TEOREMA BOLZANO WEIERSTRASSKumpulan yang tak berhingga dan terbatas di R1 selalu mempunyai titik limitBukti :Misalkan S suatu kumpulan tak berhingga dan terbatas karena S terbatas maka ada selang tertutup [a,b] yang mengandung S.Bagilah [a,b] menjadi dua selang bagian yang sama panjang maka salah satu selang bagiab ini pastilah mengandung tak berhingga banyaknya anggota S sebab jika kedua selang bagian itu mengandung berhingga banyaknya anggota S, maka S adalah kumpulan berhingga.Sebutlah [a1 , b1] selang bagian yang mengandung tak berhingga banyaknya anggota S , jika kedua selang itu mengandung tak berhingga banyaknya anggota S, ambillah selang bagian kiri sebagai [a1 , b1]Selanjutnya, bagilah selang [a1 , b1] menjadi dua selang bagian yang sama panjang seperti diatas, sebutlah [a2 , b2] selang bagian dari [a1 , b1] yang mengandung tak berhingga banyaknya anggota S.Proses diatas dilanjutkan terus utnuk memperoleh koleksi terbilang selang bagian yang bersifat :(1) [an+1 , bn+1] [an , bn ] ;(2) bn an = ;(3) s [an , bn] suatu kumpulan tak berhingga .jelaslah (an) adalah barisan monoton naik dan terbatas diatas, jadi p= sup {an : n N}= ada demikian pula (bn) adalah suatu barisan yang monoton turun dan terbatas dibawah jadi q=lim bn= inf {bn : n N} ada.Selanjutnya akan dibuktikan bahwa p S.Misalnya r>0 sebarang , maka untuk n yang cukup besar bn-an < .Untuk n ini berlaku [an , bn] N(p;r) sehingga N(p;r) S adalah suatu kumpulan tak berhingga maka terbuktilah p S Analisisnya :a. premis 1b. premis 2c. kesimpulanbukti :1. dari premis 12. dari premis 23. dari point 24. dari point 3 dan konsep himpunan terbatas5. UKP dan point 46. Dari point 5 dan point 17. Kontradiksi point 68. Dari point 7 dan konsep himpunan berhingga 9. UKP dan dari point 610. UKP dan dari point 911. Dari point 1012. UKP dan dari point 1113. Point (12) dilanjutkan terus-menerusa. Karena [an+1 , bn+1] didapatkan dengan membagi [an , bn]b. Dari poin 4,11 dimana selang [a , b] dibagi dua secara berkelanjutanc. Dari point 7 dan point 1214. Dari point 13(a), 1 dan definisi barisan monoton naik15. Dari point 14 dan teorema 2.1.10 serta point 13(a)16. Dari point 15 dan teorema pendukung 2.1.1017. Dari point 16 dan definisi limit barisan18. Dari point 13(a)] dan definisi barisan monoton turun19. Dari point 13(a) dan 1820. Dari point 19 dan definisi 2.5.521. Dari point 20 dan definisi infimum22. Dari point 23. Dari point 22 dan teorema pendukung 2.3.324. Dari poin 17dan 2025. YADT26. UKP dari poin 2527. Dari poin 2228. Dari poin 27dan defenisi himpunan tertutup29. Dari poin 26 dan 2830. Kesimpulan dari poin 29

TEOREMA 3.2.24 (TEOREMA PILIHAN)Suatu kumpulann terbatas yang tak kosong tidak mungkin sekaligus terbuka dan tertutupBukti :Misalkan S suatu kumpulan terbatas di R1 jika S tertutup , maka inf S S dan sup S S. Inf S bukan titik dalam jadi S bukan kumpulan terbuka. Jika S terbuka , maka inf S S sedangkan inf S S. Jadi, jika S terbuka , maka S tak tertutup dengan demikian di R1, kumpulan terbatas yang tak kosong tak mungkin sekkaligus terbuka dan tertutupAnalisisnya :a. Premis b. Kesimpulan Bukti :1. Dari premis , UKP2. Dari kesimpulan , UKP3. Dari point 1,2 dan definisi terbatas dan definisi tertutup4. Dari point 3 dan definisi titik dalam 5. Dari point 4 dan definisi himpunan buka6. Dari kesimpulan, UKP7. Dari point 6 dan definisi himpunan buka8. Dari point 7 dan definisi himpunan tak tertutup9. Dari point 6,7, dan 810. Dari point 3,7, dan 911. Dari point 2,56 dan 10