Teknik_Penyelesaian_PDB

Teknik Teknik PenyelesaianPenyelesaian

Persamaan Persamaan Diferensial BiasaDiferensial Biasa

PS Pendidikan MatematikaPS Pendidikan MatematikaJurusan PMIPA, FKIP Universitas JemberJurusan PMIPA, FKIP Universitas Jember

OutlineOutline

Integrasi langsungIntegrasi langsungTeknik pemisahanTeknik pemisahanFaktor integrasiFaktor integrasi

Integrasi Langsung (1)Integrasi Langsung (1)

Digunakan apabila ruas kanan Digunakan apabila ruas kanan tidak tergantung pada variabel tidak tergantung pada variabel terikatterikat

Untuk menyelesaikan PDB order Untuk menyelesaikan PDB order satu atau lebihsatu atau lebih

Bentuk umumBentuk umum)(xfdx

dy

)(2

2

xfdx

yd

)(xfdx

ydn

n


yy disebut variabel terikatdisebut variabel terikatxx disebut variabel bebas disebut variabel bebasKadang menggunakan Kadang menggunakan tt

sebagai variabel bebas untuk sebagai variabel bebas untuk menunjukkan menunjukkan waktuwaktu atau atau xx sebagai variabel bebas untuk sebagai variabel bebas untuk menunjukkan menunjukkan jarakjarak

MenyelesaikanMenyelesaikan PDB berarti PDB berarti menentukan rumus menentukan rumus yy dalam dalam fungsi fungsi xx


Teknik yang digunakan adalah Teknik yang digunakan adalah dengan dengan mengintegralkanmengintegralkan ruas kiri ruas kiri PDB terhadap PDB terhadap yy dan ruas kanan dan ruas kanan PDB terhadap PDB terhadap xx..

Jika PDB tersebut mempunyai Jika PDB tersebut mempunyai order lebih dari satuorder lebih dari satu, maka , maka integralkan lagiintegralkan lagi sampai diperoleh sampai diperoleh solusi umumsolusi umum

Jika ada Jika ada nilai awalnilai awal maupun maupun nilai nilai batasbatas, , substitusikan nilaisubstitusikan nilai tersebut tersebut sehingga diperoleh sehingga diperoleh solusi khusussolusi khusus


Contoh: selesaikan PDBContoh: selesaikan PDB

Jawab:Jawab:

Cxy

ccxy

cxcy

dxdy

dxdy

2

2

2

2

2

12

21

2dx

dy

solusi umumsolusi umum



Jawab:Jawab:

BAxxy

dxAxdy

dxdxyd

dxyd

2

2

22

2

)4(

4

4


0)1(1)0( ,4 dan dengan 2

2

yydx

yd


Substitusikan nilai batas Substitusikan nilai batas

Jadi:Jadi:132 2 xxy solusi khusussolusi khusus

3

120

1.1.200)1(

1

0.0.211)0(

2

2

2

2

A

A

BAy

B

BAy

BAxxy

Teknik Pemisahan (1)Teknik Pemisahan (1)

Digunakan apabila ruas Digunakan apabila ruas kanan dapat difaktorkan kanan dapat difaktorkan kedalam fungsi kedalam fungsi xx yang yang dikalikan dengan fungsi dikalikan dengan fungsi yy

Untuk menyelesaikan PDB Untuk menyelesaikan PDB order satuorder satu

Bentuk umum:Bentuk umum:)().( yhxg

dx

dy


PisahkanPisahkan PDB sesuai dengan PDB sesuai dengan variabelnya, yang mengandung variabelnya, yang mengandung yy di ruas kiri dan di ruas kiri dan x x di ruas kanandi ruas kanan

IntegralkanIntegralkan ruas kiri PDB ruas kiri PDB terhadap terhadap yy dan ruas kanan PDB dan ruas kanan PDB terhadap terhadap xx..

dxxgyh

dy)(

)(

Cdxxgyh

dy )(

)(



Jawab:Jawab:

1)0( awalsyarat dengan cos. yxydx

dy

x

xCCx

eAy

eeey

Cxy

dxxy

dy

dxxy

dy

sin

sinsin

.

.

sinln

cos

cos



Substitusikan nilai awalSubstitusikan nilai awal

Jadi:Jadi:xey sin solusi khusussolusi khusus

1

.1

.11)0(

.

0

0sin

sin

A

eA

eAy

eAy x

Faktor Integrasi (1)Faktor Integrasi (1)

Digunakan untuk menyelesaikan Digunakan untuk menyelesaikan PDB PDB non-homogen order satunon-homogen order satu

GabungkanGabungkan mereka sebagai mereka sebagai derivasi dari sebuah fungsi tunggal derivasi dari sebuah fungsi tunggal dalam dalam yy dan dan x. x. Langkah ini tidak Langkah ini tidak selalu bisa dilakukan kecuali jika selalu bisa dilakukan kecuali jika semua ekspresi dalam PDBsemua ekspresi dalam PDB dikalikan dikalikan dengandengan faktor integrasi faktor integrasi

Selesaikan dengan Selesaikan dengan mengintegralkanmengintegralkan


Teknik faktor integrasi sering Teknik faktor integrasi sering melibatkan rumus untuk derivasi melibatkan rumus untuk derivasi dari hasil perkalian dua fungsidari hasil perkalian dua fungsi

KalikanKalikan PDB tersebut dengan PDB tersebut dengan sebuah fungsi yang tepat (sebuah fungsi yang tepat (faktor faktor integrasiintegrasi) sehingga ruas kiri dari ) sehingga ruas kiri dari PDB dibuat seperti ruas kanan PDB dibuat seperti ruas kanan rumus derivasi hasil perkalian dua rumus derivasi hasil perkalian dua fungsi fungsi

ydx

df

dx

dyf

dx

yfd

).(


Bentuk umum:Bentuk umum:

Kalikan dengan sebuah fungsiKalikan dengan sebuah fungsi

Gabungkan ekspresi pada ruas Gabungkan ekspresi pada ruas kiri kiri

)(.)(.. xfyxgdx

dy

)()( xfyxgdx

dy

)(.).(

xfdx

yd


IntegralkanIntegralkan

Kalikan dengan sebuah fungsiKalikan dengan sebuah fungsi

Substitusikan nilai awal maupun Substitusikan nilai awal maupun nilai batas jika ada nilai batas jika ada

Cdxxfy )(..

C

dxxfy )(.1



Jawab:Jawab:Kalikan dengan faktor integrasi Kalikan dengan faktor integrasi eexx

Ubah ruas kiri ke bentuk derivasi Ubah ruas kiri ke bentuk derivasi hasil perkalian dua fungsihasil perkalian dua fungsi

xxx eyedx

dye

2)0( awalsyarat dengan 1 yydx

dy

xx

edx

yed

)(


Integralkan kedua ruasnyaIntegralkan kedua ruasnya

Substitusikan nilai awalnyaSubstitusikan nilai awalnya

Jadi Jadi

x

xx

xx

Cey

Ceye

dxeyed

1

)(

1

21

212)0( 0

C

C

Cey

xey 1 solusi khusussolusi khusus

Teknik_Penyelesaian_PDB

Documents

Transcript of Teknik_Penyelesaian_PDB