

Irisan Dua Himpunan (Interseksi)Definisi:

Irisan himpunan A dan B ditulis A B adalah himpunan semua objek yang menjadi anggota himpunan A sekaligus menjadi anggota himpunan B

Contoh:

Bila P = {a, b, c, d, e } dan Q = {d, e, f, g, h }. Tentukan P Q

P Q = { d, e }Jawab :

Gabungan Dua Himpunan ( Union)Definisi:

Gabungan himpunan A dan B ditulis A B adalah himpunan semua objek yang menjadi anggota himpunan A atau menjadi anggota himpunan B

Contoh:

Bila P = {a, b, c, d, e } dan Q = {d, e, f, g, h }. Tentukan P Q

Jawab : P Q = { a, b, c, d, e, f, g, h }

Penyajian Himpunan

Dua macam cara :

-Cara daftar

contoh : A = {1, 2, 3, 4, 5}

-Cara kaidah

contoh : A = {y] 6 > y > 0}

Kaidah matematika dlm Himpunan

Idempoten

A A = A A U A = A

Asosiatif

(A B) C = A (B C)

Komutatif

A B = B ADistributif

AU(B C) = (AUB) (AUC)

Identitas

A U = A

A U S = S

Kelengkapan

A U Ac = S

(Ac)c = A

De Morgan

(AUB)c = Ac Bc

Contoh 1:

Diketahui: S = { 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14 }

A = { 1,2,3,4,5,6 } B = { 2,4,6,8,10 } C = { 3,6,9,12 }Gambarlah diagram Venn untuk menyatakan himpunan di atas

Jawab:

6

3

2 4

15

8 10

9

12

A

B

C

S

7

1113

14

6 adalah anggota yg dimiliki oleh himpunan A,B,C

3 dan 6 adalah anggota yg dimiliki oleh himpunan A dan C

2,4, 6 adalah anggota yg dimiliki oleh himpunan A dan B

0

Diagram Venn

Contoh 2:

Dari 32 siswa terdapat 21 orang gemar melukis, 16 orang gemar menari dan 10 orang gemar keduanya.a. Ada berapa orang siswa yang hanya gemar melukis?

b. Ada berapa orang siswa yang hanya gemar menari?

c. Ada berapa orang siswa yang tidak gemar keduanya?

Jawab:

N(S) = 32 Misalnya : A = {siswa gemar melukis} n(A) = 21

B = {siswa gemar menari} n(B) = 16A B = {siswa gemar keduanya} n(A B) = 10

Perhatikan Diagram Venn berikut

10

A B

11 6

S

5

a. Ada 11 siswa yang hanya gemar melukis

b. Ada 6 siswa yang hanya gemar menari

c. Ada 5 siswa yang tidak gemar keduanya

Contoh 3:

Diketahui : S = { x | 10 < x ≤ 20, x B }M = { x | x > 15, x S }N = { x | x > 12, x S }Gambarlah diagram vennya

Jawab : S = { x | 10 < x ≤ 20, x B } = { 11,12,13,14,15,16,17,18,19,20 }

M = { x | x > 15, x S } = { 16,17,18,19,20}

N = { x | x > 12, x S } = { 13,14,15,16,17,18,19,20}

M N = { 16,17,18,19,20 }

16

17

18

1920

MN

13

14 15

S

11

12

Diagram Vennya adalah sbb:

Contoh 4:

Dari 60 siswa terdapat 20 orang suka bakso, 46 orang suka siomay dan 5 orang tidak suka keduanya.a. Ada berapa orang siswa yang suka bakso dan siomay?b. Ada berapa orang siswa yang hanya suka bakso?c. Ada berapa orang siswa yang hanya suka siomay?

Jawab: N(S) = 60

Misalnya : A = {siswa suka bakso} n(A) = 20

B = {siswa suka siomay} n(B) = 46

Maka A B = {suka keduanya}

(A B)c = {tidak suka keduanya} n((A B)c) = 5

n(A B) = x{siswa suka bakso saja} = 20 - x

{siswa suka siomay saja} = 46 - x

Perhatikan Diagram Venn berikut

xA B20 - x 46 - x

S

5

n(S) = (20 – x)+x+(46-x)+5

60 = 71 - xX = 71 – 60 = 11

a. Yang suka keduanya adalah x = 11 orang

b. Yang suka bakso saja adalah 20-x = 20-11= 9 orang

c. Yang suka siomay saja adalah 46-x = 46-11= 35 orang